Краевые задачи для уравнений с p-лапласианом и их анизотропных аналогов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Терсенов Арис Саввич

• Терсенов Арис Саввич
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Терсенов Арис Саввич

силами

§ 1.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 1.2 Априорная оценка классического решения регуляризован-

ной задачи

§ 1.3 Априорная оценка классического решения регуляризован-

ной задачи. Сингулярный случай

§ 1.4 Априорная оценка производной классического решения ре-

гуляризованной задачи

§ 1.5 Доказательство теоремы

§ 2 Уравнение р-лапласиана при наличии градиентных членов

§ 2.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 2.2 Априорная оценка решения регуляризованной задачи ... 68 § 2.3 Априорная оценка производной решения регуляризован-

ной задачи

§ 2.4 Доказательство теорем существования

2 Вязкие решения задачи Дирихле для некоторых классов вырождающихся уравнений

§ 1 Вязкие решения задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом

§ 1.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 1.2 Доказательство теоремы

§ 2 Вязкие решения задачи Дирихле для вырождающихся уравнений

§ 2.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 2.2 Доказательство теоремы

3 Слабые решения параболических анизотропных уравнений с ограниченной производной по времени

§ 1 Слабые решения с ограниченной производной по времени в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы

§ 1.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 1.2 Оценка производной по времени решения регуляризован-

ной задачи

§ 1.3 Оценки решения и градиента решения регуляризованной

задачи. Доказательство теоремы

§ 2 Слабые решения с ограниченной производной по времени в выпуклых областях

§ 2.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 2.2 Априорная оценка градиента решения регуляризованной

задачи. Доказательство теоремы

§ 3 Сингулярный случай для параллелепипеда

§ 3.1 Постановка задачи и основные результаты

§ 3.2 Априорные оценки вторых производных от решений регу-

ляризованного уравнения. Доказательство теоремы

4 Анизотропные параболические уравнения с переменными показателями анизотропности

§ 1 Введение и основные результаты

§ 2 Априорная оценка классического решения регуляризованной задачи

§ 3 Априорная оценка классического решения регуляризованной задачи. Случай знакоопределенных коэффициентов с

§ 4 Априорная оценка классического решения регуляризованной задачи. Сингулярный случай

§ 5 Оценка градиента решения регуляризованной задачи

§ 6 Доказательство теоремы существования

5 Параболические анизотропные уравнения с градиентными нели-

нейностями

§ 1 Введение и основные результаты

§ 2 Априорные оценки классического решения регуляризованной задачи

§ 3 Доказательство теоремы существования и единственности

§ 4 Некоторые замечания об условиях на градиентный член

§ 5 Разрешимость задачи Дирихле для анизотропных параболических уравнений в областях, удовлетворяющих условию внешней сферы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений с p-лапласианом и их анизотропных аналогов»

Введение

Актуальность выбранной темы исследования. Настоящая диссертация посвящена исследованию разрешимости начально-краевых задач для вырождающихся и сингулярных параболических уравнений второго порядка и их стационарных аналогов, которые в общем виде можно записать следующим образом

где компоненты вектор-функции Л = (Лг,..., Лп) представимы в одном из следующих видов

Интерес к исследованию этих уравнений обусловлен большим количеством приложений в различных областях механики. Они возникают при моделировании течений неньютоновских жидкостей, как дилатантных, так и псевдопластичных, в моделях нелинейной упругости, в обработке сигналов и изображений, теории капиллярных поверхностей и гляциологии, при описании течений жидкости в пористых средах. В частности, классические модели, связанные с изучением течения жидкости в пористых средах, строятся на законе Дарси. В то же время возможны отклонения от закона Дарси, связанные с неньютоновскими свойствами жидкости. Эти отклонения могут иметь различный характер в зависимости от этих свойств. Для ряда веществ, например, для растворов полимеров, проницаемость, входящая в уравнение Дарси, зависит от градиента давления полиномиально, что приводит к степенному закону фильтрации в анизотропных средах вида

щ — йгу Л(£, х, Vи) + Б(Ь, х, и, Vи) = 0,

(1)

Л,(1,х,д) = аг(г,х)\ч \"(''х)—2д„ А,(г,х,д)= о,(1, х)|д,|!>,(<,х'—2д,, « = (9и .. .,9п).

(2) (3)

V =

К(х, Vp)Vp,

где K - диагональная матрица с диагональными элементами вида

Ku = аг(х) |Vp|Pi(x)-2,

с заданными функциями а^(ж), pi(x), порождаемая проницаемостью пористой среды, где p - гидродинамическое давление, v - скорость фильтрации жидкости. В предположении стационарности процесса фильтрации, из уравнения неразрывности для жидкости в пористой среде и уравнений состояния можно вывести эллиптический аналог уравнения вида (1), (3) для давления p.

Заметим, что если в (2) положить ai = 1, p(t,x) = const, то оператор div A(t,x, Vu) дает нам классический оператор p-лапласиана. Уравнения вида (1) с оператором A вида (3) в литературе часто называются анизотропными параболическими (а соответствующие стационарные - эллиптическими) уравнениями. Такое название эти уравнения получили потому, что в отличие от оператора в (2), каждая компонента градиента имеет свой показатель. Эта модификация оператора p-лапласиана дает возможность моделировать процессы в анизотропных средах. Например, в средах с разной проводимостью в разных направлениях как происходит, например, у электрореологических жидкостей.

Исследованию разрешимости краевых задач вида (1), (2) и их эллиптических аналогов посвящено огромное количество публикаций. Данное направление активно развивается во многих современных ведущих мировых научных школах во многих странах. В случае постоянного показателя p история вопроса насчитывает более 50 лет. Среди первых важных результатов о существовании и регулярности решений можно отметить работы О.А. Ладыженской и Н.Н. Ураль-цевой [25], L.C. Evans [98], J.L. Lewis [145], [146], J. Serrin [177], K. Ulenbeck [192]. Форму относительно законченной теории, по крайней мере что касается регулярности, результаты по p-лапласиану получили после работ E. Di Benedetto с соавторами [88], [89]. В рамках уравнений вида (1), (2) с постоянным показателем p можно выделить направление, связанное с существованием и качественным поведением радиально-симметричных решений. Отметим здесь работы M. Franca [103], B. Franchi, E. Lanconelli, J. Serrin [104], в которых изложены основы теории существования и единственности радиально-симметричных решений для уравнения p-лапласиана, а также исследованы вопросы существования и качественного поведения ограниченных радиально-симметричных и сингуляр-

ных радиально-симметричных решений, убывающих на бесконечности.

Несмотря на то, что первые работы о разрешимости анизотропных уравнений с постоянными показателями рг появились в 60-е годы, систематическое их изучение, с использованием аппарата анизотропных соболевских пространств и применением теории вариационного исчисления, началось лишь в конце 20-го -начале 21-го века. Отметим, что одной из пионерских работ в этом направлении является работа М.И. Вишика [11], где было доказано существование и единственность решения и € Ьр(0, Т;Ш1,Р(О)), с производной щ € Ь2((0, Т) х О), первой краевой задачи для уравнения

Е(к|р 2щх*)х* = 1(~1,х)--

и (Iй

1=1

при р > 2, где О - ограниченное множество в Кп, а / € Ь(0,Т;Щ-1'Р>(О)), р = р-1. В совместной работе Ж. Лере и Ж.-Л. Лионса [143] этот результат был обобщен на класс анизотропных уравнений с различными показателями рг > 1, с помощью метода монотонных операторов Минти-Браудера [66], [67], [167], [168] (см. также монографию [156]). Была доказана теорема существования и единственности решения и € Ьто(0,Т; Ь2(О)) с производными их. € ((0,Т) х О) первой начально-краевой задачи для уравнения вида

п

иг - ^(К|Рг-2ихгк = /(t,x),

1=1

п

при рг > 1, где функция / € (0, Т; У/(О)), р'г = рр^т. Здесь V* - простран-

¿=1 р ства, сопряженные к V (где в качестве закона двойственности взято скалярное

произведение в Ь2), которые определяются как замыкание бесконечно дифференцируемых функций в пространстве

щХ'Рг(О) = {VIV € (О),^ € (О)}.

Одной из первых работ в 21-ом веке, посвященных исследованию анизотропных уравнений с постоянными показателями при наличии нелинейного источника, является совместная работа 1.й^а1а, F.Gazzola, Б.КашоЫ [101], в которой изучался вопрос существования положительного слабого, удовлетворяющего уравнению в интегральном смысле, решения однородной задачи Дирихле для урав-

нения

п

- \Рг-2пХг )Хг = Лп5-1 в П с Кп,

i=1

где Л > 0, в > 1, в различных соболевских классах функций (см. также [102]). Отметим, в частности, следующий результат, показывающий влияние анизотропности на существование ограниченных решений. В предположении, что

п1

в > 1, > 1, г = 1,... ,п, — > 1, введем следующие величины

Рсг = -, Р+ = тах{р1 ,...,Рп}, Рж = шах[р+ ,рсг}.

Е" - 1

%=1

Легко видеть, что можно подобрать такие pi, при которых р+ > рсг. В [101] было доказано, что любое слабое решение ограничено, если в < рж, либо при в = р<х> и рж > р+. Существование же ограниченного решения при любом Л > 0 было доказано в предположении, что р+ < рсг и в € (р+ ,рсг).

Уравнения вида (1), (2) и (1), (3) с переменными показателями р и pi стали объектом тщательного исследования лишь последние двадцать лет. Такие уравнения принято называть уравнениями с нестандартными условиями роста. Отметим, что анизотропные уравнения, даже в случае постоянных показателей анизотропности, также принадлежат к упомянутой выше категории уравнений. Из представлений (2), (3) легко заметить, что функция А удовлетворяет следующему двойному неравенству

Со|#--1 - С1 < \А(г,х,д)\ < С2(1 + |#+-1), (4)

где со, с1, с2 - некоторые положительные постоянные, р- = ш1п{р1,... ,рп}. Например, следующее уравнение вида (1), которое относится к анизотропным уравнениям с переменными показателями анизотропности,

п

п - )\п*\тф)-2Пхгк = д(х,п, Чп), г = (г,х) € (0,Т) X п,

i=1

удовлетворяет (4) с р- = шт^^{pi(г)}, р+ = шах^€^т{р,^ (г)}. Нестандартность условий роста заключается в возможном строгом неравенстве р- < р+,

т.е. показатели коэрцитивности и скорости роста по градиенту разные. Легко видеть, что для уравнения с p-лапласианом с постоянным p, выполняется p- = p+. Неравенство p- < p+, в частности, приводит к тому, что многие методы, например, метод ремасштабирования, использующий однородность главной части по градиенту, не может быть применен. В этом случае, для доказательства разрешимости краевых задач для уравнений вида (1), (2) и (1), (3) и исследования их качественного поведения, используются разнообразные аппроксимационные методы такие как, например, метод Галеркина. Также применяются различные топологические методы, основывающиеся на получении априорных оценок решений исходных уравнений. Заметим, что уравнение с p-лапласианом с переменным показателем p уже принадлежит к категории уравнений с нестандартными условиями роста. Одной из ведущих школ, занимающихся исследованием уравнений этой категории, является научная школа, основателем и руководителем которой был долгие годы В.В. Жиков. Коллектив этой школы, в лице Ю.А. Алхутова, О.В. Крашенинниковой, С.Е. Пастуховой, М.Д. Сурначева и др., внес существенный вклад в развитие теории разрешимости и качественного поведения решений указанного типа уравнений [1]-[8], [14]—[18], [26]. Современное состояние теории уравнений с нестандартными условиями роста изложено в монографии С.Н. Антонцева и С.И. Шмарева [43], являющихся одними из ведущих специалистов в этой области.

Разрешимость уравнений вида (1), в силу их вырожденности и даже сингулярности, доказывается обычно в различных соболевских классах. Одним из важных вопросов является существование глобальных по времени слабых решений. Касаемо классического лапласиана, т.е при p = 2, вопросы существования и разрушения решения за конечный промежуток времени изложены в монографии А.А. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, А.П. Михайлова [29] (см. также [107], [108]). Первые результаты об условиях, гарантирующих существование положительного решения, а также об условиях, при которых обязательно наступает его разрушение, в случае p > 2 были получены в работе M. Tsutsumi [191] и обобщены H. Levine и L. Payne [144] для первой начально-

краевой задачи для уравнения вида

n

Ut - ^(К 1Р-2иХг)х. = us—1 в Üt = (0,T) х Ü, Ü с Rn.

i=i

В частности, в [191] было доказано, что при p > s существует решение u такое, что u Е LTO(0, T; W1,p(ü)), ut Е L2(ÜT), при любых начальных данных. При p < s для достаточно больших начальных данных всегда наступает разрушение решения указанного вида. В работе J. Zhao [201] были получены аналогичные результаты для ограниченных решений u(t,x) Е LTO(ÜT) П Lp(0,T; Wqp(Ü)), ut Е L2(Üt) параболического уравнения с p-лапласианом в главной части и младшими членами вида f = f (t,x,u, Vu) при p > 2, где функция f удовлетворяет условиям

f (t,x,u, Vu)sgnu < C(1 + |u|s-1 + |Vu|a),

где C - постоянная, a < p — 1. В совместной работе Y. Li, C. Xie [151] вопрос существования и разрушения решения при f = A|u|s—1u был сведен к исследованию соответствующей задачи на собственные значения для оператора p-лапласиана.

Исследованию вопросов существования и разрушения решения при наличии нелинейного источника в случае переменных показателей p(t, x) > 1, (pi(t, x) > 1), посвящены, например, работы С.Н. Антонцева и С.И. Шмарева [50], [51], в которых исследовалась первая начально-краевая задача для уравнения

ut — div(a(t, x)|Vu|p(x)—2Vu) = b(t, x)|u|a(x)—22u в Üt,

и его анизотропного аналога. Результаты, полученные в этих работах, обобщают результаты, перечисленные выше, о существовании и разрушении решений. В частности, полагая a = 1, b = 1, мы получаем разрушение слабого решения u Е W(Üt) П Lto(Üt), где

W(Üt) = {u(t,x) : u Е L2(Üt), |Vu| Е Lp(t'x)(ÜT)},

при условии min a(x) > 2, maxp(x) < min a(x) для достаточно больших начальных данных. Аналогичный результат имеет место и для анизотропного случая, если maxpi(x) < min a(x) и существует по крайней мере один индекс j,

для которого maxpj(x) < mina(x). Вопросам разрушения и асимптотического поведения решений посвящены также работы [36], [73], [75], [109], [110], [119], [120], [147], [148], [150], [159]-[161].

Отметим также одно из направлений исследования уравнений вида (1), связанное с построением вязких по Лионсу решений, в отличие от решений, удовлетворяющих уравнению в интегральном смысле. Теория вязких решений была построена изначально в работах M. Crandall, P.-L. Lions, H. Ishii, R. Jensen и получила впоследствии широкое распространение при исследовании как равномерно эллиптических, так и вырождающихся уравнений. Основы этой теории изложены в монографии M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions [81]. В настоящей диссертации мы использовали теорию вязких решений, оказавшуюся особенно продуктивной в случае присутствия в уравнении произвольных градиентных нелинейностей. Отметим здесь недавние работы о существовании и локальной липшицевой регулярности вязких решений для эллиптических аналогов задачи (1), (3) в изотропном случае. Так в работе F. Demengel [87] была доказана локальная липшицева регулярность вязких по Лионсу решений для уравнений вида

n

ПХг | р-2ПХг )Хг = f

i= 1

в единичном шаре, где f (x) G LTO. В совместной работе I. Birindelli и F. Demengel [60] была рассмотрена однородная задача Дирихле для уравнения

n

E(ai(x)|uxi Г-2их4)xi + g(x, Vu) = f.

i=1

При условии гельдеровости функций ai(x), непрерывности функций g и f по своим аргументам, где g удовлетворяет следующему ограничению на рост по градиенту

|g(x,q)| < c(|q|p-1 + 1),

была доказана локальная липшицевость вязких решений этой задачи в ограниченной области с гладкой границей. Можно также отметить работу P. Juutinen, P. Lindqvist, J.J. Manfredi [134] об эквивалентности вязких и слабых, в интегральном смысле, решений квазилинейных уравнений.

На данный момент теория разрешимости краевых задач для уравнений вида (1) - это быстро развивающаяся теория с большим числом открытых проблем, связанных с существованием, регулярностью и качественным поведением решений. Мы хотели бы выделить три направления, по которым нам удалось продвинуть общую теорию разрешимости краевых задач для уравнений указанного вида и из которых вытекают и цели настоящей диссертации. Эти направления естественно связаны между собой и в дальнейшем при изложении результатов не будут выделяться каким-либо специальным образом.

Нас интересует проблема существования слабых ограниченных решений для начально-краевых и краевых задач для уравнений вида (1) и его эллиптических аналогов. Задачи для параболических уравнений будем ставить в цилиндре (0,Т) х О, для эллиптических соответственно в области О, где О — ограниченная область в . Для удобства описания упомянутых направлений представим функцию В(Ь , х, и, Уи) в виде

В(Ъ, х, и, У и) = д(Ь, х, и, Уи) + с(Ь, х, и) + ] (£, х),

где д(Ь,х,и, 0) = 0, с(Ь,х, 0) = 0.

Первое направление связано с наличием в уравнении произвольного нелинейного источника с(Ь, х, и) одновременно с ненулевой функцией /, которая при описании физических процессов моделирует источники массовых сил. Как известно, в эллиптическом случае, уже при р =2 и линейном источнике с(Ь, х, и) = и, одно из ограничений, накладываемых на /, связано с существованием нетривиальных решений соответствующей однородной задачи - задачи на собственные значения. Они хорошо изучены для случая р =2 и условия на / определяются альтернативами Фредгольма. При р = 2 также построена достаточно полная теория существования нетривиальных решений однородной задачи при с(Ь,х,и) = с\(1, х)|и|р-2и. Условия на /, гарантирующие существование решения, в частности, изложены в статьях [92]—[94], где были получены результаты типа теорем Фредгольма, используя специальное представление для функции /. Отметим, что одной из первых работ о существовании нетривиального решения однородной задачи с нелинейным источником с = с(и) является работа С.Н. Похожаева [27]. В случае произвольного нелинейного источника с(Ь,х,и) и ограниченной функции /, как в эллиптическом, так и в параболическом слу-

чае условия на / имеют характер малости ее нормы в [76], [82], [83], [99], [123], [181]. Отметим, что условия малости, полученные в наших работах, дают возможность, в отличие от упомянутых результатов, получать их в явном виде через данные задачи [210], [215], [218].

Второе направление связано с градиентным членом д(Ь,х,и, У и), который в приложениях отвечает за конвекцию. Одним из классических методов исследования краевых задач для уравнений вида (1), (2) и (1), (3) является применение вариационных методов. Это связано с вариационным характером уравнений вида (1), которые могут быть записаны как уравнения Эйлера-Лагранжа для определенных соответствующим образом функционалов. Отметим однако, что наличие градиентных членов сильно усложняет применение теории вариационного исчисления и, в случае их присутствия в уравнении, аппроксимационные и различные топологические методы становятся фактическими главными методами исследования уравнений указанного класса. Более того, на сегодняшний день известно немного результатов о разрешимости краевых задач для уравнений вида (1) с более чем линейным ростом по градиенту. Отметим среди них [60], [84], [100], [105], [128], в которых были получены теоремы существования слабых решений, принадлежащих различным соболевским пространствам, для уравнений вида

и - ^(|Уи|р-2Уи) = Ь(Ь, х, и)|Уи|р в Пт, ^ С .

Аналогичные результаты о разрешимости в случае р = р(х) были получены в [149]. В настоящей диссертации, в отличие от упомянутых выше работ, нам удалось доказать теоремы существования для уравнений вида (1), (3) при произвольном росте функции В по градиенту, в частности, в случае, когда показатели рг зависят от времени [213], [217], [220]-[222].

Третье направление связано с гладкостью решений краевых задач для уравнений вида (1), (3). Как известно, теория регулярности для уравнений вида (1), (2) в целом построена. Решения уравнений этого класса, хоть и не обладают гладкостью классических решений, тем не менее при достаточно общих условиях на входные параметры задачи принадлежат классу непрерывных по Гельдеру функций по переменным (Ь,х) и классу С1^" по пространственным переменным. В то же время для решений уравнений вида (1), (3), вопрос о

^-регулярности решений по пространственным переменным на сегодняшний день является открытым. Это обедняет методику исследования анизотропных уравнений. В частности, при доказательстве несуществования решений часто используется известное тождество Похожаева [27], [28], даже слабый вариант которого требует, однако, С1-гладкости решений. Одним из классических результатов о регулярности решения задачи Дирихле для эллиптических анизотропных уравнений с постоянными показателями анизотропности является результат, полученный в работе [154], где было доказано, что, при определенных структурных ограничениях на младшие члены, каждая компонента градиента локально ограничена в при условии, что решение ограничено. В работе [68] были получены результаты о регулярности решения задачи Дирихле для анизотропного параболического уравнения вида

n

ut - ^(Кr-2Wxi= 0 в (0,T) X ü,

i=1

с постоянными pi, где ü С Rn - ограниченная область, в которых доказано, что при условии

2 < min pi < max pi < min pi +—,

i i i n

любое слабое решение u e Lp-(0,T); W1p-(Ü)) П Lo+c(0,T; Wjof(Ü)) обладает локально ограниченным градиентом Vu. Более того, в случае когда pi удовлетворяют несколько более жестким ограничениям вида

4

2 < min pi < max pi < min pi +--,

i i i n + 2

удалось доказать теорему существования указанного слабого решения, произ-

p- —1 P- , 44

водная по времени которого ut e Lp+-1 (0,T; W 'p+-1 (ü)), для неоднородной начально-краевой задачи при достаточно общих предположениях относительно начальной функции. Отметим также работы [60] и [87], о которых уже говорилось чуть выше, где были получены результаты о липшицевости решений эллиптических аналогов для анизотропных уравнений с постоянными, равными друг другу, показателями pi > 2. Нами получено слабое решение, обладающее ограниченной производной по пространственным переменным в случае, когда область ü удовлетворяет условию внешней сферы, начальная функция uo(x) является непрерывной по Липшицу, в присутствии младших членов (как

линейных, так и нелинейных по градиенту), а показатели p = pi(t) удовлетворяют условиям

2 < maxpi(t) < 2 minpi(t), t G [0,T].

ii

Более того, в диссертации приведены условия полной непрерывности по Липшицу слабых решений для случая постоянных pi [219]. Наложив определенные условия на геометрию области, нам удалось выделить класс уравнений с переменными показателями pi, для которых удалось получить слабые решения непрерывные по Липшицу по пространственным переменным и непрерывные по Гельдеру по t без ограничений, связывающих p- и p+ [221], [222].

Цели и задачи диссертации. Таким образом, цель данной диссертации состоит в определении наиболее широкого класса уравнений вида (1), (3) и условий, которые гарантируют существование слабых решений краевых задач для указанных уравнений, непрерывных по Липшицу как по пространственным переменным, так и по времени. Что касается эллиптического аналога уравнений вида (1), (2), то тут целью диссертации является определение наиболее широкого класса функций B, для которых можно построить слабое решение задачи Дирихле. Для достижения этих целей планируется решить следующие задачи:

1. Исследовать разрешимость задачи Дирихле для уравнения с p-лапласианом в классе радиально-симметричных решений при наличии нелинейных источника и конвективного члена, а также массовых сил.

2. Исследовать задачу Дирихле для уравнения с p-лапласианом при наличии нелинейных источника и конвективного члена, а также массовых сил без ограничений радиальной симметрии.

3. Построить решения с ограниченной производной по времени для первой начально-краевой задачи для уравнений вида (1), (3) с постоянными показателями pi.

4. Доказать теорему существования и единственности слабых, в интегральном смысле, решений первой краевой задачи для уравнений вида (1), (3) с показателями pi, зависящими от времени.

5. Доказать теорему существования и единственности вязких по Лионсу решений первой краевой задачи для уравнений вида (1), (3) с показателями pi, зависящими от времени и функцией B, не удовлетворяющей условию Бернштейна-

Нагумо.

Методы исследования.

Перейдем теперь к описанию метода, разработанного нами для достижения поставленных целей. Как уже говорилось выше, вариационные подходы в случае наличия градиентных нелинейностей не столь эффективны и практически не используются при построении решений. Также эффективность этих методов уменьшается в случае уравнений с нестандартными условиями роста. Одними из наиболее употребимых методов исследования краевых задач в указанных случаях являются аппроксимационные.

Один из подходов, реализуемых в диссертации, основан на регуляризации исходной задачи с целью построения последовательности классических решений регуляризованных задач, аппроксимирующих решение исходной. Регуляризацию исходной задачи осуществляем как при исследовании анизотропных уравнений, так и при построении радиально-симметричных решений для уравнения с р-лапласианом.

Для получения слабого решения для анизотропных параболических уравнений применяется предельный переход, основанный на методе монотонности Минти-Браудера [156]. Как известно, этот метод позволяет доказывать теоремы существования при минимальном наборе априорных оценок. Для осуществления предельного перехода априорные оценки семейства классических решений и их градиентов получаются так, чтобы они не зависели от параметра регуляризации. Разработанная методика, основанная на аппроксимации решения исходной задачи классическими решениями регуляризованной, позволяет, во-первых, получать решения высокой гладкости, во-вторых, исследовать уравнения с сильными градиентными нелинейностями, давая возможность распространять на решения вырождающихся и сингулярных уравнений результаты для классических решений. Так удалось применить технику, разработанную в соавторстве с Ал. Терсеновым, основанную на идее С.Н. Кружкова [20], [22], [23], [135] введения дополнительной пространственной переменной и позволяющую доказывать существование классических решений невырождающихся эллиптических и параболических уравнений с произвольным ростом по градиенту [30], [31], [182], [185], [188], [205]-[207]. В частности, такой способ аппроксимации позволяет по-

лучать разрешимость без каких-либо дополнительных условий на показатели pi, связанных с теоремами вложения соболевских пространств. Метод введения дополнительной временной переменной, предложенный в диссертации, позволяет доказывать существование липшицевых по времени слабых решений без дифференцирования по времени регуляризованного уравнения.

При наличии в уравнении нелинейного градиента не удается осуществить предельный переход в последовательности классических решений для получения слабого решения, удовлетворяющего уравнению в интегральном смысле, обладающего ограниченными пространственными производными. Главная трудность заключается в доказательстве возможности предельного перехода в нелинейных градиентных членах. Для преодоления этой проблемы мы используем аппарат теории вязких по Лионсу решений. Мы доказываем существование вязкого решения, используя процедуру предельного перехода по вязким решениям, коими, в частности, являются классические решения регуляризованной задачи при определенных дополнительных условиях, налагаемых на структуру уравнения.

При исследовании разрешимости задачи Дирихле для уравнения с ^-лапласи-аном в классе радиально-симметричных решений, удовлетворяющих уравнению в интегральном смысле, удается получить существование решений с произвольными градиентными нелинейностями с использованием регуляризации главной части уравнения. Происходит это за счет дополнительных априорных оценок на градиент решения, использующих специфику радиально-симметричного случая. Здесь предельный переход осуществляется без привлечения метода монотонности.

С помощью теории вязких решений удается получить разрешимость задачи Дирихле для уравнений с ^-лапласианом в главной части для широкого класса градиентных нелинейностей, без ограничения радиальной симметрии. Мы доказываем существование непрерывного вязкого решения с помощью вязких суб- и суперрешений, удовлетворяющих граничным условиям, и применения теоремы ^Ьп-Реггоп, устанавливающей факт существования вязкого решения на основе суб- и суперрешений. Отметим, что в этом случае теоремы существования доказываются без регуляризации уравнения, т.е. без применения аппроксимацион-

ной техники, априорных оценок и предельных переходов. Здесь далеко не всегда удается построить решения, гладкие по Липшицу, тем не менее разрешимость, как уже отмечалось выше, удается получить в классе непрерывных решений без ограничений радиальной симметрии. Кроме того, в некоторых случаях удается построить вязкие непрерывные решения с более общим оператором в главной части.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Терсенов Арис Саввич, 2020 год

Литература

[1] Ю. А. Алхутов. Неравенство Харнака и гёльдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста // Диф-ференц. уравнения (1997), Т. 33 (12), с. 1651-1660.

[2] Ю.А. Алхутов, С.Н. Антонцев, В.В. Жиков. Параболические уравнения с переменным порядком нелинейности // Зб1рник Праць 1нст. математики НАН Украши. 2008, Т. 1 (3), с. 1-29 (Англ. перев.: Alkhutov Yu.A., Antontsev S.N., Zhikov V.V. Parabolic equations with variable order of nonlinearity // Zb. Prats' Inst. Mat. NAN Ukr. 2009, V.6, pp. 23-50.

[3] Ю.А. Алхутов, В.В. Жиков. Теоремы существования и единственности решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Матем. сб. (2014), Т. 205 (3), с. 3-14.

[4] Ю.А. Алхутов, В.В. Жиков. Теоремы существования решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Тр. МИАН (2010), Т. 270, с. 21-32.

[5] Ю.А. Алхутов, В.В. Жиков. Гельдеровская непрерывность решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Тр. сем. им. И.Г. Петровского (2011), Т. 28, с. 8-74.

[6] Ю.А. Алхутов, О.В. Крашенинникова. Непрерывность в граничных точках решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартными условиями роста // Изв. РАН. Сер. матем. (2004), Т. 68 (6), с. 3-60.

[7] Ю.А. Алхутов, О.В. Крашенинникова. О непрерывности решений эллиптических уравнений с переменным порядком нелинейности // Тр. МИАН (2008), Т. 261, с. 7-15.

[8] Ю.А. Алхутов, М.Д. Сурначев. Поведение в граничной точке решений задачи Дирихле для p(ж)-лапласиана // Алгебра и анализ (2019), Т. 31 (2), с. 88-117.

[9] С.Н. Антонцев, С.И. Шмарев. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением // Сиб. матем. журн. (2005), Т. 46 (5), с. 963-984.

[10] С.Н. Бернштейн. Собрание сочинений. Том III: Дифференциальные уравнения, вариационное исчисление и геометрия (1903—1947 гг. ). - М.: АН СССР, 1960.

[11] М.И. Вишик. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков // Матем. сб. (1962), Т. 59 (доп.), с. 289-325.

[12] Д. Гилбарг, Н. Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989.

[13] С.П. Дегтярев, А.Ф. Тедеев. L1 - оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. (2007), Т. 198 (5), с. 45—66.

[14] В.В. Жиков. О вариационных задачах и нелинейных эллиптических уравнениях с нестандартными условиями роста // Проблемы матем. анализа (2011), Т. 54, с. 23-112. Англ. перев.: Zhikov V.V. On variational problems and nonlinear elliptic equations with nonstandard growth conditions //J. Math. Sci. (2011), V. 173 (5), p. 463-570.

[15] В.В. Жиков, С.Е. Пастухова. Усреднение монотонных операторов с условиями коэрцитивности и роста переменного порядка // Матем. заметки (2011), Т. 90 (1), с. 53-69.

[16] В.В. Жиков, С.Е. Пастухова. О свойстве повышенной суммируемости для параболических систем переменного порядка нелинейности // Матем. заметки (2010), Т. 87 (2), с. 179-200.

[17] В.В. Жиков, С.Е. Пастухова. О повышенной суммируемости градиента решений эллиптических уравнений с переменным показателем нелинейности // Матем. сб. (2008), Т. 199 (12), с. 19-52.

[18] В.В. Жиков, М.Д. Сурначев. О плотности гладких функций в весовых соболевских пространствах с переменным показателем // Алгебра и анализ (2015), Т.27 (3), с. 95-124.

[19] Я.Ш. Ильясов. Об одном необходимом условии существования положительных решений для класса уравнений с р-Лапласом // Матем. заметки (1999), Т. 66 (2), с. 312-314.

[20] В.Л. Камынин. Априорные оценки для решений квазилинейных параболических уравнений на плоскости и их применения // Дифференц. уравнения (1983), Т. 19 (5), с. 818-828.

[21] А.А. Коньков. Об отсутствии глобальных решений у радиального уравнения р-Лапласа // УМН (2008), Т. 63 (1), с. 161-162.

[22] С.Н. Кружков. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Тр. семинара им. И. Г. Петровского (1979), Т. 5, с. 217-272.

[23] С.Н. Кружков. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. ММО (1967), Т. 16, с. 329-346.

[24] О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Наука, М., 1967.

[25] О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многими независимыми переменными // УМН (1961), Т. 16, в. 1 (97), с. 17-91.

[26] С.Е. Пастухова, Д.А. Якубович. О галеркинских приближениях в задаче Дирихле с р(х)-лапласианом // Матем. сб. (2019), Т. 210 (1), с. 155-174.

[27] С.И. Похожаев. О собственных функциях уравнения Дм + А/(м) = 0 // Докл. АН СССР (1965), Т. 165 (1), с. 36-39.

[28] С.И. Похожаев. О собственных функциях квазилинейных эллиптических задач // Матем. сб. (1970), 82(124):2(6), 192-212.

[29] А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов, А.П. Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

[30] А.С. Терсенов. Задача Дирихле для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений // Матем. заметки (2004), Т. 76 (4), с. 592-603.

[31] Ар.С. Терсенов. О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Сиб. матем. журн. (1999), Т. 40 (5), с. 1147-1156.

[32] С. А. Терсенов. О корректности краевых задач для одного уравнения ультрапараболического типа // Сиб. матем. журн. (1999), Т. 40 (6), с. 13641376.

[33] Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

[34] E. Acerbi, G. Mingione. Regularity results for electrorheological fluids: the stationary case // C. R. Math. Acad. Sci. Paris (2002), V. 334, pp. 817-822.

[35] E. Acerbi, G. Mingione. Regularity results for stationary electro-rheological fluids // Arch. Ration. Mech. Anal. (2002), V. 164, pp. 213-259.

[36] G. Akagi, K. Matsuura. Well-posedness and large-time behaviors of solutions for a parabolic equation involving p(x)-Laplacian // Discrete Contin. Dyn. Syst. (2011) (Special), pp. 22-31.

[37] G. Akagi, K. Matsuura. Nonlinear diffusion equations driven by the p(-)-Laplacian // NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2013), V. 20, pp. 37-64.

[38] A. Alberico, A. Cianchi. Comparison estimates in anisotropic variational problems // Manuscripta Math. (2008), V. 126 (4), pp. 481-503.

[39] C.O. Alves, A. El Hamidi. Existence of solution for an anisotropic equation with critical exponent // Differ. Integral Equ. (2008), V. 21 (1), pp. 25-40.

[40] S. Antontsev, M. Chipot. Anisotropic equations: uniqueness and existence results // Differ. Integral Equ. (2008), V. 21 (5-6), p. 401-419.

[41] S. Antontsev, M. Chipot, Y. Xie. Uniqueness results for equations of the p(x)-Laplacian type // Adv. Math. Sci. Appl. (2007), V. 17, pp. 287-304.

[42] S. Antontsev, J.I. Diaz, S. Shmarev. Energy methods for free boundary problems: Applications to nonlinear PDEs and fluid mechanics // Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, V. 48, Birkhauser Boston Inc., Boston, 2002.

[43] S. Antontsev, S. Shmarev. Evolution PDEs with Nonstandard Growth Conditions: Existence, Uniqueness, Localization, Blow-up. Atlantis Studies in Differential Equations, V.4, Atlantis Press, 2015.

[44] S. Antontsev, S. Shmarev. Energy solutions of evolution equations with nonstandard growth conditions // Monografías de la Real Academia de Ciencias de Zaragoza (2012), V. 38, pp. 85-111.

[45] S. Antontsev, S. Shmarev. Anisotropic parabolic equations with variable nonlinearity // Publ. Mat. (2009), V. 53 (2), p. 355-399.

[46] S. Antontsev, S. Shmarev. Localization of solutions of anisotropic parabolic equations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2009), V.71 (12), p. 725-737.

[47] S.N. Antontsev, S.I. Shmarev. Extinction of solutions of parabolic equations with variable anisotropic nonlinearities // Tp. MHAH (2008), T. 261, c. 16-25.

[48] S. Antontsev, S. Shmarev. Elliptic equations and systems with nonstandard growth conditions: Existence uniqueness and localization properties of solutions// Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2006), V. 65 (4), p. 728761.

[49] S. Antontsev, S. Shmarev. Elliptic equations with anisotropic nonlinearity and nonstandard growth conditions. Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations (2006), V. 3, pp. 1-100.

[50] S. Antontsev, S. Shmarev. On the blow-up of solutions to anisotropic parabolic equations with variable nonlinearity // Proc. Steklov Inst. Math. (2010), V. 270, pp. 27-42.

[51] S. Antontsev, S. Shmarev. Blow-up of solutions to parabolic equations with nonstandard growth conditions //J. Comp. Appl. Math. (2010), V. 234, pp. 2633-2645.

[52] S. Antontsev, V. Zhikov. Higher integrability for parabolic equations of p(x,t)-Laplacian type // Adv. Differ. Equ. (2005), V. 10, pp. 1053-1080.

[53] C. Azizieh, P. Clement. A priori estimates and continuation methods for positive solutions of p-Laplace equations //J. Differ. Equ. (2002), V. 179, pp. 213-245.

[54] M. Bardi, F. Da Lio. Propagation of maxima and strong maximum principle for viscosity solutions of degenerate elliptic equations. II. Concave operators // Indiana Univ. Math. J. (2003), V. 52, pp. 607-627.

[55] G. Barles. A weak Bernstein method for fully nonlinear elliptic equations // Differ. Integral Equ. (1991), V.4 (2), pp. 241-262.

[56] M. Belloni, B. Kawohl. The pseudo-p-Laplace eigenvalue problem and viscosity solutions as p ^ œ // ESAIM: Control Optim. Calc. Variations (2004), V. 10, pp. 28-52.

[57] M. Bendahmane, K.H. Karlsen. Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations in with advection and lower order terms and locally integrable data // Potential Anal. (2005), V. 22, pp. 207-227.

[58] M. Bendahmane, K.H. Karlsen, M. Saad. Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equations with variable exponents and L1 data // Commun. Pure Appl. Anal. (2013), V. 12, pp. 1201-1220.

[59] J. Benedict, P. Drabek. Asymptotics for the principal eigenvalue of the p-Laplacian on the ball as p approaches 1 // Nonlinear. Anal., Theory Methods Appl. (2013), V. 93, pp. 23-29.

[60] I. Birindelli, F. Demengel. Existence and regularity results for fully nonlinear operators on the model of the pseudo Pucci's operators //J. Elliptic Parabolic Eq. (2017), V. 2 (1-2), pp. 171-187.

[61] M. Bokalo. Almost periodic solutions of anisotropic elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity // Electron. J. Differ. Equ. (2014), No. 169, pp. 13.

[62] M.M. Bokalo, O.M. Buhrii, R.A. Mashiyev. Unique solvability of initial-boundary value problems for anisotropic elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity //J. Nonlinear Evol. Equ. Appl. (2013), pp. 67-87.

[63] M.-M. Boureanu. Infinitely many solutions for a class of degenerate anisotropic elliptic problems with variable exponent // Taiwanese J. Math. (2011), V. 15, pp. 2291-2310.

[64] M.-M. Boureanu, F. Preda. Infinitely many solutions for elliptic problems with variable exponent and nonlinear boundary conditions // NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2012), V. 19, pp. 235-251.

[65] M.-M. Boureanu, P. Pucci, V. D. Radulescu. Multiplicity of solutions for a class of anisotropic elliptic equations with variable exponent // Complex Var. Elliptic Equ. (2011), V. 56, pp. 755-767.

[66] F.E. Browder. Variational boundary value problems for quasi-linear elliptic equations of arbitrary order // Proc. Natl. Acad. Sci. USA (1963), V. 50, pp. 31-37, 592-598, 794-798.

[67] F.E. Browder. Non-linear elliptic boundary value problems // Bull. Amer. Math. Soc. (1963), V. 69 (6), pp. 862-874.

[68] V. Bogelein, F. Duzaar, P. Marcellini. Parabolic equations with p, q-growth // J. Math. Pures Appl. (2013), V. 100 (4), pp. 535-563.

[69] X. Cabre, A. Capella, M. Sanchon. Regularity of radial minimizers of reaction equations involving the p-Laplacian // Calc. Var. Partial Differ. Equ. (2009), V. 34 (4), pp. 475-494.

[70] L. Caffarelli, M. Crandall, M. Kocan, A. Swiech. On viscosity solutions of fully nonlinear equations with measurable ingredients // Comm. Pure Appl. Math. (1996), V.49 (4), pp. 365-397.

[71] Y. Cai, S. Zhou. Existence and uniqueness of weak solutions for a non-uniformly parabolic equation //J. Funct. Anal. (2009), V. 257 (10), pp. 30213042.

[72] A. Castro, A. Lazer. Infinitely many radially-symmetric solutions to a superlinear Dirichlet problem in a ball // Proc. Amer. Math. Soc. (1987), V. 101 (1), pp. 57-64.

[73] T. Champion, L. De Pascale. Asymptotic behaviour of nonlinear eigenvalue problems involving p-laplacian-type operators // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2007), V. 137 (6), pp. 1179-1195.

[74] A. Cianchi. Symmetrization in anisotropic elliptic problems // Comm. Partial Differ. Equ. (2007), V. 32 (4-6), pp. 693-717.

[75] P. Cianci, A.V. Martynenko, A.F. Tedeev. The blow-up phenomenon for degenerate parabolic equations with variable coefficients and nonlinear source // Nonlinear Anal. (2010), V. 73, pp. 2310-2323.

[76] M. Clapp, M. del Pino, M. Musso. Multiple solutions for a non-homogeneous elliptic equation at the critical exponent // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2004), V. 134 (1), pp. 69-87.

[77] M.G. Crandall. Quadratic forms, semidifferentials and viscosity solutions of fully nonlinear elliptic equations // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire (1989), V. 6, pp. 419-435.

[78] M. Crandall, M. Kocan, P.L. Lions, A. Swiech. Existence results for uniformly elliptic and parabolic fully nonlinear equations // Electronic J. Differ. Equ. (1999), No. 24, pp. 1-20.

[79] M.G. Crandall, P.L. Lions. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. (1983), V. 277, pp. 1-42.

[80] M.G. Crandall, H. Ishii. The maximum principle for semicontinuous functions // Differ. Integral Equ. (1990), V. 3, pp. 1001-1014.

[81] M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. (1992), V. 27, pp. 1-67.

[82] Q. Dai, L. Peng. Necessary and sufficient conditions for existence of nonnegative solutions of inhomogenuous p-laplace equation // Acta Math. Scientia 2007, V. 27B (1), pp. 34-56.

[83] Q. Dai, J. Yang. Positive solutions of inhomogeneous elliptic equations with indefinite data // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2004), V. 58 (5-6), pp. 571-589.

[84] A. Dall'Aglio, D. Giachetti, S. Segura de Leon. Global existence for parabolic problems involving the p-Laplacian and a critical gradient term // Indiana Univ. Math. J. (2009), V. 58 (1), pp. 1-48.

[85] L. D'Ambrosio. Liouville theorems for anisotropic quasilinear inequalities // Nonlinear Anal. (2009), V. 70, pp. 2855-2869.

[86] M. Del Pino, P. Drabek, R. Manasevich. The Fredholm alternative at the first eigenvalue for the one-dimensional p-Laplacian //J. Differ. Equ. (1999), V. 151, pp. 386-419.

[87] F. Demengel. Lipschitz interior regularity for the viscosity and weak solutions of the pseudo p-Laplacian equation // Adv. Differ. Equ. (2016), V. 21 (3/4), pp. 373-400.

[88] E. DiBenedetto. Degenerate Parabolic Equations. Springer-Verlag, Series Universitext, New York, 1993.

[89] E. DiBenedetto, U. Gianazza, V. Vespri. Harnack inequality for degenerate and singular parabolic equations. Springer Monographs, 2011.

[90] A. Di Castro, E. Montefusco. Nonlinear eigenvalues for anisotropic quasilinear degenerate elliptic equations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2009), V. 70 (11), pp. 4093-4105.

[91] L. Diening, P. Nogele, M. Rûzicka. Monotone operator theory for unsteady problems in variable exponent spaces // Complex Var. Elliptic Equ. (2012), V. 57, pp. 1209-1231.

[92] P. Drabek, P. Girg, R. Manasevich. Generic Fredholm alternative for the one dimensional p-Laplacian // NODEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2001), V. 8, pp. 285-298.

[93] P. Drabek, P. Girg, P. Takac, M. Ulm. The Fredholm Alternative for the p-Laplacian: Bifurcation from Infinity, Existence and Multiplicity // Indiana Univ. Math. J. (2004), Vol. 53, No. 2, pp. 433-482.

[94] P. Drabek, G. Holubova. Fredholm alternative for the p-Laplacian in higher dimensions // J. Math. An. Appl. (2001), V.263, pp. 182-194.

[95] A. ElHamidi, J.M. Rakotoson. Extremal functions for the anisotropic Sobolev inequalities // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire (2007), V. 24 (5), pp. 741-756.

[96] A. El Hamidi, J. Vetois. Sharp Sobolev asymptotics for critical anisotropic equations // Arch. Rational Mech. Anal. (2009), V. 192, pp. 1-36.

[97] A. El Hashimi, F. de Thelin. Infinitely many radially-symmetric solutions for a quasilinear elliptic problem in a ball //J. Differ. Equ. (1996), V. 128, pp. 78-102.

[98] C.L. Evans. A new proof of local C1+a regularity for solutions of certain degenerate elliptic P.D.E. //J. Differ. Equ. (1982), V. 45, pp. 356-373.

[99] X. Fan. Positive solutions to p(x)-Laplacian-Dirichlet problems with sign-changing nonlinearities // Math. Nachr. (2011), V. 284 (11-12), pp. 1435-1445.

[100] D.G. Figueiredo, J. Sanchez, P. Ubilla. Quasilinear equations with dependence on the gradient // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2009), V. 71, pp. 4862-4868.

[101] I. Fragala, F. Gazzola, B. Kawohl. Existence and nonexistence results for anisotropic quasilinear elliptic equations // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire (2004), V.21 (5), pp. 715-734.

[102] I. Fragala, F. Gazzola, G. Lieberman. Regularity and nonexistence results for anisotropic quasilinear elliptic equations in convex domains // Discrete and Contin. Dyn. Syst. (2005), suppl. vol., pp. 280-286.

[103] M. Franca. Radial ground states and singular ground states for a spatial-dependent p-Laplace equation //J. Differ. Equ. (2010), V.218, pp. 2629-2656.

[104] B. Franchi, E. Lanconelli, J. Serrin. Existence and uniqueness of nonnegative solutions of quasilinear equations in Rn // Adv. in Math. (1996), V. 118, pp. 177-243.

[105] Y. Fu, N. Pan. Existence of solutions for nonlinear parabolic problem with p(x)-growth // J. Math. Anal. Appl. (2010), V.362, pp. 313-326.

[106] H. Fujita. On the nonlinear equations Au + eu = 0 and dv/dt = Av + ev // Bull. Amer. Math. Soc. (1969), V. 75, pp. 132-135.

[107] V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations // Discrete Contin. Dyn. Syst. (2002), V. 8, pp. 399-433. Current developments in partial differential equations (Temuco, 1999).

[108] V. A. Galaktionov, J. L. Vázquez. A stability technique for evolution partial differential equation: A dynamycal systems approach // Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 56, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2004.

[109] W. Gao, B. Guo. Existence and localization of weak solutions of nonlinear parabolic equations with variable exponent of nonlinearity // Ann. Mat. Pura Appl. (2012), V. 191 (4), pp. 551-562.

[110] Y. Gao, W. Gao. Extinction and asymptotic behavior of solutions for nonlinear parabolic equations with variable exponent of nonlinearity // Bound. Value Probl. (2013), 2013:164, pp. 10.

[111] M. Garcia-Huidobro, A.H. Duvan. On the uniqueness of positive solutions of a quasilinear equation containing a weighted p-Laplacian, the superlinear case // Comm. Contemp. Math. (2008), V. 10 (3), pp. 405-432.

[112] J. Garcia Azorero, I. Peral Alonso. Existence and nonuniqueness for the p-Laplacian: nonlinear eigenvalues // Commun. PDEs (1987), V. 12, pp. 13891430.

[113] J. Garcia-Azorero, I. Peral, J.P. Puel. Quasilinear problems with exponential growth in the reaction term // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (1994), V. 22, pp. 481-498.

[114] M. Garcia-Huidobro, R. Manasevich, K. Schmitt. Positive radial solutions of quasilinear elliptic partial differential equations on a ball // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (1999), V. 35, pp. 175-190.

[115] J. Garcia-Melian, J.D. Rossi, J. Sabina de Lis. Large solutions to an anisotropic quasilinear elliptic problem // Ann. Matem. Pura Appl. 2010, V.189 (4), pp. 689-712.

[116] F. Gazzola, J. Serrin, M. Tang. Existence of ground states and free boundary problem for quasilinear elliptic operators // Adv. Differ. Equ. (2000), V.5, pp. 1-30.

[117] B.H. Gilding. H0lder continuity of solutions of parabolic equations //J. London Math. Soc. (1976), V. 13 (1), pp. 103-106.

[118] M. Guedda, L. Veron. Quasilinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (1989), V. 13 (8), pp. 879-902.

[119] B. Guo, W. Gao. Study of weak solutions for parabolic equations with nonstandard growth conditions //J. Math. Anal. Appl. (2011), V. 374, pp. 374-384.

[120] B. Guo, W. Gao. Existence and asymptotic behavior of solutions for nonlinear parabolic equations with variable exponent of nonlinearity // Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed. (2012), V. 32, pp. 1053-1062.

[121] D.D. Hai. Positive solutions to a class of elliptic boundary value problems // J. Math. Anal. Appl. (1998), V. 227, pp. 195-199.

[122] D.D. Hai, X. Xu. On a class of quasilinear problems with sign-changing nonlinearities // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2006), V. 64, pp. 1977-1983.

[123] Y.X. Huang. Existence of positive solutions for a class of the p-Laplace equations //J. Austral. Math. Soc. Ser. B. (1994), V. 36, pp. 249-264.

[124] H. Ishii. On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDE's // Comm. Pure Appl. Math. (1989), V.42, pp. 14-45.

[125] H. Ishii, P.L. Lions. Viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic partial differential equations //J. Differ. Equ. (1990), V. 83, pp. 26-78.

[126] H. Ishii, P. Loreti. Limits of solutions of p-Laplace equations as p goes to infinity and related problems // SIAM J. Math. Anal. (2005), V. 37 (2), pp. 411-437.

[127] H. Ishii, P. Souganidis. Generalized motion of noncompact hypersurfaces with velocity having arbitrary growth on the curvature tensor // Tohoku Math. J. (1995), V. 47, pp. 227-250.

[128] L. Iturriaga, S. Lorca, J. Sanchez. Existence and multiplicity results for the p-Laplacian with a p-gradient term // NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2008), V. 15, pp. 729-743.

[129] R. Jensen. The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second-order partial differential equations // Arch. Rat. Mech. Anal. (1988), V. 101, pp. 1-27.

[130] R. Jensen. Uniqueness criteria for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations // Indiana Univ. Math. J. (1989), V.38, pp. 629687.

[131] R. Jensen, P.L. Lions, P.E. Souganidis. A uniqueness result for viscosity solutions of second-order fully nonlinear partial differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. (1988), V. 102, pp. 975-978.

[132] R. Jensen, M. Kocan, A. Swiech. Good and viscosity solutions of fully nonlinear elliptic equations // Proc. Amer. math. Soc. (2001), V. 130 (2), pp. 533-542.

[133] P. Juutinen. On the definition of viscosity solutions for parabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc. (2001), V. 129 (10), pp. 2907-2911. pp. 975-978.

[134] P. Juutinen, P. Lindqvist, J.J. Manfredi. On the equivalence of the viscosity solutions and weak solutions for a quasilinear equation // SIAM J. Math. Anal. (2001), V. 33 (3), pp. 699-717.

[135] V.L. Kamynin. A priori estimates and global solvability of quasilinear parabolic equations // Moscow Univ. Math. Bull. (1981), V. 36 (1), pp. 38-43.

[136] B. Kawohl, N. Kutev. Strong maximum principle for semicontinuous viscosity solutions of nonlinear partial differential equations // Arch. Math. (1998), V. 70, pp. 470-478.

[137] B. Kawohl, N. Kutev. Viscosity solutions for degenerate and nonmonotone elliptic equations // in: Applied Nonlinear Analysis, Eds. A.Sequeira et al., Kluwer/Plenum, New York, (1999), pp. 231-254.

[138] B. Kawohl, N. Kutev. Comparison principle for viscosity solutions of fully nonlinear degenerate elliptic equations // Comm. Part. Differ. Equ. (2007), V. 32, pp. 1209-1224.

[139] B. Kawohl, N. Kutev. Comparison principle and Lipschitz regularity for viscosity solutions of some classes of nonlinear partial differential equations // Funkcialaj Ekvac. (2000), V. 43, pp. 241-253.

[140] A.A. Kon'kov. On global solutions of the radial p-Laplace equation // Nonlinear Anal. (2009), V. 70, pp. 3437-3451.

[141] A.A. Kon'kov. Comparison theorems for elliptic inequalities with a non-linearity in the principal part //J. Math. Anal. Appl. (2007), V. 325, pp. 1013-1041.

[142] P. Korman. Regularization of radial solutions of p-Laplace equations, and computations using infinite series // Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. (2015), No. 40, pp. 1-8.

[143] J. Leray, J.L. Lions. Quelques resultats de Vishik sur les problemes elliptiques non lineaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France (1965), V. 93, pp. 97-107.

[144] H. Levine, L. Payne. Nonexistence of global weak solutions for classes of nonlinear wave and parabolic equations //J. Math. Anal. Appl. (1976), V. 55 (2), pp. 329-334.

[145] J.L. Lewis. Smoothness of certain degenerate elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. (1980), V. 80, pp. 201-224.

[146] J.L. Lewis. Regularity of the derivatives of solutions to certain degenerate elliptic equations // Indiana Univ. Math. J. (1983), V. 32 (6), pp. 849-858.

[147] F. Li, B. Liu. Asymptotic analysis for blow-up solutions in parabolic equations involving variable exponents // Appl. Anal. (2013), V.92, pp. 651-64.

[148] J.J. Li. Local behaviour of solutions of anisotropic elliptic equations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (1999), V. 35 (5), pp. 617-628.

[149] J. Li, J. Yin, Y. Ke. Existence of positive solutions for the p-Laplacian with p-gradient term //J. Math. Anal. Appl. (2011), V. 383, pp. 147-158.

[150] S. Lian, W. Gao, H. Yuan, C. Cao. Existence of solutions to an initial Dirichlet problem of evolutional p(x)-Laplace equations // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire (2012), V. 29, pp. 377-399.

[151] Y. Li, C. Xie. Blow-up for p-Laplacian parabolic equations // Electron. J. Differ. Equ. (2003), No. 20, pp. 1-12.

[152] Z. Liang. The role of the space dimension on the blow-up for a reaction-diffusion equation // Appl. Math. (2011), V. 2 (5), pp. 575-578.

[153] G.M. Lieberman. Second Order Parabolic Equations, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996.

[154] G.M. Lieberman. Gradient estimates for anisotropic elliptic equations // Adv. Differ. Equ. (2005), V.10 (7), pp. 767-812.

[155] P. Lindqvist. On the equation div(|Vu|p 2Vu) + A|u|p 2u = 0 // Research Reports, vol. A 263, Helsinki Univ. Tech. Inst. Math., Helsinki (1988).

[156] J.L. Lions. Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969.

[157] P.L. Lions. Optimal control of diffusion processes and Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Part II Viscosity solutions and uniqueness // Comm. Partial Differ. Equ. (1983), V. 8, pp. 1229-1276.

[158] V. Liscevich, I. Scripnik. Holder continuity of solutions to an anisotropic elliptic equation // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2009), V. 71, pp. 16991708.

[159] B. Liu, F. Li. Blowup solutions and their blowup rates for parabolic equations with nonstandard growth conditions // Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. (2011), No. 77, pp. 1-11.

[160] B. Liu, F. Li. Non-simultaneous blowup in heat equations with nonstandard growth conditions //J. Differ. Equ. (2012), V. 252, pp. 4481-4502.

[161] C. Liu, J. Gao, S. Lian. Existence of solutions for the evolution p(x)-Laplacian equation not in divergence form //J. Appl. Math. (2012), Art. ID 835495, pp. 1-21.

[162] S. Liu. On superlinear problems without the Ambrozetti and Rabinowitz condition // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2010), V. 73, pp. 788795.

[163] A. Matei. First eigenvalue for the p-Laplace operator // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2000), V. 39, pp. 1051-1068.

[164] M. Mihailescu, P. Pucci, V. Radulescu. Eigenvalue problems for anisotropic quasilinear elliptic equations with variable exponent //J. Math. Anal. Appl. (2008), V. 340, pp. 687-698.

[165] M. Mihailescu, G. Morosanu, V. Radulescu. Eigenvalue problems for anisotropic elliptic equations: An Orlicz-Sobolev space setting // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2010), V. 73, pp. 3239-3253.

[166] M. Mihailescu, G. Morosanu. Eigenvalue problem for anisotropic quasilinear elliptic equation involving variable exponents // Glazgo Math. J. (2010), V. 52, pp. 517-527.

[167] G.J. Minty. Monotone (non linear) operators in Hilbert Space // Duke Math. J. (1962), V. 29, pp. 341-346.

[168] G.J. Minty. On a "monotonicity" method for the solutions of non linear equations in Banach spaces // Proc. Natl. Acad. Sci. USA (1963), V. 50, pp. 1038-1041.

[169] M. Montenegro, M. Montenegro. Existence and nonexistence of solutions for quasilinear elliptic equations //J. Math. Anal. Appl. (2000), V. 245, pp. 303316.

[170] M. Nakao, C. Chen. Global existence and gradient estimates for the quasilinear parabolic equations of m-Laplacian type with a nonlinear convection term // J. Differ. Equ. (2000), V. 162, pp. 224-250.

[171] M. Ohnuma, K. Sato. Singular degenerate parabolic equations with applications to the p-Laplace diffusion equation // Comm. Part. Differ. Equ. (1997), V. 22 (3,4), pp. 381-411.

[172] J. Pinasco. On the asymptotic behavior of eigenvalues of the radial p-laplacian // Manuscripta math. (2005), V. 117, pp. 363-371.

[173] M.M. Porzio. ¿^-regularity for degenerate and singular anisotropic parabolic equations // Boll. Un. Mat. Ital. A (7) (1997), V. 11 (3), pp. 697-707.

[174] P. Pucci, J. Serrin. Uniqueness of ground states for quasilinear elliptic operators // Indiana Univ. Math. J. (1998), V. 47, p. 501-528.

[175] D. Ruiz. A priori estimates and existence of positive solutions for strongly nonlinear problems //J. Differ. Equ. (2004), V. 199, pp. 96-114.

[176] M. Sanchon. Regularity of the extremal solution of some nonlinear elliptic problems involving the p-Laplacian // Potential Anal. (2007), V. 27, pp. 217224.

[177] J. Serrin. Local behavior of solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math. (1964), V. 111, pp. 247-302.

[178] J. Simon. Compact sets in the space Lp(0,T; B) // Ann. Mat. Pura Appl. (1986), V. 146 (1), pp. 65-96.

[179] I.I. Skrypnik. Removability of isolated singularity for anisotropic parabolic equations with absorption // Manuscripta Math. (2013), V. 140 (1-2), pp. 145-178.

[180] V.N. Starovoitov, Al.S. Tersenov. Singular and degenerate anisotropic parabolic equations with a nonlinear source // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2010), V. 72 (6), pp. 3009-3027.

[181] G. Tarantello. On nonhomogeneous elliptic equations involving critical Sobolev exponent // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire (1992), V. 9 (3), pp. 281-304.

[182] Al. S. Tersenov. On quasilinear non-uniformly parabolic equations in general form // J. Differ. Equ. (1998), V. 142, pp. 263-276.

[183] Al.S. Tersenov. The preventive effect of the convection and of the diffusion in the blow-up phenomenon for parabolic equations // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire (2004), V. 21 (4), pp. 533-541.

[184] Al.S. Tersenov. Space dimension can prevent the blow-up of solutions for parabolic problems // Electron. J. Differ. Equ. (2007), No. 165, pp. 1-6.

[185] Al.S. Tersenov. On the generalized Burgers equation // NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2010), V. 17, pp. 437-452.

[186] Al.S. Tersenov. On the global solvability of the Cauchy problem for a quasilinear ultraparabolic equation // Asymptot. Anal. (2013), V. 82, pp. 295314.

[187] Al.S. Tersenov. The one-dimensional parabolic p(x)-Laplace equation // NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. (2016), V. 23 (3), Art 27, pp. 1-11.

[188] Ar.S. Tersenov. A remark on the global solvability of the Cauchy problem for quasilinear parabolic equations //J. Math. Anal. Appl. (2001), V. 260, pp. 46-54.

[189] N.S. Trudinger. Holder gradient estimates for fully nonlinear elliptic equations // Proc. Roy. Soc. Edin. Section A (1988), V. 108, pp. 57-65.

[190] N.S. Trudinger. On regularity and existence of viscosity solutions of nonlinear second order elliptic equations // Partial differential equations and the calculus of variations, V. II, pp. 939-957, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 2, Birkhhauser Boston, Boston, MA, 1989.

[191] M. Tsutsumi. Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear parabolic equations // Publ. Res. Inst. Math. Sci. (1972), V. 8, pp. 211-229.

[192] K. Ulenbeck. Regularity for a class of nonlinear elliptic systems // Acta Math. (1977), V. 138, pp. 219-240.

[193] J. Vetois. Strong maximum principles for anisotropic elliptic and parabolic equations // Adv. Nonlinear Stud. (2012), V. 12 (1), pp. 101-114.

[194] J. Vetois. Asymptotic stability convexity and Lipschitz regularity of domains in the anisotropic regime // Commun. Contemp. Math. (2010), V. 12 (1), pp. 35-53.

[195] J. Vetois. A priori estimates for solutions of anisotropic elliptic equation // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2009), V. 71, pp. 3881-3905.

[196] J. Vetois. The blow-up of critical anisotropic equations with critical directions // Nonl. Differ. Equ. Appl. (2011), V. 18 (2), pp. 173-197.

[197] L. Wang. On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations I // Comm. Pure. Appl. Math. (1992), V. 45, pp. 27-76.

[198] L. Wang. On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations II // Comm. Pure Appl. Math. (1992), V. 45, pp. 78-141.

[199] X.J. Wang, Y.B. Deng. Existence of multiple solutions to nonlinear elliptic equations of nondivergence form //J. Math. Anal. Appl. (1995), V. 189, pp. 617-630.

[200] C. Yazhe. C1'" regularity of viscosity solutions of fully nonlinear elliptic PDE's under natural structure conditions //J. Partial Differ. Equ. (1993), V. 6 (3), pp. 193-216.

[201] J. Zhao. Existence and nonexistence of solutions for = div(|Vu|p-2Vu) + f (Vu,u,x,t) // J. Math. Anal. Appl. (1993), V. 172 (1), pp. 130-146.

[202] Z. Zhang, Z. Li. A universal bound for radial solutions of the quasilinear parabolic equation with p-Laplace operator //J. Math. Anal. Appl. (2012), V. 385, pp. 125-134.

[203] N. Zhu. C1'" regularity of viscosity solutions for fully nonlinear nonlinear parabolic equations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (1999), V. 38, pp. 977-994.

[204] H.H. Zou. A priori estimates and existence for quasi-linear elliptic equations // Calc. Var. Partial Differ. Equ. (2008), V. 33, pp. 417-437.

Работы автора по теме диссертации

[205] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. Global solvability for a class of quasilinear parabolic equations // Indiana Univ. Math. J. (2001), V. 50 (4), pp. 18991913.

[206] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. On the Cauchy problem for a class of quasilinear parabolic equations // Ann. Mat. Pura Appl. (2003), V. 182 (3), pp. 325-336.

[207] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. On the Bernstein-Nagumo's condition in the theory of nonlinear parabolic equations //J. Reine Angew. Math. (2004), V. 572, pp. 197-217.

[208] Ar.S. Tersenov. A remark on the existence of viscosity solutions for quasilinear elliptic equations // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2006), V. 65, pp. 230-241.

[209] Ar.S. Tersenov. On sufficient conditions for nonexistence of interior blow-up phenomena for fully nonlinear parabolic equations // Electron. J. Differ. Equ. (2007), No. 57, pp. 1-12.

[210] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. The problem of Dirichlet for anisotropic quasilinear degenerate elliptic equations //J. Differ. Equ. (2007), V. 235 (2), pp. 376-396.

[211] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. Viscosity solutions of p-Laplace equation with nonlinear source // Arch. Math. (2007), V. 88, pp. 259-268.

[212] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. The problem of Dirichlet for evolution one-dimensional p-laplacian with nonlinear source //J. Math. Anal. Appl. (2008), V. 340, pp. 1109-1119.

[213] Ar.S. Tersenov. Viscosity subsolutions and supersolutions for non-uniformly and degenerate elliptic equations // Arch. Mathematicum (2009), V. 45 (1), pp. 19-35.

[214] Ар.С. Терсенов. Новые априорные оценки решений анизотропных эллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. (2012), Т. 53 (3), с. 672-686.

[215] Ar.S. Tersenov. On existence of radially symmetric solutions for p-Laplace equation // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. (2014), V. 95, pp. 539551.

[216] Ар.С. Терсенов. О существовании неотрицательных решений задачи Дирихле для уравнения p-лапласиана при наличии внешних массовых сил // Сиб. журн. индустр. матем. (2016), Т. 19 (1), с. 82-93.

[217] А.С. Терсенов. О влиянии градиентных членов на существование решения задачи Дирихле для уравнения p-лапласиана // Сиб. журн. чистой и прикл. матем. (2016), Т 1, с. 130-142.

[218] Ар.С. Терсенов. О существовании радиально-симметричных решений задачи Дирихле для неоднородного уравнения p-лапласиана // Сиб. мат. журн. 2016, Т. 57 (5), с. 1171-1183.

[219] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. Existence of Lipschitz continuous solutions to the Cauchy-Dirichlet problem for anisotropic parabolic equations //J. Funct. Anal. (2017), V. 272 (10), pp. 3965-3986.

[220] Ар.С. Терсенов. Радиально-симметричные решения уравнения p-лапласиана при наличии градиентного члена // Сиб. журн. индустр. матем. (2018), Т. 21 (4), с. 121-136.

[221] Al.S. Tersenov, Ar.S. Tersenov. Existence results for anisotropic quasilinear parabolic equations with time-dependent exponents and gradient term //J. Math. Anal. Appl. (2019), V. 480 (1), Art. 123386., pp. 18.

[222] Терсенов Ал.С., Терсенов Ар.С. О квазилинейных параболических уравнениях с переменным показателем анизотропности // Сиб. мат. журн. (2020), Т. 61 (1), с. 201-223.