Качественные свойства решений псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Кожевникова, Лариса Михайловна

• Кожевникова, Лариса Михайловна
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кожевникова, Лариса Михайловна

Введение

1. Л - последовательности и их свойства

1.1. Неравенства.

1.2. Л - последовательности.

1.3. П - последовательности.

2. Задача Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений

2.1. Существование и единственность решения с суммируемыми данными.

2.2. Существование и единственность решения с локально суммируемыми данными.

2.2.1. Теоремы единственности.

2.2.2. Примеры неединственности решений для уравнения Лапласа.

2.2.3. Теорема существования.

2.3. Поведение решения па бесконечности.

2.3.1. Оценки сверху

2.3.2. Оценки снизу.

3. Первая смешанная задача для псевдодифференциальных параболических уравнений

3.1. Существование и единственность решения с начальной функцией из L2(£7).

3.2. Класс единственности теклиндовского типа.

3.2.1. Класс единственности теклиндовского типа.

3.2.2. Точность теклиндовского класса единственности

3.2.3. Теорема существования в классе единственное г и теклиндовского типа.

3.3. Геометрический класс единственности.

3.3.1. Геометрический класс единственности.

3.3.2. Примеры неединственности решений для уравнения теплопроводности.

3.3.3. Теорема существования в геометрическом классе единственности

3.4. Стабилизация решения

3.4.1. Оценки сверху

3.4.2. Оценки снизу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные свойства решений псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях»

Работа посвятцена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях. В диссертации рассматривается довольно широкий круг вопросов, взаимосвязанных как по постановке проблемы, так и по методам исследования. Не вдаваясь в детали, их можно разбить на следующие четыре группы: классы единственности и вопросы убывания при удалении аргумента на бесконечность решений эллиптических уравнений, классы единственности и вопросы стабилизации при t —у оо решений параболических уравнений в неограниченных областях. По каждой группе вопросов в диссертации получены новые результаты как для эллиптических и параболических уравнений второго порядка, так и для псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений.

Обзор результатов по названным группам исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.

Известно большое число работ, в которых доказываются теоремы типа Фрагмена- Линделефа, устанавливается принцип Сен - Венана или выделяются классы единственности решений для эллиптических уравнений.

Перечисленные утверждения, несмотря на внешние различия, характеризуют близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений.

Первоначально теорема Фрагмена - Линделефа [132] возникла как обобщение принципа максимума модуля для аналитических функций. В последующем теоремами Фрагмена - Линделефа для эллиптических уравнений стали называть утверждения следующего вида. Пусть, например, Q — угол раствора (р на плоскости Ж2 = {у = у) | х7 у £ М} и М — произвольное неотрицательное число. Если гармоническая в Q, функция на границе не превосходит М, то она либо ив Q не превосходит М, либо растет не медленнее, чем ^ где £ > 0. Отсюда сразу следует, что множество функций, удовлетворяющих условию lim = 0, jjyj—>-оо является классом единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в угле Q.

Эта теорема обобщалась многими авторами на решения эллиптических уравнений второго порядка и на области очень общего вида (см. [57], [23], [62], [21] и др.). Для решений линейных эллиптических уравнений высокого порядка в цилиндрических областях первое обобщение указанной теоремы было получено в [128].

В работе Е.М. Ландиса [58] установлены теоремы типа Фрагмена -Линделёфа, рассмотрены вопросы о классах единственности и существования решений задачи Дирихле для общих с гладкими коэффициентами линейных равномерно эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях, описываемых в терминах размера внутреннего диаметра. Для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка утверждения типа Фрагмена - Линделёфа получены А.Е. Шишковым [114].

В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [82], [83] доказана теорема Фрагмена - Линделефа для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области Q, лежащей в полуплоскости Rj = {(х,у) € М<2 | х > 0}. На ее основе в терминах геометрической характеристики, рассматриваемой на сечении области Q гиперплоскостью х = г, г > 0, установлена теорема единственности решения.

И.Н. Тавхелидзе в работах [101], [102] для полигармонического уравнения получены априорные оценки решений задачи Дирихле, на основе которых исследовано поведение решений и их производных вблизи нерегулярных точек границы и в окрестности бесконечности, доказаны теоремы единственности в неограниченных областях и теоремы типа Фрагмена - Линделефа.

А.Е. Шишковым в работах [105], [ИЗ], [115] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях с некомпактными границами. На основе этих оценок доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности. Кроме того, в работе [119] тем же автором доказано существование решения задачи Дирихле в классе экспоненциально растущих функций для областей с некомпактными границами, относящихся к классу "узких" в окрестности бесконечности, при экспоненциальном росте правой части.

Принцип Сен - Венана, был впервые обоснован R. Toupin [134], J. Knowles [127] в следующей форме. Если деформировать один торец упругого цилиндрического стержня, то величина деформаций будет экспоненциально убывать при удалении от торца. После работ [134], [127] появилось много результатов, в которых принцип Сён-Венаиа. распространялся на уравнения эллиптического и параболического типов. С помощью энергетических оценок, аналогичных неравенствам, выражающим принцип Сен-Венана, может быть исследовано поведение решений краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях в окрестности бесконечности.

В работе [50] получен точный принцип Сен - Венана для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области О плоскости Мг- С его помощью доказана единственность решения в классе функций, имеющих степенной рост на бесконечности. При этом утверждается, что показатель степени не может быть увеличен, например, для областей типа угла. Там же установлена оценка, характеризующая поведение на бесконечности решения рассматриваемой задачи в неограниченной области Q.

В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [77], [80], [81] получена априорная оценка обобщенного решения смешанной задачи для линейного эллиптического уравнения второго порядка, аналогичная оценкам, выражающим принцип Сен - Венана в теории упругости. При этом рассматриваются области с конечным числом ветвей, достаточно произвольным образом уходящими в бесконечность. Граница области поделена на три части, на которых ставятся краевые условия первого, второго и третьего типа, соответственно.

В.А. Кондратьев и О.А. Олейник в работе [49] доказали принцип Сен -Венана для решений внешних краевых задач и на его основе установили соответствующую теорему о единственности решений.

В работе [51] доказано, в частности, что неравенство |и(у) | < С\ In ^Ц1-6, е > 0, при достаточно больших \у\ выделяет класс единственности решений линейного эллиптического уравнения второго порядка, пригодный для любой неограниченной области на плоскости и краевых условий первого, второго и третьего типов.

О.А. Олейиик, Г.А. Иосифьян рассматривали [84] вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области Q С = у = (х, у) | х > 0, у £ Кл}, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактными границами при х —У оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения, при х —> оо.

В работах [85], [86] этими же авторами изучалось поведение решения системы теории упругости в неограниченной области Г2, лежащей в полупространстве для случая неоднородных условий на границе, а также условий периодичности по ., уп. На основе априорных оценок, выражающих принцип Сен - Венана, установлено, что при самоуравно-вешанных внешних воздействиях на тело и при достаточно быстро затухающих на бесконечности внешних силах решение и(у) стремится при х —> оо к некоторому жесткому перемещению. В частности, найдены условия на граничные значения и внешние силы, при которых и(у) —> О при х —> оо.

О.А. Олейник, Н.О. Максимовой в [87] получены оценки решений неоднородных эллиптических систем с общими неоднородными граничными условиями в неограниченных областях.

В работе Е.М. Ландиса, Г.П. Панасенко [60] рассматривалось эллиптическое уравнение в Мп+1 = {у = (х, у) = (т/о, у) | х Е Ж, у G Мп}, коэффициенты у) и правая часть Ф(у) которого являются периодическими функциями по п

0.0.1) переменным yi,.-.,yn- Относительно правой части предполагается, что она экспоненциально быстро убывает при \х\ —»• оо. Доказано, что в этом случае периодическое по yi,. ,уп решение и(у) уравнения (0.0.1) либо столь же быстро стабилизируется к константе к\ при х —> +оо и к константе при х —^ — оо, либо неограниченно. Аналогичная задача рассматривалась для полупространства х > 0. В этом случае исследовано поведение решения при х —» +оо и доказана такая же теорема о стабилизации ограниченного решения или решения с grad и € -Z^Q&n+i)

Завершая обзор результатов для эллиптических уравнений, следует отметить, что цитированные выше результаты авторы не подтверждали доказательством их точности.

В диссертации для эллиптических уравнений исследованы вопросы корректности постановки задачи Дирихле в неограниченных областях Q в классах растущих функций и поведение на бесконечности решений этой задачи в зависимости от геометрии Q. Для эллиптических уравнений второго порядка выделен класс единственности решений задачи Дирихле. Показано, что для областей с нерегулярным поведением границы он может быть шире, чем ранее известные классы единственности. Для широкого класса областей вращения построены гармонические функции, подтверждающие точность найденного класса единственности. Получены оценки скорости убывания на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными в широком классе неограниченных областей и установлена точность этих оценок.

Для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях впервые выделен широкий класс единственности решений задачи Дирихле и доказана теорема существования с экспоненциально растущими данными в этом классе единственности. Получены оценки сверху, характеризующие убывание на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными.

К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем. Здесь предлагается разделить эти классы единственности на две группы. Первую группу составляют тэклиндовские классы единственности, установленные для задачи Коши [133], но пригодные также для смешанных задач в неограниченных областях. Во вторую группу относятся геометрические классы единственности, определяемые ограничениями, выражающимися через геометрические характеристики области. Цитируемые ниже результаты уточнят довольно нечеткое разделение классов единственности на две группы. Как правило, геометрические классы уже тэклиндовских, и лишь в случае быстросужающихся неограниченных областей и краевого условия Дирихле первые могут оказаться шире вторых.

Теоремы единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые установлены Е. Хольмгреном [125], А.Н. Тихоновым [107], С. Тэклиндом [133]. Предельно широкие классы функций, в которых имеет место единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности, были найдены в работе С. Тэклинда [133]. Он показал, что если решение u(t, у) задачи ut = Аи, (0.0.2)

Ч=о = 0, (0.0.3) в DT = (0,Т) х Mn+i удовлетворяет неравенству

И*,у)| <ехр(|у|Л(|у|)), (0.0.4) то u(t, у) = 0. Здесь h(r) неубывающая положительная функция такая, что оо

1щ = со- {Ш5] 1

Если же функция h{r) такова, что интеграл (0.0.5) сходится, то построены решения v(t, у) задачи (0.0.2), (0.0.3), отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие условию (0.0.4). Аналогичные теоремы доказаны в дальнейшем и для некоторых классов параболических систем (см. [120], [121], [26], [96]).

Для параболического уравнения высокого порядка О.А. Ладыженской [56] получены теоремы единственности решения задачи Коши в классах экспоненциально растущих функций.

Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай первой смешанной задачи и задачи Коши для общего вырождающегося параболического уравнения второго порядка и параболических систем методом введения параметра проведено О.А. Олейник, Е.В. Радкевичем в работе [90]. Для второй и третьей смешанных задач теоремы единственности установлены А.Г. Га-гнидзе [7], [8].

Л.И. Камыниным в [32] доказаны условные теоремы существования классических решений из обобщенного класса единственности Тэклинда как задачи Коши в DT, так и первой краевой задачи в неограниченной области ш С DT для параболического уравнения второго порядка, допускающего вырождение при |у| оо.

Для параболического уравнения второго порядка п щ + Ьь2и ЕЕ щ - ^ (aij(t, у)иу.)у = 0 (0.0.6) i,j=0 с симметричными по i,j измеримыми функциями у), i,j = 0,п, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности, А.К. Гущиным [13] в случае второй смешанной задачи, Ф.Х. Мукминовым [71] для первой смешанной задачи, выделены классы единственности, близкие к классу С. Тэклинда. В работе [35] получен класс единственности тэклин-довского типа для некоторого вида квазилинейных параболических систем.

В работах [116] - [118]. [53] рассматриваются решения параболических краевых задач в неограниченных областях Q С M7J+i, п > 1, характеризующихся тем, что Q С {(£, у) | у G — а(|у|) < t < Т < оо}, где a(s) > —Т —- произвольная монотонно неубывающая при s > О функция. Для реи гений таких задач получены зависящие от образующем! a(s) априорные оценки, аналогичные принципу Сен - Венана в теории упругости, и на их основе установлены классы единственности решений, соответствующие классу Теклинда при a(s) = const.

Для нелинейных уравнений второго порядка типа нестационарной фильтрации А.С. Калашниковым [29], [30] доказана единственнос ть решения задачи Коши в классах функций, являющихся нелинейным аналогом классов А.Н. Тихонова.

Используя нелинейный аналог метода введения параметра, разработанного О.А. Олейник и ее учениками, В.Ф. Акулов, А.Е. Шишков [2] - [4], [119] получили оценки скорости роста обобщенных локально ограниченных решений задачи Коши и смешанных задач в неограниченных пространственных областях для различных классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений, как второго, так и высокого порядков. В [99] аналогичный результат установлен для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка.

В работе [79] для решений линейного параболического уравнения второго порядка со смешанными граничными условиями О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяном получены априорные оценки, соответствующие принципу Сен - Венана в теории упругости. Рассматривается смешанная задача с начальными и граничными условиями в неограниченной нецилиндрической области, когда на одной части задано условие Дирихле, а на другой ее части задано условие Неймана или третье краевое условие. Классы функций, в которых краевая задача в неограниченной области может иметь лишь единственное решение, определяются с помощью собственных значений некоторых эллиптических краевых задач, рассматриваемых на сечениях этой области некоторым семейством гиперповерхностей. Также получены априорные оценки решения, из которых вытекают теоремы единственности для задачи без начальных условий.

Указанной в [79] методикой М.И. Максимовой [63], А.Е. Шишковым [112] доказано существование решения с неограниченным интегралом энергии первой смешанной задачи в областях с некомпактными границами для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка с экспоненциально растущей правой частью. Р.Я. Глаголевой [10] изучались асимптотические свойства решений линейных параболических уравнений второго порядка в неограниченных пространственных областях.

Для линейных параболических уравнений высокого порядка в дивергентной форме И.П. Слепцовой, А.Е. Шишковым [97] установлено существование решений в неограниченных цилиндрических областях вида DT = (О, Т) х Q. Этими же авторами в [98] построена теория разрешимости смешанных задач в неограниченных областях для широкого класса эволюционных линейных уравнений второго порядка. При этом геометрическая характеристика неограниченной области Г2, лежащей в основании цилиндра, определяется на сечениях сферой радиуса г.

В работе [81] О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяном доказаны теоремы об устранимых особенностях в точках границы области для решений краевых задач в случае линейного параболического уравнения второго порядка, а также теоремы единственности в классах функций с неограниченным интегралом энергии. А.Ф. Тедеевым, А.Е. Шишковым [106] для дивергентных квазилинейных параболических уравнений получены теоремы о поведении решений вблизи граничной точки.

О.А. Олейник в [76] построены примеры параболических уравнений второго порядка в неограниченной области, "сужающейся" не быстрее, чем экспоненциально, подтверждающие, что классы единственности решений второй смешанной задачи не шире класса единственности решений задачи Коши. Аналогичный пример построен А.Г. Гагнидзе [7], [8J для третьей краевой задачи. Тезис О.А. Олейник (см. [76]) о том. что "в случае задачи Неймана для параболического уравнения второго порядка полученные в [90] теоремы единственности не могут быть усилены в зависимости от геометрических свойств неограниченной области", не опровергается примерами работы [59] Е. М. Ландиса для второй начально-краевой задачи и работ [7], [8] А.Г. Гагнидзе для третьей начально-краевой задачи, если ограничения на рост функции формулировать в интегральном виде.

На основе априорной оценки аналитического продолжения по одному из независимых переменных решения некоторой специальной вспомогательной параболической системы, в работах О.А. Олейник [73], [74], в классах растущих функций, установлены теоремы единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для общих параболических систем, рассмотренных В.А. Солонниковым [100].

Теорема единственности для задачи без начальных условий для общих параболических систем с общими краевыми условиями доказана в работе [75]. В работах [88], [89] О .А. Олейник, Е.В. Радкевич получили теоремы о поведении решений в неограниченных областях общих параболических систем дифференциальных уравнений, зависящих от комплекспого параметра, аналогичные классическим теоремам Лиувилля и Фрагмена - Линделефа.

Отметим, что точность тэклиндовских и геометрических классов единственности для начально-краевых задач ранее не была установлена.

В диссертации для параболических уравнений рассмотрены вопросы существования и единственности решений первой смешанной задачи в классах растущих функций в цилиндрических областях DT = (О, Т) хГ2 с неограниченной областью Г2, лежащей в основании цилиндра. Для параболических уравнений второго порядка установлен класс единственности решений первой смешанной задачи, зависящий от геометрии неограниченной области Q, который в ряде случаев шире известных. Для уравнения теплопроводности построены примеры неединственности, подтверждающие точность геометрического и теклиндовского классов единственности в широком классе областей вращения.

Для первой смешанной задачи в случае псевдодифференциальных параболических уравнений впервые выделен класс единственности теклиндовского типа. Установлен также другой класс единственности решений, зависящий от геометрии неограниченной области О,. Доказаны теоремы существования решений первой смешанной задачи с экспоненциально растущими начальными функциями в обоих классах единственности.

Проблеме изучения поведения при больших временах решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных (и нелинейных) уравнений и систем посвящено очень большое число работ. Данная проблема ввиду многообразия свойств эволюционных систем имеет много аспектов. Важной является задача определения значений параметров, при которых решение задачи Коши существует в целом по времени (т.е. при t > 0), или, наоборот, взрывается (см. обзоры в работах [9], [31]). В тех же случаях, когда существует глобальное решение, возникает задача изучения его асимптотического поведения при больших временах. Этому направлению посвящены работы [72], [92] - [95], [123], [124] и ряд других.

В случае задачи Коши для линейного параболического уравнения второго порядка с ограниченной начальной функцией известны общие критерии поточечной стабилизации: для уравнения теплопроводности критерий стабилизации получен В.Д. Репниковым и С.Д. Эйдельманом [94], [95]; для некоторых частных случаев уравнений с переменными коэффициентами А.К. Гущиным, В.П. Михайловым [14], [15], S. Kamin [126]. Вопросы стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в случае неограниченной начальной функцией изучались в работах В.Н. Денисова [17], [18], [19]. Общий метод, связывающий задачу о стабилизации с задачей усреднения, предложен В.В. Жиковым [24], [25], [20]. Им решена задача о критерии равномерной стабилизации задачи Коши в предположении ограниченности начальной функции. Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, Ю.А. Михайловым [13], [16], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукминовым [71].

A.M. Ильиным в [27] выделены условия на границу нецилиндрической области и коэффициенты параболического уравнения второго порядка в недивергентной форме, достаточные для равномерной стабилизации к нулю решения первой смешанной задачи.

А.К. Гущин в работах [11], [12] положил начало изучению поведения решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Здесь более подробно проанализируем работы данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к одной из рассматриваемых в диссертации задач. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим, при этом, что поведение решений первой смешанной задачи в неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается "размазыванием тепла" по все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее "расширяется область на бесконечности", то убывание решения первой смешанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет тем более быстрым, чем медленнее "расширяется область на бесконечности". При этом фактор "размазывания тепла" действует и в случае первой смешанной задачи. Естественно, что решающую роль в определении поведения решения играет геометрия области.

В случае второй смешанной задачи для уравнения (0.0.б) А.К. Гущиным выделена простая геометрическая характеристика v(r) — mesn+iQ(r), Q(r) = {у £ Q | |y| < г}, определяющая поведение решения при больших значениях времени. Как показано в работах А.К. Гущина [11], [12], А.В. Лежнева [61], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние y/t.

А.Ф. Тедеевым в работе [104] этот результат обобщен для вырождающегося квазилинейного параболического уравнения.

В работах [108], [109], [111], [79] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.0.6) в нецилиндрических областях. А именно, в [111] и [79] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t = const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях.

В работах [108J, [109] В.И. Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Ф.Х. Мукминовым, JI.M. Кожевниковой в работах [70], [34] в терминах некоторых геометрических характеристик получены точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для уравнения (0.0.6). Кроме того, в [34], [37] этот результат обобщен на некоторый класс систем квазилинейных параболических уравнений второго порядка.

Для линейного параболического уравнения высокого порядка в дивергентной форме без младших членов Ф.Х. Мукминовым [69] установлена оценка сверху решения первой смешанной задачи. Этот результат распространен А.Ф. Тедеевым [103] на случай параболического квазилинейного уравнения высокого порядка.

Ф.Х. Мукминов, И.М. Биккулов в [5] исследовали стабилизацию решения задачи Риккье для уравнений 4-го и б-го порядков. Ими получена оценка L2 - нормы решения при t —> 00 и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.

В диссертации для параболртческих уравнений в цилиндрической области D = {t > 0} X О исследована зависимость поведения решения первой смешанной задачи при больших значениях времени t от неограниченной области fi, лежащей в основании цилиндра. В случае уравнения второго порядка расширен класс областей, в которых установлены оценки скорости стабилизации решения и доказана их точность. Для псевдодифференциальных параболических уравнений впервые получены оценки сверху, характеризующие поведение решения при больших значениях времени рассматриваемой задачи с финитной начальной функцией.

Прежде чем перейти к более подробному обзору результатов диссертации введем некоторые обозначения. Через Q будем обозначать область пространства Kn+i = {у = (ж,у) = (уо,у) \ х Е М, у = (г/i, .,уп) Е п > 1. Считаем, что Г2 С Mn+i и имеет п - мерную границу. Положим: || • ||<з, (-j^g ~ норма и скалярное произведение в пространстве L2(Q), соответственно, причем значение Q = Q опускается; — {у Е

Rn+i | ж > 0}; S = {t > 0} X дП; Щ» = {у Е R,1+i | П < х < г2}, {У € ^ | ri < ж < Г2}, Df2^ = (ti, ^2) х причем значения ti = 0, = 00, гi = —00, Г2 = 00 могут быть опущены; Г2(г) = {у Е ^ I |у| < г}; 7W = {у е ft I |у| - г}; 7г - {у Е П \ х = г}; 5(r,z) -шар радиуса г с центром в точке z.

Следует отметить, что упомянутые в обзоре классы единственности и оценки, характеризующие скорость убывания решений, рассматриваемых задач для эллиптических и параболических уравнений перестают быть точными для областей с "нерегулярным" поведением границы. Поэтому актуальной является проблема получения точных результатов для более широкого класса неограниченных областей.

В перечисленных выше работах авторы использовали следующие геометрические характеристики неограниченной области A(r), v(r), г > 0, — первые собственные значения задачи Дирихле для оператора —А в 7г) соответственно ([84], [70], [34] и др.). Применялись также аналоги этих величин с заменой оператора Лапласа на эллиптический оператор в дивергентной форме на сечениях области некоторым семейством гиперповерхностей ([5], [69], [77], [79] - [83], [97], [98], [103], [113], [115] и ДР-)

Новизна предложенного в диссертации подхода заключается в установлении специальных априорных оценок на основе разработанного автором понятия лямбда - разбиения. Оно пригодно для исследования как эллиптических, так и параболических уравнений. Ниже в диссертации показывается, что это понятие позволяет получать в ряде случаев более сильные результаты, чем полученные другими авторами с использованием таких характеристик, как A(r), v{v). Для простоты сначала будут рассмотрены результаты для уравнений второго порядка в областях с некомпактной границами меры п.

Предполагается, что неограниченная область ^ С Мп+1 представлеоо на в виде объединения Q = [J Q^ последовательности вложенных

N=0

С Q(n+1) областей1, удовлетворяющих следующим требованиям.

Дополнения — ^^ распадаются на конечное число связpw ных подобластей г = 1 — U N = 1,оо. i=i

Пересечения [дО,^) р| = S^ представляют собой конечное число гиперповерхностей S^ = (S^ могут быть несвязными), г = l,p(W, N =

Для множества Q С Q введем обозначение

A{Q} = тЫ|| V<7||| g(y)eC^(Q), Ыд = 1 У (0.0.7)

Определим векторы t^ = ., t^) и А(лг> = (А^},., А^Д) формулами tf] = dist(S^Sf-1*), где = А™ =

Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что выполняются неравенства l^flA^f0)2, * = iV = I75o. (0.0.8)

00

Описанное выше представление Г2 = |J Q^ при выполнении нера

N=0 венств (0.0.8) назовем А - разбиением области £2. Понятие А - разбиения можно считать обобщением понятия А - последовательности, введенного оо Всюду далее представление ft = |J fiW предполагает указанную вложенность областей. v=o в [39], [42] для области, расположенной вдоль выделенной оси Ох (сечение тт не пусто при любом г > 0). Множества Q^ = QJ'X определяются неограниченной возрастающей последовательностью положительных чисел {xn}n=o- При этом последовательность называется Л оо последовательностью, а условие (0.0.8) для разбиения Q = U QXN при

N=0 ни мает вид

1 < 0\(xni %N+I)A%, AN = XN+I — %N, Af = 0, оо, (0.0.9) где Л(гьг2) = п < г2.

Суть оценок сен - венановского типа состоит в отслеживании убывания "энергии решения" при движении вдоль линии, составляющей "ось среды". Здесь предложен способ построения точек на этой линии (лямбда - последовательности) таких, что при переходе к следующей точке происходит спад "энергии решения" в фиксированное число раз. Доказательство точных сен - венановских оценок сводится к установлению верхней и нижней границы для этого числа.

Построение лямбда - последовательности основано на оценке первого собственного значения оператора, соответствующего уравнению, в области, заключенной между трансверсальиыми к "оси среды" поверхнос тями, проходящими через соседние точки последовательности. Грубо говоря, в случае оператора второго порядка, первое собственное значение оценивается обратным квадратом расстояния между соседними точками лямбда-последовательности.

После опубликования работ [39], [42], в которых было введено понятие А - последовательности, обнаружилась работа О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [78]. В ней авторы, по существу, использовали прототип такой последовательности для системы уравнений теории упругости. Переформулируем результаты этой работы для одного уравнения (0.0.1) с непрерывными в Q симметричными коэффициентами, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности.

В работе [78] определяется неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел такая5 что

1 < - RnYx(Rn, Rn+I), N = 0, оо, где

Х(гьг2) = inf |л{Q} fi(r2)\%jc Q С «(r2) j , п < га, число © зависит лишь от п и констант равномерной эллиптичности.

О.А. Олей пик, Г.А. Иосифьян доказали следующую теорему единственности. Если обобщенное решение и(у) уравнения (0.0.1) с Ф(у) = 0 и однородным граничным условием и 0 (0.0.10) on подчиняется оценке l|Vw||n(i?Ar) < s(Rn) ехР N, NGN, (0.0.11) где c(Rn) —> 0 при N —У оо, то и = 0 в Г2.

Однако, в работе [78] не выделен класс областей, для которых существует последовательность и не установлена точность класса единственности (0.0.11).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кожевникова, Лариса Михайловна, 2009 год

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Псевдодифференциальные операторы. - М.: Наука, 1968. - с.

2. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Аналоги класса Тэклинда единственности решений смешанных задач для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - №5. - С. 23-25.

3. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделефа для уравнений тина нестационарной фильтрации // Докл. АН УССР. Сер. А. 1990. - №2. - С. 3-6.

4. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Об асимптотических свойствах решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 1991. - Т. 182. - №8. - С. 1200-1210.

5. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. 2004. - Т. 195. -№3. - С. 115-142.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

7. Гагнидзе А.Г. О классах единственности решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка в неограниченной области // УМН. 1984. - Т.39. - №6(240). - С. 193-194.

8. Гагнидзе А.Г. О единственности решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1988. Вып. 13. - С. 123-126.

9. Галактионов В.А., Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А.А. // Итоги науки и техники. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж. 1986. - Т. 28. - С. 95-205.

10. Глаголева Р.Я. Теоремы Фрагмена-Линделефа и лиувиллевы теоремы для линейного параболического уравнения // Мат. заметки. -1985. Т. 37. - №1. - С. 119-124.

11. Гущгм1 А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка j j Тр. МИАН. 1973. Т. 126. - С. 5-45.

12. Гущгт А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.

13. Гут/ин А.К. О равномерной стабилизации решении второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. -- 1982. -Т. 119(161). -№4(12). С. 451-508.

14. Гугцин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения j j Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7. - №2. - С. 297-311.

15. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации задачи Коши для параболического уравнения с одной пространственной переменной // Тр. МИАН. 1971. - Т.112. - С. 181-202.

16. Гущин А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1985. - Т. 128. - №2(10).- С. 147-168.

17. Денисов В.Н. К вопросу о необходимых условиях стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности во всем пространствеenи на любом его компакте // Докл. АН СССР. 1981.- Т. 260. т. С. 780-783.

18. Денисов В.Н. О необходимых условиях равномерной на всем пространстве стабилизации решения задачи Коши в классе начальных функций, имеющих степенной рост // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 262. т. - С. 785-786.

19. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24. - С. 288-299.

20. Денисов В.Н., Л(иков В. В. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений j j Матем. заметки. 1985. - Т. 37.- т. С. 834-850.

21. Дончев Т. О поведении решения эллиптического уравнения второго порядка // Докл. Болг. АН. 1968. - Т. 10. - №10. - С. 1001-1004.

22. Дубинский Ю.А. Задача Коши и псевдодифференциальные операторы в комплексной области // УМН. 1990. - Т. 45. - №2(272). -С. 115-142.

23. Евграфов М.А. О теоремах, аналогичных теореме Фрагмена-Линделефа // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 126. -- №3. - С. 478-481.

24. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений j j Матем. сб. 1977. - Т.104(146). - №4(12). - С. 597-616.

25. Жиков В.В. Критерий поточечной стабилизации для параболических уравнений с почти-периодическими коэффициентами // Матем. сб. 1979. - Т.109. - №2. - С. 304-318.

26. Золотарев Г.Н. О единственности решения задачи Коши для систем, параболческих в смысле И.Г. Петровского // Изв. Вузов. Матем. -1958. №2. - С. 118-135.

27. Ильин A.M. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения // Матем. заметки. 1985. - Т. 37. - №6. - С. 851-856.

28. Иосида К. Функц. анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

29. Калашников А. С. О задаче Коши в классах растущих функций для некоторых квазилинейных параболических уравнений // Дифферент уравнения. 1973. ~ Т. 9. - №4. - С. 682-691.

30. Калашников А. С. Об условиях единственности обобщенного решения задачи Коши для одного класса квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1973. -Т. 9. - №12. - С. 2207-2212.

31. Калашников А. С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка / / УМН. 1987. - Т. 42. - №2(254). - С. 135-176.

32. Камынин Л.И. О существованиии решений задачи Коши и линейных краевых задач для параболического уравнения второго порядка внеограниченной области. I // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. -mi. - С. 1937-1948.

33. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб.- 2000. Т. 191. - №. - С. 91-131.

34. Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Изв. РАН. Сер. матем. 2001.- Т. 65. №3. - С. 51-66.

35. Кожевникова Л.М. О паре характеристик неограниченной области, необходимой для оценки скорости убывания решения первой смешанной задачи для параболического уравнения // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: БГПУ, 2002. - Вып. 4. - С. 117-124.

36. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Об убывании Z-2-нормы решения первой смешанной задали для нелинейной системы параболических уравнений в области с нерегулярной границей // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38. - Ж. - С. 1079-1084.

37. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. - Т. 70. - №6. - С. 93-128.

38. Кожевникова Л.М. Единственность решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в неограниченных областях // Труды СФ АН РБ. Сер. физ.-мат. и тех. науки.- Уфа: Гилем, 2006. Вып. 3. - С. 101-115.

39. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // Фундамент, и прикл. матем. — 2006. Т. 12.- №4. С. 113-132.

40. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения щ = Аи с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. 2007. - Т. 198.- т. С. 59-102.

41. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных уравнений в неограниченной плоской области // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: БГПУ, 2007. - Вып. 8. -С. 10-14.

42. Кожевникова Л.М. О единственности решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2008. -Вып. 8. - С. 5-10.

43. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 2008. - Т. 199. - №8. - С. 61-94.

44. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Труды Междун. научн. конф. (Стерлитамак, 24-28 пюп. 2008 г.) Уфа: Гилем, 2008. - Т. 1. - С. 131-135.

45. Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для нсевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. журн. Уфа: БашГУ, 2009. №1. - С. 38-68.

46. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Теоремы единственности решений внешних краевых задач и аналог принципа Сен-Венана / / УМН. -1984. Т. 39. - №4(238). - С. 165-166.

47. Кондратьев В.А., Копачек ИЛенвеншвим Д.М., Олейник О.А. Неулучнтаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. МИ-АН. 1984. - Т. 166. - С. 91-106.

48. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О единственности решении краевых задач в неограниченных областях и об изолированных особых точках решений системы теории упругости и эллиптических уравнений второго порядка // УМН. 1987. - Т. 42. - №4(256). - С. 189-190.

49. Кульеарина Н.А., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания решения параболического уравнения второго порядка при tоо // Изв. вузов. Матем. 2007. - №4. - С. 35-44.

50. Ладыэюенская OA., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

51. Ладыженская, О А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Матем. сб. 1950. - Т. 27(69). - т. - С. 175-184.

52. Ландис Е.М. О принципе Фрагмена-Линделефа для решений эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 107. - №4. - С. 508-511.

53. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Докл. АН СССР. 1974.- Т. 31. С. 35-58.

54. Ландис Е.М. О зависимости классов единственности решения второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области от геометрии области // Докл. АН СССР. 1984.- Т. 275. С. 790-793.

55. Ландис Е.М., Панасенко Г. П. Об одном варианте теоремы Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Труды семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 1979. Вып. 5. - С. 105-136.

56. Лео/снев А. В. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений втрой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1986. - Т. 129(171). - №2. - С. 186-200.

57. Мазъя В. Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформных отображений // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 152. - №6. - С. 1297-1300.

58. Максимова М.И. Существование слабого решения параболической начально-краевой задачи в неограниченной области в классе быстро растущих функций // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1983. - Т. 127. - С. 152-157.

59. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. - 256 с.

60. Михайлов В. П. О первой краевой задаче для одного класса гипоэл-липтических уравнений // Матем. сб. 1964. - Т. 63(105). - №2. -С. 238-264.

61. Михайлов В. П. Первая краевая задача для некоторых полуограниченных гипоэллиптических уравнений // Матем. сб. 1964. - Т. 64(106). - №1. - С. 10-51.

62. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. - 424 с.

63. Мукминов Ф.Х. О стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка: Дис. канд. физ,-мат. наук. М., 1980. - 72с.

64. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - №10. - С. 1172-1180.

65. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. -1980. Т. 111(153). - №4. - С. 503-521.

66. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1990.- Т. 181. Ml. - С. 1486-1509.

67. Наумкин П.И., Шишмарев И.А. Асимптотика при t —V оо решения нелинейного уравнения со слабой диссипацией и дисперсией // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. - Т. 57. - №6. - С. 52- 63.

68. Олейник О.А. О единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций // УМН. 1974. - Т. 29. - №5(179). - С. 229-230.

69. Олейник О.А. О единственности решения краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем // Докл. АН СССР. 1975.- Т. 220. №6. - С. 1274-1277.

70. Олейник О.А. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях // УМН. 1975. - Т.ЗО. - №2(182). - С. 219-220.

71. Олейник О.А. О примерах неединственности решения краевой задачи для параболического уравнения в неограниченной области // УМН. 1983. - Т.38. - №1(229). - С. 183-184.

72. Олейник О.А., Иосифълн Г.А. Аналог принципа Сен-Венана для эллиптического уравнения второго порядка и единственность решений краевых задач в неограниченных областях // УМН. 1976. - Т.31.- №4(190). С. 261-262.

73. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. 1976. - Т. 31. - №5(191). - С. 247-248.

74. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // УМН. 1976. - Т. 31(192). - №6. - С. 142-166.

75. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 232. - №6. - С. 1257-1260.

76. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Об устранимых особенностях на границе и единственности решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка // Функц. анализ и его прил. 1977. - Т. 11. - №3. - С. 54-67.

77. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. О принципе Сен-Венана в плоской теории упругости // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 239. - №3. - С. 530-533.

78. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неоганиченной области // Сиб. матем. журн. 1978. - Т. 19. - №5. -С. 1154-1165.

79. Олейник О.А. Иосифъян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптического уравнения второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. - Т. 112(154). - №4(8). - С. 588-610.

80. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. Об условиях затухания и предельном поведении на бесконечности решений системы уравнений теории упругости // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258. - №3. - С. 550-553.

81. Олейник О.А., Иосифъян Г.А. О существовании и асимптотическом поведении решений системы теории упругости в бесконечной области // УМН. 1982. - Т. 37. - №4(226). - С. 157-158.

82. Олейник О.А., Максимова И.О. О поведении решений неоднородных эллиптических систем в неограниченных областях // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. Вып. 3. - С. 117137.

83. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиу-вилля и Фрагмепа-Линделеффа для общих параболических систем дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его ирил. 1974.- Т. 8. №4. - С. 59-70.

84. Олейник О.А. Радкевич Е.В. О поведении решений общих параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 220. - №5. - С. 1027-1030.

85. Олейник О. А., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // УМН. 1978. - Т.ЗЗ. - №5(203).- С. 7-76.

86. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // -М.: Наука, 1970. 332 с.

87. Порпер Ф.О. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 153. - С. 273-275.

88. Порпер Ф.О., Эйдельман С. Д. Теоремы о близости решений параболических уравнений и стабилизация решений задачи Коши // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 221. С. 32-35.

89. Репииков В Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157.- С. 532-535.

90. Репников В Д., Эйдельман С. Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши // Докл. АН СССР. 1966.- Т. 167. №2. - С. 298-301.

91. Сабитов К.Б. Экстремальные свойства решений одного класса параболических систем и их применения // Дифферента,, уравнения. -1990. Т. 26. - №2. - С. 287-297.

92. Слепцова И.П., Шишков А.Е., О существовании растущих на бесконечности обобщенных решений краевых задач для линейных параболических уравнений высокого порядка // Изв. вузов. Матем. -1988. т. - С. 61-69.

93. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Классы единственности и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях // Сиб. матем. журн. 1991. - Т.32. - №5. С. 166-178.

94. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделёра для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка // Укр. матем. журн. 2005. - Т. 57. - №2. - С. 239-249.

95. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. МИАН. -1965. Т. 83.

96. Тавхелидзе И.Н. О решениях полигармонических уравнений с граничными условиями Дирихле // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 274.- №2. С. 292-296.

97. Тавхелидзе И.Н. Аналог принципа Сен-Венана для полигармонического уравнения и его приложения // Матем. сб. 1982. - Т. 118(160).- №2(6). С. 236-251.

98. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка / / Дифференц. уравения. 1989. - Т. 25. - №3. - С. 491-498.

99. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27. - №10. - С. 1795-1806.

100. Тедеев А. Ф. Шишков А.Е. О качественных свойствах решений и -субрешений квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Матем. 1984. - №1. - С. 62-68.

101. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. Поведение решений и субрешений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях и окрестности граничной точки j j Изв. вузов. Матем. 1985. - №9.- С. 77-79.

102. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Матем. сб. 1935. - Т. 42(84). - №2. - С. 199-216.

103. Ушаков В. II. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка, при t —> оо // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - №2. - С. 310-320.

104. Ушаков В.И. Стабилизация (решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. - Т. 111(153). №1. - С. 95-115.

105. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

106. Черемных Ю.Н. О поведении решений краевых задач для пара бо-лических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании t // Матем. сб. 1968. - Т.75(117). - №2. - С. 241-254.

107. Шишков А.Е. О существовании растущих на бесконечности обобщенных решений краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений // Укр. матем. журн. 1985. - Т. 37. - №4.С. 473-481.

108. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сиб. матем. журн. 1987. - Т. 28. -№6. - С. 134-146

109. Шишков А.Е. Квазилинейные дивергентные эллиптические уравнения в неограниченных областях // Дифференц. уравнения. 1988.- Т. 24. №8. - С. 1410-1423.

110. Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделера для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка // УМН.- 1988. Т.43. - №4(262). - С.231-232.

111. Шишков А.Е. Классы единственности обобщенных решений краевых задач для параболических уравнений в неограниченных цилиндрических областях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26. - №9. - С. 1627-1633.

112. Шишков А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности // Укр. матем. журн. 1995. - Т. 47. - №2. - С. 277-289.

113. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

114. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их применения // Матем. сб. 1953. - Т. 33(75). - С. 359-382.

115. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

116. Galaktionov V.A., Varquez J.L. Asymptotic behavior of nonlinear parabolic equations with critical exponents 11 J. Fund. Anal. 1991. -V. 100. - m. - P. 435-462.

117. Gmira A., Veron L. Large time behaviour of the solutions of a semilinear parabolic equation in RN // J. Diff. Eq. 1984. - V. 53. - №2. - P. 258-276.

118. Holmgren E. Sur les solutions quasianalytiques d'l'equations de lachaleur // Arkiv for mat., astr., och fys. 1924. - V. 18. - №9. - P. 64-95.

119. Kamin S. On stabilisation of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. 1976. -V. 7. - №1. - P. 43-53.

120. Knowles J.K. On Saint-Venant's principle in the two-dimensional linear theory of elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1966. - V.21. - P.l-22.

121. Lax P.D. A Phragmen-Lindelaf teoremin harmonic analysis and its application in the theory of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1957. - V. 10. - №3. - P. 361-389.

122. Moser J.A. Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17. - №1. - P. 101-134.

123. Moser J.A. On Harnack's theorem for elliptic differential equations j j Comm. Pure and Appl. Math. 1961. - V. 14. - P. 577-591.

124. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. - V. 80. - P. 931-953.

125. Phragmen E., Lindelof E. Sur une extension d'un princip classique de Г analyse // Acta math. 1908. - V. 31. - P. 381-406.

126. T&cklind S. Sur les class quasianalytiques des solutions des equations aux derivees partielles du type parabolique // Nova Acta Reg. Soc. Schi. Uppsaliensis. Ser. 4. 1936. - V. 10. - №3. - P. 3-55.

127. Toupin R.A. Saint-Venant's principle // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. - V.18. - P. 83-96.