Численный анализ устойчивости стержневых систем и оболочек при упругих и пластических деформациях с учетом начальных несовершенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Бегичев, Максим Михайлович

• Бегичев, Максим Михайлович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бегичев, Максим Михайлович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

1.1 Обзор исследований устойчивости стержневых систем

1.2 Обзор теоретических и экспериментальных исследований устойчивости тонких оболочек

1.3 Учет физической нелинейности материалов

1.4 Устойчивость равновесия упругих консервативных систем

1.5 НДС и закритическое поведений тонкостенных конструкций

Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКИХ УПРУГИХ РАМ И АРОК

2.1 Методика оценки чувствительности стержневых систем и оболочек к начальным несовершенствам в упругой постановке

2.2 О сценариях потери устойчивости распорных систем «в большом»

2.3 Устойчивость упругих рам

2.3.1 Рама с двумя сжатыми стержнями

2.3.2 Симметричные двухконтурные рамы

2.3.3 Симметричная ферма с жесткими узлами

2.3.4. Симметричная рама под действием несимметричной нагрузки

2.3.5 Несимметричные рамы с треугольными и прямоугольными контурами

2.3.6 Пространственная устойчивость плоской рамы со сжатой стойкой

2.4 Устойчивость круговых арок «в плоскости» с учетом влияния начальных несовершенств

2.4.1. Вводные замечания

2.4.2. Анализ устойчивости равновесия двухшарнирных арок в плоскости

2.4.3 Влияние параметра «растяжимости» на тип плоской потери устойчивости арок

2.4.4 Экспериментальное исследование устойчивости равновесия преднапряженных арок с учетом начальных несовершенств

2.5 Пространственная устойчивость круговых арок с учетом влияния начальных несовершенств

2.5.1 Жесткозаделанные арки

2.5.2 Двухшарнирные арки

Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКИЕ РАВНОВЕСИЯ УПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

3.1 Вводные замечания

3.2 Круглая шарнирно опертая пластина при больших прогибах

3.3 Пологий сферический сегмент

3.4 Непологий сферический сегмент

3.4.1 Непологий сферический сегмент под действием распределенной нагрузки

3.4.2 Непологий сферический сегмент под действием сосредоточенной силы

3.5 Замкнутая сферическая оболочка

3.6 Цилиндрическая оболочка при осевом сжатии

3.7. Торообразная оболочка под действием внешнего давления

Выводы по главе 3

3

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ И ОБОЛОЧЕЧНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ

ДЕФОРМАЦИЙ

4Л Анализ особенностей работы КЭ различных типов в задачах устойчивости с учетом геометрической и физической нелинейностей

4.2 Консольный стержень и рама с двумя сжатыми стойками

4.3 Швеллерная балка на двух опорах

4.4 Сфероидальное днище под действием равномерного внешнего давления

4.5 Сравнительный анализ устойчивости четырехпанельной фермы с использованием различных моделей материала

4.5.1 Модели материала для учета физической нелинейности

4.5.2 Материал стоек фермы - линейно упругий

4.5.3 Материал стоек фермы - нелинейно-упругий

4.5.4 Материал стоек фермы - упругопластический

4.5.5 Анализ результатов расчетов

Выводы по главе 4

ГЛАВА 5. КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ

5.1 Анализ напряженно-деформированного состояния и устойчивости плоской рамы каркаса здания

5.2 Устойчивость стенок пролетной балки мостового крана

Выводы по главе 5

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Список литературы

Приложение 1. Программа-макрос для задания несовершенств геометрии модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ устойчивости стержневых систем и оболочек при упругих и пластических деформациях с учетом начальных несовершенств»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Стремительный прогресс в области вычислительных технологий позволил разработать и внедрить в инженерную практику большое число мощных программных комплексов, чаще всего основанных на методе конечных элементов (МКЭ). Однако, недостаточное внимание к особенностям решения даже относительно простых классических задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек с применением МКЭ в ряде случаев приводит к получению ошибочных результатов, которые могут привести к катастрофическим последствиям.

Результаты ряда экспериментальных исследований показали, что расчеты оболочек по линейной теории порой дают завышенные (а иногда и сильно завышенные) значения величин критических нагрузок. Реальные системы часто теряют устойчивость при нагрузках меньших, чем показывает расчет. Нелинейная теория дает результаты, более близкие к экспериментальным данным, поэтому развивать исследования устойчивости стержневых и оболочечных систем в дальнейшем целесообразно путем учета геометрической нелинейности.

На практике элементы конструкций всегда имеют начальные несовершенства. Они могут представлять собой как отклонения геометрии от идеальной (прямолинейной, цилиндрической, сферической и т.д.) формы, так и изменчивость эксцентриситетов приложения нагрузок. Многие реальные тонкостенные системы весьма сильно чувствительны к упомянутым выше несовершенствам, что приводит к заметному снижению критических нагрузок потери устойчивости.

Решение задач устойчивости в эйлеровой постановке с линейно упругими материалами не всегда корректно, так как не отражает в полной мере особенности работы материала исследуемой системы. В связи с этим для повышения точности решения задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек необходимо учитывать физическую нелинейность.

Учет больших перемещений и работы материала за пределом упругости при анализе устойчивости конструкций и их элементов приводит к необходимости решения значительно более сложных и трудоемких нелинейных уравнений, поэтому тема настоящей диссертации, посвященной анализу особенностей решения нелинейных задач устойчивости равновесия стержневых систем и оболочек методом конечных элементов, актуальна.

Целью работы является совершенствование методов оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости стержневых систем и оболочек.

Задачи исследования.

1. Разработка методики оценки поведения стержневых систем и тонкостенных оболочек с начальными несовершенствами в нелинейной постановке.

2. Сравнительный анализ критических нагрузок, полученных в результате линейного и нелинейного расчетов рассматриваемых объектов в упругой стадии деформирования материала, оценка возможностей и ограничений линеаризованного анализа.

3. Оценка влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок для систем, имеющих неустойчивое закритическое поведение.

4. Проверка работоспособности существующих наиболее распространенных типов конечных элементов в задачах устойчивости равновесия в геометрически нелинейной постановке и оценка влияния конечноэлементной дискретизации на критические нагрузки потери устойчивости, а также закритическое поведение стержневых систем и оболочек.

5. Проведение эксперимента для подтверждения оценок влияния начальных несовершенств на критические нагрузки потери устойчивости преднапряженных арок.

6. Анализ напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости металлической рамы молочно-товарной фермы и двухбалочного мостового крана.

Научная новизна.

Разработана методика оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости элементов тонкостенных конструкций, основанная на представлениях о «наихудших несовершенствах».

Определены схемы потери устойчивости упругих стержневых систем и некоторых оболочек в зависимости от геометрических и жесткостных характеристик с учетом геометрической нелинейности.

Получены экспериментальные данные о влиянии приложения сосредоточенных нагрузок с эксцентриситетом к упругим преднапряженным аркам со стрелой подъема различной величины на характер потери устойчивости. Преднапряженные арки с устойчивым закритическим поведением слабо чувствительны к приложению нагрузки с эксцентриситетом.

Установлены критерии чувствительности стержневых систем и некоторых оболочек к начальным несовершенствам в упругой постановке задачи: высокую чувствительность к несовершенствам проявляют системы, теряющие устойчивость в точке симметричной неустойчивой бифуркации, а также в точке несимметричной бифуркации (при реализации неустойчивой ветви равновесий); слабую чувствительность к несовершенствам проявляют системы, теряющие устойчивость в предельной точке, а также в точке симметричной устойчивой бифуркации.

Установлено, что линеаризованный анализ в задачах устойчивости в ряде случаев некорректно учитывает влияние начальных несовершенств и дает увеличение величины критической нагрузки вместо ее снижения.

Показано, что учет упругопластических деформаций может приводить к неустойчивому закритическому поведению и высокой чувствительности к начальным несовершенствам, что вызывает сильное снижение критических нагрузок.

Достоверность результатов.

В основу методики положены корректные математические и конечноэлементные модели. Результаты тестовых расчетов сопоставлены с

данными экспериментов, проведенных ранее другими учеными, а также с известными решениями и дают хорошее совпадение.

Достоверность расчетов также подтверждается анализом сходимости численных решений при различной густоте конечноэлементной сетки.

Результаты экспериментов автора по устойчивости преднапряженных арок с учетом начальных несовершенств хорошо согласуются с численными решениями, как качественно, так и в количественном отношении.

Практическая ценность работы состоит:

> в разработанной методике оценки влияния начальных несовершенств на величины критических нагрузок потери устойчивости элементов тонкостенных конструкций;

в критериях, определяющих чувствительность стержневых систем и некоторых оболочек к начальным несовершенствам;

> в полученных предельных нагрузках для металлической рамы молочнотоварной фермы и двухбалочного мостового крана.

Апробация работы.

Основные результаты работы доложены и опубликованы в трудах и тезисах докладов следующих научно-технических конференций.

> 67, 68, 69, 70, 71 Научно-методическая и научно-исследовательская конференция МАДГТУ (МАДИ). Подсекция «Строительная механика и вопросы надежности на транспорте». 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 г.

> Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы», Москва, РУДН, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 г.

> III Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (посвященная 100-летию со дня рождения Б.Г. Коренева), Москва, МГСУ, 17 ноября 2010 г.

> IV Международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и

численные методы» (посвященная 100-летию со дня рождения А.Р. Ржаницына), Москва, МГСУ, 29 июня 2011 г.

> Международная научная конференцию "Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений" ("Золотовские чтения"). Москва, МГСУ, 2012, 2013 г.

>XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI Российская конференция пользователей программного обеспечения фирмы MSC SOFTWARE Corporation. M.: 2008, 2009, 2010, 2011,2012, 2013 г.

> VII Международная научно-практическая конференция «Trans-Mech-Art-Chem», M.: МИИТ, 2010.

> Конференция «Наука МИИТа транспорту», М.: МРШТ 2008, 2009, 2010, 2011,2012, 2013 г.

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в 33 печатных работах. Из них 5 в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.

На защиту выносятся.

> Результаты численного анализа устойчивости и закритического поведения стержневых систем и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей.

> Результаты оценки влияния геометрических и жесткостных параметров на характер сценариев плоской и пространственной потери устойчивости равновесия круговых арок.

> Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований устойчивости равновесия плоских преднапряженных двухшарнирных арок.

> Результаты оценки влияния начальных несовершенств геометрии и приложенных к системе сил на величины критических нагрузок потери устойчивости для некоторых тонкостенных систем с различными типами закритического поведения.

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ

МЕХАНИКИ

1.1 Обзор исследований устойчивости стержневых систем.

Задача об устойчивости равновесия упругих стержневых систем известна исследователям уже более двухсот лет, однако и в настоящее время не потеряла своей актуальности.

Первым ученым, который ввел в механику понятие устойчивости равновесия упругих стержневых систем, был Эйлер. Предложенный им в 1744 г. подход впоследствии был развит Ж. Лагранжем.

На существование проблемы расчета сооружений на устойчивость указали катастрофы, произошедшие в конце XIX - начале XX века (крушение Кевдинского моста в России в 1875 г., Менхенштейнского моста в Швейцарии в 1891г., Квебекского моста через р. св. Лаврентия в 1907 г., Гамбургского газгольдера в 1907 г. и др. [99]).

Ряд исследователей добились результатов в изучении вопросов устойчивости: проф. Ф.С Ясинский [142] решил задачу об устойчивости сжатого верхнего пояса открытых мостов; акад. А.Н. Динник [43] и Р.В. Саусвелл [192] решили целый ряд сложных задач по устойчивости и, в частности, задачу об устойчивости сжатого стержня на упругих опорах; проф. С.П. Тимошенко [121] развил энергетический метод расчета упругих систем; В.В. Болотин [15, 16] дал формулировку и строгое обоснование вариационного критерия устойчивости равновесия упругих тел; проф. И.Г. Бубнов предложил приближенный метод, не требующий вычисления потенциальной энергии, который был развит акад. Б.Г. Галеркиным [28]. Неоценимый вклад в развитие теории устойчивости сооружений также внесли A.B. Александров [2], H.A. Ал футов [5], В.В. Болотин [15], В. Будянский [149], Д. Бушнелл [19], В.З. Власов [22], A.C. Вольмир [24], И.И. Ворович [26], Г.Ю. Джанелидзе, Л. Доннел [44], A.A. Ильюшин, Т. Карман [170], В.Т. Койтер [175], Н.В. Корноухов [61], Р. Мизес [181], Е.Л. Николаи, В.В.

Новожилов [85], Я.Л. Нудельман [86], Я.Г. Пановко [89], П.Ф. Папкович, Ю.Н.

11

Работнов [103], А.Р. Ржаницин [107], А.Ф. Смирнов [112], В. Твергард [116], JI. Тетмайер, С.П. Тимошенко [121], Дж. Томпсон [122], В.И. Феодосьев [128], Дж. Хант [168], Дж. Хатчинсон [169], Н.Дж. Хофф [134], Р. Хилл [132], В.Л. Якушев [139].

В наши дни проблема устойчивости равновесия строительных конструкций не потеряла своей актуальности. К ней обращались и обращаются многие исследователи: В.В. Галишникова [161], И.Д. Грудев [37], В.Б. Зылев [51], В.Д. Клюшников [57], С.Б. Косицын [64], Л.С. Ляхович [72], Г.А. Мануйлов [73], Мещеряков В.Б. [79], А.В. Перельмутер [91], В.И. Сливкер [91], В.Д. Потапов [97], С.И. Трушин [80], Г. Циглер [135], В.Л. Якушев [139] и др.

История развития задач упругой устойчивости стержневых систем ведет свое начало от работ И. Баушингера, Л. Тетмайера, Г. Брайана.

Р. Мизес и И. Ратцерсдорф [181], рассматривая условия прощелкивания простейших ферм, фактически положили начало расчетам на устойчивость стержневых систем с учетом геометрических нелинейностей.

Н.В. Корноухов [61], А.Ф. Смирнов [101], И.М. Рабинович [102] разработали канонические формы расчета сжатых упругих рам на устойчивость методом перемещений и смешанным методом.

Метод сил (В.Г. Чудновский [136], А.Ф. Смирнов [112]) не получил достаточного распространения в бифуркационных расчетах рам на устойчивость в силу ограниченности выбора сжатых элементов основной системы, а также вследствие возможности пропуска наименьшего критического параметра если основная система метода сил окажется «ложной» (А.Ф. Смирнов [112], P.P. Матевосян [78]). Последнее происходит в том случае, когда удаляемая связь оказывается в узле (или на узловой линии) собственной формы потери устойчивости или формы собственных колебаний основной системы метода сил.

Я.Л. Нудельман [86] показал, что собственные формы потери устойчивости сжатого стержня не ортогональны по прогибам. Ортогональны функции, описывающие повороты сечения стержня.

Элементы «качественной» теории сжатых упругих рам были заложены в работах Н.В. Корноухова и А.Ф. Смирнова. В частности, Н.В. Корноухов [61] ввел понятие равноустойчивости отдельных фрагментов сложной рамы и указал признаки возможной декомпозиции сложной рамы на ряд более простых равноустойчивых фрагментов.

А.Ф. Смирнов [112] ввел понятия стесненной и принужденной потери устойчивости для двух неравноустойчивых фрагментов и показал возможность получения двусторонних оценок минимальной критической нагрузки в случае, когда эти фрагменты соединяются друг с другом только одной связью. Строгое доказательство теоремы А.Ф. Смирнова было дано в работе Г.А. Мануйлова [74]. Попытка распространить идею расчленения сложной упругой рамы на отдельные независимые фрагменты путем удаления нескольких связей в общем случае не эффективна и дает лишь оценку нижней критической силы. Объясняется это тем, что удаление нескольких связей ослабляет упругую систему (теорема Раусса-Релея), поэтому верхнюю оценку таким путем в общем случае нельзя. Соответствующих опровергающий пример предложил К.А. Жуков [73].

Однако предложенная А.Ф. Смирновым теорема о расчленении послужила отправным пунктом поиска способов определения наиболее «слабого» элемента в составе сложной упругой системы, который провоцирует потерю устойчивости ее исходного равновесия. Для рам эта задача была решена на основе апостериорных энергетических представлений почти одновременно A.B. Александровым [3], A.B. Перельмутером и В.И. Сливкером [90].

Ранее апостериорные оценки по признаку наибольших перемещений узлов рамы, примыкающих к слабейшему сжатому элементу рамы, высказывалась А.Н. Раевским [105]. Ему также принадлежит интересное предложение по определению расчетных длин сжатых элементов рам, которое учитывает роль соответствующего сжатого стержня в формировании одной из высших критических нагрузок рамы.

Попытка улучшить алгоритм определения расчетных длин с учетом

многопараметрического нагружения, а также результаты и весьма

13

содержательных экспериментальных исследований приведены в работе Н.Г. Куликова [67].

В 60-е годы прошлого столетия в связи с применением цифровых вычислительных машин, появилась проблема возможного пропуска наименьшей критической нагрузки для достаточно сложных рамных систем. Вопрос разработки критерия, определяющего место фиксированной нагрузки в спектре критических сил сложной рамы на основе закона инерции квадратичных форм и возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду при помощи неортоганальных преобразований разрабатывался Я.Л. Нудельманом [86], Л.С. Ляховичем [72], P.P. Матевосяном [78]. Окончательная формулировка критерия представлена в работе [87].

Несколько вариантов шагового метода «неособенных продолжений», в котором величина текущего шага выбиралась так, что она была всегда меньше «расстояния» от Р до Ркр

|АР|<|Ркр-Р

было предложено Г.А. Мануйловым. Быстро сходящийся вариант метода неособенных продолжений, позволяющий на каждом шаге иметь все более и более узкие двусторонние оценки искомой наименьшей критической нагрузки для рамы со сжатым стержнем был предложен в 1990 г. К.А. Жуковым и Г.А. Мануйловым [46].

Вариант шагового метода неособенных продолжений для исследования устойчивости нелинейно деформируемых тонкостенных оболочек предложен Г.А. Мануйловым и К.А. Жуковым и детально разработан с использованием оригинальных конечных элементов С.Б. Косицыным [73].

Различные варианты бифуркационных диаграмм геометрически и физически нелинейных конструкций, соответствующие определенным типа закритического поведения, были классифицированы Я.Г. Пановко [89].

Алгебраизация трансцендентных функций краевых усилий (зависящих от параметра сжимающей нагрузки) была предложена А.Р. Ржаницыным [107]. Это

позволяло сводить задачу вычисления бифуркационной нагрузки к решению стандартной обобщенной проблемы собственных значений. Отметим, что в настоящее время упрощенные линейные «болотинские поправки» используются в МКЭ при построении матрицы касательной жесткости.

Весьма интересный вариант энергетического метода для определения бифуркационной нагрузки упругих рам был разработан A.B. Александровым [4].

Дискретный аналог статического метода Эйлера в задачах устойчивости, разработанный А.Ф. Смирновым ([112], метод малых возмущений) был впоследствии успешно развит применительно к определению критических нагрузок сложных комбинированных систем и развитию деформационного расчета рам со стойками переменной жесткости (Б.Я. Лащеников [68]).

Расчеты упругих рам с учетом геометрической нелинейности и возможной потери устойчивости рассматривались в работах Р.К. Бриджа [146], А. Писату и У. Тена [184], Р.К. Кваши и Д.А. Дадеппо [185].

Интерес к исследованию задач устойчивости плоских арок в геометрически нелинейной постановке определяется двумя особенностями. Во-первых, арка это сильно упрощенная плоская модель оболочки, и многие особенности потери устойчивости оболочек присущи и плоской арке. Во-вторых, то обстоятельство, что критические нагрузки для арок, полученные из линеаризованного анализа, могут быть гораздо выше действительных критических нагрузок, определенных с учетом геометрической нелинейности (см. главу 2.4.2). Характерные примеры приведены в [64], где, например, показано, что линеаризованный расчет полукруговой защемленной арки на действие сосредоточенной силы дает бифуркационную критическую нагрузку, примерно в 1,5 раза больше действительной нагрузки, соответствующей хлопку из предельной точки.

Еще хуже обстоит дело с учетом влияния начальных несовершенств.

Линеаризованный расчет показывает, что смещение силы от замкового сечения

увеличивает критическую нагрузку, тогда как на самом деле эти смещения

являются начальными несовершенствами, которые снижают действительную

критическую нагрузку. Правильный учет этого влияния возможет только при

15

помощи решения соответствующей задачи устойчивости в геометрически нелинейной постановке. Отметим, что впервые теоретические и экспериментальные исследования арок и рам с учетом начальных несовершенств были выполнены в работах JI. Роорды [186].

Задачи устойчивости плоских арок в геометрически нелинейной постановке исследовались в работах М.З. Коха и М. Абадель-Рохман [152], P.C. Корнфорта и С,Б. Чилдса [153], Е.Ф. Мазура и Д.Л.С. Лоо [180].

Расчеты рам на устойчивость с учетом геометрической нелинейности в смешанной форме (по аналогии с уравнениями Кармана для гибких пластин) был предложен в ряде работ Д.М. Бениаминовым [14]. В его соотношениях геометрическая нелинейность учитывалась только в уравнениях совместности деформаций (квадраты углов поворота жестких узлов рамы). Уравнения равновесия были линейными относительно характерных перемещений. Такой «полу-нелинейный» вариант смешанного метода если и дает правдоподобное качественное представление о закритическом поведении рамы, то лишь при очень малых величинах закритических деформаций и перемещений, только для рам с несимметричной бифуркационной диаграммой.

Расчет упругих стержневых систем с учетом больших перемещений применительно к аркам, рамам и системам гибких нитей был разработан В.Б. Зылевым и реализован в виде программы совместно с A.B. Штейном и Г.П. Соловьевым [50, 52]. Результаты численных расчетов некоторых геометрически нелинейных систем сопоставлялись с экспериментами. Совпадение или близость этих величин были весьма хорошими. Отметим, что важную роль в развитии правильных представлений о закритической работе геометрически нелинейных упругих стержневых систем сыграли исследования Е.П. Попова [97].

Устойчивость и закритическое равновесие плоских круговых двухшарнирных и защемленных арок при действии гидростатического давления исследовались в работе [38]. Решение выполнялось шаговым методом по нагрузке, а краевая задача решалась методом конечных разностей. Главное

внимание авторы уделили расчету круговых арок с учетом геометрической нелинейности, контактирующих с упругим основанием.

Дж. Аргирис [9] представил несколько конечноэлементных решений задач устойчивости геометрически нелинейных круговых арок. Использовались разработанные им КЭ высоких порядков типа SHEBA и TRUMP. Радиальная, приложенная к арке, нагрузка считалась равномерно распределенной. Арки

устойчивость в предельной точке. При к=10 хлопок также имел место, но после предварительной неустойчивой бифуркации. Совпадение критических нагрузок с точными решениями А.Д. Керра и М.Т. Сойфера [172] было в пределах трех знаков. Несовершенство в виде момента, приложенного в замковом сечении, вызывало весьма сильное падение критических нагрузок в обеих рассмотренных задачах.

В работе [172] было показано, что если параметр пологости к меньше чем к*=5,024, то при действии радиальной распределенной нагрузки круговая защемленная арка теряет устойчивость хлопком из предельной точки. Если же к>к*, то потеря устойчивости происходит в точке неустойчивой бифуркации. Установлено, что для двухшарнирных арок аналогичное пограничное значение

Аналогичная задача устойчивости круговой арки с привлечением теории закритичсекого равновесия Койтера и КЭ анализа рассматривалась в работе А.Д. Хафтки, Р.Ч. Малета и В. Нахтбара [162].

Вслед на Е.П. Поповым, Дж. Аргирис [9] подробно рассмотрел варианты кинематического нагружения двухшарнирной арки путем вертикального смещения ее замкового сечения. В этой задаче кривая равновесия разрывна, поскольку переход от «вывернутого» равновесия с двумя точками перегиба в близкое финальное «перевернутое» равновесие, реализуется через два последовательных хлопка из предельных точек. Хлопки соответствуют моменту

имели параметры пологости к=4 и 10. При

арка теряла

к*=2,26.

вырождения матрицы касательной жесткости и являются причиной нарушения непрерывности диаграммы равновесий.

С целью исследования влияния параметра растяжимости арки на характер сценария плоской потери устойчивости Дж. Хаддлстон [130, 131] рассмотрел геометрически нелинейную задачу устойчивости круговых непологих арок. Однако, в рассмотренных им примерах значения параметра принимались слишком большими, которые не могут быть реализованы в действительных конструкциях. В настоящей работе влияние параметра растяжимости оси арки рассмотрено в главе 2.4.3. Ранее влияние растяжимости оси арки на критические нагрузки потери усйточивости круговых арок была исследована А.Д. Лизаревым и Г.Н. Бореевой [70].

Геометрически и физически нелинейные плоские задачи устойчивости плоских арок рассмотрены в работах В. Ананяна [6] и М. Гучмазовой [39]. Как и следовало ожидать критические нагрузки для арок, теряющих устойчивость за пределами применимости загона Гука, оказались значительно меньше критических нагрузок для таких же арок из неограниченно упругого материала.

Для малоэтажных однопролетных и двупролетных рам промышленных зданий, интересные результаты в задачах устойчивости с учетом геометрической и физической нелинейности были получены в работе М.М. Саада [109].

В.Б. Зылев и A.B. Штейн [51] методом «стрельбы» исследовали

геометрически нелинейные задачи устойчивости плоских круговых арок и арок

специальной формы, которая получена как форма закритического равновесия

продольно сжатого стержня с шарнирным опиранием по концам. Такая арка

является преднапряженной. Нагузка в виде сосредоточенной силы

прикладывалась в замковом сечении. Авторы отмечают, что для всех арок в

диапазоне значений параметра пологости f/L от 0,02 до 0,5 потеря устойчивости

происходила по типу неустойчивой бифуркации с последующим хлопком в

далекое «перевернутое» равновесие. Числовые расчеты критических нагрузок

для преднапряженных арок были подвергнуты экспериментальной проверке.

Результаты экспериментов достаточно хорошо подтвердили как характер

18

бифуркационной потери устойчивости симметричного равновесия арок, так и значения вычисленных критических нагрузок. В работе приведены формулы для определения критических значений сосредоточенной силы с учетом геометрической нелинейности, которые показали что наиболее устойчивые арки имеют отношение f/L ~ 0,35.

В книге Э.И. Григолюка и В.И. Шалашилина [32] приводятся результаты исследования явления потери устойчивости двухшарнирных круговых арок с углами раскрытия 45°, 90°, 135° и 180° в геометрически нелинейной постановке под нагрузкой в виде равномерно распределенного гидростатического давления. Все перечисленные арки теряли устойчивость симметричного равновесия в точках бифуркации. Но если у более пологих арок (2а=45° и 90°) бифуркация в несимметричное равновесие была неустойчивой и они сразу же прощелкивали в далекое «перевернутое» равновесие, то полукруговая арка теряла устойчивость по двухступенчатому сценарию: сначала при qKpi арка теряла устойчивость «в малом»; развивающаяся несимметричная закритическая форма равновесия «держала» нагрузку вплоть до второго критического значения qKp2, при которой происходил хлопок из предельной точки. Граница между устойчивой и неустойчивой бифуркациями соответствовала 2а=135°.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бегичев, Максим Михайлович, 2013 год

Список литературы

1. Акимов, П.А. Об одном корректном варианте реализации дискретно-континуального метода конечных элементов для решения задач статического расчета балок-стенок. Часть 3: Программная реализация и примеры расчетов [Текст] / П.А. Акимов, M.JI. Мозгалева / В.Н. Сидоров // Int. Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2013. - Vol. 9, №3. - P. 80-97.

2. Александров, A.B. Предельная нагрузка для сжатых и сжато-изогнутых стержней в упругопластической стадии [Текст] / A.B. Александров, A.B. Матвеев // Вестник МИИТа. - 2000. - Вып.З. - С. 103-122.

3. Александров, A.B. Роль отдельных элементов стержневой системы при потере устойчивости [Текст] / A.B. Алексадров // Вестник МИИТа, Научно-технический журнал. - 2001. - Выпуск 5. - М.:2001. - С.46.

4. Александров, A.B. Энергетический способ определения критической нагрузки рамных систем [Текст] / A.B. Александров // Строительная механика. Труды МИИТ. - 1957. - Вып. 91. - С.149-166.

5. Ал футов, H.A. Устойчивость движения и равновесия : Учеб. для вузов [Текст] / H.A. Алфутов, К.С. Колесников. - М.: Изд-во МГТУ. - 2003 - 253 с.

6. Ананян, В.В. Деформирование и предельная несущая способность физически и геометрически нелинейных стержневых систем [Текст] Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. / В.В. Ананян. - М. - 1986. - 105 с.

7. Андреев, А.Н. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: изгиб, устойчивость, колебания [Текст] / А.Н. Андреев, Ю.В. Немировский. -Новосибирск: Наука. - 2001. - 340 с.

8. Арбоч, И. Влияние начальных прогибов на устойчивость оболочек [Текст] / И. Арбоч // Тонкостенные обол очечные конструкции: Теория, эксперимент, проектирование. -М.: Машиностроение. - 1980. - С. 222-259.

9. Аргирис, Дж.Г. Вычислительные машины и механика [Текст] / Дж.Г. Аргирис // Теоретическая и прикладная механика. Труды международного конгресса IUTAM. - М.: Мир. - 1979. - С. 15-99.

10. Арнольд, В.И. Теория катастроф [Текст] / В.И. Арнольд. - М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит. - 1990. - 128 с.

11. Бегичев, М.М. Исследование устойчивости четырехпанельной фермы в условиях статического и инамического нагружений с учетом упругопластических деформаций [Текст] / М.М. Бегичев // Int. Journal for Computational Civil and Structural Eng. - Vol.7, Issue 3. - 2011. - P. 55-61.

12. Бегичев, М.М. Особенности численного моделирования в задачах устойчивости упругих пластин и оболочек. / М.М. Бегичев // Труды научно-практической конференции Неделя науки - 2010. «Наука МИИТа -транспорту» М.: МИИТ, 2010. С. VI-61 - VI-62.

13. Бендич, H.H. О плотности собственных значений в задачах устойчивости тонких упругих оболочек [Текст] / H.H. Бендич, В.М. Корнев // ПММ. - 1971. - Т. 35, вып. 2.

14. Вениаминов, Д.М., Нелинейный численный анализ деформаций и устойчивости одной простой рамы [Текст] / Д.М. Вениаминов, И.В. Лебедева // Строительная механика и расчет сооружений. - 1986. - №4. - С. 42-45.

15. Болотин, В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости [Текст] / В.В. Болотин // Проблемы механики твердого деформируемого тела. - Л.: Судостроение. - 1973. - С. 83-88.

16. Болотин, В.В. О понятии устойчивости в строительной механике [Текст] / В.В. Болотин // Проблемы устойчивости в строительной механике. — М.: Стройиздат. - 1965. - С. 6-27.

17. Будянски, Б. Замечания по нелинейной теории оболочек [Текст]/ Б. Будянски // Прикладная механика. Труды ASME. Серия Е. - 1968. - Том 35, №4.-С. 357-367.

18. Булыгин, A.B. Устойчивость и осесимметричные деформации

тороидальной оболочки под действием внешнего давления [Текст]/ A.B.

209

Булыгин // Труды IX всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Л.: Судостроение. - 1975. - С. 114-116.

19. Бушнелл, Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек -ловушка для проектировщика [Текст] / Д. Бушнелл // AIAA Journal. - 1981. -Vol. 19, №9.-С. 1183-1226.

20. Бушнелл, Д. Симметричное и несимметричное выпучивание эксцентрично подкрепленных оболочек вращения при конечных прогибах [Текст] / Д. Бушнелл // Ракетная техника и космонавтика. - 1967. - Т.5, №8. -С. 95-104.

21. Валишвили, Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭВМ [Текст] / Н.В. Валишвили. - М.: Машиностроение. - 1976. - 278 с.

22. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее применение в технике [Текст] / В.З. Власов. - M.-JL: Гостехиздат. - 1949. - 784 с.

23. Возлинский, В.И. О численной оценке области асимптотической устойчивости. Вопросы устойчивости точек ветвления равновесия [Текст] / В.И. Возлинский // Сборник: теория устойчивости и ее применение. -Новосибирск: Наука. СО АН СССР. - 1977. - С. 94-100.

24. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / A.C. Вольмир. - М.: Наука. - 1967. - 984 с.

25. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории оболочек [Текст] / И.И. Ворович. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1989. -376 с.

26. Ворович, И.И. Проблема устойчивости и численные методы и теории сферических оболочек [Текст] / И.И. Ворович, Н.И. Минакова // Итоги науки и техники. Серия Механика твердых деформруемых тел. - 1973. Т.7. - С. 586.

27. Габрильянц, А.Г. Об осесимметричных формах равновесия упругой сферической оболочки, находящейся под действием равномерно распределенного давления [Текст] / А.Г. Габриелянц, В.И. Феодосьев //

Прикладная математика и механика. - 1961. - Том XXV. - С. 1092-1101.

210

28. Галеркин, Б.Г. Стержни и пластинки [Текст] / Б.Г. Галеркин // Собрание Сочинений. Т.1. - М.: изд-во АН СССР. - 1952. - 391 с.

29. Геммерлинг, A.B. Несущая способность стержневых стальных конструкций [Текст] / A.B. Геммерлинг. - М.: Госстройиздат. - 1958. -216 с.

30. Григолюк, Э.И. Механика деформирования сферических оболочек [Текст] / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. - М.: Изд-во Моск. Ун-та. - 1983. -114 с.

31. Григолюк, Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций [Текст] / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. -М.: Наука. Физматлит. -1997.-272 с.

32. Григолюк, Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования [Текст] / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука. -1988.-250 с.

33. Григолюк, Э.И. Теоретические и экспериментальные исследования устойчивости тонких оболочек за пределом упругости [Текст] / Э.И. Григолюк // Итоги науки. Механика. Упругость и пластичность. М.: ВНИИТИ. - 1966. - С. 7-80.

34. Григолюк, Э.И. Устойчивость оболочек [Текст] / Э.И. Гиголюк, В.В. Кабанов . -М.: Наука. - 1978. - 359 с.

35. Григоренко, Я.М. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) [Текст] / Я.М. Григоренко, В.И. Гуляев // Прикладная механика. - 1991.-Т. 27, №10.-С. 3-23.

36. Григоренко, Я.М. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ [Текст] / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. - Киев: Вища школа. - 1983. -286 с.

37. Грудев, И.Д. Устойчивость стержневых элементов в составе стальных конструкций [Текст] / И.Д. Грудев. - М.: МИК. - 2005. - 320 с.

38. Гуляев, В.И. Устойчивость нелинейных механических систем [Текст] / В.И. Гуляев, В.А. Баженов, Е.А. Гоцуляк. - Львов: Вища школа. - 1982. -254 с.

39. Гучмазова, М.А. Состояния равновесий и устойчивость упругопластических круговых арок [Текст] Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. / М.А. Гучмазова. - М. 1981. -110 с.

40. Джанелидзе, Г.И. Устойчивость равновесия нелинейно-деформируемых систем [Текст] / Г.И. Джанелидзе // Труды Ленингр. Политехи. Института. - 1955. -№178. - С. 45-57.

41. Джордан, П. Потеря устойчивости тороидальных оболочек под действием гидростатического давления [Текст] / П. Джордан // Ракетная техника и космонавтика. - 1973. - С. II, № 10. - С. 104-106.

42. Диаграммы деформирования [Электронный ресурс] / Сопротивление материалов и науки о прочности . www.mysopromat.ru [web-сайт] — Дата обращения: 19.03.2013.

43. Динник, А.Н Продольный изгиб и кручение [Текст] / А.Н. Динник. -М.: Издательство Академии наук СССР. - 1955г. - 392 с.

44. Доннел, Л.Г. Балки, пластины и оболочки: [Текст] / Л.Г. Доннел. Пер. с англ./Под. Ред. Э.И. Григолюка. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. - 1982. - 568 с.

45. Дэниельсон, Д.А. Теория устойчивости оболочек [Текст] / Д.А. Дэниельсон // Тонкостенные оболочечные конструкции: теория, эксперимент и проектирование. Под редакцией Григолюк Э.И. - М.: Машиностроение. -1980.-С. 70-82.

46. Жуков, К.А. Двусторонние оценки и приближения к наименьшему собственному значению рамной системы методом неособенных продолжений [Текст] / К.А. Жуков, Г.А. Мануйлов // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений. Межвузовский сборник науных трудов. - М.: МИИТ. - 1990. - С. 88-99.

47. Жуков, М.Ю. К вопросу о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния оболочек [Текст] / М.Ю. Жуков, Л.С. Срубщик //

Труды IX всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Л.: Судостроение. - 1975. - С. 121-123.

48. Зверяев, Е.М. Устойчивость неидеальной цилиндрической оболочки при осевом сжатии [Текст] / Е.М. Зверяев // Механика твердого тела . - 1991. - №1. - С. 149-159.

49. Зубчанинов, В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость [Текст] / В.Г. Зубчанинов. - М.: Физматлит. - 2007. - 448 с.

50. Зылев В.Б. Расчет плоской стержневой системы на большие прогибы методом конечных элементов [Текст] / В.Б. Зылев, Г.П. Соловьев // Расчет транспортных и строительных конструкций с применением ЭВМ. Межвузовский сборник. - М.: МИИТ. - 1981. - С. 95-101.

51. Зылев В.Б. Результаты исследования устойчивости арок при учете конечных перемещений [Текст] / В.Б. Зылев, А.В. Штейн / В сб. Вычислительные методы в исследовании строительных конструкций. -М.: ЦНИИСК им. Кучеренко. - 1987. - С. 101-106.

52. Зылев В.Б. Статический расчет нелинейных ните-стержневых систем. Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий по дисциплине «Динамика и устойчивость» для студентов строительных специальностей, [Текст] / В.Б. Зылев, А.В. Штейн. - М.: МИИТ.-1989.-36 с.

53. Иванченко, И.И. Метод подконструкций в задачах динамики скоростной монорельсовой дороги. / И.И. Иванченко // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2008. - №6. - С. 101-117.

54. Кабанов, В.В. Устойчивость оболочечных конструкций летательных аппаратов. Прошлое, настоящее, будущее [Текст] / В.В. Кабанов // Тр. Всероссийской н.-т. конференции под редакцией А.Н. Серьезнова. -Новосибирск: Сиб-НИА. - 2005. - С. 32-42.

55. Кантор, Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек [Текст] / Б.Я. Кантор. - Киев: издательство «Наукова Думка». -1971.-136 с.

56. Каплан, Э. Потеря устойчивости сферическими оболочками [Текст] / Э. Каплан // Тонкостенные оболочечные конструкции: Теория, эксперимент и проектирование. -М.: Машиностроение. - 1980. - С. 260-302.

57. Клюшников, В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем [Текст] / В.Д. Клюшников. - М.: Наука. - 1980. - 240 с.

58. Копанев, Д.Б. Решение задач нелинейной статики в М8С.Ра1хап-Ыаэ^ап. Руководство пользователя [Текст] / Д.Б. Копанев. - М.: 1999. - 85 с.

59. Корнев, В.М. О решении задач устойчивости оболочек с учетом плотности собственных значений [Текст] / В.М. Корнев // Труды IX всесоюзной конференции оп теории оболочек и пластин. - Л.: Судостроение. -1975.-С. 132-134.

60. Корнишин, М.С. Гибкие пластины и панели [Текст] / М. С. Корнишин, Ф. С. Исанбаева. - 1968. - 257 с.

61. Корноухов, Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем [Текст] / Н.В. Корноухов. - М.: Госстройиздат. - 1949. - 376 с.

62. Коробейников, С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел [Текст] / С.Н. Коробейников. Новосибирск: Издательство СОР АН. - 2000. -262 с.

63. Косицын, С.Б. Об одном численном методе решения геометрически нелинейных осесимметричных задач изгиба пологих оболочек [Текст] /С.Б. Косицын, Г.А. Мануйлов // Материалы по металлическим конструкциям. Выпуск 19. - М.: Стройиздат. - 1977. - С. 192-204.

64. Косицын, С.Б. Об устойчивости жестко заделанных круговых арок и цилиндрических облолочек под действием сосредоточенной силы [Текст] / С.Б. Косицын, Г.А. Мануйлов // Юбилейный сборинк докладов, поев. 100-летию со дня рождения В.З. Власова и 85-летию каф. "Строительная механика". - М.: МГСУ. - 2006. - С. 99-108.

65. Кривошапко, С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре

зданий, конструкций и изделий: Монография [Текст] / С.Н. Кривошапко,

И.А. Мамиева. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ». - 2012. - 328 с.

214

66. Кривошапко, С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ". -2010.-560 с.

67. Куликов, Н.Г. Устойчивость стержневых систем при парциальной норме нагружения [Текст] / Н.Г. Куликов. - Пенза: Пензенский государственный архитектурно-строительный институт. - 1994. - 169 с.

68. Лащенников, Б.Я. Применение матричных алгоритмов при решении некоторых задач с помощью интеграла Мора [Текст] / Б.Я. Лащенников // Труды МИИТ «Строительная механика». -М.: МИИТ. - 1962. - С. 143-159.

69. Лейтес, С.Д. Исследование устойчивости внецентренно сжатых упруго-пластических стержней [Текст] / С.Д. Лейтес, А.Г. Раздольский // Строительная механика и расчет сооружений. - 1967. - №1. - С. 1-5.

70. Лизарев А.Д. О влиянии изменения длины оси на устойчивость непологих круговых арок [Текст] / А.Д. Лизарев, Г.Н. Бореева // Сб. Проблемы устойчивости в строительной механике. - М.: Стройиздат. - 1965. -С. 407-434.

71 . Липовцев, Ю.В. К устойчивости упругих и вязко-упругих оболочек при наличии локальных напряжений [Текст] /Ю.В. Липовец // Известия АН СССР. МТТ- 1968.-№5. -С. 14-18.

72. Ляхович, Л.С. Некоторые вопросы качественного анализа устойчивости стержневых систем, исследуемых методом перемещений. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения Л.С. Ляхович // В сб. Проблемы устойчивости в строительной механике. - М.: Стройиздат. - 1965. _ с. 435-440.

73. Мануйлов, Г.А. Метод неособенных продолжений в задачах устойчивости нелинейно деформируемых систем [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, К.А. Жуков // Строительная механика и расчет сооружений. -1989.-№5.-С. 68-72.

74. Мануйлов, Г.А. Оценки собственных значений упругих систем на

основе обобщенной теоремы Смирнова [Текст] / Г.А. Мануйлов // Численные

215

методы решения задач строительной механики транспортных сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. - М.: МИИТ. - 1991. - С. 33-42.

75. Мануйлов, Г.А. О равновесии и устойчивости равновесия упругих стержневых систем с учетом влияния начальных несовершенств [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын // Труды Всероссийской научно-практической конференции "Инженерные системы - 2008". Москва, 7-11 апреля 2008 г. -М.:РУДН.-2008.-380 с.

76. Мануйлов, Г.А. Исследование устойчивости круговых двухшарнирных арок с учетом влияния начальных несовершенств [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Строительная механика и расчет сооружений. Научно-технический журнал. - 2009. - № 1. - С. 17-23.

77. Мануйлов, Г.А. Особенности численного моделирования и решения задач устойчивости упругих пластин и оболочек [Текст] / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010». - М.: РУДН. -2010. - С. 227236.

78. Матевосян, P.P. Устойчивость сложных стержневых систем (качественная теория) [Текст] / P.P. Матевосян. // Труды ЦНИИСК. - М.: Госстройиздат. - 1961. - 252 с.

79. Мещеряков, В.Б. Устойчивость стержней при продольном и поперечном ударе / В.Б. Мещеряков, Аунг Зо Лат // Известия Транссиба. -2012. -№1. - С. 98-106.

80. Милейковский, И.Е. Расчет тонкостенных конструкций [Текст] / И.Е. Милейковский, С.И. Трушин. - М.: Стройиздат. - 1989. - 200 с.

81. Морозов, Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости [Текст] / Н.Ф. Морозов. - Л.: Изд-во Лен. Университета. - 1978. - 182 с.

82. Морозов, Н.Ф. К вопросу о существовании несимметричных решений в задачах о больших прогибах круглой пластины, загруженной симметричной нагрузкой [Текст] / Н.Ф. Морозов // Изв. высш. учебн.

заведений СССР. Сер. мат. - 1961. - 21, №2. - С. 126-129.

216

83. Муртазалиев, Г.М. Методы теории катастроф в задачах устойчивости пологих оболочек. Диссертация на соискание ученой степени доктора техничеких наук [Текст] / Г.М. Муртазалиев. — Махачкала. - 1996. - 250с.

84. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек [Текст] / Х.М. Муштари, К.З. Галимов - Казань: Таткнигоиздат. - 1957. - 351 с.

85. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости [Текст] / В.В. Новожилов. -М.: Гостехиздат. - 1948. - 211 с.

86. Нудельман, Я.Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем [Текст] / Я.Л. Нудельман. - М.-Л. -1949.- 175 с.

87. Нудельман, Я.Л. Уточнение критерия, определяющего место заданного числа в спектре собственных частот и критических сил упругих систем [Текст] / Я.Л. Нудельман, Л.С. Ляхович. // В сб. Исследования по строительным конструкциям. Тр. Томского инж-стр. института. Вып XIV. -Томск. - 1968. - С. 8-98.

88. Панов, Д.Ю. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах [Текст] / Д.Ю. Панов, В.И. Феодосьев // ПММ. — 1948. - Т. 12, вып. 4. - С. 398-406.

89. Пановко, Я.Г. О типах потери устойчивости при статическом нагружении [Текст] / Я.Г. Пановко //В сб. Строительная механика, посвящ. 80 лет член-корр. АН СССР И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат. - 1966. -С. 118-125.

90. Перельмутер, A.B. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа [Текст] / A.B. Перельмутер, В.И. Сливкер. - Киев: Сталь. - 2002. -597 с.

91. Перельмутер, A.B. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Том 1 [Текст] / A.B. Перельмутер, В.И. Сливкер. -М.: Издательство СКАД СОФТ - 2007. - 670 с.

92. Пиковский, A.A. Статика стержневых систем со сжатыми

элементами [Текст] / A.A. Пиковский. -М.: физ.-мат. лит. - 1961 -396 с.

217

93. Пинаджян, B.B. Прочность и деформации сжатых стержней металлических конструкций [Текст] / В.В. Пинаджян. - Ереван: Издательство АН Армянской ССР.. - 1971. - 224 с.

94. Погорелов, A.B. Геометрическая теория устойчивости оболочек [Текст] / A.B. Погорелов. - М.: Наука. - 1966. - 296 с.

95. Погорелов, A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек [Текст] / A.B. Погорелов. - М.: «Наука» Физматгиз. - 1967. -280 с.

96. Погорелов, A.B. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек [Текст] / A.B. Погорелов. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит. - 1986. - 96 с.

97 . Попов, Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней [Текст] / Е.П. Попов. - М.: Гос. изд. технико-теоретической лит. - 1948. - 172 с.

98. Постников, М.М. Введение в теорию Морса [Текст] / М.М. Постников // М.: Наука. - 1971. - 568 с.

99. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения [Текст] / Т. Постон, И. Стюарт. - М.: Мир. - 1980. - 608 с.

100. Потапов, В.Д. Об устойчивости стержней в упругопластической стадии [Текст] / В.Д. Потапов // Исследования в области транспортной и строительной механики. Труды МИИТа. Вып. 311.- М.: Транспорт. - 1970. -С. 100-107.

101. Прокофьев, И.П. Теория сооружений. Том III [Текст] / И.П. Прокофьев, А.Ф. Смирнов. - М.: Трансжелдориздат. - 1948. - 244 с.

102. Рабинович, И.М. Курс строительной механики Том II [Текст] / И.М. Рабинович. - М.: Госстройиздат. - 1954. - 544 с.

103. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела [Текст] / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука - 1988. -712 с.

104. Работнов, Ю.Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности [Текст] / Ю.Н. Работнов // Инженерный сборник. -1952. -Т. XI. - С. 123-126.

105. Раевский, А.Н. Практический способ расчета многоэтажных рам [Текст] / А.Н. Раевский, П.П. Дорофеев // Строительная механика и расчет сооружений. - 1974. № 6. - С. 47-50.

106. Рачков, В.И. Экспериментальные исследования устойчивости эллиптических днищ при внешнем давлении [Текст] / В.И. Рачков // VI Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. - 1966. - С. 650655.

107. Ржаницын, А.Р. Приближенный расчет гибких рам [Текст] / А.Р. Ржаницын // Вестник инженеров и техников. - № 2. - 1947.

108. Рудых, Г.Н. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек [Текст] / Г.Н. Рудых // Труды ЦАГИ. - Вып. 1114. - 1969. - 49 с.

109. Саад, М.М. Влияние геометрической и физической нелинейностей на деформирование плоских рам. Диссетрация на соискание ученой степени кандидата технических наук [Текст] / М.М. Саад. - М. 1994. - 143 с.

110. Секлер, Э.Э. Развитие исследования оболочек и их расчета [Текст] / Э.Э. Секлер // Тонкостенные оболочечные конструкции: теория, эксперимент и проектирование. - М.: Машиностроение. - 1980. - С. 20-54.

111. Серов, H.A. Устойчивость оболочек вращения при некоторых видах нагрузок [Текст] / H.A. Серов. - Л.: Издательство Ленинградского университета,. - 1974. -208с.

112. Смирнов, А.Ф., Статическая и динамическая устойчивость сооружений [Текст] / А.Ф. Смирнов. - М.: Государственное транспортное железнодорожное издательство. - 1947. - 308 с.

113. Срубщик, Л.С. Влияние начальных несовершенств на выпучивание упругих оболочек при кратных критических нагрузках [Текст] / Л.С. Срубщик // ПММ. - 1980. - Т. 44, вып. 5. - С. 892-904.

114. Срубщик, Л.С. К вопросу о нежесткости в нелинейной теории пологих оболочек [Текст] / Л.С. Срубщик // Известия АН СССР. Серия мат. -1972.-№4.-С. 890-909.

115. Срубщик, JI.С. Нежесткость сферического купола [Текст] / Л.С. Срубщик // ПММ. - 1968. - Т.32, вып. 3. - С. 435-444.

116. Твергард, В. Поведение пластинок и оболочек при выпучивании [Текст] / В. Твергард // Теоретическая и прикладная механика. Труды международного конгресса IUTAM. - М.: Мир. - 1979. - С. 495-527.

117. Теория гибких круглых пластинок, под ред. Вольмира A.C. / Перевод с Кит. - М.: Издательство иностранной литературы. - 1957. - 208 с.

118. Терстон, Г.А. Новых метод расчета осесимметричного выпучивания сферических куполов [Текст] / Г.А. Терстон // Труды ASME, серия Е, Прикладная механика. - №1. - 1971. - С. 170-177.

119. Терстон, Г.А., Пенинг Ф.А. Влияние осесимметричных несовершенств на выпучивание сферических оболочек при внешнем давлении [Текст] / Г.А. Терстон, Ф.А. Пенинг // Ракетная техника и космонавтика. - М.: Мир. - №2. - 1969.

120. Тимошенко, С.П. Расчет биметаллических термостатов [Текст] / С.П. Тимошенко // Устойчивость стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука. -1971.-С. 534-552.

121. Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем [Текст] / С.П. Тимошенко / М.: Огиз, Гостехиздат. 1946. - 533 с.

122. Томпсон, Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике [Текст] / Дж.М.Т. Томпсон. - М.: Мир. - 1985. - 254 с.

123. Томпсон, Дж.М.Т. Теория катастроф и ее роль в прикладной механике [Текст] / Дж.М.Т. Томпсон // Теоретическая и прикладная механика. Труды международного конгресса IUTAM. - М.: Мир. - 1979. - С. 695-710.

124. Трушин, С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи [Текст] / С.И. Трушин. - М.: АСВ. - 2008. - 256 с.

125. Трушин, С.И. Анализ устойчивости нелинейно деформируемых

сетчатых оболочек [Текст] / С.И. Трушин, A.B. Михайлов // Строительная

механика и расчет сооружений. - 2007. - №3. - С. 18-22.

220

126. Трушин, С.И. Расчет нелинейно деформируемых пологих сетчастых оболочек вариационно-разностным методом [Текст] / С.И. Трушин, A.B. Михайлов // Строительная механика и расчет сооружений. - 2009. — №3. — С. 23-27.

127. Феодосьев, В.И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно распределенного давления [Текст] / В.И. Феодосьев // Прикладная математика и механика. Том XVIII.-1954.-С. 36-42.

128. Феодосьев, В.И. Осесимметричная эластика сферической оболочки [Текст] / В.И. Феодосьев // Прикладная математика и механика. Вып. 2. -1969.-С. 280-286.

129. Флюгге, В. Статика и динамика оболочек [Текст] / В. Флюгге. - М.: Стройиздат. - 1961. - 306 с.

130. Хаддлстон, Дж.В. Конечные перемещения и прощелкивания круговых арок [Текст] / Дж.В. Хаддлстон // Прикладная механика. Труды ASME.-№4.-1968. С. 153-159.

131. Хаддлстон, Дж.В. Нелинейный расчет непологих сжимаемых арок произвольной формы [Текст] / Дж.В. Хаддлстон // Прикладная механика. Труды ASME. -№3. - 1971. С. 227-231.

132. Хилл, Р. Бифуркация и единственность в нелинейной механике сплошной среды [Текст] / Р. Хилл // Проблемы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. - М.: АН СССР. - 1961. -С. 448-457.

133. Хофф, Н.Дж. Решения по методу теории возмущений для задач о потере устойчивости тонких цилиндрических оболочек конечной и бесконечной длины по действием осевого сжатия [Текст] / Н.Дж. Хофф, C.JI. Дим // Труды ASME, Серия Е, Прикладная механика. - №4. - 1968. - С. 143152.

134. Хофф, Н.Дж. Прощелкивание несовершенных тонкостенных круговых цилиндрических оболочек конечной длины [Текст] / Н.Дж. Хофф,

К.У. Нарисимхан // Труды ASME, Серия Е, Прикладная механика. - №1. -1971.-С. 154-163.

135. Циглер, Г. Основы теории устойчивости конструкций [Текст] / Г. Циглер. -М.: Мир. - 1971. - 192 с.

136. Чудновский, В.Г., Методы расчета колебаний и устойчивости упругих систем [Текст] / В.Г. Чудновский. - Киев: изд-во АН УССР. - 1952. -419 с.

137. Шевелев, Л.П. Основы теории устойчивости оболочек за пределом упругости [Текст] / Л.П. Шевелев. - Л.: Издательство Ленинградского университета. - 1982. - 168 с.

138. Шенли, Ф. Анализ веса и прочности самолетных конструкций [Текст] / Ф. Шенли. - М.: Оборонгиз. - 1957. - 406 с.

139. Якушев, В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек [Текст] / В.Л. Якушев. - М.: Наука - 2004. - 275 с.

140. Ямада, М. Соответствие результатов теоретического и экспериментального исследования больших прогибов заделанных пологих сферических оболочек, нагруженных внешним давлением [Текст] / М. Ямада, С. Ямада. // Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика. Под ред. Дж Томпсона и Дж. Ханта: Пер с англ./ Под ред. Григолюка. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит. - 1991. - 424 с.

141. Ямаки, Н. Закритическое поведение и чувствительность к несовершенствам круглой цилиндрической оболочки, подверженной сжатию [Текст] / Н. Ямаки // Теоретическая и прикладная механика. Труды международного конгресса IUTAM. - M.: Мир. - 1979. - С. 715-750.

142. Ясинский, Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней [Текст] / Ф.С. Ясинский. - М.-Л.: Госстройиздат. - 1952. - 427с.

143. Ali, L. Effect of multiple localised geometric imperfections on stability of thin axisymmetric cylindrical shells under axial compression [Text] / L. Ali, E.B. Jalal, К. Abdellatif, E.B. Larbi // International Journal of Solids and

Structures. - Vol. 48. - 2011. - P. 1034-1043.

222

144. Almroth, B.O. Influence of edge condition on the stability of axially compressed cylindrical shells [Text] / B.O. Almroth // AIAA Journal. - 1966. -Vol. 4, № 1. — P. 465-467.

145. Blachut, J. Buckling of axially compressed cylinders with imperfect length [Text]/ J. Blachut // Computers and Structures. - Vol. 88. - 2010. - P. 365374.

146. Bridge, R.Q. Large deflection analysis of portal frames [Text] / R.Q. Bridge // Civ. Eng. Trans. Inst. Eng. Austral. - 1979. - Vol. 2, P. 75-79.

147. Budiansky, B. Buckling of clamped shallow spherical shells [Text] / B. Budiansky // In W.T. Koiter (ed.): Proc. Symp. on the Theory of Thin Elastic Shells. North-Holland, Amsterdam. - 1960. - 64-94.

148. Budiansky, B. Buckling: progress and challenge [Text] / B. Budiansky, J.W. Hutchinson // Division of Applied Sciences, Harvard University, Cambridge, Massachusetts, USA. - Delft University Press, The Netherlands. - 1979. - P. 93116.

149. Budiansky, B. Initial Post-Buckling Behavior of Cylindrical Shells under External Pressure [Text] / B. Budiansky, J.C. Amazigo // J. Math and Phys. -1968.-№47.-P. 223-235.

150. Bushneil, D. Bifurcation pfenomena in spherical shells under consentrated and ring loads [Text] / D. Bushnell // AIAA J. - №5. - 1967. - P. 2034-2040.

151. Care, R.F. Finite element post-buckling analysis for frames [Text] / R.F. Care, R.S. Lawther, A.P. Kabalio // Int. Journ. Numer. Methods in Engineering. -1977. -Vol. II, No. 5. - P. 833-849.

152. Cohn, M.Z. Analysis up to collapse of elasto-plastic arches [Text] / M.Z. Cohn, M. Abdel-Rohman // Comput. And Struct. - 1976. - № 6. - P. 511-517.

153. Cornforth R.C. Computer analysis of two - ringed circular arches [Text] / R.C. Cornforth, S.B. Childs // J.Struct. Diw. Proc. Soc. Civ. Eng. - 1967. Vol. 2, №3.-P. 319-338.

154. DaDeppo, D.A. Sideaway buckling of deep circular arches under a concentrated load [Text] / D.A. DaDeppo, R. Schmidt // Journal of Applied Mechanics. - 1969. - Vol. 36, Issue 2. - P. 325-327.

155. Danielson, D.A. Buckling and Initial Postbuckling Behavior of Spheroidal Shells under Pressure [Text] / D.A. Danielson // AIAA Journal. - 1969. -Vol. 7, №5.-P. 936-944.

156. Dawe, D.J. Curved finite elements for the analysis shallow and deep arches [Text] / D.J. Dave // Comput. and Struct. - 1974. - P. 559-580.

157. Evan-Iwanowsky, R.M. Experimental investigations on deformations and stability of spherical shells subjected to concentrated loads at the apex [Text] / R.M. Evan-Iwanowsky, H.S. Cheng, T.C. Loo // Proc. 4th U.S. Natn. Congr. appl. Mech.-1962.-P.563.

158. European standard EN 1993-1-6. Eurocode 3 - Design of steel structures - Part 1-6: Strength and Stability of Shell Structures. - 2007.

159. Fitch, J.R. Buckling and Postbuckling Behavior of Spherical Caps under Axisymmetric Load [Text] / J.R. Fitch // AIAA Journal. - 1970. - Vol.8, №4. - P. 686-693.

160. Fitch, J.R. The buckling and post-buckling behavior of spherical caps under concentrated load [Text] / J.R. Fitch // Int. J. of Solids and Structures. -1968.-Vol. 4.-P. 421-446.

161. Galishnikova V.V. Geometrically Nonlinear Analysis of Plane Trusses and Frames [Text]/ V.V. Galishnikova, P. Dunaiski, P.J. Pahl // Stellenbosch (Republic of South Africa): SUNMeDIA. - 2009. - P.382.

162. Haftka, R.T. Adaptation of Koiter's method to finite element asalysis of snap-through buckling behavior [Text] / R.T. Haftka, R.H. Mallet, W. Nachbar // Int. J. Solids Structures. Vol. 7. - P. 1427-1445.

163. Ho, D. Buckling load of nonlinear systems with multiple eigenvalues [Text] / D. Ho // Int. J. Solids Struct. - 1974. - Vol. 10. - P. 1315.

164. Ho, D. The influence of imperfections on systems with coincident

buckling loads [Text] / D. Ho // Int. J. Non-linear Mech. - 1972. - Vol. 7. - P. 311.

224

165. Home, M.H. The stability of elastic-plastic structures [Text] / M.H. Home // Progress in Solid Mechanics. - 1961. - № 2. - P. 227-322.

166. Huang, N.G. Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells [Text] / N.G. Huag // Trans. ASME, ser. E. - 1964. - Vol 31, № 3. - P. 447-157.

167. Hubner, A. Buckling behaviour of large steel cylinders with patterned welds [Text] / A. Hubner, J.G. Teng, H. Saal // International Journal of Pressure Vessels and Piping. - Vol. 83. - 2006. - P. 13-26.

168. Hunt, G.W. Symmetries of elastic buckling [Text] / G.W. Hunt // Engeneering Structures. - 1982. - Vol. 4. - P. 21-28.

169. Hutchinson, J.W. Buckling and initial postbuckling behavior of oval cylindrical shells under axial compression [Text] / J.W. Hutchinson // Trans. ASME Journal of applied mechanics, E. — 1968. — N 3. — P. 66—72.

170. Karman, Th. The buckling of this cylindrical shells under axial compression [Text] / Th. Karman, H.S. Tsien // J. Aeron. Sei. - 1941. - №8, P.303-312.

171. Kassimali, A.M. Large deformation analysis of elastic-plastic frames [Text] / A.M. Kassimali // J. Struct. Eng. - 1985. - Vol. 109, № 8. - P. 1869-1886.

172. Kerr, A.D. The linearization of the pre-buckling state and its effect on the determined instability loads [Text] / A.D. Kerr, M.T. Soifer // Journal of applied mechanics. - 1969. - Vol. 36. - P. 775.

173. Koga, T. The axisimmetric Buckling of Initial Imperfect Complete Spherical Shells [Text] / T. Koga, N. Hoff // International Journal of Solid and Structures. - July, 1969.

174. Koiter, W.T. The effect of axisymmetric imperfections on the buckling of cylindrical shells under axial compression [Text] / W.T. Koiter // Proc. Koninkl. Ned. Ak. Wetenschap. - 1963. P. 265-279.

175. Koiter, W.T. Elastic stability and post-buckling behavior [Text] / W.T. Koiter // Univ. of Wise. Press. Proc. Symp. Nonlinear Problems, edited by Langer R.E. - 1963. - P. 257.

176. Koiter, W.T. On the Stability of Elastic Equilibrium. Dissertation. Delft, 1945.

177. Koiter, W.T. The nonlinear buckling problem of a complete spherical shell under uniform external pressure [Text] / W.T. Koiter // Report №412 Laboratory of Engeneering Mechanics Dept of Mech. Engrg., Technological University, Delft, Netherlands. - 1968.

178. Marcinowski, J. Stability of relatively deep segments of spherical shells loaded by external pressure [Teiccr]/ J. Marcinowski // Thin-Walled Structures. -Vol. 45.-2007.-P. 906-910.

179. Marguerre, K. Zur Theorie der gekrümmten Platte grosser Formänderung [Text]/ K. Marguerre // Proceedings of Fifth International Congress for Applied Mechanics. - 1939. - P. 93-101

180. Masur E.F. The shallow arch-general buckling, postbuckling and imperfection analysis [Text] / E.F. Masur, D.L.C. Lo // J. Struct. Mech. - 1972. -Vol. 1, № 1.-P. 91-112.

181. Mises, R. Die Knicksicherheit von Fachwerken [Text] / R. Mies, I. Ratzerdorfer //, ZAMM. - B.5, H.3. - 1925.

182. MSC/NASTRAN Handbook for Nonlinear Analysis. Version 67. / The MacNeal-Schwendler Corporation, Los Angeles, CA. - March 1992.

183. Nordell, W.J. Analysis of Behavior of Unstiffened Toroidal Shells [Text] / W.J. Nordell, J.E. Crowford // JASS Paper 4-4. Pacific Simposium on Hidromechanically Loaded Shells. - Oct. 1971. Univ. of Hawaii, Honolulu - 1973.

184 Pisaty, A. Analysis of geometrically nonlinear plane frames [Text] / A. Pisaty, Y. Tene // Isr. Journ. Technol. - 1972. - Vol. 10, №. 5. P. 367- 377.

185 Qashu, R.X. Large deflection and stability of rigid frames [Text] / R.X. Quashu, D.A. daDeppo // J. Eng. Mech. - 198. -, Vol 109, №3. - P. 765-780.

186. Roorda, J. Stability of Structures with Small Imperfections [Text] / J. Roorda // ASCE Journal Engineering Mechanics Division. - 1965. - Vol. 91, № EM.-P. 87-106.

187. Sabir, A.B. Large deflection, geometrically nonlinear finite element analysis of circular arches [Text] / A.B. Sabir, A.C. Lock // Jnt. J. Mech. Sci. -1973.-Vol. 15, №1.-P. 37-47.

188. Sanders, J. Nonliner theories for thin shells [Text] / J. Sanders, J. Lyell // Quart. Appl. Math. - 1963. - Vol. 21, №1. - P. 21-36.

189. Sewel, M.J. A survey of plastic buckling [Text] / M.J. Sewel // Stability (Leipholz H., ed.). - Ontario: University Waterloo Press. - 1972. - P. 85-197.

190. Shariati, M. Numerical and experimental investigations on the buckling of steel semispherical shells under various loadings [Text]/ M. Shariati, H.R. Allahbakhsh // Thin-Walled Structures. - Vol. 48. - 2010. - P.620-628. / .: ..

191. Song, C.Y. Imperfection sensitivity of thin elastic cylindrical shells subject to partial axial compression [Text]/ C.Y. Song, J.G. Teng, J.M. Rotter // International Journal of Solids and Structures. - Vol. 41. - 2004. - P. 7155-7180.

192. Southwell, V. On the General Theory of Elastic Stability [Text] / V. Southwell // Philosophical Transactions of the Royal Society. - A. - 1914. - Vol. 213.-P. 187-244.

193. Thompson, J.M.T. A General Theory of Elastic Stability [Text] / J.M.T. Thompson, G.W. Hunt // London, Wiley. - 1973.

194. Yoshimura, Y. On the mechanism of buckling of a circural cylindrical shell under axial compression [Text] / Y. Yoshimura // Rep. of the Inst, of Sci. and techn. - University of Tokyo. - 1951. - Vol. 5, №5. P.179-198.

Приложение 1. Программа-макрос для задания несовершенств

геометрии модели.

Sub Main О

Dim nodelD As Long

Dim SetID As Long

Dim NodeNumb As Long

Dim out_type As Long

Dim data_type As Long

Dim Xcoor As Double

Dim Ycoor As Double

Dim Zcoor As Double

Dim Xdisp As Double

Dim Ydisp As Double

Dim Zdisp As Double

Dim Msg

Dim k As Long

Dim n As Long

Dim M As Long

Dim kl As Long

Dim nl As Long

Dim 1 As Long

Dim trans As esp_Vector

Dim initial As esp_Coord

Dim final As esp_Coord

Dim listID As Long

setID=5

nodeID=l

'number of nodes

NodeNumb=4000

While nodeID< NodeNumb

'components of translation

k = esp_OutpGetData(setID, 2, nodelD, Xdisp)

n = esp_OutpGetData(setID, 3, nodelD, Ydisp)

M = esp_OutpGetData(setID, 4, nodelD, Zdisp)

'coordinates to move to

'0.05 is a multiplyer

trans.Comp_x = Xdisp* 0.05

trans.Comp_y = Ydisp*0.05

trans.Comp_z = Zdisp* 0.05

kl = esp_CoordOnNode (nodelD, initial)

trans.Base_x = initial.x

trans.Base_y = initial.y

trans.Base_z = initial.z

ni = esp_VecComponents (trans)

listID = esp_ListNextAvailableID

j = esp ListAdd (listID, nodelD)

1 = esp_ModMoveBy (listID, Node, trans)

j = esp_ListDelete (listID, nodelD)

nodeID=nodeID+1

Wend

End Sub