Экономико-математическое моделирование производственных функций на основе иерархического взаимодействия экономических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Гребнев Михаил Игоревич

• Гребнев Михаил Игоревич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Гребнев Михаил Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Теоретическое обоснование проблемы повышения точности макроэкономических прогнозов на основе агрегирования производственных функций

1.1. Анализ проведенных исследований процессов производства на региональном и национальном уровнях экономики России

1.2. Экономико-математическое моделирование иерархического взаимодействия экономических систем

1.3. Постановка проблемы точности макроэкономического моделирования производственных функций

ГЛАВА 2. Развитие методов анализа производственных процессов на национальном и региональном уровнях экономики на основе агрегирования производственных функций

2.1. Вывод функциональных форм агрегированных производственных функций для различных законов распределения параметров

2.2. Вывод функциональной формы агрегированной производственной функции для экономики России

2.3. Вывод функциональной формы агрегированной производственной функции с учетом научно-технического прогресса для экономики России

ГЛАВА 3. Эмпирическая оценка точности разработанных методов агрегирования производственных функций

3.1. Вычислительный эксперимент, направленный на оценку точности разработанных методов агрегирования производственных функций

3.2. Оценка точности агрегированной производственной функции для экономики России

3.3. Оценка точности агрегированной производственной функции с учетом научно-технического прогресса для экономики России

3.4. Проведение сценарных расчетов для экономики России

3.5. Программный комплекс «Прогноз. СБСП СЭР РФ»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Система балансировки стратегических прогнозов социально-экономического развития Российской Федерации, ее регионов и отраслей (ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ)

Приложение В. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в Министерстве экономического развития Российской Федерации

Приложение С. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в АО «ПРОГНОЗ»

Приложение Д. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в образовательный процесс ФГБОУ ВО ПГНИУ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экономико-математическое моделирование производственных функций на основе иерархического взаимодействия экономических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Аппарат теории производственных функций активно используется и считается достаточно эффективным инструментом моделирования производственных процессов. Как известно, производственные функции применяются для макроэкономического прогнозирования и оценки последствий принимаемых управленческих решений на основе проведения сценарных прогнозных расчетов. При этом существует потребность в повышении точности макроэкономического прогнозирования на основе производственных функций. Одна из причин снижения точности макроэкономического прогнозирования на основе производственных функций состоит в том, что при их построении не учитывается асимметрия развития региональных экономических систем, сформированная за счет дифференциации технологических особенностей промышленного производства, неравномерности обеспечения ресурсами, особенностями рыночной конъюнктуры. Все это обуславливает актуальность выбранной темы, посвященной решению проблемы межуровневых противоречий в экономике за счет развития теоретико-методологических положений математического аппарата макроэкономического прогнозирования изменения производственных взаимосвязей.

Основой решения данной проблемы может послужить новый метод агрегирования производственных функций, учитывающий в достаточно полной мере вышеперечисленные факторы.

Степень разработанности проблемы. К фундаментальным работам по моделированию производственных функций на национальном и региональном уровне можно отнести работы следующих авторов: Р. Гофман [109], П. Дуглас [90], Ч. Кобб [90], В.В. Леонтьев [99], Б. Минхас [87], Н. Реванкар [107], К. Сато [111], Р. Сато [109, 110], Р. Солоу [87], Х. Чинери [87], К. Эрроу [87]. Существенный вклад в развитие методов моделирования производственных функций внесли отечественные ученые: С.А. Айвазян [4], М.Ю. Афанасьев [4], В.А. Бессонов [12], И.В. Елохова [37, 38], Г.Б. Клейнер [44-51], Б.Н. Михалевский

4

[56], М.К. Плакунов [67], Р.Л. Раяцкас [67], Б.Н. Сирота [45, 46], В.И. Стаматин [75], Л.Л. Терехов [77], В.А. Харитонов [75], С.В. Цухло [12]. Построению производственных функций для отечественной экономики посвящены работы следующих авторов: А.В. Аксянова [1], А.И. Анчишкин [3], А.А. Афанасьев [5-9], Р.Х. Бахитова [11], Е.А. Гафарова [16], В.К. Горбунов [18, 19], И.Л. Кирилюк [41], А.Г. Львов [18, 19], Б.Н. Михалевский [55], О.С. Пономарева [9], И.Г. Поспелов [70], Б.Г. Серебряков [72], Н.Л. Эфрос [72].

Проблеме агрегирования производственных функций посвящены труды следующих авторов: Ф. Дреш [91], Э.Б. Ершов [39], М.В. Казакова [40], Л. Кляйн [97, 98], Д. Левхари [102], В.В. Леонтьев [100, 101], Дж. Маккомби [94], К. Мей [104, 105], А. Натаф [106], Ю.К. Перский [60], А.А. Петров [64, 65], И.Г. Поспелов [64], Ш.Ш. Пу [113], Т. Сарджент [108], К. Сато [112], Г. Тейл [115, 116, 117], Т. Тинтер [78], Х. Фелипе [93, 94], Э. Фельс [78], Ф. Фишер [93, 95, 96], Х. Хаутаккер [92], А.А. Шананин [64, 65, 81], Д.Н. Шульц [60, 85]. Проблема оценки взаимовлияния микро- и макроэкономики изучается в рамках иерархического анализа экономики такими авторами как О.Г. Голиченко [17], Е.Е. Жуланов [61], Г.Б. Клейнер [42, 43], И.К. Ларионов [53], Ю.К. Перский [60, 61, 63], Е.В. Попов [68], А.И. Татаркин [68].

Анализ трудов перечисленных ученых свидетельствует о том, что непротиворечивое агрегирование производственных функций возможно только в случае линейных производственных функций.

Существуют прикладные экономико-математические методы агрегирования, которые позволяют оценить макроэкономическую производственную функцию. Однако данные методы не приспособлены для асимметричных законов распределения параметров региональных производственных функций и не позволяют учесть неравномерность распределения ресурсов между элементами региональной экономической системы.

Объект исследования - региональные производственные системы в

национальном экономическом пространстве.

5

Предмет исследования - экономические процессы производства и их взаимосвязи на региональном и межрегиональном уровне.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационного исследования является развитие методов анализа экономических процессов на основе агрегирования производственных функций на региональном и национальном уровнях экономики с применением экономико-математического моделирования. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. На основе анализа производственных процессов на региональном и национальном уровнях экономики синтезировать новые виды макроэкономических производственных функций, учитывающие особенности методов их моделирования, предложенные в производственных функциях Кобба-Дугласа, Леонтьева, CES, линейной ПФ при различных законах распределения параметров: нормальный, равномерный, треугольный, логнормальный.

2. С помощью прикладного экономико-математического метода агрегирования производственных функций доказать гипотезу о том, что в общем случае функциональная форма производственной функции не является инвариантной относительно уровня экономической иерархии.

3. Разработать универсальный прикладной экономико-математический метод агрегирования производственной функции на национальном уровне экономики и сравнить его точность с методом репрезентативного агента.

4. Разработать программный комплекс, предназначенный для автоматизации процесса построения агрегированных производственных функций на основании универсального прикладного экономико-математического метода агрегирования.

Теоретическую и методологическую основу исследования составили

труды отечественных и зарубежных ученых в области теории экономико-математического моделирования и прогнозирования для производственных функций, экономической теории, региональной экономики.

Основные методы исследования. В работе использованы методы системного анализа, методы статистической обработки данных, методы экономического анализа, методы экономико-математического моделирования, в том числе методы агрегирования, эконометрические методы, численные методы.

Информационной базой диссертационного исследования послужили статистические данные Федеральной службы государственной статистики об объеме валового внутреннего продукта Российской Федерации, валового регионального продукта субъектов РФ, данные о среднегодовой численности занятых в экономике, среднемесячной заработной плате и инвестициях в основной капитал по субъектам РФ и России в целом. Также в процессе подготовки диссертационного исследования использовались сценарные условия, основные параметры прогноза социально-экономического развития Российской Федерации и предельные уровни цен (тарифов) на услуги компаний инфраструктурного сектора на 2016 год и плановый период 2017 и 2018 годов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. На основе анализа производственных процессов на региональном и национальном уровнях экономики синтезированы новые виды макроэкономических производственных функций, учитывающие особенности методов их моделирования, предложенные в производственных функциях Кобба-Дугласа, Леонтьева, CES, линейной ПФ при различных законах распределения параметров: нормальный, равномерный, треугольный, логнормальный. По сравнению с существующими новые виды макроэкономических производственных функций позволяют учесть асимметрию развития региональной экономической системы. (п. 1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 2, параграф 2.1, с. 46-56 диссертации).

2. С помощью прикладного экономико-математического метода агрегирования доказана гипотеза об отсутствии инвариантности функциональной формы производственной функции относительно уровня экономической иерархии, а также обосновано условие выполнения инвариантности только для случая линейной производственной функции. Отсутствие инвариантности относительно уровня экономической иерархии говорит о невозможности переноса функциональной формы производственной функции с регионального уровня экономики на национальный уровень экономики, за исключением случая линейной производственной функции, что ограничивает диапазон применения классических видов производственных функций и указывает на необходимость синтеза производственных функций. (п. 1.2. «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 2, параграф 2.1, с. 46-56 диссертации).

3. Для учета высокого уровня неравномерности распределения ресурсов между регионами России в диссертационной работе разработан универсальный прикладной экономико-математический метод агрегирования производственных функций. Установлено, что выведенные на основании универсального прикладного экономико-математического метода макроэкономические производственные функции обеспечивают более точные прогнозы по сравнению с производственными функциями, полученными на основании метода репрезентативного агента. (п. 1.7. «Построение и прикладной экономический анализ экономических и компьютерных моделей национальной экономики и ее секторов» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 2, параграфы 2.2, 2.3, с. 56-78 диссертации, Глава 3, параграфы 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 с. 79-98 диссертации).

4. Создан авторский программный комплекс «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ»,

предназначенный для автоматизации процесса построения агрегированных

8

производственных функций на основе разработанного универсального прикладного экономико-математического метода агрегирования. В отличие от существующих аналогов (EViews 8, Statistica 10, Stata 13, R, SPSS Statistics) предлагаемый программный комплекс повышает точность прогнозирования ВВП на основе учета межуровневых противоречий региональных и национальной систем. (п. 2.6. «Развитие теоретических основ методологии и инструментария проектирования, разработки и сопровождения информационных систем субъектов экономической деятельности: методы формализованного представления предметной области, программные средства, базы данных, корпоративные хранилища данных, базы знаний, коммуникационные технологии» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ) (Глава 3, параграф 3.3 с. 98-108 диссертации).

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе развиты теоретические положения, связанные с экономико-математическим моделированием производственных функций. Результаты, полученные в работе, вносят вклад в решение важной народнохозяйственной проблемы повышения точности прогнозирования производства ВВП на национальном уровне экономики. Практическая значимость работы заключается в возможности:

• использования разработанного программного комплекса Министерством экономического развития Российской Федерации для построения макроэкономических производственных функций и расчета краткосрочных и среднесрочных сценарных прогнозов ВВП России с учетом решенной проблемы межуровневых противоречий;

• применения разработанного программного комплекса закрытым акционерным обществом «ПРОГНОЗ» для оценки чувствительности объема ВВП России к изменению объемов факторов производства;

• использования полученных результатов высшими учебными заведениями в учебном процессе в дисциплинах «Региональная экономика», «Системный анализ в экономике», «Математическое моделирование экономики».

Апробация работы. Ключевые положения диссертационного исследования были представлены на научных семинарах лаборатории конструктивных методов исследования динамическим моделей ПГНИУ (г. Пермь, 2014 г., 2015 г.), научном семинаре «Проблемы моделирования развития производственных систем» (г. Москва, ЦЭМИ РАН, 2014 г.), научном семинаре «Стратегическое управление социально-экономическим развитием региона» (г. Пермь, Центр науки при Пермской краевой библиотеке им. А.М. Горького, 2015 г.), шестнадцатом всероссийском симпозиуме «Стратегическое планирование и развитие предприятия» (г. Москва, ЦЭМИ РАН, 2015 г.), региональных научно-практических конференциях «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения» (г. Пермь, ПГНИУ, 2013 г., 2014 г., 2015 г.).

Результаты диссертационного исследования используются в учебном процессе для преподавания научных дисциплин «Региональная экономика», «Системный анализ в экономике» и «Математическое моделирование экономики» на кафедре информационных систем и математических методов в экономике Пермского государственного национального исследовательского университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 научных работ общим объемом 10,25 п.л. (в том числе авторских 6,63 п.л.), из них в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК - 8, в изданиях, включенных в базу цитирования Scopus - 1. Разработанный программный комплекс «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ» зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам за номером 2015619466.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, 47 иллюстраций и 23 таблицы. Работа содержит 125 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 117 наименований литературных источников.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цели и задачи исследования, раскрыты научная новизна и предмет исследования,

отмечена практическая ценность работы.

10

В первой главе «Теоретическое обоснование проблемы повышения точности макроэкономических прогнозов на основе агрегирования производственных функций» рассмотрены проведенные исследования процессов производства на региональном и национальном уровнях экономики, поставлена проблема точности макроэкономического моделирования производственных функций.

Во второй главе «Развитие методов анализа производственных процессов на национальном и региональном уровнях экономики на основе агрегирования производственных функций» представлены результаты развития прикладного экономико-математического метода агрегирования производственных функций и результаты построения макроэкономической производственной функции для экономики России, обеспечивающие точность прогноза ВВП.

В третьей главе «Эмпирическая оценка точности разработанных методов агрегирования производственных функций» приведены результаты оценки параметров макроэкономической производственной функции для экономики России, результаты сравнения ее точности с классической производственной функцией Кобба-Дугласа и описание программного комплекса, предназначенного для автоматизации процесса построения агрегированных производственных функций на основании универсального прикладного экономико-математического метода агрегирования.

В заключении содержатся основные выводы и результаты теоретического и практического характера.

В приложении представлены справки о внедрении результатов диссертационной работы и свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ».

ГЛАВА 1. Теоретическое обоснование проблемы повышения точности макроэкономических прогнозов на основе агрегирования производственных

функций

1.1. Анализ проведенных исследований процессов производства на региональном и национальном уровнях экономики России

Аппарат теории производственных функций является важнейшим инструментом экономико-математического моделирования производственных процессов на региональном и национальном уровнях экономики. Широкое применение производственные функции получили в моделях экономического роста, моделях рынка труда, теории агрегированного спроса.

Первоначально рассмотрим вопрос о том, что вкладывают в термин «производственная функция» ведущие специалисты в данной области. Л.Л. Терехов интерпретирует термин следующим образом: «Производственная функция есть экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обуславливающих эти результаты показателей-факторов» [77, с.7]. Согласно Г.Б. Клейнеру «Производственная функция - экономико-статистическая модель процесса производства продукции, отражающая устойчивую закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и выпуска» [44, с.15].

Формально производственная функция выглядит следующим образом:

(1)

где у - объем выпуска; х = {х1, х2, ..хп] - вектор ресурсов;

где XI - объем затраченных ресурсов /-го вида, I = 1 , 2 ,. . .,п; п - число ресурсов; а - вектор параметров.

Область определения производственной функции:

Ос]? п : с о I [хг,. . ., хп) : х± > 0 ,. . .,хп>0. (2)

«Производство товаров и услуг осуществляется путем комбинирования факторов производства: сырья и материалов, средств производства и человеческого труда» [86, c.636]. «Фактор «сырье и материалы» представляет собой совокупность сырья, вспомогательных и производственных материалов, которые применяются в процессе производства, сбыта, материально-технического снабжения, а также для поддержания производственной системы в рабочем функциональном состоянии» [86, c.637]. «Производственный фактор «средства производства» объединяет в себе: землю, здания, сооружения, промышленное оборудование, различные юридические права, здания, которыми обладает предприятие» [86, c.637]. «Средства производства, таким образом, являются благами, которые используются в процессе производства и являются основой производственного процесса» [86, c.637]. «Фактор «труда» можно рассматривать в двух аспектах - или как исполнительский труд в процессе производства, или как управленческий труд по организации производственного процесса и разработке производственного плана, а также по непосредственному руководству сотрудниками» [86, c.637].

При построении производственной функции для экономики России некоторыми учеными используются такие факторы, как инвестиции в основной капитал [12, 70], эффективный капитал [19], мировые цены на нефть [9, 41] и фактор инфраструктуры (основные фонды по виду экономической деятельности (ВЭД) «Транспорт и связь») [9]. В качестве показателя, отражающего затраты труда, некоторыми авторами используется фонд оплаты труда [82].

На данный момент существует достаточно широкий перечень производственных функций. В данной работе будет рассматриваться только класс производственных функций с постоянной эластичностью замещения. В общем виде производственная функция с постоянной эластичностью замещения (ПФ CES) выглядит следующим образом:

Y = A(ÔK~P + (1 - ô)L~p)-m/p, (3)

где р = ( 1 - 8(k,S))/8(k,S), £(k,S) = 1/(1 + р), р> -1;

m > 0 - степень однородности;

О < ô < 1 - параметр степени фондоемкости технологии; А > 0 - уровень технологии.

На рисунке 1 приведен график линий уровня ПФ CES.

:: 40 su se 10с

Рисунок 1. Линии уровня ПФ CES

«Функция CES применяется в случаях, когда отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и вместе с тем есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменится при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. Иными словами, экономическая технология обладает определенной устойчивостью по отношению к пропорциям факторов» [44, с. 93]. «Функция CES может быть использована для моделирования систем любого уровня» [44, с. 94].

Существует три частных случая ПФ CES:

- При р = —1 (s(k,S) = œ) результатом предельного перехода является линейная производственная функция (линейная ПФ):

Y = a±K + a2L. (4)

На рисунке 2 приведен график линий уровня линейной ПФ.

Я « И ВО Ш

Рисунок 2. Линии уровня линейной ПФ

«Линейная функция применяется обычно для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий» [44, с.93].

- При р^О (е(к,Я) = 1) результатом предельного перехода является мультипликативная производственная функция (ПФ Кобба-Дугласа):

У = АКаЬР, (5)

где А - параметр масштаба; а - эластичность выпуска по капиталу; Р - эластичность выпуска по труду.

На рисунке 3 приведен график линий уровня ПФ Кобба-Дугласа.

20 40 60 100

Рисунок 3. Линии уровня ПФ Кобба-Дугласа

«Функция Кобба-Дугласа чаще всего используется для описания среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием (вовлечение новой единицы ресурса приносит эффект, пропорциональный средней производительности имеющегося ресурса)» [44, с. 92].

- При р ^ ю = 0) результатом предельного перехода является

производственная функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ Леонтьева):

У = т1п{а1К, а2Ь]. В элементарных функция ПФ Леонтьева будет иметь следующий вид:

(6)

У = т1п{а1К, а2Ь} =

а±К + а2Ь — | а±К — а2Ь \

(7)

2

На рисунке 4 приведен график линий уровня ПФ Леонтьева.

Рисунок 4. Линии уровня ПФ Леонтьева

«Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции». «Обычно используется для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов» [44, с.91].

Одна из первых макроэкономических функций для народного хозяйства СССР была построена Б.Н. Михалевским и Ю.П. Соловьевым [55]. Производственная функция имела следующую форму [22]:

1дуг = -0,524219 + 1,11111(0,54118/^ + 0,33398№ +

0,12482^+0,005179г, (8)

где У - конечный продукт в сопоставимых ценах; Ь - число отработанных человеко-часов с учетом квалификации; К - производственные фонды в постоянных ценах с учетом материализованного технического прогресса; Я - стоимость используемой земли; г - год.

А.И. Анчишкин [3] получил следующие оценки параметров ПФ Кобба-Дугласа для экономики СССР на периоде 1951-1970 [22]:

V = 1,052Ь1'2228К0'6431, (9)

где V - конечный продукт в сопоставимых ценах; Ь - число отработанных человеко-часов с учетом квалификации; К - производственные фонды в постоянных ценах с учетом материализованного технического прогресса.

Д.А. Черников [80] оценил производственную функция такого же вида на периоде 1971-1980 и получил следующие значения эластичностей по труду и капиталу [22]:

е(У, Ь) = 1,318;

(10)

£^,К) = 0,378.

Б.Г. Серебряков и Н.Л. Эфрос [72] получили макроэкономическую функцию национального дохода для СССР на периоде 1959-1968:

V = V0e^kКaL1~a, (11)

где V0 = 43,71, д = 0,0045, а = 0,0847; V - конечный продукт в сопоставимых ценах; Ь - число отработанных человеко-часов с учетом квалификации; К - производственные фонды в постоянных ценах с учетом материализованного технического прогресса; к - фондовооруженность труда; е(У, К) = а + дк; е^,Ь) = 1-ЕСУ,К).

В последнее время популярность набирают «инвестиционные» производственные функции следующего вида:

V = F(I,L), (12)

где I - инвестиции в основной капитал; Ь - затраты труда.

«Производственная функция, учитывающая в качестве одного фактора (труд) переменную типа запаса, а в качестве второго фактора (инвестиции) -переменную типа потока, т.е. фактор, приростной по своей сути, является

смешанной» [12, с.75]. По мнению В.А. Бессонова, построение темповых производственных зависимостей является актуальным для российской переходной экономики [12]. Кроме того, как отмечает В.А. Бессонов, «инвестиции являются дефицитным фактором в переходной экономике», и «применительно к ним не существует проблемы выделения эффективно используемой части, в отличие от данных по фондам и труду» [12, с. 50].

В связи с резким ускорением процессов обновления основных фондов в ряде западных моделей в последнее время предлагается использовать «инвестиционные» производственные функции [74, с. 72].

Высокую точность аппроксимации «инвестиционной» производственной функцией отмечает И.Г. Поспелов [61, с. 141]. «Инвестиционная» производственная функция была построена им на квартальных данных по экономике России за период с 2000 по 2003 год и получила следующий вид:

Уг = 0, 9 1 5 1г + 0 , 2 1 6 ! + 2 1 , 7Ь ге0,0 0 774(13) где - валовые накопления (инвестиции в реальном выражении); Ьг - затраты труда (в рабочем времени).

В.К. Горбунов и А.Г. Львов предложили «метод построения «капитальных»

производственных функций, один из факторов которых - стоимость

используемых (эффективных) фондов, формируемая по информации об

инвестициях в основные и/или оборотные фонды на промежутке наблюдения

исследуемого объекта» [19, с.95]:

г

Кс = К0(1-6У + ;У /¿(1 - б)" + (1 - О У /¿(1 - б)"-1;

к к (14)

У = АК^ьЧ,

где - начальный объем капитала; - норма амортизации.

«Эта функция положительно однородна степени а + ¡3 и имеет постоянную эластичность замещения факторов, равную единице» [19, с.100]. Алгоритмические осложнения определяются объективной сложностью

рассматриваемой проблемы. Ее решение требует совершенствования методов минимизации функции невязки регрессионных уравнений.

Наряду с ПФ Кобба-Дугласа В.К. Горбунов и А.Г. Львов использовали ПФ CES, ПФ Солоу, ПФ Джири:

Y = A(vK~p + (1 -

Y = A (yK a + ( 1-u) Iß) Г; (15)

Y = A(K-K*)a(L-L*y, где K * - минимальный уровень использования капитала; L* - минимальный уровень использования труда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гребнев Михаил Игоревич, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аксянова А.В. Производственные функции в анализе динамики макроэкономических показателей развития региональных экономических систем // Экономические науке, 2009, №59, с. 153-156.

2. Аллен Р. Математическая экономика. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

3. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. -М.: Экономика, 1973. - 294 с.

4. Айвазян С.А., Афанасьев М.Ю. Моделирование производственного потенциала на основе концепции стохастической границы: Методология, результаты эмпирического анализа. - М.: КРАСАНД, 2014. - 352 с.

5. Афанасьев А.А. Производственная функция нефтяной промышленности России в 1961-2005 гг. // Проблемы экономики и управления нефтегазовым комплексом. №4, 2007.

6. Афанасьев А.А. Экономико-математическое моделирование и прогнозирование добычи природного газа в Тюменской области // Газовая промышленность, №6, 2008.

7. Афанасьев А.А. Производственная функция российской экономики в 1990-2007 гг. // Теория и практика институциональных преобразований в России, Вып. 12. М.: ЦЭМИ РАН, 2008.

8. Афанасьев А.А. Устойчивость стратегических целей - необходимое условие развития Газпрома как глобальной энергетической компании // Газовая промышленность, №704, 2014.

9. Афанасьев А.А., Пономарева О.С. Производственная функция народного хозяйства России в 1990-2012 гг. // Экономика и математические методы. Т. 50. №4, 2014.

10. Ашманов А.С. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

11. Бахитова Р.Х., Ахметшина Г.А., Лакман И.А. Панельное моделирование объема выпуска продукции для регионов России // Управление большими системами: сборник трудов, 2014, №50, с. 99-109.

12. Бессонов В.А., С.В. Цухло. Анализ динамики российской переходной экономики. - М.: Институт экономики переходного периода, 2002. с. 5-89.

13. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. - М.: Дело, 1994. - 676 с.

14. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. - М., Статистика, 1971. - 208 с.

15. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И. Данилов-Данильян. - М.: Большая Российская энциклопедия: Издательский дом «ИНФРА-М», 2003.

16. Гафарова Е.А. Моделирование регионального развития на основе производственных функций // Интернет-журнал Науковедение, 2013, №3 (16).

17. Голиченко О.Г. Экономическое развитие в условиях несовершенной конкуренции: Подходы к многоуровневому моделированию. - М.: Наука, 1999. - 191 с.

18. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение производственных функций по данным об инвестициях // Методы оптимизации и их приложения. Труды XV Байкальской международной школы-семинара. - Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2011. Т. 6. - С. 118-124.

19. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение производственных функций по данным об инвестициях // Экономика и математические методы, 2012, том 48, №2, с. 95-107.

20. Горбунов В.К. О размерностной проблеме в экономике: производственная функция как псевдо черный ящик // Журнал экономической теории, 2014, №1, с. 199-212.

21. Горбунов В.К. Крылов В.П. Оценка эффективности основного капитала предприятий методом производственных функций // Экономика региона, 2015, №3, с. 334-347.

22. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики: Учеб. пособие для экон. вузов и фак. - М.: Экономика, 1978. - 351 с.

23. Гребнев М.И. Построение агрегированной производственной функции для экономики России // European Social Science Journal, 2013, №12 (том 1).

24. Гребнев М.И. Рациональность поведения: иерархический анализ / Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // РИСК: Ресурсы, Информация, Снабжение, Конкуренция, №2/2014 г.

25. Гребнев М.И. Обзор методов агрегирования производственных функций / Д.Л. Андрианов, М.И. Гребнев // Управление экономическими системами: электронный научный журнал №1/2015 г.

26. Гребнев М.И. Синергетика и иерархический анализ экономики / Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // European Social Science Journal, 2015, №1 (том 1).

27. Гребнев М.И. Теоретико-вероятностные основания иерархического анализа экономики / Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // Экономика и предпринимательство, 2015, №9-2, с. 694-698.

28. Гребнев М.И. Теоретико-игровые основания иерархического анализа экономики // Д.Н. Шульц, М.И. Гребнев // Экономика и предпринимательство, 2015, №10-2, с. 537-542.

29. Гребнев М.И. Агрегированная производственная функция с учетом научно-технического прогресса для экономики России // Журнал «Вестник ПГУ. Серия Экономика». 2015. Выпуск №4 (27), с. 71-79.

30. Гребнев М.И. Агрегирование производственных функций // Материалы 2-й международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы социально-экономических исследований, (20 декабря 2012 г.)»,

часть 2. / НИЦ «АПРОБАЦИЯ»» - Москва: Издательство Перо, 2012. - с. 199-203.

31. Гребнев М.И. Калибрация параметров производственной функции Кобба-Дугласа для экономики России // Наука и современность - 2013: сборник материалов XXIII Международной научно-практической конференции / Под общ. ред. С.С. Чернова. - Новосибирск: ООО агентство «СИБПРИНТ», 2013. - с. 192-194.

32. Гребнев М.И. Построение статистической функции распределения параметров отраслевых производственных функций для экономики России // Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований: сборник материалов V Международной научно-практической конференции / Под общ. ред. С.С. Чернова. -Новосибирск: Издательство ЦРНС, 2013. - с. 140-142.

33. Гребнев М.И. Агрегирование производственных функций с помощью модели панельных данных // Экономика и современный менеджмент: теория и практика / Сб. ст. по материалам XXXVIII междунар. науч.-практ. конф. №6 (38). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. - с. 35-42.

34. Гребнев М.И. Агрегирование производственных функций // Стратегическое планирование и развитие предприятий. Секция 5 / Материалы Шестнадцатого всероссийского симпозиума. Москва, 14-15 апреля 2015 г. Под ред. чл-корр. РАН Г.Б. Клейнера. - М.: ЦЭМИ РАН, 2015. - с. 44-46.

35. Гребнев М.И. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015619466. ПРОГНОЗ. Система балансировки стратегических прогнозов социально-экономического развития Российской Федерации, ее регионов и отраслей (ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ) / Андрианов Д.Л., Шульц Д.Н., Гребнев М.И. Заявка № 2015616036, дата поступления 30 июня 2015 г., дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 04 сентября 2015 г.

36. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 4-е изд., стереотип. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2004. - 365 с.

37. Елохова И.В. Индуктивное моделирование инвестиционных процессов: теория и практика: Монография / ПГУ, Пермь, 2005.

38. Елохова И.В. Система поддержки принятия инвестиционных решений на основе индуктивного моделирования производственных функций: Монография / Екатеринбург: УрО РАН, 2005.

39. Ершов Э.Б. Композитные производственные функции //

40. Казакова М.В. Анализ зарубежного опыта в области декомпозиции экономического роста на основе оценки производственных функций, Москва 2013. - 79 с.

41. Кирилюк И.Л. Модели производственных функций для российской экономики // Компьютерные исследования и моделирование 2013, Т.5 №2 с. 293-312.

42. Клейнер Г.Б. Мезоэкономика переходного периода: Рынки, отрасли, предприятия. - М.: Наука, 2001. - 516 с.

43. Клейнер Г.Б. Мезоэкономика развития. - М.: Наука, 2011. - 805 с.

44. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. -М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

45. Клейнер Г.Б., Сирота Б.Н. О производственных функциях с постоянной и переменной эластичностью замены факторов // Экономика и математические методы, т. XI, №3, 1975.

46. Клейнер Г.Б., Сирота Б.Н. Об одном классе производственных функций // Экономика и математические методы, т.ХГГ, №2, 1976.

47. Клейнер Г.Б. Область определения производственной функции // Экономика и математические методы, т.ХГУ, №5, 1978, с. 931-948.

48. Клейнер Г.Б. Взаимосвязи между средней и предельной отдачей факторов производственной функции // Экономика и математические методы, 1994, №1.

49. Клейнер Г.Б. Факторы производства и производственные функции: моделирование в условиях качественных измерений // Моделирование механизмов функционирования экономики России на современном этапе. М.: ЦЭМИ РАН, 1997.

50. Клейнер Г.Б. Основы единой теории производственных функций экономических систем // Тезисы доклада. Системное моделирование социально-экономических процессов, 35-е Юбилейное заседание школы-семинара. Воронеж, ВГУ. 2012.

51. Клейнер Г.Б. Производственные функции экономических систем. Экономические рост, ресурсозависимость и социально-экономические неравенство, Пленарные доклады III Всероссийской конференции, 22-24 октября, СПб.: Нестор-История, 2013, с.51-68.

52. Коэн А., Харкурт Дж. Судьба двух Кембриджей о теории капитала // Вопросы экономики №8, 2009, с. 4-27.

53. Ларионов И.К. Мезоэкономика. М.: Дашков и Ко, 2001.

54. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2003. - 520 с.

55. Михалевский Б.Н., Соловьев Ю.П. Производственная функция народного хозяйства СССР в 1951-63 гг. - Экономика и математические методы, 1966, №6, с. 823-840.

56. Михалевский Б.Н. Система моделей среднесрочного народнохозяйственного планирования. Принципы, обзор, описание верхнего уровня народнохозяйственного планирования. - М.: Наука, 1972.

57. Официальный сайт ЗАО «ПРОГНОЗ» http: //www.pro gno z.ru/

58. Официальный сайт Министерства экономического развития РФ http://economy.gov.ru/

59. Официальный сайт Федеральной службы государственной статистики http: //www.gks .ru/

60. Перский Ю.К., Шульц Д.Н. Иерархический анализ экономики: методы и модели - Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2008. - 225 с.

61. Перский Ю.К., Жуланов Е.Е. Взаимодействие государства и промышленного комплекса: модели иерархического анализа и управления. - Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2010. - 357 с.

62. Перский Ю.К. Основания иерархического анализа экономических систем: учеб. пособие / Ю.К. Перский, Д.Н. Шульц. - Пермь: Издательство Пермского национального исследовательского политехнического. университета, 2014. - 404 с.

63. Перский Ю.К., Шульц Д.Н. Развитие представлений об иерархическом устройстве экономики в истории экономической мысли // Вестник Пермского университета Вып. 4, 2013, с. 13-19.

64. Петров А.А., Шананин А.А. Экономические механизмы и задача агрегирования модели межотраслевого баланса, Матем. моделирование, 1993, том 5, номер 9, 18-42.

65. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. 544 с.

66. Пирс Д.У. Словарь современной экономической теории Макмиллана. -М.: ИНФРА-М, 2003.

67. Плакунов М.К., Раяцкас Р.Л. Производственные функции в экономическом анализе. - Издательство «Минтис», 1984. - 308 с.

68. Попов Е.В., Татаркин А.И. Миниэкономика. - М.: Наука, 2003. - 487 с.

69. Поспелов И.Г. Экономические агенты и системы балансов: Препринт WP2/2001/03 - М.: ГУ-ВШЭ, 2001. - 68 с.

70. Поспелов И.Г. Новые принципы и методы разработки макромоделей экономики и модель современной экономики России / И.Г. Поспелов, И.И. Поспелова, М.А. Хохлов, Г.Е. Шипулина. - М.: ВЦ РАН, 2006, 239 с.

71. Рейтинг социально-экономического положения субъектов РФ. Итоги 2012 года. - РИАРЕЙТИНГ, Москва, 2013, 66 с.

72. Серябряков Б.Г. Эфрос Н.Л. Народнохозяйственные производственные функции и некоторые вопросы экономической динамики. - В сб.: Применение математики в экономике. Вып. 7. Л., Изд-во ЛГУ, 1972.

73. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование: учеб. пособие в 2 ч. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2009, Ч. 1. 338 с.

74. Симонов П.М. Экономико-математическое моделирование. Моделирование микро- и макроэкономических процессов, и систем: учеб. пособие / П.М. Симонов; Перм. гос. ун-т. - Пермь, 2010. - 422 с.

75. Стаматин В.И., Харитонов В.А. Методологические основы использования индуктивных производственных функций в задачах обоснования инновационно-инвестиционных решений // Вестник Пермского университета Вып. 2, 2011, с. 36-47.

76. Сценарные условия, основные параметры прогноза социально -экономического развития Российской Федерации и предельные уровни цен (тарифов) на услуги компаний инфраструктурного сектора на 2016 год и на плановый период 2017 и 2018 годов / Министерство экономического развития Российской Федерации, Москва, май, 2015.

77. Терехов Л.Л. Производственные функции. - М.: Статистика, 1974. - 128 с.

78. Фельс Э., Тинтер Г. Методы экономических исследований. - М.: Прогресс, 1971. - 152 с.

79. Хауитт П. Макроэкономика: отношение с микроэкономикой // Экономическая теория / Под ред. Дж. Итуэлла. - М.: ИНФРА-М, 2004. -с. 485-492.

80. Черников Д.А. Темпы и пропорции экономического роста. - М.: Экономика, 1982. - 223 с.

81. Шананин А.А. Исследование одного класса производственных функций, возникающих при макроописании экономических систем // Журнал вычислительной математики и математической физики, том 24, 1984. с. 1799-1811.

82. Щетинин Е.И., Назруллаева Е.Ю. Производственный процесс в пищевой промышленности: взаимосвязь инвестиций в основной капитал и технической эффективности // Научно-практический журнал «Прикладная эконометрика», №4 (28) 2012.

83. Шульц Д.Н. Иерархическая экономика, уровни и методы их анализа // Вестник ОГУ №10/октябрь 2006 Часть 2.

84. Шульц Д.Н. Экономический анализ в многоуровневых системах // Проблемы современной науки: сб. науч. тр. Ставрополь: Центр научного знания «Логос», 2011. c. 24-27.

85. Шульц Д.Н. Агрегирование производственных функций // Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: Сб. ст. / Перм. ун-т. Пермь, 2004.

86. Экономика предприятия: Учеб. для вузов: Пер. с нем. / Под ред. Ф.К. Беа, Э. Дихтла, М. Швайтцера. - М.: ИНФРА-М, 2001. - 928 с.

87. Arrow K. J., Chenery H. B., Minhas B., Solow R. M. Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency // The Review of Economics and Statistics, Vol. XLIII, 1961, pp. 225-250.

88. Bergstrom T. Lectures Notes on Separable Preferences, UCSB Econ 210A.

89. Blanchard O.L. Why does money affect output? A survey // Handbook of monetary economics / Ed. B. Friedman, F.H. Hahn. Amsterdam: North-Holland, 1990.

90. Cobb C.W., Douglas P.H. A Theory of Production. American Economic Review, December 1928, pp. 139-165.

91. Dresch F.W. Index numbers and the general economic equilibrium. - Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 44, February, 1938, pp. 134-141.

92. Houthakker H.S. The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production function in activity analysis. - Rev. Econ. Studies, 1955-56, v. 23(1), № 60, p. 27-31.

93. Felipe J., Fisher F.M. Aggregation in production functions: What Applied Economists should know; Metroeconomica, Vol. 54, №3, 2003, 208-262.

94. Felipe J., McCombie J.S.L. The aggregate production function and the measurement of technical change: «Not Even Wrong», Cheltenham, Edward Elgar.

95. Fisher F.M. The existence of aggregate production functions // Econometrica, 37 (4), pp. 457-469, 1969.

96. Fisher F.M. Aggregation. Aggregate production functions and related topics // MIT Press, Cambridge, MA, 1993.

97. Klein Lawrence R. Macroeconomics and the theory of rational behavior // Econometrica, Vol. 14, № 2, 1946.

98. Klein Lawrence R. Remarks on the theory of aggregation // Econometrica, Vol. 14, № 4, 1946.

99. Leontief W.W. The Structure of American Economy, 1919-1939 // Cambridge, Harvard University Press, 1941.

100. Leontief W.W. Introduction to a theory of the internal structure of functional relationships // Econometrica, 15 (4), pp. 361-373, 1947.

101. Leontief W.W. A note on the interrelationship of subsets of independent variables of a continuous function with continuous first derivatives // Bulletin of the American Mathematical Society, 53, pp. 343-350.

102. Levhari D. A note on Houthakker's aggregate production function in a multiform industry // Econometrica, Vol. 36, № 1, 1968.

103. Lintunen J., Ropponen O., Vartia Y. Micro meets Macro via Aggregation // HECER Discussion Paper № 259, 2009.

104. May K. The aggregation problem for a one-industry model // Econometrica, Vol. 14, № 4, 1946.

105. May K. Technological change and aggregation // Econometrica, Vol. 15, №1, 1947.

106. Nataf A. Sur la possibilite de construction de certains macromodeles // Econometrica, 16 (3), pp. 232-244.

107. Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions // Econometrica, Vol. 39, No. 1 (Jan., 1971), pp. 61-71.

108. Sargent Thomas J. Notes on macroeconomic theory // Discussion Paper № 7556, 1975.

109. Sato R., Hoffman R.F. Production Functions with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing // The Review of Economics and Statistics, Vol. 50, No. 4 (Nov., 1968), pp. 453-460.

110. Sato R. The Most General Class of CES Functions // Econometrica, Vol. 43, No. 5/6 (Sep. - Nov., 1975), pp. 999-1003.

111. Sato K. A Two-Level Constant-Elasticity-of-Substitution Production Function // The Review of Economic Studies, Vol. 34, No. 2 (Apr., 1967), pp. 201-218.

112. Sato K. Production Functions and Aggregation, North-Holland, Amsterdam, 1975.

113. Shou Shan Pu. A Note on Macroeconomics // Econometrica, Vol.14, No. 4, 1946. pp. 299-302.

114. Shults D.N., Grebnev M.I. Statistical Approach to Aggregation of Production Functions // Applied Mathematical Sciences, Vol. 9, 2015, no. 134, 6669-6689. URL: http://www.m-hikari.com/ams/ams-2015/ams-133-136-2015/p/shultsAMS 133-136-2015.pdf.

115. Theil H., Linear aggregation of economic relations, North-Holland, Amsterdam, 1954.

116. Theil H., Linear Aggregation in Input-Output Analysis // Econometrica, Vol. 25, No. 1 (Jan., 1957), pp. 111-122.

117. Theil H. Aggregation Implications of Identifiable Structural Macrorelations // Econometrica, Vol. 27, No. 1 (Jan., 1959), pp. 14-29.

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Система балансировки стратегических прогнозов социально-экономического развития Российской Федерации, ее регионов и отраслей (ПРОГНОЗ. СБСП СЭР РФ)

Приложение В. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в Министерстве экономического развития Российской Федерации

В диссертационный совет ДМ №212.188.0У при Пермском национальном исследовательском

политехническом университете и

11ерм с ком государственном национальном исследовательском

университете

Справка

Настоящим подтверждаем, что результаты, полученные в диссертации Гребневн Михаила Игоревича ис пользуются в проп юз но- аналитической деятельности Отдела национальных счетов Сводного департамента макроэкономического прогнозирования Министерств экономического развития Российской Федерации,

Ведущий эксперт Министерства з коном и чес

развития Российской Федерации, д.э.н.

Приложение С. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в АО «ПРОГНОЗ»

PROGNOZ

АО «ПРОГНОЗ»

В Диссертационный Совет ДМ 212.188.09

ИНН 5903037635

61406S, г. Пермь, ул. С. Данщина. 5

тел.[phone]

тел. [phone]

факс [phone]

progno/'«"' ргошю А ГЦ

www.pro jmoz.ru

Or _ № _

Ha№ _ от _

Г О внедрении результатов диссертационной работы-1

Настоящим подтверждаем, что результаты, полученные в диссертационной работе Гребнева Михаила Игоревича, внедрены в программный продукт Prognoz Platform ЛО «ПРОГНОЗ» и используются при решении задачи оценки чувствительности объема ВВП России к изменению объемов факторов производства.

Руководитель Центра экономического

СПРАВКА

о внедрении результатов диссертационной работы Гребнева Михаила Игоревича

моделирования и прогнозирования АО «Прогно

Приложение Д. Справка о внедрении результатов диссертационной работы в образовательный процесс ФГБОУ ВО ПГНИУ

В Диссертационный Совет ДМ 212.1158.09

СПРАВКА

о внедрении результатов днссерталнониОЙ работы Гребпжва Михаила Игоревича

Данной справкой подтверждаем, что положения теоретического, методологического и практического характера, связанные с разработкой универсального прикладного статистического метода агрегирования производственных функций и его инструментальной реализацией, изложенные к дисеершцни на соискание учегюй ем пи и кандидата экономических паук Гребнева М.И., успешно используются в программах подготовки бакалавров по направлениям «Экономика». «Прикладная математика и информатика», «Бит 1еои нформ атика» и магистров но направлению «Прикладная математика и информатика» кафедры информационных систем и математических методов в экономике Пермского государственного национального исследовательского университета.

Разработанный а диссертации Гребне ва М.И. универсальный прикладной статистический метод агрегировании производственных функций и его программная реализация используется при чтении лекций, проведении практических занятий и лабораторных работ по дисциплинам «Системный анализ в экономике» и «Математическое моделирование экономики». Использование п учебных программах кафедры информационных систем и математических, методов а экономике результатов диссертационной работы Гребнева М.И. позволяет студентам успешно осваивать современные информационные технологии и методы моделирования,

В результате работы над диссертацией подучено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №201.5619466 ПРОГНОЗ- Система балансировки стратегических прогнозов социально-экономического развитии Российской Федерации, ее регионов и отраслей (ПРОГНОЗ. СЕСП СЭР РФ).

Зам. декана экономического факультета ПГНИУ по учебной работе

Зам. :зав, кафедрой информационных систем и м; методов к экономике ПГНИУ

(ачалышк учебно-методического управления Л1

/Ьополина VI-А.£

тбуткппа Е.ЕМ

.■Хичкок ЬМ