Развитие методов построения производственных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Львов, Александр Геннадьевич

• Львов, Александр Геннадьевич
• кандидат экономических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Львов, Александр Геннадьевич

Оглавление

Введение

1 Метод производственных функций в экономическом анализе

1.1 Определение и свойства производственной функции

1.2 Основные характеристики производственных функций

1.3 Замещение факторов

1.4 Примеры производственных функций

1.5 Использование производственных функций в

экономико - математическом моделировании

1.5.1 Задачи теории фирмы

1.5.2 Модель экономической динамики

1.5.3 Вычислимые модели общего экономического равновесия

1.6 Параметрический метод построения производственных функций

1.7 Метод продолжения по параметру

2 Однородные производственные функции с переменной эластичностью замещения

2.1 Эластичность замещения для однородных многофакторных

производственных функций

2.2 Однородные производственные функции с переменной эластичностью замещения

2.3 Поэтапное построение производственных функций

2.4 Построение производственных функций с переменной эластичностью замещения

2.4.1 Двухфакторные производственные функции

2.4.2 Трехфакторные производственные функции

3 Построение производственных функций по данным об

инвестициях с оценкой реально используемых фондов

3.1 Инвестиционные и капитальные производственные

функции

3.2 Задача метода наименьших квадратов для капитальных производственных функций

3.3 Спецификация метода продолжения по параметру

3.4 Тестовые задачи построения капитальных производственных функций

3.5 Оценка реально используемого капитала в России (2000-2008 г.)

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие методов построения производственных функций»

Введение

Производственные функции (ПФ) являются математическими моделями достаточно крупных производственных объектов - предприятий (фирм), отраслей, региональных и национальных экономик. Эти модели типа «черного ящика» выражают валовой выпуск производства как функцию количеств затрат наиболее существенных (для конкретного исследования) факторов. Метод производственных функций можно отнести к высоким технологиям количественного экономического анализа [32,65]. Он использовался в СССР в исследовательских работах и планировании на союзном, региональном и отраслевом уровнях [32,46,51] и остается актуальным для новой экономики России. Проблемам построения производственных функций в российской переходной экономике посвящена книга [6] и недавние диссертации [13,50].

Диссертация посвящена двум проблемам. Первая проблема заключается в изучении свойств класса положительно однородных многофакторных ПФ с переменной эластичностью замещения и алгоритмическим вопросам их использования для анализа конкретных объектов. Вторая проблема связана с построением «капитальных» производственных функций в условиях, когда вместо стандартной динамики производственных фондов известна динамика производственных инвестиций. При этом ставится задача оценки и использования в качестве основного фактора реально используемых производственных фондов на периоде наблюдения объекта. Проблема выделения реально используемых фондов характерна для рыночной экономики, где работа производства определяется изменчивой конъюнктурой

рынков. Особенно актуальна это проблема для российской экономики последнего двадцатилетия, в которой значительная часть фондов в отраслях, не связанных с добычей и первичной переработкой энергетических и других минеральных ресурсов, не используется.

Понятие ПФ как математического объекта, отвлеченного от технологических и организационных особенностей изучаемого объекта, сложилось во второй половине XIX века [78]. Такой подход обнаруживается, в частности, в трудах К. Маркса при исследовании различных вариантов соотношения переменного и постоянного капитала в сфере производства [43, с. 455]. Авторы указанного словаря-справочника также отмечают вклад В. И. Ленина в развитие этого подхода путем учета фактора технического прогресса и исследования динамики стоимостного строения капитала. Из-за отсутствия в то время статистических данных числовые примеры К. Маркса и В. И. Ленина имели иллюстративное назначение.

Первая математическая модель производства в форме ПФ была предложена шведским экономистом К. Викселлом (Knut Wickseil, 1851-1926). Она была использована американскими учеными Д. Коббом и П. Дугласом для анализа влияния величины затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Результаты их исследования были опубликованы в статье 1928 г. «Теория производства» [63].

Классический метод построения ПФ по статистическим данным основан на методе наименьших квадратов (НК) с поиском ПФ в некотором параметрическом классе. К преимуществам этого метода относится возможность априорного удовлетворения естественных свойств искомой функции (монотонность, квазивогнутость), обеспечение ее дифференцируемо-сти. Важно также, что производственная статистика для построения ПФ методом НК проста и доступна исследователям. В реальных случаях может оказаться трудным определить параметрический класс, адекватный иссле-

дуемому объекту. В [59,86] предложен непараметрический метод построения ПФ, ранее развитый (этими же авторами) для анализа потребительского спроса [15] и свободный от проблемы выбора класса функций. Однако этот метод требует использования также информации о ценах используемых факторов, и искомые функции (полезности или производственные) строятся в кусочно-линейном классе. Такие функции недифференцируе-мые и не отражают содержательную теорию производства, построенную методом предельного анализа (сравнительной статики).

Дифференцируемая ПФ, адекватная производственному объекту, позволяет выполнить глубокий количественный экономический анализ: расчитывать предельные производительности факторов и факторные эластичности, строить функции факторного спроса и предложения продукта, функции прибыли и издержек, исследовать свойства замещения факторов [32,76]. За десятилетия развития метода ПФ определился набор стандартных ПФ - двухфакторных и многофакторных, обладающих известными свойствами: Кобба-Дугласа, постоянной эластичности замещения (ПЭЗ), Солоу и др. На основе простых по структуре функций методом суперпозиции строятся более сложные [32].

Замещение факторов является одним из основных объектов теории производства. Количественные меры замещения были впервые введены Дж. Хиксом [55,66,67] для двухфакторных функций как предельная норма замещения и эластичность замещения, позже обобщенные на случай любого количества факторов [32,57]. Эти характеристики наиболее полно исследуются в случае положительной однородности производственных функций (необязательное, но типичное свойство для ПФ), когда они являются функциями от пропорций соответствующих пар факторов. В этом смысле эластичность замещения означает отношение относительных изменений предельной нормы замещения и пропорции использования соответствующей пары факторов.

Основной класс ПФ используемых в практическом анализе - это однородные функции с постоянной эластичностью замещения. Однако этот класс недостаточен для анализа эффектов замещения между производственными факторами.

Функция Кобба-Дугласа имеет единичную эластичность замещения, что в общем случае не соответствует реальным процессам. В 1961 году был найден класс положительно однородных функций, имеющих постоянную (при различных сочетаниях использования факторов), но произвольную эластичность замещения [60].

Предположение о постоянстве эластичности замещения также является идеализацией реальных производственных процессов. Поэтому известные классы ПФ с постоянной эластичностью замещения недостаточны для анализа эффектов замещения между производственными факторами.

Аналитическое (формульно-параметрическое) описание класса однородных функций с переменной эластичностью замещения для двух факторов было найдено впервые для частного случая линейной зависимости эластичности замещения от пропорции факторов Н. Реванкаром [83], и в общем (двухфакторном) случае - Р. Сато и Р. Гофманом [84]. Отметим, что в представлении Сато-Гофмана (см. глава 2 п. 2.2 диссертации) требуется задавать зависимость эластичности замещения от пропорции использования факторов, что затрудняет построение ПФ для реальных объектов. Эта проблема также привлекала внимание советских исследователей [36], но для функций с числом факторов более двух аналитическое представление ПФ с переменной эластичностью замещения оставалось ненайденным.

В работе В. К. Горбунова [14] предложено представление класса линейно однородных вогнутых функций через функции, след которых на стандартном симплексе вогнут. Это представление позволяет определить аналитические классы дифференцируемых однородных производственных функций с переменной эластичностью замещения [18,40]. Каждый такой

класс порождается произвольной дифференцируемой функцией, вогнутой на стандартном симплексе. Число факторов здесь может быть любым. Класс линейно однородных функций в этом представлении легко обобщается на класс положительно однородных функций [15]. Эластичность замещения для таких функций, является не задаваемой, а вычисляемой характеристикой для каждой функции.

В последнее десятилетие появились работы, в которых метод ПФ применяется для анализа новой российской экономики, формирующейся на основе реставрации частной собственности и рыночных отношений [6,11,50]. Однако здесь проявилась проблема информационного обеспечения построения ПФ, характерная для специфических российских условий.

Наиболее важным фактором, учитываемым в испытанных десятилетиями типах ПФ, является стоимость основных фондов, называемая кратко «капиталом». В качестве второго фактора традиционно рассматривается труд. Также возможно привлечение других факторов (энергия, сырьевые ресурсы, и т. д.). Соответственно, эконометрическая задача построения ПФ, зависящей от количества используемого капитала и адекватной экономическому объекту, может решаться на основе известной динамики капитальных затрат (наряду с другими факторами и выпуском) на периоде наблюдения объекта. Однако для российской экономики, с 1992 года ставшей сырьевым придатком лидеров мирового рынка, характерна низкая загруженность основных фондов в большинстве несырьевых отраслей промышленности и сельского хозяйства1. Высокая инфляция 1990-х годов ввиду несовершенства методов построения экономических индексов делает проблему сопоставления цен и количеств производства в тот период малосодержательной [2,5,28]. В этих условиях испытанные методы построения

1Например, крупнейшее авиастроительное предприятие России «Авиастар-СП» (г. Ульяновск) имеет мощности для годового выпуска 50 самолетов Ан-124 (Руслан) и Ту-204, но максимальный годовой выпуск за последние 18 лет составили всего шесть Ту-204. См. url: http://www.aviastar-sp.ru/aviastar_ru/index. htm.

«капитальных» ПФ не могут обеспечить хорошую адекватность математического моделирования экономики.

Более доступной характеристикой, связанной с капиталом и определяющей его динамику, являются инвестиции в основной капитал. Инвестиции представляют собой, как правило, реально используемую в производстве часть капитала, а их динамика соответствует рыночной конъюнктуре. Однако данных об инвестициях недостаточно для измерения реально используемого в производстве капитала, так как освоение некоторых инвестиций (закупка оборудования, новое строительство, и т. п.) требует значительного времени, а сформированный в прошлом капитал подвержен износу. Инвестиции представляют собой величину типа «поток», а капитал - «запасы». При отсутствии инвестиций производство может некоторое время функционировать за счет накопленного капитала. Несмотря на эти очевидные различия современные исследователи, использующие метод производственных функций, строят [6,50] или используют в теоретических работах [26,39] так называемые «инвестиционные» ПФ, отличающиеся от традиционных «капитальных» простой заменой фактора «капитал» на текущие инвестиции. От таких моделей производства трудно ожидать высокого качества.

Мы предлагаем развитие метода наименьших квадратов для построения капитальных ПФ из некоторого параметрического класса по данным об инвестициях, затратах других учитываемых факторов и выпуске. Одновременно оценивается величина начального значения капитала, средний уровень амортизации и скорость освоения инвестиций в период наблюдения. Это достигается с помощью уравнений динамики производственных фондов с учетом их амортизации и лага (задержки освоения) инвестиций. При этом на периоде наблюдения реконструируется динамика не формально существующих (балансовых) фондов, а их реально используемой части. Оценка реально используемых фондов представляет собой специальную проблему, изучаемую рядом авторов [7,11,54].

Добавление к оцениваемым параметрам функции начального капитала, коэффициента амортизации капитала и параметра лага, определяющего задержку освоения инвестиций, делает задачу оценивания неизвестных параметров существенно нелинейной и плохо обусловленной даже в простейшем классе функций Кобба-Дугласа. Алгоритмические осложнения определяются объективной сложностью рассматриваемой проблемы. Ее решение требует совершенствования методов минимизации регрессионных уравнений. Для этого мы развиваем метод продолжения по параметру - эффективное средство решения нелинейных задач [45,71,79].

Таким образом, изменение условий функционирования экономики и совершенствование методов ее исследования ставит новые задачи перед экономической наукой, в частности, требует развития методов построения ПФ. Отсутствие в известной нам литературе работ, решающих отмеченные проблемы, обосновывает актуальность диссертации.

Целью данного диссертационного исследования является развитие методов построения производственных функций для повышения адекватности анализа замещения факторов и построения капитальных функций по информации об инвестициях.

Объектом исследования является достаточно крупная производственная единица (фирма, объединение, отрасль, региональная или национальная экономика).

Предмет исследования - характеристики производственных процессов объекта исследования, в частности, процессов замещения производственных факторов.

В соответствии с целью в работе были поставлены следующие задачи:

1) предложить аналитическое представление однородных многофакторных производственных функций с переменной эластичностью замещения;

2) разработать общую методику поэтапного построения производствен-

ных функций, более сложных, чем функция Кобба-Дугласа;

3) разработать метод построения капитальных производственных функций и оценки реально используемого капитала по информации об инвестициях;

4) выполнить оценку реально используемых производственных фондов для экономики России.

По теме диссертации опубликовано 8 работ, общим объемом 4.09 печатных листов, в том числе 3 работы в периодических научных изданиях, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

Диссертация состоит из 3 глав, введения и заключения. В главе 1 излагаются основные факты теории производственных функций, их характеристики и свойства. В первой части главы излагается история и развитие метода производственных функций, уточняется понятие производственной функции, приводятся примеры ПФ, используемые в математическом моделировании. Подробно анализируются процесс замещения производственных факторов и его количественные характеристики. Вторая часть посвящена практическому применению ПФ в экономико-математическом моделировании и проблемам их построения.

В главе 2 вводится новый класс однородных производственных функций с переменной эластичностью замещения для любого числа факторов. Такой класс ПФ вводится как обобщение формулы В. К. Горбунова для представления вогнутых линейно однородных функций, определенных в неотрицательном ортанте пространства аргументов (производственных факторов), через базовые функции, которые неотрицательны и вогнуты на стандартном симплексе. Новый класс охватывает все типы зависимости прироста выпуска от увеличения масштаба затрат (убывание, постоянство, возрастание), что расширяет возможности моделирования конкрет-

ных объектов. При этом возникает проблема эффективного вычисления переменных эластичностей замещения. Соответствующий алгоритм вычисления эластичностей разработан. Здесь также предлагается методика поэтапного построения ПФ, заключающаяся в последовательном усложнении используемых ПФ, начиная с функции Кобба-Дугласа, и в передаче полученных значений параметров в качестве начальных для более сложной функции. Приводятся результаты оценки параметров производственных функций для двух реальных экономических объектов разного типа.

В главе 3 предлагается метод построения «капитальных» производственных функций, один из факторов которых - стоимость используемых фондов, формируемая по информации об инвестициях в основной капитал. При этом вводится уравнение динамики капитала (производственных фондов) на промежутке наблюдения с учетом его амортизации и лага освоения инвестиций. Параметры режима амортизации и задержки освоения инвестиций оцениваются вместе с параметрами ПФ. Для решения сложной задачи минимизации невязки расчетных и фактических значений выпуска с учетом динамики фондов предложен специальный вариант метода продолжения по параметру. Представлены результаты построения инвестиционной и капитальных ПФ по двум тестам и реальным статистическим данным российской экономики.

Список литературы содержит 86 источников. Из них работы автора, содержащие результаты диссертации [17,19-23,40].

Основные положения работы докладывались на научном семинаре кафедры математических методов анализа экономики Экономического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (руководители Ю. Н. Черемных и Б. Л. Воркуев, декабрь 2010 г.), а также на:

1) Третьей международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, УГТУ-УПИ, ноябрь 2008 г.);

2) Седьмой международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, УлГУ, февраль 2009 г.);

3) Четвертой международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», посвященной памяти Е. В. Воскресенского (Саранск, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева, август 2009 г.);

4) Всероссийской (с международным участием) конференции «От идеи академика С. С. Шаталина о системных подходах к экономике к саморазвивающимся социально-экономическим системам» (Екатеринбург, Институт экономики УрО РАН, сентябрь 2009 г.);

5) Первом Российском экономическом конгрессе (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, декабрь 2009 г.);

6) IV всероссийском симпозиуме по экономической теории (Екатеринбург, Институт экономики УрО РАН, июнь-июль 2010 г.);

7) I Всероссийском симпозиуме по региональной экономике (Екатеринбург, Институт экономики УрО РАН, июнь 2011 г.);

8) XV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения», посвященной памяти профессора В. П. Булатова (Иркутск, П. Листвянка, оз. Байкал, июнь 2011 г.).

Наиболее существенные результаты работы, обладающие научной новизной, состоят в следующем.

1. Введен класс многофакторных положительно однородных ПФ с переменной эластичностью замещения. Это первое аналитическое описание таких функций для любого числа факторов. Здесь эластичность

замещения является не задаваемой (как в двухфакторных функциях Сато-Гофмана), а вычисляемой характеристикой. Новый класс ПФ позволяет повысить адекватность математического моделирования производства (п. 1.4 Паспорта ВАК специальности 08.00.13 - Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем ...).

2. Разработана методика поэтапного построения ПФ, заключающаяся в последовательном усложнении используемых ПФ, начиная с функции Кобба- Дугласа, и в передаче полученных значений параметров в качестве начальных для более сложной функции. Эта методика позволяет решать задачи оценивания параметров более сложных классов ПФ, чем при непосредственном оценивании выбранной ПФ (п. 1.1 Паспорта ВАК специальности 08.00.13 - Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем ...).

3. Предложена модель оценки параметров капитальных ПФ, которые строятся по данным об инвестициях. Динамика реально используемого капитала на промежутке наблюдения определяется начальным капиталом, инвестициями, коэффициентом амортизации и лагом освоения инвестиций. Начальный капитал, коэффициент амортизации и лаг оцениваются вместе с параметрами ПФ (п. 1.4 Паспорта ВАК специальности 08.00.13). Для решения поставленной задачи предложен специальный вариант метода продолжения по параметру. Аналоги решения такой комплексной проблемы нам не известны (п. 1.1 Паспорта ВАК специальности 08.00.13).

4. Выполнена оценка реально используемого капитала, коэффициента амортизации и лага освоения инвестиций для экономики России на временном промежутке 2000-2008 гг. Такая оценка не могла быть сделана известными методами (п. 1.7 Паспорта ВАК специальности

08.00.13 - Построение и прикладной экономический анализ экономических и компьютерных моделей ...).

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность научному руководителю Владимиру Константиновичу Горбунову.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Львов, Александр Геннадьевич

Заключение

Метод производственных функций, предложенный в начале XX века, оказался эффективным методом решения практических и теоретических проблем экономической науки и практики. Рост сложности охватываемых объектов ставит новые проблемы. Мы рассмотрели две проблемы, связанные с методом производственных функций: расширение аналитических классов используемых функций и применение метода ПФ в нестандартных информационных условиях, когда вместо динамики используемых фондов на периоде наблюдения объекта используется информация о динамике инвестиций.

Первая проблема возникла в связи с отсутствием в экономической науке аналитического описания класса положительно однородных ПФ с переменной эластичностью замещения для трех и более производственных факторов. Во второй главе диссертации нами дано аналитическое представление нового класса положительно однородных ПФ с переменной эластичностью замещения для любого числа производственных факторов. Новый класс ПФ может считаться новой моделью производственных объектов, более адекватно представляющей реальные объекты. Это достигнуто на основе математического результата, полученного в недавних работах В. К. Горбунова по аналитическому представлению класса линейно - однородных вогнутых функций, определенных на неотрицательном ортанте пространства аргументов, через вогнутые функции, определенные на стандартном симплексе. Данный результат носит как общетеоретический, так и прикладной характер. Он позволяет расширить область применения метода математического моделирования производственных процессов. Во второй главе также предложена и реализована поэтапная методика построения сложных ПФ по реальным статистическим данным. Для положительно однородных ПФ разработан метод расчета эластичностей замещения факторов. В диссертации он применялся как для классических ПФ с постоянной эластичностью замещения, так для ПФ с переменной эластичностью замещения.

Вторая проблема возникла в связи с ненадежностью информации о используемых производственных фондах и сложностью применения такого фактора для построения адекватной ПФ. В третьей главе мы представили метод построения стандартных производственных функций, один из факторов которых - реально используемые производственные фонды - в нестандартной для методологии ПФ ситуации. Вместо динамики фондов на периоде наблюдения заданы производственные инвестиции. Наш подход концептуально прост. Он основан на использовании стандартной динамики производственных фондов, определяемой на промежутке наблюдения начальным капиталом, режимом амортизации фондов и характером запаздывания освоения инвестиций. При этом возникают дополнительные параметры (к параметрам оцениваемой ПФ) - начальное значение реально используемого капитала и показатели, определяющие амортизацию фондов и режим освоения инвестиций. Существенно, что мы вводим и оцениваем динамику реально используемых, а не формальных (балансовых) фондов. Наша модель в предельном случае, когда инвестиции осваиваются без существенной задержки (в течение периода инвестирования), и фонды амортизируются за один период, совпадает с инвестиционной моделью. Этот вариант совпадения проясняет характер наивности простого перехода от фондов (запасов) к инвестициям (потокам).

Задача оценивания расширенного набора параметров методом наименьших квадратов является существенно нелинейной и сложной даже для простейшего класса функций Кобба-Дугласа. Мы построили и реализовали для минимизации невязки специальный вариант метода продолжения по параметру, позволяющий решать сложные задачи оптимизации.

В представленных в диссертации тестовых и реальном примерах предложена относительно несложная двухпериодная модель освоения инвестиций. Однако эта модель оказалась достаточной для демонстрации известного факта отсутствия в России последнего двадцатилетия существенных капитальных инвестиций. Также удалось получить оценки реально используемых фондов. Они показывают, что из наличных производственных фондов России в последние годы реально работает лишь около половины.

Таким образом, разработанные в диссертации методы и алгоритмы расширяют возможности применения метода производственных функций для анализа производственных объектов, повышают его адекватность. Они могут быть использованы научными организациями и университетами, аналитическими службами государственного (федерального и регионального) управления, руководством больших фирм.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Львов, Александр Геннадьевич, 2012 год

Литература

[1] Айвазян С. А., Енюков Е. С., Мешалкин JI. Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справ, изд. / Под ред. С. А. Айвазяна, -М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

[2] Айзенберг Н. И., Солонина 3. В. Методика экспериментального анализа формул расчета индексов цен // Вестник ИрГТУ, 2007. №4(32). -С. 11-15.

[3] Бард И. Нелинейное оценивание параметров. - М.: Статистика, 1979. - 349 с.

[4] Баркалов Н. Б. Производственные функции в моделях экономического роста. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 128 с.

[5] Бессонов В. А. О смещениях в оценках роста российских потребительских цен // Экономический журнал ВШЭ, 1998. Т. 2. №1. - С. 31-66.

[6] Бессонов В. А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике // В. А. Бессонов, С. В. Цухло. Анализ динамики российской переходной экономики. - М.: Институт экономики переходного периода, 2002. - С. 5-89.

[7] Бессонов В. А., Воскобойников И. Б. О динамике основных фондов и инвестиций в российской переходной экономике // Экономический журнал ВШЭ, 2006. №2. - С. 193-228.

[8] Браун М. Теория и измерение технического прогресса. - М.: Статистика, 1971. - 208 с.

[9] Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии. - М.: Изограф, 2000. - 448 с.

[10] Васильев Ф. П. Методы оптимизации. - М.: Издательство «Факториал пресс», 2002. - 824 с.

[11] Воскобойников И. Б. О корректировке динамики основных фондов в российской экономике // Экономический журнал ВШЭ, 2004. №1. - С. 3-20.

[12] Воскобойников Ю. Е. Регрессионный анализ данных в пакете МаЛсас!: Учебное пособие. - СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 224 с.

[13] Галин Д. М. Статистическое моделирование роста переходной экономики: на примере современной России: автореферат дис. ... канд. экон. наук (08.00.13). - М.: Ин-т систем, анализа РАН, 2007. - 25 с.

[14] Горбунов В. К. О представлении линейно однородных функций полезности // Ученые зап. Ульяновского гос. ун-та. Сер. «Фундаментальные проблемы математики и механики», 1999. Вып. 1(6). - С. 70-75.

[15] Горбунов В. К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. - М.: Экономика, 2004. - 174 с.

[16] Горбунов В. К. Математические модели потребительского спроса и производства: учебное пособие. - Ульяновск: УлГУ, 2012 (в печати).

[17] Горбунов В. К., Крылов В. П., Львов А.Г. Опыт построения производственных функций по данным об инвестициях // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: «ОПиПМ», 2011. Т. 18. В. 1. -С. 112-113.

[18] Горбунов В. К., Ледовскнх А. Г. Производственные функции многих переменных с переменной эластичностью замещения / / Современные технологии. Системный анализ. Моделирование: Специальный выпуск, оппя - п 1 чд -1

[19] Горбунов В. К., Львов А. Г. Построение двухфакторных производственных функций с постоянной и переменной эластичностью замещения // Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании. Вып. 5: Сб. материалов 3-й Междунар. науч. конф. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. - С. 114-120.

[20] Горбунов В. К., Львов А. Г. Построение трцхфакторной производственной функции с переменной эластичностью замещения // Труды Сред-невол. матем. общества. - Саранск: СВМО, 2009. Т. 11. Вып. 1. - С. 91-100.

[21] Горбунов В. К., Львов А. Г. Сравнительный анализ региональных экономик методом производственных функций // Материалы I Всероссийского симпозиума по региональной экономике. Направления и проблемы развития современной теории и методологии региональной экономики. Инструментарий и методы прогнозирования регионального развития. - Екатеринбург: ИЭ УрО РАН, 2011. Т. 1. - С. 147-149.

[22] Горбунов В. К., Львов А. Г. Построение производственных функций по данным об инвестициях // Труды XV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». - Иркутск: РИО ИДСТУ СО РАН, 2011. Т. 6. - С. 118-124.

[23] Горбунов В. К., Львов А. Г. Построение производственных функций по данным об инвестициях // Экономика и математические методы. 2012, №2 (в печати).

[24] Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия. - М.: Наука, 1981. - 302 с.

[25] Демиденко Е. 3. Оптимизация и регрессия. - М.: Наука, 1989. - 294 с.

[26] Демченко С. К. Теории экономического роста во взаимосвязи с концепцией мультипликатора [Электронный ресурс] // Проблемы современной экономики, 2006. №1(17). - Режим доступа: http://www.m-economy.ru/art. рЬрЗ?агШ=21174

[27] Жулин С. С. Метод продолжения решения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления // Вычислительные методы и программирование, 2007. Т. 8. - С. 205-217.

[28] Зоркальцев В. И. Индексы цен и инфляционные процессы. - Новосибирск: Наука, 1996. - 316 с.

[29] Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

[30] Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. -М.: Физматлит, 2006. - 360 с.

[31] Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. - М.: Статистика, 1977. Вып. 2 - 234 с.

[32] Клейнер Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

[33] Клейнер Г. Б. Взаимосвязи между средней и предельной отдачей факторов производственной функции // Экономика и математические методы, 1994. Т. 35. Вып. 1. - С. 102-118.

[34] Клейнер Г. Б., Пионтковский Д. И. О характеризации производственных функций Солоу // Экономика и математические методы, 1999. Т. 35. №2. - С. 124-137.

[35] Клейнер Г. Б., Пионтковский Д. И. Многофакторные производственные функции с постоянными эластичностями предельной замены факторов // Экономика и математические методы, 2000. Т. 36. Вып. 1. -

ГУ ПП 11 Л

[36] Клейнер Г. В., Сирота Б. Н. О производственных функциях с постоянными и переменными эластичностями замены факторов // Экономика и математические методы, 1975. Т. XI. Вып. 3. - С. 475-482.

[37] Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 399 с.

[38] Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. -М.: Наука, 1984. - 498 с.

[39] Лукашин Ю., Рахлина Л. Производственные функции в анализе мировой экономики // Мировая экономика и международные отношения, 2004. №1. - С. 17-27.

[40] Львов А. Г. Построение производственных функций с переменной эластичностью замещения // Журнал Экономической Теории, 2010. №1. -С. 166-169.

[41] Макаров В. Л., Бахтизин А. Р., Сулакшин С. С. Применение вычислимых моделей в государственном управлении. - М.: Научный эксперт, 2007. - 304 с.

[42] Макаров В. Л., Бахтизин А. Р., Бахтизина Н. В. Вычислимая модель экономики знаний // Экономика и математические методы, 2009. Т. 45. т.-С. 70-82.

[43] Математика и кибернетика в экономике. Словарь-справочник. Изд. 2-е, перераб. и доп. / И. И. Гонтарева, М. Б. Немчинова, А. А. Попова. - М.: «Экономика», 1975. - 700 с.

[44] Мхитарян В. С., Архипова М. Ю., Архипов В. Ю. Нелинейный регрессионный анализ в системе Statistica и SPSS. - М.: МЭСИ, 2006. - 93 с.

[45] Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Издательство «МИР», 1975. - 559 с.

[46] Плакунов М. К., Раяцкас P. JI. Производственные функции в экономическом анализе. - Вильнюс: Минтис, 1984. - 308 с.

[47] Резников А. П. Обработка накопленной информации в затрудненных условиях. - М.: Наука, 1979. - 272 с.

[48] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. - М.: Мир, 1973. - 472 с.

[49] Российский статистический ежегодник: Стат.сб. / Госкомстат. Р 76. -М., 2001-2009.

[50] Сюань Ян. Факторы и стратегии развития малого промышленного бизнеса (на примере России и Китая): автореферат дис. ...канд. экон. наук (08.00.05). - М.: ЦЭМИ РАН, 2007. - 18 с.

[51] Терехов Л. JI. Производственные функции. - М.: Статистика, 1974. -128 с.

[52] Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Статистика, 1967. - 361 с.

[53] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 8-е изд. Т. 1. - 680 с.

[54] Ханин Г. И., Фомин Д. А. Потребление и накопление основного капитала в России: альтернативная оценка // Проблемы прогнозирования, 2007. т. - С. 26-51.

[55] Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал. - М.: Прогресс, 1993. - 488 с.

[56] Черемных Ю. Н. Количественные методы в экономических исследованиях: Учебник для вузов / Под ред. М. В. Грачевой, Л. Н. Фадеевой, Ю. Н. Черемных. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 791 с.

[57] Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. - М.: Инфра-М, 2008. - 844 с.

[58] Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

[59] Afriat S. N. Efficiency estimates of production functions //Int. Economic Review, 1972. V. 13. №1. - P. 568-598.

[60] Arrow K. J., Chenery H. В., Minhas B. S. and Solow R. M. Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency // Review of Eco-nomics and Statistics, August 1961. 43. - P. 225-47

[61] Bairam E. Learning-by-doing, Variable Elasticity of Substitution and Economic Growth in Japan, 1878-1939 // Journal of Development Studies, 1989. 25. - P. 344-353.

[62] Brown D., Kubler F. Computational Aspects of General Equilibrium Theory: Refutable Theories of Value (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 604). - Springer: Berlin-Heidelberg, 2008 - 202 p.

[63] Cobb G. W., Douglas P. H. A theory of production // Amer. Econ. Rev., 1928. - P. 139-165.

[64] Geary R. C. A Constant-Utility Index of the Cost of Living // The Review of Economic Studies, 1950-1951. Vol. 18. No. 1. - P. 65-66.

[65] Hackman S. T. Production Economics: Integrating the Microeconomic and Engineering Perspectives. - Berlin: Springer, 2008. - 520 p.

[66] Hicks J. R. The Theory of Wages. 1963 edition. - London: Macmillan, 1932. - 385 p.

[67] Hicks J. R. Value and Capital: An inquiry into some fundamental principles of economic theory. 1946 Edition. - Oxford: Clarendon Press, 1939.

[68] Hicks J. R. Elasticities of substitution again: substitutes and complements // Oxford Economic Papers, 1970. 22. - P. 289-296.

[69] Karagiannis G., Palivos Т., Papageorgiou C. Variable Elasticity of Substitution and Economic Growth: Theory and Evidence [Электронный ресурс]. 2004. - Режим доступа: http: / / www.aueb.gr / deos / seminars/Palivos3-2-05_a.pdf

[70] Kazi U. A. The Variable Elasticity of Substitution Production Function: A Case Study from Indian Manufacturing Industries // Oxford Economic Papers, 1980. 32. - P. 163-175.

[71] Kincaid D., Cheney W. Numerical analysis: mathematics of scientific computing. - AMS, 2002. 3rd ed. - 788 p.

[72] Klein L. R., Rubin H. A constant-utility index of the cost of living // The Review of Economic Studies, 1947. V. 15. №2. - P. 84-87.

[73] Lindenberger D. Service production functions [Электронный ресурс] / / EWI Working Paper, 2003. №03.02. - Режим доступа: http://www.ewi.uni-koeln.de/ewi/content/e266/e283/e281/Ewiwp0302_ger.pdf

[74] Lovell С. А. К. «Estimation and Prediction with CES and VES Production Functions» // International Economic Review, 1973. 14. - P. 676-692.

[75] Mallick D. The Role of Elasticity of Substitution in Economic Growth: A Cross-Country Test of the La Grandville

Hypothesis [Электронный ресурс]. 2007. - Режим доступа: http://www.deakin.edu.au/buslaw/aef/workingpapers/papers/2007_04eco.pdf

[76] Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. - New York: Oxford University Press, 1995. - 987 p.

[77] Meyer R. A., Kadiyala K. R. Linear and Nonlinear Estimation of Production Functions // Southern Economic Journal, 1974. 40. - P. 463472.

[78] Mishra S. K. A brief History of Production Functions // The IUP Journal of Managerial Economics, IUP Publications, 2010. Vol. 0(4). - p. 6-34.

[79] Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization (Springer Series in Operations Research and Financial Engineering). - Springer, 2006. - 664 P-

[80] Pollak R. A., Wales T.J. Estimation of the Linear Expenditure System // Econometrica, 1969. V. 37. No. 4. - P. 611-28.

[81] Revankar N. S. The Constant and Variable Elasticity of Substitution Production Function: A Comparative Study in U.S. Manufacturing Industries // Methodology and Workshop Paper 6616. University of Wisconsin Systems Formulation, 1966 (unpublished).

[82] Revankar N. S. Production Function with Variable Elasticity of Substitution and Variable Returns to Scale: Doctorial dissertation. University of Wisconsin, 1967 (unpublished).

[83] Revankar N. S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions // Econometrica, 1971. Vol. 39. M. - P. 61-71.

[84] Sato R., Hoffman R. F. Production Functions with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing // The Review of Economics and Statistics, 1968. Vol. 50. №4. - P. 453-460.

[85] Shoven J. B., Whalley J. Applying General Equilibrium. - Cambridge University Press, 1992. - 301 p.

[86] Varian H. The nonparametric approach to production analysis // Econometrica. 1984. V.52. №3. - P. 579-598.