Эффекты двухосности нагружения трубопроводов с внутренним дефектом при нелинейном деформировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Шагивалеев, Рамиль Фаилович

• Шагивалеев, Рамиль Фаилович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шагивалеев, Рамиль Фаилович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ТРУБОПРОВОДОВ С

ПОВЕРХНОСТНЫМИ ДЕФЕКТАМИ.

1.1. Условия нагружения и типовые повреждения трубопроводов.

1.2. Методы анализа упругого и упруго-пластического состояния трубопроводов с поверхностными дефектами.

1.3. Методы расчета коэффициентов интенсивности напряжений в трубопроводах.

1.4. Модели и методы прогнозирования несущей способности трубопроводов при наличии повреждений.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НДС ТРУБОПРОВОДА С ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ ДВУХОСНОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1. Метод анализа упруго-пластического НДС трубопровода с полуэллиптической трещиной различной формы в плане.

2.2. Расчетные схемы МКЭ трубопровода с внутренней поверхностной трещиной и обоснование сходимости результатов.

2.3. Методика анализа упруго-пластического НДС и расчета остаточной долговечности трубопровода с трещиной.

ГЛАВА 3. ПОЛЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ И

ДЕФОРМАЦИЙ ВО ФРОНТЕ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТРЕЩИНЫ В ТРУБОПРОВОДЕ.

3.1. Анализ угловых распределений компонент напряжений вдоль фронта трещины.

3.2. Анализ радиальных распределений компонент напряжений на продолжении трещины.

3.3. Расчет упруго-пластических коэффициентов интенсивности напряжений.

3.4. Анализ изменения показателя сингулярности первого члена разложения по фронту трещины.

ГЛАВА 4. ОЦЕНКА СОВМЕСТНОГО ВЛИЯНИЯ ДВУХОСНОСТИ НАГРУЖЕНИЯ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЦИЛИНДРА И ФОРМЫ ТРЕЩИНЫ НА НДС И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ТРУБОПРОВОДА.

4.1. Кинетика зон пластичности и условия перехода от двухмерного к трехмерному НДС вдоль фронта полуэллиптической трещины.

4.2. Модель развития поверхностной трещины в трубопроводе при циклическом нагружении.

4.3. Прогнозирование долговечности на стадии роста полуэллиптической трещины в трубопроводе при двухосном циклическом нагружении.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты двухосности нагружения трубопроводов с внутренним дефектом при нелинейном деформировании»

В общем машиностроении и энергетике одними их основных несущих элементов конструкций являются трубопроводы, простейшая геометрическая модель которых представляет собой полый цилиндр. Трубопроводы и цилиндры используются для переноса жидкостей и газов (энергоносителей, теплоносителей, химических веществ), в гидравлических и пневматических силовых установках. Таким образом, трубопроводы находятся под внутренним давлением и осевой нагрузки сжатия или растяжения т.е. в условиях двухосного нагружения различной интенсивности. В эксплуатации соотношение двухосных номинальных напряжений в окружном и осевом направлениях находится в диапазоне от -1 до +1.

Под воздействием условий эксплуатации (термомеханическое нагружение и коррозионная среда) в трубопроводах с течением времени накапливаются и развиваются трещиноподобные дефекты. По данным эксплуатации характер повреждений трубопроводов, нагруженных внутренним давлением и осевой растягивающей или сжимающей силой, связан с наличием несквозных поверхностных трещин с криволинейным фронтом. Подобные дефекты инициируются на внутренней поверхности трубопровода и распространяются по толщине стенки трубы в плоскости, нормальной к направлению наибольшей компоненты двухосных номинальных напряжений.

Вследствие того, что трещина является жестким концентратором напряжений, в области вершины трещины возникают пластические деформации даже при действующих номинальных напряжениях ниже предела текучести. Это говорит о необходимости решения задач несущей способности трубопроводов в упруго-пластической постановке. В самой глубокой точке проникновения трещины реализуются условия близкие к плоской деформации, а в точке выхода трещины на внутреннюю поверхность цилиндра - плоское напряженное состояние.

Наибольший интерес представляют цилиндры с несквозными трещинами; т.к. эксплуатация трубопроводов со сквозными трещинами недопустима, а процесс роста трещины занимает примерно 90% времени с момента ввода в эксплуатацию до разрушения.

На сегодняшний день отсутствуют фундаментальные решения* для несквозной эллиптической трещины.в цилиндре в упругойшостановке и тем более в упруго-пластической постановке. Таким образом; является актуальной задача нахождения достаточно точного распределения полей напряжений и деформаций для определения несущей способности трубопровода. Существующие подходы прогнозирования несущей способности не позволяют достаточно точно оценить остаточный ресурс трубопроводов при наличии повреждений.

В этой связи в настоящей работе поставлена цель установить характер совместного влияния геометрии цилиндра и формы дефекта в плане на напряженно-деформированное состояние и остаточную долговечность трубопровода при различных вариантах двухосного нагружения с учетом образования и развития повреждений. На основе анализа распределений параметров НДС в области вершины трещины, предполагается разработать модель прогнозирования скорости роста трещин и долговечности, основанную на совместном учете влияния геометрии цилиндра и формы дефекта в плане при различных вариантах двухосного нагружения. Моделирование работы исследуемой конструкции будет проводиться с помощью инженерного МКЭ комплекса ANS YS. Особенности сложного напряженного состояния накладывают дополнительные требования, связанные с моделированием упругопластической ситуации в области вершины трещины. Цель исследования определяет следующие задачи:

• обоснование топологии расчетной модели цилиндра с внутренней поверхностной трещиной;

• разработка методики определения параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в нелинейной области вершины трещины;

• количественная оценка влияния вида двухосного нагружения на поля параметров НДС в трубопроводах различной геометрии при вариации исходной формы в плане поверхностного дефекта;

• разработка методики интерпретации результатов упруго-пластического НДС цилиндра с трещиной;

• моделирование скорости развития трещин и прогнозировании остаточной долговечности при двухосном нагружении различной интенсивности и установлении наиболее низких по долговечности вариантов сочетаний геометрических факторов и условий нагружения трубопровода.

Научная новизна работы состоит в:

• разработке модели прогнозирования остаточной долговечности трубопровода на основе предельных пластических деформаций во фронте полуэллиптической трещины;

• количественной оценке совместного влияния вида двухосного нагружения, геометрии цилиндра и формы трещины в плане на поля параметров НДС в области вершины трещины при упруго-пластическом деформировании;

• оценке характера изменения показателя сингулярности вдоль фронта трещины в зависимости от геометрии цилиндра и формы дефекта;

• установлении закономерностей изменения вдоль фронта трещины полей параметров НДС при переходе от двухмерного к трехмерному напряженному состоянию в зависимости от геометрии цилиндра и формы трещины при двухосном нагружении;

• разработке методики и комплекса программ исследования количественных и качественных характеристик состояния области вершины полуэллиптической трещины с учетом параметра стеснения;

• установлении эффектов двухосности нагружения на остаточную долговечность трубопроводов различной геометрии при гармоническом нагружении и с учетом циклов перегрузки.

На защиту выносятся:

• топология модели цилиндра с внутренней поверхностной полуэллиптической трещиной при двухосном нагружении;

• методика интерпретации и численные результаты решения задач МКЭ в нелинейной области вершины трещины для полярных распределений параметров НДС;

• закономерности совместного влияния вида двухосного нагружения, геометрии трубопровода и формы трещины на поля параметров НДС нелинейной области вершины трещины и характеристики остаточной долговечности;

• модель развития поверхностной трещины в трубопроводе при циклическом нагружении.

Практическая значимость данной работы заключается в возможности прогнозирования долговечности на стадии роста полуэллиптической трещины в трубопроводе при двухосном циклическом нагружении. В результате выполненного исследования разработаны рекомендации по количественной оценке влияния коэффициента двухосности, геометрии трубопровода и формы трещины на параметры НДС в нелинейной области вершины трещины и характеристики остаточной долговечности.

Достоверность полученных результатов подтверждается установленным совпадением частных численных решений с литературными данными, полученными другими авторами. Точность аналитических расчетов обеспечивалась строгими математическими постановками.

Работа выполнена в лаборатории Вычислительной механики деформирования и разрушения Исследовательского центра Проблем энергетики Казанского научного центра РАН.

Результаты работы представлялись на:

• аспирантско-магистерских научных семинарах (Казань, КГЭУ -2004г.);

• аспирантских семинарах (Казань, Академэнерго - 2005-2010 гг.);

• итоговых научных конференциях Казанского научного центра РАН

2005-2010гг.);

• Национальной конференции по теплоэнергетике (Казань, Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН - 2006 г.);

• V и VI Школе-семинаре молодых учёных и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2006, 2008 гг.);

• XIX и XX Всероссийской межвузовской научно-технической конференциях «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань, 2007, 2008 г.),

• XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2007 г.),

• Sixth International Conference on Low Cycle Fatigue (Berlin, Germany,

2008),

• Second International Conference on Material and Component Performance under Variable Amplitude Loading (Darmstadt, Germany, 2009)

• на второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009 г.)

В полном объеме диссертация докладывалась в Институте машиноведения РАН (г.Москва) и Исследовательском центре проблем энергетики КазНЦ РАН.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Шагивалеев, Рамиль Фаилович

выводы

Проведенный в данной работе комплексный упруго-пластический анализ НДС нелинейной области вершины трещины в условиях двухосного нагружения различной интенсивности тонкостенных и толстостенных трубопроводов, ослабленных несквозными дефектами различной формы в плане, позволяет сделать следующие обобщенные выводы:

• разработана методика исследования и интерпретации количественных и качественных характеристик упруго-пластического состояния области вершины полуэллиптической трещины и прогнозирования остаточной долговечности цилиндра с трещиной при двухосном нагружении;

• разработана модель прогнозирования остаточной долговечности трубопровода на основе соотношений зон пластических деформаций во фронте полуэллиптической трещины

• определены закономерности изменения вдоль фронта трещины полей параметров НДС при переходе от двухмерного к трехмерному напряженному состоянию в зависимости от геометрии цилиндра и формы трещины при двухосном нагружении различной интенсивности;

• установлен характер изменения показателя сингулярности вдоль фронта полуэллиптической трещины в зависимости от геометрии цилиндра и формы дефекта;

• дана оценка влияния градиента распределения напряжений по толщине стенки трубопровода и формы трещины в плане на характеристики долговечности;

• определена кинетика изменения формы и размеров трещины при циклическом нагружении трубопроводов различной геометрии, установлен эффект стабилизации формы трещины;

• установлены эффекты влияния двухосности нагружения на остаточную долговечность трубопроводов различной геометрии;

• определены наиболее опасные варианты сочетаний геометрических факторов и условий нагружения трубопровода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шагивалеев, Рамиль Фаилович, 2010 год

1. Акбашев, И.Ф. Основные результаты апробации новых подходов в определении ресурса корпусов АЭС с ВВЭР / И.Ф. Акбашев, Ю.М. Максимов, В.А. Пиминов, Б.З, Марголин // Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации АЭС. СПб., 2002.

2. Басов, К.А. ANSYS: справочник пользователя / К.А. Басов. М.: ДМК Пресс, 2005,- 640 е., ил.

3. Бастуй, В.Н. Диагностика несущей способности труб, ослабленных продольной трещиной, при нагружении осевой силой и внутренним давлением / В.Н. Бастуй // Проблемы прочности. — 1994, №12. - С. 1623.

4. Бородачев, А.Н. Определение IQ для плоской эллиптической трещины при произвольных граничных условиях / А.Н. Бородачев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1981. №2. - С. 62-69.

5. Бородачев, Н.М. Предельное состояние трубопровода, подверженного питтинг-коррозии / Н.М. Бородачев // Проблемы прочности. 2002, -№6.-С. 89-95.

6. Бородачев, Н.М. Весовая функция для внутренней плоской эллиптической трещины / Н.М. Бородачев // Проблемы прочности. -1997, №4.-С. 59-66.

7. Бурак, М.И. Закономерности роста сквозных трещин в сосудах давления, нагружаемых переменным внутренним давлением / М.И. Бурак, В.В. Ларионов, H.A. Махутов // Проблемы прочности, 1984, №7,стр. 8-12.

8. Бурак, М.И. Экспериментальное исследование циклической трещиностойкости сосудов давления в опытах на крупномасштабных моделях / М.И. Бурак, В.Б. Кайдалов, С.Н. Пичков и др. // Прикладн. пробл. прочн. пластичн. Методы решения. -1988.- С.115-122.

9. Вайншток, В. А. Коэффициент интенсивности напряжений приполиномиальном напряжении полукруговой и четвертькруговой трещин / В.А. Вайншток, И.В. Варфоломеев, Я. Йох // Проблемы прочности.-1987. -№11. -С. 20-24.

10. Вайншток, В.А. Сравнение двух численных методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений / В.А. Вайншток // Пробл. прочн. 1977. - № 9. - С. 80-83.

11. Варфоломеев, И.В. Количественная характеристика погрешностей вычисления КИН для поверхностных трещин / И.В. Варфоломеев // Проблемы прочности. 1997, - №1. - С. 103-111

12. Варфоломеев, И.В. Критерии и устойчивые формы роста несквозных трещин при циклическом нагружении. Сообщение 1 / И.В. Варфоломеев, В.А. Вайншток, А.Я. Крассовский // Проблемы прочности. 1990. - №8. - С. 3-10.

13. Вильдеман, В.Э. Расчет несущей способности толстостенных труб с использованием полных диаграмм деформирования / В.Э. Вильдеман, A.A. Ташкинов // Проблемы прочности. 1994, - №8. - С. 48-54.

14. Вычислительные методы в механике разрушения / Под ред. С. Алтури.-М.: Мир, 1990. -391 с.

15. Галин, Л.Я. Прикл. математика и механика / Л.Я. Галин // 1947. 11. Вып. 2.

16. Гранд, А.Ф. Коэффициенты интенсивности напряжений для несквозных трещин, развивающихся из отверстий, при общих условиях нагружения / А.Ф. Гранд, Т.Е. Куллгрен // Теоретические основы. 1981. - Т. 103, №2. -С. 99-105.

17. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Чанг. М.: Мир, 1974.- 239 с.

18. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. -541с.

19. Исследование напряжений и прочности корпуса реактора/ Под ред. C.B. Серенсена, Я. Немеца и Н.И. Пригоровского. М.: Атомиздат, 1968. 280 с.

20. Каплун, А.Б. ANSYS в руках инженера: практическое руководство. Изд. 2-е, испр / А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева. М.: Едиториал УРсс, 2004. - 272 с.

21. Клевцов, Г.В. Зоны пластической деформации как критерии оценки напряженного состояния материала с ГЦК решеткой при разрушении / Г.В. Клевцов, А.Г. Жижерин, В.Г. Кудряшов // Проблемы прочности.-1988.-№12. -С. 61-65.

22. Клевцов, Г.В. Кинетика образования зон пластической деформации у вершины трещины при разрушении конструкционных материалов в условиях плоского напряженного состояния и плоской деформации / Г.В. Клевцов // Проблемы прочности.- 1993.- №4. С. 57-63.

23. Клевцов, Г.В. Макро и микрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении / Г.В. Клевцов, Л.П. Ботвина // Проблемы прочности. - 1984.- №4. - С. 24-28.

24. Крассовский, А .Я. Трещиностойкость сталей магистральных трубопроводов / А.Я. Крассовский, В.Н. Красико // Киев: Наук. Думка, 1990.- 172 с.

25. Куллгрен. Трещина в форме четверти эллипса, развивающаяся из отверстия в пластине / Куллгрен, Смит, Гейнонг // Теоретические основы инженерных расчетов.- 1978. №2. - С. 35.

26. Куллгрен. Трещина эллиптической формы, развивающаяся из отверстия со свободной или нагруженной-1 границей / Куллгрен, Смит, Гейнонг // Теоретические основы инженерных расчетов.- 1979. №1. - С. 11.

27. Летунов, В.И. Закономерности развития поверхностных трещин в низколегированной стали при ассиметричном циклическом изгибе. Сообщ. 1 / В.И. Летунов, Б.С. Шульгинов, И. Плундрова и др. // Проблемы прочности. 1985, - №11. - С. 41-46.

28. Лукьянов, В.Ф. Кинетика изменения фронта поверхностной трещины при осесимметричном изгибе / В.Ф. Лукьянов, В.В. Напрасников, A.C. Коробцов //Проблемы прочности.- 1986. №7. - С. 8-13.

29. Лю, А.Ф. Рост угловых трещин, примыкающих к отверстию / А.Ф. Лю, Х.П. Канн // Теоретические основы. 1982. - Т. 104, №2. - С. 46-54.

30. Макклинток, Ф. Деформация и разрушение материалов / Ф. Макклинток, А. Аргон.- М.: Мир, 1970.- 443 с.

31. Матвиенко, Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения / Ю.Г. Матвиенко // М.: Физматлит, 2006. 328 с.

32. Махутов, H.A. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность / H.A. Махутов.- М.: Машиностроение, 1981.- 272 е., ил.

33. Махутов, H.A., Исследование кинетики разрушения при наличии поверхностных полуэллиптических разноориентированных трещин в сварных элементах оборудования АЭС / H.A. Махутов, И.В. Макаренко, Л.В. Макаренко //Проблемы прочности, 2010, N1. С.37-45

34. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Т.П. Никишков. М.: Наука, 1980.- 254 с.

35. Немец, Я. Жесткость и прочность стальных деталей / Я. Немец. М.: Машиностроение, 1970.- 528 с.

36. Никишков, Т.П. Расчет весовых функций для пространственных тел с трещинами / Г.П. Никишков, Т.А. Черныш // Проблемы прочности. -1989,-№11.-С. 32-36.

37. Ободан, Н.И. Влияние кривизны тонкостенных элементов с трещинами на параметры разрушения (теоретико-экспериментальное исследование) / Н.И. Ободан, В.Я. Адлуцкий, А.Г. Пацюк, Г.Г. Шерстюк // Проблемы прочности. 2006, - №3. - С. 75-84.

38. Овчинников, A.B. Приближенная формула определения коэффициентов интенсивности напряжений IQ для тел с поверхностными трещинами / A.B. Овчинников //Проблемы прочности.- 1986,- №11. С. 44-47.

39. Орыняк, И.В. Метод трансляций для эллиптической трещины нормального отрыва в бесконечном теле. Сообщение 1. Полиномиальное нагружение / И.В. Орыняк // Проблемы прочности.1997.-№6-С. 102-121.

40. Орыняк, И.В. Метод трансляций для эллиптической трещины нормального отрыва в бесконечном теле. Сообщение 1. Полиномиальное нагружение / И.В. Орыняк // Проблемы прочности. -1997.-№6-С. 102-121.

41. Орыняк, И.В. Расчет давления вязкого разрушения трубы с осевой сквозной трещиной / И.В. Орыняк // Проблемы прочности. 1993, -№4. - С. 39-49.

42. Орыняк, И.В. Расчет Применение модели вязкого разрушения труб с осевыми дефектами для анализа результатов натурных эксперементов / И.В. Орыняк, C.B. Ляшенко, В.М. Тороп, В.Н. Горицкий // Проблемы прочности. 1996, - №6. - С. 5-15.

43. Панасюк, В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / В.В. Панасюк.- Киев: Наук, думка, 1968.- 246 с.

44. Партон, В.З. Механика упругопластического разрушения / В.З. Партон, Е.М. Морозов. М.: Наука, 1974.- 416 с.

45. Писаренко, Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г.С. Писаренко, A.A. Лебедев. Киев: Наук, думка, 1976.- 416 с.

46. Разрушение. В 7-ми т./Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, Машиностроение, 1973-1976. 3216 с.

47. Carpinteri, A. Circumferential surface flaws in pipes under cyclic axial loading / A. Carpinteri, Brighenti // Engng. Fract. Mech. 1998. - 60, 1 4. P.383-396.

48. Саврук, М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах сiтрещинами / М.П. Саврук. Киев: Наук, думка, 1988.- 620 с.

49. Сегерлинд, JL Применение метода конечных элементов / JI. Сегерлинд. -М.: Мир, 1979.- 392 с.

50. Серенсен, C.B. Прочность при малоцикловом нагружении / C.B. Серенсен, P.M. Шнейдерович, А.П. Гусенков. М.: Наука, 1975.- 285 с.

51. Си, Дж. Математическая теория хрупкого разрушения / Дж Си, Г. Либовитц // В кн. Разрушение, т.2, Математические основы теории разрушения, М.:Мир. 1975. - С. 83-203.

52. Сиратори, М. Вычислительная механика разрушения / М. Сиратори, Т. Миеси, X. Мацусита. М.: Мир, 1986.- 334 с.

53. Стренг, К. Теория метода конечных элементов / К. Стренг, Дж. Фикс.-М.: Мир, 1977.- 349 с.

54. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1979.-560 с.

55. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов//М.: Наука, 1974. 640 с.

56. Чжен. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для несквозных продольных трещин в тонкостенных цилиндрах / Чжен, Финни // Теоретические основы инженерных расчетов, 1986, №2, с. 1-6.

57. Шанявский, A.A. Безопасное усталостное разрушение элементов авиаконструкций. Синергетика в инженерных приложениях / A.A. Шанявский. Уфа: Монография, 2003. - 803 е., ил.

58. Шканов, И.Н. Исследование циклической прочности и анализ закономерностей разрушения при мягком двухосном нагружении / / И.Н.

59. Шканов, Н.З. Брауде, Ф.И. Муратаев // В сб. Технология производства и прочность деталей летательных аппаратов и двигателей. Казань. 1980. - С. 49-56.

60. Шлянников, В.Н. Анализ изменения формы усталостной поверхностной трещины в трубопроводе / В.Н. Шлянников, Д.А. Чадаев // Проблемы прочности. 2003, - №5. - С. 80-92.

61. Шлянников, В.Н. Введение в метод конечных элементов. / В.Н. Шлянников, Б.В. Ильченко // Казань: Изд-во КГЭУ.- 2004.

62. Шлянников, В.Н. Вычислительная механика деформирования и разрушения: Учебное пособие / В.Н. Шлянников. Казань: Казанский Государственный Энергетический Университет, 2001.

63. Шлянников, В.Н. Плотность энергии деформации и зона процесса разрушения. Сообщение 1. Теоретические предпосылки / В.Н. Шлянников //Проблемы прочности. 1995. - №10. - С. 3-17.

64. Шлянников, В.Н. Плотность энергии деформации и зона процесса разрушения. Сообщение 2. Экспериментальное обоснование / В.Н. Шлянников // Проблемы прочности. 1995. - №11/12. - С. 3-21.

65. Шлянников, В.Н. Смешанные моды развития трещин при сложном напряженном состоянии (Обзор) / В.Н. Шлянников // Заводская лаборатория. 1990. - № 8.

66. Шлянников, В.Н. Упруго-пластические функции напряжений для трещин нормального отрыва и поперечного сдвига / В.Н. Шлянников, В.А. Долгоруков // Тематический сборник «Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения». 1988.

67. Ярема, С.Я. Некоторые вопросы методики испытаний материалов на циклическую трещиностойкость / С.Я. Ярема // Физико-химическая механика материалов. 1978, - №4. - С. 68-77.

68. ABAQUS version S.8. User's manual: R.I.' Hibbit, Karlsson & Sorensen Inc., 1999.

69. ANSYS. Theory Reference. 001242. Eleventh Edition. SAS IP, Inc., 1999

70. Antolovich, S.D. A model for fatigue crack propagation / S.D. Antolovich, A. Saxena, C.R.Chanani // Engng. Fract. Mech. -1975.- 7,- P.649-652.

71. Atluri, S.N. Outer and inner surface flaws in thick-walled pressure vessels / S.N. Atluri, K. Kathiresan // In: Trans. 4th Int. Conf. Struct. Mech. In Reactor Technology, San Francisco, 1977.

72. Biglari, F. Determination of fracture mechanics parameters J and C* by finite element and reference stress methods for a semi-elliptical flaw in a plate / F. Biglari // International Journal of Pressure Vessels and Piping. 2003.- №80.-P. 565-571.

73. Blackburn, W.S. Calculation of stress intensity factors in three dimensions by finite element method /W.S. Blackburn, Т.К. Hellen // Int. Journ. Num. Meth. Eng. 1977.- 11. - P. 211-229.

74. Brocks, W. Finite element study a mixed mode problem / W. Brocks, H.A. Yuan // Proc. 7th Europ. Conf. Fract., Budapest: Sept. 19-24, Budapest. -1988.- l.-P. 227-229.

75. Chan, S.K. On the Finite Element Method in Linear Fracture Mechanics / SK. Chan, I.S. Tuba, W.K. Wilson // Engineering Fracture Mechanics. Vol.2, 1970, pp 1-18.

76. Coffin, M.D. New Air Force Requirements for Structural Safety, Durability, and Life Measurement / M.D. Coffin, C.F. Tiffany // Journal of Aircraft. -1976.-Vol.13. №2. - P. 93-98.

77. Dyson, F. W. The potentials of ellipsoids of variable densities / F. W. Dyson // Quart. J. Pure Appl. Math. 1891.-25, №99. - P. 259 -288.

78. Eftis, J. Crack border stress and displacement equations revisited / J. Eftis, N. Subramonian, H. Liebowitz // Eng. Fract. Mech. 1977. - 9. - P. 189-210.

79. Eftis, J. The inclined crack under biaxial load / J. Eftis, N. Subramonian // Engng. Fract. Mech. 10: 43-67. 1978.

80. Ellin, F. Crack growth rate under cyclic loading and effect of singularity fields / F. Ellin // Eng. Fract. Mech. 1986. - №25. - P. 463-473.

81. Fett, T. Conditions for the determination of approximate COD fields / T. Fett // Ibid. 1991. -№39. - P. 905 - 914.

82. Grandt, A.F. Stress intensity factors for some throughcracked fastener holes / A.F. Grandt // Int. J. Fract. 1975. - 11 - № 2.- P. 283-294.

83. Green, A.E. Proceedings of Cambridge Philosophical Society / A.E. Green, V.N. Sneddon// 1950. 46. P. 159-164.

84. Guozhong, C. Stress intensity factors for interaction of surface crack and embedded crack in a cylindrical pressure vessel / C. Guozhong, Z. Kangda // International Journal of Pressure Vessels and Piping. 2000. - №77. - P. 539-548.

85. Hea, M.Y. Surface crack subject to mixed mode loading / M.Y. Hea, J.W. Hutchinson // Engineering Fracture Mechanics. 2000. - Vol.65. - P. 1-14.

86. Hilton, P.D. A specialized finite element approach for three-dimensional crack problems / P.D. Hilton //Plates and shalls with cracks mechanics of fracture. 1977. - №3.- P. 273- 298.

87. Hilton, P.D. Applications of the finite element method to the calculations of stress intensity factors / P.D. Hilton, G.C. Sih //Mechanics of Fracture. Methods of Analysis and Solution of Crack Problems. 1973.- №1.- P. 426483.

88. Hutchinson, J.W. Fundamentals of the phenomenological theory of nonlinear fracture mechanics / J.W. Hutchinson // Journ. Appl. Mech. 1983. - № 50. -P. 1042-1051.

89. Hutchinson, J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip / J.W. Hutchinson // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. - № 16. - P. 337-347.

90. Hutchinson, J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material / J.W. Hutchinson // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. -№ 16.-P. 13-31.

91. Kassir, M.K. Three-dimensional stress distribution around an elliptic crack under arbitrary loading / M.K. Kassir, G.C. Sih // ASME Journal of Applied Mechanics. 1966. - №33. - P. 301-661.

92. Kim, Y. Effect of specimen size and crack depth on 3D crack-front constraint for SENB specimens / Y. Kim // International Journal of Solids and Structures. 2003. - Vol.40. - P. 6267-6284.

93. Kobayashi, A.S. Corner crack at the Bore of a rotating disk / A.S. Kobayashi, N. Polvanich, A.F. Emery, W.J. Love // Journal of Basic Engineering. 1975. - P. 45-54.

94. Kokcharov, I. 100 questions on finite element analysis for engineers / I. Kokcharov // http://www.kokch.kts.ni/me/m9/c 1 .htm 2002.

95. Krasowsky, A.J. Approximate closed-form weight function for elliptic crack in an infinite body / A. J. Krasowsky, I. V. Orynyak, A. Y. Gienko // Ibid. -1999.-№99.-P. 123- 134.

96. Kujawski, D. On the size of plastic zone ahead of crack tip / D. Kujawski, F. Ellin //Engng. Fract. Mech.- 1986.- 25,-P.229-236.

97. Liu, A.F. Stress Intensity Factor for a Corner Flaw / A.F. Liu // Engineering Fracture Mechanics. 1972. - Vol.4. - №1. - P. 175-179.

98. Liu, Y.Y. A mathematical equation relating low cycle fatigue data to fatigue crack propagation / Y.Y. Liu, F.S. Lin // Int. Journ. Fatigue -1984.- 6,- P.31-36.

99. Manson, S.S. Fatigue Complex Subject / S.S. Manson // Experimental Mechanics. 1965. - № 7. - P. 234-248.

100. Murakami, Y. Stress Intensity Factors Handbook / Y. Murakami // Pergamon Press, Oxford. 1987.

101. Nair, P.K. Fatigue Crack Growth Model for Part-Through Flaws in Plates and Pipes / P.K. Nair // Journal of Basic Engineering. 1979. - Vol.1. - P. 54-60.

102. Orunyak, I.V. Point weight function method application for semielliptical mode I cracks / I.V. Orunyak, M.V. Borodii // Int. Journ. Fracture. 1995. -№70.-P. 117-124.

103. Petroski, R.J. Computation of the weight functions from a stress intensity factor / R.J. Petroski, J.D. Achenbach // Eng. Fract. Mech. 1978. - 10. - №2. - P. 257-266.

104. Raju, I.S. Stress-intensity factors for a wide range of semi-elliptical surface cracks in finite-thickness plates / I.S. Raju, J.C. Newman // Engng. Fract. Mech. 1979.-Vol.11.-№4.-P. 817-829.

105. Raju, I.S. Stress-Intensuty Factors for Two Symmetric Corner Cracks / I.S. Raju, J.C. Newman // Fracture Mechanics, ASTM STP 677. 1979. - P. 411430.

106. Segedin, C.M. Some three-dimentional mixed boundary-value problems in elasticity / C.M. Segedin // Report 67-3. Dept. of Aeronautics and Astronautics. Univ. of Washington. 1967. - 35 p.

107. Sha, G.T. Weight function calculations for mixed-dome fracture problems with virtual crack extension technique / G.T. Sha, G.T. Yang // Eng. Fract. Mech. 1986. -21, №6. -P. 1119-1149.

108. Shah, R.C. Stress intensity factor for an elliptic crack under arbitrary normal loading / R.C. Shah, A.S. Kobayashi // Eng. Fract. Mech. 1971. - 3. - P. 7196.

109. Shah, R.C. Stress Intensity Factors for Trough and Part-Through Cracks Originating at Fastener Holes / R.C. Shah // Mechanics of Crack Growth, ASTM STMP 590. 1976. - P. 429-459.

110. Shlyannikov, V.N. Elastic-plastic mixed mode fracture criteria andparameters / V.N. Shlyannikov/. Springer, Berlin. - 2003. - P. 248.

111. Shlyannikov, V.N. Elastic-plastic mixed-mode fracture criteria and parameters / V.N. Shlyannikov // Lecture notes in applied mechanics. Vol.7.- P. 220-234.

112. Shlyannikov, V.N. Fatigue fracture of power engineering structures / V.N. Shlyannikov, A.V. Tchadaev, V.A. Kalatchev //Fracture From Defects, Proc.l2th Bienniel Conf., Sept. 14-18, 1998.-Vol.l.- P. 375-380.

113. Shlyannikov, V.N. Fatigue shape analysis for internal surface flaw in a pressurized hollow cylinder / V.N. Shlyannikov // Int. Journ. Press. Vessels and Piping. 2000. - 77. - P. 227-234.

114. Shlyannikov, V.N. Modelling of crack growth by fracture damage zone / V.N. Shlyannikov// Theoret. Appl. Fract. Mech. 1996. - 25. - P. 187-201.

115. Smith, F.W. Theoretical and Experimental Analysis of Surface Cracks Emanating from Fastener Holes / Smith F.W., Kulgren T.E. // Technical Report AFFDL-TR-76-104, Air Force Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1977.

116. Theocaris, P.S. A closed-form solution of a slant crack under biaxial loading / P.S. Theocaris, J.G. Michopoulos // Engng. Fract. Mech. 1983. - 17. - P. 97133.

117. Theocaris, P.S. A Mohr-circle graphical method for stress intensity factors in cracked plates under different loadings / P.S. Theocaris, J.G. Michopoulos // Eng. Fract. Mech. 1983. - 18. - P. 97-108.

118. Theocaris, P.S. The T-criterion for ductile fractures in HRR plastic singular fields / P.S. Theocaris, T.P. Philippidis // Int. Journ. Fract. 1987. - 35. - P. 21-37.

119. Trefftz, E. Hundbuch der physic / E. Trefftz. 1928. - 6. - Springer-Verlag. -P. 92.

120. Vijayakumar, K. An embedded elliptic flaw in an infinite solid, subject to arbitrary crack-face tractions / K. Vijayakumar, S.N. Atluri // J. Appl. Mech.- 1981.-48.-P. 88-96.

121. Wheeler, O.E. Spectrum loading and crack growth / O.E. Wheeler // Journal of Basic Engineering, Transactions ASME. vol.94/ - 1972. - P. 181-186.

122. Xin, Wang. Elastic T-stress solutions for semi-elliptical surface cracks in finite thickness plates / Wang Xin // Engineering Fracture Mechanics. 2003. -№70.-P. 731-756.

123. Yashi, O.S. A pressurized cylindrical shell with a fixed end which contains an axial part-through or through crack /O.S. Yashi, F Erdogan //Int. J. Fract. -1985. Vol.28. - №3. - P. 161-187.

124. Yijin. Finite element / Yijin, Liu // 2001. http://urbana.mie.uc.edu/vliu/FEM-525ZFEM525-.htm

125. Yun-Jae, Kima. Finite element based plastic limit loads for cylinders with part-through surface cracks under combined loading / Kima Yun-Jae // International Journal of Pressure Vessels and Piping. 2003. - Vol.80. - P. 527-540.

126. Yun-Jae, Kima. Non-linear fracture mechanics analyses of part circumferential surface cracked pipes / Kima Yun-Jae // International Journal of Fracture. 2002. - Vol.10. - P. 1-29.debug с

127. Sepd=0.289187*ALOG(vl)-0.0257181. Sepn=1.0appd=3.-4*wlappn=(3.-wl)/(l.+wl)eps0=b0/a01. DELa=0.01сi S=1do 9 1=1,dik,i sсс к тарировки трубы с трещинойсbb0=b0/bt

128. Ek=sqrt(l.+1.464*(eps0**l.65))aMl=l.13-0.09*eps0аМ2=-0.54+0.89/(0.2+epsO)aM3=0.5-l./(0.65+eps0)+14*((l.-eps0)**24)1. GGa=l.1+0.35*bbO*bbO1. GGb=1.0

129. Funfa=(eps0*eps0)**0.25 Funfb=1.0с сr0b=rtb+bt

130. Fnc=(r0b*r0b+rtb*rtb)/(r0b*r0b-rtb*rtb) Func=(Fnc+l.-0.5*sqrt(bb0))*(bt/rtb)

131. Sal=0.2 5*(1. +wl)*(ара-1.)*YYFa*YYFa Sbl=0.2 5*(1.+wl)*(apb-1.)*YYFb*YYFbсpu=vl+l.

132. SPa=vl*bda*Pl*(sea**pu)*YYFa*YYFa/(Cvl+1.)*h г ra) SPb=vl*bdb*Pl*(seb**pu)*YYFb*YYFb/((vl+l.)*hrrb)с

133. Sa2=0.5Л(1.+wl)* C1■-apa)*YYFa*YYFa/sqrt(2.) Sb2=0.5*(1.+wl)*(1.-apb)*YYFb*YYFb/sqrt(2.)с

134. SEDCa=sfl*sy*efla*EM SEDCb=sfl*sy*eflb*EMсras=0.0 ггг=1.0dKth=dddKth*(Cl.-ras)**rrr;)1. Stha=dKth/sqrt(Pl*gl01a)1. Sthb=dKth/sqrt(Pl*gl01b)

135. WELDa=Sal+SPa+sqrt(DELa)*Sa2+DELa*Sa3

136. Ek=sqrt(l.+1.464*(eps0*лl.65))ам1=1.13-0.09*ерБ0ам2=-0.54+0.89/(0.2+ерзО)аМЗ=0.5-1./(0.65+ер50)+14л((1.-ерз0)**24)66=1.+(0.1+0.35лЬЬ0*ЬЬ0)"С1.-31п(и^))лС1.-51'пСи^))66а=1.1+0.3 5*ЬЬ0*ЬЬ06СЬ=1.0

137. Funf=(epsO*epsO*cosCufc)"CosCufc)+sin(ufc)*sin(ufc))*лO.1. Funfa=(eps0*eps0)л,v0.251. Ршг№=1.0r0b=гtb+bt

138. Рпс<г0Ь*г0Ь+г1Ь*г1Ь)/(г0Ь*г0Ь-г1:Ьлг1:Ь) Рипс=(Рпс+1.-0.5'^г1:(ЬЬ0))*(Ь1:/г1:Ь) Р5=0.97*(ам1+аМ2*ЬЬ0*ЬЬ0+амЗл(ЬЬ0**4))лСС*Рип^Рипс

139. Р5а=0.97*(аМ1+аМ2*ЬЬ0*ЬЬ0+аМЗ*(ЬЬ0**4))*ССа*Риг^а*Рипс

140. Р5Ь=0.97*(ам1+ам2*ЬЬ0*ЬЬ0+аМЗ*СЬЬ0**4))*ССЬ*Рип^*Рипс1. УУР=РБ/Ек1. УУРа=РБа/Ек1. УУРЬ=РБЬ/Екпредельные напряжения разрушения Sfa=Sfl/Rp32

141. Б1=0.2 5*(1. +\«1) * (ар-1.) *'УУР*УУР Ба1=0.2 5*(1.+wl)* Сара-1.)-УУРа*УУРа 5Ь1==0.25*(1.+\п/1)*(арЬ-1.)*УУРЬЛУУРЬри=у1+1.

142. SP=vl*bdd*PIЧse**pu)*YYF*YYF/((vl+l.)*hrr)5Ра=у1^а*Р1Ч5еа**ри)*УУРа*УУРа/((>1+1.)*Ьгга)

143. SPb=vl*bdb*PI*(seb**pu)*YYFb*YYFb/((vl+l.)••hrrb)

144. Б2=0.5 *(1■+1л?1)*(1.-ар)гг(2.) Ба2=0. 5 (1. +wl) * (1. -ара) *YYFa,^гYYFa/sq гг (2.) 5Ь2=0.5*(1.+ч\й)*(1.-арЬ)*УУРЬ*УУРЬ^Г1:(2.)

145. Sepd=0.289187*AL0G(vl)-0.0257181. Sepn=l.0appd=3.-4*wlappn=(3.-wl)/(l.+wl)eps0=b0/a01. DELa=0.OIcpa=1.01. Cpb=1.0сi s=ldo 9 l=l,dlk,isсс К тарировки трубы с трещинойсbb0=b0/bt

146. Ek=sqrt(l.+1.464*(eps0**l.65))aMl=l.13-0.09*eps0аМ2=-0.54+0.89/(0.2+epsO)ам3=0.5-1./(0.65+eps0)+14*((l.-eps0)**24)1. GGa=l.1+0.35*bbO*boO1. GGb=l.0

147. Funfa=(eps0*eps0)**0.25 Funfb=1.0сr0b=rtb+bt

148. Fnc=(r0b*r0b+rtb*rtb)/(r0b*r0b-rtb*rtb) Func=(Fnc+l.-0.5*sqrt(bb0))*(bt/rtb)

149. Sal=0.25*(l.+wl)*(apa-l.)*YYFa*YYFa

150. Sbl=0.2 5*(1.+wl)*(apb-1.)*YYFb*YYFbсpu=vl+l.

151. SPa=vl*bda*Pi*Csea**pu)*YYFa*YYFa/CCvl+l.)*hrra) SPb=vl*bdb*Pl*Cseb**pu)*YYFb*YYFb/CCvl+l.)*hrrb)с

152. Sa2=0.5*(1.+wl)*(1.-apa)*YYFa*YYFa/sq rt(2.) Sb2=0.5*(I.+wl)*C1--apb)*YYFb*YYFb/sq rt C2.)С

153. Cpa=(rpaa/(acar-a0))**deg else

154. Cpb=1.0 end if bovr=bcar aovr=acar go to 888 777 continue 17 continue сzb=b0*txb car=b0+pzbс write(69,274) n77,bO,txb,bear,bovr,st274 format(13,5f12.6) deg=l.34if(bear.le.bovr) then

155. Cpb=(pzb/(bovr-b0))**deg el se1. Cpb=1.0 end ifрга=а0*гхаасаг=аО+ргап^Сасаг. 1е.аоуг) гИеп

156. С. (ЬЬО. 0.05) до го 9971071 п1=(пп77. ея 2) до го 1072т (пп77. ея 3) до го 1072пЧ=(пп77. ея 4) до го 1072пЧ=(пп77. ея 5) до го 10721. И=(пп77. ея 6) до го 1072if(пп77 ея 7) до го 10721^пп77. ея 8) до го 10721"Р(пп77. ея 9) до го 1072

157. С ^f (ЬЬО. 9* 0. 1) до го 9971072 ^f(nn77. ея 3) до го 1073т1=(пп77. ея 4) до го 10731Т(пп 77. ея 5) до го 10731Ч=(пп77. ея 6) до го 1073пЧ=(пп77. ея 7) до го 1073п'-р (пп77. ея 8) до го 1073if(пп77 ея 9) до го 1073

158. WELDa=Sal+SPa+sqrt(DELa)*sa2+DELa*sa3

159. WELDb=Sbl+SPb+sqrt(DELb)*Sb2+DELb*Sb3

160. S5UMa=ABS((((sn)**2)*WELDa-stha*Stha*dStha))

161. SSUMb=ABS((((sn)**2)*WELDb-Sthb*Sthb*dSthb))1. STEP=(l.+v2)/(5.+v2)sm3=l./STEPсс контроль расчетасс write(95,253) gl01b,DELb,SEDC,SSUMb253 format(2f12.8,2е14.4) с

162. Ek=sqrt(l.+1.464*(eps0**l.65))ам1=1.13-0.09*eps0aM2=-0.54+0.89/(0.2+epsO)aM3=0. 5-l./(0.65+eps05+14*((l.-eps0)**24)

163. GG=l.+(0.1+0.35*bb0*bb0)*(l.-sin(ufc))*(l. -sin(ufc))1. GGa=l.1+0.35*bbO*bbO1. GGb=l.0

164. Funf=(eps0*eps0*cos (ufc)*cos(ufc)+sin(ufc)*si n(ufc))**0.251. Funfa=(eps0-epsO)**0.2 51. Funfb=1.0r0b=rtb+bt

165. Fnc=(r0b*r0b+rtb*rtb)/(r0b*r0b-rtb*rtb)

166. Func=(Fnc+l.-0.5*sqrt(bb0))*(bt/rtb)

167. Fs=0.97* (aMl+aM2*bbO*bbO+aM3*(bbO**4))*GG*Funf*Func

168. Fsa=0.97*(aMl+aM2*bbO*bbO+aM3*(bbO**4))*GGa*Funfa*Func

169. Fsb=0.97*(aMl+aM2*bb0*bb0+aM3*(bb0**4))*GGb*Funfb*Func1. YYF=Fs/Ek1. YYFa=Fsa/Ek1. YYFb=Fsb/Ekпредельные напряжения разрушения1. Sfb=Sfl Sfa=Sfl/Rp32

170. SP=vl*bdd*Pl*(Se**pu)*YYF*YYF/((vl+1.)"hrr)

171. SPa=vl*bda*Pl*(Sea**pu)*YYFa--YYFa/((vl+l.)*hrra)

172. SPb=vl*bdb*Pl*(Seb**pu)*YYFb*YYFb/((vl+l.)*hrrb)

173. S2=0.5*(1.+wl)*(1.-ap)*YYF*YYF/sqrt(2.) Sa2=0.5*(1.+wl)*(1.-ара)*YYFa*YYFa/sq rt(2.) Sb2=0. 5* (1. +wl)* (1. -apb) *YYFb*YYFb/sq rt(2.)

174. FYl=(l.+s i n (0 . 5 *Q) * s i n (1. 5 *Q) ) * COS (0. 5 *Q) FY2=sin(0.5*Q)*cos(0.5*Q)*cos(l.5*Q) FXl=(l.-si n(0.5*Q)*si n(l.5*Q))*COS(0. 5*Q) FX2=(2.+COS(0.5*Q)*COS(l.5*Q))*sin(0.5*Q) FXYl=FY2 FXY2=FXl1. Fll=(FXl-FYl)**2

175. F21=(FYl*(1.-Wl)-FXl*Wl)**2

176. F31=(FXl*(Wl-1.)+FY1*Wl)* * 21. Fl2=(FX2+FY2)**2

177. F22=(FY2*(1.-Wl)+FX2*Wl)**2

178. F32=(FX2*(1.-Wl)+FY2*Wl)**2

179. Pl=0.5 * FKl* FKl*(Fll+ F21+ F31+6.* FXYl* FXYl)

180. P2=0.5* FK2* FK2*(F12+F22+F3 2+6.* FXY2* FXY2)

181. P3=FKl*FK2*(-Fll* F12+F21* F2 2+F31* F3 2+6.*FXYl* FXY2)

182. Plll=2.* FKl*(Fll-Wl* F21+(Wl-1.)* F31)/SQRT(2.)9222=2.*FK2*(-F12-W1*F22+(W1-1.)*F32)/SQRT(2.)1. P4=FaF*(P111+P222)

183. P5=2.*FaF*FaF*(l.-wl+wl*wl)1. Bl=Pl+P2+P3 B2=P41. BB=(FaF*B2)/(2.*sqrt(2.))

184. Pll=2.*Vl-0.5*(Vl-1.)*(1.-ST*sq rt(1.-T+T*T))1. P22=(Vl+l.)1. PP=Pll/P221. YP=2./PP

185. FYl=(l.+sin(0.5*Q)*sin(l.5*Q))*COS(0.5*Q) FY2=sin(0.5*Q)*cos(0.5*Q)*cos(l.5*Q) FXl=(l.-sin(0.5*Q)*sin(l.5*Q))*cos(0.5*Q) FX2=(2.+cos(0.5*Q)*cos(l.5*Q))*si n(0.5*Q) FXYl=FY2 FXY2=FXl1. Fll=(FXl-FYl)* * 2

186. F21=(FYl*(l.-Wl)-FXl*Wl)**2

187. F31=(FXl*(Wl-1.)+FYl*Wl)* * 21. Fl2=(FX2+FY2)**2

188. F22=(FY2*(1.-Wl)+FX2*Wl)**2

189. F32=(FX2*(1.-Wl)+FY2*Wl)**2

190. Pl=0.5 * FKl* FKl*(F11+ F21+F31+6.*FXYl* FXYl)

191. P2=0.5*FK2*FK2*(F12+F22+F32+6.*FXY2*FXY2)

192. P3=FKl*FK2*(-Fll*Fl2+F21*F22+F31*F32+6.*FXYl*FXY2)

193. Plll=2.*FKl*(Fll-Wl*F21+(Wl-l.)*F31)/SQRT(2.)

194. P222=2.*FK2*(-Fl2-Wl*F22+(Wl-l.)*F32)/SQRT(2.)1. P4=FaF*(P111+P222)

195. P5=2.*FaF*FaF*(l.-Wl+Wl*Wl)1. Bl=Pl+P2+P31. B2=P41. BB=(FaF*B2)/(2.*sqrt(2.))

196. Pll=2.*Vl-0.5*(Vl-1.)*(1.-ST*sq rt(1.-T+T*T))1. P22=(V1+1.)1. PP=Pll/P221. YP=2./PP

197. FYl=(l.+si n(0.5*Q)*si n(l.5*Q))*cos(0.5*Q) FY2=si n(0.5*Q)*COS(0.5*Q)*COS(1.5*Q) FXl=(l.-si n(0.5*Q)*si n(l.5*Q))*cos(0.5*Q) FX2=(2.+COS(0.5*Q)*cos(1.5*Q))*si n(0.5*Q) FXYl=FY2 FXY2=FXl1. Fll=(FXl-FYl)* * 2

198. F21=(FYl*(l.-Wl)-FXl*Wl)**2

199. F31=(FXl*(Wl-l.)+FYl*Wl)**21. Fl2=(FX2+FY2)**2

200. F2 2=(FY2 *(1.-Wl)+FX2 *Wl)* * 2

201. F3 2=(FX2 *(1.-Wl)+FY2 *Wl)* * 2

202. Pl=0.5*FKl*FKl*(F11+F21+F31+6.*FXYl*FXYl)

203. P2=0.5*FK2*FK2*(Fl2+F22+F32+6.*FXY2*FXY2)

204. P3=FK1*FK2*(-f11*F12+F21*F22+F31*F32+6.*FXYl*FXY2)

205. Plll=2.* FKl*(Fll-Wl*F21+(Wl-1.)* F31)/SQRT(2.)

206. P222=2.*FK2*(-Fl2-Wl*F22+(Wl-l.)*F32)/SQRT(2.)1. P4=FaF*(P111+P222)

207. P5=2.*FaF*FaF*(l.-Wl+Wl*Wl)1. Bl=Pl+P2+P31. B2=P41. BB=(FaF*B2)/(2.*sqrt(2.))

208. Pll=2.*Vl-0.5*(Vl-1.)*(1.-ST*sq rt(1.+wl*(wl-1.)))1. P22=(Vl+l.)1. PP=Pll/P221. YP=2./PP1. Ell=(3.)/(2.*(1.+Wl))

209. CC=4 .*Bl*(P5-2.* ( (Ell) ^YP) / (ST*ST) )1. AR2=B2**2-CC1.(AR2.LT.0) STOP1. ARl=sqrt(AR2)-B2

210. FYl=(l.+sin(0.5*Q)*sin(l.5*Q))*cos(0.5*Q) FY2=sin(0.5*Q)*COS(0.5*Q)*cos(l.5*Q) FXl=(l.-sin(0.5*Q)*si n(l.5*Q))*cos(0.5*Q) FX2=(2.+cos(0.5*Q)*cos(l.5*Q))*sin(0.5*Q) FXYl=FY2 FXY2=FXl1. Fll=(FXl-FYl)**2

211. F21=(FYl*(1.-Wl)-FXl*Wl)**2

212. F31=(FXl*(Wl-l.)+FYl*Wl)**21. Fl2=(FX2+FY2)**2

213. F22=(FY2*(1.-Wl)+FX2*Wl)**2

214. F32=(FX2*(1.-Wl)+FY2*Wl)**2

215. Pl=0.5* FKl* FKl*(F11+F21+F31+6.* FXYl* FXYl)

216. P2=0.5*FK2*FK2*(F12+F22+F32+6.*FXY2*FXY2)

217. P3=FKl*FK2*(-Fll*Fl2+F21*F22+F31*F32+6.*FXYl*FXY2)

218. Plll=2.*FKl*(Fll-Wl*F21+(Wl-l.)*F31)/SQRT(2.)

219. P222=2.*FK2*(-Fl2-Wl*F22+(Wl-l.)*F32)/SQRT(2.)1. P4=FaF*(P111+P222)

220. P5=2.*FaF* FaF*(1.-Wl+Wl*Wl)1. Bl=Pl+P2+P31. B2=P41. BB=(FaF*B2)/(2.*sqrt(2.))

221. Pll=2.*Vl-0.5*(Vl-1.)*(1.-ST*sq rt(1.-T+T*T))1. P22=(Vl+l.)1. PP=Pll/P221. YP=2./PP