Моделирование условий равновесия трещин в неоднородных элементах оборудования и трубопроводов АЭС в рамках механики хрупкого разрушения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.03, кандидат технических наук Амин Аминиан Абдоллах

• Амин Аминиан Абдоллах
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Амин Аминиан Абдоллах

СОДЕРЖАНИЕ

Условные обозначения

Введение

Глава 1. Расчет на сопротивление хрупкому разрушению, натурные

наблюдения и современные методы расчетного анализа трещин

1.1. Существующие методики расчета на сопротивление хрупкому разрушению

1.2. Натурные наблюдения дефектов в элементах оборудования и трубопроводов АЭС

1.3. Краткий обзор современного состояния теории, описывающей равновесие криволинейных трещин в неоднородных телах

Глава 2. Постановка краевых задач о трещинах вблизи границы раздела

материалов

2.1. Модельная задача о трещине в связанных полуплоскостях

2.2. Особенности модели и замечания о возможности обобщений

Глава 3. Метод численного решения задачи

3.1. Параметризация СИДУ с учетом особенностей поля напряжений

3.2. Квадратурно-коллокационный метод Гаусса-Якоби

3.3. Квадратурно-коллокационный метод Гаусса-Чебышева

3.4. Расчет коэффициентов интенсивности напряжений

3.5. О подходе к анализу условий квазихрупкого разрушения

Глава 4. Асимптотика поля напряжений вблизи вершины трещины, выходящей

под произвольным углом на границу раздела материалов

4.1. Уравнение относительно особенности упругих напряжений вблизи вершины трещины, выходящей под произвольным углом на границу раздела материалов

4.2 Общий подход к определению особенностей напряжений в упругих разнородных телах

Глава 5. Результаты расчетов и критерий анализа условий прочности

5.1. Результаты расчетов для прикладных и модельных задач

5.2. Критерий анализа условий прочности при смешанном нагружении на основе имеющихся экспериментальных данных

5.3. Пример построения условий прочности

5.4. Расчет критического размера трещинообразных несплошностей в кольцевых сварных соединениях трубопроводов Ду800 КМПЦ РБМК

Заключение

Литература

Приложение А. Некоторые вопросы численной реализации

Приложение Б. Вычислительные подпрограммы для квадратурных формул Гаусса-Якоби

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

коэффициент интенсивности напряжений (КИН) 1-го рода

К1с — вязкость разрушения при нормальном отрыве

и соответственно области раскрытия, скольжения и сцепления

ь = контур трещины, объемного дефекта, границы

t, т = комплексные координаты точки контура

г = мнимая единица

N, Т соответственно нормальная и касательная компоненты напряжения

¿КО = комплексная представление вектора смещений

х»У = декартовая система координат

+ - + -и , и И V , V компоненты вектора смещений поверхностей трещины слева (+) и справа (-) при движении вдоль контура относительно декартовой системы координат соответственно по направлению осей х и у

Г угол между касательной к линии трещины в интерфейсной вершине и границей раздела упругих материалов

г,в = полярная система координат

стгг, сгвв, огв компоненты тензора напряжений в полярной системе координат

р(т) - правая часть интегрального уравнения (нагружение)

Х\> Хг постоянные Дундурса (Бипёигз), связанные с соотношением модулей сдвига и коэффициентов Пуассона

Мг = модуль сдвига (г =1, 2)

Кг = параметр Мусхелишвили; к = 3 - при плоской деформации и к = (3 - у)/(1 + V) при плоском напряженном со-

стоянии (г = 1,2)

П- — коэффициент Пуассона (г = 1,2)

Ц точка контура, t = co(¿;) = + ¡у(<£)

о>(?7) = точка контура, г = а>(?]) = х(г}) + гу{1-])

К^Ш+ъМл) = ядра параметризованного интегрального уравнения

Мё) — специальная весовая функция Якоби

А", А " = коэффициенты трансцендентного уравнения

Ъ — вес квадратурной формулы

кп коэффициент интенсивности напряжений (КИН) П-го рода

КР = показатель асимптотики ¡3 = Л -1

иг,ив компоненты вектора смещений в полярной системе координат

у/{г),(р(г) комплексные функции (потенциалы) Колосова-Мусхелишвили

Рп{а'Р\£) = полиномы Якоби

Ш) полиномы Чебышева

0^(77) = функция второго рода Якоби

гр — размер пластической зоны

ч усилие растяжения

р = усилие сжатия

Б силовые параметры задачи

в = геометрические параметры задачи

Е упругие модули

Т = температура

^ флюенс нейтронов

С = физико-химические факторы эксплуатации

^р 0,2 - предел текучести

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование условий равновесия трещин в неоднородных элементах оборудования и трубопроводов АЭС в рамках механики хрупкого разрушения»

ВВЕДЕНИЕ

Повышение безопасности эксплуатации ядерных энергетических установок, в частности, реакторов ВВЭР, и возрастающие требования к их экономической эффективности требуют внедрения современных методов обоснования прочности.

Поскольку одним из основных механизмов аварийного разрушения ответственных элементов оборудования и трубопроводов АЭС является неустойчивый рост трещины по достижению ею критического размера, особую роль в обосновании прочности приобретает развитие методов расчета на сопротивление хрупкому разрушению. Существенно, что в условиях физико-химических процессов наводораживания и под воздействием радиационного облучения в конструкционных сталях происходит изменение температуры вязко-хрупкого перехода, что отрицательно сказывается на трещиностойкости (вязкости разрушения) соответствующих элементов оборудования, в частности, корпуса реактора, внутрикорпусных устройств и трубопроводов первого контура [13].

Другой характерной особенностью элементов ЯЭУ является наличие множества узлов, где имеет место соединение разнородных материалов -сварных соединений и наплавок.

Сложная геометрия неоднородных элементов оборудования, зависимость трещиностойкости от температуры и других факторов, трехосное термомеханическое нагружение обуславливают устойчивый рост исходных микротрещин или макродефектов (например, непроваров и несплавлений) вдоль криволинейных и ломаных траекторий по механизму усталости или замедленного коррозионного растрескивания.

Более подробно данные по натурным наблюдениям трещин вблизи сварных швов и наплавок в элементах оборудования и трубопроводов АЭС обсуждаются в Главе 1 диссертации. Кратко представлены существующие методики расчета на сопротивление хрупкому разрушению и отмечается, что при расчетном обосновании прочности элементов оборудования и

трубопроводов с трещинами, как правило, используются чрезвычайно упрощенные модели дефектов, что может приводить к избыточному консерватизму получаемых оценок. В Главе 1 также представлено современное состояние теории, описывающей равновесие дефектов типа трещин в упругих телах. Применение существующих современных методов, а также новых, разработанных в диссертации подходов к получению более точных оценок условий безопасной эксплуатации оборудования и трубопроводов АЭС и определяет актуальность работы.

В Главе 2 дана постановка модельной краевой задачи, позволяющей с одной стороны отработать методы и подходы к решению рассматриваемого класса задач, а с другой стороны получить конкретные результаты, представляющих непосредственный практический интерес.

В Главе 3 изложены численные методы и алгоритмы, используемые при решении указанных задач.

В Главе 4 представлены два альтернативных метода определения показателя особенности упругого поля напряжений вблизи вершины трещины, выходящей под произвольным углом на границу раздела материалов, где имеет место скачок упругих свойств, представлены результаты расчетов.

В Главе 5 представлены некоторые результаты решения задач о трещинах различной геометрии, достигающих границы раздела разнородных материалов, при различных условиях нагружения, проведен анализ влияния параметров задачи на коэффициенты интенсивности напряжений.

Заключение подводит итоги диссертации в форме перечисления основных полученных результатов и выводов.

В Приложение А вынесены некоторые сведения из теории специальных функций и вычислительные подходы, необходимые для реализации используемых численных методов.

Диссертация характеризуется следующими новыми элементами:

1. Построены математические модели, определяющие условия равновесия трещины, достигающей границы раздела упругих материалов, в рамках механики хрупкого разрушения и с учетом особенностей напряжений.

2. Выполнена адаптация численных методов решения одномерных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений к решению задач о криволинейных трещинах в кусочно- и непрерывно-неоднородных двумерных телах.

3. Получены решения задач о прямолинейной трещине, выходящей под произвольным углом на границу раздела материалов при различных механических и геометрических параметрах задачи и условиях нагружения.

4. Получены решения задач о криволинейной трещине, находящейся вблизи границы раздела материалов, в том числе достигающей ее.

5. Выполнен анализ результатов расчетов в части зависимости коэффициентов интенсивности напряжений, определяющих условия равновесия трещины в рамках силового критерия механики хрупкого разрушения, от параметров рассмотренных задач.

6. Предложен подход к использованию полученных результатов и развитых методов для анализа условий равновесия трещин в элементах оборудования и трубопроводов АЭС в рамках механики хрупкого разрушения на основе имеющихся экспериментальных данных.

Полученные решения конкретных задач механики разрушения и разработанные модели и подходы позволяют выполнять анализ условий равновесия трещин, в том числе криволинейных, в неоднородных телах в рамках механики хрупкого разрушения для решения задач углубленной оценки безопасной эксплуатации оборудования и трубопроводов АЭС.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-3] (см. также [4]) и доложены на:

• Шестнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, МЭИ (ТУ), 2010;

8

• Семнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, МЭИ (ТУ), 2011;

• 22-й Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Барнаул, АлтГУ, 2011.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Андрею Вячеславовичу Андрееву за полезные советы и постоянную помощь в работе.

ГЛАВА 1. РАСЧЕТ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ ХРУПКОМУ РАЗРУШЕНИЮ, НАТУРНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ И СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТНОГО АНАЛИЗА ТРЕЩИН

1.1. Существующие методики расчета на сопротивление хрупкому разрушению

Существующие отраслевые методы расчета на сопротивление хрупкому разрушению изложены в соответствующей нормативной [41] и методической документации [32, 33, 34] (см. также [13]). Приведем здесь значимые для понимания содержания диссертации сведения из указанных источников.

В соответствии с Нормами [41] производят расчет на сопротивление хрупкому разрушению оборудования и трубопроводов АЭУ на стадии проектирования для всех режимов эксплуатации, включая нормальные условия эксплуатации, нарушение нормальных условий эксплуатации, аварийные ситуации, гидравлические (пневматические) испытания. При этом основными характеристиками материала, используемыми в расчете, являются критический коэффициент интенсивности напряжений (КИН) К1с, критическая температура

хрупкости Тк и предел текучести Изменение свойств материалов в

процессе эксплуатации учитывают введением в расчет сдвигов критической температуры хрупкости вследствие различных физико-химических воздействий на элементы оборудования в процессе эксплуатации.

Сопротивление хрупкому разрушению считают обеспеченным [41], если для выбранного расчетного дефекта в виде трещины в рассматриваемом режиме эксплуатации выполняется условие

К,<[К,С] (1.1)

где [К1с] - допускаемое значение коэффициента интенсивности напряжений,

Отметим здесь, что детерминистическое условие (1.1) обобщается на случай вероятностного подхода, а существующие методики определения вязкости разрушения по результатам испытаний образцов-свидетелей [34] позволяют рассчитывать вероятность хрупкого разрушения на основе сравнения этой вязкости с коэффициентом интенсивности напряжений К,.

Коэффициент интенсивности напряжений К: для выбранных расчетных

трещин определяют [41] аналитически, численно или экспериментально по методикам, согласованным с головной организацией по разработке норм расчета на прочность.

Переходя к методикам [32, 33], регламентирующим расчет на сопротивление хрупкому разрушению уже не только на стадии проектирования, но и на стадии эксплуатации, отметим, что в соответствии с этими методиками КИН К] во всех случаях определяется для исходного расчетного дефекта в виде плоской полуэллиптической поверхностной или подповерхностной (поднаплавочной) трещины, ориентированной перпендикулярно наибольшим расчетным растягивающим напряжениям, действующим в районе дефекта. Такая же модель трещины [33] используется и при расчете подроста трещины, например, в рамках оценки остаточного ресурса корпусов реакторов типа ВВЭР-1000 при продлении срока службы [50].

Отметим, что отраслевые расчетные исследования, связанные с обоснованием прочности при хрупком разрушении, в основном развивались по двум направлениям: разработка уточненных многопараметрических критериев разрушения [31, 71, 72, 73, 74], в том числе вероятностных [75, 76], а также разработка конечно-элементных подходов и расчетных моделей оборудования и трубопроводов с трещинами (см., например, [23, 25]).

Перейдем к результатам анализа литературных данных по эксплуатационным повреждениям элементов оборудования и трубопроводов АЭС.

1.2. Натурные наблюдения дефектов в элементах оборудования и трубопроводов АЭС

Анализ характера эксплуатационных повреждений элементов оборудования и трубопроводов АЭС показывает, что повреждения в виде трещин и мелких надрывов, развивающиеся по механизму межкристаллитной коррозии, наблюдаются в разнородных сварных соединениях: в швах приварки переходных втулок, защитных рубашек и аустенитных трубок, в переходных наплавках и в швах трубопроводов энергоблоков ВВЭР-440 и ВВЭР-1000 [51].

При этом трещины, например, в конструктивных элементах ПГВ-1000 (сварной шов № 111), развивающиеся по механизму замедленного деформационного коррозионного растрескивания, характеризуются: многоочаговым характером инициирования, ручьистым рельефом, стадийным развитием по механизму хрупкого разрушения, большой протяженностью и транскристаллитным растрескиванием [44].

Некоторые иллюстративные материалы, демонстрирующие характер дефектов в неоднородных элементах оборудования и трубопроводов АЭС, представлены на рис. 1.1.-1.4 [24, 19, 51, 77]. Эти материалы также свидетельствуют о том, взаимодействие трещин и поверхностей раздела металлов в условиях сложного термосилового нагружения имеет комплексный характер, обуславливающий возникновение трещин-расслоений, криволинейных, ломаных и ветвящихся поверхностных и подповерхностных трещин. Существенно, что для таких форм трещин очень сложно построить консервативную оценку условий равновесия не прибегая к результатам полного решения задачи. Помимо этого, как показывают точные решения уравнений теории упругости, на границах раздела, где имеет место скачок упругих свойств (наплавка или металл шва - основной металл) реализуется особая асимптотика напряжений, что требует специального рассмотрения [64, 83, 89], проведенного в диссертации.

Как отмечено в предыдущем параграфе, существующие в отрасли расчетно-методические подходы ограничены применением модели плоской

эллиптической или полуэллиптической поверхностной или подповерхностной (поднаплавочной) трещины, ориентированной перпендикулярно наибольшим растягивающим напряжениям [32, 33]. Очевидно, такая геометрическая модель трещины в общем случае оказывается в контексте определения КИН очень приближенной, и, как следствие, сильно неконсервативной. Отметим, что такая же модель используется в рамках концепции «течь перед разрушением» [12].

Важной особенностью натурного класса задач о трещинах является то обстоятельство, что вблизи вершин таких трещин имеет место смешанное нагружение (моды нагружения I, II и III), тогда как критерий (1.1) относится к трещинам нормального отрыва.

Таким образом, в связи с очевидной приближенностью и излишним консерватизмом существующего в настоящее время методического подхода особую актуальность приобретает вопрос о разработке средств расчета КИН в более реалистичной геометрии и условиях нагружения трещины, в том числе располагающейся вблизи границы раздела материалов, на базе современных методов, но в рамках имеющихся экспериментальных данных по вязкости разрушения К,с.

20 к и

Рис. 1.1. Повреждение (МКК) первого слоя предварительной наплавки ЭА

395/9 шва №23х ЗПГ-1 НВ АЭС [24]:

Рис. 1.2. Трещина в разнородном сварном соединении №23х ЗПГ-1 НВ АЭС

[51].

Рис. 1.3. Характер распространения ветвящейся окружной трещины по зоне выросших аустенитных зерен (сварное соединение 15М5Б опускного трубопровода 1-го энергоблока КуАЭС) [77].

Рис. 1.4. Разноуровневые по оси трубы зародышевые трещины. Вид с внутренней поверхности трубы (сварное соединение Н2 ст. 5 опускного

трубопровода 3-го энергоблока ЧАЭС) [77].

1.3. Краткий обзор современного состояния теории, описывающей равновесие криволинейных трещин в неоднородных телах

Приведем краткие сведения о современном состоянии теории, описывающей равновесие и развитие криволинейных и ломаных трещин в упругих телах, в том числе неоднородных.

В рамках двумерной задачи теории упругости в основном рассматривались криволинейные трещины в однородном теле [14, 28, 45, 80]. Слабоискривленные трещины рассматривались в [10, 15, 16], а равновесие разрезов по дуге окружности исследовалось в [38, 42]. В [46] при использовании интегральных представлений комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [38] через скачки смещений на линии трещины построены интегральные уравнения задачи о бесконечной плоскости с криволинейным разрезом произвольной формы, предложен и реализован на ряде примеров численный метод их решения.

Следует отметить, что в задачах о криволинейных трещинах краевая задача, как правило, сводится к сингулярному интегральному уравнению первого рода с ядром Коши (или системе таких уравнений) [15, 26, 39, 45, 46, 47], которое затем решается аналитически [16] или численно [14, 46, 92]. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи механики разрушения, исследуются в [21, 22, 28, 39, 43,46, 54,61].

В [27, 78, 79] рассматривались трещины вдоль криволинейных поверхностей в однородном теле.

В рамках двумерной теории упругости в [35, 36] рассматривалось растяжение плоскости с трещиной в виде трехзвенной ломаной, близкой к прямой, а в [67] дано точное решение задачи о полубесконечной трещине в виде двухзвенной ломаной. Решение задач о ветвящихся [46] и ломаных [46, 90] трещинах в указанных работах строилось на основе численного решения системы сингулярных интегральных уравнений. Ломаные трещины также рассматривались в [91, 92].

Переходя к неоднородным телам, отметим, что анализировались вопросы взаимодействия трещин и других дефектов с границей раздела материалов, при этом особое развитие получили различные постановки задач о равновесии и росте трещины по границе раздела (трещина-расслоение) [49, 52, 55, 56, 59, 60]. Рассматривалась также задача о трещине на границе упругой плоскости и кругового [85, 86] и эллиптического [87] включения. Определенное развитие получили также задачи о кусочно-прямолинейных трещинах, испытывающих излом на границе раздела материалов [69, 70]. В то же время, адекватные с точки зрения механики хрупкого разрушения постановки задач о трещине, достигающей границы раздела материалов, ограничены рассмотрением прямолинейных трещин, перпендикулярных этой границе [61, 67]. Сущность этого адекватного подхода поясняется в Главе 3.

Разработанные в диссертации модели и подходы базируются на указанных исследованиях, но в то же время содержат в себе элементы новизны.

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О ТРЕЩИНАХ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА МАТЕРИАЛОВ

— V *-/ __V/

В данной главе дана постановка модельной краевой задачи, позволяющей с одной стороны отработать модели и подходы к решению рассматриваемого класса задач, а с другой стороны получить конкретные результаты, представляющих непосредственный практический интерес.

2.1. Модельная задача о трещине в связанных полуплоскостях

Рассмотрим краевую задачу линейной теории упругости для кусочно-однородной изотропной плоскости, ослабленной гладкой криволинейной трещиной-разрезом Ь, начало которого лежит на границе раздела материалов с различными свойствами (рис. 2.1). На основе полученных в [26] аналитических результатов для задачи о связанных полуплоскостях, такая краевая задача сводится к одномерному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению (СИДУ) первого рода с ядром Коши

—J

2 ж\

t-т

-dt + k^t^g'i^dt + k2{t,z)g'(t)dt

= р(т), теЬ, (2.1)

где регулярные (обобщенные) ядра даются соотношениями

(r-T)(t-t)

дт t -т

ln(f -т) + -

(t-т)

т

7 / ч д t-т д \т-k2{t,r) = -—7—Г + -Н —-дт t-т дт [t-т

t -т

g(t)

{[М+(0 " и"(0] + i[v+(0 - v"(0]}, g'{t) =

dg(t) dt

(2.2)

(2.3)

(2.4)

К l + *i)

^ = (ад - KXJU2) / (//2 + ад), = O2 - A) / (M + ад) (2-5)

Здесь t или т - комплексная координата точки контура; р(т) = -N - iT, N и Т - нормальная и касательная компоненты напряжения на линии трещины в сплошной составной плоскости; i2 = -1; горизонтальная черта обозначает комплексно сопряженную величину; гг и v* - компоненты вектора смещений

поверхностей трещины слева (+) и справа (-) при движении вдоль контура Ь\ кг = 3-4уг при плоской деформации и кг = (3-у,.)/(1 + уг) при плоском напряженном состоянии; уг - коэффициент Пуассона, /иг - модуль сдвига (г = 1, 2), причем индекс 2 здесь соответствует верхней полуплоскости (т.е. /лг и у2 - ее упругие постоянные), а индекс 1 - нижней полуплоскости с трещиной (рис. 1).

СИДУ (2.1) имеет единственное решение в классе функций, не ограниченных на концах контура интегрирования, при выполнении дополнительного условия [39]

]У(0^ = 0, (2.6)

ь

которое выражает равенство нулю скачка смещений на концах трещины (см. (2.4)).

Отметим, что уравнение (2.1) получено в рамках общего подхода к рассмотрению двумерных задач теории упругости, базирующегося на методе комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [38].

2.2. Особенности модели и замечания о возможности обобщений

Выделим основные особенности представленной в предыдущем параграфе модельной постановки.

Прежде всего, модель прямолинейной границы раздела дает возможность аналитически исключить эту границу из СИДУ относительно разрыва смещений на трещине, описывающего краевую задачу [26], и сосредоточится на ключевой особенности взаимодействия трещины с этой границей - влиянии последней на условие равновесия трещины. Очевидно, что такая модель вполне обоснована, когда радиус кривизны границы раздела материалов значительно больше размеров трещины. В то же время, если это условие не выполняется, соответствующую задачу можно описать аналогичным по структуре и свойствам СИДУ, содержащим в том числе и неизвестные смещения границы раздела [26, 48]. Кроме того, задача о системе криволинейных трещин-разрезов, полостей и включений произвольной формы как в нижней, так и в верхней полуплоскости (рис. 2.2), сводится к системе СИДУ, полностью аналогичных рассмотренному в диссертации уравнению [26].

Рассматриваемая модель бесконечного составного тела с трещинами и объемными дефектами (рис. 2.2) вполне обоснована, когда размеры этих дефектов много меньше расстояния до поверхности тела или другой границы раздела. Реальная задача о неоднородном элементе оборудования с трещиной с помощью принципа суперпозиции в этом случае разбивается на две задачи: аналитически либо численно решается задаче о теле конечных размеров без трещины, а затем нагрузки на линии трещины, полученные в рамках этого решения, подставляются в рассматриваемую модельную задачу о бесконечной составной плоскости с трещиной для определения условий её равновесия.

✓

Рис. 2.2. Криволинейные трещины, полости (объемные дефекты) и включения вблизи прямолинейной границы раздела разнородных материалов

В то же время, другие границы раздела или границы тела можно рассматривать как криволинейные контуры (разрезы), на которые накладываются соответствующие граничные условия, и в полном объеме учитывать их в системе СИДУ [48]. Границы тела при таком рассмотрении формализуются в виде замкнутых контуров, для которых в (2.4) следует полагать и~ = V" = 0, правая часть СИДУ (2.1) содержит нагрузки давления, а на границе разнородных материалов накладываются условия сшивки перемещений (рис. 2.3).

Задачи о кусочно-гладких (ломаных) и ветвящихся трещинах можно исследовать, рассматривая такие трещины как систему трещин, имеющих общие точки пересечения [46]. Аналогично рассматриваются объемные дефекты в виде непроваров , которые являются концентраторами напряжений и провоцируют развитие трещин, в особенности трещин расслоений (рис. 2.4).

Таким образом, изложенные в диссертации подходы непосредственно обобщаются на двумерную модель неоднородного элемента оборудования с произвольной формы трещинами и объемными дефектами. Во всех случаях задача сводится к системе СИДУ вида (2.1), которое является точным уравнением линейной задачи двумерной теории упругости [26, 38].

Отметим также, что рассматриваемая модельная постановка содержит обсуждающиеся в Главе 4 нетривиальные эффекты, связанные с тем, что вершина трещины а (рис. 3) лежит на границе раздела (интерфейсе). Отметим, что аналогичные эффекты имеют место и в случае острых объемных дефектов типа непровара или зашлакования в разделке под сварку (рис. 2.4).

В тоже время, модельной постановкой полностью охватываются случаи поверхностной трещины (достаточно положить модуль сдвига /л2 равным нулю, откуда следует %х=\ и = -1) и трещины, находящейся вблизи границы раздела, но не достигающей её (подповерхностная трещина).

Наплавка

Разомкнутные контуры (трещины)

Замкнутные контуры

Рис. 2.3. Двумерная модель трубопровода с наплавкой и трещинами

Зашлакование

Соединение разнородных материалов

или металле шва

Рис. 2.4. Двумерная модель трубопровода с наплавкой и трещинами

Заключение диссертации по теме «Ядерные энергетические установки, включая проектирование, эксплуатацию и вывод из эксплуатации», Амин Аминиан Абдоллах

Основные выводы диссертационной работы следующие:

1. На основе анализа литературных данных выявлены недостатки существующих методик обоснования прочности оборудования и трубопроводов АЭС в части расчетного моделирования трещин, приводящие к излишнему консерватизму в оценке условий прочности.

2. Разработана двумерная математических модель элемента оборудования с трещинами, учитывающая неоднородности материала и геометрию трещин, в том числе криволинейных, в общем случае напряженно-деформированного состояния.

3. Развиты существующие и предложены новые модели и подходы к расчету коэффициентов интенсивности напряжений как параметров механики хрупкого разрушения в задачах о трещинах в неоднородных упругих телах.

4. На основе рассмотрения модельной задачи развиты численно-аналитические подходы к решению широкого класса задач о криволинейных трещинах и объемных дефектах в неоднородных элементах оборудования.

5. Развитые модели, методы и подходы апробированы и отработаны на основе решения конкретных задач о трещинах при различных механических и геометрических параметрах и условиях нагружения.

6. Рассмотрена группа задач, решения которых могут непосредственно использоваться для углубленной оценки коэффициента интенсивности напряжений в реальных элементах оборудования и трубопроводов АЭС.

7. Предложен подход к использованию полученных результатов и разработанных моделей для анализа условий равновесия трещин в элементах оборудования и трубопроводов АЭС в рамках механики хрупкого разрушения на основе имеющихся экспериментальных данных.

8. Разработанные модели и подходы могут быть использованы для прогнозирования усталостного роста трещин в условиях сложной геометрии неоднородных конструктивных элементов и термомеханического нагружения, обуславливающих развитие трещин вдоль криволинейных траекторий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Амин Аминиан Абдоллах, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аминиан А. Моделирование равновесного состояния трещины, достигающей границы раздела двух упругих сред с учетом нетривиальной асимптотики поля напряжений // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: Шестнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3-х т. Т. 3. М.: Издательский дом МЭИ, 2010. - с. 5-6.

2. Аминиан А. Особенности поля напряжений вблизи вершины трещины, достигающей границы раздела двух сред // РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА: Семнадцатая Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3-х т. Т. 3. М.: Издательский

дом МЭИ, 2011.-с. 6-7.

3. Аминиан А., Андреев A.B. Метод анализа условий равновесия трещины, достигающей границы раздела материалов // Вестник МЭИ. 2011. № 5. с. 83-89.

4. Андреев A.B., Аминиан А. Численно-аналитическое моделирование трещины, достигающей границы раздела материалов // Известия Алтайского государственного университета. 2012. № 1-1. (в печати)

5. Андреев A.B. Развитие методов прямого численного решения одномерных интегродифференциальных уравнений механики // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 50-65.

6. Андреев А. В. Метод определения комплексных особенностей степенного типа в решениях сингулярных интегральных уравнений с обобщенными ядрами и сопряженными неизвестными // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 5. С. 42-58.

7. Андреев А. В. Прямой численный метод решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с обобщенными ядрами // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 1. С. 126-146.

8. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины. // Изв. Ан СССР. МТТ. 2000. №3. С. 137-148.

9. Балуева А. В., Гольдштейн Р. В., Зазовский А. Ф. Метод расчета смещений поверхностей тонких пространственных полостей. // Физ.-техн. пробл. разраб. полез, ископаемых. 1984. № 6. С. 3-9.

10 .Баничук Н. В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1970. №> 2. С. 130-137.

11 .Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах продольного сдвига.//ПММ. 1961. Т. 25. №6. С. 1110-1119.

12.Гетман А.Ф. Концепция безопасности «течь перед разрушением» для сосудов и трубопроводов давления АЭС // М.: Энергоатомиздат. 1999. 258 с.

13.Гетман А.Ф. Ресурс эксплуатации сосудов и трубопроводов АЭС // М.: Энергоатомиздат. 2000. 427 с.

\А.Гольдштейн Р. В., Савова Л. Н. Об определении раскрытия и коэффициентов интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой плоскости. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1972. № 2. С. 6978.

15 .Гольдштейн Р. В., Салганик P. Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле. // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 3. С. 69-82.

16. Гольдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами. // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. //М.: Наука. 1975. С. 156-171.

17.Градштейн И.С., Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

18.Дацышин А. П., Марченко X. П., Панасюк В. В. К теории развития трещин при контакте качения. // ФХММ. 1993. № 4. С. 49-61.

19.Жбанников В.В., А.И. Фёдоров, А.Н. Прытков, М.П. Сливкин. Работоспособность металла оборудования и трубопроводов первого контура реакторной установки ВВЭР-440 первого поколения на разных этапах эксплуатации блоков HB АЭС // Доклады МНТК-2009.

20.Каландия А. И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. //ПММ. 1969. Т. 33. № 1. С. 132-134.

21.Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. // М.: Наука. 1973. 303 с.

22.Карпенко JI. Н. Про зображення функцш за допомогою многочлешв Якоб1 та обчислення деяких штеграл1в типу Konii. // Вюник Кшвського ушверситету. Сер1я математики та мехашки. 1971. № 13. С. 74-79.

23.Киселев A.C. Компьютерное моделирование термо-деформационных процессов в конструкциях и узлах ЯЭУ, анализ и обоснование их прочностных характеристик, безопасности и ресурса. // Дис. докт. техн. наук. М., 2002. 398 с.

24.Корнеев А. Е., Ходаков В. Д., Харина И. Л., Разыграев Н. П. Анализ опыта эксплуатации и ремонта сварных соединений аустенитного и перлитного класса (разнородных сварных соединений) оборудования и трубопроводов АЭС // Материалы 10 международной конференции, октябрь 2008 г., «Прометей», Санкт-Петербург, Россия.

25.Куркин A.C. Прямое математическое моделирование процесса разрушения сварных конструкций для определения их прочности и трещиностойкости // Дис. докт. техн. наук. М., 1998. 247 с.

26.Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. // Санкт-Петербург: Наука. 1999. 384 с.

21.Линьков А. М., Могилевская С. Г. Конечно-частные интегралы в задачах о пространственных трещинах. // ПММ. 1986. Т. 50. № 5. С. 844-850.

28.Линьков А. М, Могилевская С. Г. Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости. // ПММ. 1990. Т. 54. № 1. С. 116-122.

29.Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995. 519 с.

30.Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006. 328 с.

31.Марголин Б.З., Швецова В. А. Критерий хрупкого разрушения: структурно-механический подход // Проблемы прочности, 1992, N2, 3-16.

32.Методика определения ресурса корпусов атомных реакторов в процессе эксплуатации (МРК-СХР-2000), РД ЭО 0353-02, С.-Петербург-Москва, 2000.

34.Методика определения вязкости разрушения по результатам испытаний образцов-свидетелей для расчета прочности и ресурса корпусов реакторов ВВЭР-1000, РД ЭО 1.1.2.09.0789-2009, С.-Петербург-Москва, 2009.

35.Моссаковский В. И., Загубиженко П. А., Беркоеич П. Е. Напряженное состояние плоскости, ослабленной ломаной трещиной. // В кн.: Концентрация напряжений. // Киев: Наукова думка. 1965. С. 188-192.

3в.Моссаковский В. И., Загубиженко П. А., Беркоеич П. Е. Об одной задаче для плоскости, содержащей трещину // Прикладная механика. 1965. № 8. С. 108-111.

37.Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х томах. Т. 1. // М.: Мир, 1990. 448 с.

38.Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. // М.: Наука. 1966. 707 с.

39.Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. // М.: Наука. 1968. 511 с.

АО.Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. // М.: Наука. 1984. 344 С.

41.Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок, ПНАЭ Г-7-002-86, Москва, Энергоатомиздат, 1989.

А2.Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. // Киев: Наукова думка. 1966. 246 с.

43.Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацыилин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. // Киев: Наукова думка. 1976. 443 с.

44.Петрова О.Ю., Драгунов Ю.Г., Банюк Г.Ф., Харина И.Л., Зубченко A.C. Особенности поведения низколегированных сталей в высокотемпературной воде в условиях коррозии под напряжением, основная концепция замедленного деформационного коррозионного растрескивания (ЗДКР) применительно к условиям эксплуатации парогенераторов АЭС с ВВЭР // Сборник трудов 7-го Международного семинара по горизонтальным парогенераторам. 3-5 октября 2006 г. ФГУП

ОКБ «Гидропресс».

45.Саврук М. 77. О построении интегральных уравнений теории упругости для тел с криволинейными трещинами. // ФХММ. 1976. № 6. С. 111-113.

46.Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. // Киев: Наукова думка. 1981. 323 с.

Al.Саврук М. 77. Система криволинейных трещин в упругом теле при различных граничных условиях на их берегах. // ФХММ. 1978. V. 14. № 6. С. 74-84.

48.Саврук М.П., Осив П.Н., Прокопчук И.В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. Киев: Наук, думка, 1989. 248 с.

49. Симонов И. В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений. // Механика композит, материалов. 1985. № 6. С. 969-976.

50.Типовая методика оценки остаточного ресурса корпусов реакторов типа ВВЭР-1000 при продлении срока службы. ТМ 1.2.1.02.999.0025-2010, С.Петербург-Москва, 2010.

51 .Ходаков В.Д., Харина И.Л., Базанов М.А., Лукичёва С.В., Ходаков Д.В., Митрофанова М.Н. Разнородные сварные соединения оборудования и трубопроводов АЭС. Проблемы и пути их решения // ОАО НПО «ЦНИИТМАШ», Москва, Россия.

52.Черепанов Г. 77. Механика разрушения композиционных материалов. // М.: Наука. 1983. 296 с.

53. Черепанов Г. 77. Механика хрупкого разрушения. // М.: Наука. 1974. 640 с.

54.Chawla М. М., Ramacrishnan Т. R. Modified Gauss-Jacobi quadrature formulas for the numerical evaluation of Cauchy type singular integrals. // BIT. 1974. V. 14. № l.p. 14-21.

55.Comninou M. The interface crack. // J. App. Mech. 1977. V. 44. P. 631-636.

56.Comninou M. Interface crack with friction in the contact zone. // J. App. Mech. 1977. V. 44. P. 780-781.

51.Comninou M., Chang F.-K. Effects of partial closure and friction on a radial crack emanating from a circular hole. // Int. J. Fracture. 1985. V. 28. P. 29-36.

58 .Dempsey J. P. Power-logarithmic stress singularities at bi-material corners and interface cracks // J. Adhesion Sei. Technol. 1995. V. 9. No. 2. P. 253-265.

59.Deng X An asymptotic analysis of stationary and moving cracks with frictional contact along bimaterial interfaces and in homogeneous bodies. // International Journal of Solids and Structures. 1994. V. 31. P. 2407-2429.

60.Deng X. A note on interface cracks with and without friction in contact zone. // J. App. Mech. 1994. V. 61. P. 994-995.

61 .Erdogan F. E., Gupta G. D., Cook T. S. The numerical solutions of singular integral equations. // In: Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems. Noordhoff Intern. Publ. Leyden. 1973. P. 368-425.

ei.Erdogan F. E., Sih G. C. On the crack extension in planes under plane loading and transverse shear. // Trans. ASME. Ser. D. 1963. V. 85. № 4. P. 49-59.

63.Erdogan F. and G. C. Sih. On the Crack Extension in Plates under Plane Loading and Transverse Shear. Journal of Basic Engineering. 1963. V. 85. pp. 519-527.

64.Fermer D.N. Stress singularities in composite materials with an arbitrarily oriented crack meeting an interface. // Intern. J. Fract. 1976. V. 12. № 5. P. 705-721.

65.Goldstein R. V., Zitnikov Y. V. Equilibrium of a crack system with a partial contact and opening of their surfaces. // C. R. Académie des Sciences Paris. Mécanique des solides. 1992. T. 315. Série II. P. 1581-1584.

66.1rwin G. R. Analysis of stress and strain near the end of crack traversing a plate. // J. Appl. Mech. 1957. V. 24. № 3. P. 361-364.

67.Khrapkov A. A. The first basic problem for a notch at the apex of an infinite wedge. // Int. J. Fracture Mech. 1971. V. 7. № 4. P. 373-382.

68.Lanczos C. J. A precision approximation of the gamma function. // SIAM J. Numer. Anal. Ser. B. 1964. V. 1. P. 86-96.

69.Leblond J.-B., Frelat J. Crack kinking from an interface crack with initial contact between the crack lips // European Journal of Mechanics - A/Solids. 2001. V. 20. Issue 6. P. 937-951.

lO.Leguillon D., Murer S. A Criterion for Crack Kinking Out of an Interface // Key Engineering Materials. 2008. V. 385 - 387. P. 9-12.

71.Margolin, B.Z., Shvetsova, V.A., Gulenko, A.G., Radiation embrittlement modelling for reactor pressure vessel steels: I. Brittle fracture toughness prediction. Int. J. Pres. Ves. & Piping, 1999, 76, 715-729.

72.Margolin, B.Z., Shvetsova, V.A., Local criterion for cleavage fracture: structural and mechanical approach. J. de Physique IV, 1996, vol.6, C6-225-C6-234.

73.Margolin, B.Z., Shvetsova, V.A. and Karzov, G.P., Brittle fracture of nuclear pressure vessel steels. Part I. Local criterion for cleavage fracture. Int. J. Pres. Ves.& Piping, 1997,72, 73-87.

74.Margolin, B.Z., Karzov, G.P. and Shvetsova, V.A., Brittle fracture of nuclear pressure vessel steels. Part II. Prediction of fracture toughness. Int. J. Pres. Ves. & Piping, 1997, 72, 89-96.

75.Margolin B.Z., Gulenko A.G., Shvetsova V.A. Improved probabilistic model for fracture toughness prediction for nuclear pressure vessel steels. Int. J. Pres. Ves. Piping, 75, 843-855, 1998.

76.Margolin, B.Z., Gulenko, A.G. and Shvetsova, V.A., Probabilistic model for fracture toughness prediction based on the new local fracture criteria. Int. J.Pres. Ves.&Piping, 1998, 75, 307-320.

77.Minutes of the second meeting of the programme's working group 2 on comprehensive assessment techniques // Report IAEA-EBP-IGSCC-09 Limited Distribution 07-08-01. Leningrad NPP. Sosnovy Bor. Russia. 14-16 March 2001.

78.Nikishkov G.P., Atluri S.N. An equivalent domain integral method for computing crack-tip in nonelastic, termo-mechanical fracture // Eng. Fract. Mech. 1987. v.26. N6 p. 851-867.

79.Nikishkov G.P., Atluri S.N. Calculation of fracture mechanics parameters for an arbitrary three-dimensional crack by the equivalent domain integral method. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1987. v.24. N9. p. 1801-1821.

80.Permann A. B., Sih G. C. Elastic problems of curvilinear cracks in banded dissimilar materials. //Int. J. Eng. Sci. 1967. V. 5. P. 845-867.

81 .Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. Cambridge: Univ. Press, 1992. 994 p. (http://www.nr.com)

82.Ryoji Y., Jin-Quan X. Stress based criterion for an interface crack kinking out of the interface in dissimilar materials // Engineering Fracture Mechanics Volume 41, Issue 5, March 1992, P. 635-644.

83.Sinclair G.B. Stress singularities in classical elasticity - II: Asymptotic identification // Appl. Mech. Rev. 2004. V. 57. P. 385-439.

84.Stroud A.H., Secrest D. Gaussian Quadrature Formulas. N. J.: Prentice-Hall, 1966.374 p.

85.Toya M. A. Crack along the interface a circular inclusion embedded in an infinite solid. // J. Mech. Phys. Solids. 1974. V. 22. P. 325-348.

86.Toya M. A. Crack along the interface of a rigid circular inclusion embedded in an elastic solid. // Int. J. Fracture. 1973. V. 9. P. 463-470.

87. Toya M. A. Debonding along the interface an elliptic rigid inclusion. // Int. J. Fracture. 1975. V. 11. P. 989-1002.

88. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. // J. App. Mech. 1952. V. 19. P. 526528.

89.Yong-Li W. Crack tip stress singularities in a bimaterial with an inclined interface. // Int. J. Fract. 1992. V. 54. P. R65-R72.

90.Zang W., Gudmundson P. A boundary integral method for internal piece-wise smooth crack problems. // Int. J. Fracture. 1988. V. 38. P. 275-294.

91 .Zang W., Gudmundson P. Contact problems of kinked crack modeled by a boundary integral method. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1990.

92.Zang W., Gudmundson P. Frictional contact problems of kinked crack modeled by a boundary integral method. // Report 121. Department of Solid Mechanics. Royal Institute of Technology. Stockholm. Sweden. TRITA-HFL-0121. ISSN 0281-1502. 1989.

ПРИЛОЖЕНИЕ А НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Необходимым условием реализации изложенных в Главе 3 численных методов решения СИУ является точное и эффективное вычисление специальных функций и их корней, необходимое для формирования СЛАУ, к которым эти СИУ сводятся. Детальный анализ вопросов, связанных с используемым в расчетах аппаратом теории специальных функций, был проведен в работе [7]. Ниже приведена краткая сводка результатов этой и других работ, которые использовались в диссертационной работе при реализации изложенных в Главе 3 численных методов.

Полиномы Якоби и соответствующие им функций второго рода

Q^'^Çx) удобно вычислять в одном рекуррентном процессе на основе соотношения [40]

= (К + Спх)^\х) - dy-f(x), (А.1)

ап = 2(п +1)0 + СС + /3 +1)(2п + а + /3), Ьп = (2л + а + р +1 )(а2 -р2), сп = (2п + а + р)(2п + а + р +1)(2 п + а + р + 2), dn = 2{n + а)(п + р)(2п + а + Р + 2).

Здесь и далее используется символическое обозначение «Ч/» в случае, когда полином «Р» и функция второго рода «Q» удовлетворяют идентичным соотношениям.

Поскольку производная от полинома (функции второго рода) Якоби выражается через два последовательных полинома (функции) соответствующих порядков с теми же параметрами а, Р и аргументом л: [40]

(1 - ¿уЧГ^Хх) = (5„ + bnx)^\x) + cy:jf\x) (А.2)

В качестве стартовых значений в (А.1) можно использовать полиномы Якоби нулевого Р^\х) = \ и первого Р{а>РХх) = {а-/3 + (2 + а +/3)х)/2 порядка, а для функции второго рода использовать стартовые значения, получаемые из явного выражения [7]

лР^\х) (~1)"2а+/? Т{п + а + \)Т(/3)

tg(я/3) ч?(х) Т{п + а + /3 + \)

( п 1 п 1 +

х^ п +1, -п-а- р, 1- /3, -

7гР^р\х) 2а+р Г(а)Г(к + /3 +1) ^ tg{лa) Г О + а +/3 + 1)

xF

п +1, -п-а-/3, \-а,

1-х

-1<х<1 (А.4)

подстановкой п = -1 и п = 0 (если а* 0 и /?*0)или и = 0 и п = 1 (если а = 0 или ¡3 = 0).

Для вычисления гипергеометрической функции в (А.4) при

-1<^ = (1±х)/2<1 можно использовать ее представление в виде ряда Гаусса (см., например, [40])

Па, Ь, с, 0 = ^ , (Я), = П (Я + ; -1):

¡=0 У=1

(А.5)

а для вычисления гамма-функции - метод Ланцоша [68], в соответствии с которым

^ л /^з (х + С\ -1 / 2) Г(х) = л/2яг-^=17Г-

л;—1/2

ш

*=2

х +£-2

х > 0.

(А.6)

При т = 15 и коэффициентах, равных

Сх = 607/128,

52 = 57.15623566586292,

54 = 14.13609797474174,

56 = 0.339946499848118x10-4,

= -0.983744753048795x10"

= -0.210264441724104 х 10~

^ = 0.999999999999997

53 =-59.59796035547549 ^=-0.491913816097620

57 = 0.465236289270485 х 10

в9 = 0.158088703224912x10"

,—4

¿п= 0.217439618115212x10"

V

512 =-0.164318106536763х1(Г3, 513 = 0.844182239838527 х 10" 514 = -0.261908384015814х10-4, ^=0.368991826595316x10

формула (А.6) дает по крайней мере тринадцать верных значащих цифр. Для вычисления гамма-функции при отрицательных значениях аргумента следует использовать функциональное соотношение [40]

ГО + 1) = *Г(х) (А-7)

Корни полинома (функции второго рода) Якоби можно вычислять по следующему алгоритму. Выбирая подходящее начальное приближение хк0> для к-то корня, его значение с заданной точностью можно достаточно быстро определить в итерационном процессе, построенном на основе метода касательных (Ньютона), осуществляя последовательное уточнение положения корня с помощью выражения (/ - номер итерации)

,0+1) _ у(0

(/ = 0, 1,2, ...)

(А.8)

Начальные приближения для корней полиномов Якоби [84]: (1 + а) [2.78 /(4 + п2) + 0.7 68а / п2 ]

1 +1.48а / п + 0.96/?/п + 0.452а2 / п2 + 0.83а£ / п2

(1-ЙХ4Л + а)

(1 + а)(1 +0.156а)

1 +

0.06(и-8)(1 + 0.12а)

п

' 0.012/?(1 + 0.25|а|) п

ио) , £ > 1-67 +0.28а

^ М 1 +0.37а

1 +

0.22(и-8)

п

8/?

(6.28 + Р)п

й0) =3^-3^+^.3 (3<к <п-\)

1 + 0.235/?

0.766 + 0.119^ 1 + 0.37/?

1 +

1.67 + 0.28^

1 + 0.639(я-4) 1 + 0.71(^-4)

п-1

1+-

20а

1-

0.22(т?-8)

п

1 +

8а

(7.5 + а)и _

-1-1

(6.28 +«У

Здесь без верхнего индекса обозначены истинные (найденные с достаточно высокой точностью) значения корней.

1

Начальные приближения для корней функции второго рода можно выбирать в виде [7]:

+ = 3, ...,п)

х(0) =! _ ИН5/2(Л +1/2)2(1 + £), а >-1/2 (А.9)

х^ = -1-п5ПиЗ + 1/2)2(-\ + 0> /3>-И2

Здесь 4 (к = 1, 2, ..., п) -корни соответствующего полинома Якоби.

При некоторых конкретных значениях а и р процесс определения необходимых в расчетах функций существенно упрощается, в частности, при а = р = -И2 или а = р = 1/2 полиномы (функции второго рода) Якоби обращаются в полиномы Чебышева первого (второго) или второго (первого) рода [40], и все вычисления можно проводить явно, в элементарных функциях (см. § 3.3).

Аналогично, некоторые упрощения имеют место и при а = Р = 0, когда полиномы Якоби переходят в полиномы Лежандра [17] Р{пт(х) = Рп(х) 17]:

1 1 + 77

ам^рмь—!

2 1 - г\ к=1

и

2Х,( т-М/к

гч \ 1+Х

б0(х) = -1п

6

(0) _

СОБ

2 1-х К2п + \ 2у

х 1 + х

£(» = -1*---1.

2 1-х

к= 1,2, ...,п,

ПГ^+Ъ-0/2 (к = 2, 3, ...,п),

(А. 10) (А. 11)

(А. 12)

(А. 13) (А. 14)

Соответствующие последнему случаю квадратурные формулы являются квадратурами Гаусса-Лежандра.