Эффективные модели для топологических дефектов в теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ахмедов, Эмиль Тофик оглы

• Ахмедов, Эмиль Тофик оглы
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахмедов, Эмиль Тофик оглы

Оглавление

1 Введение

1.1 Абелевы калибровки и монопольное невылетание

1.2 Универсальные члены в действии для струн в КХД при низких энергиях

1.3 Содержание диссертационной работы

2 От абелевой модели Хиггса к квантовой теории струн

2.1 Эффективная теория для монополей в компактной КЭД

2.2 Струны на решетке

2.3 Струны в непрерывном пределе

2.4 Вычисление якобиана

3 Эффект Ааронова-Бома в теории Янга-

Миллса

3.1 Эффект Ааронова-Бома в абелевой'модели Хиггса

3.2 Эффект Ааронова-Бома как результат конденсации дионов

3.3 Ферми-Бозе трансмутация для струн

4 Фермионные струны из бозонной теории поля

4.1 Ферми-частицы

4.2 Ферми-струны

5 Заключение и выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные модели для топологических дефектов в теории поля»

1 Введение

Проблема, которой посвящена данная диссертация, касается поиска низкоэнергетического описания сильных взаимодействий. Поэтому для начала мы обсудим тип теории, описывающей физику при низких энергиях. Обычно в математическом описании какого-либо явления физики находят некоторое точно решаемое приближение к этому явлению, а также некоторый малый параметр, по которому можно приблизиться к реальной ситуации. В интересующем нас случае КХД такое приближение при высоких энергиях - это свободная теория для плоских волн, описывающих цветные (т.к. они несут заряд по неабелевой калибровочной группе Би{3)) глюоны и кварки, а малый параметр - это константа сильного взаимодействия и самодействия д между ними.

Однако в таком описании КХД возникает проблема, т.к. при низких энергиях мы наблюдаем не цветные кварки и глюоны, а бесцветные (не заряженные по 5£/(3)) мезоны и барионы. При этом можно надеяться, что ввиду роста перенормированной (заэкранированной вакуумными флуктуациями полей в теории) д по мере уменьшения шкалы энергии кварки и глюоны заперты внутри адронов - это явление называется невылетанием. Однако рост д не может являться объяснением невылетания кварков и глюонов, т.к. он мог бы привести и к некоторому одеванию их в коллективные степени свободы (как это происходит с электронами в физике твердого тела [1]), так что в результате мы бы имели не адроны, а состояния с исходными квантовыми числами (например., с цветом) кварков и глюонов, но с измененными величинами массы и заряда. К тому же хотелось бы иметь не качественное, а колличествен-ное описание сильных взаимодействий при низких энергиях, т.к. теория

возмущений по большой д уже не применима. Здесь мы сталкиваемся с характерной проблемой связанной с тем, что слабо развиты методы работы с сильно нелинейными теориями, примерами которых являются гидродинамика и калибровочные поля, включая гравитацию.

С точки зрения автора, наиболее перспективный подход к упомянутой проблеме сильных взаимодействий - поиск другого легко трактуемого приближения (при любых энергиях) и соответствующего малого параметра. Поэтому прежде, чем перейти к основной теме диссертации - поиску низкоэнергетического струнного описания КХД - обсудим эту возможность. Тем более, что она является конечной целью нашей работы.

Итак, новым приближением может оказаться теория Янга-Миллса (ЯМ), но не с 5£/(3) группой симметрии, а с Би{Мс) при Агс —со, так что р" будет малым параметром [2], по которому последняя теория есть приближение к реальной ситуации с группой Зи(З). Дело в том, что теория с группой симметрии 577(оо) имеет гораздо более простую теорию возмущений по д [2]: в пределе N —> оо выживают только планарные (с топологией сферы) диаграммы, т.е. графики Фейнмана представляют всевозможные "триангуляции" сферы. Последнее является первым намеком на существование КХД струны. Но самое главное, в секторе, в котором рассматриваются только петлевые наблюдаемые1 ТУ (С) = (где С - некоторый контур, - 51Г(АГС ->• оо) кали-

бровочное поле, а Р означает упорядоченное произведение вдоль контура

1Петлевая наблюдаемая в фундаментальном представлении группы Зи(Мс) является внешним источником, описывающим бесконечно массивный кварк, движущийся вдоль траектории С.

С), эта теория полностью определена2 при помощи петлевого уравнения

где усреднение < ... > берется посредством обычного функционального интеграла в теории ЯМ. При правильной регуляризации [5] правая часть этого уравнения не зануляется тогда и только тогда, когда контур С имеет самопересечение и, таким образом, состоит из контуров С\ и С2-

Данное приближение к КХД может оказаться интегрируемым, т.к. есть надежда, что петлевое уравнение удастся решить, получив яепер-турбативные ответы для многих амплитуд в теории [6]. Дело в том, что в петлевом секторе рассматриваемая 5'£/(оо) теория, по крайней мере на классическом уровне, имеет бесконечно много интегралов движения [7]. Именно существование этих интегралов движения ответственно за так называемую редукцию [8, 9], когда ответ для < \¥{С) > представляется не как континуальный интеграл в теории ЯМ, а как конечный матричный интеграл:

2Петлевые уравнения воспроизводят теорию возмущений для полей Янга-Миллса. Однако существуют проблемы с перенормировкой этих уравнений [4], что и является одной из проблем на пути их решения.

[3, 4]:

х < У?{СХ) > • < Ж(С2) >

(1)

X ехр |+ Ао Ру. + А,]} х

х8(и (А, + Р,) (Г1 - Рд) • А(РЦ) • П ,

с

Здесь Ац, ¡л = 1,...,4 не поле, а просто матрицы в присоединенном представлении группы 311 (/Vс —>■ оо), которые не зависят от координат; Ьт - унитарная 31/(МС —» оо) матрица, Р^ - произвольные диагональные матрицы размера Мс х (Мс —> оо) с собственными числами рг : а является иУ обрезанием и мера [¿Р^ определена так, чтобы воспроизводилась теория возмущений для исходных полей Янга-Миллса [9].

Однако до сих пор никому не удавалось вычислить этот матричный интеграл. Возможно требуется новый математический аппарат, который позволял бы работать непосредственно с этим интегралом как с некоторой новой специальной функцией. По даже из такого незаконченного ответа можно извлечь некоторую, полезную, информацию, т.к. он дает надежду на струнное представление для < Ш(С) >. Подобное представление позволит применить в КХД хорошо разработанный струнный аппарат, а также может являться доказательством невылетания, т.к. в этом случае объяснением невылетания кварков будет факт существования струны, мировой лист которой натянут на контур С. В последнем случае, если у струны есть ненулевое натяжение, между кварками возникает потенциал, линейно растущий с расстоянием между ними.

Итак, полученный матричный интеграл (2) можно представить как интеграл по поверхностям с топологией сферы (т.е. как теорию струн), т.к. можно построить отображение группы 311 (оо) в группу диффеомор-

физмов сферы SDiff(S2), сохраняющих площадь [10]. Действительно, генераторы Т группы SU(NC) в фундаментальном представлении можно представить в виде [10]:

Т, - У я И <?• Я-

¿fe = l,2,3

I = 1 ,...,NC- 1, m = -/,...,/,

[T;,m,T)/iTO/] = ¿//jm™,)m, • Tv<.m„ (3)

(m) ¡- fl",m"

где ati j- - антисимметричные бесследовые тензоры, j¡ m, - структурные константы SU(NC) алгебры, a 5¿ - Nc x Nc эрмитовы матрицы, задающие Лгс-мерное представление группы SU(2): [5¿,5j] = ie¡jkSk-

Аналогично, сферические гармоники Y//m(#,<¿>) могут быть представлены следующим образом:

У\ЛвМ= Y, аг[П)Л1Хг 1-ХЧ (4)

гк = 1,2,3

(m) Íо\

с теми же ач'л0 что и в уравнении (Л), а

Xi = cos ip ■ sin д, x2 = sin If ■ sin в, = eos 0. (5)

При этом

/ г - ^ д <9 д

~ дсозвд^~ д^дсозв { )

В пределе Л^ —оо пространство, в котором действуют ,5,, становится бесконечномерным и, более того,

лг г1",т" тр1",т" Л7Ч

С11,т\1'^ Г1,т;1',т' У1)

Последнее соотношение показывает, что параметр Д^ играет двоякую роль. Кроме того, что он определяет размер матриц, имеет смысл постоянной Планка. Поэтому данный предел одновременно играет роль квазиклассического. В квазиклассическом пределе операторы превращаются в с-числа, так что матрице Ам = А1^пгТ1'т общего вида при Л,гс —> оо естественно поставить в соответствие функцию двух переменных ->• Хц(<р,в) = Х1^тУ1'т((р,в) и заменить щТг(...) ¡ЕсШ{...), где О, - телесный угол. Таким образом мы получаем [11]:

< №(С) I ■ ехр

Здесь функциональный интеграл берется по всем отображениям 9)

двумерной поверхности в четырехмерное пространство-время, при этом имеет граничное условие Хц(<р,в)\с = х^в), где ¿^(.з) задает положение границы С.

Казалось бы, полученное выражение и есть искомое струнное представление для петлевой наблюдаемой, однако, это неверно. Такой ответ не воспроизводит многие свойства КХД струны [11]. Действительно, мы должны найти струнную теорию, которая точно эквивалентна 5'[/(оо) теории. Она, помимо того, что является решением петлевого уравнения (что уже неверно в случае полученной теории)3, должна удовлетворять

3Наша теория не описывает контактные члены в правой стороне петлевых урав-

нений (1) [5].

4 дЦа)

(ад4 [ с1а-{хм.,х„у-

(8)

следующим свойствам. Такая струнная теория должна иметь огромную группу симметрии, которая исключила бы все стандартные струнные возбуждения, кроме векторных бозонов - калибровочных частиц [5]. Помимо того, она должна зависеть только от одной безразмерной константы д (т.е. не иметь натяжения) и обладать той же /^-функцией, что и теория ЯМ4. Все это неверно для рассматриваемой струнной модели, т.к. имеются проблемы с определением меры в интеграле (8), с осуществлением вышеупомянутой редукции к матричной модели (2) и с переходом к интегралу по поверхностям. Последний не является честным из-за не вполне законной замены структурных констант / на F: она верна только для почти диагональных матриц А^ [11]. Однако интересен тот факт, что действие в уравнении (8) возникало как эффективное низкоэнергетическое действие для КХД струны также и из других, совершенно независимых наблюдений [5, 12].

Пожалуй это все то существенное, с точки зрения автора, что можно сказать на сегодняшний день про точную эквивалентность между Зи(оо) ЯМ и теорией струн. Перейдем теперь непосредственно к теме диссертации, т.е. рассмотрим возможности "вывода" из КХД, а точнее сказать угадывания, некоторой низкоэнергетической теории, которая даст количественное описание адронных процессов.

Такое количественное описание, в принципе, может дать простая

4Такая затравочная теория струн также не должна зависеть от внутренней метрики. Последняя будет возникать только на больших расстояниях, когда появляется натяжение струны в результате размерностной трансмутации, как в случае струны с жесткостью (см. ниже). При этом, такой переход по ренормгруппе из асимтотически свободной теории в теорию с натяжением струны и должен являться доказательством невылетания.

низкоэнергетическая модель. Например, это может быть какая-нибудь киральная модель, правила сумм, кумулянтное разложение, абелева теория или теория струн. Вопрос заключается в том, насколько хорошо полученное количественное описание (т.е. описывает ли оно кроме статических свойств адронов еще и их динамику) и, что самое главное, насколько самодостаточна соответствующая модель. Именно поиску такой низкоэнергетической и именно струнной модели ("струнной" - в силу упомянутых выше аргументов) посвящена данная диссертация.

Как можно "вывести" такую струнную модель? Существует надежда, что вакуум дуальной теории (описывающей магнитные поля и заряды) к теории ЯМ ведет себя как сверхпроводник [13]. В результате конденсации монополей в этой теории образуются струны - объекты, подобные вихрям в сверхпроводниках второго рода [14]. При внесении в вакуум такой теории кварка и антикварка между ними образуется струна, что и является объяснением невылетания. Нашей задачей будет поиск эффективной теории для этой струны. Однако, в данный момент вывести ее непосредственно из КХД не представляется возможным. Лучшее, что можно сделать сейчас - это угадать ее из каких-то общих соображений и аналогий.

Т.к. рассматриваемая струна имеет конечную толщину, теория для нее будет нелокальной в терминах двумерных переменных. Действительно, разные элементы струны могут взаимодействовать друг с другом посредством обмена глюонами, по которым будет проведено усреднение в функциональном интеграле в процессе вывода струнной модели. Это не приемлемо, т.к. мы не умеем работать с нелокальными теориями. Однако наша струнная модель может стать локальной в следующих двух пределах. В пределе Мс —> оо, когда подавлены все непланарные

процессы, или в пределе низких энергий, когда на больших расстояниях струна становится длинной и тонкой. Ниже мы будем рассматривать только последний предел. Мы попытаемся найти самосогласованную теорию струн, возникающую из теории поля.

1.1 Абелевы калибровки и монопольное невыле-

В этом параграфе мы схематически обсудим, как можно "увидеть" присутствие струн в КХД при низких энергиях. В идеале, следует стартовать с функционального интеграла 57/(2) теории ЯМ5 в четырехмерном евклидовом пространстве:

и последовательно проинтегрировать все высокоэнергетические (выше произвольной фиксированной шкалы энергии М, на которой мы собираемся изучать теорию) гармоники поля А^. В результате мы получим некоторую нелокальную теорию для оставшихся гармоник. После этого, оставив важные куски в действии, сделав правильную замену переменных и введя (если необходимо) дополнительные поля в этом функциональном интеграле, мы должны избавиться от нелокальностей. Таким образом, можно вывести эффективную низкоэнергетическую теорию.

5Группа Б1/(2) выбрана для простоты.

тание

С = О^К] + М, С = 1,2,3 ,

(9)

Однако до сих пор проделать подобный вывод не удавалось. Поэтому проще попытаться понять, из общефизических соображений, какие степени свободы играют существенную роль в данной ситуации'3. После этого написать самую общую теорию для этих степеней свободы, удовлетворяющую условию самосогласованности и различным симметриям в задаче.

Желательно, чтобы такие степени свободы приводили к невылетанию. Наиболее популярный на данный момент механизм невылетания, который мы уже упомянули, - это конденсация монополей [15]. Следовательно, монополи являются хорошими кандидатами для степеней свободы, "играющих существенную роль". Однако непонятно как построить монополи только из полей ЯМ. Дело в том, что обычно монополи, в терминах калибровочного потенциала, являются топологически стабильными полевыми конфигурациями. Они существуют, когда мы имеем нестягиваемые сферы в групповом пространстве, что на формальном математическом языке формулируется как нетривиальность группы л"2 (С), где С - калибровочная группа. Однако подобных топологически стабильных деффектов в чистой 311(2) теории нет, т.к. 7г2 (5'[/(2)) = 0. И все же они могут возникать и играть существенную роль в динамике. Давайте увидим, как это происходит. Для этого зафиксируем калибровку в теории (9), но не полностью, а до 11(1) подгруппы. Введем в функциональный интеграл единицу вида:

6Иными словами, надо понять какие полевые конфигурации дают основной вклад в функциональный интеграл и в наблюдаемые для данной теории.

А^ = и(д, + А,)и-\ а, = а;т\ (10)

где Бд/ - некоторое локальное С/(1) инвариантное действие, фиксирующее калибровку, а, Арр ~ детерминант Фаддеева-Попова. После этого, в силу калибровочной инвариантности действия ЯМ, меры Хаара для поля А^ и детерминанта Фаддеева-Попова, обычно можно избавиться от интеграла по 1], калибровочно преобразовав поле Тогда для данной теории

получается следующий функциональный интеграл:

Z= |VA,eWL^2

I ^(С)2 -Аб^Д^-Д^. (11)

Однако в нашем случае это неверно, т.к. матрицы всевозможных калибровочных преобразований II принадлежат пространству , а не Зи(2) и, следовательно, могут иметь сингулярности "монопольного типа", т.к. тг2 () = Действительно, при остаточных пре-

образованиях

( ега 0 \

и= (12)

\ 0 е~га )

из Ът( 1) подгруппы 517(2) группы, компоненты поля преобразуются следующим образом:

«м «д - дца, ад = А1,

А+ = А1 + гА1, А~ = А+ц. (13)

Таким образом, играет роль абелева калибровочного поля, а А+ -роль векторного поля материи с зарядом 2. В такой ситуации может оказаться, что имеет сингулярности типа монополя Дирака.

Они отвечают сингулярным калибровочным преобразованиям II в переходе от (9) к (11) [16]. Действительно, при таком преобразовании

^ + где

Тг (^г) = гТг (и [дЛ - ДА] и+) = %<ГП■ (14)

которое не зануляется в силу сингулярности I/ и дает вклад в абелевый магнитный заряд:

171 = ^ ¡у ^^ • ■ Тг (¿У) =

= ^ X ^ '' Гг [ид"и+идеи+] =

= X «V • • № € г, (15)

где £ - двумерная поверхность окружающая монопольный заряд, а - элемент ее площади. Из вышесказанного следует, что при последовательном переходе от (9) к (11) необходимо учесть также и сингулярные V. Действительно, они определяют нетривиальную топологию пространства всех калибровочных полей7 и действие ЯМ вместе с мерой Хаара не инвариантно относительно таких преобразований. Это и приводит к появлению монопольных токов в теории. Однако, до сих пор, в силу сложностей с вычислением А^р, не удалось аналитически вывести теорию для них непосредственно из теории ЯМ. Поэтому доказательством существования монопольного вклада в функциональный интеграл и монопольного невыле-

7Пространство полей, по которому берется функциональный интеграл, должно включать в себя свою границу, что необходимо для правильного определения такого интеграла.

тания являются только вычисления на компьютере с использованием решеточной регуляризации теории [17, 18]8. Это удалось проделать только в некотором ограниченном числе абелевых калибровок, наиболее популярной из которых является так называемая максимальная абелева калибровка [19]. В этой калибровке:

т.е. она соответствует максимальной диагонализации неабелевого калибровочного поля Ац.

Кроме того, недавно при помощи решеточных методов было показано, что монопольные токи в максимальной абелевой проекции скоррели-рованы с (анти-)инстантонами [20]. Тогда вблизи самодуальных полевых конфигураций абелевы монополи должны становиться дионами [21]: самодуальные полевые конфигурации порождают электрический ток из магнитного. Это, видимо, указывает на то, что в эффективной абелевой модели для теории ЯМ в максимальной абелевой проекции должен существовать конденсат дионов, а не монополей [22, 20]. Кроме того, как мы увидим ниже, в результате конденсации дионов в эффективном действии для струнного представления петлевой наблюдаемой присутствует дополнительный топологический член. Этот член ответственен за взаимодействие Ааронова-Бома (АБ) между замкнутыми струнами, присутствующими в вакууме, и внешним источником. Такое взаимодействие тоже может привести к закону площадей для среднего от петлевой наблюдаемой [23] или, в нашем случае, к поправке к натяжению струны.

8На решетке показано существование конденсата монополей [24] и воспроизведены некоторые члены в эффективном действии для них [25].

(16)

Действительно, взаимодействие АБ отлично от нуля, если отличен от нуля индекс пересечения между замкнутой струнной поверхностью и поверхностью, натянутой на внешнюю петлю (см. ниже). Тогда в струнном газе, чем больше площадь поверхности, натянутой на внешнюю петлю, тем больше вклад нашего топологического взаимодествия. Поэтому в принципе может существовать такой ансамбль распределения струн в газе, когда вклад от взаимодействия АБ ведет к закону площадей для петлевой наблюдаемой.

Насколько известно автору, современное понимание ситуации таково [26, 27]: предполагается, что существуют некоторые неабелевы полевые конфигурации, которые ответственны за невылетание. Эти полевые конфигурации проявляют себя по-разному в различных абелевых проекциях, и только в максимальной абелевой они являются монополями или, точнее, дионами.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что, по крайней мере в максимальной абелевой калибровке и в нулевом приближении, эффективная низкоэнергетическая аппроксимация для теории ЯМ - это абе-лева модель, описывающая конденсацию монополей. Она есть магнитный вариант абелевой модели Хиггса (АМХ), что и подтверждено компьютерными вычислениями [25]. Следовательно, струны в КХД в нулевом приближении должны вести себя подобно топологически стабильным вихрям Абрикосова-Нильсена-Олесена (AHO) в АМХ [14]. Следующее приближение к теории ЯМ - это усложнение АМХ на случай конденсации дио-нов, который имеет свои интересные эффекты (см. ниже). В связи с тем, что электрический заряд у дионов возникает из-за присутствия инстан-тонов, он должен флуктуировать в поле инстантон-антиинстантонного газа. Однако в наших работах мы рассмотрели грубое приближение,

когда электрический заряд у дионов фиксирован.

1.2 Универсальные члены в действии для струн в КХД при низких энергиях

В этом параграфе изложены основные результаты данной диссертации. Используя вышеупомянутую связь между теорией ЯМ и различными абелевыми моделями, мы попытались восстановить некоторые члены в эффективном низкоэнергетическом действии для КХД струны. Последовательно, следя за мерой для соответствующей абелевой модели, мы выделяем из функционального интеграла часть, соответствующую топологическим дефектам. В этом смысле наш вывод действия для струн аналогичен выводу классической инстантонной меры в теории ЯМ [28]. Нами найдено струнное действие, когда мировые поверхности струн имеют топологию сферы или диска. Также приведены аргументы в пользу универсальности некоторых членов в действии.

Итак, ниже показано, что в струнном представлении для петлевой наблюдаемой соответствующее низкоэнергетическое действие будет содержать, по крайней мере, следующие члены:

< ЩС) >= I Т^ехр!-^ I с(2аV? -

(17>

Для начала определим обозначения. Временная эволюция струны в евклидовом пространстве размерности И описывается двумерной поверхностью, заданной отображением х^ в это пространство. Для получения

струного действия вводят некую параметризацию аа. (а = 1,2) этого двумерного листа, т.е. хд = жд(<т). Можно задать два вектора дахц,, где да = д|- , касательных к этой струной поверхности. Тогда индуцированная метрика на двумерной поверхности определена стандартным образом как:

9аЬ = дах^дьх^ (18)

а тензор, задающий внешнюю кривизну этой поверхности, есть:

1ци = ^рдаХ^дъХу, ^ = 2, (19)

где д = (1е1\\даъ\ \. Этот тензор определяет форму:

¿о>(ж) = еаь ■ дах^дъх,, ■ ¿2а = (20)

которая в четырехмерном пространстве задает двумерную площадку, перпендикулярную к мировой поверхности струны в точке а .

Теперь опишем по порядку все члены в действии из формулы (17), а также их вклад в динамику теории. Простейшее действие для струны, удовлетворяющее условиям Лоренц и репараметризационной инвариантности (инвариантности относительно замены а'а = /а(<?)); можно получить также, как и простейшее действие для релятивистской частицы. Действие для последней пропорционально длине ее траектории. Тогда, по аналогии, действие для струны пропорционально площади ее мирового листа:

3 = ^ / ^^л/д-, (21)

где ¡л0 - некоторый размерный параметр - натяжение струны, а £ - мировой лист струны. Это - так называемое действие Намбу-Гото (НГ). Кроме репараметризационной инвариантности на мировом листе, это действие инвариантно относительно комбинированного Вейлевского преобразования даь —> Х(а) ■ даь с некоторой репараметризацией. Эти преобразования образуют так называемую конформную групп}'', которая является в двух измерениях (в отличии от пространств большей размерности) бесконечномерной.

Действие НГ возникает и в эффективных теориях для струн из теории поля. Действительно, в первых работах по струнам в АМХ [29], [30], были исследованы их квантовые свойства в лондоновском пределе и показано, что в пределе сильной связи (тонкие, длинные струны), они хорошо описываются именно действием НГ. Понятно, что полное действие для струн - объектов конечной толщины - в АМХ является нелокальным в терминах двумерных переменных. Однако ограничимся на время только членом НГ и обсудим его вклад в динамику.

Итак, если ограничится только £ с топологией сферы, мы имеем дело с теорией вида:

где мера интегрирования по каждому из хд имеет вид обычной меры для скалярного поля.

Действие НГ нелинейно, и неизвестно, как его проквантовать. Поэтому можно проделать следующий, не вполне законный, как ясно из нижеизложенных аргументов, трюк [4]. Введем интегрирование по метрике в теорию, подставив в функциональный интеграл единицу:

(22)

z - j ^ßVgab ■ s (gab - daxßdbxß) ■ exp j-/i0 J^ dVy^j

1 = J Vgab ■ S (gab - daxßdbxß), (23)

где мера интегрирования по gab определена в [4] из условия репараме-тризационной и конформной инвариантности. Далее можно ввести ла-гранжев множитель, определяющий ¿(-функцию в этом интеграле:

/■ гА+юо /•

z = ¡ VxßVgab / Т>Хаь • expj ~/i0 / d~a^/g + J JA—i<x> ^ JS

+ / dV^' Aab ■ (gab - daXßdbXß)}, (24)

J X/

при некотором произвольном действительном числе А. После чего разложим ХаЬ на симметричную и антисимметричную части следующим образом: Ааб(ст) = a(a)gab(a) + /аг>(с), где /аь(сг) - антисимметричное тензорное поле, а(с) - некое скалярное поле. Далее в книге [4] утверждается, что а(а) и /аь(<т) практически постоянны, т.к. кинетический член в эффективном действии для них имеет коэффицент порядка планковского масштаба. Таким образом, а(а) и fab(cr) принимают свои классические значения: а(а) сс(сг) >= ц и /аь(с) — 0, т.е. мы остаемся с теорией

(даЬдаь = i):

Z = J Vgab exp | —¡л! J^ d2aу/б/j х х J J^d2ayfggabdaxßdbxtJ^ , (25)

где ц' = цо — ¡i ~ некоторый коэффицент - квантовое натяжение струны, который, вообще говоря, не зависит от ~ классического натяжения струны.

Полученная теория (25) уже линейна по xß, и в ней gai0 - внутренняя, а не индуцированная метрика, т.к. она является независимой переменной интегрирования в функциональном интеграле. Действие из (25) совпадает на классическом уровне с действием НГ, т.к. в этом случае даь задается формулой (18).

Действие из уравнения (25) явно содержит калибровочные степени свободы, которые (в сил)" того, что мы имеем дело с двумя измерениями) совпадают со всеми компонентами даь. Поэтому теория на классическом уровне не зависит от выбора даь. Однако на квантовом уровне возникает конформная аномалия, ведущая к зависимости от одной из компонент метрики. Ее можно вычислить следующим образом: если струнная поверхность имеет топологию сферы или диска, то можно однозначно зафиксировать репараметризацией конформную калибровку даЬ = на всей поверхности мирового листа9. Затем можно выполнить интегрирование по xß в (25) и сделать замену интегрирования от даь к ф. Таким способом мы получим так называемую теорию Лиувилля с центральным зарядом, равным (D — 26):

Z = const ■ j П.,- exp | - j d2«r ~(даф)2 + 1м"еф j , (26)

где ¡л," - перескалированное g!. Из этой формулы видно, что в теории (26) появляется зависимость от одной из компонент (от det\\gab\\) метрики вне двадцати шести измерений. Эта зависимость возникает из-за неинвариантности меры интегрирования по хм при конформных пре-

9Вообще говоря, можно зафиксировать любую калибровку, однако, в произвольной калибровке аномалия будет нелокальной, и только в рассматриваемом случае она локальна.

образованиях.

Если мы выводим теорию струн из какой-нибудь теории поля, то из вышесказанного получается следующий парадокс [31]. Например, струна в АМХ должна иметь В — 2 степени свободы, которые есть голдстоуновские моды, ответственные за спонтанное нарушение лоренц-инвариантности в присутствии длинной статической струны. Однако, если эта струна описывалась бы только действием НГ, то на квантовом уровне появилась бы дополнительная степень свободы - поле Ли-увилля ф. Это говорит о том, что в следующих порядках разложения по толщине струны (по числу производных в эффективном низкоэнергетическом действии) должен существовать дополнительный член, который бы сокращал лишнюю степень свободы.

Поэтому работа по поиску действия для струн в теории поля продолжилась. Более точное действие для струн в АМХ было получено в статьях [32, 33]. В этих работах вывод был проделан на классическом уровне в лондоновском пределе при достаточно большой массе фотона (достаточно тонкие струны). Однако в них не рассматривались квантовые эффекты для струнной теории и, следовательно, был упущен из виду такой важный момент, как мера интегрирования. А именно ее правильное вычисление и дает искомый член в действии. Это - второе слагаемое в формуле (17), которое есть ни что иное, как действие Лиувилля в произвольной калибровке10.

Давайте теперь обсудим динамику теории с действием, содержащим только первые два члена из формулы (17). Если рассмотреть разложение

10Как мы уже говорили, оно становится локальным только в конформной калибровке. Его также можно сделать локальным, введя интегрирование по дополнительному скалярному полю.

этого действия вокруг классического вакуума, состоящего из гладких и длинных струн11, то данная теория может быть проква.нтована в гамиль-тоновом формализме [31]. На классическом уровне для чистого действия НГ алгебра Вирасоро (алгебра генераторов конформных преобразований) имеет вид:

[Ь^,Ь1Г] = [п-га)^т. (27)

На квантовом же уровне, учитывая духи, возникающие после фиксации калибровки, эта алгебра принимает вид:

- + (28)

где В - размерность пространства времени, а Ь9пн - генераторы алгебры Вирасоро, возникающие из-за духовых полей. Последний вклад в этой формуле - это так называемый швингеровский член, возникающий из нормального упорядочения операторов, или центральное расширение в конформной теории поля. Далее, после того, как мы учтем дополнительный член с произвольным коэффицентом 7, приближенная (нулевой порядок по обратной длине струн)12 алгебра Вирасоро для полных генераторов = + принимает вид:

г) _ 26 - -у

К*, К%\ = (п - +-^Ч™3 - т)8п+т,0. (29)

11 Предложенная теория применима только в этом случае, т.к. тогда мы можем

пренебречь всеми последующими членами в разложении.

120 конформной инвариантности в этом случае можно говорить только

приближенно.

Т.е. подобрав 7, мы можем сократить "аномалию" в Б = 4 и получить верное число степеней свободы. Следует заметить, что, хотя добавочный член к действию НГ возникает в ненулевом порядке разложения по обратной длине струн, в центральный заряд он дает вклад все же в нулевом порядке. В данной диссертации показано, что именно такая теория для бесконечно тонких струн возникает естественным образом, если учитывать якобиан при замене интегрирования по полевым переменным на интегрирование по струнным [34, 35, 36].

Однако наличие вышеупомянутого члена в действии не решает всех проблем. Дело в том, что рассматриваемая теория помимо того, что содержит тахион - частицу с мнимой массой - в своем спектре [4], обладает еще следующим недостатком: она описывает не гладкие струны, а. скорее полимеры. Действительно, первые два члена в действии из (17) не содержат внешней кривизны двумерного листа струны. Поэтому последний, имея фиксированную площадь, может быть как угодно мятым, и доминирующая конфигурация в теории (из энтропийных соображений) будет содержать сильно мятые струны. На самом деле наличие тахиона в спектре и мятость струного мирового листа видимо связаны друг с другом. Присутствие тахиона означает то, что выбранный нами классический вакуум для струнной теории - длинные и гладкие струны - нестабилен (его энергия комплексна, а не действительна), что и ведет к его распаду в стабильный полимерный вакуум.

Ситуацию могут спасти только высшие члены в разложении по производным, которые зависят от внешней кривизны. Однако, чтобы иметь унитарную теорию, следует ограничится только несколькими, наименьшими по числу производных, членами. Например, в следующем порядке разложения по толщине струн (первая поправка), у нас, как и в статьях

[32, 33], возникает член с жесткостью для струны, изучавшийся в работах [37, 38]. Это третье слагаемое в действии из формулы (17). Оно, будучи зависимым от четырех производных, не является унитарным. Однако от этой сложности в принципе можно избавиться, а вот для высших членов это уже не верно. В формуле (17) не указаны возможные топологические члены13, содержащие большее число производных, чем локальные члены указанные в формуле (17). Они-то как раз и могут сыграть решающую роль в динамике теории (как мы обсуждаем ниже): мы надеемся, что они исключат тахион из спектра и "сделают" теорию с жесткостью унитарной.

Определяющую роль для динамики теории играет знак при члене с жесткостью. Он зависит от соотношения между массами хиггсов-ского и калибровочного бозонов: если первая больше второй, то знак отрицателен, если же наоборот, то положителен. При этом, в случае если член с жесткостью имеет отрицательный знак (а < 0), ситуация еще более усугубляется, т.к. струнам выгодно мяться. Поэтому можно надеяться на логическую непротиворечивость нашей струнной теории только в случае, когда член с жесткостью имеет положительный коэф-фицент (а > 0). В этом случае на классическом уровне струны гладкие, но это еще не означает их гладкость на квантовом уровне. Оказывается, что константа связи а (жесткость струны) в теории (17) асимптотически свободна, что ведет к ее росту на больших расстояниях [37]. Поэтому последний член в действии из (17) вымирает при низких энергиях, и мы попадаем в старую ситуацию с динамикой действия НГ. Кроме того,

13Как мы обсуждаем ниже, топологические члены возникают не в рамках АМХ, а в более сложных моделях, описывающих конденсацию дионов.

присутствие жесткости не избавляет теорию от тахиона.

Член с жесткостью может выжить на больших расстояниях только если ренормгруппа для него имеет либо нуль заряда, либо инфракрасно стабильную точку из-за каких-либо "хороших" дополнительных членов в действии. Первая ситуация, с точки зрения автора, более интересная, т.к. в этом случае низкоэнергетическая теория струн будет сама себя обрезать на малых расстояниях, что является признаком самосогласованности теории. Однако в этом направлении мы не можем предложить ничего конструктивного. Поэтому ниже мы обсуждаем только вторую ситуацию, когда наличие дополнительного топологического члена в действии делает из асимтотически свободной теории конформную. В такой ситуации член с жесткость важен, и мы будем иметь дальний порядок для всех корреляторов в теории. Например, будет иметься дальний порядок для корреляторов нормалей к поверхности струны, что и означает гладкость этой поверхности.

Возможность существования инфракрасно стабильной точки у ¡3-функции для константы связи а обсуждалась в статье [37], где предполагалось, что это может произойти в присутствии некоторого струнного 0-члена. Однако доказать последнее не удалось. Мы же в этой диссертации предложим абелеву теорию, в которой струнное эффективное действие содержит некоторый топологический член Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ). Последний дает искомую инфракрасно стабильную точку. Более того, полученную таким образом теорию можно переписать как содержащую фермионные степени свободы на мировом листе струны. Именно эти фермионы могут избавить теорию от тахиона и сделать ее унитарной.

Рассматриваемая теория, из которой извлекаются фермионные

струны, описывается АМХ в присутствии дионных токов, т.е. является дуальной к теории, описывающей конденсацию дионов в присутствии электрических токов - петлевых наблюдаемых14. При этом последняя, как видно из обсуждения в конце предыдущего параграфа, может оказаться эффективной теорией для ЯМ при низких энергиях.

Кроме того, в струнном представлении рассматриваемые теории описывают [39] топологическое дальнодействующее взаимодействие [40] струн с заряженными частицами, которое является четырехмерным аналогом эффекта АБ. Это взаимодействие, как мы уже упомянули, может так же вести к невылетанию [23].

1.3 Содержание диссертационной работы

Во второй главе мы обсуждаем переход от АМХ к эффективной теории для АНО струн. При выводе меры интегрирования по таким струнам возникает новый вклад в действие, который важен для динамики теории. Он сокращает лишнюю степень свободы, возникающюю в наивной низкоэнергетической модели, описываемой только действием НГ. В этой же главе мы обсуждаем и высшие члены по производным.

В третьей главе обсуждается топологическое взаимодействие струн с заряженними частицами - так называемый эффект АБ. Там же мы приводим реалистическую (имеющую отношение к теории ЯМ) модель, в которой такое взаимодействие может возникнуть. Эта модель описывает конденсацию дионов. Далее обсуждается вклад взаимодействия АБ в динамику теории и в выражение для среднего от петлевой наблюдае-

143десь следует заметить, что связь между этими двумя теориями все же не вполне ясна автору (см. ниже).

мой. При этом возникает интересный для нас эффект. Он заключается в том, что струнная теория, описывающая квантовое среднее для петлевой наблюдаемой, меняет статистику при переходе от больших к малым расстояниям. На больших расстояниях мы имеем бозонную струнную теорию, а на малых расстояниях она может оказаться фермионной, т.е. на мировом листе струны могут возникнуть фермионные степени свободы. Эти степени свободы очень важны для динамики теории, т.к. все известные бозонные струнные теории страдают от вышеупомянутой мятости мирового листа, тогда как фермионные степени свободы могут спасти ситуацию. Действительно, из-за отталкивания между фермионами в силу принципа Паули мировой лист струны не будет иметь складок, т.е. будет гладким.

В четвертой главе предложена чисто бозонная модель, в которой возникают фермионные струны на больших расстояниях. Наличие этих возбуждений очень важно, т.к. может дать самосогласованную теорию струн, описывающую динамику при низких энергиях обособленно от полевых переменных. Существование такой теории дает надежду на самосогласованное струнное описание теории ЯМ при низких энергиях. Поэтому в этой же главе обсуждается возможная связь рассматриваемой модели с теорией ЯМ. В пятой главе мы приводим выводы и основные результаты данной диссертации.

Благодарности

В научной жизни есть несколько этапов. Защита кандидатской диссертации - это, в некотором смысле, завершение и подытоживание результатов первого этапа. Конечно, этот этап я прошел не в одиночку и.

более того, мне повезло, что меня всегда окружали хорошие люди. Если бы не они - не было бы и этой диссертации. К сожалению не возможно поблагодарить всех тех людей, которые помогли мне в изучении науки, и которым я обязан интересом к жизни и науке. Поэтому я приведу далеко не полный их список.

Я хотел бы поблагодарить за многочисленные нау чные дискусии Антонова Диму, Шевченко Володю, Губанкову Лену, Полякова Максима, Дьяконова Митю, Петрова Виктора, Забродина Антона, Михайлова Андрея, Некрасова Никиту, Левина Андрея, Маршакова Андрея, Горского Сашу, Селиванова Костю, Воронова Николая Александровича, Хорош-кина Сергея, Пакуляка Стаса, Шадуру Виталия, Рослого Лешу, Рубцова Володю, Фока Володю, Ди Джиакомо Адриано, Бейкера Маршала, Ван Баала Пьера, Баккера Бена, Матура Ману, Вайнштейна Аркадия, Рубакова Валеру, Чибисова Бориса, Смилгу Андрея, Макеенко Юрия Марленовича, Окуня Льва Борисовича, Бориса Лазаревича Иоффе, Новикова Виктора Александровича, Новикова Лешу, Невзорова Рому, Высоцкого Михаила Иосифовича, Зарембо Костю, Онигценко Андрея, Гу-кова Сергея, Дубина Андрея, Озерова Диму, Чистова Руслана, Пахлова Пашу, Эйгиса Виталика, Киселева Валеру, Шнира Якова, Чехова Леню, Орланда Питера, Нельсон Анн, Крапивина Сашу, Либанова Максима, Троицкого Сергея, Тинякова Петра, Ленина Сашу и еще многих других.

Особенно мне хотелось бы поблагодарить Сергея Павловича Аллилуева, Семена. Соломоновича Герштейна, Карена Аветовича. Тер-Мартиросяна, Юрия Антоновича Симонова, Михаила Васильевича Те-реньтьева, Михаила Ароновича Олынанецкого, Михаила Борисовича Волошина, Андрея Лосева, Сергея Харчева, Андрея Миронова, Игоря По-любина, Антона Герасимова, Тахира Султанова, Лену Суслову, Мак-

сима Чернодуба, Федю Губарева, Мишу Зубкова, Лешу Котова, Сашу Червова, Диму Булатова и Девида Дейкмана не только за научные обсуждения, но и за интерес к моей работе, за поддержку и за то, что многому меня научили.

И конечно же большинству из того, что я знаю и умею я научился у своих учителей Михаила Игоревича Поликарпова и Алексея Юрьевича Морозова...

2 От абелевой модели Хиггса к квантовой теории струн

Фактически ниже (до перехода к интегрированию по поверхностям) мы проделаем в непрерывном пределе то нее, что было сделано в решеточной формулировке АМХ в работе [40]. Мы повторим в этой главе вывод, изложенный в данной работе, ввиду его наглядности. Более того, необходимые нам выкладки правильно проделывать именно в решеточно регу-ляризованной теории, где хорошо определены все меры интегрирования. Однако, все же для перехода от теории поля к интегралу по поверхностям необходимо на некотором шаге преобразований перейти в непрерывный предел.

Кроме того, прежде, чем приступить к теории для струн, мы проделаем аналогичный вывод для монополей в компактной КЭД (КЭД с монополями) в непрерывном пределе. Это простое упражнение поможет нам при работе со струнами в АМХ в следующих разделах. Представление теории в виде интеграла по монопольным токам также полезно само по себе, т.к. позволяет показать разные физические явления. Например.

невылетание зарядов в трех и четырехмерной компактной КЭД, т.е. то, что мы обсуждали во Введении.

2.1 Эффективная теория для монополей в компактной КЭД

В этом параграфе мы приводим некоторые формулы для монополей в компактной КЭД. Эффективное действие для монополей в непрерывном пределе теории поля было получено во многих работах [41, 42, 43, 44, 4] в трех и в четырех измерениях. Ниже мы изложим наш способ вывода этого эффективного действия.

Итак, мы рассмотрим функциональный интеграл для чистой КЭД без электронов:

^ = с^, (30)

в которой интегрирование идет по всевозможным включая сингулярности дираковского типа (иначе теория тривиальна, т.к. в ней нет взаимодействия). Этим сингулярностям соответствуют решения классических уравнений движения, несущие монопольный заряд:

дцРцл' — 0, С-циардуР— J ,

Я(х,х) = (31)

где, как видно, - сохраняющийся монопольный ток , д»]™ = 0; ]"1г{х., ж) является функцией от х и функционалом от х, а I - произвольная

(ввиду репараметризационной инвариантности) параметризация монопольных траекторий; 5 - несвязанное множество всевозможных замкнутых (ввиду сохранения магнитного заряда) монопольных траекторий, так что:

/5 ...= £/ (32)

75 топ-)топ

где "топ" означает траекторию одного монополя. Действуя последовательно, следовало бы регуляризовать рассматриваемую теорию, т.к. она содержит явные сингулярности. Именно поэтому правильно следовало бы выполнить все нижеследующие выкладки с использованием решеточной регуляризации. Мы же, однако, проделаем формальные манипуляции в непрерывном пределе и все же получим правильный ответ. Кроме того непрерывный предел необходимо взять прежде, чем перейти к интегралу по монопольным путям.

Рассматриваемая теория (30) является низкоэнергетическим приближением к 5(7(2) модели Джорджи-Глэшоу:

1 = ± + + л (|Фа|2 - ?72)2

VI' = 6аЬд, + гееаЬсА1 (33)

где Фа - скалярное поле в присоединенном представлении группы 5(7(2). При этом, т.к. 7г (3Щ1) ) = т0 в эт°й теории есть топологически стабильные монопольные решения классических уравнений движения. Последние при низких энергиях выглядят как сингулярности типа Дирака, включенные в функциональный интеграл (30).

Итак, фактически в (30) интегрирование идет по двум переменным: регулярной Аг и сингулярной А® частям Ам так, что = А'^ + А*.

При этом мы имеем, что с^А^ = tlil/apda&~ljp'- Т.е. А5Ц является решением уравнения (31) или так называемым решением Дирака в случае статических полей.

Таким образом (30) можно переписать в виде:

Z = j D.YVAI exp d*x + F^f) =

= const • I VA^Vj™ exp J d*x (f;^ + , (34)

где в последнем выражении мы безболезненно проделали переход от интегрирования по As к интегрированию по j™, т.к. якобиан перехода не зависит от переменных интегрирования в функциональном интеграле, а следовательно факторизуется в виде константы указанной в (34). Теперь легко видеть, что функциональный интеграл по А^ факторизуется в виде гауссова интеграла для тривиальной (невзаимодействующей) теории, и мы получаем полевую теорию для монопольного вакуума:

Z = const • J Vj? ■ exp / d4xj?(x)A~X(*)} ■ (35)

Этот результат впервые получен в решеточной формулировке в статье [46], а затем в непрерывном пределе [43] и независимо для трехмерной КЭД [4]. Эта теория нелокальна и описывает обмен 7-квантами между моноиолями (обратный четырехмерный лапласиан в (35) ответственен за этот обмен). Подобное взаимодействие в трехмерной компактной КЭД приводит к невылетанию электрических зарядов в монопольной плазме (см. [4]). Механизм невылетания, рассмотренный в работах [17, 18], соответствует модели дуального сверхпроводника, т.е. заключается в конденсации монополей. На уровне формулы (35) конденсацию монопо-

лей в четырехмерии можно увидеть следующим образом: лапласиан в этой формуле содержит единицу, т.е., вообще говоря, в действии из (35) содержится член, пропорциональный (]™)2 ~ так называемый энергетический фактор. При этом в мере также содержится подобный член с обратным знаком - так называемый энтропийный фактор, и, в зависимости от того, который из этих двух членов преобладает, мы имеем либо фазу с конденсацией монополей е2 > е2г, либо разряженную фазу е2 < е2г. Здесь е2сг определяется коэффицентом при энтропийном факторе.

Теперь мы проделаем переход от полевой теории для монополей (35) к интегрированию по траекториям т.е. к квантовой механике для монополей. Подобный переход рассматривался в [41, 42] и на нашем языке включает в себя замену переменных в функциональном интеграле посредством введения в (35) единицы вида (см. (31)):

1 = ¿\Я) I• 6 [з™(х) - 1з <к ■ ~x.it) ■ 8^[х - т } , (36)

здесь J[j™} ~ это, вообще говоря, нетривиальный якобиан перехода от полевых переменных к квантовомеханическим. Тогда, после интери-рования в (35) по с использованием ¿»-функции из (36), мы получаем:

л=^. . т. ехР {-±1 «ь, <37)

здесь =

Теперь мы покажем, что рассматриваемый якобиан равен константе. Его определение, следующее из (36), имеет вид:

Лх) = {IЩ,] ■ 8 [%(х,у) - , (38)

где (х, у) и ¿™(х,х) заданы в формуле (31). Далее представим 8-функцию в (38) в виде:

= const ■ J Vkn(x) exp j-г J dt'k^y)^ + г J' cltk^(x)x^ , (39)

что является Фурье представлением для функциональной ¿-функции. Последнее выражение, в силу определения меры для к

Vk,{x)...= П dk^x)..., (40)

xevw

где V^ - объем четырехмерного пространства, который разбивается на четыре части:

5 [Л?(ж> У) - 3™(х-*)] = c°nst х х [ П exp f df • кМП ■ (¿UO - МО) } х

J x£SnS' 1 Js' J

X / П exP j i / • • ¿м(^) f X

x f П exp [ dt' ■ k,{y(t')} ■ y^(t')} X

xES',xgS К JS' J

xf П ¿ВДехр/г /d4.x^}, (41) J x-^SuS' I J M~ J

где в последней строке использовалась регуляризация для функциональной ¿»-функции15.

15Конечно, такая же регуляризация подразумевается для всех функциональных 6-функций в (41), однако для упрощения формул мы не указываем ее явно.

Итак, с учетом интегрирования по уд в (38), мы получаем окончательное выражение для якобиана:

и, как видно, он в этом случае равен константе. Однако, как мы увидим в следующих параграфах этой главы, в случае струн в АМХ подобный якобиан нетривиален и, более того, коренным образом меняет динамику теории. Но об этом в следующих параграфах, а сейчас мы должны доопределить меру интегрирования в формуле (37), как это проделывалось в статьях [41, 42, 4]. Для этого следует исключить все нулевые моды, связанные с замкнутостью траекторий и трансляционной инвариантностью, и явно выделить объем репараметризационной группы путем введения интегрирования по метрике на траектории в функциональный интеграл (см. [4]).

Таким образом, в данной теории существует два типа расходимостей из-за вышеуказанных нулевых мод. Первый тип связан с трансляционной инвариантностью хм —У х. + с. действия, и для его устранения мы введем в функциональный интеграл (37) для каждого монополя единиц)'- вида:

и отбросим объем / ¿с — V, где Т - время существования одного отдельного монополя из множества (см. (32)). Также следует устранить расходимость второго типа, связанную с инвариантностью теории относительно сдвига параметра I —> (т.к. параметризационное пространство в случае замкнутых траекторий является окружностью). Для этого введем в функциональный интеграл (37) единицу следующего вида:

(42)

(43)

гт гт <а

/ аа -*(/(*)-а) = 1, (44)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ахмедов, Эмиль Тофик оглы

5 Заключение и выводы

Итак, основываясь на аргументах, что при больших теория ЯМ ведет себя как теория струн, и качественных наблюдениях в абелевых проекциях и решеточных вычислениях, мы предпологаем, что КХД описывается при низких энергиях как некоторая теория струн. В нашей диссертации обсуждается возможное действие для такой теории струн. Чтобы воспроизвести члены, входящие в это действие, мы исходим из аналогии между AHO струнами и струнами в теории ЯМ. Наивное действие для AHO струн, найденное еще двадцать с лишним лет назад, - это функционал НГ. Однако в теории струн с таким действием возникают проблемы. Например, существование лишней моды Лиувилля в четырех измерениях, мятость струнных поверхностей и присутствие тахиона в спектре.

Фактически данная диссертация посвящена разрешению этих проблем. Или, другими словами, поиску логически замкнутой теории струн (т.е. способной существовать обособлено от полевых переменных), которую можно вывести из некоторой теории поля.

Мы, конечно же, не нашли струну, полностью описывающую адроны. Однако нам удалось показать, используя связь между теорией ЯМ и АМХ, наличие некоторых универсальных членов, присутствующих в низко-энергетическом струнном действии. Действительно, мы пытаемся последовательно вычислить низкоэнергетическое действие для AHO струны.

Оказывается, что в рамках такого подхода мы можем избавиться от первой из вышеупомянутых проблем. Действительно, при правильном выводе меры интегрирования по поверхностям возникает дополнительный (к функционалу НГ) член в действии. Именно этот член сокращает лишнюю степень свободы. Однако из АМХ нам все же не удалось вывести самосогласованной теории струн, т.к. при низких энергиях мы получали либо не унитарную теорию, либо теорию страдающую от мя-тости струнных поверхностей и от присутствия тахиона.

Похоже, что эти проблемы вообще нельзя решить в рамках бозонной теории струн. Единственный выход - это фермионная струна. Однако не очевидно, каким образом может возникнуть фермионная струна из теории поля, содержащей только бозонные степени свободы, каковой является теория ЯМ. И все же мы приводим две возможности, при которых может возникнуть фермионная струна из чисто бозонной теории поля. Причем эти две теории связаны с ЯМ, а фермионные степени свободы в рассматриваемых теориях струн возникают за счет нетривиального взаимодействия между струнами и их границами.

Наличие фермионов на струнных поверхностях помогает избавиться от их мятости. Однако это еще не решает поблемы тахиона и унитарности теории. По поводу последних двух проблем мы не можем сказать ничего конкретного.

Следует так же заметить, что помимо возможной связи рассмотренных нами теорий струн с КХД струной, эти теории могут оказаться полезными в теории черных дыр [68] и в рамках различных космологических моделей. В последних топологически стабильные струны, монополи и дионы играют важную роль [69] и, следовательно, интересно знать эффективные действия, определяющие их динамику.

Кратко упомянем основные результаты данной диссертационной работы:

• Найдена мера интегрирования по поверхностям струн Абрикосова-Нильсена-Олесена.

• Найдена производящая функция для топологически стабильных струн в абелевой модели, в которой сконденсированны дионы.

• Получен полевой аналог эффекта Ааронова-Бома в абелевой теории, в которой сконденсированы дионы.

• Наблюден эффект Ферми-Бозе трансмутации для струнного представления среднего от петлевой наблюдаемой.

• Обнаружена ферми струна, возникающая в абелевой модели Хиггса с монополями и ©-членом на больших расстояниях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахмедов, Эмиль Тофик оглы, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Е.М. Лифшиц и Л.П. Питаевский, "Статистическая физикач.2, Москва, Наука, 1978.

[2] G. t'Hooft, Nucl. Phys., В72 (1974) 461.

[3] Yu. Makeenko and A. Migdal, Phys. Lett., B88 (1979) 135.

[4] A.M. Polyakov, "Gauge Fields and Strings", New York, Harwood, 1987.

[5] A. Polyakov, Nucl. Phys., B486 (1997) 23.

[6] A. Migdal, Phys. Rep., 102 (1983) 199.

[7] A.M. Polyakov, Phys. Lett., B82 (1979) 247.

[8] T. Eguchi and H. Kawai, Phys. Rev. Lett., 48 (1982) 47.

[9] D. Gross and Y. Kitazawa, Nucl. Phys., B206 (1982) 440.

[10] J. Hoppe, preprint PITHA 86/24; Ph.D. Thesis, MIT 1982.

[11] I. Bars, Phys. Lett., B245 (1990) 35.

[12] M.A. Zubkov, "Effective Abelian gauge theory for lattice yluodynamics and chromoelectric string", hep-th/9710152.

[13] G. t' Hooft, in "High Energy Physics", ed. M. Zichichi, Bolognia, Editrice Compositori, 1976;

S. M an del s t am, Phys.Rep., 23C (1976) 245.

[14] A.A. Abrikosov, Sov. Phys. JETP, 32 (1957) 1442; H.B. Nielsen and P. Olesen, Nucl. Phys., B61 (1973) 45.

[15] Yu.A. Simonov, Lectures given at International School of Physics 'Enrico Fermi', Course 80: Selected Topics in Nonperturbative QCD, Varenna, Italy, 27 Jun - 7 Jul 1995, preprint ITEP-38-95, hep-ph/9509403;

Yu.A. Simonov, Usp.Fiz.Nauk, 166 (1996) 337.

[16] G. t'Hooft, Nucl. Phys., B190 (1981) 455.

[17] J. Stack, S. Neiman, and R. Wensley, Phys. Rev., D50 (1994) 3399.

[18] H. Shiba, T. Suzuki, Phys. Lett., B333 (1994) 461.

[19] A.S. Kronfeld, G. Schierholz and U.-J. Wiese, Nucl. Phys., B293 (1987) 461;

A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G. Schierholz and U.-J. Wiese, Phys. Lett., 198B (1987) 516.

[20] F.V. Gubarev, M.N Chernodub and M.I. Polikarpov, "Electric ancl magnetic currents in SU(2) lattice gauge theory", hep-lat/9709039; "Abelian Dyons in the maximal Abelian projection of SU(2) gluodynam-ics", hep-lat/9801010.

[21] V. Bornyakov and G. Schierholz, Phys. Lett., B384 (1996) 190.

[22] G. Schierholz, in Proceedings of RCNP Workshop on Color Confinement and Hadrons (CONFINEMENT 95), Osaka, Japan, 22-24 Mar 199-5, p.96, preprint DESY-95-127, hep-lat/9506033.

[23] M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov and M.A. Zubkov, Nucl. Phys. (Proc. Suppl.), 34 (1994) 256.

[24] M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov and A.I. Veselov, "Abelian projection of SU(2) gluodynamics and monopole condensate", hep-th/9704155; "Effective constraint potential for Abelian monopole in SU(2) lattice-gauge theory", hep-lat/9610007.

[25] S. Kato et al, "Various representations of infrared effective lattice QCD", hep-lat/9709092.

[26] M. Chernodub, M.I. Polikarpov and A.I. Veselov "Confinement mechanism in various Abelian projections of lattice gluodynamics", hep-lat/9512008;

Phys. Lett., B342 (1995) 303.

[27] E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub and M.I. Polikarpov, RCNP Confinement (1995) 37; hep-lat/9504013.

[28] G. t'Hooft, Phys. Rev. D14, (1976) 3432.

[29] D. Forster, Nucl. Phys., B81 (1974) 84.

[30] J.L. Gervais, B. Sakita, Nucl. Phys., B91 (1975) 301.

[31] J. Polchinski and A. Strominger, Phys. Rev. Lett., 67 (1991) 1681.

[32] P. Orland, Nucl. Phys., B428, (1994) 221.

[33 [34 [35

[36

[37 [38 [39

[40

[41 [42 [43 [44 [45 [46 [47 [48

M. Sato and S. Yahikozawa, Nucl. Phys., B436 (1994) 100.

E.T. Akhmedov and M.A. Zubkov, Pis'ma v ZhETP, 61 (1995) 346.

E. Akhmedov, M. Chernodub, M. Polikarpov and M. Zubkov, Phys. Rev., D53 (1996) 2087.

E. Akhmedov, M. Chernodub, M. Polikarpov and M. Zubkov, International Workshop in EOT* (1995) 174.

A.M. Polyakov, Nucl. Phys., B268 (1986) 406.

H. Kleinert, Phys. Lett., 174B (1986) 335.

E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub and M.I. Polikarpov, .JETP Lett., 67 (1998) 367.

M.I. Polikarpov, TJ.-J. Wiese and M.A. Zubkov, Phys. Lett., 309B (1993) 133.

K. Bardakci, S. Samuel, Phys. Rev. Lett., V18 (1978) 2849. M. Halpern, W. Siegel, Phys. Rev. Lett., D16 (1977) 2486. H. Kleinert Phys. Lett., 246B (1990) 127. H. Kleinert Phys. Lett., 293B (1992) 168. K. Lee, Phys. Rev. D48 (1993) 2493.

T. Banks, R. Myerson and J. Kogut, Nucl. Phys., B129 (1977) 493.

P. Becher and H. Joos, Z. Phys. C. 15 (1982) 343.

J. Frohlich and P.A. Marchetti, Commun. Math. Phys., 112 (1987) 34:3.

[49] T.L Ivanenko and M.I. Polikarpov, Nucí. Phys.Proc. Suppl., 26 (1992) 536.

[50 [51 [52 [53

[54

[56 [57 [58 [59 [60 [61

[62 [63

F. David, Mod. Phys. Lett. A3, (1988) 1651.

J. Distler and H. Kawai, Nucí. Phys. B312, (1989) 509.

M.G. Alford and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett., 62 (1989) 1071.

M.G. Alford, J. March-Russel and F. Wilczek, Nucí. Phys., B337 (1990) 695.

J. Preskill and L.M. Krauss, Nucí Phys., B341 (1990) 50.

G. 't Hooft, Nucí. Phys., B138 (1978) 1; Nucí. Phys., B153 (1979) 141.

T.R. Morris, Nucí. Phys., B341 (1990) 443.

D. Zwanziger, Phys. Rev. D3 (1971) 880.

A.M. Polyakov, Mod. Phys. Lett., A3 (1988) 325.

X. Fustero, R. Gambini and A. Trias, Phys. Rev. Lett., 62 (1989) 1964.

A.Yu. Alekseev and S.L. Shatashvili, Mod. Phys. Lett., 3A (1988) 1551.

P.B. Wiegmann, Nucí. Phys., B323 (1989) 311; P.B. Wiegmann, Nucí. Phy.s., B323 (1989) 330.

E.T. Akhmedov, JETF. Lett. 64 (1996) 82.

S. Maedan and T. Suzuki, Prog.Theor.Phys. 81 (1989) 229;

H. Suganuma, S. Sasaki and H. Toki Nucí.Phys. B435 (1995) 207.

[64] G. David, Phys. Rep., 184 (1989) 221.

[65] E. Witten, Phys. Lett., 86B (1979) 283.

[66] A. Kavalov, I. Rostov and A. Sedrakyan, Phys. Lett., 175B (1986) 331; A. Sedrakyan and R. Stora, Phys. Lett., 188B (1987) 442.

[67] A. Kavalov, Phys. Rev, D47 (1993) 4782.

[68] E. Akhmeclov, "Black hole thermodynamics from the string theory point of view", hep-th/9711153.

[69] M.B. Hindmarsh, T.W.B.Kibble, "Cosmic strings", hep-ph/9411342.