Собственно-энергетические поправки в квантовой электродинамике многозарядных ионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Ерохин, Владимир Анатольевич

• Ерохин, Владимир Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ерохин, Владимир Анатольевич

Введение

Глава 1 Собственно-энергетическая поправка в водородоподобных ионах

Глава 2 Собственно-энергетическая поправка в присутствии внешнего поля

2.1 Собственно-энергетическая поправка к сверхтонкому расщеплению.

2.1.1 Детальное рассмотрение.

2.1.2 Численные результаты и обсуждение.

2.2 Собственно-энергетическая поправка к ^-фактору связанного электрона.

2.2.1 Подробности вычисления.

2.2.2 Численные результаты и обсуждение.

Глава 3 Собственно-энергетическая поправка в атомах с несколькими электронами

3.1 Подробности вычислений.

3.2 Численные результаты и .обсуждение.

Глава 4 Двухпетлевая собственная энергия

4.1 Поправка петля-за-петлей.

4.1.1 Численный расчет.

4.1.2 Аналитическое вычисление.

4.2 Компактная часть двухпетлевой СЭ поправки.

4.2.1 М-член.

4.2.2 Р-член.

4.2.3 Р-член.

4.3 Численные результаты и обсуждение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Собственно-энергетические поправки в квантовой электродинамике многозарядных ионов»

Наука о взаимодействии вещества с квантованным электромагнитным полем - квантовая электродинамика (КЭД) - зародилась более семидесяти лет назад. За время ее существования были достигнуты значительные успехи в объяснении и предсказании многих физических явлений. Одним из традиционных объектов исследования КЭД эффектов является простейшая связанная система - атом водорода. Наиболее точное на сегодняшний день измерение энергий перехода в атомных системах выполнено для 2s-Is перехода в атомарном водороде, где экспериментальная точность достигла относительного уровня 1.8 х 10"14 или 46 кгц [1]. В будущем экспериментальную точность планируется довести до значения, приближающегося к естественной ширине спектральной линии 2s уровня (1.3 кгц). Современные теоретические значения уровней энергии несколько превосходят по точности соответствующие экспериментальные результаты (32 кгц для Is состояния и 4 кгц для 2s состояния [2]); их погрешность в значительной степени определяется неопределенностью экспериментального значения зарядового радиуса протона. На сегодняшний день расчеты КЭД эффектов в различных системах позволяют получить наиболее точные результаты для некоторых фундаментальных констант (постоянная тонкой структуры, масса электрона, отношение масс электрона и протона, радиус протона). С другой стороны, знание КЭД эффектов в атомных системах, в совокупности с высокоточными экспериментальными результатами, позволяет осуществлять поиски новой физики вне рамок стандартной модели. Несмотря на то, что характерный уровень энергий в атомных системах на много порядков меньше, чем на современных ускорителях, достижимая экспериментальная и теоретическая точность делает их весьма перспективным объектом для таких поисков.

Помимо поисков новой физики и уточнения значений фундаментальных констант, важным направлением исследований является проверка предсказаний КЭД в различных условиях. Объектами пристального внимания со стороны как теоретиков, так и экспериментаторов в последнее время становятся системы, которые еще недавно считались экзотическими - тяжелые ионы с одним или несколькими электронами (многозарядные ионы). Интерес к таким системам объясняется прежде всего стремительным прогрессом экспериментальной атомной спектроскопии. В последнее время стали возможными настолько точные измерения спектральных характеристик многозарядных ионов, что на повестку дня ставится вопрос о проверке КЭД во втором порядке по постоянной тонкой структуры а. Важность этой задачи определяется тем, что проверка будет производиться в новой области сильного кулоновского поля. С практической точки зрения, кулоновское поле, в котором находится электрон в водоро-доподобном ионе урана, является, по-видимому, наиболее сильным электрическим полем, доступным для прецизионного экспериментального изучения в настоящее время. Представляется естественным, что в поиске границ применимости теории (в данном случае, КЭД) наиболее перспективными являются именно подобные области с экстремальными характеристиками. Тем самым проблема расчета КЭД эффектов в спектрах многозарядных ионов приобретает фундаментальный характер.

Одним из первых высокоточных экспериментальных результатов в тяжелых ионах с несколькими электронами явилась работа Швеппе и соавторов [3], опубликованная более десяти лет назад. В этом эксперименте энергия 2p!/2-2s перехода в литиеподобном уране была измерена с точностью 0.1 эв, что на порядок меньше, чем КЭД поправка второго порядка по а. Эта работа во многом мотивировала начало теоретических расчетов КЭД поправок второго порядка в области сильного внешнего поля (т.е., во всех порядках по параметру Za1 где Z - заряд ядра). С тех пор прецизионные экспериментальные результаты были получены также для ряда других Li-подобных ионов.

В тяжелых водородоподобных ионах достижимая экспериментальная точность оказывается существенно ниже, чем в ионах с несколькими электронами, что объясняется тем, что соответствующие переходы лежат в области жесткого рентгеновского диапазона. Тем не менее, точность измерения лэмбовского сдвига основного состояния в водородоподобном ионе урана за последнее десятилетие была увеличена в 10 раз и в настоящее время составляет 13 эв (около 5% от полного КЭД вклада) [4]. В ближайшем будущем планируется увеличение точности измерения до уровня 1 эв, что сделает эксперимент чувствительным к двухпетлевым КЭД эффектам.

Еще один важный класс экспериментов состоит в нахождении д-фактора электрона в водородоподобном ионе. Величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте, является комбинация (gM/m), где М - масса иона, т - масса электрона и д - g-фактор электрона.

Важность данного эксперимента определяется тем, что комбинируя экспериментальное значение для (д М/т) с прецизионным теоретическим результатом для электронного ^-фактора, можно получить значение массы электрона. К настоящему моменту соответствующие измерения выполнены для водородоподобных ионов углерода и кислорода. Несмотря на применимость разложения по параметру Za в этих системах, высокая экспериментальная точность результатов (для углерода достигнутая относительная точность составляет 5хЮ~10 [5]) определяет то, что вычисления КЭД эффектов желательно выполнять во всех порядках по Za.

Прецизионное экспериментальное изучение осуществляется сегодня также и для сверхтонкой структуры (СТС) уровней тяжелых ионов. Первым высокоточным экспериментальным результатом в этой области явилось измерение длины волны перехода между компонентами СТС основного состояния в водородоподобном ионе висмута 209Bi82+ [6], погрешность которого на три порядка меньше соответствующего КЭД вклада. К сожалению, непосредственное теоретическое исследование СТС уровней водородоподобных ионов затруднено вследствие большого вклада ядерных эффектов, прежде всего, эффекта распределения магнитного момента по ядру (эффект Бора-Вайскопфа). Достижимая на сегодняшний день точность теоретического описания эффекта Бора-Вайскопфа невелика и находится на уровне полного КЭД вклада. Тем не менее оказывается, что введенная в [7, 8] специфическая разность интервалов СТС водородоподобных и литиеподобных ионов может быть теоретически описана с точностью на уровне нескольких процентов от полного КЭД вклада (вследствие сокращения ядерных эффектов). Это открывает перспективы для проверки КЭД эффектов в СТС уровней тяжелых ионов. Подобная проверка представляется особенно важной, так как. вследствие большой сингулярности оператора взаимодействия электрона с магнитным полем ядра 1 /г2), характерная область взаимодействия оказывается гораздо ближе к ядру, чем в случае лэм-бовского сдвига или (/-фактора. Тем самым проверка предсказаний КЭД производится в эффективно более сильном поле.

С теоретической точки зрения, ситуация сильного внешнего поля соответствует тому, что разложение по параметру Za, которое является традиционным инструментом исследований КЭД эффектов, является неприменимым в таких системах. В этом случае рассмотрение должно производиться в представлении Фарри с использованием связанного электронного пропагатора, являющегося функцией Грина уравнения Дирака с внешним потенциалом. Вследствие значительно более сложной структуры связанного электронного пропагатора (по сравнению со свободным случаем), получение окончательных результатов в большинстве случаев возможно только с применением современных компьютерных средств.

Целью диссертации является исследование собственно-энергетических поправок в первом и втором порядке по постоянной тонкой структуры а и во всех порядках по внешнему полю для ионов с одним и несколькими электронами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра Z > 40.

2. Для части двухпетлевой собственной энергии, т. н. поправки петля-за-петлей, выполнен численный и аналитический расчет ведущего логарифмического члена разложения по параметру Za. Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от предшествующих аналитических вычислений.

3. Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к g-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для случая Is и 2s состояний. Получены наиболее точные теоретические значения для р-фактора водородоподобных ионов.

4. Выполнен расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки к уровням энергии гелиеподобных и литиеподобных ионов во всех порядках по параметру Za.

5. Произведено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней Is и 2s состояний водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Продемонстрировано хорошее согласие полученных результатов с расчетами, основанными на разложении по Za, и выделен вклад высших порядков. Получены наиболее точные значения для собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению в водороде.

Научная и практическая ценность проведенных исследований определяется следующими положениями:

1. Двухпетлевая собственная энергия является на сегодняшний день наиболее сложным КЭД эффектом в теории многозарядных ионов, вычисленным во всех порядках по Za. Это определяется тем, что все другие расчеты КЭД поправок второго порядка выполнялись посредством обобщения схем, разработанных для первого порядка, в то время как настоящий расчет не сводится к такому случаю. Впервые вычисление без разложения по Za выполнялось для диаграмм, содержащих перекрывающиеся расходящиеся под-графы и парциальное разложение по двум независимым параметрам. Разработанная схема может быть применена к вычислению других КЭД эффектов в атомных системах.

2. Вычисление ведущего логарифмического вклада, выполненное для поправки петля-за-петлей, позволило разрешить дискуссию, существовавшую в литературе. Неясность ситуации была обусловлена тем, что значение для коэффициента при ведущем логарифмическом вкладе разложения по Za этой поправки оказывалось различным в численном и аналитическом расчетах. Проведенные вычисления восстановили согласие численного и аналитического подходов.

3. Наиболее точное вычисление однопетлевой собственно-энергетической поправки к ^-фактору связанного электрона в водородо-подобных ионах привело, в совокупности с другими поправками, к существенному увеличению точности теоретических значений для g-фактора. Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей общепринятое значение.

4. Расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки был использован для получения наиболее точных теоретических значений для энергии 2^/2-25 перехода в литиеподобных ионах и двухэлектронной части энергии основного состояния гелиепо-добных ионов. В результате было существенно улучшено согласие с экспериментальными данными. В случае литиеподобного урана сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными позволило произвести проверку КЭД эффектов второго порядка на уровне 15%. На сегодняшний день это наиболее точная проверка предсказаний КЭД в области сильного внешнего поля.

5. Произведенное вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкой структуре водородоподобных ионов было использовано для получения наиболее точных теоретических значений сверхтонких интервалов основного состояния водородоподобных и литиеподобных ионов. Полученные результаты были также использованы для уточнения теоретических значений сверхтонкого расщепления в водороде, дейтерии и ионе Не+.

Структура диссертации следующая. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы основные задачи диссертации, кратко изложено содержание диссертации по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ерохин, Владимир Анатольевич

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты диссертации:

1. Выполнено вычисление полного набора диаграмм двухпетлевой собственной энергии для основного состояния водородоподобных ионов без разложения по параметру Za. Получены наиболее точные теоретические значения для лэмбовского сдвига основного состояния водородоподобных ионов с зарядом ядра Z > 40.

2. Для части двухпетлевой собственной энергии, т.н. поправки петля-за-петлей, выполнено численное и аналитическое вычисление ведущего логарифмического члена разложения по параметру Za. Продемонстрировано согласие между численным и аналитическим подходами и проанализировано отличие результатов от предшествующих аналитических вычислений.

3. Произведен прецизионный расчет собственно-энергетической поправки к д-фактору связанного электрона в водородоподобном ионе для Is и 2s состояний. В совокупности с другими поправками, полученные результаты существенно увеличили точность теоретических значений для ^-фактора. Сравнение с экспериментальными данными позволило произвести независимое определение массы электрона с точностью, в 4 раза превышающей общепринятое значение.

4. Выполнено вычисление собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению уровней Is и 2s состояний водородоподобных ионов. Продемонстрировано хорошее согласие полученных результатов с известными членами разложения по Za и выделен вклад высших порядков. Найдены наиболее точные значения для собственно-энергетической поправки к сверхтонкому расщеплению Is и 2s уровней в водороде. Полученные результаты использованы для нахождения теоретических значений сверхтонких интервалов для основного состояния тяжелых водородоподобных ионов.

5. Произведен расчет двухэлектронной собственно-энергетической поправки для основного состояния гелиеподобных ионов и для 2s, 2^/2, 2рз/2 состояний литиеподобных ионов. Получены наиболее точные теоретические значения для энергии 2]91/2-2s перехода в литиеподобных ионах и для двухэлектронной части энергии ионизации основного состояния гелиеподобных ионов. Теоретические значения сравниваются с экспериментальными результатами. Достигнутая точность позволяет проверить результаты теоретических расчетов КЭД эффектов второго порядка на уровне 15%.

6. Разработана эффективная схема для расчета однопетлевой собственно-энергетической поправки в произвольной ковариантной калибровке без разложения по параметру Za. Приведен сравнительный анализ расчетов в различных калибровках. Получены численные результаты для высоковозбужденных состояний водородоподобных ионов.

В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность проф. Владимиру Моисеевичу Шабаеву за всестороннюю поддержку на протяжении многих лет, начиная с моей дипломной работы и кончая настоящей диссертацией. Большое спасибо также Антону Артемьеву, в соавторстве с которым получена значительная часть представленных в настоящей диссертации результатов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ерохин, Владимир Анатольевич, 2005 год

1. Pachucki K,, Jentschura U.D. Two-loop Bethe-logarithm correction in hydrogenlike atoms. Phys. Rev. Lett., 2003, v. 91, p. 113005-1— 113005-4.

2. Schweppe J., Belkacem A., Blumenfeld L., Claytor N., Feinberg В., Gould H., Kostroun V.E., Levy L., Misawa S., Mowat J.R., Prior M.H. Measurement of the Lamb shift in lithiumlike uranium (U89+). Phys. Rev. Lett., 1991, v. 66, p. 1434-1437.

3. Haffner H., Beier Т., Hermanspahn N., Kluge H.-J., Quint W., Stahl S., Verclii J., Werth G. High-accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon. Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, p. 5308-5311.

4. Shabaev V.M., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A. Hyperfine structure of highly charged ions. Hyperfine Interactions, 1998, v. 114, p. 129-133.

5. Shabaev V.M., Artemyev A.N., Yerokhin V.A., Zherebtsov O.M., Soft'

6. G. Towards a test of QED in investigations of the hyperfine splitting in heavy ions. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 3959-3962.

7. Desiclerio A.M., Johnson W.R,. Lamb shift and binding energies of К electrons in heavy ions. Phys. Rev. A, 1971, v. 3, p. 1267-1275.

8. Brown G.E., Langer J.S. and Schaefer G.W. Lamb shift of a tightly bound electron. I: Method. Proc. R. Soc. (London) Ser. A, 1959, v. 251, p. 92-104.

9. Mohr P.J. Self-energy radiative corrections in hydrogenlike systems.- Ann. Phys. (N.Y.), 1974, v. 88, p. 26-51; 52-87.

10. Mohr P.J. Self-energy of the n=2 states in a strong Coulomb field.- Phys. Rev. A, 1982, v. 26, p. 2338-2354.

11. Mohr P.J. Self-energy correction to one-electron energy levels in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, p. 4421-4424.

12. Mohr P.J., Kim Y.K. Self-energy of excited states in a strong Coulomb field. Phys. Rev. A, 1992, v. 45, p. 2727-2735.

13. Mohr P.J., Soff G., Nuclear size correction to the electron self-energy. Phys. Rev. Lett., 1993, v. 70, p. 158-161.

14. Indelicato P., Mohr P.J., Coordinate-space approach to the bound-electron self-energy. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, p. 172-185.

15. Indelicato P., Mohr P.J., Coordinate-space approach to the bound-electron self-energy: Coulomb field calculation. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 165-179.

16. Indelicato P., Mohr P.J., Coordinate-space approach to the bound-electron self-energy: Self-energy screening calculation. Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 052507-1-052507-22.

17. Jentschura U.D., Mohr P.J., Soff G. Calculation of the electron self-energy for low nuclear charge. Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 53-56.

18. Jentschura U.D., Mohr P.J., Soff' G. Electron self-energy for the К and L shells at low nuclear charge. Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 042512-1-042512-19.

19. Le Bigot E.-O., Indelicato P., Mohr P.J. QED self-energy contribution to highly excited atomic states, Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 052508-1-052508-14.

20. Jentschura U.D., Le Bigot E.-O., Mohr P.J., Indelicato P., Soff G. Asymptotic properties of self-energy coefficients. Phys. Rev. Lett., 2003, v. 90, p. 163001-1-163001-4.

21. Mohr P.J., Plunien G., Soff G., QED corrections m heavy atoms. -Phys. Rep, 1998, v. 293, p. 227-372.

22. Snyclerman N.J. Electron radiative self-energy of highly stripped heavy atoms. Ann. Phys. (N.Y.), 1991, v. 211, p. 43-85.

23. Blundell S.A, Snyderman N.J, Basis-set approach to calculating the radiative self-energy in highly ionized ions. Phys. Rev. A, 1991, v. 44, p. R1427-R1430.

24. Cheng K.T, Johnson W.R, Sapirstein J. Lamb-shift calculations for поп-Coulomb potential. Phys. Rev. A, 1993, v. 47, p. 1817-1823.

25. Yerokhin V.A, Shabaev V.M. First-order self-energy correction in hydrogenlike systems. Phys. Rev. A, 1999, v. 60, p. 800-812.

26. Quiney H.M, Grant I.P. Partial-wave mass renormalization in atomic QED calculations. Phys. Scr, 1993, v. T46, p. 132-138.

27. Persson H, Lindgren I, Salomonson S. A new approach to the electron self energy calculation. Phys. Scr, 1993, v. T46, p. 125-131.

28. Quiney H.M, Grant I.P. Atomic self-energy calculations using partial-wave mass renormalization. J. Phys. B, 1994, v. 27. p. L299-L304.

29. Persson H, Salomonson S, SunnergrenP. Regularization corrections to the partial-wave renormalization procedure. Aclv. Quant. Chem, 1998, v. 30, p. 379-392.

30. Yerokhin V.A. Loop-after-loop contribution to the second-order Lamb shift in hydrogenlike low-Z atoms. Phys. Rev. A, 2000, v. 62, p. 012508-1-012508-6.

31. Labzowsky L.N, Goiclenko I.A. Multiple commutator expansion for the Lamb shift in a strong Coulomb field. J. Phys. B, 1997, v. 30, p. 177-187.

32. Гойденко И.А, Лабзовский JI.H. Обобщенный бетевский логарифм для сильно связанных электронов. Журн. эксперим. и те-орет. физ, 1997, т. 112, с. 1197.

33. Labzowsky L.N, Goidenko I.A, Nefiodov A.V. Electron self-energy calculations for tightly bound electrons in atoms. J. Phys. B, 1998, v. 31, p. L477-L482.

34. Labzowsky L., Goidenko I., Tokman M., Pyykko P. Calculated self-energy contributions for an ns valence electron using the multiple-commutator method. Phys. Rev. A. 1998, v. 59, p. 2707-2711.

35. Yakhontov V.L., Grant I.P. Parameter-free renormalization in the self-mass correction computation. J. Phys. B, 1993, v. 26, p. L773-L781.

36. Cheng K.T., Johnson W.R., Sapirstein J. Screened Lamb shift calculations for lithiumlike uranium, sodiumhke platinum, and copperlike gold. Phys. Rev. Lett., 1991, v. 66, p. 2960-2963.

37. Uehling E.A. Polarization effects in the positron theory. Phys. Rev., 1935, v. 48, p. 55-63.

38. Whichmann E.H., Kroll N.M. Vacuum polarization in a strong Coulomb field. Phys. Rev., 1956, v. 101, p. 843-859.

39. Soff G., Mohr P.J. Vacuum polarization in a strong external field. -Phys. Rev. A, 1988, v. 38, p. 5066-5075.

40. Манаков H.JI., Некипелов А.А., Файнштейн А.Г. Поляризация вакуума сильным кулоновским полем и ее вклад в спектры многозарядных ионов. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1989, т. 95, с. 1167-1177.

41. Persson Н., Lindgren I., Salomonson S., Sunnergren P. Accurate vacuum-polarization calculations. Phys. Rev. A, 1993, v. 48, p. 27722778.

42. Sapirstein J., Cheng K.T. Vacuum polarization calculations for hydrogenlike and alkali-metal-hke ions. Phys. Rev. A, 2003, v. 68, p. 042111-1-042111-10.

43. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. т. 1 М.: Мир, 1984 - 448 с.

44. Johnson W.R., Blundell S.A., Sapirstein J. Many-body perturbation-theory calculations of energy levels along the lithium isoelectronic sequence. Phys. Rev. A, 1988, v. 37, p. 2764-2777.

45. Blundell S.A. Accurate screened QED calculations in high-Z manyelectron ions. Phys. Rev. A, 1992, v. 46, p. 3762-3775.

46. Johnson W.R., Blundell S.A., Sapirstein J. Finite basis sets for the Dime equation constructed from В splines. Phys. Rev. A, 1988, v. 37, p. 307-315.

47. Salomonson S., Oster P. Relativistic all-order pair functions from a discretized single-particle Dirac Hamiltonian. Phys. Rev. A, 1989, v. 40, p. 5548-5558.

48. Salomonson S., Oster P. Solution of the pair equation using a finite discrete spectrum. Phys. Rev. A, 1989, v. 40, p. 5559-5567.

49. Shabaev V.M., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A., Plunien G, Soff G.

50. Dual kinetic ballance approach to basis set expansions for the Dirac equation. e-print archive (http://xxx.lanl.gov), physics/0308083, 2003.

51. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. - 608 с.

52. Weniger E.J. Computation of the Whittaker function of the second kind by summing its divergent asymptotic series with the help of nonlinear sequence transformations. Computers in Physics, 1996, v. 10, p. 496-503.

53. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. One-loop self-energy correction to the 15 and 2s hyperfine splitting in H-like systems. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 012506-1-012506-6.

54. Blundell S.A. Calculations of the screened self-energy and vacuum polarization in Li-like, Na-like, and Си-like ions. Phys. Rev. A, 1993, v. 47, p. 1790-1803.

55. Lindgren I., Persson EL, Salomonson S., Ynnerman A. Bound-state self-energy calculation using partial-wave renormalization. Phys. Rev. A, 1993, v. 47, p. R4555-R4558.

56. Indelicato P., Mohr P.J. Quantum electrodynamic effects in atomic structure. Theor. Chem. Acta, 1991, v. 80, p. 207-214.

57. Шабаев В,М. Квантовоэлектродинамическая теория возмущений в форме Релея-Шредингера для вычисления уровней энергии атомных систем. В кн.: Многочастичные эффекты в атомах, под ред. Сафроновой У.И., М.: АН СССР, 1988, с. 15-23.

58. Шабаев В.М. Теория возмущений Релея-Шредингера для релятивистского атома. Теорет. и матем. физика, 1990, т. 82, с. 83-89.

59. Шабаев В.М. Квантовоэлектродинамическая теория многозарядных ионов. Изв. Вуз. Физ., 1990, т. 33, с. 43-54.

60. Shabaev V.M. Two-time Green's function method in quantum electrodynamics of high-Z few-electron atoms. Phys. Rep., 2002, v. 356, p. 119-228.

61. Hellwig H., Vessot R.F.C., Levine M.W., Zitzewitz P.W., Allan D.W., Glaze D.J. Measurement of the unperturbed hydrogen hyperfine transition frequency IEEE Trans. Instrum. Meas., 1970, v. IM-19, p. 200-209.

62. Essen L., Donaldson R.W., Bangham M.J., Hope E.G. Frequency of the hydrogen maser. Nature, 1971, v. 229, p. 110-110.

63. Eides M.I., Grotch H., Shelyuto V.A. Theory of light hydrogenlike atoms. Phys. Rep., 2001, v. 342, p. 63-261.

64. Schneider S.M. Die Hyperfeinstruktwraufspaltung von Einelektrone-natomen. Doktorarbeit, Johann Wolfgang Gothe-Universitat, Frankfurt am Main, 1995.

65. Persson H., Schneider S.M., Greiner W., Soft* G., Lindgren I. Self-energy correction to the hyperfine structure of hydrogenlike atoms. -Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1433-1436.

66. Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Self energy contribution to the ground state hyperfine splitting of Bi82+. Письма в ЖЭТФ, 1996, в. 63, с. 309-311.

67. Blundell S.A., Cheng К.Т., Sapirstein J. Radiative corrections in atomic physics in the presence of perturbing potentials. Phys. Rev. A, 1997, v. 55, p. 1857-1865.

68. Blundell S.A., Cheng K.T., Sapirstein J. All-order binding corrections to muoniurn hyperfine splitting. Phys. Rev. Lett., 1997, v. 78, p. 4914-4917.

69. Yerokhin V.A., Shabaev V.M., Artemyev A.N. Self-energy correction to the hyperfine splitting of the Is and 2s states in hydrogenlike ions. Письма в ЖЭТФ, 1997, в. 66, с. 19-22.

70. Sunnergren P., Persson H., Salomonson S., Schneider S.M., Lindgren I., Soff G. Radiative corrections to the hyperfine-structure splitting of hydrogenlike systems. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 1055-1069.

71. Shabaev V.M., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Kiihl Т., Tomaseli M., Zherebtsov O.M. Transition energy and lifetime for the ground-state hyperfine splitting of high-Z lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1998, v. 57, p. 149-156.

72. Sapirstein J., Cheng K.T. Hyperfine splitting in lithiumlike bismuth.- Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 032506-1-032506-6.

73. Breit G. Possible effects of nuclear spin on X-ray terms. Phys. Rev., 1930, v. 35, p. 1447-1451.

74. Shabaev V.M. Generalizations of the virial relations for the Dirac equation in a central field and their applications to the Coulomb field.- J. Phys. B, 1991, v. 24, p. 4479-4488.

75. Shabaeva M.B. Shabaev V.M. Interelectronic interaction contribution to the hyperfine structure of highly charged lithiumlike ions. -Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 2811-2819.

76. Karshenboim S.G. 2s hyperfine structure in hydrogen atom and helium-3 ion. In: Hydrogen atom: Precision Physics of Simple Atomic System, ed. by S. G. Karshenboim et al, Berlin: Springer, 2001, p. 335-343.

77. Karshenboim S.G, Ivanov V.G. Hyperfine structure of the ground and first excited states in light hydrogen-like atoms and high-precision tests of QED. Eur. Phys. J. D, 2002, v. 19, p. 13-23.

78. Schluessler H.A, Fortson E.N, Dehmelt H. G. Hyperfine structure of the ground state of^He+ by the ion-storage exchange-collision technique Phys. Rev, 1969, v. 187, p. 5-38; (E) Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 1612-1612.

79. Prior M.H, Wang E.C. Hyperfine structure of the 2s state of3He+. Phys. Rev. A, 1977, v. 16, p. 6-18.

80. Shabaev V.M, Tomaseli M, Kiihl T, Artemyev A.N, Yerokhin V.A. Ground-state hyperfine splitting of high-Z hydrogenlike ions. -Phys. Rev. A, 1997, v. 56, p. 252-255.

81. Shabaev V.M, Artemyev A.N, Zherebtsov O.M, Yerokhin V.A, Plunien G, Soff G. Calculation of the hyperfine structure of heavy H-ancl Li-like ions. Hyperfine Interactions, 2000. v. 127. p. 279-286.

82. Sen'kov R.A, Dmitriev V.F. Nuclear magnetization distribution and hyperfine splitting in Bi82+ ion. Nucl. Phys. A, 2002, v. 706, p. 351364.

83. Tomaselli M, Kiihl T, Seelig P, Holbrow C, Kankeleit E, Hyperfine splittings of hydrogenlike ions and the dynamic-correlation model for one-hole nuclei. Phys. Rev. C, 1998, v. 58, p. 1524-1534.

84. Karshenboim S.G. The g factor of a bound electron in a hydrogenlike atom. In: Hydrogen atom: Precision Physics of Simple Atomic

85. System, ed. by S. G. Karshenboim et al., Berlin: Springer, 2001, p.651.663.

86. Mohr P.J., Taylor B.N. COD ATA recommended values of the fundamental constants: 1998. Rev. Mod. Phys., 2000, v. 72, p. 351-495.

87. Beier Т., Lindgren I., Persson H., Salomonson S., Sunnergren P., Haffner H., Hermanspahn N. gj factor of an electron bound in a hydrogenlike ion. Phys. Rev. A, 2000, v. 62, p. 032510-1-032510-31.

88. Beier T. The gj factor of a bound electron and the hyperfine structure splitting in hydrogenlike ions. Phys. Rep., 2000, v. 339. p. 79-213.

89. Czarnecki A., Melnikov K., Yelkhovsky A. Anomalous magnetic moment of a bound electron. Phys. Rev. A, 2000, v. 63, p. 012509-1012509-4.

90. Каршенбойм С.Г., Иванов В.Г., Шабаев В.М. Вакуумная поляризация в водородоподобном релятивистском атоме: g фактор связанного электрона. Журн. эксперим. и теорет. физ., 2001, т. 120, с. 546-554.

91. Shabaev V.M. QED theory of the nuclear recoil effect on the atomic g factor. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 052104-1-052104-14.

92. Мартыненко А.П., Фаустов P.H. g-факторы связанных частиц в квантовой электродинамике. Журн. эксперим. и теорет. физ., 2001, т. 120, с. 539-545.

93. Glazov D.A., Shabaev V.M. Finite nuclear size correction to the bound-electron g factor in a hydrogenlike atom. Phys. Lett. A, 2002, v. 297, p. 408-411.

94. Beier Т., Haffner H., Hermanspahn N., Karshenboim S.G., Kluge H.-J., Quint W., Stahl S., Verdu J., Werth G. New determination of the electron's mass. Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, p. 011603-1011603-4.

95. Nefioclov A.V., Plunien G., Soff G. Nuclear-polarization correction to the bound-electron g factor in heavy hydrogenlike ions. Phys. Rev. Lett., 2002, v. 89, p. 081802-1-081802-4.

96. Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Recoil correction to the bound-electron g factor in H-like atoms to all orders in aZ. Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, p. 091801-1-091801-4.

97. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Self-energy correction to the bound-electron g factor in H-like ions. Phys. R,ev. Lett., 2002, v. 89, p. 143001-1-143001-4.

98. Shabaev V.M., Glazov D.A., Shabaeva M.B., Yerokhin V.A., Plunien G., Soff G. g factor of high-Z lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 2002, v. 65, p. 062104-1-062104-5.

99. Yan Z.-C. Calculations of magnetic moments for lithium-like ions. J. Phys. B, 2002, v. 35, p. 1885-1892.

100. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. One-loop self-energy correction to the bound-electron g factor. Can. J. Phys., 2002, v. 80, p. 1249-1254.

101. Karshenboim S.G., Milstein A.I. Delbriick scattering and the g-factor of a bound electron. Phys. Lett. B, 2002, v. 549, p. 321-324.

102. Shabaev V.M., Glazov D.A., Shabaeva M.B., Tupitsyn I.I., Yerokhin V.A., Beier Т., Plunien G., Soff G. Theory of the g factor of lithium-like ions. Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. B, 2003, v. 205, p. 20-24.

103. Persson H., Salomonson S., Sunnergren P., Lindgren I. Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions. Phys. Rev. A, 1997, v. 56, p. 1-4.

104. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.M. Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions. e-print http://xxx.lanl.gov, 2003, physics/0312151.

105. Grotch Ii. Electron g factor in hydrogenlike atoms. Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 39-42.

106. Karshenboim S.G. Non-relativistic calculations of the g-factor of a bound electron Phys. Lett. A, 2000, v. 266, p. 380-386.

107. Hughes V.W., KinoshitaT. Anomalous g values of the electron and muon. Rev. Mod. Phys., 1999, v. 71, p. S133-S139.

108. Faustov R.N. Magnetic moment of the relativistic composite system. Nuovo Cimento A, 1970, v. 69, p. 37-46.

109. Faustov R.N. Magnetic moment of the hydrogen atom. Phys. Lett. B, 1970, v. 33, p. 422-424.

110. Yelkhovsky A. Recoil correction to the magnetic moment of a bound electron. e-print http://xxx.lanl.gov, 2001, hep-ph/0108091.

111. Beiersdorfer P. , Osterheld A., Scofield J., Crespo Lopez-Urrutia J., Widmann K. Measurement of QED and hyperfine splitting in the 2s!/2-2p3/2 X-ray transition in Li-like mBftQ+. Phys. R,ev. Lett., 1998, v. 80, p. 3022-3025.

112. Marrs R.E., Elliott S.R., Stohlker Th. Measurement of two-electron contributions to the ground-state energy of heliumlike ions. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 3577-3585.

113. Stohlker Th., Elliott S.R., Marrs R.E. Direct measurement of two-electron contributions to the ground state energy of heliumlike high-Z ions. Hyperfine Interactions, 1996, v. 99, p. 217-224.

114. Lindroth E., Danared H., Glans P., Pesic Z., Tokman M., Vikor G., Schuch R. QED effects in Си-like Pb recombination resonances near threshold. Phys. Rev. Lett., 2001, v. 86, p. 5027-5030.

115. Chen M.H., Cheng K.T., Beiersdorfer P., Sapirstein J. Transition energies of the 3s-3p3/2 resonance lines in sodiumlike to phosphoruslike uranium. Phys. Rev. A, 2003, v. 68, p. 022507-1-022507-7.

116. Yerokhin V.A., Shabaev V.M. Accurate calculation of self-energy screening diagrams for high Z helium-like ions. Phys. Lett. A, 1995, v. 207, p. 274-280; (E) 1995, v. 210, p. 437-437.

117. Ерохин В.А., Шабаев B.M. Вклад диаграмм экранированной собственной энергии в лэмбовский сдвиг основного состояния двухэлектронного многозарядного иона. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1996, т. 100, с. 74-94.

118. Persson LI., Salomonson S., Sunnergren P., Lindgren I. Two-electron Lamb-shift calculations on helium-like ions. Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 204-207.

119. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M. Two-electron self-energy contribution to the ground-state energy of helium-like ions. -Phys. Lett. A, 1997, v. 234, p. 361-366.

120. Sunnergren P. Complete one-loop QED calculations for few-electron ions. Applications to electron-electron interaction, the Zeeman effect and hyperfine structure. Ph. D. thesis, Goteborg University and Chalmers University of Technology, Goteborg, 1998.

121. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier Т., Shabaev V.M., Soff G. Direct evaluation of the two-electron self-energy corrections to the ground state energy of lithium-like ions. J. Phys. B, 1998, v. 31, p. L691-L697.

122. Yerokhin V.A., Artemyev A.N, Beier T, Shabaev V.M, Soff G.

123. Calculation of the screened self-energy and vacuum-polarization corrections in high-Z lithium-like ions. Phys. Scr, 1999, v. T80, p.495.497.

124. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Beier Т., Plunien G., Shabaev V.M., SoffG. Two-electron self-energy corrections to the 2Pl/2-2s transition energy in Li-like ions. Phys. Rev. A, 1999, v. 60, p. 3522-3540.

125. Sapirstein J., Cheng K.T. Determination of the two-loop Lamb shift m lithimlike bismuth. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 022502-1-0225029.

126. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. - 440 с.

127. Zumbro J.D., Shera E.B., Tanaka Y., Bemis Jr. C.E., Naumann

128. R.A., Hoehn M.V., Reuter W., Steffen R.M. E2 and Ei deformations in 233,234,235,238 phys Rev Lettj 1984; y 53^ p 1888-1891.

129. Zumbro J.D., Naumann R.A., Hoehn M.V., Reuter W., Shera E.B., Bemis Jr. C.E., Tanaka Y. E2 and EA deformations in 232 Th and239,240,242 phyg Lett ^ щ p 3^337.

130. Blundell S.A., Mohr P.J., Johnson W.R., Sapirstein J. Evaluation of two-photon exchange graphs for highly charged heliumlike ions. -Phys. Rev. A, 1993, v. 48, p. 2615-2626.

131. Lindgren I., Persson LI., Salomonson S., Labzowsky L.N. Full QED calculation of two-photon exchange for heliumlike systems: Analysis in the Coulomb and Feynman gauges. Phys. Rev. A, 1995, v. 51, p. 1167-1195.

132. Sanders F.C., Scherr C.W. Perturbation study of some excited states of two-electron atoms. Phys. Rev., 1969, v. 181, p. 84-97.

133. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л., Пальчиков В.Г. Применение релятивистской кулоновской функции Грина к расчету корреляционных эффектов в многозарядных ионах. Энергия основного coстояния He-подобного иона. Оптика и спектроскопия, 1982, т. 52, с. 414-420.

134. Drake G.W. Theoretical energies for the n — 1 and n — 2 states of the helium isoelectronic sequence up to Z = 100. Can. J. Phys, 1988, v. 66, p. 586-611.

135. Artemyev A.N, Shabaev V.M, Yerokhin V.A. Vacuum polarization screening corrections to the ground-state energy of two-electron ions. Phys. Rev. A, 1997, v. 56, p. 3529-3534.

136. Артемьев A.H, Шабаев B.M, Ерохин В.А. Вклад диаграмм экранированной поляризации вакуума в энергию основного состояния двухэлектрочного многозарядного иона. Оптика и спектроскопия, 1998, т. 84, с. 5-8.

137. Yerokhin V.A, Artemyev A.N, Shabaev V.M, Sysak M.M, Zherebtsov O.M, Soff G. Evaluation of the two-photon exchange graphs for the 2pi/2-2s transition in Li-like ions. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 032109-1-032109-15.

138. Andreev O.Yu, Labzowsky L.N, Plunien G, Soff G. QED calculation of the interelectron interaction in two- and three-electron ions. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 042513-1-042513-19.

139. Beier T, Mohr P.J, Persson LI, Soff G. Influence of nuclear size on QED corrections in hydrogenlike heavy ions. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 954-963.

140. Beier T, Plunien G, Greiner M, Soff G. Two-loop ladder diagram for the vacuum polarization contribution in hydrogen-like ions. J. Phys. B, 1997, v. 30, p. 2761-2772.

141. Yerokhin V.A, Artemyev A.N, Shabaev V.M, Sysak M.M, Zherebtsov O.M, Soff G. Two-photon exchange corrections to the 2pi/2-2s transition energy in Li-like high-Z ions. Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, p. 4699-4702.

142. Artemyev A.N, Beier T, Plunien G, Shabaev V.M, Soff G, Yerokhin V.A. Vacuum-polarization screening corrections to the energy levels of lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1999, v. 60, p. 45-49.

143. Zherebtsov O.M., Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Third-order interelectronic-interaction correction to the 2pij2-2s transition energy in lithiumlike ions. Phys. Lett. A, 2000, v. 277, p. 227-232.

144. Kim Y.-K., Baik D.H., Indelicato P., Desclaux J.P. Resonance transition energies of Li-, Na-, and Си-like ions. Phys. Rev. A, 1991, v. 44, p. 148-166.

145. Artemyev A.N., Shabaev V.M., Yerokhin V.A. Relativistic nuclear recoil corrections to the energy levels of hydrogenlike and high-Z lithiumlike atoms in all orders in aZ. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 1884-1894.

146. Plunien G., Soff G. Nuclear-polarization contribution to the Lamb shift in actinide nuclei. Phys. Rev. A, 1995, v. 51, p. 1119-1131; (E) 1996, v. 53, p. 4614-4614.

147. Nefiodov A.V., Labzowsky L.N., Plunien G., Soff G. Nuclear polarization effects in spectra of multicharged ions. Phys. Lett. A, 1996, v. 222, p. 227-232.

148. Haga A., Horikawa Y., Tanaka Y. Nuclear polarization in hydrogenlike lfPb81+. Phys. Rev. A, 2002, v. 65, p. 052509-1-052509-11.

149. Chen M.H., Cheng K.T., Johnson W. R., Sapirstein J. Relativistic configuration-interaction calculations for the n = 2 states of lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 266-273.

150. Persson H., Linclgren I., Labzowsky L.N., Plunien G., Beier Т., Soff G. Second-order self-energy-vacuum-polarization contributions to the Lamb shift in highly charged few-electron ions. Phys. Rev. A, 1996, v. 54, p. 2805-2813.

151. Edlen B. Comparison of theoretical and experimental level values of the n = 2 complex in ions isoelectroruc with Li, Bi, О and F. -Phys. Scr., 1983, v. 28, p. 51-67.

152. Sugar J., Corliss C. Atomic energy levels of the iron period elements: Potassium through nickel. J. Phys. Chem. Ref. Data, 1985, v. 14, suppl. N 2.

153. Sugar J., Kaufman V., Rowan W.L. Improved wavelengths for prominent lines of Ni X to Ni XXVI. J. Opt. Soc. Am. B, 1992, v. 9, p. 344-346.

154. Knize R.J. Measurement of QED effects in Z=24 to 34 lithiumlike ions. Phys. Rev. A, 1991, v. 43, p. 1637-1639.

155. Pachucki K. Logarithmic two-loop corrections to the Lamb shift in hydrogen. Phys. Rev. A, 2001, v. 63, p. 042503-1-042503-8.

156. Appelquist Т., Brodsky S.J. Order a2 electrodynamic corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. Lett, 1970, v. 24, p. 562-565.

157. Appelquist T, Brodsky S.J. Fourth-order electrodynamic corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 2293-2303.

158. Barbieri R, Mignaco J.A, Remiddi E. Fourth-order radiative corrections to electron-photon vertex and the Lamb-shift value. Nuovo Cimento A, 1971, v. 6A, p. 21-28.

159. Sonimerfield C.M. Magnetic d/ipole moment of the electron. Phys. Rev, 1957, v. 107, p. 328-329.

160. Sommerfield C.M. The magnetic moment of the electron. Ann. Phys. (NY), 1958, v. 5, p. 26-57.

161. Petermann A. Fourth-order magnetic m,oment of the electron. -■ Helv. Phys. Acta, 1957, v. 30, p. 407-408.

162. Petermann A. Magnetic moment of the electron. Nucl. Phys, 1957, v. 3, p. 689-690.

163. Pachucki К. Complete two-loop binding correction to the Lamb shift. Phys. Rev. Lett, 1994, v. 72, p. 3154-3157.

164. Eides M, Shelyuto V. Corrections of order a2(Za)5 to the hyperfine splitting and the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1995, v. 52, p. 954-961.

165. Каршенбойм С.Г. Новые логарифмические вклады в мюонии и позитронии. Журн. эксперим. и теорет. физ, 1993, т. 103, с. 1105-1116.

166. Manohar A.V, Stewart I.W. Logarithms of a in QED bound states from renormalization group. Phys. Rev. Lett, 2000, v. 85, p. 22482251.

167. Jentschura U.D, Pachucki K. Two-loop self-energy corrections to the fine structure. J. Phys. A, 2002, v. 38, p. 1927-1942.

168. Jentschura U.D. Radiative energy shifts induced by local potentials. J. Phys. A, 2003, v. 36, p. L229-L236.

169. Mitrushenkov A, Labzowsky L, Lmclgren I, Persson H, Salomon-son S. Second order loop after loop self-energy correction for few-electron multicharged ions. Phys. Lett. A, 1995, v. 200, p. 51-55.

170. Mallampalli S, Sapirstein J. Perturbed orbital contribution to the two-loop Lamb shift in hydrogen. Phys. Rev. Lett., 1998, v. 80, p. 5297-5300.

171. Goiclenko I, Labzowsky L, Nefiodov A, Plunien G, Soff G. Second-order electron self-energy in hydrogenlike ions. Phys. Rev. Lett, 1999, v. 83, p. 2312-2315.

172. Yerokhin V.A. Leading logarithmic contribution to the second-order Lamb shift induced by the loop-after-loop diagram. Phys. Rev. Lett, 2001, v. 86, p. 1990-1993.

173. Jentschura U.D, Nandori I. Double-logarithmic two-loop self-energy corrections to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 2002, v. 66, p. 022114-1-022114-9.

174. Yerokhin V.A. Loop-after-loop contribution to the second-order self energy in hydrogen. In: Hydrogen atom: Precision Physicsof Simple Atomic System, ed. by S. G. Karshenboim et al., Berlin: Springer, 2001, p. 800-809.

175. Eides M.I, Karshenboim S.G, Shelyuto V.A. First corrections of order a2(Za)5 to hyperfine splitting and Lamb shift induced by two-loop insertions in the electron line. Phys. Lett. B, 1993, v. 312, p. 358-366.

176. Eides M.I, Karshenboim S.G, Shelyuto V.A. First corrections to hyperfine splitting and Lamb shift induced by diagrams with two external photons and second order radiative insertions in the electron line. Ядерная физика, 1994, т. 57, с. 1309-1325.

177. Mallampalli S, Sapirstein J. Fourth-order self-energy contribution to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1998, v. 57, p. 1548-1564.

178. Yerokhin V.A, Shabaev V.M. Two-loop self-energy correction in H-like ions. Phys. Rev. A, 2001, v. 64, p. 062507-1-062507-13.

179. Yerokhin V.A, Indelicato P, Shabaev V.M. Two-loop self-energy correction in high-Z hydrogenlike ions. Phys. Rev. Lett, 2003, v. 91, p. 073001-1-073001-4.

180. Yerokhin V.A, Indelicato P, Shabaev V.M. Evaluation of the two-loop self-energy correction to the ground state energy of Н-hke ions to all orders in Za. Eur. Phys. J. D, 2003, v. 25, p. 203-238.

181. Mills R, Kroll N. Fourth-order radiative corrections to atomic energy levels. IF- Phys. Rev, 1955, v. 98, p. 1489-1500.

182. Fox J. A, Yennie D.R. Some formal aspects of the Lamb shift problem. Ann. Phys. (N.Y.), 1973, v. 81, p. 438-480.

183. Labzowsky L, Mitrushenkov A. Renormalization of the second-order electron self-energy for a tightly bound atomic electron: A detailed derivation. Phys. Rev. A, 1996, v. 53, p. 3029-3043.

184. Lindgren I., Persson H., Salomonson S., Sunnergren P. Analysis of the electron self-energy for tightly bound electrons. Phys. Rev. A, 1998, v. 58, p. 1001-1015.

185. Brezinski C. Algorithmes d'acceleration de la convergence. Paris: Editions Technip, 1978.

186. Запрягаев С.А., Манаков H.JI., Пальчиков В.Г. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами. М.: Энергоатом-издат, 1985. - 143 с.

187. Swainson R.A., Drake G.W. A unified treatment of the non-relativistic and relativistic hydrogen atom II: the Green functions. -J. Phys. A, 1991, v. 24, p. 95-120.

188. Manakov N.L., Rapoport L.P., Zaprjagaev S.A. Sturmian expansions of the relativistic Coulomb Green function. Phys. Lett., 1973, v. 43A, p. 139-140.

189. Зон Б.А., Манаков Н.Л., Рапопорт Л.П. Кулоновская функция Грина в х-представлении и релятивистская поляризуемость во-дородоподобного атома. Ядерная физика, 1972, т. 15, с. 508-517.

190. Manakov N.L. Rapoport L.P., Zaprjagacrv S.A. Relativistic electromagnetic susceptibilities of hydrogen-like atoms. J. Phys. B, 1974, v. 7, p. 1076-1082.

191. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л. Кулоновская функция Грина уравнения Дирака и расчеты по стационарной теории возмущений. Ядерная физика, 1976, т. 23, с. 917-925.

192. Манаков Н.Л., Некипелов А.А., Файнштейн А.Г. Применение штурмовского разложения кулоновской функции Грина в квантовой электродинамике: рассеяние фотона связанным электроном. Ядерная физика, 1987, т. 45, с. 1091-1098.

193. Pal'chikov V.G. Relativistic effects in spectra of one- and two-electron ions. in: Atomic physics with heavy ions., ed. by Beyer H.F. and Shevelko V.P., Berlin, Heidelberg: Springer, 1998, p. 117-138.

194. Горшков В.Г. К релятивистской теории возмущений для ку-лоновского поля. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1961, т. 40, N 1, с. 1481-1490.

195. Горшков В.Г. О кулоновской функции Грина. Журн. эксперим. и теорет. физ., 1964, т. 47, N 2, с. 352-359.210. de Boor С. A Practical Guide to Splines. NY: Springer, 1978.

196. Adkins G.S., Zhang Y. Infrared behavior of Yennie gauge QED at two-loop order. Can. J. Phys., 1998, v. 76, p. 333-349.

197. Манаков H.JI. Некипелов А.А. Вклад двухпетлевой диаграммы поляризации вакуума в спектры многозарядных ионов. Тез. докл. XXI конгресса по спектроскопии, Звенигород, 1995, с. 183183.

198. Beier Т., Soff G. Kdllen-Sabry contribution to the Lamb shift in hydrogen-like atoms. Z. Phys. D, 1988, v. 8, p. 129-134.

199. Schneider S.M., Greiner W., Soff G. Kallen-Sabry energy shift for hydrogen-like atoms with finite size nuclei. J. Phys. B, 1993, v. 26, p. L529-L534.

200. Plunien G., Beier Т., Soff G., Persson H. Exact two-loop vacuum polarization correction to the Lamb shift in hydrogenlike ions. Eur. Phys. J. D, 1998, v. 1, p. 177-185.

201. Pachucki K. Contributions to the binding, two-loop correction to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1993, v. 48, p. 2609-2614.

202. Mallampalli S., Sapirstein J. Fourth-order vacuum-polarization contribution to the Lamb shift. Phys. Rev. A, 1996, v. 54, p. 27142717.

203. Shabaev V.M., Artemyev A.N., Beier Т., Plunien G., Yerokhin V.A., Soff G. Recoil correction to the ground-state energy of hydrogenlike atoms. Phys. Rev. A, 1998, v. 57, p. 4235-4239.

204. Briand J.P., Indelicato P., Simionovici A., San Vicente V., Liesen D., Dietrich D. Spectroscopic study of hydrogenlike and heliumlike xenon ions. Europhys. Lett., 1989, v. 9, p. 225-230.

205. Yerokhin V.A., Indelicato P., Shabaev V.AL Two-loop self-energy contribution to the Lamb shift in H-like ions. Phys. Rev. A, 2005, v. 71, p. 040101(R)-1 - 040101(R)-4.

206. Yerokhin V.A., Artemyev A.N., Shabaev V.M., Plunien G., Soff G., Screened self-energy correction to the 2p3/2-2s transition energy in Li-like ions. Оптика и спектроскопия, 2005, т. 99, вып. 1, стр. 17-22.

207. Ерохин В.А., Инделикато П., Шабаев В.М., Двухпетлевая соб-ствепно-энергетическая поправка в сильном кулоновском поле ядра. Жури, эксперим. и теорет. физ., 2005, т. 128, вып. 2, стр. 322-336.