Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Романов, Максим Николаевич

• Романов, Максим Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романов, Максим Николаевич

Введение

Глава 1. Нейтральные кривые

§ 1.1. Краевая задача

§ 1.2. Основное стационарное течение

§ 1.3. Постановка задачи

§ 1.4. Нелинейная система для возмущений

§ 1.5. Симметрии

§ 1.6. Расчет нейтральных кривых.

Глава 2. Амплитудная система

§ 2.1. Амплитудные уравнения

§ 2.2. Моторная подсистема

§ 2.3. Стационарные течения

§ 2.4. Периодические течения

§ 2.5. Двухчастотные квазипериодические течения

§ 2.6. Расчет коэффициентов амплитудной системы

Глава 3. Переходы в моторной подсистеме

§ 3.1. Равновесия и их бифуркации

3.1.1. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему

3.1.2. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внешнего цилиндра к внутреннему

§ 3.2. Циклы и их бифуркации

3.2.1. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внутреннего цилиндра к внешнему

3.2.2. Случай, когда радиальный поток жидкости направлен от внешнего цилиндра к внутреннему

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движения жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами»

В диссертации исследуются течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися проницаемыми концентрическими цилиндрами при наличии радиального потока жидкости, направленного от одного цилиндра к другому. Рассматривается случай, когда внешние массовые силы отсутствуют и количество жидкости, поступающей в полость между цилиндрами через поверхность одного цилиндра, равно количеству жидкости, которая отводится через поверхность другого цилиндра.

Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче является двумерным: он представляет собой стационарное вращательно-сим-метричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости. Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, которое существует при любых значениях параметров задачи.

В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не всегда: при изменении параметров задачи (например, при увеличении скоро-. сти вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери устойчивости основного стационарного течения. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным стационарным течением, а в результате колебательной трехмерной неустойчивости — автоколебательным режимом с бегущими в азимутальном направлении волнами.

Целью данной работы является исследование режимов, которые возникают вблизи точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих этим двум типам потери устойчивости основного режима.

Актуальность работы. Помимо общетеоретического интереса, изучение течений вязкой жидкости между вращающимися проницаемыми цилиндрами привлекает внимание исследователей прежде всего в связи с возможностью использования его результатов в технических устройствах, содержащих динамические фильтры. Такие фильтры обычно состоят из вращающегося пористого внутреннего цилиндра и неподвижного или тоже вращающегося пористого внешнего цилиндра. Фильтрат обычно подается через проницаемую стенку внутреннего цилиндра и отводится через внешний цилиндр. Такие устройства используются, например, для отделения примесей в отработанном машинном масле, для расщепления крови и выделения из нее плазмы, для противодействия обрастанию мембран в системах очистки питьевой воды посредством обратного осмоса, в биотехнологиях и т. п.

Необходимо отметить также, что рассматриваемая задача представляет собой особенно удобный объект для численных исследований благодаря тому, что переходы к достаточно сложным режимам движения жидкости возникают здесь при довольно малых числах Рейнольдса.

Обзор состояния проблемы. Классической задаче Куэтта-Тейлора об устойчивости течений между вращающимися непроницаемыми цилиндрами, исследование которой было начато еще в девятнадцатом веке в экспериментах А. Мэллока [141] и М. Куэтта [112], посвящено множество экспериментальных и теоретических работ, ссылки на которые имеются в книгах [27, 29, 56, 63, 64, 106, 110, 132]. С ней связан и первый крупный успех теории гидродинамической устойчивости — отыскание Дж. Тейлором (1923 г.) значений параметров, при которых основной режим теряет устойчивость и возникает вторичное стационарное вращательно-симметричное (не зависящее от азимутальной переменной) течение, названное впоследствии вихрями Тейлора [155].

Помимо стационарных вихрей Тейлора экспериментаторы обнаружили в классической проблеме Куэтта-Тейлора и существенно более сложные течения жидкости: автоколебания с азимутальными и спиральными волнами [27], квазипериодические движения с несколькими независимыми частотами и турбулентные стохастические режимы [29].

Для этой задачи имеется также ряд строгих математических результатов по исследованию устойчивости основного режима относительно вра-щательно-симметричных возмущений, например, доказательство устойчивости течения Куэтта при любых значениях числа Рейнольдса в случае, когда выполняется критерий Рэлея (его называют еще критерием Синга или Сайнджа) [96, 154], получение ряда результатов по глобальной устойчивости [27] и исследование предельных случаев бесконечно малого [74] и бесконечно большого [69] зазора между цилиндрами. Построены разложения вихрей Тейлора [73] и автоколебаний с азимутальными волнами [83] в ряды Ляпунова-Шмидта.

Немало результатов по численному расчету нейтральных кривых, разделяющих области устойчивости и неустойчивости классического течения Куэтта, а также по расчету режимов, сменяющих его при увеличении числа Рейнольдса, получено при помощи вычислений [27, 29].

Рассматриваемая в диссертации задача отличается от классической проблемы Куэтта-Тейлора тем, что цилиндры являются проницаемыми и имеется радиальный поток жидкости от одного цилиндра к другому.

Экспериментальные исследования течений жидкости между двумя проницаемыми вращающимися цилиндрами [104, 135, 137-139, 143, 146, 147, 150, 157], показывают что с ростом числа Рейнольдса основное стационарное течение сменяется сначала вторичным стационарным вращательно-симметричным течением или трехмерным автоколебательным режимом с распространяющимися в азимутальном направлении волнами. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к тому, что структура движений жидкости усложняется, и при достаточно больших значениях числа Рейнольдса возникает турбулентность.

Первые теоретические исследования устойчивости основного режима

88, 124] были направлены на расчет нейтральных кривых для вращатель-но-симметричных возмущений в случае, когда внешний цилиндр покоится. Эти вычисления показали, что зависимость критического значения числа Рейнольдса, соответствующего бифуркации возникновения вторичного стационарного течения, от безразмерного параметра, характеризующего интенсивность радиального потока, не является монотонной.

Когда цилиндры вращаются в разные стороны и отношение угловых скоростей достаточно велико, увеличение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего цилиндра дестабилизирует основной режим, причем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше по модулю величина отношение угловых скоростей. Если же абсолютная величина отношения угловых скоростей имеет небольшие значения либо цилиндры вращаются в одну сторону с достаточно большой разницей скоростей, то ситуация усложняется. В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилиндров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее воздействие на основной режим. Численный анализ линейной устойчивости основного режима, выполненный другими авторами [102, 107, 125, 129-131, 140], подтвердил этот результат и дал дополнительную информацию о поведении нейтральных кривых.

Численному исследованию нелинейной задачи устойчивости движений жидкости между проницаемыми цилиндрами посвящены работы [148, 149]. В них методом коллокации рассчитаны вторичное стационарное враща-тельио-симметричное течение и приходящий ему на смену при увеличении числа Рейнольдса третичный автоколебательный режим, не обладающий вращательной симметрией. В этом режиме на фоне вторичного стационарного течения в азимутальном направлении бегут волны.

Существенное продвижение в исследовании нелинейной устойчивости классического течения Куэтта и ряда других течений жидкости между вращающимися цилиндрами было достигнуто в 80-х годах двадцатого века, когда В. И. Юдович в России [58, 59, 100, 126], а также Ж. Йосс и П. Шосса во Франции [108, 110] разработали и применили теорию бифуркаций коразмерности два гидродинамических течений с цилиндрической симметрией.

Эта теория позволяет исследовать различные режимы движения жидкости, существующие вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и азимутальных волн [58, 59, 110, 126], либо бифуркаций возникновения азимутальных волн с различными азимутальными волновыми числами [75, 108-110, 126].

Благодаря свойствам симметрии, которыми обладают уравнения, описывающие движения жидкости между вращающимися цилиндрами (см. формулы (1.7) в § 1.5), монотонной вращательно-симметричной потере устойчивости соответствуют две вещественные моды, а колебательной трехмерной неустойчивости — четыре. В итоге критическое число Рейнольд-са, соответствующее пересечению бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и азимутальных волн, оказывается шестикратно вырожденным [110].

Наличие кратного спектра у линеаризованной задачи устойчивости отнюдь не является в гидродинамике исключительным событием, поскольку многие гидродинамические системы не являются системами общего положения, благодаря тому, что у них имеются различные группы симметрий. Таковой, в частности, является и рассматриваемая в данной дайной диссертации задача.

Нелинейное взаимодействия шести мод (двух вращательно-симметрич-ных и четырех колебательных) описывается амплитудной системой трех комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами, которая является обобщением известного амплитудного уравнения Ландау [63].

Заметим, что для задачи о пересечении бифуркаций возникновения азимутальных волн с различными азимутальными волновыми числами критическое число Рейнольдса является восьмикратно вырожденным, что приводит к амплитудной системе четырех комплексных дифференциальных уравнений [75, 76, 81, 110, 144]. Впервые эта система была получена в работе [81].

Наличие у течений между цилиндрами группы симметрий позволяет расщепить амплитудную систему на две подсистемы [59, 110].

Первая из них называется моторной подсистемой амплитудной системы (см. формулы (2.6) в п. 2.2). Она имеет четвертый порядок и определяет эволюцию инвариантов группы симметрий — амплитуд Ръ Р2 трех комплексных мод (вторичного стационарного и колебательного трехмерного течений), а также резонансной линейной комбинация их фаз — фазового инварианта (3. Вторая подсистема выражает производные по времени от трех фаз комплексных мод через инварианты (см. формулы (2.7) в п. 2.2). Для отыскания фаз из нее достаточно выбрать любые два уравнения.

Данная амплитудная система может быть использована в весьма широком классе задач, обладающих симметриями, которые имеются у нелинейной задачи устойчивости для классического течения Куэтта. Так, например, в работах [54-57] она применялась для изучения движений жидкости, возникающих после потери устойчивости неизотермического течения Куэтта. Для исследования движений вязкой жидкости между проницаемыми цилиндрами она использовалась в работах [127, 128].

Главным достоинством применения теории бифуркаций коразмерности два к задачам о течениях жидкости между вращающимися цилиндрами является возможность с ее помощью обнаружить режимы, имеющие достаточно сложную структуру, и во многих случаях проследить последовательность бифуркаций решений уравнений Навье-Стокса, приводящую к их возникновению.

Проблемой исследования возникновения сложных режимов движения жидкости гидродинамики занимаются уже более ста лет. Трудности связаны здесь прежде всего с нелинейностью гидродинамических уравнений, решить которые в явном виде удается лишь в самых простых случаях, весьма далеких от многообразных явлений, которые наблюдаются в природе. В настоящее время теоретическое изучение сложных гидродинамических течений возможно фактически лишь либо путем прямого численного решения уравнений гидродинамики на достаточно мощных компьютерах (см., например, серию работ [158-161], в которых методом Бубнова-Галеркина рассчитываются сложные режимы, возникающие после потери устойчивости классического течения Куэтта), либо с помощью построения различных феноменологических теорий (см., например, [39]), либо путем применения различных асимптотических методов. Именно последний подход в сочетании с компьютерными вычислениями и используется в данной диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Объем диссертации — 123 страницы, включая 59 рисунков, 16 таблиц и список литературы из 161 наименования.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Романов, Максим Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследованы различные режимы движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя бесконечными концентрическими вращающимися проницаемыми цилиндрами в случае, когда имеется приток жидкости через поверхность одного цилиндра и отток через поверхность другого. Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче представляет собой стационарное вращательно-симметричное течение с нулевой аксиальной компонентой вектора скорости. Это течение может потерять устойчивость двумя способами. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вторичным стационарным течением, а в случае колебательной трехмерной неустойчивости — вторичным автоколебательным режимом типа бегущих азимутальных волн. Вблизи пересечения этих двух бифуркаций существует множество различных вторичных режимов, возникающих благодаря нелинейному взаимодействию монотонной вращательно-симметричной и колебательных трехмерных мод.

Исследование линеаризованной задачи устойчивости показало,что когда цилиндры вращаются в разные стороны и модуль отношения угловых скоростей достаточно велик, рост скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего цилиндра дестабилизирует основной режим, причем этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше величина отношения угловых скоростей вращения цилиндров. Если же цилиндры вращаются в одинаковых направлениях либо модуль отношения угловых скоростей вращения цилиндров имеет небольшие значения, то ситуация усложняется. В зависимости от значений других параметров задачи изменение скорости втекания жидкости через поверхность внутреннего или внешнего цилиндров может оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее воздействие на основной режим.

Нелинейный анализ устойчивости, выполненный в диссертации, базируется на теории бифуркаций коразмерности два, развитой в работах В. И. Юдовича, Ж. Йосса и П. Шосса. Она применима для широкого класса задач о круговых течениях жидкости с цилиндрическими симметриями. Применение этой теории позволяет свести исходную задачу к асимптотической модели, представляющей собой динамическую систему трех нелинейных комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые являются обобщением известного амплитудного уравнения Ландау. Неизвестными в этой системе являются комплексные амплитуды разыскиваемых вторичных течений. Коэффициенты данной системы находятся численно путем решения серии линейных краевых задач для комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка с переменными комплексными коэффициентами. Данная амплитудная система расщепляется на две вещественные системы. Одна из них имеет четвертый порядок и служит для определения модулей амплитуд и фазового инварианта — линейной комбинации трех неизвестных фаз комплексных амплитуд (одной монотонной вращательно-симметричной и двух колебательных трехмерных). Она называется моторной подсистемой амплитудной системы.

Исследование моторной подсистемы позволило найти следующие вторичные течения жидкости: вторичное стационарное течение, пара спиральных волн, чистые азимутальные волны, смешанные азимутальные волны первого и второго родов, а также двухчастотные и трехчастотные квазипериодические движения жидкости. Эти режимы при различных значениях параметров оказываются как устойчивыми, так и не устойчивыми. С помощью численного анализа их бифуркаций удалось отыскать ряд режимов имеющих существенно более сложную природу, в том числе и хаотические движения.

Основные научные результаты, представленные в диссертации:

1. В широком диапазоне изменений параметров задачи рассчитаны нейтральные кривые, соответствующие монотонной вращательно-симмст-ричной и трехмерной колебательной потере устойчивости основного режима, а также точки их пересечения.

2. Исследовано влияние направления и интенсивности радиального потока жидкости на устойчивость основного стационарного движения жидкости.

3. Путем применения теории бифуркаций коразмерности два получены формулы для коэффициентов амплитудной системы трех комплексных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами. Данная система описывает различные движения жидкости, существующие вблизи пересечения бифуркаций возникновения вторичного стационарного течения и автоколебаний с бегущими в азимутальном направлении волнами. Коэффициенты этой системы рассчитаны на компьютере путем решения серии линейных краевых задач.

4. Путем аналитического и численного анализа амплитудной системы найдены стационарные, периодические и квазипериодические колебательные течения жидкости с двумя и тремя независимыми частотами. Исследованы их устойчивость и бифуркации.

5. Обнаружено, что при определенных значениях параметров задачи образуются режимы движения жидкости, имеющие достаточно сложную ■ природу. В частности, в результате последовательного удвоения инверсионно-связанной пары несимметричных циклов возникают стохастические аттракторы амплитудной системы, которым соответствуют хаотические режимы движения жидкости.

120

100

80

Рис. 3. Нейтральные кривые при Я = 2, х — а —

Рис. 14. Нейтральные кривые при В, = 2, х — — 1? а

V ™ = 0 п т = 1

-0,4 -0,2 0 &

Рис. 15. Нейтральные кривые при /2 = 2, \ = — 1, о;

Критические значения числа Рейнольдса А при Я = 2 , х — 0.5 а = 2 а — 3 т = 0 т - = 1 771 = 0 т = = 1 а А А с А А с

-0.6 171.278 139.120 0.2723 130.364 115.354 0.3110

-0.5 138.698 124.592 0.2596 108.951 101.053 0.2878

-0.4 106.930 112.634 0.2513 88.669 90.159 0.2691

-0.3 85.953 102.249 0.2490 74.103 81.387 0.2588

-0.2 76.396 93.493 0.2583 66.783 74.942 0.2648

-0.1 73.875 89.078 0.2846 64.884 72.449 0.2901

0.0 77.292 92.178 0.3244 68.009 75.588 0.3289

0.1 90.324 109.794 0.3713 79.538 89.310 0.3751

0.2 143.917 219.427 0.4173 126.777 159.417 0.4236 а — 4 а = 5 т = 0 ш = = 1 т = 0 т = = 1

П А А с А А с

-0.6 116.079 110.812 0.3196 113.279 112.602 0.3181

-0.5 100.341 97.641 0.2996 101.025 101.516 0.3048

-0.4 85.907 87.772 0.2816 90.166 93.024 0.2923

-0.3 74.848 80.270 0.2712 81.599 86.811 0.2855

-0.2 68.736 75.136 0.2756 76.575 82.888 0.2898

-0.1 67.271 73.507 0.2982 75.688 82.192 0.3094

0.0 70.724 77.118 0.3347 79.928 86.813 0.3428

0.1 82.825 91.104 0.3796 93.800 102.887 0.3857

0.2 132.102 159.179 0.4281 149.760 180.868 0.4330

Критические значения числа Рейнольдса А при В, — 2 , х — ~ 1 а — 2 а — 3 т = 0 т = 1 т = 0 т = = 1 п Л А с Л Л с

-0.6 361.759 262.401 0.3258 259.919 238.235 0.3761

-0.5 275.082 209.729 0.2939 201.694 172.203 0.3357

-0.4 205.230 170.794 0.2691 154.373 135.337 0.2964

-0.3 140.499 141.940 0.2529 112.487 110.924 0.2659

-0.2 96.865 119.814 0.2471 83.289 93.218 0.2500

-0.1 81.892 103.017 0.2611 71.827 81.616 0.2635

0.0 79.998 97.612 0.3036 70.571 79.213 0.3070

0.1 89.783 110.296 0.3622 79.387 89.538 0.3654

0.2 139.329 219.621 0.4267 123.337 155.966 0.4302 а = 4 а — 5 т = 0 т - = 1 т = 0 т = = 1

Л А с Л Л с

-0.6 215.385 211.547 0.3459 194.361 190.375 0.3352

-0.5 171.444 161.129 0.3363 159.142 155.576 0.3253

-0.4 135.571 127.547 0.3041 130.422 128.406 0.3030

-0.3 105.246 105.690 0.2743 107.081 109.513 0.2813

-0.2 83.586 90.665 0.2592 90.302 96.832 0.2720

-0.1 73.964 81.548 0.2724 82.236 89.654 0.2857

0.0 73.290 80.381 0.3139 82.395 89.783 0.3244

0.1 82.737 91.238 0.3711 93.471 102.623 0.3795

0.2 128.770 155.603 0.4358 145.840 176.201 0.4441

Критические значения числа Рейнольдса А при Я = 2 , ^ = — 2 а = 2 а = 3 т = 0 777 = 1 т = 0 т = = 1

Л Л с А А с

-0.6 672.682 481.108 0.3831 469.068 548.056 0.4565

-0.5 490.949 354.115 0.3376 347.257 300.370 0.3942

-0.4 343.133 264.338 0.2974 248.288 205.731 0.3337

-0.3 230.834 200.023 0.2661 172.453 152.178 0.2841

-0.2 135.003 155.434 0.2486 110.956 117.905 0.2511

-0.1 94.317 123.863 0.2499 82.021 94.817 0.2474

0.0 85.589 107.445 0.2880 75.292 85.483 0.2897

0.1 92.712 115.600 0.3544 81.871 92.895 0.3569

0.2 140.951 230.927 0.4334 124.693 159.298 0.4342 а = 4 а = 5 т = 0 771 = = 1 771 = 0 т = = 1

О А Л с Л Л с

-0.6 373.954 367.912 0.3271 322.661 307.763 0.3400

-0.5 282.071 283.298 0.3571 248.820 243.033 0.3403

-0.4 207.578 189.928 0.3376 189.181 181.992 0.3257

-0.3 150.275 140.973 0.2904 143.424 140.820 0.2903

-0.2 106.137 111.279 0.2571 109.703 115.111 0.2654

-0.1 83.397 92.628 0.2555 91.276 99.742 0.2688

0.0 77.783 85.855 0.2972 86.792 94.907 0.3089

0.1 85.056 94.111 0.3633 95.615 105.140 0.3732

0.2 129.885 157.836 0.4406 146.534 177.367 0.4509

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романов, Максим Николаевич, 2011 год

1. Андрейчиков И. П. Расчет вторичного течения между вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 2. С. 150-152.

2. Андрейчиков И. П. Ветвление вторичных режимов движения жидкости между вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1977. № 1. С. 47-53.

3. Андрейчиков И. П., Овчинникова С. Н. Нелинейная устойчивость течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Тр. 5-го Всесоюзн. семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Часть 1. Новосибирск: СО АН СССР, 1975. С. 70-78.

4. Андрейчиков И. П., Петровская Н.В., Юдович В. И. Бифуркации и стохастические движения в некоторых гидродинамических системах // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1980. № 3485-80. 7 с.

5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

6. Арнольд В. И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций // Динамическик системы. Т. 5. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

7. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Динамическик системы. Т. 1. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 7-149.

8. Афендиков A. JI. Ветвление при наличии группы симметрий и бифуркация вихрей Тейлора // ИПМ АН СССР, 1983. Препр. № 61.

9. Афендиков А. JL, Бабенко К. И. О вихрях Тейлора // ИПМ АН СССР, 1982. Препр. № 3.

10. Афендиков А. JL, Бабенко К. И. О математическом моделировании турбулентности в течениях вязкой несжимаемой жидкости // Матем. моделирование. 1989. Т. 1. № 18. С. 45-74.

11. Афендиков А. JT., Бабенко К. И. Об устойчивости вихрей Тейлора // ИПМ АН СССР, 1983. Препр. № 32.

12. Бабенко К. И., Афендиков А. «71., Юрьев С. П. Об устойчивости и бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // ИПМ АН СССР, 1981. Препр. № 99.

13. Бабенко К. И., Афендиков А. «71., Юрьев С. П. О бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае двукратного собственного значения // ДАН СССР, 1982. Т. 266. № 1. С. 73-78.

14. Барковский Ю.С., Юдович В. И. Рождение вихрей Тейлора в случае разновращающихся цилиндров и спектральные свойства одного класса краевых задач // ДАН СССР, 1978. Т. 242. № 4. С. 784-787.

15. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства одного класса краевых задач // Матем. сборник, 1981. Т. 114(156). № 3. С. 438-450.

16. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Наука, 1971. 350 с.

17. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений // М.: Наука, 1969. 527 с.

18. Вайнбергер Г. Ф. Изменение устойчивости в течении Куэтта // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 228-236.

19. Василенко Ю. Г., Кузнецов Е. А., Львов В. С., Нестерихин Ю. Е., Соболев B.C., Спектор М.Д., Тимохин С. А., Уткин E.H., Шмойлов Н. Ф.

20. О зарождении вихрей Тейлора в течении Куэтта // ПМТФ, 1980. № 2. С. 58-64.

21. Вишик М. И., Люстерник JI. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН, 1957. T. XII. № 5. С. 3-122.

22. Гантмахер Ф. Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. M.-JL: Гостехиздат, 1950. 359 с.

23. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

24. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.

25. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.

26. Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение // М.: Наука, 1981. 366 с.

27. Гольдштик М.А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность // Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

28. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.

29. Ди Прима. Применение метода Галеркина к задачам устойчивости в гидродинамике // Сб. «Механика». Период, сб. перев. ин. статей. М. 1956. № 3(37). С. 53-61.

30. Ди Прима P.C., Суинни X.JI. Неустойчивости и переход в течении между концентрическими вращающимися цилиндрами // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984. С. 169-217.

31. Должанский Ф. В. Лекции по геофизической гидродинамике // М.: ИВМ РАН, 2006. 377 с.

32. Должанский Ф. В., Кляцкин В. И., Обухов А. М., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа // М.: Наука, 1974. 160 с.

33. Доннели Р. Д. Экспериментальное определение пределов устойчивости // Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964. С. 54-67.

34. Дэвис С. Р. О принципе изменения устойчивости // Сб. «Механика». Период, сб. перев. ин. статей. М. 1970. № 4. С. 56-73.

35. Есипов A.A., Юдович В. И. Принцип Рэлея и задача о возникновении конвекции в длинных цилиндрах // Всесоюзн. конф. «Совр. проблемы тепловой гравитационной конвекции». Минск: ИТМО АН БССР, 1971. С. 41-43.

36. Есипов A.A., Юдович В. И. Предельное поведение собственных значений краевых задач в неограниченно расширяющихся областях // Журнал выч. мат. и математич. физики, 1973. Т 13. № 2. С. 421-432.

37. Есипов А. А., Юдович В. И. Асимптотика собственных значений первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на длинном отрезке // Журнал выч. мат. и математич. физики, 1974. Т. 14. № 2. С. 342-349.

38. Жолондек X. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Матем. сборник, 1983. Т. 120. № 4. С. 473499.

39. Журавлев Ф. А., Львов В. С., Нестерихин Ю. Е., Предтеченский А. А., Соболев B.C., Уткин E.H., Черных А.И. Методика и результаты исследования перехода к турбулентности в простых гидродинамических течениях // Автометрия, 1982. № 3. С. 4-15.

40. Зельдович Я. Б. О трении в жидкости между вращающимися цилиндрами // ИПМ АН СССР, 1979. Препр. № 139.

41. Иванилов Ю. П. Вторичные режимы в течении Куэтта // Изв. АН СССР. МЖГ, 1968. № 1. С. 118-121.

42. Иванилов Ю. П., Яковлев Г. Н. О бифуркации течений жидкости между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 768773.

43. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 300 с.

44. Ко лесов В. В. Устойчивость неизотермического течения Куэтта / / Изв. АН СССР, МЖГ, 1980. № 1. С. 167-170.

45. Колесов В. В. Колебательная вращательно-симметричная потеря устойчивости неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984. № 1. С. 76-80.

46. Колесов В. В., Овчинникова С.Н. Устойчивость течения жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 3. С. 32-36.

47. Колесов В.В., Романов М.Н. Монотонная и колебательная неустойчивость основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2010. № 483-В2010. 27 с.

48. Колесов В. В., Романов М. Н. Пересечение бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн между вращающимися проницаемыми цилиндрами// Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009. С. 112-114.

49. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет бикритических точек в задаче об устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. 2009. № 5. С. 28-30.

50. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет нейтральных кривых, соответствующих потере устойчивости основного режима движения жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Неделя науки 2007. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР», 2007. С. 37-39.

51. Колесов В. В., Романов М. Н. Расчет стационарных, периодических и квазипериодических движений вязкой жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Изв. РАН, МЖГ. 2010. № 6. С. 53-62.

52. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Бикритические точки, отвечающие пересечению бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2001. № 769-В2001. 29 с.

53. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Бикритические точки в неизотермической проблеме Куэтта-Тейлора // Изв. Высших учебных заведений. Сев.-Кав. Регион. 2002. № 2. С. 43-45.

54. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Неизотермическая проблема Куэтта-Тейлора. Ростов н/Д Изд-во ЮФУ, 2009. 192 с.

55. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Простейшие режимы движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных воли // Изв. РАН, МЖГ. 2002. № 2. С. 97-109.

56. Колесов В. В., Юдович В. И. Переходы в малой окрестности точек пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1995. № 3020-В95.

57. Колесов В. В., Юдович В. И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН, МЖГ, 1998. № 4. С. 81-93.

58. Коулз Д. К вопросу о тейлоровской неустойчивости циркуляционного течения Куэтта // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. Е. Прикладная механика, 1967. Т. 34. № 3. С. 78-84.

59. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть II. М.: Физматгиз, 1963. 727 с.

60. Кузнецов Е.А., Львов B.C., Предтеченский A.A., Соболев B.C., Уткин Е. Н. О проблеме перехода к турбулентности в течении Куэтта // Письма в ЖЭТФ, 1979. Т. 30. № 4. С. 226-229.

61. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

62. Линь Цзя Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд. иностр. литературы, 1958. 194 с.

63. Львов B.C., Нестерихин Ю.Е. Переход к турбулентности в простых гидродинамических течениях // Вести АН СССР, 1980. № 10. С. 2535.

64. Львов B.C., Предтеченский A.A., Черных А.И. Бифуркации и хаос в системе вихрей Тейлора: натурный и численный эксперимент // ЖЭТФ, 1981. Т. 80. № 3. С. 1099-1121.

65. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

66. Монин А. С. О природе турбулентности // Успехи физ. наук, 1978. Т. 125. Вып.1. С. 97-122.

67. Овчинникова С. Н. Устойчивость течения Куэтта в случае широкого зазора между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1970. Т. 34. Вып.2. С. 302-307.

68. Овчинникова С. Н. Расчет бикритических точек в задаче Куэтта-Тейлора // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1997. № 895-В97. 11 с.

69. Овчинникова С. Н. Алгоритм расчета точек пересечения бифуркаций и коэффициентов амплитудных уравнений для задачи Куэтта-Тейлора // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1998. № 464-В98. 19 с.

70. Овчинникова С. Н. Нейтральные кривые и пересечения бифуркаций в задаче Куэтта-Тейлора // Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики. SCDS-III. Лоо, 2002. С. 113-118.

71. Овчинникова С.Н., Юдович В. И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1968. Т. 32. Вып.5. С. 858-868.

72. Овчинникова С. Н., Юдович В. И. Устойчивость и бифуркация течения Куэтта в случае узкого зазора между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1974. Т. 38. Вып.6. С. 1025-1030.

73. Овчинникова С. Н., Юдович В. И. Пересечение бифуркаций в проблеме Куэтта-Тейлора. I. Нерезонансный случай // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2005. № 458-В2005. 33 с.

74. Рабинович М. И. Стохастические автоколебания в радиофизике и гидродинамике. Эксперименты и модели. // Нелинейные волны. Стоха-стичность и турбулентность. Горький, 1980. С. 5-23.

75. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

76. Странные аттракторы. Сб. статей под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шиль-никова. М.: Мир, 1981. 253 с.

77. Стюарт Дж. Т. О нелинейной механике в теории гидродинамической устойчивости // Механика, 1959. № 3(55). С. 19-38.

78. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977.

79. Уринцев А. Л. Расчет автоколебаний типа азимутальных волн, возникающих при потере устойчивости течения вязкой жидкости между концентрическими цилиндрами, вращающимися в разные стороны // ПМТФ, 1976. № 2. С. 68-75.

80. Шапакидзе Л. Д. Влияние вращения на устойчивость течения между двумя проницаемыми цилиндрами // Краевые задачи математической физики. 1. Тр. Тбил. матем. института, 1991. Т. 96. С. 123-138.

81. Шапакидзе Л. Д. Влияние проницаемости стенок на устойчивость течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // Сообщ. АН Груз. ССР, 1982. Т. 108. № 3. С. 501-504.

82. Шапакидзе Л. Д. О бифуркации течений жидкости между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Сообщ. АН Груз. ССР, 1980. Т. 99. № 2. С. 325-328.

83. Шапакидзе Л. Д. Об устойчивости течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 3. С. 146148.

84. Шапакидзе Л. Д. Устойчивость вязкого течения между двумя вращающимися проницаемыми цилиндрами // Сообщ. АН Груз. ССР, 1968. Т. 49. № 1. С. 19-24.

85. Шкадов В. Я. Стационарные течения вязкой жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами после потери устойчивости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969. № 3. С. 81-86.

86. Шкадов В. Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Научн. тр. НИИ механики МГУ, 1973. № 25. С. 1-192.

87. Шкадов В. Я. Численное исследование устойчивости гидродинамических течений и нелинейного взаимодействия возмущений // Числ. мет. механики сплошной среды. Новосибирск, 1981. Т. 12. № 4. С. 148-155.

88. Шкадов В. Я., Запрянов 3. Д. Течения вязкой жидкости. Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1984. 200 с.

89. Юдович В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР, 1965. Т. 161. № 5. С. 1037-1040.

90. Юдович В. И. Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости // ПММ, 1965. Т. 29. Вып.З. С. 453-467.

91. Юдович В. И. О бифуркации вращательных течений жидкости // ДАН СССР, 1966. Т. 169. № 2. С. 306-309.

92. Юдович В. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 688-698.

93. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ, 1971. Т. 35. Вып. 4. С. 638-655.

94. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // ПММ, 1972. Т. 36. Вып. 3. С. 450-459.

95. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1984. 191 с.

96. Юдович В. И. Переходы и возникновение хаоса в течениях жидкости // Аннот. докладов 6-го Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. механике. Ташкент: Фан, 1986. С. 661.

97. Якобсон М.В. Эргодическая теория одномерных отображений // Динамические системы. Т. 2. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 204232.

98. Ali М.А., Soundalgekar V.M. Effects of radial temperature gradient on the stability of a viscous flow between two rotating porous cylinders with a narrow gap // ZAMM, J. of Appl. Math, and Mech. 2001. V. 81. № 7. P. 457-464.

99. Andereck C. D., Dickman R., Swinney H. L. New flows in a circular Couette system with co-rotating cylinders // Phys. Fluids, 1983. V. 26. № 6. P. 1395-1401.

100. Beaudoin G., Jaffrin M.Y. Plasma filtration in Couette flow membrane devices // Artif. Organs, 1989. V. 13. № 1. P. 43-51.

101. Burkhalter J.E., Koschmieder E. L. Steady supercritical Taylor vortices after sudden starts // Phys. Fluids, 1974. V. 17. № 11. P. 1929-1935.

102. Chandrasekhak S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford. Clarendon Press, 1961. 852 p.

103. Chang M.-H. Hydrodynamic stability of Taylor-Dean flow between rotating porous cylinders with radial flow // Phys. of fluids, 2003. V. 15. № 5. P. 1178-1188

104. Chossat P., Demay Y., Iooss G. Interaction de modes azimutaux dans le Probleme de Couette-Taylor // Arch. Rational Mech. Anal. 1987. V. 99. № 3. P. 213-248.

105. Chossat P., Iooss G. Primary and secondary bifurcations in the Couette-Taylor problem // Jap. J. App. Math. 1985. V. 2. № 1. P. 37-68.

106. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. New York: SpringerVerlag, 1994. 233 p.

107. Coles D. Transition in circular Couette flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 21. № 3. P. 385-425.

108. Couette M. Études sur le frottement des liquides // Ann. Chim. Phys. 1890. V. 6. Ser. 21. P. 433-510.

109. Davey A. The growth of Taylor vortices in flow between rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1962. V. 14. № 3. P. 336-368.

110. Davey A., Di Prima R. C., Stuart J. T. On the instability of Taylor vortices // J. Fluid Mech. 1968. V. 31. № 1. P. 17-52.

111. Di Prima R. C. Stability of nonrotating symmetric disturbances for viscous flow between rotating cylinders // Phys. Fluids, 1961. V. 4. P. 751-755.

112. Feigenbaum M. I. Universal behaviour in nonlinear systems // Los Alamos Sei. 1980. V. 1. P. 4-27.

113. Fenstermacher P. R., Swinney H. L., Benson S. V., Gollub J. P. Bifurcations to periodic, quasiperiodic, and chaotic regimes in rotating and convecting fluids // Ann. N. Y. Acad. Sei. 1979. V. 316. P. 652-666.

114. Fenstermacher P. R., Swinney H.L., Gollub J. P. Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex flow //J. Fluid Mech. 1979. V. 94. № 1. P. 103-128.

115. Frank G., Meyer-Spasche R. Computation of transitions in Taylor vortex flows // Z. Angev. Math. und. Phys. 1981. V. 32. № 6. P. 710-720.

116. Goharzadeh A., Mutabazi I. Experimental characterization of intermittency regimes in the Couette-Taylor System // The European Physical J. B. 2001. V. 19. P. 157-162.

117. Gorman M., Swinney H.L. Visual observation of the second characteristic mode in a quasiperiodic flow // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. № 25. P. 1871-1875.

118. Gorman M., Swinney H. L. Spatial and temporal characteristics of modulated waves in the circular Couette system // J. Fluid Mech. 1982. V. 117. P. 123-142.

119. Gorman M., Swinney H.L. Doubly periodic circular Couette flow: experiments compared with predictions from dynamics and symmetry // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. № 15. P. 992-995.

120. Jain N.C., Bansal J.L. On the flow of a viscous incompressible fluid between two coaxial rotating porous cylinders // Proc. Indian. Acad. Sei. Math. Sei. 1973. V. 78. № 5. P. 187-201.

121. Johnson C., Lueptow R. M. Hydrodynamic stability of flow between rotating porous cylinders with radial and axial flow // Phys. of Fluids,1997. V. 9. № 12. P. 3687-3696.

122. Kolesov V., Ovchinnikova S., Petrovskaya N., Yudovich V. Onset of chaos through intersections of bifurcations in Couette Taylor flow // ZAMM, 1996. V. 2. P. 548-551.

123. Kolesov V., Shapakidze L. On oscillatory modes in viscous incompressible liquid flows between two counter-rotating permeable cylinders // Trends App. Math. Mech. Boca Raton: Chapman and Hall, CRC. 2000. V. 106. P. 221-227.

124. Kolesov V., Shapakidze L. On transitions near the intersection point of bifurcations in the flow between two rotating permeable cylinders // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2000. V. 122. P. 79-91.

125. Kolyshkin A.A., Vaillancourt R. Convective instability boundary of Couette flow between rotating porous cylinders with axial and radial flows // Phys. Fluids, 1997. V. 9. № 4. P. 910-918.

126. Kolyshkin A.A., Vaillancourt R. Linear stability of Couette flow between rotating permeable cylinders // C. R. Math. Rep., Acad. Sei. Canada, 1996. V. 18. № 6. P. 263-268.

127. Kong C.-H., Lee C.-K. Instability of Taylor vortex and nonaxisymmetric modes in flow between rotating porous cylinders // J. of fluids engineering,1998. V. 120. № 4, P. 745-749.

128. Koschmieder E. L. Turbulent Taylor vortex flow //J. Fluid Mech. 1979. V. 93. № 3. P. 515-527.

129. Koschmieder E. L. Transition from laminar to turbulent Taylor vortex flow // Laminar-Turbulent Transition Symp. Stuttgart, 1979. Berlin e. a. 1980. P. 396-404.

130. Koschmieder E. L. Benard cells and Taylor vortices. Cambridge University Press, 1993. 337 p.

131. Kroner K. H., Nissinen V. Dynamic filtration of microbial suspensions using an axially rotating filter // J. Membrane Sei. 1988. V. 36. P. 85100.

132. Krueger E. R., Gross A., Di Prima R. C. On the relative importance of Taylor-vortex and non-axisymmetric modes in flow between rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1966. V. 24. № 3. P. 521-538.

133. Lee S., Lueptow R. M. Rotating membrane filtration and rotating reverse osmosis //J. Chem. Eng. Japan, 2004. V. 37. № 4. P. 471-482.

134. Lueptow R. M., Hajiloo A. Flow in a rotating membrane plasma separator // Trans. Am. Soc. Artif. Intern. Organs, 1995. V. 41. P. 182-188.

135. Lueptow R. M., Min K. Circular Couette flow with pressufe-driven axial flow and a porous inner cylinder // Experiments in Fluids, 1994. V. 17. P. 190-197.

136. Lueptow R. M., Min K. Hydrodynamic stability of viscous flow between rotating porous cylinders with radial flow // Phys. of Fluids, 1994. V. 6. P. 144-151.

137. Mallock A. Determination of the viscosity of water // Proc. Roy. Soc. 1888. A 45. P. 126-132.

138. Meyer-Spasche R., Keller H. B. Computation of the axisymmetric flow between rotating cylinders //J. Comput. Phys. 1980. V. 35. № 1. P. 100109.

139. Ohashi K., Tashiro K., Kushiya F., Matsumoto T., Yoshida S., Endo M., Horio T., Ozawa K., Sakai K. Rotation-induced Taylor vortex enhances filtrate flux in plasma separation // ASAIO Trans. 1988 Jul-Sep. V. 34(3). P. 300-307.

140. Ovchinnikova S. N., Yudovich V. I. Resonances in the intersections of bifurcation in the Couette-Taylor problem // Patterns and Waves, A. Abramian, S. Vakulenko, V. Volpert (Eds.), Saint Petersburg, 2003. P. 55-77.

141. Rayleigh. On convention currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side // Sci. Papers. Cambridge Univ. Press, 1916. V. 6. P. 529-546.

142. Schwille J. A., Mitra D., Lueptow R. M. Design parameters for rotating filtration // J. Membrane Sci. 2002. V. 204. № 1. P. 53-65.

143. Schwille J. A., Mitra D., Lueptow R. M. Anti-fouling mechanism in rotating filtration // 12th International Couette-Taylor Workshop, September 6-8, 2001. Evanston, IL, USA. Session 2D.

144. Serre E., Sprague M., Bontoux P, Lueptow R. M. The effect of radial through-flow on the stability of Taylor-Couette flow // Proc. of the 15th Intern. Couette-Taylor Workshop, Le Havre, France, July 9-12, 2007.

145. Serre E., Sprague M.A., Lueptow R. M. Stability of Taylor-Couette flow in a finite-length cavity with radial throughflow // Phys. Fluids. 2008. V. 20. № 3. P. 034106-1-034106-10.

146. Shah T. N., Yoon Y., Pederson C. L., Lueptow R. M. Rotating reverse osmosis and spiral wound reverse osmosis filtration: A comparison // J. Membrane Sci. 2006. V. 285. № 1-2. P. 353-361.

147. Shapakidze L. On the bifurcation of flows of a heat-conducting fluid between two rotating permeable cylinders // Georgian Math. J. 1997. V. 4. № 6. P. 567-578.

148. Shapakidze L. On the stability of flows between two rotating permeable cylinders // Proc. Int. Conf. Appl. Mech. 1. Beijing, China, 1989. P. 450454.

149. Swinney H. L., Gollub J. P. Transition to turbulence // Physics Today, 1978. V. 31(8). P. 41-49.

150. Synge J.L. On the stability of a viscous liquid between rotating coaxial cylinders // Proc. Roy. Soc. 1938. A 167. P. 250-256.

151. Taylor G. I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A, 1923. V. 223. P. 289-343.

152. Veite W. Stabilität und Verzweigung stationärer lösungen der Navier-Stokesschen gleichungen beim Taylor problem // Arch. Rat. Mech. Anal. 1966. V. 22. № 1. P. 1-14.

153. Wronski S., Molga E., Rudniak L. Dynamic filtration in biotechnology // Bioprocess Eng. 1989. V. 4. № 5. P. 99-104.

154. Yahata H. Dynamics of the Taylor vortices above higher instability points // Progr. Theor. Phys. 1978. V. 59. № 5. P. 1755-1756.

155. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.

156. I // Progr. Theor. Phys. 1980. V. 64. № 3. P. 782-793.

157. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.1. // Progr. Theor. Phys. 1981. V. 66. № 3. P. 879-891.

158. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.

159. V // Progr. Theor. Phys. 1983. V. 69. № 22. P. 396-402.