Движение тела с выпуклым опорным контуром по некоторым вогнутым поверхностям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Корнеев, Сергей Павлович

• Корнеев, Сергей Павлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Корнеев, Сергей Павлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Краткий обзор состояния предмета исследования

Глава 1. Движение выпуклого тела, расположенного на поверхности уголкового желоба:

1.1. Колебания выпуклого тела без проскальзывания:

1.1.1. Колебания выпуклого тела:

1.1.1.1. Геометрические соотношения

1.1.1.2. Условие движения без проскальзывания выпуклого тела

с опорой на окружность

1.1.1.3. Уравнения движения выпуклого тела по поверхности

уголкового желоба

1.1.1.4. Условие равновесия выпуклого тела на поверхности уголкового

желоба

1.1.1.5. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности

уголкового желоба

1.1.1.6. Численные эксперименты и их результаты

1.1.2. Колебания выпуклого тела при опирании на эллипс:

1.1.2.1. Геометрические соотношения

1.1.2.2. Условие движения без проскальзывания выпуклого тела

при опирании на эллипс

1.1.2.3. Вывод уравнений движения выпуклого тела, движущегося

без проскальзывания, при опирании на эллипс

1.1.2.4. Условие равновесия выпуклого тела при опирании на эллипс

на поверхности уголкового желоба

1.1.2.5. Численные эксперименты при расположении центра масс выше

опорной окружности и их результаты

1.1.2.6. Численные эксперименты при расположении центра масс ниже

опорной окружности и их результаты

1.2. Движение с проскальзыванием по уголковому желобу выпуклого тела: 1.2.1. Уравнения движения

1.2.2. Численные эксперименты при расположении центра масс выше

опорной окружности и их результаты

1.2.3. Численные эксперименты при расположении центра масс ниже

опорной окружности и их результаты

1.3. Результаты главы 1

Глава 2. Движение выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба:

2.1. Колебания без проскальзывания выпуклого тела, расположенного

на поверхности цилиндрического желоба:

2.1.1. Геометрические соотношения

2.1.2. Условие двухточечного опирания

2.1.3. Условие отсутствия проскальзывания

2.1.4. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности

цилиндрического желоба

2.1.5. Уравнения движения

2.1.6. Численные эксперименты и их результаты

2.2. Движение с проскальзыванием выпуклого тела, расположенного

на поверхности цилиндрического желоба:

2.2.1. Уравнения движения

2.2.2. Численные эксперименты и их результаты

2.3. Экспериментальная проверка моделей движения:

2.3.1. Движение без проскальзывания

2.3.2. Движение с проскальзыванием

2.4. Результаты главы 2

Глава 3. Движение выпуклого тела, расположенного на поверхности кругового конуса:

3.1 .Геометрические соотношения

3.2. Условия двухточечного опирания

3.2.1. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности

кругового конуса

3.3. Равновесие выпуклого тела на неподвижной конической

поверхности

3.4 Равновесие выпуклого тела на внутренней поверхности

вращающегося конуса

3.5. Кинематика колебаний без проскальзывания выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса:

3.5.1. Геометрический анализ

3.5.2. Алгоритм построения траекторий точек

3.5.3. Графики траекторий

3.6. Колебания без проскальзывания выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса:

3.6.1. Уравнения движения

3.6.2. Численные эксперименты и их результаты

3.6.3. Движение выпуклого тела со сменой характера опирания

3.7. Колебания с проскальзыванием выпуклого тела на внутренней поверхности неподвижного конуса:

3.7.1. Уравнения движения

3.7.2. Численные эксперименты и их результаты

3.8. Колебания выпуклого тела на внутренней поверхности

вибрирующего конуса:

3.8.1. Уравнения движения

3.8.2. Численные эксперименты и их результаты

3.9. Результаты главы 3

Заключение и основные выводы

Библиографический список

Приложения

Приложение 1. Текст программы для анализа движения круглого тела

без проскальзывания

Приложение 2. Текст программы для анализа движения

эллиптического тела без проскальзывания

Приложение 3. Текст программы для анализа движения круглого тела

по неподвижному желобу с проскальзыванием

Приложение 4. Текст программы для анализа нахождения положения равновесия выпуклого тела на поверхности цилиндрического

желоба

Приложение 5. Текст программы для анализа колебаний без

проскальзывания тела на поверхности цилиндрического желоба...стр.218 Приложение 6. Текст программы для анализа колебаний с

проскальзыванием тела на поверхности цилиндрического желоба...стр.219 Приложение 7. Текст программы для нахождения положения равновесия

тела на внутренней поверхности неподвижного конуса

Приложение 8. Текст программы для нахождения положения равновесия

тела на внутренней поверхности вращающегося конуса

Приложение 9. Текст программы для вычисления координат точек

тела, перекатывающегося без проскальзывания по внутренней поверхности

неподвижного конуса

Приложение 10. Текст программы для анализа колебаний без проскальзывания тела по внутренней поверхности неподвижного

конуса при двухточечном опирании

Приложение 11. Текст программы для анализа колебаний без проскальзывания тела по внутренней поверхности неподвижного

конуса при смене характера опирания

Приложение 12. Текст программы для анализа колебаний тела на

внутренней поверхности вибрирующего конуса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение тела с выпуклым опорным контуром по некоторым вогнутым поверхностям»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Создание и внедрение наиболее совершенного технологического оборудования и повышение его производительности требует новых научных исследований. Настоящая работа направлена на повышение производительности труда и в свете этого представляется актуальной.

В настоящее время широкое применение нашли автоматические роторные линии, важной составной частью которых являются транспортные и загрузочные устройства.

В производстве взрывателей, например, необходимо исключить их соударения при перемещении по технологическим транспортным устройствам, а при производстве чувствительной приборной аппаратуры требуется исключить превышение предельно допустимых перегрузок при транспортировке. Подобные задачи невозможно решить без учета геометрии масс предмета обработки.

Процессы транспортирования и ориентирования сложны для описания ввиду значительного разнообразия геометрических форм, размеров и масс транспортируемых объектов. При этом в известных работах названные факторы не учитываются ввиду того, что предмет обработки представляется в виде материальной точки, что серьезно упрощает математическое моделирование, но отрицательно сказывается на точности полученных результатов. Также, насколько известно, подобные задачи не решались и в работах классиков механики.

Из-за сложности анализа процессов транспортирования при учете геометрии масс предмета обработки наиболее целесообразным направлением работ по созданию инженерных методик расчета устройств транспортирования и ориентирования является математическое моделирование с широким применением вычислительной техники, которая позволяет весьма быстро выполнить значительный объем расчетов с достаточно высокой точностью.

Существует класс предметов обработки с выпуклым опорным контуром, процесс их движения по поверхности транспортного устройства описывается нелинейными уравнениями, при этом могут иметь место разные режимы

опирания таких предметов обработки (на одну точку или на две точки), усложняющие математическое описание. В данной работе исследуется движение предметов обработки, имеющих выпуклый опорный контур (окружность или эллипс), которым они контактируют в процессе перемещения по некоторым вогнутым поверхностям технологических транспортных устройств, опираясь на две или одну точку.

Важное замечание. Предмет обработки представляет собой тело с выпуклым опорным контуром и симметричным распределением масс. Данное тело имеет опорную окружность или эллипс, контактирующую с вогнутой опорной поверхностью не более чем в двух точках. В тексте работы для краткости данный объект будет именоваться выпуклым телом или просто телом. Пример предмета обработки и вогнутой опорной поверхности представлен на рис. 1.

Рис. 1. Пример предмета обработки и опорной поверхности

Цель работы. Совершенствование процесса транспортирования тел с выпуклым опорным контуром по некоторым вогнутым поверхностям.

Для достижения сформулированной цели были поставлены следующие задачи исследования:

1. Разработка математической модели движения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям при опирании на две точки:

- уголковому желобу, составленному из симметричных пересекающихся плоскостей,

- цилиндрическому желобу;

- внутренней поверхности кругового конуса;

2. Создание алгоритмов и программного обеспечения для моделирования процесса перемещения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям

3. Исследование перемещений тела с выпуклым опоным контуром по вогнутым поверхностям посредством созданного программного обеспечения;

Объект исследования. Механическая система, включающая в себя вогнутую опорную поверхность и тело с симметричным распределением масс, контактирующее с ней по окружности или эллипсу. Опорный контур определяется пересечением цилиндрической поверхности с плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра (рис. 2). Центр масс тела находится на заданной высоте к относительно опорной плоскости.

Предмет исследования. Процесс перемещения по вогнутым поверхностям тела с выпуклым опорным контуром (окружностью или эллипсом). Тело может контактировать с опорной поверхностью в одной или двух точках.

Методы исследования. Поставленные задачи решались посредством использования основных положений теоретической механики, методов математического моделирования и численного решения дифференциальных уравнений. Выполнялся также простейший натурный эксперимент.

Научная новизна работы. Построены математические модели движения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям. Тело контактирует с опорной поверхностью по окружности или эллипсу, опираясь на одну или на две точки.

Положения, выносимые на защиту, включают:

1. Математические модели процесса перемещения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям;

2. Результаты теоретических исследований процесса перемещения тела с

выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием при математическом моделировании фундаментальных положений теоретической механики и корректностью используемых численных методов, а также совпадением теоретических результатов с результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы состоит в моделировании движения предмета обработки по поверхности технологического транспортного устройства, что может быть использовано для создания инженерной методики расчета и проектирования подобных устройств. Также это может быть использовано при дальнейшем исследовании движения предметов обработки по технологическим транспортным устройствам, в частности позволит определить время перемещения предмета обработки из одного положения в другое.

Апробация работы. Основные положения диссертации и результаты исследования докладывались на X Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов, магистрантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (г. Тула, 2010 год); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения Л.А.Толоконникова (г. Тула, 2013 год), на XIII Всероссийской НТК «Проблемы производства и проектирования систем и комплексов» (Тула, 2014 г.), а также на научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ в 2010-2014 годах.

Публикации. Материалы проведенных исследований опубликованы в 11 работах, в том числе 3 статьи — в рецензируемых научных изданиях, входящих в Перечень ВАК.

КРАТКИЙ ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ПРЕДМЕТА ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе рассматривается движение по вогнутым поверхностям тела с выпуклым опорным контуром. Насколько известно из литературы, подобная задача, по-видимому, не решалась. Представляет интерес задача о качении без

проскальзывания однородного тяжелого тонкого диска по горизонтальной плоскости (неголономная система) [36]. Анализ поведения предмета обработки на вращающейся вибрирующей конической поверхности в случае контакта в одной точке фактически будет представлять собой обобщение данной задачи.

В механике дискретных систем и динамике неголономных систем рассматривались задачи, где тела контактировали в одной точке, либо в трех и более точках [36, 42, 44]. В статье А.М.Русановой [42] рассмотрена задача о движении однородного кругового цилиндра по неподвижной наклонной плоскости. В представленной работе предполагается, что цилиндр опирается на плоскость своим основанием.

Е. Уитгекер в работе [45] рассмотрел задачу о равновесии эллиптического цилиндра, ограниченного двумя плоскостями, перпендикулярными к его оси, покоящегося на двух гладких взаимно перпендикулярных плоскостях, образующих каждая угол в 45° с горизонтом.

Практическое применение результаты настоящего исследования могут найти при моделировании работы технологических транспортных устройств, в которых контакт тела и поверхности устройства может осуществляться в двух точках.

В настоящее время одним из наиболее актуальных направлений в повышении производительности и получении высококачественной продукции является автоматизация производственных процессов.

Важную роль в производстве разнообразных малогабаритных штучных предметов, в частности патронов стрелкового оружия, играют автоматические роторные линии. Одним из наиболее распространенных и важных узлов роторных линий являются автоматические загрузочные устройства. Основными видами автоматических загрузочных устройств являются вибрационные загрузочные устройства, роторные загрузочные устройства и вибророторные загрузочные устройства [50].

В основе работы автоматических загрузочных устройств лежат сложные

процессы, математическое описание которых хорошо разработано для точечных моделей, но недостаточно для объемных тел, что создает трудности при проектировании автоматических загрузочных устройств.

В настоящее время перспективной является конструкция вибророторного загрузочного устройства, разработанная в Тульском государственном университете [5]. Данная конструкция с точки зрения универсальности загружаемых предметов обработки и производительности, сочетает в себе преимущества разных типов загрузочных устройств [50, 46, 47].

Исследование процессов вибротранспортирования и функционирования автоматических загрузочных устройств проводили многие ученые, как в нашей стране, так и за рубежом.

И.И.Блехман в своих трудах [9,10,11] рассматривал проблемы вибрационного перемещения и различные методы решения задач данной тематики. И.И.Блехман приводит методы определения средней скорости для однокомпонентных и двухкомпонентных колебаний. Учитывается и наклон вибрирующей плоскости к горизонту.

Б.А.Берг [7] рассмотрел случай движения материальной точки по наклонной плоскости, вибрирующей в горизонтальном направлении. Им изучены условия существования всех установившихся режимов безотрывного перемещения и исследовано движение точки в каждом из данных режимов.

В.А.Брусин в статье [13] исследовал безотрывное движение точки, предположив, что коэффициент трения покоя равен коэффициенту трения скольжения. Исследована зависимость средней скорости вибрационного перемещения материальной точки от разных параметров.

Б.И.Крюков [26] проанализировал режимы перемещения частицы при безотрывном движении. Н.И.Камышный [22] изучал процессы перемещения частиц в вибрационных загрузочных устройствах, применяемых в автоматических линиях.

А.Н.Рабинович в работах [39,40,41] исследовал вибрационное перемещение

в вибротранспортных устройствах, использующих эллиптические колебания, то есть таких, где между гармоническими колебаниями в двух направлениях имеется фазовый сдвиг.

Исследование вибрационного перемещения в подобных устройствах проводили многие ученые. Можно отметить, в частности, работу В.И.Якубовича [52], где даны рекомендации по определению средней скорости перемещения частицы при эллиптических колебаниях лотка.

В работе В.А.Повидайло и И.И.Врублевского [38] проанализированы режимы вибротранспортирования штучных изделий при прямолинейных и эллиптических колебаниях.

Большое значение имеют работы Э.Э.Лавендела и его учеников. В работе [27] рассмотрены различные варианты движения лотка и выявлена роль колебаний в продольном и поперечном направлениях.

В работе И.С.Бляхерова [11] подробно рассмотрены вопросы компьютерного моделирования вибрационного перемещения в технологических устройствах. В работе приняты определенные допущения, в частности: «1. Для решения задачи вибрационного перемещения принята классическая постановка исследования перемещения материальной частицы, которая заменяет реальный предмет обработки» [11, с. 104]. И далее: «2. Габариты и масса предмета обработки учитываются только тогда, когда по условиям вибрационного перемещения их влияние будет сказываться на величинах средней скорости» [11, с.104].

Исследования вибророторных загрузочных устройств проводились H.A. Усенко и И.С.Бляхеровым [46, 47], О.О. Чуковой [50], Л.Ф. Анчишкиной [3], A.B. Фалдиным, Ле Динь Шоном [28] и Чу Куок Тхуаном [51].

Исследование перемещения деталей в лотках-склизах проводилось, в частности, В.П.Бобровым в работе [12]. Перемещение деталей по наклонным лоткам представлялось в виде скольжения предмета по наклонной плоскости. Возможный контакт предмета обработки и поверхности лотка по двум точкам не

рассматривался.

Анализ данных работ показал, что предмет обработки в них представлялся в виде материальной точки (что серьезно упрощало математическое моделирование, но неизбежно снижало точность полученных результатов, так как не учитывалась геометрия масс предмета обработки). В тех же случаях, когда инерционные характеристики предмета обработки учитывались, не рассматривались варианты контакта между предметом обработки и поверхностью транспортного устройства. Можно сделать вывод, что анализ динамики транспортных устройств с учетом геометрических и инерционных характеристик предмета обработки, а также с учетом характера контакта предмета обработки и поверхности транспортного устройства является перспективным.

ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА, РАСПОЛОЖЕННОГО НА ПОВЕРХНОСТИ УГОЛКОВОГО

ЖЕЛОБА

Выпуклое тело, описанное выше, расположено на вогнутой поверхности, которая представляет собой симметричный желоб, составленный из двух плоскостей.

1.1. Колебания выпуклого тела без проскальзывания 1.1.1. Колебания выпуклого тела

Рассмотрим колебания круглого осесимметричного тела. Цилиндрическое тело радиуса г, ограниченное снизу нормальной торцевой плоскостью, касается торцевой окружностью направляющего желоба в двух точках (рис. 1.1.1, 1.1.2). Рассматривается движение данного тела по неподвижному желобу. При движении может иметь место проскальзывание, а может и не иметь. Желоб наклонен к горизонту под углом у (во избежание загромождения рис. 1.1.1, угол у на нем не отражен).

1.1.1.1. Геометрические соотношения

Уголковый желоб получен пересечением двух симметрично наклоненных плоскостей (рис. 1.1.1), уравнения которых есть

г = кх и г = -кх, (1.1.1)

А: - тангенс угла наклона плоскостей.

Ось симметрии тела движется в координатной плоскости Оуг. Положение тела определяется углом наклона оси цилиндра а и координатами центра уа, г0 опорной торцевой окружности тела. Уравнение круговой цилиндрической поверхности с наклонной осью [29, 30]

X2 +(0;-.>'о)С080: + (2-2о)5"1а)2 = Гг - (1-1-2)

Рис. 1.1.1. Расчетная схема соприкосновения выпуклого тела с опорой на

окружность с уголковым желобом.

Рис. 1.1.2. Боковая проекция расчетной схемы.

Уравнение торцевой плоскости цилиндра

=(У~Уо)*8а- (1.1.3)

Уравнения (1.1.2) и (1.1.3) с произвольными текущими координатами х, у, г задают произвольное положение тела по отношению к желобу. Нас же интересует

движение тела, симметрично касающегося желоба в двух точках. Исключим у-у0 из уравнений (1.1.2) и (1.1.3)

х2 +(z — z0) lún2a-r2, а затем z с помощью (1.1.1) и получим квадратное уравнение относительно х

х2 +(±kx-z0) /sin2a = r2

или

(к1 + sin2 а)х2 - 2kz0x + z2 - г2 sin2 а = 0 . (1-1-4)

Решение этого уравнения

±kz0+sin a J(к2 + s'm2 a)r2-z? ,л л _ч

* =-Л——г--(1.1.5)

к + sin а

может определить координаты точек пересечения трех поверхностей. Пересечение возможно в четырех точках, если торцевая окружность «протыкает» стенки желоба. Нас же интересует касание, и тогда две точки пересечения на каждой стенке сливаются в одну. Это имеет место, если дискриминант квадратного уравнения (1.1.4) равен нулю или, что есть то же самое, равно нулю выражение, стоящее под знаком радикала в (1.1.5).

Из этого условия следует зависимость для координаты z0 центра опорной торцевой окружности цилиндра от угла а

z0=r^k2 + sin2«. (1.1.6)

Для осуществления касания торцевой окружностью уголкового желоба величина координаты z0 должна быть подчинена условию

г^\ + к2 > га>гк. (1.1.7)

Если задавать величины к и а, то это условие обязательно выполняется. При нарушении условия (1.1.7) либо подкоренное выражение в

sin a = ±J^-kz

делается отрицательным, либо величина sin а становится больше единицы. Из формулы (1.1.5) при равенстве дискриминанта нулю имеем:

хк = ±-

кгп

2 „ '

или с учетом (1.1.6):

4 +5Ш а

кг

л/А:2 + эш2 а

(1.1.8)

Другие координаты точек контакта опорной окружности с желобом:

кгг

л/к2 +5т2а

У к = Уо ~

гвт а со б а л/Р + вт2 а

(1.1.9)

В последних трех формулах величины а и у0 являются обобщенными координатами, определяющими положение тела на желобе.

Покажем, что координаты точек контакта (1.1.8), (1.1.9) удовлетворяют условию ортогональности нормалей к поверхностям желоба и касательной к торцевой окружности. Для этого вычислим проекции нормалей к поверхностям, задаваемым уравнениями (1.1.1),(1.1.2),(1.1.3).

дК

дх

1 _

ду

= 0,

дК

1 _

&

= 1,

(1.1.10)

—- = 2х, —- = 2[(у - у0)соза + (г - 20)зт а]соза:, дх ^

дР2 дг

~дх

ду

= 2[(у - ;к0)со8а: + (г-г0)5т афт а

= 0,

щ

ду

= >

дг

= 1.

Касательный к торцевой окружности вектор строится посредством векторного перемножения нормалей к цилиндру и торцевой плоскости

/ 3 к

т

откуда следуют проекции касательного вектора

Хх =2[(_у-у0)со5а + (7-20)5ша]/со5с<:, ту=-2х, т:=-2x■tga (1.1.11)

Скалярное произведение векторов, заданных проекциями (1.1.10) и (1.1.11),

должно равняться нулю для точек контакта опорной окружности с желобом. Это приводит к уравнению

лет а + к\(у - у0 )соъа + (г-г0)5ша]= 0, которое тождественно удовлетворяется подстановкой в него величин из (1.1.6),(1.1.8), (1.1.9).

1.1.1.2. Условие движения без проскальзывания выпуклого тела с опорой

на окружность

Для определения условия отсутствия проскальзывания воспользуемся теоремой сложения скоростей [29,30], зная, что абсолютная скорость точки контакта при отсутствии отрыва и проскальзывания должна быть равна нулю (рис. 1.1.3):

кк=к+к

Рис. 1.1.3. К определению условия отсутствия проскальзывания.

Проекции скорости точки О, т. е. переносной скорости для точки К, есть^>0 и ¿0. Проекции относительной скорости точки К, вызванные вращением отрезка ОК вокруг точки О, есть ~(гк -20)а и (ук -уа)а. Алгебраические суммы соответствующих проекций есть проекции абсолютной скорости точки К

ш (11

Из условия безотрывности и отсутствия проскальзывания в точке К следует,

% + fz-zJ« = 0, ^L-(y-yo)á = 0 . (1.1.12)

dt di

Им соответствуют дифференциальные соотношения

^- + z-zB = 0; ^L-(y-y0) = 0

da da

или

_ rsin2a . _ r sin a eos a

do- sjk2 + sin2a ' V¿2 + sin2 a

(1.1.13)

1.1.1.3. Уравнения движения выпуклого тела по поверхности уголкового

желоба

Для составления уравнений движения тела по желобу, наклоненному под углом у к горизонту, применим общие теоремы динамики: теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента [29,30]:

тус = wgsiny + 2F ,

mzc = -mgcosy + 2N / Vi + к2 , (1.1.14)

Icá = 2N(y„ -y + hs'ma) / Vi + к2 + 2F(z -zu- heosa).

Здесь y0, z0 - координаты центра опорной окружности; h - высота центра масс относительно опорной окружности; а- угол наклона оси тела относительно вертикали; ус, zc - составляющие линейного ускорения центра масс; а - угловое ускорение тела, 1С— центральный момент инерции тела; к — тангенс угла наклона плоскостей, составляющих желоб; N - нормальная реакция; F - касательная реакция (консервативная сила трения).

Координаты, проекции скорости и ускорения центра масс могут быть выражены через координаты центра основания и угол поворота тела a с производными:

ус = у0 + hsm а\ ус = j0 +/га cosa; ус = j>0 +h(a cosa-á2 sin a); zc=zD+h cosa; zc=z0-hásma; zc — z0-h{as\n a-a2 cosa). (1.1.15)

Дифференцированием формулы (1.1.12) получим yt

Уо~Г

sin2a (к2 + 0.5sin2aJsin2a

а . -+ a

■\1к2 + sin2a

2 „\3/2

(fc2 + sin aj

(1.1.16)

Вторую производную zQ по t получим дифференцированием формулы

(1.1.6):

= г4к

2 +sin2 а ,

rasinacosa

*в 4?

+ sin a

z„ = г

.. sinacosa , £2cos2a-sin4a

a-

:+Ú

(1.1.17)

\1к2+5т2а (к2+5т2а)3'2 )' Из системы уравнений (1.1.14) исключим реакции N и Р, и построим разрешающее дифференциальное уравнение относительно а:

к +sin а

r2£2sin2a ,2

а +-;--—-а = g

2(к +sm а)

h-sm(a + y)~

rsinacosfa + y,) л/ к2 +sL

sin а

(1.1.18)

Это уравнение приводится к безразмерному виду:

(p2 vh2+ sin2« V«+ £2sin2a m2 smacos(a + y) „ { ^

[r2 r2 k2 +sin2a) g 2(k2 + sin1 a)2 g r V^+sin2«

Координата центра опорной окружности у о выражается эллиптическим интегралом, который следует из условия отсутствия проскальзывания (1.1.12):

f rsin2a . , У о = J , . . 2 adt

о у к +sin a

(1.1.20)

Условие сохранения полной энергии в размерном виде:

2 • 2 Л • 2

к +sin а

- +

g{rcosyylk2 + sin2 а + hcosfa + у)~ jy0siny)= const (1.1.21)

То же в безразмерном виде:

+ cos y^jk1 +sin2a + — cos(a + y)~—siny = const, (1.1.22) r

f 2 1 2 P +" + sin a

r2 r2 k2 +sin2a

2 Л -2 ra

2g

Формулы для реакций связей в безразмерном виде:

2F _ га mg g

2N

sin a h

4k2

• +—cosa

+ sin a r

+ ■

ra

8

(2k +sin ajsinacosa h .

-от^--rsul0t

(k¿ + sin'aj

ra

mgy

sinacosa h .

--sin a

л1\ + к2 8 W*2+sin2a r

+ -

ra

2 ^^2cos2a-sin4a h

g

2_\ 3/2

(kl + sm'a)

---cosa

(1.1.23)

(1.1.24)

Интегрирование дифференциального уравнения (1.1.21) выполнялось численно вместе с интегралом (1.1.20) и формулами (1.1.23),(1.1.24) для реакций ^ и N в функции времени. Листинг программы численного интегрирования уравнения (1.1.20) приведен в Приложении 1.

1.1.1.4. Условие равновесия выпуклого тела на поверхности уголкового желоба

След опорной окружности

Центр масс

Рис. 1.1.4. К определению условия равновесия выпуклого тела на поверхности уголкового желоба.

При равновесии тела на наклонном желобе его центр тяжести и точки контакта с желобом должны находиться в одной вертикальной плоскости (рис. 1.1.4). Аналитическое выражение этого условия получим, приравняв нулю правую часть уравнения (1.1.18). После преобразований получим выражение:

h ■ tg(a. +y) = (yk-y0 Jcosa, + (zk - zn jsinot,, которое с учетом (1.1.9) приводится к виду

h-tg(a* +у) =

rsina*

VI 2 k + sin а*

у- угол наклона желоба к горизонту, а*- угол наклона тела к желобу, при котором имеет место равновесие тела. Построен график зависимости угла равновесия тела

а* от угла наклона желоба у (рис. 1.1.4А) при следующих исходных данных: АЮ,3; г=1;й=0,3.

Рис. 1.1.4А. График зависимости угла равновесия от угла наклона

желоба

Из графика видно, что для одного угла у существует два решения; второе решение является неустойчивым.

1.1.1.5. Об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности

уголкового желоба

Рассматривается движение тела с симметричным опорным контуром и считается, что центр масс находится в плоскости Оуг, являющейся плоскостью симметрии желоба. В процессе движения тело может испытывать малые случайные боковые воздействия, в результате которых центр масс может выходить из плоскости симметрии желоба. При устойчивом движении центр масс будет возвращаться в плоскость симметрии желоба, а при неустойчивом - отклоняться дальше. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы центр масс занимал самое низкое положение на траектории возможного бокового смещения, когда центр масс находится в плоскости Оуг. Приведем расчет положения центра масс при боковом смещении.

Исследуем изменение положения центра масс при повороте тела в

плоскости оХ2, (рис. 1.1.5). При этом предполагаем, что угол наклона тела в плоскости оУ2 а=0 и угол наклона оси желоба у=0.

Рис. 1.1.5. Расчетная схема к исследованию положения центра масс при его движении в плоскости oXZ.

Обозначим угол наклона плоскостей, составляющих желоб, как [3 (при этом tg$=k), а ф - угол наклона оси тела от вертикали.

Применим теорему синусов:

$т(л-2Р) _ б\п(/3-(р) _ ъЩР + у)

2г

а

Тогда:

а = 2г

БШ 2Р

(1.1.25)

Координаты центра опорной окружности тела, наклоненного на угол ф:

(1.1.26)

ха = -асоз/З + гсозф 20 — а БШ ¡5 + Г БШ ф

Подставив выражение (1.1.25) в формулы (1.1.26) окончательно получим выражения для координат центра опорной окружности:

$т(Р-(р)

х„ = г\

гп = г

вш Р (*НР-<р) ,

^ СО ъР

+ С05 (р

(1.1.27)

+ БШ (р

Координаты центра масс тела определяются соотношениями:

Хс=г\--+

I вит ¡3

-Лэш (р

( 5Ш(/3 — (р) ^ СО

\

(1.1.28)

+ ИС05 (р

Преобразуем последнюю формулу

гс = г^/Зсо5<р -викр + зт <р)+ йсовер = (r^tgp + 1г)соъср.

В случае устойчивости величина гс0 = (г ■ tg¡3 + И) при ф=0 должна быть меньше, чем гс, то есть

(г ■ tgfЗ + И)<(г- ígfЗ + й)соъф.

Это возможно в случае, если выражение в скобках неположительно, а отсюда следует условие устойчивости:

И < -г • tgP, или И < -кг

Таким образом, установлено, что при расположении центра масс выше координатной плоскости хОу движение тела будет неустойчивым.

Если условие выполняется, то центр масс занимает самое низкое положение на траектории возможного бокового смещения.

Здесь предполагается, что при нахождении центра масс ниже опорной окружности в поверхности желоба имеется вырез с размерами, необходимыми для обеспечения движения тела.

Рис. 1.1.6. Положения опорной окружности и центра масс выпуклого тела при Ь>-кг (А) и при к<-кг (Б)

Выпуклое тело будет стремиться занять положение с минимумом потенциальной энергии, что достигается при наинизшем положении центра масс. В данном случае центр масс будет занимать самое низкое положение, когда опорная окружность ляжет на борт желоба (рис. 1.1.8).

Построены графики зависимостей вертикальной координаты центра масс от угла наклона оси тела в плоскости оА^- zc(ср) (рис. 1.1.7). При этом принималось, что Р=0,3; г= 1. Высота центра масс принималась: /г—0,3 (Ь>-кг); /?--0,3 (И=-кг) или /г=-1 (И<-кг), а угол (р изменяется от 0 до 0,5 рад.

«с f

0 72--об" 0 48

0 360 24012

0 =

012-

•0 24 •0 36 ■ -0 48 •0 6 -0 72 "

Рис. 1.1.7. Графики зависимостей zc((p) при различных значениях высоты

центра масс.

Из построенных графиков видно, что при h>-kr и при отстутствии наклона оси тела в плоскости oXZ (то есть в исходном положении при <р=0) центр масс тела занимает наивысшее положение, а с ростом угла наклона ср вертикальная координата центра масс zc уменьшается. Как было указано выше, низшее положение центр масс займет, когда опорная окружность тела ляжет «плашмя» на борт желоба.

Таким образом, при h > -кг движение выпуклого тела в соответствии с принципом Торричелли будет неустойчивым - тело ляжет на борт желоба. Но при сравнительно небольшом числе колебаний малые случайные погрешности незначительно скажутся на движении тела.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Корнеев, Сергей Павлович, 2014 год

Библиографический список

1. Айзерман М.А. Классическая механика / М.А. Айзерман. - М.: Наука, 1980.-366 стр;

2. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела / Н.И.Амелькин. -М.: МФТИ, 2000.-62 стр;

3. Анчишкина Л.Ф., Прейс В.Ф., Рожковский В. Д., Усенко H.A. Исследование режима движения заготовок в виброАБЗОУ // Автоматизация производственных процессов в машиностроении и приборостроении. Львов: 1970, Вып. 9, с. 96-101;

4. Аппель П. Теоретическая механика. Том 2. Динамика системы. Аналитическая механика / П.Аппель. - М.: Физматлит, 1960. - 487 стр;

5. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи математических наук. М.: 1963 -T.XVIII, вып. 6, с. 91-192;

6. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику / И.М.Беленький. -М.: Высшая школа, 1964. - 324 стр;

7. Берг Б.А. Движение материальной точки по колеблющейся наклонной плоскости с трением // Теория, конструкция и производство сельхозмашин. - М.-Л.: Сельхозгиз, 1935. - т. 1;

8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний / В.Л.Бидерман. - М.: Высшая школа, 1980. - 207 стр;

9. Блехман И.И. Что может вибрация? О «вибрационной механике» и вибрационной технике / И.И.Блехман. - М.: Наука, 1988 — 208 стр;

10. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение / И.И. Блехман, Г.Ю. Джанелидзе. -М.: Наука, 1964. - 412 стр;

11. Бляхеров И.С. Вибрационные технологические устройства: теория и основы проектирования. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук / И.С. Бляхеров. - Тула, 1996 г. - 506 стр;

12. Бобров В.П. Лотки для автоматической загрузки станков / В.П.Бобров. -

М.: Машгиз, 1951

13. Брусин В.А. К теории вибротранспортировки // Известия ВУЗов. Радиофизика. - т. 3 — 1960. Вып.З, с. 467-477;

14. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику / Н.В.Бутенин. - М.: Наука, 1971.-265 стр;

15. Веселовский И.Н. Динамика / И.Н. Веселовский. - M.-JL: ГИТТЛ, 1941. -129 стр;

16. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й. Виттенбург. - М.: Мир, 1980.-293 стр;

17. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел / Р.Ф.Ганиев, В.О.Кононенко. - М.: Наука, 1976.-432 стр;

18. Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. - М.: Гостехиздат, 1957.-413 стр;

19. Добронравов В.В., Никитин H.H., Дворников A.JI. Курс теоретической механики / В.В. Добронравов, H.H. Никитин, A.J1. Дворников. - М.: Высшая школа, 1974. - 528 стр;

20. Жуковский Н.Е. Теоретическая механика / Н.Е. Жуковский. - M.-JL: ГИТТЛ, 1952.-811 стр;

21. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний / В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов. - М.: Наука, 1988. - 327 стр;

22. Камышный Н.И. Автоматизация загрузки станков / Н.И. Камышный. -М.: Машиностроение, 1977. - 288 стр;

23. Корнеев С.П. Колебания без проскальзывания кругового цилиндра на конической поверхности // Известия ТулГУ. Серия: Технические науки. Выпуск 11 часть 2. Тула: изд-во ТулГУ, 2013, с. 50-54.

24. Корнеев С.П. Движение с проскальзыванием цилиндрического тела, расположенного на поверхности уголкового желоба // Известия ТулГУ. Серия: Технические науки. Выпуск 12 часть 2. Тула: изд-во ТулГУ, 2014, с. 11-17.

25. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Колебания без проскальзывания выпуклого

тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба // Известия ТулГУ. Серия: Технические науки. Выпуск 12 часть 2. Тула: изд-во ТулГУ, 2014, с. 17-24.

26. Крюков Б.И. Динамика вибрационных машин резонансного типа / Б.И. Крюков. - Киев: Наукова думка, 1967. - 210 стр;

27. Лавендел Э.Э. Синтез оптимальных вибромашин / Э.Э. Лавендел. -Рига: Зинатне, 1970. - 252 стр;

28. Ле Динь Шон. Вибророторное автоматическое загрузочное устройство стационарного типа. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / Ле Динь Шон. - Тула, 2013 г. - 20 стр;

29. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Том 1. / Л.Г.Лойцянский, А.И. Лурье. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 379 стр;

30. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Том 2. / Л.Г.Лойцянский, А.И. Лурье. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 595 стр;

31. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 824 с;

32. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / А.М.Ляпунов. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.-471 стр;

33. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью / А.П.Маркеев. - М.: Наука, 1992. - 337 стр;

34. Мартынюк A.A. Устойчивость движения сложных систем / А.А.Мартынюк. - Киев: Наукова думка, 1975. - 352 стр;

35. Медвидь М.В. Автоматические ориентирующие загрузочные устройства и механизмы / М.В. Медвидь. - М.: Машгиз, 1955. - 308 стр;

36. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем / Ю.И. Неймарк, H.A. Фуфаев. - М.: Наука, 1967. - 519 стр;

37. Парс Л.А. Аналитическая динамика / Л.А. Парс. - М.: Наука, 1971. - 636

стр;

38. Повидайло В.А., Врублевский И.И. Сравнительный анализ режимов вибротранспортирования штучных изделий при прямолинейных и эллиптических

колебаниях // Автоматизация производственных процессов в машиностроении и приборостроении. Львов: 1983, Вып. 22, с. 68-75;

39. Рабинович А.Н. Автоматизация механосборочного производства / А.Н. Рабинович. - Киев: Вища школа, 1969. - 542 стр;

40. Рабинович А.Н. Автоматическое ориентирование и загрузка штучных деталей / А.Н. Рабинович. - Киев: Техника, 1968. - 292 стр;

41. Рабинович А.Н., Дунаевецкий A.B. Оптимальный синтез параметров безотрывного вибротранспортирования при эллиптических колебаниях несущей плоскости // Приборостроение. - Киев: Техника, 1968. - с. 24-28;

42. Русанова A.M. О динамике однородной шайбы на наклонной плоскости с трением // Прикладная механика и математика. Т. 77, вып. 4, 2013;

43. Синг Дж.Л. Классическая динамика / Дж.Л. Синг. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. -448 стр;

44. Таран А.И. Определение средней скорости перемещения материала на плоских решетках и скатных досках // Записки Ленинградского сельскохозяйственного института. — 1961. Т. 85, с. 38-42;

45. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика / Е.Т. Уиттекер. - М.: ОНТТИ НКТП СССР, 1937. - 500 стр;

46. Усенко H.A., Бляхеров И.С. Автоматические загрузочно-ориентирующие устройства / H.A. Усенко, И.С. Бляхеров. - М.: Машиностроение, 1984. - 112 стр;

47. Усенко H.A., Бляхеров И.С., Эмируссина Л.А. Исследование режимов вибротранспортирования с наложенным вращением в вибророторных автоматах питания // Конференция по вибрационной технике, ноябрь 1981 г., г. Кутаиси. -Тбилиси: Кутаисский политехнический институт, 1981, с. 204;

48. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем / С.А.Чаплыгин. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 112 стр;

49. Чаплыгин С.А. Механика системы. Часть II. Динамика системы / С.А.Чаплыгин. - М.-Л.: ГосИздат, 1924. - 209 стр;

50. Чукова О.О. Диссертация на соискание ученой степени кандидата

технических наук / 0.0. Чукова. - Тула, 2008 г.;

51. Чу Куок Тхуан. Обоснование функциональных параметров ВРАЗУ. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / Чу Куок Тхуан. - Тула, 2013 г. - 16 стр;

52. Якубович В.И. Вибрационное перемещение при колебаниях несущей плоскости по произвольной эллиптической траектории // Механизация и автоматизация производства. 1966, №8, с. 27-31.