Некоторые задачи динамики точки, соприкасающейся с подвижной поверхностью. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Шалимова Екатерина Сергеевна

• Шалимова Екатерина Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Шалимова Екатерина Сергеевна

1.1 Постановка задачи

1.2 Уравнения равновесий и их решение

1.3 Линеаризованные уравнения движения и необходимые условия устойчивости

1.4 Необходимое условие существования периодических движений при условии малости параметра возмущенной системы

1.5 Периодические движения в случае малости приведенной вязкости

1.6 Случай одночастотных прецессионных движений

1.7 Случай двоякоасимптотических движений

2 Точка на сфере при наличии сухого трения

2.1 Постановка задачи

2.2 Случай наклонной оси вращения. Положения абсолютного равновесия

2.3 Случай наклонной оси вращения. Исследование устойчивости в первом приближении

2.4 Случай вертикальной оси вращения

2.5 Относительные равновесия. Бифуркационные диаграммы

3 Точка на окружности, вращающейся вокруг наклонной

оси

3.1 Постановка задачи и уравнения движения в избыточных координатах

3.2 Уравнения относительных равновесий

3.3 Уравнения движения и бифуркационные диаграммы с использованием угловой переменной

4 Точка в параболоидальной чаше при наличии сухого

трения

4.1 Постановка задачи и уравнения движения в избыточных координатах

4.2 Бифуркации семейств относительных равновесий

4.3 Бифуркационная диаграмма на плоскости (р,х)

4.4 Топология областей относительных равновесий

5 Точка на сфере, вращающейся вокруг неподвижной оси

при наличии сухого трения

5.1 Постановка задачи

5.2 Существование относительных равновесий и их свойства. Уравнения относительных равновесий

5.3 Относительные равновесия и бифуркационные диаграммы

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи динамики точки, соприкасающейся с подвижной поверхностью.»

Введение

Диссертация посвящена задачам динамики тел, соприкасающихся с подвижными поверхностями в предположении о наличии трения между телом и поверхностью. В работе рассматриваются несколько задач подобного типа: точка на вращающейся вокруг наклонной оси сфере при наличии вязкого трения, точка на вращающейся вокруг наклонной или вертикальной, но не совпадающей с ее диаметром, оси сфере при наличии сухого трения, бусинка на окружности, вращающейся вокруг наклонной оси, лежащей в ее плоскости, и точка в параболоидальной чаше, вращающейся вокруг ее вертикального диаметра.

Задачи о движении материальных точек и твердых тел по подвижным поверхностям при наличии трения возникают как в ряде классических прикладных задач о движении систем с качением и скольжением (например, динамика содержимого в стиральных машинах, сепараторах, дробилках, и т.д.), а также при исследовании современных систем, таких как, например, сферические роботы [3, 4, 5, 6, 7, 45]. Возникающие уравнения движения имеют, как правило, переменную структуру, и для их исследования зачастую требуется "индивидуальный" подход. При этом, выявленные особенности динамики достаточно сложны как для исследования, так и для описания. К таким особенностям, относятся, в частности, бифуркации и устойчивость установившихся движений, чем и обусловлена актуальность темы исследования.

Исследование движения тел, соприкасающихся с поверхностями имеет давнюю историю, см., например, монографию Рауса [30]. Общим вопросам динамики и современному состоянию исследований движе-

ния тел, соприкасающихся с поверхностью, посвящена монография А.П.Маркеева [25].

Задачи о движении материальных точек и твердых тел по подвижным кривым и поверхностям рассматривались в различных предположениях о характере наложенных на систему связей, о природе силы трения, а также о форме тел и подвижного основания. Задачи о движении тел сложнее и встречаются несколько реже. Так в работе [65] был предложен геометрический подход к исследованию динамики тела на подвижной поверхности при наличии сухого трения в случае, когда связи в системе односторонние. В работе [11] было рассмотрено качение с трением цилиндра (катка) по цилиндрической поверхности (опоре), была предложена гипотеза о возможности замены местного проскальзывания элементов поверхности катка относительным микроперемещением этих элементов в пределах площадки смятия. Движение цилиндра и сферы по вязкоупругой поверхности было рассмотрено в [63]. В работе [61] в качестве примера системы со связями, методы получения уравнений движения для которых предлагались в этой работе, было рассмотрено качения шара по подвижной поверхности без проскальзывания. Ряд работ посвящён различным аспектам численного моделирования данного класса задач. Так в работе [67] был предложен подход к численному исследованию, а также представлены результаты моделирования движения сферы по подвижной поверхности без проскальзывания. Модель движения шара по поверхности вращающегося диска рассматривалась в работе [52].

В простейшем случае вместо твердого тела, соприкасающегося с неподвижной поверхностью, можно рассматривать материальную точку. Такие задачи возникают при изучении динамики механических систем с вращающимися элементами, ориентированных на различные операции типа перемешивания, помола, сушки и т.д. различных веществ (см.,например, [13, 46, 39, 62, 53]), а также автобалансировочных систем (см., например, [70]). В теоретическом плане задача о движении материальной точки по вращающейся поверхности при наличии

сухого трения исследовалась еще в работах Брауэра [47]. В работе [12] было рассмотрено движение точки на вращающемся диске.

Современные средства математического моделирования (см., например, [50, 40]) позволяют сделать детальные количественные выводы о движении таких систем в случае большого числа движущихся частиц. Вместе с тем, как оказалось, уже в случае одной частицы имеют место достаточно непростые качественные эффекты, создающие предпосылки для исследования более сложных динамических эффектов, таких, как, например, бифуркация Андронова-Хопфа. Описание таких эффектов имеет самостоятельный интерес.

В одномерном случае динамика таких систем достаточно подробно изучена начиная, вероятно, с исследований Мандельштама [24]. В них идет речь о различных версиях так называемого маятника Фро-уда. Как правило, при исследовании маятника Фроуда предполагается, что сила сопротивления не зависит от нормальной реакции. В случае, когда речь идет о движении системы с сухим трением, это, вообще говоря, не так. Общие методы исследования предельных циклов систем типа маятника Фроуда в достаточно общих предположениях были развиты в работах [33, 2, 34, 35], были изучены траектории таких систем, а также находились условия существования периодических движений.

В работе [55] проводилось численное исследование вынужденных колебаний математического маятника при наличии вязкого и сухого трения. В работе [68] при численном исследовании устойчивых и неустойчивых периодических режимов системы разрывные функции сухого трения приближались гладкими. Другой, основанный на переключении между системами уравнений, подход к численному изучению подобных систем был предложен в работе [56].

Исследования существования и устойчивости неизолированных равновесий в системах с трением восходит, вероятно, к работам В.В.Кре-ментуло [21, 22]. Общий подход к исследованию устойчивости равновесий в системах с сухим трением вскоре был развит Г.К.Пожарицким [28]. Методы исследования устойчивости и притяжения таких равно-

весий, опирающиеся на общую теорию систем с разрывными правыми частями, были предложены в [71, 57, 58]. В ряде работ (см., например, [69]) также исследуются притягивающие множества в системах с сухим трением.

Бифуркации равновесий в системах с трением, а также бифуркации фазовых портретов таких систем исследовались в [41, 42, 43, 44, 54, 59, 60, 36]. Общий подход к исследованию зависимости семейств неизолированных равновесий от параметров в двумерных и трехмерных случаях предложен А.П.Ивановым [15, 16]. Пример бифуркационного множества типа «симметричная жирная вилка» в задаче о движении тяжелой бусинки на круговом обруче, вращающемся вокруг своего вертикального диаметра был изучен в [48]. Как известно, в отсутствие трения эта задача дает классический пример бифуркации типа «вилка» (см., например, [31]). Потеря симметрии бифуркационного множества в задаче о движении тяжелой бусинки на круговом обруче, вращающемся вокруг вертикали, не совпадающей с его вертикальным диаметром, исследована в [9]. Структура работы

Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения и списка литературы, содержащего 71 наименование.

В первой главе настоящей работы рассматривается задача о движении тяжелой точки по поверхности сферы, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной наклонной оси, проходящей через ее центр, в предположении, что взаимодействие точки и сферы происходит по закону вязкого трения. Существование таких положений равновесия следует из того, что поле касательных составляющих сил, действующих на материальную точку, на сфере обязательно обращается в ноль. Показано, что у такой системы всегда есть два (возможно, совпадающих) положения абсолютного равновесия, построены кривые зависимости этих положений равновесия от коэффициента трения. В случае негоризонтальной оси вращения сферы верхнее из этих положений неустойчиво, а нижнее в зависимости от значений па-

раметров может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В случае горизонтальной оси вращения в зависимости от параметров системы наблюдается два типа положений равновесия. Равновесия могут располагаться либо на горизонтальном большом круге, и тогда оба они неустойчивы, либо на вертикально большом круге, перпендикулярном оси вращения, и в этом случае нижнее положение устойчиво, а верхнее неустойчиво. Предлагается также подход к поиску периодических решений системы для случая малой величины коэффициента вязкости, основанный на предварительном отыскании начальных условий для их численного построения (см. [29, 18, 19])

Во второй главе аналогичная задача рассмотрена для случая сухого трения. В зависимости от параметров системы, в абсолютном пространстве имеются или два положения равновесия, или их нет вообще. Существенным отличием от предыдущего случая является то, что положения равновесия не зависят от величины угловой скорости вращения сферы. Положение равновесия, находящееся на верхней полусфере, неустойчиво, а нижнее положение равновесия устойчиво в первом приближении. Показано существование в такой системе множеств неизолированных относительных равновесий, изучается изменение этих множеств в зависимости от параметров системы. Результаты этого исследования представлены в виде бифуркационных диаграмм.

В третьей главе работы рассматривается задача о движении бусинки, нанизанной на тонкий обруч, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг наклонной оси, лежащей в его плоскости и проходящей через его центр. Предполагается, что взаимодействие бусинки и окружности происходит по закону сухого трения. Найдены положения относительного равновесия такой системы, построены бифуркационные диаграммы, показывающие изменение множеств таких равновесий в зависимости от угловой скорости вращения окружности.

Четвертая глава посвящена задаче о движении тяжелой точки в параболоидальной чаше, вращающейся вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью. Взаимодействие точки и чаши проис-

ходит по закону вязкого трения. В отличие от работ [48, 9], где рассматривалась система с одной степенью свободы, на данном примере удалось исследовать трехмерное бифуркационное множество системы с двумя степенями свободы, зависящей от одного бифуркационного параметра. Построены плоские сечения этого множества, дающие представление о характере бифуркаций. Другой пример системы с двумя степенями свободы и одним бифуркационным параметром, возникающий в системах автобалансировки, рассматривался в [70].

В пятой главе изучается другой аналог задачи, рассмотренной в [48, 9] — движение точки по поверхности сферы, вращающейся с постоянной угловой скоростью вертикальной оси, не совпадающей с ее диаметром. Предполагается, что взаимодействие точки и сферы происходит по закону сухого трения. Выписываются уравнения с множителями Лагранжа; в предельных случаях большой по величине угловой скорости и большого расстояния от центра сферы до оси вращения находятся множества неизолированных положений относительного равновесия точки на сфере, исследуется их зависимость от параметров задачи. Результаты представлены графически в виде разверток на цилиндре. Для общего случая также построены серии аналогичных рисунков, иллюстрирующие возможные типы и перестройки областей относительного равновесия в зависимости от параметров системы.

В заключении сформулированы основные полученные результаты.

По теме диссертации опубликовано 5 работ [37, 38, 1, 49, 10]

Основные результаты были доложены на семинаре по теоретической механики и устойчивости движения им.В.В.Румянцева (руководители: чл.корр. РАН В.В.Белецкий, проф. А.В.Карапетян), на семинаре по технической механике МГУ им.М.В.Ломоносова (руководители: проф. И.И.Косенко, проф.С.Я.Степанов, доц. А.А.Буров), на конференции Ломоносовские Чтения (Москва, 2012г, 2013 г.), IX Всероссийской научной конференции имени Ю.И.Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.), Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 16-19 июня

2014 г.) и конференции 8-th European Nonlinear Dynamics Conference (ENOC) (Вена, Австрия, 6-11 июля 2014 г.).

Глава 1

Точка на сфере при наличии вязкого трения

1.1 Постановка задачи

Пусть Р — тяжелая материальная точка массы т, совершающая движение по поверхности двумерной сферы радиуса I с центром в точке О под действием силы вязкого трения. Введем абсолютную систему координат 0х\х2х3, плоскость 0х\х2 которой горизонтальна, а третья ось Ох3 = е3 направлена вертикально вверх. Если ш — постоянный вектор угловой скорости сферы, г — вектор ОР, то движение можно описать с помощью системы уравнений (рис. 1.1)

тг = —тде3 + с(ш х г — г) + Лг, (1.1)

где с — коэффициент вязкого трения, Л — множитель Лагранжа. Систему (1.1) следует рассматривать совместно с уравнением сферы, определяющим связь вида

I = 2((г, г) — О=0. (1.2)

Пусть е — единичный вектор, задающий ось вращения, т.е. ш = ше. Тогда можно ввести безразмерные координаты и параметры, опираясь на соотношения

г = 1г, Ь = шЬ, с = т1шс, Л = тш Л, д = 1ш д. (1.3)

Подставляя соотношения (1.3) в (1.1) и (1.2), сокращая общие множители в левых и правых частях и отбрасывая волнистые линии над

Рис. 1.1. Расположение вращающейся сферы относительно неподвижной системы координат 0х1х2х3

символами, имеем

г'' = —де3 + с(е х г — г') + Аг, I = 1((г, г) — 1) =0,

(1.4)

(1.5)

где штрихом обозначено дифференцирование по новому времени. Эти уравнения составят предмет дальнейших исследований. 1.2 Уравнения равновесий и их решение

В силу уравнений (1.4) равновесия точки определяются из линейной относительно г системы уравнений

—де3 + се х г + Аг = 0,

(1.6)

дополненной уравнением (1.5).

Пусть А = 0, тогда уравнения равновесий принимают вид —де3 + се х г = 0. Отсюда (е, е3) = е3 = 0, т.е. ось вращения горизонтальна, и равновесия могут иметь место только в горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения. Такие решения существуют при с — д > 0 и имеют вид

П = хе1

де2

Г2 = Хе2 +

де1

с 12

п , Vе2 — д2 (Л 7ч

Г3 = 0, х = ±-:-• (1.7)

с

с

Эти решения составляют первый класс решений для горизонтальной оси вращения.

Пусть теперь Л = 0. Решение системы (1.6) относительно компонент вектора г имеет вид

_ сд(—в2Л + сб1бз) _ сд(в1Л + св2бз) _ д(Л2 + с2е3) Г1 = Л(Л2 + с2) ' Г2 = Л(Л2 + с2) ' Гз = Л(Л2 + с2) '

(1.8)

Подставляя решения (1.8) в уравнение связи (1.5), получаем уравнение на Л в виде

/сд(—е2Л + се1ез) \2 .(сд(е1Л + се2ез А2 + (д(Л + с2е3А2_. =0 V Л(Л2 + с2) ) +\ Л(Л2 + с2) ) + V Л(Л2 + с2) ) '

Вещественные корни Л± этой функции определяются из биквадратного относительно Л уравнения

д2 + (с2 — д2) д — д2с2е2з = 0, д = Л2.

Для положительного корня этого уравнения

Л± = ±

\

д2 — с2 + у^(с2 — д2)2 + 4д2с2ез

(1.9)

2

Этим значениям отвечают два равновесия изучаемой системы (рис. 1.2). Заметим также, что поскольку дез = Л(е,г), ез = (ез,е), то имеет место соотношение

(е, г) = ^, (1.10)

которое понадобится в дальнейшем.

В частном случае при ез = 0 ось вращения горизонтальна, и в силу

д2

(1.8) и (1.5) условие на множитель Лагранжа примет вид л2 + 2 — 1 =

0, откуда два различных корня записываются как Л± = ±л/д2 — с2. Они существуют лишь при д > с, причем решения имеют вид

се2 се1 л/д2 — с2

Г1 =--, Г 2 = -, Гз = ±-. (1.11)

д д д

Рис. 1.2. Изменение положений равновесия при возрастании параметра с в случае негоризонтальной оси вращения: а - вид сверху, б - вид сбоку

Этим решениям отвечает второй класс равновесий, для которых точка Р располагается на окружности большого круга, перпендикулярной оси вращения, причем при с ^ д соответствующие равновесия стремятся вдоль этой окружности к горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Изменение положений равновесия при возрастании параметра с в случае

горизонтальной оси вращения

1.3 Линеаризованные уравнения движения и необходимые условия устойчивости

Линеаризация уравнений (1.4), (1.5) в окрестности найденных равновесий дает

= с(е х £г — £г') + А£г + £Аг, (г, £г) = 0. Характеристическое уравнение имеет вид

0 Г1 г 2 Гз

г1 —а2 — са + А —се3 се2

г2 се3 —а2 — са + А —се1

г3 —си2 се1 —а2 — са + А

Принимая во внимание соотношения на параметры задачи, возникшие после введения безразмерных переменных, заключаем, что

Р(а) =

Р(а) = —а4 — 2са3 — (с2 — 2А) а2 + 2сАа — А2 — с2(е, г)2.

Заметим, что характеристическое уравнение приводится к виду

(а2 + са — А)2 + с2(е, г)2 = 0;

тогда решения можно найти из квадратных уравнений с комплексными коэффициентами а2 + са — А = егс(е, г), £ = ±1.

Пусть сначала А = 0, е3 = 0. С помощью критерия Гурвица получим условия устойчивости

2с > 0, 2с (с2 — А) > 0, —4с4 ((е, г)2 + А) > 0,

—4с4 (А2 + с2(е, г)2) ((е, г)2 + А) > 0.

Так как с > 0, то в силу этих неравенств соответствующее решение устойчиво при выполнении условия

А + (е, г)2 < 0, (1.12)

принимающего ввиду соотношения (1.10) вид

А3 + д2е3 < 0, А = 0. (1.13)

Для отрицательного корня из выражения (1.9) условие (1.13) преоб-

разуется к виду

2 2 „

9 е з <

/ /-\ 3/2

д2 - с2 у (с2 - д2)2 + 492с2е3 Х

2

V

7

В первом квадранте плоскости (с, д) значения параметров, при которых движение устойчиво, располагаются под некоторой кривой Г (на рис. 1.4) такие кривые 1, 2 и 3 построены для значений параметра е3 = 1/10,1/2, у/3/2 соответственно).

Рис. 1.4. Области устойчивости: 1 - при е3 = 1/10, 2 - 1/2, 3 -у/3/2

Для положительного корня из выражения (1.9) условие устойчивости (1.12) не выполнено. На рис. 1.5 и 1.6 изображены траектории движения точки по сфере вблизи нижнего положения равновесия для таких значений параметров с и д, для которых оно устойчиво и неустойчиво соответственно. Для удобства они представлены в сферических координатах 9 и ф, где угол 9 - это угол между радиус-вектором точки

и восходящей вертикалью, а угол ф - угол между проекцией радиус-вектора точки на плоскость Ох1 х2 и осью Ох1. Угол наклона оси вращения сферы при этом составляет п/4.

Пусть теперь А = 0. Тогда условия критерия Гурвица принимают

вид

2с > 0, 2с3 > 0, —4с4(е, г)2 > 0, —4с6(е, г)4 > 0,

и равновесия (1.7) неустойчивы.

Наконец, исследуем устойчивость равновесий (1.11). Так как для них е3 = 0, (е, г) = 0 и А± = ±л/д2 — с2, то условия критерия Гурвица принимают вид

2с > 0, 2с (с2 Т (д2 — с2)1/2) > 0, Т4с4 (д2 — с2)1/2 > 0, Т4с4 (д2 — с2)3/2 > 0

При этом устойчивы равновесия, отвечающие нижнему знаку, и неустойчивы, отвечающие верхнему.

Рис. 1.5. Траектории движения точки вблизи нижнего положения равновесия

при с = 4, д = 4, а = п/4

к

ф(0

0 9(1) ^

Рис. 1.6. Траектории движения точки вблизи нижнего положения равновесия

при с = 1, д = 0.5, а = п/4

1.4 Необходимое условие существования периодических движений при условии малости параметра возмущенной системы

Пусть

х = ад, x е Мп, (1.14)

— система дифференциальных уравнений на гладком п-мерном многообразии Мп, обладающая периодическим решением x(t) : x(t) = x(t + Т) с периодом Т > 0. Тогда для любой однозначной скалярной функции Г = Гна Мп имеет место равенство

Г ^)) = Г (x(t + Т)), Ш е Я.

Если функция Г дифференцируема, то вдоль траекторий системы (1.14) имеет место равенство

<Г (дг л

-ж = 16*,•

18

которое представимо в виде

р (х(г + Т)) — Р (х(())=/ (^^дг1^'{(х(т'0 ^ = 0- (1.15)

t

Пусть теперь правая часть уравнений (1.14) гладким образом зависит от параметра £, который будем считать малым. Тогда Ь(х) = Ь(х) + £ВД + ....

Предположим, что при £ = 0 невозмущенная система обладает первым интегралом 3 = 3(х), т.е.

Ы = 0.

Тогда, выбирая функцию 3 в качестве функции Р, из (1.15) имеем

'¡(Зх^, ь (х(т ))) 1т + ...=0. (1.16)

£

Пусть

х(£) = хо (£) + ех1(£) + ... (1.17)

— периодическое решение возмущенной системы с периодом Т, порожденное периодическим решением х = х0(£) невозмущенной системы с тем же периодом. Подстановка решения (1.17) в (1.16) и разложение правой части полученного выражения в ряд по степеням £ дает необходимое условие существования периодического решения (1.17) в виде

/(т,(хо(т))) 1т = 0.

г

Аналогичные условия оказываются верными и при отыскании двоя-коасимптотических решений возмущенной задачи. Для произвольных и £2 представим соотношение, аналогичное (1.15), в виде

Р (х(Ы) — Р (х((1))= / (дР ^", ь(х(т)Л 1т (1.18)

и предположим, что невозмущенная система обладает двоякоасимпто-тическим движением

x = xo(t) : Xo(») = x+, Xo(-») = x-,

неограниченно приближающимся к гиперболическим, быть может совпадающим положениям равновесия x+ и x- при t ^ » и t ^ -» соответственно. Если 3 = 3^) — первый интеграл невозмущенной системы, то З^о") = ). Опираясь на рассуждения, аналогичные предыдущим и примененные к равенству (1.18), находим, что для существования решения

x = x£(t) : x£(t) = x+, x£(-t) = x-,

двоякоасимптотического к гиперболическим периодическим решениям x = x+(t) и x = x-(t), необходимо, чтобы выполнялось условие

с»

3№) - ЗШ = / ,* ^(т'0 = 0,

-с

что верно, в частности, в случае, когда x+ и x- совпадают.

Примечание. Применение метода, несомненно восходящего к Пуанкаре, в рамках рассматриваемой задачи обусловлено желанием предварительного отыскания начальных условий для численного построения периодических решений (см. [29], а также [18], [19]). 1.5 Периодические движения в случае малости приведенной вязкости

Пусть в рассматриваемой системе приведенная вязкость с мала. В пределе, при с = 0, имеем вполне интегрируемую задачу о движении сферического маятника. При этом уравнения движения допускают два первых интеграла — интеграл энергии 30 = 1 (г', г') + д(г, е3) и интеграл площадей 31 = (г х г', е3). Их производные в силу уравнений возмущенного движения имеют вид

30 = (г', г'') + д(г', е3) = (г', -де3 + с(е х г - г') + Лг) + д(г', е3) =

= с (г', е х г - г'),

J = (r' х r', ез) + (r х r'', ез) = (r x (—gез + c(e x r - r') + Ar), e3) =

= c (r x (e x r — r'), e3).

Так как невозмущенная задача представляет собой вполне интегрируемую систему с двумя степенями свободы, то в качестве "порождающих" периодических решений можно взять любые решения с соизмеримыми частотами. Ограничимся рассмотрением одночастотных прецессионных движений I и расположенных на нулевом уровне интеграла площадей плоских движений, двоякоасимптотических к верхнему положению равновесия II.

Так, прецессионные движения I имеют вид

ri = R cos(u t), r2 = R sin(u t), r3 = —\¡ 1 — R2,

где — = const, R = sin в, при этом в = const — угол, который со- П

ставляет радиус-вектор точки с вертикалью Ox3, и в > —.

2

На движениях в фиксированной вертикальной плоскости II Ti = f (t) cos в, Т2 = f (t) sin в, Тз = g(t),

где в — угол между плоскостью движения и плоскостью Oxix3. 1.6 Случай одночастотных прецессионных движений

Рассмотрим сначала одночастотные прецессионные невозмущенные движения I. Для них

r0i = R cos(—t), r02 = R sin(—t),

T03 = -VT—R2,

u0i = —Ru sin(—1), u02 = Ru cos(-1),

, U03 = 0,

где R = sin в, в = const, в > |, — = const.

Система x' = f (x) для x = (r, и) запишется следующим образом:

r[ = U1, = U2, r'з = из,

v'1 = —c cos ar2 — cu1 + Ar1, u2 = c cos ar1 — c sin ar3 — cu2 + Xr2, u3 = —g + c sin ar2 — cu3 + Ar3, где a — угол между осью вращения и осью Ox3. Тогда условие существования периодического решения с периодом T

t+T

'дJo(xo(r))

/(JX^ '(xo(T))) = 0

t

примет вид t+T

J (cR2 cos a—cR2Cj+cR cos шt\¡ 1 — R2 sin a)dr = cR2 cos aT—cR22n = 0

t

2n

(здесь мы учли, что шT = 2п). Тогда T =-при cos a = 0. Так как

cos a

периодическое решение должно иметь тот же период, что и порождающее его движение невозмущенной системы, то условия для него следуют из равенства:

2п 2п I g

=

I

cos а ш* V Vl - R2

откуда получаем

\/l - R2 = - cos 6 = —^. (1.19)

cos2 а

Рассмотрим теперь интеграл площадей J1 = r'2r1 — r2r[ = u2r1 —

v1r2. Аналогично, выписывая условие существования периодического

решения с периодом T, получим t+T

J (gR2Cj cos а — gR2Cj2 + cR cos шt\/1 — R2wsin a)dr = 0. (1.20)

t

На рассматриваемых невозмущенных движениях ш = ш*, поэтому условие (1.20) примет вид

2ncR2 cos a — cR2 , gT = 0,

Vl—R2

2П /-

откуда T = — л/1- R2 cos а. Приравнивая полученное выражение к

g

периоду невозмущенного движения, вновь приходим к условию (1.19),

полученному для интеграла площадей.

Таким образом, если периодическое решение, близкое к одночастот-

ному прецессионному движению невозмущенной системы существует,

2П

то его период составляет T = - и выполнено условие (1.19). В

cos а

частности, при cos а = 0, т. е. для горизонтальной оси вращения, таких решений не существует.

На рис. 1.7 периодическое решение возмущенной системы при а =

П Я л/2 Л /-

4, в = —, g = -4-, я = V2 изображено для наглядности на периоде

в сферических координатах в, ф.

Рис. 1.7. Периодическое решение при а = п/4, в = 3п/4, g = у/2/4, Я = л/2

1.7 Случай двоякоасимптотических движений

Для того, чтобы перейти к случаю решений, порожденных двоя-коасимптотическим движением, рассмотрим плоский аналог изучаемой задачи. Это система, состоящая из тяжелой точки и неподвижной окружности, которая расположена в вертикальной плоскости, и по которой эта точка может двигаться. В отсутствие трения уравнения движения этой системы интегрируются в эллиптических функци-

ях. Исключение составляет случай двоякоасимптотических движений. Пусть угол д отмеряется от нисходящей вертикали. Тогда из интеграла энергии

1 (dq\ 02 U

- — — и cosq = h

n\dtJ

2

2\ dt

при константе h = U2, отвечающей двоякоасимптотическим, гомокли-ническим движениям находим

q = 1 dq = 2 eU = ±1

C0S 2 ch(U(t -10))' dt ch(U(t -10))' ^ '

Возвращаясь к трехмерной задаче, получим:

2q -2q) , 2

Гз = - cos q = g(t) = - (cos2 | - sin2 =1 -

2 2) ch2 (U(t - to))'

• o • q q o sh(U(t - to))

r (t) = sin q = 2 sin - cos — = 2e—^—--—.

JKJ 4 2 2 ch2 (U(t - to))

Таким образом, в невозмущенной задаче имеется семейство двоякоасимптотических движений, параметризованное углом в поворота плоскости вокруг вертикального диаметра сферы. На этих движениях

sh(U(t - to)) д sh(U(t - to)) .

ri = 2e—^—--— cos в, г2 = 2e—^—--— sin в,

1 ch2 (U(t - to)) 2 ch2 (U(t - to))

! 2

r3 =1--o-•

ch2 (U(t - to))

Запишем интеграл энергии для этой задачи

J2 = 2(и2 + и2 + и2) + gr3-

Тогда необходимое условие существования двоякоасимптотического решения возмущенной задачи

ОТ)

•ам*.(т)) --------Иг

/ .л»,»).

-то

запишется так:

аэ

Г ( 2eU 4U2 \

, -гг sin a sin в--о-)dr = en sin a sin в—8U = 0.

J Vch(U(t - to)) H ch2(U(t - to))/

Таким образом, если решение, близкое к двоякоасимптотическому верхнему положению равновесия невозмущенной задачи, существует, то выполнено условие Q = (п/8) sin a sin в• В частности, если ось вращения вертикальна, то это условие не может быть выполнено. На рис.1.8 изображено периодическое решение, порожденное двоякоасимптоти-ческим решением невозмущенной задачи при a = п/4, g = п2/256, с = 0.2, sin в = 1/V2.

Рис. 1.8. Периодическое решение при a = п/4, g = п2/256, с = 0.2, sin в = 1/л/2

Глава 2

Точка на сфере при наличии сухого трения

2.1 Постановка задачи

Рассматривается задача о движении тяжелой бусинки массы m по сферической поверхности, совершающей вращение в абсолютном пространстве вокруг оси е, проходящей через центр сферы. Предполагается, что ось вращения составляет с восходящей вертикалью угол 0 < а < п/2, вращение происходит с постоянной угловой скоростью ш. Считаем, что взаимодействие точки и сферы осуществляется по закону сухого трения, коэффициент трения равен д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шалимова Екатерина Сергеевна, 2016 год

Литература

[1] Баландин Д.В., Шалимова Е.С. Бифуркации относительных равновесий тяжелой бусинки на обруче, равномерно вращающемся вокруг наклонной оси, при наличии сухого трения // ПММ. 2015. Т.79. Вып.5. С. 627 - 634.

[2] Барбашин Е.А., Табуева В.А. О колебаниях маятника при наличии сухого трения // Известия высших учебных заведений, Математика. 1977. №3(178), С.3 - 8.

[3] Бизяев И. А., Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика неголоном-ных систем, состоящих из сферической оболочки с подвижным твердым телом внутри // Нелинейная Динамика. 2013. Т.9. № 3. С.547 - 566.

[4] Болотин С. В., Попова Т. В. Об уравнениях движения системы внутри катящегося шара // Нелинейная Динамика. 2013. Т.9. № 1. С. 51 - 58.

[5] Борисов А.В., Килин А.А., Мамаев И.С. Как управлять шаром Чаплыгина при помощи роторов // Нелинейная динамика.- 2012.-Том 8 Номер 2.- с. 289-307

[6] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Тележка с омниколе-сами на плоскости и сфере // Нелинейная Динамика. 2011. Т.7. № 4. С. 785 - 801.

[7] Борисов А.В., Мамаев И.С., Трещев Д.В. Качение твердого тела без проскальзывания и верчения: кинематика и динамика // Нелинейная динамика.- 2012.- Том 8 Номер 4.- с. 783-797.

[8

[9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Буров А.А. Маленькая сигма и задачи с модулями // Квант, 2012. №1. С.36 - 38.

Буров А.А., Якушев И.А. Бифуркации относительных равновесий тяжелой бусинки на вращающемся обруче с сухим трением // ПММ. 2014. Т.78. Вып.5. С. 645-655.

Буров А.А., Шалимова Е.С. Бифуркации относительных равновесий тяжелой бусинки на вращающейся параболоидальной чаше с сухим трением // Изв. РАН. МТТ. 2016. Т.4 (принята к печати).

Бахшалиев, В. И. К вопросу математического моделирования трения качения // Трение и износ. - 2009. - Т. 30, N 5. - С. 423-428.

Akshat A, Sahil G, Toby J. Particle sliding on a turntable in the presence of friction // Am. J. Phys. 2015. Vol.83. P.126.

Арет В.А., Орлов В.В., Зеленков С.К. Выбор перемешивающего устройства на основе построения его морфологической модели // Процессы и аппараты пищевых производств. 2009. 2. 1-5.

Иванов А.П. Об устойчивости равновесия в системах с трением // ПММ. 2007. Т. 71. Вып.3. С. 427 - 438.

Иванов А.П. Бифуркации в системах с трением: основные модели и методы // Нелинейная динамика. 2009. Т.5. №.4. С.479 - 498.

Иванов А.П. Основы теории систем с трением. Ижевск: РХД, 2011. 302 с.

Иванов А.П. О равновесии систем с сухим трением // ПММ. 2015. Т. 79. Вып.3. С. 317 - 333.

Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ. 1980. ??? с.

Козлов В.В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // УМН. 1986. Т.41. №5 (251). 177 - 178.

[20] Козлов В.В. О механизме сухого трения // Докл. РАН. 2011. Т.437. №6. С.766 - 767.

[21] Крементуло В.В. Исследование устойчивости гироскопа с учетом сухого трения на оси внутреннего карданова кольца (кожуха) //ПММ, 1959. Т.23. Вып.5. С.968 - 970.

[22] Крементуло В.В. Устойчивость гироскопа, имеющего вертикальную ось внешнего кольца, при учёте сухого трения в осях подвеса //ПММ, 1960. Т.24. Вып.3. С.568 - 571.

[23] Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ОНТИ. 1935. 386 с.

[24] Мандельштам Л.И.. Полное собрание трудов. IV Лекции по колебаниям (1930-1932). М.: Изд-во АН СССР, 1955. 512 с.

[25] Маркеев А.П. Динамика твёрдых тел, соприкасающихся с поверхностями. М.: Наука, 1992. ??? С.

[26] Матросов В.М., Финогенко И.А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения// ПММ. 1998. Т.62. Вып. 1. С.100 - 109.

[27] Матросов В.М., Финогенко И.А. Об устойчивости множества положений равновесия автономных механических систем с трением скольжения// ПММ. 1998. Т.62. Вып. 6. С.934 - 944.

[28] Пожарицкий Г.К. Об устойчивости равновесий для систем с сухим трением // ПММ. 1962. Т.26. Вып.1. С.5 - 14.

[29] Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильто-новым // ЖЭТФ. 1934. 4. 9. С. 234 - 238.

[30] Раус Дж.Э. Динамика систем твёрдых тел. Т.2. М.: Наука, 19??.

[31] Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988. 304 с.

[32] Серебрякова В.С. О круговых движениях связанных маятников Фроуда // Известия высших учебных заведений, Математика. 1965. №4 (47). С.122 - 125.

[33] Стрелков С.П. Маятник Фроуда // Журнал технической физики. 1933. Т.3. Вып.4. С.563 - 573.

[34] Табуева В.А. Условия существования круговых движений маятника Фроуда // Известия высших учебных заведений, Математика. 1961. №5(24). С.61 - 68.

[35] Табуева В.А. Последовательные приближения Трикоми для нахождения периодического решения дифференциального уравнения // Известия высших учебных заведений, Математика. 1959. №6(13), С.169 - 173.

[36] Тёйфель А., Штайндль А., Трогер Х. Классификация негладких бифуркаций для осциллятора с трением // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости: Сб. научн. ст., посв. памяти акад. В.В.Румянцева. М.: ИПУ РАН, 2009. С.161 - 175.

[37] Шалимова Е.С. О движении точки по вращающейся сфере при наличии вязкого трения// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. 2013. № 1(3). С. 241 - 243.

[38] Шалимова Е.С. Стационарные и периодические режимы в задаче о движении тяжелой точки по вращающейся сфере при наличии вязкого трения // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2014. №4. С.43 - 50.

[39] Akpolat Z.H., Asher G.M., Clare J.C. Dynamic émulation of mechanical loads using a vector-controlled induction motor-generator set // IEEE Trans. Ind. Electron. 1999. Vol.46. №2. P.370 - 379.

[40] Alkhaldi H., Ergenzinger C, Fleissner F., Eberhard P. Comparison Between Two Different Mesh Descriptions Used for Simulation of Sieving Processes // Granular Matter. 2008. Vol.10. №3. P.223 - 229.

[41] Biemond J.J.B., van de Wouw N., Nijmeijer H. Bifurcations of equilibrium sets in mechanical systems with dry friction //Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol.241. № 22. P.1882 - 1894.

[42] Biemond J.J.B. Nonsmooth dynamical systems. On stability of hybrid trajectories and bifurcations of discontinuous systems // PhD Thesis. Eindhoven. 2012. 217 p.

[43] Biemond J.J.B, de Moura A.P.S., Celso G., van de Wouw N., Nijmeijer H. Dynamical collapse of trajectories, part I: homoclinic tangles in systems with dry friction // ENOC 2014, July 6-11, 2014, Vienna, Austria

[44] Biemond J.J.B., de Moura A.P.S., Celso G., van de Wouw N, Nijmeijer H. Dynamical collapse of trajectories, part II: Limit set of a horseshoe-like map // ENOC 2014, July 6-11, 2014, Vienna, Austria

[45] Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. Rolling of a Homogeneous Ball over a Dynamically Asymmetric Sphere // Regular and Chaotic Dynamics.- 2011.- Том 16 Номер 5.- с. 465-483.

[46] Broseghini M, Gelisio L., D'Incau M, Azanza Ricardo C.L., Pugno N.M., Scardi P. Modeling of the planetary ball-milling process: The case study of ceramic powders // Journal of the European Ceramic Society (2016), vol. 36, (9) pp. 2205-2212.

[47] Brouwer L.E.J. Collected Works, Vol. II, Amsterdam: North-Holland, 1976.

[48] Burov A.A. On bifurcations of relative equilibria of a heavy bead sliding with dry friction on a rotating circle // Acta mechanica. 2010. Vol.212. Nos 3-4. P.349 - 354.

[49] Burov A.A., Shalimova E.S. On the motion of a heavy material point on a rotating sphere (dry friction case) // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Vol.20. №3. P.225 - 233.

[50] Fleissner, F., Lehnart, A., Eberhard, P. Dynamic Simulation of Sloshing Fluid and Granular Cargo in Transport Vehicles// Vehicle System Dynamics. 2010. Vol.48. № 1. P.3 - 15.

[51] Goeleven D., Brogliato B. Necessary conditions of asymptotic stability for unilateral dynamical systems // Nonlinear Analysis: Theory, Methods I& Applications. 2005. Vol.61. №6. P.961 - 1004.

[52] Ehrlich R, Tuszynski J. Ball on a rotating turntable: Comparison of theory and experiment // Am. J. Phys. 1995. Vol.63. P.351.

[53] Joshi P., Nigam K.D.P., Nauman E.Bruce The Kenics static mixer: new data and proposed correlations// Chem. Eng. J. 1995. Vol.59. № 3. P.265 - 271.

[54] Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragniani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 13, No. 8 (2003) 2157-2188

[55] Lamarque C.-H, Bastien J. Numerical study of a forced pendulum with dry friction // Nonlin. Dyn. 2000.Vol. 23, pp. 335-352.

[56] Leine R.I., Van Campen D.H., De Kraker A., Van Den Steen L. StickSlip Vibrations Induced By Alternate Friction Models // Nonlin. Dyn. 1998. Vol.16. №1. P.41 - 54.

[57] Leine R.I., van de Wouw N. Stability properties of equilibrium sets of nonlinear mechanical systems with dry friction and impact // Nonlin. Dyn. 2008. Vol.51. №4. P.551 - 583.

[58] Leine R.I., van de Wouw N. Stability and convergence of mechanical systems with unilateral constraints // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin: Springer, 2008. V.36. 236 p.

[59] Leine R.I., van Campen D.H. Bifurcation phenomena in non-smooth dynamical systems // Europ. J. Mechanics A. Solids, 2006. V.25. P.595 - 616.

[60] Leine R.I. Bifurcations of equilibria in non-smooth continuous systems // Physica D. Nonlinear Pnenomena. 2006. Vol.223. P.121 - 137.

[61] Lewis A., Murray R.M. Variational principles in constrained systems: theory and experiments // Int. J. Nonl. Mech. Vol.30. №6. P.793 -815.

[62] Papadopoulos E, Papadimitriou I.Modeling, design and control of a portable washing machine during the spinning cycle // Proc. 2001 IEEE/ASME Int. Conf. on Advanced Intelligent Mechatronics Systems (AIM 2001), 8-11 July 2001, Como, Italy, 2001. P.899 - 904.

[63] Persson B.N. Rolling friction for hard cylinder and sphere on viscoelastic solid // The European Physical Journal E. 2010. Vol.33. №4. P.327 - 333.

[64] Prandtl L. Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Koper // ZAMM. 1928. Vol.8. № 2. P.85 - 106.

[65] Sinopoli, A. Unilaterality and Dry Friction: A Geometric Formulation for Two-Dimensional Rigid Body Dynamics // Nonlin. Dyn. 1997. Vol.12. №4. P.343 - 366.

[66] Tomlinson G.A. A molecular theory of friction // The London, Edinburgh, and Dublin Philos. Mag. and Journal of Sciences, 1929. Vol.7. P. 905 - 939.

[67] Udwadia F.E., Di Massa G. Sphere rolling on a moving surface: Application of the fundamental equation of constrained motion // Simulation Modelling Practice and Theory. 2011. Vol.19. №4. P.1118 - 1138.

[68] van de Vrande B. L., van Campen D. H, de Kraker, A. An approximate analysis of dry-friction-induced stick-slip vibrations by a smoothing procedure // Nonlin. Dyn. 1999. Vol.19. №2. P.157 -169.

[69] van de Wouw, N. and Leine. R.I. Attractivity of equilibrium sets of systems with dry friction // Nonlinear Dynamics, 2004. Vol.35. №1. P.19 -- 39.

[70] van de Wouw N, van Den Heuvel M.N., Nijmeijer H, van Rooij J.A. Performance of an automatic ball balancer with dry friction // Int. J. Bifurc. Chaos. 2005. Vol.15. № 1. P.65 - 82.

[71] van de Wouw N, Leine R.I. Stability of stationary sets in nonlinear systems with set-valued friction // Proc. 45th IEEE Conf. Decision and Control and European Control Conf. (CDC2006), San Diego, USA, 2006. P.3765 - 3770.