Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Смирнова, Мария Николаевна

• Смирнова, Мария Николаевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Смирнова, Мария Николаевна

Оглавление

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Решение задачи о движении тела вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости с учетом отрыва жидкости от тела и образованием бесконечной и замкнутой каверн

§ 1. Постановка задачи

1.1. Основные уравнения и граничные условия

1.2. Конформное отображения полуплоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость

§2. Движение тела вблизи свободной поверхности с отрывом на верхней кромке и образованием бесконечной каверны

2.1. Решение с особенностью на задней кромке, моделирующее вогнутое крыло. Исследование полученного решения

2.2. Решение с особенностью на передней кромке, моделирующее выпуклое крыло. Исследование полученного решения

§3. Движение тела вблизи свободной поверхности с отрывом на нижней кромке и образованием бесконечной каверны

3.1. Решение с особенностью на передней кромке, моделирующее выпуклое крыло. Исследование полученного решения

3.2. Решение с особенностью на задней кромке, моделирующее вогнутое крыло. Исследование полученного решения

§4. Движение тела вблизи свободной поверхности с отрывом на верхней кромке и образованием замкнутой каверны

4.1. Решение с особенностью на задней кромке, моделирующее вогнутое крыло

4.2. Исследование зависимости длины каверны от давления в ней и глубины

погружения тела

4.3. Исследование подъемной силы и силы сопротивления в предельных случаях

Глава 2. Решение задачи о движение тела в сжимаемой жидкости вблизи неподвижной поверхности

§ 1. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия

§2. Движение тела в неограниченном пространстве

2.1. Определение подъемной силы пластины

2.2. Определение подъемной силы выпуклого контура

§3. Движение тела в ограниченном пространстве вблизи твердой

поверхности

3.1. Сведение задачи определения подъемной силы пластины к сингулярному интегральному уравнению

3.2. Сведение задачи определения подъемной силы выпуклого контура к сингулярному интегральному уравнению

3.3. Регуляризация сингулярного интегрального уравнения и его приведение к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода

3.4. Определение подъемной силы пластины и выпуклого контура. Анализ результатов

§4. Определение подъемной силы пластины при движении вблизи твердой поверхности методом граничных элементов (МГЭ)

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Плоские задачи движения тел вблизи границ раздела сжимаемых сред»

Введение

Актуальность работы

Движение тел вблизи поверхности раздела различных сред является основой работы многих технических устройств, например, движение тел под свободной поверхностью жидкости: подводных крыльев, а также пуль, торпед, реактивных снарядов. Близость свободной поверхности существенно влияет на силу сопротивления и подъемную силу подводных крыльев. К данному классу задач относятся также задачи движения резца вблизи поверхности металлического образца и задачи движения частиц космического мусора в контейнерах с жидкостью. Решение задач взаимодействия высокоскоростных фрагментов космического мусора с частично заполненными жидкостью контейнерами, окружающими космические аппараты, необходимо для адекватного прогнозирования живучести орбитальных конструкций.

Вторая большая группа задач - это движение крыльев в сжимаемых средах вблизи жестких границ. Подъемная сила крыла при приближении к жесткой поверхности (земле) существенно возрастает. Этот эффект успешно используется при создании экранопланов - летающих объектов, движущихся вблизи поверхности Земли или над водным пространством.

Для решения перечисленных задач необходимо проведение предсказательного моделирования процессов движения тел в сжимаемых средах вблизи подвижных или жестких поверхностей раздела на высокопроизводительных ЭВМ, написание программ для которых требует значительного времени и усилий, а сами коды нуждаются в верификации. Поэтому получение точных аналитических решений указанных задач для случаев упрощенной геометрии - необходимая составляющая создания верификационного базиса разрабатываемых отечественных программных продуктов типа ЛОГОС и Лэгак ДК разработки Росатома. (Протокол заседания комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и технологическому развитию экономики России от 18 июня 2009 г. № 1)

Цель диссертационной работы

Основной целью работы является исследование движения тела в сжимаемой жидкости вблизи различных поверхностей: свободной и твердой. Цели работы включают нахождения аналитического решения задач определения подъемной силы и силы сопротивления при движении крыльев различной геометрии вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости с учетом образования каверны или вблизи твердой поверхности.

Научная новизна работы

В работе исследованы задачи плоского дозвукового движения тонких тел в сжимаемой жидкости вблизи свободной поверхности и твердой границы.

При движении тела в жидкости под свободной поверхностью рассмотрены случаи образования каверн бесконечного и конечного размеров, а также крылья двух типов: вогнутое и выпуклое. Были получены следующие результаты:

• Построено аналитическое решение, позволяющее найти величину силы сопротивления и подъёмной силы крыла в предельных случаях малой и большой глубины.

• Найдено конформное отображение полуплоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость, где решение задачи свелось к задаче Римана - Гильберта, которая в свою очередь была приведена к задаче Дирихле, имеющей единственное решение в виде интеграла Шварца.

При движении вблизи твердой поверхности были рассмотрены случаи крыла в виде пластины и в виде выпуклого контура. Задачу движения крыла около твердой поверхности (экрана) в линейной постановке удалось решить почти аналитически. Были получены следующие результаты:

• После предложенной автором регуляризации сингулярное интегральное уравнение было сведено к уравнению Фредгольма

второго рода, решение которого сводится к решению линейной системы уравнений. Было исследовано ядро уравнения Фредгольма.

• Полученная подъёмная сила отличается от аналогичной величины для неограниченного пространства дополнительным слагаемым, которое убывает с увеличением расстояния от крыла до поверхности.

• Проведенный расчет показывает, что экран заметно влияет на подъемную силу только на высоте полёта, меньшей длины хорды крыла.

® Подъёмная сила выпуклого крыла больше подъёмной силы пластины для соответствующих расстояний от экрана.

• В ходе численного решения задачи обтекания пластины вблизи твердой поверхности методом граничных элементов было проведено сравнение полученной зависимости подъемной силы от высоты с аналитическим решением. Были построены линии тока и распределение скорости вдоль них при обтекании пластины с разными углами атаки и на разном расстоянии от экрана.

Достоверность результатов

Все результаты диссертационной работы получены аналитическими или полуаналитическими методами. Достоверность результатов обусловлена точностью аналитических и численных методов, используемых при расчете задач. Результаты в предельных случаях совпадают с опубликованными ранее частными решениями, полученными другими авторами.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в МГУ имени М.В. Ломоносова, ИПМ имени М.В. Келдыша РАН, СПбГПУ и др.

Практическая значимость результатов исследований связана с возможностью их применения при создании верификационного базиса для тестирования численных программ, определяющих силы, действующие на подводное крыло или крыло экраноплана (РФЯЦ-ФНИИЭФ, ОКБ «Сухой», ЦКБ МТ «Рубин», ЦНИИ им. Акад. А.Н. Крылова).

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы были представлены, обсуждались и получили положительную оценку на научно-исследовательских семинарах кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова и на следующих конференциях:

• Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg (Repino), 2008-2013.

• 6-th IASME/WSEAS Conference HTE'08, Greece (Rhodes), 2008.

• 61 -st International Astronautical Congress, Prague, 2010.

• 62-d International Astronautical Congress, Cape Town, 2011.

• Ломоносовские чтения, Москва, 2008-2010,2013.

• Международная конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики», Москва, 2009.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в двадцати трёх печатных работах. Список работ приведён в списке литературы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы из 101 наименований. Диссертация изложена на 145 страницах.

Обзор литературы

Теория плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости и газа представляет собой обширный и разработанный отдел гидромеханики. Наибольший прогресс достигнут в теории плоскопараллельных потенциальных движений несжимаемой жидкости. Это объясняется возможностью приложения к этому случаю методов теории функций комплексного переменного [35]. Аппарат аналитических функций позволяет во многих случаях находить полное решение в виде, удобном для установления характерных качественных свойств и количественных соотношений.

Исследование движения газов - сжимаемых жидкостей - более трудная проблема. Уравнения газовой динамики в важнейших случаях не могут быть разрешены с помощью теории функций комплексного переменного.

Систематическое применение теории функций комплексного переменного и конформных отображений было введено в гидродинамику Гельмгольцем и Кирхгофом.

Начало теоретической аэродинамики заложено в работах Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина [59], которые создали теорию крыла в плоском потоке несжимаемой жидкости и получили все основные результаты в этой области. Так, силы, действующие на контур при безотрывном обтекании установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости в предположении отсутствия массовых сил, можно найти по формуле Блазиуса-Чаплыгина:

где X, У - проекции главного вектора сил на оси х,у, г-х + 1у- комплексная переменная, V = ^ -¡уу - комплексная скорость жидкости, р- плотность жидкости.

Если считать поток, обтекающий тело, потенциальным, и выражение для комплексного потенциала течения известным м>{г) = (р{х,у) + 1у/{х,у), то формула Блазиуса-Чаплыгина принимает следующий вид:

Главные трудности были связаны с уяснением природы аэродинамических сил. Согласно классической гидродинамике, известный парадокс Даламбера приводил к равенству нулю сопротивления и подъемной силы тела при его безотрывном обтекании потенциальным потоком идеальной жидкости. Жуковский и Чаплыгин впервые поняли, в чем заключается истинный смысл парадокса Даламбера, и объяснили в рамках теории идеальной жидкости и на основе решения плоской задачи о крыле возникновение подъемной силы. Предполагалось, что течение, получаемое при внесении тела в поступательный поток, потенциально везде вне тела и может быть осуществлено путем замены тела известным расположением особых точек течения - вихревых, источников и диполей, лежащих внутри контура, ограничивающего тело. Тогда по теореме о вычетах получим знаменитую формулу Жуковского:

Я = X -¡У = ¡рГ\>х, где Г-суммарная циркуляция вихрей.

Решение задачи об обтекании поступательным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произвольного профиля, если известно

к к

конформное отображение г = к£ + + + внешности контура в плоскости

комплексного переменного г на внешность круга радиуса Я в плоскости = £ + щ. Комплексный потенциал ч>(г(£)) будет иметь следующий вид:

С, 2 7П

Профили крыльев имеют обычно острую кромку. В этом случае при произвольно выбранном значении циркуляции скорость в острой кромке получится бесконечной и только при одном совершенно определенном значении Г скорость в острой кромке останется конечной. Вторым фундаментальным результатом Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина является правило для определения циркуляции скорости. Для выбора определённого значения циркуляции Н.Е. Жуковский и С.А. Чаплыгин указали на необходимость

удовлетворить требованию о конечности скорости у задней кромки крыла. Для контура с острой кромкой циркуляция определяется по следующей формуле:

Г = \п JcRq |vm I sin(#0 - a),

где Со = "е'9" ~ координата острой кромки в плоскости £, vM = |vw| • е'а.

Таким образом, сила сопротивления и подъёмная сила при обтекании плоской пластинки длины /, наклоненной под углом а к скорости потока, безграничным плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости равны

X = -npl\vx |2 sin2 а Y - npl ¡v^ |2 sin a cos а.

Приближенная теория обтекания крыла конечного размаха трехмерным установившимся потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкостью была сформулирована как теория несущей поверхности. Главная трудность теории несущей поверхности заключается в необходимости удовлетворить условиям обтекания и плавного схода потока с задней кромки крыла.

Работы Н.Е. Кочина по теории круглого крыла являются значительными исследованиями в этой области. Кочин впервые в аэродинамических исследованиях применяет теорию двухзначного потенциала, когда два листа трехмерного пространства сопрягаются по круговому разрезу. Кочин строит функцию Грина и находит в замкнутом виде решение первой задачи теории крыла - определение поля скоростей и формы поверхности крыла по заданному распределению нагрузок по крылу при учете распределение вихрей вдоль поверхности крыла.

Для второй задачи - определение поля скоростей и аэродинамических характеристик крыла при заданной его форме - Н.Е. Кочин получает интегральное уравнение [27]. Эти же методы он применяет далее в случае гармонически колеблющегося крыла [28]. В работе [29] Кочин дает полное решение второй задачи теории крыла, доказывает сходимость применяемых им разложений и даёт простые формулы для аэродинамических сил и распределения

давлений. Были получены следующие выражения для аэродинамических сил, действующих на пластину:

X = 1,2589рагс2а\ У = 2,8118/за2с2«,

где р- плотность жидкости, а-проекция хорды крыла на горизонтальную ось,

с-скорость движения крыла, а-угол наклона крыла (малая величина).

Если крыло имеет вид сегмента сферы:

А" = 1,501 ра*с2а\ У = 2,929раъ с1 а.

Л.И. Седов обобщил теорию тонкого крыла в безграничном плоском потоке несжимаемой жидкости на случай движения в сжимаемой жидкости - в воздухе [44]. Если крыло движется с дозвуковой скоростью, то подъёмная сила и сила сопротивления пропорциональны силам, действующим на крыло при движении в

несжимаемой жидкости, с коэффициентом пропорциональности . 1 .

VI -м2

Если крыло - плоская пластинка длины I, наклонённая к скорости движения

V

V под углом а, то при дозвуковом движении М = — < 1, где а - скорость звука,

а

подъёмная сила и сила сопротивления будут равны:

у1\-М2 ' т _ пр1У2Щ2а

4\-м2

Следующим этапом в изучении движения тел в несжимаемой жидкости стало изучение глиссирования крыла по поверхности жидкости. В отличие от обычных кораблей, поддерживаемых на поверхности воды архимедовой силой, быстро движущиеся по поверхности воды глиссирующие гидросамолёты и глиссеры поддерживаются на воде, в основном, за счёт динамической подъёмной силы, вызванной реакцией отбрасываемой вниз воды. По сравнению со свойством инерции воды влияние вязкости на возмущенное движение основной массы воды

вблизи глиссирующего тела ничтожно. Вязкость сказывается на движении воды в пограничном слое у днища.

Силы, действующие на элемент днища, можно разложить на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая представляет собой силу трения воды о днище. Эта сила обусловлена движением воды в пограничном слое. Нормальная составляющая зависит от распределения давления по днищу. При глиссировании нет отрыва пограничного слоя внутрь внешнего потока, следовательно, нет существенного искажения потенциального обтекания. Поэтому распределение давления по днищу можно определять, рассматривая движение воды без учета сил вязкости.

Плоская задача о глиссировании пластины по поверхности идеальной невесомой несжимаемой жидкости рассматривалась Л.И. Седовым [44]. Из закона сохранения импульса с учетом приращения количества движения за счет течения в отбрасываемой струе были получены следующие формулы для вычисления сопротивления и подъёмной силы пластины:

Х = кр-Г2а2, 2

У = лр—У2а, 2

где р - плотность жидкости, / - длина пластины, V - скорость движения пластины,

а - угол наклона пластины к направлению скорости.

Л.И. Седовым была решена задача о глиссировании плоской пластины по

поверхности тяжёлой несжимаемой жидкости в линейной постановке [44]:

4У I 12

У = кр{\~jtv--)—V а->скр$> — А,

тс 2 4

я1 1 ^

где ^ = = —число Фруда, А- произвольная постоянная, равная нулю 2 V 2Р

при отсутствии волн впереди. А также по поверхности жидкости конечной глубины в линейной постановке [44]:

У = рУ2дс(8

где 8 - толщина струи у передней кромки пластины, выраженная через функции Вейерштрасса.

Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины была рассмотрена М.Д. Хаскиндом [54]. Им отмечено, что при у И (И - расстояние до твёрдой стенки), стремящимся к единице, высота передней кромки над уровнем жидкости стремится к бесконечности, а при у к * 1 высота эта конечна.

Задача глиссирования тела по поверхности несжимаемой жидкости бесконечной глубины в линейной постановке рассматривалась в работе М.И. Гуревича, А.Р. Янпольского [13] и Н.Е. Кочина [26]. Позднее данная проблема для пластины была решена Ю.С. Чаплыгиным [57, 58] и А.Е. Грином [73] в нелинейной постановке. Задача глиссирования дужки круга по поверхности тяжелой жидкости была решена М.И. Гуревичем [14].

Изучению движения тел под поверхностью идеальной несжимаемой жидкости посвящен крупный раздел гидродинимики. Теория движений жидкости со свободными границами является одним из наиболее бурно развивающихся направлений современной гидродинамики. Результаты исследований течений жидкости со свободными поверхностями находят многочисленные технические приложения, прежде всего в тех областях, где вязкостью жидкости можно пренебречь.

Н.Е. Кочин [30] дал общее решение плоской задачи о безотрывном потенциальном движении глубокопогруженного подводного крыла произвольного профиля под поверхностью идеальной тяжелой несжимаемой жидкости. В работе дается общий метод решения задачи с помощью интегральных уравнений. Н.Е. Кочин вводит новую функцию Н- обобщенную циркуляцию. Все характеристики движения: сопротивление, подъемная сила, форма свободной поверхности - выражаются через функцию Я, которая может быть представлена через распределение особенностей источников, диполей и вихрей, вводимых при построении течения жидкости. Решение задачи Н.Е. Кочин сводит к определению функции Н, для которой строится интегральное уравнение.

В работе доказано, что хорошее приближение к точному решению можно получить, если взять для функции Я её значение, соответствующее обтеканию крыла в безграничной жидкости. Получены следующие асимптотические формулы для силы сопротивления и подъемной силы пластины:

X = 4л-2/2pg sin2 а • егь (1 + а[(Ь -1) sin а - АкЪе~2Ь eos а + 46/0 (2tí) sin а] +...),

1 Ч

О О А I 1 л

У = 2к1рс sin а(1 - a[sin а + 2кЬе~ cosa-46/0(26)sina] + a [-— +—sin а +

+7cb(2 + b)e'2b sin 2a + 4л"2й2е"4А eos2 a-6b sin2 af0 (2b) - Ш2е~2Ь/0 (2b) sin 2a + +bfx (2b) +12 b2/2 (2b) sin2 a] + ...),

где a = —, Ъ=Щ-, /-половина длины пластины, h -глубина, а-угол наклона h с

пластины, с - скорость перемещения контура, g - ускорение свободного падения,

fo(x) - e"v-P- х>0,

i '

Mx) = xfQ(x)-\.

В случае движения при очень больших скоростях (- -> оо ):

Ь

X = Ак212pgsm2 a(l- a sin а+ ...),

Y = 2к1рс2 sina(l-asina о2 (1-3 sin2 «) + ...).

М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев [25] дают решение линейной задачи о движении тонкого подводного крыла при произвольных числах Фруда. Было получено одномерное интегральное уравнение и дано приближенное решение для случая глубокопогруженного подводного крыла в виде ряда, который сходится при больших погружениях и определяет характеристики крыла. Решение задачи о движении глубокопогруженного подводного крыла было также дано Т. Нишиямой [75]. В частном случае тонкого подводного крыла полученные им результаты совпали с результатами М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева. Обобщение решения Н.Е. Кочина на случай жидкости конечной глубины было дано М.Д. Хаскиндом [55], а решения М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева - А.И. Тихоновым [51].

На основе теоретических результатов М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева А.Н. Владимиров [4] предложил практический метод расчёта глубокопогруженных подводных крыльев. Экспериментальные методы расчёта подъёмной силы крыла вблизи свободной поверхности были разработаны С.Д. Чудиновым [61].

Задача нестационарного движения подводного крыла в плоском потоке рассматривалась в ряде работ И.Т. Егорова [16, 17] и А.Н. Шебалова [62-64].

Задача безотрывного обтекания пластины плоским потоком идеальной невесомой несжимаемой жидкостью со свободной поверхностью была решена A.B. Кузнецовым [32], Г.П. Черепановым [60], Л.А. Эпштейном [66], Каподано [71]. Методы построения профиля, движущегося под свободной поверхностью, по заданному распределению скоростей изложены в монографии Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [52], а также в работах Р.Б. Салимова [43]. Во всех упомянутых работах авторы использовали различные представления комплексного потенциала скорости через эллиптические функции.

Теоретические исследования по гидродинамике крыла конечного размаха были начаты М.Д. Хаскиндом [56]. Задача движения подводного крыла в пространственном потоке жидкости бесконечной глубины исследовалась также в работах Т. Нишиямы [76-79], Ву [101], Г.А. Гошева [11-12].

Пользуясь основными результатами Н.Е. Кочина, А.Н. Панченковым была решена задача о движении крыла под свободной поверхностью идеальной тяжелой несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины при произвольном погружении [1, 37]. Теория подводной несущей поверхности была создана А.Н. Панченковым на основе теории потенциала ускорений. Все доведенные до числа решения носят асимптотический характер и построены с помощью метода функциональных параметров Панченкова. Гидромеханические характеристики подводного крыла определяются через интенсивность вихревого слоя. Зависимость интенсивности вихревого слоя от глубины совпадает с экспериментальной кривой С.Д. Чудинова [61]. При помощи общего метода Н.Е. Кочина А.Н. Панченков получил приближенное решение пространственной

задачи о движении крыла вблизи свободной поверхности тяжелой несжимаемой жидкости [36]. Выражение для подъёмной силы плоской пластины вблизи свободной поверхности даётся через гипергеометрические функции.

Решение краевых задач обтекания профилей часто сводится к решению сингулярных интегральных уравнений. В работе Д.Н. Горелова [7] получена система интегральных уравнений относительно касательных составляющих скоростей на верхней и нижней стороне профиля. Для решения системы уравнений применяется метод дискретных вихрей, показана применимость предложенного метода для решения задач обтекания профилей любой толщины, включая сколь угодно малую. В работе [8] Д.Н. Гореловым построена аппроксимирующая функция для интенсивности вихревого слоя вблизи передней кромки профиля с учетом ее формы. Приведены формулы для расчета распределения давления и суммарных гидродинамических реакций. В работах [9, 10] предложенная идея применена для решения линейной задачи о движении профиля под границей и над границей раздела двух тяжелых жидкостей.

В работе [49] методом граничных элементов (МГЭ) решается задача циркуляционного обтекания системы профилей безграничным потоком жидкости. В работе [69] решается стационарная задача обтекания профилей методом граничных элементов в ограниченном потоке со свободной поверхностью.

В местах контакта жидкости с быстро движущимися твердыми объектами (рабочие органы насосов, турбин, гребные винты судов, подводные крылья и т. д.) происходит локальное изменение давления. Если давление в какой-то области течения жидкости падает ниже рт{п, то происходит нарушение сплошности

течения: образуются полости (каверны), заполненные парами жидкости или газа, то есть возникает кавитация. В связи с возрастающим значением проблемы движения тел в воде с большими скоростями изучение явления кавитации становится важным, особенно при исследовании сверхкавитационных торпед, которые обволакиваются каверной, уменьшающей контакт с водой и увеличивающей скорость, а также при движении суден на подводных крыльях.

В случае естественной кавитации рт[п совпадает с давлением насыщенных паров . Вообще же рЫп зависит от многих факторов: от количества растворенных в жидкости газов, от количества, размеров и формы взвешенных частиц, от времени прохождения жидкости через зону пониженного давления, от капиллярных сил. Как правило, каверны возникают вблизи твердой границы. При движении в жидкости любого профиля с достаточно большой скоростью неизбежно наступление кавитации. Начальную стадию обычно называют перемежающейся кавитацией [31, 41]. В следующей стадии, называемой присоединенной кавитацией, поток жидкости отрывается от твердой поверхности и образуется присоединенная каверна, размеры которой сравнимы с размерами препятствия или превышают его во много раз. Возможны также и другие типы кавитации (вихревая, вибрационная) [65]. При кавитации основную роль играет безразмерный параметр, называемый числом кавитации:

Г =2(Р»-Ртт)

ршт 2 '

РК

где рх, — давление и скорость жидкости на бесконечности. В естественных условиях малые числа кавитации можно реализовать увеличением скорости движения подводного объекта или скорости течения жидкости. При проведении экспериментальных исследований малые числа кавитации могут быть достигнуты также уменьшением давления рт, или увеличением давления в каверне путем искусственного подвода газа.

Нахождение физически допустимых решений при плоском установившемся потенциальном обтекании препятствия невесомой несжимаемой жидкостью с учетом образования каверны связано с необходимостью выполнения двух условий Бриллуэна [70]. Первое их них требует, чтобы при кавитационном обтекании контура ни в одной из его точек вплоть до точки отрыва потока величина скорости не превышала ее значение на свободной границе. Второе условие не допускает пересечение свободной линией тока границы области, занимаемой обтекаемым препятствием, то есть оно исключает возможность получения неоднолистного течения в этой области. Условия Бриллуэна вместе с

обычными кинематическими условиями на твердой поверхности достаточны для однозначного построения некоторой математической модели кавитационного течения идеальной жидкости [48].

Многочисленные математические модели симметричного и несимметричного обтекания тел с развитой кавитацией однородным безграничным и ограниченным стационарным потоком идеальной невесомой жидкости описаны в монографиях [2, 6, 15]. В основе всех кавитационных схем лежат различные гипотезы относительно вида течения при замыкании каверны, которые лишены физического смысла. Эти схемы являются лишь математическими моделями, позволяющими найти гидродинамические и геометрические характеристики течения численными методами. В них комплексная скорость жидкости строится по нулям и особенностям во вспомогательной плоскости комплексного переменного.

Одной из наиболее удачных схем кавитационного обтекания тела является схема с возвратной струей, предложенная независимо Д.А. Эфросом [67], Крейзелем [74], Гилбаргом и Роком [72]. В конце каверны предполагается образование стационарной струи, уходящей внутрь каверны на второй лист римановой поверхности. Существование струи согласуется с экспериментальными наблюдениями, но она является нестационарной. Схеме Эфроса соответствует постоянная утечка жидкости на второй лист римановой поверхности и неоднозначность решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Смирнова, Мария Николаевна, 2013 год

Список литературы

[1] Белинский В.Г., Панченков А.Н. Движение вертикального крыла в жидкости конечной глубины // Прикладная механика. - Отделение математики, механики и кибернетики АН УССР, 1965. - том 1, вып. 10.

[2] Биркгофф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы, каверны. -М: Мир, 1964.

[3] Вишневский В.А., Котляр Л.М., Терентьев А.Г. Влияние сил тяжести в задачах кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. - Изд. Чувашского гос. ун-та, 1974. - вып. 3.

[4] Владимиров А.Н. Приближенный гидродинамический расчет подводного крыла конечного размаха // Труды ЦАГИ, 1937. - вып. 311.

[5] Гахов Ф. Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977.

[6] Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения: основные свойства и расчетные модели. - М: Наука, 1990.

[7] Горелов Д.Н. Об интегральных уравнениях задачи обтекания профиля // МЖГ, 1992. -№ 4. -с. 173-177.

[8] Горелов Д.Н. Расчет распределения давления вблизи передней кромки профиля в методе дискретных вихрей // ПМТФ, 1996. - т. 37. - № 1. - с. 114-118.

[9] Горелов Д.Н., Горлов С.И. Линейная задача о движении профиля под границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ, 1996. - т. 37. - № 5. - с. 43-47.

[10] Горлов С.И. Движение профиля над границей раздела двух тяжелых жидкостей // ПМТФ, 1996. - т. 37. - № 5. - с. 48-51.

[11] Гошев Г.А. Теория подводного крыла конечного размаха произвольной формы // Труды Ленинградского института водного транспорта, 1962. - т. 32.

[12] Гошев Г.А. Приближенная теория подводного крыла произвольной формы: автореферат диссертации. — Ленинградский институт водного транспорта, 1963.

[13] Гуревич М.И., Янпольский А.Р. О движении глиссирующей пластины // Техника воздушного флота, 1933. -№ 10.

[14] Гуревич М. И. Глиссирование дужки круга по поверхности тяжелой жидкости // Техн. заметки ЦАГИ, 1937. - вып. 153.-е. 1-6.

[15] Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М: Наука, 1979.

[16] Егоров И.Т. Нестационарные силы на несущих крыльях быстроходных судов в условиях волнения // Судостроение, 1962. - №4.

[17] Егоров И.Т. К вопросу о неустановившемся движении плоской решетки тонких профилей // Судостроение. Аннотации докладов на выездной сессии ЦП НТО СП, 1963.-№2.

[18] Звягин A.B., Смирнова М.Н. Движение тонкого твердого тела под углом атаки в упругой среде при наличии свободной поверхности // Ломоносовские чтения. Механика. Тезисы докладов научной конференции. - Изд. Московского университета, 2008. - с. 84-85.

[19] Звягин A.B., Смирнова М.Н. Движение тела под углом атаки в сжимаемой жидкости при наличии свободных границ // Ломоносовские чтения. Механика. Тезисы докладов научной конференции. - Изд. Московского университета, 2009. - с.78.

[20] Звягин A.B., Смирнова М.Н. Движение тонкого тела вблизи свободной поверхности сжимаемой жидкости // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, механика, 2009. - №2, с. 35-44. (Engl, transi.: Zvyaguin A.V., Smirnova M.N. Motion of a slender body near the free surface of compressible fluid // Moscow University mechanics Bulletin, 2009. - vol. 64. - №2. - pp. 5-15).

[21] Звягин A.B., Смирнова М.Н. Движение тонкого тела в сжимаемой жидкости вблизи свободной поверхности с учётом формирования каверны конечного размера // Ломоносовские чтения. Механика. Тезисы докладов научной конференции. - Изд-во Московского университета, 2010. - с. 89-90.

[22] Карликов В.П., Толоконников С.Л. Струйно-кавитационное обтекание "атмосферы" пары вихрей // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика, 2003. -№6.

[23] Карликов В.П., Толоконников С.Л. Струйно-кавитационное обтекание "жидких цилиндров" // Изв. РАН, МЖГ, 2004. - №1.

[24] Карликов В.П., Толоконников С.Л. О возможных схемах замыкания кавитационных полостей // Изв. РАН, МЖГ, 2004. - №2.

[25] Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // Труды конференции по теории волнового сопротивления, 1937. -Изд. ЦАГИ.

[26] Кочин Н.Е. Плоская задача о глиссировании слабоизогнутого контура по поверхности тяжелой несжимаемой жидкости // Труды Центрального аэрогидродинамического института им. Н.Е. Жуковского. - М., 1938 - вып. 356.

[27] Кочин Н.Е. Теория крыла конечного размаха круговой формы в плане // Прикладная математика и механика, 1940. - т. 4. - вып. 1.-е. 3-32.

[28] Кочин Н.Е. Теория волн, вынуждаемых колебаниями тела под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости // Уч. зап. МГУ, механика, 1940. -вып. 46.-е. 85-106.

[29] Кочин Н.Е. Теория круглого крыла // Прикладная математика и механика, 1945.-т. 9.-вып. 1.-е. 13-66.

[30] Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел. Собрание сочинений. - Изд. АН СССР, 1949. - т. 2.

[31] Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. - М.: Мир, 1974.

[32] Кузнецов A.B. Обтекание пластинки потоком невесомой жидкости, со свободной границей // ПМТФ, 1969. - №6.

[33] Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. - М.: Изд. АН СССР, 1962.

[34] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. - 2-е изд. М.: Наука, 1977.

[35] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1987.

[36] Панченков А.Н. Приближенный расчёт подъёмной силы крыла вблизи свободной поверхности // ПМТФ, 1960. - №4.

[37] Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла. - Киев: Наукова думка, 1964.

[38] Панченков А.Н. Теория потенциала ускорений. - Новосибирск: Наука, 1975.

[39] Панченков А.Н. Основы теории предельной корректности. - М.: Наука, 1976.

[40] Панченков А.Н. Теория оптимальной несущей поверхности. - Новосибирск: Наука, 1989.

[41] Перник А.Д. Проблемы кавитации. - Л.: Судостроение, 1966.

[42] Рождественский К.В. Асимптотическая теория крыла, движущегося на малых расстояниях от твёрдой стенки // МЖГ, 1977. - №6.

[43] Салимов Р.Б. Обратная задача об изменении подводного крыла // Труды семинара по краевым задачам. - Изд. Казанского гос. ун-та, 1970. - вып. 7.

[44] Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

[45] Серебрийский Я.М., Биячуев Ш.А. Исследование в трубе горизонтального установившегося движения крыла на небольшом расстоянии от земли // Труды ЦАГИ, 1939.-вып. 437.

[46] Смирнова М.Н., Звягин A.B. Движение тела под углом атаки при наличии свободных границ // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики». - Москва, МГУ, апрель 2009.-с. 102-103.

[47] Терентьев А.Г. Обтекание наклонной пластинки в канале по схеме с параллельными стенками // Изв. вузов. Математика, 1965. - №3.

[48] Терентьев А.Г. К нелинейной теории кавитационного обтекания препятствий // Изв. АН СССР, МЖГ, 1972. - №1.

[49] Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численные исследования системы крыловых профилей методом граничных элементов // Актуальные задачи математики и механики. - Чувашский ун-т, Чебоксары, 1995. - с. 108-116.

[50] Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численное исследование обтекания профиля вблизи экрана // Известия Национальной академии наук и искусств Чувашской Республики, 1996. - №6. - с. 94-104.

[51] Тихонов А.И. Плоская задача о движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины // Известия АН СССР, ОТН, 1940. - №4.

[52] Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. 2-е изд. - Изд. Казанского ун-та, 1965.

[53] Фролова К.В., Фролов В.А. Подъемная сила профиля Жуковского вблизи плоского экрана // Тезисы докладов студенческой научно-технической конференции студентов и аспирантов аэрокосмических вузов «Студенты и аспиранты аэрокосмическому комплексу России», Геленджик, 2008.

[54] Хаскинд М.Д. Плоская задача о глиссировании по поверхности тяжёлой жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР, ОТН, 1943. - № 1-2.

[55] Хаскинд М.Д. О поступательном движении тел под свободной поверхностью жидкости конечной глубины // ПММ, 1945. - т. 9. - вып. 1.

[56] Хаскинд М.Д. Обтекание тонких тел в трехмерном потоке // ПММ, 1956. - т. 20. - вып. 2.

[57] Чаплыгин Ю.С. Глиссирование плоской пластины бесконечного размаха по поверхности тяжёлой жидкости // Труды ЦАГИ, 1940. - вып. 508.

[58] Чаплыгин Ю. С. Глиссирование по жидкости конечной глубины // ПММ, 1941.-т. 5.-вып. 2.

[59] Чаплыгин С.А. Собрание сочинений. - Гостехиздат, 1948-1950.

[60] Черепанов Г.П. Течение идеальной жидкости со свободными поверхностями в двухсвязных и трехсвязных областях // ПММ, 1963. - т. 27. - вып. 4.

[61] Чудинов С.Д. О подъемной силе подводного крыла конечного размаха // Труды ВНИТОС, 1952. - вып. 5.

[62] Шебалов А.Н. Неустановившееся движение плоского контура под свободной поверхностью // Труды Ленинградского судостроительного института, 1962. -вып. 39.

[63] Шебалов А.Н. О волновом сопротивлении и подъемной силе плоского контура произвольной формы при неустановившемся движении под свободной поверхностью // ПММ, 1963. - т. 26. - вып. 6.

[64] Шебалов А.Н. Неустановившееся движение крыла с постоянной циркуляцией под свободной поверхностью жидкости // Доклад на выездной сессии ЦП НТО СП. Судостроение, 1963.-№3.

[65] Эпштейн Л.А. Возникновение и развитие кавитации // Труды ЦАГИ, 1948. -№655.

[66] Эпштейн J1.A. Движение наклонной пластинки под свободной поверхностью // ПММ, 1963. - т. 27. - вып. 4.

[67] Эфрос Д.А. Гидродинамическая теория плоскопараллельных кавитационных течений // ДАН СССР, 1946. - т. 51. - №4.

[68] Юрьев Б.Н. Влияние земли на аэродинамические свойства крыла // Вестник воздушного флота, 1923. -№1.

[69] Ясько Н.Н. Численное решение нелинейной задачи о движении плоского крылового профиля под свободной поверхностью идеальной несжимаемой жидкости // МЖГ, 1995. - № 4. - с. 100-107.

[70] Brillouin М. Les surfaces de glissement de Helmholtz et la resistance des fluids // Ann. chemie etphys., 1911.-v. 23.

[71] Capodano P. Sur le movement d'un profil sons une surface libre // C. r. Acad. Sci., 1969-1970.-№3, №4.

[72] Gilbarg D., Rock H.H. -NOL memo, 8718, 1946.

[73] Green A.E. The gliding of a plate on a stream of finite depth // Proc. Cambridge Phil. Soc., 1935.-v. 31.-p. 4; 1936.-v. 32.-p.l; 1938. - v. 3. - p. 2.

[74] Kreisel G. Cavitation with finite cavitation numbers // Admiralty Res. Lab. Rep. R l/H/36, 1946.

[75] Nishiyama T. Hydrodynamical investigation on the submerged hydrofoil // Part III, ASNE, February 1959.

[76] Nishiyama T. Lifting-line theory of the submerged hydrofoil of finite span // Part I, ASNE, August 1959.

[77] Nishiyama T. Lifting-line theory of the submerged hydrofoil of finite span // Part

II, ASNE, November 1959.

[78] Nishiyama T. Lifting-line theory of the submerged hydrofoil of finite span // Part

III, ASNE, February 1960.

[79] Nishiyama T. Lifting-line theory of the submerged hydrofoil of finite span // Part

IV, ASNE, May 1960.

[80] Pozrikidis C. Fluid dynamics: theory, computation and numerical simulation. -Springer, 2009.

[81] Riabouchinsky D. On steady fluid motion with free surfaces // Proc. London Math. Soc., 1920.-v. 19. - ser. 2.

[82] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Motion of a rigid body in compressible fluid with a free surface // Proc. 6-th IASME/WSEAS Conference HTE'08, Rhodes, Aug. 2008. -vol. 1. - pp. 61-66.

[83] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Motion of a rigid body in an elastic medium with free surface // Book of Abst. XXXVI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2008. - p. 71.

[84] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Resistance and Lift Forces in Thin Body Motion in Compressible Fluid Parallel to Free Surface // Proceedings of the XXXVII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2009. -p. 609-616.

[85] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Fluid flow interaction with an obstacle near free surface // Acta Astronautica, 2009. - v. 64. - pp. 288-294.

[86] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Different flow scenario for thin body subsonic motion in compressible fluid under free surface // Acta Astronautica, 2010. - vol. 66. -pp. 434-438.

[87] Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A., Zvyaguin A.V. Wave formation on free surface on interaction with a body moving under free surface // Proceedings of the XXXVIII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2010. - p. 651-658.

[88] Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A., Zvyaguin A.V. Wave formation on free surface on interaction with a body moving under free surface // Book of Abstracts of the XXXVIII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2010. - p. 93 - 94.

[89] Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A., Smirnov N.N. Projectile motion under free surface after perforation of containment filled with two-phase fluid // Proc. 61-st International Astronautical Congress, Prague, 2010.

[90] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V., Shugan I.V., Ray-Yeng Yang, Hwung-Hweng Hwung. Thin body motion under free surface with formation of final length cavity // Acta Astronautica, 2011. - v. 68. - iss. 1-2. - pp. 46-51.

[91] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Theoretical solution for the lift force of "ecranoplan" moving near rigid surface // Acta Astronautica, 2011. - v. 68. - num. 11-12.-pp. 1676-1680.

[92] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. High velocity motion of a wing in compressible fluid near a surface // WSEAS Transactions on Fluid Mechanics, 2011. - v. 6. - iss. 2. -pp. 92-101.

[93] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Boundary effects on thin body motion in fluid or gas // Book of Abstracts of the XXXIX Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2011. - p. 89.

[94] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. Boundary effects on thin body motion in fluid or gas // Proceedings of the XXXIX Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2011. - p. 423-433.

[95] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. The lift force of a wing moving in compressible fluid near a rigid surface // Book of Abstracts of the XL Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2012, p. 82.

[96]Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. The lift force of a wing moving in compressible fluid near a rigid surface // Proceedings of the XL Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2012, pp. 337-344.

[97] Smirnova M.N., Kondrat'ev K.A. Space debris fragments impact on multi-phase fluid filled containments // Acta Astronautica, 2012. - v. 79. - pp. 12-19.

[98]. Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. High velocity gliding of a plate with final length cavity formation // Book of Abstracts of the XLI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), Polytech. Univ. Publ. 2013, p. 104.

[99] Smirnova M.N., Zvyaguin A.V. High velocity gliding of a plate with final length cavity formation // Proceedings of the XLI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St.Petersburg (Repino), 2013, pp. 556-562.

[100] Tulin M.P. Supercavitating flow past foils and struts // Proc. MPL Symp. on Cavitation in Hydrodynamics. - HMSO, London, 1956. - paper 16.

[101] Wu I.T. Hydrofoils of finite span // Math. Phys., 1954. - №33.

мул к->

ат

Г-1 г-у/

¡ио-Г

= у 1 =

а = т+4^) = к _ 1Х--М;

у2 +1 /+1 0 (/+1)'

-)

= М^о-уо Г -2^ Оо - = 2Му0(и1 -1) 1

ал-/' •, , „ч2,У2- алЦ\-м>) •

у2с!у

(Г+1) (

/+1

апг( 1 -

1-

«Ь-М'. = в2>

1-IV

.У

(У+!)(/+а2) у2+1

_ °°г 1 £/>"

^ + В Л + Д = 1, В + а2А = О, Л= 1

- 5 = _ 1-а 1

_ г 1 ау г -о2 (¡у „ (/ +1)0-" + в') " ¡1-а2 /+\ + >1-а2 /+а'

I

2 ..2

1 .Л" Л". 1 Л"

1-а 2 2 1 + а 2

—Ц- (агс/&уГ - а2 - огс^ -1-я о о_

1 Л" л/1-И' Л" _ л/1 — -^(>/1 — IV - >/М0 ~ л

1+ /"о

2 ^-ы + у]^-м> 2 1-м' + н'-Ио

1-

1-\у-л](1-\у)(и;~\у)

п

1-й;

ео*о=

_ 2Му0« - 1)Л- (1 - УУ- 7(1 - мр(и0+ - Ир _ /<-у^^

ал"/(1 - м/)2

(1-"о)

а/

1 — н1

; ПМ

а

М' —1

-1