Динамика систем твердых тел c контактным взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, доктор наук Зобова Александра Александровна

• Зобова Александра Александровна
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Зобова Александра Александровна

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Уравнения движения

1.3.3 Исследование устойчивости прямолинейного движения

1.4 Симметричный омниэкипаж с массивными роликами на всех колесах

1.4.1 Структура системы и обобщенные координаты

1.4.2 Псевдоскорости и связи

1.4.3 Уравнения движения симметричного омниэкипажа с массивными роликами

1.5 Смена ролика в контакте омниколеса и плоскости

1.5.1 Прекращение скольжения как тангенциальный удар

1.5.2 Уравнение удара и его решение

1.5.3 Сохранение констант первых интегралов при ударе

1.5.4 Понижение порядка системы уравнений

1.6 Результаты численного моделирования

1.7 Обсуждение результатов

2 Динамика однородного шара на вязкоупругом основании с сухим трением

2.1 Феноменологическая модель контакта с трением

2.1.1 Модель пружинного основания

2.1.2 Силы трения в пятне контакта

2.1.3 Удар шара о плоскость

2.2 Движение однородного шара по плоскости

2.2.1 Уравнения движения

2.2.2 Основные предположения. Начальные условия

2.2.3 I этап: релаксация вертикальных колебаний

2.2.4 II этап: движение с быстрым проскальзыванием

2.2.5 III этап: движение с медленным проскальзыванием

2.2.6 IV этап: качение почти без проскальзывания

2.3 Обсуждение результатов

3 Динамика систем твердых тел на основании с сухим трением135

3.1 Динамика волчка тип-топ на плоскости с трением

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Уравнения движения волчка и их свойства

3.1.3 Качественный анализ динамики волчка

3.1.4 Бифуркационные диаграммы

3.1.5 Динамика двусферического волчка при различных моделях трения

3.1.6 Обсуждение результатов

3.2 Обобщение модели трения на случай произвольного выпуклого тела

3.2.1 Вычисление силы и момента трения

3.2.2 Свойства модели

3.2.3 Пример: экипаж с дифференциальным приводом

3.3 Динамика ведомого абсолютно твердого рояльного колеса . . . 172 3.3.1 Неголономная постановка

3.3.2 Динамика разгона колеса при использовании одномерной феноменологической модели сухого трения

3.3.3 Колебания курсового угла при разгоне

3.3.4 Обсуждение результатов

4 Влияние сцепления материалов в области контактного взаимодействия

4.1 Динамика упругого цилиндра на основании из того же материала

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Уравнения движения

4.1.3 Анализ движения при разных начальных условиях

4.1.4 Сравнение с трением скольжения Кулона

4.2 Торможение жесткого цилиндра, скользящего по вязкоупруго-

му основанию

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 Безразмерные переменные, метод решения, качественные результаты

4.2.3 Пример расчета изменения контактных характеристик

и скорости цилиндра при торможении

4.2.4 Анализ зависимости времени до остановки и пути торможения от параметра а

4.2.5 Доказательства теорем

4.3 Качение с проскальзыванием вязкоупругого цилиндра по вяз-коупругой плоскости с трением

4.3.1 Постановка задачи

4.3.2 Необходимые сведения о решении задачи вязкоупругости

4.3.3 Схема численного интегрирования

4.3.4 Изменение контактных характеристик во время торможения

4.3.5 Изменение распределений давлений и касатеьных напряжений во время торможения

4.4 Асимптотическое разделение движений при качении с проскальзыванием вязкоупругого цилиндра

4.5 Обсуждение результатов

Заключение 2S7

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика систем твердых тел c контактным взаимодействием»

В.1 Общая характеристика работы

Цель работы состоит в изучении динамики механических систем, в которых тела контактируют с опорной поверхностью, и качественном сравнении решений задач, получаемых при использовании различных моделей контакта. Изучаются как базовые задачи (о динамике шара и цилиндра), так и более сложные о системах многих твердых тел (экипаж с омниколесами, дифференциальный привод, рояльное колесо). Рассмотрены модели, в которых область контактного взаимодействия имеет конечный, но малый по сравнению с характерным масштабом системы размер. Выявляются свойства таких моделей, их влияние на динамику систем, проводится сравнение с классическим сухим трением Кулона и реакциями неголономных связей. Кроме этого, изучается влияние массивности тел, контактирующих с опорой, на реализацию идеальных неголономных связей и динамику системы в целом (на примере омниэкипажа).

Актуальность. Моделирование динамики систем, в которые входят контактирующие друг с другом и с внешними объектами тела, необходимо для разработки конструкций новых машин, транспортных и робототехнических комлексов и систем управления для них. Для управления автономными роботами требуется моделирование динамической системы и окружающих предметов на бортовых компьютерах, что повышает требования к скорости и точности численного моделирования. Сложность процессов, происходящих в реальных системах в области контактного взаимодействия, обусловленная шероховатостью и анизотропностью поверхностей, повышением температуры, присутствием смазки и т.д., приводит к трудностям при создании одновременно точных и достаточно простых моделей трения. В связи с этим число расчетных схем и фи-

зических моделей, предлагаемых для описания контактного взаимодействия, очень велико. Сравнение свойств этих моделей, проявляющихся в задачах динамики систем твердых тел, определение областей их применимости, определение подходящих аппроксимаций в разных областях фазового пространства является актуальной фундаментальной задачей теоретической механики.

Научная новизна и основные результаты. Все включенные в диссертацию результаты являются новыми. В работах соискателя с соавторами проведен качественный анализ динамики ом-ниэкипажа в безынерционной модели и при учете массы роликов на колесе; разработана простая аналитическая модель прекращения проскальзывания при смене ролика в контакте. Аналитически исследована динамика абсолютно твердого однородного шара, катящегося с проскальзыванием вдоль одномерного пружинного основания, описываемого моделью Кельвина-Фойгта. При этом сила и момент сопротивления движению являются, во-первых, результатом действия инфинитезимальных сил сухого трения Кулона, а во-вторых, несимметричного распределения давлений в области контактного взаимодействия, которое зависит от скорости центра шара. Эта модель обобщена на случай контакта выпуклого тела с различными главными кривизнами в точке контакта. Показано, что в этом случае распределение давлений зависит также и от угловой скорости тела. При изучении динамики торможения цилиндра на вязкоупругом полупространстве впервые использованы решения задач вязкоупругости в квазистатической постановке в случае плоской деформации.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенные исследования расширяют представления о влиянии на динамику систем трения, возникающего в области контактного взаимодействия выпуклых твердых тел. Используемые методы моделирования и исследования динамики механических систем могут применяться при решении других задач, например, задач управления колесными системами.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты дис-

сертации могут применяться при проведении исследований в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН и научно-исследовательских центрах, занимающихся исследованием динамики систем твердых тел и проектированием колесных робототехнических систем.

Методология и методы. Результаты исследования обоснованы методами теоретической механики и качественными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В первой главе применяется теория систем с неголономными связями, устойчивости, удара. Во второй главе применяются методы построения асимптотических разложений по малому параметру, теория функций Ляпунова. В третьей главе, кроме уже указанных, используется метод исследования системы на основании бифуркационных диаграмм Смейла. В четвертой главе применяются численные методы решения алгебраических уравнений и численного интегрирования задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту:

1. При движении по инерции экипажа с роликонесущими колесами, для которых принимается безынерционная модель, при любом расположении колес уравнения движения допускают линейный первый интеграл и интеграл энергии. Этих интегралов достаточно для сведения задачи об интегрировании уравнений движения к квадратурам и качественного анализа динамики системы.

2. В динамике экипажа с омниколесами с массивными роликами константы циклических первых интегралов, соответствующих свободным роликам омниколес, сохраняются при смене ролика в контакте. Вследствие этого порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику экипажа на участках движения без смены контакта, понижается до 3 + N, где N — число омниколес.

3. Движение однородного шара по горизонтальной вязкоупру-гой плоскости в общем случае состоит из четырех качественно различных этапов: первый — релаксация вертикальных колебаний, второй — уменьшение проскальзывания почти линейно по времени, третий — почти экспоненциальное уменьшение проскальзывания аналогично задаче с трением Контен-су, четвертый — движение в окрестности асимптотической траектории, когда скорость верчения убывает сначала почти линейно, а скорость центра масс — почти экспоненциально вплоть до полной остановки шара. Наибольшую длительность имеют второй и четвертый этапы.

4. Учет протяженности области взаимодействия при контакте выпуклого тела и основания приводит к естественной модели диссипативного момента, который влияет на качественную картину динамики механической системы. В частности, этот момент гарантирует возвращение волчка тип-топ в устойчивое положение равновесия. При его отсутствии финальным движением является либо перманентное вращение на ножке волчка, либо прецессионное движение.

5. Сочетание модели пружинного основания Кельвина-Фойгта и закона сухого трения Кулона формирует динамическую модель сухого трения при контакте с этим основанием абсолютно твердого выпуклого тела. В этой модели компоненты результирующей силы и момента зависят от скорости точки касания, угловой скорости твердого тела и глубины погружения в основание.

6. Учет сцепления материалов в области контактного взаимодействия в задаче о движении цилиндра, двигающегося со скольжением по полупространству с горизонтальной границей, приводит к следующим эффектам:

• экспоненциальному переходу к финальному движению в случае упругих материалов;

• изменению типа финального движения в случае вязко-упругих материалов.

7. Финальным движением цилиндра при качении с проскальзыванием по деформируемому основанию является: качение без проскальзывания с постоянной скоростью центра масс (случай одинаковых упругих материалов цилиндра и полупространства); вращение вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью, при этом центр масс неподвижен (случай абсолютно жесткого цилиндра и вязкоупругого полупространства); полная остановка (случай одинаковых вяз-коупругих материалов).

8. В случае одинаковых вязкоупругих материалов в задаче можно выделить быструю и медленную переменную, причем релаксация быстрой переменной при почти постоянной медленной соответствует второму этапу торможения шара на вязко-упругой плоскости (положение 3), а последующее убывание медленной переменной - четвертому этапу.

Достоверность и обоснованность. Все положения, выносимые на защиту, обоснованы строгими математическими методами. Результаты, полученные с помощью численного моделирования, верифицированы аналитическими методами, например, методом малого параметра.

Апробация. Результаты прошли апробацию на ряде международных и всероссийских конференций:

1. Международный семинар 53rd Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Technische Universität Ilmenau, 2008

2. Международная научная конференция по механике «Пятые Поляховские чтения», 2009

3. Международная конференция IUTAM Symposium on Dynamics Modeling and Interaction Control in Virtual and Real Environments, 2010

4. Международная конференция по динамике систем твердых тел ECCOMAS Thematic Conference Multibody Dynamics, 2015

5. Международный семинар по моделям качения в динамике систем твердых тел EUROMECH Colloquium 578 Rolling Contact Mechanics for Multibody System Dynamics, 2017

6. Международная конференция по динамике систем твердых тел The 5th Joint International Conference on Multibody System Dynamics, 2018

7. Международная конференция по динамике систем твердых тел ECCOMAS Multibody Dynamics, 2019

8. XI, XII Всероссийские съезды по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, Уфа, 2015, 2019)

9. Международная научная конференция «Фундаментальные и прикладные задачи механики», 2017

10. Международная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», посвященная 80-летию академика В. А. Садовничего, 2019

11. Всероссийская конференция молодых учёных-механиков, 2017

12. Научная конференция «Ломоносовские чтения», 2008 - 2019

Результаты также были представлены соискателем на следующих научных семинарах:

1. Семинар по аналитической механике и теории устойчивости имени В.В. Румянцева под руководством профессора А.В. Ка-рапетяна (механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова)

2. Семинар департамента технической механики факультета инженерной механики, Технический университет Ильменау, Германия (Seminar of the Department of Technical Mechanics, Faculty of Mechanical Engineering, TU Ilmenau, Germany).

3. Семинар «Гамильтоновы системы и статистическая механика» под руководством академика В.В. Козлова, академика Д.В. Трещева и чл.-корр. С.В. Болотина (механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова)

4. Семинар по теории управления и динамике систем под руководством академика Ф.Л. Черноусько (Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН)

5. Семинар имени А.Ю. Ишлинского по прикладной механике и управлению под руководством профессора В.В. Александрова (механико-математический факультет, Институт механики МГУ имени М.В. Ломоносова)

Исследования были проведены в рамках поддержанных грантами проектов, в которых соискатель выступала в роли руководителя (грант МК-698.2010.1, РФФИ 12-01-31059) или основного исполнителя (гранты РФФИ, 2003 - 2020 годы).

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 30 печатных работах, 16 из которых опубликованы в рецензируемых журналах, индексируемых в международных базах WebOfScience, Scopus и RSCI, 3 статьи опубликованы в журналах, входящих в список ВАК, 4 статьи опубликованы в сборниках трудов международных конференций, включенных в международные базы Scopus либо Web Of Science.

По результатам работы опубликованы в рецензируемых журналах, индексируемых в международных базах WebOfScience, Scopus и RSCI, следующие статьи:

1. Зобова А. А., Татаринов Я. В. Свободные и управляемые движения некоторой модели экипажа с роликонесущими ко-

лесами // Вестник московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2008. — № 6. — С. 62-65. Перевод: Zobova A. A., Tatarinov Y. V. Free and controlled motions of an omniwheel vehicle // Moscow University Mechanics Bulletin. -2008. — Vol. 63, no. 6. — P. 146-150. (Scopus IF 0,5)

2. Зобова А. А., Карапетян А. В. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // Прикладная математика и механика.

- 2009. — Т. 73, № 6. — С. 867-877. Перевод: Zobova A. A., Karapetyan A. V. Analysis of the steady motions of the tippe top // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2009.

- Vol. 73, no. 6. — P. 623-630. (WoS IF 0,517)

3. Зобова А. А., Татаринов Я. В. Динамика экипажа с роли-конесущими колесами // Прикладная математика и механика. — 2009. — Т. 73, № 1. — С. 13-22. Перевод: Zobova A. A., Tatarinov Y. V. The dynamics of an omni-mobile vehicle // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2009. — Vol. 73, no. 1. — P. 8-15. (WoS IF 0,517)

4. Zobova A. A. Comments on the paper by M.C. Ciocci, B. Malengier, B. Langerock, and B. Grimonprez "Towards a prototype of a spherical tippe top" // Regular and Chaotic Dynamics. — 2012.

- Vol. 17, no. 3-4. — P. 367-369. (WoS IF 1,124)

5. Зобова А. А. Различные модели трения в динамике двусфери-ческого волчка // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2013. — № 2. — С. 21-28. Перевод: Zobova A. A. Various friction models in two-sphere top dynamics // Mechanics of Solids. — 2013. — Vol. 48, no. 2. — P. 134-139. (WoS IF 0,508)

6. Зобова А. А., Трещев Д. В. Шар на вязкоупругой плоскости // Труды Математического института им.В.А.Стеклова РАН. — 2013. — Т. 281. — С. 98-126. Перевод: Zobova A. A., Treschev D. V. Ball on a viscoelastic plane // Proceedings of

the Steklov Institute of Mathematics. - 2013. - Vol. 281. - P. 98-126. (WoS IF 0,686)

7. Зобова А. А. Обзор моделей распределенного сухого трения // Прикладная математика и механика. — 2016. — Т. 80, № 2. — С. 194-206. Перевод: Zobova A. A. A review of models of distributed dry friction // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2016. — Vol. 80, no. 2. — P. 141-148. (WoS IF 0,517)

8. Multi-physics modelling of a compliant humanoid robot / A. A. Zobova, T. Habra, N. Van der Noot et al. // Multibody System Dynamics. — 2017. — Vol. 39, no. 1. — P. 95-114. (WoS IF 2,298)

9. Karapetyan A. V., Zobova A. A. Tippe-top on visco-elastic plane: steady-state motions, generalized Smale diagrams and overturns // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2017. — Vol. 38, no. 6. — P. 1007-1013. (Scopus IF 1,0)

10. Герасимов К. В., Зобова А. А. Движение симметричного экипажа на омни-колесах с массивными роликами // Прикладная математика и механика. — 2018. — Т. 82, № 4. — С. 427-440. Перевод: Gerasimov K. V., Zobova A. A. On the motion of a symmetrical vehicle with omniwheels with massive rollers // Mechanics of Solids. — 2018. — Vol. 53, no. S2. — P. 32-42. (WoS IF 0,508)

11. Зобова A. A., Горячева И. Г. Динамическая задача о качении с проскальзыванием упругого цилиндра по упругому полупространству // Доклады Академии наук. — 2018. — Т. 481, № 1.

- С. 24-26. Перевод: Goryacheva I. G., Zobova A. A. Dynamics of rolling with a microslip for an elastic cylinder on an elastic half-space // Doklady Physics. — 2018. — Vol. 63, no. 7. — P. 263-265 (WoS IF 0,539)

12. Моисеев Г. Н., Зобова А. А. Устойчивость прямолинейных движений омни-экипажа с учетом инерционности роликов ко-

лес // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2018. — № 6. — С. 78-82. Перевод: Moiseev G. N., Zobova A. A. Stability of the rectilinear motion of an omni vehicle with consideration of wheel roller inertia // Moscow University Mechanics Bulletin. — 2018. — Vol. 73, no. 6. — P. 145-148. (Scopus IF 0,5)

13. Zobova A. A. Dry friction distributed over a contact patch between a rigid body and a visco-elastic plane // Multibody System Dynamics. — 2019. — Vol. 45, no. 2. — P. 203—222. (WoS IF 2,298)

14. Горячева И. Г., Зобова A. A. Динамика упругого цилиндра на упругом основании // Прикладная математика и механика.

- 2019. — Т. 83, № 1. — С. 39-46. Перевод: Goryacheva I. G., Zobova A. A. Dynamics of the motion of an elastic cylinder along an elastic foundation // Mechanics of Solids. — 2019. — Vol. 54, no. 2. — P. 271-277. (WoS IF 0,508)

15. Горячева И. Г., Зобова А. А. Торможение жесткого цилиндра, скользящего по вязкоупругому основанию // Прикладная математика и механика. — 2019. — Т. 83, № 2. — С. 215-227. Перевод: Goryacheva I. G., Zobova A. A. Deceleration of a rigid cylinder sliding along a viscoelastic foundation // Mechanics of Solids. — 2019. - Vol. 54, no. 2. - P. 278-288. (WoS IF 0,508)

16. Goryacheva I. G., Zobova A. A. Dynamics of a viscoelastic cylinder on viscoelastic half-space // Acta Mechanica. 2020. Vol. 231, no. 6. - P. 2217-2230 (WoS IF 2,138)

Опубликованы статьи в журналах, входящих в список ВАК:

17. Зобова А. А. Применение лаконичных форм уравнений движения в динамике неголономных мобильных роботов // Нелинейная динамика. — 2011. — Т. 7, № 4. — С. 771-783.

18. Зобова А. А. Комментарий к работе М.К.Чоччи и др. "К созданию прототипа сферического китайского волчка" // Нелинейная динамика. — 2012. — Т. 8, № 2. — С. 427-430.

19. Герасимов К.В., Зобова А.А. Динамика экипажа на омни-ко-лесах с массивными роликами с учетом смены ролика в контакте с опорной плоскостью // Труды МАИ. 2018. № 101.

Также опубликованы статьи в сборниках трудов международных конференций, включенных в международные базы Scopus либо Web Of Science:

20. Zobova A. A. Different models of friction in double-spherical tippe-top dynamics // Proceedings of the IUTAM Symposium on Dynamics Modeling and Interaction Control in Virtual and Real Environments - Vol. 30 of IUTAM Bookseries. - Springer, 2010. - P. 265-272.

21. Multi-physics modelling of a compliant humanoid robot / A. A. Zobova, T. Habra, N. Van Der Noot et al. // Proceedings of the ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dynamics 2015, Multibody Dynamics 2015. - 2015. - P. 1458-1469.

22. Gerasimov K. V., Zobova A. A., Kosenko I. I. Omni-vehicle dynamical models mutual matching for different roller-floor contact models // Multibody Dynamics 2019. - Vol. 53 of Computational Methods in Applied Sciences. - Springer International Publishing Cham, Switzerland, 2020. - P. 511-517.

23. Zobova A. A., Gerasimov K. V., Kosenko 1.1. Adjustment of non-holonomic constraints by absolutely inelastic tangent impact in the dynamics of an omni-vehicle // Multibody Dynamics 2019. -Vol. 53 of Computational Methods in Applied Sciences. - Springer International Publishing Cham, Switzerland, 2020. - P. 518-525.

Прочие печатные работы:

24. Зобова А. А. Нестационарные движения двусферического китайского волчка // Вестн. Нижегород. у-та им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4. - С. 143-144.

25. Зобова А. А. Аппроксимация сил и моментов трения в модели вязко-упругой плоскости // Современные проблемы математики и механики. — Т. 7. Выпуск 2. Математика. Механика. — Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ Москва, 2013. — С. 44-52.

26. Зобова А. А. Распределенное сухое трение при контакте твердого тела и вязко-упругой плоскости // Аналитическая механика, устойчивость и управление. Труды XI Международной Четаевской конференции. Казань, 13-17 июня 2017 г. - Т. 1. - КНИТУ-КАИ Казань, 2017. - С. 386-396.

27. Zobova A. A. The shimmy phenomenon in dynamics of driven rigid castor wheel // Proceedings of the 5th Joint International Conference on Multibody System Dynamics. — Instituto Superior Tecnico University of Lisbon Lisboa, Portugal, 2018. — P. 1-12.

28. Зобова A. A. Асимптотическое разделение движений при качении с проскальзыванием вязкоупругого цилиндра // Современные проблемы математики и механики. Материалы международной конференции, посвященной 80-летию академика РАН В. А. Садовничего. - Т. 1. - МАКС Пресс Москва, 2019. - С. 703-706.

29. Зобова А. А., Горячева И. Г. Анализ динамики торможения цилиндра с учетом распределения контактных напряжений для упругих и вязкоупругих тел //XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4-х томах. Т. 1: Общая и прикладная механика. - Т. 1. - РИЦ БашГУ Уфа, 2019. - С. 16-18.

30. Зобова А. А. Быстрые и медленные переменные в задаче о качении с проскальзыванием вязкоупругого цилиндра по полупространству // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4-х томах. Т. 1: Общая и прикладная механика. - Т. 1. - РИЦ БашГУ Уфа, 2019. - С. 73 - 74.

В.2 Обзор литературы

Большинство механических систем включает контакты между твердыми телами самой системы или с внешними телами. Идея идеальных связей, то есть соотношений на координаты и скорости тел, выполненных на протяжении всего движения, позволяет строить математические модели таких систем без рассмотрения процессов, происходящих при контакте. Свойство идеальности связей, то есть, грубо говоря, отсутствие как торможения, так и ускорения при движении "вдоль" связи, постулируется при постановке задачи. Например, так часто моделируются шарнирные соединения.

Контакт двух выпуклых1 тел часто моделируется в предположении отсутствия проскальзывания соприкасающихся поверхностей. Тогда, предполагая что тела недеформируемы, принимают, что контакт происходит в единственной точке. Условие равенства скоростей точек этих тел в точке соприкосновения приводит к дифференциальным уравнениям связей. Вообще говоря, эти связи не интегрируются, тогда такая система называется него-лономной (обзоры исследований таких систем можно найти, например, в [68,140,147]). Если постулируется, что связь, задающая отсутствие проскальзывания, идеальна, то реакция связи сводится к одной силе, приложенной в точке контакта (то есть момент реакций относительно точки контакта равен нулю). Реакция вычисляется как функция координат и скоростей системы, при этом вопрос о происхождении этой силы не ставится. Наложение связи

1 Здесь и далее под выпуклыми телами подразумеваются тела, ограниченные строго выпуклыми поверхностями.

существенно понижает порядок системы уравнений, описывающей динамику системы и упрощает ее анализ, что позволяет аналитически строить системы управления такими системами. Приведем некоторые примеры построения управления на основе кинематических и динамических уравнений, составленных с учетом таких связей, для систем, рассмотренных в диссертационном исследовании: это плоскопараллельное движение диска без проскальзывания [57, 58], движение платформ с рояльными колесами [142], с роликонесущими колесами [47,130,141,149]. В рамках неголоном-ной постановки задачи в главе 1 представленной работы решается задача о движении омниэкипажа.

В реальных системах происходит диссипация энергии в точках контакта тел, и это необходимо учитывать при построении моделей механических систем. Одним из самых простых и естественных способов развития неголономной модели является феноменологическое добавление диссипативных сил и моментов, например, типа вязкого трения (например, [34,36] и др.). Более сложный вариант — это рассмотрение деформаций в области контактного взаимодействия, когда одно из тел предполагается деформируемым, однако уравнения сплошной среды не рассматриваются, а выбирается некоторая упрощенная модель деформируемого твердого тела. Перейдем к подробному рассмотрению таких моделей.

В.2.1 Феноменологические модели трения качения

Сначала приведем подробное описание результатов пионерских работ А.Ю. Ишлинского [113,114], а затем перейдем к работам, в которых модель деформируемого основания используется для изучения динамики модельных механических систем.

В статье [113] решается задача об определении сопротивления качению без проскальзывания жесткого цилиндра радиуса Я (также называемого катком) по релаксирующему грунту и упруго-вязкому грунту. Модель строится феноменологически при следующих

предположениях: цилиндр движется с постоянной скоростью под действием внешней силы и момента; отсутствие проскальзывания обеспечивается "главным образом трением первого рода поверхностей катка и грунта" [113]; на каток действуют распределенные по поверхности соприкосновения катка с грунтом реакции, удельное давление р(х) которых постоянно вдоль образующих и зависит от расстояния х до вертикальной плоскости, проходящей через ось катка. Сила трения качения рассчитывается как

1 Гх2

^ р(х)х(х,

где (х1, х2) — область контактного взаимодействия. Из условия контакта жесткого цилиндра и деформируемой плоскости вычисляется "осадка грунта" у(х) в точке с координатой х

y(x) = h -

2 X2

2R,

где h - глубина погружения самой низшей точки катка, находящей под осью цилиндра. При этом форма сечения цилиндра в окрестности точки контакта аппроксимируется параболой. Скорость оседания грунта y(x) вычисляется из условия стационарного движения катка со скоростью v и имеет вид

y(x) = Rx

Далее рассматриваются две модели, связывающие деформации и скорости деформации y(x),y(x) грунта и удельное давление p(x). В случае релаксирующего грунта предполагается, что

(x2 \ v

h — — + M^x, K = const, д = const, (B.1) 2Яу R

т.е. эпюра давлений представляет собой параболу с координатой вершины К, зависящей от скорости оси цилиндра. Далее, условие равенства нулю давления на задней границе области контакного

а*

«Гч1Г. Фиг. I

Рис. B.1. Зависимость силы сопротивления F(v) и безразмерных границ области контактного взаимодействия xi/R, x2/R от скорости оси цилиндра из статьи [113]

взаимодействия p(xi) = 0, условие нулевой "осадки грунта" на ее передней границе y(x2) = 0, а также равенство суммарного давления внешней нагрузке P, действующей на цилиндр

Г Х2

P = p(x) dx

J xi

позволяет найти границы области контактного взаимодействия xi и x2 и максимальную глубину погружения по заданным внешней нагрузке P, параметрам материала K и ß и скорости оси цилиндра v. Зависимость силы сопротивления F(v) и безразмерных границ области контактного взаимодействия xi/R, x2/R от скорости приведены на фигурах 3 и 4 в статье [113] (рис. B.1). Там же установлено, что

F(0) = 0, lim F(v) = 0.

Задняя граница области контактного взаимодействия всегда расположена за проекцией оси цилиндра, т.е. xi < 0. При возрастании скорости v задняя граница приближается к этой проекции

lim xi = 0,

а длина области контактного взаимодействия |x2 — xi| убывает.

Необходимо заметить, что принятые в этой модели краевые условия влекут положительность давления на передней границе области контактного взаимодействия р(х2) > 0.

В случае упруго-вязкого грунта принимается следующая зависимость между скоростью верхней точки элемента грунта и давлением:

у = кр +

Здесь к и V — некоторые физические постоянные, характеризующие релаксационные свойства грунта. Эта зависимость при качении катка с постоянной скоростью приводит к следующему дифференциальному уравнению на р(х):

V ф

—х = — vk-—+ К ах

Общее решение этого уравнения имеет вид:

,2

р(х) = С ехр (-^-х ) +

V \ V v2k

+

Условия2

/*Х 2

р(х:) = 0, р(х2) = 0 и Р = / р(х) ах

позволяют найти произвольную постоянную С и координаты границ области контактного взаимодействия. Пример распределения давлений при скоростях V = Vo и V = 1.4ио показаны на рис. В.2. Некоторые упрощения, следующие из малости длины участка контактного взаимодействия по сравнению с радиусом цилиндра, приводят к следующей формуле для силы сопротивления

Е = ! \ — Р5/3 V

5У кК V'

Таким образом, сила сопротивления зависит от скорости оси цилиндра обратно пропорционально. Отметим, что основной целью

2условие на правом конце аргументировано следующим образом: при х = Х2 "осадка грунта равна нулю и грунт лишь начинает деформироваться под катком"

Рис. В.2. Сравнение распределений давления для двух значений скорости центра V = ^о (сплошная линия), V = 1.4г>о (пунктир) для упруго-вязкого грунта из статьи [113]

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Зобова Александра Александровна, 2020 год

Литература

1. Adamov B.I. A study of the controlled motion of a four-wheeled Mecanum platform // Нелинейная динамика. 2018. Т. 14, № 2. С. 265-290.

2. Adascalitei F., Doroftei I. Practical applications for mobile robots based on mecanum wheels-a systematic survey // The Romanian Review Precision Mechanics, Optics and Mechatronics. 2011. Т. 40. С. 21-29.

3. Al-Bender F., Swevers J. Characterization of friction force dynamics // IEEE Control Systems. 2008. Dec. Т. 28, № 6. С. 64-81.

4. Awrejcewicz J., Kudra G. Rolling resistance modelling in the Celtic stone dynamics // Multibody System Dynamics. 2019. Т. 45, № 2. С. 155-167.

5. Balci M. N., Dag S. Solution of the dynamic frictional contact problem between a functionally graded coating and a moving cylindrical punch // International Journal of Solids and Structures. 2019. Т. 161. С. 267 - 281.

6. An approach to the kinematics and dynamics of a four-wheel Mecanum vehicle / Becker F., Bondarev O., Zeidis I. [и др.] // Sci. J. IFToMM Probl. Mech. 2014. Т. 2. С. 27-37.

7. Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I.S. Dynamics and control of an omniwheel vehicle // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. Т. 20, № 2. С. 153-172.

8. On the dynamics of a body with an axisymmetric base sliding on a rough plane / Borisov A.V., Karavaev Y.L., Mamaev I.S. [h gp.] // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2015. T. 11, № 3. C. 547-577.

9. Experimental Investigation of the Motion of a Body with an Axisymmetric Base Sliding on a Rough Plane / Borisov A.V., Karavaev Yu.L., Mamaev I.S. [h gp.] // Regul. Chaotic Dyn. 2015. T. 20, № 5. C. 518-541.

10. Borisov A.V., Mamaev I.S. Notes on new friction models and nonholonomic mechanics // Physics-Uspekhi. 2015. T. 58, № 12. C. 1220.

11. Numerical simulation of finite dimensional multibody nonsmooth mechanical systems / Brogliato B., ten Dam Aa., Paoli L. [h gp.] // Applied Mechanics Reviews. 2002. T. 55, № 2. C. 107.

12. Brown P., McPhee J. A continuous velocity-based friction model for dynamics and control with physically meaningful parameters // ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. 2016. T. 11, № 5.

13. Burlakov D., Treschev D. A rigid body on a surface with random roughness // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. T. 19, № 3. C. 296-309.

14. Campion G., Bastin G., d'Andr'ea Novel B. Structural Properties and Classification of Kinematic and Dynamic Models of Wheeled Mobile Robots // IEEE Transactions on Robotics and Automation. Vol. 12. 1996. P. 47-62.

15. Carter F. W. On the action of a locomotive driving wheel // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1926. T. 112, № 760. C. 151-157.

16. Chertok D. L., Golden J. M., Graham G. A. C. Hysteretic Friction for the Transient Rolling Contact Problem of Linear Viscoelasticity // Journal of Applied Mechanics. 2001. T. 68, № 4. C. 589.

17. Erismann Th. Theorie und Anwendungen des echten Kugelgetriebes // ZAMP. 1954. № 5. C. 355-388.

18. Gerasimov K.V., Zobova A.A., Kosenko I.I. Omni-Vehicle dynamical models mutual matching for different roller-floor contact models // Multibody Dynamics 2019. Cham: Springer International Publishing, 2020. C. 511-517.

19. Gfrerrer A. Geometry and kinematics of the Mecanum wheel // Computer Aided Geometric Design. 2008. T. 25, № 9. C. 784-791.

20. Golden J. M. The problem of a moving rigid punch on an unlubricated viscoelastic halfplane // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1979. T. 32, № 1. C. 25-52.

21. Golden J.M., Graham G.A.C. The transient quasi-static plane viscoelastic moving load problem // International Journal of Engineering Science. 1987. T. 25, № 1. C. 65-84.

22. Hippmann G. An Algorithm for Compliant Contact Between Complexly Shaped Bodies // Multibody System Dynamics. 2004. T. 12, № 4. C. 345-362.

23. Hunter S. C. The Rolling Contact of a Rigid Cylinder With a Viscoelastic Half Space // Journal of Applied Mechanics. 1961. T. 28, № 4. C. 611.

24. Ivanov A.P. On detachment conditions in the problem on the motion of a rigid body on a rough plane // Regular and Chaotic Dynamics. 2008. T. 13, № 4. C. 355-368.

25. Ivanov A.P. On the control of a robot ball using two omniwheels // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. T. 20, № 4. C. 441-448.

26. Kalker J. J. The computation of three-dimensional rolling contact with dry friction // International Journal for numerical methods in engineering. 1979. T. 14, № 9. C. 1293-1307.

27. Kalker J. J. Three-dimensional elastic bodies in rolling contact. Springer Science & Business Media, 2013. T. 2.

28. Kane T.R., Levinson D.A. A realistic solution of the symmetric top problem // American Society of Mechanical Engineers. 1978.

29. Karapetyan A.V., Zobova A.A. Tippe-top on visco-elastic plane: steady-state motions, generalized smale diagrams and overturns // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. T. 38, № 6. C. 1007-1013.

30. Karavaev Yu.L., Kilin A.A. The dynamics and control of a spherical robot with an internal omniwheel platform // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. mar. T. 20, № 2. C. 134-152.

31. Experimental investigations of a highly maneuverable mobile omniwheel robot / Kilin A., Bozek P., Karavaev Yu. [h gp.] // International Journal of Advanced Robotic Systems. 2017. T. 14, № 6. C. 1-9.

32. Kosenko I. I., Gerasimov K. V. Object-oriented approach to the construction of an omni vehicle dynamical model // Journal of Mechanical Science and Technology. Korea, Republic of, 2015. Vol. 29, no. 7. P. 2593-2599.

33. Kosenko I. I., Stepanov S. Y., Gerasimov K. V. Contact tracking algorithms in case of the omni-directional wheel rolling on the horizontal surface // Multibody System Dynamics. Netherlands, 2019. Vol. 45. P. 273-292.

34. Leine R.I. Experimental and theoretical investigation of the energy dissipation of a rolling disk during its final stage of motion // Archive of Applied Mechanics. 2009. T. 79, № 11. C. 1063-1082.

35. Leine R.I., Glocker Ch. A set-valued force law for spatial Coulomb-Contensou friction // European Journal of Mechanics - A/Solids. 2003-03. T. 22, № 2. C. 193-216.

36. Rolling friction and energy dissipation in a spinning disc / Ma D., Liu C., Zhen Zh. [h gp.] // Proceedings. Mathematical, physical, and engineering sciences / the Royal Society. 2014. 09. T. 470. C. 20140191.

37. O'Brien S., Synge J.L. The instability of the tippe-top explained by sliding friction // Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences. 1953. T. 56. C. 23-35.

38. Rolling friction and bistability of rolling motion / Pochel T., Schwager T., Brilliantov N. [h gp.] // Powders and Grains. 2005. C. 505-509.

39. Poschel T., Brilliantov N.V., Zaikin A. Bistability and noise-enhanced velocity of rolling motion // Europhysics Letters (EPL). 2005. T. 69, № 3. C. 371-377.

40. Poschel Th., Schwager Th., Brilliantov N.V. Rolling friction of a hard cylinder on a viscous plane // The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems. 1999. T. 10, № 1. C. 169-174.

41. Sherman M.A., Seth A., Delp S.L. Simbody: multibody dynamics for biomedical research // Procedia IUTAM. 2011-01. T. 2. C. 241-261.

42. Sidorenko V.V. On the dynamics of a spherically shaped top on a plane with friction // arXiv preprint arXiv:1604.02330. 2016.

43. Svendenius J. Tire Models for Use in Braking Applications. Licentiate Thesis. Department of Automatic Control. Lund Institute of Technology, 2003.

44. Weiss Avi, Langlois Robert G, Hayes MJD. Dynamics and vibration analysis of the interface between a non-rigid sphere and omnidirectional wheel actuators // Robotica. 2015. T. 33, № 9. C. 1850-1868.

45. Zeidis I., Zimmermann K. Dynamics of a four-wheeled mobile robot with Mecanum wheels // ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2019. T. 99, № 12. C. e201900173.

46. Zhan Q., Cai Y., Yan C. Design, analysis and experiments of an omni-directional spherical robot // 2011 IEEE International

Conference on Robotics and Automation / IEEE. 2011. C. 49214926.

47. Mechanics of mobile robots with Mecanum wheels / Zimmermann K., Zeidis I., Schale F. [h gp.] // Symposium on Robot Design, Dynamics and Control / Springer. 2016. C. 103-111.

48. Zobova A. A. Different models of friction in double-spherical tippe-top dynamics // Proceedings of the IUTAM Symposium on Dynamics Modeling and Interaction Control in Virtual and Real Environments. Vol. 30. Springer, 2010. P. 265-272.

49. Zobova A. A. The shimmy phenomenon in dynamics of driven rigid castor wheel // Proceedings of the 5th Joint International Conference on Multibody System Dynamics. Instituto Superior Tecnico University of Lisbon Lisboa, Portugal, 2018. P. 1-12.

50. Zobova A. A. Dry friction distributed over a contact patch between a rigid body and a visco-elastic plane // Multibody System Dynamics. 2019. T. 45, № 2. C. 203-222.

51. Zobova A. A., Gerasimov K. V., Kosenko I. I. Adjustment of non-holonomic constraints by absolutely inelastic tangent impact in the dynamics of an omni-vehicle // Multibody Dynamics 2019. Vol. 53. Cham: Springer International Publishing, 2019. P. 518525.

52. Zobova A.A. Comments on the Paper by MC Ciocci, B. Malengier, B. Langerock, and B. Grimonprez "Towards a Prototype of a Spherical Tippe Top" // Regular and Chaotic Dynamics. 2012. T. 17, № 3-4. C. 367-369.

53. Multi-physics modelling of a compliant humanoid robot / Zobova A.A., Habra T., Van der Noot N. [h gp.] // Multibody System Dynamics. 2017. T. 39, № 1. C. 95-114.

54. Zobova A. A., Goryacheva I.G. Dynamics of a viscoelastic cylinder on viscoelastic half-space // Acta Mechanica. 2020. T. 231, № 6. C. 2217-2230.

55. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. С. 832.

56. Адамов Б. И., Кобрин А.И. Идентификация параметров математической модели мобильной роботизированной платформы всенаправленного движения KUKA youBot // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 4. С. 251-258.

57. Акуленко Л.Д. Управляемое качение диска по плоской кривой // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72, № 6. С. 912-924.

58. Управление движением неоднородного цилиндра с подвижными внутренними массами по горизонтальной плоскости / Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н., Кумакшев С.А. [и др.] // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70, № 6. С. 942-958.

59. Александров Е. Б., Вильке В.Г., Косенко И.И. Контактная задача Герца: численная редукция и объемометрическая модификация // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 48, № 12. С. 2195-2211.

60. Андронов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.: Наука. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическоя динамика». Ин-т компьют. исслед., 2010. С. 184.

61. Андронов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010.

62. Теория бифуркаций. Динамические системы 5 / Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С. [и др.]. М.: Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5, ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

63. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом // Прикладная математика и механика. 1954. Т. 18, № 3. С. 345350.

64. Теоретическая механика / Болотин С.В., Кугушев Е.И., Тре-щев Д.В. [и др.]. Москва: Издательский центр "Академия", 2010. С. 432.

65. Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. Тележка с омнико-лесами на плоскости и сфере // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7, № 4 (Мобильные роботы). С. 785-801.

66. Динамика тела с осесимметричным основанием на наклонной плоскости / Борисов А.В., Ердакова Н.Н., Иванова Т.Б. [и др.] // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 4. С. 483-495.

67. Экспериментальное исследование движения тела с осесиммет-ричным основанием, скользящего по шероховатой плоскости / Борисов А.В., Караваев Ю.Л., Мамаев И.С. [и др.] // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11, № 3. С. 547-577.

68. Избранные задачи неголономной механики / Борисов АВ, Мамаев ИС, Килин АА [и др.] // Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2005.

69. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов // ПММ. 2003. Т. 67, № 2. С. 244-255.

70. Вильке В. Г., Мигунова Д. С. О движении мяча по травяному газону // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75, № 5. С. 801-812.

71. Вильке В.Г. Теоретическая механика. СПб.: Лань, 2003. С. 304.

72. Вильке В.Г. Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, № 6. С. 1010-1024.

73. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. М.:: Наука, 1980. С. 304.

74. Герасимов К. В. Динамика роликонесущего экипажа с учетом инерции роликов и трения. Дисс. на соискание степени

кандидата физико-математических наук.: МГУ имени М.В. Ломоносова. 2018.

75. Герасимов К. В., Зобова А. А. Движение симметричного экипажа на омни-колесах с массивными роликами // ПММ. 2018. Т. 82, № 4. С. 427-440.

76. Герасимов К. В., Зобова А. А. Динамика экипажа на омни-колесах с массивными роликами с учетом смены ролика в контакте с опорной плоскостью // Труды МАИ. М., 2018. № 101.

77. Горячева И. Г. Об одном предельном случае качения цилиндра по вязкоупругому основанию // Научные труды аспирантов отд. мех. мех.-мат. фак. МГУ. М., 1973. С. 96-105.

78. Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. С. 478 с.

79. Горячева И. Г., Зобова А. А. Динамика упругого цилиндра на упругом основании // Прикладная математика и механика. 2019. Т. 83, № 1. С. 39-46.

80. Горячева И. Г., Зобова А. А. Торможение жесткого цилиндра, скользящего по вязкоупругому основанию // Прикладная математика и механика. 2019. Т. 83, № 2. С. 215-227.

81. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Лань, 2008.

82. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. Мир, 1989.

83. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62, № 5. С. 762-767.

84. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Теория явления шимми // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 3. С. 22-29.

85. Журавлев В.Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2003. № 4. С. 81-89.

86. Журавлев В.Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2006. № 6. С. 3-9.

87. Журавлев В.Ф. К истории закона сухого трения // Доклады академии наук. 2010. Т. 433, № 1. С. 46-47.

88. Журавлев В.Ф. 500 лет истории закона сухого трения // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». 2014. № 2 (53).

89. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамике волчка Томсона (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 6. С. 157-168.

90. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Глобальное движение кельтского камня // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 3. С. 8-16.

91. Журавлев В.Ф., Климов Д.М., Плотников П. К. Новая модель шимми // Труды Математического института имени

B.А. Стеклова. 2013. Т. 281, № 0. С. 32-41.

92. Журавлёв В.Ф. Явление шимми с позиций поликомпонентного сухого трения // Космонавтика и ракетостроение. 2014. № 1. С. 7-14.

93. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. О механизме явления шимми // Доклады академии наук. 2009. Т. 428, № 6. С. 761-764.

94. Зобова А. А. Аппроксимация сил и моментов трения в модели вязко-упругой плоскости // Тр. 12 Всероссийского совещания по проблемам управления (электронный ресурс). 2014.

C. 1757-1765.

95. Зобова А. А. Обзор моделей распределенного сухого трения // ПММ. М., 2016. Т. 80, № 2. С. 194-206.

96. Зобова А. А. Асимптотическое разделение движений при качении с проскальзыванием вязкоупругого цилиндра // Современные проблемы математики и механики. Материалы международной конференции, посвященной 80-летию академика РАН В. А. Садовничего. Т. 1. МАКС Пресс Москва, 2019. С. 703-706.

97. Зобова А. А., Горячева И. Г. Динамическая задача о качении с проскальзыванием упругого цилиндра по упругому полупространству // Доклады Академии наук. М., 2018. Т. 481, № 1. С. 24-26.

98. Зобова А. А. Нестационарные движения двусферического китайского волчка // Вестн. Нижегород. у-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. С. 143-144.

99. Зобова А. А. Применение лаконичных форм уравнений движения в динамике неголономных мобильных роботов // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7, № 4. С. 771-783.

100. Зобова А. А. Аппроксимация сил и моментов трения в модели вязко-упругой плоскости // Современные проблемы математики и механики. Выпуск 2. Математика. Механика. Т. 7. Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ Москва, 2013. С. 44-52.

101. Зобова А. А. Различные модели трения в динамике двусфери-ческого волчка // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2013. № 2. С. 21-28.

102. Зобова А. А. Распределенное сухое трение при контакте твердого тела и вязко-упругой плоскости // Аналитическая механика, устойчивость и управление. Труды XI Международной Четаевской конференции. Казань, 13-17 июня 2017 г. Т. 1. КНИТУ-КАИ Казань, 2017. С. 386-396.

103. Зобова А. А. Быстрые и медленные переменные в задаче о качении с проскальзыванием вязкоупругого цилиндра по полупространству // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сбор-

ник трудов в 4 томах. Т. 1: Общая и прикладная механика. Т. 1. РИЦ БашГУ г. Уфа, 2019. С. 73-74.

104. Зобова А. А., Карапетян А. В. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 6. С. 867-877.

105. Зобова А. А., Татаринов Я. В. Свободные и управляемые движения некоторой модели экипажа с роликонесущими колесами // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Матем. Механ. 2008. 2008. № 6. С. 62-65.

106. Зобова А. А., Татаринов Я. В. Динамика экипажа с роликонесущими колесами // ПММ. 2009. Т. 73, № 1. С. 13-22.

107. Зобова А.А. Комментарий к работе М.К. Чоччи и др.«К созданию прототипа сферического китайского волчка» // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. С. 427-430.

108. Зобова А.А., Трещев Д.В. Шар на вязкоупругой плоскости // Труды МИАН. 2013. Т. 281. С. 98-126.

109. Иванов А.П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 2. С. 189-203.

110. Иванов А.П. Сравнение моделей трения в динамике шара на плоскости // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, № 4. С. 907912.

111. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М.; Ижевск:: НИЦ РХД, 2011. С. 304.

112. Иванов А.П. Об управлении роботом-шаром при помощи двух омниколес // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. С. 319-327.

113. Ишлинский А.Ю. Трение качения // Доклады Академии наук. 1938. Т. 2, № 2. С. 245-259.

114. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Т. 1, 2. Наука, 1986.

115. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Известия РАН. Механика твердого тела. 1981. № 4. С. 17-28.

116. Ишханян М.В., Карапетян А.В. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 3-14.

117. Караваев Ю.Л., Клековкин А.В., Килин А.А. Динамическая модель трения качения сферических тел по плоскости без проскальзывания // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 4. С. 599-609.

118. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. С. 168 с.

119. Карапетян А. В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. МТТ. 2008. С. 3341.

120. Карапетян А.В. О регулярной прецессии тела вращения на горизонтальной плоскости с трением // ПММ. 1982. Т. 46. С. 568 - 572.

121. Карапетян А.В. Качественное исследование волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т. 55. С. 698 - 701.

122. Карапетян А.В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 4. С. 515-519.

123. Карапетян А.В. О моделировании сил трения в динамике шара на плоскости // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 4. С. 531-535.

124. Карапетян А.В., Муницына М.А. Динамика неоднородного эллипсоида на горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78, № 3. С. 328-333.

125. Карапетян А.В., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных систем // ПММ. 1986. Т. 50. С. 43 - 49.

126. Карапетян А.В., Русинова А.М. Качественный анализ динамики диска на наклонной плоскости с трением // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75, № 5. С. 731-737.

127. Киреенков А.А. Закон Кулона в обобщенной дифференциальной форме в задачах динамики твердых тел с комбинированной кинематикой // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 15-26.

128. Киреенков А.А. Связанные модели трения скольжения и качения // Доклады РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 759-762.

129. Киреенков А.А., Семендяев С.В., Филатов В.Ф. Экспериментальное исследование связанных двумерных моделей трения скольжения и верчения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. № 6. С. 192-202.

130. Математическая модель робота на омни-колесах, расположенных в вершинах прямоугольного треугольника / Колесничен-ко Е.Ю., Павловский В.Е., Орлов И.А. [и др.] // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 5. С. 327-330.

131. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.:Мир. 1967. С. 60-77.

132. Косенко И.И., Александров Е.Б. Реализация модели Контенсу-Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца // Нелинейная динам. 2009. Т. 5. С. 499-517.

133. Косенко И.И., Герасимов К.В. Физически-ориентированное моделирование динамики омнитележки // Нелинейная динамика. 2016. Т. 12, № 2. С. 251 - 262.

134. Кручинин П.А. Сухое трение в модели качения деформируемого колеса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. 2018. С. 139-147.

135. Твердый цилиндр на вязкоупругой плоскости / Кулешов А.С., Трещев Д.В., Иванова Т.Б. [и др.] // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7, № 3. С. 601-625.

136. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. Изд. 4-е, испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. С. 248.

137. Левин М.А. Фуфаев Н.А. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989.

138. Мак-Миллан В.Д. Динамика твердого тела. М.: Изд. иностр. лит., 1951. С. 478.

139. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

140. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.

141. Мартыненко Ю. Г. Устойчивость стационарных движений мобильного робота с роликонесущими колесами и смещенным центром масс // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74, № 4. С. 610-619.

142. О супервизорном управлении мобильной платформой на четырех поворотных колесах / Мартыненко Ю.Г., Митрофанов И.Е., Письменная Е.В. [и др.] // Известия РАН. Теория и системы управления. 2011. № 2. С. 147-157.

143. Мартыненко Ю.Г., Формальский А.М. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Теория и системы управления. 2007. № 6. С. 142-149.

144. Моисеев Г. Н., Зобова А. А. Устойчивость прямолинейных движений омни-экипажа с учетом инерционности роликов колес // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. М., 2018. № 6. С. 78-82.

145. Муницына М.А. Движения сфероида на горизонтальной плоскости с вязким трением // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, № 2. С. 214-223.

146. Муницына М.А. Модель трения в случае плоского эллиптического контакта тела с опорной плоскостью // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 4. С. 705-712.

147. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. С. 520.

148. Новожилов И. В. Фракционный анализ. М.: Изд. МГУ, 1991.

149. Мобильный манипулятор на шестиколесной меканум-платформе / Павловский В.Е., Грибков Д.А., Орлов И.А. [и др.] // Экстремальная робототехника. 2018. Т. 1, № 1. С. 335-344.

150. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. В 2 т. М.: Наука, 1983.

151. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида // ПММ. 1961. Т. 25. С. 778 - 784.

152. Русинова А.М. О динамике диска на наклонной плоскости с трением в рамках динамически совместной модели трения // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75, № 3. С. 396401.

153. Русинова А.М. О динамике однородной шайбы на наклонной плоскости с трением // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77, № 4. С. 538-544.

154. Сальникова Т.В., Трещев Д. В., Галлямов С.Р. Движение свободной шайбы по шероховатой горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 83-101.

155. Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат., мех. 1981. № 2. С. 76-78.

156. Самсонов В.А. О скольжении шайбы // Изв. РАН. МТТ. 2013. № 5. С. 118-120.

157. Смейл С. Топология и механика // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. С. 77-120.

158. Солдатенков И.А. Задача о неравномерном скольжении штампа по вязкоупругому основанию с приложениями к расчету динамики подвижного контакта // ПММ. 2017. Т. 81, № 3. С. 257-277.

159. Татаринов Я. В. Уравнения классической механики в новой форме // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 3. С. 67-76.

160. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2005.

161. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31(73). С. 575-586.

162. Трещев Д.В., Ердакова Н.Н., Иванова Т.Б. О финальном движении цилиндрических тел по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 3. С. 585-603.

163. Формальский А.М. Перемещение антропоморфных механизмов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.