Дискретная квантовая гравитация в формализме Редже тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Хацимовский, Владимир Михайлович

• Хацимовский, Владимир Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Хацимовский, Владимир Михайлович

Введение

1 Представление исчисления Редже с использованием матриц конечных вращений в качестве переменных

2 Исчисление Редже в пределе непрерывного времени

2.1 Структура геометрии Редже и обозначения.

2.2 Геометрия Редже периодической структуры.

2.2.1 Тетрадный сектор теории.

2.2.2 Сектор связностей теории.

2.2.3 Лагранжиан, свойства.

2.3 4-мерная геометрия Редже, построенная из 3-мерных слоев произвольной структуры

2.3.1 Описание системы.

2.3.2 Лагранжиан.

2.3.3 Структура связей.

2.3.4 Выводы.

2.4 Квантование площадей Редже

3 Непрерывные поля в геометрии Редже

3.1 Непрерывные поля материи в геометрии Редже

3.2 Детерминант Фаддеева-Попова для гравитации Редже

4 Квантовая мера в исчислении Редже из функционального преобразования Фурье

5 Подход с использованием канонического квантования в расширенном конфигурационном пространстве

5.1 Трехмерная модель . . . .'.

5.1.1 Гамильтонов формализм.

5.1.2 Каноническая мера.

5.1.3 Полная дискретная мера.

5.1.4 Вакуумные средние длин.

5.2 Исчисление Редже с независимыми тензорами площадей (4-мерный случай).

5.3 Непрерывный предел в исчислении Редже с независимыми тензорами площадей.

5.4 Исчисление Редже как частный случай системы с разрывными метриками.

5.4.1 Исчисление Редже как гиперповерхность в суперпространстве разрывных метрик.

5.4.2 Действие на разрывных метриках.

5.5 Вакуумные средние длин в исчислении Редже.

5.5.1 Общий вид квантовой меры, конечность средних

5.5.2 Оценка с помощью анализа зависимости от масштаба площадей, возможность конечной теории.

5.6 Возможность представить квантово-гравитационную меру в виде абсолютно сходящегося интеграла.

5.7 Простая модификация квантовой меры.

5.8 Флуктуации длины.

5.9 Регуляризующее влияние гравитации на поля материи

5.10 Положительность квантовой меры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретная квантовая гравитация в формализме Редже»

Интерес к формулировке общей теории относительности (ОТО) в дискретном виде обусловлен, не в последнюю очередь, сложностью теории. В классическом аспекте, запись существенно нелинейных уравнений теории, уравнений Эйнштейна, в терминах дискретного набора физических величин, то есть их дискретизация, облегчает применение численных методов для их решения. В квантовом аспекте, дискретизация может быть введена, как и в любой другой теории поля, для регуляризации изначально расходящихся выражений. Однако в случае ОТО мы имеем следующие две отличительные особенности. Во-первых, согласно стандартной классификации, ОТО является неперенормируемой теорией, поэтому зависимость результата от конкретного выбора регуляризации не может быть устранена процессом перенормировок. Следовательно, в данном случае дискретизация должна быть не просто математическим приближением типа конечно-разностной аппроксимации изначально непрерывной теории, но представлять собой некую физическую реальность, конкретизирующую вид теории на малых расстояниях. Во-вторых, специфичной для ОТО является ковариантность теории относительно произвольных преобразований координат, плохо согласующаяся с квантовой механикой, в формулировке которой время играет выделенную роль. Для преодоления этой трудности молено попытаться сформулировать ОТО в виде, не использующем какой-либо функциональной зависимости от координат вообще.

В рамках исчисления, предложенного Тулио Редже в 1961 году [1], точная ОТО оперирует с частным случаем риманова пространства-времени - так называемыми кусочно-плоскими многообразиями, то есть плоскими везде, за исключением множества точек меры нуль. Любое такое пространство можно представить состоящим из плоских 4-мерных симплексов, то есть 4-мерных тетраэдров. В n-мерном случае в рассмотрение вводятся п-мерные симплексы ап. n-мерный симплекс ап состоит из п 4- 1 вершины, каждая из которых соединена ребрами с остальными п вершинами. Все геометрические характеристики n-симплекса однозначно определены длинами пп "2 его ребер, которые задаются свободно. Геометрия пространства Редже определяется свободным заданием длин всех его ребер, то есть 1-симплексов. При этом длины ребер двух n-симплексов, имеющих некоторый (п — 1)-симплекс в качестве их общей грани, должны совпадать на этой грани. Если же рассмотреть совокупность всех n-симплексов, содержащих некоторый (п — 2)-симплекс в качестве (п — 2)-мерпой грани, то при свободном задании всех длин такую конструкцию, вообще говоря, нельзя вложить в плоское n-мерное пространство, поскольку сумма гипердвухгранных углов всех n-симплексов, сходящихся в этой (п — 2)-мерной грани, равна 27г -а, где так называемый угловой дефект а необязательно равен 0. При параллельном переносе вектора по замкнутому контуру, содержащемуся в указанных n-симплексах и охватывающему данный (п — 2)-симплекс, вектор повернется на угол а. Это соответствует £-функционному распределению кривизны, с носителем на (п — 2)-симплексах, пропорциональному угловым дефектам на этих симплексах. Действие для 4-мерного пространства-времени Редже пропорционально

Ео^Мт*. (0.0.1) а2 где Аа2 - площадь треугольника (2-мерного симплекса) а2, аа2 - угловой дефект на этом треугольнике, а суммирование идет по всем 2-мерным симплексам о2. В работе [2] показано, что действие (0.0.1) может быть получено из выражения / Ry/gtfx, (0.0.2) которому пропорционально действие Эйнштейна, путем предельного перехода к случаю 5-функционного распределения кривизны R. Таким образом, исчисление Редже представляет собой ОТО, в которой все степени свободы, за исключением дискретного их числа, заморожены, то есть так называемую теорию минисуперпространства для ОТО. Тем самым удовлетворяется первое из упомянутых выше требований к дискретной ОТО, а именно, многообразие Редже представляет собой частный (хоть и отчасти сингулярный) случай многообразия Римана. Кроме того, взаимное расположение вершин (0-мерных симплексов сг°), а значит, и геометрия, однозначно фиксировано свободным заданием инвариантов - длин ребер (1-мерных симплексов сг1), которые, таким образом, играют роль полевых переменных. Поэтому и второе требование, возможность бескоординатного описания, тоже выполнено.

Несмотря на то, что исчисление Редже соответствует лишь некоторому подмножеству в конфигурационном пространстве ОТО, это подмножество плотно в этом пространстве. То есть, каждое несингулярное многообразие Римана можно в некотором смысле аппроксимировать сколь угодно точно соответствующим образом выбранным многообразием Редже. Построить такое многообразие Редже можно, если разбить риманово многообразие на достаточно малые области, топологически эквивалентные симплексам сг4, ребра которых - это геодезические. В качестве искомого кусочно-плоского многообразия можно взять многообразие этого типа с той же топологией, схемой соединения вершин и длинами ребер, что и данное разбиение рима-нова многообразия. В работе [3] показано, что действие Эйнштейна (0.0.2) получается как предел действия Редже (0.0.1) для таких аппроксимирующих пространств, когда характерная длина ребра (длина триангуляции) стремится к нулю. В работе [4] для случая п измерений доказано более общее утверждение, что при стремлении к нулю мелкости (соответствующим образом определенной) разбиения на n-симплексы к своим непрерывным аналогам стремятся так называемые кривизны Липшица-Киллинга, причем стремятся в смысле мер, то есть сходятся интегралы от обсуждаемых величин по областям пространства. Частными случаями таких интегралов являются объем области, вклад области в действие Эйнштейна, а также топологический вклад Гаусса-Боинэ.

Исчисление Редже обладает точными дискретными аналогами многих величин, которые могут быть определены в непрерывной ОТО. Первым примером служат уравнения Эйнштейна, дискретный аналог которых был получен Редже путем варьирования действия (0.0.1) по длинам ребер. При этом оказывается, что вариация аа2 в (0.0.1) не дает вклада, и уравнение, полученное вариацией длины конкретного ребра сг1, имеет вид аа2 ctg г?(сг\ а2) = 0. (0.0.3) a 2Z)a-1

Здесь ^(сг1,^2) - угол в треугольнике а2, противолежащий стороне а1, а суммирование идет по всем треугольникам, имеющим а1 в качестве ребра. Очевидно, дискретная бескоординатная формулировка в терминах физических величин (длин) идеально подходит для численных расчетов, и первоначально исчисление Редже было применено как раз для численного анализа классических уравнений Эйнштейна [5].

Однако наибольший интерес исчисление Редже вызвало именно в применении к квантовой гравитации. В этом аспекте основная задача состояла в построении гамильтонова формализма - аналога формализма Арновитта, Дезера и Мизнера в непрерывной ОТО [6]. В соответствии с их результатом, лагранжиан ОТО приводится к виду

L = Т,РАЯа - Е ^с*Фа(р, q) (0.0.4)

А а с каноническими переменными рл, qа и переменными Аа, играющими при вариации роль множителей Лагранжа, значение и динамика которых не определяются из уравнений движения. Таким образом, ОТО - теория, описывающаяся совокупностью связей Фа(р, q) = 0 и нулевым гамильтонианом. В случае исчисления Редже, бескоординатной теории в своей основе, надо было частично вернуться к координатному описанию, но в отношении лишь одной координаты - времени t, причем перейти от дискретного распределения полей (в данном случае - длин и их функций) к распределению, гладкому по t. Переход к такому так называемому (3+1)-мерному исчислению Редже (дискретное 3-мерное пространство плюс непрерывное время) и к гамильтонову формализму был предпринят в ряде работ [7] - [18]. В основном, тем или иным образом пытались определить дискретные аналоги переменных рл, Ча и связей Фа(р, q), причем основное внимание уделялось тому, чтобы алгебра скобок Пуассона для этих связей была близка к таковой в случае непрерывной ОТО. Если придерживаться стратегии, которая требует на каждом этапе иметь дело с частным случаем риманова многообразия, (3+1)-мерное исчисление Редже получается как предел 4-мерного исчисления, когда в некотором направлении, выбранном за направление времени, размеры 4-симплексов стремятся к нулю: Этот предельный переход изучался в работах [7, 8, 15, 16]. При этом, в частности, виден источник трудностей, не позволивших решить до конца поставленную задачу в цитированных работах: он состоит в сингулярном характере описания симплексов с помощью длин ребер, когда размеры вдоль некоторого направления стремятся к нулю. В качестве иллюстрации можно представить себе треугольник, одна из сторон которого бесконечно мала: тогда бесконечно малые изменения длин двух других сторон приводят к конечным изменениям углов. В результате не все степени свободы системы могут быть описаны в выбранных переменных типа длины несингулярным образом, и потому не все дискретные аналоги связей Фа(р, q) могут быть найдены.

Указанная трудность, связанная с описанием геометрии Редже с помощью одних только длин, преодолевается расширением набора переменных теории путем добавления новых независимых переменных - матриц связности, которые являются конечными вращениями, а именно, элементы группы SO(4) в евклидовой теории или SO(3,l) в теории Минковского. Действие записывается с использованием расширенного набора переменных таким образом, что, если исключить матрицы связности с помощью уравнений движения, оно сводится к действию Редже в терминах длин ребер (0.0.1). Эта формулировка исчисления Редже аналогична представлению непрерывной ОТО в переменных тетрада и связность, и ее свойства рассматриваются в главе 1. В главе 2 такое представление исчисления Редже применено к изучению предела непрерывного времени в этой теории, нахождению лагранжиана и построению гамильтонова формализма, необходимого для канонического квантования. В разделе 2.4 показано, что площади треугольников в исчислении Редже в физическом случае сигнатуры пространства-времени Минковского квантуются, но только во времениподобной области (когда доминируют времениподобные компоненты тензора площадки). Комбинаторная сложность 4-мерной решетки Редже даже простейшей периодической структуры делает нетривиальными многие задачи, связанные с исчислением Редже. Поэтому аиализу в главе 2 предшествует описание в разделе 2.1 структуры и обозначений, относящихся к решетке Редже и использующихся также и далее (в главе 5). В главе 3 показано, что непрерывные поля материи плохо определены в 4-мерной геометрии Редже. Причиной этому служит 5-функционный вид кривизны, но ситуация не столь проста: как оказывается, для единственной конической сингулярности или в 2-мерном случае сингулярный вклад в эффективное действие может быть устранен перенормировкой гравитационной постоянной. Неустранимый же сингулярный вклад ассоциируется не с треугольниками, несущими кривизну, а с их пересечениями, то есть с ребрами. Выход состоит в дискретизации полей материи. Частным примером служит поле духов Фаддеева-Попова самой гравитации. Его дискретизация однозначна и позволяет определить детерминант Фаддеева-Попова, возникающий в стандартном анзаце для интеграла по путям. Полученный интеграл по путям сингулярен вблизи плоской геометрии. В этом состоит недостаток анзаца. В главе 4 исследован другой подход, основанный на трактовке элемента интегрирования в функциональном интеграле как функционала на пространстве функционалов полей, в данном случае - метрики, дискретной и непрерывной. Именно тот факт, что геометрия Редже - это частный случай геометрии Римана непрерывной ОТО, дает возможность определить некоторый полный набор функционалов метрики (функциональный аналог плоских волн), существующих как в дискретной, так и в непрерывной теории, и для которых имеется точное определение интеграла континуальной кратности. Требование, чтобы непрерывная и дискретная мера (элемент интегрирования) совпадали на одних и тех же функционалах, позволяет определить меру Редже по известной мере в непрерывной ОТО (заодно доопределяя последнюю). Показано, что существуют две такие меры в исчислении Редже, имеющие разумный вид для многообразий Редже простейшей структуры. Для более сложных геометрий, имеющих отношение к реальности, анализ затруднен комбинаторной и аналитической сложностью возникающих выражений. В главе 5 рассмотрено квантование исчисления Редже в представлении в переменных типа тетрада и связность главы 1. Рассмотрена задача построения квантовой меры (функционального интеграла) в полностью дискретной теории, которая в непрерывном пределе вдоль любой из координат приводит к каноническому (гамильтонову) функциональному интегралу, причем роль времени играет эта непрерывная координата. Эта задача имеет решение для модификации исчисления Редже с расширенным конфигурационным пространством, когда тензоры треугольников считаются независимыми. Поскольку переменных, описывающих площадки, больше, чем переменных, описывающих ребра, их независимость означает, что длины ребер данного 4-симплекса неоднозначны и зависят от того, по какой группе тензоров площадок они определены. Если наложить на эти тензоры условия, гарантирующие однозначность длин, то есть метрики, внутри 4-симплексов, остается еще неоднозначность длин ребер 4-симплексов на их общих гранях, что можно трактовать как разрывность индуцированной на гранях метрики. Поэтому исчисление Редже соответствует гиперповерхности, выделенной условиями существования метрики и непрерывности индуцированной на гранях метрики, в конфигурационном пространстве исчисления Редже с независимыми тензорами треугольников. Построенная квантовая мера приводит в разделе 5.2 (в разделе 5.1 рассмотрена 3-мерная модель) к конечным вакуумным средним площадей порядка планковского масштаба, после чего возникает задача сужения меры на указанную гиперповерхность. Эта задача решается в два этапа: в разделе 5.4 показано, что при наложении условий непрерывности индуцированной на гранях метрики сужение меры из более широкого конфигурационного пространства однозначно, если потребовать минимума зависимости результата от размера и формы граней (так сказать, минимум решеточных артефактов); в разделе 5.5 сужение идет из еще более широкого конфигурационного пространства, но добавляется условие существование метрики в 4-симплексах. Налагая определенные физические требования (минимум решеточных артефактов), меру в исчислении Редже можно однозначно определить из меры в теории с независимыми тензорами треугольников; при этом вакуумные средние длин ребер ненулевые и порядка планковской длины. Более того, приводится рассуждение, показывающее, что длины ребер флуктуирующей решетки сконцентрированы вблизи средней длины, а вероятности малых длин сильно подавлены. Так как предел малых длин означает фактически переход к непрерывной теории, то есть снятие эффективной решеточной регуляризации, подавление вклада малых длин необходимо для того, чтобы теория была конечна. В рассмотренной простой вычислительной модели распределение вероятностей длин имеет 5-функционный вид, то есть вклад сколь угодно малых длин отсутствует. Это является аргументом в пользу того, что теория конечна наподобие обычной теории поля на обычной же решетке с фиксированным шагом. Далее в разделах 5.6 - 5.10 обсуждаются свойства квантовой меры, такие как возможность представления абсолютно сходящимися интегралами или возможность вероятностной интерпретации (положительность). Из рассмотренных в настоящей работе подход данной главы на данный момент представляется наиболее перспективным.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Хацимовский, Владимир Михайлович

Заключение

В диссертации изучено точное бескоординатное дискретное описание ОТО в терминах длин триангуляции - исчисление Редже, как альтернатива обычному непрерывному описанию. В исчислении Редже кривизна имеет £-фун-кционное распределение и равна нулю почти везде, в то же время на больших масштабах выглядит в среднем как гладкая функция. В рамках этого подхода получены следующие результаты.

1. Предложено точное представление действия Редже с использованием матриц связностей (конечных вращений) и тензоров площадок (треугольников) как независимых переменных. Это дискретный аналог представления Картана-Вейля для действия Эйнштейна в непрерывной ОТО, и его использование значительно упрощает вид действия и его анализ.

2. С использованием этого точного представления удается найти хорошо определенный предел непрерывного времени, построить и исследовать канонический формализм исчисления Редже (для действия Редже в терминах только длин это является сингулярной задачей). Рассмотрение теории в пределе непрерывного времени и канонический формализм упрощают анализ проблемы начальных данных в классической теории и необходимы для канонического квантования системы.

3. Найдено, что площади треугольников, составляющих трехмерное (пространственное) дискретное сечение пространства-времени в исчислении Редже в непрерывном времени, обладают дискретным спектром (во времениподобной относительно локальных индексов области) с величиной кванта порядка планковского масштаба.

4. Рассмотрены поля материи в геометрии Редже. Найдено, что непрерывные поля материи плохо определены в 4-мерном исчислении Редже на квантовом уровне из-за £-функционного распределения кривизны и потому должны быть дискретизованы.

5. Точно так же найдено, что и непрерывные поля духов Фаддеева

Попова самой гравитации плохо определены в 4-мерном исчислении Редже на квантовом уровне из-за £-функционного распределения кривизны. Дискретизуя же эти поля, можно найти, что фактор Фаддеева-Попова в фейнмановском интеграле по путям сингулярен вблизи плоской геометрии. Это означает неприменимость теории возмущений вблизи плоского пространства-времени и физическую неадекватность данного подхода к квантованию (конструирование анзаца Фаддеева-Попова в непрерывной теории с последующим переносом его на дискретный случай).

6. Рассмотрена задача о нахождении вида меры (элемента интегрирования) в функциональном интеграле в исчислении Редже, наилучшим образом аппроксимирующей и в то же время доопределяющей меру в непрерывной ОТО в том смысле, что интегрирование с этой мерой определенных пробных функций метрики ("функциональных плоских волн") дает тот же результат, что и интегрирование их с мерой в функциональном интеграле непрерывной теории. Показано, что существуют две такие меры (соответственно тому, какая метрика, ко- или контравариантная, берется за основу), их свойства изучены.

7. Обсуждается исчисление Редже в представлении с матрицами связ-ностей и тензорами площадок. Несингулярная (вблизи плоского пространства-времени) теория возникает при трактовке тензоров площадок как независимых. Найдена форма функционального интеграла, которая в непрерывном пределе вдоль любой из координат сводится к канонической (га-мильтоновой) форме функционального интеграла, в котором роль времени играет эта координата. Эта мера приводит к конечным (порядка планков-ского масштаба) положительно определенным вакуумным средним функций площадей.

8. Мы трактуем теорию с независимыми тензорами площадей как систему с метрикой, разрывной на трехмерных гранях (тетраэдрах). Наложение условий непрерывности индуцированной на гранях метрики позволяет однозначно определить сужение распределения вероятностей для независимых тензоров площадок на конфигурационное пространство реальных зависимых площадок из требования "отсутствия решеточных артефактов", т. е. максимальной независимости от возможных движений граней.

9. Определяя распределение вероятностей для независимых тензоров площадок из конечных вакуумных средних для произведений их компонент (пункт 7) как экспоненциально убывающее с площадями и сужая это распределение на конфигурационное пространство реальных зависимых тензоров площадок (пункт 8), получаем основной вывод о том, что вероятностное распределение длин сконцентрировано вокруг среднего значения наподобие ^-функции, так что вклад произвольно малых длин подавлен и теория конечна наподобие теории поля на обычной решетке с фиксированным шагом.

Я благодарен А.И.Вайнштейну и И.Б.Хрипловичу за внимание к работе и обсуждение.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Хацимовский, Владимир Михайлович, 2009 год

1. Regge Т. General relativity theory without coordinates. - Nuovo Cimento, 1961, v. 19, No. 3, p. 558-571.

2. Friedberg R., Lee T.D. Derivation of Regge's action from Einstein's theory of general relativity. Nucl. Phys. B, 1984, v. 242, No. 1, p. 145-166.

3. Feinberg G., Friedberg R., Lee T.D., Ren M.C. Lattice gravity near the continuum limit. Nucl. Phys. B, 1984, v. 245, No. 2, p. 343-368.

4. Cheeger J., Mtiller W., Shrader R. On the curvature of the piecewise flat spaces. Commun. Math. Phys., 1984, v. 92, No. 3, p. 405-454.

5. Wong C.-Y. Application of Regge calculus to the Schwarzshild and Reissner-Nordstr0m geometries at the moment of time symmetry. Journ. Math. Phys., 1971, v. 12, No. 1, p. 70-78.

6. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Canonical variables for general relativity. Phys. Rev., 1960, v. 117, No. 6, p. 1595-1602.

7. Collins P.A., Williams R.M. Dynamics of the Friedman Universe using Regge calculus. Phys. Rev. D, 1973, v. 7, No. 4, p. 965-971.

8. Collins P.A., Williams R.M. Regge-calculus model for the Tolman universe. Phys. Rev. D, 1974, v. 10, No. 10, p. 3537-3538.

9. Williams R.M. Quantum Regge calculus model in the Lorentzian domain and its Hamiltonian formulation. Class. Quantum Grav., 1986, v. 3, No. 5, p. 853-869.

10. Friedman J.L., Jack I.J. 3+1 Regge calculus with conserved momentum and Hamiltonian constraints. Journ. Math. Phys., 1986, v. 27, No. 12, p. 2973-2986.

11. Piran Т., Williams R.M. Three-plus-one formulation of Regge calculus. -Phys. Rev. D, 1986, v. 33, No. 6, p. 1622-1633.

12. Porter J. A new approach to the Regge calculus. I. Formalism. Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 2, p. 375-389.

13. Porter J. A new approach to the Regge calculus. II. Application to spherically symmetric vacuum spacetimes. Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 2, p. 391-410.

14. Porter J. Calculation of relativistic model stars using Regge calculus. -Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 3, p. 651-661.

15. Brewin L. Friedman cosmologies via the Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 4, p. 899-928.

16. Brewin L. A continuous time formulation of the Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1988, v. 5, No. 6, p. 839-847.

17. Tuckey P.A., Williams R.M. A 3+1 Regge calculus model of the Taub universe. Class. Quantum Grav., 1988, v. 5, No. 1, p. 155-166.

18. Tuckey P.A. Independent variables in 3+1 Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1989, v. 6, No. 1, p. 1-21.

19. Bander M. Functional measure for lattice gravity. Phys. Rev. Lett., 1986, v. 57, No. 15, p. 1825-1827.

20. Bander M. Hamiltonian lattice gravity. Deformations of discrete manifolds. Phys. Rev. D, 1987, v. 36, No. 8, p. 2297-2300.

21. Bander M. Hamiltonian lattice gravity. II. Discrete moving-frame formulation. Phys. Rev. D, 1988, v. 38, No. 4, p. 1056-1062.

22. Khatsymovsky V.M. Tetrad and self-dual formulations of Regge calculus. Glass. Quantum Grav., 1989, v. 6, No. 12, p. L249-L255.

23. Caselle M., D'Adda A., Magnea L. Regge calculus as a local theory of the Poincare group. Phys. Lett., 1989, v. 232B, No. 4, p. 457-461.

24. Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and correspondence principle. Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 222-228, gr-qc/0406049.

25. Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and positivity. Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 229-235.

26. Rocek M., Williams R.M. Quantum Regge calculus. Phys. Lett., 1981, v. 104B, No. 1, p. 31-37.

27. Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation. W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. - М., Мир, 1977).

28. Khatsymovsky V.M. Regge calculus in the canonical form. Gen. Rel. Grav., 1995, v. 27, p. 583-603, gr-qc/9310004.

29. Khatsymovsky V.M. Continuous time Regge gravity in the tetrad-connection variables. Class. Quantum Grav., 1991, v. 8, No. 6, p. 1205-1216.

30. Khatsymovsky V.M. On kinematical constraints in Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1994, v. 11, No. 6, p. L91-L95, gr-qc/9311005.

31. Khatsymovsky V.M. The simplest Regge calculus model in the canonical form. Phys. Lett., 2000, v. 477B, p. 248-252, gr-qc/9912112.

32. Khatsymovsky V.M. Path integral in the simplest Regge calculus model. -Phys. Lett., 2000, v. 484B, p. 160-166, gr-qc/9912111.

33. Hamber H.W., Williams R.M. Two-dimensional simplicial quantum gravity. Nucl. Phys. B, 1986, v. 267, No. 2, p. 482-496.

34. Hamber H.W., Williams R.M. Simplicial quantum gravity with higher derivative terms: formalism and numerical results in four dimensions. Nucl. Phys. B, 1986, v. 269, No. 4, p. 712-743.

35. Khatsymovsky V.M. On the quantization of Regge links. Phys. Lett., 1994, v. 323B, Nos. 3-4, p. 292-295, gr-qc/9311001.

36. Ashtekar A., Rovelli C., Smolin L. Weaving a classical geometry with quantum threads. Phys.Rev.Lett., 1992, v. 69, No. 2, p. 237-240.

37. Khatsymovsky V.M. Continuous matter fields in Regge calculus. Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 356-358, gr-qc/0012095.

38. Khatsymovsky V.M. On the Faddeev-Popov determinant in Regge calculus. Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 359-361, gr-qc/0012097.

39. Sorkin R. The electromagnetic field on a simplicial net. Journ. Math. Phys., 1975, v. 16, No. 12, p. 2432-2440.

40. Don Weingarten. Geometric formulation of electrodynamics and general relativity in discrete space-time. Journ. Math. Phys., 1977, v. 18, No. 1, p. 165-170.

41. Jevicki A., Ninomiya M. Lattice gravity and strings. Phys. Lett., 1985, v. 150B, No. 2, p. 115-118.

42. Jevicki A., Ninomiya M. Functional formulation of Regge gravity. Phys. Rev. D, 1986, v. 33, No. 6, p. 1634-1637.

43. Polyakov A.M. Quantum geometry of bosonic strings. Phys. Lett., 1981, v. 103B, No. 3, p. 207-210.

44. Polyakov A.M. Quantum geometry of fermionic strings. Phys. Lett., 1981, v. 103B, No. 3, p. 211-213.

45. Birrell N.D., Davies P.C.W. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge, 1982. (Имеется перевод: H. Биррелл и П. Девис, Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. - М., Мир, 1984).

46. Menotti P., Peirano P.P. Faddeev-Popov determinant in 2-dimensional Regge gravity. Phys. Lett., 1995, v. 353B, No. 4, p. 444-449, hep-th/9503181.

47. Menotti P., Peirano P.P. Functional integration on two-dimensional Regge geometries. Nucl. Phys. B, 1996, v. 473, Nos. 1-2, p. 426-454, hep-th/9602002.

48. Menotti P., Peirano P.P. Diffeomorphism invariant measure for finite-dimensional geometries. Nucl. Phys. B, 1997, v. 488, No. 3, p. 719-734, gr-qc/0111063.

49. Романов B.H., Шварц А.С. Аномалии и эллиптические операторы. -ТМФ, 1979, т. 41, вып. 2, стр. 190-204.

50. Schwarz A.S. Instantons and fermions in the field of instanton. Commun. Math. Phys, 1979, v. 64, No. 3, p. 233-268.

51. Christensen S.M, Duff M.J. Axial and conformal anomalies for arbitrary spin in gravity and supergravity. Phys. Lett, 1978, v. 76B, No. 5, p. 571-574.

52. Christensen S.M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation. Phys. Rev. D, 1978, v. 17, No. 4, p. 946-963.

53. Khatsymovsky V.M. Path integral measure in Regge calculus from the functional Fourier transform. Phys. Lett., 2002, v. 530B, Nos. 1-4, p. 251-257, gr-qc/0111063.

54. Misner C.W. Feynman quantization of general relativity. Rev. Mod. Phys., 1957, v. 29, No. 3, p. 497-509.

55. DeWitt B.S. Quantization of fields with infinite-dimensional invariance groups. III. Generalized Shwinger-Feynman theory. Journ. Math. Phys., 1962, v. 3, No. 6, p. 1073-1093.

56. Leutwyler H. Gravitational field: equivalence of Feynman quantization and canonical quantization. Phys. Rev., 1964, v. 134, No. 5B, p. 1155-1182.

57. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. S matrix for gravitational field. II. Local measure; general relations; elements of renormalization theory. Phys.Rev. D, 1974, v. 8, No. 12, p. 4241-4285.

58. Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View.- Springer-Verlag, NY, 1981. (Имеется перевод: Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. М., Мир, 1984).

59. Rovelli С. Basis of the Ponzano-Regge-Turaev-Viro-Ooguri quantum gravity model is the loop representation basis. Phys. Rev. D, 1993, v. 48, No. 6, p. 2702-2707, hep-th/9304164.

60. Makela J. Variation of area variables in Regge calculus. Class. Quantum Grav., 2000, v. 17, No. 24, 4991-4997, gr-qc/9801022.

61. Makela J., Williams R.M. Constraints on area variables in Regge calculus.- Class. Quantum Grav., 2001, v. 18, No. 4, p. L43-L47, gr-qc/0011006.

62. Barrett J.W., Rocek M., Williams R.M. A note on area variables in Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1999, v. 16, No. 4, p. 1373-1376, gr-qc/9710056.65