Квантовые и классические эффекты неминимально связанного с кривизной скалярного поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Попов, Аркадий Александрович

• Попов, Аркадий Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Попов, Аркадий Александрович

Оглавление

Общая характеристика работы

1 Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в искривленном пространстве - времени

§1.1 Введение

§ 1.2 Регуляризация (ф2) и {Тци) квантованного скалярного поля

раздвижкой точек

§ 1.3 Перенормировка (ф2) и (Т^) квантованного скалярного поля . 28 § 1.3.1 Локальное разложение оператора параллельного переноса вектора вдоль геодезической

§ 1.3.2 Обсуждение процедуры перенормировки

§ 1.4 (ф2) квантованного скалярного поля в длинной горловине

§ 1.4.2 ВКБ разложение (ф2)ипгеп квантованного скалярного

поля в длинной горловине

§ 1.4.3 Перенормировка (ф2) квантованного скалярного поля в

пространстве-времени длинной горловины и результат

§ 1.4.4 Анализ (ф2): случай г >Ь

§ 1.4.5 Анализ (ф2): случай г<і

§ 1.4.6 Обсуждение

§ 1.5 (Т^) квантованного скалярного поля в длинной горловине

§ 1.5.1 ВКБ разложение для (Т£)ипгеп квантованного скалярного поля в длинной горловине

§ 1.5.2 Перенормировка (Т^) и результат

§ 1.5.3 Случай Ь2 > г2, тп2г2 <1

§ 1.5.4 Случай Ь2 > г2, т2г2 >1

§ 1.5.5 Обсуждение

§ 1.6 Аналитическое приближение для (ср2) и (Т£) квантованного скалярного поля в статических сферически симметричных асимптотически плоских пространствах-временах

§ 1.6.1 Высокочастотный вклад в (ср2) и (Т£) квантованного скалярного поля в статических сферически симметричных асимптотически плоских пространствах-временах

§ 1.6.2 Низкочастотный вклад в (ср2) и (Т£)

§ 1.6.3 Обсуждение

§ 1.7 Аналитическое приближение для (ср2) квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах-временах

§ 1.7.1 Функция Грина

§ 1.7.2 Высокочастотный вклад в

§ 1.7.3 Низкочастотный вклад в (ср2) и процедура

перенормировки

§ 1.7.4 Обсуждение

Заключение

Самосогласованные решения полуклассической теории гравитации с квантованным скалярным полем

§2.1 Самосогласованные сферически симметричные решения с горловиной в полуклассической теории гравитации

§2.2 Цилиндрически симметричные решения в полуклассической

теории гравитации

§ 2.3 Длинные горловины, порождаемые вакуумными флуктуация-

ми квантованных полей

§ 2.3.1 Тензор энергии-импульса квантованного скалярного поля в пространстве-времени статической сферически симметричной длинной горловине

§ 2.3.2 Обсуждение

Заключение

3 Обратная реакция квантованного скалярного поля на гравитационное поле фонового пространства-времени

§ 3.1 Применимость ВКБ приближения

§ 3.2 Квантовая обратная реакция вблизи ультраэкстремального горизонта

§ 3.3 Поведение (Т^)геп квантованного скалярного поля вблизи ультраэкстремального горизонта

§ 3.4 Обсуждение

Заключение

4 Эффект самодействия покоящегося заряда в статических пространствах временах

§ 4.1 Перенормировка собственного потенциала скалярного заряда

в статических пространствах-временах

§ 4.1.1 Разложение собственного потенциала скалярного заряда по 1/(гп1д)

§ 4.1.2 Сила самодействия на статический скалярный заряд в

пространстве-времени Шварцшильда

§ 4.1.3 Обсуждение

§ 4.2 Сила самодействия на на скалярный заряд в длинной горловине163

§ 4.2.1 ВКБ аппроксимация для силы самодействия

§ 4.2.2 Примеры

§4.3 Сила самодействия на статический электрический заряд в длин-

ной горловине кротовой норы

§ 4.3.1 Общий подход

§ 4.3.2 ВКБ вклад в At{x\x) в длинной горловине

§ 4.3.3 Нулевая мода и перенормировка

§ 4.3.4 Примеры

Заключение

Основные результаты и выводы

Приложения

Приложение к § 1.3

Приложение к § 1.4.4

Приложение к § 1.5.1

Приложение к § 1.5

Приложение к § 1.6.1

Приложение к § 1.6.2

Литература

Общая характеристика работы

Круг проблем, которых касается данная работа, охватывает некоторые квантовые вакуумные эффекты в искривленном пространстве-времени (поляризация вакуума квантованных полей в искривленном пространстве-времени, обратное влияние вакуума квантованного поля на геометрию пространства-времени), а также эффект самодействия заряда.

Актуальность работы

Исследование эффектов квантованных полей на фоне внешнего гравитационного поля имеет долгую историю [190, 191]. Эти эффекты оказались весьма важными, например, при описании ранней вселенной [4] и квантового испарения черных дыр [103]. Одними из наиболее важных величин, характеризующих квантованные поля во внешнем гравитационном поле, являются средние по некоторому состоянию (</?2) и (Т^), где (р есть квантованное поле, а - оператор тензора энергии-импульса для {р. Однако, получить точную функциональную зависимость этих величин от метрики даже в однопетле-вом приближении невозможно, за исключением ряда высокосимметричных пространств-времен (см., например, [89, 64, 68. 69, 28, 95, 96, 138]). Численные вычисления даже на заданном гравитационном фоне, как правило, являются весьма трудоемкими [120, 74, 92, 124, 125, 32, 33, 60]. Очевидно, таким образом, что получение аналитических приближений для (ф2) и когда

это возможно, является полезным. Интерес к вычислению величин (с/?2) и (Тр) связан также с вопросом существования проходимых кротовых нор -топологических ручек, соединяющих удаленные части одной или разных все-

ленных. Возможность существования статических сферически симметричных проходимых кротовых нор как топологически нетривиальных решений уравнений Эйнштейна была впервые изучена Моррисом, Торном и Юртсеве-ром [160, 161]. Они нашли, что материя, заполняющая горловину кротовой норы, должна обладать необычными свойствами. В частности, радиальное давление материи должно превышать его плотность как локально в горловине [160], так и интегрально вдоль радиального направления [161]. В дальнейшем нарушение энергетических условий в статических кротовых норах детально анализировалось рядом авторов (см., например, [94, 117, 118, 119]). В качестве примера материи, обеспечивающей существование кротовых нор Моррис и Торн предложили вакуум Казимира [13, 14] между проводящими сферическими пластинами. Аналогичными свойствами, как известно, обладает вакуум квантованных полей в искривленных пространствах-временах, пространствах с нетривиальной топологией или пространствах с границами [2, 3, 4, 107]. Поэтому естественным развитием идеи Морриса и Торна является использование вакуума квантованных полей в качестве материи, обеспечивающей существование кротовых нор. Такой подход дает возможность определять метрику кротовой норы как самосогласованное решение полуклассической теории гравитации

Gpv = 8тг<Тм„),

где GßV - тензор Эйнштейна, и (TßV) - переномированное среднее значение оператора тензора энергии-импульса квантованных полей, построенное для некоторого квантового состояния [196, 12, 140, 9, 189, 195, 197, 198, 116, 173, 163, 164, 178]. Связанные с существованием кротовых нор в рамках полуклассической теории гравитации вопросы обсуждались также в работах [97, 128, 129, 208, 130, 200, 199, 141, 202, 134, 135, 93]. Принципиальной проблемой, стоящей на пути получения решений уравнений полуклассической теории гравитации является получение функциональной зависимости тензора энергии-импульса квантованных полей (Tßiy) от метрического тензора

дтп. Попытки построить приближенные выражения для (Т^) при тех или иных предположениях неоднократно предпринимались [169, 98, 99, 100, 65, 66, 101, 102, 37, 38, 39, 32, 128, 129, 104, 154, 155, 175].

Следует отметить принципиальное отличие упомянутых приближений от многочисленных приближений, полученных аналитически или численно на фоне заданного внешнего гравитационного поля. В упомянутых приближениях (Тцу) метрика заранее не фиксировалась, что позволяло использовать эти приближения при решении уравнений полуклассической теории гравитации. Явная функциональная зависимость вакуумных средних величин в таких приближениях от метрики оставляет, конечно, вопросы о применимости этих приближений для безмассовых квантованных полей, поскольку вакуумные средние таких полей, как известно, являются величинами в общем случае нелокальными. Тем не менее авторы упомянутых работ выдвигали те или иные соображения, касающиеся справедливости рассматриваемых приближений. В данной работе показано, что в некоторых областях пространства-времени вакуумные средние квантованного неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля могут определятся локальными свойствами пространства-времени. Это позволило провести анализ возможности получения решений уравнений полуклассической теории гравитации в таких областях пространства-времени.

Особая роль экстремальных горизонтов в современной физике не вызывает никаких сомнений. Достаточно лишь напомнить о таких вопросах, как энтропия черных дыр, сценарии их испарения, включая проблему конечного состояния черных дыр, и т.д. Такие объекты (экстремальные горизонты) естественным образом появляются на классическом уровне - характерным примером является горизонт черной дыры Рейсснера-Нордстрема с массой, равной заряду. Однако вопрос о существовании экстремальных горизонтов становится нетривиальным в полуклассической теории гравитации, в рамках которой учитывается обратная реакция квантовых полей на метрику. Выра-

жение для квантово-поправленной метрики содержит комбинации тензора энергии-импульса, имеющие смысл энергии, измеряемой в системе отсчета свободно падающего наблюдателя, и заранее не очевидно, является ли эта величина конечной или расходится вблизи экстремального горизонта. Численные расчеты показали, что для безмассового поля на фоне экстремальной черной дыры Рейсснера-Нордстрема таких расходимостей нет [33]. Аналитическое исследование поведения массивных полей вблизи экстремальных горизонтов дало тот же результат [156]. Недавно такие исследования были распространены на случай ультраэкстремальных горизонтов [157], в котором метрический коэффициент ди ~ (г+ — г)3 вблизи горизонта. Здесь г - шварцшильдова радиальная координата (координата кривизны), г = г+ соответствует горизонту. Такие горизонты встречаются, например, в пространстве Рейсснера - Нордстрема - де Ситтера, в случае, когда космологическая константа А > 0 [186]. Соответствующий этому случаю горизонт оказывается космологическим, так что метрика является статической между г = 0 и г = г+. Результаты для ультраэкстремальных горизонтов были получены в [157] только для массивных полей. Возникает естественный вопрос, существуют ли ультраэкстремальные горизонты с учетом квантовых поправок полей произвольной массы, включая случай безмассовых полей, вклад которых в вакуумные средние оператора тензора энергии-импульса квантованных полей много больше соответствующего вклада массивных полей. Для такого случая в данной работе провести вычисления удалось, что позволило судить о возможности существования ультраэкстремальных горизонтов с учетом квантовых поправок скалярных полей произвольной массы.

Хорошо известным фактом классической электродинамики является утверждение о том. что движение точечного заряда определяется взаимодействием заряда с полем, которое он создает. Этот эффект (называемый самодействием или радиационной реакцией) связан с нелокальной структурой поля, источником которого является заряд. Первые исследования в этой об-

ласти были сфокусированы на самоускорении электрически заряженных точечных частиц в плоском пространстве-времени [82]. В дальнейшем ДеВитт, Врем и Хоббс [80, 114, 115] получили формальные выражения для силы самодействия на электрический заряд в искривленном пространстве-времени. Мино, Сасаки, Танака [158] и, независимо, Куин и Уолд [183] получили аналогичные выражения для гравитационной силы самодействия на точечную массу. Сила самодействия на скалярный заряд, взаимодействующий с собственным безмассовым минимально связанным с кривизной скалярным полем, была рассмотрена Куином в работе [184]. Хотя формальные аналитические выражения для различных типов силы самодействия хорошо известны, вычисления явных выражений требуют значительных усилий, которые были осуществлены, в основном, на фоне пространств-времен черных дыр [209, 193, 7, 152, 144, 165, 166, 71, 72, 212, 153, 42, 43, 44, 45, 162, 84, 73, 46, 47, 48, 172, 49, 50, 85, 86, 159, 88, 35, 34, 126, 77, 51, 52, 110, 53, 87, 167, 168, 55, 56, 127, 210, 211]. Эти усилия связаны, в основном, с подготовкой гравитационно-волновых детекторов, таких как LISA, способных детектировать гравитационные волны, излучаемые компактным объектом, падающим на супермассивную черную дыру [192, 123].

В отличие от случая плоского пространства-времени, сила самодействия может быть не нулевой даже для статического заряда на искривленном фоне. Было также показано, что эта сила может быть не нулевой для статического заряда в плоских пространствах-временах топологических дефектов [147, 148, 194, 133, 132, 131, 83, 27]. В искривленных пространствах-временах с нетривиальной топологической структурой исследования эффекта самодействия имеют дополнительные интересные черты [136. 149, 142, 61, 76].

Для покоящихся зарядов в статических пространствах-временах описание эффекта самодействия сводится к отысканию функции Грина трёхмерного искривлённого пространства. Это означает, что по аналогии с упоминавшимся выше эффектом поляризации вакуума в некоторых областях

пространства-времени, эффект самодействия заряда, являющегося источником неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, может определятся локальными свойствами пространства-времени. В данной работе дается описание эффекта в упомянутом случае.

Таким образом, актуальность работы объясняется как общетеоретическим интересом к разработке методов расчета квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени (поляризация вакуума квантованных полей в искривленном пространстве-времени, обратное влияние квантованного поля на пространственно-временную метрику), к исследованию квантовых эффектов в физике горизонтов, так и практическим интересом к эффекту самодействия заряда, связанным с подготовкой гравитационно-волновых детекторов, таких как LISA, способных детектировать гравитационные волны, излучаемые компактным объектом, падающим на супермассивную черную дыру [192, 123].

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование эффектов квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, в частности, эффекта поляризация вакуума квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в искривленном пространстве-времени; обратного влияния квантованный полей на геометрию пространства-времени; а также эффекта самодействия заряда в искривленном пространстве-времени.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Анализ проблем, возникающих при использовании процедуры перенормировки вакуумных средних (ф2) и (Т^) квантованного скалярного поля в искривленных пространствах-временах методом раздвижки точек; построение явных выражений для ренормализационных контрчленов, используемых в этой процедуре, в произвольной системе координат.

2. Разработка метода построения аналитических приближенных выраже-

ний для вакуумных средних (ф2) и (Т^) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в статических сферически симметричных областях пространства-времени, допускающих локальное представление исследуемых величин.

3. Разработка метода построения аналитических приближенных выражений для вакуумных средних (ф2) и (Х^) квантованного скалярного поля в асимптотически плоской области статического сферически симметричного пространства-времени.

4. Разработка метода построения аналитического приближения для вакуумного среднего (ф2) квантованного скалярного поля в асимптотически плоской области ультрастатического пространства-времени.

5. Определение условий существования и построение самосогласованных статических сферически симметричных решений с горловиной в полуклассической теории гравитации.

6. Построение самосогласованных статических цилиндрически симметричных решений в полуклассической теории гравитации.

7. Изучение условий существования длинных горловин, порождаемых вакуумными флуктуациями квантованных полей.

8. Исследование возможности существования ультраэкстремальных горизонтов с учетом обратной реакции квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля.

9. Разработка метода перенормировки собственного потенциала покоящегося скалярного и электрического заряда в статическом пространстве-времени.

10. Исследование эффекта самодействия покоящегося скалярного заряда в длинной горловине ультрастатического пространства-времени.

11. Исследование эффекта самодействия покоящегося электрического заряда в длинной горловине кротовой норы.

Теоретическое значение

Теоретическое значение результатов диссертационного исследования заключается в том, что развитый метод вычисления приближенных выражений для вакуумных средних (ф2), (Т£) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля произвольной массы позволяет решать задачи расчета квантовых эффектов в пространствах-временах длинных горловин. Полученные в работе результаты показывают принципиальную возможность в некоторых случаях описывать квантовые эффекты безмассовых полей локальными величинами. Развитый метод перенормировки собственного потенциала покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени позволяет наиболее просто решать задачи расчета эффекта самодействия в такой ситуации. А построенная в работе асимптотика при т —у оо для перенормированного собственного потенциала заряда, являющегося источником скалярного поля массы т, может быть использована для проверки расчетов эффекта самодействия статического скалярного заряда.

В диссертации развито новое направление, связанное с исследованием вакуумных квантовых эффектов безмассовых полей, определяемых локальной геометрией искривленного пространства-времени.

Практическое значение

Полученные в диссертации результаты и развитые методы могут быть использованы в исследованиях по квантовой теории поля в искривленных пространствах-временах, физике ультраэкстремальных горизонтов и эффекту самодействия зарядов в пространствах-временах кротовых нор.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Вакуумные средние (ф2) и квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в статических сферически симметричных

областях пространства-времени, называемых длинными горловинами, определяются локальными свойствами пространства-времени.

2. Выражения для вакуумных средних (ср2) и скалярного поля в асимптотически плоской области статического сферически симметричного пространства-времени или ультрастатического пространства-времени могут быть разбиты на низкочастотную и высокочастотную части. Для высокочастотной можно получить приближенное выражение, аналогичное приближенному выражению ДеВитта-Швингера для массивного поля с комптонов-ской длиной много меньшей характерного масштаба радиуса кривизны фонового гравитационного поля. Низкочастотный вклад может быть вычислен в асимптотически плоской области пространства-времени в квантовом состоянии соответствующем вакууму Минковского.

3. Вакуум квантованных полей способен обеспечить существование статических сферически симметричных кротовых нор в случае большого числа N полей. Особенность таких кротовых нор состоит в том, что характерный масштаб радиуса горловины такой кротовой норы имеет порядок

4. Электростатическое поле и вакуумные флуктуации квантованных неминимально связанных с кривизной скалярных полей в рамках общей теории относительности могут обеспечивать существование длинных горловин.

5. Обратная реакция неминимально связанного с кривизной квантового скалярного поля не разрушает ультраэкстремальные горизонты.

6. Процедуру перенормировки собственного потенциала покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени можно свести к вычитанию из поля заряда перенормировочных контрчленов, которые явно выписаны. В пределе, когда комптоновская длина волны 1 /т скалярного поля много меньше характерного масштаба 1д радиуса кривизны фонового гравитационного поля, сила самодействия на покоящийся скалярный заряд в статическом пространстве-времени может быть вычислена.

7. Собственный потенциал покоящегося заряда, который является источником электростатического или неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, в длинной горловине ультрастатического пространства-времени есть функционал метрики. Аналитическое приближение для силы самодействия в этом случае может быть вычислено.

В диссертации развито новое направление, связанное с исследованием вакуумных квантовых эффектов безмассовых полей, определяемых локальной геометрией искривленного пространства-времени.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов основывается на использовании экспериментально и теоретически установленных принципов квантовой теории поля и общей теории относительности, корректности проведенных математических преобразований и расчетов. Достоверность конкретных результатов вычислений подтверждается, кроме того, сравнением в предельных случаях с результатами полученными ранее другими авторами. Во всех случаях, когда более общий результат, полученный в диссертации, должен совпадать с ранее опубликованным частным результатом, такая согласованность имеется.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

В отличие от предшествующих работ, разложение бивектора параллельного переноса вектора вдоль кратчайшей геодезической линии, соединяющей близкие точки, в ряд по степеням разности координат этих точек получено в явной координатной форме. Это позволяет явно выписать ренормализацион-ные контрчлены ДеВитта-Швингера (Т1Ш) квантованного скалярного поля в произвольной системе координат.

В отличие от предшествующих работ показано, что вакуумные средние

(ф2) и (Тмг/) для квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в областях статического сферически симметричного пространства-времени, называемых длинными горловинами, определяются локальными свойствами пространства-времени. При этом скалярное поле полагается массивным или безмассовым и находящимся в вакуумном состоянии с нулевой температурой, определенном по отношению к времениподобно-му вектору Киллинга, всегда существующему в статическом пространстве-времени. В длинных горловинах получены аналитические приближения для вакуумных средних (ф2) и (Т^). Показано, что такие приближения аналогичны разложениям ДеВитта-Швингера вакуумных средних (ф2) и массивного скалярного поля, комптоновская длина волны которого много меньше характерного масштаба радиуса кривизны фонового гравитационного поля, и переходят в них в случае большой (по сравнению с обратным радиусом длинной горловины) массы поля.

В отличие от предшествующих работ получены пределы применимости аналитических приближений (ср2) и {ТЦ) квантованного неминимально связанного с кривизной скалярного поля в статических сферически симметричных асимптотически плоских пространствах-временах. Предполагается, что скалярное поле является массивным или безмассовым и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой и совпадает с вакуумом Минковского на асимптотике.

В отличие от предшествующих работ получены пределы применимости аналитического приближения {(/?2) квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах-временах. Предполагается, что поле обладает произвольной массой, константа £ связи поля со скалярной кривизной произвольна, и поле находится в вакуумном состоянии с произвольной температурой и совпадает с вакуумом Минковского на асимптотике.

В отличие от предшествующих работ для обоснования существования

статических сферически симметричных кротовых нор, порождаемых вакуумными флуктуациями квантованных полей, использовано аналитическое приближение (Т^)геп, предложенное Андерсоном, Хискоком и Самуэлем для квантованного скалярного поля, находящегося в вакуумном квантовом состоянии с нулевой температурой. В рамках этого приближения построено самосогласованное решение уравнений полуклассической гравитации, описывающее кротовую нору.

В отличие от предшествующих работ показано, что область пространства-времени, которую можно назвать длинной горловиной, может порождаться электростатическим полем и вакуумными флуктуациями квантованных скалярных полей. Такая горловина может быть, например, частью кротовой норы.

В отличие от предшествующих работ показано, что ультраэкстремальные горизонты не разрушаются вакуумными флуктуациями квантованного безмассового неминимально связанного с кривизной скалярного поля.

В отличие от предшествующих работ показана возможность перенормировать собственный потенциал покоящегося скалярного и электрического заряда в статическом пространстве-времени вычитанием перенормировочных контрчленов. В случае скалярного поля такой метод перенормировки справедлив для произвольной константы связи скалярного поля с кривизной фонового гравитационного поля и произвольной массы поля. В пределе, когда комптоновская длина волны 1 /т скалярного поля много меньше характерного масштаба 1д радиуса кривизны фонового гравитационного поля, вычислена сила самодействия на покоящийся скалярный заряд в статическом пространстве-времени.

В отличие от предшествующих работ показано, что собственный потенциал покоящегося заряда, который является источником неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, в длинной горловине ультрастатического пространства-времени определяется локальной

областью пространства-времени. Получено аналитическое приближение для силы самодействия в этом случае.

В диссертационной работе был модифицирован и усовершенствован метод, позволяющий вычислить силу самодействия, действующую на статический электрический заряд в длинной горловине кротовой норы.

Апробация работы

Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и рабочих совещаниях:

"Quantum Field Theory and Gravity (QFTGT2)" International Conference (Tomsk, 2012); Международная сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» (Москва, 2012); 3-я Российская школа-семинар "Современные теоретические проблемы теории гравитации и космологии", GRACOS-2012 (Казань-Яльчик, 2012): Международная научно-практическая конференция "Информационные технологии в образовании и науке - ИТОН 2012" (Казань, 2012); 14-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Ульяновск, 2011); Международная конференция "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики" RUDN-10 (Москва, 2010); Международная конференция "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation" (Казань, 2010); APCTP-BLTP JINR Joint Workshop "Frontiers in Black Hole Physics at Dubna" (Dubna, 2009); 2 Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS-2009 (Казань, Яльчик, 2009) 13-я Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Москва, 2008) XX Международной летней школы-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга -20;2008" (Казань, 2008); Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гра-

витации и космологии" GRACOS-2007 (Казань, Яльчик, 2007) Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике, посвященная 90-летию со дня рождения проф. К.П. Станюковича (Москва, 2006); Международный семинар по проблемам измеримости в квантовой гравитации и темной составляющей Вселенной (Санкт-Петербург, 2006) 18-я Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга XVIII-2006" (Казань, 2006); 12 Российская гравитационная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Казань, 2005); Международная конференция "Astrophysics and cosmology after Gamow" (Odessa, 2004); 3 Международная школа-семинар "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003); 11 Международная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации" (Томск, 2002); V международная конференция "Gravitation and Astrophysics of Asian-Pacific Countries" (Москва, 2001); 2 Международная школа-семинар "Проблемы теоретической космологии" (Ульяновск, 2000); IV международный семинар им. A.A. Фридмана "Gravitation and Cosmology" (Санкт-Петербург, 1998); 15th International Conference on General Relativity and Gravitation (Pune, India, 1997); 1 Международная школа-семинар "Современные проблемы космологии" (Ульяновск, 1997); III Международная конференция "Геометризация физики" (Казань, 1997); Международный геометрический семинар "Современная геометрия и теория физических полей" (Казань, 1997); 9 Российская гравитационная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации" (Новгород, 1996); III международное рабочее совещание "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions", (Германия, Лейпциг, 1995); 14th international conférence on général relativity and gravitation (Florence, Italy, 1995); a также на научных семинарах кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского)

федерального университета, Российского гравитационного общества (Центр гравитации и фундаментальной метрологии ВНИИМС), кафедры физики Ульяновского государственного педагогического университета, кафедры геометрии и кафедры теоретической физики Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. Научная работа по теме диссертации поддерживалась различными фондами: РФФИ (Россия, девять грантов), НИОКР (Россия, Татарстан, один грант).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 229 страниц. Список литературы содержит 213 наименований.

Список основных работ по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах

входящих в перечень ВАК

1. Popov A. A.Self-force on a static charge m the long throat of a wormhle// General Relativity and Gravitation - 2013. - DOI 10.1007/sl0714-013-1546-5

2. Popov A. A., Renormahzation of static self-potential // TSPU Bulletin -2012. - Vol. 13(128), - P. 125-129

3. Popov A. A., Renormahzation for self-potential of a scalar charge in static space-times // Physical Review D - 2011. - Vol. 84, -

4. N.R. Khusnutdinov, A.A. Popov, L.N. Lipatova, Self-force of a point charge in the space-time of a massive wormhole // Classical and Quantum Gravity - 2010. - Vol. 27, - P

5. Popov A. A., Self-force on a scalar point charge in the long throat // Phys. Lett. В - 2010. - Vol. 693, - P. 180-183

6. Popov A. A., Zaslavskii O.B., Quantum-corrected ultraextremal horizons and the validity of the WKB approximation m the massless limit // Physical Review D - 2007. - Vol. 75, -

7. Popov A. A., Local expansion of the bwector of geodesic parallel displacement // Gravitation h Cosmology - 2007 - Vol. 13, - P. 119-122

8. Popov A. A., Long throat of a wormhole created from vacuum fluctuations // Classical and Quantum Giavity - 2005. - Vol. 22, - P. 5223-5230

9. Popov A. A., Analytical approximation for {tp2) of a quantized scalar field in ultrastatic asymptotically flat spacetimes // Physical Review D - 2004. - Vol. 70, -

10. Popov A. A., Analytical approximation of the stress-energy tensor of a quantized scalar field m static spherically symmetric spacetimes // Physical Review D - 2003. - Vol. 67, -

11. Popov A. A., Stress-energy of a quantized scalar field in static wormhole spacetimes // Physical Review D - 2001. - Vol. 64, -

12. Popov A. A., Sushkov S. V., Vacuum polarization of a scalar field m wormhole spacetimes // Physical Review D - 2001. - Vol. 63, -

13. Popov A. A., Cylindrical s elf-consistent solutions of semiclassical gravity j / Phys. Lett. A - 1998. - Vol. 249, - P. 376-382

14. Hochberg D., Popov A., Sushkov S. V., S elf-consistent wormhole solutions of semiclassical gravity // Physical Review Letters - 1997. - Vol. 78, -P. 2050-2053

15. Попов А.А. Перенормировка собственного потенциала статического скалярного заряда // Вестник ТГГПУ - 2011. - Т. 1(23), - С.36-40

16. Попов А.А. Сила самодействия на скалярный заряд в кротовой норе с длинной горловиной // Вестник ТГГПУ - 2010. - Т.3(21), - С.59-63

Статьи в других изданиях

17. Попов А. А., Заславский О.Б. Полу классические улътраэкстремалъные горизонты // Труды Института прикладной астрономии РАН - 2008. -Т.18, - С.279-293

18. Попов А.А. О существовании проходимых кротовых нор в полуклассической теории гравитации // Вестник Казанского государственного педагогического университета - 2005. - Т.4, - С. 160-167

19. Попов А.А. Использование компьютерных систем аналитических вычислений в квантовой теории поля на фоне искривленных пространств-времен / / Проблемы информационных технологий в математическом образовании: Учебное пособие,- Казань: Изд-во ТГГПУ — 2005. — С.78-84.

20. Попов А.А. Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах // Вестник Казанского государственного педагогического университета - 2004.

- Т.2, - С.50-65

21. Попов А.А. Поляризация вакуума в пространстве-времени цилиндрически симметричной кротовой норы // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казанское математическое общество.-Казань.: Изд-во "Унипресс" - 2001. - Т.11, - С.221-227

22. Sushkov S. V., Popov A. A. A self consistent semiclassical solution with a wormhole in the theory of gravity // in "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions". Ed. M.Bordag—Teubnev. Leipzig — 1996.

- P.206.

Соглашения и обозначения, принятые в диссертации

Во всей диссертационной работе приняты следующие соглашения. Сигнатура метрики, определение тензоров Римана и Риччи, скалярной кривизны совпадают с использованными в книге Хокинга и Эллиса [26]. А именно,

ро. _р) -ра р\ ра і ра рст ра -р<т

л р-уії—Оу 1 — ОьІ /37 і- І /35 — 1 /37,

Я = Ир-

Уравнения Эйнштейна имеют следующий вид

ЇІЦІУ - ^д^иії + = 8пТ'Ц1у.

Ковариантный даламбертиан: □ = да^Уа\7р. Там, где не оговорено особо, принята система единиц с = Є ~ Н — 1.

Глава

Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в искривленном пространстве - времени

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые и классические эффекты неминимально связанного с кривизной скалярного поля»

§1.1 Введение

В этой главе обсуждаются некоторые проблемы вычисления перенормированных вакуумных средних (ф2) и (ТЦ1) квантованных полей в искривленных пространствах-временах. В качестве модели рассматривается скалярное поле, неминимально связанное с кривизной. Как известно, такие величины являются, в общем случае, нелокальными [2, 3, 4, 5]. Исключением является случай массивных полей с комптоновской длиной волны 1 /тп много меньшей характерного масштаба кривизны гравитационного поля 1д. В этом случае можно построить приближенные выражения для {ф2) и (Т^), основанные на предложенном ДеВиттом и Швингером [206, 5, 81] разложении этих величин по малому параметру 1 /(т1д). Поскольку вычисления (Т^) в этом случае весьма громоздки, число работ в этом направлении невелико [32, 29, 154, 155, 156, 157, 175].

В § 1.4 и § 1.5 этой работы строится аналогичное приближение, связанное с разложением (ф2) и (Т£) квантованного скалярного поля по малому параметру, построенному из величин, характеризующих геометрию

пространства-времени. Предполагается, что пространство-время является статическим сферически симметричным, а гравитационное поле медленно меняется в рассматриваемой области. Скалярное поле полагается массивным или безмассовым и находящимся в вакуумном состоянии с нулевой температурой, определенном по отношению к времениподобному вектору Киллин-га, всегда существующему в статическом пространстве-времени. Интерес к пространствам-временам с топологией в2 х Я2 связан с тем, что такой топологией обладают пространства-времена кротовых нор - топологических ручек, соединяющих удаленные части одной или разных вселенных. Кроме того, в работах [128, 129, 130] Хацимовский вычислил вакуумные средние оператора тензора энергии-импульса квантованных полей спина 1 и 1/2 в статическом сферически симметричном пространстве-времени, являющимся прямым произведением двумерного пространства Минковского и сферы постоянного радиуса, и показал, что построенные ранее аналитические приближения для безмассовых полей [169, 65, 66, 67, 102, 8, 31, 32, 109] в этом случае не применимы.

В параграфе § 1.6 получено аналитическое приближение для (ср2) и (Т^) квантованного скалярного поля в статических асимптотически плоских пространствах временах. Предполагается, что скалярное поле является массивным или безмассовым и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой. Выражения для (ср2) и разделяются на низкочастотную и высокочастотную части. Вклады высокочастотных мод вычисляются для произвольного квантового состояния. В качестве примера, низкочастотные вклады в (<р2) и (Т£) вычисляются в асимптотически плоской области пространства-времени в квантовом состоянии соответствующем вакууму Минковского (квантовое состояние Бульвара).

В параграфе § 1.7 аналогичное приближение получено для {<р>2) квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах временах.

§1.2 Регуляризация (ф2) и (Т^) квантованного скалярного поля раздвижкой точек

В квантовой теории поля расчет измеряемых физических величин, как известно, приводит к появлению расходимостей. Ниже в качестве таких величин будут рассматриваться вакуумные средние операторов (</>2), где ф есть квантованное скалярное поле и (Т^), где Т^ есть оператор тензора энергии импульса для ф. Эти величины дают информацию об эффектах поляризации вакуума, квантовом рождении частиц, спонтанном нарушении симметрии и обратной реакции квантованного поля на геометрию пространства-времени. Появление расходимостей при вычислении таких величин связано с тем, что при их расчете учитывается бесконечно большой вклад вакуумных флуктуаций этих полей, который не может быть измерен. В рамках квантовой теории поля на фоне внешнего классического гравитационного поля разработано несколько методов выделения конечной (или измеряемой) части таких физических величин, называемых перенормировками. Одним из этих методов является процедура вычитания так называемых контр членов ДеВитта-Швингера [78, 79]. В рамках этой процедуры на первом этапе изначально расходящиеся величины регуляризуются (делаются конечными) с помощью "раздвижки точек", т.е. определяются как функционалы двухточечных функций Грина. На втором этапе из таких регуляризованных величин вычитаются расходящиеся части (контрчлены ДеВитта-Швингера) и вычисляется предел, соответствующий совпадению раздвинутых точек.

В практических вычислениях удобно перейти от временной координаты £ к евклидовому времени т, связанному с £ соотношением

т = й. (1.2.1)

Сигнатура метрики в таких координатах становиться (+,+,+,+)• Регуля-ризованное методом раздвижки точек значение величины (ф2(х)) имеет вид

(ф(х)ф(х)) ипгеп = вЕ{х.х), (1.2.2)

где х) - двухточечная евклидова функция Грина скалярного поля, удовлетворяющая уравнению

¿^(х, х)

□х — т1

хґдЩ

(1.2.3)

а Пд; и д(х) вычисляются с использованием евклидовой метрики, т есть масса скалярного поля, £ константа связи скалярного поля с кривизной пространства-времени Я, геометрия которого описывается метрикой д(Л1/(х).

Соответствующее выражение для (Т£(х)) может быть получено взятием производных от величины (ф(х)ф(х)) и затем устремлением х —>• х. Вычисления упрощаются, если отметить, что в пределе х —> х справедливы следующие соотношения

1

(ф(х)Чцф{х)) = Пт - СЕ(х, х)^ + д^ЕІх, х).<

х—>х

2 I

(V^ф{х)\/рф(х)) = Ііт - д{,'ЄЕ{х, х)жА + зС^О, х).А;1

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Попов, Аркадий Александрович

Основные результаты и выводы диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Показано, что вакуумные средние (ф2) и (Т^) для квантованного неминимально связанного скривизной скалярного поля в областях статического сферически симметричного пространства-времени, называемых длинными горловинами, определяются локальными свойствами пространства-времени. В области пространства-времени, называемой длинной горловиной, получены аналитические приближения для вакуумных средних (ф2) и (Тци). Аналогичные приближения получены в статических сферически симметричных асимптотически плоских и ультрастатических асимптотически плоских пространствах-временах в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Мин-ковского в асимптотически плоской области.

2. В рамках полуклассической теории гравитации, описываемой уравнениями = 87г{Т^)геп рассмотрена задача самосогласованного описания статических сферически симметричных кротовых нор, порождаемых вакуумными флуктуациями квантованных полей Получены примеры таких решений.

3. Рассмотрена квантовая обратная реакция на ультраэкстремальный горизонт квантового скалярного поля с произвольной массой и параметром связи с кривизной. Проанализировано поведение тензора энергии-импульса квантового поля вблизи горизонта и показано, что квантово-поправленные ультраэкстремальные горизонты действительно существуют.

4. Представлен метод, позволяющий перенормировать собственный потенциал покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени. В случае скалярного поля метод справедлив для произвольной константы связи скалярного поля с кривизной фонового гравитационного поля и произвольной массы поля. Приведены примеры вычисления силы самодействия, действующей на статический скалярный и электрический заряд в длинной горловине кротовой норы.

Заключение

В данной главе были получены следующие основные результаты:

Представлен метод, позволяющий перенормировать собственный потенциал покоящегося скалярного или электрического заряда в статическом пространстве-времени. В случае скалярного поля метод справедлив для произвольной константы связи скалярного поля с кривизной фонового гравитационного поля и произвольной массы поля.

1. В пределе, когда комптоновская длина волны 1 /т скалярного поля много меньше характерного масштаба 1д радиуса кривизны фонового гравитационного поля, вычислена сила самодействия на покоящийся скалярный заряд в статическом пространстве-времени.

2. Показано, что собственный потенциал покоящегося заряда, который является источником неминимально связанного с кривизной пространства-времени скалярного поля, в длинной горловине (4.2.43,4.2.44,4.2.46) ультрастатического пространства-времени есть функционал метрики. Получено аналитическое приближение для силы самодействия в этом случае.

3. Представлен метод, позволяющий вычислить силу самодействия (4.3.117, 4.3.106, 4.3.110) действующую на статический электрический заряд в длинной горловине (4.3.87, 4.3.96, 4.3.97) кротовой норы.

Результаты, изложенные в данной главе, опубликованы в работах [181, 21, 137, 22, 182, 23]

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Попов, Аркадий Александрович, 2013 год

Литература

[1] Абрамович М., Стиган И., Справочник по специальным функциям. -М.: Наука - 1979. - 830 с.

[2] Биррелл Н., Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. - М.: Мир. - 1984. - 356 с.

[3] Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. - М.: Атомиздат. - 1980. - 296 с.

[4] Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М., Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. - М.: Энергоатомиздат. - 1988. - 288 с.

[5] ДеВитт Б. С.. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ./Под ред. Г. А. Вилковыского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1987. -288 с.

[6] Евграфов М. А., Аналитические функции. - М.: Наука. - 1968. - 342 с.

[7] Зельников А.И., Фролов В.П. О влиянии гравитации на собственную энергию заряженных частиц // ЖЭТФ - 1982. - Т.82, - С.321-335

[8] Зельников А.И., Фролов В.П. Приближение Киллинга и поляризация вакуума в черных дырах // Труды ФИАН - 1989. - Т.197, - С.63-87

[9] Кофман Л. А.. Сахни В., Старобинский А. А. Анизотропная космологическая модель, создаваемая квантовой поляризацией вакуума // ЖЭТФ - 1983. - Т.85, - С. 1876-1886

[10] Ландау Л.Д., Лифшиц И.М., Теория поля. - М.: Наука - 1973. - 503 с.

[11] Ландау JI.Д., Лифшиц И.М., Квантовая механика (нерелятивистская теория). - М.: Наука - 1989. - 768 с.

[12] Мамаев С., Мостепаненко В. Изотропные космологические модели, определяемые вакуумными квантовыми эффектами // ЖЭТФ - 1980.

- Т.78, - С.20-27

[13] Мостепаненко В. М., Трунов Н. Н. Эффект Казимира и его приложения // Успехи Физических Наук - 1988. - Т. 156, - С.385-426

[14] Мостепаненко В. М., Трунов Н. Н., Эффект Казимира и его приложения. - М.: Энергоатомиздат. - 1990. - 216 с.

[15] Петров А. 3., Пространства Эйнштейна. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы - 1961. - 464 с.

[16] Попов A.A. Поляризация вакуума в пространстве-времени цилиндрически симметричной кротовой норы // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казанское математическое общество.-Казань.: Изд-во "Унипресс" - 2001. - Т. 11, - С.221-227

[17] Попов A.A. Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах // Вестник Казанского государственного педагогического университета -2004. - Т.2, - С.50-65

[18] Попов A.A. О существовании проходимых кротовых нор в полуклассической теории гравитации // Вестник Казанского государственного педагогического университета - 2005. - Т.4, - С. 160-167

[19] Попов A.A. Использование компьютерных систем аналитических вычислений в квантовой теории поля на фоне искривленных пространств-времен // Проблемы информационных технологий в математическом образовании: Учебное пособие.- Казань: Изд-во ТГГПУ

- 2005. - С.78-84.

[20] Попов А.А., Заславский О.Б. Полу классические улътраэкстпремальные горизонты // Труды Института прикладной астрономии РАН - 2008. -Т.18, - С.279-293

[21] Попов А.А. Сила самодействия на скалярный заряд в кротовой норе с длинной горловиной // Вестник ТГГПУ - 2010. - Т.3(21), - С.59-63

[22] Попов А.А. Перенормировка собственного потенциала статического скалярного заряда // Вестник ТГГПУ - 2011. - Т.1(23), - С.36-40

[23] Popov A. A., Renormahzation of static self-potential // TSPU Bulletin -2012. - Vol. 13(128), - P. 125-129

[24] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука - 1981. - 800 с.

[25] Синг Дж., Общая теория относительности. - М.: Изд-во ин. лит-ры

- 1963. - 432 с.

[26] Хокинг С., Эллис Дж., Крупномасштабная структура пространства-времени. - М.: Мир - 1977. - 432 с.

[27] Хуснутдинов Н.Р. Эффекты самодействия частиц в гравитационном поле // Успехи физических наук - 2005. - Т. 175, - С.603-620

[28] Allen В. and Folacci A., Massless minimally coupled scalar field in de Sitter space /1 Physical Review D - 1987. - Vol. 35, - P. 3771-3778

[29] Anderson P.R., (ф2) for massive fields in Schwarzschild space-time 11 Physical Review D - 1989. - Vol. 39, - P. 3785-3788

[30] Anderson P.R., A method to compute (ф2) in asymptotically flat, static, spherically symmetric spacetimes // Physical Review D - 1990. - Vol. 41,

- P. 1152-1162

[31] Anderson P.R., Hiscock W.A., Samuel D.A., Stress-energy tensor of quantized scalar fields in static black hole spacetnnes // Physical Review Letters - 1993. - Vol. 70, - P. 1739-1742

[32] Anderson P.R., Hiscock W.A., Samuel D.A., Stress-energy tensor of quantized scalar fields in static spherically symmetric spacetimes // Physical Review D - 1995. - Vol. 51, - P. 4337-4358

[33] Anderson P.R., Hiscock W.A., Loranz D.J., Semiclassical stability of the extreme Reissner-Nordstrom black hole // Physical Review Letters - 1995.

- Vol. 74, - P. 4365-4368

[34] Anderson P.R., Eftekharzadeh А., Ни В., Self-force on a scalar charge in radial mfall from rest using the Hadamard- WKB expansion // Physical Review D - 2006. - Vol. 73, - 064023

[35] Anderson W., Wiseman A., A matched expansion approach to practical self-force calculations // Class. Quantum Grav. - 2005. - Vol. 22, - P. S783-S800

[36] Armendaris-Picon C., On a class of stable, traversable Lorentzian wormholes in classical general relativity // Physical Review D - 2002.

- Vol. 65, - 104010

[37] Avramidi I. G., Background field calculations in quantum field theory (vacuum polarization) // Teor. Mat. Fiz. - 1989. - Vol. 79, - P. 219-231

[38] Avramidi I. G., A covariant technique for the calculation of the one-loop effective action // Nucl. Phys. - 1991. - Vol. В 355. - P. 712-754

[39] Avramidi I. G., Covariant methods for the calculation of the effective action in quantum field theory and investigation of higher-derivative quantum, gravity // Препринт hep-th/9510140

[40] Balbinot FL, Fabbri A., Frolov V., Nicolini P., Sutton P., Zelnikov A., Vacuum polarization in the Schwarzschild space-time and dimensional reduction // Physical Review D - 2001. - Vol. 63, - 084029

[41] Balbinot R., Fabbri A., Nicolini P., Sutton P., Vacuum polarization in two-dimensional static spacetimes and dimensional reduction // Physical Review D - 2002. - Vol. 66, - 024014

[42] Barack L., Ori A., Mod sum regularization approach for the self-force in black hole space-time // Physical Review D - 2000. - Vol. 61, - 061502(R)

[43] Barack L., Self-force on a scalar particle in spherically symmetric spacetime via mode-sum regularization: radial trajectories // Physical Review D - 2000. - Vol. 62, - 084027

[44] Barack L., Burko L.M., Radiation-reaction force on a particle plunging into a black hole // Physical Review D - 2000. - Vol. 62, - 084040

[45] Barack L., Gravitational self-force by mode sum regularization // Physical Review D - 2001. - Vol. 64, - 084021

[46] Barack L., Mino Y., Nakano H., Ori A., Sasaki M., Calculating the gravitational self force in Schwarzschild spacetime // Phys. Rev. Lett. -2002. - Vol. 88, - P. 091101

[47] Barack L., Ori A., Regularization parameters for the self force in Schwarzschild spacetime: I. scalar case j/ Physical Review D - 2002. -Vol. 66, - 084022

[48] Barack L., Lousto C.O., Computing the gravitational self-force on a compact object plunging into a Schwarzschild black hole // Physical Review D - 2002. - Vol. 66, - 061502

[49] Barack L., Ori A., Gravitational self-force on a particle orbiting a Kerr black hole // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 90, - P. 111101

[50] Barack L., Ori A., Regularization parameters for the self force in Schwarzschild spacetime: II. gravitational and electromagnetic cases // Physical Review D - 2003. - Vol. 67, - 024029

[51] Barack L., Sago N., Gravitational self force on a particle m circular orbit around a Schwarzschild black hole // Physical Review D - 2007. - Vol. 75,

- 064021

[52] Barack L., Golbourn D.A., Sago N., m-Mode Regularization Scheme for the Self Force in Kerr Spacetime // Physical Review D - 2007. - Vol. 76,

- 124036

[53] Barack L., Ori A., Sago N., Frequency-domain calculation of the self force: the high-frequency problem and its resolution // Physical Review D - 2008.

- Vol. 78, - 084021

[54] Barack L., Gravitational self force in extreme mass-ratio inspirals / / Class. Quantum Giav. - 2009. - Vol. 26, - P. 213001

[55] Barack L., Sago N., Gravitational self-force correction to the innermost stable circular orbit of a Schwarzschild black hole // Phys. Rev. Lett. -2009. - Vol. 102, - 191101

[56] Barack L., Sago N.. Gravitational self-force on a particle in eccentric orbit around a Schwarzschild black hole // Physical Review D - 2010. - Vol. 81,

- 084021

[57] Barcelö C.. Visser M.. Traversable wormholes from massless conformally coupled scalar fields // Physics Letteis B - 1999. - Vol 466, - P 127-134

[58] Baicelö C., Visser M., Scalar fields, energy conditions and traversable wormholes // Classical and Quantum Giavity - 2000. - Vol. 17, - P. 38433864

[59] Bennett С. L. et al., First year Wilkinson Microwave Amsotropy Probe (WMAP) observations: Preliminary maps and basic results // Astrophys. J. Suppl. - 2003. - Vol. 148, - P. 1

[60] Bezerra de Mello E.R., Bezerra V.B. and Khusnutdinov N.R., Vacuum polarization of a massless spmor field in global monopole spacetime // Physical Review D - 1999. - Vol. 60, - 063506

[61] Bezerra V.B. and Khusnutdinov N.R., Self-force on a scalar particle in a class of wormhole spacetimes // Physical Review D - 2009. - Vol. 79, -064012

[62] Bronnikov K. A., Scalar-Tensor theory and scalar charge // Acta Physica Polonica В - 1973. - Vol. 4, - P. 251-266

[63] K. A. Bronnikov, S. Grinyok, Charged wormholes with non-mmimally coupled scalar fields. Existence and stability // Препринт gr-qc/0205131

[64] Brown L. S., Cassidy J. P., Stress-tensor trace anomaly in a gravitational metric: General theory, Maxwell field // Physical Review D - 1977. -Vol. 15, - P. 2810-2829

[65] Brown M. R., Ottewill A. C., Effective actions and conformal transformations // Physical Review D - 1985. - Vol. 31, - P. 2514-2520

[66] Brown M. R., Ottewill A. C., Page D. N., Conformally invariant quantum field theory in static Einstein space-times // Physical Review D - 1986. -Vol. 33, - P. 2840-2850

[67] Brown M. R., Ottewill A. C., Photon propagators and the definition and approximation of renormahzed stress tensors in curved space-time // Physical Review D - 1986. - Vol. 34, - P. 1776-1786

[68] Bunch T. S. and Davies P. C. W., Quantum Field Theory m De Sitter-Space: Renormalization by Point-Splitting // Proc. R. Soc. London - 1978. -Vol. A360, - P. 117-134

[69] Bunch T. S., On renormalisation of the quantum stress tensor m curved space-time by dimensional régularisation // J. Phys. A: Math. Gen. - 1979.

- Vol. 12. - P. 517-531

[70] Bunch T. S. and Parker L., Feynman propagator m curved spacetime: A momentum-space representation // Physical Review D - 1979. - Vol. 20,

- P. 2499-2510

[71] Burko L.M., Self-force on a particle in orbit around a black hole // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84, - P. 4529-4532

[72] Burko L.M., Self-force on static charges in Schwarzschild spacetime j/ Class. Quantum Grav. - 2000. - Vol 17, - P. 227-250

[73] Burko L.M., Liu Y.T., Self force on a scalar charge m the spacetime of a stationary, axisymmetric black hole // Physical Review D - 2001. - Vol. 64,

- 024006

[74] Candelas P., Vacuum polarization m Schwarzschild spacetime // Physical Review D - 1980. - Vol. 21, - P. 2185-2202

[75] Candelas P., Howard K. W., Vacuum ((f)2) m Schwarzschild spacetime j j Physical Review D - 1984. - Vol. 29, - P. 1618-1625

[76] Casals M., Dolan S.R., Ottewill A.C., Wardell B., S elf-Force Calculations with Matched Expansions and Quasinormal Mode Sums // Physical Review D - 2009. - Vol. 78, - 124043

[77] Cho D., Tsokaros A., Wiseman A., The s elf-force on a non-mimmally coupled static scalar charge outside a Schwarzschild black hole // Class. Quantum Grav. - 2007. - Vol 24, - P. 1035-1048

[78] Christensen S. M., Vacuum expectation value of the stress tensor in an arbitrary curved background: The covariant point-separation method // Physical Review D - 1976. - Vol. 14, - P. 2490-2501

[79] Christensen S.M., Regularization, renormahzation, and covariant geodesic point separation // Physical Review D - 1978. - Vol. 17, - P. 946-963

[80] DeWitt B.S., Brehme R.W., Radiation damping in a gravitational field // Ann. Phys. - 1960. - Vol. 9, - P. 220-259

[81] DeWitt B.S., Quantum field theory in curved space-time // Phys. Rep. -1975. - Vol. 19C, - P. 297-357

[82] Dirac P.A.M., Classical Theory of Radiating Electrons // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A - 1938. - Vol. 167, - P. 148-169

[83] De Lorenci V.A., Moreira Jr E.S., Classical self-forces in a space with a dispiration // Physical Review D - 2002 - Vol. 65, - 085013

[84] Detweiler S., Radiation reaction and the self-force for a point mass in general relativity // Phys. Rev. Lett. - 2001. - Vol. 86, - P. 1931-1934

[85] Detweiler S., Whiting B.F., Self-force via a Green's function decomposition 11 Physical Review D - 2003. - Vol. 67, - 024025

[86] Detweiler S., Messaritaki E., Whiting B.F., Self-force of a scalar field for circular orbits about a Schwarzschild black hole // Physical Review D -2003. - Vol. 67, - 104016

[87] Detweiler S., A consequence of the gravitational self-force for circular orbits of the Schwarzschild geometry // Physical Review D - 2008. - Vol. 77, -124026

[88] Diaz-Rivera L.M., Messaritaki E., Whiting B.F., Detweiler S., Scalar field self-jorce effects on orbits about a Schwarzschild black hole // Physical Review D - 2004. - Vol. 70, - 124018

[89] Dowker J. S., Critchley R., Effective Lagrangian and energy-momentum, tensor in de Sitter space // Physical Review D - 1976. - Vol. 13, - P. 32243232

[90] Ellis H. G., Ether flow through a dramhole: A particle model m general relativity // Journal of Mathematical Physics - 1973. - Vol. 14, - P. 104118

[91] Faraoni V., Israel W., Dark energy, wormholes, and the Big Rip // Physical Review D - 2005. - Vol. 71, - 064017

[92] Fawcett M. S., The Energy-Momentum Tensor near a Black Hole // Commun. Math. Phys. - 1983. - Vol. 89, - P. 103-115

[93] Fewster C. J., Roman T. A., On wormholes with arbitrarily small quantities of exotic matter // Physical Review D - 2005 . - Vol. 72, - 044023

[94] Flanagan E. E., Wald R. M., Does backreaction enforce the averaged null energy condition in semiclassical gravity? // Physical Review D - 1996. -Vol. 54, - P. 6233-6283

[95] Folacci A., Quantum field theory of p-forms in curved space-time //J. Math. Phys. - 1991. - Vol. 32, - P. 2813-2827

[96] Folacci A., Two-point functions and stress-energy tensors of p-forms in de Sitter and anti-de Sitter spaces //J. Math. Phys. - 1991. - Vol. 32, -P. 2828-2838

[97] Ford L. H., Roman T. A., Quantum field theory constraints traversable wormhole geometries // Physical Review D - 1996. - Vol. 53, - P. 54965507

[98] Frolov V. P., Zel'nikov A. I., Vacuum polarization by a massive scalar field in Schwarzschild spacetime // Phys. Lett. B. - 1982. - Vol. 115, - P. 372374

[99] Frolov V. P., Zel'nikov A. I., Vacuum polarization of massive fields in Kerr spacetime // Phys. Lett. B. - 1983. - Vol. 123, - P. 197-199

[100] Frolov V. P., Zel'nikov A. I., Vacuum polarization of massive fields near rotating black holes // Physical Review D - 1984. - Vol. 29, - P. 1057-1066

[101] Frolov V. P., Zelnikov A. I., Quantum energy-momentum tensor m spacetime with time-like Killing vector // Phys. Lett. B. - 1987. - Vol. 193, -P. 171-174

[102] Frolov V. P., Zelnikov A. I., Killing approximation for vacuum and thermal stress-energy tensor in static space-times // Physical Review D - 1987. -Vol. 35, - P. 3031-3044

[103] Frolov V. P., Novikov I. D., Black Boles Physics: Basic Concepts and New Developments. - Kluwer Academic Publishers: Dordrecht/Boston/London, 1998. - 770 p

[104] Frolov V., Sutton P., Zelnikov A., The dimensional reduction anomaly // Physical Review D - 2000. - Vol. 61, - 024021

[105] Fulling S.A., Parker L., Renormalization m the theory of a quantized scalar field interacting with a Robertson-Walker space-time // Ann. Phys. (N. Y.) - 1974. - Vol. 87, - P. 176-204

[106] Fulling S.A., Parker L., Hu B.L., Conformal energy-momentum tensor in curved space-time: Adiabatic regularization and renormalization // Physical Review D - 1974 - Vol. 10, - P. 3905-3924

[107] Fulling S., Aspects of quantum field theory in curved space-time -Cambiidge University Press, 1989. - 315 p.

[108] Grant A. et al.. The farthest known supernova: Support for an accelerating Universe and a glimpse of the epoch of deceleration // Astrophys. J. -2001. - Vol. 560, - P. 49-71

[109] Groves P.B., Anderson P.R., Carlson E.D., Method to compute the stress-energy tensor for the massless spin 1/2 field in a general static spherically symmetric spacetime // Physical Review D - 2002. - Vol. 66, - 124017

[110] Haas R., Scalar self-force on eccentric geodesies in Schwarzschild spacetime: a time-domain computation // Physical Review D - 2007. -Vol. (, - 75)124011

[111] Hayward S. A., Wormholes supported by pure ghost radiation // Physical Review D - 2002. - Vol. 65, - 124016

[112] Hikida W., Nakano H., Sasaki M., Self-force regularization in the Schwarzschild spacetime // Class. Quantum Grav. - 2005. - Vol. 22, -P. S753-S782

[113] Hinshaw G. et al., First year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) observations: The angular power spectrum // Astrophys. J. Suppl. Ser. - 2003. - Vol. 148, - P. 135-159

[114] Hobbs J.M., A vierbien formalism of radiation damping // Ann. Phys. -1968. - Vol. 47, - P. 141-165

[115] Hobbs J.M., Radiation damping in conformally flat Universes // Ann. Phys. - 1968. - Vol. 47, - P. 166-172

[116] Hochberg D., Popov A., Sushkov S. V., Self-consistent wormhole solutions of semiclassical gravity // Physical Review Letteis - 1997. - Vol. 78, -P. 2050-2053

[117] Hochberg D , Vissel M., Geometric structure of the generic static traversable wormhole throat // Physical Review D - 1997 - Vol. 56, -p. 4745-4755

[118] Hochberg D., Visser M., Null energy condition in dynamic wormholes // Physical Review Letters - 1998. - Vol. 81, - P. 746-749

[119] Hochberg D., Visser M., Dynamic wormholes, antitrapped surfaces, and energy conditions j/ Physical Review D - 1998. - Vol. 58, - 044021

[120] Howard K.W., Candelas P., Quantum stress tensor in Schwarzschild spacetime // Physical Review Letters - 1984. - Vol. 53, - P. 403-406

[121] Howard K.W., Vacuum (T^) in Schwarzschild spacetime // Physical Review D - 1984. - Vol. 30, - P. 2532-2547

[122] Hu B.L., Scalar waves in the mixmaster universe. II. Particle creation // Physical Review D - 1974. - Vol. 9, - P. 3263-3281

[123] Hughes S.A., Listening to the universe with gravitational-wave astronomy ¡j Annals. Phys. - 2003. - Vol. 303, - P. 142-178

[124] Jensen B. and Ottevill A., Renormahzed electromagnetic stress tensor in Schwarzschild spacetime // Physical Review D - 1989. - Vol. 39, - P. 11301138

[125] Jensen B., Mc Laughlin J. G. and Ottevill A., Amsotropy of the quantum thermal state m schwarzschild space-time // Physical Review D - 1992. -Vol. 45, - P. 3002-3005

[126] Keidl T.S., Friedman J.L., Wiseman A.G., On finding fields and self-force in a gauge appropriate to separable wave equations // Physical Review D - 2007. - Vol. 75, - 124009

[127] Keidl T.S., Shah A.G., Friedman J.L., Kim D.H., Price L.R., Gravitational Self-force in a Radiation Gauge // Physical Review D - 2010. - Vol. 82, -124012

[128] Khatsymovsky V., Towards possibility of self-maintained vacuum traversible wormhole // Physics Letteis B - 1997. - Vol. 399, - P 215222

[129] Khatsymovsky V., Can neutrino vacuum support the wormhole? // Physics Letters B - 1997. - Vol. 403, - P. 203-208

[130] Khatsymovsky V., Rotating vacuum wormhole // Physics Letters B - 1998.

- Vol. 429, - P. 254-262

[131] Khusnutdinov N.R., Charged particle in the space-time of a supermasswe cosmic string // Theor. Math. Phys. - 1995. - Vol. 103, - P. 603-611

[132] Khusnutdinov N.R., Selfinteraction force for charged particle in the spacetime of supermasswe cosmic string. // In: Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions (Teubner-Texte zur Physik, Bd.30; edited by M.Bordag), Stuttgart: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1996. -P. 97-98

[133] Khusnutdinov N.R., Self-interaction force for the particle in the cone spacetime // Class. Quantum Grav. - 1994. - Vol. 11, - P. 1807-1814

[134] Khusnutdinov N. R., Sushkov S. V., Ground state energy in a wormhole spacetime // Physical Review D - 2002. - Vol. 65, - 084028

[135] Khusnutdinov N. R., Semiclassical wormholes // Physical Review D - 2003.

- Vol. 67, - 124020

[136] N.R. Khusnutdinov, I.V. Bakhmatov, Self-force of a point charge in the space-time of a symmetric wormhole // Physical Review D - 2007. -Vol. 76, - 124015

[137] N.R. Khusnutdinov, A.A. Popov, L.N. Lipatova, Self-force of a point charge in the space-time of a massive wormhole // Classical and Quantum Gravity

- 2010. - Vol. 27, - 215012

[138] Kirsten K. and Garriga J., Massless minimally coupled fields in de Sitter space: 0(4)-symmetric states versus de Sitter-invariant vacuum // Physical Review D - 1993. - Vol. 48, - P. 567-577

[139] Kodama T., General-relativistic nonlinear field: A kink solution in a generalized geometry // Physical Review D - 1978. - Vol. 18, - P. 3529-3534

[140] Kofman L. A., Sahni V., A new self-consistent slution of the Einstein equations with one-loop quantum-gravitational corrections // Phys. Lett. - 1983. - Vol. B127, - P. 197-200

[141] Krasnikov S. V., Traversable wormhole // Physical Review D - 2000. -Vol. 62, - 084028

[142] Krasnikov S.V., Electrostatic interaction of a pomthke charge with a wormhole 11 Class. Quant. Grav. - 2008. - Vol. 25, - 245018

[143] Kuhfittig P. K. F., Seeking exactly solvable models of traversable wormholes supported by phantom energy j/ Classical and Quantum Gravity - 2006. -Vol. 23, - P. 5853-5860

[144] Leaute B., Linet B., Self-interaction of apont charge in the Kerr space-time j I J. Phys. A - 1982. - Vol. 15, - P. 1821-1825

[145] Levi-Civita T., Nozione di parallehsmo in una varieta qualunque // Rend. Circ. Mat. Palermo - 1917. - Vol. 42, - P. 173-205

[146] Linet B., Scalar charge and electric charge at rest m the space-time of a black hole // C. R. Acad. Sc. Paris - 1977. - Vol. 284, - P. 215-217

[147] Linet B., Force on a charge in the space-time of a cosmic string // Physical Review D - 1986. - Vol. 33, - P. 1833-1834

[148] Linet B., On the wave equations in the spacetime of a cosmic string // Ann. Inst. Henri Poincare - 1986. - Vol. 45, - P. 249-256

[149] Linet B.Electrostatics in a wormhole geometry // arXiv:0712.0539 [gr-qc]

[150] Lobo F. S. N.. Phantom energy traversable wormholes j j Physical Review D - 2005. - Vol. 71, - 084011

[151] Lobo F. S. N., Stability of phantom wormholes // Physical Review D -2005. - Vol. 71, - 124022

[152] Lohiya D., Classical self-force on an electron near a charged, rotating black hole // J. Phys. A: Math. Gen. - 1982. - Vol. 15, - P. 1815-1819

[153] Lousto C.O., Pragmatic approach to gravitational radiation reaction in binary black holes // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84, - P. 5251-5254

[154] Matyjasek J., Stress-energy tensor of neutral massive fields in the Reissner-Nordstrom spacetime // Physical Review D - 2000. - Vol. 61, - 124019

[155] Matyjasek J., Vacuum polarization of massive scalar fields in the spacetime of the electrically charged nonlinear black hole j/ Physical Review D - 2001. - Vol. 63, - 084004

[156] Matyjasek J., Zaslavskii O., Quantum back reaction of massive fields and selfconsistent semiclassical extreme black holes and acceleration horizons // Physical Review D - 2001. - Vol. 64, - 104018

[157] Matyjasek J., Zaslavskii O., Semiclassical ultraextremal horizons // Physical Review D - 2005. - Vol. 71, - 087501

[158] Mino Y., Sasaki M., Tanaka T., Gravitational radiation reaction to a particle motion // Physical Review D - 1997. - Vol. 55, - 3457-3476

[159] Mino Y., Nakano H., Sasaki M., Covariant self-force regularization of a particle orbiting a Schwarzschild black hole - mode decomposition regularization // Prog. Theor Phys - 2003. - Vol. 108, - P. 1039-1064

[160] Morris M. S., Thorne K. S., Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity // American Journal of Physics - 1988. - Vol. 56, - P. 395-412

[161] Morris M. S., Thorne K. S., Yurtsever U., Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Physical Review Letters - 1988. - Vol. 61, -P. 1446-1449

[162] Nakano H., Mino Y., Sasaki M., Self-force on a scalar charge in circular orbit around a schwarzschild black hole // Prog. Theor. Phys. - 2001. -Vol. 106, - P. 339-362

[163] Nojiri S., Obregon 0., Odintsov S. D., Osetrin K.E., Induced wormholes due to quantum effects of spherically reduced matter m large N approximation // Physics Letters B - 1999. - Vol. 449, - P. 173-179

[164] Nojiri S., Obregon O., Odintsov S. D., Osetrin K.E., Can primordial wormholes be induced by GUTs at the early Universe? // Physics Letters B - 1999. - Vol. 458, - P. 19-28

[165] Ori A., Radiative evolution of orbits around a Kerr black hole // Phys. Lett. A - 1995. - Vol. 202, - P. 347-351

[166] Ori A., Radiative evolution of the Carter constant for generic orbits around a Kerr black hole // Physical Review D - 1997. - Vol. 55, - P. 3444-3456

[167] Ottewill A. Wardell B., Quasi-local contribution to the scalar self-force: Geodesic Motion // Physical Review D - 2008. - Vol. 77, - 104002

[168] Ottewill A. Wardell B., Quasi-local contribution to the scalar self-force: Non-geodesic Motion // Physical Review D - 2009. - Vol. 79, - 024031

[169] Page D.N., Thermal stress tensors in static Einstein spaces // Physical Review D - 1982. - Vol. 25, - P. 1499-1509

[170] Parker L., Fulling S.A., Adiabatic regularization of the energy-momentum tensor of a quantized field in homogeneous spaces // Physical Review D -1974. - Vol. 9, - P. 341-354

[171] Perlmutter S., Turner M. S., White M., Constraining dark energy with SNe la and large-scale structure // Physical Review Letters - 1999. - Vol. 83,

- 670-673

[172] Pfenning M.J., Poison E., Scalar, electromagnetic, and gravitational self-forces m weakly curved spacetimes // Physical Review D - 2002. - Vol. 65,

- 084001

[173] Popov A. A., Cylindrical s elf-consistent solutions of semiclassical gravity // Phys. Lett. - 1998. - Vol. A 249. - P. 376-382

[174] Popov A. A., Sushkov S. V., Vacuum polarization of a scalar field m wormhole spacetimes // Physical Review D - 2001. - Vol. 63, - 044017

[175] Popov A. A., Stress-energy of a quantized scalar field m static wormhole spacetimes // Physical Review D - 2001. - Vol. 64, - 104005

[176] Popov A. A., Analytical approximation of the stress-energy tensor of a quantized scalar field in static spherically symmetric spacetimes // Physical Review D - 2003. - Vol. 67, - 044021

[177] Popov A. A., Analytical approximation for (<p2) of a quantized scalar field in ultrastatic asymptotically flat spacetimes // Physical Review D - 2004.

- Vol. 70, - 084047

[178] Popov A. A., Long throat of a wormhole created from vacuum fluctuations // Classical and Quantum Gravity - 2005. - Vol. 22, - P. 5223-5230

[179] Popov A. A., Local expansion of the bivector of geodesic parallel displacement // Gravitation &; Cosmology - 2007. - Vol. 13, - P. 119-122

[180] Popov A. A., Zaslavskii O.B., Quantum-corrected ultraextremal horizons and the validity of the WKB approximation m the massless limit // Physical Review D - 2007. - Vol. 75, - 084018

[181] Popov A. A., Self-force on a scalar point charge m the long throat // Phys. Lett. B - 2010. - Vol. 693, - P. 180-183

[182] Popov A. A.. Renormalization for s elf-potential of a scalar charge in static space-times // Physical Review D - 2011. - Vol. 84, - 064009

[183] Quinn T.C., Wald R.M., Axiomatic approach to electromagnetic and gravitational radiation reaction of particles in curved spacetime // Physical Review D - 1997. - Vol. 56, - 3381-3394

[184] Quinn T.C., Axiomatic approach to radiation reaction of scalar point particles in curved spacetime // Physical Review D - 2000. - Vol. 62,

- 064029

[185] Riess A.G. et al., Observational evidence from supernovae for an accelerating Universe and a cosmological constant // Astron. J. - 1998.

- Vol. 116, - 1009-1038

[186] Romans L.J., Supersymmetric, cold and lukewarm, black holes in cosmological Einstein-Maxwell theory // Nucl. Phys. - 1992. - Vol. B383,

- P. 395-415

[187] Rosenthal E., Massive-field approach to the scalar self force in curved spacetime // Physical Review D - 2004. - Vol. 69, - 064035

[188] Rosenthal E., Scalar self-force on a static particle m Schwarzschild using the massive field approach // Physical Review D - 2004. - Vol. 70, - 124016

[189] Sahni V., Kofman L. A., Some s elf-consistent solutions of the Enstein equations with one-loop quantum gravitational corrections: Glk = 8tt G{Tlk)vac // Phys. Lett. - 1986. - Vol. A177, - P. 275-278

[190] Schrödinger. E., Diracsches Elektron im Schwerefeld. I. 11 Sitz. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. XI - 1932. - Vol. , - P. 105-128

[191] Schrodinger E., The proper vibrations of the expandung universe // Physica

- 1939. - Vol. 6. - P. 899-912

[192] Schutz B.F., Gravitational wave astronomy j/ Class. Quant. Grav. - 1999.

- Vol. 16; - P. A131-A156

[193] Smith A.G., Will C.M., Force on a static charge outside a Schwarzschild black hole // Physical Review D - 1980. - Vol. 22, - P. 1276-1284

[194] Smith A.G., Gravitational effectsoj infinite straight cosmic string on classical and quantum field: self-forces and vacuum fluctuations. // In: The Formation and Evolution of Cosmic Strings, edited by G. W. Gibbons, S. W. Hawking, and T. Vachaspati, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. - P.262-292

[195] Spindel P., Back-reaction of a scalar quantum field on curved space: An exact solution og the semiclassical equations // Physical Review D - 1988.

- Vol. 37, - P. 2092-2098

[196] Starobinsky A. A., A new type of isotropic cosmological models without singularity // Physics Letters B - 1980. - Vol. 91, - P. 99-102

[197] Sushkov S. V., A selfconsistent semiclassical solution with a throat in the theory of gravity // Physics Letters A - 1992. - Vol. 164, - P. 33-37

[198] Sushkov S. V. A selfconsistent semiclassical solution with a wormhole in the theory of gravity / Sushkov S. V., Popov A. A. // in "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions". Ed. M.Bordag— Teubner, Leipzig - 1996 - P 206.

[199] Sushkov S. V., WKB approximation for (</>2) in static, spherically symmetric spacetimes // Giavitation & Cosmology - 2000. - Vol. 6, -P. 45-48

[200] Sushkov S. V., Analytical approximation of (cf)2) for a massive scalar field in static spherically symmetric spacetimes // Physical Review D - 2000. -Vol. 62, - 064007

[201] Sushkov S.V., Domain walls in wormhole spacetime // Gravitation & Cosmology - 2001. - Vol. 7, - P. 197-200

[202] Sushkov S. V., New form of renormahzation counterterms for a scalar field // International Journal of Modern Physics - 2002. - Vol. 17, - P. 820-824

[203] Sushkov S.V., Kim S.-W., Wormholes supported by the kink-like configuration of a scalar field // Classical and Quantum Gravity - 2002. -Vol. 63, - P. 4909-4922

[204] Sushkov S.V., Kim S.-W., Cosmological evolution of a ghost scalar field // General Relativity and Gravitation - 2004. - Vol. 36, - P. 1671-1678

[205] Sushkov S.V., Wormholes supported by a phantom energy // Physical Review D - 2005. - Vol. 71, - 043520

[206] Schwinger J. S., On gauge mvanance and vacuum polarization // Phys. Rev - 1951. - Vol. 82, - P. 664-679

[207] Synge J.L., Relativity: The General Theory. - North-Holland, Amsterdam, 1960. - 200 p.

[208] B. E. Taylor, W. A. Hiscock, and P. R. Anderson, Stress-energy of a quantized scalar field in static wormhole spacetimes // Physical Review D - 1997. - Vol. 55, - P. 6116-6122

[209] Vilenkin A., Self-interaction of charged particles in the gravitational field // Physical Review D - 1979. - Vol. 20, - P. 373-376

[210] Warburton N., Barack L., Self force on a scalar charge in Kerr spacetime: circular equatorial orbits // Physical Review D - 2010. - Vol. 81, - 084039

[211] Warburton N., Barack L., Self force on a scalar charge in Kerr spacetime: eccentric equatorial orbits // Physical Review D - 2011. - Vol. 83, - 124038

[212] Wiseman A.G., The self-force on a static scalar test-charge outside a Schwarzschild black hole // Physical Review D - 2000. - Vol. 61, - 084014

[213] Zannias T., Renormalized thermal stress tensor for arbitrary static spacetimes // Physical Review D - 1984. - Vol. 30, - P. 1161-1167