Диофантовы приближения с числами Пизо тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Журавлева, Виктория Владимировна

• Журавлева, Виктория Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Журавлева, Виктория Владимировна

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Последовательность Фибоначчи

1.1. Точные результаты при небольших N

1.2. Ближайшее целое к

1.3. Максимум функции ^+з(а;)

Глава 2. Общие результаты о числах Пизо

2.1. Доказательство теоремы 2

2.2. Периодические последовательности по модулю 1

2.3. Доказательство теоремы 5

Глава 3. Числа Пизо малых степеней и особые случаи

3.1. Золотое сечение

3.2. Два наименьших числа Пизо

3.3. Числа Пизо степени 1-4

3.3.1. Нижняя оценка для чисел Пизо степени <4

3.3.2. Множество коэффициентов чисел Пизо первой и второй степени

3.3.3. Множество коэффициентов чисел Пизо третьей степени

3.3.4. Разбиение Лз(а1) на области Г^ах), ^(ах), Гз(а1)

3.3.5. Верхние оценки

3.4. Числа Пизо, меньшие ^

Приложение

Список литературы

88

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диофантовы приближения с числами Пизо»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена вопросам распределения степеней чисел Пизо и некоторых рекуррентных последовательностей, связанных с числами Пизо. Задачи, касающиеся диофантовых свойств и равномерного распределения экспоненциальных последовательностей, возникали у Г. Вейля, А.Я.Хинчина, А. Туэ, Г. Харди, К.Л.Зигеля, Дж.В.С. Касселса, К. Малера, А.О. Гельфонда, Н.М. Коробова и других математиков.

Рассматриваемым в настоящей диссертации числам Пизо (иногда называемым числами Пизо-Виджаярагхавана) посвящена глава из книги Касселса [4]. Обзор классических и современных результатов представлен в книге «Pisot and Salem numbers» [2]. Несмотря на свое название, числа Пизо-Виджаярагхавана до работ Ш. Пизо [29] и Т. Виджаярагхавана [39] появлялись в работах А. Туэ [38] и Г. Харди [19].

Напомним, что целое алгебраическое число а называется числом Пизо, если оно само больше 1, а его сопряженные лежат строго внутри единичного круга B = {z€<C:|2:|<l}. Особый интерес математиков к этим числам вызван их диофантовыми свойствами, а именно тем, что их степени - это «почти целые» числа в том смысле, что расстояние от ап до ближайшего целого числа стремится к нулю.

Несомненно, наиболее известным числом Пизо является золотое сечение . Один из результатов настоящей диссертации как раз связан с последовательностью £ , где || • || — это расстояние до ближайшего целого.

Точного описания множества чисел Пизо, вообще говоря, нет. Два наименьших числа Пизо были найдены К. Зигелем в [37]. В дальнейшем, его работу продолжили Ш. Пизо и Ж. Дюфреснуа, найдя все числа Пизо, мень-

шие золотого сечения [14]. Также они доказали, что именно является наименьшей предельной точкой этого множества.

Как известно (см. [23]), для типичного вещественного числа а последовательность дробных долей {о;71} равномерно распределена. Но если а — число Пизо, то это не так. Вопросы распределения последовательностей вида где {•} — это дробная часть, а — число Пизо, а £ — некоторое действительное число, имеют особую специфику. Именно эти вопросы и рассматриваются в настоящей диссертации.

Последовательности вида £ап, где а > 1, являются частным случаем более общего класса так называемых лакунарных последовательностей. Например, из общего результата А.Я.Хинчина о лакунарных последовательностях [21] следует, что существует такое действительное что не только

не равномерно распределены, но и не всюду плотны на отрезке [0,1]. Впоследствии В. Шмидт установил в [35], [36], что множество таких £ является выигрышным и имеет хаусдорфову размерность один.

В случае а = р/д, где р,? € Н, р > д > 2 про последовательность {£ап} известно совсем немного. Например, до сих пор не удается установить, существуют ли так называемые ^-числа Малера, то есть такие действительные числа что для всех целых п > 0 выполнено неравенство 0 < {£(3/2)п} < 1/2. Упомянутая проблема Малера [24] является одной из наиболее интересных задач о распределении степеней рациональных чисел. Другая известная нерешенная гипотеза предполагает, что {(3/2)п} всюду плотны в отрезке [0,1] и, более того, равномерно распределены.

Пожалуй, наиболее значимым на данный момент результатом в этом направлении является теорема, доказанная Л. Флатто, Д. Лагариасом и А. Поллингтоном в [16], которая утверждает, что все дробные части последовательности {С(р/о)п} нс могут лежать внутри определенного интервала длины А. Оригинальное доказательство этого утверждения использует методы теории динамических систем. Более естественное комбинаторное доказа-

тельство было предложено А. Дубицкасом в [10].

Впоследствии, используя сходные комбинаторные соображения Дубицкас смог доказать похожий результат для чисел Пизо [7]. А именно, он доказал, что если а — число Пизо, а £ ^ ОКа), то разница между нижней и верхней предельной точками последовательности дробных частей не превос-

ходит ^у, где (1(а) — это некоторая константа, зависящая только от числа Пизо а.

Цели работы. Получение точных оценок для распределения по модулю 1 последовательностей {Со;71}, где а — это число Пизо.

Методы исследования. В работе использованы элементарные методы теории чисел, методы математического анализа, подходы, связанные с комбинаторикой слов, и компьютерные вычисления.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

• Исследованы приближения действительных чисел рациональными числами со знаменателями, являющимися членами последовательности Фибоначчи. А именно найдено число, наиболее удаленное от этих рациональных чисел.

• Найдено точное значение величины Ь(а), то есть такое максимальное число, что существует такое действительное число что все предельные точки последовательности дробных частей {£ап} лежат на отрезке [1/(а), 1 — Ь(а)] для положительных коэффициентов минимального многочлена числа Пизо а; для знакопеременных коэффициентов минимального многочлена числа Пизо а\ для двух наименьших чисел Пизо.

• Получены оценки для чисел Пизо степени, не превосходящей 4, и для чисел Пизо, не превосходящих золотого сечения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, и разработанные в

ней методы могут быть применены в задачах теории диофантовых приближений, касающихся распределения экспоненциальных последовательностей. Кроме того, полученные результаты могут использоваться в учебном процессе в рамках специальных курсов и специальных семинаров.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

• «27th Journée Arithmétiques» — Вильнюс, Литва (27 июня — 1 июля 2011);

• «Diophantine Analysis» — Астрахань, Россия (30 июля — 3 августа 2012);

• «Palanga Conference in Combinatorics and Number Theory» — Паланга, Литва (1—7 сентября 2013);

• «Moscow Workshop on Combinatorics and Number Theory» — Москва (Долгопрудный), Россия (27 января — 2 февраля 2014);

и научно-исследовательских семинарах:

• «Московский семинар по теории чисел» (рук. Ю.В. Нестсренко, Н.Г. Мощевитин), МГУ;

• «Арифметика и геометрия» (рук. Н.Г.Мощевитин, О.Н.Герман), МГУ;

• «Арифметика, геометрия и теория кодирования» (рук. А.И. Зыкин), лаборатория Понселе НМУ и сектор 4.1 ИППИ РАН;

• «Современные проблемы теории чисел» (рук. C.B. Конягин, И.Д. Шкредов), МИАН;

• кафедральный семинар кафедры теории вероятностей и теории чисел Вильнюсского университета (рук. А. Лауринчикас).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в ведущих российских и зарубежных рецензируемых изданиях [40] — [42], а также электронный препринт на сервере arXiv.org [43].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 92 страницы. Библиография включает 43 наименования.

Числа Пизо

В настоящем пункте мы приводим формулировки известных результатов о числах Пизо, некоторые из которых стали классическими.

Напомним, что число а называется целым алгебраическим, если существует многочлен Р(х) е Z[x], Р{х) Ф 0, с условием Р(а) = 0. Среди всех таких многочленов выберем многочлен наименьшей степени и со старшим коэффициентом 1. Такой многочлен определяется по а единственным способом и называется минимальным многочленом а. Степенью алгебраического числа а называется степень его минимального многочлена. Числами, сопряженными с а, называются все корни минимального многочлена а.

Определение I. Действительное целое алгебраическое число а называется числом Пизо, если оно само больше 1, а его сопряженные лежат строго внутри единичного круга Ю> = {;г€С:|;г:|<1}.

Множество всех чисел Пизо будем обозначать через S.

Утверждение I (см. [4], стр. 162-163). Если а — число Пизо, а £ — целое алгебраическое из поля Q(a), то

lim ||£al = 0. (1)

п—> оо

Здесь и в дальнейшем [| • [| обозначает расстояние до ближайшего целого, в то время как {•} - это дробная часть.

Из утверждения I вытекает, что если а — число Пизо, а целое алгебраическое £ лежит в Q(a), то последовательность ({£a:n})^li имеет не более двух предельных точек. Таким образом, с помощью чисел Пизо строится пример показательной функции, у которой последовательность дробных долей не является равномерно распределенной.

Напомним, что классический метрический результат Ю. Коксмы в [22], обобщающий теорему Г. Вейля, состоит в следующем:

Теорема I. Пусть £ ф 0 — действительное число. Тогда для почти всех

действительных а > 1 последовательность равномерно распреде-

лена по модулю 1.

Мы видим, что из утверждения I следует, что числа Пизо не удовлетворяют заключению теоремы Коксмы.

Впервые числа Пизо возникли в работе А. Туэ [38] в 1912 году. Он доказал, что множество S содержит целые алгебраические числа любой степени. Также он установил следующий результат.

Теорема II. Пусть а, £ 6 Ш, а > 1, £ ^ 0. Если найдутся действительные числа С и 0 < р < 1 такие, что для всех п > 1 выполнено

11£«1 < С/Л (2)

то а — алгебраическое число.

Через несколько лет Г. Харди усилил этот результат (см. [19]), а именно он доказал, что при выполнении условий теоремы II можно установить не только алгебраичность а, но и то, что а £ S, а £ Е Q(a). Вообще говоря, в настоящее время неизвестно, можно ли в теореме Харди заменить условие (2) на (1). Сам Харди доказал следующее утверждение при дополнительном предположении, что число а является алгебраическим.

Теорема III. Пусть «,( £ 1; а > 1, ( ^ 0. Если число а является алгебраическим и выполнено равенство

lim ||£ап|| = 0,

71—> ОО

то а Е S, а £ Е Q(a)-

Таким образом, было доказано, что числа Пизо обладают следующим характеристическим свойством.

Теорема IV (Характеристическое свойство А). Пусть а > 1 является алгебраическим числом. Тогда а Е S тогда и только тогда, когда существует такое действительное число £ ^ 0, что выполнено (1).

Широкую известность числа Пизо получили после публикации работ

Ш. Пизо [29] и Т. Виджаярагхавана [39], в которых, во-первых, вышеизложенные результаты были передоказаны, а, во-вторых, были получены некоторые новые результаты, о которых мы упомянем ниже. В книге Касселса [4] числа а е 5 называются РУ-числами.

Одним из новых результатов Виджаярагхавана [39] является еще одно характеристическое свойство множества Б. Оно состоит в следующем.

Теорема V (Характеристическое свойство В). Пусть а > 1 является алгебраическим числом. Тогда а £ Б тогда и только тогда, когда существует действительное число £ Ф 0 такое, что последовательность дробных долей {^а71}^ имеет лишь конечное число предельных точек.

Спустя некоторое время Пизо улучшил теорему Харди (см. [30]). Он доказал следующее утверждение.

Теорема VI. Пусть а, £ е М, а > I, £ ф 0. Если

оо

Е1И|2<оо, (3)

п= 1

то а е 5 и£е (На).

Впоследствии А. Гельфонд [17] доказал, что (3) можно заменить на

Итзирд/пЦ^Ц < с, (4)

п—> оо

с подходящей константой с. А. Деком-Гийу и М.Гранде-Уго [5] показали, что можно взять с = 2у/2(1+а)2' Хата [20] улучшил этот результат, положив

,__ 0.9026

С — а2 "

Недавно А. Дубицкас [6] уточнил результаты теоремы IV. Приведем формулировку теоремы Дубицкаса:

Теорема VII. Если а — такое алгебраическое число, что {с*п} 0 при п —> оо; то а £ Z. Если же а — такое алгебраическое число, что {ап} —1 при п —> оо; то а — сильное число Пизо, т.е. такое число Пизо, что среди сопряженных а существует только один наибольший по модулю элемент.

Отметим, что Пизо предполагал, что множество S плотно на луче [1, оо) (см. [2], стр.116). Однако это оказалось не так. Р. Салем в [33] доказал, что S является замкнутым множеством.

Два наименьших элемента множества S были найдены К. Зигелем [37]. Используя классический алгоритм Шура [34], математики Ж. Дюфреснуа и Ш. Пизо в [14] установили следующий результат.

Теорема VIII. Числа Пизо, меньшие могут быть расположены в

порядке возрастания следующим образом

е2 = 9[ < в'2 < 0'ъ < в3 < в'4 < в4 < 9'5 < 9" < 6>5 < в'6 < ... <

Целые алгбраические числа 92р (соответстственно 92p+i — это корни многочленов)

„ х2р(х2 - х - 1) +1 , ^ ж2р+1(гг2 — ж — 1) + 1ч

12п --, (соответственно TWi =-^---).

х — 1 х1 — 1

Числа Пизо в", 9'к - это нули, соответственно, многочленов

Т" = 1 - х + х2 - х4 + 2х5 - х6, Т'к = 1-х2 + хк(1 + х- х2).

Итак, из теоремы VIII ясно, что min S = 9[ = 92 - наибольший корень уравнения х3 — х — 1 = 0. Кроме того, из теоремы VIII следует, что является минимальной предельной точкой множества чисел Пизо S.

Множество предельных точек S традиционно обозначается через S'. Основные результаты о множестве S' были получены Дюфрсснуа и Пизо в [13] и [14]. Они доказали следующие утверждения:

1) Если m Е Z, m > 2, то m е S';

2) Если a G S, то для любого целого m > 2 выполнено am G 5';

3) Пусть а € S. Если все сопряженные а являются действительными числами, то a G S';

4) Из предыдущего утверждения следует, что все числа Пизо степени два принадлежит 5'.

Позднее Гранде-Уго в [18] занимался исследованием множества предельных точек 5", которое обозначается через Б". В частности, он доказал, что тГ5" = 2. А все элементы а € 5" такие, что а < 2, вычислил М.Амара в [1]. Развитие компьютерных технологий привело к возникновению алгоритма (см. работу Д. Бойда [3]), который позволяет вычислить все числа Пизо на отрезке [/?, 7] при условии, что этот отрезок содержит только конечное число элементов из 5. Таким образом, можно вычислить все числа Пизо на отрезке [1, 2 — 5]. Заметим, что "вычислить" в данном случае значит найти минимальный многочлен а.

Диофантовы свойства чисел Пизо

Прежде всего мы напомним определение лакунарной последовательности и приведем ряд известных результатов о диофантовых приближениях с ла-кунарными последовательностями.

Определение II. Последовательность вещественных чисел X = {хп)™=1 называется лакунарной, когда существует А > 1 такое, что для любого достаточно большого п выполнено неравенство |хп+1| > А|а:п|.

В 1974 году П. Эрдеш [15] предположил, что для произвольной лакунарной последовательности найдется такое вещественное число что последовательность дробных долей не является равномерно распределенной. Эта гипотеза была независимо доказана А. Поллингтоном [31] и Б. де Мата-ном [25]. Однако впоследствии оказалось (см. [9], [26], [27]), что этот результат был получен на 50 лет раньше А.Я.Хинчиным в его знаменитой работе [21]. Этот результат мы сформулируем в следующем виде.

Теорема IX. Если последовательность X — (жгг)^=1 лакунарна, то най-

дутся такие £ 6 к. и 7 > 0, что для всех п € n выполнено неравенство

1Ы>7-

Имеется ряд работ, касающихся уточнения константы 7. По-видимому, наилучший известный количественный результат получен с помощью метода, предложенного Ю.Пересом и В.Шлагом [28], и принадлежит И. Рочеву [32]. Отметим также, что для фиксированной лакунарной последовательности хп множество

||£г„||>0}

пем

является 1/2-выигрышным в смысле (си,¡3) игр В.Шмидта [36].

Перейдем теперь к описанию диофантовых задач, связанных с числами Пизо.

Минимальный многочлен для числа Пизо а обозначим

Р(х) = ха-а1ха~1-а2х(1~2-.. .-акХ^-.. .ал^х-аа, где сц е Ъ. (5)

Рассмотрим последовательность X = (хкоторая удовлетворяет рекуррентному соотношению

хп = ахХп-1 + а2хп_2 + ... + акхп-к + • • • + \Хп-а+\ + аахп-а- (6) Положим

Ь(Х) := эирИтн^ Ь(а) := Нтт£ ||£а"||.

Легко показать, что если X = (жп)^=1 удовлетворяет (6), то

I 0, если хп —У 0 при п —» оо,

4х) = \

I Ь(а), если хп 0 при п —> оо.

В случае когда хп 0 при п —у оо, последовательность X = является лакунарной последовательностью.

Таким образом, из теоремы IX мы получаем, что L(a) > 0.

В случае а = p/q, где р, g G N, р > q > 2 про последовательность {£ап} известно совсем немного. Например, до сих пор не удается установить, существуют ли так называемые Z-числа Малера, то есть такие действительные числа что для всех целых п > 0 выполнено неравенство 0 < {£(3/2)п} < 1/2. Упомянутая проблема Малера [24] явялется одной из наиболее интересных задач о распределении степеней рациональных чисел. Другая известная нерешенная гипотеза предполагает, что {(3/2)п} всюду плотны в отрезке [0,1] и, более того, равномерно распределены.

Одним из немногих известных в этом направлении результатов является доказанная в 1995 году JI. Флатто, Д. Лагариасом и А. Поллингтоном [16] следующая

Теорема X. Пусть р, q Е N таковы, что р > q > 2. Тогда

VmsapU №-liminfΣ (P-Y)>-.

n->ОО l \qj ) п^оо L \qj J p

Оригинальное доказательство этого утверждения использует соображения теории динамических систем. Более простое и естественное доказательство было предложено Дубицкасом в [10]. Похожие рассуждения помогли ему доказать подобный результат для чисел Пизо и Салема (см. [7]). Напомним определение чисел Салема.

Определение III. Целое алгебраическое число а называется числом Салема, если оно само больше 1, а его сопряженные лежат внутри единичного круга В = {,г€С:|;г|<1}, причем хотя бы одно из сопряженных лежит на границе этого круга.

Дубицкас ввел в рассмотрение интересный объект, называемый приведенной длиной многочлена.

Определение IV. Приведенной длиной многочлена Р(х) называется величина d{P) — inf Ger D(PG), где Г = {go+gix + .. .+gmxm G M [ж], где go = 1 или gm — 1}7 a D(-) — это обычная длина лтогочлена, то есть сумма мо-

дулей его коэффициентов.

Один из результатов Дубицкаса из [7] мы приводим ниже. Теорема XI. Пусть а — это число Пизо или число Салема. Если £ ^ Q(a:); то

limsup{£a:n} — liminf{£a!n} > -j—r,

n—>00

где P — это минимальный многочлен для а.

Отметим также работу Дубицкаса [11], посвященную оценкам и вычислениям величины L(a) для чисел Пизо первой и второй степени.

Основные результаты диссертации

В первой главе мы доказываем следующий основной результат. Теорема 1. Пусть £ € R, а последовательность (i7^)^! — это последовательность Фибоначчи. Тогда

inf

neN if + /

где ip = причем равенство достигается при £ = фр^-

Напомним, что последовательность Фибоначчи (Fn)^L1 определяется следующими рекуррентными соотношениями:

F0 = 0, Fi = 1, Fn = Fn_i + Fn_2, при n > 1.

В частности, в процессе доказательства теоремы 1 мы устанавливаем равенства

1 1 max min ll^i^ll = -, max min Hi-FfcH = 5GRi<fc<2MS 2 ieK 1<кз" 11 3

max min ||6Ffc|| = т, max min =

(6R 1<K4IIS 11 4' £eR l<fc<5 11 4

max min \\£Fk\\ = ——- при N > 6, где n = ^ ,

£eR l<k<N F2n+2 + F2n+4 p - L 4

Вторая глава посвящена оценкам и равенствам для величины L(a) в ряде общих случаев.

Пусть а — это число Пизо. Очевидно (см. [11]), что если сумма коэффициентов минимального многочлена для числа Пизо есть число нечетное, то

Да) = 5.

В следующей теореме 2 мы устанавливаем простейшую общую оценку сверху на величину Ь(а), аналогичную теореме 1.2 Дубицкаса [11]. Теорема 2. Пусть а — это число Пизо, а его минимальный многочлен — это Р{х). Пусть также ~ четное число. Тогда

Ь{а) <

Ed

г=\

а,-

2EliN+2

Далее мы доказываем общую оценку снизу для величины Ь(а). Положим

<1

при .7 = 1...¿.

г=1 i=j (mod t)

В частности,

«1,1 =

i=1

Si

* = E

a»,

S2

a».

i-1 г — нечетное

г=1 г — четное

Теорема 3. Пусть а — это число Пизо, а его минимальный многочлен это Р(х). Пусть также аг ~~ четное. Тогда

Ь{а) > тах

■51Д

2sii - 2

5 1,2 - S2,2

2(51,2 - S2,2) + 2

(gl,4 - 53,4)2 - kl,4 - 33,41 + («2,4 ~ «4,4 + ~ N,4 ~ 54,4 + Ц 2(SI,4 - S3,4)2 + 2(52,4 - 54,4 + l)2

• (7)

Для некоторых случаев значение величины L(a) можно вычислить точно. На эту тему в главе 2 мы доказываем следующие две теоремы.

Теорема 4. Пусть а,{ > 0, если г — нечетное, щ < О, если г — четное, и 1 аг" — четное. Тогда

Е?=1Ы

2E?=iN + 2

Теорема 5. Пусть щ G N, г = 1,..., d и i аг ~ четное. Пусть также d > 1 и а ф Тогда

m = B'ai'2

2 Е.-1 а. - ^

Ранее Дубицкас доказал теорему 4 для случая й = 1 и теорему 5 для случая ¿ =

В третьей главе мы подробно остановимся на значении Ь(а) для некоторых чисел Пизо.

Теорема 6. Справедливы следующие утверждения.

1) Если а = то L(a) - 1 •

57

2) Если а — наибольший корень уравнения х3 = х + 1, то L(a) =

3) Если а — наибольший корень уравнения х4 = х3 + 1, то L(a) =

^ а — наибольший корень уравнения х3 — 2х2 — х + 1 = 0, то

Ь{а) =

Доказательство этой теоремы опирается на компьютерные вычисления. Отметим, что для первых трех утверждений Дубицкас предложил альтернативные комбинаторные доказательста (см. [11], [12]).

Основной результат, касающийся чисел Пизо степени, не превосходящей 4, состоит в следующем.

Теорема 7. Пусть а — это число Пизо степени < 4■ Пусть также а не является корнем ни одного из уравнений х2 — х — 1 = 0, х3 — х — 1 = 0,

4 - ж3 - 1 = 0 или х3 - 2х2 - х + 1 = 0. Тогда Ь(а) >

Из теорем 6, 7 легко можно получить следующие утверждения.

Следствие 3.1. Справедливы следующие утверждения

1) Если а — число Пизо степени < 3, то Ь(а) >

2) Если а — число Пизо степени < 4, то L(a) > р^.

Следствие 3.2. Пусть а — это число Пизо степени, не превосходящей 4-Тогда

1) L(a) — р'j тогда и только тогда, когда а — это корень гг4 — х3 — 1 = 0;

2) L(a) — | тогда и только тогда, когда а — это корень х2 — х — 1 = 0 или х3 — х — 1 = 0;

3) Lia) = pi тогда и только тогда, когда а — это корень х3—2х2—х+1 =

0.

Благодаря теоремам 4, 5 и 6 случай чисел Пизо степени 1 и 2 изучен полностью, а именно верно Утверждение 3.4.

1) Если а — число Пизо степени 1, то

Т( \

Ь(а) — ---;

v } 2ai + 2'

2) Если а = то

L(a) = -;

3) Если а — число Пизо степени 2, аф и а2> 0, то

ai + а2 - 2

Lia) —-;

v 1 2ai + 2а2 — 2

4) Если а — число Пизо степени 2, и а2 < 0, то

а\ - а2

L(a) =

2oi — 2а2 + 2'

Используя методы Дубицкаса из [12] удается получить верхние оценки для некоторых случаев чисел Пизо степени 3. Эти оценки мы приводим в следующей теореме.

Теорема 8. Пусть а — это число Пизо, а его минимальный многочлен Р(х) — хъ — а\Х2 — а2х — аз, причем + а2 4- а3 — четное число. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Если а2 < 0, а3 < 0 и (ai + 1)а2 + а| — a3(ai — 1) + 1 < 0, то

Т( \ - «1 ~ «2 + «з [01) ~ 2(ai-a2 + a3 + l)'

2) Если а2 > О, аз < 0 и (ах — 1)а2 — а| + аз(ах + 1) — 1 > О, то

а\ + а2 + а3 — 2

L(a)

2(oi + а2 + а3 - 1)'

Для доказательства теоремы 9 мы будем использовать результат теоремы VIII, которая описывает все числа Пизо, меньшие Наш подход позво-

ляет получить оценку снизу для L(a) для всех этих чисел. Теорема 9. Пусть а — это число Пизо, не превосходящее . Тогда

г/ \ 3

Ч<*) >

причем равенство достигается в случае, когда а — наибольший корень уравнения хА — х3 + 1.

Некоторые результаты диссертации (утверждения 2-4 из теоремы 6) потребовали компьютерных вычислений. В приложении мы приводим компьютерные программы и их описания.

Глава 1

Последовательность Фибоначчи

Эта глава посвящена доказательству следующей теоремы. Теорема 1. Пусть (бМ, а последовательность (Fn)^=1 - это последовательность Фибоначчи. Тогда

где ip = причем равенство достигается при £ =

Положим

Fn(x) := min dN = max min . Ж Fk\\.

n=l...N £eK. l<fc<iv

Пусть xn — это точка, где функция F^(x) достигает своего максимума. Последовательность Фибоначчи определяется следующими рекуррентными соотношениями:

F0 = О, F1 = 1, Fk = Fk„! + Fk-2, при k> 1. (1.1)

В этой главе мы докажем

Основное предложение. Положим п — [^f^]. Имеют место следующие равенства:

di = ¿2 = xi = х2 = ds = X3 = i, d4 = d5 = x4 = x5 = i,

(¿дг = ^--, Хм = —-—- при /V > 6, где п

^2п+2 + Г2п+4 ^2п+2 + ^2п+4

Легко видеть, что из него следует теорема 1.

N- 2

1.1. Точные результаты при небольших N

Заметим, что функция Н^жЦ периодична с периодом 1. Так же она симметрична относительно точки х = Таким образом, без ограничения общности можем рассматривать поведение этой функции на отрезке [0,

Напомним, что график функции у = [|^а;|| является ломаной, состоящей из отрезков прямых. Пусть ^ £2. Тогда

\\FkX

/кх-г, приге^^ + ^г].

Функция Гм{х) = т1пп=1...дг представляет собой ломаную,

щую из отрезков прямых с углом наклона Лемма 1.1. Легко видеть, что при х 6 [0,

состоя-

Ых)

^10) = Р2{х) = X.

при х б [0, 1 — 2х, при х € [§,

при х 6 [0,

=

X

Ых)

1 — За;, при х €

Зх — 1, при х £ |]

1-2х, при х Е [|,

х, при х е [о,

1 - Ъх, при х е

5х — 1, при х

1 — Зх, при х Зх — 1, при

2 — Ъх, при х € Ъх — 2, при 1 — 2х, при

с 4-1

1 1

4' 3

X

е \1

^ 1-3' 8-1

ГЗ 2 1-8' 5

X,

X, 1

€ [О,

1 — 8х, при х е |]

п и

при X

X

8х - 1, при х е [§, у] при X € [у, Ъх, при х 6 [±, |]

Ъх — 1, при х 2

е I1

с 1-5' 131 8х, при х е

< 8х-2, прихеЦ,^]

1 — За:, при х е Зх — 1, при х е 3 — 8х, при х е |] 8х — 3, при х е [|, -¡|]

2 - Ъх, при х 6 §] Ъх — 2, при х е [§, §] 1 - 2х, при а; € [§, §]

= <

X, при х £ г

1 - 13а;, при х Е -1 114' Ш 4- 13а;, при х Е ГА 41 1-10' 131

13а; -1, при х Е I1- -1 113' 12 ^ 13а; -4, при х Е Г 4 5 1 Цз' 161

X, при х е I1- ¿1 1.12' 91 1 - За;, при х Е ГА I] 116' з!

1 - 8х, при х Е [1 11 19' 81 За; - -1, при х Е Г1 _£] [-3' п!

8х- -1, при х Е Г1 11 18' 71 3- 8а;, при х Е ГА 31 111' 81

2- 13а;, при х Е [I А1 17' 131 8х - -з, при х Е ГЗ 8 1 18' 211

13а; 1 - -2, 5ж, при х Е при х Е ГА 11 [13'б] = [111 1б' 51 5-13а; 13а;, -5, при х Е при х Е Г 8 5 1 1-21' 131 ГА А] 1.13' 181

5х - -1, при х Е [I 21 1-5' 91 2- 5а;, при х Е Г 7 21 118' 51

3- 13а;, при х Е Г2 31 1-9' 131 5а; - -2, при х Е г2 31 1-5' 71

13а; -з, при х Е ГА ±] 113' 171 1 - 2а;, при х Е [3 5 1 17' Ц1

2- 8а;, при х Е \± 11 117' 41 6- 13а:, при х Е Г 5 6 1 1п> 131

8а;- -2, при х Е Г1 А] Ц' и! 13а; -6, при х Е ГА А] 113' 151

1 - Зх, при х Е г 3 3 1 ШЧо! 1 - 2а;, при х Е ГА 11 1-15' 21

Вспомним, что по определению ¿дг = тахх&^Рм(х). Пусть функция ^дг(ж) достигает максимума в точке х^. С помощью леммы 1.1 находим хм и йх при N — 1,..., 7 (см. таблицу 1.1). Таким образом, первая часть основного утверждения доказана.

Заметим, что верно следующее утверждение.

Лемма 1.2. Точка является единственной вершиной графика

функции ^г(ж) (см. рисунок 1.1), расположенной выше прямой у

-1

£ Р+2-

9-1

<Р+2 |

о -У 0,5

ср+2 Рис. 1.1.

Подобным образом (при помощи компьютера) посчитаны точные значения тахж6к ^(ж) для ТУ = 1... 18 (см. таблицу 1.1).

Таблица 1.1.

N хм дм

1,2 1/2 1/2

3 1/3 1/3

4,5 1/4 1/4

6,7,8,9 3/11 2/11

10,11,12,13 8/29 5/29

14,15,16,17 21/76 13/76

18 55/199 34/199

Анализируя полученные результаты, заметим, что

, __ 1 _ 1 _

4 4 ^2 + ^4' +

, _ 2 _ ^з 3

6 11 ^ + 11 +

/ - 5 - - 8 -

_ 29 _ F6 + ' *10~29 +

¿14 = ¿18

13

21

76 ^ + Ло 34

, Хи

^8

^18 =

76 + 55

199 + ±0 199 +

Легко видеть, что (3/11,2/11), (8/29,5/29), (21/76,13/76), (55/199,34/199) являются элементами последовательности (ап,6п), где

ап

■Р2п+2 I _ ^2п+1

) ип —

Заметим, что Нт^оо ап = ^ и 11тп^оо =

1.2. Ближайшее целое к ^^

Обозначим Тп = ЕМС-!)^1^*: = Я»-2 - + 6 - + . . . Лемма 1.3. Число Тп есть ближайшее к ф^ целое.

Доказательство. Рассмотрим суммы

Би — ^о + + + ... + -Р!«,

¿>44+1 = + + + ... + <$4г+2 = ^2 + ^6 + ^10 + . • • + Би+Ъ = -Рз + + + . . . +

Из (1.1) получаем, что эти суммы удовлетворяют следующей системе ли-

неиных равенств:

Б41 + ¿^т + + ¿мг+з = Ри+ъ ~ 54г + ¿мт =

+ <$4г+2 = ^+3 + = ¿Мт + Р-и+З — -^1-

Следовательно,

с (4^+3 — Р1^+5 — 3) оц —---

, —

(2^+5 — ЗР4г+з + 1)

с _ (^44+5 + — 2) (3^+5 — 2^44+3 — 1) ¿>44+2 — -^-, ¿>4£+3 — -^-•

Тогда формулы для Тп будут выглядеть так:

+ 1

Ти+1 = -$4(г-1)+3 ~ '5'4(<-1)+1

5

+ — 2

744+2 — ¿>44 ~ »$4(г-1)+2 Г44+З = <$44+1 — %_1)+3 "

5

5

2^+5 ~ 3^44+з — 3^44+1 + 2^44-1 + 2

5

Для удобства перепишем эим выражения в следующей форме:

2^ — + 1 , . 1 44 =---, (1.^

^44 + — 2

^44+1 = ---, (ЛО]

5

Ти+2 = + (1.4)

АРи + 3^44-1 + 2

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Журавлева, Виктория Владимировна, 2014 год

Список литературы

1. AMARA M. Ensembles fermés de nombres algébriques, Ann. Sei. École Norm. Sup. (3) 83 (1966), 215-270.

2. Bertin M.J., Decomps-Guilloux A., Grandet-Hugot M., Pathiaux-Delefosse M., Schreiber J.P. Pisot and Salem numbers, Birkhauser (1992).

3. boyd D.W. Pisot numbers in the neighbourhood of a limit point, J. Number Theory 21 (1985), 17-43.

4. cassels J.W.S. An introduction to Diophatine approximations, Cambridge Univ. Press (1957).

5. Decomps-Guilloux A., Grandet-Hugot M. Nouvelles caractérisations des nombres de Pisot et de Salem, Acta Arith. 50 (1988), 155-170.

6. DuBICKAS A. A note on powers of Pisot numbers, Publ. Math. Debrecen 56 1-2 (2000), 141-144.

7. DuBICKAS A. Arithmetical properties of powers of algebraic numbers, Bull. London Math. Soc. 38 (2006), 70-80.

8. DuBICKAS A. On the fractional parts of lacunary sequences, Math. Scand. 99 (2006), 136-146.

9. dubickas A. An approximation by lacunary sequence of vectors, Combin. Probab. Comput. 17 (2008), 339-345.

10. dubickas A. On the fractional parts of rational powers, Int. J. Number Theory 5 (2009), 95-111.

11. dubickas A. Distribution of some quadratic linear recurrence sequences modulo 1, Carpathian Journal of Mathematics 30 (1) (2014), 79-86.

12. dubickas A., jankauskas j. On the fractional parts of powers of Pisot numbers of length at most 4, j. Number Theory 143:1 (2014), 325-339.

13. dufresnoy J., pisot C. Sur un ensemble fermé d'entiers algébriques, Ann. Sei. École Norm. Sup. (3) 70 (1953), 105-133.

14. DUFRESNOY J., PiSOT C. Etude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques, Ann. Sei. École Norm. Sup. (3) 72 (1955), 69-92.

15. ErdöS P. Problems and results on Diophantine approximations. II, Repartition modulo 1, Actes Colloq. Marseille-Luminy 1974, Lecture Notes in Math., 475 (1975), 89-99.

16. Flatto L., Lagarias J.C., Pollington A.D. On the range of fractional parts {£{p/q)n}, Acta Arith. 70 (1995), 125-147.

17. gelfond A. On fractional parts of linear combinations of polynomials and exponential functions, Ree. Math. [Mat. Sbornik] N.S. 9 (1941), 721-726.

18. Grandet-HugoT M. Ensembles fermés d'entiers algébriques, Ann. Sei. École Norm. Sup. (3) 82 (1965), 1-35.

19. HARDY G.H. A problem of Diophantine approximation, J. Indian Math. Soc. 11 (1919), 162-166.

20. HATA M. Note on the fractional parts of\9n, Acta Arith. 120 (2005), 153157.

21. khintchine a. Uber eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen, Rend. Cire. Mat. Palermo. 50 (1926), 170-195.

22. KOKSMA J.F. Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins, Compositio Math. 2 (1935), 250-258.

23. KuiPERS L., NIEDERREITER H. Uniform distribution of sequences. John Wiley k Sons (1974).

24. mahler K. An unsolved problem on the powers of 3/2, J. Austral. Math. Soc. 8 (1968), 313-321.

25. De mathan B. Numbers contravening a condition in density modulo 1, Acta Math. Acad. Sei. Hung., 36 (1980), 237-241.

26. MOSHCHEVITIN N.G. Density modulo 1 of lacunary and sublaeunary sequences: application of Peres-Schlag's construction, Journal of Mathematical Sciences (New York) 180:5 (2010), 610-625.

27. MOSHCHEVITIN N.G. Khintchine's singular Diophantine systems and their applications, Russian Mathematical Surveys 65:3 (2010), 433-511.

28. peres y., Schlag w. Two Erdos roblems on lacunary sequences: chromatic number and Diophantine approximation, Bull. London Math. Soc. 42 (2) (2010), 295-300.

29. PlSOT C. Sur une propriété caractéristique de certains entiers algébriques, C. R. Acad. Sei. Paris 202 (1936), 892-894.

30. PlSOT C. La repartition modulo 1 et nombres algébriques, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7 (1938), 205-248.

31. POLLINGTON A.D. On the density of the sequence {nfc£}, Illinois J. Math. 23 (1979), 511-515.

32. ROCHEV I. On distribution of fractional parts of linear forms, Journal of Mathematical Sciences (New York) 182:4 (2012), 527-538.

33. SALEM R. A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan, Duke Math. Journ. 11, (1944), 103-108.

34. SCHUR I. Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind, J. für Math. (Crelle) 147 (1917), 205-232; 148 (1918), 122-145.

35. SCHMIDT W.M. On badly approximable numbers and certain games, Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966), 178-199

36. Schmidt W.M. Diophantine approximations, Lect. Not. Math. 785 (1980)

37. SIEGEL C.L. Algebraic Numbers whose Conjugates Lie in the Unit Circle, Duke Math. J. 11 (1944) 597-602.

38. thue a. Uber eine Eigenschaft, die keine transzendente Grössen haben kann, Kra. Vidensk Selsk. Skr. Mat. Nat. Kl. 2 (1912), No. 20, 1-15.

39. VlJAYARAGHAVAN Т. On the fractional parts of the powers of a number (II), Proc. Cambridge Phil. Soc. 37 (1941), 349-357.

40. ZHURAVLEVA V. Diophatine approximations with Fibonacci numbers. J. de Theor. des Nombres de Bordeaux 25 (2013), 499-520.

41. ЖУРАВЛЕВА В. О двух наименьших числах Пизо, Матем. заметки 94:5 (2013), 784-787.

42. ЖУРАВЛЕВА В. Диофантовы свойства степеней некоторых чисел Пизо, Матем. заметки 96:1 (2014), 147-151.

43. ZHURAVLEVA V. Diophantine approximations with Pisot numbers, submitted, preprint at arXiv: 1406.0518 (2014), 30 p.