Динамооптическая активность киральных сред, индуцированная полем гравитационного излучения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Альпин Тимур Юрьевич

• Альпин Тимур Юрьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Альпин Тимур Юрьевич

2.1 Лагранжев формализм

2.1.1 Стандартные элементы вариационной процедуры

2.1.2 Уравнения расширенной электродинамики

2.1.3 Уравнение эволюции псевдоскалярного (аксионного) поля

2.1.4 Уравнения динамики векторного поля: I. Тетрадная парадигма

2.1.5 Уравнения динамики векторного поля: II. Эфирная парадигма

2.1.6 Уравнения гравитационного поля

2.2 Три модели электродинамически активных сред

2.2.1 Неприводимое разложение ковариантной производной 4-вектора скорости среды

2.2.2 Разложение тензора Максвелла и тензора индукции Нтп

2.2.3 Неприводимое представление тензора линейного отклика

С ikmn

2.2.4 Аксионно-активный вакуум

2.2.5 Пространственно изотропная однородная диэлектрическая среда

2.2.6 Динамооптически активная среда

2.3 Плоско-волновые решения уравнений гравитационного поля

2.3.1 Пространство-время, обладающее плоско-волновой симметрией

2.3.2 Кривизна плоско-волновых пространств, тензор Риччи и уравнения гравитационного поля

2.3.3 Анзац о наследовании симметрии

3 Магнито-электрический отклик, индуцированный плоско - волновыми эфирно-аксионно-гравитационными модами

3.1 Фоновое состояние системы

3.2 Эфир, нечувствительный к сдвигу и растяжению в поле скоростей

3.3 Расширенная теория, включающая поле Максвелла

3.4 Точные решения уравнений аксионной электродинамики на плоско - волновом фоне

3.4.1 Начальное состояние

3.4.2 Точные решения для электрического и магнитного полей

3.4.3 Редуцированное уравнение псевдоскалярного (аксионного) поля

3.5 Аномалии, индуцированные плоскими волнами

3.5.1 Аномальное поведение продольных магнитного и электрического полей

3.5.2 Аномальное поведение поперечных магнитного и электрического полей

3.6 Краткие итоги

4 Динамооптически индуцированное двойное лучепреломление электромагнитных волн в поле гравитационного излучения

4.1 Эфирно-гравитационный плосковолновой фон

4.2 Задача о распространении электромагнитных волн в динамооптически активном эфире

4.2.1 Уравнения эфирной электродинамики

4.2.2 Преамбула: общее решение уравнений электродинамики для волн, не взаимодействующих с эфирными модами

4.2.3 Расширенные уравнения эфирной электродинамики

4.2.4 Электромагнитные волны с фронтом, параллельным фронту плосковолновой эфирной моды

4.2.5 Поиск решений для поперечной электромагнитной волны

4.3 Анализ уравнений характеристик электромагнитных волн

в эфире, активированном полем плоских гравитационных волн

4.3.1 Фазовые скорости электромагнитных волн в динамическом эфире

4.3.2 О регулярности обыкновенной и необыкновенной волн

4.3.3 Оценки величины эффекта

4.4 Краткие итоги

5 Оптическая активность, индуцированная плоскими гравитационными волнами в аксионно-связанных

системах

5.1 Аксионы и оптическая активность

5.2 Пример точного решения уравнений аксионной электродинамики, демонстрирующий вращение плоскости поляризации электромагнитной волны

5.3 Пример точного решения, описывающий квазипериодические аксионно-гравитационные моды

6 Заключение

1 Введение

1.1 Основные определения и понятия

Термин активность и его производные часто используются для описания свойств физических систем, веществ и сред; широко известны, например, понятия радиоактивные вещества, магнитоактивная плазма, оптически и акустически активные среды. Термин оптическая активность ассоциирован с вращением плоскости поляризации электромагнитных волн при прохождении через исследуемую систему [1]. Принято различать естественную оптическую активность физических систем и искусственную оптическую активность, индуцированную внешними воздействиями. Наиболее известным примером последнего считается магнитооптический эффект Фарадея - вращение плоскости поляризации оптически неактивных систем при воздействии на них внешним магнитным полем. Оптически активные среды относятся к разряду киральных (английский термин сЫга1, от древнегреческого слова х£ЬР — «рука»), поскольку заложенное в указанном термине отсутствие симметрии относительно правой и левой руки реализуется как неэквивалентность левого и правого вращения у волн с круговой поляризацией.

В данной работе появление термина киральный обусловлено тем фактом, что в качестве одного из элементов модели рассматривается псевдоскалярное поле, ассоциированное с аксионами, массивными псевдо - Голдстоуновскими бозонами, которые считаются наиболее вероятными кандидатами на роль частиц космической темной материи. Если градиент псевдоскалярного (аксионного) поля отличен от нуля, то он, как показано основателями аксионной электродинамики, способен сыграть роль, аналогичную роли вектора магнитного поля в эффекте Фарадея, вызывая появление индуцированной (искусственной) оптической активности в системах, которые не обладали таковой в отсутствие ак-сионного окружения. Иначе говоря, термин киральные среды в данной работе применяется к объектам, содержащим аксионную компоненту, и в этом смысле является синонимом термина аксионно-активные среды.

Термин динамооптические явления вошёл в научный лексикон благодаря книге [1]; в классическом понимании этот термин означает изменение диэлектрических и магнитных свойств неравномерно и неоднородно движущейся среды. Динамооптическая активность среды остаётся скрытой, если в поле скорости, характеризующем движение среды, отсутствуют ускорение, сдвиг, вращение или растяжение; с математической точки зрения проявление динамоопти-ческой активности возможно, если ковариантная производная четыре - вектора скорости среды отлична от нуля. Теоретическая космология имеет дело с двумя моделями динамооптически активных сред: это тёмная энергия и динамический эфир. В первом случае скорость среды определяется как единичный времени-подобный собственный вектор тензора энергии-импульса космической системы; во втором случае речь идет о векторно-тензорной модификации теории тяготения, но введённое в теорию нормированное векторное поле рассматривается как поле скорости некой субстанции, названной динамическим эфиром. В данной работе термин динамооптическая активность применяется к системам обоих типов. Для того, чтобы формально выделить задачи первого типа, в которых 4-вектор скорости включен в ортонормированную тетраду в качестве первого (времениподобного) вектора, используется термин тетрадная парадигма. Для выделения задач второго типа, в которых глобальное единичное временипо-добное векторное поле интерпретируется как скорость динамического эфира, используется термин эфирная парадигма.

Термин гравитационное излучение и его синоним гравитационные волны используется в работе для описания фонового гравитационного поля плосковолнового типа. Воздействие такого гравитационного поля на исследуемые в работе физические системы рассматривается как внешний фактор, снимающий вырождение по скрытым параметрам аксионной активности и динамо-оптической активности системы. Механизм активации псевдоскалярных взаимодействий основан на том, что в поле плоских гравитационных волн акси-онное поле не может оставаться постоянным, что градиент аксионного поля становится отличным от нуля, провоцируя электродинамическую систему на

отклик, сопровождающийся вращением плоскости поляризации и генерацией магнито-электрических явлений. Механизм активации динамооптических явлений связан с тем, что в поле плоских гравитационных волн движение среды не может оставаться однородным; гравитационно-индуцированные сдвиг и растяжение в поле скорости среды снимают вырождение по скрытым параметрам динамооптической восприимчивости и способны генерировать электрический и магнитный отклик среды, а также эффект двойного лучепреломления.

Термин аномальный отклик электродинамической системы, применяемый в данной работе, иллюстрируется следующим образом. Пусть исходное магнитное поле в системе имеет значение В0, и его вклад в локальное изменение гравитационного поля существенно меньше вклада от космического фонового гравитационного излучения (имеющего, например, безразмерную амплитуду К ~ 10-21 у поверхности Земли). Стандартный электрический отклик, индуцированный полем гравитационного излучения имеет амплитуду порядка Е ~ КВ0 ^ 10-21В0 (мы работаем в Гауссовой системе единиц, в которой электрическое и магнитное поля имеют одинаковую размерность). Электрический сигнал в динамооптически активной среде оценивается формулой Е ~ QhBo, где Q - это коэффициент усиления (добротность) среды. Мы называем электрический сигнал аномальным, если величина Qh становится порядка единицы; другими словами, электрический отклик следует считать аномально большим по сравнению с КВ0, но он не превышает исходного значения В0, то есть, не нарушает условий применимости модели.

1.2 История исследования проблемы

История раздела современной науки, который принято называть Физикой ак-сионов, началась чуть более четырёх десятилетий назад. В 1977 году Роберто Печчеи и Хелен Квинн, исследуя проблему сохранения СР-инвариантности в квантовой хромодинамике, предсказали существование новой псевдоскалярной частицы, которая могла бы обеспечить сохранение этой комбинированной четности [2]. В следующем 1978 году Стивен Вайнберг [3] и Фрэнк Вилчек [4] дета-

лизировали свойства этой новой частицы - массивного псевдо-Голдстоуновского бозона, названного аксионом по предложению Вилчека. За четыре десятилетия, прошедшие после этих предсказаний, было выяснено, что эти гипотетические частицы могли быть активными участниками событий в ранней Вселенной, рождаться и взаимодействовать с другими частицами в горячих звёздах, магнитосферах пульсаров, солнечной плазме; об этих событиях написаны сотни статей, десятки обзоров и монографий (см., например, [5]-[12]). Самой интригующей гипотезой, связанной с аксионами, несомненно, является гипотеза об аксионной природе космической тёмной материи, под управлением которой находится 23% всей энергии Вселенной (см., например, [13]-[17]). Экспериментальные попытки обнаружить аксионы пока не увенчались успехом, однако, доклады научных групп, таких как CAST (CERN Axion Solar Telescope), ADMX (Axion Dark Matter eXperiment), занятых этими экспериментами, внушают серьезный оптимизм и надежду на то, что идентифицировать частицы, из которых состоит тёмная материя, удастся в ближайшее десятилетие. В настоящий момент принято пользоваться следующими оценками для параметров аксион-ных систем: константа аксион-фотонного взаимодействия имеет верхний порог 9ayy < 1.47 • 10-10Gev-1 (см., например, [18]); плотность массы аксионной темной материи в Солнечной системе имеет порядок ррм) ~ 0.033 M(Sun)pc-3, или в натуральных единицах p(dm) ~ 1.25 GeV • cm-3 [19]; масса аксиона не превышает 0.02 eV, то есть, как минимум на восемь порядков меньше массы электрона; плотность числа аксионов в Солнечной системе имеет порядок n(a) « 1012 - 1015cm-3.

Одновременно с предсказанием, сделанным Печчеи и Квинн, в том же 1977 году была опубликована работа Вай-Ту Ни [20], в которой была построена классическая теория минимального взаимодействия псевдоскалярного поля ф с электромагнитным полем. Лагранжиан, описывающий такое взаимодействие, layy = 1 фГ*тпFmn, линеен по псевдоскалярному (аксионному) полю, содержит тензор Максвелла Fmn и дуальный ему тензор F*mn. Начиная с работы Пьера Сикиви [21] 1983 года, теория взаимодействия псевдоскалярного и элек-

тромагнитного полей называется аксионной электродинамикой; она включает классическую электродинамику Фарадея-Максвелла как частный случай, в котором величина ф постоянна. В тех случаях, когда аксионная и электродинамическая системы рассматриваются в контексте взаимодействия с гравитационным полем, используется термин аксионное расширение теории Эйнштейна-Максвелла (Einstein-Maxwell-axion theory). Глубокому осмыслению фундамента аксионной электродинамики способствовала серия работ Фридриха Хеля и Юрия Обухова [22]-[30]; в частности, в этих работах систематизированы представления о структуре и свойствах полного тензора линейного отклика электродинамических систем Clkmn, выделена часть, ответственная за взаимодействия аксионного типа, предсказано существование взаимодействий скьюонного типа, выявлена до-метрическая (pre-metric) структура уравнений макроскопической электродинамики, а также роль кривизны и кручения в формировании электромагнитного отклика среды.

Тензор линейного отклика Clkmn, связывающий тензор индукции Hlk с тензором Максвелла Fmn согласно правилу Hlk = ClkmnFmn, вводится феноменологически в Лагранжиан теории в виде слагаемого 1 ClkmnFlkFmn и представляет собой уникальный объект для теоретического моделирования [22, 23, 34]. Если среда представляет собой чистый вакуум, тензор Clkmn строится исключительно с помощью метрического тензора glk; если среда пространственно изотропна, этот тензор содержит добавки, квадратичные по скорости движения среды Vj [22, 34]. Если речь идет о минимальной аксионной электродинамике, тензор линейного отклика содержит псевдоскалярное поле ф [20]; в расширенной минимальной аксионной электродинамике в тензоре линейного отклика появляется градиент аксионного поля 'Ч-тф (линейно [35] или квадратично [36]). Неминимальная версия аксионной электродинамики, построенная в работе [37], базируется на включении тензора Римана Rlkmn, тензора Риччи Rlm и скаляра Риччи R в тензор линейного отклика Clkmn наряду с аксионным полем и его градиентом.

Среди приложений аксионной электродинамики заметное место занима-

ют исследования аксионных дионов [38]-[43], которые представляют собой магнитные монополи в аксионном окружении; в них взаимодействие аксионов с радиальным магнитным полем порождает радиальное электрическое поле, которое оказывается в фокусе внимания астрофизиков [44]. Особый интерес вызывают примеры исследований аксионно-электромагнитных волн в вакууме [45], колебаний и волн в ионосфере Земли [46] и в релятивистской плазме [47]-[49], электродинамические явления в аксионно-активных системах, индуцированные гравитационно-волновым полем [50] и космологическим расширением [51, 52, 53]. Развивая данную тенденцию, мы рассмотрели теорию, в которой тензор линейного отклика Cikmn пополнен слагаемыми, линейными по ковариантной производной 4-вектора скорости движения среды VmVk; в результате получен новый класс моделей, описывающих среды, названные динамооптически активными. О них пойдет речь в представленной диссертационной работе.

Теория динамического эфира (Einstein-aether theory) была создана в начале 21 века в работах Теодора Джекобсона и его коллег [54, 55]. Эта теория относится к классу векторно-тензорных теорий гравитации; основным структурным элементом этой теории, наряду с метрическим тензором, считается векторное поле W', которое времениподобно, единично (т.е., дгкW'Uk = 1) и является глобальным полем, заданным, как и метрика, на всем четырёхмерном пространстве-времени. Тот факт, что норма этого векторного поля равна единице по определению, позволила авторам теории считать поле Uг полем скорости некой гипотетической среды, которая была названа авторами этой теории динамическим эфиром (aether). Конечно, сразу возникают аллюзии с эфиром, придуманным древними греками, с эфиром Рене Декарта, с эфиром, в котором распространяются электромагнитные волны Максвелла... Но это скорее лингвистическая провокация, призванная привлечь внимание к данной векторно-тензорной (модифицированной) модели гравитации. Мотивы, приведшие к созданию теории динамического эфира Джекобсон изложил в знаменитом обзоре [56]. Одним из мотивов была названа идея разрушения стереотипа, известного как Лоренцева инвариантность теории: со времен Эйнштейна считалось, что в

теории не должна существовать выделенная скорость (все наблюдатели, движущиеся с индивидуальными скоростями равноправны) и, следовательно, выделенная система отсчёта. О возможном нарушении этого принципа в 60х годах прошлого века говорили Клиффорд Уилл и Кеннет Нордведт [57, 58]; впоследствии в литературе неоднократно обсуждалась и сама проблема нарушения Лоренц-инвариантности (см., например, [59, 60, 61, 62, 63, 64]), и космологические приложения моделей данного класса (см., например, [65, 66, 67, 68, 69]), однако свобода использования НЕ-Лоренц-инвариантных моделей в теории гравитации появилась, действительно, после серии работ по теории динамического эфира. В период с 2004 по 2008 год в рамках формализма теории динамического эфира были получены новые решения, описывающие чёрные дыры [70, 71, 72], статические сферически симметричные объекты, нейтронные звезды и двойные системы [73, 74, 75]. В работе [55] впервые зашла речь об эфирных модах со спином ноль, один и два, и в приближении слабого поля получены выражения для скоростей распространения этих видов эфирных мод. Теория Джекобсона вводит четыре феноменологические константы взаимодействия С1, С2, С3 и С4; они входят в теорию как конструктивные элементы конституционного тензора Джекобсона

КтП=С19аЪ'9шп + С2$ат $Ьп+С3^П ^т+С4и °'и ЬЯши,

который вводит в Лагранжиан теории инвариант К = КЩШЬпУаиш^ьип и связывает напряжённость векторного поля Vаиш с индукцией ЗаЬ линейным соотношением JаЬ = КаЬшп^тип. Аналогия с электродинамикой сплошных сред становится очевидной, если формально заменить Гтп на VmUn, Игк на Згк,

С^кшп на КаЬтп

В последующие годы были созданы модификации динамической теории эфира, в которых вместо линейного слагаемого К в Лагранжиан теории была введена нелинейная функция Г (К) [76, 77]; другие модификации использовали альтернативные теории гравитации [78, 79, 80], модели с дополнительными размерностями [81], идеи суперсимметрии [82, 83, 84], формализм цветного эфира [85]. В работах [86, 87, 88, 89, 90, 91, 92]) были представлены скалярные расши-

рения эфирной модели гравитации, мотивированные приложениями к теории инфляции в ранней Вселенной, теории эволюции возмущений и образования крупномасштабной структуры Вселенной. Для описания воздействия скалярного поля ^ на векторное поле ик, авторы работы [86] предложили модифицировать конституционный тензор К^П путём введения функций вД^О, в2(^), вз(^), в4(^) вместо констант С\, С2, С3, С4. Обратное воздействие динамического эфира на эволюцию скалярного поля было описано в работе [87] введением модифицированного потенциала Vв), зависящего от скаляра растяжения поля скорости в = Vкик; эта идея была усилена в [92] путём введения квадрата тензора сдвига поля скорости в потенциал скалярного поля Vв, а2). Жозе Лемуш и Александр Балакин в работе [93] расширили теорию динамического эфира за счёт включения электромагнитного поля в формализм теории. Впоследствии была создано Би(Ы) симметричное расширение эфирной теории Эйнштейна-Максвелла, что привело к созданию эфирного расширения теории Эйнштейна-Янга-Миллса [85].

Псевдоскалярное (аксионное) расширение теории динамического эфира было выполнено в работе [94] и применено в [95, 96] к задачам космологического и гравитационно-волнового типа. Композиция двух обобщений теории динамического эфира: электромагнитного и аксионного, - составляет предмет работ [97, 98, 99, 100, 101], результаты которых представлены в диссертации.

Завершая исторический обзор, нельзя не сказать о двух знаменательных событиях, произошедших в науке, именуемой гравитационно-волновой астрономией. 11 февраля 2016 года опубликован доклад о первой прямой регистрации гравитационных волн, излучённых при слиянии двух черных дыр (событие GW150914) [102]. С событиями GW170817 и СКБ170817Л, произошедшими 17 августа 2017 года, связано первое наблюдение гравитационных волн от сливающихся нейтронных звёзд, которое сопровождалось регистрацией гамма - всплеска, а также фиксацией оптического и рентгеновского послесвечения [103]. Эти события стали веховыми для науки о тяготении: отныне нет сомнений в том, что гравитационные волны существуют, что в вакууме они распространяются

со скоростью, равной скорости света, а переносящие их гравитоны обладают спином два и нулевой массой покоя. Эти события кардинально изменили статус тех ограничений, которые обычно накладываются на модифицированные теории гравитации. Так на основании наблюдений за финальной стадией слияния двух нейтронных звёзд было установлено, что отклонение от единицы отношения скоростей гравитационных и электромагнитных волн характеризуется величиной порядка 10-15. Если быть более точным, следует написать неравенства 1 — 3 х 10-15 < ^ < 1 + 7 х 10-16. Для теории динамического эфира это означает, что скорость эфирной моды со спином два, представленная формулой ^(22) = 1—(с1+с3), даёт жёсткую оценку для суммы Джекобсоновских параметров С1 + С3, а именно: —6 х 10—15 < С1 + С3 < 1.4 х 10—15. Согласно этим оценкам возможны три случая.

(1) Если гравитационно-волновые моды распространяются с досветовой скоростью, то есть, 1 — 3 х 10—15 < ^ < 1, следует принять во внимание оценки для гравитационного эффекта Черенкова [104, 64]). Тогда,согласно расчётам из работы [105], следует потребовать, чтобы параметр С2 был ограничен неравенством 0 < С2 < 0.095 [105].

(2) Если гравитационно-волновые эфирные моды распространяются со сверхсветовой скоростью, то есть 1 < ^ < 1+7 х 10—16, аргумент, связанный с Черенковским излучением не может быть использован, и ограничения для С2 формулируются следующим образом: — 27 < С2 < т^ (см. [105]).

(3) Если С2=0, и С1+С3=0, скорость распространения моды со спином 0 равна нулю; именно такая модель используется в данной диссертационной работе.

Поскольку ныне существование гравитационного излучения от космических источников доказано экспериментально, изменился статус гравитационно - волновых исследований: интересным становится уже не сам факт детектирования гравитационного излучения, а те новые данные о Космосе, которые могут быть получены при использовании этого излучения. В частности, гравитационные волны способны помочь в распознавании природы тёмной материи и

тёмной энергии. С формальной точки зрения для таких задач можно использовать модели фоновых гравитационных волн, которые разработаны в деталях за последние 70 лет. История получения и исследования точных плоско-волновых решений уравнений гравитационного поля в вакууме и электро-вакууме прекрасно описана в книгах [106, 107]. В диссертационной работе для анализа дина-мооптической активности киральных сред, индуцированной внешним фоновым гравитационным излучением, используется известная метрика Бонди-Пирани-Робинсона, а также метрика, полученная А.З. Петровым [108].

1.3 Цели и задачи работы, актуальность проблемы, новизна

результатов

Актуальность темы исследования

Темная энергия и темная материя, объединенные в космический субстрат, названный темной жидкостью, контролируют 96% энергии Вселенной, а потому космическая темная жидкость представляет собой важнейший предмет теоретического и экспериментального исследования. Если принять во внимание гипотезу о том, что космическая темная жидкость динамооптически активна и ведет себя как киральная среда при наличии аксионов в темной материи, становится очевидным первый аспект актуальности представленного научного исследования. Кроме того, поскольку эти гипотетические темные среды сотканы из электрически нейтральных частиц, классические атомно-молекулярные схемы возникновения поляризации и намагничености в них не работают; это означает, что динамооптическая активность может оказаться единственным средством косвенного влияния таких космических сред на электромагнитные процессы в них.

В свете событий, связанных с экспериментальным обнаружением гравитационных волн, основной задачей гравитационно-волновой астрономии становится использование уже открытых гравитационных волн для углубленного исследования астрофизических и космологических событий, нуждающихся в должной интерпретации. Например, логично использовать то обстоятельство,

что поле гравитационного излучения способно снимать вырождение по скрытым параметрам сложных систем, активируя латентные внутренние взаимодействия. В этом контексте становится очевидным второй аспект актуальности представленного научного исследования, связанный с тем, что гравитационно-волновое поле способно визуализировать скрытую динамооптическую активность систем с внутренним электромагнитным полем.

гт1 к*

Третий аспект актуальности темы исследования связан с экспериментальной значимостью явлений, индуцированных гравитационным излучением. Так как наблюдения гравитационно-индуцированных электромагнитных сигналов могут быть результативными, только если принимаемый сигнал окажется выше порога чувствительности приемника, при формальной слабости амплитуды гравитационных волн необходимо аномальное усиление отклика электродинамической системы тем окружением, в котором этот отклик формируется, или той средой, в которой распространяются электромагнитные волны, доставляющие информацию о сигнале. Предсказание аномалий, связанных с динамооп-тической активностью космической темной жидкости, весьма актуально, и оно предсказуемо повышает интерес к теме исследования.

Цель и задачи работы

Цель работы - сформулировать и исследовать ковариантные модели ди-намооптической активности движущихся сред, которые характеризуются внутренними взаимодействиями электромагнитного, псевдоскалярного (аксионно-го), векторного и гравитационного типов.

Для достижения названной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. построить самосогласованную модель эволюции динамооптически активной киральной среды в поле гравитационного излучения;

2. получить формулы для расчета потока энергии электромагнитного поля в динамооптически активной киральной среде в рамках тетрадной и эфирной парадигмы;

3. описать механизм генерации электрического поля в магнитоактивной

среде, подверженной действию аксионного, векторного и гравитационно-волнового поля.

4. изучить схему возникновения аномалий электромагнитного отклика в динамооптически активной киральной среде под влиянием плосковолнового гравитационного поля;

5. исследовать модель динамооптически индуцированного двойного лучепреломления электромагитных волн в поле гравитационного излучения;

6. проанализировать модель вращения вектора поляризации электромагнитных волн, индуцированного полем гравитационного излучения в аксионно-активной среде,

Научная новизна

1) На основе аксионно - эфирного расширения теории Эйнштейна - Максвелла впервые теоретически исследован класс моделей, связанных с динамооп-тическими эффектами, индуцированными полем гравитационного излучения; получены новые точные решения эволюционных уравнений аксионной электродинамики и динамики эфирного векторного поля в пространствах плосковолнового типа.

2) На основании точных решений уравнений аксионной электродинамики, предъявленных в работе, сделан вывод об аномальном характере электрического отклика, который генерируется за счет искажения магнитного поля в дина-мооптически активной и аксионно - активной среде в результате воздействия поля гравитационного излучения.

3) Впервые теоретически показано, что гравитационно - индуцированная динамооптическая активность среды порождает эффект двойного лучепреломления электромагнитных волн, распространяющихся в такой среде.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Построенная модель динамоопти-ческих явлений и найденные точные решения уравнений электродинамики для систем, взаимодействующих с псевдоскалярным (аксионным), векторным (эфирным) и плосковолновым гравитационным полями, могут оказаться полезными

при интерпретации данных космологических и астрофизических наблюдений.

Методы исследования

При получении результатов в работе использованы классические методы теории поля, ковариантной электродинамики сплошных сред и теории тяготения.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обусловлена тем обстоятельством, что они основаны на анализе точных решений эволюционных уравнений, в рамках теоретико-полевых моделей, которые соответствуют современным фундаментальным научным представлениям.

На защиту выносятся три положения

1) Космическая темная жидкость и динамический эфир способны вести себя как динамооптически активные среды в поле гравитационного излучения, создавая предпосылки для формирования обыкновенных и необыкновенных электромагнитных волн, типичных для явления двойного лучепреломления в анизотропных средах.

2) Аксионно - связанные электродинамические системы способны стать оптически активными под воздействием поля гравитационного излучения, создавая предпосылки для вращения поляризации электромагнитных волн и генерации магнито - электрических явлений.

3) Динамооптическая активность среды и её оптическая активность, будучи индуцированными полем гравитационного излучения, становятся источниками формирования аномального отклика электродинамической системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамооптическая активность киральных сред, индуцированная полем гравитационного излучения»

Апробация работы

Материалы диссертации обсуждались на Международных научных конференциях: International Conference "Modern Problems of Gravitation, Cosmology and Relativistic Astrophysics (RUDN-10, 2010, Moscow), Xlth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology of Asia-Pacific Countries (2013, Almaty), XIIth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology (ICGAC-12, 2015, Moscow); на Российских гравитационных конференци-

ях с участием зарубежных ученых: КИЗСКЛУ-ХП (2005, Казань), КИЗСКЛУ-XIII (2008, Москва), КИЗСКЛУ- XIV (2011, Ульяновск), КИЗСКЛУ-ХУ (2014, Казань), КИЗСКЛУ- XVI (2017, Калининград); на Международных Школах-семинарах "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии» в Ульяновске (2011, 2016), на Международных Школах-семинарах «Петровские чтения» в Казани (2002, 2014, 2018); на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвящённой юбилеям Петра Алексеевича и Александра Петровича Широковых (2016, Казань).

Публикации

Основные результаты работы изложены в пяти статьях, опубликованных в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки РФ, и одной статье в сборнике материалов Российской конференции. По материалам диссертации также опубликованы 13 тезисов докладов на Российских и Международных конференциях.

Личный вклад соискателя

Автор диссертации выполнил расчётную часть работы, написал текст диссертации и принял участие в подготовке основных публикаций.

Объём и структура работы

Диссертация изложена на 101 странице и состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы (123 наименования). Текст диссертации проиллюстрирован 300 формулами.

2 Математический формализм аксионно - эфирного расширения теории Эйнштейна - Максвелла

Диссертационная работа в целом основана на исследовании единой теоретической модели, которая в англоязычной версии называется Einstein-Maxwell-aether-axion theory; адекватным переводом этого названия мы считаем термин аксионно-эфирное расширение теории Эйнштейна - Максвелла. Во второй главе изложены математические основы этой теории.

2.1 Лагранжев формализм

2.1.1 Стандартные элементы вариационной процедуры

Функционал действия рассматриваемой теории имеет стандартную структуру:

S = J+2Л + L(totai)} , (!)

где g - определитель метрического тензора, R - скаляр Риччи, Л - космологическая постоянная, а к = G - постоянная Эйнштейна. Лагранжиан физической системы как целого, L(total), может включать метрику, псевдоскалярное поле ф и 4-вектор его градиента Vkф; он может содержать векторное поле (Vk или Ui) и его ковариантную производную (VmVk или VmUk); тензор Максвелла Fmn также может быть составляющей частью лагранжиана; наконец, тензоры Риччи и Римана могут появиться в неминимальной версии теории. Полевые уравнения Эйнштейна получаются в результате процедуры варьирования по метрике

Rik - 1 gikR = Лдк + KTi(ktotal), (2)

где Rik - тензор Риччи, а эффективный тензор энергии-импульса Т^а1) имеет следующее формальное определение:

Tikt0ta1) = ^-g Jgik [V-gL(totai)] . (3)

Этот тензор симметричен по определению и имеет нулевую дивергенцию в силу тождеств Бианки:

T(total) _ т(total) ^kт(total) _ g (4)

ik ki ' ik * V /

Полный лагранжиан рассматриваемой киральной динамооптической системы может быть воссоздан как сумма четырёх слагаемых

L(total) _ L(em) + L(ps) + L(vect) + L(matter) , (5)

связанных, соответственно, с электромагнитным, псевдоскалярным, векторным полем и материей. Рассмотрим подробнее уравнения эволюции указанных подсистем.

2.1.2 Уравнения расширенной электродинамики

Примем, что первая (электромагнитная) часть полного Лагранжиана квадратична по тензору Максвелла: Fpq

Т _ 1 cpqmn F F (6)

L(em) 4C FpqF mn , Vu/

а остальные части лагранжиана не содержат тензора Максвелла. Тензор Максвелла есть анти-симметризованая производная 4-вектора потенциала электромагнитного поля Ak:

Fmn = VmAn VnAm dmAn dnAm • (7)

Определение тензора Максвелла обеспечивает выполнение требований первой подсистемы уравнений ковариантной электродинамики

VlFmn + VnFlm + VmFnl _ 0 , (8)

которое может быть переписано в компактной форме с использованием дуального тензора F*ik:

F*гк = 1 eikmnFmn ^ VkF*гк _ 0 • (9)

2

Здесь eikmn _ - - (псевдо)тензор Леви-Чивита, построенный с помощью абсолютно анти-симметричного символа Eikmn, принимающего значения 1, 0, —1 (E0123 _ 1).

Тензор линейного отклика Сгктп обладает очевидной симметрией индексов

СРЯтп _ _сяртп _ стпрд _ _СРЧпт (10)

Мы полагаем, что тензор Срдтп может зависеть, во-первых, от псевдоскалярного поля ф, во-вторых, от векторного поля Vг или иг, в-третьих, линейно от 4-вектора градиента У кф, в четвёртых, линейно от ковариантной производной У к V1 или У к иг. Эти предположения позволяют нам описать взаимодействия между электромагнитным и псевдоскалярным полями, с одной стороны, электромагнитным и векторным полями - с другой. Будучи тензорной величиной, Срдтп может включать метрику, символы Кронекера, тензор Леви-Чивита, а в случае неминимальной теории также и тензоры Римана и Риччи, скаляр кривизны.

Вторая подсистема уравнений электродинамики получается процедурой варьирования функционала действия по 4-(ко)вектору потенциала: Аг. Эта процедура даёт следующую подсистему уравнений:

У к [С гктпРтп] _ _ ^г , (11)

где Зг - электрический ток, формально определяемый с помощью вариационной производной

тг _ 1 ^L(mmtteт) (12)

J - 4п ' ( )

Для удобства введём антисимметричный тензор индукции Нгк, определённый по правилу

Нгк - сгктпЕтп , (13)

характеризующийся в силу (11) нулевой дивергенцией в случае непроводящей среды, т.е., УкНгк _ 0, если Jг _ 0.

2.1.3 Уравнение эволюции псевдоскалярного (аксионного) поля

Будем считать, что вторая (псевдоскалярная) часть Лагранжиана квадратична по 4-вектору градиента Укф, и содержит безразмерное псевдоскалярное поле ф

только в чётных комбинациях

1

¿(ре) = 2ф0 — тп^тфУпф + V(ф2) . (14)

Определяющий тензор Стп считается зависящим от метрики, тензора Кроне-кера, (псевдо)тензора Леви-Чивита, скорости и её производных. Скаляр V(ф2) описывает потенциал псевдоскалярного поля; параметр есть величина, обратная к константе аксион-фотонного взаимодействия — = . Уравнения динамики псевдоскалярного поля имеют вид

Ут [с тпУпФ] + фv/(ф2) = а, (15)

где псевдоскалярный источник квадратичен по тензору Максвелла

1 д 1

7 =__р Р _прчтп +__\7.

^ = 4Ф2 РтпдфС +4Ф2 У

д

р Р сРЧтп

РРЧ Ртп д (у ,чС

(16)

и может зависеть от векторного поля и его ковариантной производной, если тензор линейного отклика Срдтп расширен соответствующим образом.

2.1.4 Уравнения динамики векторного поля: I. Тетрадная парадигма

Тетрадная парадигма предполагает, что добавочной части в Лагранжиане нет ¿(уе^) = 0, и 4-вектор скорости Уг является собственным вектором эффективного тензора энергии-импульса 1>к :

т/Га1)Ук = Ж(^а1)У . (17)

Вектор Уг считается времениподобным и единичным

дгк У гУк = 1, (18)

а соответствующее ему собственное значение

^а1) = У Тг(Га1)Ук (19)

может считаться скаляром плотности энергии. Используя это определение (оно обычно называется определением Ландау-Лифшица), можно эффективному тензору энергии-импульса придать следующий вид:

1Га1) = ^а1)УгУк + Р^а1) . (20)

Здесь тензор симметричен, ортогонален скорости Vг и описывает полное

давление в системе. В рамках этого подхода 4-вектор скорости должен удовлетворять полевым уравнениям, которые выводятся из закона сохранения (4). В самом деле, дивергенция тензора (20) равна нулю при условии

Vk Ук + W(toШ)V'(Уk Vk) + Ук РГа1) _ 0 . (21)

Как обычно, проекция (21) на направление скорости V1 даёт уравнение эволюции плотности энергии

+ ^а1)в _ РГа1)Ук^ , (22)

где О — VkУк обозначает конвективную производную, а в_УкVk - скаляр сжатия-расширения поля скоростей. Проекция (21) на гиперповерхность, ортогональную 4-вектору скорости, даёт соотношение

^а1)ОТ* + Дг*УкР^*0 _ 0 , (23)

где Дг5 — дга _ V'''Vя проектор, обладающий следующими известными свойствами:

Дг* _ Д*г, Дг5^ _ 0 , Д* _ 3 , Дг*Д}3 _ Д}. (24)

Таким образом, единичный времениподобный 4-вектор скорости Vг в тетрадной парадигме удовлетворяет уравнениям (23).

4-вектор скорости Vг может быть включён в число векторов тетрады Х^у индекс (а) принимает значения (0), (1), (2), (3), и Х(г0) — Vг. Эта четвёрка 4-векторов удовлетворяет условиям ортонормированности

дгкХ(а)Х(Ь) _ П(а)(Ь) , (25)

П(а)(Ъ)Хра)Х<{Ь) _ др* , (26)

где П(а)(Ь) обозначает матрицу Минковского с диагональю (1, _1, _1, _1). Ясно, что 4-векторы тетрады связаны соотношением, содержащим метрику, отсюда следует определить рабочие формулы для варьирования ^кт. Эта процедура

описана в работах [109, 110], напомним её основные детали. Во-первых, варьирование (26) даёт

¿д" = „И«'» Х^ХРс) +

(27)

и как следствие,

Хра)£дР?Х(ь) = [х^а)^хрс)п(с)(ь) + ¿Х^Х(ь)п(а)(')] . (28)

Во-вторых, вариация ¿Х^) может быть разложена в линейную комбинацию тетрадных 4-векторов:

¿Х(а) = У

(/И(а)

(/)

(29)

Подставляя (29) в (28), получим

у(а)(ь) + у(Ь)(а) = ¿дМ^Х^ . (30)

В общем случае, объект У(а)(ь) имеет симметричную и антисимметричную части, У(а)(ь) = У((а)(ь)) + У[(а)(ь)], однако считается, что метрическая вариация порождает только симметричную часть; эта идея немедленно приводит к тому, что

как следствие, для 4-вектора скорости получаем формулы варьирования

¿Уг

1

Уp¿; + у ¿р]

¿Уг 1[У + У 1

¿дР^ = - 4 [УРдг? + УдгР] .

(31)

(32)

¿дР? 4

Если тензор линейного отклика Сгктп зависит от ковариантной производной 4-вектора скорости, требуется подготовить формулу вариации для тензора УтУг:

¿[УтУ11 = Ут^) + У n¿Гmn =

1

1

= 4 ¿дР? (¿Р УтУ + ¿? УтУР) +1 (УРдт? + У? дтР) У1 ¿дР<?

1

4

- 4 (¿Рдт? + ¿?дтР) УnУn¿gpq.

т? I ^ ?ут-Ру ,Р<?

(33)

Очевидно, она содержит слагаемые вида У^дР?, и следовательно, процедура варьирования требует интегрирования по частям при вычислении тензора энергии-импульса электромагнитного поля.

2.1.5 Уравнения динамики векторного поля: II. Эфирная парадигма

В рамках теории динамического эфира считается, что существует временипо-добное векторное поле иг, и его следует включить в процедуру варьирования как независимую динамическую переменную. Соответствующая часть Лагранжиана не исчезает, как это было в тетрадной парадигме, а принимает вид

£(***) = ири* -1) + к

аЪтпуаи тУъи п

(34)

функция Л есть множитель Лагранжа, обеспечивающий нормировку векторного

поля на единицу; определяющий тензор Джекобсона КаЪтп имеет вид

КаЪтп — С19аЪ9тп + С2С^П + С3^+ С4иа'иЪ9тп ,

аъ

(35)

где С\, С2, С3 и С4 - феноменологические параметры (см. напр., [56]). Слагаемое (34) фигурирует в трёх процедурах варьирования. Во-первых, варьирование по множителю Лагранжа Л приводит к уравнению дряири4 — 1, т.е. векторное поле нормировано на единицу и, таким образом, всюду времениподобно. На этом свойстве векторного поля основана его интерпретация как поля глобальной скорости. Во-вторых, варьирование полного функционала действия по векторному полю иг даёт следующее уравнение:

Ли, - 1 Уа [Ка]пУъип] + КС4У,ипиЪУъип+

К

1 дсрчтп 1

+ 4 ¥р<1 Етп 4 У/

дС тп 1 ~Ф^УтфУпФ -7^- + ^^^У^

дСрдг

Ерч Етп - (У/ и,)

1 2

УтфУпФ

-Сг

- (У/и,)

— 0.

Это уравнение может быть переписано в хорошо известном виде

Уа5а, — !,(и) + К/]Г) + , + Л и,,

(36)

(37)

где использованы следующие определения:

Jal — каЪ1п(Уъип), !(и) — С4У, ипиъУъи

,п

Ъи п

(38)

/(F) = !F F 1 4Fmn dUj

- 4 V

FpqFmn d(ViUj)

j = - 1^Vm0Vn0 ^^ + >2v

1, 2

dCm

1

о V

Vm0Vn0

dCm

d (Vi U j)

(39)

(40)

ди? ' 2

Очевидно, что проекция (37) на направление при использовании условия нормировки позволяет записать множитель Лагранжа в явном виде

Л = Uj

Va Jj - ljU) - j - j

(41)

Аналогично, используя проектор Дгк = дгк — ЦгЦк, мы можем получить уравнение

Д^ Уа = Д^ [/;(и) + К/]Г) + к/]ф)] , (42)

содержащее 4-вектор скорости, но не содержащее множителя Лагранжа. Наконец, варьирование этой части Лагранжиана по метрике вносит вклад в уравнения гравитационного поля.

2.1.6 Уравнения гравитационного поля

Некоторое количество деталей вариационного формализма в эфирной и тетрадной парадигмах совпадают. Например, следующие вспомогательные вариационные соотношения используются в обеих версиях расчетов:

5 5

^ф = 0 , у-^Ф = 0 ,

6

-g

ik

— F = 0

• i J- mn v7

i

1

mn

1 г ] 5 ¡rq n

Tt = -o tot* + gikg*sJ , t-^t-q = 0,

\/-g -g -6/srt

it = 2 g'k ,

_ 1, isrt

= 26 g«k

(43)

(44)

Тензор энергии-импульса псевдоскалярного (аксионного) поля, вычисленный для Cmn = gmn, одинаков для обоих подходов:

1

ТТ = Ф2 {V^Vk ф + - [V - Vm0Vr

(45)

Классическая часть тензора энергии-импульса векторного поля (без учета слагаемых, содержащих тензор Максвелла) также имеет стандартный вид

1(куес) = С1 (УтЦгУтЦк — УгЦтУк Цт) + +

+и:ик ип ^тП—1п]+Ут +1 д1к Jamva ит . (46)

Наконец, если речь идет о тензоре энергии-импульса материи, мы пользуемся стандартным алгебраическим представлением

т(таШг) _ ^^ + ч.ук + Чк у. + Рк (47)

в тетрадной парадигме; в рамках эфирной парадигмы следует заменить У на и. Плотность энергии материи W, вектор потока тепла и тензор давления Ргк находятся с помощью стандартных сверток с соответствующими векторами скорости.

Однако, все детали процедур, относящиеся к варьированию по 4-вектору скорости и его ковариантной производной, должны быть рассмотрены отдельно, в зависимости от используемой парадигмы.

Вычисления в рамках тетрадной парадигмы В рамках тетрадного формализма используем следующее определение тензора энергии-импульса электромагнитного поля в среде:

1 А

ТГ = -^^дГк Ртп,С*""} . (48)

Учитывая соотношения (43), немедленно получим

1 1 А

Т(ет) _ 1 р 1 сР1тп — 11 1 ° СРЧтп (40)

Тгк _ 41 РЧ1 тпС ^1 РЧ1 тп ^^кС . \±и)

Первое слагаемое в этой формуле есть скаляр 1 НтпРтп, входящий во все известные тензоры энергии-импульса электромагнитного поля в среде; всё различие между известными тензорами появляется во втором слагаемом. С учётом (44) можно переписать (49) следующим образом:

Т(ет) _ 111 I Т :к 4 ГРЧ1 тп \ gik

СРЧтп _ £

1вН

дСРЧ

тп

дёзН

- (бЧ + 4б!)

дСРЧ

тп

дд

1в

1 дСРЧтп 1 дСРЧтп

1 № + ук-Я) -д^г -1 (НVУк + бкVV:) д^

+8У

(угд/к+укд/г) Рр?ртп

дСР?тп

д (У/ У;)

—8 (¿? д/к+¿1 д/г) У

дСР?тп

Р Р У5—_

д(У/у;)

(50)

Следует подчеркнуть, что рассматривается пример теории, в котором тензор энергии-импульса содержит не только тензор Максвелла, но и его ковариант-ную производную УвРтп, так как тензор линейного отклика СР?тп содержит

ЗСРЧтп / А

динамооптические слагаемые, если ^Уу) = 0.

Вычисления в рамках эфирной парадигмы Рассмотрим теперь векторное поле , оно считается независимым при варьировании по метрике, т.е., в противоположность (32), мы имеем = 0. Также, учтём что вариация слагаемого

2А(дтпЦтип — 1) по метрике дгк создаёт вклад Лигик в полный тензор энергии-

(р)

импульса. Величина Л, заданная уравнением (41), содержит часть /] ), которая, согласно (39), квадратична по тензору Максвелла. Мы включаем это слагаемое в тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Вариация ковариантной производной также отличается от (33), принимая следующий вид:

¿(У/и) = — 2

Уп + ¿¿и^У/ — Ц(гдк)/У; ¿д

гк

(51)

Здесь и далее используется определение А(гВк) = 2(АгВк+АкВг), общепринятое для процедуры симметризации. Теперь тензор энергии-импульса электромагнитного поля может быть записан в следующем виде:

^(ет) = 1 р р / д Тгк 4 рр? ртп | дгк

СР?тп _

дСР?т

1 ^ дСР?тп

4 игик | ^р? Ртп

ди;

— У/

— (¿г ¿1+¿к ¿п

дС

дд

/в

+

дСР?тп

Ртп д(V,и;)

+8 У

—1У

8 '

(игд/к+икд/г) ртп

(¿; ик + ¿к Рр? ртп

дСР?тп

д (У/и;) ^

дСР?тп

д (У/и;)

—8 (¿; д/к+¿k д/г) Уп

+

р Р ип

дС

д (У( и?)

(52)

Напомним процедуру восстановления основных (неприводимых) частей тензора

энергии-импульса электромагнитного поля.

п

Плотность энергии, 4-вектор потока энергии и тензор давления электромагнитного поля: отличаются ли они в тетрадной и эфирной парадигмах? Стандартное разложение симметричного эффективного тензора энергии-импульса содержит три основных элемента: скаляр плотности энергии W, 4-вектор потока <2к и тензор давления Р:к. В тетрадной парадигме они определяются, соответственно, следующим образом:

W = Vтттпт) Vп , (53)

0к — Vтт(ет) дкп _ дктт(ет)тлп (54)

* Т тп д д Т тп * 1 V /

Р:к = д^т^дЫ . (55)

Чтобы получить соответствующие величины в эфирной парадигме, нужно заменить V3 на и3 и Т(епт) на Т(ет). Представляет интерес вычисление разности

Т:к = - ткт . (56)

При из _ V3, мы немедленно получаем, что т:к имеет вид:

щтп ' ^

(57)

1.. 3 („ „ ОС""

п

дСРчг

тп

О (V, и з)

Т:к _ 4 и(:Дк) |Ррчртп диз Vl

Скаляры плотности энергии и тензоры давления, вычисляемые в тетрадной и эфирной парадигмах, явно совпадают:

и:т:кик _ 0 ^ W(aether) _ W(tetrad), (58)

д: Тч дк _ 0 => -р^Шет;) _ р(tetrad) (59)

т :к п ' тп ' тп ' \ /

Отличаются только 4-векторы потока энергии:

ОСрч

п

1рч Рт п О (V, и з

1 ( ОСРЧтп

2(!еШег) - б^гаЛ) _ д^Т:кик _ ^^ | РРЧР'т'п ди3 Vl

(60)

Таким образом, мы вынуждены вновь вернуться к полемике Минковского и Абрагама и обсудить различие в полученных векторах потока энергии. Перед анализом этой проблемы рассмотрим три модели.

2.2 Три модели электродинамически активных сред

2.2.1 Неприводимое разложение ковариантной производной 4-вектора скорости среды

Ковариантная производная Ук раскладывается на продольную и поперечную компоненты относительно выбранного 4-вектора скорости; работая с векторным полем иг, мы имеем, соответственно,

Ук = ^вц + Ук, в = итУт, У к = дтУт, дт = ¿т — итик, (61)

где В - конвективная производная, а Дт - проектор. В этих терминах тензор Угик может быть представлен следующим образом:

Угик = игВик + ^гк + ^к + ^Дгк© , (62)

где Виг - 4-вектор ускорения, агк - симметричный бесследовый тензор сдвига, ¡х>гк - антисимметричный тензор вращения, а © - скаляр сжатия-растяжения. Определения этих величин хорошо известны

1 (^ ^ \ 1

вик = итУтик , агк = 1 [Угик + УкШ — ^Дгк© ,

1 ^ \ ^

^гк = 1 (Угик — Уки^ , © = Утит = Утит . (63)

Термины «ускорение», «сдвиг», «вращение» и «сжатие» относятся в этом случае к течению эфира. Работая с 4-вектором скорости Уг, будем использовать аналогичное разложение.

2.2.2 Разложение тензора Максвелла Р1^ и тензора индукции Нтп

Электродинамика непрерывных сред оперирует четвёркой 4-векторов Вг, Ег, Нг и Вг. С использованием 4-вектора скорости Ук, эти величины могут быть определены так:

вг = нгкУк, Нг = н*кУк, Ег = ргкУк, Вг = р*кУк. (64)

Работая в эфирной парадигме, нужно заменить Ук на ик. 4-векторы Вг, Ег, Нг и Вг ортогональны соответствующему 4-векторы скорости. В этих терминах

Рк, Рк, Нгк и Н*гк могут быть представлены в виде

Рк = ЕгУк — ЕкУг — егктпВтУп , Рк = ВгУк — ВкУг + егктпЕтуп , (65) Нгк = ВгУк — ВкУг — егктпНтУп , Н*гк = НгУк — НкУг + егктпВтУп . (66)

Е может считаться 4-вектором электрического поля в системе отсчёта, связанной с 4-вектором скорости Ут. Вг описывает магнитную индукцию, Вг соответствует электрической индукции, Н может быть названо 4-вектором магнитного поля.

2.2.3 Неприводимое представление тензора линейного отклика Сгктп

Тензор Сг ктп, симметричный при перестановке пар индексов Стп г к = С гктп, также может быть разложен с применением подходящего векторного поля; выбирая 4-вектор Ук мы получаем следующее разложение (подробности можно найти, например, [34, 22]):

Сг ктп _ ^г тУ к у« _ ^г пу к у т + ^.кпугу т _ ^.ктугу п

2

1

к п п к т кп т кт

1 ^ г к//, . —1\ „тпв 1

—п (м—1 )/вПтпв— |_П (Ут^/п—Уп^/т)+п/тп(Уг^к—УкVг) . (67) 2 2

Новые тензоры с двумя индексами определены по правилам:

£гт = 2Сгктпуку« , 1)р? = — 2пргкСгктпптп? , ^рт = пргкСгктпуп , (68)

где пргк = ергк?У?. Тензоры егк и (д—1)гк симметричны, ^/к, в общем случае несимметричен; они ортогональны к Уг, т.е.

£гкУк = 0 , ООгкУк = 0 , ^/кУ/ = 0 = ^/кУк . (69)

Тензор £гк интерпретируется как тензор диэлектрической проницаемости в системе отсчёта, связанной с 4-вектором скорости Уг; тензор (д—1)гк описывает

к

магнитную непроницаемость среды; тензор содержит так называемые магнитоэлектрические коэффициенты среды. Эта интерпретация основана на формуле

Вг = бгкЕк — ^кгВк , Нг = ^гкЕк + (м—1 )гкВк , (70)

которая может быть непосредственно получена из соотношения Игк = ClkmnFmn с использованием определений (64), (67).

2.2.4 Аксионно-активный вакуум

В первом примере считается, что тензор линейного отклика не содержит ни 4-вектора скорости, ни его производной:

cprUum) = 1 (gpqmn + Ф cpqmn). (71)

Здесь и далее мы используем вспомогательный тензор

gpqmn ^ gPmgqn — gPnд^т (72)

Используя определения (68), получим

£im = Aim , (M-1)pq = Apq , Vpm = -фд; . (73)

Так как vpm = 0, такая среда обладает магнитоэлектрическими свойствами, обусловленными наличием псевдоскалярного поля ф. Вычисления в обеих (тетрадной и эфирной) парадигмах (см. (50) и (52), соответственно) дают одинаковый бесследовый тензор

лт!(vacuum) ^(vacuum) 1 р T?mn ^ т? m (пЛ\

Tik = >ik =4gikFmnF - FimFk . (74)

Иначе говоря, тензоры энергии-импульса не отличаются один от другого и не содержат аксионного поля. Соответственно, скаляры плотности энергии, векторы потока энергии и тензоры давления

W = -1 (EmEm + BmBm) , Q = -rfmnEmBn ,

ppq = 1Apq (emEm + BmBm) - (EpEq + BpBq) . (75)

формально совпадают для обоих определений 4-вектора скорости, Vi и Ui. Уравнения электродинамики принимают в этой модели весьма простой вид

4п

VkFik = -F*ikVkф - —Ii, VkF*ik = 0 . (76)

Очевидно, что постоянное псевдоскалярное (аксионное) поле не участвует в электродинамических процессах.

2.2.5 Пространственно изотропная однородная диэлектрическая среда

Вычисления в рамках тетрадной парадигмы В данной модели тензор линейного отклика содержит слагаемые, квадратичные по 4-вектору скорости

СР?тп _ сР?тп + СР?тп (77)

СР0?)тп = ^ [дР?тп+ (ед—1) (дрту?Уп—дрпУ?Ут+д?пУРут—д?тУРУп)] , (78)

1

2М 1

СР?тп _ ^ф "^р?тп + ^д ^уН (ур^гдтп _ у?^гртп + ут^гпр? _ уп^гтр?) (79)

Из определений (68) мы снова получаем тензоры восприимчивости и тензор магнитоэлектрических коэффициентов:

егт = еДгт , (м—1)р? = ДДр?, < = —фДт(1 + ы). (80)

М

Таким образом, е характеризует диэлектрическую проницаемость, м описывает магнитную восприимчивость, п = д/ёМ - это коэффициент преломления среды, а ы - это магнитоэлектрическая константа. При е =1, м =1, ы = 0, тензор СР?тп превращается в Ср^тит) (71). Тензор энергии-импульса, вычисленный с использованием (50), может быть представлен в двух формах. Первое представление содержит тензор Максвелла:

т(1бо1гор1с) = ^ д р р сР?тп _ [д р + д р ] сР?тпР (81)

т гк — 4дгкртпС(о) 2 [дргр к? + дркр г?] С(о) ртп . \01/

Слагаемое Срф)тп исчезает из тензора энергии-импульса электромагнитного поля в силу соотношений (32) и вследствие известного равенства

ргт р * _ 1 с г ртп р *

р ркт = 4¿кр ртп . (82)

1 „ „ 1

Вторая форма тензора энергии-импульса содержит 4-векторы Ег и Вк: Тг(Г'Г°Р1С) = (1 дгк — УУк) (ёЕтЕт + ДВтВ^ — (ёЕгЕк + ДВгВ^ —

— 1 (е + М) (УгПктп + УкПгтп) ЕтВп . (83)

Тензор (83) явно бесследовый и не содержит ни параметра ш, ни аксионного поля ф. Формулы

W = -1 [eEmEm + iBmBm) , Q = -2 (e + 1) rfmnEmBn ,

РРЧ _ ^^ ^ЕтЕт + - ВтВт) - (еЕРЕЧ + - ВРВ^ (84)

описывают плотность энергии электромагнитного поля, поток энергии 4-вектора и тензор давления, соответственно, в модели пространственно изотропной среды с £ _ 1, Д _ 1, Ы _ 0.

Вычисления в рамках эфирной парадигмы Вычисления, основанные на формуле (52) дают следующий тензор энергии-импульса:

7-» _ (2^ - ии^ [еЕтЕт + ДВтВ^ - (^ЕЕк + ДВ:В^ -

— (игПктп + икПгтп) ЕтВп . (85)

Д

Ясно, что соответствующий скаляр плотности энергии и тензор давления

^ _ -1 (еЕтЕт + ДВтВт) , (86)

Ppq = iApq \eEmEm + -BmBmj - ^EpEq + -BpBqj (87)

совпадают с таковыми, вычисленными в тетрадной парадигме, если формально заменить uk на Vk. Однако, 4-вектор потока энергии

= -1 rfmnEmBn (88)

1

отличается от описываемого в (84) на постоянный множитель 1 (n2 + 1). Этот факт неоднократно отмечался в работах, в которых затрагивалась полемика Минковского-Абрагама о корректном определении вектора потока энергии электромагнитного поля в пространственно изотропной среде (см., например, [111, 112, 113, 114, 115, 116]).

Замечание об аксионном вкладе в тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Прямой расчёт показал, что независимо от подхода к вариационной процедуре магнитоэлектрическая константа ы никак не проявляет себя при конструировании эффективного тензора энергии-импульса среды. Объяснение этого нетривиального факта основано на соотношении (82). Дело в том, что в силу данного соотношения слагаемое 4л/—дС(гктпргкЕтп, появившееся в функционале действия с С^^, заданным формулой (79), может быть переписано как 1 ф(1 + ы)Егктпргкртп, а это означает, что вариация данного слагаемого по метрике даёт нуль. Однако, для уравнений электродинамики вклад, содержащий ы, не равен нулю и приводит к интересным последствиям.

2.2.6 Динамооптически активная среда

Мы работаем в рамках линейной электродинамики киральной среды, а это означает, что добавляя новый элемент в тензор линейного отклика СР?тп мы получаем аддитивное слагаемое в соответствующий тензор энергии-импульса. Учитывая это обстоятельство и устраняя излишнюю громоздкость формул, в качестве третьего примера мы рассмотрим модель с упрощённым тензором линейного отклика, который в рамках тетрадной парадигмы имеет следующий вид:

Ср?тп = 1 дМтп + X/5р?тпд^.8У/у•. (89)

2

В рамках эфирной парадигмы следует заменить Уг на иг. Иными словами, мы рассматриваем динамооптический вакуум с е=1, М=1, ф=0. В данной модели определяющий тензор, называемый далее тензором динамооптической восприимчивости,

X/вр?тп _ 1 д у г д у£ а ^дР^/вдтпвб + дтп/адР?в6^ _ ^ ^р?/а^втп6 +

(90)

содержит две эффективные константы взаимодействия а и 7. Полное представление этого тензора приведено в работе [93]. Для того, чтобы интерпретировать

гк ( _1 \гк ¿к

эти константы, вычислим тензоры £ , ш 1) , V¡к и получим, что

£гк = Агк + ау(¡ук) , (^-1)гк = Дгк + ^у(¡ук) , „¡¡к = 0 . (91)

Таким образом, параметр а связан с вкладом динамооптической восприимчивости в тензор диэлектрической проницаемости, а 7 описывает вклад динамо-оптической восприимчивости в тензор магнитной проницаемости.

Анализ тензора энергии-импульса электромагнитного поля, основанный на тетрадной парадигме. Используем уже полученный тензор (74) и представим весь тензор энергии-импульса в следующей форме:

,-т-,(ёупашо) лт-,(уасииш)

т гк т гк

4 ^рд^ши ^ дгк (У/У )

дХ/ярдши X /ярдши __дх

де/ш д (X 1г/рдшип^

- Ш 61 + 4 ¿я) (у „V') д^Х '

1 д X/ярдши 1

-1 {Уг' + Ук' (У/У) ' - 1 (дгяУ/Ук + 9кяУ/У) X/ярдши+

д9

2 V^^ дУ' 2 (дЛ

+1 У„ {^Етп [(Уд/к + Укд/г) х/„рдши - (д{8д1к + дк8ди) У„X/ярдши}} , (92)

где тензор X1зрдши задаётся формулой (90). Дальнейшие вычисления, простые, но громоздкие, приводят к следующему результату:

лу-1(ёупашо) _ лт-г(уасиит)

т гк т гк +

+ (2дгк - УгУк) {аЕ1Ея + 1Е/Вя) У(/Уя) - 1 [аЕ/Ея + 1Е/Вя} У/У(кд0я-

1 [ } ■ ^ аЕяУ{гЕк) - 7ВяУ{гЕк)] ВУа - аЕ'Е{Ук)У-

2

аЕшЕ^ ш(кУ) - 1ЕшЕ^ ш(кУ

У / Уя+

+2У„ {аЕ%Ек) - 1Е%Ек) - У„ [аЕгЕк - 7В{Ек]} . (93)

Интересующий нас 4-вектор потока энергии, соответствующий этому тензору, приобретает теперь следующий вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Альпин Тимур Юрьевич, 2019 год

Список литературы

[1] Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред. Серия Теоретическая физика, Том VIII/Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Москва: Наука. 1982. - 624 с.

[2] Peccei R.D. CP conservation in the presence of instantons / R.D. Peccei, H.R. Quinn // Physical Review Letters. - 1977. - Vol. 38. - P. 1440-1443.

[3] Weinberg S. A new light boson? / S. Weinberg // Physical Review Letters. -1978. - Vol. 40, Iss. 4. - P. 223-226.

[4] Wilczek F. Problem of strong P and T invariance in the presence of instantons / F. Wilczek // Physical Review Letters. - 1978. - Vol. 40, Iss. 5. - P. 279-282.

[5] Preskill J. Cosmology of the invisible axion / J. Preskill, M.B. Wise, F. Wilczek // Physics Letters B. - 1983. - Vol. 120, Iss. 1-3. - P. 127-132.

[6] Raffelt G.G. Astrophysical methods to constrain axions and other novel particle phenomena / G.G. Raffelt // Physics Reports. - 1990. - Vol. 198, Iss. 1-2. - P. 1-113.

[7] Turner M.S. Windows on the axion / M.S. Turner // Physics Reports. - 1990.

- Vol. 197, Iss. 2. - P. 67-97.

[8] Axion searches in the past, at present, and in the near future / R. Battesti et al // Lecture Notes in Physics. - 2008. - Vol. 741. - P. 199-237.

[9] Sikivie P. Axion Cosmology / P. Sikivie // Lecture Notes in Physics. - 2008. -Vol. 741. - P. 51-71.

[10] Khlopov M. Fundamentals of cosmic particle physics / M. Khlopov. -Cambridge: CISP-Springer, UK, 2012. - 385 p.

[11] Kawasaki M. Axions: Theory and Cosmological Role / M. Kawasaki, K. Nakayama // Annual Review Nuclear and Particle Science. - 2013. - Vol. 63.

- P. 69-95.

[12] Ringwald A. Exploring the role of axions and other WISPs in the dark universe / A. Ringwald // Physics of the Dark Universe. - 2012. - Vol. 1. - P. 116-135.

[13] Shellard E.P.S. On the origin of dark matter axions / E.P.S. Shellard, R.A. Battye // Physics Reports. - 1998. - Vol. 307. - P. 227-234.

[14] Steffen F.D. Dark Matter candidates - axions, neutralinos, gravitinos, and axinos / F.D. Steffen // The European Physical Journal C. - 2009. - Vol. 59. - P. 557-588.

[15] Sikivie P. Bose-Einstein condensation of dark matter axions / P. Sikivie, Q. Yang // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 103. - P. 111301-1-111301-4.

[16] Duffy L.D. Axions as dark matter particles / L.D. Duffy, K. van Bibber // New Journal of Physics. - 2009. - Vol. 11. - P. 105008-1-105008-2.

[17] Del Popolo A. Non-baryonic dark matter in cosmology / A. Del Popolo // International Journal of Modern Physics D. - 2014. - Vol. 23. - P. 1430005-11430005-109.

[18] Arik M. New solar axion search in CAST with 4He filling / M. Arik et al (CAST Collaboration) // Physical Review D. - 2015. - Vol. 92, Iss. 2. - P. 021101-1021101-6.

[19] Garbari S. Limits on the local dark matter density / S. Garbari, J.I. Read, G. Lake // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - Vol. 416, Iss. 3, 21 Sept. 2011, P. 2318-2340.

[20] Ni W.-T. Equivalence principles and electromagnetism / W.-T. Ni // Physical Review Letters. - 1977. - Vol. 38. - P. 301-304.

[21] Sikivie P. Experimental Tests of the "Invisible"Axion / P. Sikivie // Physical Review Letters. - 1983. - Vol. 51. - P. 1415-1417.

[22] Hehl F.W. Foundations of Classical Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov. - Birkhauser, Boston, 2003. - 113 p.

[23] Hehl F.W. How does the electromagnetic field couple to gravity, in particular to metric, nonmetricity, torsion, and curvature? / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov // Lecture Notes in Physics. - 2001. - Vol. 562. - P. 479-504.

[24] Hehl F.W. Linear media in classical electrodynamics and the Post constraint / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov // Physics Letters A. - 2005. - Vol. 334. - P. 249-259.

[25] Hehl F.W. Electrodynamics of moving magnetoelectric media: variational approach / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov // Physics Letters A. - 2007. - Vol. 371. - P. 11-19.

[26] Obukhov Yu.N. Measuring a piecewise constant axion field in classical electrodynamics / Yu.N. Obukhov, F.W. Hehl // Physics Letters A. - 2005. -Vol. 341. - P. 357-365.

[27] Hehl F.W. Relativistic nature of a magnetoelectric modulus of Cr2O3-crystals : a new 4-dimensional pseudoscalar and its measurement / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov, J.-P. Rivera, H. Schmid // Physical Review A. - 2008. - Vol. 77. -P. 022106-1-022106-15.

[28] Hehl F.W. On the theory of the skewon field: From electrodynamics to gravity / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov, G. F. Rubilar, M. Blagojevic // Physics Letters A. - 2005. - Vol. 347. - P. 14-24.

[29] Obukhov Yu.N. On possible skewon effects on light propagation / Yu.N. Obukhov, F.W. Hehl // Physical Review D. - 2004. - Vol. 70. - P. 1250151-125015-14.

[30] Hehl F.W. Spacetime metric from local and linear electrodynamics: a new axiomatic scheme / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov // Lecture Notes in Physics. -2006. - Vol. 702. - P. 163-187.

[31] Lammerzahl C. Riemannian light cone from vanishing birefringence in premetric vacuum electrodynamics / C. Lammerzahl, F.W. Hehl // Physical Review D.

- 2004. - Vol. 70. - P. 105022-1-105022-7.

[32] Obukhov Yu.N. Electromagnetic energy-momentum and forces in matter / Yu.N. Obukhov, F.W. Hehl // Physics Letters A. - 2003. - Vol. 311. - P. 277-284.

[33] Ramos T. First principles approach to the Abraham-Minkowski controversy for the momentum of light in general linear non-dispersive media / T. Ramos, G.F. Rubilar, Yu.N. Obukhov // Journal of optics. - 2015. - Vol. 17. - P. 025611-1025611-20.

[34] Eringen A.C., Maugin G.A. Electrodynamics of Continua / A.C. Eringen, G.A. Maugin. - New York: Springer-Verlag, 1989. - 436 p.

[35] Balakin A.B. Extended axion electrodynamics: Optical activity induced by nonstationary dark matter / A.B. Balakin, N.O. Tarasova // Gravitation and Cosmology. - 2012. - Vol. 18. - P. 54-56.

[36] Balakin A.B. Gradient models of the axion-photon coupling / A.B. Balakin, V.V. Bochkarev, N.O. Tarasova // The European Physical Journal C. - 2012.

- Vol. 72. - P. 1895-1-1895-14.

[37] Balakin A.B. Non-minimal coupling of photons and axions / A.B. Balakin, W.-T. Ni // Classical and Quantum Gravity. - 2010. - Vol. 27. - P. 055003-1055003-23.

[38] Wilczek F. Two applications of axion electrodynamics / F. Wilczek // Physical Review Letters. - 1987. - Vol. 58. - P. 1799-1802.

[39] Witten E. Dyons of charge fg / E. Witten // Physics Letters B. - 1979. - Vol. 86. - P. 283-287.

[40] Fischler W. Dyon-axion dynamics / W. Fischler, J. Preskill // Physics Letters B. - 1983. - Vol. 125. - P. 165-170.

[41] Kawasaki M. Suppressing the QCD axion abundance by hidden monopoles / M. Kawasaki, F. Takahashi, M. Yamada // Physics Letters B. - 2016. - Vol. 753. - P. 677-681.

[42] Lee K. Charged black holes with scalar hairs / K. Lee, E.J. Weinberg // Physical Review D. - 1991. - Vol. 44. - P. 3159-3163.

[43] Balakin A.B. Einstein-Maxwell-axion theory: Dyon solution with regular electric field / A.B. Balakin, A.E. Zayats // The European Physical Journal C. - 2017. -Vol. 77.-P. 519-1-519-13.

[44] Balakin A.B. Polarization and stratification of axionically active plasma in a dyon magnetosphere / A.B. Balakin, D.E. Groshev // Physical Review D. -2019. - Vol. 99. - P. 023006-1-023006-20.

[45] Itin Y. Wave propagation in axion electrodynamics / Y. Itin // General Relativity and Gravitation. - 2008. - Vol. 40. - P. 1219-1238.

[46] Balakin A.B. Axion electrodynamics and dark matter fingerprints in the terrestrial magnetic and electric fields / A.B. Balakin, L.V. Grunskaya // Reports on Mathematical Physics. - 2013. - Vol. 71. - P. 45-67.

[47] Balakin A.B. Non-minimal Einstein-Maxwell-Vlasov-axion model / A.B. Balakin, R.K. Muharlyamov, A.E. Zayats // Classical and Quantum Gravity. - 2014. - Vol. 31. - P. 025005-1-025005-19.

[48] Balakin A.B. Electromagnetic waves in an axion-active relativistic plasma non-minimally coupled to gravity / A.B. Balakin, R.K. Muharlyamov, A.E. Zayats // The European Physical Journal C. - 2013. - Vol. 73. - P. 2647-1-2647-19.

[49] Balakin A.B. Axion-induced oscillations of cooperative electric field in a cosmic magneto-active plasma / A.B. Balakin, R.K. Muharlyamov, A.E. Zayats // The European Physical Journal D. - 2014. - Vol. 68. - P. 159-1-159-7.

[50] Balakin A.B. Anomalous character of the axion-photon coupling in a magnetic field distorted by a pp-wave gravitational background / A.B. Balakin, W.-T. Ni // Classical and Quantum Gravity. - 2014. - Vol. 31. - P. 105002-1-105002-21.

[51] Balakin A.B. Electrodynamic phenomena induced by a dark fluid: Analogs of pyromagnetic, piezoelectric, and striction effects / A.B. Balakin, N.N. Dolbilova // Physical Review D. - 2014. - Vol. 89. - P. 104012-1-104012-14.

[52] Balakin A.B. Spin-axion coupling / A.B. Balakin, V.A. Popov, // Physical Review D. - 2015. - Vol. 92. - P. 105025-1-105025-16.

[53] Balakin A.B. Electrodynamics of a Cosmic Dark Fluid / A.B. Balakin // Symmetry. - 2016. - Vol. 8. - P. 56-1-56-48.

[54] Eling C. Static post-Newtonian equivalence of GR and gravity with a dynamical preferred frame / C. Eling, T. Jacobson // Physical Review D. - 2004. - Vol. 69. - P. 064005-1-064005-13.

[55] Jacobson T. Einstein-Aether Waves / T. Jacobson, D. Mattingly // Physical Review D. - 2004. - Vol. 70. - P. 024003-1-024003-5.

[56] Jacobson T. Einstein-aether gravity: a status report / T. Jacobson // Proceedings of Scince. - 2007. - Vol. 020. - P. 020

[57] Will C.M. Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity. I. Preferred-frame theories and an extended PPN formalism / C.M. Will, K. Nordtvedt // Astrophysical Journal. - 1972. - Vol. 177. - P. 757-774.

[58] Nordtvedt K. Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity. II. Experimental evidence to rule out preferred-frame theories of gravity / K. Nordtvedt, C. M. Will //Astrophysical Journal. - 1972. - Vol. 177. - P. 775-792.

[59] Will C.M. Theory and experiment in gravitational physics / C.M. Will. -Cambridge, England: University Press, 1993. - 380 p.

[60] Heinicke C. Einstein-aether theory, violation of Lorentz invariance, and metric-affine gravity / C. Heinicke, P. Baekler, F.W. Hehl // Physical Review D. -2005. - Vol. 72. - P. 025012-1-025012-18.

[61] Lammerzahl C. Lorentz invariance violation and charge (non-)conservation: A general theoretical frame for extensions of the Maxwell equations / C. Lammerzahl, A. Macias, H. Müller, // Physical Review D. - 2005. - Vol. 71. -P. 025007-1-025007-17.

[62] Liberati S. Lorentz violation: Motivation and new constraints / S. Liberati, L. Maccione // Annual Review of Nuclear and Particle Science. - 2009. - Vol. 59.

- P. 245-267.

[63] Kostelecky A. Electrodynamics with Lorentz-violating operators of arbitrary dimension / A. Kostelecky, M. Mewes // Physical Review D. - 2009. - Vol. 80.

- P. 015020-1-015020-59.

[64] Kostelecky A. Constraints on Lorentz violation from gravitational Cherenkov radiation / A. Kostelecky, J.D. Tasson // Physics Letters B. - 2015. - Vol. 749.

- P. 551-559.

[65] Панов В.Ф. / Квантовое рождение Вселенной типа IX по Бьянки со сдвигом / В.Ф. Панов, Е.В. Кувшинова, О.В. Сандакова // Известия Высших Учебных Заведений, Физика. - 2012. - Т. 55, № 6. - С. 111-114.

[66] Кувшинова Е.В. / Космологическая модель с вращением типа II по Бьянки с темной энергией / Е.В. Кувшинова, В.Ф. Панов // Известия Высших Учебных Заведений, Физика. - 2014. - Т. 57, № 3. - С. 122-124.

[67] Bianchi type VIII cosmological models with rotating dark energy / E.V. Kuvshinova et al // Gravitation and Cosmology. - 2014. - Vol. 20. - P. 141-143.

[68] Balakin A.B. Accelerated expansion of the Universe driven by dynamic self-interaction / A.B. Balakin, H. Dehnen // Physics Letters B. - 2009. - Vol. 681.

- P. 113-117.

[69] Balakin A.B. Einstein-aether theory: Dynamics of relativistic particles with spin or polarization in a Godel-type universe / A.B. Balakin, V.A. Popov // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2017. - Vol. 2017. - N. 4. -025-1-025-27.

[70] Eling C. Black holes in Einstein-aether theory / C. Eling, T. Jacobson // Classical and Quantum Gravity. - 2006. - Vol. 23. - P. 5643-5660.

[71] Foster B.Z. Noether charges and black hole mechanics in Einstein-aether theory / B.Z. Foster // Physical Review D. - 2006. - Vol. 73. - P. 024005-1-024005-7.

[72] Tamaki T. Generic features of Einstein-Aether black holes / T. Tamaki, U. Miyamoto // Physical Review D. - 2008. - Vol. 77. - P. 024026-1-024026-10.

[73] Eling C. Spherical Solutions in Einstein-Aether Theory: Static Aether and Stars / C. Eling, T. Jacobson // Classical and Quantum Gravity. - 2006. - Vol. 23. - P. 5625-5642.

[74] Eling C. Neutron stars in Einstein-aether theory / C. Eling, T. Jacobson, M.C. Miller // Physical Review D. - 2007. - Vol. 76. - P. 042003-1-042003-9.

[75] Foster B.Z. Strong field effects on binary systems in Einstein-aether theory / B.Z. Foster // Physical Review D. - 2007. - Vol. 76. - P. 084033-1-084033-10.

[76] Zlosnik T.G. Modifying gravity with the Aether: an alternative to Dark Matter / T.G. Zlosnik, P.G, Ferreira, G.D. Starkman // Physical Review D. - 2007. -Vol. 75. - P. 044017-1-044017-7.

[77] Battye R.A. Cosmological perturbation theory in Generalized Einstein-Aether models / R.A. Battye, F. Pace, D. Trinh // Physical Review D. - 2017. - Vol. 96. - P. 064041-1-064041-21.

[78] Jacobson T. Extended Horava gravity and Einstein-aether theory / T. Jacobson // Physical Review D. - 2010. - Vol. 81. - P. 101502-1-101502-4; Erratum-ibid.D. - 2010. - Vol. 82. - P. 129901.

[79] Barausse E. Black holes in Einstein-aether and Horava-Lifshitz gravity / E. Barausse, T. Jacobson, T.P. Sotiriou // Physical Review D. - 2011. - Vol. 83. - P. 124043-1-124043-18.

[80] Ranjit C. Reconstruction of Einstein-Aether Gravity from other Modified Gravity Models / C. Ranjit, U. Debnath // The European Physical Journal Plus. - 2014. - Vol. 129. - P. 235

[81] Carroll S.M. Aether Compactification / S.M. Carroll, H. Tam // Physical Review D. - 2008. - Vol. 78. - P. 044047-1-044047-6.

[82] Pujolas O. Supersymmetric Aether / O. Pujolas, S. Sibiryakov // Journal of High Energy Physics. - 2012. - Vol. 01. - P. 62-82.

[83] On the superfield supersymmetric aether-like Lorentz-breaking models / C.F. Farias et al // Physical Review D. - 2012. - Vol. 86. - P. 065035-1-065035-5.

[84] Lehum A.C. Supergauge theories in aether superspace / A.C. Lehum et al // Physical Review D. - 2013. - Vol. 88. - P. 045022-1-045022-8.

[85] Balakin A.B. SU(N) - symmetric dynamic aether: General formalism and a hypothesis on spontaneous color polarization / A.B. Balakin, A.V. Andreyanov // Space, Time and Fundamental Interactions. - 2017. - Vol. 4. - P. 36-58.

[86] Kanno S. Lorentz violating inflation / S. Kanno, J. Soda // Physical Review D. - 2006. - Vol. 74. - P. 063505-1-063505-8.

[87] Donnelly W. Coupling the inflaton to an expanding aether / W. Donnelly, T. Jacobson // Physical Review D. - 2010. - Vol. 82. - P. 064032-1-064032-12.

[88] Barrow J.D. Some Inflationary Einstein-Aether Cosmologies / J.D. Barrow // Physical Review D. - 2012. - Vol. 85. - P. 047503-1-047503-4.

[89] Solomon A.R. Inflationary Instabilities of Einstein-Aether Cosmology / A.R. Solomon, J.D. Barrow // Physical Review D. - 2014. - Vol. 89. - P. 024001-1024001-23.

[90] Wei H. Cosmological Evolution of Einstein-Aether Models with Power-lawlike Potential / H. Wei, X.-P. Yan, Y.-N. Zhou // General Relativity and Gravitation. - 2014. - Vol. 46. - P. 1719-1733.

[91] Alhulaimi B. Spatially Homogeneous Einstein-Aether Cosmological Models: Scalar Fields with a Generalized Harmonic Potential / B. Alhulaimi, R.J. van den Hoogen, A.A. Coley // Physical Review D. - 2017. - Vol. 96. - P. 1040211-104021-34.

[92] van den Hoogen R.J. Kantowski-Sachs Einstein-Aether Scalar Field Cosmological Models / R.J. van den Hoogen, A.A. Coley, B.Alhulaimi, S. Mohandas, E. Knighton, S. O'Neil // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2018. - Vol. 11. - P. 17.

[93] Balakin A.B. Einstein-aether theory with a Maxwell field: General formalism / A.B. Balakin, J.P.S. Lemos // Annals of Physics. - 2014. - Vol. 350. - P. 454-484.

[94] Balakin A.B. Axionic extension of the Einstein-aether theory / A.B. Balakin // Physical Review D. - 2016. - Vol. 94. - P. 024021-1-024021-15.

[95] Balakin A.B. Axionic extension of the Einstein-aether theory: How does dynamic aether regulate the state of axionic dark matter? / A.B. Balakin, A.F. Shakirzyanov // Physics of the Dark Universe. - 2019. - P. 100283-1-100283-9.

[96] Balakin A.B. The extended Einstein-Maxwell-aether-axion model: Exact solutions for axionically controlled pp-wave aether modes / A.B. Balakin // Modern Physics Letters A. - 2018. - Vol. 33. - P. 1850050-1-1850050-14.

[97] Alpin T.Yu. Einstein-Maxwell theory and dynamo-optical phenomena / T.Yu. Alpin, A.B. Balakin // Gravitation and Cosmology. - 2006. - Vol. 12, № 4. -P. 307-310.

[98] Balakin A.B. Extended axion electrodynamics: Anomalous dynamo-optical response induced by gravitational pp-waves / A.B. Balakin, T.Yu. Alpin // Gravitation and Cosmology. - 2014. - Vol. 20, № 3. - P. 152-156

[99] Alpin T.Yu. The Einstein-Maxwell-aether-axion theory: Dynamo-optical anomaly in the electromagnetic response / T.Yu. Alpin, A.B. Balakin // International Journal of Modern Physics D. - 2016. - Vol. 25. - P. 1650048-11650048-23.

[100] Alpin T.Yu. Birefringence induced by pp-wave modes in an electromagnetically active dynamic aether / T.Yu. Alpin, A.B. Balakin // The European Physical Journal C. - 2017. - Vol. 77. - P. 699-1-699-14.

[101] Balakin A.B. Dynamo-optically active media: New aspects of the Minkowski-Abraham controversy / A.B. Balakin, T.Yu. Alpin // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2018. - № 4. - С. 21-36.

[102] Abbott B.P. Observations of gravitational waves from a binary black hole merger / B.P. Abbott, et. al. // Physical Review Letters. - 2016. - Vol. 116. -P. 061102-1-061102-16.

[103] LIGO Scientific Collaboration, Virgo Collaboration, Fermi Gamma-Ray Burst Monitor, INTEGRAL, Gravitational Waves and Gamma-rays from a Binary Neutron Star Merger: GW170817 and GRB 170817A, APJ Lett. - 2017. - Vol. 848. - P. L13(27).

[104] Elliott J.W. Constraining the New Aether: Gravitational Cherenkov Radiation / J.W. Elliott, G.D. Moore, H. Stoica // Journal of High Energy Physics. - 2005. - Vol. 0508. - P. 066-1-066-21.

[105] Oost J. Constraints on Einstein-aether theory after GW170817 / J. Oost, S. Mukohyama, A. Wang // Physical Review D. - 2018. - Vol. 97. - P. 124023-1124023-8.

[106] Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна / В.Д. Захаров. - М.: Наука, 1972. - 200 с.

[107] Stephani H. Exact Solutions of Einstein's Field Equations / H. Stephani, D. Kramer, M.A.H. MacCallum, C. Hoenselaers, E. Herlt. - New York: Cambridge University Press, 2003. - 732 p.

[108] Petrov A.Z. Einstein Spaces / A.Z. Petrov. - Oxford, UK: Pergamon Press, 1969. - 426 p.

[109] Balakin A.B. Extended Einstein-Maxwell model / A.B. Balakin // Gravitation and Cosmology. - 2007. - Vol. 13. - P. 163-177.

[110] Balakin A.B. Magnetic relaxation in the Bianchi-I universe / A.B. Balakin // Classical and Quantum Gravity. - 2007. - Vol. 24. - P. 5221-5245.

[111] Minkowski H. Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgange in bewegten Körpern / H. Minkowski // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Güttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. - Güttingen: 1908. - S. 53-111.

[112] Einstein A. Über die im elektromagnetischen Felde auf ruhende Korper ausgeübten ponderomotorischen Krafte / A. Einstein, J. Laub // Annalen der Physik (Leipzig). - 1908. - № 26 [331] - S. 541-550.

[113] Abraham M. Zur Elektrodynamik bewegter Korper / M. Abraham // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1909. - Vol. 28. - P. 1-28;

[114] Abraham M. SulL'elettrodinamica di minkowski / M. Abraham // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - 1910. - Vol. 30. - P. 33-46.

[115] Moller C. The Theory of Relativity / C. Moller. - Oxford: Clarendon Press, 1952. - 226 p.

[116] Brevik I. Experiments in phenomenological electrodynamics and the electromagnetic energy-momentum tensor / I. Brevik // Physics Reports. -1979. - Vol. 52. - P. 133-201.

[117] Мизнер Ч. Гравитация / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. - М.: Мир, 1977. - Ч. I. - 474 c., Ч. II. - 525 c., Ч. III. - 510 c.

[118] Балакин А.Б. Критический характер гравитационно-волновой модуляции электрического и магнитного полей в изотропной среде / А.Б. Балакин, Д.В. Вахрушев, // Известия ВУЗов, серия Физика. - 1993. - № 9. - С. 28-33.

[119] Balakin A.B. Singular behaviour of electric and magnetic fields in dielectric media in a nonlinear gravitational wave background / A.B. Balakin, J.P.S. Lemos // Classical and Quantum Gravity. - 2001. - Vol. 18. - P. 941-953.

[120] Балакин А.Б. Аксионная электродинамика Земной атмосферы: поиск сигналов, индуцированных гравитационными волнами / А.Б. Балакин // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2014. - № 2. - С. 72-78.

[121] Balakin A.B. Parametric phenomena of the particle dynamics in a periodic gravitational wave field / A.B. Balakin, V.R. Kurbanova, W. Zimdahl // Journal of Mathematical Physics. - Vol. 44, № 11. - P. 5120-5140.

[122] Balakin A.B. Gravitational radiation and birefringence induced by curvature / A.B. Balakin // Classical and Quantum Gravity. - 1997. - Vol.14, № 10. - P. 2881-2893.

[123] Balakin А.В. Cherenkov radiation in a gravitational-wave background / А.В. Balakin, R. Kerner, J.P.S. Lemos // Classical and Quantum Gravity. - 2001. -Vol. 18, № 11. - P. 2217-2232.