Реологические модели в релятивистской космологии и астрофизике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ильин Алексей Сергеевич

• Ильин Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Ильин Алексей Сергеевич

Введение

Глава 1. Нелокальное расширение релятивистской причинной

термодинамики и термостатики

1.1 Исторические мотивы: от классической термодинамики теплопроводящей вязко-упругой жидкости к релятивистской причинной термодинамике Израэля-Стьюарта

1.1.1 Классические модели Гука, Ньютона, Максвелла, Кельвина-Фойгта, Бюргерса, Каттанео

1.1.2 Релятивистская модель Эккарта

1.1.3 Причинная термодинамика Израэля-Стьюарта

1.2 Нелокальное расширение теории Израэля-Стьюарта для однородной изотропной космологической модели с однокомпонентной космической жидкостью

1.2.1 Интегральное представление вектора потока энтропии и скаляра производства энтропии

1.2.2 Закон эволюции температуры

1.2.3 Упрощенная модель и ключевое уравнение

1.3 Эволюция космической жидкости с уравнением состояния интегрального типа. Точные решения

1.3.1 Решение де Ситтера

1.3.2 Степенное решение

1.4 Ковариантное обобщение уравнения Бюргерса

1.5 Нелокальное расширение релятивистской причинной термостатики 40 1.5.1 Расширенное представление вектора потока энтропии

1.6 Промежуточный итог

Глава 2. Контактное взаимодействие реологического типа между

космической темной материей и темной энергией

2.1 Модель контактного взаимодействия в релятивистской

двухкомпонентной жидкости

2.1.1 Модель двухкомпонентной жидкости в Эйнштейновской

теории гравитации

2.1.2 Однородная и изотропная космологическая модель

2.2 Представление ядра контактного взаимодействия с помощью интеграла Вольтерра

2.2.1 Общие положения представленной модели контактного взаимодействия

2.2.2 Ключевое уравнение

2.3 Эволюция космической двухкомпонентной темной жидкости с контактным взаимодействием реологического типа

2.3.1 Схема классификации решений

2.3.2 Решения, соответствующие отрицательному дискриминанту

2.3.3 Решения, соответствующие положительному дискриминанту

2.3.4 Решения, соответствующие равному нулю дискриминанту

2.4 Три примера анализа точных решений модели

2.4.1 Первая субмодель, А < 0, д = 0 и Л = 0; как начальные данные регулируют судьбу Вселенной?

2.4.2 Вторая и третья субмодель: случай А = 0 и д =

2.5 Обсуждение промежуточных результатов. Проблема совпадения

Глава 3. Эволюция двухкомпонентной космической темной

жидкости с уравнениями состояния реологического типа

3.1 Проблема моделирования уравнений состояния: от линейных баротропных уравнений состояния к уравнениям с нелокальностями дифференциального и интегрального типов

3.2 Четырехъядерная модель уравнений состояния реологического типа для описания взаимодействия темной энергии и темной материи

3.2.1 Общие положения

3.2.2 Реконструкция конституционных уравнений

3.2.3 Ключевое уравнение

3.3 Классификация точных решений четырехъядерной реологической модели и их интерпретация

3.3.1 Случай действительных корней

3.3.2 Случай комплексных корней

3.4 Пример точно интегрируемой модели: темная материя с нулевым давлением, темная энергия с нелокальным самодействием и =

3.4.1 Упрощенная модель

3.4.2 Н2 > 0, модели типа Малый Разрыв

3.4.3 Н2 < 0, квазипериодические модели

3.4.4 Н2 = 0, симметричный отскок

3.4.5 Случай комплексно сопряженной пары корней

3.5 Пример точно интегрируемой модели: нелокальное перекрестное действие темной энергии на темную материю

3.5.1 Два действительных корня ( = (2

3.5.2 Два совпадающих корня а1 = (2 = (

3.6 Промежуточный итог

Глава 4. Реологические модели состояния нейтронных звезд

4.1 Формулировка уравнений состояния реологического типа для статических сферически симметричных объектов

4.1.1 Пролог

4.1.2 Формализм расширения статической теории

4.1.3 Расширенные уравнения состояния для статических конфигураций

4.1.4 Модель холодного изотропного нейтронного конденсата. Расширенное уравнение гидростатического равновесия

4.2 Реологическое обобщение модели Лейна-Эмдена

4.2.1 Поведение обобщенной функции Лейна-Эмдена и

давления вблизи центра

4.2.2 Отношение масса/радиус

4.3 Промежуточный итог. Перспективы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Вывод ключевых уравнений для четырехъядерной

модели

А.1 Ключевое уравнение для случая ш0 =

А.2 Ключевое уравнение для случая ш0=0, К°2 = 0, =

Введение

Реология (от греческого рвод, «течение, поток») — раздел физики, посвященный изучению деформации и текучести вещества. Реология занимает весьма значимый и специфический сектор в теории нелокальных взаимодействий классических полей и сред [1; 2]. Физика явлений, описываемых реологией, связана как с феноменом запаздывания и/или накопления отклика системы на воздействие, так и с эффектом временной и пространственной памяти [3]. В своем изначальном виде реология строится на трех модельных телах, которые рассматриваются в классической теории сплошных сред: твердом теле Гука, ньютоновской жидкости и пластическом теле Сен-Венана. Сразу же хотелось бы отметить, что в рамках данной работы нас в основном будут интересовать вязко-упругие характеристики тех или иных космологических или астрофизических объектов (субстратов); пластическая текучесть Сен-Венана остается вне рассмотрения.

С конца прошлого столетия в наблюдательной астрофизике и космологии был совершен значительный прорыв в развитии понимания структуры и эволюции Вселенной. Особого упоминания требуют такие события, как ускоренное расширение Вселенной, открытое с помощью изучения сверхновых типа 1а и анализа неоднородностей реликтового излучения [4; 5]. В рамках стандартной теории гравитации Эйнштейна это удавалось объяснить только предположив, что Вселенная заполнена экзотической субстанцией, получившей название темной энергии (ТЭ), обладающей отрицательным давлением, энергетический вклад которой составляет около 70%. В качестве альтернативного объяснения феномена ускоренного расширения была предложена серия моделей, которые объединены общим термином модифицированные теории гравитации [6—8]. В результате совместных усилий авторов, принимающих обе альтернативные точки зрения [9—19], концепция темной энергии приобрела самый яркий статус в современной космологии. В то же время для теоретического объяснения аномально высокой скорости вращения внешних областей (рукавов) спиральных галактик [20] и наблюдаемого гравитационного линзирования [21], было предположено, что в них содержится экзотическая материя, названная темной материей (ТМ). Считается, что ТМ не взаимодействует с обычной (барионной) материей электромагнитно, и, поэтому, недоступна прямому наблюдению, однако косвенные методы фиксации ТМ позволяют не сомневаться в её существовании. Эти открытия дали огромный

толчок как развитию теорий эволюции ТЭ и ТМ по отдельности, так и синтезированной теории темной жидкости (ТЖ), которая объединяет пару этих космических субстратов и становится главным действующим лицом в так называемом темном секторе космических взаимодействий.

Сегодня космическая темная жидкость играет ключевую роль во всех современных космологических сценариях (см., например, [22—37]). Считается, что темная энергия и темная материя взаимодействуют гравитационно и, таким образом, создают «пространственно-временную» платформу для самых различных астрофизических и космологических событий. Вдобавок, согласно общей точке зрения, существует прямая (негравитационная) связь [38—41]. Одна из мотиваций такой идеи связана с так называемой проблемой «совпадения» [42—44], которая основывается на том факте, что величина отношения плотностей энергий ТЭ и ТМ

73

сегодня составляет порядка т^, в то время как на временах порядка планковского времени развития Вселенной была около 10—95 [45]. Ясно, что такие негравитационные взаимодействия между ТЭ и ТМ или, для краткости, взаимодействия в Темном Секторе Вселенной могут запустить процесс саморегуляции, который бы устранял этот начальный дисбаланс. Существуют несколько моделей, которые описывают такую связь [45—48]. Самая известная феноменологическая модель оперирует так называемым «ядром» контактного взаимодействия, функцией Q(t), которая линейна относительно плотностей энергий ТЭ и ТМ с коэффициентами, пропорциональными функции Хаббла [45]. Она появляется в уравнениях баланса для ТЭ и ТМ по отдельности с противоположными знаками, +Q и —Q, и, таким образом, обеспечивает сохранения общей (ТЭ+ТМ) плотности энергии. В серии работ [49—52] взаимодействие ТЭ/ТМ смоделировано на основе релятивистской кинетической теории с предположением, что ТЭ действует на частицы ТМ градиентной силой типа Архимеда. В работах [53; 54] взаимодействия рассмотрены в терминах расширенной электродинамики сплошных сред. В представленной работе будет использоваться феноменологический подход к описанию взаимодействий ТЭ/ТМ и представим функцию Q(t), ядро контактного взаимодействия, и уравнения состояния с помощью интегральных операторов типа Вольтерра [55].

Основная идея как дифференциальных, так и интегральных расширений термов, описывающих взаимодействия, основана на идее о том, что «отклик» действия ТМ на ТЭ (и наоборот) происходит с временной задержкой, не моментально. Этот подход поддерживается различными физическими моделями классических сред с реологическими свойствами, и имеются основания пола-

гать, что поведение составляющих темной жидкости в этом смысле похоже. Что касается самодействия внутри системы ТЭ и ТМ, имеются модели [49; 56], в которых уравнения состояния ТЭ расширены термами, содержащими первую производную от ее давления. Введение расширений подобного типа было вдохновлено результатами релятивистской причинной термодинамики, разработанной Израэлем и Стьюартом [57]. Фактически, появление дифференциальных и/или интегральных термов в уравнениях состояния или ядре взаимодействия отражает намерение описать простейшие эффекты нелокальности во времени. Теория вязко-упругости и реологию в полном объеме реализовали эту парадигму [1; 58—60]. В этих теориях используется концепция затухающей памяти, математический формализм которой основан на теории линейных операторов Вольтерра [55]. Вообще, следует отметить, что проблема теоретического описания нелокальных теорий хорошо известна в физике, и, в частности, в космологии и теориях гравитации [61—71]. Учитывая все вышесказанное, уравнения состояния, расширенные путем введения подобных интегральных операторов, были названы уравнениями состояния реологического типа, а соответствующие модели - реологическими.

С другой стороны, следует отметить, что в большинстве моделях темная жидкость (или темная энергия) описываются как идеальные жидкости, у которой отсутствуют термо-вязко-упругие свойства. Несмотря на то, что подобный подход к описанию космологических сред способен довольно-таки хорошо описывать космологические наблюдения, предполагается, что космическая жидкость, будучи (особенно на ранних этапах эволюции Вселенной) достаточно плотной все-таки обладала подобными свойствами, которые было бы интересно изучить. Для этого можно было бы воспользоваться результатами, полученными в релятивистской ковариантной теории вязко-упругих, теплопроводящих сплошных сред [1; 3; 58—60; 72—77], сформулированной во второй половине прошлого века классиками этой науки (например, классической необратимой термодинамикой, сформулированной Эккартом [78], или упомянутой выше причинной термодинамикой Израэля-Стьюарта). Однако она имеет несколько аспектов, которые не позволяют пока назвать эту науку завершенной. В первую очередь, речь идет о проблеме причинности в череде явлений, которые описываются данным классом теорий в моделях с сильными гравитационными полями и высокоэнергетичны-ми космическими субстратами (ТЭ и ТМ). Математики склонны относить эту проблему к вопросу о гиперболичности основополагающих уравнений, которая

ассоциируется с конечной скоростью распространения информационных сигналов; однако, эта важнейшая деталь не исчерпывает проблемы причинности, ибо в науке о космосе важное место отводится геометрическим аспектам причинных структур, например, горизонтам черных дыр и горловинам кротовых нор. Для одного подкласса названной теории, а именно, для релятивистской термодинамики вязкой теплопроводящей жидкости, проблема причинности была элегантно решена Израэлем и Стьюартом [57]. Благодаря этим авторам, космологи и астрофизики получили замечательный инструмент для теоретического исследования причинно связанных неравновесных необратимых процессов в космологических и астрофизических системах [79—91]. Однако, в причинной термодинамике Израэля-Стьюарта нет адекватного места упругим взаимодействиям в сплошной среде, и эта деталь стимулирует поиск новых расширенных моделей причинной термодинамики релятивистских вязко-упругих сред [66; 92].

Для того чтобы решить эту проблему, в представленной диссертационной работе была обобщена теория Израэля-Стьюарта релятивистской причинной термодинамики космической жидкости путем введения в основополагающий 4-вектор потока энтропии терма пропорционального интегралу от функ-ций(и) состояния. Подобное расширение было названо более общим термином «нелокальный», так как вышеупомянутый интегральный оператор является оператором Вольтерра с тривиальным (постоянным) ядром. Оказалось, что ключевое уравнение, к которому приводит такое расширение, по своей структуре является релятивистским аналогом конституционного уравнения Бюргерса, соответствующего вязко-упругой модели Бюргерса [93] (см. раздел 1.1). Последняя описывает многие эффекты, которые остаются за рамками более простых классических моделей Гука, Ньютона или Максвелла, и играет огромную роль в моделировании жидкостей, обладающих вязко-упругими, реологическими свойствами.

Что касается наблюдательной астрофизики, здесь были получены не менее интригующие фундаментальные результаты: была точно измерена масса сверхмассивной черной дыре в центре нашей галактики, получена картина ее тени; были открыты и проанализированы события процесса слияния пары черных дыр и пары нейтронных звезд (события GW170817 и GRB 170817А). Однако в данной работе вскользь затронуты лишь последние. Нейтронные звезды наряду с ТЭ и ТМ также играют ключевую роль, но уже в современной релятивистской астрофизике. Эти компактные объекты обычно чрезвычайно быстро вращаются (до нескольких сотен оборотов в секунду) и имеют сильное магнитное поле

(1012 — 1013 Гс на поверхности). Релятивистские пульсары - центральные элементы физики пульсаров, которые образуют глобальную систему «маяков» и, таким образом, предоставляют нам эффективный инструмент для исследований структуры Вселенной [94—96]. Теория нейтронных звезд и их структуры основана на анализе так называемых уравнений состояния (EoS); множество моделей уравнений состояния хорошо задокументированы и применены к теории пульсаров.

Самая цитируемая - простейшая модель, которая следует из модели Лей-на и Эмдена [97] и подходит для нерелятивистских статических сферически-симметричных объектов с политропным уравнением состояния. Сегодня модель Лейна-Эмдена играет роль цензора для различных модифицированных теорий звездных структур. По аналогии с требованием того, чтобы каждая модифицированная теория гравитации имела ньютоновский предел, считается, что теории звездных структур должны обладать соответствующим пределом Лейна-Эмдена. В этом смысле, разрабатывая новую модель уравнений состояния реологического типа, мы, конечно же, получим расширение классической модели Лейна-Эмдена.

В релятивистских моделях структуры нейтронных звезд используются гораздо более изощренные версии уравнений состояния [98—113]. Из такого разнообразия моделей формально можно выделить, во первых, модели с горячей и холодной (вырожденной) плотной материей, во вторых, модели с чисто нейтронной и многокомпонентной средой (кварки, мезоны, адроны и т.д), в третьих, модели с ядерными взаимодействиями между адронными компонентами и самодействием внутри нейтронных систем. В нашей работе, в частности, рассмотрена однокомпонентная вырожденная плотная материя с внутренним самодействием реологического типа.

По аналогии с идеями моделирования космической жидкости, описанными выше, к описанию структуры нейтронных звезд также можно было бы подойти со стороны нелокального расширения релятивистской необратимой термодинамики и термостатики. В данной работе представлен формализм для подобного моделирования.

Другой тренд в моделировании структуры нейтронных звезд связан с так называемыми модифицированными теориями гравитации [114—122]. В настоящей работе рассмотрены реологические модели в рамках стандартной теории гравитации Эйнштейна.

Одна из причин такого моделирования связана с проблемой компактности нейтронных звезд. Если быть точнее, внимание астрофизиков привлечено

к отношениям масса/радиус, светимость/радиус и т.д. Этот интерес недавно был возрожден вышеупомянутыми выдающимися событиями GW170817 и GRB 170817А [123]: основываясь на наблюдения за этим слиянием двух нейтронных звезд, статус ограничений на теорию нейтронных звезд был обновлен. Наиболее весомым следствием этого события является то, что, согласно оценкам, отношение скоростей распространения гравитационных и электромагнитных волн отличается от единицы не более чем на величину порядка 10—15. Вдобавок, обработка данных показала, что, для того чтобы выявить начало финальной стадии слияния двух нейтронных звезд, то есть выявить последний момент когда эти звезды еще могут быть идентифицированы как индивидуальные объекты, необходимо более детально изучить проблему отношения масса/радиус. Другими словами, проблема компактности нейтронных звезд остается важной и существенной как для наблюдательной, так и для теоретической астрофизики. Это один из самых значительных аргументов в пользу того, почему будет рассмотрена модель нейтронной звезды с новым уравнением состояния реологического типа и изучено отношение масса/радиус как функции нового (реологического) параметра состояния.

В чем заключается новизна представленного подхода к моделированию космологических и астрофизических объектов? Он построен на основании реологической парадигмы, согласно которой отклик физической системы на внешнее воздействие или внутренние эволюционные процессы нелокален в пространстве и(или) во времени. В частности, когда система пространственно однородна, реологическая парадигма «говорит» о возможности временной задержки отклика и эффекте памяти; когда система статична, отклик может появляться далеко от области, в которой расположен источник возмущения. В контексте моделирования уравнения состояния статических сферически-симметричных нейтронных звезд было предположено, фактически, что профиль давления Р(г), изображенный по отношению к радиальной переменной г, предопределен не только профилями плотности числа частиц п(г) и температуры Т(г), но также и их директивной производной. В рамках предложенного далее нелокального расширения релятивистской неравновесного причинной термодинамики и термостатики предположено, что вектор потока энтропии Sk определяется не только лишь локальными значениями функций состояния, но также и их интегралами.

Какова физическая мотивация такой расширенной теории? Физика сложных сред предоставляет нам яркие примеры так называемых эффектов памяти: мож-

но выделить, формально, затухающую память и память формы [124; 125]. Первое явление проявляется, когда рассматриваются эволюционные процессы в среде, что демонстрирует наличие нелокальности во времени явления. Второе связано с пространственно нелокальными явлениями. Ясно, что имеется симметрия во временном и пространственном аспектах нелокальности. Следуя идее этой симметрии, далее будет рассмотрено статическое обобщение явления реологического типа, основанного на сходстве с известным динамическим реологическим явлением.

Почему идея реологического расширения уравнения состояния может привлечь внимание астрофизиков? Имеются как минимум три мотива. Первый связан с тем, что самодействие реологического типа может сделать профили плотности и давления круче, то есть для одинаковых суммарной массы, плотности материи в центре и показателя адиабаты, радиус нейтронной звезды может быть меньше, чем стандартный радиус. Второй мотив заключается в идее попытаться найти новый экстремум в профилях плотности и давления; когда профили не монотонны, можно говорить о стратификации и кластеризации внутренности нейтронной звезды. Наконец третьим мотивом является то, что соответствующая модель становится многопараметрической; новые параметры с размерностью длины приобретают естественный смысл, и, таким образом, упрощают подгонку управляющих параметров.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Реологические модели в релятивистской космологии и астрофизике»

Актуальность темы исследования.

Неожиданные результаты наблюдений, полученные в 2022 году на уникальном орбитальном инфракрасном телескопе Джеймс Уэбб (JWST) [126; 127], заставили астрономов заговорить о коренном пересмотре наших представлений, касающихся раннего этапа развития Вселенной, образования первичных звезд и галактик, а журнал Science назвал JWST «Прорывом года» за грядущую революцию в представлениях человека о космосе. Существенные вопросы к теоретикам возникают также и по поводу открытия среднеразмерных черных дыр, массы которых в десятки и сотни раз больше массы Солнца, а механизмы формирования которых пока неизвестны [128]. В такой обстановке от теоретиков требуется не просто модификация устоявшихся моделей с увеличением числа управляющих параметров для подгонки результатов, а скорее формирование кардинально новых идей и методов моделирования эволюции ранней Вселенной. При этом открытие темной материи и ускоренного расширения Вселенной, обосновывающее гипотезу о космической темной энергии, сомнению не подвергаются, но

на повестку дня выдвигается построение новых схем взаимодействия и самодействия этих двух темных субстратов, входящих в космическую темную жидкость, контролирующую 95 % энергобаланса Вселенной. В связи с этим, очевидную актуальность приобретают предложенные в диссертационной работе новые модели взаимодействия темной энергии и темной материи, которые относятся к разряду реологических и занимают важный сектор в теории нелокальных взаимодействий в космической среде.

Цель данной работы - исследовать серию точно интегрируемых космологических и астрофизических моделей, ассоциированных с реологическим сектором теории нелокального взаимодействия космической темной энергии и темной материи.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить нелокальное расширение релятивистской причинной термодинамики Израэля-Стьюарта в приложении к однородно и изотропно расширяющейся Вселенной.

2. В рамках реологической парадигмы разработать и детально проанализировать модель контактного взаимодействия космической темной энергии и темной материи, которая основана на формализме интегральных операторов Вольтерра с вырожденным ядром.

3. Разработать и детально проанализировать четырехъядерную реологическую модель взаимодействия внутри двухкомпонентной космической темной жидкости, которая основана на введении в уравнения состояния темной энергии и темной материи двух интегральных операторов Вольтерра, описывающих явление самодействия, и двух интегральных операторов, связанных с перекрестным взаимодействием этих космических субстратов.

4. Построить нелокальное расширение релятивистской термостатики в приложении к статическим сферически симметричным объектам и применить реологически расширенные уравнения состояния к описанию структуры нейтронных звезд.

Научная новизна:

1. Исследован новый класс космологических и астрофизических моделей, основанных на том, что взаимодействие между космической темной энергией и темной материей описано в рамках реологического подхода,

составляющего важнейший сектор в теории нелокальных взаимодействий.

2. При построении нелокального расширения причинной термодинамики Израэля-Стьюарта впервые обнаружено, что ключевое дифференциальное уравнение этой модели представляет из себя обобщение конституционного уравнения Бюргерса, которое применяется в классической теории сплошных сред для описания явлений вязко-упругости.

3. Установлено, что временной профиль эффективной температуры реологически активной космической жидкости может иметь максимумы и минимумы, факт появления которых и расположение на временной шкале зависит от управляющих параметров модели; эти экстремумы могут быть связаны с неучтенными ранее событиями разогрева и охлаждения космической жидкости.

4. Показано, что модель эволюции реологически активной космической темной жидкости дает новое объяснение проблеме совпадения, альтернативное стандартному объяснению в рамках ЛСБМ модели. Дело в том, что нелокальная саморегуляция в темной жидкости стремится поддержать соизмеримые уровни плотности энергии ТЭ и ТМ в течение всей эволюции Вселенной, а не только в современную эпоху.

5. Представлена новая модель формирования эффективной космологической постоянной за счет нелокального взаимодействия ТЭ и ТМ: даже если введенная Эйнштейном стандартная космологическая постоянная Л равна нулю, то остается ненулевым вклад от реологически активной темной жидкости (см. (2.52) и (3.44)).

6. Впервые показано, что суперэкспоненциальный сценарий развития ранней Вселенной появляется как типичный сценарий эволюции реологически активных ТЭ и ТМ и соответствует трехкратно вырожденному корню характеристического уравнения как в модели контактного взаимодействия, так и в четырехъядерной модели.

7. В рамках обсуждаемых реологических моделей предъявлены новые точные решения квазипериодического типа, допускающих конечное число критических точек, в которых ускоренное расширение Вселенной сменяется замедленным и наоборот.

8. В рамках нелокальной термостатики представлены новые аргументы тому, что статические сферически симметричные конфигурации вырож-

денного нейтронного конденсата могут оказаться более компактными, чем те, что описываются локальными уравнениями состояния.

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Рассмотренные в ней космологические модели темной энергии и темной материи с внутренним взаимодействием реологического типа и астрофизическая модель нейтронной звезды с реологическим уравнением состояния могут иметь практическое значения при интерпретации космологических и/или астрофизических наблюдений.

Методология и методы исследования. В работе использованы классические методы математической физики, теории поля, релятивистской теории тяготения, релятивистской гидродинамики двухкомпонентной жидкости, ковари-антной теории термо-вязко-упругих сплошных сред. Для того, чтобы представить результаты в компактной форме, задачи о взаимодействии реологического типа между ТЭ и ТМ сведены к ключевым уравнениям, которые оказались связанными с дифференциальным уравнением Эйлера третьего, четвертого, пятого и шестого порядков, что позволило составить каталоги точных решений, основанных на классификации корней соответствующего характеристического уравнения.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Наличие позднего этапа ускоренного расширения Вселенной де Ситте-ровского типа и отсутствие катастрофических сценариев типа Большого Разрыва типичны для большинства реологических моделей, исследованных в работе.

2. Уравнения эволюции Вселенной в модели контактных взаимодействий и четырехъядерной модели взаимодействия реологического типа между темной энергией и темной материей сводятся к дифференциальному уравнению Эйлера. Корни соответствующего характеристического уравнения маркируют полный каталог точных решений, среди которых имеются решения квазипериодического типа, описывающие ситуации с конечным числом точек перехода от замедленного расширения Вселенной к ускоренному.

3. Суперинфляционная модель расширения Вселенной и несингулярная модель симметричного отскока появляются в каталогах точных решений четырехъядерной модели реологически активной темной жидкости и модели контактных взаимодействий как частные случаи с трехкратным и двукратным вырождением корней характеристического уравнения.

4. Наличие нелокальных взаимодействий в вырожденном статическом сферически симметричном нейтронном конденсате обеспечивает образование новых конфигураций нейтронных звезд, которые при заданных плотности в центре и полной массе характеризуются меньшим радиусом.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что они получены путем анализа точных решений стандартных уравнений гравитационного поля для сред, поведение которых моделируется общепринятыми феноменологическими методами. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: Российской гравитационной конференции с участием зарубежных ученых: RUSGRAV-XVI (2017, Калининград); Международных молодежных научных форумах «ЛОМОНОСОВ-2021» и «ЛОМОШСОВ-2022» (2021, 2022, Москва); на международных школах-семинарах «Петровские чтения» (2017, 2018, 2022, Казань). Также материалы диссертации были представлены в докладах на Итоговых научных конференциях КФУ и семинарах кафедры Теории относительности и гравитации Института физики КФУ.

Личный вклад. Автор принимал активное участие в выполнении расчетной части работы, подготовке основных публикаций; выполнил все численные расчеты и графические построения; написал текст настоящей диссертации.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях, 1 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 4 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 6 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 128 страниц, включая 9 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 149 наименований.

Глава 1. Нелокальное расширение релятивистской причинной термодинамики и термостатики

Результаты, полученные в данной главе, опубликованы в работах [129; 130].

1.1 Исторические мотивы: от классической термодинамики теплопроводящей вязко-упругой жидкости к релятивистской причинной

термодинамике Израэля-Стьюарта

Для того, чтобы мотивированно подойти к предложенным далее феноменологической теории Бюргерса и нелокальной модели, в данном параграфе представлены известные классические факты; основные аспекты работ классиков релятивистской ковариантной теории вязко-упругих, теплопроводящих сплошных сред [1; 3; 58—60; 73—76; 131]; краткие напоминания о классической релятивистской модели Эккарта [78] и причинной модели Израэля-Стьюарта [57].

1.1.1 Классические модели Гука, Ньютона, Максвелла, Кельвина-Фойгта,

Бюргерса, Каттанео

Рассмотрим классические «конституционные» модели термо-вязко-упругости. Классическая теория вязко-упругости опирается на два основных локальных закона: на закон Гука, согласно которому напряжение п пропорционально деформации е; во-вторых, на закон Ньютона, в котором констатируется, что напряжение п пропорционально производной по времени от деформации е. Символически эти законы выглядят следующим образом:

Коэффициенты пропорциональности интерпретируются, соответственно, как модуль упругости Е0 и коэффициент вязкости п При описании более сложных вязко-упругих моделей бывает удобно обратиться к механическим аналогам, сконструированным из различных комбинаций пружин (символизирующих тело Гука (рис. 1.1а)) и поршней (тело Ньютона (рис. 1.1б)).

п = Е0е, п = п£ •

(11а) (11б)

лАЛл

а) б)

Рисунок 1.1 — Базовые вязко-упругие механические модели: а) — модель Гука,

б) — модель Ньютона

Если вышеуказанные два элемента соединены последовательно, общая деформация является суммой деформаций на каждом из них, а напряжения считаются равными. В этом случае модель носит имя Максвелла (рис. 1.2а), а соотношение между напряжением и деформацией имеет вид:

71+ — П = Е0£ . (1.2)

п

При параллельном соединении поршня и пружины (рисунок 1.2б), соответственно, деформации считаются равными, а напряжения складываются. Такая модель носит имена Кельвина-Фойгта, и описывается соотношением:

п = Е0 £ + п £

(1.3)

КАЛ/—I

а)

ЧЛЛ^1

б)

Рисунок 1.2 — Схематическое изображение механических аналогов вязко-упругой модели Максвелла (а) и Кельвина-Фойгта (б)

Очевидно, что «конституционные» уравнения обеих моделей являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Если заняться поиском моделей с ключевыми уравнениями второго порядка, это неизбежно приведет к одной из двух известных представлений моделей Бюргерса. Первая модель Бюргерса ассоциируется с параллельным соединением двух моделей Максвелла (рисунок 1.3 а) и описывается уравнением

й + тт(Е + ^ + = - + -Л)+е(Е1 + Е2). (1.4)

\П1 П2/ П1П2 \П1 П2/

В свою очередь, вторая модель Бюргерса представлена последовательным соединением моделей Ньютона, Кельвина-Фойгта и гуковской пружины (рисунок 1.3б); ей соответствует ключевое уравнение

(Ел Ео Ео\ ЕлЕо . ЕлЕо .. „

— + — + — + п-1—2 = £ -1-2 + Е. П1 П1 по тпо Л1

(1.5)

гУ\Л/—I

ЧАЛ/—I

КАД^

4

ЧЛЛН

а)

б)

Рисунок 1.3 — Схематические изображения механических аналогов модели Бюргерса в представлении Максвелла (а) и Кельвина (б)

Ясно, что обе модели содержат производные по времени до второго порядка включительно.

Говоря о проблеме теплопроводности в классической теории, отметим, что простейшим законом, связывающим поток тепла д и температуру Т , является закон Фурье д = —хрТ, где х - коэффициент теплопроводности. Проблема причинности в теории теплопроводности была решена Каттанео [132], который предложил модифицированную версию этого закона

д = —Х^Т. (1.6)

Соответствующий ему закон изменения температуры

тТ + Т = — хДТ (1.7)

описывается гиперболическим уравнением, что решает проблему причинности.

1.1.2 Релятивистская модель Эккарта

Базовым элементом релятивистской феноменологической термодинамики является второй закон термодинамики, который гласит, что скаляр производства энтропии а замкнутой физической системы должен быть неотрицательным, а ^ 0. Эта величина в релятивистской термодинамике определяется как кова-риантная дивергенция 4-вектора потока энтропии а = Ук$к. Различие между моделями термодинамики необратимых процессов заключается в структуре 4-вектора $к.

Согласно подходу Эккарта 4-вектор потока энтропии имеет вид

^ЕсквЛ) = *0Пик + ТЯк , (1.8)

где п - скаляр плотности числа частиц, Т - температура, й0 - скаляр удельной энтропии, ик - времениподобный 4-вектор скорости среды и дк - пространствен-ноподобный 4-вектор теплового потока. Скаляр й0 входит в уравнение Гиббса (первое начало термодинамики)

Бв + РВ(П) = Т°80 , (1.9)

где в - это плотность энергии, приходящаяся на одну частицу, а W = вп, соответственно, - плотность энергии среды. Символом Р обозначено изотропное Паскалевское равновесное давление, а оператор Б = икУк задает конвективную производную. Во всех моделях, представленных ниже, используется алгебраическое представление тензора энергии-импульса среды:

Тгк = впигик + игдк + икдг — ДгкР + Пгк . (1.10)

Здесь Дгк = дгк—игик - проектор, а тензор

Пгк = П(0) + 1дгк П, (П = дгк Пгк) (1.11)

описывает неравновесное давление среды. Напомним стандартное разложение ковариантной производной 4-вектора скорости среды:

Утип ишБип + атп + ^тп + ^Дтп^ , (1.12)

где симметричный бесследовый тензор сдвига атп и антисимметричный тензор вращения потока среды штп заданы, соответственно, формулами:

к =

1 (V V \ 1

2 (V и + V киЛ — з©Дгк

(1.13а)

Штп = 1 ^VгUk — Vkи^ . (1.13б)

Эти тензоры ортогональны 4-вектору скорости ик, т.е

атп ит = 0 = атпип, (1.14а)

Штп ит = 0 = Штпип. (1.14б)

Полный тензор энергии-импульса обладает нулевой дивергенцией, VkTгk = 0. Как обычно, эта система из четырех уравнений разбивается на скалярную и векторную подсистемы:

DW + (Ж + Р )@ — дк Вик + V к дк — П^ к и = 0, (1.15а)

(Ж+Р ^и3—V3 Р = —д3 @—дк Vk и3—Дк Dqk+Пзк DUk—Дт Vk Птк. (1.15б)

Скаляр @ = V к ик описывает растяжение/сжатие потока среды, а оператор

V

V к = Дк V I играет роль пространственной части 4-вектора градиента. Если совместно использовать уравнение Гиббса (1.9), закон сохранения полной энергии (1.15а), получим скаляр производства энтропии в виде

1

а = Т

П* Vк и + дк(DUk — Т VкТ

(1.16)

где DUk - это 4-вектор ускорения среды. В результате, подход Эккарта гарантирует, что а неотрицательно, если

д = л

поскольку при этом

V iT—TDUi

, П = 3С@, Пк(0) = п^к , (1.17)

1 ,к„ I 1 тт гкъ , 1 тт 2

Та = — —дЧ + пП(0)Пк(о) + ^п ^ 0. (1.18)

Подход Эккарта порождает три феноменологические константы: коэффициент теплопроводности Л, коэффициент сдвиговой вязкости п и коэффициент объемной вязкости С

1.1.3 Причинная термодинамика Израэля-Стьюарта

В причинной термодинамике Израэля-Стьюарта принят следующий анзац для 4-вектора потока энтропии:

= + — п1 $(18) = ^ЕскаЛ) + тП

Ьк 00П+а1Пк1(0)

—-1 ик

2Т

|30П2—МтПт+№тП Птп(0)

(119)

Фактически, к формуле Эккарта добавлены все возможные слагаемые второго порядка по неравновесным потокам П, пк и Птп(0) в комплекте с новыми феноменологическими параметрами ао, а1, |30, в1 и |32. Следуя той же логической схеме расчета производства энтропии, что и в модели Эккарта, получаем формулу

Та = П

3е — в0БП — 4 Т ПУг

в0и1

Т

+ аУ п

+

+пк

1 V В1

Бик — Т У к Т + вБпк + у Пк е+

+1Т-Т) + Т Ук( аТП

^тг I

т

Т П к(0)

(1.20)

+

+П(0))

агк — в2БПгк(0) в)2Пгк(0)е — 1 ТПгк(0)Б ^+ а1У(гПк)

Производство энтропии оказывается неотрицательным, если использовать следующие определения для величин П, дг и Пгк(0):

^БП + П

4+2(е+Б) в

= 4е + а0Ук пк

(1.21)

в1Дк Бд1 + пк

ХТ+2(е + Ы в1'

-Т V

к

00П'

т

- ТДкУЛ'-^-П

= 1 Ук Т — Бик—

а1тт г.

Т

(0)

в2ДтДпБПтп(0) + Пгк(0)

■1+?(в+Б^ 52;

(1.22)

агк + а1ДтДпкУ(тПп). (1.23)

Эти канонические результаты показывают, что при отсутствии теплового потока скаляр растяжения е является источником скалярной части неравновесного давления П; тензор сдвига агк есть источник для бесследовой части давления П(0);

V

разность ТУкТ—Бик есть источник возникновения теплового потока.

Т

Согласно стандартной терминологии, принятой в классической теории вязко-упругости [58] и в теории необратимой термодинамики жидкости [59], тензор деформаций = 1 ^Щт + д^) содержит 3-вектор смещения ЪТ (греческие индексы принимают значения 1, 2, 3; не путать с 4-вектором скорости среды ик). Так как в классической теории вязко-упругости 3-вектор скорости среды VV равен производной по времени от вектора смещения, т.е VV = ЪЪу, видим, что £н^ = 2 + дХ^) • Таким образом, если |30 = 0, а тепловые потоки отсутствуют, уравнение (1.21) описывает ковариантный аналог модели Максвелла, для которой Т7Г + п = V £. Здесь п обозначает тензор напряжений; индексы опущены для иллюстрации. Другими словами, наследуя свойства классических ньютоновских и максвелловских жидкостей, модель Израэля-Стьюарта была сконструирована только на основе аналога так называемого тензора скоростей деформаций е Здесь следует подвести промежуточный итог.

1. В модели Эккарта связь теплового потока с градиентом температуры диктуется законом Фурье; неравновесное давление определяется законом ньютоновской жидкости.

2. В модели Израэля-Стьюарта связь теплового потока с градиентом температуры определяется аналогом закона Каттанео; неравновесное давление определяется аналогом закона Максвелла.

3. Ни одна из перечисленных моделей не включает описание упругих свойств среды.

1.2 Нелокальное расширение теории Израэля-Стьюарта для однородной изотропной космологической модели с однокомпонентной космической

жидкостью

Прежде всего хотелось бы начать с мотивации предложенной далее расширенной теории Израэля-Стьюарта. Как было отмечено выше, известные релятивистские модели не описывают упругие свойства среды (по их структуре видно, что они не содержат аналог гуковского слагаемого). В то же время было бы интересно изучить ковариантный аналог классической модели, связанной с «конституционным» уравнением типа Т7Г+ц,п:=у е+Е£ , которое содержит обе величины е и £. Это уравнение широко применяется в переходных и равновесных реологиях и в теориях вязко-упругих сред и материалов [133]. Показано, что име-

ется прямая связь (см. [93; 134]) между этим уравнением и уравнением в модели Бюргерса (1.4) (или (1.5)).

При построении релятивистской теории упругости и вязко-упругости, возникает проблема определения ковариантной версии 4-вектора смещения, или ковариантного тензора деформаций [61; 66; 92]. В то же время нет никаких проблем с формулировкой ковариантного аналога производной по времени от тензора деформаций £Таким образом, когда мы обращаемся к ковариантному обобщению конституционного уравнения Бюргерса, мы избегаем упомянутых выше проблем и «открываем» новое окно в описании релятивистских жидкостей с вязко-упругими реологическими свойствами. Почему это может быть интересно в космологии? Имеется два мотива, и первый из их связан с поиском «адекватного» уравнения состояния космической жидкости.

Современные теории эволюции Вселенной оперируют вышеупомянутой темной жидкостью; для описания поздней эволюции Вселенной космологи, основываясь на последних наблюдениях, считают темную жидкость двухкомпонент-ным субстратом, который состоит из темной энергии с отрицательным давлением и темной материи без давления. Когда ученые пытаются реконструировать эволюцию космической жидкости в ранней Вселенной, например, в период инфляции, термолизации и т.д., они используют хорошо разработанный инструмент - моделирование уравнений состояния, которые связывают давление жидкости и ее плотность энергии. Эти уравнения состояния формально можно разделить на три класса. Первый класс содержит функциональные уравнения состояния, например, баротропные с коэффициентами, зависящими от времени [36; 135; 136]. Второй класс включает в себя дифференциальные конституционные уравнения [49—51; 56]. В третьем классе использованы интегральное представление уравнений состояния [137]. Модели этого класса могут быть обозначены как нелокальные. Можно считать, что в процессе моделирования эволюции ранней Вселенной, космическая жидкость, будучи достаточно плотной, являлась реологическим субстратом и имела вязко-упругие свойства. С этой точки зрения нелокальные уравнения состояния космической жидкости представляют интерес.

В данной главе работы построено нелокальное расширение теории Израэля-Стьюарта, основанное на конституционное уравнении в интегральном представлении. К нашему удивлению, это уравнение для неравновесного давления оказалось эквивалентно ковариантному аналогу конституционного уравнения Бюргерса. Другими словами, построенная нелокальная модель дает возможность

описать один из вариантов изотропной релятивистской вязко-упругой космической жидкости типа Бюргерса.

Второй мотив интереса к сформулированной проблеме следующий. В предложенном нелокальном подходе скаляр производства энтропии а, который является важной функцией, характеризующей термодинамическое состояние жидкости, содержит интеграл от неравновесного давления П. Это значит, что значение производства энтропии в момент времени Ь зависит не только от мгновенных значений функций состояния, но и от всей предыстории эволюции системы, в частности это касается функции П, которая может быть положительной, отрицательной или равной нулю в течение некоторых временных интервалов. Фактически, это приводит к некоторому накопленному термодинамическому эффекту, который может быть отнесен к простейшему варианту памяти жидкости.

Следует отметить, что в данной главе рассматривается однокомпонентная космическая жидкость. В реальности она является многокомпонентной, однако для базовых этапов эволюции Вселенной можно выбрать одну доминирующую компоненту и рассмотреть соответствующую упрощенную модель. Конечно же, однокомпонентное представление космической жидкости - это первый шаг к построению данной теории, и необходимо расширить ее в будущем. В зависимости от выбранных конституционных параметров, эта космическая жидкость может быть обозначена как темная энергия, фантомная жидкость, ультрарелятивистская жидкость, идеальная жидкость и т.д., но в данном разделе для общности будет использоваться универсальный термин «космическая жидкость».

1.2.1 Интегральное представление вектора потока энтропии и скаляра

производства энтропии

Рассмотрим пространство-время, которое пространственно однородно и изотропно, а метрика имеет вид

ds2 = ¿г2 — а2(Ь) [¿х\ + ¿х\ + ¿х2^ , с = 1. (1.24)

Эта модель удобна тем, что в связи с выбранной симметрией пространства-времени, 4-вектор теплового потока дк и сдвиговая часть неравновесного давления Птп(0) должны быть равны нулю. Более того, все термодинамические величины следует считать функциями только космологического времени;

4-вектор скорости имеет форму иi = 60. Предлагаем рассмотреть 4-вектора потока энтропии в следующей форме:

Sk = вопик — 2ТиквоП2 + 1 Уопик ^—1п)2,

(1.25)

где у0 можно интерпретировать как параметр нелокальности; когда он равен нулю, приходим к классической теории Израэля-Стьюарта в изотропной однородной среде. Оператор, обратный к взятию конвективной производной, определен следующим образом:

D(D-1П) = П, D-1П = ^ (тП,

(1т = ик (хк.

(1.26)

Коэффициент !у0пик выбран таким образом, потому что его дивергенция равняется нулю в силу закона сохранения числа частиц

Vk(пик) = 0, ^ Dn + п@ = 0 .

(1.27)

В таком случае скаляр производства энтропии запишется следующим образом

П

а = Т

@Т - — воDП — -П^ Т

в0и1

+ уопТ ^—1П)

(1.28)

Эта величина неотрицательна, если неравновесное давление П удовлетворяет уравнению

П @ Т

=--в<^П--П^

9С 3 1 0 2

во и1 Т

+ уопТ1 П).

(1.29)

Полученное интегро-дифференциальное уравнение (1.29) может быть записано в форме дифференциального уравнения второго порядка

D

П во DП+— (@+D) Р»'

9пСТ 3пТ пТ 2п ] \ Т

=УоП.

(1.30)

Если раскрыть скобки, и предположить, что в0 = 0, то полученное уравнение

D2П + DП < D

I

в

пТ 2

1@ + Щ +2> +

+П

.ш!+пП^

Ро 9 во \9пТ и во

2п <@+ЧТ

пТ

:зв

D

пТ

(1.31)

1

имеет вид релятивистского аналога конституционного уравнения Бюргерса. При этом понятно, что приведенный параметр нелокальности приобретает смысл эффективного параметра упругости (если сравнить (1.31) с формулами (1.4) и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ильин Алексей Сергеевич, 2023 год

Список литературы

1. Reiner, M. Advanced Rheology / M. Reiner. — London : H.K. Lewis & Co Ltd, 1971.-374 p.

2. Малкин, А. Я. Реология: концепции, методы, приложения / А. Я. Малкин, А. И. Исаев. — Москва : М.: Профессия, 2007. — 560 с.

3. Работнов, Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю. Н. Работнов. — Москва : Мир, 1980. — 381 с.

4. Discovery of a supernova explosion at half the age of the Universe / S. Perlmutter [et al.] // Nature. — 1998. — Vol. 391, no. 6662. — P. 51—54.

5. Observational evidence from supernovae for an accelerating Universe and a cos-mological constant/ A. G. Riess [etal.] // Astron. J. — 1998. — Vol. 116, no. 3. — P. 1009.

6. Nojiri, S. Introduction to modified gravity and gravitational alternative for dark energy / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. — 2007. — Vol. 04, no. 01. —P. 115—145.

7. Nojiri, S. Unified cosmic history in modified gravity: From F(R) theory to Lorentz non-invariant models / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Phys. Rep. — 2011. — Vol. 505, no. 2. —P. 59—144.

8. Nojiri, S. Modified gravity theories on a nutshell: Inflation, bounce and late-time evolution / S. Nojiri, S. Odintsov, V. Oikonomou // Phys. Rep. — 2017. — Vol. 692.-P. 1-104.

9. Brane cosmology from observational surveys and its comparison with standard FRW cosmology / A. V. Astashenok [et al.] // Astrophys. Space Sci. — 2013. — Vol. 347, no. 1. —P. 1—13.

10. New exact cosmologies on the brane / A. V. Astashenok [et al.] // Astrophys. Space Sci. —2014. — Vol. 353, no. 2. — P. 319—328.

11. Astashenok, A. V. The possible resolution of Boltzmann brains problem in phantom cosmology / A. V. Astashenok, A. V. Yurov, V. V. Yurov // Gravit. Cosmol. — 2016. — Vol. 22, no. 2. — P. 212—219.

12. Yurov, A. The cosmological models with jump discontinuities / A. Yurov, A. Astashenok, V. Yurov // Eur. Phys. J. C. — 2018. — Vol. 78, no. 7.

13. Chervon, S. V. The method of generating functions in exact scalar field inflationary cosmology / S. V. Chervon, I. V. Fomin, A. Beesham // Eur. Phys. J. C. — 2018.— Vol. 78, no. 4.—P. 301.

14. Fomin, I. V. Non-minimal coupling influence on the deviation from de Sitter cosmological expansion/I. V. Fomin, S. V. Chervon//Eur. Phys. J. C. — 2018. — Vol. 78, no. 11.—P. 918.

15. Fomin, I. V. Reconstruction of general relativistic cosmological solutions in modified gravity theories /1. V. Fomin, S. V. Chervon // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, issue 2. — P. 023511.

16. Superpotential method for chiral cosmological models connected with modified gravity / S. V. Chervon [et al.] // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, issue 6. — P. 063522.

17. Fomin, I. V. Generalized scalar-tensor theory of gravity reconstruction from physical potentials of a scalar field / I. V. Fomin, S. V. Chervon,

A. V. Tsyganov // Eur. Phys. J. C. — 2020. — Vol. 80, no. 4. — P. 350.

18. Fomin, I. New method of exponential potentials reconstruction based on given scale factor in phantonical two-field models /1. Fomin, S. Chervon // J. Cosmol. Astropart. Phys. — 2022. — Vol. 2022, no. 04. — P. 025.

19. Zhuravlev, V. Qualitative analysis of the dynamics of a two-component chiral cosmological model / V. Zhuravlev, S. Chervon // Universe. — 2020. — Vol. 6, no. 11.—P. 195.

20. Navarro, J. F. The structure of cold dark matter halos / J. F. Navarro, C. S. Frenk, S. D. M. White // Astrophys. J. — 1996. — Vol. 462. — P. 563.

21. Wambsganss, J.Gravitational lensing in astronomy / J. Wambsganss // Living Rev. Relativ. — 1998. — Vol. 1, no. 1. — P. 12.

22. Turner, M. S. The dark side of the universe: from Zwicky to accelerated expansion / M. S. Turner // Phys. Rep. — 2000. — Vol. 333/334. — P. 619—635.

23. Peebles, P. J. E. The cosmological constant and dark energy / P. J. E. Peebles,

B. Ratra // Rev. Mod. Phys. — 2003. — Vol. 75, issue 2. — P. 559—606.

24. Sahni, V. Dark Matter and Dark Energy / V. Sahni // The Physics of the Early Universe. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2005. — P. 141—179.

25. Copeland, E. J. Dynamics of dark energy / E. J. Copeland, M. Sami, S. Tsu-jikawa // Int. J. Mod. Phys. D. — 2006. — Vol. 15, no. 11. — P. 1753—1935.

26. Sahni, V. Reconstructing dark energy / V. Sahni, A. A. Starobinsky // Int. J. Mod. Phys. D. — 2006. — Vol. 15, no. 12. — P. 2105—2132.

27. Capozziello, S. Unified phantom cosmology: Inflation, dark energy and dark matter under the same standard / S. Capozziello, S. Nojiri, S. D. Odintsov // Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 632, no. 5. — P. 597—604.

28. Frieman, J. A. Dark Energy and the accelerating Universe / J. A. Frieman, M. S. Turner, D. Huterer // Annu. Rev. Astron. Astrophys. — 2008. — Vol. 46, no. 1.—P. 385—432.

29. Padmanabhan, T. Dark energy and gravity / T. Padmanabhan // Gen. Relativ. Gravit. — 2007. — Vol. 40, no. 2/3. — P. 529—564.

30. Bamba, K. Inflation and late-time cosmic acceleration in non-minimal Maxwell-F(R) gravity and the generation of large-scale magnetic fields / K. Bamba, S. D. Odintsov // J. Cosmol. Astropart. Phys. — 2008. — Vol. 2008, no. 04. — P. 024.

31. Dark energy cosmology: The equivalent description via different theoretical models and cosmography tests / K. Bamba [et al.] // Astrophys. Space Sci. — 2012. - Vol. 342. - P. 155-228.

32. Del Popolo, A. Non-baryonic dark matter in cosmology / A. Del Popolo // Int. J. Mod. Phys. D. — 2014. — Vol. 23, no. 03. — P. 1430005.

33. Yepes, G. Dark matter in the local Universe / G. Yepes, S. Gottlober, Y. Hoffman // New Astron. Rev. — 2014. — Vol. 58. — P. 1—18.

34. Zurek, K. M. Asymmetric dark matter: theories, signatures, and constraints / K. M. Zurek//Phys. Rep. — 2014. — Vol. 537, no. 3. — P. 91—121.

35. Gleyzes, J. A unifying description of dark energy / J. Gleyzes, D. Langlois, F. Vernizzi // Int. J. Mod. Phys. D. — 2014. — Vol. 23, no. 13. — P. 1443010.

36. Equation-of-state formalism for dark energy models on the brane and the future ofbrane universes / A. V. Astashenok [et al.] //Eur. Phys. J. C. — 2012. — Vol. 72, no. 12.—P. 2260.

37. Sandakova, O. A cosmological scenario with rotation / O. Sandakova, D. Yani-shevsky, V. Panov // Gravit. Cosmol. — 2019. — Vol. 25. — P. 362—365.

38. Indications of a Late-Time Interaction in the Dark Sector / V. Salvatelli [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2014. — Vol. 113, issue 18. — P. 181301.

39. Nunes, R. C. New constraints on interacting dark energy from cosmic chronometers / R. C. Nunes, S. Pan, E. N. Saridakis // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, issue 2. — P. 023508.

40. Kumar, S. Probing the interaction between dark matter and dark energy in the presence of massive neutrinos / S. Kumar, R. C. Nunes // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 94, issue 12.-P. 123511.

41. Bruck, C. van de. Testing coupled dark energy models with their cosmological background evolution / C. van de Bruck, J. Mifsud, J. Morrice // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 95, issue 4. — P. 043513.

42. Interacting quintessence solution to the coincidence problem / L. P. Chimento [et al.] // Phys. Rev. D. - 2003. - Vol. 67, issue 8. - P. 083513.

43. Scherrer, R. J. Phantom dark energy, cosmic doomsday, and the coincidence problem / R. J. Scherrer // Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 71, issue 6. — P. 063519.

44. Velten, H. Aspects of the cosmological "coincidence problem" / H. Velten, R. von Marttens, W. Zimdahl // Eur. Phys. J. C. — 2014. — T. 74. — C. 3160.

45. Dark matter and dark energy interactions: theoretical challenges, cosmological implications and observational signatures / B. Wang [et al.] // Rep. Prog. Phys. — 2016. — Vol. 79, no. 9. — P. 096901.

46. Farrar, G. R. Interacting Dark Matter and Dark Energy / G. R. Farrar, P. J. E. Peebles // Astrophys. J. — 2004. — Vol. 604, no. 1. — P. 1—11.

47. Zimdahl, W. Interacting dark energy and cosmological equations of state / W. Zimdahl // Int. J. Mod. Phys. D. — 2005. — Vol. 14, no. 12. — P. 2319—2325.

48. Campo, S. del. Interaction in the dark sector / S. del Campo, R. Herrera, D. Pavón // Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 91, issue 12. — P. 123539.

49. Balakin, A. B. Archimedean-type force in a cosmic dark fluid. I. Exact solutions for the late-time accelerated expansion / A. B. Balakin, V. V. Bochkarev // Phys. Rev. D. — 2011. — Vol. 83, issue 2. — P. 024035.

50. Balakin, A. B. Archimedean-type force in a cosmic dark fluid. II. Qualitative and numerical study of a multistage universe expansion / A. B. Balakin, V. V. Bochkarev // Phys. Rev. D. — 2011. — Vol. 83, issue 2. — P. 024036.

51. Balakin, A. B. Archimedean-type force in a cosmic dark fluid. III. Big rip, little rip, and cyclic solutions / A. B. Balakin, V. V. Bochkarev // Phys. Rev. D. — 2013. — Vol. 87, issue 2. — P. 024006.

52. Balakin, A. B. Light propagation with nonminimal couplings in a two-component cosmic dark fluid with an Archimedean-type force, and unlighted cosmological epochs / A. B. Balakin, V. V. Bochkarev, J. P. S. Lemos //Phys. Rev. D. — 2012. — Vol. 85, issue 6. —P. 064015.

53. Balakin, A. B. Electrodynamic phenomena induced by a dark fluid: Analogs of pyromagnetic, piezoelectric, and striction effects / A. B. Balakin, N. N. Dol-bilova // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 89, issue 10. — P. 104012.

54. Balakin, A. B. Electrodynamics of a cosmic Dark Fluid / A. B. Balakin // Symmetry. — 2016. — Vol. 8, no. 7.

55. Brunner, H. Volterra integral equations / H. Brunner. — Cambridge, England : Cambridge University Press, 2017. — 405 p.

56. Nojiri, S. The new form of the equation of state for dark energy fluid and accelerating universe / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639, no. 3.—P. 144—150.

57. Israel, W Transient relativistic thermodynamics and kinetic theory / W. Israel, J. M. Stewart // Ann. Phys. (N. Y.) — 1979. — Vol. 118, no. 2. — P. 341—372.

58. Christensen, R. M. Theory of Viscoelasticity / R. M. Christensen. — Mineola, New York : Dover Publications, 2003.

59. Jou, D. Extended irreversible thermodynamics / D. Jou, G. Lebon. — Berlin : Springer Dordrecht, 2010. — 483 p.

60. Maugin, G. A. The thermomechanics of nonlinear irreversible behaviors: an introduction/ G. A. Maugin. — Singapore : World Scientific, 1999. — 398 p.

61. Mashhoon, B. Nonlocal gravity / B. Mashhoon. — Oxford : Oxford University Press, 2017.— 483 p.

62. Nojiri, S. Modified non-local-F(R) gravity as the key for the inflation and dark energy / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Phys. Lett. B. — 2008. — Vol. 659, no. 4. — P. 821-826.

63. Maggiore, M. Nonlocal gravity and dark energy / M. Maggiore, M. Mancarella // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 90, issue 2. — P. 023005.

64. Zalaletdinov, R. The averaging problem in cosmology and macroscopic gravity / R. Zalaletdinov // Int. J. Mod. Phys. A. — 2008. — Vol. 23, no. 08. — P. 1173-1181.

65. Synge, J. L. Relativity: The General Theory / J. L. Synge. — North-Holland: Amsterdam, The Netherlands : North Holland Publishing Company, 1971. — 505 p.

66. Puetzfeld, D. Constitutive law of nonlocal gravity / D. Puetzfeld, Y. N. Obukhov, F. W. Hehl // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 99, issue 10. — P. 104013.

67. Cosmological solutions of a nonlocal model with a perfect fluid / E. Elizalde [et al.] // J. Cosmol. Astropart. Phys. — 2013. — Vol. 2013, no. 07. — P. 034.

68. Koshelev, A. S. Cosmological solutions in nonlocal models / A. S. Koshelev, S. Y. Vernov // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2014. — Vol. 11, no. 7. — P. 960—963.

69. De Sitter and power-law solutions in non-local Gauss-Bonnet gravity / E. Elizalde [et al.] // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. — 2018. — Vol. 15, no. 11.-P. 1850188.

70. Stability analysis of de Sitter solutions in models with the Gauss-Bonnet term / E. O. Pozdeeva [etal.] //Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, issue 8. — P. 083527.

71. Elizalde, E. Reconstruction procedure for nonlocal Gauss-Bonnet models / E. Elizalde, E. O. Pozdeeva, S. Y. Vernov // Int. J. Mod. Phys. A. — 2020. — Vol. 35, 02n03. — P. 2040045.

72. Oldroyd, J. G. On the formulation of rheological equations of state / J. G. Ol-droyd, A. H. Wilson // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1950. — Vol. 200, no. 1063. — P. 523—541.

73. Седов, Л. И. Механика сплошных сред / Л. И. Седов. — Москва : Наука, 1983.-528 с.

74. Седову Л. И. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма / Л. И. Седов, А. Г. Цыпкин. — Москва : Наука, 1983. — 256 с.

75. Чёрный, Л. Т. Релятивистские модели сплошных сред / Л. Т. Чёрный. — Москва : Наука, 1983. — 287 с.

76. Eringen, A. C. Electrodynamics of continua / A. C. Eringen, G. A. Maugin. — New York : Springer-Verlag, 1989. — 436 p.

77. Inflationary universe in terms of a van der Waals viscous fluid /1. Brevik [et al.] // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. — 2017. — Vol. 14, no. 12. — P. 1750185.

78. Eckart, C. The thermodynamics of irreversible processes. III. Relativistic theory of the simple fluid / C. Eckart // Phys. Rev. — 1940. — Vol. 58, issue 10. — P. 919-924.

79. Maartens, R. Density perturbations with relativistic thermodynamics / R. Maartens, J. Triginer // Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 56, issue 8. — P. 4640-4650.

80. Zimdahl, W. Cosmological particle production, causal thermodynamics, and inflationary expansion / W. Zimdahl // Phys. Rev. D. — 2000. — Vol. 61, issue 8. — P. 083511.

81. Zimdahl, W. Reheating and causal thermodynamics / W. Zimdahl, D. Pavón, R. Maartens // Phys. Rev. D. — 1997. — Vol. 55, issue 8. — P. 4681—4688.

82. Zimdahl, W. Bulk viscous cosmology / W. Zimdahl // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 53, issue 10. — P. 5483—5493.

83. Herrera, L. Hyperbolic theories of dissipation: Why and when do we need them? / L. Herrera, D. Pavón // Physica A. — 2002. — Vol. 307, no. 1. — P. 121-130.

84. Bittencourt, E. Bianchi-I cosmology from causal thermodynamics / E. Bittencourt, L. Gomes, R. Klippert // Class Quantum Gravity. — 2017. — Vol. 34. — P. 045010.

85. Maartens, R. Causal thermodynamics in relativity / R. Maartens. — 1996. — URL: https://arxiv.org/abs/astro-ph/9609119.

86. Cruz, ^.Constraining a causal dissipative cosmological model / N. Cruz, A. Hernández-Almada, O. Cornejo-Pérez // Phys. Rev. D. — 2019. — Vol. 100, issue 8. — P. 083524.

87. Cruz, M. Thermodynamically allowed phantom cosmology with viscous fluid / M. Cruz, S. Lepe, S. D. Odintsov // Phys. Rev. D. — 2018. — Vol. 98, issue 8. — P. 083515.

88. Cruz, M. Accelerated and decelerated expansion in a causal dissipative cosmology / M. Cruz, N. Cruz, S. Lepe // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 96, issue 12. — P. 124020.

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

Cataldo, M. Viscous dark energy and phantom evolution / M. Cataldo, N. Cruz, S. Lepe // Phys. Lett. B. — 2005. — Vol. 619, no. 1. — P. 5—10.

Mak, M. K. Full causal dissipative cosmologies with stiff matter / M. K. Mak, T. Harko // Int. J. Mod. Phys. D. — 2004. — Vol. 13, no. 02. — P. 273—280.

Maartens, R. Acoustic oscillations and viscosity / R. Maartens, J. Triginer // Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 58. — P. 123507.

Brown, /.Elasticity theory in general relativity / J. Brown // Class Quantum Gravity. — 2021. — Vol. 38.—P. 085017.

Burgers, J. M. Mechanical considerations, model systems, phenomenological theories of relaxation and of viscosity / J. M. Burgers // Verh. K. Akad. Wet. Amst. — 1935. — Vol. 1, no. 15. — P. 5.

Lyne, A. Pulsar Astronomy / A. Lyne, F. Graham-Smith. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2012. — 345 p.

Becker, W. Neutron stars and pulsars / W. Becker. — Berlin, Germany : Springer Berlin, Heidelberg, 2009. — 697 p.

Саакян, Г. С. Физика нейтронных звезд / Г. С. Саакян. — Дубна, Россия : ОИЯИ, 1995.— 348 с.

Weinberg, S. Gravitation and cosmology / S. Weinberg. — New York : Wiley, Sons, 1972.-685 p.

Саакян, Г. С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс / Г. С. Саакян. — Москва, Россия : М.: Наука, 1972. — 344 с.

Grigorian, L. S. Theory of superdense matter and degenerate stellar configurations/L. S. Grigorian, G. S. Sahakian// Astrophys. Space Sci. —1983. — Vol. 95, issue 2. — P. 305—356.

Sahu, P. K. Nuclear equation of state at high density and the properties of neutron stars / P. K. Sahu // Phys. Rev. C. - 2000. - Vol. 62, issue 4. - P. 045801.

Baldo, M. Microscopic theory of the nuclear equation of state and neutron star structure / M. Baldo, F. Burgio // Physics of Neutron Star Interiors. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2001. —P. 1—29.

Shen, H. Complete relativistic equation of state for neutron stars / H. Shen // Phys. Rev. C. — 2002. — Vol. 65, issue 3. — P. 035802.

103. Haensel, P. Analytical representations of unified equations of state of neutronstar matter / P. Haensel, A. Y. Potekhin // Astron. Astrophys. — 2004. — Vol. 428, no. 1.—P. 191—197.

104. Kaon condensation and composition of neutron star matter in a modified quarkmeson coupling model / C. Y. Ryu [et al.] // Phys. Rev. C. — 2007. — Vol. 75, issue 5. — P. 055804.

105. Haensel, P. Neutron stars 1: Equation of state and structure / P. Haensel, A. Y. Potekhin, D. G. Yakovlev. — Berlin, Germany : Springer Science, Business Media, 2007.-619 p.

106. Lattimer, J. M. Neutron star observations: Prognosis for equation of state constraints / J. M. Lattimer, M. Prakash // Phys. Rep. — 2007. — Vol. 442, no. 1. — P. 109-165.

107. Blaschke, D. Hybrid neutron stars based on a modified PNJL model / D. Blaschke, J. Berdermann, R. Lastowiecki // Prog. Theor. Phys. Supp. — 2010.-Vol. 186.-P. 81-86.

108. Niu, Z.-M. 6 meson effects on neutron stars in the modified quark-meson coupling model / Z.-M. Niu, C.-Y. Gao // Int. J. Mod. Phys. E. - 2010. - Vol. 19, no. 11.-P. 2247-2263.

109. Miyatsu, T. Equation of state for neutron stars in SU(3) flavor symmetry / T. Miy-atsu, M.-K. Cheoun, K. Saito // Phys. Rev. C. — 2013. — Vol. 88, issue 1. — P. 015802.

110. Equation of state constraints for the cold dense matter inside neutron stars using the cooling tail method / Nattila, J. [et al.] // Astron. Astrophys. — 2016. — Vol. 591.—A25.

111. Lattimer, J. M. The equation of state of hot, dense matter and neutron stars / J. M. Lattimer, M. Prakash // Phys. Rep. — 2016. — Vol. 621. — P. 127—164.

112. Lindblom, L. Causal representations of neutron-star equations of state / L. Lind-blom // Phys. Rev. D. — 2018. — Vol. 97, issue 12. — P. 123019.

113. Degenaar, N.Testing the equation of state of neutron stars with electromagnetic observations / N. Degenaar, V. F. Suleimanov. — 2018. — URL: https://arxiv. org/abs/1806.02833.

114. Eling, C. Neutron stars in Einstein-aether theory / C. Eling, T. Jacobson, M. C. Miller // Phys. Rev. D. — 2007. — Vol. 76, issue 4. — P. 042003.

115. Cooney, A. Neutron stars in f (R) gravity with perturbative constraints / A. Cooney, S. DeDeo, D. Psaltis // Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 82, issue 6. — P. 064033.

116. Astashenok, A. V. Maximal neutron star mass and the resolution of the hyperon puzzle in modified gravity / A. V. Astashenok, S. Capozziello, S. D. Odintsov // Phys. Rev. D. — 2014. — Vol. 89, issue 10. — P. 103509.

117. Cisterna, A. Neutron stars in general second order scalar-tensor theory: The case of nonminimal derivative coupling / A. Cisterna, T. Delsate, M. Rinaldi // Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 92, issue 4. — P. 044050.

118. Doneva, D. D. I-Q relations for rapidly rotating neutron stars in f (R) gravity / D. D. Doneva, S. S. Yazadjiev, K. D. Kokkotas // Phys. Rev. D. — 2015. — Vol. 92, issue 6. —P. 064015.

119. Mass-radius relation for neutron stars in f (R) gravity / S. Capozziello [et al.] // Phys. Rev. D. — 2016. — Vol. 93, issue 2. — P. 023501.

120. On neutron stars in f(R) theories: Small radii, large masses and large energy emitted in a merger / M. Aparicio Resco [et al.] // Phys. Dark Universe. — 2016. — Vol. 13.-P. 147-161.

121. Modified TOV in gravity's rainbow: properties of neutron stars and dynamical stability conditions / S. Hendi [et al.] // J. Cosmol. Astropart. Phys. — 2016. — Vol. 2016, no. 09. - P. 013-013.

122. Brax, P. Neutron stars in screened modified gravity: Chameleon versus dilaton / P. Brax, A.-C. Davis, R. Jha // Phys. Rev. D. — 2017. — Vol. 95, issue 8. — P. 083514.

123. Gravitational waves and gamma-rays from a binary neutron star merger: GW170817 and GRB 170817A / B. P. Abbott [et al.] // Astrophys. J. — 2017. — Vol. 848, no. 2. —P. L13.

124. Day, W. A. The thermodynamics of simple materials with fading memory / W. A. Day. — Berlin, Germany : Springer Berlin, Heidelberg, 1972. — 136 p.

125. Otsuka, K. Shape memory materials / K. Otsuka, C. Wayman. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1998. — 284 c. — (Shape Memory Materials).

126. A highly magnified star at redshift 6.2 / B. Welch [и др.] // Nature. — 2022. — Т. 603, № 7903. - С. 815-818.

127. Two remarkably luminous galaxy candidates at z ~ 10-12 revealed by JWST / R. P. Naidu [et al.] // Astrophys. J. Lett. — 2022. — Vol. 940, no. 1. — P. L14.

128. Kiziltan, B. An intermediate-mass black hole in the centre of the globular cluster 47 Tucanae / B. Kiziltan, H. Baumgardt, A. Loeb // Nature. — 2017. — Vol. 542, no. 7640.—P. 203—205.

129. Balakin, A. B. Nonlocal extension of causal thermodynamics of the isotropic cosmic fluid / A. B. Balakin, A. S. Ilin // Phys. Lett. B. — 2022. — Vol. 826. — P. 136912.

130. Балакин, А. Б. Нелокальное расширение релятивистской причинной термодинамики и общерелятивистское уравнение Бюргерса / А. Б. Балакин, А. С. Ильин // Учен. зап. физ. фак-та Моск. ун-та. — 2022. — № 4.

131. Maugin, G. A. On the covariant equations of the relativistic electrodynamics of continua. I. General equations / G. A. Maugin // J Math Phys. — 1978. — Vol. 19, no. 5.—P. 1198—1205.

132. Cattaneo, C. Sulla conduzione del calore / C. Cattaneo // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. — 1948. — Vol. 3. — P. 83—101.

133. Rumpker, G. Viscoelastic relaxation of a Burgers half-space: implications for the interpretation of the Fennoscandian uplift / G. Rumpker, D. Wolff // Geophys J Int. — 1996. — Vol. 124, no. 2. — P. 541—555.

134. Malek, /.Derivation of the variants of the Burgers model using a thermodynamic approach and appealing to the concept of evolving natural configurations / J. Malek, K. R. Rajagopal, K. Tfima // Fluids. — 2018. — Vol. 3, no. 4. — P. 69.

135. Nojiri, S. Multiple lambda cosmology: Dark fluid with time-dependent equation of state as classical analog of cosmological landscape / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Phys. Lett. B. — 2007. — Vol. 649, no. 5. — P. 440—444.

136. Saridakis, E. Unified dark energy thermodynamics: Varying w and the -1-crossing / E. Saridakis, P. Gonzalez-Diaz, C. Siguenza // Class Quantum Gravity. — 2009. — Vol. 26. — P. 165003.

137. Balakin, A. B. Dark Energy and Dark Matter interaction: kernels of Volterra type and coincidence problem / A. B. Balakin, A. S. Ilin // Symmetry. — 2018. — Vol. 10, no. 9.

138. Zimdahl, W. Inflation in a self-interacting gas universe / W. Zimdahl, A. B. Bal-akin // Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 58, issue 6. — P. 063503.

139. Zimdahl, W. Cosmological thermodynamics and deflationary gas universe / W. Zimdahl, A. B. Balakin // Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 63. — P. 023507.

140. Zimdahl, W. Generalized equilibrium of cosmological fluids in second order thermodynamics / W. Zimdahl, J. Gariel, G. Le Denmat // Class Quantum Gravity. — 1999. - Vol. 16. - P. 3207-3220.

141. Balakin, A. B. Extended relativistic non-equilibrium thermostatics of stellar structures with radiation pressure / A. B. Balakin, Z. Z. Tukbaev // Space, Time and Fundamental Interactions. — 2020. — Vol. 3, no. 32. — P. 15—26.

142. Balakin, A. B. Self-interaction in a cosmic dark fluid: The four-kernel rheological extension of the equations of state / A. B. Balakin, A. S. Ilin // Phys. Rev. D. — 2022. — Vol. 105, issue 10. — P. 103525.

143. Nojiri, S. Properties of singularities in the (phantom) dark energy universe / S. Nojiri, S. D. Odintsov, S. Tsujikawa // Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 71, issue 6. — P. 063004.

144. Frampton, P. H. The little rip / P. H. Frampton, K. J. Ludwick, R. J. Scherrer // Phys. Rev. D. — 2011. — Vol. 84, issue 6. — P. 063003.

145. Frampton, P. H. Pseudo-rip: Cosmological models intermediate between the cosmological constant and the little rip / P. H. Frampton, K. J. Ludwick, R. J. Scherrer // Phys. Rev. D. — 2012. — Vol. 85, issue 8. — P. 083001.

146. Wei, H. Quasi-rip: A new type of rip model without cosmic doomsday / H. Wei, L.-F. Wang, X.-J. Guo // Phys. Rev. D. - 2012. - Vol. 86, issue 8. - P. 083003.

147. Chen, C.-Y. Primordial bouncing cosmology in the Deser-Woodard nonlocal gravity / C.-Y. Chen, P. Chen, S. Park // Phys. Lett. B. - 2019. - Vol. 796. -P. 112-116.

148. Relativistic neutron stars: Rheological type extensions of the equations of state / A. Balakin [et al.] // Symmetry. — 2019. — Vol. 11, no. 2.

149. Oppenheimer, J. R. On massive neutron cores / J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff// Phys. Rev. — 1939. — Vol. 55, issue 4. — P. 374—381.

Публикации автора по теме диссертации

129. Balakin, A. B. Nonlocal extension of causal thermodynamics of the isotropic cosmic fluid / A. B. Balakin, A. S. Ilin // Phys. Lett. B. — 2022. — Vol. 826. — P. 136912.

130. Балакин, А. Б. Нелокальное расширение релятивистской причинной термодинамики и общерелятивистское уравнение Бюргерса / А. Б. Балакин, А. С. Ильин // Учен. зап. физ. фак-та Моск. ун-та. — 2022. — № 4.

137. Balakin, A. B. Dark Energy and Dark Matter interaction: kernels of Volterra type and coincidence problem / A. B. Balakin, A. S. Ilin // Symmetry. — 2018. — Vol. 10, no. 9.

142. Balakin, A. B. Self-interaction in a cosmic dark fluid: The four-kernel rheological extension of the equations of state / A. B. Balakin, A. S. Ilin // Phys. Rev. D. — 2022. — Vol. 105, issue 10. — P. 103525.

148. Relativistic neutron stars: Rheological type extensions of the equations of state / A. Balakin [et al.] // Symmetry. — 2019. — Vol. 11, no. 2.

Список рисунков

1.1 Модель Гука и Ньютона......................................................18

1.2 Модель Максвелла и Кельвина-Фойгта....................................18

1.3 Модели Бюргерса в представлении Максвелла и Кельвина..............19

1.4 Нелокальное расширение теории Израэля-Стьюарта: эффективная температура, обеспечивающая решение типа де Ситтера........34

1.5 Нелокальное расширение теории Израэля-Стьюарта: эффективная температура для степенного решения ......................................38

3.1 Четырехъядерная модель: действительные корни.............75

3.2 Четырехъядерная модель: комплексные корни..............80

3.3 Четырехъядерная модель: квазипериодические решения.........86

4.1 Реологически расширенная модель Лейна-Эмдена: профили давления . 104

Список таблиц

1 Реологически расширенная модель Лейна-Эмдена: отношение

масса/радиус.................................105

Приложение А Вывод ключевых уравнений для четырехъядерной модели

А.1 Ключевое уравнение для случая шо = 0

В данном разделе приведены выкладки при получении ключевого уравнения для наиболее общего случая, представленного в главе 3 представленной работы. Начав с формул

Е(х) = — \xW\x) + (3+Шо)Ж + ЭР] , (А.1)

Шо

П(х) = --1- {х2^ + (7+2шо)xW' + (9+6шо^ + 3хР' + (9+3шо)Р} , 3шо

(А.2)

можно получить пару уравнений, содержащих только функции состояния ТЭ, давление Р и плотность энергии W,

х2Р" + ехР' + ¡Р = Ьх2^ + cxW' + (Ш , (А.3)

Е хР '+РР = x4W(1У)+Ах^(111 )+Bx2W ''+CxW '+DW. (А.4) Вспомогательные параметры е,/,Ь,с( записаны следующим образом:

коо

Ь=Г-1+

12

ко

с = (Г-1)(Уп+У12 + 1) + ко1 + к^ (4+Шо+уц),

Шо

Шо

( = УПУ12(Г - 1) + к°>12 + ^^(3 + Шо),

(А.5)

Шо

е = VII + ^12 + 1 - 3-, ] = ^11^12 - 3-

Шо Шо

Похожим образом можно представить параметры Е,¥,А,Б ,С,Ю

3К%

А = У22 + ^21 + 6 + 2ш0 + 3у + 3Г +

12

Шо

Б = 34 + 12Шо + (У22+^21)(9+2Шо) + ^22^21 + 3(у-1)(У22+^21+6 + Шо)

3К0

+ 3К202 + 3(Г - 1)(У11 + У12 + 3) + 3К101 + —12(6 + Шо + Уц) +

Шо

+ 3

Шо + (^22+^21) + 3у - ( ^11+У12-3

-V

Шо

х (г-1+—2

V Шо .

С = (У22+^21 + 1)(16+8Шо) + 3 [(у-1)(^22+^21 + 1) + Ки (4+Шо) + + ^22^21(7+2ШО) + 3 [^22^21

+ 3ШоК2°1 +3(Г-1)(У11+У12+^11У12 + 1) + 3К1о1(1+У12) +

3К0

+ Щ12 (4+Шо + Уц) +3

Шо

КУп

Шо

(3+Шо)+

+3

X

К12

V ^оу

К0

(Г-1)(У11+У12 + 1)+К?1 + -12 (4+Шо+Уц)

Шо

X

Ю = ^22^21 (9 + 6Шо) + 3ШоУ22К^1 + 3 [^22^21(у - 1) + —^21] (3 + Шо) + +3

К102

| V * I ^ * О 12

X

Шо + (У22+^21)+3у- У11+У12-3:

V Шо ,

У11У12 (Г-1) + К1У12 + —^ (3+Шо)

X

Шо

Е = 3(У11+1)(У12+1)-9

—2^11 + 1)

Шо

-9К2о2+3

(У22+^21 + 1)(3+3Шо + 9у)-3У22^21-

ко n

Л. -2

Шо

12

х У11+У12 + 1-3 V Ш0

¥ = -^22^21(3Шо + 9у) - 9—2^21 + +3

Шо + (У22+^21)+3у- У11+У12-3:

V Шо

К102

| V * I ^ * О 12

' К2М

12 3 —-

)

(А.6)

Последним шагом нужно извлечь давление ТЭ Р(х) из пары уравнений (А.3), (А.4); получаем следующую связь

^еГ-Г-¡Е-Е) Р(х) = х^(У) + ^3+А+е-^ х^(1У) +

+ (^2А+В+еА- Ар! х3^ + ^В+С+еВ-Вр-ЬЕ^ х2^+ (А.7)

( СГ \ , ( ЮГ \

+ ( Ю+еС —-—сЕ) хЖ' + ( еЮ-Ю—-—(Е )

и подставляем Р(х) в уравнение (А.3). В итоге, получаем ключевое уравнение

x6W(У1) + ШlX5W(У) + Ш2х4^^(1У) + Шзx3W'" + Ш4х2^ + Ш5XW' + Ш6 W = 0,

(А.8)

в котором введены следующие коэффициенты

Ш1 = 8+А+е, Ш2 = 12+6А+4е+В+eA+¡, Шз = 6А + 4В + С + 3еА + еВ - ЬЕ + ¡А, ш4 = 2В+2С+В+2еВ-2ЬЕ+еС-сЕ-ЬГ+¡B, Ш5 = еС-сЕ+еЮ-(Е-сВШб = ¡Ю-(Г.

А.2 Ключевое уравнение для случая шо=0, Ко2 = 0, К21 = 0

(А.9)

Если шо = 0, можно извлечь давление ТЭ Р(х) из (3.12) и давление ТМ П(х) из (3.13)

Р = -1 xW' - Ц?, П = -1 хЕ' - Е. (А.10)

33

Затем подставляем их в уравнения (3.16) и (3.17), получая при этом два уравнения, которые связывают плотности энергий W и Е,

x3W'"+alX2W"+a2xW'+азW = -3К?2 (хЕ'+упЕ), (А.11)

х3Ет+их2Е"+а.5хЕ'+абЕ = -3К2о1 (х^+V22W), (А.12)

где новые вспомогательные параметры

а = (3 + 3Г + уп + У12), а-2 = 3К?1 + (1 + 3Г) (1 + уп + У12),

аз = 3У12 Г + Кп) , ^4 = (3 + 3у + У22 + У21) ,

а-5 = 3К°2 + (1 + 3у) (1 + V22 + У21) , аб = 3У21 ^22У + к°2) .

(А.13)

(А.14)

Если Ко2 = 0, последовательно находим Е"'(х), Е", Е' и Е из этой пары уравнений. Для плотности энергии Е получим

Е(х) * 3—2 [аб+(а4-2-уп)(1+У11)У11-а5^11] =

= хМ(У)+хМ(1У) (4+^1 + ^4-Уц) + + хзМ' [6+4а1+а2+а5+(а4-2-уп)(2+а1-уп)] + +х2М [2а^п+аз+а1а5+(а4-Уц)(а1+а2-а^ц)] + хМ' [а2а5+(а4-2-Уп)(аз-а2^11) - 9Ко2—21] + + М [аз^5-аз(«4-2-уп)(1 + уп) - 9—о2—2У22] .

Затем подставляем Е'''(х), Е''(х), Е'(х) и Е(х) в (А.12) и находим ключевое уравнение шестого порядка в обыкновенных производных

х6М (У/)+^х5М(У) +^х4М(1У }+^зх3М'''+^4х2М'' + ^хШ' + ^оМ = 0,

(А.15)

где вспомогательные параметры имеют вид

= 9 + а1 + а4,

= 30 + 8а1 + а2 + а5 + (а4 - 2)(6 + а1), = 18+14а1+5а2+аз+3а5+а6+а1а5 + (а4-2)(6+4а1+а2), = 4а1+4а2+2аз+2а1а5+а2а5+а1а6+(а4-2)(2а1+2а2+аз) - 9—1^—21,

^5 = а2а5+аза5+а2ао-9—о2 —21(1 + Уц + у 22),

12 21

^о = аза - 9—о2—21^11У22-

(А.16)