Магнитоэлектростатика релятивистских аксионно-активных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Грошев Дмитрий Евгеньевич

• Грошев Дмитрий Евгеньевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Грошев Дмитрий Евгеньевич

1.1 К истории вопроса

1.2 Цели и задачи работы, актуальность проблемы, новизна

результатов

2 Аксионное расширение теории Эйнштейна-Максвелла

2.1 Общий математический формализм

2.1.1 Функционал действия

2.1.2 Эволюционные уравнения электромагнитного поля в аксиоппо-активной среде

2.1.3 Эволюционные уравнения псевдоскалярного (аксионного) поля в электромагнитно - активной среде

2.1.4 Уравнения гравитационного поля

2.1.5 Иерархический подход к решению модельных уравнений

2.1.6 Структура фонового пространства-времени

2.2 Расширение математического формализма

2.2.1 Модифицированный периодический потенциал псевдоскалярного поля и понятие о равновесной конфигурации аксионного поля

2.2.2 Расширение математического формализма теории аксионно-активных систем, основанное на использовании векторных полей К и лл инги

3 Структура псевдоскалярного и электрического полей в окрестности аксионных дионов

3.1 Дионы с многоуровневым равновесным распределением аксионного поля

3.1.1 Симметрия пространства-времени и применение расширенного формализма, связанного с инвариантами векторов Кил-линга

3.1.2 Ключевое уравнение минимальной аксионной магнитоэлек-тростатики

3.1.3 Анализ решений ключевого уравнения

3.1.4 Ступенчатые равновесные функции

3.2 Дионы с гравитационным, аксионным и электрическим полями, регулярными в центре

3.2.1 Регулярность гравитационного поля при г ^

3.2.2 Редуцированные тензоры неминимальной восприимчивости

3.2.3 Редуцированные неминимальные уравнения аксионной маг-нитоэлектростатики

3.2.4 Решения, регулярные в центре диона

3.2.5 Численный анализ модели с Л = 0 М =

3.2.6 К вопросу о голых сингулярностях и гипотезе космической цензуры

3.3 Космологический горизонт как структурообразующий фактор при формировании аксионно-электрических полей в окрестности дионов 58 3.3.1 Распределение аксионного и электрического полей поля в

окрестности складок

4 Равновесные конфигурации аксионно-активной плазмы в магнитосфере диона

4.1 Кинетическое описание равновесной релятивистской аксионно

активной плазмы

4.1.1 Кинетические уравнения

4.1.2 Модифицированная сила Лоренца

4.1.3 Интегралы столкновений и равновесное состояние

4.1.4 Лагранжев формализм и теория плазмы

4.2 Ключевые уравнения аксионной электростатики

4.2.1 Уравнения аксионной электростатики для релятивистской больцмановской плазмы

4.2.2 Уравнения аксионной электростатики для релятивистского вырожденного электронного газа

4.2.3 Ключевое уравнение для псевдоскалярного (аксионного) поля

4.2.4 Две специальные версии ключевого электростатического уравнения для больцмановской плазмы

4.2.5 Эталонная модель

4.3 Поляризация и стратификация аксионно-активной плазмы

4.3.1 Релятивистская больцмановская электронно-ионная плазма

4.3.2 Релятивистская больцмановская электрон-позитронная плазма

4.3.3 Вырожденная электронная плазма

4.4 Промежуточные итоги

5 Аксионная магнитоэлектростатика звезд с сильными магнитными полями, обладающими мультимоментной структурой

5.1 Аксионно-активные объекты, обладающие магнитным полем с ненулевой дипольной компонентой

5.1.1 Ключевые уравнения модели

5.1.2 Мультипольное разложение компонент 4-потенциала электромагнитного поля и псевдоскалярного поля

5.1.3 Схема вычисления вспомогательных коэффициентов

5.1.4 Пяти-моментная модель

5.2 Результаты анализа пяти-моментной модели

5.2.1 Взаимодействие дипольных компонент аксионного, магни-тостатического и электростатического полей

5.2.2 Замечания о мультиполях высших порядков

5.3 Обсуждение сценариев физической реализации формирования муль-типольных моментов

6 Заключение

7 Список литературы

1 Введение

1.1 К истории вопроса

Термин аксионная темная материя отражает в себе синтез двух идей современной науки, первая из которых возникла в астрофизике и космологии, а вторая - в физике частиц высоких энергий. Темная материя, не обладающая электрическим зарядом, а потому не испускающая, не поглощающая и не рассеивающая электромагнитное излучение, является одним из ключевых элементов структуры Вселенной; по общепринятым оценкам её общая энергия составляет 23-26% от полной энергии, заключенной в нашей Вселенной. Плотность распределения темной материи достаточно хорошо изучена косвенными методами [1]-[3]; в основу анализа положен наблюдаемый эффект гравитационного линзи-рованием квазаров, данные о котором подвергаются компьютерной реконструкции. Другими словами, создание карт распределения темной материи основано в настоящее время на использовании особенностей структуры гравитационного поля, создаваемого массивной темной материей. Структура темной материи до сих пор не установлена, однако существует несколько гипотез на этот счет. Одной из наиболее популярных является гипотеза о том, что вся темная материя или по крайней мере её заметная часть состоит из аксионов - гипотетических слабовзаимодействующих массивных псевдо-голдстоуновских бозонов. Их существование было предсказано Роберто Печчеи и Хелен Квинн [4] для объяснения гипотезы сохранения СР-инвариантности в сильных взаимодействиях. Легкие массивные бозоны, названные впоследствии аксиомами, были детально описаны и введены в физику частиц высоких энергий Фрэнком Вильчеком [5] и Стивеном Вайнбергом [6]. Альтернативным моделям темной материи посвящены многочисленные обзоры (например, см. [7]), однако, в рамках данной работы мы придерживаемся аксионной модели темной материи. Сами аксионы не обладают электрическим зарядом, однако, квантовая электродинамика предсказывает существование специфических аксион-фотонных взаимодействий, отражающих псевдоскалярную природу этих частиц. На уровне классического

описания это впервые заметил Вай-Ту Ни [8], который представил модель взаимодействия псевдоскалярного и электромагнитного полей. В результате дискуссий об аксионах в 1977-1978 годах в науке сформировалось новое направление, которое с легкой руки Пьера Сикиви [9] стало называться аксионной электродинамикой. В этой науке зафиксировано немало теоретических достижений, они подробно описаны в обзорах (см., например, [10]-[16]). Глубокому осмыслению базовых принципов аксионной электродинамики способствовала серия работа Фридриха Хеля и Юрия Обухова [17]-[21]. Что же касается экспериментальных исследований по детектированию реликтовых и солнечных аксионов, несколько экспериментальных групп публикуют весьма оптимистические прогнозы о скором открытии аксионов (см. [22]-[25]). Недавно опубликован доклад экспериментальной группы XENON IT [26], в котором утверждается, что с точностью до 3а имеется результат об обнаружении солнечных аксионов. Если точность 5а, требуемая для признания открытия, будет достигнута, то в ближайшее время наука окажется на грани революционного открытия, вполне сопоставимого по значимости с открытием бозона Хиггса.

Термин аксионно-активные применим к физическим системам, в которых аксионное поле способно вызвать изменение внутреннего состояния, сформировать новые структуры или индуцировать динамический отклик. В известной степени этот термин является аналогичным термину магпито-активпая система, который пришел из теории плазмы. Наиболее известный пример аксионной активности даёт электродинамическая система: аксионное поле, взаимодействуя с магнитным полем, способно породить электрическое поле, параллельное магнитному. В задачах магнитостатики появление аксионно-индуцированной электрической компоненты логично связывать с образованием новой структуры; при исследовании электромагнитных волн такой эффект логично связать с динамическим откликом. Однако, как следует из аксионной электродинамики, аксионное поле индуцирует изменение состояния электродинамической системы тогда и только тогда, когда 4-градиент псевдоскалярного поля ф, ассоциируемого с аксионами, отличен от нуля, Vkф = 0. По существующей классификации

имеется три типа аксиоппых полей, способных активно вмешиваться в функционирование электродинамической системы. Для первого типа вектор 4-градиента времениподобен, то есть, его скалярный квадрат положителен, Vkф > 0. Модели такого типа широко применяются в космологии, (см., например, [27]), в них предполагается, что реликтовое аксионное поле в расширяющейся Вселенной зависит только от времени (ф(£) = 0). Для моделей с плосковолновыми полями, в которых предполагается, что все поля зависят только от запаздывающего времени щ и ф'(и) = 0, скалярный квадрат 4-градиента равен нулю VкфVkф = 0. Эта модель широко используется для анализа гравитационно-волновых явлений [28]. Последний случай, когда 4-вектор градиента простран-ственноподобен, то есть, VkфVkф < 0, имеет прямое отношение к статическим задачам, в частности, к сферически симметричным моделям сф'(т) = 0, где r-это радиальная переменная. Таким образом, статическое пространственно однородное, изотропное распределение аксионной темной материи было бы скрытым, ненаблюдаемым, однако, если 4-градиент псевдоскалярного (аксионного) поля отличен от нуля, электродинамическая система в аксионном окружении неминуемо становится аксионно-активной.

Начиная с 2010 года, аксионная тематика стала активно развиваться в Казанском университете, и в настоящее время она заложена в программу развития теоретических исследований НИЛ «Космология» CAE «Астровызов». К достижениям Казанской научной группы можно отнести работы по космической аксионной электродинамике с приложениями к космологии [29]-[38], теории гравитационных волн [39]-[45], астрофизике [46] и аксионной электродинамике земной ионосферы [47]-[48].

Представленная диссертационная работа посвящена изучению аксион -фотонного взаимодействия в статических сферически симметричных моделях астрофизического типа и является естественным продолжением работ казанской группы. В данной работе все внимание сосредоточено на статических моделях астрофизических объектов, обладающих сильным гравитационным полем, сильным магнитным полем и окруженных гало из аксионной темной мате-

рии. Благодаря наличию массы у аксионов, темная материя неоднородно распределена в окрестности объектов с сильным гравитационным полем; в этом смысле аксионное поле активировано и способно индуцировать дополнительное электрическое поле при взаимодействии с магнитным. Одной из самых известных статических моделей аксионно-активной системы является аксионный дион. Впервые термин дион появился в работе Джулиана Швингера [49] для обозначения гипотетической частицы, обладающей двумя зарядами: электрическим и магнитным. Мы применяем термин аксионный дион к макроскопическому объекту - дираковскому магнитному монополю, окруженному аксионный облаком. Впервые такой объект был описан Френком Вильчеком [50]; на основании аксионной электродинамики автор этой знаменитой работы доказал, что магнитный монополь воспринимается удаленным наблюдателем как электрически заряженный объект, если вокруг монополя имеется аксионная оболочка. Из симметрии задачи следовало, что такая модель характеризуется наличием исключительно монопольных компонент электрического, аксионного и магнитного полей; модель оказалась самосогласованной в том смысле, что компоненты электрического и магнитного полей более высокого порядка не появляются. В течение 33 лет после публикации данной работы модель аксионного диона утвердилась как уникальная теоретическая модель для поиска нестандартных последствий аксион-фотонных взаимодействий в сильном гравитационном поле. Этому, в частности, способствовала работа Кимьёнга Ли и Эрика Вайнберга [51].

1.2 Цели и задачи работы, актуальность проблемы, новизна

результатов

Цель и задачи работы

Цель работы - в рамках аксионного расширения теории Эйнштейна -Максвелла исследовать серию ковариантных моделей, описывающих распределение статических магнитного, электрического и аксионного полей в окрестности компактных релятивистских объектов с сильным гравитационным полем. Для достижения цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1) построить самосогласованную модель равновесного распределения ак-сионной темной материи в гравитационно-магнито-электрическом поле диона;

2) исследовать особенности структуры электрического и псевдоскалярного полей в окрестности аксионного диона с равновесным распределением темной материи в рамках минимальной и неминимальной моделей с нулевой и ненулевой космологической постоянной;

3) исследовать структуру равновесных конфигураций аксионно-активной многокомпонентной релятивистской плазмы в магнитосфере аксионного диона;

4) исследовать модель трансформации дипольных структур в магнитных звездах, окруженных аксионной темной материей, - в конфигурации с магнитным, электрическим и аксионным полями, обладающими квадрупольным, ок-тупольным и другими мультимольными моментами.

Актуальность темы исследования

Первый аспект актуальности представленной работы становится очевидным, как только речь заходит о процедуре идентификации частиц, составляющих космическую темную материю. Магия цифр (26% от полной энергии Вселенной) приводит к тому, что проблема раскрытия природы темной материи неминуемо причисляется к одной из важнейших задач астрофизики и космологии. Понятно, что если гипотеза об аксионной природе темной материи справедлива, то открытие аксионов как микрочастиц дает ключ к пониманию структуры Вселенной.

и

Второй аспект актуальности представленного исследования связан с тем, что рассматриваются астрофизические системы с сильными гравитационными и магнитными полями, которые не могут быть достигнуты в земных условиях. Современные ограничения на константу аксион-фотонного взаимодействия $^77 < 1.47 • 10-10СеУ-1 [52] говорят о том, что обнаружение акси-онов в процессе регистрации аксионно-индуцированного электрического поля, возникшего в результате деформации сверхсильного магнитного поля может оказаться самым перспективным способом среди косвенных методов решения проблемы распознавания структуры темной материи.

Третий аспект актуальности связан с тем обстоятельством, что исследования аксионных дионов с их нетривиальной магнито-электрической структурой предсказывают возможность наблюдения неких новых последствий аксион-фотонных взаимодействий, что является дополнительным стимулом к развитию и консолидации современных методов в спектроскопии звездных систем.

Новизна результатов исследования

1) Впервые теоретически исследован эффект Росселанда-Пеннекока в релятивистской аксионно-активной плазме; проанализирована возможность поляризации и стратификации аксионно-активной плазмы в магнитосфере акси-онного диона.

2) Показано, что под влиянием аксионного окружения чисто дипольная магнитная структура сферически-симметричного объекта неминуемо трансформируется в магнито-электрическую систему с квадрупольным, октупольным и другими высшими моментами и несферическим гало аксионной темной материи.

3) Впервые показано, что существуют конфигурации неминимально связанных аксионного, электрического и гравитационного полей, которые регулярны в центре диона.

4) Впервые исследованы двухуровневые профили распределения равновесной аксионной темной материи в окрестности дионов.

5) Продемонстрировано, что наличие ненулевой космологической посто-

янной способствует образованию специфических структур-складок в профилях распределения электрического и аксионного полей в окрестности аксионного диона.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет теоретический характер. Рассмотренные в ней модели взаимодействия электромагнитного, псевдоскалярного (аксионного) и гравитационного полей могут иметь практические применения при интерпретации астрофизических наблюдений, направленных на поиски частиц, составляющих темную материю.

Методы исследования

В работе использованы классические методы теории поля, ковариантной электродинамики, релятивистской физики плазмы и теории гравитации.

Достоверность результатов

Достоверность результатов следует из того, что они получены в результате анализа точных решений динамических уравнений в рамках теоретико-полевых моделей, соответствующих современным фундаментальным научным представлениям.

Положения, выносимые на защиту

1) Профиль электрического поля, формируемого в окрестности магнитного монополя, окруженного аксионной темной материей, не имеет монотонности, характерной для кулоновский структур, но обладает экстремумами, типичными для двойного электрического слоя Гельмгольца

2) Стратификация релятивистской аксионно-активной плазмы в окрестности диона является результатом взаимодействия аксионно-индуцированного электрического поля и модифицированного поля Росселанда-Пеннекока.

3) Под влиянием аксионной темной материи дипольная составляющая магнитного поля становится инициатором трансформации магнито - электрических структур в звездах с образованием высших мультипольных моментов магнитного, электрического и аксионного полей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Магнитоэлектростатика релятивистских аксионно-активных систем»

Апробация работы

Материалы диссертации обсуждались на Международных конференциях: The Modern Physics of Compact Stars and Relativistic Gravuty (2019, Yerevan, Armenia), XII Black Holes Workshop (2019, Guimaraes, Portugal), 3rd Symposium of the BRICS Association on Gravity, Astrophysics and Cosmology (2019, Kazan, Russia); на Российской гравитационной конференции с участием зарубежных ученых: RUSGRAV-XVI (2017, Калининград); на Международных Школах -семинарах "Петровские чтения"(2016, 2017, 2018, Казань).

Публикации

Основные результаты работы изложены в пяти статьях, опубликованных в международных рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки РФ [53],[54],[55],[56],[57]. По материалам диссертации также опубликованы 5 тезисов докладов на Российских и Международных конференциях.

Личный вклад дисссертанта

Автор диссертации выполнил расчетную часть работы, написал текст диссертации и принял участие в подготовке основных публикаций.

Объем и структура работы

Работа изложена на 134 страницах, содержит 22 рисунка; список литературы содержит 122 наименования.

2 Аксионное расширение теории Эйнштейна-Максвелла

2.1 Общий математический формализм

В данном разделе приводятся необходимые теоретические сведения, которые собраны автором из работ предшественников; эти сведения изложены в форме, удобной для дальнейшего анализа.

2.1.1 Функционал действия

Полный функционал действия, на котором построена работа, можно представить как сумму трёх слагаемых:

S = S(EMA) + S(matter) + S(NM) . (1)

Первое слагаемое функционала действия

Я(ЕМА) = / - ) +1 Гтп (Гтп+ФЩ} (2)

является классическим в минимальной теории аксион-фотон-гравитонных взаимодействий. Более распространенной версией является функционал действия, отличающегося знаком от (2), однако, данная версия также непротиворечива с точки зрения получаемых эволкжионных уравнений. В этом выражении д -это определитель метрического тензора, Я - скаляр Риччи, Л - космологическая постоянная. Символ к = 8Пг означает постоянную Эйнштейна; поскольку везде в дальнейшем используется система единиц, в которой гравитационная постоянная, постоянная Планка и скорость света в вакууме полагаются равными единице, О =1,^=1и с = 1, получаем к = 8п Тензор Максвелла Гтп определяется стандартным выражением:

Гтп = ^ тАп ^ пАт ч (3)

где Ат - 4-вектор потенциала электромагнитного поля, а Ут - ковариант-ная производная, согласованная с метрикой. Тензор Г*тп, дуальный к тензору Максвелла, определяется соотношением Г*тп = 1 бтпр<?Гр(?, где етпрч =

—= Етпря - тензор Леви-Чевнта, а Етпрч - абсолютно антисимметричный символ Леви-Чивита, определённый условием Е0123=1 Согласно определению (3), дивергенция дуального тензора Максвелла тождественно равна нулю

ук^*гк = 0 . (4)

Символом ф обозначается эффективное безразмерное псевдоскалярное (аксион-ное) поле. Макроскопическое аксионное поле Ф пропорционально данной безразмерной величине: Ф=Ф0ф. При этом, параметр Ф0 есть величина, обратная константе аксион-фотонного взаимодействия — = gA77- Слагаемое 1 фГ^Гmn может быть переписано в виде 4#(д77)ФГ^пГтп. Обратим внимание на то, что в принятой системе единиц величина Ф0 оказывается безразмерной. Символом V обозначен потенциал псевдоскалярного (аксионного) поля; он является чётной функцией ф.

Второе слагаемое функционала действия

S(matter) =J d^X-gL(matter) (5)

строится с помощью Лагранжиана L(matter), описывающего релятивистские заряженные частицы, образующие плазменные конфигурации в окрестности ди-онов, и барионную материю, формирующую плотную составляющую этих астрофизических объектов.

Третье слагаемое функционала действия

^ _(1 1

S(NM) = J d x\f~g \ 4R mnFikFmn + 4фХ(A)ПFikFmn +

+Ф2 [-^m:5VmфVnф+n(A)Rф2]} (6)

содержит три тензора неминимальной восприимчивости: Rlkmn^ X(Amn и ^(A)? которые определены соотношениями:

Rlkmn = qiRglkmn + q2Wkmn + q?Rlkmn , (7)

X(Amn = QiRglkmn + Q2^lkmn + Q?Rlkmn, (8)

^ = 1 ni (Fml Rni + FnlRml) + n2Rgmn + n?Rmn . (9)

Для удобства введены вспомогательные тензоры

дгктп = 1(дгтдкп-дтдкт), (10)

Шгкшп = \(Кгтдкп-КШдкт+Якпдгт-Ектдш) . Щ)

2

Все три тензора неминимальной восприимчивости содержат линейные комбинации тензоров Римана Ягктп и Риччи Ягт, а также скаляра Риччи Я; они обладают очевидной симметрией

Т~>гктп -т-уЫтп т~>ттк ^ гктп „ Ытп „ ,ттк <х\тп <х\пт (л

К = = К , Х(А) = Х(А) = Х(Л) , ^(Л) = ^(А.) . V12)

Кроме того, у тензорахг{Ат)п предполагается скрытая симметрия: леводуальный тензор совпадает с праводуальным *хг{А)п = Х*А)тп-

Три серии констант имеют статус параметров неминимального взаимодействия: это во-первых, параметры д1? д2 и д3? которые описывают взаимодействие фотонов с кривизной пространства-времени [58]; во-вторых, это параметры^, Яъ Я3-, которые вводят взаимодействие аксион-фотонной пары с кривизной [59]; в-третьих, это параметры пъ Ш, Пз-> П(А)? которые призваны описать взаимодействие аксионов с кривизной.

Применяя стандартную вариационную процедуру к полному функционалу действия, можно получить связанную систему уравнений электромагнитного, аксионного и гравитационного полей. Вывод этих уравнений не является задачей диссертационной работы, эти уравнения хорошо известны и приведены ниже в справочных целях.

2.1.2 Эволюционные уравнения электромагнитного поля в аксионно-активной среде

Вариация полного функционала действия по 4-вектору потенциала электромагнитного поля Аг даёт систему уравнений следующего вида:

Ук {^гк + ф^(гк +Пгктп^п+ФХ^п^п +

-1 1(ЯктУгФ - ЯгтУкф) УтФ]} = Р , (13)

где 4-вектор электрического тока Iг задан формальной вариационной производной

1 = — .

Если при решении данной системы уравнений искомыми величинами считаются компоненты тензора Максвелла, то к (13) необходимо добавить систему уравнений (4); если искомой величиной считается потенциал электромагнитного поля, то (4) удовлетворяется тождественно.

2.1.3 Эволюционные уравнения псевдоскалярного (аксионного) поля в электромагнитно - активной среде

Вариация полного функционала действия по псевдоскалярному полю ф даёт дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида:

1 ЛТ Г

Vт [(дтп + ^А)) Vnф] + 2-щ + П(А)Яф =

1 [ тп тр* , „ гкшп

rpmn тр* lkmn т^ тр* (л

4ф2 I Fmn + X(A) FlkГmn\ . \LO)

В правую часть уравнения (15) вынесена пара псевдоскалярных источников (первый из них минимальный, второй - неминимальный), которые формируются электромагнитным полем и квадратичны по тензору Максвелла.

2.1.4 Уравнения гравитационного поля

Уравнения гравитационного поля получаются при варьировании полного функционала действия по метрике пространства-времени и могут быть представлены в виде:

Rk -1 Rgk-Ag* = к + тГ>] . (16)

(matter)

одесь символом т^ обозначен тензор энергии-импульса материи, который может содержать вклады от нейтральных и электрически заряженных частиц, составляющих плазму; в общем виде этот тензор записывается с помощью вариационной производной

rxi(matter) __2 ^ Г /-т ] (ЛЧ\

Tlk = gjg^k IV -gL(matter)J . U'J

Тензор энергии-импульса аксионного поля имеет следующий вид:

т(А) _ ф2 1 г к _ фо

У г фУкФ - 2дгк (УпФУпФ - V)

а тензор электромагнитного поля представляется классическим выражением

Тгк — 1 дг к ГтпГ Рг-р^к • (19)

Самым громоздким образом выглядит тензор энергии-импульса, описывающий неминимальные взаимодействия в системе, он получен в работе [59], обозначен

ЛГ^М)

символом 1 гк и имеет следующий вид:

т(МЫ) _ т(ММЕМК^ММА) (Я 1 Я \ 0 1 г к _ 1 г к + Т г к - I Яг к - ^ Щг к) 0 •

В этой формуле скаляр в включает следующие конструкции:

0 = П(А)Ф2+2Я1?тпРтп+2Я^пГтп+ (1 пз-пг) УтФУтФ , (20)

л^ШМЕМ)

тензор 1 гк не содержит аксионного поля:

т,(ГЕМ) — + ^ + , (21)

а весь вклад от аксионного поля сосредоточен в тензоре

ТГ4 _ Я1^> + ЯгТк2) + ЯзТ!> + тТ^ + тт1> + ПзТ^ + П(А)ТГ ■ (22)

В справочных целях мы приводим полный вид соответствующих тензоров:

Гк — -ЯГг тРкт + 2 [У гУк - дг к У1 У/] [^п^тп] , (23)

1(к2) _ -1 дгк [УтУ/ (Г^) - Я^™Г1

Г (Яг/Гкп + Як/Я ГгтГкп ^У Ут (Г,пГк )

1 — Г— /~ —1/п) , V7 /'г т?/п

+ 2У/ У [РкпР1п) + Ук (ГгпГЩ , (24)

1 3

т(з) _ 1 итп/з 77 г 3 77/в / т7 п о I 17 п и \ 1 г к _ 4 дг кЯ Г тпГ/в - 4Г (Гг Якп/в + Гк Ягп/в)

- 2УтУп [Г пГкт + Г^Г т] , (25)

тк1 = 2 [^к-дгкV1 VI] [ф^тп^тп] -1 дгкЩЕ*тПРтп , (26)

Тк = 2фР (КгтРкп + КктРгп) +

+ 1VI {V [ф 1п)\ +Vk [ф (^гп^+ /п)]}

-1 дгкVn Vm [ф (Рп1 Р* т + Р*п/Р^)] -1 VmVm [ф (РпР^ + Р^)] , (27)

Тгк3) = -1 Vm Vn [ф (Р+ Р^к)] + |фР* тп (Рг/Кктп+Рк1 К гтп) 1 (28) ~(4) — 1 ( Ы ) / Т?пт^ ЛЛ7.ЛЛ I 1 О1

ТГ = 2дгк [К-V1 Vn) (Рп^тф^1 ф) +2$пVIф (Р^кф+Р^ V¿ф) +

1

+ 4 V1 V/ [V тф (Рт^кф+Ртк ^ф)] +

+ 1V1 [V (FkmVmфVlф) +Vk (Рг mVmфVlф)] +

+ 4Vm V (РmnVkфVnф) +Vk (РmnViфVпф)] + + 1Ртп (ЯтVkф+Ккп V¿ф) VmФ+1 (КтРпк + КтРп) VmфVnФ , (29) Тк] = гф^кф + (дгкVnVn - V'¿Vк) [VmфVmф] , (30)

Т!6 = Vmф [КmVkф + КтV¿ф] - 1 КдгкVmфVmф+

1

+ 2дгкVmVn ^тфУ"ф] - Vm [VmФ (^кф)] . (31)

ТГ = (V¿ Vk - дгкVmVm) ф2. (32)

2.1.5 Иерархический подход к решению модельных уравнений

Как неоднократно отмечалось, тот факт, что полная энергия покоя тёмной материи во Вселенной (26%) примерно в шесть раз больше энергии покоя барионной материи (4%), следует аккуратно применять к решению астрофизических задач. Дело в том, что частицы тёмной материи в среднем равномерно распределены во всём объёме Вселенной, и их локальная плотность массы имеет порядок рвы ~ 10-28стт3■ Если же речь идет о распределении барионной материи, она распределена островным образом, и её локальная плотность достигает

значений р^ы ~ 1014сЩз в компактных плотных релятивистских объектах. Это позволяет нам непротиворечиво выстроить следующую иерархическую лестницу взаимодействий в аксионно-активной системе.

1. Считаем, что гравитационное поле в окрестности диона сформировано без участия аксионной тёмной материи; для нахождения решений уравнений гравитационного поля следует использовать модель с ф = 0.

2. Распределение псевдоскалярного (аксионного) поля и решения для электромагнитного поля рассматриваются на уже сформированном гравитационном фоне, однако, анализируются решения полной самосогласованной системы уравнений (13) и (15).

2.1.6 Структура фонового пространства-времени

Во всех разделах диссертационной работы рассматривается статическое, сферически симметричное пространство-время с метрикой

ds2 = N(r)dt2 — ^уdr2 — r2(dO2 + sin2 edtp2). (33)

Метрическая функция N(r) находится как решение совместной системы уравнений (13) и (16)-(32) при следующих трёх условиях: ф=0

б) q1 = — q < 0 q2 = 4q, q3 = — 6q (только один неминимальный параметр из первой серии остаётся произвольным, а остальные параметры неминимального взаимодействия остаются скрытыми (латентными));

в) электромагнитное поле имеет чисто монопольную структуру с единственной не равной нулю компонентой магнитного поля Fq^ = Q sin O, где Q - это магнитный заряд монополя.

Решения такого типа получено и исследовано в серии работ [60]—[65]; оно имеет вид

N (r) = 1 +

4

r

2M , Q2 Л 2

+----r

r r2 3

г4 + 2дЯ2

Из этой формулы легко получить известные частные точные решения. (г) При д _ 0 (34) переходит в решение Райсснера-Нордстрёма-де Ситтера.

(п) При д = 0 и Л = 0 (34) переходит в решение Райсснера-Нордстрёма. (ш) При д = 0 ^ = 0иЛ = 0 (34) переходит в решение Шварцшильда. (гу) При д = 0 М = 0 и Q = 0 мы получаем решение де Снттера. (и) При д = 0, и Q = 0 мы получаем решение Шварцшильда-де Спттера.

В центре объекта решение (34) регулярно, то есть, при г = 0 метрика и все инварианты кривизны принимают конечные значения

Это означает, что с неминимальным параметром д > 0 логично связать первый размерный параметр, определяющий шкалу расстояний в дионной системе: г^ш = \[д (его можно назвать радиусом неминимального взаимодействия).

при Л < 0 речь идет об асимптотически анти-де Ситтеровском пространстве; при Л = 0 пространство-время асимптотически плоское, и в этом смысле г л = го; наконец, п ри Л > 0 параметр г л определяет космологический горизонт событий.

С величинами гд = 2М и гд = связаны так называемые Шварцшиль-довский и Райсснер-Нордстрёмовский радиусы, соответственно. Как показано

Л > 0

как максимум, тремя горизонтами, один из которых является космологическим

Л < 0

радиусом г- и внешний с радиусом г+), либо один (при г- = г+), либо пет ни одного, если асимптотическая масса объекта М меньше некоторой критической массы Мс. При Л = 0 радиусы г+ и г- находятся явно:

Наконец, барионная материя формирует последний параметр с размерностью расстояния: го, - радиус диона как астрофизически значимого объекта; обычно его связывают с первым нулём макроскопического давления внутри объекта.

N(0) = 1, N'(0) = 0 , N"(0)

(35)

При г ^ го шкала расстояний предопределяется параметром г л

(36)

Щг) 321 О -1

Рис. 1: Илюстрации профилей метрической функции N (г) решения Райсснера-Нордстрёма. Сплошная линия соотвествует случаю М2 = О2 с одним горизонтом, пунктирная линия соответствует случаю М2 < О2 без горизонтов, штриховая линия соответствует случаю М2 > О2 с двумя горизонтами.

Итак, для максимального числа горизонтов мы получили пять параметров с размерностью расстояния и следующую систему неравенств для них:

0 < г^м << г- < г+ < г0 << гл < то. (37)

Если горизонтов нет, или они сливаются, то число разделительных элементов данной шкалы соответственно сокращается. Каждая из моделей, исследованных в диссертационной работ, ассоциирована с тем или иным интервалом данной шкалы, согласно физической постановке задачи; подчеркнём, что в целях полноты описания магнитоэлектростатики аксионных дионов работе использованы все интервалы этой шкалы. Если говорить более детально, то в Главах 4 и 5 мы ищем решения аксионной магнитоэлектростатики на интервале г0 < г < оо; в разделе 3.1 обсуждаются решения на интервале г+ < г < ос; в разделе 3.3 мы анализируем решения на интервале г+ < г < гл; в разделе 3.2 наше внимание приковано к ближней зоне 0 < г < ^м-

На Рис. 1 представлены иллюстрации профилей метрической функции N (г) решения Райсснера-Нордстрёма, соответствующие трем различным случаям наличия горизонтов.

2.2 Расширение математического формализма

В данном разделе приводятся новые (авторские) результаты, которые относятся к развитию математического формализма теории аксионно-активных систем.

2.2.1 Модифицированный периодический потенциал псевдоскалярного поля и понятие о равновесной конфигурации аксионного поля

В своих первых работах классики аксиоппой теории оперировали с полевой переменой 0, которая имела смысл угловой величины, и предполагалось, что Лагранжиан инвариантен относительно дискретного преобразования симметрии 0 ^ 0 + 2п. Для такого поля был введен удобный для работы периодический потенциал

V(0) = V0 (1 - cos 0) , (38)

который, очевидно, такой симметрией обладает. В дальнейшем переменная 0 была заменена на безразмерное отношение однако, предполагалось, что

вспомогательная величина Ф* является константой, связанной с вакуумным средним значением псевдоскалярного поля.

Мы вводим в рассмотрение модификацию этого периодического потенциала, которая имеет следующий вид:

V(ф t t ) ™АФ1 и _ __(2Пф

V (ф ,£(1), ..Ms)h

1 cos

2п2 - ~, ж , . (39)

где Ф * = Ф *(£(1), ) - это уже не константа, а функция от некоторого числа независимых скаляров £(а) (индекс (а) пробегает значения от (1) до (й)). Как и прежде, периодический потенциал обладает замечательным свойством: если ф = пФ*, где п - целое число, сам потенциал и его производная поф обращаются в нуль:

=0, (^J =0. (40)

'ЗУ\

|ф=пФФ

Очевидно, значения ф = пФ * соответствуют минимумам данного потенциала. Коэффициенты в выражении для периодической функции (39) подобраны так, чтобы при малых отклонениях от точек минимума ф = пФ * (т.е., при

ф = пФ*+-ф и |-ф| << 1 ) значение потенциала V стремилось к известной квадратичной по ф конструкции тА'ф2, где - масса покоя аксиона.

Состояния аксиоппого поля, при которых выполняются условия (40) мы называем равновесными состояниями и используем для них символ ф(еч). Две очевидные аналогии позволяют нам использовать этот термин. Во-первых, это аналогия с механическими системами, равновесное состояние которых может быть достигнуто при минимуме соответствующего потенциала. Во-вторых, существует некая аналогия с локальным статистическим равновесием в кинетических системах. Действительно, согласно известной Н - теореме Больцмана производство энтропии задаётся статистическим средним от функцииН(Х) = (X — 1)1пХ, которая неотрицательна для любых X (энтропия в столкновитель-ной системе не может убывать). Равновесие наступает при X = 1, когда сама функция Н(Х) и её первая производная обращаются в нуль, гарантируя, что производство энтропии принимает наименьшее (нулевое) значение, а интеграл столкновений Больцмана обращается в ноль, предопределяя структуру равновесной функции распределения.

Откуда в теории аксионно-активных систем появляются управляющие скаляры £(!), ...£(5), па которых построена функция Ф* = Ф*(£(1), ...£(в))? Они возникли естественным образом в теории динамического эфира как инварианты, построенные на разложении ковариантной производной скорости движения эфира ([66]-[68]), однако, в нашей работе динамический эфир отсутствует, и потребовались новые идеи. Мы связали эти инварианты с векторами Киллинга и с конформными векторами Киллинга.

2.2.2 Расширение математического формализма теории аксионно-активных систем, основанное на использовании векторных полей Киллинга

Для того, чтобы обосновать предложенные модификации теории, мы используем прямую аналогию с теорией динамического эфира, которая основана на введении времениподобного динамического векторного поля и\ нормированного на единицу (д^игик = 1). В рамках модели динамического эфира в

потенциал V можно ввести четыре дополнительных скаляра, получающихся в результате разложения ковариантной производной VmUn [38]. Первым скаляром является дивергенция векторного поля (£(1) ^ в = Vтиm). Второй скаляр есть квадрат 4-вектора ускорения аг = икVkиг (£(2) ^ а2 = дгкагак). Третий скаляр - квадрат симметричного тензора сдвига аря (£(3) ^ а2 = агкагк),

четвертый - квадрат антисимметричного тензора вращения поля скорости шгк (£(4) ^ ш2 = шгк шгк). Скаляры, совпадающие с модул ем вектора и \ равны единице, и поэтому они не могут выступать в роли управляющей функции. Существуют три иллюстрации этой идеи. Первая из них связана с космологией Фридмана, для которой аг = 0 агк = 0 шгк = 0; и только скаляр в, пропорциональный функции Хаббла Н(£) (в = 3Н), является ненулевой управляющей функцией (см. [38, 44]). Вторая иллюстрация связана с плоско-волновыми пространствами, в которых существуют два ненулевыми скаляра: в и а2 [28, 45]. Третья иллюстрация встречается в модели Гёделя, в рамках которой ненулевой параметр ш2 может быть рассмотрен в качестве управляющей функции [68].

Если модель не включает динамическое поле и\ ассоциированное с динамическим эфиром, но обладает определёнными симметриями, которые описываются с помощью векторов Кил лиши и/или конформных векторов Киллинга £(а) (а = 1, 2,... 10), то мы предлагаем использовать новые скалярные величины двух типов. Во-первых, мы можем рассмотреть модули векторов Киллинга £(а) = у/ 1дтп£(а)£ (а) I (или их комбинации) как дополнительные аргументы расширенного аксионного потенциала. Это было невозможно в теории динамического эфира, поскольку модуль поля скорости иг был равен единице. Скалярные величины второго типа содержат ненулевые свертки производной Vm£n. Дивергенция Vm£т равна нулю для стандартных векторов Киллинга, удовлетворяющий уравнению Vm£n+Vn£m = 0, но для так называемых конформных векторов Киллинга, удовлетворяющих уравнению Vm£n+Vn£m = 2gmnVs£s, скаляр Vs£в отличен от нуля и может быть использован для моделирования. Если же мы имеем дело со стандартным вектором Киллинга, то в этом случае величина 1 [Vm£n—Vn£m] = Vm£n отлична от нуля, и ее квадрат может быть использован

по аналогии с квадратом тензора вращения ¡х>топ в теории динамического эфира.

Однако, главная трудность такого подхода связана с тем, как выполнить процедуру варьирования найденных скаляров по метрике пространства - времени при получении модифицированных уравнений гравитационного поля. Чтобы решить эту проблему, мы действуем по схеме прямых аналогий.

1) Функционал действия.

Действие для теории динамического эфира имеет следующий вид: _ 1

£(ЕА) = / д {Е + 2Л)+Л(итит — 1)+КаЬтпУаитУ6ип} , (41)

где иг - векторное поле, а КаЬтп - конституционный тензор Джекобсона:

КаЬтп=С1 даЬдтп+С2д атдЬп+С3дапд Ьт+С4иаи6дтп, (42)

который содержит четыре феноменологические константы С1, С2, С3 и С4. Скаляр Л является множителем Лагранжа; вариация действия по Л приводит к условию нормировки веторного поля дтпитип = 1.

В случае отсутствия векторного поля иг и наличия Киллинговского поля £г мы предлагаем рассмотреть функционал, подобный (41):

, 1

%к) = / д у- {(Я + 2Л)+

+Л

V(k £т) У(к £ т) — 4(УХ)2

+КаЬтпУа^тУ6^4 , (43)

где круглые скобки обозначают симметрирование V(г£m)—1 (Vг£m+Vm£г)^ и тензор КаЬтп

КаЬтп = К1даЬдтп + К2датдЬп + К3дапдЬт (44)

содержит только 3 феноменологические константы К1? К2 и К3 (мы предполагаем, что конституционный тензор содержит метрический тензор, но не включает в себя векторное поле Киллинга). Другими словами, мы рассматриваем векторное поле £г как динамическую величину, по аналогии с полем скоростей в теории динамического эфира.

2) Варьирование по X и уравнения Киллинга.

Вариация действия (43) по множителю Лагранжа Л приводит к следую-

щему уравнению:

V(k^(к£^ - п)2 = 0

которое может быть переписано в следующем виде:

^к £m) 1 д^и£ Г

V(k £ пь) -1 дк^3£ *

=0

(45)

(46)

Это уравнение обращается в тождество на решениях системы уравнений

Vk £m+Vm £к 2 gkmV п£ .

(47)

Это уравнение является уравнением, определяющим так называемые конформные векторы Киллинга в случае Vk£к = 0 и стандартные векторы Киллинга в случае Vk£к = 0. Вычисление дивергенции от левой и правой части (47) приво-

дит к уравнению

VmVm£k + Пщ£ = -2Vk(Уп£п) .

(48)

Кроме того, для стандартных векторов Киллинга (т.е., удовлетворяющих соотношению Vk£к = 0) можно использовать тензорные соотношения

VsVm£k + Rjskm£j 0 ,

как условие интегрируемости первого порядка уравнений Киллинга.

(49)

£г

иг

следующему уравнению

Va ¡К^^ь^} = ЛUj + C4UbVbUnVjип .

(50)

Отсюда, используя условие нормировки иmUm = 1, можно получить соотноше-

ние

Л = и„,Va \Кьи„1 - С4и^ьи„ иaVaUп

(51)

В случае расширенного формализма, который включает в себя поля Киллинга вариация действия (43) по £г приводит к системе уравнений

У« А

У(а£т) - 1 Уп£п + 2КаЬ^'пУь£4 = °. (52)

Принимая во внимание выражения (44), (47) и (48), можно привести это уравнение к соотношению

(К3-К1) я+ (К2+К3-2Кх) У,Ут£т = ° , (53)

которое не включает А. Уравнение (53) выполняется тождественно при условии

К2 = -1 Кх, Кз = Кх (54)

для произвольного конформного вектора Киллинга, удовлетворяющего условию Уп£п = В случае стандартного вектора Киллинга (Уп£п=°) параметр К2 остаётся произвольным.

4) Варьирование по метрике.

Векторное поле в теории динамического эфира вносит следующий вклад в тензор энергии-импульса:

Чи) 1

Т(и) = 2 $ «тУаит +

+

+Ут [и(г$к)т] -Ут -Ут [^(гк)^

+ С [(Ут^г)(Утик)-(Уг^тУк+

+С4(иаУаиг)(иьУ6ик), (55)

где

$«т = к«ЬтпУ6ип . (56)

Вводя подобные формулы в расширенную теорию, мы приходим к следующей

аналогии. Полагая, Кх = К3, К2 = — 2Кх, мы получаем однопараметрический

конституционный тензор

г^аЪтп у ( аЪ „тп , ^ап^Ът 1 ^ат^Ъп\ г <-74

К = К1 10 0 + 0 0 — 20 0 ) ,

а также величины, с ним ассоциированные

КаЬт^ь£п = 2К

У(а£т) - -да^п£

аЬтп

К Уа£тУЬ£п = 2К1

1

^ £ т)У(а£т)-П )

(58)

(59)

Это означает, что соответствующий член в действии (43) может быть переписан

в виде:

А*

V(a£т)У(а£т) - ^Уп£

А* = (А + 2К1)

(60)

Вариации действия (43) по метрическому тензору др< даёт вклад в тензор энергии-импульса системы, соответствующий векторному полю Киллинга:

Т(К) = —22/- {^-дА*даЬдтпх

V(a£m)-4 дат^з£в)

1

V(ь£n)-4 дъп^1 £1)

(61)

Используя (47) и (48), можно показать, что этот тензор равен нулю, Тр(<к) = 0. Это означает, что выбранная нами схема не вносит дополнительных поправок в уравнения гравитационного поля, связанных с наличием стандартных или конформных векторных полей Киллинга.

5) Функционал действия с расширенным потенциалом, зависящим от векторов Киллинга.

С учётом (60) минимальный функционал действия для аксионно - активных систем может быть переписан в виде:

5 = I <£х-=д |£(ша«ег) + 1 (д + 2Л) +

+ 2К ¥ А*а) 1

1

V(m£(a)n)V(m£¡гc!) - 4^п£па ^

+

+ 4 (Ртп+ФКп) Ртп - (VmфVmф-V)} ,

(62)

где а - номер вектора Киллинга, количество которых определяется симметрией пространства-времени. Варьирование этого действия по векторному полю £^а)

2

дает эволюционное уравнение для данного поля

Ук А^а)

^7(к£т) ^кт/^ ¿и \2 У( £(а) — ^0 (Уп£(а ^

дУ ) / дФЛ (Ж)

=—(Ш (д£

Для стандартных и конформных векторов Киллинга левая часть уравнения равняется нулю, как было показано выше. Если аксионное поле находится в равновесном состоянии, то величина также равняется равняется нулю (см.(39)).

В этом смысле, в нашей схеме расширения потенциала псевдоскалярного (ак-сионного) поля, зависящего от модулей векторов Киллинга, полевые уравнения для векторов £(а) совпадают с уравнениями для векторов Киллинга (47) в том случае, если аксионное поле находится в одном из равновесных состояний ±Ф:, ±2Ф:,..., ±пФ:,.... Кроме того, варьирование функционала (62) по метрическому тензору даёт дополнительное слагаемое в правой части уравнения (16), которое имеет вид

^=2*0 (дФ)? ^ (£,) • (*>

Оно описывает взаимодействие между аксиоппым полем и векторным полем Киллинга. С учётом (39) мы получаем

дУ 2 тАф . (2пф \

дф = ф У — тт • (65)

Таким образом, данный вклад в тензор энергии-импульса становится равным нулю, когда аксионное поле находится в равновесном состоянии, т.е. приф=пФ:. Уравнения гравитационного в этом случае не изменяются.

3 Структура псевдоскалярного и электрического полей в окрестности аксионных дионов

Термин дион появился в теоретической физике для обозначения гипотетической частицы, обладающей одновременно магнитным и электрическим зарядами [49]. Как показано Кириллом Бронниковым, такого рода структуры могут возникать и в нелинейных электродинамических теориях [69]. Термин ак-сионный дион был введен Фрэнком Вильчеком [50], и в понимании автора данной классической работы речь идет о магнитном монополе Дираковского типа, который окружён аксионной системой (тонкой аксионной оболочкой, облаком, конденсатом и т.д.). Дело в том, что в такой системе аксион-фотонные взаимодействия порождают индуцированное радиальное электрическое поле, так что удалённому наблюдателю аксионный монополь представляется электрически заряженной системой. Иными словами, магнитный заряд входит в систему как базовый элемент, а эффективный электрический заряд появляется как индуцированный элемент, и в этом смысле аксионный дион существенно отличается от обычного диона. Более того, аксионный дион - это не обязательно точечная частица, это скорее макроскопический материально - полевой объект; он может содержать барионную материю и иметь резкую пространственную границу; он может оказаться скрытым под горизонтом событий или, наконец, представлять собой точечный массивный объект с регулярными в центре гравитационным, аксионным и электрическим полями. С теоретической точки зрения модель аксионного диона является одной из простейших в классе моделей аксионно-активных систем; это делает данную модель своего рода «теоретической лабораторией» для изучения эффектов, индуцированных присутствием аксионов. В частности, радиальное электрическое поле, возникающее около магнитного монополя благодаря окружающему его гало из аксионной темной материи, могло бы служить маркером, который указывает на то, что темная материя состоит из аксионов, или, по крайней мере, содержит в себе аксионную фракцию. Обнаружение такого аксионно-индуцированного электрического поля явилось бы

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Грошев Дмитрий Евгеньевич, 2021 год

7 Список литературы

[1] Del Popolo A. Non-baryonic dark matter in cosmology / A. Del Popolo // International Journal of Modern Physics D. - 2014. - Vol. 23, no. 3. - P. 143005-1-143005-109.

[2] Khlopov M. Fundamentals of cosmic particle physics / M. Khlopov. -Cambridge: CISP-Springer, UK, 2012. - 432 p.

[3] Dark compact objects: An extensive overview / M. Deliyergiyev, A. Del Popolo, L. Tolos et al. // Physical Review D. - 2019. - Vol. 99, iss. 6. - P. 063015-1063015-17.

[4] Peccei R.D. CP conservation in the presence of instantons / R.D. Peccei, H.R. Quinn // Physical Review Letters. - 1977. - Vol. 38. - P. 1440-1443.

[5] Wilczek F. Problem of strong P and T invariance in the presence of instantons / F. Wilczek // Physical Review Letters. - 1978. - Vol. 40, iss. 5. - P. 279-282.

[6] Weinberg S. A new light boson? / S. Weinberg // Physical Review Letters. -1978. - Vol. 40, iss. 4. - P. 223-226.

[7] Bertone G. Particle dark matter: evidence, candidates and constraints / G. Bertone, D. Hooper, J. Silk // Physics Reports. - 2005. - Vol. 205, iss. 5-6. -P. 279-390.

[8] Ni W.-T. Equivalence principles and electromagnetism / W.-T. Ni // Physical Review Letters. - 1977. - Vol. 38. - P. 301-304.

[9] Sikivie P. Experimental Tests of the "Invisible" Axion / P. Sikivie // Physical Review D. - 1983. - Vol. 51, iss 16. - P. 1415-1417.

[10] Preskill J. Cosmology of the invisible axion / J. Preskill, M.B. Wise, F. Wilczek // Physics Letters B. - 1983. - Vol. 120, iss. 1-3. - P. 127-132.

[11] Raffelt G.G. Astrophysical methods to constrain axions and other novel particle phenomena / G.G. Raffelt // Physics Reports. - 1990. - Vol. 198, iss. 1-2. - P. 1-113.

[12] Turner M.S. Windows on the axion / M.S. Turner // Physics Reports. - 1990.

- Vol. 197, iss. 2. - P. 67-97.

[13] Axion searches in the past, at present, and in the near future / R. Battesti, B. Beitran, H. Davoudiasl et al. // Lecture Notes in Physics. - 2008. - Vol. 741.

- P. 199-237.

[14] Sikivie P. Axion Cosmology / P. Sikivie // Lecture Notes in Physics. - 2008.

- Vol. 741. - P. 51-71.

[15] Kawasaki M. Axions: Theory and Cosmological Role / M. Kawasaki, K. Nakayama // Annual Review Nuclear and Particle Science. - 2013. - Vol. 63. - P. 69-95.

[16] Ringwald A. Exploring the role of axions and other WISPs in the dark universe / A. Ringwald // Physics of the Dark Universe. - 2012. - Vol. 1. - P. 116-135.

[17] Hehl F.W. Linear media in classical electrodynamics and the Post constraint / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov // Physics Letters A. - 2005. - Vol. 334, iss. 4.

- P. 249-259.

[18] Obukhov Yu.N. Measuring a piecewise constant axion field in classical electrodynamics / Yu.N. Obukhov, F.W. Hehl // Physics Letters A. - 2005. -Vol. 341, iss. 5-6. - P. 357-365.

[19] Hehl F.W. Spacetime metric from local and linear electrodynamics: A new axiomatic scheme / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov // Lecture Notes in Physics.

- 2006. - Vol. 702. - P. 163-187.

[20] Hehl F.W. Light propagation in generally covariant electrodynamics and the Fresnel equation / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov, G.F. Rubilar // International Journal of Modern Physics A. - 2002. - Vol. 17, no. 20. - P. 2695-2700.

[21] Hehl F.W. Relativistic nature of a magnetoelectric modulus ofC^Oa-crystals: a new 4-dimensional pseudoscalar and its measurement / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov, J.-P. Rivera, H. Schmid // Physical Review A. - 2008. - Vol. 77, iss. 2. - P. 022106-1-022106-15.

[22] Karuza M. The CAST Experiment: Status Report / M. Karuza // 13th Patras Workshop on Axions, WIMPs and WISPs, AXION-WIMP 2017. -Thessaloniki, Greece. - 2017. - P. 39-42.

[23] The PVLAS experiment: a 25 year effort to measure vacuum magnetic birefringence //A. Ejlli, F. Delia Valle, U. Gastaldi et al. / Physics Reports. - 2020. - Vol. 871. - P. 1-74.

[24] Latest Results of the OSQAR Photon Regeneration Experiment for Axion-Like Particle Search / R. Ballou, G. Deferne, L. Duvillaret et al. // 10th Patras Workshop on Axions, WIMPs and WISPs, AXION-WIMP 2014. - Geneva, Switzerland. - 2014. - P. 125-130.

[25] Du N. Recent Results with the ADMX Experiment / N. Du //3rd Workshop on Microwave Cavities and Detectors for Axion Research. - Livermore, CA, USA. - 2019. - P. 17-22.

[26] Observation of Excess Electronic Recoil Events in XENON1T / E. Aprile, J. Aalbers, F. Agostini et al. // arXiv:2006.09721. - URL: https://arxiv.org/pdf/2006.09721.pdf (date of application: 30.06.2020).

[27] Marsh D.J.E. Axion cosmology / D.J.E. Marsh // Physics Reports. - 2016. -Vol. 643. - P. 1-79.

[28] Alpin T.Yu. Birefringence induced by pp-wave modes in an electromagnetically active dynamic aether / T.Yu. Alpin, A.B. Balakin // The European Physical Journal C. - 2017. - Vol.77, num 699. - P. 1-13.

[29] Balakin A.B. Extended axion electrodynamics: Optical activity induced by nonstationary dark matter / A.B. Balakin, N.O Tarasova // Gravitation and Cosmology. - 2012. - Vol. 18, num. 1. - P. 54-56.

[30] Balakin A.B. Gradient models of the axion-photon coupling / A.B. Balakin, V.V. Bochkarev, N.O. Tarasova // The European Physical Journal C. - 2012.

- Vol. 72. - P. 1895-1-1895-14.

[31] Balakin A.B. Electromagnetic waves in an axion-active relativistic plasma non-minimally coupled to gravity / A.B. Balakin, R.K. Muharlyamov, A.E. Zayats // The European Physical Journal C. - 2013. - Vol. 73. - P. 2647-1-2647-19.

[32] Balakin A.B. Non-minimal Einstein-Maxwell-Vlasov-axion model / A.B. Balakin, R.K. Muharlyamov, A.E. Zayats // Classical and Quantum Gravity.

- 2014. - Vol. 31. - P. 025005-1-025005-19.

[33] Balakin A.B. Axion-induced oscillations of cooperative electric field in a cosmic magneto-active plasma / A.B. Balakin, R.K. Muharlyamov, A.E. Zayats // The European Physical Journal D. - 2014. - Vol. 68. - P. 159-1-159-7.

[34] Balakin A.B. Spin-axion coupling / A.B. Balakin, V.A. Popov, // Physical Review D. - 2015. - Vol. 92. - P. 105025-1-105025-16.

[35] Popov V.A. Interaction of axions with relativistic spinning particles / V.A. Popov, A.B. Balakin // Journal of Physics: Conference Series. - 2016. - Vol 718, iss 4. - P. 042047-1-042947-5.

[36] Balakin A.B. Electrodynamics of a Cosmic Dark Fluid / A.B. Balakin // Symmetry. - 2016. - Vol. 8. - P. 56-1-56-48.

[37] Balakin A.B. Axionic extension of the Einstein-aether theory / A.B. Balakin // Physical Review D. - 2019. - Vol. 94, iss 2. - P. 024021-1-024021-15

[38] Balakin A.B. Axionic extension of the Einstein-aether theory: How does dynamic aether regulate the state of axionic dark matter? / A.B. Balakin,

A.F. Shakirzyanov // Physics of the Dark Universe. - 2019. - P. 100283-1100283-9.

[39] Balakin A.B. Non-minimal coupling of photons and axions / A.B. Balakin, W.-T. Ni // Classical and Quantum Gravity. - 2010. - Vol. 27, mum. 5. -055003.

[40] Ni W.-T. Pseudoscalar-photon interactions, axions, non-minimal extensions, and their empirical constraints from observations. / W.-T. Ni, A.B. Balakin, Hsien-Hao Mei // Proceedings of the Conference in Honour of Murray Gell-Mann's 80th birthday: Quantum mechanics, Elementary Particles, Quantum Cosmology and Complexity. - Singapore. - 2010. - P. 526-535.

[41] Balakin A.B. Extended axion electrodynamics, relic axions and dark matter fingerprints in the terrestrial electromagnetic field. / A.B. Balakin // Proceedings of 9th Patras Workshop on Axions, WIMPs and WISPs. - Mainz, Germany. - 2013. - P. 227-230.

[42] Balakin A.B. Anomalous character of the axion-photon coupling in a magnetic field distorted by a pp-wave gravitational background / A. B. Balakin, Wei-Tou Ni // Classical and Quantum Gravity. - 2014. - Vol. 31, num. 10. - P. 105002-1-105002-21.

[43] Balakin A.B. Extended axion electrodynamics: Anomalous dynamo-optical response induced by gravitational pp-waves / A.B. Balakin, T. Yu Alpin // Gravitation and Cosmology. - 2014. Vol 20, num. 3. - P. 152-156.

[44] Alpin T.Yu. The Einstein-Maxwell-aether-axion theory: Dynamo-optical anomaly in the electromagnetic response / T.Yu. Alpin, A.B. Balakin // International Journal of Modern Physics D. - 2016. - Vol. 25. - P. 1650048-11650048-23.

[45] Balakin A.B. The extended Einstein-Maxwell-aether-axion model: Exact solutions for axionically controlled pp-wave aether modes / A.B. Balakin // Modern Physics Letters A. - 2018. - Vol. 33, iss 9. - P. 1850050-1-1850050-14.

[46] Balakin A.B. Einstein-Maxwell-axion theory: Dyon solution with regular electric field / A.B. Balakin, A.E. Zayats // The European Physical Journal C _ 2017. - Vol. 77, num. 8. - P. 519-1-519-13.

[47] Balakin A.B. Axion electrodynamics and dark matter fingerprints in the terrestrial magnetic and electric fields / A.B. Balakin, L.V. Grunskaya // Reports on Mathematical Physics. - 2013. - Vol. 71, num. 1. - P. 45-67.

[48] Балакин A.B. Аксионная электродинамика земной атмосферы: поиск сигналов, индуцированных гравитационными волнами / A.B. Балакин // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2014. - Ном. 2. - С. 72-78.

[49] Schwinger J. A Magnetic Model of Matter / J. Schwinger // Science. - 1969. - Vol. 165, no 3895. - P. 757-761.

[50] Wilczek F. Two applications of axion electrodynamics / F. Wilczek // Physical Review Letters. - 1987. - Vol. 58. - P. 1799-1802.

[51] Lee K. Charged black holes with scalar hairs / K. Lee, E.J. Weinberg // Physical Review D. - 1991. - Vol. 44. - P. 3159-3163.

[52] Arik M. New solar axion search in CAST with 4He filling / M. Arik et al // Physical Review D. - 2015. - Vol. 92. - P. 021101-1-021101-6.

[53] Balakin A.B. Polarization and stratification of axionically active plasma in a dyon magnetosphere / A.B. Balakin, D.E. Groshev // Physical Review D. -2019. - Vol. 99, iss. 2. - P. 023006-1-023006-20.

[54] Balakin A.B. Magnetoelectrostatics of axionically active systems: Induced field restructuring in magnetic stars / A.B. Balakin, D.E. Groshev // Physical Review D. - 2020. - Vol. 101, iss. 2. - P. 023009-1-023009-12.

[55] Balakin A.B. New application of the Killing vector field formalism: modified periodic potential and two-level profiles of the axionic dark matter distribution / A.B. Balakin, D.E. Groshev // The European Physical Journal C. - Vol. 80, num. 145. - P. 1-12.

[56] Balakin A.B. Fingerprints of the Cosmological Constant: Folds in the Profiles of the Axionic Dark Matter Distribution in a Dyon Exterior / A.B. Balakin, D.E. Groshev // Symmetry. - 2020. - Vol. 12, iss. 3. - P. 455-462.

[57] Balakin A.B. Nonminimal dyons with regular gravitational, electric and axion fields / A.B. Balakin, D.E. Groshev // International Journal of Modern Physics D _ 2020. - Vol. 29, iss. 12. - P. 2050083-1-2050083-16.

[58] Balakin A.B. Non-minimal coupling for the gravitational and electromagnetic fields: A general system of equations /A.B. Balakin, J.P.S. Lemos // Classical and Quantum Gravity. - 2005. - Vol. 22. - P. 1867-1880.

[59] Balakin A.B. Non-minimal coupling of photons and axions / A.B. Balakin, Wei-Tou Ni // Classical and Quantum Gravity. - 2010. - Vol. 27, num. 5. -055003.

[60] Balakin A.B. Non-minimal Wu-Yang monopole / A.B. Balakin, A.E. Zayats // Physics Letters B. - 2007. - Vol. 644, iss. 5-6. - P.294-298.

[61] Balakin A.B. Non-minimal Einstein-Yang-Mills-Higgs theory: Associated, color and color-acoustic metrics for the Wu-Yang monopole model / A.B. Balakin, H. Dehnen, A.E. Zayats // Physical Review D. - 2007. - Vol. 93, iss. 8. - P. 124011-1-124011-14.

[62] Balakin A.B. Ray optics in the field of non-minimal Dirac monopole / A.B. Balakin, A.E. Zayats // Gravitation and Cosmology. - 2008. - Vol. 12. - P. 86-94.

[63] Balakin A.B. Nonminimal black holes with regular electric field / A.B. Balakin, A.E. Zayats // International Journal of Modern Physics D. - 2015. - Vol. 24, no_ 09. - P. 1542009-1-1542009-10.

[64] Balakin A.B. Magnetic black holes and monopoles in a nonminimal Einstein-Yang-Mills theory with a cosmological constant: Exact solutions / A.B. Balakin, J.P.S. Lemos and A.E. Zayats // Physical Review D. - 2016. - Vol. 93, iss. 8. - 084004-1-084004-20.

[65] Balakin A.B. Regular nonminimal magnetic black holes in spacetimes with a cosmological constant / A.B. Balakin, J.P.S. Lemos, A.E. Zayats // Physical Review D. - 2016. - Vol. 93, iss. 2. - P. 024008-1-024008-14.

[66] Jacobson Gravity with a dynamical preferred frame / T. Jacobson, D. Mattingly // Physical Review D. - 2001. - Vol. 64, iss. 2. - P. 024028-1024028-9

[67] Jacobson T. Einstein-aether gravity: a status report / T. Jacobson // Proceedings of Science. - 2007. - Vol. 20. - P. 1-18.

[68] Balakin A.B. Einstein-aether theory: Dynamics of relativistic particles with spin or polarization in a Godel-type universe / A.B. Balakin, V.A. Popov // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. - 2017. - Vol. 2017. - 025.

[69] Bronnikov K.A. Dyonic configurations in nonlinear electrodynamics coupled to general relativity / K.A. Bronnikov // Gravitation and Cosmology. - 2017. - Vol. 23, Iss. 4. - P. 343-348.

[70] Ince E.L. Ordinary differential equations / E.L. Ince - New York: Dover Publications, 1920. - 558 p.

[71] Poole E.G.C. Introduction to the theory of linear differential equations / E.G.C. Poole - Oxford: Clarendon Press, 1936. - 200p.

[72] Batic. D. The generalized Heun equation in QFT in curved spacetimes / D. Batic, H. Schmid, M. Winklmeier // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - Vol.25, num. 40. - P. 12559-12564.

[73] Sadeghi J. The Heun equation and generalized Sl(2) algebra / J.Sadeghi, A. Vaezi and F.Larijani // Journal of Mathematics and Computer Science. - 2016. - Vol. 6. - P. 77-80.

[74] Bardeen J.M. Non-singular general-relativistic gravitational collapse / J.M. Bardeen // 5th International Conference on Gravitation and the Theory of Relativity. - 1968. - Tbilisi, Georgia. P. 174.

[75] Ayon-Beato E. Regular Black Hole in General Relativity Coupled to Nonlinear Electrodynamics / E. Ayon-Beato, A. Garcia // Physical Review Letters. -1998. - Vol. 80, iss. 23. - P. 5056-5059.

[76] Ayon-Beato E. Four-parametric regular black hole solution / E. Ayon-Beato, A. Garcia // General Relativity and Gravitation. - 2005. - Vol. 37. - P. 635641.

[77] Bronnikov K.A. Regular magnetic black holes and monopoles from nonlinear electrodynamics / K.A. Bronnikov // Physical Review D. - 2001. - Vol. 63, iss. 4. - P. 044005-1-044005-5.

[78] Bronnikov K.A. Regular black holes and black universes / K.A. Bronnikov, H. Dehnen, V.N. Melnikov // General Relativity and Gravitation. - 2007. - Vol. 39. - P. 973-987.

[79] Bronnikov K.A. Regular Phantom Black Holes / K.A. Bronnikov, J.C. Fabris // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 96, iss. 25. - P. 251101-1-25101-4.

[80] Bronnikov K.A. Nonlinear Electrodynamics, regular black holes and wormholes / K.A. Bronnikov // International Journal of Modern Physics D. - 2018. - Vol. 27, no. 6. - P. 1841005-1-1841005-18.

[81] Dymnikova I. Spherically symmetric space-time with regular de Sitter center / I. Dymnikova // International Journal of Modern Physics D. - Vol. 12. iss. 06. - P. 1015-1034.

[82] Dymnikova I. Regular electrically charged structures in nonlinear electrodynamics coupled to general relativity / I. Dymnikova // Classical and Quantum Gravity. - Vol. 21. num. 18. - P. 4417-4429.

[83] Ansoldi S. Spherical black holes with regular center: A Review of existing models including a recent realization with Gaussian sources // arXiv:0802.0330. - URL: https://arxiv.org/pdf/0802.0330.pdf (date of application: 04.02.2008).

[84] Lemos J.P.S. Regular black holes: Electrically charged solutions, Reissner-Nordstrom outside a de Sitter core / J.P.S. Lemos, V.T. Zanchin // Physical Review D. - 2011. - Vol. 83, iss. 12. - P. 124005-1-124005-15.

[85] Uchikata N. New solutions of charged regular black holes and their stability / N. Uchikata, S. Yoshida, T. Futamase // Physical Review D. - 2012. - Vol. 86, iss. 8. - P. 084025-1-084025-11.

[86] Hayward S.A. Formation and evaporation of regular black holes / S.A. Hayward // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 96, iss. 3. - P. 031103-1031103-4.

[87] Frolov V.P. Notes on nonsingular models of black holes / V.P. Frolov // Physical Review D. - 2016. - Vol. 94, iss. 10. - P. 104056-1-104056-12.

[88] Kleihaus B. Stationary Dyonic Regular and Black Hole Solutions / B. Kleihaus, J. Kunz, F. Navarro-Lérida, U. Neemann // General Relativity and Gravitation. - Vol. 40. - P. 1279-1310.

[89] Horvat D. Regular and quasi black hole solutions for spherically symmetric charged dust distributions in the Einstein-Maxwell theory / D. Horvat, S.

Ilijic, and Z. Narancic // Classical and Quantum Gravity. - Vol. 22, num. 22.

- P. 3817-3832.

[90] Matyjasek J. Extremal limit of the regular charged black holes in nonlinear electrodynamics / J. Matyjasek // Physical Review D. - 2008. - Vol. 77, iss. 8. - P. 084013-1-084012-24.

[91] Burinskii A. New Type of Regular Black Holes and Particlelike Solutions from Nonlinear Electrodynamics / A. Burinskii, S.R. Hildebrandt // Physical Review D. - 2002. - Vol. 65, iss. 10. - P. 104017-1-104017-17.

[92] Balakin A.B. Non-minimal coupling for the gravitational and electromagnetic fields: black hole solutions and solitons / A.B. Balakin, V.V. Bochkarev, J.P.S. Lemos // Physical Review D. - 2008. - Vol. 77, iss. 8. - P. 084013-1-084012-24.

[93] Russel W.B. Colloidal dispersions / W.B. Russel, D.A. Saville, W.R. Schowalter. - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1989. - 525 p.

[94] Penrose R. Gravitational collapse: The role of general relativity / R. Penrose // Rivista del Nuovo Cimento. - 1969. - Num. 1. - P. 252-276.

[95] Shaikh R. Can we distinguish black holes from naked singularities by the images of their accretion disks? / R. Shaikh, P.S. Joshi, // Journal of Cosmology and Astropartical Physics. - 2019. - Vol. 2019. - P. 64-84.

[96] Distinguishing Kerr naked singularities and black holes using the spin precession of a test gyro in strong gravitational fields / C. Chakraborty, P. Kocherlakota, M. Patil et al. // Physical Review D. - 2017. - Vol. 95, iss. 8.

- P. 084024-1-084024-22.

[97] Ortiz N. Shadow of a naked singularity / N. Ortiz, O. Sarbach T, Zannias // Physical Review D. - 2015. - Vol. 92, iss. 4. - P. 044035-1-084035-23.

[98] Kovacz Z. Can accretion disk properties observationally distinguish black holes from naked singularities? / Kovacs Z, Harko T // Physical Review D. - 2010.

- Vol. 82, iss. 12. - P. 124047-1-124027-21.

[99] Balakin A.B. Non-minimal monopoles of the Dirac type as realization of the censorship conjecture / A.B. Balakin, H. Dehnen, A.E. Zayats // Physical Review D. - 2009. - Vol. 79, iss. 2. - P. 024007-1-024007-9.

[100] Drummond I.T. QED vacuum polarization in a background gravitational field and its effect on the velocity of photons / I.T. Drummond, S.J. Hathrell // Physical Review D. - 1980. - Vol. 22, iss. 2. - P. 343-394.

[101] Padmanabhan T. Cosmological constant^the weight of the vacuum / T. Padmanabhan // Physics Reports. - 2003. - Vol. 380, iss. 5-6. - P. 235-320.

[102] Nojiri S. Unifying inflation with ACDM epoch in modified f (R) gravity consistent with Solar System tests / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Physics Letters B. - 2007. - Vol. 657, iss. 4-5. - P. 238-245.

[103] Nojiri S. Unified cosmic history in modified gravity: From F(R) theory to Lorentz non-invariant models / S. Nojiri, S. D. Odintsov // Physics Reports. - 2011. - Vol. 505, iss. 2-4. - P. 59-144.

[104] de Groot S.R. Relativistic kinetic theory / S.R. de Groot, W.A. van Leeuven, Ch.G. van Weert. - Amsterdam: North-Holland, 1980. -394 p.

[105] Stewart J.M. Non-equilibrium Relativistic Kinetic Theory / J.M. Stewart. -Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971. - 113 p.

[106] Ehlers J. General Relativity and Kinetic Theory / J. Ehlers // Relativita Generale e Cosmologia / ed. by R. Sashs. - New York; London: 1971. - P. 1-70.

[107] Jackson J.D. Classical electrodynamics / J.D. Jackson. - New York: John Wiley and Sons, 1962. - 480 p.

[108] Hehl F.W. Foundations of Classical Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric / F.W. Hehl, Yu.N. Obukhov. - US, Boston: Birkhäuser, 2003. - 113 p.

[109] Bateman H. Higher Transcendental Functions / H. Bateman, A. Erdelyi - New York: McGraw-Hill, 1953. - Vol. 1-3.

[110] Pannekoek A. Ionization in stellar atmospheres / A.Pannekoek // Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands. - 1922. - Vol. 1. - P. 107-118.

[111] Rosseland S. Electrical state of a star / S.Rosseland // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1924. - Vol. 84. - P. 720-728.

[112] Игнатьев Ю.Г. Равновесие и стратификация плазмы в гравитационном поле / Ю.Г. Игнатьев, Г.Г. Иванов // Украинский Физический Журнал.

- 1978. - Т. 23. - С. 2044-2051.

[113] Игнатьев Ю.Г. Физические процессы на границе раздела плазмы в гравитационном поле / Ю.Г. Игнатьев // Украинский Физический Журнал. -1979. - Т. 24. - С. 646-653.

[114] Lemaire J.F. The Earth's plasmasphere / J.F. Lemaire, K.I. Gringauz, D.I Carpenter, V. Bassolo. - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1998.

- 372 p.

[115] Iosilevskiy I. Plasma polarization in high gravity astrophysical objects / I. Iosilevskiy // Contributions to Plasma Physics. - 2009. - Vol. 49, iss. 10. - P. 755-759.

[116] Recent progress in physics-based models of the plasmasphere / V. Pierrard, J. Goldstein, N. Andre et al. // Space Science Series. - 2009. - Vol. 145. - P. 193-229.

[117] Lemaire J. Half a Century of Kinetic Solar Wind Models / J. Lemaire // AIP Conference Proceedings. - Vol. 1216, iss. 1. P. 8-13.

[118] Turolla R. Magnetars: The physics behind observations / R. Turolla, S. Zane, A.L. Watts // Reports on Progress in Physics. - 2015. - Vol. 87, iss. 11. - P. 116901-1-116901-81.

[119] Weber F. Pulsars as Astrophysical Laboratories for Nuclear and Particle Physics / F. Weber. - London: IOP Publishing, 1999. - 696 p.

[120] Thorman A. Polarization of the Balmer-a emission in crossed electric and magnetic fields / A. Thorman // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. - 2018. - Vol.207.-P. 8-15.

[121] van Sanders J.L. Weakened magnetic braking as the origin of anomalously rapid rotation in old field stars / J.L. van Sanders, T. Ceillier, T. S. Metcalfe // Narure. - 2016. - Vol. 529. - P. 181-184.

[122] Hobson E.W. The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics / E.W. Hobson. - Cambridge, England: Cambridge University Press, 1931. - 500 p.