Численное моделирование нелинейных спиновых волн в графеновых структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ле Ань Ньат

• Ле Ань Ньат
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Ань Ньат

Введение

Глава 1. Предлагаемая модель

1.1. Описание модели

1.2. Используемая модель

1.3. Адаптация используемой модели

1.4. Предварительное численное моделирование

1.5. Модель динамики

1.6. Заключение

Глава 2. Несколько подходов к численному решению задачи динамики36

2.1. Метод Ритца и метод Галеркина

2.2. Численная реализация

2.3. Псевдоспектральный метод

2.4. Псевдоспектральный метод для модели динамики

2.5. Заключение

Глава 3. Модель нелинейных спиновых волн в графеновых структурах

3.1. Предпосылки построения модели графенового ферромагнетизма

3.2. Модель взаимодействия

3.3. Численные расчеты для модели нелинейных спиновых волн в графене72

3.4. Численное моделирование для уравнения Шредингера для графеновых структур

3.5. Заключение

Заключение

Приложение A. Программа численного моделирования для уравнения Шредингера с потенциалом в графеновых структурах

A.1. Функция «cheb(n)»

A.2. Функция U

A.3. Процедура рисования U

A.4. Модели А

A.5. Модели B

Приложение B. Программы численного моделирования для аппроксимации потенциальной энергии бризера

B.1. Функция UM

B.2. Функция UPT

B.3. Процедура рисования U

B.4. Собственная функция M

B.5. Собственная функция РТ

Список иллюстраций

Список таблиц

Список литературы

Введение

Квантовая модель поля для графенового магнетизма. Графен представляет со-бои чистым углеродный слои в виде гексагональной решетки с длинои связи углерод-углерод около 0,142 нанометра. Графен - один из самых замечательных материалов, когда-либо обнаруженных и самых изученных. В нем есть ряд уникальных особенностеи, которые привлекли внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Исследование его свойств привело к прорывам не только с точки зрения фундаментальных исследований, но и с точки зрения прикладной науки. Теоретически предполагаемый давно, он был впервые изучен П. Р. Уоллесом в 1947 г [77]. В 2004 г. К. С. Новоселов и А. Гейм описали монокристаллические графитовые пленки, монокристаллические графитовые пленки как малой толщины в своей статье, опубликованной в журнале Science [50]. А к 2005 году исследователям удалось выделить листы графена.

Свойства графена включают выдающуюся механическую прочность, будучи на порядки прочнее стали; высокая электропроводность и теплопроводность, несмотря на отсутствие поверхности Ферми; конечное удельное сопротивление даже без примесей, несмотря на отсутствие зазора; и релятивистское дисперсионное соотношение для активных электронов, их кинематика описывается уравнением Дирака, уравнением Шредингера и другими [19—21; 27; 50; 55; 60; 82; 97].

Одна из текущих задач теории состоит в том, чтобы построить относительно простые нелинейные модели для качественной оценки явлений, упомянутых

выше, которые учитывали бы электрон-электронные взаимодействия в графе-новых структурах и подходили бы для практических приложений. Отметим, что упрощенные модели, основанные на нелинейном уравнении Шредингера, применялись для анализа сверхпроводимости или конденсации Бозе-Эйнштейна в форме уравнения Ландау-Гинзбурга или Гросса-Питаевского соответственно. Модель Дирака для квазичастиц в графене была полностью разработана примерно в 1984 году [53].

Магнетизм в углеродных структурах. Основы магнетизма настаивают на том, что магнитный порядок в твердых телах ниже критической температуры, такой как ферромагнетизм, характеризуется микроскопическим расположением магнитных моментов атомов. Мы знаем, что в структурах на основе углерода наблюдаются различные магнитные явления, в частности диамагнетизм, парамагнетизм и ферромагнетизм, наблюдаемые в графите. Например, магнит в материалах с 3d или 4/ электронами допустим. Однако при температурах Т < 20К некоторые органические молекулы с неспаренными ^-электронами демонстрируют магнитный порядок, но не имеют металлических ионов [76]. Кроме того, при температурах выше комнатной, существование магнитного порядка в системах с единственными в, р-электронами не имеет никакого закона физики. [19].

Недавно углеродные структуры были в основном признаны диамагнитными, и любой след ферромагнетизма объяснялся дефектами однородности: примесями, влиянием границы или точечным дефектам. В то же время некоторые недавно опубликованные результаты показывают, что исследователи находятся в начале нашего понимания магнетизма в материалах на основе углерода. В недавнем

обзоре [38] о магнетизме в углеродных материалах собрана большая часть старых работ, а также список последних ссылок на органические магниты.

Эсквинази сказал, что при комнатной температуре возможность имеет магнитный порядок в системе без обычных трехмерных металлических магнитных элементов. И это считается интересом к твердотельным сообществам физики [18]. В статьях [17], Эскинази указал на существование магнитного порядка в некоторых образцах на основе углерода. И многие исследователи считают, что структура графита с дефектами и / или водородом представляется одним из самых многообещающих кандидатов для обнаружения этого явления [35; 56; 83]. Но трудности с воспроизведением этих результатов и неясная роль примесей ставят под сомнение его существование. Несмотря на то, что современная методика позволяет производить измерения с достаточно высокой точностью, исследования в этой области магнетизма остаются довольно сложными.

Двадцать лет назад было опубликовано первое исследование влияния протонного облучения на магнитные свойства высоко-ориентированного пиролитического графита (ВОПГ) [21]. После этого экспериментального исследования теоретические оценки магнитных моментов на дефектах решетки, вызванных облучением, были опубликованы в [37]. Облучения является идеальным методом для исследование на наличие дефектов в структуре графита и любого возможного магнитного порядка в угле. Это позволяет количественно оценить плотность образовавшихся дефектов в структуре графита. Но даже здесь воспроизводимость вышеупомянутых эффектов независимых групп ещё не является удовлетворительной. Тем

не менее, Эсквинази облучил все доступные данные (а также некоторые первичные) при комнатной температуре и указал, что графит может демонстрировать магнитный порядок [18].

Также ферромагнетизм был вызван фото-ассистированным окислением, которое сохраняется до ТС ^ 800К. Эти результаты были подтверждены другой группой [39]. Кроме того, ферромагнитное упорядочение было обнаружено в гид-рофуллерите С60Н24 с ТС > 300К [3]. Во всех цитируемых сообщениях общая концентрация магнитных примесей представляется слишком низкой, чтобы вызвать наблюдаемую намагниченность. Некоторые другие дополнительные особенности не указывают на магнетизм мелких частиц, поведение, подобное тому, которое наблюдается в различных магнитных структурах на основе углерода, включая ВОПГ [19].

Измерения с помощью магнитно-силовой микроскопии, проведенные в двух полимеризованных фуллеренах, могут разрешить чётко определённые магнитные домены и эти исследования также показали, что общий размер магнитных областей составляет около 30% от общей площади образца [29]. Этот результат говорит о неоднородном характере ферромагнетизма в полимеризованном фуллерене [7]. Новые теоретические и экспериментальные работы [13] предполагают, что водород может играть важную роль в магнитном упорядочении, обнаруженном в фуллеренах.

Магнетизм графена может играть важную роль в магнитном упорядочении фуллеренов. Тем не менее, необходимы дополнительные доказательства, подтверждающие независимую от магнитных примесей упорядоченность. Вследствие

широкого спектра методов исследования магнетизма и подготовки образцов, на источник магнитного упорядочения можно предположить следующее:

- атомы водорода, имплантированные облучением, а также те, которые уже находятся в образце;

- дефекты решетки, возникающие при облучении, и их возможное влияние в качестве центров ^-захвата;

- магнитные примеси в графите, а также в неупорядоченных углеродных структурах.

Согласно теоретической работе, максимальная намагниченность насыщения в углеродных структурах может быть в три раза больше, чем у чистого Ре (диапазона температур Кюри) [52]).

Магнетизм графеновых наноструктур. По мнению большинства, если не всех, исследователей источником магнитной упорядоченности в углеродных структурах, включая углеродные наноструктуры, являются нарушения регулярной решетки кристаллической структуры углеродного аллотропа. Источником же этих нарушений большинство исследователей видят в дефектах, примесях и дислокациях, вызванных сторонними причинами. Мы более подробно представим нарушения регулярности кристаллической решетки углеродной структуры и внутренние причины.

Мы знаем, что графен может быть исходной формой для многих углеродных структур, таких как вышеупомянутый графит, углеродных нанотрубок (которые можно рассматривать как свернутые листы графена, сформированные в трубки) и фуллеренов / бакиболов (сферические структуры с клеткой -подобная структура из графена только с заменой некоторых шестиугольных колец на пятиугольные

а. Графен 6. Углеродная нанотрубка Б фулперен

Рис. 1. Формы графеновых структур

кольца) (см. Рис. 1). В графене каждый атом углерода ковалентно связан с тремя другими атомами углерода (у них также есть способность связываться с четвертым атомом). Благодаря прочности ковалентных связей между атомами углерода графен может похвастаться высокой стабильностью и очень высоким пределом прочности. Поскольку графен плоский, каждый атом находится на поверхности и доступен с обеих сторон, поэтому взаимодействие с окружающими молекулами больше. Из-за начальной симметрии спинов системы эти электроны компенсируются, и результирующая спиновая плотность валентных электронов на двумерной решетке равна нулю.

Однако путем экспериментов [19—21; 60; 82], при комнатных температурах и выше (или температура Кюри превышает 500К) установлено, что ферромагнитный эффект в графеновых системах и петле гистерезиса ярко выражены. Это доказывает, что графен может иметь собственное намагничивание, вызванное наличием ненулевой спиновой плотности в валентных электронах, каким-то образом они распределены по двумерной углеродной решетке.

Наноструктуры графена могут оканчиваться множеством различных типов краев [32], например, краями «зигзаг» или «кресло». Эти края могут иметь сильное влияние на электронную структуру. Основываясь на расчетах функционала плотности из первых принципов, было сообщено, что зигзагообразные наноленты имеют антиферромагнитное основное состояние, с одним вращением края вверх, а другим - вниз, тогда как наноленты с краями кресла не проявляют никаких таких магнитных свойств [19—21; 27; 50; 55; 60; 82].

Ожидается, что некоторые электронные свойства графеновых наноструктур будут отличаться от объемного графена из-за квантового ограничения и краевого эффекта. Например, ожидается возникновение спонтанной намагниченности в некоторых графеновых наноструктурах [36], что объясняется заселенностью спин-поляризованными электронами на краях наноструктур зигзагообразного типа. Такое магнитное упорядочение было экспериментально продемонстрировано и С. Бхоумик исследовал, как на магнетизм зигзагообразных краев графена влияет наличие других типов ограничивающих краев и дефектов. Он пришел к выводу, что магнетизм зигзагообразных краев очень устойчив. И он наглядно продемонстрировал, что краевые неровности и дефекты ограничивающих краев графеновых наноструктур не разрушают магнетизм краевого состояния [65]; Совсем недавно возможный магнетизм графеновых наноструктур различной формы теоретически достаточно подробно изучен. Например, бесконечно длинная графеновая нанолента с зигзагообразными краями может вести себя как полуметаллический материал, в котором может формироваться спин-поляризованный

ток. Такое свойство контролируется внешним электрическим полем, которое может регулировать асимметрию зонных структур электронов с противоположным спином.

Магнетизм в графене возникает из-за различных дефектов, как вакансии, ада-томы и зигзагообразные края, которые могут вносить неспаренные спины [83]. В частности, магнетизм графеновых наноструктур с возможно, значительными спин-поляризованными краевыми состояниями вызывает постоянный и огромный интерес [73]. Особенно многообещающими являются графеновые квантовые точки размером в несколько нанометров, которые привлекли большое внимание для перспективных приложений в спинтронике. Магнитные свойства определяются микроструктурой, а магнитный источник квантовых точек оксида графена и квантовых точек графена различен. Магнитные моменты квантовых точек оксида графена в основном связаны с гидроксильными группами на их базисных плоскостях [81], в то время как спин-поляризованные краевые состояния являются основным магнитным источником квантовых точек графена.

Предполагаемое наличие электрон-электронного спин-зависимого взаимодействия приводит к спонтанному нарушению этого спин-симметричного состояния, когда спиновые плотности валентных рг - электронов подрешеток локально не равны по модулю друг другу [67—69].

Вышеуказанные обстоятельства явились стимулом к построению теоретической модели, позволяющей, в частности, описывать ферромагнитные (но не только) свойства в графеновых структурах адекватно имеющимся физическим и численным результатам. В работе [24] предложена модель, описывающая свойства графеновых моноатомных слоев, образующих поверхности, и связанные

с наличием на этих поверхностях нетривиальной функции распределения спиновой плотности, образованной в результате спонтанного нарушения спиновой симметрии валентных электронов атомов углерода на указанных поверхностях. Указанная двумерная поверхность и будет конфигурационным пространством модели, вообще говоря, произвольной топологии.

Модель спонтанного нарушения спиновой симметрии графеновых наноструктур для объяснения их магнитных свойств Рассмотрим валентные электроны атомов углерода в графеновых структурах, у нас есть функция поля £(5) - функция распределения спиновой плотности, где 5 - точка, проходящая через узлы решетки графена на двумерной поверхности. Для описания свойств фуллеренов часто используют квантовополевой подход [50]. В статье [33] Колесников использовал уравнение Дирака для искривленной поверхности, чтобы описать волновые функции Дирака для низкоэнергетической электронной структуры икосаэдрического фуллерена. В этом случае он исключил разрывные граничные условия для спинорных полей на сторонах сектора и использовал подходящее граничное условие для спиновых пар.

В действительности функция поля £ принимает значения (-1,0, +1) в физическом трехмерном пространстве. Однако в каждую точку в любой момент времени модель спина проецируемая в конфигурационное пространство, равное нулю. Другими словами, функции £ -это трехмерный вектор в физическом пространстве и физическая скалярная величина в двумерном пространстве, значения которых равны (-1,0, +1). Эта модель допускает тривиальную симметричную конфигурацию поля спиновой плотности. Она спонтанно распадается на некоторую

физически наблюдаемую. В предложенной двумерной модели поля может быть реализована теорема Голдстоуна в квантовой теории поля. Каждый генератор исходной симметрии полевой системы нарушен. Он соответствует безмассовому скалярному незаряженному бозону. В нашем случае он также известен как спинон.

Мы видим, что спонтанно нарушенная симметрия спина должна приводить к присутствию квазичастичных спинонов на поверхности графена. В трехмерном физическом пространстве это векторные бозоны. Но в двумерном конфигурационном пространстве они являются скалярными псевдогольдстоуновскими бозонами, поскольку проекция спина квазичастиц на двумерное конфигурационное пространство равна нулю [47]. Важное свойство спинона подобно бозону, хотя своим происхождением он обязан движению электронов, потому что электрон (или заряженная частица) является фермионом. Однако при определенной температуре должна происходить бозе-эйнштейновская конденсация бозонов, приводящая к образованию спинонных «капель» на поверхности графена в областях с одинаковой ориентацией спина квазичастиц. При этом в отсутствии внешнего воздействия (магнитного поля) ориентация капли должна сохраняться во времени, а разные капли могут иметь разную ориентацию. Таким образом, соприкасающиеся капли должны формировать соответствующую доменную структуру, типичную для ферромагнетика. Следовательно, при температуре ниже температуры бозе-эйнштейновской конденсации графеновые пленки должны обладать ферромагнитными свойствами, исчезающими при повышении температуры выше некоторого порога [24].

Существенно то, что наличие коллективных магнитных взаимодействий спи-нонов, обусловленных влиянием суммарного магнитного поля, создаваемого

всеми спинонами, на каждый спинон в отдельности, приводит к нелинейности соответствующих уравнений поля и, как следствие, возможности существования на графеновых поверхностях солитонных конфигураций, очевидно зависящих от формы и топологии поверхности и различающихся топологическими инвариантами. Кроме того, наличие коллективных взаимодействий в ансамбле спинонов должно приводить к появлению у спинона эффективной массы, что также должно повлиять на наблюдаемые физические следствия, хотя в силу малости спин-спиновых взаимодействий вряд ли можно ожидать больших значений этой массы [24; 34]. Исходя из вышесказанного видно, что искомые уравнения для скалярного поля, заданного на некоторой двумерной поверхности должны быть нелинейными и определенными на этой поверхности произвольной, вообще говоря, формы и топологии. Форма и топология в данном случае определяют граничные условия для функции поля. Указанная функция определяет условия существование, конфигурацию и динамику квазичастиц этого поля на заданной двумерной поверхности.

Свойства спинона в статьях моделировались известными уравнениями квантовой теории (как уравнение Дирака, уравнение Шредингера). Они описываются как возбуждение, скалярное, безмассовое и нелинейное [33; 71; 80; 86; 89]. Таким образом, использование модели нелинейного поля для описания спинонных возбуждений на поверхности графена позволило нам вычислить решения на собственные значения, энергетические спектры, эффективные массы, топологические инварианты. Более того, он может определять температуру Кюри, динамику различных нелинейных конфигураций спинонов и другие характеристики спино-нов в статистическом ансамбле.

Результаты в калибровочной модели нарушения спиновой симметрии гра-феновых наноструктур и перспективы использования В статье Грачева [26], автор предложил модель нелинейного поля для описания распределения спиновой плотности валентных электронов в графеновых пленках. В частности, он позволяет описывать ферромагнитные свойства, которые можно наблюдать экспериментально. В этой модели функции распределения спиновой плотности и намагниченности на поверхности графеновых пленок определялись некоторыми точными и приближенными решениями. Эти решения были подтверждены на основе имеющихся экспериментальных данных, что ферромагнитные свойства графеновых пленок были измерены в лаборатории.

Модель показала, что в некоторых пространственно локализованных конфигурациях плотности намагниченности растворы (перегибы, бризеры) позволяют формироваться на поверхности графеновых пленок. Тем самым получены пространственные размеры конфигурации и количественная оценка энергии. Их характерный размер составляет примерно 15 нанометров. Кроме того, указывается также, что такие конфигурации могут образовывать группы дискретных спектров.

Дополнительно взаимодействие кинков, бризеров между собой с другими физическими полями (электромагнитным, акустическим) было предложено рассмотреть, в частности, с помощью метода матрицы рассеяния.

Обсуждение физической проблемы и вывод физической модели. Предварительные численные эксперименты Впервые теоретическая модель спин-электронного строения однослойной графеновой пленки была предложена

в работе [77]. В работе [82] описывается ферромагнетизм, не порождённый ни одним из трех распространенных причин: примеси, дефекты, границы. Вслед за Д. Д. Грачевым можно считать, что источником ферромагнетизма является спонтанное нарушение спиновой симметрии в графеновой пленке.

Классическая полевая модель, описывающая спонтанно нарушенную симметрию с необходимостью является нелинейной. Среди нелинейных моделей простейшей является широко известная А^4 модель. Д. Д. Грачев полагает [25; 26], что в первом приближении можно с её помощью описать все интересующие исследователей характеристики спиновых волн, их спектров и доменной структуры ферромагнетизма в графене.

Модель допускает кинковые и антикинковые точные решения и квазичастицу бризер. Полученную численно энергию взаимодействия кинк-антикинк [15; 25; 26] можно использовать для численного решения уравнения Шредингера, моделирующего квантовую динамику бризеров, лежащую в основе описания спиновых волн. Решение уравнения Шредингера методом Ритца приводит к обобщенной задаче на собственные значения и собственные векторы, решению которой посвящена в основном данная работа.

Целью работы является проведение численного моделирования поведения нелинейных спиновых волн в графеновых структурах псевдоспектральным методом Чебышёва и методом Ритца-Галеркина. Кроме того, реализовано численное моделирование нелинейных спиновых конфигураций плотности валентных электронов на поверхности графеновой пленки, таких как кинки, антикинки, бризеры и их взаимодействия.

Перед соискателем были поставлены задачи:

- изучения нелинейной модели псевдоспиновых волн на поверхности графено-вых пленок различной топологии;

- изучения псевдоспектрального метода решения задач Штурма-Лиувилля с неаналитически заданным потенциалом;

- исследования свойств дискретного спектра квазисвязанных метастабильных состояний псевдоспиновых волн на поверхности графеновых пленок различной топологии.

При решении вышеуказанных задач были получены следующие результаты.

1. Разработаны численные методы моделирования потенциальной энергии взаимодействующих метастабильных состояний (бризеров) псевдоспиновых волн на поверхности графеновой пленки.

2. Численный псевдоспектральный метод на основе Чебышевских полиномов первого рода на сетках Гасса-Лобатто и соответствующий алгоритм реализованы для решения задач Штурма-Лиувилля с сеточно вычисленными потенциалами.

3. Численно исследован дискретный спектр взаимодействия бризеров с целью установления инверсной заселенности уровней метастабильных состояний псевдоспиновых волн на поверхности графеновых пленок различной топологии.

Научная новизна проведенных исследований.

1. Построено новое численное решение уравнения Шредингера с вычисленным на сетке потенциалом.

2. Построена новая итерационная процедура расчета решений задачи динамики квантово-механической волновой функции, описывающей дискретный спектр

квазисвязанных метастабильных состояний псевдоспиновых волн на поверхности графеновых пленок. 3. Выявлена возможность инверсной заселенности в вычисленном спектре взаимодействия квазисвязанных метастабильных состояний псевдоспиновых волн на поверхности графеновых пленок.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая и практическая значимость проведённых исследований состоит в следующем:

Разработанные численные методы найдут применение в теоретических исследованиях динамических спинонов на неплоских поверхностях графена (фуллерена, нанотрубки) различной топологии. Псевдоспектральный метод Чебышёва эффективно используется для отыскания численных решений линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В данной диссертации его использование проиллюстрировано решением уравнений Бесселя, уравнения Матье, нелинейных уравнений маятника, автономной системы, уравнений Линара. Вышеуказанные проблемы возникают в различных областях механики, квантовой физики, химической инженерии, аналитической химии и их применения в технике, физике, а также в спиновой электронике при расчёте нелинейных спиновых волн в графеновых структурах.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе используются: псевдоспектральный метод, метод Ритца и метод Галеркина. В диссертации используются языки программирования Ма^аЬ версия 2016а и МаШетайса версия

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность результатов диссертации основывается на теории и практике исследования. Результаты исследований теории и численной модели были опубликованы в престижных журналах или научных статьях на международных конференциях. Численные результаты согласуются с результатами других авторов и экспериментальными данными.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нелинейных спиновых волн в графеновых структурах»

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- научная конференция «Фундаментальные и прикладные разработки в области технических и физикоматематических наук», май 2018 г. Казань, Россия;

- XXXI - Международная научная конференция «Математические Методы в Технике и Технологиях ММТТ-31», 10-14 сентября 2018 г., Издательство Политехнического университета, г. Санкт-Петербург, Россия;

- международная конференция «Информационные технологии и нанотехноло-гии» - ИТНТ-2019,21-24 май 2019, г. Самара, Россия;

- IX (международная) конференция «Information and Télécommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems 2019 - (ITTMM 2019)», 15-19 апреля 2019 г. РУДН, г. Москва, Россия;

- международная конференция «Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX» (OTHA 2019), 22-25 апреля 2019 года, г. Ростов-на-Дону, Россия.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в 13 печатных работах, в том числе 4 статьи опубликованы в рецензируемых изданиях, индексируемых в МЦБ Scopus/WoS [42; 44; 47; 48]; 3 статьи опубликованы в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ [34; 41; 51]; 1 статья в рецензируемом научном издании [49]; 5 статьей и тезисов в трудах международных и всероссийских научных конференций [43; 45; 46; 93; 94].

Личный вклад. Ле Ань Ньат, работая в команде соавторов, самостоятельно разработал и реализовал ряд основных функций в численном моделировании стационарных псевдоспиновых волн, провел серию численных экспериментов по задачам динамики спинонов на графене, которые описываются уравнением Шредингера.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 121 страницу с 17 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 97 наименований.

Глава 1. Предлагаемая модель

Сегодня многие ученые и организации занимаются теоретическими и экспериментальными исследованиями свойств графена. Потому что графен - идеальный материал для наноэлектроники и спинтроники будущего. Он обеспечивает величину в области скорости, наноразмеров, энергопотребления устройств для хранения, передачи и обработки информации. Многие исследователи добились значительных успехов в этой [12; 20; 50; 54; 55; 82; 84], однако графеновые структуры обладают рядом весьма необычных свойств, которые наблюдаются экспериментально, но на сегодняшний день их адекватное теоретическое описание еще не найдено. В частности, было обнаружено [20; 82], что ферромагнитный эффект в графеновых системах проявляется вплоть до комнатной температуры и выше (температура Кюри > 500 К). Следовательно, образцы графеновых пленок могут иметь собственную намагниченность, обусловленную наличием отличной от нуля спиновой плотности валентных электронов, неким образом распределенной на двумерной углеродной решетке. Эти экспериментально наблюдавшиеся ферромагнитные свойства графеновых стуктур по мнению исследователей [20; 82] требуют теоретическогого обоснования и построения соответствующей математической модели.

Впервые теоретическая модель спин-электронного строения однослойной гра-феновой пленки была предложена в работе Уоллеса. После нее была опубликована обширная библиография, которой мы не будем касаться.

Рис. 1.1. Графен: ленточная структура

В частности, наблюдавшиеся экспериментально разными исследователями ферромагнитные свойства графеновых стуктур, по их собственному признанию, требуют надлежащего обоснования и построения соответствующей теоретической модели. Это же касается и целого ряда эффектов, связанных с квантовым эффектом Холла в графенах и ряда других. Мы полагаем, что источником ферромагнетизма является спонтанное нарушение спиновой симметрии в графеновой пленке. Квантово-химические расчеты показывают, что модель Уоллеса может служить лишь нулевим приближением, а последующие приближения допускают нарушения общеизвестной симметрии Уоллеса.

Квантово-химическое моделирование электронной плотности в одноатомной пленке графена методом «расширенной» функциональной плотности [92] и «расширенным» методом Хартри-Фока [97] продемонстрировало возможность существования неспаренных электронов, порождающих спонтанное нарушение спиновой симметрии, т. е. нетривиальное распределение спиновой плотности.

Экспериментально в 2009 году было установлено такое нетривиальное распределение, не имеющее в качестве источника традиционные причины: примеси, дефекты, границы [82]. Экспериментаторы не смогли дать объяснения наблюденным фактам.

Будучи вызванным спонтанным нарушением симметрии, такое распределение спиновой плотности должно удовлетворять нелинейному феноменологическому уравнению классического калибровочного поля [24; 25; 33; 62—64; 78]. Таких полей и уравнений может быть много, и они все предположительно дают результаты, совпадающие в нулевом приближении. Поэтому в качестве пробного объекта изучения в качестве математической модели спиновой плотности выбрано А^4 скалярное поле на двумерном континууме. Здесь нами был совершен переход от дискретного множества узлов двойной гексагональной решетки, в которых могут быть локализованы неспаренные электроны и соответствующая электронная и спиновая плотности.

Предложенная для описания распределения спиновой плотности валентных электронов в графеновой пленке нелинейная полевая модель позволяет, в частности, описать экспериментально наблюдаемые ферромагнитные свойства таких пленок. В рамках модели были предложены некоторые точные и приближенные решения для функции распределения спиновой плотности и намагниченности на поверхности графена. Показано, что эти решения (кинки, бризеры) позволяют формировать на поверхности графеновой пленки некоторые пространственно локализованные конфигурации плотности намагниченности.

Указанное скалярное поле допускает локализованные решения: кинки и антикинки. Комбинация кинка и антикинка является квазичастицей, т. е приближенным решением нелинейного уравнения для А^4 скалярного поля [34; 47]. Получены количественные оценки для энергии и пространственных размеров таких конфигурация. Характерный размер их составил десятки нанометров. Показано также, что такие конфигурации могут составлять группы дискретных спектров [24].

Рассмотрена задача взаимодействия кинков и антикинков между собой. В дальнейшем считаем также интересным рассмотреть взаимодействие бризеров между собой и с другими физическими полями, а также динамику спинонов на гра-феновых (фуллереновых, нанотрубчатых) неплоских поверхностях различной топологии.

Полученные результаты могут быть использованы для планирования и реализации соответствующих физических экспериментов с целью формирования перспективной элементной базы спинтроники. Настоящая работа посвящена численному исследованию модели А^4. В рамках предлагаемой модели решаются задачи приближенного вычисления потенциальных полей, приближенного решения уравнений Шредингера и моделирование управления внешним полем уровней заселенности [54].

1.1. Описание модели

В этом разделе мы представляем теоретическую модель свойств моноатомных слоев графена. Прежде всего, в рамках предлагаемой модели осуществляется

переход от рассмотрения дискретной двумерной углеродной решетки, образующей графеновую пленку, к непрерывной двумерной поверхности, натянутой на эту решетку. Указанная двумерная поверхность является конфигурационным пространством модели. Таким образом, осуществлён переход к континуальной полевой модели.

В рассматриваемой модели, вообще говоря, допустима тривиальная, тождественно равная нулю конфигурация спиновой плотности. Однако, как уже отмечалось, экспериментально было установлено, что эта симметричная полевая конфигурация может спонтанно нарушаться до некоторой физически наблюдаемой.

В рамках предложенной двумерной полевой модели имеет место аналог известной в квантовой теории поля теоремы Голдстоуна, согласно которой каждому нарушенному генератору исходной симметрии полевой системы должен соответствовать безмассовый скалярный незаряженный бозон, который уместно называть спиноном.

В данном случае в рамках предложенной модели спонтанного нарушения спиновой симметрии. Это должно привести к наличию квазичастичных спинонов на поверхности графена. В трехмерном физическом пространстве это векторные бозоны. Но в двумерном конфигурационном пространстве они являются скалярными псевдогольдстоуновскими бозонами, поскольку проекция спина квазичастиц на двумерное конфигурационное пространство равна нулю [24].

Существенно то, что наличие коллективных магнитных взаимодействий спино-нов, обусловленных влиянием суммарного магнитного поля, создаваемого всеми

спинонами, на каждый спинон в отдельности, приводит к нелинейности соответствующих уравнений поля и, как следствие, возможности существования на графеновых поверхностях солитонных конфигураций, зависящих в том числе от формы и топологии поверхности.

Кроме того, наличие коллективных взаимодействий в ансамбле спинонов должно приводить к появлению у спинона эффективной массы, что также должно повлиять на наблюдаемые физические следствия, хотя в силу малости спин-спиновых взаимодействий вряд ли можно ожидать больших значений этой массы.

Как указывалось ранее, легко видеть, что уравнения искомого скалярного поля на некоторой двумерной поверхности должны быть нелинейными. И это определяется на этой поверхности произвольной формы и топологии. В этом случае граничные условия для полевой функции будут установлены на основе формы и топологии. Следовательно, указанная функция определяет условия существования конфигурации и динамики квазичастиц этого поля на заданной двумерной поверхности.

В частности, указанными свойствами обладают известные в квантовой теории поля уравнения, которые описывают их как безмассовые, скалярные, нелинейные и возбуждения [4; 33].

Таким образом, использование модели нелинейного поля для описания спи-нонных возбуждений на графеновых поверхностях позволило нам вычислить энергетические спектры, решения собственных значений, эффективные массы и топологические инварианты. Более того, он может определять динамику различных нелинейных конфигураций спинонов, температуру Кюри и другие характеристики спинонов в статистическом ансамбле.

1.2. Используемая модель

Рассмотрим модель нелинейного однокомпонентного скалярного поля р на двумерной поверхности, поверхностную плотность лагранжиана которой зададим в виде:

= ^'-VI)2

где и А — параметры модели. В этом случае уравнение поля имеет вид:

(ди д»-х^о = 0 (1.1)

В случае, когда у зависит только от одной координаты х и не зависят от времени, иначе говоря: р = <£>(х) уравнения вида (1.1) имеют набор статических решений , а также кинковые и антикинковые решения:

(

V?

Ф± (х) = ± tanh I \1 х

В окрестности нуля кинки (антикинки) имеют доменную стенку, разделяющую области с намагниченностью разных знаков.

Энергия кинка, приходящаяся на единицу длины по координате у вычисляется по формуле

1 ^ уДх

ЕМ = [ *с{\(дх ^)2 + \(<Р2- ^ )2 } = ^0 (1.2)

Плотность энергии кинка по координате х пропорциональна

менной стенке.

1.3. Адаптация используемой модели

Как и в любом ферромагнетике, в рассматриваемой системе существует температура Кюри [12; 82], при которой происходит разупорядочение системы взаимодействующих спинов вследствии теплового движения. Это приводит к распаду кинка и уничтожению доменной структуры. Иначе говоря, это ситуация, когда энергия теплового движения элементарного магнитного момента станет сопоставима с его энергией в поле кинка. Это позволяет сделать количественную оценку параметров модели.

Подстановка численных значений дает ^ ~ 15 — 30пт что выглядит довольно правдоподобно. Разброс значений для толщины доменной стенки связан с разбросом имеющихся экспериментальных данных по измерению температуры Кюри. Во всяком случае мы видим, что рассчитанная толщина доменной стенки составляет десятки длин связи в ячейке. Что подтверждает корректность использования предлагаемой континуальной модели для графеновой решетки.

Рассмотрим случай, когда решения для функции поля явно зависят от времени. Тогда мы получаем устойчивые одиночные кинковые и антикинковые решения, распространяющиеся вдоль координаты х с постоянной скоростью У0.

Для многих практических приложений интерес представляют устойчивые пространственно локализованные полевые конфигурации (не только кинки),

следовательно, сосредоточена вблизи нуля на до

в частности, являющиеся решениями уравнений вида (1.1). Поиск таких решений возможен как в численном виде, так и аналитически.

Для качественных оценок мы предлагаем использовать некоторые приближенные решения уравнений вида (1.2), использующие комбинации уже имеющихся точных решений.

В частности, можно рассмотреть систему взаимодействующих кинка и антикин-ка. В наиболее простом случае это могут быть кинк и антикинк, расположенные на некотором расстоянии а({) друг от друга. При этом весьма существенно то, что кинк и антикинк взаимодействуют друг с другом даже на бесконечно большом удалении друг от друга. Это связано именно с тем обстоятельством, что их асимптотики на пространственной бесконечности отличны от нуля. Кроме того, следует учитывать, что в силу нелинейности задачи сумма точных решений, вообще говоря, не является точным решением.

Тем не менее, выберем полевую функцию системы взаимодействующих кинка и антикинка в простом виде

Ф(ж, а) = (х + а) + (х — а) — р0], а > 0. (1.3)

Видно, что функция вида (1.3) при малых значениях а пространственно локализована вблизи точки х = 0.

Видим также, что кинк и антикинк в (1.3), пространственно разнесенные на достаточно большое (по сравнению с «толщиной» самого кинка) расстояние, взаимодействуют друг с другом, однако устойчиво сохраняют собственную форму.

Далее, численно ищем такие а({), чтобы точно удовлетворить уравнению (1.1). Полученные решения будут соответствовать бризерам, то есть устойчивым кинк-антикинковым конфигурациям, известным, например, для уравнений типа синус-Гордон, Картевега де Фриза, и ряда других, как в дискретном, так и непрерывном случае.

Рассмотрим гамильтониан системы, функция поля которой вида (1.3) удовлетворяет уравнению типа (1.1):

Н{Ф} = [ (1х{[диФ(х)д*Ф(ж)] + ^ [Ф(х)2 -р2]2}. (1.4)

Эту функцию можно рассматривать, как полную энергию кинка в поле антикин-ка (или наоборот) и формально исследовать ее зависимость от параметра а.

Тогда зависимость гамильтониана вида (1.4) от параметра а соответствует зависимости потенциальной энергии взаимодействия кинка и антикинка от расстояния между ними. При наличии минимумов у этой функции следует ожидать наличия связанных состояний в системе кинк-антикинк. Это и будут искомые бризеры.

Будем искать связанные состояния кинка-антикинка в минимумах потенциальной энергии:

д д2 ~ОаН{Ф, ат} = 0; Н{Ф, ат} > 0.

Можно получить оценку: а,о ~ 0.8d. Видим, что отношение расстояния между кинком и антикинком и размером самого кинка (антикинка) меньше единицы, что может свидетельствовать в пользу корректности использования гармонического

приближения для некоторых количественных оценок с точностью около 40%, например, для энергии бризера в основном состоянии. Более точные оценки (около 20%) также можно получить аналитически, использую следующий член разложения потенциальной энергии и{Ф,а} по параметру а, что технически несложно, но принципиально не очень существенно.

1.4. Предварительное численное моделирование

1.4.1. Взаимодействие бризеров

Пусть два бризера разной ширины (а и а + с, соответствующие двум различным собственным значениям энергии, полученные путем решения соответствующего уравнения Шредингера для одиночного бризера) разделены расстоянием Ь.

Задача: вычислить функционал полной энергии системы двух взаимодействующих бризеров вида

Н{Р, а,Ь,с} = 2 I ¿х\[дхР(х, а, Ь, с)]2 + - [Р(х, а, Ь, с)2 — $]2 },

где

и

Р(х, а, Ь,0) = ^ [Ф(ж, а) + Ф(х + Ь, а)] 2

Р(х, а, Ь,с) = ^ [Ф(ж, а + с) + Ф(х + Ь,а + с)] 2

здесь Ф(ж, а) рассчитывается по формуле (1.3) с = 1 и

а > 0, —то < Ь < —а < с < ж.

И исследовать его, как функцию переменных а, Ь и с. Переменную а сначала фиксируем, как ширину минимума энергии взаимодействия из предыдущей задачи (по уровню одна вторая от максимума, это примерно 5 для Л = 0.01 и2.5 для Л = 0.1), с полагаем равным нулю и детально исследуем график зависимости энергии от расстояния между бризерами Ь. Вычисления повторяем, меняя с с шагом ±0.1а. Затем то же для другого значения а с шагом ±0.3а.

1.4.2. Численная реализация

Поскольку мы рассматриваем функции Ф(х,а) вида (1.3), зависящие от параметра а, где (х) = tanh /2х) зависят от параметра , вычисление функционала Н{Ф, а} производилось следующим образом. Вначале вычислялась частная производная дФ/дх (остальные частные производные от Ф тождественно равны нулю в силу выбора вида (1.3) функции Ф), после чего при заданных , Л и а вычисляется численно интеграл (1.4). Таким образом, при выбранном фиксированном параметре ^ = 1.0 получаем численную зависимость потенциальной энергии взаимодействия и (а, Л). Вычисления производились для различных Л = 0.01^100.0. При этом для каждого значения Л зависимость их (а) = и(а,Х) вычислялась для значений а от а = +0.0 до того значения а(Х), при котором значения их [а(А)] и их [2а(А)] совпадают с точностью до 5-го знака. Типичный вид графика их (а) (при А = 1) приведен на рис. 1.2.

Рис. 1.2. График их (а)

Зависимость графика на рис. 1.2 сильно напоминает качественно поведение потенциальной энергии нелинейного осциллятора из работ [59] при Л > 0.0. Более того, можно варьированием по параметру Л в зависимости их (а) и зависимостью по параметрам Л и Ь в потенциале и(х) из [59] добиться совпадения этих двух зависимостей с высокой точностью.

1.5. Модель динамики

Для квантово-механической стационарной волновой функции бризера (а запишем уравнение Шредингера в стандартном виде

п2

2пи да2

+ и{Ф,а}

Фь (а) = ЕЪъ (а

(1.5)

где ть - эффективная масса бризера, равная в рассматриваемом случае сумме масс свободных кинка и антикинка, и(Ф,а) - потенциальная часть полной энергии бризера, зависящая от а, Е - энергия соответствующего стационарного состояния. Движение бризера по обобщенной координате а физически соответствует изменению расстояния между кинком и антикинком, при этом центр бризера неподвижен по координате х, меняется лишь эффективная ширина бризера (бризер «дышит»).

Заметим, что каждому значению ат, вообще говоря, соответствует свой спектр энергии бризеров ЕЬтп.

1.6. Заключение

В первой главе были представлены модели, обсуждаемые в диссертации. Мы видим, что система кинк плюс антикинк может образовывать связанные состояния, то есть бризеры, которые составляют несколько групп, соответствующих различным минимумам энергии взаимодействия кинка и антикинка. Эти группы бризеров должны заметно различаться по пространственным размерам. Весьма вероятно, что энергетические спектры бризеров разных групп могут перекрываться. Это, в свою очередь, позволяет поставить проблему туннелирования бризеров от одного минимума к другому, времени жизни в каждом из этих минимумов, поведения во внешних полях, обратных популяций и других физических характеристик другого, а также проблему время жизни в каждом из этих минимумов и поведение во внешних полях, инверсные заселенности и некоторые другие физические особенности рассматриваемой системы.

Отметим также, что при определенных условиях взаимодействие кинков и бри-зеров друг с другом, а также с внешними полями, должно приводить к разрушению частиц при рождении, что, в принципе, можно описать в рамках рассматриваемой модели.

Глава 2. Несколько подходов к численному решению задачи динамики

2.1. Метод Ритца и метод Галеркина

2.1.1. Метод Ритца

Метод Ритца непосредственно работает с вариационной постановкой краевых задач, основанной на оптимизации функционала на конечномерных подпространствах или многообразиях [5; 85; 88]. Мы изучаем этот метод с помощью простой задачи второго порядка:

—и" (х) + г(х)и(х) = д(х) (2.1)

с граничными условиями первого рода в точках х = а, х = Ь, (а < х < Ь и и(а) = и(Ь) = 0. Где г(х) - неотрицательная функция. Заданы функции г(х), д(х) и граничные значения а и Ь. Уравнение (2.1) имеет решение и(х). Определение функционала

1 [Ь г 2 2 1

= 2 I (г]' (х)) + г(х) (у(х)) —2v(x)q(x) (2.2)

для Уу(х) Е С(1) [а, Ь], прямая замена й(х) = у(х) — и(х) на (2.2) дает

I(v) •= I(u) + f dx [u'(x)d'(x) + r(x)u(x)d(x) — q(x)d(x)]

a (2.3)

1 fb

2 -Ja

f° dx (d'(x))2 + r(x) (d(x))2

Используя интегрирование по частям и (2.1), можно показать, что первый ин теграл в (2.3) равен нулю, если v(a) = у(Ь) = 0. Таким образом, I(V) > 1(и и вариационная формулировка для (2.1) имеет вид

I(u) = min I(v veCl[a,b]

где Cl [a,b] •= {v E С(1) [a,b] • v(a) = v(b) = 0}. Для сетки в и сплайн-пространства кусочно-полиномов (порядка к ив С1- 1 [а, Ь]), которые также равны нулю в конечных точках, Р0е г • = {s £ • s(a) = s(b) = 0}, соответству-

ющее решение Ритца (х) - определено так, чтобы

I(ue) = min I(s). (2.4)

Чтобы решить (2.4), мы сначала должны выбрать базис {ф^ (х)}^—1 для Р^ © I и написать, скажем, у(х) = ^^— а^ ф^ (х) для Уу Е Р^ © 1. Необходимые условия первого порядка, чтобы и© (х) = а^1 фл(х) был минимизатором (2.4), это

= 0 l<j<N + l.

OXj

т

Решение а(1) = (а^,...а^) можно найти, решив Аа(1) = где

^ ,аг ,...ау ) можно найти, решив лау > = д

элементы А и д(1):

гь

а^ = I йх [ф[ (х)ф^(х) + г(х)ф{(х)ф^(ж)] 1 <г,]< J

и

гЪ

Г-

^а

= I ё,х[д(х)ф% (ж)].

2.1.2. Метод Галеркина

Рассмотрим краевую задачу с формой:

Ь[и] = ¡(х) (2.5)

с линейными однородными граничными условиями в точках х = а и х = Ь (а < х < Ь). Где Ь - линейный или нелинейный дифференциальный оператор второго порядка; и(х) - неизвестная функция и задана функция /(х). Предполагается, что Щ =0 [57; 85; 90; 96]. Выберем последовательность линейно независимых функций

р = (х) п = 1,2,...,Ы

(х) также называется базисными функциями и удовлетворяет тем же граничным условиям, что и и = и(х).

Приближенное решение уравнения (2.5) ищется в виде линейной комбинации

N

иМ = ^ Лп'-Рп (х) (2.6)

п—1

с неизвестными коэффициентами Ап. Эта конечная сумма называется функцией приближения. Из уравнения (2.5) получаем:

Если остаток тождественно равен нулю, то функция ин является точным решением уравнения (2.5). Но ф 0.

Чтобы найти коэффициенты Ап в (2.6), рассмотрим другую последовательность линейно независимых функций

Умножим обе части (2.7) на фк и интегрируем полученное соотношение по области V = {а < х < Ь}, в которой мы ищем решение уравнения (2.5). Далее приравниваем соответствующие интегралы к нулю. Таким образом, мы получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов Ап:

= Чим] - ¡(х).

(2.7)

■ф = >фк (х) к=1,2,...,М

(2.8)

Эти соотношения означают, что функция приближения (2.6) удовлетворяет уравнению (2.5) с весами фк. Вводя скалярное произведение (д, К) = /Ь дКйх произвольных функций д и К, мы можем рассматривать уравнения (2.8) как условие ортогональности остатка всем весовым функциям 'фк.

2.2. Численная реализация

Динамика бризера описывается уравнением Шредингера:

- ^ + и(х)ф) = Еф). (2.9)

ах2

Табличные значения (рк (х) получены при моделировании энергии взаимодействия кинка и антикинка в бризере.

Численное решение уравнения (2.9) будем искать с помощью метода Ритца-Галеркина. А именно, в предположении, что оператор Шредингера Н является строго положительным, можно построить функционал Ритца и энергетическое пространство, в котором он достигает своего минимума. Локальные минимумы функционала Ритца взаимно однозначно соответствуют собственным векторам оператора Н. Конечномерная аппроксимация функционала по некоторой полной системе координатных функций (х) приводит к минимизации функции нескольких переменных. Минимум данной функции соответствует решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Ритца (Н^к, ). Метод Галеркина в применении к той же задаче приводит к задаче на собственные значения и собственные векторы, что и метод Ритца [91].

Можно использовать в качестве полной системы координатных функций произвольный ортонормированный базис в пространстве Ь2 квадратично интегрируемых функций на оси. При этом сходимость может оказаться медленной, что приведет к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений большой размерности. С целью построения хорошо обусловленной матрицы Ритца следует выбирать сильно минимальную или почти ортогональную по отношению к Н полную систему функций. Заметим кстати, что потенциальная энергия в уравнении (2.9) является сеточной функцией, что затрудняет аналитическое исследование известных базисов в Ь2.

Вместе с тем, квантовый оператор нелинейного осциллятора из [11] обладает полной системой собственных векторов. В силу численной близости потенциальных энергий в работах Грачева и Раняды собственные функции нелинейного осциллятора образуют численно сильно минимальную систему функций для оператора Н. Данные функции, однако, не являются ортонормированными в пространстве Ь2. Это приводит к усложнению конечномерной аппроксимирующей задачи, точнее приводит к обобщенной задаче на собственные значения и собственные векторы Ас = ЕВс.

Тогда в общем случае решение будет иметь вид:

где (рк (х) - базисные функции. Следовательно, для того чтобы найти решение (2.9), необходимо задать некоторый вид функций (рк(х) и найти значения коэффициентов с^к и Е. Так как из полученных числовых значений У(х) видно, что вид

оо

к=1

потенциала схож с потенциалом нелинейного осциллятора, то берем собственные функции (рк (х) для него.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Ань Ньат, 2020 год

; / -

Г, ■ -

ад--ад----и2(х)

и~Л*) ------ ч*(х)

иъ(х)

Рис. 2.3. Графики шести первых функций многочленов Чебышёва второго рода на [-1,1].

которая вместе с начальными условиями ио (х) = 1, и1 (х) = 2х это эффективная процедура генерации многочленов. Нули ип(х) (см Рис. 2.4а) легко определяются аналогично нулям 1)9 как

кж

X == Хъ == cos ,

к п + 1

п = 1,2,..., п.

(2.15)

При к = 0, то х0 = 1 и к = п + 1, то хп+1 = -1. Для расширения множества точек (2.15) путем включения дополнительных значений х0 и хп+1, дающих множество

кж

п = 0,1, ...,п + 1.

х — — cos

п + 1

Это не нули из ип(х) (см Рис. 2.4Ь), но многочлен (1 — х2)ип(х

-1.0

-0.5

0.0

-

0.5

1.0

* *

-1.0

-0.5

(а)

а.о

<Ь)

Э.Е

Рис. 2.4. Точки коллокации полиномов Чебышёва второго рода сп — 10: (а) - Нули и (Ь) - Не нули.

2.3.2. Матрица дифференцирования

1.0

Пусть р(х) — многочлен степени п задан в виде

1-1 +... + а<1Х + а 0,

где а^ £ К, г — 0,1, ...,п и вычисленные значения полинома в п +1 точках х0, х1,..., хп равныр(х0),р(х 1), ...,р(хп). Тогда эти значения однозначно определяют полином и поэтому определяют значения производных р' (х) — —р(х

в тех же п +1 точках. Каждая такая производная может быть выражена как фиксированная линейная комбинация заданных значений функций, записанная в матричной форме:

V (х 0 Л

р' (х 1)

(х п))

( 0

—

( 1

\р(х п ) )

где

В =

^0,0 (101 ••• ^1,0 ^1,1 •••

и В так называемая матрица дифференцирования (первого порядка) [22; 40].

Предположим, что точки Хо, х1,..., хп являются п + 1 нулями некоторого п + 1 степенного многочлена Рп+1 (ж). При к = 0,п положим Рп+1 (х) = рк(х)(х — хк), который является полиномом п-й степени, так как хк - это нуль Рп+1, то имеет место равенство

Рп+1 (Хк ) = Рк (Хк ), Рк (х{ ) = гфк

и

Рп+1 (хк) = 2Рк (Хк), Рп+1 (хк) = Рк (хг)(хг Х к), ^ ф к.

Поэтому мы имеем элементы матрицы дифференцирования В:

^к,к =

= а1,к ~

Рп+1 ( Хк

2 Р'+1 (х к

Рп+1 ( Х г

х % х к )Рп+1 (х к

, гфк.

(2.16)

Мы можем не только использовать соотношение р' (х^) = Вр(х^), г = 0,п для соединения первых производных с значениями функций, но мы можем повторить

этот процесс, чтобы получить аналогичное соотношение для вторых производных:

(р" (*0 Л

р"(*1)

\Р (Хп))

= D

Р(х1

) )

2.3.3. Чебышёвская матрица дифференцирования

В рассмотренном случае с Чебышёвскими точками (или точками Чебышёва-Гаусса-Лобатто), имеет п + 1 точки хк = cos (^) они являются нулями многочлена Рп+1 (х) = (1 — х2)Un-1 (х) и экстремумы в [-1,1] многочлена Чебышёва Тп (х), х = cos 9 имеет

Рп+1 (х) = sin(arccos х) sin(n arccos х).

Дифференцируя по х

Еп+1(х

= —п cos п9 —

cos 9 sin п9 sin 9

(2.17)

и

Еп+1(х) =

п cos п9 cot 9 — sin п9 — п2 sin п9 — cot2 9 sin п9

sin 9

(2.18)

где cot 9 = cos 9/ sin 9.

При хк = cos () или вк = ^ тогда cos пвк = (—1)к Hsinnвк = 0. Из (2.17) следует, что

-2п, к = 0,

Р-п+1(хк) =

—(—1)кп, к=1,п — 1, -(-1)к 2п, к = п,

(2.19)

и из (2.18) следует, что

Рщ+1(^к /

=

-2

(-1)

1 + 2п2 3

к ПХк

i- хк\

1)к2

1 + 2 п2

= 0,

= 1, - 1,

к = п.

(2.20)

Из (2.19), (2.20) и (2.16) имеют элементы дифференциальной матрицы И = {с1(1}, вычисляются по следующим формулам [8; 16; 40; 75]:

d{1) = d{1) =

d(1) = а г,з

d{1) = п,п

Y

i 6

2(1 - z?) (-1)'+3с,

i = 1,п — 1

/у» _ /у» л

«ДУ ^ «ДУ j j

2п2 + 1

i,j = 1,n-1 гфз

6

5

и И2 = (О)2 = } имеет элементы дифференциальной матрицы И2 [10; 14]:

(1{2) = (1(2) =

Д2) =

=

а0,з -

(1(2). =

(2) = П4 - 1 Яп,п — г ,

15

(п2 -1)(1-х2г ) + 3

3(1-х2г )2 (-1)г+э+1 (2-хгх6 -х2)

(1 X2 % ^^ )

2(-1)(2п2 + 1)(1-хэ) -6

3с3 (1-х2) 2(-1)п+о (2п2 + 1)(1+х3 )-6

3с3 (1 + х2)

г = 1,п — 1,

ъфз ЬЗ = 1,п-1,

3 = 1,п-1,

3 = 1,п-1.

Сь —

где

' 2, к = 0,п 1, иначе

Замечание: из формулы (2.14) очевидно, что элементы матрицы И симметричны относительно центра матрицы, но знаки противоположны, или = —йп-к^п-1

где к,1 = 0, п, так /

2п2+1 -2 2 (-2)п-1 (-1)п \

6 1-х1 1 х2 1 Хп — 1 2

1 -Х1 — 1 (-1)п-2 (-1)п-1

2(1-х1) 2(1-х2) х1-х2 Х1 -Хп-1 2(1+х1)

-1 -1 х2

2(1-х2) х2-Х1 2(1-х2)

. 1 1

х2-х1 2(1-Х2)

(-1)п-1 -(-1)п-2 1 х1 -1

2(1+Х1) Х1 Хп — 1 Х1-Х2 2(1-х"2) 2(1-Х1)

(-1)" (-2)п-1 -2 2 2п2 + 1 )

2 1-Хп-1 1 X2 1 X1 6

function [D,x] = Cheb(n) if n == 0, D = 0; x = 1; return,

end

x = cos(pi*(0:n)/n)'; c = [2; ones(n-1,1); 2].*(-1).A(0:n)'; X = repmat(x,1,n+1); dX = X - X';

D = (c*(1./c)')./(dX + (eye(n+1))); D = D - diag(sum(D'));

end

Listing 1: Функции Cheb(n)

Пример 2.1. При п = 3, из (2.13) имеет х3 = —1,х2 = — 1, х1 = 1, х0 = 1, матрица дифференцирования становится:

D =

(19/6 -4 4/3 -1/2^

1 -1/3 -1 1/3

-1/3 1 1/3 -1

у 1/2 -4/3 4 -19/6

D =

f16/3 -28/3 20/3 -8/3^

10/3 -16/3 8/3 -2/3

-2/3 8/3 -16/3 10/3

\-8/3 20/3 -28/3 16/3 J

Матрица дифференцирования, вычисленная для чебышёвских точек называется Чебышёвской матрицей дифференцирования.

Чебышёвская дифференциальная матрица реализована в Ма^аЬ в виде функции «^еЪ( п )» см. листинг 1.

Погрешности вычисления матриц дифференцирования с использованием точек Чебышёва - Гаусса - Лобатто были исследованы Балтенсперге [6]. Он показал, что существуют более точные методы вычисления элементов матрицы дифференцирования по сравнению с рпиведенными выше формулами. Следовательно,

если ваша задача слишком чувствительна к округления при вычислении матрицы дифференцирования, можно опробовать методы, изложенные в [6].

2.3.4. Псевдоспектральный метод с использованием Чебышёвской матрицы дифференцирования

Рассмотрим линейную двухточечную краевую задачу в диапазоне [-1,1]: d2 d

—2и(х) + д(х)—и(х)+г(х)и(х) = f(x), и(—1) = а, Ц+1) = (2.21) дх2 dx

где заданы функции д(х), г(х), /(х), граничные условия а, @ и точки коллокации {хг} так, что 1 = х0 > х1 > ... > хп = -1. Мы знаем, что

d п

~д~ип (хг) = ^^ Рг,кип (хк) дХ к=0

и

л2 п

дм2 пК г

к=0

Таким образом, уравнения (2.21) становятся

и^(Х^) = \к ип (Хк ). (2.22)

п п

)г,кип(хк) + У(хг) ^ Ег,кип(хк) + г(хг)ип(хк) = !(хг)

к=0 к=0

с % = 1,п — 1, ип (хп) = а и ип (х0) =

В качестве альтернативы мы разбиваем матрицу И, сначала мы обрезаем

1(1)\ ................ г Л1)

первую строку {%)} и последнюю строку {ё/п г} с помощью г Е 0,п, затем

мы разбиваем эту матрицу на три матрицы

а1,0

й.

(1) 2,0

и(1) I и(1) и(1) ... и(1) и(1)

\ ап-1, 0 / \ ап-1, 1 ап-1,2 ап-1, п-1; \ ап-1, \ ;

( Ж1) а1,1

(1) 2,2

&

а

(1) 1,2

(1) 2,2

а

(1)

1,п-1

\

й.

(1)

2,п-1

(1)

(1)

(1)

и1,п

&

(1) 2,п

(1)

(1)

Е(1)

е{1)

Затем мы можем записать в матричной записи как е^1 —

г,з

и е

(1) - ¡Л1)

п

— К^} с 1,з — 1,п-1 [48].

Аналогично, мы разбиваем матрицу О2 [40; 72]:

(2)

1,0

(2) 2,0

(2) 1,1 а1,2 ■■ (¿2)

(2) 2,2 б2 ■■ а2,2 а2,п-1

\

и(2) и(2) И (2) И (2) И (2)

\ ап-1, 0 / \ ап-1, 1 — п-1,2 ''' ап-1, п-1) \ ап-1, \ )

( а(2) \ а1,п

(1

(2) 2,п

(2)

Е(2)

е{2)

еп

и тогда мы можем записать в матричной записи как е^ — {(1^0 }, Е(2) — } и е^ — {(1^} с г,з — 1,п-1 Процедура поиска матриц е^, е^ и Е(г) (г — 1,2) из матриц Е и Е2 установ-

лена в МаШЬ см. листинг 2.

[D,x] = cheb(n);

e01 = D(2:n,1); el = D(2:n,2:n); enl = D(2:n,n+1);

D2 = DA2;

e02 = D2(2:n,1); e2 = D2(2:n,2:n); en2 = D2(2:n,n+1);

Listing 2: Процедура поиска матриц e^ ,e(:n> и Е(г)

Если обозначить через Q и R диагональные матрицы с элементами q(xk) и г(хк), итак уравнения (2.21) затем могут быть записаны в виде матриц

+ Еи + ае(п} + Q(/3e0p + Еи + ае^) + Ru = f,

или

(Е & + Е(1) + R)u = f- + Qe(1) - а(е^ + Qe^)

где и и f - векторы:

и =

^ ип) ^

ип(х2)

(^п-1))

/ /(V ^

f =

Яъ

\f(xn-1))

Устойчивость Чебышёвских псевдоспектральных методов (ЧПМ) изучалась в статье Готлиба [23]. Было показано, что скорость сходимости выше для методов

конечных разностей или метода конечных элементов.

Пример 2.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение Матье (ДУМ) на диапазоне [-1,1]:

и"(х) + (а — 2Ьсоб(2х))п(х) = 0, -1 < х < 1, и(—1) = а,и(1) =

где а, Ь Е К - переменные коэффициенты; а и $ уже заданы [1; 28; 61]. Мы можем переписать в матричной форме как

(Е(2) + 0)и = -^е((2) — «Д2,

где Q - диагональная матрица с элементами {а — 2Ь соб(2^)}, г = 1, п — 1 (см. [43]).

Мы рассмотрим случай с граничными условиями, равными а = 0.2 и (3 = 0.2, мы исправим а = 2, но изменим Ь = {—15, —5, 5,15} (см. рисунок 2.5).

Рис. 2.5. Графика ДУМ в случаях а фиксирован и изменить Ь.

2.3.5. Псевдоспектральные методы для нелинейных уравнений

В данной работе мы изучаем модель спиновых волн в графеновой пленке. Это приводит к тому, что задача динамики бризера описывается нелинейным уравнением Шредингера для квантово-механической волновой функции стационарного состояния бризера с соответствующей собственной энергией.

Чебышёвский псевдоспектральный метод может быть применен к нелинейным задачам.

Для простоты рассмотрим следующую нелинейную задачу:

d2

и(х) = /[и(х)], и(—1) = а, и(+1) = р (2.23)

dx2

где ¡(и) - произвольная функция от и Из (2.22) легко следует, что

п

)г,к ип (хк ) = 1[ип (х% )], г=1,П 1, ип (Хп ) = 01, ип (^о )=$.

к=0

Уравнение (2.23) затем может быть записано в виде матриц:

Е(2) и = }(и) — (3е0) — ае{2,

где /(и) обозначает вектор с элементами {/[ип(х^)]} с г = 1,п — 1.

Когда мы использовали псевдоспектральный метод Чебышёва для решения нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейные уравнения могут иметь или не иметь единственное решение.

Чтобы найти решения, мы продолжим итерационную процедуру. Поэтому важно определить итерационное уравнение. Итерационная процедура проста, мы предполагаем, что и(0) = const, затем находим и(1), и(2),... останови его до ошибки £ = \u(k) — и(к-1) | < £q = const.

Пример 2.3. Рассмотрим нелинейные дифференциальные уравнения Лиенара второго порядка [30; 58; 66]:

и(х) + f[u(x)] — и(х) + д[и(х)] = 0, —1 < х < 1

dx (2.24)

Ц—1) = а, Ц+1) = Р

здесь f ф 0 и д ф 0 - дифференцируемые функции от и(х); заданы граничные значения а и [3. Мы можем переписать (2.24) в матричной форме как

[Е+ FE(1) + G] и+ f3 (е™ + Fe™ ) + а (е™ + Fe™ )

где F и G обозначают порядок квадратных матриц (п — 1)(п — 1) с элементами

{f[u(xi)]} и [д[и(хг)]/и(хг)}, i = 1,n—1 (см. [47]).

Чтобы найти решение ип (xi), приведем алгоритм итерации в Matlab (см. Листинг 3), где а = ха, Р = хЪ и ип(xi) = и1:

2.4. Псевдоспектральный метод для модели динамики

Мы вернемся к квантово-механической стационарной волновой функции бризера Фь(а) в разделе 1.5. Квантово-механическая волновая функция Фь(а)

change = 1;

u1 = 1+zeros(N-1,1);

while change > 1e-8

F = diag(f(u1)); G = diag(g(u1)); B = e2 + F*e1 + G;

unew = B \ (-xb*(e02 - F*e01) - xa*(en2 -

^ F*en1)); change = norm(unew-u1, inf); u1 = unew;

end

Listing 3: Итерационный алгоритм нахождения sulation un (xi) в нелинейной задаче

стационарного состояния бризера с соответствующей собственной энергией Е может быть представлена уравнением Шредингера в стандартном виде (1.5).

Псевдоспектральный метод из раздела 2.3 может быть применен к уравнениям Шредингера (см. [31; 40; 42]). Для модели динамики:

(а) = ЕЪь (а), (±1) = 0. (2.25)

Мы знаем, что

h2

2mh da2

+ и{Ф,а}

i2 n

Л)n (аг) = Ys(D2)г,к (ф6)n (Чi=1,n-1.

au k=0

Таким образом, уравнение (2.25) принимает следующий вид:

h

2 п

2т

Т,(°2)г,к Л)п (ч) + и{Ф, аг} (Ъь)п (аг) = Е(Ъъ)

Ь к=0

'b)п (аг),

с i = 1,n-1, (Фь)п (ап) = 0 и (Фь^ (а0) = 0.

b)п ("0

Таким образом, уравнение (2.25) можно записать в матричной форме:

2т,

Е(2) + ип

= ЕЪъ,

где обозначает векторы с элементами (а1)}, а иа обозначает диагональную

матрицу с элементами {и{Ф, а,1}}, г = 1,п — 1.

Чтобы найти энергию Е соответствующего стационарного состояния в (2.25), нам просто нужно найти собственные значения матрицы Мь = — Е+ иа. Численные модели и результаты в конкретных случаях динамики бризера будут

представлены в третьей главе.

2.5. Заключение

В этой главе были предложены два точных и приближенных решения для функции распределения спиновой плотности и намагниченности по поверхности графена. Эти решения были проверены на основе имеющихся экспериментальных данных по измерению магнитных свойств графеновых пленок.

Показано, что эти решения (кинки, бризеры) позволяют формировать на поверхности графеновой пленки некоторые пространственно локализованные конфигурации плотности намагниченности. Получены количественные оценки для энергии и пространственных размеров таких конфигурация. Характерный размер их составил десятки нанометров. Показано также, что такие конфигурации могут составлять группы дискретных спектров.

В дальнейшем предлагается рассмотреть задачи взаимодействия бризеров и кинков как между собой, так и с другими физическими полями (электромагнитными и акустическими), в частности, используя метод матрицы рассеяния.

Полученные результаты будут использованы для планирования и реализации соответствующих физических экспериментов с целью формирования перспективной элементной базы спинтроники.

В следующей главе мы рассмотрим численные модели нелинейных спиновых волн в графеновых структурах и их результаты, основанные на двух точных и приближенных решениях выше.

Глава 3. Модель нелинейных спиновых волн в графеновых структурах

В этой главе мы исследуем такие пространственно локализованные нелинейные спиновые конфигурации плотности валентных электронов на поверхности графена, как кинки, антикинки и их взаимодействия, а также квазисвязанные метастабильные состояния взаимодействующих кинков и антикинков, которые являются бризерами. Спектр таких бризеров исследован. Показано, что при определенных условиях этот спектр имеет дискретный сектор, что, в свою очередь, позволяет говорить о возможности когерентной квантовой генерации спиновых волн в графеновых структурах, что важно с точки зрения их практического применения в наноэлектронике и спинтронике.

3.1. Предпосылки построения модели графенового ферромагнетизма

Сегодня общепринятая теоретическая модель электронной структуры однослойной графеновой пленки, предложенная в [77] и исследованная в ряде работ [33; 50; 55], хорошо известна. В рамках этой модели не все экспериментально наблюдаемые свойства графена могут быть удовлетворительно объяснены. В нескольких работах (например, см. [82]) был описан высокотемпературный ферромагнетизм, не обусловленный ни одной из трех возможных причин: примесями,

дефектами, границами, а в [74] процессы спин-поляризованных импульсов тока в пленке графена. экспериментально наблюдались. Предложена и исследована теоретическая модель, описывающая коллективные спин-электронные свойства однослойных графеновых структур, образующих двумерные поверхности, связанные с наличием на этих поверхностях ненулевой функции распределения спиновой плотности, образовавшейся в результате спонтанного нарушения спиновой симметрии валентных электронов атомов углерода на заданных поверхностях. Поскольку спиновая плотность пропорциональна плотности намагниченности, эта модель позволяет описать ферромагнитные свойства графеновых структур.

В рамках предлагаемой модели осуществляется переход от рассмотрения дискретной двумерной углеродной решетки, образующей графеновую пленку, к непрерывной двумерной поверхности, натянутой на этой решетке. Указанная двумерная поверхность является конфигурационным пространством модели. Таким образом, мы осуществляем переход к модели непрерывного поля. Такой подход представляется естественным, поскольку известно, что, в частности, в графеновых структурах четвертый валентный sp-электрон углерода является коллективным, и его волновая функция не локализована на узле решетки. Таким образом, спиновые состояния волновой функции системы валентных электронов графенового слоя определяют некоторую функцию спиновой плотности на двумерном конфигурационном пространстве модели. Мы будем рассматривать эту функцию как некоторую (классическую) нелинейную функцию поля на двумерной поверхности. В рассматриваемой модельной функции спина плотность может быть тривиальной и тождественно равной нулю. Основываясь на вышеприведенных экспериментальных данных, предположим, что эта симметричная

конфигурация поля может быть спонтанно нарушена для некоторых физически наблюдаемых.

Как отмечалось ранее [24; 25] и как недавно это было подтверждено в работах [9; 78], в рамках классической нерелятивистской модели поля выполняется аналог известной теоремы Голдстоуна, согласно которой каждый нарушенный генератор начальной симметрии поля системы соответствует безмассовому скалярному незаряженному бозону (который в нашем случае можно назвать спиноном).

В этом случае спонтанное нарушение спиновой симметрии в рамках предложенной модели должно приводить к существованию на графеновых поверхностях квазичастиц — спинонов (магнонов), являющихся векторными бозонами в трехмерном физическом пространстве и скалярных бозонов в двумерном конфигурационном пространстве в модели как проекции спин квазичастицы на конфигурационное пространство модели всегда равен нулю.

С физической точки зрения, наличие коллективных эффектов в спинонной системе, вызванных влиянием суммарного магнитного поля, создаваемого всеми спинонами на каждый спинон, и спонтанным нарушением спиновой симметрии в такой системе означает нелинейность соответствующих уравнений поля, следовательно на графеновых поверхностях возможно существование солитонных конфигураций, зависящих от формы и топологии поверхности.

Кроме того, наличие коллективных нелинейных взаимодействий в ансамбле спинов должно приводить к появлению эффективной массы спина по механизму Хиггса, что также должно влиять на наблюдаемые физические последствия. Хотя из-за малой величины таких взаимодействий вряд ли можно ожидать больших значений этой массы.

Итак, уравнения для требуемого скалярного поля, заданного на некоторой двумерной поверхности, должны быть нелинейными и определенными на этой поверхности достаточно произвольных форм и топологий. Форма и топология определяют граничные условия для полевой функции. Указанная функция определяет условия существования, конфигурации и динамики квазичастиц этого поля на заданной двумерной поверхности.

В частности, уравнения поля, описывающие безмассовые нелинейные скалярные квазичастицы обладают указанными выше свойствами.

Таким образом, для описания возбуждений спинонов на поверхностях графена мы используем один из вариантов модели нелинейного поля, который позволяет рассчитывать собственные решения, эффективные массы, топологические инварианты, энергетические спектры, динамику различных нелинейных конфигураций спинонов и другие характеристики статистики спинонов.

Сделаем переход от дискретного набора узлов двумерной гексагональной решетки, в которой могут быть локализованы несвязанные электроны, как соответствующей электронной, так и спиновой плотности, к непрерывному представлению соответствующего конфигурационного пространства.

Классическая полевая модель, описывающая спонтанно нарушенную симметрию, является нелинейной. Среди нелинейных моделей простейшая и известная модель \(f4 достаточно хорошо изучена. Имеется ряд неэквивалентных моделей, таких как Х^>4, sin-Gordon, KdV и др. Однако в первом приближении все они эквивалентны. А мы и намерены изучать нашу модель в первом приближении. Поэтому полагаем, что в первом приближении мы можем описать с его помощью характеристики спиновых волн, представляющих интерес для нас, их спектры

в графене, ферромагнитную доменную структуру и другие характеристики, важные для практического применения [24; 25].

Модель имеет точные решения кинка и антикинка и их квазиограниченные состояния (бризеры), которые мы получим численно. Мы будем использовать энергию взаимодействия кинк-антикинк [24; 25] для численного решения уравнения Шредингера при моделировании квантовой динамики бризеров, лежащего в основе описания спиновых волн. В модели имеются квазиограниченные кинк-антикинк состояния, имеющие дискретный спектр. Это позволяет поставить проблему создания обратной плотности заселенностей и реализации квантовой генерации спиновых волн.

3.2. Модель взаимодействия

Рассмотрим в качестве примера нелинейную модель \(р4 с целью показать результаты качественного и численного исследования спиновых волн в однослойной пленке графена. Рассмотрим нелинейную модель скалярного поля на двумерной поверхности с Лагранжианом:

где V = 0,1,2, (р = <р(х, у,Ь), >0 и А > 0. Функция поля здесь пропорциональна двумерной плотности спина. Уравнения поля и граничные условия имеют вид

[(д„.д-) — \р>1 ](р — \р>3 = о, 1ф,у,1)1<^о, Чх,у,г. (3.1)

Известно, что это нелинейное уравнение имеет статические вакуумные решения

А также кинк-антикинк решения

{х) = ±^0 ^^ I х

Исследуем систему взаимодействующих кинков и антикинков, расположенных на расстоянии один от другого. Для этого выберем функцию поля способом

Ф(ж, а) = [(р+ {х + а) + {х — а) — р0], а > 0. (3.2)

Мы видим, что полевая функция (3.2) при малых значениях а пространственно локализована вблизи х = 0 и имеет следующую асимптотику:

Ф{х,+ж) = —^0,

а) = —^0, Ф{—ж, а) = —^0, Ф'х (+то,а) = 0 , Ф'х {—ж,а) = 0 .

Кинк и антикинк, разделенные на достаточно большое (по сравнению с «толщиной» кинка) расстояние, тем не менее сохраняют свою форму.

Рассмотрим функцию Гамильтона системы:

/ + <Х , \ ч

йх {[диФ{х, а)диФ{х, а)] + - [Ф(ж, а)2 — $]2 (3.3)

Эту функцию можно рассматривать как функцию от полной энергии системы кинк-антикинк, и мы можем формально исследовать ее зависимость от а. Зависимость гамильтониана от а соответствует зависимости потенциальной энергии взаимодействия кинк-антикинк от расстояния между ними. При наличии минимумов этой функции естественно ожидать существования дискретных спектров связанных состояний в системе кинк-антикинк вблизи этих минимумов. Это будет бризер.

Для квантово-механической стационарной волновой функции бризера можно записать уравнение Шредингера, зависящее от параметра а:

й2

2ть йа2

+ и{Ф,а}

(а) = ЕЪъ (а), (3.4)

здесь ть - эффективная масса бризера, равная сумме масс кинка и антикинка, и{Ф,а} - потенциальная часть полной энергии бризера, в зависимости от а, Е -энергия состояния. Движение бризера по обобщенной координате а физически соответствует изменению расстояния между кинком и антикинком.

Найдем связанные состояния системы кинк-антикинк вблизи минимума потенциала взаимодействия. Эта проблема может быть решена численно.

3.3. Численные расчеты для модели нелинейных спиновых волн в графене

Численное моделирование начинается с приближенного решения (3.2) для (3.1). Для начала рассчитаем зависимость У(а) = Н{Ф, а} из уравнения (3.3). Расчеты

проводились с использованием адаптивной процедуры интегрирования функций, основанной на методе Ньютона-Коута с различными числовыми значениями

параметров Л и .В качестве иллюстрации построим график функции У;

а

в Л = 0.2 и = 4.0 (см. рис. 3.1).

-е

А

\ (

1 /

зг