Динамика пучка в синхротронах с цифровыми системами подавления когерентных колебаний заряженных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.20, кандидат наук Жабицкий, Вячеслав Михайлович

• Жабицкий, Вячеслав Михайлович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Жабицкий, Вячеслав Михайлович

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Физико-математическая модель цифровой широкополосной системы подавления когерентных поперечных колебаний

1.1. Вводные замечания и упрощения

1.2. Дискретная модель системы подавления колебаний сгустка

1.3. ^-преобразование как метод решения

1.3.1. Основные определения

1.3.2. Общее решение

1.3.3. Характеристическое уравнение

1.3.4. Асимптотические решения

1.3.5. Приближенные решения

1.3.6. Идеальная система подавления

1.4. Реализации цепей обратной связи

1.5. Отклик пучка на дельта-импульс

1.6. Сравнение с экспериментальными результатами

1.7. Выводы и результаты

Глава 2. Допуски и ограничения для систем подавления когерентных поперечных колебаний сгустков

2.1. Дискретная модель системы подавления колебаний сгустков

2.1.1. Базовые дифференциальные уравнения

2.1.2. ^-преобразование как метод решения

2.2. Допуск на отклонение рабочей точки

2.2.1. Основные соотношения и допущения

2.2.2. Карта изолиний для декрементов затухания

2.3. Отклик пучка на гармоническое воздействие

2.3.1. Резонансная кривая

2.3.2. Коэффициент резонансного усиления

2.4. Подавление неустойчивости сгруппированного пучка

2.4.1. Основные уравнения

2.4.2. Общее решение

2.4.3. Одиночный сгусток

2.4.4. Два идентичных сгустка

2.4.5. Эквидистантные идентичные сгустки

2.4.6. Разброс частот когерентных колебаний сгустков

2.4.7. Подавление когерентных колебаний сгустков

2.5. Сравнение с экспериментальными результатами

2.6. Выводы и результаты

Глава 3. Многоканальные системы подавления когерентных поперечных колебаний

3.1. Особенность решений характеристического уравнения для классической системы вблизи полуцелого числа бетатронных колебаний Q0

3.1.1. Приближенное решение

3.1.2. Сравнение с экспериментальными результатами

3.2. Дискретная модель многоканальной системы

3.2.1. Базовые уравнения

3.2.2. Характеристическое уравнение

3.2.3. Быстрая система подавления

3.2.4. Сравнение с экспериментальными результатами

3.3. Выводы и результаты

Глава 4. Физико-математическая модель системы подавления коге-

рентных продольных колебаний

4.1. Дискретная модель системы подавления

4.1.1. Базовые уравнения

4.1.2. Система обратной связи с амплитудной модуляцией

4.1.3. Система обратной связи с фазовой модуляцией

4.1.4. Система обратной связи с фазовой модуляцией и дополнительной задержкой

4.1.5. Пример оценки параметров системы подавления

4.2. Сравнение с экспериментальными результатами

4.3. Выводы и результаты

Глава 5. Сглаженное приближение для описания динамики пучка в синхротроне с системой обратной связи

5.1. Основные уравнения

5.2. МетодьТрешения

5.2.1. Метод интегральных преобразований

5.2.2. Метод Крылова—Боголюбова—Митропольского

5.3. Системы обратной связи с цифровым фильтром

5.3.1. Демпфирование когерентных бетатронных колебаний

5.3.2. Демпфирование когерентных синхротронных колебаний

5.4. Выводы и результаты

Глава 6. Системы подавления когерентных поперечных колебаний с нелинейной передаточной характеристикой цепи обратной связи

6.1.1. Базовое разностное уравнение

6.1.2. Модификация метода Крылова—Боголюбова—Митропольского для решения разностных уравнений

6.2. Примеры систем подавления с нелинейной передаточной характеристикой цепи обратной связи

6.2.1. Кубическая нелинейность

6.2.2. Кулоновское трение

6.2.3. Нелинейный режим с ограничением силы коррекции

6.3. О росте эмиттанса пучка в синхротроне вследствие ошибок ин-жекции при наличии системы подавления

6.3.1. Физико-математическая модель

6.3.2. Система подавления с линейной передаточной характеристикой

6.3.3. Система подавления с нелинейной передаточной характеристикой

6.4. Выводы и результаты

Глава 7. Система подавления когерентных поперечных колебаний пучка в коллайдере LHC

7.1. Физико-технические спецификации системы подавления

7.2. Основные параметры функционирующей системы подавления

7.3. Некоторые экспериментальные результаты

7.4. Выводы и результаты

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Литература

Приложение А. Некоторые математические соотношения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика пучка в синхротронах с цифровыми системами подавления когерентных колебаний заряженных частиц»

Введение

Представлены результаты теоретического исследования динамики пучка в синхротронах с системами подавления когерентных колебаний заряженных частиц на основе оригинальных моделей с целью уточнения имеющихся закономерностей и выявления ограничений, обусловленных использованием цифровых методов обработки сигналов в цепи обратной связи системы подавления. Выявлены количественные и качественные закономерности для сдвигов частот и декрементов затухания когерентных колебаний сгустков в синхротроне при наличии системы подавления, согласующиеся с экспериментальными данными, полученными на Большом Адронном Коллайдере (ЬНС) на протонном пучке.

Объектом исследования является сгруппированный пучок заряженных частиц, подверженный действию детерминированных возмущающих сил в синхротроне с системами обратной связи. Колебания частиц внутри сгустка, диффузионные явления, возбуждение колебаний случайными силами и радиационные эффекты, характерные для электронных синхротронов, не рассматриваются.

Диссертация выполнена в Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ). В нее вошел цикл теоретических и экспериментальных исследований, проведенных автором в связи с созданием «Системы подавления когерентных поперечных колебаний пучка в ЬНС». Исследования осуществлялись в соответствии с Проблемно-тематическим планом научно-исследовательских работ и международного сотрудничества ОИЯИ, Соглашением о сотрудничестве между ОИЯИ и Европейской организацией ядерных исследований (ЦЕРН) по их участию в проекте по созданию Большого Адронного Коллайдера (ЬНС).

В диссертации осуществлено решение научно-технической проблемы, важной для физики пучков заряженных частиц и актуальной для нового поколения протонных и ионных синхротронов, которые создаются или совершенствуются с целью проведения эффективных исследований в области физики элементарных частиц и релятивистской ядерной физики.

Актуальность работы

Разработка, проектирование, модернизация и эксплуатация ускорительных комплексов протонов и ионов, таких как LHC (ЦЕРН), У-70 (ИФВЭ, Протвино), FAIR (GSI, Дармштадт), NICA (ОИЯИ), включающих в себя несколько синхротронов с высокими требованиями физического эксперимента к интенсивности и фазовой плотности пучка или коллайдер с предельно возможной светимостью, сопровождаются решением научно-технических задач ускорительной физики и техники, среди которых можно выделить пять проблем, относящихся к заявленной теме диссертации:

1. Достижение высокой интенсивности пучка заряженных частиц.

2. Сохранение фазовой плотности пучка при переводе из синхротрона-инжектора в принимающий синхротрон.

3. Обеспечение повторяемости расчетных параметров пучка в различных ускорительных циклах.

4. Контроль параметров синхротрона с требуемой точностью без заметного ухудшения качества пучка при длительных циклах ускорения и накопления.

5. Внедрение цифровых технологий в управляющей системе, обеспечивающей демпфирование когерентных колебаний сгустков.

Повышение интенсивности пучков заряженных частиц является одной из основных задач в ускорительной физике и технике. Одним из факторов ограничения интенсивности пучка в синхротронах и накопителях являются когерентные неустойчивости. Число обнаруженных к настоящему времени различных типов когерентных неустойчивостей весьма велико. Обусловленные ими ограничения на интенсивность ускоряемого пучка заставляют разрабатывать методы их изучения и подавления. С этой целью в современных синхротронах широко используются системы подавления (СП) когерентных колебаний пучка заряженных частиц [37]. В таких системах демпфирующий дефлектор осуществляет

коррекцию импульса пролетающих заряженных частиц пропорционально их отклонению от положения равновесия, измеренному в предшествующие моменты времени с помощью датчика положения центра тяжести пучка. Подобные СП позволили существенным образом повысить интенсивность ускоряемого пучка. В связи с этим в составе современных протонных синхротронов функционируют системы подавления когерентных колебаний, обеспечивающие, как это отмечено в литературном обзоре диссертации, декремент затухания колебаний а < 0.012. При этом актуален вопрос о требованиях к СП в зависимости от интенсивности ускоряемых сгустков и структуры ускоряемого пучка.

В современных ускорительных комплексах, в составе которых функционируют несколько синхротронов, при переводе сгустков из синхротрона-инжектора в принимающий синхротрон неизбежно возникают отклонения инжектируемых сгустков от расчетных положений их устойчивого равновесия. При этом инжектируемые заряженные частицы, циркулируя в синхротроне, совершают малые колебания вблизи своего положения устойчивого равновесия: бетатронные колебания в поперечном направлении (вертикальной и горизонтальной плоскостях) относительно мгновенной замкнутой орбиты (деформированной или расчетной) в ведущем магнитном поле и синхротронные колебания в продольном направлении относительно синхронной фазы. Из-за ошибок инжекции эти малые колебания частиц, вследствие их электромагнитного взаимодействия с другими частицами, могут инициировать совместные колебания выделенной группы частиц (сгустка) и становиться когерентными. Вследствие энергетического разброса частиц в инжектируемом пучке малые когерентные колебания переходят в некогерентные (процесс естественного затухания когерентных колебаний), что сопровождается увеличением линейных размеров сгустков. Происходит уменьшение фазовой плотности пучка. Так, на ускорительном комплексе ЦЕРН, в составе которого цепочка из четырех синхротронов, нормализованный поперечный эмиттанс пучка возрастает почти в 1.5 раза в основном из-за ошибок инжекции. В связи с этим необходимо подавлять когерентные колебания сгустков после ин-

жекции с высоким темпом за промежутки времени, которые должны быть короче времени перехода когерентных колебаний в некогерентные. Поэтому актуальны оценки предельных темпов подавления в контексте допусков на рост эмиттанса пучка в условиях двух конкурирующих процессов (естественного затухания и подавления когерентных колебаний).

Система подавления когерентных колебаний, будучи установленной на синхротроне и настроенной в соответствии с выбранной рабочей точкой по числу колебаний за оборот <2 о, должна обеспечивать стабильное подавление когерентных колебаний при вариации <2о- В литературе отсутствуют сведения о допусках на величину изменения <2о> которые необходимы при проектировании СП.

При исследовании динамики пучка в синхротроне при наличии СП используются дифференциальные уравнения малых колебаний [38]:

т0у

где £2 — циклическая частота колебаний заряженной частицы с массой то в фокусирующем электромагнитном поле, у — релятивистский фактор, т — величина задержки сигнала в цепи обратной связи. Рекомендации [38], получающиеся в сглаженном приближении при эмпирической замене импульсной силы /^(х) на диссипативную, пропорциональную скорости х, как минимум необходимо уточнить при использовании цифровой СП, поскольку результирующая сила воздействия дефлектора на пучок пропорциональна суперпозиции сигналов с датчика положения, зафиксированных на нескольких оборотах.

Основным направлением проектирования и развития СП является применение методов цифровой обработки сигналов в цепи обратной связи. Существующие предсказания по тактовой частоте цифровых систем подавления и оценки влияния шумов квантования на рост эмиттанса пучка не приводят к каким-либо ограничениям, обусловленным использованием цифровых технологий. Вместе с тем отсутствуют предсказания по возможным ограничениям на величины декрементов когерентных колебаний при использовании цифровых СП.

Основные параметры ускорительного цикла контролируются и регулируются с помощью цепей обратной связи в процессе ускорения. При измерении параметров пучка в ряде случаев используются методы импульсного гармонического воздействия на сгусток, например, с помощью электромагнитного толкателя. Эти воздействия могут быть систематическими (например, с целью контроля качества пучка после инжекции) или случайными (например, при измерении частот бета-тронных колебаний в произвольный момент времени в пределах ускорительного цикла). Амплитуда возбужденных когерентных колебаний должна быть достаточной по величине для детектирования сигналов и измерения параметров колебаний с требуемой точностью. Однако система подавления, обеспечивая затухание когерентных колебаний, приводит к неизбежному сокращению промежутка времени, в течение которого измеряемый сигнал может быть идентифицирован на уровне шумов. Поэтому необходимы оценки для величин и продолжительности действия сил возбуждения когерентных колебаний при наличии СП с учетом их возможного влияния на рост эмиттанса.

Актуальность перечисленных выше физических задач и поиск путей их решения явились мотивацией к выполнению данной работы.

Цель диссертационной работы:

- построение физико-математической модели, описывающей динамику пучка заряженных частиц после инжекции и при ускорении под влиянием управляющих воздействий цифровой системы обратной связи, приводящих к затуханию когерентных колебаний;

- получение аналитических решений, позволяющих сопоставить расчетные данные (например, декременты затухания когерентных колебаний) с экспериментально наблюдаемыми характеристиками колебательного процесса в максимально приближенных к эксперименту условиях, в том числе при темпах подавления, близких к предельно возможным;

- сопоставление результатов разработанной модели с получающимися в линейном приближении решениями уравнений динамики пучка при использовании метода Крылова—Боголюбова—Митропольского и методов решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом;

- формулирование перечня спецификаций для физико-технических обоснований проектов цифровых систем подавления в новых синхротронах с учетом опыта создания такой системы для ЬНС (ЦЕРН) в совместном проекте ЦЕРН и ОИЯИ.

Научная новизна

Приведены результаты теоретического исследования динамики сгустков заряженных частиц в синхротронах с цифровыми системами обратной связи с помощью методов дискретного анализа:

• уточнены зависимости и выявлены ограничения для декрементов затухания и частот когерентных бетатронных колебаний от величины баланса фаз, численно равной разности между набегом фазы бетатронных колебаний частицы при пролете от измерительного датчика до демпфирующего дефлектора и изменением фазы управляющего сигнала в цепи обратной связи;

• впервые продемонстрировано, что при использовании цифровых фильтров в цепи обратной связи систем подавления с задержкой сигнала более чем на один оборот возникают дополнительные к бетатронным моды колебаний сгустков, которые влияют на область устойчивости движения частиц;

• введено новое понятие: сепаратриса для декрементов затухания когерентных поперечных колебаний; приведен метод расчета, позволяющий установить конфигурацию сепаратрисы и карты изолиний для декрементов затухания; показано, что высота сепаратрисы зависит от параметров цифрового фильтра и величины баланса фаз.

Практическая значимость

Разработанные в диссертации методы позволяют упростить качественный анализ цифровых систем подавления когерентных колебаний, а также усовершенствовать методы и оценки их характеристик с учетом найденных аналитических решений без трудоемких численных расчетов.

Достоверность и эффективность предложенных расчетных методов позволяют использовать их при проектировании современных синхротронов для выявления новых цифровых методов обработки детектируемых сигналов, не нарушающих условий устойчивости движения частиц, но повышающих помехоустойчивость управляющих процессов и позволяющих работать с меньшими уровнями входных сигналов и демпфирующих воздействий.

Разработанные методы применены автором диссертации для анализа режимов работы системы подавления когерентных поперечных колебаний пучка в ЬНС (ЦЕРН) и сопоставления проектных и фактических характеристик системы подавления, созданной в совместном проекте ЦЕРН и ОИЯИ.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Результаты исследования динамики пучка в синхротронах с системами обратной связи, основанного на использовании методов дискретной математики.

2. Результаты расчетных и экспериментальных данных для сдвигов частот и декрементов затухания когерентных поперечных колебаний протонов в ЬНС.

3. Оригинальный подход для учета флуктуаций положения рабочей точки по числу бетатронных колебаний в синхротроне с цифровой системой обратной связи, приводящий к новому понятию - сепаратриса для декрементов затухания.

4. Доказано, что сдвиги частот и декременты затухания когерентных колебаний, вычисленные в линейном приближении по величине коэффициента обратной связи для сглаженных уравнений динамики пучка с помощью метода Крылова-Боголюбова—Митропольского и методов решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, совпадают с соответствующими выражениями,

вычисленными при использовании методов дискретного анализа.

5. Аналитический подход к решению задачи о подавлении остаточных колебаний сгустков после инжекции в синхротрон с цифровой системой обратной связи, имеющей нелинейную передаточную характеристику.

6. Основные результаты разработки, наладки и эксплуатации системы подавления когерентных поперечных колебаний пучка в ЬНС, обладающей существенными элементами новизны в принятых технических решениях.

Апробация работы

Диссертация написана на основе научных работ, выполненных автором или с участием автора в Объединенном институте ядерных исследований. Изложенные в ней материалы:

• докладывались на совещаниях в ОИЯИ в рамках работ по созданию систем подавления когерентных колебаний пучка в синхротронах и накопителях,

• обсуждались в ускорительном подразделении ЦЕРН в связи с работами по созданию систем подавления когерентных колебаний пучка в ЬНС,

• докладывались на научных семинарах ОИЯИ,

• докладывались на Международных конференциях по физике и технике ускорителей заряженных частиц, проходивших

- в России: ЯиРАС'94 [16, 17], ЯиРАС'98 [21], ЯиРАС'08 [23], ЫиРАС'Ю [25, 26], ЯиРАС'12 [15],

- в зарубежных странах: НЕАС'93 [18], РАС'93 [10], ЕРАС'94 [19], ЕРАС'96 [20], СООЬ'97 [8, 9], РАС'97 [11], ЕРАС'98 [12], РАС'99 [13], ЕРАС'ОО [22], 8ага1И8еу'05 [1], ЕРАС'08 [14], ШАТ'09 [24], 8агап18еу'09 [3], Зага^Беу'П [4].

Достоверность и обоснованность

Основные результаты физико-математического исследования цифровых систем подавления когерентных колебаний пучка заряженных частиц в синхротронах подтверждены экспериментальными работами, выполненными на Большом

Адронном Коллайдере (LHC, ЦЕРН) при изучении поперечной динамики пучка при рекордных энергиях протонов от 450 ГэВ до 4 ТэВ.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 36 печатных работах, из них 9 статей в рецензируемых журналах [1-9], 17 статей в трудах конференций [10-26], 10 сообщений ОИЯИ [27-34] и ЦЕРН [35, 36].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Полученные лично автором результаты опубликованы в виде 8 статей [1-8] в рецензируемых журналах, 10 докладов [11-13, 15, 19-22, 24, 26] в трудах конференций и 5 сообщений ОИЯИ [27, 29, 33, 34] и ЦЕРН [35].

В перечне устных докладов на международных конференциях включены 2 доклада [23, 25], которые диссертант представлял от имени коллаборации "LHC Damper" как первые экспериментальные результаты по наладке системы подавления когерентных поперечных колебаний протонного пучка в LHC. Подготовка других публикаций [9, 10, 14, 16-18, 28, 30-32, 36] проводилась совместно с соавторами на паритетных началах.

Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 7 глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 224 страницы, включая 33 рисунка и 3 таблицы. Библиография включает 138 наименований на 18 страницах.

Краткое содержание диссертации

В Литературном обзоре приведены научные результаты и экспериментальные данные, которые сопоставляются в диссертации с полученными автором результатами.

В Главе 1 изложено обоснование физико-математической модели цифровой широкополосной системы подавления когерентных поперечных колебаний «жёсткого» сгустка. Динамика такого одиночного сгустка описывается с помощью линейных матричных уравнений движения заряженной частицы в синхротроне [39] и линейных разностных уравнений для цифровых фильтров с конечной и бесконечной импульсной характеристикой [40]. Для решения полученной системы линейных уравнений использовано преобразование Лорана (^-преобразование) [40]. Возникающее при этом характеристическое уравнение для собственных частот является алгебраическим и может быть решено для произвольных величин коэффициента обратной связи g. Получены уточненные зависимости для декрементов затухания при росте величин коэффициента обратной связи. Продемонстрировано совпадение экспериментальных данных с расчетными зависимостями для декрементов затухания когерентных поперечных колебаний протонного пучка в ЬНС при рекордной энергии 3.5 ТэВ в широком диапазоне величин коэффициента обратной связи вплоть до значений, для которых темп затухания колебаний по крайней мере в четыре раза превосходит достигнутый на других протонных синхротронах уровень.

Результаты первой главы опубликованы в работах [3, 5, 8, 10, 15, 20, 24, 27].

В Главе 2 исследуется проблема о конфигурации области устойчивого затухания когерентных поперечных колебаний сгустков в синхротроне при вариации параметров, влияющих на бетатронное движение частицы. Получено характе-

ристическое уравнение, в котором учтено изменение эффективной частоты бе-татронных колебаний, возникающее вследствие влияния хвостовых полей взаимодействующих сгустков. Получен новый результат о расщеплении когерентной частоты на сателлитные моды, обусловленные структурой пучка. Проанализировано влияние флуктуаций положения рабочей точки по числу бетатронных колебаний на декременты затухания. Введено новое понятие: сепаратриса для декрементов затухания когерентных поперечных колебаний. Показано, что высота сепаратрисы зависит от параметров цифрового фильтра и баланса фаз. Выявлены закономерности для резонансной зависимости амплитуд вынужденных колебаний от параметров цепи обратной связи. Показано, что смещение максимума резонансной кривой зависит от баланса фаз. Приведены экспериментальные данные, подтверждающие наличие линейной поправки к частоте колебаний при отклонении баланса фаз от оптимального значения.

Результаты второй главы опубликованы в работах [3-5, 7, 8, 16, 19, 28, 29, 31, 32, 34, 35].

В Главе 3 приведены результаты исследования многоканальных систем подавления когерентных поперечных колебаний «жёсткого» сгустка. Основанием для изучения многоканальных систем подавления стали экспериментальные данные, полученные на синхротроне SPS (ЦЕРН) при исследовании устойчивости высокоинтенсивного пучка заряженных частиц при приближении числа бетатронных колебаний к полуцелому числу. С учетом теоретических результатов предыдущих глав диссертации продемонстрировано, что область устойчивости пучка по диапазону допустимых величин коэффициента обратной связи при приближении числа бетатронных колебаний к полуцелому числу в синхротронах с одноканальной системой подавления существенно сокращается, что соответствует экспериментальным измерениям на SPS.

С учетом теоретических результатов для классической (одноканальной) системы подавления приведено физико-математическое обоснование быстрой

(двухканалыюй) системы подавления когерентных поперечных колебаний пучка заряженных частиц.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [9, 17, 18, 30, 31, 33, 36].

В Главе 4 рассмотрены основные физические понятия, математический аппарат и методы решения системы линейных разностных уравнений, описывающих продольную динамику заряженных сгустков в синхротроне при наличии системы подавления их когерентных продольных (синхротронных) колебаний. Продемонстрировано, что на плато магнитного поля и при ускорении демпфирование когерентных синхротронных колебаний возможно только при фазовой модуляции ускоряющего ВЧ-напряжения. Показано совпадение экспериментальных данных, полученных на синхротроне PETRA II (бустер для HERA в DESY), и расчетных величин для декрементов затухания когерентных продольных колебаний в апериодическом режиме.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [6, 26].

В Главе 5 показано, что использование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом [41] позволяет описать динамику пучка в синхротронах с системами обратной связи в рамках сглаженного приближения, применяемого в теоретических исследованиях [42, 43] и заключающегося в замене локального демпфирующего воздействия непрерывно действующей корректирующей силой. Для решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, описывающих динамику пучка в сглаженном приближении в синхротроне с системой обратной связи, использован метод интегральных преобразований (одностороннее преобразование Фурье) и метод усреднения Крылова-Боголюбова— Митропольского [44, 45]. В линейном приближении по величине коэффициента обратной связи получены аналитические выражения для сдвигов частот и декрементов затухания когерентных поперечных (бетатронных) и про-

дольных (синхротронных) колебаний, которые совпадают с соответствующими выражениями оригинальных моделей, где использовались методы дискретной математики для учета локальности корректирующего воздействия, пропорционального локальному когерентному смещению сгустка.

Результаты пятой главы опубликованы в работе [7].

В Главе 6 приведены некоторые результаты по динамике пучка в синхротроне с системой подавления когерентных поперечных колебаний с нелинейной передаточной характеристикой цепи обратной связи. Изложен аналитический подход к решению задачи о подавлении остаточных колебаний сгустков после инжекции и о росте эмиттанса пучка вследствие ошибок инжекции на основе разностных нелинейных уравнений динамики пучка и последующего применения приближенного подхода для их решения, аналогичного методу Крылова—Боголюбова—Митропольского для нелинейных дифференциальных уравнений. Установлены количественные закономерности увеличения эмиттанса пучка, возникающего вследствие ошибок инжекции, в зависимости от декремента затухания когерентных колебаний, инкремента когерентной неустойчивости и постоянной перехода когерентных колебаний в некогерентные в синхротронах с системами обратной связи с линейной и нелинейной передаточной характеристикой цепи обратной связи.

Результаты шестой главы опубликованы в работах [2, 6, 12, 13, 21, 22].

В Главе 7 приведено описание системы подавления когерентных поперечных колебаний пучка в ЬНС, обладающей существенными элементами новизны в принятых технических решениях. Сформулирован необходимый перечень спецификаций для физико-технического обоснования цифровой системы подавления когерентных поперечных колебаний с учетом опыта создания такой системы для ЬНС в совместном проекте ЦЕРН - ОИЯИ. Приведены некоторые результаты,

подтверждающие успешное функционирование системы подавления когерентных поперечных колебаний протонного пучка в ЬНС.

Результаты седьмой главы опубликованы в работах [1, 5, 14, 15, 23, 25].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В диссертации выполнено исследование, в котором последовательно излагаются дискретные методы анализа движения заряженных частиц в периодических структурах. Систематизированы и уточнены имеющиеся данные и предсказаны новые закономерности и ограничения для динамики пучка в синхротронах с цифровыми системами подавления когерентных колебаний, подтвержденные в экспериментах с протонным пучком на ЬНС в новой области энергий до 4 ТэВ.

Обзор литературы

Изучение динамики пучка заряженных частиц в синхротроне в присутствии систем подавления (СП) когерентных колебаний начато сравнительно давно. В первых экспериментальных реализациях систем подавления поперечных когерентных колебаний пучка как целого (см. например, [46, 47]) активное воздействие на пучок осуществлялось с помощью демпфирующего дефлектора, на который подавался аналоговый сигнал с датчика положения, пропорциональный смещению центра тяжести пучка в предшествующие моменты времени. При синхронизации отсчетов для измеренных отклонений и корректирующих импульсных воздействий для одних и тех же частиц обеспечивалось подавление их когерентных поперечных колебаний при условии, что между датчиком положения и демпфирующим дефлектором укладывается нечетное число четвертей длин волн бетатронных колебаний, то есть когда дробная часть набега фазы бетатронных колебаний от датчика до дефлектора равна ±90 градусам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Жабицкий, Вячеслав Михайлович, 2013 год

Литература

1. Жабицкий В. М. Системы подавления поперечных колебаний пучка в современных синхротронах // Письма в ЭЧАЯ. 2006. Т. 3, № 7(136). С. 96-102.

2. Жабицкий В. М. О росте эмиттанса пучка вследствие ошибок инжекции в синхротронах с нелинейными системами подавления когерентных поперечных колебаний // Письма в ЭЧАЯ. 2008. Т. 5, № 1(143). С. 86-93.

3. Жабицкий В.М. Устойчивость ионного пучка в синхротронах с цифровыми системами подавления когерентных поперечных колебаний // Письма в ЭЧАЯ. 2010. Т. 7, №7(163). С. 742-747.

4. Жабицкий В. М. Устойчивость пучка в синхротронах с цифровой системой подавления когерентных поперечных колебаний в зависимости от частоты бетатронных колебаний // Письма в ЭЧАЯ. 2012. Т. 9, №4-5(174-175). С. 563-568.

5. Жабицкий В.М. Отклик пучка на переходный процесс в синхротронах с цифровой системой подавления когерентных поперечных колебаний // Письма в ЭЧАЯ. 2013. Т. 10, № 1(178). С. 120-129.

6. Жабицкий В.М. О росте продольного эмиттанса сгустков из-за ошибок инжекции в синхротронах с системой демпфирования когерентных продольных колебаний // Письма в ЭЧАЯ. 2013. Т. 10, №2(179). С. 236-244.

7. Жабицкий В.М. Динамика пучка в синхротронах с системами обратной связи // Письма в ЭЧАЯ. 2013. Т. 10, №6(183). С. 947-957.

8. Zhabitsky V. М. Transverse Feedback System with a Digital Filter // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. A. 1997. Vol. 391. Pp. 96-99.

9. Gleibman E. M., Zhabitsky V. M., Ivanov I. N., Kononov G. I., Lebedev N. I., Likhachev A. G., Melnikov V.A., Malakhov N.A., Pilyar N.V., Rukojatki-

191

na T. V., Scheulin A. S., Merker S. E., Mikheev M. S. System for initial betatron oscillation damping for UNK I stage beam // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. A. 1997. Vol. 391. Pp. 100-102.

10. Zhabitsky V.M., Korenev I.L., Yudin L. A. Transverse Feedback System with Digital Filter // Proc. of the 1993 Particle Accelerator Conference, 17-20 May 1993, Washington, USA. IEEE, 1993. Pp. 2543-2545. ISBN: 0-7803-1203-1.

11. Zhabitsky V.M. Damping of Injection Oscillations // Proc. of the 1997 Particle Accelerator Conference, 12-16 May 1997, Vancouver, Canada. IEEE, 1998. Pp. 2329-2331. ISBN: 0-7803-4376-X.

12. Zhabitsky V. M. Theory of a Transverse Feedback System with a Nonlinear Transfer Function // Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference, 22-26 June 1996, Stockholm, Sweden. Institute ofPhysics, 1998. Pp. 1380-1382. ISBN: 0-7503-0579-7.

13. Zhabitsky V.M. Nonlinear Damping of Injection Oscillations // Proc. of the 1999 Particle Accelerator Conference, 29 March - 2 April 1999, New York, USA. IEEE, 1999. Pp. 1222-1224. ISBN: 0-7803-5573-3.

14. Baudrenghien P., Höfle W., Killing F., Kojevnikov I., Kotzian G., Louw-erse R., Montesinos E., Rossi V., Schokker M., Thepenier E., Valuch D., Gorbachev E. V., Lebedev N. I., Makarov A. A., Rabtsun S. V., Zhabitsky V. M. LHC Transverse Feedback System and its Hardware Commissioning // Proc. of the 11th European Particle Accelerator Conference, 23-27 June 2008, Genoa. The European Physical Society Accelerator Group (EPS-AG), 2008. Pp. 3266-3268. ISBN: 978-92-9083-315-4.

15. Zhabitsky V.M. Transient Response of a Digital Transverse Feedback System in Synchrotrons // Proc. of XXIII Russian Particle Accelerators Conference

RuPAC-2012, 24-28 September 2012, St.Petersburg, Russia. Saint Petersburg State University, 2012. Pp. 73-75. ISBN: 3-95450-125-0.

16. Жабицкий B.M., Коренев И. JI., Юдин Л. И. Подавление резистивной неустойчивости сгруппированного пучка с использованием цепей обратной связи // XIII Всесоюзное Совещание по ускорителям заряженных частиц, 13-15 октября 1992, Дубна. Т. I. ОИЯИ D9-92-455, Дубна, 1993. С. 78-81.

17. Жабицкий В. М., Чернов П. А. Влияние ошибок в расстановке датчиков и толкателей на параметры системы подавления резистивной неустойчивости в I ступени УНК // XIII Всесоюзное Совещание по ускорителям заряженных частиц, 13-15 октября 1992, Дубна. Т. I. ОИЯИ D9-92-455, Дубна, 1993. С. 82-86.

18. Ivanov I. N., Zhabitsky V. М., Korenev I. L., Yudin L. A., Kopylov L. I. Requirements to the Feedback System to Damp Resistive Instability (I Stage UNK) // Proc. of the XVth International Conference on High Energy Accelerators, 20-24 July 1992, Hamburg, Germany. Vol. II. World Scientific, 1993. Pp. 1034-1036.

19. Zhabitsky V. M. Theory of Multi-Bunch Resistive Wall Instability Damping using Feedback System with a Digital Filter // Proc. of the Fourth European Particle Accelerator Conference, 27 June - 1 July 1994, London, England. World Scientific, 1994. Pp. 1090-1092.

20. Zhabitsky V. M. Transverse Feedback System with a Digital Filter and Additional Delay // Proc. of the Fifth European Particle Accelerator Conference, 10-14 June 1996, Sitges, Spain. Institute of Physics, 1996. Pp. 1833-1835.

21. Жабицкий B.M. Нелинейный режим подавления остаточных колебаний пучка после инжекции в синхротрон // XVI Совещание по ускорителям заряженных частиц, 20-22 октября 1998, Протвино. Т. 2. ИФВЭ, 1999. С. 134-139.

22. Zhabitsky V. M. Nonlinear Damping of Injection Oscillations // Proc. of the Seventh European Particle Accelerator Conference, 26-30 June 2000, Vienna. European Physical Society Interdivisional Group on Accelerators (EPS-IGA), 2000. Pp. 1933-1935.

23. Gorbachev E.V., Lebedev N.I., Makarov A. A., Pilyar N.V., Rabtsun S.V., Smolkov R. A., Zhabitsky V. M., Baudrenghien P., Hofle W., Killing F., Ko-jevnikov I., Kotzian G., Louwerse R., Montesinos E., Rossi V., Schokker M., Thepenier E., Valuch D. LHC Transverse Feedback System: First Results of Commissioning // Proc. of the XXI Russian Particle Accelerators Conference Ru-PAC-2008, 28 September-3 October 2008, Zvenigorod, Russia. Moscow, 2008. Pp. 97-100.

24. Zhabitsky V. M. Beam Stability in Synchrotrons with Digital Filters in the Feedback Loop of a Transverse Damper // Proc. of the 11th International Conference on Heavy Ion Accelerator Technology, 8-12 June 2009, Venizia (Italy). Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN), 2009. Pp. 306-310.

25. Zhabitsky V. M., Hofle W., Kotzian G., Montesinos E., Schokker M., Valuch D. Beam Tests of the LHC Transverse Feedback System // Proc. of XXII Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2010, 27 September-1 October 2010, Protvino, Russia. IHEP, Protvino, 2010. Pp. 275-279.

26. Zhabitsky V. M. Digital Longitudinal Feedback Systems in Synchrotrons // Proc. of XXII Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2010, 27 September-1 October 2010, Protvino, Russia. IHEP, Protvino, 2010. Pp. 224-226.

27. Жабицкий B.M. Применение Z-преобразования для решения задачи о подавлении свободных колебаний пучка в ускорителе. Сообщение ОИЯИ Р9-91-91. Дубна. 1991.-14 февраля. 18 с.

28. Жабицкий В. М., Иванов И. Н., Коренев И. JL, Юдин Л. И. Подавление рези-

стивной неустойчивости в I ступени УНК при цифровой обработке сигнала в цепи обратной связи. Сообщение ОИЯИ Р9-91-99. Дубна. 1991. —22 февраля. 12 с.

29. Zhabitsky V. М. Theoretical Treatment of a Classical Transverse Feedback System Using Z-transform. JINR Commun. E9-91-156. Dubna. 1991.-9 April. 10 p.

30. Жабицкий В. M., Коренев И. JL, Юдин Л. И. Помехоустойчивость системы подавления когерентных поперечных колебаний пучка в синхротроне. Сообщение ОИЯИ Р9-91-246. Дубна. 1991.-31 мая. 14 с.

31. Жабицкий В. М., Коренев И. Л., Юдин Л. И. Система подавления резистив-ной неустойчивости в I ступени УНК с БИХ-фильтром в цепи обратной связи. Сообщение ОИЯИ Р9-91-494. Дубна. 1991.-13 ноября. 11 с.

32. Жабицкий В.М., Коренев И. Л., Юдин Л. И. Подавление резистивной неустойчивости сгруппированного пучка с использованием цепей обратной связи. Сообщение ОИЯИ Р9-92-309. Дубна. 1992.-17 июля. 20 с.

33. Жабицкий В.М. Влияние ошибок в расстановке датчиков и толкателей на параметры системы подавления резистивной неустойчивости в I ступени УНК. Сообщение ОИЯИ Р9-92-310. Дубна. 1992. - 17 июля. 14 с.

34. Zhabitsky V. М. Beam Stability in Synchrotrons with Digital Filters in the Feedback Loop of a Transverse Damper. JINR Commun. E9-2009-82. Dubna. 2009. — 2 June. lip.

35. Zhabitsky V. M. Transverse Damper System for LHC. SL-RFS Note 91-14, LHC Note 175. CERN, Geneva. 1991.-13 December. 16 p.

36. Zhabitsky V.M., Hofle W., Kotzian G. Beam Stability in Synchrotrons with

Notch and All-Pass Filters in the Feedback Loop of a Transverse Damper. CERN-BE-2009-013. Geneva. 2009.-29 April. 12 p.

37. Hofle W. Progress in Transverse Feedbacks and Related Diagnostics for Hadron Machines // Proc. of 4th International Particle Accelerators Conference IPAC-2013, 12-17 May 2013, Shanghai, China. Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams (PRST-AB), 2013. Pp. 3990-3994. ISBN: 978-3-95450-122-9.

38. Lonza M. Multi-bunch feedback system // CAS - CERN Accelerator School: Digital Signal Processing, 31 May - 9 June 2007, Sigtuna, Sweden. CERN-2008-003, Geneva, 2008. Pp. 285 - 330.

39. Courant E. D., Snyder H. S. Theory of the Alternating-Gradient Synchrotron // Annals of Physics. 2000. Vol. 281. Pp. 360^80.

40. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио, 1977. 608 с.

41. Эльсгольц JI. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

42. Kohaupt R.D. Theory of Multi-Bunch Feedback Systems. DESY 91-071. Hamburg. 1991. 22 p.

43. Baudrenghien P. Low level RF systems for synchrotrons // CAS - CERN Accelerator School: Radio Frequency Engineering, Seeheim, 8-16 May 2000. CERN 2005-003, Geneva, 2005. Pp. 146 - 209. SL-Note-2001-008 HRF, 21 February 2001.

44. Боголюбов H. H. Собрание научных трудов в двенадцати томах. М.: Наука, 2005. Т. III. 605 с.

45. Jackson E. Atlee. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Cambridge University Press, 1989. Vol. 1. 496 p.

46. Thorndahl L., Vaughan A. Transverse feedback for the ISR // Proc. of the 5th IEEE Particle Accelerator Conference, 5-7 March 1973, San Francisco, CA, USA. Vol. 20, No.3. IEEE Trans. Nucl. Sci., 1973. Pp. 807-808. CERN ISR-RF/73-12. Geneva.

47. Балбеков В.И., Герцев К.Ф., Лебедев О.П. Системы подавления поперечных дипольных колебаний пучка в ускорителе ИФВЭ. Препринт ИФВЭ 84-23. Серпухов. 1984.

48. Адо Ю. А., Вершинин А. И., Лебедев О. П., Поляков В. В. Широкополосная система подавления поперечных дипольных колебаний пучка в ускорителе ИФВЭ // Труды X Совещания по ускорителям заряженных частиц, 21-23 октября 1986 г., Дубна. Т. I. ОИЯИ Д9-87-105, Дубна, 1987. С. 375-378.

49. Bossart R., L. Burnod J. G., de Raad В., Rossi V. The Damper for the Transverse Instabilities of the SPS // Proc. of the 1979 Particle Accelerator Conference, 12 -14 March 1979, San Francisco, CA, USA. Vol. NS-26, No.3. IEEE Transaction on Nuclear Science, 1979.-June. Pp. 3284-3286.

50. Lebedev O., Ignashin N., Ivanov S., Sytov S. Transverse Feedbacks in the U70 Proton Synchrotron of IHEP // Proc. of XXII Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2010, 27 September-1 October 2010, Protvino, Russia. IHEP, Protvino, 2010. Pp. 239-241.

51. Lebedev O., Ignashin N., Ivanov S., Sytov S. Digital Delay-Line Periodic FIR Filter Layout of Transverse Feedback in the U70 // Proc. of XXIII Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2012, 24-28 September 2012, St.Petersburg, Russia. Saint Petersburg State University, 2012. Pp. 647-649.

52. Ebert E., Heins D., Klute J. et al. Transverse and Longitudinal Multi-Bunch Feedback Systems for PETRA. DESY 91-036. Hamburg. 1991.-April. 18 p.

53. Gamp A., Kibinski J., Millhouse A. et al. Damping of Coherent Synchrotron Oscillations Occuring at Injection of 7.5 GeV Protons into PETRA II // Proc. of the Second European Particle Accelerator Conference, Nice, France. 12-16 June 1990. European Physical Society, 1990. Pp. 1551-1553.

54. Heins D., Klute J., Kohaupt R. et al. Wide Band Multi-Bunch Feedback Systems for PETRA. DESY 89-157. Hamburg. 1989.-November. 15 p.

55. Дементьев E. H., Карнаев С. E., Крутихин С. А. и др. Запуск систем обратной связи на электрон-позитронном коллайдере ВЭПП-4М // Письма в ЭЧАЯ. 2010. Т. 7, вып. 7(163). С. 765-773.

56. Balewski К. Review of Feedback Systems // Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference, 22-26 June 1998, Stockholm, Sweden. Institute of Physics, 1998. Pp. 169-173.

57. Möhl D. Sources of emittance growth // Proc. of the CAS. Specialised CAS Course on Small Accelerators. Zeegse, The Netherlands, 24 May-2 June 2005. CERN 2006-012, 2006. Pp. 45-69.

58. Vos L. Transverse Emittance Blow-up from Dipole Errors in Proton Machines // Proc. of the Sixth European Particle Accelerator Conference, 22-26 June 1998, Stockholm, Sweden. Institute of Physics, 1998. Pp. 1365-1367.

59. Myers S. A First Look at the Requirements for Transverse Feedback for the LEP Main Ring. LEP Note 436. CERN, Geneva. 1983.-28 February. 11 p.

60. Karliner M., Kiselev V., Medvedko A. et al. The Feedback System for Elimination the Fast Head-Tail Instability at Storage Ring VEPP-4M // Proc. of

the 10th European Particle Accelerator Conference, 26-30 June 2006, Edinburgh. The European Physical Society Accelerator Group (EPS-AG), 2006. Pp. 1009-1011.

61. Балбеков В. И. Эффекты пространственного заряда в УНК // XIX Совещание по ускорителям заряженных частиц, 16-18 октября 1984, Дубна. Т. 2. ОИЯИ, 1985. С. 360-367.

62. Брук Г. Циклические ускорители заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1970. 312 с.

63. Лебедев А. Н., Шальнов А. В. Основы физики и техники ускорителей. М.: Энергоатомиздат, 1991. 528 с.

64. Rossbach J., Schmiiser P. Basic course on accelerator optics // CAS - CERN Accelerator School: Fifth General Accelerator Physics Course, 7-18 September 1992, University of Jyvaskyla, Finland. CERN 94-01, Vol.1, Geneva, 1994. — 26 January. Pp. 17 - 88.

65. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 832 с.

66. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. Т. I. 208 с.

67. Балбеков В. И., Герцев К. Ф. Системы подавления когерентной поперечной неустойчивости пучка в УНК. Препринт ИФВЭ 87-120. Serpukhov. 1987.

68. Lebedev V., Parkhomchuk V., Shiltsev V., Stupakov G. Emittance growth due to noise and its suppression with the Feedback system in large hadron colliders. SSCL-Preprint-188. Superconducting Super Collider Laboratory. 1993. — March. 26 p.

69. Kazarinov N. On the Parameters of the Possible Multiturn Feedback System. Preprint CBN 93-4. Cornell Univ., Ithaca. 1993.

70. Tsyganov E., Dugan G., Lopez G. et al. The SSC damper system. SSCL-Preprint-202. Superconducting Super Collider Laboratory. 1993. — March. 5 p.

71. Byrd J. Simulations of the PEP-II Transverse Coupled-bunch Feedback System // Proc. of the 1995 Particle Accelerator Conference. 1-5 May, 1995, Dallas, USA. IEEE, 1995. Pp. 2684-2686.

72. Handbook of Accelerator Physics and Engineering, Ed. by A. Chao, M. Tinger. World Scientific, 1999. 740 p.

73. Жабицкий B.M. Отклик пучка на переходный процесс в синхротронах с цифровой системой подавления когерентных поперечных колебаний. Препринт ОИЯИ Р9-2012-28. Дубна. 2012.-11 марта. 12 с.

74. Сиберт У. М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, 1988.

75. Попов Е. П. Автоматическое регулирование и управление. М.: ГИФМЛ, 1962.

76. The LHC Design Report, Ed. by О. S. Briining. CERN-2004-003. CERN, Geneva, 2004. 548 p.

77. Rossi V. Digital Signal Processing. Applications and Implementation for Accelerators. Digital Notch Filter with Programmable Delay and Betatron Phase Adjustment for the PS, SPS & LHC Transverse Dampers. Workshop on DSP Applications in the SL Division. 5 November 2001. CERN-SL-2002-047 (HRF). Geneva. 2002.-July. 48 p.

78. Rossi V. Digital Signal Processing for 1-Turn Delay Feedback Systems of the CERN Accelerator Chain. CERN-BE-2009-009. Geneva. 2009. - 1 January. 24 p.

79. Vendramini V. Traitement du signal numérique pour le système de contre-réaction transverse utilisant un seul pick-up avec application dans le SPS et dans le LHC. SL-Note-2002-046 (HRF). CERN, Geneva. 2002. 14 p.

80. Wienands U., Höfle W, Valuch D. Gain measurements of the LHC transverse feedback system at 3.5 TeV beam energy // CERN-ATS-Note-2011-131. Geneva. 2011.-12 December. Pp. 1-7.

81. Gorbachev E. V., Lebedev N. I., Makarov A. A. et al. LHC Transverse Feedback System: First Results of Commissioning. LHC Project Report 1165. CERN, Geneva. 2008. —28 September. 5 p.

82. Zhabitsky V. M. Beam Stability in Synchrotrons with Digital Transverse Feedback Systems in Dependence on Beam Tunes. JINR Preprint E9-2011-95. Dubna. 2011.-7 September. 7 p.

83. Meiler R., Chao A., Peterson J. et al. Decoherence of Kicked Beams. SS-C-N-360. SSCL, Superconducting Super Collider Laboratory. 1997.-29 May. 16 p.

84. Brouzet E., Cappi R., Gonzalez J.-L. et al. A Damper for the p Injection Oscillations in the PS Machine // IEEE Trans. Nucl. Sei., NS-32, No.5. 1985. Pp. 2135-2137. CERN-PS-85-26-PSR, Presented at: 11th IEEE Particle Accelerator Conference. Vancouver, Canada, 13-16 May 1985.

85. Sacherer F. Transverse bunched beam instabilities: theory // Proc. of the 9th International Conference on High-energy Accelerators, 2-7 May 1974, Stanford, CA, USA. Springfield, Nat. Tech. Inf. Serv., 1974. Pp. 347-351. CERN-MP-S-INT-BR-74-8, Geneva.

86. Zotter B., Sacherer F. Transverse Instabilities of Relativistic Particle Beams in Accelerators and Storage Rings // 1 st International School of Particle Accelera-

tors "Ettore Majorana", 10-22 November 1976, Erice, Italy. Geneva, CERN, 1977. Pp. 175-218.

87. Диканекий H. С., Скринский A. H. Поперечная когерентная неустойчивость сгустка заряженных частиц // АЭ. 1966. Т. 21. С. 176.

88. Courant E.D., Sessler A.M. Tranzverse Coherent Resistive Instabilities of Az-imuthally Bunched Beams in Particle Accelerators // Rev. Sci. Instrum. 1967. Vol. 37. P. 1579.

89. Sprangle P., Kapetanakos C. A. Drag Instability In The Modified Betatron // Particle Accelerators. 1983. Vol. 14. Pp. 15-28.

90. Куренной С. С. Взаимодействие пучка с вакуумной камерой ускорителя. Методы вычисления импеданса связи // ЭЧАЯ. 1993. Т. 24, вып. 3. С. 878-927.

91. Rangarajan G., Chan К. С. D. Transverse resistive wall effects on the dynamics of a bunched electron beam // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. Pp. 4749^757.

92. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. Т. I. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. 344 с.

93. Hofle W., Arnaudon L., Butterworth A. et al. LHC Transverse Damper Observations versus Expectations // Proc. of the LHC Beam Operation workshop. 7-9 December 2010, Evian, France. CERN-ATS-2011-017, 2011. Pp. 107-114.

94. Hofle W., Kotzian G., Schokker M., Valuch D. LHC Damper Beam Commissioning in 2010 // Proc. of the Second International Particle Accelerator Conference IPAC-2011, 4-9 September 2011, San Sebastian, Spain. The European Physical Society Accelerator Group (EPS-AG), 2011. Pp. 505-507. CERN-ATS-2011-033, Geneva, 2011.

95. Gasior M., Jones R. The Principle and First Results of Betatron Tune Measurement by Direct Diode Detection. LHC-Project-Report 853. CERN, Geneva. 2005.-August. 31 p.

96. Gasior M. FARADAY CUP AWARD: High Sensitivity Tune Measurement using Direct Diode Detection. CERN-ATS-2012-246. Geneva. 2012.-4 April. 7 p.

97. Жабицкий В. M., Иванов И. Н., Михеев М. С. и др. Подавление резистивной неустойчивости в I ступени УНК при цифровой обработке сигнала в цепи обратной связи // XII Всесоюзное Совещание по ускорителям заряженных частиц, 3-5 октября 1990, Москва. Тезисы докладов. ИТЭФ, 1990. С. 42.

98. Hofle W. Progress with the SPS Damper // Proc. of Chamonix XI, January 2001. CERN, Geneva, CERN-SL-2001-003 DI, 2001. Pp. 117-124.

99. Agapov N., Kekelidze V., Lednicky R. et al. NICA Project at JINR // Proc. of XXIII Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2012, 24-28 September 2012, St.Petersburg, Russia. Saint Petersburg State University, 2012. Pp. 5-8.

100. Kozlov O., Eliseev A., Khodzhibagiyan H. et al. Collider of the NICA Accelerator Complex: Optical Structure and Beam Dynamics // Proc. of XXIII Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2012, 24-28 September 2012, St.Petersburg, Russia. Saint Petersburg State University, 2012. Pp. 278-280.

101. Капчинский И. M. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966. 310 с.

102. Dome G. Theory of RF acceleration and RF noise // CAS - CERN Accelerator School: Antiprotons for Colliding-beam Facilities, 11-21 October 1983, Geneva, Switzerland. CERN-84-15, Geneva, 1984. Pp. 215 - 260.

103. Butterworth A., Angoletta M., Arnaudon L. et al. First Beam Commissioning of

the 400 MHz LHC RF System // Proe. of the 2009 Particle Accelerator Conference PAC-2009,4-8 May 2009, Vancouver, Canada. IEEE, 2009. Pp. 2180-2182.

104. Mastoridis Т., Baudrenghien P., Molendijk J. The LHC One-Turn Feedback. CERN-ATS-Note-2012-025 PERF. Geneva. 2012.-17 February. Pp. 1-10.

105. Чижова О. H. Методы исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. Факультет прикладной математики — процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет. 2011.—2 июня. 47 с.

106. Боголюбов Н.Н. Нелинейная механика. М.: Наука, 1990.

107. Melnikov V. Possibilities of technical implementation of nonlinear damping of transversal coherent oscillations of a beam // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. A. 1997. Vol. 391. Pp. 93-95.

108. Ivanov I.N., Melnikov V. A. Nonlinear damping of coherent transverse oscillations of a beam in hadron cyclic accelerators and colliders // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. A. 1997. Vol. 391. Pp. 52-55.

109. Hofle W., Ivanov I., Louwerse R., Melnikov V. Suggestion to increase the transverse damper efficiency // Particle Accelerators. 1997. Vol. 58. Pp. 281-286.

110. Горбачев E. В., Мельников В. А. Последние результаты моделирования коррекции ошибок инжекции пучка LHC // Письма в ЭЧАЯ. 2004. Т. No.3 [120]. С. 39^2.

111. Zhabitsky V.М. Transverse Emittance Blow-Up from Beam Injection Errors in Synchrotrons with Nonlinear Feedback Systems. JINR Preprint E9-2007-30. Dubna. 2007. — 22 February. 6 p.

112. С. ван дер Meep. Стохастическое охлаждение и накопление антипротонов // УФН. 1985.-Октябрь. Т. 147, вып. 2. С. 405^20.

113. Blaskiewicz M., Fischer W. 3D cooling for uranium collisions at RIHC // CERN Courier. 2012.-October. Vol. 52, No. 8. Pp. 17-19.

114. Buon J. Beam phase space and emittance // CAS - CERN Accelerator School: Fifth General Accelerator Physics Course, 7-18 September 1992, University of Jyvâskylà, Finland. CERN 94-01, Vol.1, Geneva, 1994.-26 January. Pp. 89 - 115.

115. Hereward H.G. How good is the R.M.S. as a measure of a beam size? CERN/MPS/DL 69-15. Geneva. 1969.-5 November. 21 p.

116. Gorski A., Lill R. Construction and Measurement Technologies for the APS LEUTL Project RF Beam Position Monitor // Proc. of the 1999 Particle Accelerator Conference, 29 March - 2 April 1999, New York, USA. IEEE, 1999. Pp. 1411-1413.

117. Gorbatchev E., Ivanov I., Kossoukhine V. et al. Transverse Damping Systems for the Future CERN LHC // Proc. of the 2001 Particle Accelerator Conference, 18 - 22 June 2001, Chicago, USA. IEEE, 2001. Pp. 1237-1239.

118. Gorbachev E., Ivanov I., Lebedev N. et al. Development of a system for suppressing transverse beam oscillations for the LHC // Atomic Energy. 2003. Vol. 94, No.3. Pp. 11-14.

119. Baudrenghien P., Hofle W., Killing F. et al. LHC Transverse Feedback System and its Hardware Commissioning. LHC Project Report 1148. CERN, Geneva. 2008.-4 September. 3 p.

120. Жабицкий В. M., Хёфль В. Первые результаты по запуску системы подавления поперечных когерентных колебаний пучка в LHC // Новости ОИЯИ. №2. 2009. С. 11-14.

121. Briining О., Burkhardt H., Myers S. The Large Hadron Collider. CERN-AT-S-2012-064. Geneva. 2012.-24 April. Pp. 1-44.

122. Boeeardi A., Gasior M., Jones O. et al. The FPGA based Continuous FFT Tune Measurement System for the LHC and its Test at the CERN SPS // Proc. of the 22nd Particle Accelerator Conference PAC-2007, 25-29 June 2007, Albuquerque, USA. IEEE, 2007. Pp. 4204-4206. CERN AB-2007-062, Geneva, Switzerland, 2007.

123. Vos L. Damping of Coherent Oscillations // Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res. A. 1997. Vol. 391. Pp. 56-63. CERN-SL-96-066-AP, Geneva, CERN, December 1996.

124. Hofle W., Dubouchet F., Kotzian G., Valuch D. Performance of the LHC Transverse Damper with Bunch Trains // Proc. of 4th International Particle Accelerators Conference IPAC-2013, 12-17 May 2013, Shanghai, China. Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams (PRST-AB), 2013. Pp. 3022-3024. ISBN: 978-3-95450-122-9.

125. Hofle W., Valuch D. Transverse feedback: high intensity operation, abort gap cleaning, injection gap cleaning and lessons for 2012 // Proc. of the LHC Beam Operation workshop. Evian, France, 12-14 December 2011. CERN-AT-S-2012-083, Geneva, 2012. Pp. 97-100.

126. Boussard D. Evaluation of transverse emittance growth from damper noise in collider. SL/Note 92-79, LHC Note 218. Geneva. 1992.

127. Горбачев E. В., Иванов И. H., Косухин В. В. и др. Состояние дел по созданию системы подавления поперечных колебаний для Большого Адронного Коллайдера (ЦЕРН) // IV Научный семинар памяти В.П. Саранцева, 26 -28 сентября 2001 г., Дубна. ОИЯИ, Дубна, 2002. С. 97-107.

128. Bartosik H., Hofle W. Analysis of bunch by bunch oscillations with bunch trains at injection into LHC at 25 ns bunch spacing. CERN-ATS-Note-2011-050 MD (LHC). Geneva. 2012.-26 February. Pp. 1-41.

129. Baudrenghien P., Hofle W., Kotzian G., Rossi V. Digital Signal Processing for the Multi-bunch LHC Transverse Feedback System // Proc. of the 11th European Particle Accelerator Conference, 23-27 June 2008, Genoa. The European Physical Society Accelerator Group (EPS-AG), 2008. Pp. 3269-3271.

130. Gorbachev E., Lebedev N., Zhabitsky V. Implementing elements of digital transverse feedback system in Altera FPGA // Proc. of the XXI Russian Particle Accelerators Conference RuPAC-2008, 28 September-3 October 2008, Zvenig-orod, Russia. Moscow, 2008. Pp. 6-8.

131. Gorbachev E. V., Lebedev N. I., Zhabitsky V. M. Implementing elements of digital transverse feedback system in Altera FPGA // XII International Symposium on Nuclear Electronics & Computing, 7-14 September 2009, Varna, Bulgaria. JINR. Dubna, 2010. Pp. 139-143.

132. Calaga R., Jacquet D., Metral E. et al. Collision tunes at injection and ramp. CERN-ATS-Note-2011-034 MD (LHC). Geneva. 2011.-25 May. 15 p.

133. Buffat X., Herr W., Pieloni T. Stability of beams colliding with a transverse o set. CERN-ATS-Note-2013-016 MD. Geneva. 2013.-28 March. 4 p.

134. Priebe A., Baer T., Dehning B. et al. ADT fast losses MD. CERN-ATS-Note-2013-017 MD. Geneva. 2013. - 8 April. 37 p.

135. Arduini G., Holzer E. LHC Beam Commissioning Working Group. Summary of week 33. http://lhc-commissioning.web.cern.ch/ lhc-commissioning/news-2012/ old-news/week-33.html. Geneva. 2012. —20 August. 27 p.

136. Pereira M., Buffat X., Fuchsberger K. et al. Feed-Forward in the LHC // Proc. of

the International Conference on Accelerator and Large Experimental Physics Control System (ICALEPCS2011), 10-14 October 2011, Grenoble, France. CERN-ATS-2012-061, Geneva, 2012. Pp. 1302-1305.

137. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966. Т. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. 296 с.

138. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1966. 228 с.