Динамика протяженных многослойных элементов конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Шиляева, Ольга Викторовна

• Шиляева, Ольга Викторовна
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шиляева, Ольга Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОТЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ И СИСТЕМ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

1.1 Постановка задачи для многослойной структуры.

1.2 Плоская деформация многослойного полупространства.

1.3 Построение решений для осесимметричной деформации.

1.3.1 Решение задачи для однородного полупространства.

1.3.2 Метод полупространств построения решения задачи для слоя.

1.3.3 Построение решения для многослойной структуры.

1.3.4 Решение нестационарной задачи.

1.4 Анализ волновых и энергетических характеристик слоистых конструкций .30 Выводы по первой главе.

ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

2.1 Постановка задачи при конечно-элементном моделировании.

2.2 Особенности моделирования полуограниченных сред.

2.3 Сравнительный анализ характеристик.

2.3.1 Постановка численного эксперимента. Исходные данные.

2.3.2 Основные характеристики отклика поверхности покрытия на удар при изменяющихся механических свойствах элементов дорожных конструкций.

2.3.3 Особенности деформирования различных дорожных конструкций.

Выводы по второй главе.

ГЛАВА 3 ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО УСТАНОВЛЕНИЮ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ОТКЛИКА ДОРОЖНОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ В ПРОЦЕССЕ ЭКСПЛУАТАЦИИ.

3.1 Постановка эксперимента. Исходные данные.

3.2 Основные характеристики отклика слоистой конструкции.

3.3 Методика корректировки расчетной модели по экспериментальным данным.86 Выводы по третьей главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика протяженных многослойных элементов конструкций»

В настоящее время при проведении различных научных исследований, расчете и проектировании зданий и сооружений ответственного назначения безусловное преимущество имеет метод численного моделирования, позволяющий получать достоверную информацию о поведении изучаемых объектов при относительно малых затратах. Этому способствует бурное развитие вычислительных комплексов, значительное место в которых занимают численные методы анализа, позволяющих изучать структуры с различными физико-механическими и геометрическими характеристиками.

В строительстве к таким структурам относятся слоистые грунтовые массивы, на которых возводятся сооружения (на равнинных территориях верхняя часть разреза геологической среды представляет собой область с плоскопараллельной слоистостью), протяженные конструкции, используемые в строительстве (многослойные покрытия, дорожные конструкции, аэродромные покрытия и др.).

Основными задачами, подлежащими решению, здесь являются оценка прочностных и деформационных свойств слоистых элементов, анализ их несущей способности и долговечности, вопросы оптимального проектирования фундаментов сооружений с учетом строения среды и соотношения физических свойств ее составляющих. В особенности это относится к возведению зданий и сооружений в районах с повышенной сейсмической активностью.

Слоистые структуры при динамическом нагружении часто обладают волноводными свойствами, характеризующимися наличием распространяющихся поверхностных или пограничных волн, что существенно влияет на поведение объектов, сопряженных с этими средами, и требует изучения и оценки локальных резонансных режимов их работы.

В настоящее время существуют достаточно хорошо отработанные аналитические и численные методы, позволяющие проводить расчет основных характеристик их динамического НДС. Однако имеется ряд 4 проблем, для решения которых требует существенное развитие известных или разработка новых подходов. Это вопросы, связанные с оптимальным конструированием и реконструкцией слоистых элементов конструкций, в том числе с большим числом слоев, оценкой их прочностных свойств при динамическом нагружении, в том числе, на основе энергетических критериев. Решение данных проблем связано как с развитием эффективных аналитических методов описания НДС слоистых конструкций, численно-аналитических методов (метод граничных интегральных уравнений) и прямых численных методов (наиболее распространены МКЭ и метод конечных разностей).

При использовании методов численного моделирования поведения сложных систем при различном типе нагружения важнейшим является вопрос контроля ее адекватности реальной ситуации, методов корректировки разработанных моделей на основе сопоставления с данными натурных экспериментальных исследований. Последние вопросы требуют развития современных экспериментальных средств и методов исследования.

Изложенное выше обусловливает актуальность и практическую значимость исследования динамических характеристик слоистых структур при динамическом (техногенном или сейсмическом) воздействии.

Исследованию динамических процессов возбуждения и распространения волн в слоистых средах посвящено достаточно большое количество работ, в которых рассмотрены вопросы разрешимости начально-краевых задач, применения принципов излучения, методы построения аналитических и численных решений, изучены особенности формирования волновых полей в среде и их поведение в ближней и дальней от источника зоне.

Большой вклад в теорию и практику изучения динамики многослойных сред внесли: В.М. Александров, В.А. Бабешко, A.B. Белоконь, В.М. Бабич, JIM. Бреховских, И.И. Ворович, А.О. Ватульян, А.Н. Гузь, В.Т. Гринченко, И.П. Гетман, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, В.В. Калинчук, A.A. Ляпин,

И.А. Молотков, В.В. Мелешко, В.Н. Николаевский, Г.И. Петрашень, О.Д. Пряхина, М.Г. Селезнев, В.М. Сеймов, Б.В. Соболь, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, и другие [2-4, 7-11, 14-17, 19-20, 23-25, 43, 51, 56, 62, 79].

Исследования распространения энергии упругих волн отражены в работах A.B. Белоконя, Я.Й. Бурака, Е.В. Глушкова Т.С. Денисовой, Л.П. Казьмира, И.О. Осипова, П.А. Смирнова [8, 15, 17, 26, 28, 54].

Интерес к данной тематике не ослабевает и в настоящее время. В частности наибольший интерес вызывают задачи для многослойных анизотропных сред, задачи с подвижными источниками возмущений, задачи с учетом связанности физико-механических полей.

Так, в работах Осипова И.О. [54, 55] изучаются закономерности движения сейсмической энергии упругих волн в анизотропных средах в зависимости от направлений движения волн и соотношений упругих постоянных для всех реальных сред рассматриваемого класса анизотропии, а также вопросы отражения и преломления упругих волн на границе раздела двух анизотропных сред

Рассеяние поверхностных упругих волн на вертикальном анизотропном слое рассмотрено в статье [85]. С помощью метода функций Грина в работе изучено распространение поверхностных упругих волн через вертикальный толстый анизотропный слой, расположенный между анизотропными четверть-пространствами. Вычислены коэффициенты рассеяния волн Релея в анизотропных и изотропных слоях.

В статье [26] исследуются плоские волны в анизотропных средах. Показано, что для сред с кристаллической структурой, тензор упругости которых строго эллиптичен, волна с наибольшей энергией распространения является продольной.

Моделированию процессов управления трансформацией упругих волн в слоистых металлокерамических композитах посвящена работа [39].

В статье [15] дан анализ свойств потоков энергии в задаче о вынужденных колебаниях полосы, соединенной с полуплоскостью, где для обеих областей предполагается различная анизотропия для жесткого и скользящего соединений полосы с полуплоскостью. В [14] изучено влияние действия неравномерной нагрузки в произвольной области на формирование волновых полей и потоков энергии. Для прямоугольной области получены асимптотические формулы для вычисления волновых полей от действий нагрузки, изменяющийся вдоль оси у и постоянной вдоль оси х.

В [28] выведено уравнение переноса энергии поперечных волн в струне на линейно и нелинейно-упругом основании, изгибных волн в линейной и нелинейной балке модели Бернулли-Эйлера. Найдены скорости переноса энергии в этих системах.

В работе Алексеевой Л.А. [5] строятся фундаментальные решения задачи теории упругости для полупространства при действии бегущей с постоянной скоростью нагрузки, не меняющейся со временем в подвижной системе координат. На их основе определяются перемещения среды для нагрузки, бегущей по цилиндрической поверхности.

Динамика системы, содержащей предварительно напряженные упругие ортотропный слой и ортотропную полуплоскость, под действием движущийся нагрузки изучаются в статье [81].

Задача о воздействии движущейся осциллирующей нагрузки на многослойное гетерогенное полупространство исследуется в статье [69]. Рассматривается пространственная динамическая задача о напряженно-деформированном состоянии, возникающем в слоистом полупространстве под действием движущейся на его поверхности нагрузки. Слоистое полупространство представляет собой конечное число вязко-упругих или пористо-упругих, насыщенных жидкостью слоев, лежащих на подстилающем полупространстве.

В работе Бабича С.Ю., Глухова Ю.П., Гузя А.Н. [11] рассмотрена плоская задача о сосредоточенном силовом воздействии на пластину, лежащую на упругом полупространстве, подверженном предварительному однородному деформированию.

Численное моделирование процессов возбуждения и распространения волн основывается в основном на использовании методов конечных и граничных элементов. В частности в работе [86] обосновывается применение метода субструктур при конечно-элементном моделировании распространения волн в слоистых системах.

В статье [90] предложены три типа бесконечных граничных элемента для плоской квазистатической задачи теории упругости. Формулировка получена в рамках гиперсингулярных граничных интегральных уравнений, полиномиальных и обратных разложений. Граничные элементы имеют логарифмический тип и апробированы на задаче о плоской деформации полуплоскости при полосовой нагрузке.

Однако, несмотря на достаточно большое количество работ в области динамики слоистых сред, остаются открытыми вопросы построения эффективных аналитических и численных методов решения задач при достаточно большом количестве компонент многослойных конструкций, произвольном соотношении их упругих и геометрических характеристик. Требуют дополнительного исследования вопросы корректного применения метода конечных элементов при моделировании поведения многослойных сред при стационарном гармоническом воздействии. Недостаточным является применение экспериментальных методов оценки состояния слоистых конструкций и использование результатов эксперимента к корректировке математических моделей.

Отсюда целью настоящей диссертации является разработка эффективных аналитико-численных и экспериментальных методов оценки и прогнозирования состояния слоистых конструкций с учетом характера динамического воздействия на них, реального строения и соотношения геометрических и механических характеристик.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать и реализовать эффективный аналитический метод расчета динамических (деформационных, прочностных и энергетических) характеристик многослойных структур (многослойного полупространства или пакета слоев) с учетом большого числа компонент и произвольного соотношения их геометрических и механических параметров.

2. Реализовать конечно-элементные модели исследования динамики многослойных элементов конструкций (на примере системы «дорожная конструкция — грунт») и провести численный эксперимент, нацеленный на сопоставительный анализ аналитического и конечно-элементного методов расчета. Выявить основные закономерности динамического деформирования в различных компонентах исследуемых конструкций.

3. Разработать методы обработки и анализа экспериментальных данных для слоистых конструкций (на примере системы «дорожная конструкция -грунт») с использованием мобильного виброизмерительного комплекса. Провести сопоставление результатов эксперимента с расчетными данными. Дать анализ эффективности математических моделей и провести их коррекцию по результатам эксперимента.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Шиляева, Ольга Викторовна

Выводы по третьей главе

1. Проведено обоснование методов обработки экспериментальных данных для получения амплитудно-временных и амплитудно-частотных характеристиках точек поверхности многослойной конструкции.

2. Получены характерные зависимости для вертикальных перемещений поверхности конструкции по положению точки наблюдения, наиболее чувствительных к строению исследуемой многослойной среды.

3. Разработана методика корректировки расчетной модели слоистой конструкции по результатам экспериментальных данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана и реализована эффективная методика аналитического расчета динамических (деформационных, прочностных и энергетических) характеристик многослойных структур (многослойного полупространства или пакета слоев) с учетом большого числа компонент и произвольного соотношения геометрических и физических параметров.

2. Реализованы конечно-элементные модели расчета динамики многослойных элементов конструкций (на примере системы «дорожная конструкция - грунт»). Проведен обширный численный эксперимент, нацеленный на расчет и выявление основных закономерностей их динамического деформирования. Представлен анализ динамических характеристик в различных компонентах исследуемых конструкций.

3. Систематизация результатов численного анализа позволила выявить основные закономерности изменения максимального вертикального смещения точки поверхности за время прохождения колебаний от источника при изменении строения и механических свойств конструктивных слоев.

4. Проведено сопоставление результатов натурного эксперимента с расчетными данными, позволившее определить возможность исследований в слоистых элементах конструкций на основе разработанных аналитических и конечно-элементных моделей.

5. Предложена методика корректировки расчетной модели по результатам натурного эксперимента, заключающаяся в уточнении механических характеристик конструктивных слоев исследуемой системы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шиляева, Ольга Викторовна, 2009 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.-832 с.

2. Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости.//ПММ, 1978, Т.42, вып. 3. С. 475 -485.

3. Александров В.М., Мхитаряп С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. — М.: Наука, 1983. — 488 с.

4. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. — М.: Наука, 1993. — 224 с.

5. Алексеева JI.A. Динамика упругого полупространства при действии бегущей нагрузки.//ПММ, 2007, Т. 71, №4. С. 561-569.

6. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Изучение высокочастотного резонанса в полуограниченных средах с неоднородностями.//МТТ, 1990, №6. С. 74-83.

7. Бабешко В.А., Ворович И.И., Селезнев М.Г. Вибрация штампа на двухслойном основании.//ПММ, 1977, Т41, вып. 1. С. 166-173.

8. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно упругих сред. М.: Наука, 1989. — 334 с.

9. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах.// ПММ, 1978, Т 44, вып. 3. С. 477^84.

10. Бабешко В.А., Селезнев М.Г., Шагинян A.C. Способ определения параметров смещения упругой среды при гармоническом воздействии-М.: Недра, Прикладная геофизика, 1983, вып. 106. С. 32— 39.

11. Х.Бабич С.Ю., Глухое Ю.П., Гузъ А.Н. Динамика слоистого несжимаемого полупространства с начальными напряжениями при воздействии подвижной нагрузки./ЛТрикладная механика, 2008, Т 44, вып. 3. С.36-54.

12. И.Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах. М: Компьютер-Пресс, 2002.- 224 с.

13. Басов К.А. ANS YS: Справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005.- 640 с.

14. Ы.Белоконъ А. В., Белоконъ О. А., Болгова А. И. Волны в трехмерном слое, подкреплены тонкой пластиной.//Вестник Самарского Государственного Университета, 2007, №6. С.30-42.

15. Белоконъ А. В., Ремизов М. Ю. Гармонические колебания в системе: анизотропные полоса-полуплоскость при жестком и скользящем соединении сред.//Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки, 2002, № 3. С. 120—121, 135.

16. Белоконъ A.B., Ворович И.И. О некоторых закономерностях образования волновых полей в анизотропном слое при пульсирующей движущейся нагрузке.//Механика и научно-технический прогресс. — М.: Наука, 1988, Т. 3. С. 215 222.

17. П.Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками.//Акуст. ж., 1993, Т. 39, №3. С. 421 427.

18. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. 494 с.

19. Боев С.И., Румянцев А.Н., Селезнев М.Г. Решение задачи о возбуждении волн в упругом двухслойном полупространстве.//Сб. «Методы расширения частотного диапазона вибросейсмических колебаний», Новосибирск, ИГ и Г СО АН СССР, 1987.

20. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Фзматгиз, 1957. —502 с.

21. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 223 с.

22. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. — М.: Научный мир. 1999.-246 с.

23. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981.-283 с.

24. Гришин A.C., Лошицкий А.Р. Энергия плоских упругих волн в анизотропных средах.//Изв. РАН. МТТ, 1998, № 5. С. 111-114.

25. ЪЪ.Илиополов С.К., Селезнев М.Г. Уточненный метод расчета напряженно-деформированного состояния системы «дорожная одежда грунт». — Ростов-на-Дону: МП «Новая книга», 1997. - 142 с.

26. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферъева М.А. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство. М: Едиториал УРСС, 2003. - 272 с.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров М.: Наука, 1970. - 720 с.

28. ЗЪ.Кохманюк С.С., Янютин Г.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. — Киев: Наукова Думка, 1980. 232 с.

29. Кошур В. Д. Моделирование процессов управления трансформацией упругих волн в слоистых металлокерамических композитах, концепция матричных электронных материалов.//Доклады Академии наук, РАН, 1998, том 363, № 2. С. 181-183.

30. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.—491 с.

31. Ляпин A.A. О построении фундаментальных решений для слоистых полуограниченных сред.//Труды XI международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 2007 г.

32. Ляпин A.A., Селезнев М.Г. Возбуждение колебаний в слоистом многосвязном полупространстве.//Фундаментальные и прикладные проблемы механики деф. сред и констр. Программа ГК РФ по ВО. Научные труды. Н. Новгород, 1993, В.1.

33. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л. Механико-математические модели в задачах активной сейсмологии. ГНТП «Глобальные изменения природной среды и климата». М.: ГНИЦ ПГК, 1999.-294 с.

34. Ляпин A.A., Селезнев Н.М., Шиляева О.В. Динамическая контактная задача для полуплоскости, жестко сцепленной с пакетом из двух слоев.//Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС), № 2, 2008. С. 82-88.

35. AI.Ляпин A.A., Шиляева О.В. К расчету слоистых оснований с локальными включениями.//Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство 2004». Ростов-на-Дону: РГСУ, 2004. С. 111-112.

36. АЪ.Ляпин A.A., Шиляева О.В. Метод полупространств в динамических задачах для многослойных сред.//Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство — 2007». Ростов-на-Дону: РГСУ, 2007. С. 69-70.

37. А9.Ляпин A.A., Шиляева О.В. Расчет сложнопостроенных оснований при динамическом воздействии.//Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство — 2003». Ростов-на-Дону: РГСУ, 2003. С. 119-120.

38. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

39. Немчинов В.В., Чередниченко P.A. Распространение в слоистом полупространстве упругих волн, вызванных сферически симметричным источником возмущений.//Газ. и волн, динам. Москва, 1973, №3.

40. Осипов И. О. Движение энергии упругих волн в анизотропных средах.//ПММ. 2003, № 3. С. 482-502.

41. Осипов И.О. Отражение и преломления плоских волн на границе раздела двух анизотропных сред.//Изв. РАН. Мех. тверд, тела, №1, 2008. С.40-72.

42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981. — 800 с.

43. Ш.Румянцев А.Н., Ляпин A.A., Селезнев М.Г. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью.//ПМТФ, №3, 1991.вХ.СегеП. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

44. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. — Киев.: Наукова думка, 1990 — 224 с.

45. Селезнев М.Г., Селезнев Н.М., Ву Тхи Бик Куен. О расчете характеристик воздействия сейсмических колебаний на здания, расположенные вблизи берегового склона.//Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции.100

46. Ростов-на-Дону, T.l, 2006. С.257-260.

47. Смирнов A.B., Малофеев А.Г. Экспериментальное исследование волн колебаний дорожных покрытий при движении автомобилей.//Прикладная механика, Т. IX, вып. 1, 1973.

48. Снэддон И. Преобразование Фурье. М.: Иностранная литература, 1955.-668 с.

49. Суворова Т.В. О воздействии движущейся осциллирующей нагрузки на многослойное гетерогенное полупространств.//Материалы Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов: СГУ, 2007. С. 267269.

50. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.: Гостехиздат. 1948.-479 с.

51. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.-735 с.

52. Трантер КДж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гостехиздат, 1956. — 204 с.

53. ПЪ.Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. JI: Наука, 1967. - 352 с.1011А.Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики. -М.: Стройиздат, 1984. — 334 с.

54. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.С. ANSYS для инженеров. Справ, пособие. М.: Машиностроение, 2004. - 496 с.1в.Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев: Одесса, 1977. - 216 с.

55. Шыляева О.В. Об одном методе построения решений в динамических задачах для многослойной полуплоскости.//Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство — 2009». Ростов-на-Дону: РГСУ, 2009. С. 150-152.

56. Шулъга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. — 200 с.

57. Gatmiri Behrouz, Jabbari Ehsan Time-domain Green's functions for unsaturated soils. Pt I. Two-dimensional solution.//Int. J. Solids and Struct.,1022005, 42, №23. C. 5971-5990.

58. Its Elizabeth, Lee Jong Scattering of surface elastic waves at a vertical anisotropic layer.//Quart. J. Mech. And Appl. Math., 51, 3, 1998. C. 439459.

59. Mencic J.-M., Inchou M. N. A substructuring technique for finite element wave propagation in multi-layered systems.//Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng., 197, № 6-8, 2008. C.505-523.

60. Sl.Mendes P. A., Tadeu A. Wave propagation in the presence of empty cracks in an elastic medium.//Comput. Mech., 38, № 3, 2006. C. 183-199.

61. Moaveni S. Finite element analysis. Theory and application with ANSYS. Prentic-Hall: N.Y., 1999 272 c.

62. Moraru Gh. BEM based on discontinuous solutions in the theory of Kirchhoff plates on an elastic foundation.//Eng. Anal. Boundary Elem., 30, № 5, 2006. C. 382-390.

63. Solvadori Alberto Infinite boundary elements in 2D elasticity.//End. Anal. Boundary Elem., 32, №2, 2008. C. 122-138.

64. Tan A., Hirose S., Zhang Ch., Wang C.-Y. A 2D time-domain BEM for transient wave scattering analysis by a crack in anisotropic solids.//Eng. Anal. Boundary Elem., 29, № 6, 2005. C. 610-623.