Динамическое контактное взаимодействие слоистых элементов конструкций, содержащих неоднородности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Селезнев, Николай Михайлович

• Селезнев, Николай Михайлович
• кандидат технических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат технических наук Селезнев, Николай Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМАТИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Подходы и методы исследования динамических контактных задач для слоистых сред.

1.2. Применение метода граничных интегральных уравнений к решению задач для слоистых сред с неоднородностями.

1.3. Цель исследования, выбор и обоснование подходов к ее решению.

2. ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ЗАГЛУБЛЕННОЙ ПОЛОСТЬЮ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ, ЦЕЛИКОМ РАСПОЛОЖЕННОЙ В ОДНОМ ИЗ СЛОЕВ СТРУКТУРЫ.

2.1. Формулировка динамических контактных задач.

2.2. Сведение задач к интегральным уравнениям.

2.3. Свойства операторов системы интегральных уравнений.

2.4. Алгоритм метода последовательных приближений при решении системы интегральных уравнений контактной задачи.

2.5. Некоторые особенности практического использования метода коллокаций при решении интегрального уравнения контактной задачи.

2.6. Исследование сходимости алгоритма последовательных приближений.

2.7. Основные результаты численного анализа решений задач методом последовательных приближений.

Выводы.

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОЙ ПОЛОСТЬЮ.

3.1. Постановка задачи для слоистой среды с полостью в общем случае.

3.2. Алгоритм решения контактной задачи.

3.3. Вывод системы фундаментальных решений.

3.4. Численный анализ решения динамической контактной задачи для слоистого полупространства с круговой полостью, полностью расположенной в одном из слоев.

3.5. Случай полости прямоугольной формы, пересекающей границу раздела слоев.

3.6. Возможности использования МКЭ при расчете частотных характеристик.

Выводы.

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С НЕРОВНОСТЬЮ ГРАНИЦЫ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Алгоритм решения контактной задачи.

4.3. Сведение задачи к ГИУ.

4.4. Реализация алгоритма решения контактной задачи в плоской постановке с использованием метода МГИУ.

4.5. Основные результаты численного эксперимента.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическое контактное взаимодействие слоистых элементов конструкций, содержащих неоднородности»

При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) составных конструкций, деталей машин и механизмов возникает проблема контактного взаимодействия. Анализ напряжений в области контакта необходим для исследования прочностных и деформационных характеристик систем в целом.

В конструкциях различного назначения, работающих в условиях вибрации или динамических воздействий различной природы, широко используют в качестве элементов полосы (слои) относительно большой протяженности, имеющие технологические отверстия или локальные нарушения формы поверхности (включая подкрепление детали поверхностной накладкой). Эти элементы контактируют между собой посредством клеевых, сварных, паяных соединений или через промежуточные соединительные элементы. В подобных структурах наличие отверстия или неровности границы может вызвать не только концентрацию напряжений в непосредственной близости неоднородности (что является предметом многочисленных исследований), но и определить существенное изменение количественных и качественных характеристик распределения напряжений вдоль плоских границ (клеевого, паяного соединения), которое также может привести к появлению и развитию разрушений конструкции.

При задании нестационарных динамических воздействий в практике находят применение методы гармонического анализа, позволяющие свести нестационарную задачу к набору стационарных задач. Технологическое отверстие при вибрационном динамическом нагружении конструкции или детали может играть роль резонатора, локально изменяя частотные характеристики НДС структуры в его окрестности и существенно влиять на ее несущую способность и даже привести к разрушению.

В машиностроении достаточно широко применяются методики поверхностно-упрочняющей обработки деталей выглаживанием. При обработке деталей, имеющих технологические отверстия различной формы, возникают проблемы корректного выбора режима обработки. Теоретические исследования в этом направлении базируются на постановке и решении задач упругопластического контакта поверхности детали с гладилкой, включающей в качестве составляющей решение задачи контакта плоской поверхности (детали с отверстием) с гладилкой в упругой постановке.

Классическая формулировка статических и динамических контактных задач предполагает заданной закон смещения подошвы жесткого штампа и приводит к решению интегральных уравнений и систем для определения закона распределения контактных усилий. Здесь преобладают теоретические средства и методы исследования, т.к. размещение практически любых датчиков в зоне контакта неизбежно порождает искажение полей напряжения в их локальной окрестности. Достаточно большое число подходов, развитых для решения систем интегральных уравнений контактных задач, определено ограниченностью диапазонов их эффективного использования по параметрам задачи. Большой вклад в развитие теории контактного взаимодействия внесли В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян, С.М. Айзикович, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, JI.A. Галин, И.Г. Горячева, А.Г. Горшков, В.Т. Гринченко, Е.В. Глушков, И .Г. Кадомцев, Е.В. Коваленко, В.В. Калинчук, A.A. Ляпин, С.Г. Михлин, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, В.З. Партон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, B.JI. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, М.А. Сумбатян А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков и мн.др [1, 3, 5-19, 46, 68 - 70, 7582].

Многие задачи практики связаны с исследованием динамического контактного взаимодействия ограниченных тел с полуограниченными упругими областями сложного строения. Эти задачи определены в том числе проблемами сейсмостойкости и виброзащиты сооружений, расчетом уровня и характеристик воздействия на здания и сооружения техногенных колебаний, распространяющихся в грунте, сейсморазведки полезных ископаемых и др. При этом, в первом приближении, взаимодействующий с упругой средой (грунтом) объект (фундамент сооружения, подверженного динамическому воздействию, излучающая плита сейсмоисточника) часто моделируется жестким штампом, совершающим установившиеся гармонические колебания на поверхности упругой среды [1, 3, 5-19, 75-82]. При исследовании нестационарного контактного взаимодействия можно эффективно использовать решение стационарных задач, опираясь на методы гармонического анализа [1, 55, 56, 62].

В грунтовом массиве наряду со слоистостью структуры, часто присутствуют неоднородности (нарушения структуры) как естественного (карстовые полости, более жесткие включения, сброс или выход на поверхность склона слоев верхней части разреза), так и искусственного (различные коммуникации, тоннели метрополитена, заглубленные хранилища отходов и др.) происхождения. Поэтому существенным является вопрос о степени влияния подобных неоднородностей на распределение контактных напряжений под штампом и на генерируемые в массиве с неоднородностью волновые поля. Здесь следует отметить, что наиболее изученными являются проблемы генерации колебаний жесткими массивными штампами, совершающими гармонические колебания на поверхности слоя или слоистого полупространства [1, 8, 9, 18, 19, 35, 39, 41, 76 - 78, 92] при отсутствии в них неоднородностей и распространения колебаний в среде, содержащей локализованную неоднородность (в том числе задачи дифракции упругих волн на неоднородностях) [23, 24, 31-34, 43].

Проблемы взаимодействия жестких или деформируемых массивных объектов с многослойным полупространством, содержащим полости, включения и нарушения структуры изучены весьма слабо, о чем свидетельствует чрезвычайно малое количество публикаций на эту тему.

Традиционно постановка контактной задачи в существенной мере опирается на решение задачи для аналогичной области при задании на ее границе однородных условий. Именно из этого решения, как правило, и получают интегральное уравнение контактной задачи.

При постановке и решении краевых задач, моделирующих динамику слоистых конструкций, содержащего локализованные неоднородности и нарушения структуры, возникают проблемы как принципиального, так и технического характера.

Основные публикации в этом направлении связаны с постановкой и решением задач дифракции упругих волн в однородном слое или полупространстве с полостью [23, 24, 31-34, 43, 71] и исследованием проблем возбуждения и распространения установившихся колебаний в слоистой среде с заглубленной неоднородностью [13, 59, 60, 62, 63, 65, 67, 81].

Аналитические методы решения задач дифракции упругих волн использовались только для полостей канонической формы (круговой цилиндр, сфера, эллиптический цилиндр или эллипсоид). Отдельные публикации посвящены решению задач для полостей, слабо отличающихся по форме от канонической. В последнем случае использовался метод малого параметра и решение строилось методом последовательных приближений.

При решении задач возбуждения и распространения колебаний в слое или слоистом полупространстве с полостями канонической формы использовался ряд подходов. Аналитические методы решения, в основном, связаны со случаем, когда неоднородность целиком расположена в одном из слоев структуры [59, 60, 62, 63, 67, 81]. Для полостей относительно малого размера эффективно использовались асимптотические методы, позволяющие получить приближенное решение с оценкой точности в аналитическом виде [32, 59, 60, 62, 63,81].

В случае неоднородности произвольной формы или произвольного расположения в слоистой структуре аналитические методы оказались малоэффективными. Для этих случаев развивались подходы, основанные на сведении краевых задач к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ), решение которых проводилось численно методом граничных элементов (МГЭ) [28-31, 33-34, 56, 60, 62, 98-108]. Для отдельных случаев при решении ГИУ оказалось возможным использовать асимптотические методы.

Интенсивное развитие прямых численных методов [44, 72 и мн. др.] решения краевых задач, из которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), дало дополнительные возможности исследования напряженно-деформированного состояния сложных объектов. Однако, использование подобных подходов к моделированию процессов генерации и распространении колебаний в полуограниченных слоистых структурах с локализованными неоднородностями связано с трудностями принципиального характера, т.к. метод нацелен на исследование НДС ограниченных объектов и структур. Выделение ограниченного представительского объема из полуограниченного может существенно исказить не только количественные, но и качественные характеристики генерируемых колебаний и волн. Кроме того, МКЭ может давать большую погрешность при исследовании концентрации напряжений вблизи границ неоднородностей. По этим причинам корректнее использовать при решении подобных задач метод ГИУ.

При использовании практически всех перечисленных выше методов и подходов удавалось получить только приближенное решение задачи, что фактически исключало возможность получения на их основе интегральных уравнений контактных задач.

Таким образом, наименее изученными на настоящий момент оказались динамические контактные задачи для полуограниченных слоистых областей с неоднородностями. Распространенность подобных структур при расчете характеристик динамического НДС составных конструкций, деталей машин и механизмов определяет актуальность исследования, нацеленного на разработку и реализацию подходов к их решению.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Селезнев, Николай Михайлович

выводы

1. Наличие торцевых поверхностей полуслоев практически при любых соотношениях параметров определяет разнонаправленную асимметрию закона распределения контактных напряжений, обусловленную взаимодействием прямого поля поверхностных волн, генерируемых колебаниями штампа, и волн, отраженных от торцевых поверхностей.

2. Максимальный уровень влияния полуограниченности слоев наблюдается в структуре «нормального» строения (жесткости слоев возрастают с глубиной) и аномальной структуре типа «мягкий-жесткий-мягкий» слои.

3. В случае более жесткого поверхностного слоя наблюдается быстрое убывание степени влияния отраженных волн на закон распределения контактных напряжений под штампом при его удалении от торцевой поверхности. Это обусловлено отсутствием (или очень малой интенсивностью) поверхностных волн в подобной структуре.

4. Количественные и качественные характеристики влияния торцевых поверхностей полуслоев на закон распределения контактных напряжений под штампом заметно больше, чем в случае полости, заглубленной в слоистое полупространство. Это можно объяснить тем фактом, что в полуслое наблюдается достаточно интенсивное поле поверхностных волн, отраженных от торца (в дальней зоне имеющих постоянную амплитуду), а при наличии полости отражение от ее границ определено полем внутренних волн, убывающих при удалении от границ как г-0,5).

5. Торцевая поверхность полуслоя определяет наличие локальных максимумов амплитуд напряжений вдоль границ раздела полуслоя и слоя, в том числе находящихся на удалении и от штампа, и от торцевой поверхности (концентратора напряжений).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан метод решения динамических контактных задач для многослойных элементов конструкций с неоднородностью или нарушением слоистости структуры на базе использования МГИУ - МГЭ и метода коллокаций, позволивший рассмотреть ряд задач технического характера.

2. Дано обоснование возможности использования аналитических методов и характера сходимости метода последовательных приближений при решении систем интегральных уравнений контактных задач в антиплоской постановке для трехслойной среды с канонической полостью.

3. Разработан алгоритм решения контактных задач для структуры, включающей один или два поверхностных полуслоя с ведением полубесконечного элемента, основанного на использовании асимптотического представления поверхностных волн в дальней зоне.

5. В результате численного эксперимента выявлена существенная асимметрия закона распределения напряжений под штампом, характер которой определен частотой колебаний и взаимным расположением штампа и неоднородности (полости или торцевой поверхности полуслоя).

6. Установлено, что присутствие концентратора напряжений в одном из слоев определяет наличие локальных максимумов амплитуд напряжений вдоль границ их раздела, находящихся на удалении и от штампа, и от концентратора.

7. Показано, что наличие неоднородности слоистой структуры может существенно влиять на ее резонансные свойства, определяя изменение основных и появление дополнительных резонансных частот.

8. Определены характерные сочетания материалов слоистой конструкции, при которых полость практически не оказывает влияния на распределение контактных напряжений под штампом и на границе раздела сред.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Селезнев, Николай Михайлович, 2008 год

1.Под редакцией Акад. РАН И.И. Воровича и Акад. РАЕН В.М. Александрова. Механика контактных взаимодействий. - М.: Физматлит. 2001. 672 с.

2. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. T.l. М.: Мир, 1983. 519 с.

3. Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Взаимодействие движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку или тонкий слой идеальной жидкости. // -ПММ. 1978. Т.42, вып. 3. С. 475 485.

4. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

5. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконь A.B., Кренев Л.И., Трубчик И.С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит. 2006 236 с.

6. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит. 2006 301 с.

7. Александров В.М., Пашовкин Ю.М. Контактная задача для полуплоскости с покрытием переменной толщины // Трение и износ. 1989. 10. №6. С. 973-980.

8. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

9. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении -М.: Машиностроение. 1986. 176с.

10. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. -М.: Наука. 1983. 488 с.

11. Александров В.М., Кадомцев И.Г. Царюк Л.Б. Осесимметричные контактные задачи для упругопластических тел. // Трение и износ. 1984. Т.1. №1. С. 16-26.

12. Александров В.М. О термосиловом взаимодействии деформируемых покрытий тел с учетом износа. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1995. №5. С. 70-75.

13. Бабешко В. А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Изучение высокочастотного резонанса в полуограниченных средах с неоднородностями. //МТТ, 1990. №6, с. 74-83.

14. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье//ДАН СССР. 1981.Т. 256,№3,

15. Бабешко В.А., Собисевич А.Л., Шошина С.Ю. Исследование условий возникновения резонансов на неоднородностях в неограниченной среде. // ДАН, 1995. Т. 345, №4, с. 475-478.

16. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах// ПММ, 1978. Т 44,вып. 3, с477-484.

17. Бабешко В.А., Ворович И.И., Селезнев М.Г. Вибрация штампа на двухслойном основании // ПММ, 1977. Т 41,вып. 1, с. 166-173.

18. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. -М.: Наука. 1984.-256 с.

19. Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамичка неоднородных линейно упругих сред. М.: Наука, 1989. - 334 с.

20. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. 494 с.

21. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Фзматгиз, 1957,502 с.

22. Боев Н.В., Сумбатян М.А. Коротковолновая дифракция на телах, ограниченных произвольной гладкой поверхностью // Доклады Академии наук. 2003. Т. 392, № 5.

23. Боев Н.В., Сумбатян М.А. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде // ДАН. 1991 г. -Т. 318, №4.

24. Белоконь A.B., Ворович И.И. О некоторых закономерностях образования волновых полей в анизотропном слое при пульсирующей движущейся нагрузке. // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1988. Т. 3. С. 215 222.

25. Белоконь A.B., Наседкин A.B. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками. // Акуст. Ж-л. 1993. Т. 39. №3. С. 421 427.

26. Бескопыльный А.Н., Селезнев М.Г., Углич К.С. Осесимметричное вдавливание усеченного конуса в однородное полупространство при упругопластическом деформировании. // Изв. СКНЦ ВШ. Технические науки. 1998. №2. С. 20 24.

27. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // ПММ, 1999г., т.63. в.6, с. 860-868.

28. Ватульян А.О., Соловьев А.Н., Ковалев О.В. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии 2002г., т.7, № 1, с.54-65.

29. Ватульян А. О., Чебакова Е. М. Фундаментальные решения для ортотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Прикл. мех. и техн. физ. 2004. - 45, N 5. - С. 131-139.

30. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 223 с.

31. Ватульян А. О., Явруян О. В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // Прикл. мат. и мех. 2006. - 70, N 4. - С. 714-724.

32. Ватульян А.О. Беляк О. А. К реконструкции малых полостей в упругом слое // Дефектоскопия. 2006, № 10. - С.33-39.

33. Ватульян А. О., Садчиков Е. В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1999. 2. - С. 78-84.

34. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.

35. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д.Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир. 1999. -246 с.

36. Ворович И.И., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Задача термоупругости о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения. //Журнал ПММ. 1994. В. 3. Т.58 С. 161 166.

37. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М. : Наука. 1979. 320 с.

38. Виндельман В.Э. О решениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения. // ПММ. 1998 Т.62.№>2. С. 304-312.

39. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1993. 143 с.

40. Гнучий Ю.Б., Подога В.А., Борисенко В.В.' Численные методы решения контактных задач с учетом разрушения//Эффект. числ. методы решения краев, задач мех. тв. деф. тела: Тез. докл. респ. науч.-тех. конф. Харьков. 1989. С. 71-72.

41. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев.: Наукова думка, 1981.- 283 с.

42. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наукова думка, 1978.- 307 с.

43. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз. 1961. - 367 с.

44. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

45. Джонсон К.Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989, 510 с.

46. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.

47. Молотков JI.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 202 с.

48. Евграфов Асимптотические оценки и целые функции. //М.: Физматгиз, 1962.

49. Кохманюк С.С., Янютин Г.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев: Наукова Думка. 1980. 232 с.

50. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров.//-М.: Наука, 1970. 720 с.

51. Кадомцев И.Г., Барановский Г.К., Рухленко С.А. Упругопластический удар массивного тела по прямоугольной пластине. // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. 2000. №3. С. 68-71.

52. Кадомцев М.И., Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Об одном алгоритме расчета системы «здание грунт». // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Международной конференции. Г. Ростов-на-Дону, 2006. Т.1. С.144-148.

53. Кадомцев М.И., Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Использование смешанных (МГИУ-МКЭ) алгоритмов при расчете динамики объекта сложной формы, заглубленных в слоистое полупространство.// Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство 2007».

54. Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. 2007. Изд. РГСУ. С. 55-57.

55. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова Д-умка, 1985. 176 с.

56. Лаврентьев М.А., Шабат Б.М. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 336 с.

57. Ляпин A.A. Возбуждение волн в слоистом полупространстве со сферической полостью. // Изв. АН СССР, МТТ, 1991, №3, с.76 81.

58. Ляпин A.A. О построении фундаментальных решений для слоистых полуограниченных сред // Труды 11 -й международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" 14-17 ноября 2007 г., г. Ростов-на-Дону.

59. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

60. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Собисевич Л.Е., Собисевич А.Л. Механико-математические модели в задачах активной сейсмологии. ГНТП «Глобальные изменения природной среды и климата». М.: ГНИЦ ПГК, 1999.294 с.

61. Ляпин A.A., Селезнев М.Г. Возбуждение колебаний в слоистом многосвязном полупространстве // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деф. сред и констр. Программа ГК РФ по ВО. Научные труды. Н. Новгород. -1993. -В.1/

62. Ляпин A.A., Селезнев Н.М., Шиляева О.В. Динамическая контактная задача для полуплоскости, жестко сцепленной с пакетом из двух слоев.// Экологический вестник научных центров стран ЧЭС. 2008. № 2. -С. 82-88.

63. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Селезнев Н.М. Динамическая контактная задача для трехслойного полупространства с цилиндрической полостью.// Экологический вестник научных центров стран ЧЭС. 2008. № 4 . - С. 64-76.

64. Ляпин A.A., Селезнев Н.М. Динамика слоя переменной толщины. // Материалы Международной научно-практической конференции «Строительство 2006». Институт промышленного и гражданского строительства. Ростов-на-Дону. Изд. РГСУ. 2006. С. 96-98.

65. Матлин М.М. Применение закономерностей упругопластического контакта твердых тел к решению прикладных задач // -Проблемы машиностроения и автоматизации. 1991. №4. С. 68-80.

66. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

67. Нуллер Б.М., Шехтман И.И. О давлении упругого клина на полуплоскость при наличии контактного трения // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1985. №4. С. 89-94.

68. Нестерова Л. А., Сторожев В. И., Шкодина Л. Н. Дифракция импульсной волны на подкрепленной круговой полости в ортотропном массиве // Теор. и прикл. мех. 2005. - ~N 40. - С. 184-197.

69. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.//- М.: Мир. 1976. 464 с.

70. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто неоднородных изотропных упругих средах. - Ленинград.: Наука, 1982. -289 с.

71. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 344 с.

72. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982.

73. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости. // ПММ. 1969 Т. 33. в. 3. С. 518-531.

74. Развитие контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976, 493 с.

75. Рвачев В.Д., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев.: Наукова думка, 1977.- 235 с.

76. Рекач В.Г. Руководство к решению задач теории упругости. М. : Высшая школа. 1977. - 215 с.

77. Рыжов Э.В., Колесников Ю.В., Суслов А.Г. Контактирование твердых тел при статических и динамических нагрузках. Киев: Наукова думка. 1982.

78. Румянцева Т.Г., Селезнев М.Г., Чепиль М.В. Динамическая контактная задача для двухслойного полупрост ранства с полостью.// ПММ, 1989. Т.53, вып. 2, .348-351.

79. Румянцев А.Н., Ляпин A.A., Селезнев М.Г. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью. // ПМТФ, 1991, №3.

80. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев.: Наукова думка, 1990.- 224 с.

81. Сеге П. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз, 1962. 500 с.

82. Снэддон И. Преобразование Фурье. М.: Иностранная литература. 1955. 668 с.

83. Станкевич В. 3. Напруження бшя трнцини в niBnpocTopi, що контактуе з рщиною, шд гармошчним навантаженням // Ф1з.-?ам. мех. матер. : М1жнародний науково-техшчний журнал. 2005. - 41, N 3. - С. 96-100.

84. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат. 1948. - 479 с.

85. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М.: Наука. 1972.

86. Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике.//-М.: Гостехиздат. 1956. 204 с.

87. Улитко А.Ф. Метод собственных векторныхфункций в пространственных задачах теории упругости. Киев.: Наукова думка, 1979.261 с.

88. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости.//-Ленинград: Наука. 1967.

89. Федорюк М.В. Метод перевала.- М.: Наука. 1977.

90. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения ераевых задач строительной механики. М.: Стройиздат, 1984. 334 с.

91. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. 200 с.

92. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. / -М.: Наука, 1977. 344 с.

93. Tan A., Hirose S., Zhang Ch., Wang C.-Y. A 2D time-domain BEM for transient wave scattering analysis by a crack in anisotropic solids// Eng. Anal. Boundary Elem. 2005. - 29, N 6. - C. 610-623.

94. Mendes P. A., Tadeu A. Wave propagation in the presence of empty cracks in an elastic medium // Comput. Mech. 2006. - 38, N 3. - С. 183-199.

95. Manolis G. D., Dineva P. S., Rangelov Т. V. Wave scattering by cracks in inhomogeneous continua using BIEM / // Int. J. Solids and Struct. 2004. - 41, N 14. - C. 3905-3927.

96. Dineva P. S., Manolis G. D., Rangelov Т. V. Sub-surface crack in an inhomogeneous half-plane: wave scattering phenomena by BEM // Eng. Anal. Boundary Elem. 2006. - 30, N 5. - C. 350-362.

97. Aour В., Rahmani O., Nait-Abdelaziz M. A coupled FEM/BEM approach and its accuracy for solving crack problems in fracture mechanics // Int. J. Solids and Struct. 2007. - 44, N 7-8. - C. 2523-2539.

98. Katsikadelis John T. The BEM for nonhomogeneous bodies // Arch. Appl. Mech. 2005. - 74, N 11-12. - C. 780-789.

99. Ariza M. P., Dominguez J. Dynamic BE analysis of 3-D cracks in transversely isotropic solids // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 2004. - 193, N9-11.-C. 765-779.

100. Dineva P., Saykov V. Boundary integral equation method for three-dimensional wave propagation in inhomogeneous half-space // Докл. Бълг. АН. -2005. 58, N6. - С. 671-678.

101. Moraru Gh. BEM based on discontinuous solutions in the theory of Kirchhoff plates on an elastic foundation // Eng. Anal. Boundary Elem. 2006. -30, N 5.-C. 382-390.

102. Gatmiri Behrouz, Jabbari Ehsan Time-domain Green's functions for unsaturated soils. Pt I. Two-dimensional solution // Int. J. Solids and Struct. 2005. - 42, N 23. - C. 5971-5990.

103. Honda Riki Stochastic BEM with spectral approach in elastostatic and elastodynamic problems with geometrical uncertainty // Eng. Anal. Boundary Elem. 2005. - 29, N 5. - C. 415-427.