Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Соболевский, Андрей Николаевич

• Соболевский, Андрей Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Соболевский, Андрей Николаевич

Содержание

Введение

Обзор содержания диссертации

1. Вводные замечания

2. Уравнение Гамильтона Якоби и его сингулярные решения

3. Глобальный анализ сингулярных решений

4. Локальный анализ сингулярных решений

5. Сингулярные решения в моделях космологии

6. Реконструкция пекулярных скоростей и смещений

элементов темного вещества в космологии

Глава 1. Разрушение решения уравнения Гамильтона—Якоби

в неограниченной области

1.1. Вводные замечания

1.2. Доказательство оценки сверху на скорость минимизирующей траектории

1.3. Построение «ступенчатого» ускоряющего потенциала.

Нижняя оценка скорости

1.4. Построение «ступенчатого» ускоряющего потенциала. Глобальный по времени случай

Глава 2. Конструкции слабой теории KAM для глобальных решений уравнения Гамильтона—Якоби в периодическом потенциале

и в задаче Монжа—Канторовича на окружности

2.1. Вводные замечания

2.2. Функционал действия. Редукция к функциональному уравнению

2.3. Доказательство теоремы 2.1

2.4. Многозначное отображение, соответствующее sa(-)

2.5. Доказательство теоремы 2.2

2.6. Связь с идемпотентным спектральным анализом

оператора Беллмана

2.7. Обзор решения транспортной задачи на окружности

2.8. Основные определения

2.9. Сопряженные транспортные планы и сдвиги

2.10. Транспортная оптимизация для периодических мер

2.11. Глобальная оптимизация стоимости транспортного плана

Глава 3. Динамика лагранжевых траекторий внутри сингулярных многообразий уравнений

Гамильтона-Якоби

3.1. Вводные замечания

3.2. Вязкостные решения и допустимые градиентные векторные поля

3.3. Допустимые скорости и допустимые импульсы

3.4. Предел исчезающей вязкости

3.5. Интегральные кривые поля допустимых траекторий

Глава 4. Модель инерционного переноса масс при условии

сохранения импульса

4.1. Вводные замечания

4.2. Лагранжева запись в массовых координатах и определение обобщенных решений

4.3. Массовая функция и обобщенный вариационный принцип

4.4. Вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой динамики без давления

4.5. Система уравнений одномерной газовой динамики без давления

в случае гравитирующего вещества

4.6. Вариационный принцип А. И. Шнирельмана

4.7. Баллистическая агрегация в старших размерностях

Глава 5. Применение модели инерционного переноса масс

в задаче космологической реконструкции

5.1. Вводные замечания

5.2. Задача реконструкции прошлого расширяющейся Вселенной

5.3. Реконструкция методом МАК

5.4. Реализация, тестирование и применение метода МАК

в космологии

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс»

Введение

Актуальность работы. Уравнения движения бесструктурной сплошной среды — такой, как жидкость, газ или пылевидное вещество в космологии — лежат в основе целого спектра моделей математической физики. «Крайними точками» этого спектра являются идеальная жидкость, описываемая уравнением Эйлера + (у • \7)г> + Vр = 0 при условии несжимаемости V • V = 0, и абсолютно сжимаемое (давление р = 0) пылевидное вещество, частицы которого движутся по инерции, не испытывая влияния со стороны соседних частиц. Согласно известной теореме Я. Бренье (У. Вгешег) [61], произвольное смещение элементов сплошной среды в евклидовом пространстве может быть разложено в композицию двух факторов: отображения, обладающего несжимаемостью (т. е. сохраняющего объемы), и инерционного переноса элементов массы вдоль векторов некоторого потенциального поля смещений.

Оба предельных типа динамики, «несжимаемый» и инерционный, обладают богатой геометрической структурой, которую важно изучить с точки зрения их приложений в моделях математической физики. Хорошо известно [4], что уравнение Эйлера может быть переформулировано как движение по инерции на бесконечномерном искривленном конфигурационном многообразии — группе сохраняющих объем диффеоморфизмов В свою очередь, модель нелинейного переноса в одномерном случае допускает аналогичную формулировку над полугруппой монотонных отображений как выпуклым подмножеством подходящего функционального пространства (гл. 4 настоящей диссертации), а в многомерном случае при условии потенциальности принимает вид уравнения Бернулли или нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби

+ = о (же в/*), (1)

где </? — потенциал поля импульсов.

Глобальные решения этого нелинейного уравнения в общем случае негладки и определены лишь в некотором обобщенном смысле: среди известных подходов к такому определению, в частности, можно назвать вязкостные решения М. Г. Крандалла и П.-Л. Лионса (M. G. Crandall, P.-L. Lions) [81, 82], минимаксные решения H. Н. Красовского и А. И. Субботина [33] и др. Если гамильтониан H(t,x,p) является выпуклым по аргументу р, обобщенные решения, определенные каждым из этих способов, совпадают и являются полувогнутыми функциями, т. е. представимы в виде разностей вогнутых функций и подходящих квадратичных форм. Все это обусловливает ту значительную роль, которую в данном круге вопросов играют выпуклый анализ и выпуклая геометрия.

Модель нелинейного инерционного переноса массы возникает, в частности, в задачах распространения воли в средах без дисперсии, а также при исследовании возникновения крупномасштабной структуры Вселенной в приближении Зельдовича («модель слипания» в теории гравитационной неустойчивости в космологии) [10, 13]. Особый интерес представляют вопросы о возможности явного построения решений соответствующих уравнений и о структуре сингу-лярностей, возникающих в таких решениях, а также о динамике течения внутри сингулярностей. Рассмотрению этих вопросов посвящены главы 1-4 настоящей диссертации.

В последние годы были опубликованы обширные каталоги пространственных координат (красных смещений) галактик [1, 156]. Вместе с данными многолетних наблюдений тонкой анизотропии реликтового излучения в экспериментах WMAP и Planck [91, 171] возник массив данных, обеспечивающих гораздо более точное определение космологических параметров и более полное описание крупномасштабной структуры распределения масс, чем это было возможно раньше. Тем самым возросла актуальность моделей, позволяющих интерпретировать полученные данные и извлекать из них физически значимую информацию. В частности, в рамках представленного в диссертации круга идей

был развит метод реконструкции динамической истории формирования крупномасштабной структуры распределения масс и пекулярных скоростей галактик, представленный в главе 5.

Цели и методы диссертационного исследования. Целыо цикла исследований, отраженных в диссертационной работе, является математическое исследование сингулярных решений уравнения Гамильтона-Якоби и некоторых его аналогов, рассматриваемых как математические модели физических явлений (формирование крупномасштабной структуры распределения масс в космологии).

Исследование направлено на построение физически естественной динамики частиц среды, описываемой уравнением Гамильтона-Якоби и его аналогами, внутри формирующихся в такой среде сингулярностей, разработку метода частичного восстановления этой динамики по наблюдаемому распределению масс для приложений к обработке астрономических данных, а также исследованию структуры стационарных обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби и препятствий к их формированию.

Этой целью определяется существенное единство диссертационной работы, которая сочетает аналитические вычисления, исследование математических проблем механики сплошной пылевидной среды математическими методами (методами теории обобщенных вязкостных решений нелинейных уравнений в частных производных, теории динамических систем, теории транспортной оптимизации) и результаты, допускающие сравнение с экспериментальными (наблюдательными) данными (численный метод массового восстановления смещений и пекулярных скоростей элементов скрытого вещества по крупномасштабным каталогам галактик).

Научная новизна и значение результатов. Диссертация охватывает результаты, полученные диссертантом па протяжении примерно 15 лет. Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Кратко охарактеризуем их с

сегодняшних позиций, останавливаясь также на работах коллег, послуживших источниками и мотивировкой представленных в диссертации исследований.

Результаты, изложенные в гл. 1 и опубликованные в [115, 116], представляют интерес с точки зрения построения обобщенных решений уравнения Гамиль-тона-Якоби, определенных на бесконечных интервалах времени. Гл. 2 посвящена исследованию структуры таких решений, удовлетворяющих дополнительному условию периодичности градиента решения, и аналогичной конструкции в теории одномерной транспортной оптимизации.

Гл. 2 состоит из двух частей, охватывающих разделы 2.1-2.6 и 2.7-2.11 соответственно. Результаты, изложенные в первой части этой главы и опубликованные в [30, 160], были независимо получены диссертантом и Вейнаном И [88]. Внимание каждого из нас обратил на этот круг задач Я. Г. Синай, которого заинтересовала неоконченная работа Ю. Мозера [111], появившаяся в виде препринта в 1997 г. и ставшая в конце 1990-х гг. одним из источников «слабой теории КАМ». Представленная в диссертации конструкция, связанная с редукцией задачи к функциональному уравнению, оригинальна, ио является менее общей и мощной, чем инструментарий, представленный в работах А. Фати [93], который в настоящее время стал стандартным. Поэтому с точки зрения современного состояния предмета основным результатом данного раздела является критерий единственности решения в терминах числа вращения, впервые полученный в работах автора [30] и Вейнапа И [88]. Интерес представляет также связь с «идемпотентным анализом», с точки зрения которого полученные результаты относятся к спектральной теории идемпотентно-линейного оператора Беллмана [160].

Вторая часть гл. 2 посвящена недавно замеченному (2009-10 гг.) применению подхода, построенного в последовательной аналогии со «слабой теорией КАМ», к задаче транспортной оптимизации на окружности. Речь идет об использовании таких идей, как (i) поднятие задачи на универсальную накрываю-

щую, позволяющую перенести все рассмотрения в линейное пространство, (ii) минимизация транспортной стоимости относительно финитных возмущений и (iii) переход к подходящей двойственной переменной, для которой может быть определен аналог «усредненного гамильтониана» или функции Мезера [130]. Сама по себе аналогия между слабой теорией KAM и транспортной задачей Монжа-Канторовича была замечена Мезером в одной из его первых работ в указанной области [129]. Тем не менее, по-видимому, статья [86] — единственная публикация, где благодаря этой аналогии удается ввести нетривиальный «транспортный» аналог функции Мезера, который может быть эффективно вычислен, а на использовании этого обстоятельства оказывается возможным построить быстрый численный алгоритм.

Гл. 3 посвящена исследованию локальной структуры решений нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Как правило, в существующей литературе оно рассматривается как уравнение для функции значения некоторой задачи оптимального управления или дифференциальной игры. Эта точка зрения позволила развить глубокую и плодотворную теорию, результаты которой использованы в настоящей диссертации. С другой стороны, в пашей работе нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби рассматривается как модель нелинейного инерционного переноса масс, что приводит к новым постановкам задач: так, задача о динамике внутри сингулярных многообразий вряд ли могла бы быть даже поставлена в рамках первого подхода.

Для уравнения Бюргерса или нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби с квадратичным гамильтонианом такая постановка впервые рассматривалась И. А. Богаевским [6, 56], работы которого мотивировали исследование, представленное в диссертации. Поскольку метод этих работ, основанный на применении некоторого дифференциального неравенства (см. также известную книгу X. Брезиса [65]), неприменим в случае уравнения Гамильтона-Якоби с общим строго выпуклым гамильтонианом, построенная в данной главе теория дина-

мики в сингулярных многообразиях потребовала развития совершенно нового подхода, который удалось найти диссертанту совместно с К. М. Ханиным. Этот подход основан на учете скорости изменения решения вдоль различных кривых, который в совокупности с принципом наименьшего действия позволяет находить производные обобщенных траекторий в первом и более высоких порядках теории возмущений.

Полученные в гл. 3 результаты соотносятся также с работами П. Каннар-сы (Р. Саппагва) и его соавторов о распространении особенностей [73]. Подход, принятый в этих работах, является геометрическим: в них решается вопрос о возможности вложить в сингулярное многообразие липшицеву кривую. По сравнению с этими работами в диссертации принято новое и значительно более ограничительное определение обобщенной характеристики, связанное с ее интерпретацией как траектории частицы сплошной среды, движение которой описывается уравнением Гамильтона-Якоби. Это определение позволяет не только установить существование обобщенных характеристик, но и избежать проблемы неединственности, которая обсуждается в [74].

Результаты главы 4 мотивированы статьей Вейнана И, Ю. Г. Рыкова и Я. Г. Синая [90], а также заметкой А. И. Шнирельмапа 1986 г. [159], о которой диссертанту любезно сообщил ее автор в 2001 г. Тогда же диссертант узнал от него о статье Я. Бренье, содержащей упомянутую выше теорему о полярном разложении [61]. Эта и другие работы Я. Бренье в дальнейшем оказали большое влияние на выбор тем исследования диссертанта и полученные им результаты — в том числе те, которые нашли отражение в гл. 4 и 5 диссертации, часть из которых получена в соавторстве с Я. Бренье.

В частности, гл. 4 посвящена исследованию геометрической формулировки динамики инерционного движения масс с прилипанием, в котором сохраняются как масса, так и импульс. Гл. 5 посвящена приложению затрагиваемого в диссертации круга идей к реконструкции динамической истории возникнове-

шш наблюдаемой крупномасштабной структуры распределения масс во Вселенной. Проблема реконструкции впервые была поставлена для Локальной группы галактик Дж. Пиблзом (J. Peebles). В его работе [149] предложен метод, основанный на приближенной численной минимизации механического действия для дискретной группы галактик. В дальнейшем метод применялся к исследованию крупномасштабной структуры в более крупных масштабах, вплоть до самых больших существующих каталогов галактик [144]. Однако на таких масштабах более естественным является применение методов непрерывного, а не дискретного описания распределения масс.

Такой метод был предложен в [63, 95] под названием «метод МАК». Кроме относительно высокой вычислительной эффективности, он отличается от метода численной минимизации действия тем, что реконструкция сводится к корректно поставленной задаче выпуклого программирования, обладающей единственным решением. Физической основой предложенного метода является т. п. космологическая теория возмущений (см., напр., обзор Ф. Буше и др. [57]), в первых двух порядках которой поле смещений элементов массы потенциально.

Метод, предложенный в работах [63, 95] и гл. 5 диссертации, нашел применения в работах космологов S. Colombi, Н. Mathis, A. Szalay, J. Silk, R. Brent Tully, В. Wandelt и их сотрудников (см. обзорцый раздел диссертации). Можно также отметить неожиданное применение этого метода (взятого как частный метод транспортной оптимизации) в статистической термодинамике для оценки минимально возможного производства энтропии в неравновесном процессе [44]. Кроме того, данный метод вызвал значительный интерес со стороны математиков, специализирующихся в теории транспортной оптимизации (см., например, библиографию известной книги С. Виллапи [167]).

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты, изложенные в ее первых четырех главах, могут быть исполь-

зованы при дальнейших исследованиях обобщенных вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби, в том числе структуры сингулярных множеств и динамики обобщенных характеристик этих решений; при построении математических моделей нелинейной гравитационной неустойчивости и образования крупномасштабной структуры в различных вариантах «модели слипания», в частности при построении решений системы уравнений газовой динамики без давления в многомерном случае. Метод реконструкции динамики формирования крупномасштабной структуры Вселенной и пекулярных скоростей галактик (гл. 5) нашел применения для интерпретации больших массивов астрономических данных о крупномасштабной структуре распределении масс.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Продемонстрирована возможность разрушения глобальных по времени слабых решений уравнения Гамильтона-Якоби в ограниченном, но быстро меняющемся силовом поле в неограниченном пространстве. Показано, что данное явление связано с неограниченностью скорости односторонних минимизирующих траекторий.

2. Установлено существование и дан критерий единственности обобщенных решений одномерного уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом в случае периодической внешней силы (частный вариант «слабой теории KAM»). Предложен подход к задаче Монжа-Капторовича на окружности, основанный на конструкциях слабой теории KAM, и основанный на нем эффективный численный алгоритм транспортной оптимизации.

3. Методом исчезающей вязкости обосновано лагранжево представление динамики частиц для многомерного уравнения Гамильтона-Якоби и системы уравнений одномерного пылевидного вещества с абсолютно неупругими столкновениями. Показано, что предельные траектории частиц в обобщенных решениях уравнения Гамильтона-Якоби односторонне дифференцируемы, а их скорости удовлетворяют условию допустимости и минимизируют некоторый вы-

пуклый функционал. Предложено пертурбативпое разложение для высших односторонних производных предельных траекторий по времени, позволяющиее при некоторых дополнительных предположениях установить единственность таких траекторий.

4. Показано, что динамика пылевидного вещества с абсолютно неупругими столкновениями в лаграпжевом представлении в одномерной ситуации может быть описана как диссипативное движение по инерции в выпуклом множестве допустимых конфигураций сплошной среды, вложенном как выпуклое подмножество в подходящее гильбертово пространство. Установлена эквивалентность этого представления с конструкцией «обобщенного вариационного принципа», предлагавшейся ранее в работах других авторов.

5. Предложен вариационный метод численной реконструкции поля смещений элементов массы, возникающего в процессе развития нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии, исходя из данных наблюдений современного распределения масс на расстояниях порядка сотен мегапарсек. Метод основан па решении транспортной задачи Монжа-Канторовича (минимизации среднего квадрата смещения). Результаты, получаемые'этим методом для пекулярных скоростей, точно согласуются с космологической теорией возмущений в первом порядке (приближение Зельдовича), а для смещений — в первом и втором порядках. При тестировании па данных прямого численного моделирования космологической эволюции продемонстрирована относительно высокая, по сравнению с существующими аналогами, точность восстановления поля смещений.

Апробация работы и степень достоверности результатов. Работа частично поддержана грантами РФФИ, в том числе совместными грантами РФФИ и Национального центра научных исследований Франции, а также Национального агентства по научным исследованиям Франции (ANR-07BLAN-0235 OTARIE). Основные результаты диссертации докладывались на следующих

конференциях:

• международной конференции Kolmogorov and Contemporary Mathematics, посвященной 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова (Москва, 16-21 июня 2003 г.);

• симпозиуме Optimal Mass Transport and Dynamical Systems (Ванкувер, Канада, 10-17 августа 2003);

• международной конференции Математика и экономика: старые проблемы и новые подходы памяти Л. В. Канторовича (Санкт-Петербург, 7-13 января 2004 г.);

• конференции Recent Advances in Calculus of Variations and PDEs (Пиза, Италия, 3-5 марта 2005 г.);

• симпозиуме Nonlinear Cosmology Workshop (Ницца, Франция, 25-27 января 2006 г.);

• летней школе и конференции Optimal transportation: theory and applications (Гренобль, Франция, 15 июня-3 июля 2009 г.);

• международной конференции Monge-Kantorovich optimal transportation problem, transport metrics and their applications, посвященной 100-летию со дня рождения Л. В. Канторовича (Санкт-Петербург, 4-7 июня 2012 г.);

• конференции Optimal Transport (to) Orsay (Орсэ, Франция, 18-22 июня 2012 г.).

Кроме этого, материалы диссертации были представлены в докладах на ряде семинаров: коллоквиуме Института Филдса по прикладной математике (Торонто, 5 ноября 2008 г.), семинаре «Асимптотические методы в сингулярно возмущенных задачах» (физический факультет МГУ, 2010 г.), семинаре по вариационному исчислению лаборатории CEREMADE (Университет Париж-Дофин, 27 сентября 2010 г.), семинаре им. В. И. Смирнова по математической физике (ПОМИ РАН, 16 мая 2011 г.), семинаре Лаборатории структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании (МФТИ и ИППИ РАН, 22

марта 2012 г.), коллоквиуме Исследовательской лаборатории им. П. JI. Чебышё-ва (математико-механический факультет СПбГУ, 16 февраля 2012 г.), семинаре «Квазилинейные уравнения и обратные задачи» под руководством Г. М. Хеи-кина (ЦЭМИ РАН, 28 августа 2012 г.), а также па других семинарах в МГУ (па факультетах механико-математическом, физическом, ВМиК, в НИВЦ и ГА-ИШ), ИППИ РАН, МИТП РАН, в INRIA (Роканкур, Франция), EPFL (Лозанна, Швейцария), Georgia Institute of Technology и Emory University (Атланта, США), университете Лафборо (Великобритания) и др.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгими математическими методами их получения. Адекватность метода реконструкции, описанного в гл. 5, дополнительно обоснована тестированием на данных численного моделирования космологической эволюции (п. 5.4.2).

Публикации. Результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 15 печатных работах, из них 11 статей в рецензируемых журналах [2, 21, 28-30, 63, 86, 95, 116, 134, 160] и 4 статьи в сборниках трудов конференций [31, 115, 118, 136].

Следует отметить, что статьи [136] и [118], включенные в библиографию как вышедшие в сборниках трудов конференций, опубликованы в тематических выпусках зарубежных рецензируемых журналов, индексируемых в базе данных Web of Science, и прошли полноценное журнальное рецензирование.

Полное доказательство результатов, анонсированных в [118], содержится в препринте arXiv: 1211.7084 (Khanin К., Sobolevski A. "On dynamics of La-grangian trajectories for Hamilton-Jacobi equations") . Текст этого доказательства включен в гл. 3 диссертации.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации части полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Так, в цикле работ [21, 31, 63, 95, 134, 136] диссертанту принадлежит подход к реконструкции потенциального поля смещений, основанный на решении задачи транспортной оптимизации и составляющий математическую базу метода МАК, численная реализация метода МАК, а также редукция построения приближенного решения в случае «импульсного» включения гравитационного поля к решению задачи квадратичного программирования [21].

В работах [115, 116] диссертанту принадлежит построение «ступенчатой» траектории, на которой достигается бесконечная скорость; построение ускоряющего потенциала на одной «ступени» проведено совместно с К. М. Хашшыы,

В работе [2] диссертанту принадлежит «проекционная» формулировка вариационного принципа S, доказательство эквивалентности вариационных принципов S и ERS, формулировка этих вариационных принципов в случае цилиндрической и сферической симметрии, а также построение контрпримеров к применимости вариационных принципа S и ERS в многомерном случае.

В работе [86] диссертанту принадлежит подход, основанный на поднятии транспортной задачи па универсальную накрывающую и локальной минимизации относительно финитных возмущений, основная конструкция, позволяющая свести транспортную задачу к задаче минимизации специальной выпуклой функции (аналога функции Мезера), алгоритм численного решения этой задачи и оценка его сложности.

В работе [118] диссертанту принадлежат выражение для допустимой скорости как решения задачи выпуклого программирования, доказательство единственности допустимой скорости и допустимости предельных скоростей для предельных траекторий, получаемых методом исчезающей вязкости, а также идея вывода высших порядков теории возмущений для предельных траекторий.

Вся полнота вошедших в диссертацию результатов в их идейной связи представлена только в работах диссертанта. Все представленные в диссертации новые результаты, включая доказательства теорем, строго обосновывающих пере-

численные идеи и конструкции, получены лично диссертантом.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы и содержания диссертации, пяти глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 274 страницы, из них 250 страниц текста, включая 20 рисунков. Библиография включает 173 наименования на 20 страницах.

Обзор содержания диссертации

1. Вводные замечания

Темой настоящей диссертационной работы является изучение нескольких тесно связанных математических моделей инерционного переноса масс, формулируемых в терминах уравнения Гамильтопа-Якоби или аналогичных ему уравнений и характеризуемых наличием сингулярных решений. Эти модели имеют более или менее прямое отношение к задаче транспортной оптимизации Монжа-Канторовича, для которой характерно сочетание почти элементарной формулировки и богатой структуры. Вероятно, именно это сочетание обусловило несколько периодов оживленного интереса к ней со стороны различных областей математики, один из которых продолжается в настоящее время. Здесь вряд ли было бы возможно дать полный исторический обзор истории этой задачи, однако уместно назвать несколько «реперных точек» этой истории.

Впервые задача транспортной оптимизации была поставлена Г. Мопжем в его статье «О выемках и насыпях» [138], опубликованной за десятилетие до Великой Французской революции. Несмотря на свой прикладной военно-инженерный характер, транспортная задача послужила Мопжу импульсом к созданию в этой работе одного из разделов современной дифференциальной геометрии. Интерес к этой работе Монжа возобновлялся каждые несколько десятков лет: в 1820 г. ее рассматривал Ампер [39], затем после объявления в 1884 г. конкурса Французской академии наук на тему транспортной задачи — П. Аппель, который возвращался к ней и позже [40].

Уже пионерская работа Монжа в неявном виде содержит конструкцию двойственного решения: Монж показывает геометрически, как можно построить кривую или поверхность, совокупность нормалей к которой задает лучи переноса массы. Тем не менее действительное аналитическое значение этой кон-

струкции было выяснено лишь полтора века спустя в сообщении JI. В. Канторовича «О переносе масс» [16], опубликованном в Докладах Академии наук СССР в 1942 г. Эта работа, английский перевод которой [113] появился во втором послевоенном десятилетии, сыграла важную роль в становлении математического программирования как в СССР, так и за рубежом.

Отдельно следует сказать о работах Л. В. Канторовича и Г. Ш. Рубинштейна [17, 18], в которых на базе транспортной оптимизации строится норма в пространстве мер, которая позволяет представить последнее как двойственное к пространству липшицевых функций. После этого в 1960-1970-х гг. транспортная задача и транспортная метрика неоднократно возникали в исследованиях по математической статистике, теории информации и энтропийной теории динамических систем, в частности в работах JI. Н. Вассерштейна и Д. Орнштейпа1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соболевский, Андрей Николаевич, 2013 год

Литература

1. 2dFGRS Team. The 2dF Galaxy Redshift Survey. URL: http: //magnum. anu. edu.au/~TDFgg/ (дата обращения: 19 января 2013 г.)

2. Андриевский А. А., Гурбатов С. Н., Соболевский А. II. Баллистическая агрегация в симметричных и несимметричных течениях // ЖЭТФ. 2007. Т. 131, № 6. С. 1018-1029.

3. Андриевский А. А., Соболевский А. Н. WANN (Weighted Approximate Nearest Neighbor search). URL: http://www.mccme.ru/~ansobol/otarie/ software.html (дата обращения: 19 января 2013 г.)

4. Арнольд В. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2007. 392 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

6. Богаевский И. А. Разрывные градиентные дифференциальные уравнения и траектории в вариационном исчислении // Математический сборник. 2006. Т. 197, № 12. С. 11-42.

7. Брегман Л. М. Релаксационный метод нахождения общей точки выпуклых множеств и его применение для задач выпуклого программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7, № 3. С. 630-631.

8. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

9. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями // Дифференциальные

уравнения и топология. I. М.: МАИК, 2010. Труды МИ АН. Уо1. 268. Рр. 268-283.

10. Гурбатов С. Н., Малахов А. Н., Саичев А. И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. Современные проблемы физики. М.: Наука, 1990. 216 с.

11. Гурбатов С. Н., Мошков А. Ю. О генерации когерентных крупномасштабных структур в уравнении KPZ и турбулентности Бюргерса // ЖЭТФ. 2003. Т. 124, № 6. С. 1329-1344.

12. Гурбатов С. Н., Саичев А. И. Вероятностные распределения и спектры потенциальной гидродинамической турбулентности // Известия вузов. Серия Радиофизика. 1984. Т. 27, № 4. С. 456-468.

13. Гурбатов С. И., Саичев А. И., Шандарин С. Ф. Крупномасштабная структура Вселенной. Приближение Зельдовича и модель слипания // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, № 3. С. 233-261.

14. Гуревич А. В., Зыбин К. П. Бездиссипативная гравитационная турбулентность / / Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1988. Уо1. 94, по. 1. Рр. 3-25.

15. И В., Рыков Ю. Г., Синай Я. Г. Вариационный принцип Лакса-Олейник для некоторых одномерных систем квазилинейных уравнений // Успехи математических наук. 1995. Т. 50, № 1. С. 193-194.

16. Канторович Л. В. О переносе масс //ДАН СССР. 1942. Т. 321. С. 199-201.

17. Канторович Л. В., Рубинштейн Г. Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах // ДАН СССР. 1957. Т. 115, № 6. С. 1058-1061.

18. Канторович Л. В., Рубинштейн Г. Ш. Об одном пространстве вполне аддитивных функций // Вестник ЛГУ. 1958. Т. 7, № 2. С. 52-59.

19. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

20. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений // Математический сборник. 1975. Т. 98(140), № 3(11). С. 450-493.

21. Курносое А. А., Соболевский А. Н. Вариационный подход к восстановлению пекулярных скоростей галактик // Вестник МГУ, сер. 3. Физика, астрономия. 2007. № 3. С. 18-21.

22. Мазер Д. Н. Диффузия Арнольда, I: анонс результатов // Труды международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям — сателлита Международного конгресса математиков 1СМ-2002 (Москва, МАИ, 11-17 августа, 2002). Часть 2. Совр. матем.: фунд. напр. Т. 2. М.: МАИ, 2003. С. 116-130.

23. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. ОГИЗ, 1947.

24. Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // ДАН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 451-455.

25. Погорелое А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. Москва: Наука, 1969. С. 760.

26. Погорелое А. В. Многомерное уравнение Монжа-Ампера с^Н^Ц = <р(г1,..., гп, г,Х},..., хп). Москва: Наука, 1988. С. 92.

27. Синай Я. Г. Современные проблемы эргодической теории. Современные проблемы математики № 31. Москва: Физматлит, 1995.

28. Соболевский А. Н. Метод малой вязкости для одномерной системы уравнений типа газовой динамики без давления // Доклады РАН. 1997. Т. 356, № 3. С. 310-312.

29. Соболевский А. Н. О периодических решениях уравнения Гамильтона-Яко-би с периодической силой // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, № 6(324). С. 265-266.

30. Соболевский А. Н. Периодические решения уравнения Гамильтона-Якоби с периодической неоднородностью и теория Обри Мезера // Матем. сб. 1999. Т. 190, № 10. С. 87-104.

31. Соболевский А. Н., Фриш У. Применение теории оптимального транспорта к реконструкции ранней Вселенной // Теория представлений, динамические системы. XI. Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 312. СПб: ПОМИ РАН, 2004. С. 303-309.

32. Соколов Д. Д. Поверхности в псевдоевклидовом пространстве // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980. Сер. Пробл. геом. Vol. И. Pp. 177-201.

33. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

34. Френкель Я. И. Курс теоретической механики. M.-JL: ГИТТЛ, 1940.

35. Яковенко С. Ю. Неподвижные точки полугрупп операторов Беллмана и

инвариантные многообразия субдифференциальных гамильтоновых уравнений // Автоматика и телемеханика. 1989. № 6. С. 43-52.

36. Aggarwal A., Bar-Noy A., Khuller S. et al Efficient minimum cost matching using quadrangle inequality // Foundations of Computer Science, 1992. Proceedings of 33rd Annual Symposium. 1992. Pp. 583-592.

37. Albano P., Cannarsa P. Propagation of Singularities for Solutions of Nonlinear First Order Partial Differential Equations // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2002. Vol. 162, no. 1. Pp. 1-23.

38. Ambrosio L., Gigli N., Savaré G. Gradient Flows: In Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Birkhauser, 2005. P. 333.

39. Ampere A. M. Mémoire concernant l'Application de la Théorie exposée dans le XVIIe Cahier du Journal de l'École Polytechnique, a l'Intégration des Équations aux ifférentielles partielles du premier et du second ordre // J. de L'École Royale Polytechnique. 1820. Vol. 11. Pp. 1-188.

40. Appell P. Le problème géométrique des déblais et remblais // Mémoires des sciences mathématiques. 1928. Vol. 27. Pp. 1-34.

41. Aubry S. The twist map, the extended Frenkel-Kontorova model and the devil's staircase // Physica B: Nonlinear Phenomena. 1983. Vol. 7, no. 1-3. Pp. 240-258.

42. Aubry S., Le Baeron P. Y. The discrete Frenkel-Kontorova model and its extensions I. Exact results for the ground-states // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1983. Vol. 8, no. 3. Pp. 381-422.

43. Aurell E., Fanelli В., Gurbatov S. N., Yu. The inner structure of Zeldovich

pancakes // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2003. Vol. 186, no. 3-4. Pp. 171-184.

44. Aurell E., Mejía-Monasterio C., Muratore-Ginanneschi P. Optimal Protocols and Optimal Transport in Stochastic Thermodynamics // Phys. Rev. Lett. 2011.-Jun. Vol. 106. P. 250601.

45. Bahcall N. A., Cen R., Davé R. et al. The Mass-to-Light Function: Antibias and Q,m // Astrophysical Journal. 2000. Vol. 541, no. 1. Pp. 1-9.

46. Balakrishnan. Introduction to optimization theory in a Hilbert space. Lecture notes in operations research and mathematical systems. Springer-Verlag, 1971. ISBN: 0387054162.

47. Bee J., Frisch U., Khanin K. Kicked Burgers turbulence 11 J. Fluid Mech. 2000. Vol. 416. Pp. 239-267.

48. Bee J., Khanin K. Burgers turbulence // Physics Reports. 2007. Vol. 447, no. 1-2. Pp. 1-66. 0704.1611.

49. Benamou J. D., Brenier Y. A computational fluid mechanics solution to the Monge-Kantorovich mass transfer problem // Numerische Mathematik. 2000. Vol. 84, no. 3. Pp. 375-393.

50. Bernard P., Buffoni B. Optimal mass transportation and Mather theory // Journal of the European Mathematical Society. 2007. Vol. 9. Pp. 85-121.

51. Bernardeau F., Colombi S., Gaztañaga E., Scoccimarro R. Large-scale structure of the universe and cosmological perturbation theory // Physics Reports. 2002. Vol. 367, no. 1-3. Pp. 1-248.

52. Bertschinger E., Dekel A. Recovering the full velocity and density fields from

large-scale redshift-distance samples // Astrophysical Journal 1989. Vol. 336. Pp. L5-L8.

53. Bertsekas B. P. Auction algorithms for network flow problems: A tutorial introduction // Computational Optimization and Applications. 1992. Vol. 1, no. 1. Pp. 7-66.

54. Birkhoff G. Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques // Bull. Soc. Math. France. 1912. Vol. 40, no. 305-323. P. 2.

55. Bogaevsky I. A. Perestroikas of Shocks and Singularities of Minimum Functions. 2002.-Aug. math/0204237.

56. Bogaevsky I. A. Matter evolution in Burgulence. 2004.— Jul. math--ph/0407073vl.

57. Bouchet F. R., Colombi S., Hivon E., Juszkiewicz R. Perturbative Lagrangian approach to gravitational instability // Astronomy & Astrophysics. 1995. Vol. 296. Pp. 575-608. arXiv:astro-ph/9406013.

58. Brenier Y. Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique. 1987. Vol. 305, no. 19. Pp. 805-808.

59. Brenier Y. A combinatorial algorithm for the Euler equations of incompressible flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1989.— October. Vol. 75, no. 1-3. Pp. 325-332.

60. Brenier Y. The least action principle and the related concept of generalized flows for incompressible perfect fluids // Journal of the American Mathematical Society. 1989. Vol. 2, no. 2. Pp. 225-255.

61. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-valued functions // Communications in Pure and Applied Mathematics. 1991. Vol. 44, no. 4. Pp. 375-417.

62. Brenier Y. Hidden convexity in some nonlinear PDEs from geometry and physics. 2009.-Feb. 0902.2689. URL: http://arxiv.org/abs/0902.2689.

63. Brenier Y., Frisch U., Hénon M. et al. Reconstruction of the early Universe as a convex optimization problem // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2003. - December. Vol. 346, no. 2. Pp. 501-524.

64. Brenier Y., Grenier E. Sticky particles and scalar conservation laws // SI AM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35, no. 6.

65. Brezis H. Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. North-Holland, 1973. North-Holland Mathematical Studies. Vol. 5. P. 183.

66. Brezis H. Monotone Operators, Nonlinear Semigroups and Applications // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 2. Vancouver: 1974. Pp. 249-255.

67. Brown M., Szeliski R., Winder S. Multi-image matching using multi-scale oriented patches // IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2005. CVPR 2005. Vol. 1. 2005.

68. Buchert T. Lagrangian theory of gravitational instability of Friedman-Lemaître cosmologies and the 'Zel'dovich approximation' // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1992. Vol. 254. Pp. 729-737.

69. Buchert T., Dominguez A. Modeling multi-stream flow in collisionless matter:

approximations for large-scale structure beyond shell-crossing // Astronomy and Astrophysics. 1998. Vol. 335. Pp. 395-402.

70. Buchert T., Ehlers J. Lagrangian theory of gravitational instability of Fried-man-Lemaitre cosmologies &mdash; second-order approach: an improved model for non-linear clustering // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1993. Vol. 264. Pp. 375-387.

71. Burkard R. E., Klinz B., Rudolf R. Perspectives of Monge properties in optimization // Biscrete Appl. Math. 1996. Vol. 70, no. 2. Pp. 95-161.

72. Caffarelli L., Li Y. An extension to a theorem of Jorgens, Calabi, and Pogorelov // Communications on Pure and Applied Mathematics. 2003. Vol. 56, no. 5. Pp. 549-583.

73. Cannarsa PSinestrari C. Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi equations, and optimal control. Birkhauser, 2004. Progress in nonlinear differential equations and their applications. Vol. 58. P. 312.

74. Cannarsa P., Yu Y. Singular dynamics for semiconcave functions // Journal of the European Mathematical Society. 2009. Vol. 11. Pp. 999-1024.

75. Catelan P. Lagrangian dynamics in non-flat universes and non-linear gravitational evolution // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1995. Vol. 276. Pp. 115-124.

76. Catelan P., Lucchin F., Matarrese S., Moscardini L. Eulerian perturbation theory in non-flat universes: second-order approximation // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1995. Vol. 276. Pp. 39 56.

77. Cesari L. Optimization — theory and applications. Problems with ordinary differential equations. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1983. Applications of Mathematics. Vol. 17. ISBN: 0387906762.

78. Choquard P., Wagner J. On a class of implicit solutions of the continuity and Euler's equations for ID systems with long range interactions // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2005. Vol. 201, no. 3-4. Pp. 230-248.

79. Cordero-Erausquin D. Sur le transport de mesures périodiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics. 1999. — August. Vol. 329, no. 3. Pp. 199-202.

80. Couchman H. M. P., Thomas P. A., Pearce F. R. Hydra: an Adaptive-Mesh Implementation of P3M-SPH // Astrophysical J. 1995. Vol. 452. Pp. 797-813.

81. Crandall M. G., Ishii H., Lions P.-L. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1992. — July. Vol. 27, no. 1. Pp. 1-67.

82. Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277, no. 1. Pp. 1-42.

83. Croft R. A., Gaztanaga E. Reconstruction of cosmological density and velocity fields in the Lagrangian Zel'dovich approximation // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1997. Vol. 285. Pp. 793-805.

84. Dafermos C. M. Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics. Berlin: Springer, 2005. Grundlehren in Mathematischen Wissenschaften. Vol. 325.

85. Dekel A., Bertschinger E., Faber S. M. Potential, velocity, and density fields from sparse and noisy redshift-distance samples — Method // Astrophysical J. 1990. Vol. 364. Pp. 349-369.

86. Delon J., Salomon J., Sobolevski A. Fast Transport Optimization for Monge Costs on the Circle // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2010. Vol. 70, no. 7. Pp. 2239-2258.

87. Delon J., Salomon J., Sobolevski A. Local matching indicators for concave transport costs // SI AM J. Discrete Math. 2012. Vol. 26, no. 2. Pp. 801-827.

88. E W. Aubry-Mather theory and periodic solutions of the forced Burgers equation // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1999. Vol. 52, no. 7. Pp. 811-828.

89. E W., Khanin К. M., Mazel A. E., Sinai Y. G. Invariant measures for Burgers equation with stochastic forcing. 2000.— May. math/0005306.

90. E W., Rykov Y., Sinai Y. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Communications in Mathematical Physics. 1996. Vol. 177, no. 2. Pp. 349-380.

91. European Space Agency. The Planck Mission. 2013. URL: http://www.esa. int/Our_Activities/Space_Science/Planck (дата обращения: 23 января 2013 г.)

92. Evans L. C.} Gomes D. Linear programming interpretations of Mather's variational principle // ESAIM Control Optim. Calc. Var. 2002. —Jun. Vol. 8. Pp. 693-702.

93. Fathi A. Weak KAM from a PDE point of view: viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi equation and Aubry set // Proc. R. Soc. Edinburgh: Sect. A Math. 2012.-12. Vol. 142. Pp. 1193-1236. URL: http://82.179.249.32: 2184/article_S0308210550000064.

94. Fleming W. H., Soner H. M. Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer, 2005. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 25. P. 429.

95. Frisch U., Matarrese S., Mohayaee R., Sobolevski A. A reconstruction of the initial conditions of the Universe by optimal mass transportation // Nature. 2002. Vol. 417. Pp. 260-262.

96. Frisch U., Podvigina 0., Villone B., Zheligovsky V. Optimal transport by om-ni-potential flow and cosmological reconstruction // Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 53. P. 033703.

97. Gangbo W.; McCann R. Shape recognition via Wasserstein distance // Quarterly of Applied Mathematics. 2000. Vol. 58, no. 4. Pp. 705-738.

98. Giavalisco M., Mancinelli B., Mancinelli P. J., Yahil A. A generalized Zel'dovich approximation to gravitational instability // Astrophysical Journal. 1993. Vol. 411. Pp. 9-15.

99. Gomez D., Iturriaga R., Khanin K., Padilla P. Viscosity limit of stationary distributions for the random forced Burgers equation // Moscow Mathematical Journal. 2005. Vol. 5, no. 3. Pp. 613-631.

100. Gramann M. An improved reconstruction method for cosmological density fields // Astrophysical J. 1993. Vol. 405. Pp. 449-458.

101. Gu X., Luo F., Sun J., Yau S.-T. Variational Principles for Minkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere Equations. 2013.-Feb. 1302.5472.

102. Gurbatov S. N., Malakhov A. N., Saichev A. I. Nonlinear Random Waves and Turbulence in Nondispersive Media: Waves, Rays, Particles. Nonlinear Science: Theory & Applications. Manchester University Press, 1991.—March. P. 308.

103. Gurbatov S. N., Saichev A. I., Shandarin S. The large-scale structure of the

Universe in the frame of the model equation of non-linear diffusion // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1989. Vol. 236. Pp. 385-402.

104. Henkin G. M. Burgers type equations, Gelfand's problem and Schumpeterian dynamics: Tech. Rep. hal-00692144: HAL, 2012.

105. Henkin G. M., Polterovich V. M. A difference-differential analogue of the Burgers equation and some models of economic development // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 1999. Vol. 5, no. 4. Pp. 697-728.

106. Henkin G. M., Shananin A. A. Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations // J. Math. Pures Appl. 2004. Vol. 83. Pp. 1457-1500.

107. Hoang V. V., Khanin K. Random Burgers equation and Lagrangian systems in non-compact domains // Nonlinearity. 2003. Vol. 16, no. 3. Pp. 819-842.

108. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = fiuxx // Commun. Pure Appl. Math. 1950. Vol. 3. Pp. 201-230.

109. Raya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers' equation ¡I J. Math. Kyoto Univ. 1974. Vol. 14, no. 1. Pp. 129-177.

110. tturriaga R., Khanin K. Burgers turbulence and random Lagrangian systems // Communications in mathematical physics. 2003. Vol. 232, no. 3. Pp. 377-428.

111. Jauslin H. R., Kreiss H. O., Moser J. On the forced Burgers equation with periodic boundary conditions // Differential Equations: La Pietra 1996 / Ed. by M. Giaquinta, J. Shatah, S. R. S. Varadhan. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 65. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. Pp. 133-155.

112. Kaiser N. On the spatial correlations of Abell clusters // Astrophysical Journal 1984. Vol. 284. Pp. L9-L12.

113. Kantorovich L. V. On the translocation of masses // Management Science. 1958. Vol. 5, no. 1. Pp. 1-4.

114. Karp R. M., Li S. Y. R. Two special cases of the assignment problem // Discrete Mathematics. 1975. Vol. 13. Pp. 129-142.

115. Khanin K., Khmelev D., Sobolevskn A. A blow-up phenomenon in the Hamilton-Jacobi equation in an unbounded domain // Idempotent Mathematics and Mathematical Physics / Ed. by G. L. Litvinov, V. P. Maslov; Erwin Schrödinger Institute. Contemporary Mathematics. Vol. 377. Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. Pp. 161-179.

116. Khanin K., Khmelev D., Sobolevskn A. On the velocities of Lagrangian mini-mizers // Mose. Math. J. 2005. Vol. 5, no. 1. Pp. 157-169.

117. Khanin K., Khmelev D., Sobolevskn A. A blow-up phenomenon in the Hamilton Jacobi equation in an unbounded domain // Idempotent mathematics and mathematical physics / Ed. by G. L. Litvinov, V. P. Maslov. Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. Contemp. Math. Vol. 377. Pp. 161-179. math/0312395.

118. Khanin K., Sobolevski A. Particle dynamics inside shocks in Hamilton-Jacobi equations // Phil. Trans. R. Soc. A. 2010. Vol. 168, no. 1916. Pp. 1579-1593.

119. Knill O. Jürgen Moser, selected chapters in the calculus of variations. Birkhäuser Verlag, 2003.

120. Kolatt T., Dekel A., Ganon G., Willick J. A. Simulating Our Cosmological

Neighborhood: Mock Catalogs for Velocity Analysis // Astrophysical J. 1996. Vol. 458.

121. Kolokoltsov V. N., Maslov V. P. Idempotent Analysis and Its Applications (Mathematics and Its Applications). Springer, 1997.— April. ISBN: 0792345096.

122. Lavaux G. Lagrangian reconstruction of cosmic velocity fileds // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. Vol. 237, no. 14-17. Pp. 2139-2144.

123. Lax P. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computaton // Comm. Pure Appl. Math. 1954. Vol. 7, no. 1. Pp. 159-193.

124. Lax P. Shock Waves and Entropy // Selected Papers / Ed. by P. Sarnak, A. Majda. New York: Springer, 2005. Vol. 1. Pp. 302-333. URL: http: //dx.doi.org/10.1007/0-387-28148-7_20.

125. Lax P. D. Hyperbolic Systems of Conservation Laws II // Communications on Pure and, Applied Mathematics. 1957. Vol. 10, no. 4. Pp. 537-566.

126. Lions P. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations. Pitman Boston, 1982. P. 317. ISBN: 0273085565.

127. Lowe D. G. Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints // International Journal of Computer Vision. 2004. — November. Vol. 60, no. 2. Pp. 91-110.

128. Martin P. A., Piasecki J. One dimensional ballistic aggregation: Rigorous long-time estimates // Journal of Statistical Physics. 1994. Vol. 76, no. 1-2. Pp. 447-476.

129. Mather J. Minimal measures // Commentarii Mathematici Helvetici. 1989. — December. Vol. 64, no. 1. Pp. 375-394.

130. Mather J. N., Forni G. Action minimizing orbits in Hamiltonian systems // Transition to Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag, 1994. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1589. Pp. 92-186.

131. McCann R. Exact solutions to the transportation problem on the line // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1999. Vol. 455, no. 1984. Pp. 1341-1380.

132. Melott A., Shandarin S. Gravitational instability with high resolution // The Astrophysical Journal. 1989. Vol. 343. Pp. 26-30.

133. Minkowski H. Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyheder // Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (Math. Phys. Klasse). 1897. no. Heft 2. Pp. 198-219.

134. Mohayaee R., Frisch U., Matarrese S., Sobolevskii A. Back to the primordial Universe by a Monge-Ampère-Kantorovich optimization scheme // Astronomy & Astrophysics. 2003. Vol. 406. Pp. 393-401.

135. Mohayaee R., Mathis H., Colombi S., Silk J. Reconstruction of primordial density fields // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2006. — January. Vol. 365, no. 3. Pp. 939-959.

136. Mohayaee R., Sobolevskii A. The Monge-Ampère-Kantorovich approach to reconstruction in cosmology // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. Vol. 237, no. 14-17. Pp. 2145-2150.

137. Mohayaee R., Tully R. B. The Cosmological Mean Density and Its Local Variations Probed by Peculiar Velocities // Astrophysical Journal. 2005. — December. Vol. 635. Pp. L113-L116.

138. Monge G. Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais // Histoire de l'Académie Royale des Sciences. 1781. Pp. 666-704.

139. Monge G. Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles // Histoire de l'Académie Royale des Sciences. 1784. Pp. 118-192.

140. Mount D. M., Arya S. ANN: A Library for Approximate Nearest Neighbor Searching. 2005. URL: http://www.cs.umd.edu/~mount/ANN/ (дата обращения: 23 января 2013 г.)

141. Moutarde FAlimi J. M., Bouchet F. R. et al. Precollapse scale invariance in gravitational instability // Astrophysical J. 1991. Vol. 382. Pp. 377-381.

142. Munshi D., Sahni V., Starobinsky A. A. Nonlinear approximations to gravitational instability: A comparison in the quasi-linear regime // Astrophys. J. 1994. Vol. 436. Pp. 517-527.

143. Narayanan V. K., Weinberg D. H. Reconstruction Analysis of Galaxy Redshift Surveys: A Hybrid Reconstruction Method // Astrophysical J. 1998. Vol. 508. Pp. 440-471.

144. Nusser A., Branchini E. On the least action principle in cosmology // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2000. Vol. 313, no. 3. Pp. 587-595.

145. Nusser A., Dekel A. Tracing large-scale fluctuations back in time // Astrophysical J. 1992. Vol. 391. Pp. 443-452.

146. Papadimitriou C. H., Steiglitz K. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Dover Publications, 1998. ISBN: 0486402584.

147. Peacock J. A., Cole S., Norberg P. et al. A measurement of the cosmological mass density from clustering in the 2dF Galaxy Redshift Survey // Nature. 2001. Vol. 410. Pp. 169-173.

148. Peebles P. J. E. The large-scale structure of the universe. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1980. P. 422.

149. Peebles P. J. E. Tracing galaxy orbits back in time // Astrophysical Journal. 1989. - September. Vol. 344. Pp. L53-L56.

150. Polterovieh V. M., Henkin G. M. An evolutionary model with interaction between development and adoption of new technologies // Mateeon. 1988. Vol. 24, no. 6. Pp. 3-19.

151. Rabin JDelon J., Gousseau Y. Transportation Distances on the Circle. 2009.-Jun. 0906.5499.

152. Rockafellar R. T. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1970.

153. Roublev I. V. On minimax and idempotent generalized weak solutions to the Hamilton-Jacobi equation // Idempotent mathematics and mathematical physics / Ed. by G. L. Litvinov, V. P. Maslov. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005. Contemporary Mathematics. Vol. 377. Pp. 319-337.

154. Rubner Y., Tomasi C., Guibas L. The Earth Mover's Distance as a Metric for Image Retrieval // International Journal of Computer Vision. 2000. Vol. 40, no. 2. Pp. 99-121.

155. Rykov Y. G. On the nonhamiltonian character of shocks in 2-D pressureless gas // Bol I. Unione Mat. Ital. Sez. В Artie. Ric. Mat. (8). 2002. Vol. 5, no. 1. Pp. 55-78.

156. SDSS Collaboration. Sloan Digital Sky Survey. URL: http://www.sdss.org/ (дата обращения: 19 января 2013 г.)

157. Sever M. An existence theorem in the large for zero-pressure gas dynamics // Differential Integral Equations. 2001. Vol. 14, no. 9. Pp. 1077-1092.

158. Shandarin S., ZeVdovich Y. The large-scale structure of the universe: Turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium // Rev. Modern Phys. 1989. Vol. 61. Pp. 185-220.

159. Shnirel'man A. I. On the principle of the shortest way in the dynamics of systems with constraints // Global analysis—studies and applications, II. Berlin: Springer, 1986. Lecture Notes in Math. Vol. 1214. Pp. 117-130.

160. Sobolevskiï A. N. Aubry-Mather theory and idempotent eigenfunctions of Bellman operator // Commun. Contemp. Math. 1999. Vol. 1, no. 4. Pp. 517-533.

161. Spergel D. N., Verde L., Peiris H. V. et al. First year Wilkinson microwave anisotropy probe (WMAP) observations: determination of cosmological parameters. 2003. astro-ph/0302209.

162. Susperregi M., Binney J. The Principle of Least Action and Clustering in Cosmology // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1994. Vol. 271. Pp. 719-728.

163. Tegmark M., Strauss M. A., Blanton M. R. et al. Cosmological parameters from SDSS and WMAP // Physical Review D. 2004. Vol. 69, no. 10. P. 103501. arXiv:astro-ph/0310723.

164. Tully R. B. Nearby galaxies catalog. Cambridge and New York: Cambridge University Press, 1988. P. 214.

165. Valentine H. E. M., Saunders W., Taylor A. Reconstructing PSCz with a Generalized PIZA // ASP Conf. Ser. 201: Cosmic Flows Workshop. 2000. Pp. 246+.

166. Vergassola M., Dubrulle B., Prisch U., Noullez A. Burgers' equation, Devil's staircases and the mass distribution for large-scale structures // Astronomy and Astrophysics. 1994. — September. Vol. 289, no. 2. Pp. 325-356.

167. Villani С. Optimal transport: Old and new. Springer-Verlag, 2009. — Dec. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 338. P. 973.

168. Weinberg D. H. Reconstructing primordial density fluctuations. I - Method // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1992. - January. Vol. 254. Pp. 315-342.

169. Weinberg D. H., Gunn J. E. Largescale Structure and the Adhesion Approximation // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1990. Vol. 247. Pp. 260-286.

170. Werman M., Peleg S., Melter R., Kong T. Bipartite graph matching for points on a line or a circle // Journal of Algorithms. 1986. Vol. 7, no. 2. Pp. 277-284.

171. Wilkinson Microwave Anisotropy Probe. Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP). 2012. URL: http://map.gsfс.nasa.gov/ (дата обращения: 23 января 2013 г.)

172. Zel'dovich Y. В. Gravitational instability: an approximate theory for large density perturbations // Astronomy & Astrophysics. 1970.— March. Vol. 5. Pp. 84-89.

173. Zhang J., Marszalek M., Lazebnik S., Schmid C. Local features and kernels for classification of texture and object categories: A comprehensive study // International Journal of Computer Vision. 2007. Vol. 73, no. 2. Pp. 213-238.