Функциональные уравнения типа Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Лукоянов, Николай Юрьевич

• Лукоянов, Николай Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лукоянов, Николай Юрьевич

Введение.

I Дифференциальная игра с наследственной информацией. Уравнение для функционала цены.

1. Постановка задачи.

2. Коинвариантные производные функционалов.

3. Уравнение для функционала цены.

И Минимаксные решения функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными

4. Стабильность классических решений.

5. Характеристические комплексы.

6. Минимаксное решение функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби для систем с распределенным запаздыванием.

6.1. Нижняя огибающая верхних решений.

6.2. Существование и единственность.

6.3. Примеры.

7. Уравнения с однородным гамильтонианом.

8. Неоднородные уравнения.

9. Корректность минимаксных решений.

10. К вопросу приближенного построения решений.

III Функциональные дифференциальные неравенства

11. Производные по многозначным направлениям.

11.1. Определение производных по многозначным направлениям.

11.2. Кусочно-сьгладкие функционалы.

11.3. Огибающие семейства ci-гладких функционалов.

12. Инфинитезимальные условия стабильности негладких функционалов.

13. Функциональные дифференциальные неравенства для минимаксных решений.

13.1. Случай однородного гамильтониана.

13.2. Общий случай.

13.3. Примеры.

14. Вязкостные решения функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби с сьпроизводными

IV Минимаксное решение уравнения типа Гамильтона-Якоби с сьпроизводными и функционал цены дифференциальной игры с наследственной информацией

15. Стратегии прицеливания в направлении сьградиентов вспомогательных функционалов.

16. Стратегии прицеливания на стабильные мосты

17. Стратегии экстремального сдвига на сопутствующие точки 176 Приложение: Дифференциальные системы с наследственной информацией.

Р1. Дифференциальные уравнения с последействием.

Р2. Дифференциальные включения с последействием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные уравнения типа Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией»

Предыстория и актуальность темы. Представляемая диссертация посвящена проблеме развития для экстремальных задач в наследственных динамических системах конструкций и методов, связанных с уравнениями Гамильтона-Якоби. Объектом исследования данной работы являются задача управления наследственными динамическими системами в условиях неконтролируемых помех или конфликта и функциональное дифференциальное уравнение типа Гамильтона-Якоби с коинвариантны-ми производными. Исследования проводятся в рамках теоретико-игрового подхода, разрабатываемого в научной школе H.H. Красовского по оптимальному управлению.

Начиная с вариационных принципов классической механики, в современной теории динамических систем и оптимальных процессов сложились два основных, взаимно дополняющих друг друга подхода к решению экстремальных задач. Первый подход связан с непосредственным вычислением экстремального движения при фиксированном начальном состоянии. Фундамент этого подхода составляет принцип максимума JI.C. Понтрягина. В диссертации рассматривается второй подход, связанный с поиском функции цены, которая каждой точке пространства состояний системы ставит в соответствие оптимальный результат (или, в случае наличия неконтролируемых помех, - оптимальный гарантированный результат), достижимый из нее, как из начальной. Этот подход приводит к дифференциальным уравнениям типа Гамильтона-Якоби с частными производными первого порядка. В задачах оптимального управления -это известное уравнение Беллмана [15, 16], в дифференциальных играх -уравнение Айзекса [2]. Аналогичные уравнения возникают в геометрической, оптике - уравнение эйконала [94], в газовой динамике - предельное уравнение Бюргерса-Хопфа [162, 240, 252, 270] и т.д. Эти уравнения также можно интерпретировать в свете решения соответствующих экстремальных задач.

В рамках первого подхода решаются задачи оптимального программного управления (см., например, [3, 20, 23, 27, 28, 41, 72, 156, 255, 295]). В русле второго - на базе функции цены строятся позиционные стратегии оптимального управления по принципу обратной связи, назначающие текущее управляющее воздействие с учетом доступной информации о сложившемся к данному моменту состоянии системы, что особенно важно в приложениях и принципиально в задачах гарантированного управления в условиях неопределенности или конфликта (см., например, [21, 73, 78, 85, 97, 153-155, 157, 199, 201, 239, 243, 246, 261, 287]).

Современная математическая теория динамических систем и оптимальных процессов охватывает широкий круг актуальных задач, включает большое число разнообразных методов управления, наблюдения, оценивания и реконструкции, имеет прочные связи с другими разделами математики и многочисленные приложения. Ее становление относится к середине ХХ-го столетия и связано с именами отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтрягина, Р. Айзекса (R. Isaacs), Р. Беллмана (R. Bellman), У. Флеминга (W.H. Fleming). Существенный вклад в ее развитие внесли Э.Г. Альбрехт, В.Д. Батухтин, В.Г. Болтянский, Р.Ф. Габасов, Р.В. Гамкрелидзе, П.Б. Гусятников, А.Я. Дубовиц-кий, С.Т. Завалищин, М.И. Зеликин, Ф.М. Кириллова, A.B. Кряжим-ский, A.B. Куржанский, A.A. Меликян, A.A. Милютин, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, H.H. Петров, J1.A. Петросян, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, В.М. Тихомиров, В.Е. Третьяков, А.Г. Ченцов, Ф.Л. Черноусько, A.A. Чикрий, В.А. Якубович, J.P. Aubin, M. Bardi, E.N. Barron, T. Basar, P. Bernhard, A.E. Bryson, F.H. Clarke, M.G. Crandall, R.J. Elliot, L.C. Evans, A. Friedman, Ho Yu-Chi, R.E. Kaiman, N.J. Kalton, G. Leitman, P.L. Lions, G.J. Olsder, E. Roxin, P. Varaiya, J. Warga и многие другие ученые ( см. книги и обзоры [2, 3, 16, 19-21, 23, 27, 28, 38, 41-46, 49, 56, 57, 72-78, 85, 87, 97, 103, 104,121, 124, 130, 131, 148, 149, 152-159, 168, 172, 183, 188-190, 197-201, 207, 212, 217-219, 226, 236, 245, 246, 254, 261, 265, 281, 285, 295] и библиографию к ним).

Тематика диссертации примыкает к той части этой теории, в которой изучаются качественные свойства функций оптимального результата и способы построения оптимальных позиционных стратегий управления в связи с конструкциями динамического программирования и уравнениями Гамильтона-Якоби.

Классическое уравнение Гамильтона-Якоби имеет источником аналитическую механику (см., например, [8]), где искомая функция, как правило, является гладкой (непрерывно дифференцируемой) и удовлетворяет этому уравнению во всех точках области определения. Известное в теории оптимальных процессов и дифференциальных игр уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана выводится для функции цены в предположении, что она также является гладкой. Однако, в действительности, эта функция напротив, как правило, таковой не является и названное уравнение не имеет подходящего классического решения. С другой стороны, во всех тех точках, где функция цены дифференцируема, она удовлетворяет данному уравнению и в этом смысле может рассматриваться как его обобщенное (негладкое) решение. Одна из основных трудностей при этом состоит в том, что только этого свойства, без дополнительных условий, характеризующих функцию цены в точках негладкости, не достаточно для ее однозначного определения. Поэтому требуется соответствующее уточнение понятия обобщенного решения.

Аналогичная ситуация имеет место в задачах математической физики, например, при описании поверхности кристаллов, растущих в насыщенном растворе [240], негладкого фронта распространения световой волны в неоднородной, композитной среде [137, 228] и т.д. Здесь содержательные негладкие решения удовлетворяют естественным физическим закономерностям, строгая формализация которых также приводит к задаче корректного определения обобщенного решения соответствующих уравнений типа Гамильтона-Якоби.

Все это стимулировало активные исследования в области построения теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби и других типов нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого и второго порядка. С математической точки зрения вопрос заключался в том, чтобы ввести понятие такого обобщенного решения этих уравнений, которое бы, во-первых, было корректно (то есть существовало, было единственным и непрерывно зависело от начальных данных) для широкого круга начальных и краевых задач; во-вторых, естественным образом согласовывалось с классическим понятием решения (в том смысле, что, с одной стороны, обобщенное решение должно удовлетворять уравнению всюду, где оно дифференцируемо, а с другой - классическое решение, если оно существует, должно удовлетворять всем требованиям, определяющим обобщенное решение); и наконец, в-третьих, которое бы отвечало содержательному смыслу этих уравнений, выявленному на конкретных примерах вышеупомянутых задач из теории оптимального управления, дифференциальных игр и математической физики.

В 1950-1970 годы в работах Н.С. Бахвалова, И.М. Гельфанда, С.К. Годунова, O.A. Ладыженской, O.A. Олейник, Б.Л. Рождественского, A.A. Самарского, С.Л. Соболева, А.Н. Тихонова, L.C. Evans, W.H. Fleming, Е. Hopf, P. Lax и многих других известных математиков (см. [13, 31, 32,

47, 48, 88, 101, 137, 162, 164, 178, 236, 240, 244, 252, 270, 273] и далее по ссылкам) интенсивно изучались слабые решения квазилинейных уравнений с частными производными. Эти исследования в основном опирались на интегральные методы и интегральные свойства обобщенных решений.

В то же время, уже в этот период закладываются основы целенаправленного привлечения к исследованию обобщенных решений инфините-зимальных конструкций выпуклого и негладкого анализа. В этой связи отметим результаты С.Н. Кружкова (см., например, [88, 89]), устанавливающие для уравнений Гамильтона-Якоби с выпуклым по импульсной переменной гамильтонианом корректность обобщенного решения задачи Коши-Дирихле в классе локально слабо вогнутых функций. Позднее было показано [193], что применительно к задачам оптимального управления такое решение уравнения Беллмана однозначно определяет функцию оптимального результата. В это же время F.H. Clarke предложил (см. [223]) использовать для исследования негладких решений уравнения Беллмана обобщенные производные по направлениям.

Дальнейшее развитие субдифференциального аппарата выпуклого анализа и инфинитезимальных конструкций негладкого и многозначного анализа [39, 56, 130, 158, 163, 207, 208, 225, 226, 286] позволило применять к исследованию негладких задач динамической оптимизации и обобщенных решений уравнений типа Гамильтона-Якоби новые подходы и методы, основанные на гладких аппроксимациях и обобщениях понятия дифференцируемое™ (см. [10, 37, 98-100,102,131,151,167-177, 220, 222, 230-235, 245, 247, 248, 264-266, 269, 271, 274, 295]).

Своеобразный подход к определению обобщенного решения уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана, развивается в работах В.П. Маслова и его сотрудников на базе идемпотентного анализа (см., например, [61, 123]).

Существенное продвижение в построении современной теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби связано, с одной стороны, с понятием вязкостного решения (viscosity solution), которое в начале 1980-х годов ввели M.G. Crandall и P.L. Lions [230], а с другой - с понятием минимаксного решения, которое было предложено примерно в это же время А.И. Субботиным [167, 168].

Понятие вязкостного решения идейно восходит (см. [230, 273]) к методу "изчезающей вязкости" из математической физики, ранее последовательно применявшемуся для изучения уравнений Гамильтона-Якоби, например, в упомянутых выше работах С.Н. Кружкова. Этот метод первоначалыю использовался при доказательстве существования вязкостного решения. Однако само определение этого решения не содержит сингулярных предельных переходов в соответствующих параболических уравнениях и по своей сути основано (см. [234]) на замене уравнения парой неравенств относительно суб- и суперградиентов рассматриваемого решения. В точках дифференцируемости решения эти неравенства эквивалентны уравнению. В рамках теории вязкостных решений были сформулированы и доказаны теоремы единственности и существования для различных типов начальных и краевых задач и различных типов уравнений с частными производными первого и второго порядка (см. [211, 230-235] и обзор [236]). Была изучена связь понятия вязкостного решения с условиями оптимальности в задачах детерминированного и стохастического управления (обзор этих результатов можно найти в работах [212, 245]). В частности, в ряде работ (см., например, [215, 216, 241, 274]) для различных типов задач управления и дифференциальных игр было показано, что функция цены совпадает с вязкостным решением соответствующего уравнения Айзекса-Беллмана. С другой стороны, уравнения с частными производными первого порядка достаточно общего вида рассматривались как уравнение Айзекса-Беллмана для подобранной подходящим образом дифференциальной игры. Такие конструкции были описаны еще в ранних работах W.H. Fleming (см., например, [244]) и использовались позднее для доказательства существования вязкостных решений краевых задач и задач Коши (см., например, [232, 241]). В последнее время большое внимание уделяется вопросам разработки аналитических и численных методов построения вязкостных решений (см. в этой связи [126, 173, 213, 214, 242, 265, 281, 290, 291]).

Истоки минимаксного решения уравнений Гамильтона-Якоби лежат в теории позиционных дифференциальных игр, развитой в научной школе H.H. Красовского [68-79, 82-86, 260, 261] и базирующейся на минимаксных (максиминных) оценках и операциях. Фундаментальный вклад в труды этой школы по теории позиционного управления, наблюдения и восстановления динамики внесли A.B. Куржанский [36, 97, 265], Ю.С. Осипов [92, 140, 285], А.И. Субботин [85, 167, 172], A.B. Кряжимский [90, 92, 285], В.Е. Третьяков [86, 181, 182], А.Г. Ченцов [172, 195, 196]. Активная роль в этих исследованиях принадлежит Э.Г. Альбрехту, Б.И. Ананьеву, В.Д. Батухтину, Ю.И. Бердышеву, С.А. Брыкалову, B.J1. Гасилову, М.И. Гусеву, Х.Г. Гусейнову, С.Н. Завалищину, A.B. Киму, А.Ф. Клейменову, А.И. Короткому, А.Н. Красовскому, В.И. Максимову, О.И. Ни-конову, B.C. Пацко, В.Г. Пименову, А.Н. Сесекину, И.Ф. Сивергиной, H.H. Субботиной, A.M. Тарасьеву, В.Н. Ушакову, Т.Ф. Филипповой, Г.И. Шишкину, А.Ф. Шорикову и их ученикам (см. [4, 5, 14, 18, 22, 24, 34, 37, 43, 53, 57, 64-67, 93, 98-100, 121, 135, 144-146, 170, 171, 174-177, 185, 186, 204, 260-263, 284, 288, 293]).

В теории позиционных дифференциальных игр было введено понятие и- и ^-стабильных функций (см., например, [78, 85, 261]), которые соответственно мажорируют и минорируют функцию цены. При этом последняя оказывается единственной непрерывной функцией, одновременно являющейся и- и и-стабильной и удовлетворяющей естественному краевому условию, которое указывает показатель качества дифференциальной игры. В точках дифференцируемости она удовлетворяет уравнению Айзекса-Беллмана. Таким образом, свойства и- и ^-стабильности однозначно определяют корректное обобщенное решение соответствующей задачи Коши для этого уравнения, совпадающее с функцией цены дифференциальной игры. Это решение является, с одной стороны, минимальной «-стабильной функцией, а с другой - максимальной v-стабильной. Поэтому, в частности, такое решение уравнений типа Гамильтона-Якоби было позднее названо минимаксным, а и- и v-стабильные функции стали соответственно называть верхними и нижними решениями. В рамках конструкций унификации дифференциальных игр (см., например, [76, 77]), было показано, что свойства и- и ^-стабильности могут быть выражены только в терминах гамильтониана управляемой системы. Были получены инфинитезимальные критерии и- и ^-стабильности негладких функций, сначала [167, 170] - в форме неравенств для их производных по направлениям, а затем [37] - в терминах конусов Булигана для сечений (по времени) их множеств Лебега. Были также указаны [171] неравенства для сопряженных производных и- и г»-стабильных функций.

На этой основе в дальнейшем было показано (см., например, [168, 169]), что данный подход может быть применен не только к уравнениям Айзекса-Беллмана, возникающим в задачах управления и дифференциальных игр, но и к другим уравнениям с частными производными первого порядка. Для уравнения Гамильтона-Якоби общего вида были построены семейства характеристических обыкновенных дифференциальных включений (характеристические комплексы) и через свойства стабильности относительно этих включений введено понятие его минимаксного решения.

Были даны различные способы определения минимаксного решения, в том числе, в инфинитезимальной форме, при помощи производных по направлениям, конусов касательных направлений, суб- и супердифференциалов, сопряженных производных и других средств негладкого анализа.

Развитые конструкции и методы минимаксного решения уравнений Гамильтона-Якоби оказались естественным образом связанными с широким кругом разнообразных задач современной теории динамических систем и математической физики. В частности, определение минимаксного решения можно интерпретировать (см. [169, 292]) как естественное обобщение классического метода характеристик Коши. Отметим в этой связи, что метод характеристик является одним из основных способов конструктивного исследования и построения решений уравнений с частными производными. Обобщения этого метода применительно к различным задачам рассматривались в работах многих авторов (см., например, [103, 126, 127, 175, 208, 215, 222, 226, 281, 283]). Условия стабильности минимаксного решения по отношению к характеристическим дифференциальным включениям можно переписать (см. [169]) в терминах слабой инвариантности его надграфика и подграфика относительно этих включений. Слабо и сильно инвариантные множества и их приложения изучались, например, в работах [37, 100, 135, 207, 223, 226, 248, 264, 271].

В теории минимаксных решений уравнений с частными производными первого порядка доказаны достаточно общие теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных (обзор результатов можно найти в [168, 169]). Обоснована содержательность понятия минимаксного решения. В частности, показано, что минимаксное решение определяет функцию цены в обобщенной позиционной дифференциальной игре для характеристических комплексов. Разработаны конструктивные и численные методы построения минимаксных решений, в том числе - итерационные и сеточные методы (см. [135, 173, 176, 177]). В приложении к задачам управления и дифференциальных игр отличительная особенность данных методов состоит в том, что они не только направлены на построение функции цены (как минимаксного решения соответствующего уравнения Айзекса-Беллмана), но и на эффективное построение соответствующих оптимальных стратегий управления. В этой связи отметим также работы [24, 33, 66, 67, 78, 84, 146, 184186, 260, 262, 263]. Результаты теории минимаксных решений активно развиваются и применяются в приложении к различным задачам во многих работах (см., например, [29, 30, 34, 51, 102, 145, 174, 175, 293]).

Отдельно отметим, что именно в рамках теории минимаксных решений был доказан принципиальный для современной теории обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка факт эквивалентности понятий вязкостного и минимаксного решений (см. [168]).

Таким образом в настоящее время можно говорить о единой теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби, которая имеет прочные связи со многими областями математики и механики и многочисленные приложения в различных прикладных задачах. Инициированная актуальными проблемами теории управления и математической физики, она в свою очередь во многом способствовала существенному продвижению в развитии адекватного математического аппарата и создании единообразных методов и подходов для их корректного исследования и эффективного решения.

Возвращаясь к непосредственной тематике представляемой диссертации, заметим, что упомянутые выше результаты этой теории в части приложения к экстремальным задачам в динамических системах касаются, в основном, тех систем, движение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принципиальным свойством таких систем является то, что их поведение в будущем однозначно определяется их текущим мгновенным состоянием и никак не зависит от их поведения в прошлом, то есть от того, каким образом сложилось данное текущее состояние.

Однако многие реальные процессы протекают согласно более сложным закономерностям, когда будущее зависит не только от настоящего, но и от прошлого. Математическое моделирование таких процессов приводит к понятию наследственных динамических систем, движение которых описывается при помощи дифференциальных уравнений с последействием, называемых также уравнениями с запаздыванием, дифференциально-разностными или функционально-дифференциальными уравнениями.

Наследственная природа характерна, например, для процессов деформации упругопластичных материалов, процессов развития биологических сообществ,- процессов распространения эпидемий или последствий экологических катастроф. В химико-технологических и теплоэнергетических процессах, космонавтике имеют место транспортные, технологические и информационные запаздывания, учет которых также приводит к уравнениям с последействием. Аппарат дифференциальных уравнений с noследействием привлекается для описания экономических, социально- и эколого-экономических процессов и т.д. Соответствующие примеры и библиографию можно найти, например, в работах [1, 7, 11, 26, 35, 59, 122, 192, 209, 259]. К наследственным динамическим системам приводят исследования процессов с неполной и недостоверной информацией, которую приходится восстанавливать по наблюдаемой истории движения (см., например, [72, 79, 97]). Отметим также, что информацию об истории движения часто оказывается целесообразно использовать в цепи обратной связи для улучшения качества управления динамической системой (пусть даже исходно обыкновенной) (см. в этой связи [70, 80, 85, 93, 96, 138— 142, 196, 260]). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство в настоящей работе используется термин дифференциальные системы (задачи управления, дифференциальные игры) с наследственной информацией.

Первые примеры дифференциальных уравнений с последействием были уже у Бернулли, Эйлера, Лапласа, позднее у Вольтера, но целенаправленное исследование таких уравнений началось в 1950-х годах и связано с именами H.H. Красовского, А.Д. Мышкиса, R. Bellman, K L. Cook, J.K. Hale. Большой вклад в становление и развитие качественной теории наследственных динамических систем внесли Н.В. Азбелев, Р.Ф. Габа-сов, A.M. Зверкин, Г.А. Каменский, Ф.М. Кириллова, В.Б. Колмановский, A.B. Кряжимский, А.Б. Куржанский, A.A. Мартынюк, В.М. Марченко, Г.И. Марчук, Ю.А. Митропольский, С.Б. Норкин, В.Р. Носов, Ю.С. Осипов, Б.С. Разумихин, А.Л. Скубачевский, С.Н. Шиманов, Г.Л. Харати-швили, Л.Э. Эльсгольц, Н.Т. Banks, Т.А. Burton, С. Corduneanu, M.С. Del-four, R.D. Driver, A. Halanay, H.J. Kushner, V. Lakshmikantham, V. Volterra, T. Yoshizawa и многие другие авторы (см., например, книги и обзорные статьи [1, 6, 17, 26, 27, 42, 44, 50, 54, 59, 63, 69, 121, 125, 132-134, 160, 165, 190, 192, 194, 205, 206, 210, 221, 227, 229, 237, 238, 249, 251, 257, 259, 268, 297] и библиографию к ним).

Эти исследования показали, что уравнения с последействием обладают существенными особенностями и к ним неприменимы напрямую результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, было показано, что при должном осмыслении поведение наследственных систем можно характеризовать на основе методов и конструкций, во многом аналогичных наработанным в теории обыкновенных дифференциальных систем.

Принципиальным шагом в построении качественной теории наследственных динамических систем стал функциональный подход H.H. Кра-совского, предложившего [68, 69] рассматривать эволюцию таких систем в пространстве историй движения. Тогда можно перейти к описанию этих систем при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, но уже в подходящем функциональном фазовом пространстве. Такой подход позволил перенести на наследственные системы основные классические результаты теории устойчивости по Ляпунову [120]. Был развит второй метод Ляпунова с использованием в качестве функций Ляпунова подходящих функционалов от истории движения [68, 69]. Были разработаны способы построения квадратичных функционалов Ляпунова (см., например, [128, 161], а также [59, 297]). Была построена спектральная теория линейных систем с последействием [202, 203] (см. также [132, 192]), а на ее основе - и соответствующая теория устойчивости и стабилизации по линейному приближению [138, 139]. Эти и другие результаты, посвященные различным аспектам теории устойчивости для различных типов функционально-дифференциальных уравнений, развивались и обобщались в работах многих авторов (соответствующие обзоры и бнблиогра^ фию можно найти, например, в [54, 63, 125, 134, 160, 192, 194, 221, 229, 249, 259, 268]).

Функциональный подход к задачам управления движением наследственных динамических систем во многом способствовал эффективному построению стратегий с памятью, учитывающих в цепи обратной связи историю движения (см. [70], а также [6, 237, 259, 267] и многие другие работы). Задачи конфликтного управления системами с последействием рассматривались в работах [82, 96, 136, 250]. В том числе, в работах Ю.С. Осипова и его сотрудников (см., например, [91, 140-144]) для таких задач были развиты основные конструкции и результаты теории позиционных дифференциальных игр. Рассматривались также (см., например, [256]) вопросы, связанные с развитием для задач управления наследственными системами подходов и методов так называемой теории Н^ (см. для случая обыкновенных дифференциальных систем, например, [217]).

В рамках теории программного управления для дифференциальных систем с последействием исследовались необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина. Первые результаты в этом направлении были получены Г.Л. Харатишвили (см., например, [190], а также [156], разд. 27). В дальнейшем, принцип максимума и его обобщения были сформулированы и доказаны для различных классов задач оптимального управления с запаздыванием для систем как с гладкой, так и с негладкой динамикой (см. работы [9, 23, 25, 27, 130, 191, 210, 227, 247] и приведенную в них библиографию), а также, для систем, описываемых функционально-дифференциальными включениями (см., например, [131, 224, 282]).

Таким образом, построение единой теории обобщенных (минимаксных, вязкостных) решений уравнений Гамильтона-Якоби и эффективность ее приложения к исследованию экстремальных задач в обыкновенных дифференциальных системах - с одной стороны, и развитие качественной теории дифференциальных систем с последействием и их активное применение в математическом моделировании реальных эволюционных процессов - с другой, обусловили актуальность и подготовили необходимый фундамент для развития теории Гамильтона-Якоби в наследственных динамических системах. Требовалось осмыслить, какие уравнения являются для наследственных систем естественным аналогом обычных уравнений Гамильтона-Якоби, в какой форме эти уравнения могут быть записаны, что понимать под их решением, какую пользу из них можно извлечь. Эти вопросы и определили направление исследований, представленных в диссертации. Логика развития теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби подсказывала искать ответы на них в изучении качественных свойств величины цены и соответствующих конструкций динамического программирования в задачах управления с наследственной информацией.

Первые результаты по методу динамического программирования в системах с последействием были получены в работе [70] и затем развиты в работах [6, 53, 54, 58, 237, 267, 288] (см. также библиографию к этим работам) для задач оптимального управления линейно-квадратичного типа, составляющих один из тех немногих классов задач теории оптимальных процессов, в которых функция цены (а для рассматриваемого случая систем с последействием - соответствующий функционал от истории движения) обладает подходящими свойствами гладкости. Обобщения этих результатов для задач оптимального управления с негладким функционалом цены рассматривались в работах [289, 296]. В исследованиях дифференциальных игр систем с последействием [82, 85, 91, 96, 140-143] были установлены нелокальные свойства и- и ^-стабильности функционала цены.

В перечисленных работах прослеживается два подхода к формализации принципов динамического программирования для наследственных систем и выводу соответствующих функциональных аналогов уравнений Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана. Один из них непосредственно опирается на переход к описанию наследственных динамических систем при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений в подходящем функциональном фазовом пространстве, в которое укладываются возможные истории движения системы. Этот подход приводит к функциональным уравнениям Гамильтона-Якоби с частными производными Фре-ше. Такие уравнения изучались в связи с задачами оптимального управления бесконечномерными дифференциальными системами во многих работах (см., в частности, работы [211, 231-233, 272] и библиографию к ним). Эти исследования были в основном посвящены развитию соответствующей техники вязкостных решений. Приложения полученных в рамках этого направления результатов к задачам оптимального управления системами с последействием рассматривались в работе Н.М. Soner [289], а также в работах [253, 269]. В связи с обсуждаемым здесь подходом отметим работу P.R. Wolenski [296], в которой для экстремальных задач в наследственных динамических системах проведены достаточно подробные исследования качественных свойств функционала цены, и в том числе, получены необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения для нижних производных Дини этого функционала.

Следует однако заметить, что подход, основанный на описании эволюции историй движения наследственной системы посредством обыкновенных дифференциальных уравнений в функциональных пространствах, связан, с одной стороны, с сужением множества допустимых начальных историй до достаточно гладких функций, а с другой, наоборот - с подходящим расширением функционального фазового пространства до, например, суммируемых функций, что влечет определенную потерю общности и ограничивает область корректного применения данного подхода. Это отмечалось, например, в работе [40], посвященной методу функционалов Ляпунова, в работах [12,180] по локальным достаточным условиям выживания движений наследственных систем в функциональном множестве. Это видно из результатов работ [289, 296].

В диссертации последовательно развивается другой подход, восходящий к работам [68-70]. Он также опирается на функциональную интерпретацию наследственных динамических систем, но не использует явного перехода к их описанию при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений в функциональном пространстве, что позволяет избежать упомянутых выше осложнений, связанных с таким переходом, и охватить более широкий класс систем и более широкий круг задач, включая задачи управления в условиях неконтролируемых помех или конфликта, рассматриваемые в теории дифференциальных игр. Этот подход основан на изучении свойств функционала цены при сдвиге вдоль возможных траекторий движения наследственной динамической системы. При выводе соответствующих такому подходу уравнений динамического программирования в форме Гамильтона-Якоби классический аппарат функциональных производных оказывается неудобным. Поэтому приходится рассматривать специальные понятия дифференцируемости функционалов от истории движения и использовать адекватные этим понятиям производные, такие как инвариантные и коинвариантные производные, используемые в работах A.B. Кима (см., например, [52-54, 257]), или, например, близкие к ним СНо-производные, введенные в недавней работе J.P. Aubin и G. Haddad [209]. Таким образом, данный подход приводит к новому классу функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби. Согласованность этого подхода с конструкциями теории дифференциальных игр систем с последействием позволяет естественным образом развить для таких уравнений теорию минимаксных решений.

Цель работы. Целью работы является построение теории минимаксных решений функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби с коинва-риантными производными и ее приложение к задачам управления наследственными динамическими системами, включая задачи управления в условиях неконтролируемых помех или конфликта. Методы исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на подходы и методы из качественной теории дифференциальных уравнений, теории позиционных дифференциальных игр и теории обобщенных (минимаксных, вязкостных) решений дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка в сочетании с подходящей функциональной трактовкой процесса управления в наследственных динамических системах. Используются результаты из функционального анализа, аппарат дифференциальных включений с последействием, конструкции негладкого анализа и аппарат инвариантного дифференциального исчисления функционалов.

Научная новизна. В работе в связи с вопросами формализации и обоснования для задач управления наследственными динамическими системами метода динамического программирования рассмотрен новый класс функциональных дифференциальных уравнений типа Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными и развита теория обобщенных (минимаксных) решений таких уравнений: дано определение минимаксного решения через нелокальные свойства стабильности относительно подходящего семейства характеристических дифференциальных включений с последействием; обоснована согласованность данного понятия обобщенного решения с содержательным смыслом рассматриваемых уравнений и с определением их решения в классическом смысле; сформулированы и доказаны теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости минимаксного решения от начальных данных для задач Коши с условием на правом конце; введено понятие производных функционала по многозначным направлениям и дано эквивалентное определение минимаксного решения, основанное на замене уравнения парой функциональных дифференциальных неравенств для таких производных; показано, что данные неравенства являются инфинитезимальной формой выражения свойств стабильности минимаксного решения; получены формулы производных по многозначным направлениям для кусочно коинвариант-но гладких функционалов, а также, для огибающих семейств коинвари-антно гладких функционалов и приведены соответствующие уточнения вида указанных неравенств в этих типичных для обобщенного решения случаях; показано также, что инвариантные суб- и суперградиенты минимаксного решения удовлетворяют неравенствам, определяющим его как вязкостное решение рассматриваемых уравнений.

Приведена формализация задачи управления динамическими системами с последействием в условиях неконтролируемых помех как дифференциальной игры с наследственной информацией. Функционал цены этой игры указывает оптимальный гарантированный результат управления, достижимый в классе стратегий с памятью - детерминированных функций истории движения. Показано, что если этот функционал оказывается коинвариантно гладким, то он удовлетворяет уравнению типа Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана с коинвариантными производными, причем соответствующие стратегии экстремального прицеливания в направлении его коинвариантного градиента являются оптимальными. В общем случае показано, что функционал цены совпадает с минимаксным решением данного уравнения и развиты соответствующие методы построения по этому решению оптимальных стратегий управления: метод экстремалыюго прицеливания в направлении коинвариантных градиентов вспомогательных функционалов типа Ляпунова, подходящие модификации метода экстремального прицеливания на стабильные мосты и метода экстремального сдвига на сопутствующие точки.

Как следствие этих результатов, установлено существование цены и седловой точки в дифференциальной игре с наследственной информацией, получены новые условия оптимальности в задачах управления наследственными системами, в том числе - инфинитезимальные критерии и- и ^-стабильности негладких функционалов, определяемые дифференциальными неравенствами для их производных по многозначным направлениям и эффективно проверяемые в указанных выше типичных случаях.

По аналогии с положениями теории динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, полученные результаты дают основание заключить, что рассмотренный класс функциональных дифференциальных уравнений с коинвариантными производными естественно трактовать как обобщение уравнения Гамильтона-Якоби для наследственных динамических систем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Развитый в ней математический аппарат и полученные результаты открывают перспективы эффективного исследования экстремальных задач в наследственных динамических системах и дальнейшего развития теории минимаксных решений для новых типов функциональных дифференциальных уравнений. Эти результаты могут также быть положены в основу анализа конкретных задач управления эволюционными системами с последействием, они могут служить фундаментом для разработки и обоснования алгоритмов построения управлений, разрешающих эти задачи.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела динамических систем Института математики и механики Уральского отделения РАН,'расширенных семинарах кафедры теоретической механики Уральского государственного университета; докладывались на заседаниях Ученого совета Института математики и механики УрО РАН, на научной сессии общего собрания Уральского отделения РАН (Екатеринбург, 2002); представлялись в докладах на всероссийских и международных конференциях по теории дифференциальных уравнений, динамической оптимизации и их приложениям к задачам механики, оптимального управления и дифференциальных игр, в том числе - на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина (Москва, 1998), IFAC International Conference"Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization" (Челябинск, 1998), 11-th IFAC International Workshop "Control Applications of Optimization" (Санкт-Петербург, 2000), 10-th International Symposium "Dynamic Games and Applications" (Санкт-Петербург, 2002), IFAC International Workshop "Time-Delay Systems" (INRIA, Rocquencourt, France, 2003), на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [81, 110-113, 115-119, 276-280]. Работы автора [80, 105-109, 114, 275] не вошли в диссертацию, но имеют к ней непосредственное отношение. Структура, объем и краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из настоящего введения, четырех глав, объединяющих семнадцать разделов, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 239 страниц, библиографический список включает 297 наименований, иллюстративный материал насчитывает 14 рисунков. Нумерация разделов сквозная. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер раздела, в котором приведена формула, во второй - порядковый номер формулы в этом разделе. Такая же нумерация принята для определений, утверждений, лемм, теорем, следствий, замечаний, примеров и рисунков. Нумерация условий тройная: в первой позиции указывается заглавная буква латинского алфавита, закрепленная за рассматриваемой группой условий, во второй - номер раздела, в котором приведена эта группа условий, в третьей - порядковый номер условия в группе. Все используемые обозначения объяснены в тексте работы там, где впервые встречаются.

В приложение вынесены используемые в работе результаты, касающиеся вопросов существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с последействием. Эти, вообще говоря, известные факты получаются, например, путем естественного развития (в соответствии с [95, 179, 192]) конструкций и построений, используемых при обосновании аналогичных утверждений для обыкновенных дифференциальных систем (см., например, [19, 187]).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лукоянов, Николай Юрьевич, 2004 год

1. Азбелев, Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина.-М.: Наука, 1991. 280с.

2. Альбрехт, Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э . Г . Альбрехт / / Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.6. J^ Г^ 1. 27-38.

3. Ананьев, Б.И. О двойственности задач оптимального наблюдения и управления для линейных систем с запаздыванием / Б.И. Ананьев / / Дглфференц. уравнения, гйП. ТЛО. т. 1960-1967.

4. Андреева, Е.А. Управление системами с последействием / Е.А. Ан- ^ дреева, В.Б. Колмановский, Л.Е. Шайхет.- М.: Наука, 1992. 336с.

5. Андреева, Е.А. Численный метод обучения искусственных нейронных сетей с учетом запаздывания / Е.А. Андреева, Ю.А, Пустар-накова / / Журнал выч. матем. и матем. физики, 2002. Т.42. J\^9. 1436-1444.

6. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд.- М.: Наука, 1974.

7. Арутюнов, А.В. К теории принципа максимума в задачах с запазды- /j^* ванием / А.В. Арутюнов, М.Дж. Марданов / / Дифференц. уравнения, 1989. Т.25. №12. 2048-2058.

8. Бабский, В.Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В.Г. Бабский, А.Д. Мышкмс / / В кн. Мар-ри Дж.: Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии.-М.: Мир, 1983. 383-394.

9. Баранов, В.Н. Достаточные условия локальной выживаемости для систем с последействием / В.Н. Баранов / / Дифференц. уравнения^ 2003. Т.39. №6. 858.

10. Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах / Н.С. Бахвалов.- М.: Наука, 1984.

11. Батухтин, В.Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения / В.Д. Батухтин / / Доклады АН СССР, 1972. Т.207. №1. 11-14.

12. Беллман, P. Дифференциально-разностные уравнения / P. Беллман, К.Л. Кук.- М.: Мир, 1967. 548с. = Bellman, R. Differential-Difference Equations /R. Bellman, K.L. Cooke.-New York: Academic Press, 1963.

13. Бердышев, Ю.И. Качественный анализ областей достижимо- ''Щ сти / Ю.И. Бердышев / / Космические исследования, 1996. Т.34. №2. 141-144.

14. Благодатских, В.И. Дифференциальные включения и оптимальное управление / В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппов / / Тр. МИАН им. В.А.Стеклова, 1985. Т.169. 194-252.

15. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский.- М.: Наука, 1966. 308с. *

16. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления / A. Брайсон , Ю-Ши Хо.- М.: Мир, 1972. 544с. = Bryson, А.Е. Applied optimal control / А.Е. Bryson, Yu-Chi Но.-1.ondon: Blaisdell Publishing Company, 1969.

17. Брыкалов, C.A. Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления / А. Брыкалов / / Доклады РАН, 2001. Т.376. №4. 442-444.

18. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж, Варга.- М.: Наука, 1977. б24с. = Warga, J. Optimal control of differential and functional equations / J. Warga.- New York: Academic Press, 1972.

19. Вахрушев, В.А. О вычислительной реализации процедур управления с поводырем / В.А, Вахрушев, В.Н. Ушаков / / Прикладная математика и механика, 2002, Т.66. Вып. 2. 228-238,

20. Эежбищсий, А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления / А, Вежбицкий / / Автоматика и телемеханика, 1970. №10. 13-20.

21. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / B. Вольтерра.- М.: Наука, 1976. 286с. = Volterra, V. Theorie Mathematique de la Lutte poir la Vie / V. Volterra.-Paris: Gauthier-Villars, 1931.

22. Габасов, Р.Ф. Качественная теория оптимальных процессов / Р.Ф, Габасов, Ф,М. Кириллова.- М.: Наука, 1971. 508с.

23. Гамкрелидзе, Р.В, Основы оптимального управления / Р,В, Гамкре- лидзе,- Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1975, 256с.

24. Гарнышева, Г.Г. Стратегии минимаксного прицеливания в направлении квазиградиента / Г.Г. Гарнышева, А.И, Субботин / / Прикладная математика и механика, 1994, Т, 58. Вып. 4. 5-11.

25. Гарнышева, Г.Г. Субоптимальные универсальные стратегии в игровой задаче быстродействия / Г.Г. Гарнышева, А,И. Субботин / / Прикладная математика и механика, 1995, Т, 59. Вып. 5, С, 707-713,

26. Гельфанд, И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравне- ний/И.М. Гельфанд//Успехи матем. наук, 1959. Т.14. №2. 87-158.

27. Годунов, К. Уравнения математической физики / К. Годунов.- М.: Наука, 1979. 392с.

28. Гурецкий, X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием I X. Гурецкий.- М.: Машиностроение, 1974. 328с. = Gorecki, Н. Analiza ъ synteza ukladow regulacji z opoznieniem / H. GorecH.-Waxszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1970.

29. Гусев, М.И. К оптимизации управляемых систем при наличии огра- •^ ничений. I, II / М.И. Гусев, А.Б. Куржанский / / Дифференц. уравнения, 1971. Т.7. K 9^. 1591-1602; №10. 1789-1800.

30. Гусейнов, Х.Г. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления / Х.Г. Гусейнов, А.И. Субботин, В.Н. Ушаков / / Проблемы управления и теории информации, 1985. Т.14. №3. 1-14.

31. Гусятников, П.Б. Теория дифференциальных игр / П.В. Гусятников,- М.: Изд-во МФТИ, 1982. 99с. , 39. Демьянов, В.Ф. Основы негладкого анализа и квазидифференциалъ-^' ное исчисление / В.Ф. Демьянов, A.M. Рубинов.- М.: Наука, 1990. 432с.

32. Долгий, Ю.Ф. Метод функционалов Ляпунова для систем с последействием / Ю.Ф. Долгий, А.В. Ким / / Дифференц. уравнения, 1991. Т.27. №8. 1313-1318. ^

33. Дубовицкий, А.Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления / А.Я. Дубовицкий, А.А. Милютин.- М.: Наука, 1971.

34. Жаутыков, О.А. Дифференциальные игры нескольких лиц / О.А. Жаутыков, В.И. Жуковский, Жаркынбаев.- Алма-Ата: Наука, 1988. 320с.

35. Завлищин, СТ. Импулсные процессы: модели и прилооюения / СТ. Завлищин, А.Н. Сесекин.- М.: Наука, 1991. 25бс.

36. Зверкин, A.M. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом / A.M. Зверкин / / В кн.: Пятая летняя математическая школа- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. С 307-399.

37. Зеликин, М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление I М.И. Зеликин.- М,: Изд-во Московского университета, 1985.

38. Зубов, В.И. Лекции по теории управления J В.И. Зубов.- М.: Наука, 1975.496с.

39. Ильин, A.M. Согласование асимптотических разлооюений решений краевых задач / A.M. Ильин.- М.: Наука, 1989. ЗЗбс.

40. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / A.M. Ильин, А.С Калашников, О.А. Олейник / / Успехи матем. наук, 1962. Т. 17. №3. 3-146.

41. Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач /А.Д, Иоффе, В.М. Тихомиров.- М.: Наука, 1974. 480с.

42. Каменский, Г.А. Линейные краевые задачи для дифференциально- разностных уравнений / Г.А. Каменский, А.Л. Скубачевский.-Щ и.: МАИ, 1992.

43. Камнева, Л.В. Достаточные условия стабильности для функции цены дифференциальной игры в терминах сингулярных точек / Л.В. Камнева / / Прикладная математика и механика, 2003. Т. 67. Вып. 3. 366-383.

44. Ким, А.В. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием / А.В. Ким / / Дифференц. уравнения, 1985. Т.21. №3. 385-391.

45. Ким, А.В. Об уравнении Беллмана для систем с последействием / А.В. Ким / / Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1991, №2. 54-69.

46. Ким, А.В. i-Гладкий анализ и функционалъно-дифференциалъные уравнения / А.В. Ким.- Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1996. 234с.

47. Ким, А.В. О применении г-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений / А.В. Ким, В.Г. Пименов / / Тр. Института математики и механики УрО РАН, 1998. Т.5. 104-126.

48. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк.- М.: Наука, 1988. 280с. = Clarke, F.H. Optimization and nonthmooth analysis / F.H. Clarke.- New York ets. 1983.

49. Клейменов, А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры I А.Ф. Клейменов.- Екатеринбург: Наука, 1993. 185с.

50. Колмановский, В.Б. О синтезе билинейных систем с запаздыванием в управлении / В.Б. Колмановский, Н.И. Королева / / Прикладная математика и механика, 1989. Т.53. Вып.2. 238-243.

51. Колмановский, В.Б. Устойчивостъ и периодические реэюимы регулируемых систем с последействием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов,- М.: Наука, 1981. 448с.

52. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа J А.Н. Колмогоров, СВ. Фомин.- М.: Наука, 1972. 496с.

53. Колокольцов, В.Н. Идемпотентный анализ и его применения в оптимальном управлении / В.Н. Колокольцов, В.П. Маслов.- М.: Наука, 1994.

54. Кононенко, А.Ф. Структура оптимальной стратегии в динамических управляемых системах / А.Ф. Кононенко / / Журнал вычисл. ма-тем. и матем. физики, 1980. Т.20. №5. 1105-1116.

55. Красовский, А.Н. Управление на минимакс интегрального функционала / А.Н. Красовский / / Доклады АН СССР, 1991. Т.320. Я^4. 785-788.

56. Красовский, Н.Н. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени / Н . Н . Красовский / / Прикладная математика и механика, 1956. Т.20. Вып.З. 315->327.

57. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости двиоюе- ния / Н.Н. Красовский.- М.: Физматгиз, 1959. 211с.

58. Красовский, Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени /Н.Н. Красовский// Прикладная математика и механика, 1962. Т.26. Вып.1, 39-51.

59. Красовский Н.Н. Об одной задаче преследования / Н.Н. Красовский// Прикладная математика и механика, 1963. Т.27. Вып.2. 244-254.

60. Красовский, Н.Н. Теория управления двиэюением / Н.Н. Красовский.- М.: Наука, 1968. 476с.

61. Красовский, Н.Н. Игровые задачи о встрече двиоюений / Н.Н. Красовский.- М.: Наука, 1970. 420с.

62. Красовский, Н.Н. Экстремальное управление в нелинейной позиционной дифференциальной игре / Н . Н . Красовский / / Доклады АН СССР, 1972. Т. 203. ^^ 3. 520-523.

63. Красовский, Н.Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. I, П / Н.Н. Красовский / / Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1973. № 2. 3-18; № 3. 22-42.

64. Красовский, Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр / Н.Н. Красовский / / Доклады АН СССР, 1976. Т. 226. Я^ 6. 1260-1263.

65. Красовский, Н.Н. Игровое управление в дифференциальных эволюционных системах / Н.Н. Красовский / / Доклады АН СССР, 1976. Т. 227. № 5. 1049-1052.

66. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н . Н . Красовский.- М.: Наука, 1985. 516с.

67. Красовский, Н.Н. К вопросу о наблюдаемости систем с запаздыванием / Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский / / Дифференц. уравнения, 1966. Т.2. т. 298-308.

68. Красовский, Н.Н. Задача конфликтного управления с наследственной информацией / Н.Н. Красовский, Н.Ю. Лукоянов / / Прикладная математика и механика, 1996. Т.60. Вып.6. 885-900.

69. Красовский, Н.Н. Уравнения типа Гамильтона-Якоби в наследственных системах: минимаксные решения / Н.Н. Красовский, Н.Ю. Лукоянов / / Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.е. т. с. iio-i3o.

70. Красовский, Н.Н. Линейные дифференциально-разностные игры / Н.Н. Красовский, Ю.С. Осипов / / Доклады АН СССР, 1971. Т.197. №4. 777-780.

71. Красовский Н.Н. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем / Н.Н. Красовский, Ю.М. Репин, В.Е. Третьяков / / Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1965. № 4. 3-13.

72. Красовский, Н.Н. О программном синтезе гарантирующего управления / Н.Н. Красовский, Т.Н. Решетова / / Проблемы управления и теории информации, 1988. Т. 17. №6. 1-11.

73. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н, Красовский, А.И. Субботин.- М.: Наука, 1974. 456с.

74. Красовский, Н.Н. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры/Н.Н. Красовский, В.Е, Третьяков// Доклады АН СССР, 1981. Т.259. №1. 24-27.

75. Кротов , В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов , В .И. Г урман . - М.: Наука , 1973. 448с.

76. Кружков, Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными / Н. Кружков / / ^ Матем. сборник, 1966. Т.70. К'-З. 394-415.

77. Кружков, Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала / Н. Кружков / / Матем. сборник, 1975. Т.98. №3. 450-493.

78. КряжимскиЙ, А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения / А . В . КряжимскиЙ / / Доклады АН СССР, 1978. Т.239. K^ 4. 779-782.

79. КряжимскиЙ, А .В . Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством / А .В . КряжимскиЙ , <jif. Ю.С. Осипов / / Прикладная математика и механика, 1973. Т.37. Вьш.1.

80. КряжимскиЙ, А.В. О позиционном моделировании управления в динамических системах / А.В. КряжимскиЙ, Ю.С. Осипов / / Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1983. JV 2^. 51-60.

81. Куржанский , А . Б . О существовании решений уравнений с последействием / А .Б . Куржанский / / Дифференц. уравнения, 1970. Т .6 . Я^10. 1800-1809.

82. Куржанский, А.Б. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием / А.Б, Куржанский / / Дифференц. уравнения, 1971. Т.7. №8.

83. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский.- М.: Наука, 1977. 392с.

84. Куржанский, А.Б. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления / А.Б. Куржанский, О.И. Никонов / / Доклады РАН, 1993. Т.ЗЗЗ. №5.

85. Куржанский, А.Б. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем / А.Б. Куржанский, И.Ф. Сивергина / / Доклады РАН, 1998. Т.369. №2. 161-166.

86. Куржанский, А.Б. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения/А.Б. Куржанский, Т.Ф. Филиппова// Доклады АН СССР, 1986. Т.289. X^l. 38-41.

87. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа I О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Ураль-цева.- М.: Наука, 1967.

88. Лахтин, А.С. Мйогозначные решения уравнений с частными производными первого порядка / А.С. Лахтин, А.И. Субботин / / Матем. сборник, 1998. Т. 189. №6. 33-58.

89. Ледяев, Ю.С. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр / Ю.С. Ледяев, Е.Ф. Мищенко / / Тр. МИАН им. В.А.Стеклова, 1988. Т.85. 147-170.

90. Лейтман, Дж. Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман.- М.: Наука, 1968. 190с. = 1.eitmann, G. An Introduction to Optimal Control / G. Leitmann.- New York: McGraw-Hill, 1966.

91. Лукоянов, Н.Ю. Об одной дифференциальной игре с интегральным критерием качества / Н.Ю. Лукоянов / / Дифференц. уравнения, 1994. Т.ЗО. №11. 1905-1913.

92. Лукоянов, Н.Ю. О задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях на управляющие воздействия /Н.Ю. Лукоянов// Дифференц. уравнения, 1995. Т.31. №9. 1473-1482.

93. Лукоянов, Н.Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях / Н.Ю. Лукоянов / / Прикладная математика и механика, 1995. Т.59. Вьш.6. 995-964.

94. Лукоянов, Н.Ю. Одна дифференциальная игра с нетерминальной платой / Н.Ю. Лукоянов / / Изв. РАН: Теория и Системы управления, 1997. №1. 85-90.

95. Лукоянов, Н.Ю. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала /Н .Ю. Лукоянов / / Прикладная математика и механика, 1998. Т.62. Вып.2. 188-198.

96. Лукоянов, Н.Ю. Минимаксное решение уравнений Гамильтона- Якоби для наследственных систем / Н.Ю. Лукоянов / / Доклады РАН, 2000. Т.371. JV^ 2. 163-166.

97. Лукоянов, Н.Ю. Функциональные уравнения типа Гамильтона-Якоби и дифференциальные игры с наследственной информацией / Н.Ю. Дукоянов //Докл^ РАН, 2000. Т.371. >Г«4. G. 457-461.

98. Лукоянов, Н.Ю. Об уравнении типа Гамильтона-Якоби в задачах управления с наследственной информацией / Н.Ю. Лукоянов / / Прикладная математика и механика, 2000. Т.64. Вып.2. 252-263.

99. Лукоянов, Н.Ю. Об обобш,ениях уравнения Гамильтона-Якоби для наследственных систем / Н.Ю. Лукоянов / / Изв. УрГУ: Математика и механика, 2000. Вып.З. №18. 109-130.

100. Лукоянов, Н.Ю. О построении цены позиционной дифференциальной игры / Н.Ю. Лукоянов / / Дифференц. уравнения, 2001. Т.37. №1. 18-26.

101. Лукоянов, Н.Ю. Минимаксное решение функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби для наследственных систем / Н . Ю . Лукоянов / / Дифференц. уравнения, 2001. Т.37. №2. 228-237.

102. Лукоянов, Н.Ю. О свойствах функционала цены дифференциальной игры с наследственной информацией / Н . Ю . Лукоянов / / Прикладная математика и механика, 2001. Т.65. Вып.З. 375-384.

103. Лукоянов, Н.Ю. Об экстремальном прицеливании в задачах управления системами с последействием / Н.Ю. Лукоянов / / Изв. УрГУ: Математика и механика, 2003. Вып.5. i^ Г^ 26. 115-123.

104. Лукоянов, Н.Ю. Стратегии прицеливания в направлении инвариантных градиентов / Н.Ю. Лукоянов / / Прикладная математика и механика, 2004. Т.68. Вып.4. 629-643.

105. Лукоянов, Н.Ю. Задачи конфликтного управления функциональными системами высокой размерности / Н.Ю. Лукоянов, Т.Н. Ре-шетова// Прикладная математика и механика, 1998. Т.62. Вып.4. 586-597.

106. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости двиоюения / A.M. Ляпунов.- М.-Л.: ОНТИ, 1935.

107. Максимов, В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем / В.И. Максимов.- Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2000.305с.

108. Марчук, Г.И. Математические модели в иммунологии / Г.И. Мар- чук.- М.: Наука, 1980. 264с.

109. Маслов, В,П. Существование и единственность решений стационарных уравнений Гамильтона-Якоби и Беллмана, Новый подход / В.П, Маслов, Н. Самборский / / Доклады РАН, 1992. Т.324. №6. 1143-1148.

110. Матвеев, А.С. Абстрактная теория оптимального управления / А.С. Матвеев, В.А. Якубович.- Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербурского госуниверситета, 1994. 363с.

111. Матросов, В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами (обзор) / В.М. Матросов / / Автоматика и телемеханика, 1973. №1. 5-22.

112. Меликян, А.А. Сингулярные характеристики уравнений в частных производных первого порядка / А.А. Меликян / / Доклады РАН, 1996. Т.351, №1. 24-28.

113. Меликян, А.А. Уравнения распространения слабого разрыва решения вариационной задачи / А.А. Меликян / / Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.6. №2. 446-459.

114. Мильштейн, Г.Н. Строго положительные функционалы Ляпунова для линейных систем с последействием / Г . Н , Мильштейн / / Диф-ференц. уравнения, 1987. Т.23, №12. 2051-2060.

115. Миш,енко, Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в тео- 1^ рии дифференциальных игр / Е.Ф. Мищенко / / Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. №5. 3-9.

116. Мордухович, Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления / Б.Ш. Мордухович.- М.: Наука, 1988. ЗбОс.

117. Мышкис, А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняюш,имся аргументом / А.Д. Мышкис / / Успехи матем. наук, 1977. Т.32. №2. 174-202.

118. Мышкис, А.Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняюш,имся аргументом / А.Д. Мышкис, Л.Э. Эль-сгольц / / Успехи матем. наук, 1967. Т.22. J{s2. 21-57.

119. Незнахин, А.А. Сеточный метод приближенного построения ядра вы- "^ живаемости для дифференциального включения / А.А. Незнахин, В.Н. Ушаков / / Журн. выч. матем. и матем. физики, 2001. Т.41. №6. 895-908.

120. Никольский, М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии запаздывания / М.С. Никольский / / Доклады АН СССР, 1971. Т.197. №5. 1018-1021.

121. Олейник, О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений / О.А. Олейник / / Успехи матем. наук, 1957. Т.12. №3. 3-73.

122. Осипов, Ю.С. Стабилизация управляемых систем с запаздыванием / Ю.С. Осипов / / Дифференц. уравнения, 1965. Т.1. №5. 463-473.

123. Осипов, Ю.С. О принципах сведения в критических случаях устойчивости движения систем с запаздыванием времени /Ю.С. Осипов// ^ Прикладная математика и механика, 1965. Т.29. Вып.5. 810-820.

124. Осипов, Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием / Ю.С. Осипов / / Доклды АН СССР, 1971. Т.196. K 4^. 779-782.

125. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр систем с последействием / Ю.С. Осипов / / Прикладная математика и механика, 1971. Т.35. Вып.5.

127. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с рас- г^^ пределенными параметрами / Ю.С. Осипов / / Доклады АН СССР, 1975. Т.223. №6. 1314-1317.

128. Осипов, Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с последействием / Ю.С. Осипов, В.Г. Пименов / / Прикладная математика и механика, 1978. Т.42. Вып.6. 963-977.

129. Пахотинских, В.Ю. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями / В.Ю. Пахотинских, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков / / Прикладная математика и механика, 2003. Т.67. Вьш.5. 771-783.

130. Пацко, B.C. Численное решение дифференциальных игр на плоскости I B.C. Пацко, В.Л. Турова.- Препринт. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 77с.

131. Петров, Н.Н. О существовании значения игры преследования / Н.Н. Петров / / Доклады АН СССР, 1970. Т.190. K 6^. 621-624.

132. Петров, Н.Н. Теория игр / Н.Н. Петров.- Ижевск: Изд-во Удмуртского госуниверситета, 1997. 196с. ;^ ^

133. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры преследования / Л.А. Пет- росян.- Л.: Изд-во Ленинградского госуниверситета, 1977. 222с.

134. Пименов, В.Г. Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы / В.Г. Пименов.- Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1998. 80с.

135. Половинкин, Е.С. Об одном подходе к дифференцированию многозначных отображений и необходимые условия оптимальности решений дифференциальных включений / Е.С. Половинкин, Г.В. Смирнов / / Дифференц. уравнения, 1986. Т.22. Л*^ 6. 944-954.

136. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию /Б.Т.Поляк.- М.:Наука,1983.

137. Понтрягин, Л.С. К теории дифференциальных игр / Л.С. Понтрягин / / Успехи матем. нук, 1996. Т.21. JV^ 4. 219-274.

138. Понтрягин, Л.С. О линейных дифференциальных играх, 1. 2 / Л.С. Понтрягин / / Доклады АН СССР, 1967. Т. 174. №6. 1278-1280; Д;175. №4. 764-766.

139. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальных игр / Л.С. Понтрягин / / Тр. МИАН им. В.А.Стеклова, 1985. Т.169. 119-157.

140. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко.- М.: Наука, 1961. 392с.

141. Пшеничный, Б.Н. Структура дифференциальных игр / Б.Н. Пшеничный / / Доклады АН СССР, 1969. Т.184. Я^2. 185-287.

142. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный.- М.: Наука, 1980. 319с.

143. Пшеничный, В.И. Необходимые условия экстремума / Б.Н. Пшеничный.- М.: Наука, 1982. 144с.

144. Разумихин, Б.С. Устойчивость эредитарных систем / Б.С. Разу- михин.- М.: Наука, 1988.

145. Репин, Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием / Ю.М. Репин / / Прикладная математика и механика, 1965. Т.29. 564-566. i^ ^

146. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их при- лооюения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко.-М.: Наука, 1978. 688с.

147. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар.- М.: Мир, 1973. 469с. = Rockafellar, R. Convex Analysis / R. Rockafellar.- New Jersey, Princeton, Princeton University Press, 1970.

148. Соболев, Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Л. Соболев.- М.: Наука, 1988. 334с.

149. Солодов, А.В. Системы с переменным запаздыванием / А.В. Солодов, Е.А. Солодова.- М.: Наука, 1980. 384с.

150. Стихина, Т.К. К теории позиционного управления в системах с запаздыванием / Т.К. Стихина; УрГУ.- Свердловск, 1984.- 15с.- Деп. в ВИНИТИ 06.04.1984, JV 2^051.

151. Субботин, А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр / А.И. Субботин / / Доклады АН СССР, 1980. Т.254. JV^ 2. 293-297.

152. Субботин, А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамилъто- на-Якоби / А.И. Субботин.- М.: Наука, 1991. 216с.

153. Субботин, А.И. Необходимые и достаточные условия для кусочно- гладкой цены дифференциальной игры / А.И. Субботин, Н.Н. Субботина / / Доклады АН СССР, 1978. Т.243. №4. 862-865.

154. Субботин, А.И. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры / А.И. Субботин, A.M. Тарасьев / / Доклады АН СССР, 1985. Т.283. Л•^ 3. 559-564.

155. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А.И. Субботин, А.Г. Ченцов.- М.: Наука, 1981. 288с.

156. Субботин, А.И. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби /А.И. Субботин, А.Г. Ченцов / / Доклады РАН, 1996. Т.348. №3. 45-48.

157. Субботина, Н.Н. Сингулярные аппроксимации минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби /Н.Н. Субботина / / i^y Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.6. №1. 190-208.

158. Субботина, Н.Н. Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций / Н.Н. Субботина / / Доклады РАН, 2003. Т.389. №2. 1-4.

159. Тарасьев, A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби /A.M. Тарасьев / / Приклад-н(щ м(1тематика и механика, 199^. %5В. Вып.2. 22-'^6.

160. Тарасьев, A.M. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные 1^ операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби / A.M. Тарасьев, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков / / Изв. РАН: Техн. кибернетика, 1994. №3. 173-185.

161. Тихонов, А.Н. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский / / Доклады АН СССР, 1954. Т.99. №1. 27-30.

162. Толстоногое, А.А. Дифференциальные включения в банаховых пространствах I А.А. Толстоногов.- Новосибирск: Наука, 1986. 296с.

163. Тонков, Е.Л. Динамические задачи выживания / Е.Л. Тонкое / / ' Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион.-дифференц. урав-(спец.вып.), 1997. №4. 138-148.

164. Третьяков, В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр / В.Е. Третьяков / / Доклады АН СССР, 1983. Т.269. JV^ З. 1049-1053.

165. Третьяков, В.Е. Оптимальное управление системами с неполной информацией/В.Е. Третьяков, И.В. Целищева, Г.И. Шишкин// Тр. Института математики и механики УрО РАН, 1992. Т.2, 176-187

166. Троицкий, В.А. Оптимальные прцессы колебаний механических систем I В.А. Троицкий.- Л.: Машиностроение, 1976.

167. Ухоботов, В.И. Синтез гарантированного управления на основе ап- проксимационной схемы / В.И. Ухоботов / / Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.б. JV^ 1. 239-246.

168. Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения /В .Н . Ушаков / / Изв. АН U. СССР: Технич. кибернетика, 1980. JV^ 4. 29-36.

169. Ушаков, В.Н. О приближенном построении решений в игровых задачах управления / В.Н. Ушаков, А.П. Хрипунов / / Прикладная математика и механика, 1997. Т.61. Вьш.З. 413-421.

170. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов.- М.: Наука, 1985. 225с.

171. Флеминг, У. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами / У. Флеминг, Р. Ришел,- М.: Мир, 1978. 316с. = Щ Fleming, W. Deterministic and Stochastic Optimal Control / W. Fleming, R. Rishel.- New York: Springer-Verlag, 1975.

172. Фомин, В.Н. Адаптивное управление динамическими объектами / В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, В.А. Якубович.- М.: Наука, 1981. 447с.

173. Харатишвили, Г.Л. Оптимальные процессы с запаздыванием / Г.Л. Харатишвили.- Тбилиси: Мецниереба, 1966.

174. Харатишвили, Г.Л. Нелинейная задача оптимального управления с переменными запаздываниями, нефиксированным начальным моментом и кусочно непрерывной предысторией / Г.Л. Харатишвили, Т.А.Тадумадзе//Т;?. МИАН им. 5.Л.Стеклоеа,1998.Т.220.С.23б-255.

175. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл.- М.: Мир, 1984. 421с. = Hale, J. Theory of Functional Differential Equations / J. Hale.- New-York: Springer-Verlag, 1977.

176. Хрусталев, М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана /М.М. Хрусталев / / Доклады АН СССР, 1978. Т.242. 1023-1026.

177. Хусаинов, Д.Я. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем / Д.Я. Хусаинов, А.В. Шатырко.- Киев: Киевский госуниверситет, 1997. 236с.

178. Ченцов, А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения / 4^ , А.Г. Ченцов / / Доклады АН СССР, 1975. Т.224. K 6^. 1272-1275.

179. Ченцов, А.Г. К игровой задаче наведения с информационной памятью / А.Г. Ченцов / / Доклады АН СССР, 1976. Т.227. JV^ 2.

180. Черноусько, Ф.Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром J Ф.Л. Черноусько.- М.: Наука, 1980.

181. Черноусько, Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях I Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановский.- М.: Наука, 1978, 352с. , 199. Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Черноусько, А.А. Меликян.- М.: Наука, 1978. 270с.

182. Черноусько, Ф.Л. Управление колебаниями / Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколов.- М.: Наука, 1980.

183. Чикрий, А.А. Конфликтно управляемые процессы / А.А. Чикрий.- Киев: Наукова думка, 1992. 384с.

184. Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С Б . Норкин.-М.: Наука, 1971. 269с.

185. Янушевский, Р.Т. Управление объектами с запаздыванием / Р.Т. Янушевский,- М.: Наука, 1978. 416с.

186. Aubin, J.Р. Viability Theory / J.P. Aubin.- Boston: Birkhauser, 1991.

187. Aubin, J.P. Set-Valued Analysis / J.P. Aubin, H. Frankowska.- Boston: ^ ' Birkhauser, 1990.

188. Aubin, J.P. History path dependent optimal control and portfolio valuation and management / J.P. Aubin, G. Haddad / / Positivity, 2002. Vol.6, pp. 331-358.

189. Banks, H.T. Applications of abstract variational theory to hereditary systems: a survey / H.T. Banks, A. Manitius / / IEEE Trans. Automat. Control, 1974. Vol.AC-19. pp. 524-533.

190. Barbu, V. Hamilton-Jacobi Equations in Hilbert Spaces / V. Barbu, G. Da Prato.- Pitman, Boston, MA, 1983. I

191. Bardi, M. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi- Bellman Equations / M. Bardi, I.C, Dolcetta.- Boston: Birkhauser, 1996.

192. Bardi, M. On Hopf's formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations / M. Bardi, L.C. Evans / / Nonlinear Anal, Theory, Meth., Appl- 1984. Vol.8. No.ll . pp. 1373-1381.

193. Bardi, M. An approximation scheme for the minimum time function / M. Bardi, M. Falcone//5L4M J. Cont. Optim.- 1990. Vol.28, pp.950-965. "^

195. Basar, T. Dynamic Noncooperative Game Theory / T. Basar, G.J. 01s- der.- New York: Academic Press, 1982,

196. Bensoussan, A. Perturbation Methods in Optimal Control / A. Ben- soussan.- New York, Chichester: Wiley-Gautier, 1988. 574p.

197. Berkovitz, L.D. Optimal feedback control / L.D. Berkovitz / / SIAM J. Contr. Optim.- 1989. Vol.27. No.5. pp. 991-1006.

198. Burton, T.A. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations / T.A. Burton.- New York: Academic Press, 1985.

199. Cannarsa, P. Some characterization of optimal trajectories in control theory / P. Cannarsa, H. Frankowska / / SIAM J. Contr. Optim.- 1991. Vol.29, pp. 1322-1347.

200. Clarke, F.H. Generalized gradients and applications / F.H. Clarke / / Trans. Amer. Math. Society, 1975. Vol.205, pp. 246-262.

201. Clarke, F.H. Necessary conditions for functional-differential inclusions / F.H. Clarke, P.R. Wolenski / / Appl. Math. Optim.- 1996. Vol.34. No.l. pp. 51-78.

202. Clarke, F.H. Proximal analysis and feedback constructions / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern / / Proc. Steklov Inst. Math.- 2000. Suppl. Issue 1, pp. S72-S89.

203. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R.J. Stern, P.R. Wolenski.- New York: Springer-Verlag, 1998. 278p.

204. Colonius, F. Optimal Periodic Control / F. Colonius.- Lecture Notes in Mathematics, Vol.1313. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

205. Conway, E.D. Hamilton's theory and generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equations / E.D. Conway, E. Hopf / / Trans. Amer. Math. Society, 1964. Vol. 13. No.2. pp. 939-986.

206. Corduneanu, C. Integral Equations and Stability of Feedback Systems / C. Corduneanu.- New York: Academic Press, 1973. i

207. Crandall, M.G. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations / M.G. Crandall, P.-L. Lions / / Trans. Amer. Math. Society, 1983, Vol.277, No.l. pp. 1-42.

208. Crandall, M.G. Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, Part I: uniqueness of viscosity solutions /M.G. Crandall, P.-L. Lions// J. Fund. Anal- 1985, Vol.62, pp. 379-396.

209. Crandall, M.G. Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, Part П: existence of viscosity solutions /M.G. Crandall, P.-L. Lions// / . Fund. Anal- 1986, Vol.65, pp. 368-405.

210. Crandall, M.G. Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, Part IV: Hamiltonians with unbounded linear terms /M.G. Crandall, P.-L. Lions// J. Fund. Anal- 1990, Vol.90, pp. 237-283.

211. Crandall, M.G. Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations / M.G. Crandall, L.C. Evans, P.-L. Lions / / Trans. Amer. Мф. SQci^, 1984. VoL282. pp. 487-502.

212. Crandall, M.G. Uniqueness of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations revisited / M.G. Crandall, H. Ishii, P.-L. Lions / / J. Math. Soc. Japan, 1987, Vol.39, No.4. pp. 581-596.

213. Crandall, M.G. A user's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations / M.G. Crandall, H. Ishii, P.-L. Lions / / Bulletin (New Series) Amer. Math. Sodety, 1992. Vol.27, pp. 1-67.

214. Delfour, M.C. Stability and the infinite time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems / M.C. Delfour, C. McCalla, S.K. Mitter / / SIAM J. Control, 1975. Vol.13. No.l pp. 48-88.

215. Driver, R.D. Ordinary and Delay Differential Equations / R.D. Driver.- New York: Springer-Verlag, 1977.

216. Elliot, R.J. The existence of value in differential games / R.J. Elliot, N.J. Kalton / / Memoirs Amer. Math. Society, 1972. Vol.126, pp. 1-67.

217. Evans, L.C. Partial Differential Equations / L.C. Evans.- Graduate Studies in Mathematics, Vol.19. Amer. Math. Society: Providence, Rhode Island, 1998. JJ

218. Evans, L.C. Differential games and representation formulas for solutions of Hamilton-Jacobi-Isaacs equations / L.C. Evans, P.E. Souganidis / / Indiana Univ. Math. J.- 1984. Vol.33, pp. 773-797.

219. Falcone, M. Discrete time high order schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacoby-Bellman equations / M. Falcone, R. Ferretti / / Numer. Math.- 1994. Vol.67, pp. 315-344.

220. Fleming, W.H. The convergence problem for differential games / W.H. Fleming / / J. Math. Anal and Appl- 1961. No.3. pp. 102-116.

221. Fleming, W.H. The Cauchy problem for a nonlinear first order differential equation / W.H. Fleming / / J. Differen. Equat- 1969. Vol.5. No.3. pp. 515-550.

222. Fleming, W.H. Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions / W.H. Fleming, H.M. Soner.- New York: Springer-Verlag, 1993.

223. Friedman, A. Differential Games / A. Friedman.- New York: Wiley Interscience, 1971.

224. Ginsburg, B. The maximum principle in optimal control of systems governed by semiliniar equations / B. Ginsburg, A. loffe / / Nonsmooth Analysis and Geometric Methods in Deterministic Optimal Control, New York: Springer-Verlag, 1996. pp. 153-202.

225. Haddad, G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusions with memory / G. Haddad / / Israel J. Math.- 1981. Vol.39, pp. 83-100.

226. Halanay, A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time-Lags / A. Halanay.- New York: Academic Press, 1966.

227. Halanay, A. Differential games with delay / A. Halanay / / SIAM J. Control, 1968. Vol.6, pp. 579-593.

228. Hale, J.K. Introduction to Functional Differential Equations / J.K. Hale, S.M.V. Lunel.- New York: Springer-Verlag, 1993. 280p.

229. Hopf, E. Generalized solutions of nonlinear equations of first order / E. Hopf / / J. Math. Mech.- 1965. Vol.14, pp. 951-972. д^ •) Different Integr. Equations, 1992. Vol.5. No.5. pp. 1033-1040.

230. Isidori, A. Nonlinear Control Systems / A, Isidori New.- York: Springer- Verlag, 1995. (3rd edition)

231. Kalman, R.E. Contribution to the theory of optimal control / R.E. Kalman / / Bullet. Soc. Math. Mech.- 1960. Vol.5, pp.102-119.

232. Keulen, B. H^Q-Control for Distributed Parameter Systems: A State- Space Approach I B. Keulen.- Boston: Birkhauser, 1993.

233. Kim, A.V. Functional Differential Equations. Application of i-Smooth Calculus I A.V. Kim.- The Netherlands Dordrecht: Kluwer, 1999. 165p.

234. Kim, A.V. Numerical Methods for Delay Differential Equations / A.V. Kim, V.G. Pimenov,- Lecture Notes Series JVe44. Seoul National University. Seoul. Korea. 1999. 96p.

235. IColfflanovskii, V. Applied Theory of Functional-Differential Equations j V. Kolmanovskii, A. Myshkis.- Dordrecht: Kluwer Acad. Publish. Group, 1992. 234p.

236. Krasovskii, A.N. Control under Lack of Information / A.N. Krasovskii, N.N. Krasovskii.- Berlin etc.: Birkhauser, 1995. 322p.

237. Krasovskii, N.N, Game-Theoretical Control Problems / N.N. Krasovskii, A.I. Subbutin.- New York: Springer-Verlag, 1988. 518p.

238. Kumkov, S.I. Informational sets in a model problem of homing / S.I. Kumkov, V.S. Patsko / / J. Optimization Theory and Applications, 2001. V0LIO8. N0.3. pp. 499-526.

239. Kumkov, S.S. Constraction of singular surfaces in linear differential games / S.S. Kumkov, V.S. Patsko / / Annals of the Intern. Soc. of Dynamic Games: Adv. in Dynamic Games and Applications, 2001. Vol.6, pp. 185-202.

240. Kurzhanski, A.B. Set-valued calculus and dinamic programming in problems of feedback control / A.B. Kurzhanski / / Intern. Series of Numerical Mathematics, 1998. Vol.124, pp. 163-174.

241. Kurzhanski, A.B. Elipsoidal Calculus for Estimation and Control / A.B. Kurzhanski, I. Valyi,- Boston (ser. SOFA): Birkhauser, 1996.

242. Kurzhanski, A.B. On reachability under uncertainty / A.B. Kurzhanski, P. Varaiya / / SIAM J. Contr. Optim.- 2002. Vol.41. No.l. pp. 181-216.

243. Larssen, B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay/B. Larssen//5^осД. Stock Rep- 2002. Vol.74. No.3-4. pp. 651-673.

244. Lax, P. Hyperbolic systems of conservations laws. И / P. Lax / / Comm. Pure Appl. Math.- 1957. Vol.10, pp. 537-566.

245. Lions, P.L. Generalized Solutions of Hamilton-JасоЫ Equations / P.L. Lions.- Research Notes in Mathematics, Vol.69, Boston: Pitman, 1982. 318p.

246. Lukoyanov, N.Yu. Functional Hamilton-Jacobi type equations in ci- }j, derivatives for systems with distributed delays / N.Yu. Lukoyanov / / Nonlinear Fund. Anal, and AppL- 2003. Vol.8. No.3. pp. 365-397.

247. Lukoyanov, N.Yu. Functional Hamilton-Jacobi type equations with ci-derivatives in control problems with hereditary information / N.Yu. Lukoyanov / / Nonlinear Funct. Anal, and AppL- 2003. Vol.8. No.4. pp. 535-556.

248. Lukoyanov, N.Yu. On dynamic programming in control problems of systems with distributed delays / N.Yu- Lukoyanov / / Preprints IFAC Workshop on Time-Delay Systems (CDROM), INRIA, Rocquencourt, ., Prance, Sept. 2003.

249. Melikyan, A.A. Generalaized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games / k.k. Melikyan.- Boston: Birkhauser, 1998. 310p.

250. Minchenko, L.I. Necessary optimality conditions for differential difference inclusions / L.I. Minchenko / / Nonlinear Anal, Theory, Meth. and AppL- 1999. Vol.35, pp. 307-322.

251. Mirica, S. Finite-dimentional representations of the value functions of some optimal control problems / S. Mirica / / Control and Cybernetics, \ 2002. Vol.31. No.3. pp. 779-801. /

252. Patsko, V.S. Level sets of the value function in differential games with the homicidal chauffeur dynamics / V.S. Patsko, V.L. Turova / / Intern. Game Theory Rev.- 2001. Vol.3. No.l. pp. 67-112.

253. Osipov, Yu.S. Inverse Problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions / Yu.S. Osipov, A.V. Kryazhimskii.- Amsterdam: Gordon and Breach, 1995. 625p. ^

254. Rockafellar, R.T. Variational Analysis / R.T. Rockafellar, R.J-B. Wets.- Berlin: Springer-Verlag, 1998. 735p.

255. Roxin, E. The axiomatic approach in differential games / E. Roxin / / J. Optim. Theor. Appl- 1969. VoL3. pp. 153-163.

256. Sesekin, A.N. On the singularity order of optimal controls in linear- quadratic optimization problems for systems with delays/A.N. Sesekin// Functional Defferential equations^ 1998. №1-2. pp. 243-251.

257. Soner, H.M. On the Hamilton-Jacobi-Bellman equations in banach spaces / H.M. Soner / / J. Optim. Theory and Appl- 1988. Vol.57. No.3. pp. 429-437.

258. Souganidis, P.E. Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations / P.E. Souganidis / / J. Differen. Equat.-1985. VoL59. pp.1-43.

259. Souganidis, P.E. Max-min representations and product formulas for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations with applications to differential games / P.E. Souganidis / / Nonlinear Analysis. Theory, Meth., Appl- 1985. Vol.9. No.3. pp.217-257.

260. Subbotin, A.I. Generalized characteristics of Hamilton-Jacobi equations/ A.I. Subbotin, A.M. Taras'ev, V.N, Ushakov / / J. Comput. Systems Sci. Intern.- 1994. Vol.32. No.2. pp. 157-163.

261. Ushakov, V.N. Constructions of solutions in differential game of pursuit- evasion. Differential inclusions and optimal control / V.N. Ushakov / / 1.ecture Notes in Nonlinear Analysis, 1998. Vol.2, pp. 269-281.

262. Varaiya, P. On the existence of solutions to a differential game / P. Varaiya / / SIAM J. Contr. Optim.- 1967. Vol.5. No.l. pp. 153-162.

263. Vinter, R. Optimal Control / R. Vinter.- Boston: Birkhiiser, 2000. 507p.

264. Wolenski, P.R. Hamilton-Jacobi theory for hereditary control problems / P.R. Wolenski / / Nonlinear Anal- 1994. Vol.22. No.7. pp. 875-894.

265. Yoshizawa, T. Stability Theory by Liapunov's Second Method / T. Yoshizawa.- Tokyo: Math. Soc. Japan, 1966.