Обобщенные вариационные принципы и метод исчезающей вязкости для некоторых квазилинейных уравнений и систем уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Соболевский, Андрей Николаевич

• Соболевский, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболевский, Андрей Николаевич

Оглавление

Введение

1 Существование обобщенных решений с периодическим градиентом уравнения Гамильтона-Якоби 15 §1.1 Обобщенные решения с периодическим градиентом уравнения Гамильтона-Якоби

§1.2 Функционал действия и функция действия

§1.3 Свойства функции действия

§1.4 Формула Лакса-Олейник

§1.5 Редукция к функциональному уравнению

§1.6 Существование решений с периодическим градиентом

§1.7 Н(а) как усредненный гамильтониан

§1.8 Обобщение на многомерный случай

2 Условия единственности обобщенного решения с периодическим градиентом и теория Обри-Мезера

§2.1 Многозначное отображение, связанное с периодической функцией 5а {х)

§2.2 Инвариантное множество отображения Уа

§2.3 Число вращения

§2.4 Некоторые свойства отображения Уа

§2.5 Случай иррационального числа вращения

§2.6 Случай рационального числа вращения

§2.7 Обобщенная модель Френкеля-Конторовой и связь с теорией Обри-

Мезера

3 Обобщенный вариационный принцип и метод малой вязкости для системы уравнений одномерной газовой динамики без давления

§3.1 Система уравнений одномерной газовой динамики без давления . 73 §3.2 Лагранжевы массовые координаты и построение решения в гладком случае методом характеристик

§3.3 Обобщенные решения системы уравнений одномерной газовой динамики без давления

§3.4 Представление массовой меры с помощью выпуклой функции

§3.5 Массовая функция и обобщенный вариационный принцип

§3.6 Вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой

динамики без давления

§3.7 Некоторые свойства вязкостных обобщенных решений

§3.8 Предел при исчезающей вязкости обобщенного вязкостного решения уравнения для массовой функции

§3.9 Предел при исчезающей вязкости классического решения системы уравнений одномерной газовой динамики без давления

в случае гравитирующего вещества

Заключение

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенные вариационные принципы и метод исчезающей вязкости для некоторых квазилинейных уравнений и систем уравнений»

Введение

В настоящей диссертации рассмотрены математические модели, встречающиеся в теории нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии (т.н. «одномерная модель прилипания»), физике твердого тела (модель одномерного кристалла Френкеля-Конторовой) и неравновесной статистической механике (бильярдные модели, газ Лоренца при ненулевой температуре рассеивателей). С математической точки зрения эти модели объединяются использованием специального вида явных представлений решений некоторых квазилинейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка (т.н. «систем законов сохранения»). Следуя терминологии, введенной Я.Г. Синаем и др. [57, 9], будем называть такие явные представления обобщенными вариационными принципами. Полученные результаты могут быть применены для математически строгого обоснования физических выводов перечисленных выше теорий.

1. Системой законов сохранения называется квазилинейная система уравнений вида

где -Р'(и) — матрица, составленная из производных компонент вектор-функции ^ по компонентам неизвестной вектор-функции и = и^,х) [4, 65, 25, 80]. Название «система законов сохранения» связано с тем, что уравнения (1) эквивалентны интегральным соотношениям

сI гх 2

- J и{г,х)йх = -(Р{и(г,х2)) -г(и(!,Х1))),

выражающим тот факт, что величина, распределенная вдоль оси х с плотностью и(1, х), не имеет источников или стоков и может изменяться лишь за счет потока, величина которого связана с локальной плотностью функцией ^(м) («функцией потока»).

Рассматривают также более общие системы законов сохранения вида

(см., например, [3, 12, 49, 25, 80]).

В случае п = 1, когда система (1) сводится к одному уравнению, наряду с ней рассматривают нелинейное уравнение вида [48, 25]:

Если 5 — достаточно гладкое классическое решение уравнения (2), то функция х) = (¿, х)/дх удовлетворяет уравнению (1).

Если функция потока ^ выпукла, уравнение (2) называют уравнением Га-мильтона-Якоби, а F — гамильтонианом. В этом случае у решения задачи Коши для уравнения (2) с начальным условием 5(0, ж) = 50(х) существует явное представление

где функция F*(p) = supzeE (pz—F(z)) сопряжена к F в смысле выпуклого анализа [26]. В случае F(p) — р2/2 формула (3) была предложена Э. Хопфом [61], который опирался на замену переменных, сводящую уравнение (1) с вязкостным возмущением в правой части вида ед2и/дх2 к уравнению теплопроводности [32, 47, 61]; на общее уравнение с выпуклой функцией потока данное представление было распространено П. Лаксом [65] и O.A. Олейник [19]. Случай невыпуклой функции потока рассматривался O.A. Олейник [21] и A.C. Калашниковым [10]. Э. Конуэем и Э. Хопфом было отмечено, что представление (3) справедливо и в случае невыпуклой функции потока, если начальная функция 5о выпукла [48]. Формула (3) была также обобщена на случай нестационарной функции потока F = F(t,x,p) (см., например, [13, 58, 67]).

Классические решения системы (1) или уравнения (2) могут быть построены методом характеристик [15]. Однако из-за нелинейного характера системы (1)

(2)

S(t, х) = inf sup (S0(y) + z(x -у)- tF(z)) =

(3)

проекции характеристик на пространство переменных (£, х) могут пересекаться. Чтобы решение системы и(Ь, х) оставалось однозначно определенным, его строят как обобщенное в классе разрывных функций, обобщенные производные которых понимаются как меры [3, 12]. В случае п = 1 это приводит к рассмотрению обобщенных решений уравнения (2), которые являются непрерывными, но не всюду дифференцируемыми функциями [48, 58, 67]. Отметим, что метод характеристик может быть распространен и на случай пересекающихся характеристик, а возникающее при этом негладкое обобщенное решение системы (1) при п — 1 эквивалентно (3) [53, 52].

Обобщенные решения, как правило, могут быть определены не единственным образом. В таких случаях физически оправданный класс единственности обычно выделяют с помощью метода исчезающей вязкости [16, 19, 20, 61, 25, 58, 67, 80]: в правые части уравнений (1) вводят слагаемые с малым коэффициентом е, содержащие вторые производные неизвестной функции х) по х. Обобщенное решение системы (1) определяется как предел при е —>• 0 классических решений получаемой сингулярно возмущенной нелинейной параболической системы. При п = 1 может быть сформулировано легко проверяемое условие, выделяющее данный класс единственности — условие Е О. А. Олей-ник [19]. Частичным обобщением условия Е на случай п > 1 является энтропийное условие П. Лакса [66].

В случае п = 1 представление (3) дает глобально определенные, но, вообще говоря, негладкие решения задачи Коши для уравнения (2). Эти решения принадлежат классу единственности, выделяемому методом исчезающей вязкости [19, 67].

Будучи интересным само по себе, явное представление (3) решения задачи Коши для уравнения (2) может быть использовано для исследования ряда свойств решения: регулярности [48, 43], асимптотики при больших временах [14, 65, 67], статистики распределения особенностей при случайных начальных данных [57, 79].

2. В работах Weinan Е, Ю. Г. Рыкова и Я. Г. Синая [57, 9] показано, что некоторые системы квазилинейных уравнений вида (1) при п = 2 допускают явное представление решения, аналогичное (3) (см. §3.5). Такое представление названо в [57, 9] обобщенным вариационным принципом.

Системы квазилинейных уравнений, допускающие такое явное представление, возникают как непрерывные аналоги одномерной «модели слипающихся частиц», введенной С.Н. Гурбатовым и А.И. Саичевым [5] (см. также [44]) для описания механизма нелинейной гравитационной неустойчивости, предложенного Я.Б. Зельдовичем [87] для моделирования образования крупномасштабных структур во Вселенной (см. обзорные статьи [81, 86]). Опишем дискретный вариант модели «слипающихся частиц», следуя [57] (см. также [41, 42, 44]).

Рассмотрим на действительной прямой систему материальных частиц, которые в начальный момент расположены в точках £¿(0) и имеют массы т^ и скорости Vi(0), i G Z. Частицы движутся с постоянными скоростями до тех пор, пока между ними не происходит столкновений. Если две или больше частиц испытывают столкновение, они «слипаются», т.е. образуют новую частицу, которая движется дальше как единое целое. Масса и скорость новой частицы определяются исходя из законов сохранения массы и импульса. Система квазилинейных уравнений, в которую переходит данная модель в пределе непрерывного распределения вещества, названа в [57] системой уравнений одномерной газовой динамики без давления, так как формально она совпадает с уравнениями динамики одномерной сплошной среды с уравнением состояния р(р) = const.

Другая модификация модели слипающихся частиц, рассматриваемая в [57] и в настоящей работе, учитывает гравитационное взаимодействие между частицами. В промежутки времени между столкновениями поведение системы частиц описывается гамильтонианом вида

Система уравнений газовой динамики без давления оказывается сильно вы-

рожденной. В частности, оба ее поля характеристических направлений тождественно совпадают (см. §3.1). Поэтому во многих отношениях свойства системы уравнений газовой динамики без давления аналогичны свойствам одного уравнения вида (1) или (2), имеющего лишь одно поле характеристических направлений. Эта аналогия позволяет получить явное представление решения соответствующей начальной задачи в виде обобщенного вариационного принципа. С другой стороны, энтропийное условие П. Лакса [66] не гарантирует единственности решений такой вырожденной системы: в случае дискретной совокупности частиц ему удовлетворяет целое семейство различных законов столкновения частиц, частным случаем которого является описанный выше закон слипания [57, 9].

В статье [57] было высказано предположение, что обобщенное решение системы уравнений одномерной газовой динамики без давления, построенное исходя из закона слипания, может быть получено как предел метода исчезающей вязкости при сингулярном возмущении подходящего вида (см. также обсуждение в замечании 3.11, §3.6). В настоящей работе это предположение подтверждено. Показано, что система уравнений одномерной газовой динамики без давления сводится к одному уравнению вида (2), названному ниже уравнением для массовой функции. Это дает возможность свести процедуру применения метода исчезающей вязкости для системы уравнений газовой динамики без давления к стандартному пределу исчезающей вязкости для одного уравнения вида (2), которое мы исследуем методами теории обобщенных (т.н. вязкостных) решений нелинейных уравнений в частных производных в смысле М. Г. Кран-далла и П.-Л. Лионса [50, 51]. Результаты этой части работы опубликованы в [28].

С геометрической точки зрения построение решения с помощью обобщенного вариационного принципа состоит в построении выпуклой оболочки некоторой функции, зависящей от аргументов в ж р, сопряженных к независимым переменным < и х. Это обстоятельство позволяет построить эффективные ал-

горитмы численного решения задачи Коши для уравнений газовой динамики без давления [75]. Более эффективный вариант соответствующего алгоритма, обобщающийся на случай двумерной потенциальной газовой динамики без давления, построен автором настоящей работы в [82] на основе известного алгоритма построения выпуклой оболочки конечного множества точек в К" [24].

3. Рассмотрим уравнение (2) с гамильтонианом более общего вида

^ + =0, H(t,x,p) = HQ(p) + U(t,x), (4)

где функция Н0(р) выпукла, a U(t,x) периодически зависит от t, х. В случае, когда U(í, х) — 0, данное уравнение имеет однопараметрическое семейство классических решений вида Sa(t,x) = ах — H0(a)t, а € М. В настоящей диссертации установлено существование обобщенных решений уравнения (4) вида

Sa(t,x) = ах - H(a)t + sa(t,x), а е К, (5)

где sa(t, х) — непрерывная периодическая функция. Величина Н(а) играет роль усредненного гамильтониана (см. §1.7).

Решение задачи Коши для уравнения (4) выражается с помощью следующего вариационного принципа:

S(t, х) = inf (so(y) + inf jT L(r, £'(r)) dr) , (6)

где L(t, x, v) = L0(v) — U(t, x), функция L0{v) — сопряженная к H0(p) и точная нижняя грань интеграла берется на множестве всех абсолютно непрерывных путей f: [0, t] —> R, удовлетворяющих условиям ^(0) = у, £(t) — х (подробнее см. в тексте, глава 1). В дальнейшем рассматриваются начальные данные вида Sq(x) = ах + so(x), где 5о(ж) есть непрерывная периодическая функция.

Выражения, входящие в вариационные принципы (3), (6), могут рассматриваться как линейные над особой алгебраической структурой — идемпотентным полукольцом Mmin [17, 64]. Элементами последнего являются все действительные числа и символ оо. В Rm¡n определены коммутативное операции идемпо-тентного «сложения» а ф b = min{a, b} и «умножения» а О b = а + Ь, причем

оофа = аиоо0а = оо для любого а € Ет;п. Легко проверить, что для Ет1-П выполнены все аксиомы полукольца с «нулем» оо и «единицей» 0. Полукольцо Ет;п является одним из примеров идемпотентных полуколец, для которых развита богатая теория, по существу параллельная традиционной математике над полями действительных или комплексных чисел — идемпотентный анализ [17, 64].

С точки зрения идемпотентного анализа вариационный принцип (6) есть аналог представления решения задачи Коши для линейного уравнения в частных производных через функцию Грина. Особый интерес представляют собственные функции соответствующей полугруппы (идемпотентных) интегральных операторов, порождаемой оператором с ядром

(см. [8, 17, 33, 34, 64]). Каждое решение гг) уравнения (4) вида (5) определяет собственную функцию вида Ба{Ь,х) — ож, поскольку

Здесь —Н,(а) есть соответствующее собственное значение.

Вопрос о существовании решений уравнения (4) вида (5) тесно связан с проблемой существования инвариантных многообразий динамической системы, задаваемой гамильтонианом (4) [63, 74]. Траектории этой системы совпадают с характеристиками уравнения (4), а ее лагранжевы инвариантные торы в расширенном фазовом пространстве переменных (t,x,p) имеют вид

где Б0- — классическое решение уравнения (4) вида (5). Но классические решения такого вида существуют не при всех аеК. Инвариантные множества расширенного фазового пространства, соответствующие обобщенным (непрерывным, но не всюду дифференцируемым) решениям вида (5), локально устроены как прямое произведение гладкой кривой на канторов дисконтинуум и иногда

Se(l,x) = inf (Sa(0,y) + La(y,x)) = Sa(0,y) - H(a).

уем.

(Г)

dSa

называются в литературе «кантороторами» (этот термин введен И.Ч. Перси-валем [77]). Существование инвариантных множеств такого вида было независимо установлено в начале 1980-х гг. Дж.Н. Мезером [70] на основе работ И.Ч. Персиваля [76, 77] (говорят еще об инвариантных множествах отображения с перекручиванием, стандартного отображения или отображения Чи-рикова [46]) и С. Обри [35, 36], который рассматривал эквивалентную задачу об основных состояниях в т.н. модели одномерного кристалла Френкеля-Конторовой [11] (см. также обзоры [37, 72] и обсуждение в §2.7). Подход, основанный на решениях уравнения (4) вида (5), позволяет дать независимые доказательства основных результатов теории Обри-Мезера; с другой стороны, опираясь на эти результаты, можно получить условия единственности обобщенного решения вида (5) в терминах числа вращения, характеризующего соответствующий ему тор или канторотор. Эта программа реализована в главе 2.

Получена также теорема об асимптотическом поведении решения задачи Коши с периодическим начальным условием для уравнения (6). Отметим, что до недавнего времени в литературе не рассматривалась асимптотика при больших временах решений уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом общего вида, изучаемого в настоящей диссертации (см. обзор [14], опубликованный в 1987 г.). В работе Ю. Мозера и др. [63] доказана теорема об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с подобным гамильтонианом, но из нее не может быть сделано никакого вывода об асимптотике решения задачи Коши для невозмущенного уравнения.

Самостоятельное значение имеет связь решений вида (4) с теорией усреднения. Оказывается, что величина Н(а) является усредненным гамильтонианом уравнения (6) [54, 63, 68] (см. также §1.7 настоящей работы).

Подход, связанный с построением собственных функций идемпотентного оператора, позволяет также дать постановку задачи о регулярных движениях бильярдного шара в бильярде с периодически изменяющейся границей [1], обобщающую известную постановку задачи о периодических бильярдных тра-

екториях у Дж. Биркгофа [40]. Как подчеркивается в [1], эта задача служит упрощенной моделью двумерного газа Лоренца с положительной температурой рассеивателей, которые представляются дисками периодически изменяющегося радиуса.

Интересно также сравнить результаты настоящей работы, касающиеся структуры инвариантных множеств, порождаемых детерминистской динамикой с периодическим потенциалом [/(£, ж), с результатами статьи [56], в которой рассматривается случай стационарной случайной функции £/(£, х). В первом случае инвариантное множество при иррациональном числе вращения состоит из континуума бесконечно продолжаемых характеристик, а во втором случае — из единственной бесконечно продолжаемой характеристики уравнения (6), к которой при t —оо притягиваются остальные (обрывающиеся) характеристики. Это можно трактовать как проявление неустойчивости стохастической динамики по сравнению с детерминистской. Аналогичных результатов естественно ожидать и в случае модели газа Лоренца с стохастически, а не периодически колеблющимися рассеивателями.

4. В основу настоящей диссертации положены работы, выполненные в 19961998 годах на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и опубликованные в [1, 28, 29, 30, 31, 82, 83]. Диссертация состоит из трех глав, заключения и приложения.

В первой главе устанавливается существование обобщенного решения уравнения (4) вида £(£, х) = ах — Я(a)í + 8а(Ь, х) при любом а £ К, где х) — непрерывная периодическая функция. В §1.1 выделяется класс гамильтонианов, для которого справедливы последующие результаты, формулируется определение класса обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби, в котором ищется решение, и обсуждается связь обобщенных решений вида (4) с лагран-жевыми инвариантными многообразиями динамической системы, заданной гамильтонианом, соответствующим уравнению (6). В §1.2 определяется функци-

онал действия и функция действия, отвечающие такому гамильтониану, и формулируются необходимые результаты из вариационного исчисления. В §1.3 в виде лемм устанавливается ряд свойств функции действия, на которых основаны дальнейшие доказательства. В §1.4 вводится явное представление решения задачи Коши для уравнения (6) с помощью формулы (вариационного принципа) Лакса-Олейник. §1.5 и §1.6 посвящены доказательству основного результата главы. В §1.5 периодичнность функции 11{Ь,х) используется для сведения задачи о существовании обобщенного решения вида (4) к некоторому функциональному уравнению, а в §1.6 это уравнение решается методом итераций. Попутно устанавливаются некоторые свойства функции Н(а) из (4) (выпуклость и оценки) и доказывается утверждение об асимптотике решения задачи Коши для уравнения (6) при больших временах. Конец главы посвящен обсуждению полученных результатов. В §1.7 обсуждается их связь с теорией усреднения; там же усредненный гамильтониан Н (а) найден в явном виде в случае интегрируемой динамической системы. В §1.8 суммируются изменения, необходимые для обобщения результатов главы на многомерный случай (возникающий при рассмотрении дефектов в трехмерных кристаллах и бильярдов с периодически изменяющейся границей).

Вторая глава содержит результаты, связывающие теорию обобщенных решений уравнения (6) вида (4) с одним из современных разделов теории динамических систем — теорией Обри-Мезера и ее приложениями: теорией основных состояний обобщенной модели одномерного кристалла Френкеля-Конторовой и задачами о бильярдах с возмущаемой границей. В §2.1 вводится многозначное отображение Уа, связанное с обобщенным решением За(Ь, х) вида (4), где а 6 К, и устанавливается ряд его свойств (периодичность, монотонность, дифферен-цируемость почти всюду). В §2.2 доказано существование инвариантного множества отображения Уа и формулируются некоторые понятия и результаты топологической динамики, необходимые для дальнейшего. В §2.3 устанавливается существование числа вращения, характеризующего отображение Уа, а

в §2.4 — некоторые его свойства. §2.5 посвящен подробному изучению структуры инвариантного множества в случае иррационального числа вращения; в конце параграфа доказана теорема единственности обобщенного решения уравнения (6) вида (4) в случае иррационального числа вращения. Противоположный случай рационального числа вращения обсуждается в §2.6, устанавливается условие единственности обобщенного решения указанного вида в терминах инвариантного множества отображения Уа и приводится пример неединственности такого решения. В §2.7 устанавливается связь полученных результатов с теорией Обри-Мезера. В совокупности результаты §2.7 и §2.5 дают независимое доказательство основных результатов теории Обри-Мезера в случае иррационального числа вращения.

В третьей главе исследован пример обобщения вариационного принципа Лакса-Олейник на случай системы квазилинейных уравнений — одномерной системы уравнений газовой динамики без давления [57, 9]. В §3.1 установлены некоторые свойства данной системы уравнений. В §3.2 и §3.3 обсуждаются, соответственно, классические и обобщенные решения системы уравнений газовой динамики без давления. В §3.4 показано, как обобщенное решение может быть представлено с помощью выпуклой функции, которая в настоящей работе названа массовой функцией, а в §3.5 установлена связь этой функции с обобщенным вариационным принципом, предложенным в [57, 9]. В §3.6 введено вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой динамики без давления и показано, что оно равносильно некоторому вязкостному возмущению уравнения для массовой функции. Предельный переход по исчезающей вязкости в уравнении для массовой функции проводится в §3.7 и §3.8 методами теории обобщенных вязкостных решений М.Г. Крандалла и П.-Л. Лион-са [51]. Предельный переход при исчезающей вязкости для системы уравнений одномерной газовой динамики без давления обоснован в §3.9, причем показано, что обобщенное решение, построенное с помощью обобщенного вариационного принципа, совпадает с пределом по исчезающей вязкости. В §3.10 суммиру-

ются изменения, необходимые для доказательства аналогичных результатов в случае одномерной системы уравнений для гравитирующего вещества, подчиненного уравнению состояния р(р) ■= const.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

В приложение отнесено техническое доказательство принципа сравнения, которое представляет собой адаптацию доказательства аналогичной леммы в случае эллиптического уравнения из статьи [51] и включено в настоящую работу для полноты изложения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Соболевский, Андрей Николаевич

Основные результаты этой части работы таковы:

1. Разработан прямой подход к построению и исследованию обобщенных решений с периодическим градиентом, не зависящий от применения метода исчезающей вязкости в более ранних работах [68, 63]. Данный подход позволил дать новое доказательство существования обобщенных решений указанного вида и сделал возможным подробное изучение их структуры.

2. Строго показана эквивалентность теории обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом и теории Обри-Мезера инвариантных множеств отображения с перекручиванием (в формулировке Обри). На основе этого нового подхода к теории Обри-Мезера даны независимые доказательства ее основных результатов.

3. На основе указанной эквивалентности установлена теорема единственности обобщенных решений уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом, что является принципиально новым применением методов теории динамических систем к теории квазилинейных уравнений.

4. Получена новая теорема об асимптотическом поведении решения задачи Коши с периодическим начальным условием для уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом общего вида, периодическим по переменным t и х.

Результаты этой части диссертации опубликованы в [29, 30, 83] и докладывались на международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (Москва, март 1998 г.), а также в Московском государственном университете на научном семинаре кафедры математики физического факультета и научном семинаре под руководством И.А. Шишмарева (факультет ВМиК).

Отметим, что аналогичные результаты, включая теорему единственности обобщенного решения с периодическим градиентом, были одновременно и независимо от автора получены \Уетап Е (институт им. Куранта, Нью-Йорк) [55].

Третья глава диссертации посвящена исследованию предложенного Я.Г. Синаем и др. [57, 9] обобщения вариационного принципа Лакса-Олейник на случай системы квазилинейных законов сохранения с совпадающими полями характеристик. Как и в указанных работах, исследуются две системы уравнений, возникающие как математические модели кинетической или гравитационной неустойчивости в астрофизике: одномерная система уравнений газовой динамики без давления и система уравнений динамики вещества с гравитационным взаимодействием между частицами. Показано, что каждая из систем уравнений указанного вида эквивалентна уравнению для единственной неизвестной функции, названной в настоящей работе массовой функцией, причем поле характеристик уравнения для массовой функции тождественно каждому из совпадающих полей характеристик исходной системы уравнений. Этот геометрический факт позволяет вывести обобщенный вариационный принцип непосредственно из уравнения для массовой функции и доказать сходимость метода исчезающей вязкости к соответствующему обобщенному решению.

Результаты этой части диссертации опубликованы в [28, 82] и докладывались на научном семинаре по теории сингулярных возмущений под руководством А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова (физический факультет МГУ) и научном семинаре Центра параллельных компьютеров Королевской высшей технической школы (Стокгольм, Швеция).

Автору приятно выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю. М. Лоскутову и академику РАН Я. Г. Синаю за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе, а также Е.И. Ди-набургу, С.Ю. Доброхотову и Ю.Г. Рыкову за ценные обсуждения.

Заключение

Обобщенные решения некоторых нелинейных уравнений в частных производных первого порядка — уравнений Гамильтона-Якоби и тесно связанных с ними квазилинейных законов сохранения — допускают явное представление, известное как формула (вариационный принцип) Лакса-Олейник. В работах Я.Г. Синая и др. [57, 9] этот вариационный принцип был обобщен на случай некоторых систем квазилинейных уравнений.

В настоящей диссертации рассматриваются математические модели, встречающиеся в теории нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии («модель прилипания»), физике твердого тела (обобщенная модель одномерного кристалла Френкеля-Конторовой) и теории динамических систем. Общей чертой рассматриваемых моделей является сведение моделей к квазилинейным уравнениям или системам уравнений и использование обобщенных вариационных принципов для представления их решений. Решены некоторые задачи, связанные с использованием обобщенных вариационных принципов для представления решений квазилинейных и нелинейных уравнений и систем описанного выше вида.

В первой части диссертации, охватывающей две главы, вариационный принцип Лакса-Олейник применяется для построения решений уравнения Гамиль-тона-Якоби с периодическим по £ и х гамильтонианом, обладающих специальным свойством периодичности — решений с периодическим градиентом, и исследования свойств последних. Показана связь теории таких решений с современными разделами теории динамических систем (теорией Обри-Мезера), приводящая к плодотворному взаимодействию данных разделов математики. Обсуждается также связь полученных результатов с математической теорией усреднения и теорией основных состояний обобщенной модели одномерного кристалла Я.И. Френкеля и Т.А. Конторовой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соболевский, Андрей Николаевич, 1999 год

Литература

[1] Акиншин Л.Г., Лоскутов А.Ю., Соболевский А.Н. Динамика бильярдов с периодически зависящими от времени границами // Теор. мат. физ. (в печати).

[2] Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: ИЛ, 1960.

[3] Вольперт А.И. Пространства BV и квазилинейные уравнения // Мат. Сборник. — 1967. — Т. 73, вып. 2. — С. 255-302.

[4] Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // УМН. — 1959. — Т. 14, вып. 2. — С. 87-158.

[5] Гурбатов С.Н., Саичев А.И. Вероятностные распределения и спектры потенциальной гидродинамической турбулентности // Известия вузов, сер. радиофиз. — 1984. — Т. 27, вып. 4. — С. 456-468.

[6] Гуревич A.B., Зыбин К.П., Медведев Ю.В. Джинсовская неустойчивость в холодном бездиссипативном веществе. Нелинейная теория. — Препринт ФИ РАН им. П.Н. Лебедева. — Москва, 1994.

[7] Гуревич A.B., Зыбин К.П., Медведев Ю.В. Нелинейная теория джинсов-ской неустойчивости в холодном бездиссипативном веществе // ЖЭТФ. — 1993. — Т. 104, вып. 4. — С. 3369-3386.

[8] Дудников П.И., Самборский С.Н. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией. — Препринт ИМ АН УССР. — Киев, 1987. — N. 87-48.

[9] Вейнан И, Рыков Ю.Г., Синай Я.Г. Вариационный принцип Лакса-Олейник для некоторых одномерных систем квазилинейных уравнений // УМН. — 1995. — Т. 50, вып. 1. — С. 193-194.

[10] Калашников A.C. Построение обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка без условия выпуклости как пределов решений параболических уравнений с малым параметром // Доклады АН СССР — 1959. — Т. 127, вып. 1. — С. 27-30.

[11] Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. I // ЖЭТФ. — 1938. — Т. 8., вып. 1. — С. 89-95.

[12] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. Сборник. — 1970. — Т. 81, вып. 2. — С. 228-255.

[13] Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными. 4.2. — М.: Изд-во МГУ, 1970.

[14] Кружков С.Н., Петросян Н.С. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для нелинейных уравнений первого порядка // УМН. — 1987. — Т. 42, вып. 5. — С. 3-40.

[15] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2. — М., Л.: ГИТТЛ, 1951.

[16] Ладыженская О.Г. О построении разрывных решений квазилинейных уравнений как пределов решений соответствующих параболических уравнений при стремлении «коэффициентов вязкости» к нулю // Доклады АН СССР — 1956. — Т. 111, вып. 2. — С. 291-294.

[17] Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1994.

[18] Немыцкий В.В., Степанов B.B. Качественная теория дифференциальных уравнений. — M.-JL: Гостехиздат, 1947.

[19] Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // УМН. — 1957. — Т. 12, вып. 3. — С. 3-73.

[20] Олейник O.A. О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости» // УМН. — 1959. — Т. 14, вып. 2. — С. 160-164.

[21] Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // УМН. — 1959. — Т. 14, вып. 2. — С. 165-170.

[22] Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.: Наука, 1969.

[23] Погорелов A.B. Многомерное уравнение Монжа-Ампера det Ц^Ц = ф(г 1,... ,zn,z,x 1,... ,хп). — М.: Наука, 1988.

[24] Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. — М.: Мир, 1989.

[25] Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. — М.: Наука, 1978.

[26] Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

[27] Синай Я.Г. Математическая теория фазовых переходов. — М.: Наука, 1981.

[28] Соболевский А.Н. Метод исчезающей вязкости для одномерных систем квазилинейных уравнений типа газовой динамики без давления // Доклады РАН. — 1997. — Т. 356, вып. 3. — С. 310-312.

[29] Соболевский А.Н. О периодических решениях уравнения Гамильтона-Якоби с периодической силой // УМН. — 1998. — Т. 53, вып. 6. — С. 265266.

[30] Соболевский А.Н. Периодические решения уравнения Гамильтона-Якоби с периодической неоднородностью и теория Обри-Мезера // Мат. Сборник. — 1999.

[31] Соболевский А.Н. Обобщенные решения уравнения Гамильтона-Якоби с периодическим градиентом. — В кн.: Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования. Труды международной конференции, посвященной 75-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л. Д. Кудрявцева. — Т. 2. — М.: Издательство РУДН им. П. Лумумбы, 1998. — С. 152-157.

[32] Флорин В.А. Некоторые простейшие нелинейные задачи консолидации во-донасыщенной земляной среды // Известия АН СССР, отд. техн. наук. — 1948. — Вып. 9. — С. 1389-1397.

[33] Яковенко С.Ю. Неподвижные точки полугруппы операторов Беллмана и инвариантные многообразия гамильтоновых субдифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. — 1989. — вып. 6. — С. 43-52.

[34] Яковенко С.Ю. О понятии бесконечной экстремали в стационарных задачах динамической оптимизации // ДАН СССР — 1989. — Т. 308, вып. 4. — С. 798-802.

[35] Aubry S. The twist map, the extended Frenkel-Kontorova model and the devil's staircase // Physica D. — 1983. — V. 7, N. 1-3. — P. 240-258.

[36] Aubry S., Le Daeron P.Y. The discrete Frenkel-Kontorova model and its extensions. I: Exact results for the ground states // Physica D. — 1983. — V. 8, N. 3. — P. 381-422.

[37] Bangert V. Mather sets for twist maps and geodesies on tori // Dynamics Reported. — 1988. — V. 1. — P. 1-45.

[38] Bangert V. Minimal geodesies // Ergod.Th. and Dynam. Syst. — 1989. — V. 10, N. 2. — P. 263-286.

[39] Birkhoff G.D. Quelques théorèmes sur les mouvements des systèmes dynamiques // Bull. Soc. Math, de France. — 1912. — V. 40.

[40] Birkhoff G.D. On the periodic motion of dynamical systems // Acta Math. — 1927. — V. 50. — P. 359-379.

[41] Grenier E. Existence globale pour le système des gaz sans pression // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math. — 1995. — V. 321, N. 2. — P. 171-174.

[42] Brenier Y., Grenier E. On the model of pressureless gases with sticky particles. — Preprint, 1995.

[43] Cannarsa P., Mennucci A., Sinestrari C. Regularity resuts for solutions of a class of Hamilton-Jacobi equations // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1997. — V. 140., N. 2. — P. 197-223.

[44] Carnevale G.F., Pomeau Y., Young W.R. Statistics of ballistic agglomeration. — Phys. Rev. Letters. — 1990. — V. 64, N. 24. — P. 2913.

[45] Cesari L. Optimization: Theory and applications. — New York etc.: Springer, 1983.

[46] Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Reports — 1979. — V. 52. — P. 263-379.

[47] Cole J. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics // Q. Appl. Math. — 1951. — V. 9. — P. 225-236.

[48] Conway E., Hopf E. Hamilton's theory and generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equation // J. Math. Mech. — 1969. — V. 13. — P. 939986.

[49] Conway E., Smoller J. Global solutions of the Cauchy problem for quasilinear first-order equations in several space variables // Comm. Pure Appl. Math. — 1966. — V. 19. — P. 95-105.

[50] Crandall M., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — V. 277, N. 1. — P. 1-42.

[51] Crandall M., Ishii H., Lions P.L. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. — 1992. — V. 27, N. 1. — P. 1-67.

[52] Dafermos C. Generalized characteristics and the structure of solutions of hyperbolic conservation laws // Indiana Univ. Math. J. — 1977. — V. 26 — P. 1097-1119.

[53] Douglis A. An ordering principle and generalized solutions of certain quasilinear partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. — 1959. — V. 12. — P. 87-112.

[54] E Weinan A class of homogenization problems in the calculus of variations // Comm. Pure Appl. Math. — 1991. — V. 44, N. 8-9. — P. 733-759.

[55] E Weinan Aubry-Mather theory and periodic solutions of the forced Burgers equation // Comm. Pure Appl. Math. — In print.

[56] E Weinan, Khanin K., Mazel A., Sinai Ya. Invariant measures for the random forced Burgers equation. — Preprint, 1997.

[57] E Weinan, Rykov Yu.G., Sinai Ya.G. Generalized variational principles, global weak solutions, and behavior with random initial data for

systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics // Comm. Math. Phys. — 1996. — V. 177. — P. 349-380.

[58] Fleming W.H., Soner H.M. Controlled Markov processes and viscosity solutions // Applications of Mathematics. — V. 25. — New York etc.: Springer Verlag, 1993.

[59] Gurbatov S.N., Malakhov A.N., Saichev A.I. Nonlinear random waves and turbulence in nondispersive media: Waves, rays, particles. — Manchester: Manchester Univ. Press, 1991.

[60] Hedlund G.A. Geodesies on two-dimensional Riemann manifold with periodic coefficients // Ann. of Math. — 1932. — V. 33. — P. 719-739.

[61] Hopf E. The partial differential equation ut + uux = ßuxx // Comm. Pure Appl. Math. — 1950. — V. 3., N. 3. — P. 201-230.

[62] Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers' equation // J. Math. Kyoto Univ. — 1974. — V. 14, N. 1. — P. 129-177.

[63] Jauslin H.R., Kreiss H.O., Moser J. On the forced Burgers equation with periodic boundary conditions. — Preprint, 1997.

[64] Kolokoltsov V.N., Maslov V.P. Idempotent analysis and applications. — Dordrecht: Kluver Academic Publishers, 1997.

[65] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws II // Comm. Pure Appl. Math. — 1957. — V. 10. — P. 537-566.

[66] Lax P.D. Shock waves and entropy. In: Contributions to nonlinear functional analysis. E.H. Zarantonello (ed.). — New York: Academic Press, 1971. — P. 603-634.

[67] Lions P.-L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations // Research Notes in Math. — V. 69. — Boston etc.: Pitman, 1982.

[68] Lions P.-L., Papanicolaou G., Varadhan S.R.S. Homogenization of Hamilton-Jacobi equation. — Preprint, 1987.

[69] Lions P.-L., Perthame B., Tadmor E. Kinetic formulation of the isentropic gas dynamics and p-systems // Commun. Math. Phys. — 1994. — V. 163. — P. 415-431.

[70] Mather J. Existence of quasiperiodic orbits for twist homeomorphisms of the annulus // Topology. — 1982. — V. 21, N. 4. — P. 457-467.

[71] Mather J.N. Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems // Math. Zeitschrift. — 1991. — V. 207, N. 2. — P. 169207.

[72] Mather J., Forni G. Action minimizing orbits in Hamiltonian systems // Lecture Notes in Math. — V. 1589. — Berlin etc.: Springer, 1994.

[73] Morse M. A fundamental class of geodesies on any closed surface of genus greater than one // Trans. Amer. Math. Soc — 1924. — V. 26, N. 1. — P. 25-60.

[74] Moser J. On the construction of almost periodic solutions for ordinary differential equations. — In: Proc. Int. Conference on Functional Analysis and Related Topics, Tokyo 1969. — Tokyo: University of Tokyo Press, 1970. — P. 60-67.

[75] Noullez A., Vergassola M. A fast Legendre transform algorithm and its application to the adhesion model //J. Sci. Comput. — To appear.

[76] Percival I.C. A variational principle for invariant tori of fixed frequency // J. Phys. A: Mathem. and Gen. — 1979. — V. 12, N. 3. — P. 57.

[77] Percival I.C. Variational principles for invariant tori and cantori // Symp. on Nonlinear Dynamics and Beam-Beam Intercations. — 1980. — N. 57. — P. 310320.

[78] Serre D. La compacité par compensation pour les systèmes hyperboliques non linéares de deux équations a une dimension d'espace // J. Math. Pures et Appl. — 1986. — V. 65. — P. 423-468.

[79] Sinai Ya.G. Statistics of shocks in solutions of inviscid Burgers equation // Comm. Math. Phys. — 1992. — V. 148. — P. 601-622.

[80] Smoller J. Shock waves and reaction-diffusion equations. — Berlin etc.: Springer, 1983.

[81] Shandarin S.F., Zeldovich Ya.B. The large-scale structure of the Universe: turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium // Rev. Mod. Phys. — 1989. — V. 61. — P. 185-220.

[82] Sobolevsky A. A fast algorithm for the 2D system of gas dynamics without pressure. TRITA-PDC report 1997:2. — Stockholm: Center for Parallel Computers, Royal Institute of Technology, 1997.

[83] Sobolevskiï A.N. Aubry-Mather theory and idempotent eigenfunctions of Bellman operator // Communications in Modern Math. — 1999.

[84] Tartar L. Compensated compactness and applications to partial differential equations. In: Research Notes in Math., Nonlinear Analysis and Mechanics (Heriott-Watt Symposium, 4). — Boston etc.: Pitman, 1979.

[85] Tonelli L. Fondamenti di calcolo delle variazioni. V. 1 e 2. — Torino: Zanichelli, 1921-1923.

[86] Vergassola M., Dubrulle B., Frisch U., Noullez A. Burgers' equation, devil's staircases and the mass distribution for large-scale structures // Astron. and Astrophys. — 1994. — V. 289. — P. 325-356.

[87] Zeldovich Ya.B. Graviational instability: an approximate theory for large density perturbations // Astron. and Astrophys. — 1970. — V. 5. — P. 84-89.