Динамика частиц в вязкой жидкости в быстропеременных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Коновалова, Наталья Ивановна

• Коновалова, Наталья Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коновалова, Наталья Ивановна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ЧАСТИЦАМИ.

1.1. Постановка задачи о нестационарном течении вязкой жидкости с частицами.

1.2. Метод решения.

1.3. Обтекание двух частиц одинакового радиуса нестационарным однородным потоком вязкой жидкости.

1.4. Нестационарное вращение двух частиц одинакового радиуса в вязкой жидкости.

1.5. Обтекание двух частиц произвольного радиуса нестационарным однородным потоком вязкой жидкости.

1.6. Нестационарное вращение двух частиц различных радиусов в вязкой жидкости

1.7. Общее решение для произвольного числа частиц.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ.

2.1. Силы и моменты, действующие на две частицы одинакового радиуса.

2.2. Силы и моменты, действующие на частицы произвольного радиуса

2.3. Динамика частиц в нестационарном потоке.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПЕРЕМЕННОМ

МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

3.1. Взаимодействие частиц и процессы агрегации в магнитной жидкости.

3.2. Постановка задачи о движении частиц в вязкой жидкости в переменном магнитном поле.

3.3. Динамика частиц в переменном магнитном поле.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика частиц в вязкой жидкости в быстропеременных полях»

В последние годы все больший интерес представляет моделирование динамики системы жидкость-частицы. Это связано как с многочисленными приложениями, в которых требуется применение таких моделей, так и с возросшими возможностями компьютерных технологий, позволяющими дальше развивать численные методы моделирования. Одна из задач, возникающих при моделировании, таких сред, это определение сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости.

Как известно, рассмотрение движения» одиночной частицы в неограниченной жидкости было выполнено еще Стоксом [104]. В дальнейшем были решены задачи обтекания частиц различными потоками [26], задачи движения несферических частиц [3,24,45,73,75].

Моделирование взаимодействия и движения двух и более частиц в вязкой жидкости оказалось более сложной1 задачей. В разное время предлагались разные подходы к этой задаче. Метод отражений, впервые предложенный Smoluchowski [130], получивший дальнейшее развитие в работах Faxen [25]', Kynch [50], Wakia [73], заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод отражений позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о < взаимодействии одной частицы и плоской стенки. Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.

Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной задачей, было развито несколько частных методов. Stimson и Jeffrey [69], используя биполярные координаты, получили точное решение для двух частиц, движущихся вдоль их линии центров. Gluckman [30, 31] развил процедуру моделирования осесимметричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров. Leichtberg и др. [68] рассматривали проблемы устойчивости соосного движения группы частиц.

В ряде работ [23, 27, 28, 42, 44, 46] (Ganatos, Kim, Schmitz и др.) рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В -результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Были найдены некоторые особенности решения, например, Batchelor [5] определил, при каком расстоянии между центрами двух одинаковых частиц достигается минимум сопротивления при-движении этих частиц перпендикулярно линии центров.

Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. > Были предложены различные способы, как это можно сделать [22, 29, 34, 61, 67, 70-72]. Hocking [35] смог объяснить многие наблюдаемые эффекты, например, периодичность.движения четырех частиц, расположенных в виде квадрата, что достаточно удивительно, особенно если учесть то, что он использовал достаточно слабую вычислительную базу и, как. следствие, был вынужден сделать явные упрощения. Batchelor с помощью статистических методов активно развивал метод парных взаимодействий" [4, 7, 8], что позволило ему определять средние свойства суспензии, в которой случайно распределены частицы. Этот метод непосредственно . использует решение задачи о взаимодействии двух частиц и целиком основан на предположении о маловероятности события, что три и более частицы окажутся поблизости друг от друга. Вследствие этого предположения его результаты оказались применимы только для слабоконцентрированных суспензий.

Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlof-sky [10-20] с самого начала использовался как, главным образом, численный метод. Процедура расчета этим методом основана на представлении многочастичных взаимодействий суммой парных и учете результатов теории смазки с последующим вычислением сил, действующих со стороны жидкости. Метод стоксовой динамики продолжает развивается и в настоящее время.

Одним из интенсивно развивающихся является метод решеточного уравнения Больцмана, используемый в работах Ladd, Verberg [51, 52] и Nourgaliev, Dinh, Theofanous, Joseph [54]. В1 нем предполагается, что жидкость состоит из микрочастиц (их размер превышает размеры молекул, но меньше размеров частиц взвеси), расположенных в узлах некоторой правильной решетки и образующих решеточный газ. Для описания динамики решеточного газа используется кинетическое уравнение Больцмана [77]. Это довольно общий метод, позволяющий кроме описания течения жидкости при малых числах Рейнольдса описывать процессы переноса тепла, описывать обтекание тел со сложной геометрией. Минусом этого метода является его сложность.

В связи с интенсивным развитием компьютерных -технологий большое значение- имеет численное моделирование [53, 129], позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло, диссипативных частиц (см., например, обзор Урьева и Кучина [128]). Метод конечных элементов (например, работы Ни [39], Behr [9]) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рейнольдса, а не только при малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц трудной задачей, так как требует большого объема вычислений.

В некоторых работах уравнения Стокса переформулируются, и дифференциальные соотношения заменяются интегральными [48, 86]. Это позволяет построить гладкое решение уравнений и снизить вычислительные затраты.

Для учета гидродинамического взаимодействия применяются также различные варианты метода точечных (или индуцированных) сил (Mazur, van Saarlos [61], Saffman [63]), в которых частицы заменяются точечными силами, действующими в их центрах. Различия могут заключаться в виде граничных условий и форме представления точечных сил.

Иногда численные методы применяются вместе с известными аналитическими решениями более простых модельных задач. Например, использование решения Ламба сочетается с методом коллокации.

Таким образом, не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа частиц. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа частиц, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.

Интерес к этой тематике связан и с теоретическими проблемами построения моделей на основе получения зависимости средних параметров системы, в том числе сил и моментов, действующих со стороны жидкости на частицы, от объемной концентрации частиц в степени выше первой [38,41].

Вопрос о том, можно ли получить выражения для такого рода сил путем усреднения выражений, полученных из решения задач о двух или нескольких взаимодействующих частиц как в стационарных, так и нестационарных потоках, один из актуальных в проблеме построения моделей многофазных сред. Так известно [127], что для стационарных течений в приближении Стокса и Озеена скорость затухает на бесконечности как Х~ъ, где X — расстояние от центра частицы до точки, в которой определяется скорость. Для стационарного течения Навье-Стокса оценки дают асимптотику в виде Х~к, где к < 2. Таким образом, из этих оценок видно, что простое суммирование возмущений от каждой частицы приводит к расходящимся рядам для большого число частиц и получить средние выражения для сил не представляется возможным. В-работах [109,111] показано, что решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что хотя уравнения и граничные условия линейные, однако, граничные условия для,скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Это означает, что для получения общего решения необходимо ^ учитывать вклад каждой частицы. С учетом того, что для реальных систем жидкость-частицы таких, как, например, суспензии, число частиц в единице t i объема смеси имеет порядок 1012 - 1018, то возникает принципиальный г вопрос о возможности получить как решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц, так и усредненные уравнения движения системы жидкость-частицы.

Для стационарных и квазистационарных потоков в работах [109, 111, 112] развит метод, позволяющий учитывать гидродинамическое к i взаимодействие произвольного конечного числа частиц в потоках, скорость которых далеко от частиц есть полином произвольной .степени от координат, г Метод основан на представлении решения задачи в виде мультипольного разложения с тензорными коэффициентами. Метод не требует больших вычислительных затрат (все числовые значения параметров могут быть найдены на персональном компьютере с хорошей точностью) и реализуется в любой проблемно-ориентированной системе например, Ма^ета^са. На его основе в работах [76, 116] разработаны и программно реализованы методы по расчету взаимодействий большого числа частиц в облаке и бесконечного числа частиц в периодической решетке произвольной симметрии. Результаты работы [76] свидетельствуют, что динамика частиц в облаке имеет сложный характер: скорость частиц внутри облака больше, чем не его краю. Это приводит к относительному движению частиц внутри облака и его деформации в результате гидродинамического взаимодействия. Однако средние кинематические характеристики частиц, в облаке таковы, что они практически не зависят от конфигурации облака, а их зависимость от числа взаимодействующих частиц такова, что асимптотические значения достигаются уже при учете только, примерно, несколько сот взаимодействующих частиц. Это означает, что для корректного учета вклада взаимодействия частиц в выражения для средних характеристик смеси оказывается достаточным учитывать вклад не всех частиц, а только части, причем учитываемых число частиц имеет разумные для численного счета значения. В работе [116] найдены усредненные по объему смеси уравнения движения смеси, нелинейно зависящие от объемной концентрации частиц.

Другой проблемой, активно изучаемой в моделировании дисперсных систем, является образование структур из частиц. Как известно, в суспензии существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить электрические силы, обусловленные наличием зарядов на частицах. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании столкновений и миграции частиц в жидкости. В результате действия сил притяжения между частицами возможна коагуляция с образованием более крупных агрегатов, с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в суспензии. Изменение агрегативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства суспензии, что важно для практических приложений.

Нестационарные процессы играют важную роль в динамике системы жидкость-частицы [87,123]. В случае идеальной жидкости моделирование взаимодействия частиц проводилось в работах [78, 103]. В этом случае граничные условия на поверхности частиц удовлетворяют условиям непротекания жидкости внутрь частиц (условия в форме Неймана). При моделировании взаимодействия в вязкой жидкости необходимо учитывать нестационарные слагаемые в уравнениях движения вязкой жидкости и условия прилипания жидкости на поверхности частиц (условия в форме Дирихле). Для. одиночной сферы решение задачи в приближении малых чисел Рейнольдса приведено в [104]. Осциллирующее движение плоскости или полуплоскости относительно неподвижной плоскости рассмотрено в работах [117, 118]. В двумерном случае движение одной поверхности относительно другой рассмотрено в работе [88]. Учет гидродинамического взаимодействия п частиц значительно усложняет задачу. Имеются различные подходы к решению такого рода задач [1,21,66], в которых, в том числе, рассматривается влияние нестационарности на коэффициенты в выражениях для присоединенных масс, сил вязкого сопротивления и Бассэ для эмульсии.

Между тем, подход аналогичный тому, что использован в работах [109,111,112] может быть применен и для решения задачи нестационарного обтекания большого числа частиц в приближении малых чисел Рейнольдса. При этом, в силу линейности уравнений, решение задачи об обтекании п частиц так же, как и в стационарном случае можно представить, как сумму возмущений от каждой частицы при наличие остальных, где суммирование берется по всем частицам из заданной конфигурации.

В силу сказанного выше представляет интерес рассмотреть задачу о взаимодействии двух частиц в нестационарном потоке и исследовать влияние гидродинамического взаимодействия как па асимптотику возмущений вдали от частиц, так и на динамику самих частиц в результате взаимодействия в потоке и возможности образования устойчивой структуры из частиц. Решение задачи позволяет найти силы и моменты, действующие на частицы со стороны жидкости, и провести анализ возможности получения прямым усредненных выражений для сил и моментов, действующих в системе жидкость-частицы, с точностью до слагаемых по объемной концентрации частиц в степени выше первой. Кроме того, решение этой задачи дает способ представления решения задачи для случая произвольного конечного числа частиц. Ниже дается- постановка задачи и асимптотическое решение для частиц одинакового радиуса.

В третьей главе диссертации рассмотрена математическая модель взаимодействия- частиц, обладающих дипольным моментом и помещенных в вязкую жидкость, во внешнем магнитном или электрическом поле. Примером двухфазной среды, имеющей сильное взаимодействие с магнитным полем, служит магнитная жидкость. Так как магнитные свойства несущей и диспергированной фаз, вообще говоря, различны, то взаимодействие каждой фазы-с магнитным полем происходит различным образом.

Одна из важнейших задач при моделировании поведения таких сред состоит в определении сил, действующих со стороны магнитного поля на каждую из фаз. В работах [33, 83-85, 106, 119-122] находилась сила, действующая на несущую и диспергированную фазы со стороны магнитного поля. Учитывалась зависимость магнитной проницаемости всей смеси от концентрации частиц или магнитной проницаемости несущей фазы от температуры. Основой для таких вычислений служила задача о взаимодействии с магнитным полем одной частицы, помещенной в жидкость носитель. Средняя сила, действующая на единицу объема диспергированной фазы, считалась равной произведению этой силы на число частиц в единице объема смеси. Магнитное взаимодействие частиц при этом не учитывалось. Однако такое взаимодействие частиц приводит к изменению силы, действующей на каждую частицу в объеме, и, следовательно, к изменению средней силы, действующей на единицу объема диспергированной фазы. Кроме того, одним из эффектов взаимодействия с магнитным полем, является структурирование в магнитной жидкости, что приводит к изменению ее свойств [55-60, 82, 107, 108, 110, 126]. Механизмом, отвечающим за такое структурирование, является магнитное взаимодействие частиц. Например, взаимодействие частиц обладающих постоянным магнитным моментом. Такое взаимодействие называется диполь-дипольным. Известно выражение для энергии взаимодействия двух частиц, обладающих дипольным моментом [105]. Влияние внешнего магнитного поля при этом сводится к изменению ориентации вектора магнитного момента каждой частицы, и, следовательно, к изменению сил и моментов, действующих меду частицами. Аналогичное взаимодействие существует между поляризованными частицами в электрическом поле. При изучении агрегации частиц в магнитной жидкости и используются различные методы [89-94], но все они учитывают только магнитное взаимодействие. Влияние гидродинамического взаимодействия в стационарном и квазистационарном внешнем магнитным полем рассмотрено в работе [79]. В диссертации решена задача о динамике двух магнитных частиц во внешнем переменном однородном магнитном, помещенных в неограниченный объем вязкой жидкости. Учитывается как гидродинамическое так и магнитное взаимодействие частиц. Получены, что в быстропеременном однородном магнитном поле происходит удаление частиц- друг от друга при любых их ориентациях.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Коновалова, Наталья Ивановна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены задачи моделирования взаимодействия частиц в нестационарном потоке вязкой жидкости. Основные результаты работы таковы:

• Построена математическая модель, описывающая взаимодействие частиц в нестационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Учитываются нестационарные члены в уравнениях движения жидкости и частиц. В рамках модели получены выражения для сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости.

• Проведено численное моделирование динамики частиц в нестационарном однородном потоке с учетом их гидродинамического взаимодействия. Обнаружено, что у частиц отсутствует вращение-и траектории их движения существенно зависят от отношения их радиусов. Показано, что в нестационарном потоке в результате гидродинамического взаимодействия частицы удаляются друг от друга. Такой результат отличается от результатов по обтеканию частиц нестационарным потоком идеальной жидкости, в котором возможно сближение частиц.

• Предложена математическая модель, описывающая динамику магнито-дипольных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле

I с учетом их гидродинамического взаимодействия. На основе этой модели получены результаты численного моделирования динамики дипольных частиц во внешнем магнитном поле. Рассматривались случаи одномерного и плоского (вращающегося) магнитного поля. Во всех этих случаях найдено, что частицы не могут сблизиться и образовать агрегаты в результате взаимодействия. Это позволяет предположить, что можно исследовать магнитные жидкости в магнитном поле, частота которого такова, что не способствует образованию агрегатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коновалова, Наталья Ивановна, 2009 год

1. Analysis of drag and virtual mass forces in bubblly suspensions using an implicit formulation of the lattice Boltzmann method / K. Sankeranarayanan, X. Shan, I.G. Kevrekidis, S. Sundaresan // Journal of Fluid Mechanics. -2002. V. 452. - P. 61-96.

2. Batchelor G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967. - 631 p.

3. Batchelor G.K. Slender-body theory for particles of arbitrary cross-section in Stokes flow / Batchelor G.K. // Journal of Fluid Mechanics-1970. -V. 44. P. 419-440.

4. Batchelor G.K. Sedimentation in Dilute Dispersion of Spheres / Batchelor G.K. // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 52, pt. 2 - P. 245-268.

5. Batchelor G.K. The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 2. - P. 375-400.

6. Batchelor G.K. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order c2 / G.K. Batchelor, J.T. Green // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 56, pt. 3. - P. 401-427.

7. Batchelor G.K. Sedimentation in Dilute Polydisperse System of Interacting Spheres. Part 1. General theory // Journal of Fluid Mechanics. 1982. -V. 119. - P. 379-408.

8. Batchelor G.K. Sedimentation in dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results / Batchelor G.K., Wen C.S. // Journal of Fluid Mechanics. 1982. - V. 124. - P. 495-528.

9. Behr M. Finite element solution strategies for large-scale flow simulations / M. Behr, T. E. Tezduyar // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1994. -V. 112. - P. 3-24.

10. Bossis G. Dynamic simulation of sheared suspensions. I. General Method / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1984. - V. 80. -P. 5141-5154.

11. Bossis G. Self-diffusion of Brownian particles in concentrated suspensions under shear / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1987. - V. 87. - P. 5437-5448.

12. Bossis G. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting particles / L. Durlofsky, J.F. Brady and G. Bossis // Journal of Fluid Mechanics. -1987. V. 180. - P. 20-49.

13. Bossis G. Shear-induced structures in colloidal suspensions. I. Numerical simulation / Bossis G., Brady J.F., Mathis C. // Journal of Colloidal Interface Science. 1988. - V. 126. - P. 1-15.

14. Bossis G. Stokesian dynamics / J.F. Brady, G. Bossis // Annual Review of Fluid Mechanics 1988. - V. 20. - P. 111-157.

15. Bossis G. The rheology of Brownian suspensions / Bossis G., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1989. - Vol. 91. - P. 1866-1874.

16. Bossis G. Diffusion and rheology in concentrated suspensions by Stokesian dynamics /Bossis G., Brady J.F. // Hydrodynamics of Dispersed Media. -Elsevier, 1990.

17. Bossis G. Hydrodynamic stress on fractal aggregates of spheres / Bossis G., Meunier A., Brady J.F. // Journal of Chemical Physics. 1991. - V. 94. -P. 5064-5070.

18. Brady J.F. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation /Brady J.F., Bossis G. // Journal of Fluid Mechanics. 1985. - V. 155. - P. 105-129.

19. Brady J.F. The sedimentation rate of disordered suspensions /Brady J.F., Durlofsky L.J. // Physics of Fluids. 1988. - V. 31. - P. 717-727.

20. Brady J.F. Dynamic simulation of hydrodynamically interacting suspensions / Brady J.F., Phillips R.J., Lester J.C. // Journal of Fluid Mechanics.- 1988. V. 195. - P. 257-280.

21. Chang C.-C. Potential flow and forces for incompressible viscous flow / Chien-Cheng Chang // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 1992. - V. 437, N 1901. - P. 517-525.

22. Chwang A.T. Hydromechanics of low Reynolds-number flow. Part 2. Singularity method for Stokes flows / Chwang A.T., Wu Y.T. // Journal of Fluid Mechanics. 1976. - V. 67(4). - P. 787-815.

23. Cichocki B. Hydrodynamic interactions between two spherical particles / Ci-chocki B., Felderhof B.U., Schmitz R. // Physico Chemical Hydrodynamics.- 1988. V. 10. - N 3.

24. Cox R.G. The steady motion of a particle of arbitrary shape at small Reynolds numbers /Cox R.G. // Journal of Fluid Mechanics. 1965. -V. 23. - P. 625-643.

25. Faxen H. Gegenseitige Einwirkung zweier Kugelen, die in einer zàhen fliissigkeit fallen /Faxen H. /Arkiv for Matematik, Astronomi och Itysik.- 1925. V. 19. - P. 1-8.

26. Felderhof B.U. Creeping flow about a spherical particle / Felderhof B.U., Schmitz R. // Physica. 1982. - V. 113A. - P. 90.

27. Felderhof B.U. Mobility matrix for two spherical particles with hydrodynam-ic interaction / Schmitz R., Felderhof B.U. // Physica. 1982. - V. 116A.- P. 163.

28. Ganatos P. A numerical-solution technique for three-dimensional Stokes flow, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane / Ganatos P., Pfeffer R., Wrinbaum S. // Journal of Fluid Mechanics.- 1978. V. 84. - P. 79-111.

29. Glowinski R. Distributed Lagrange multiplier methods for incompressible viscous flow around moving rigid bodies / Glowinski R., Pan T. W., Peri-aux J.// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. -V. 151. - P. 181-194.

30. Gluckman M.J. A new technique for treating multiparticle slow viscous flow: axisymmetric flow past spheres and spheroids /Gluckman M.J., Pfeffer R., Weinbaum S. // Journal of Fluid Mechanics. 1971. - V. 50. - P. 705-740.

31. Gluckman M.J. Axisymmetric slow viscous flow past an arbitrary convex body of revolution /Gluckman M.J., Weinbaum S., Pfeffer R. // Journal of Fluid Mechanics. 1972. - V. 55. - Part 4. - P. 677-709.

32. Gogocov V.V. Hydrodynamics of dispersive magnetizable media including Brown motion / Gogocov V.V., Naletova V.A., Shaposhnikova G.A. // IEEE Tnans, Mag. 1980.- V. 16, N 2. - P. 301-308.

33. Gogocov V.V. New phenomena in barbotage and sedimentation in magnetic fluid / Gogocov V.V., Naletova V.A., Shaposhnikova G.A. // IEEE Tnans, Mag. 1980.- V. 16, N 2. - P. 226-232.

34. Hassonjee Q. Behavior of multiple spheres in shear and poiseuille flow fields at low Reynolds number / Hassonjee Q., Pfeffer R., Ganatos P. // International Journal of Multiphase Flow. 1992. - V. 18. - N 3. - P. 353-370.

35. Hocking L.M. The behaviour of clusters of spheres falling in a viscous fluid. Part 2. Slow motion theory / Hocking L.M. // Journal of Fluid Mechanics. 1964. - V. 20. - P. 129-139.

36. Hoffman R.L. Discontinuous and Dilatant Viscosity Behavior in Concentrated Suspensions. I. Observation of a Flow Instability / R.L. Hoffman // Transactions of the Society of Rheology. 1972. - V. 16, N 1. - P. 155-173.

37. Hoffman R.L. Discontinuous and Dilatant Viscosity Behavior in Concentrated Suspensions. II. Theory and Experimental Tests / R.L. Hoffman // Journal of Colloid and Interface Science. 1974. - V. 46, N 3. - P. 491-506.

38. Hofman J.M.A. Effective viscosity of dense colloidal crystals / J.M.A. Hof-man, H.J.H. Clercx, P.P.J.M. Schram // Physical Review E. 2000. -V. 62, N 6. - P. 8212-8233.

39. Hu H.H. Direct simulation of flows of solid-liquid mixtures / Hu H.H. // International Journal of Multiphase Flow. 1996. - V. 22. - N 2. - P. 335352.

40. Hynninen A.-P. Effect of triplet interactions on the phase diagram of suspensions of charged colloids / Antti-Pekka Hynninen, Marjolein Dijkstra and Rene van Roij // Journal of Physics: Condensed Matter. 2003. - V. 15, N 48. - P. S3549-S3556.

41. Hynninen A.-P. Effect of three-body interactions on the phase behavior of charge-stabilized colloidal suspensions / A.-P. Hynninen, M. Dijkstra and R. van Roij // Physical Review E. 2004. - V. 69. - P. 061407-1-061407-8.

42. Jeffrey D.J. Calculation of the resistance and mobility functions for two unequal rigid spheres in low-Reynolds-number flow /Jeffrey D.J., Onishi Y. // Journal of Fluid Mechanics. 1984. - V. 139. - P. 261.

43. Jeffrey D.J. The Theological properties of suspensions of rigid particles / D.J. Jeffrey, A. Acrivos // AlChe Journal. 1976.- V.22, N 3. - P.417-432.

44. Jones R.B. Mobility matrix for arbitrary spherical particles in solution /Jones R.B., Schmitz R. // Physica. 1988. - V. 149A. - P. 373.

45. Juárez L.H. Numerical simulation of sedimentation of a tripole-like body in an incompressible viscous fluid / L.H. Juárez, R. Glowinski, B.M. Pettitt // Applied Mathematics Letter. 2002. - V. 15, N 3. - P. 743-747.

46. Kim S. The resistance and mobility functions of two equal spheres in low Reynolds-number flow / Kim S., Mifflin R.T. // Physics of Fluids. 1985. - V. 28. - P. 2033-2045.

47. Kim S. Sedimemtation of two arbitrarily oriented spheroids in a viscous fluid / Sangtae Kim // International Journal of Multiphase Flow. 1985. -V. 11, N 5. - P. 699-712.

48. Kim S. Towards ab Initio Simulations of Concentrated Suspensions / Sangtae Kim, Yuris O. Fuentes and Seppo J. Karilla // Journal of Statistical Physics. 1991. - V. 62, N 5/6. - P. 1197-1223.

49. Kim S. Three dimensional flow over two spheres placed side by side / Kim S., Elghobashi S, Sirignano W.A. // Journal of Fluid Mechanics. 1993. -V. 246. - P. 465-488.

50. Kynch G.L. The slow motion of two or spheres through a viscous fluid / Kynch G.L. // Journal of Fluid Mechanics. 1959. - V. 5. - P. 193-208.

51. Ladd A.J.С. Numerical Simulations of Particulate Suspensions via a Dis-cretized Boltzmann Equation. Part II. Numerical results / Anthony J.C. Ladd // Journal of Fluid Mechanics. 1994. - V. 271. - P. 311-339.

52. Ladd A. J.C. Lattice-Boltzmann Simulations of Particle-Fluid Suspensions / A.J.C. Ladd and R. Verberg // Journal of Statistical Physics. 2001. -V. 104, N 5/6. - P. 1191-1251.

53. Langtangen H.P. Numerical methods for incompressible viscous flow / Hans Peter Langtangen, Kent-Andre Masdal, Ragnar Winther // Advances in Water Resources. 2002. - V. 25. - P. 1125-1146.

54. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications / R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph // International Journal of Multiphase Flow. 2003: - V. 29. -P. 117-169.

55. Magnetic and elastic properties of a structured magnetic fluid / Naleto-va V.A., Kiryushin V.V., Turkov V.A., Shkel Y.M., Klinberberg D.J. // Magnetohydrodynamics. 2001. - V. 37, N 1-2. - P. 206-211.

56. Martinov S.I. Influence of interaction between perticles on the viscosity of a suspension / Martinov S.I. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo. - 1989. - N 4. - 7 p.

57. Martinov S.I. Viscosity of suspension: some aspects of the problem / Martinov S.I. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo. -1990. - N 1. - 7 p.

58. Martinov S.I. Dependendence of viscosity of a suspension on the farmation and destruction of aggregate in it / Martinov S.I. // Volume of Abstracts lsi Liquid Matter Conference Lion, France, 1990. - V 14. - A28.

59. Model of magnetizable elastic material / Naletova V.A., Turkov V.A., Shkel Y.M., Klinberberg D.J. // Journal of Magnetism and Madnetic Materials. 1999. - V. 202. - P. 570-573.

60. Saarloos W. van. Many-sphere hydrodynamic interactions II. Mobilities at finite frequencies / W. Van Saarloos and P. Mazur // Physica. 1983. -V. 120A. - P. 77-102.

61. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a shear flow. // Journal of Fluid Mechanics. 1965. - V. 22. - Pt. 2. - P. 385-400.

62. Saffman P.G. On the Settling Speed of Free and Fixed Suspensions / P.G. Saffman // Studies in Applied Mathematics. 1973. - V. 52, N 2. -P. 115-127.

63. Sangani A.S. Effective viscosity of an ordered suspension of small drops / Ashok S. Sangani, Wenqiang Lu // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1987. - V. 38. - P. 557-572.

64. Sangani A.S. Sedimentation in ordered emulsions of drops at low Reynolds numbers / Ashok S. Sangani // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1987. - V. 38. - P. 542-556.

65. Sangani A.S. The add mass, Basset, and viscous drag coefficients in nondilute bubbly liquids undergoing small-amplitude oscillatory motion /

66. A.S. Sagani, D.Z. Zhang, A. Prosperetti // Physics of Fluids. 1991. -V. A3. - P. 29551^-2970.

67. Sarrate J. Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation for fluid-rigid body interaction /Sarrate J., Huerta A., Donea J. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2001. - V. 190. - N 24-25. - P. 3171-3188.

68. Stimson M. The motion of two spheres in a viscous fluid / Stimson M., Jeffrey G.B. // Proc. Roy. Soc. 1926. - V. Alll. - P. 110.

69. Takanashi T. Existence of strong solutions for tyhe problem of a rigid-fluid system / Takanashi T. // Comptes-Rendus Mecanique. 2003. - V. 336. -N 5. - P. 453-458.

70. Tornberg A.-K. Simulating the dynamics and intercations of flexible fibers in Stokes flows / Tornberg A.-K, Shelley M.J. // Journal of Computational Physics 2004. - V. 196. - N 1. - P. 8-40.

71. Tran-Cong T. Stokes problems of multiparticle systems: a numerical method for arbitrary flows / Tran-Cong T., Phan-Thien N. // Physics of Fluids. -1989. V. Al. - P. 453-461.

72. Wakia S. Slow motion in shear flow of a doublet of two spheres in contact / Wakia S. // Journal of the Physical Society of Japan. 1971. - Vol. 31. -P. 1581-1587.

73. Wang W. Interaction between micro-particles in Oseen flows by the method of fundamental solutions / W. Wang, P.H Wen // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. - V. 32, N 4. - P. 318-327.

74. Youngren G.K. Stokes flow past a particle of arbitrary shape: a numerical method of solution / Youngren G.K., Acrivos A. // Journal of Fluid Mechanics. 1975. - V. 69. - P. 377-403.

75. Баранов B.E. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В.Е. Баранов, С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. -N 1. - С. 84-91.

76. Больцман JI. Лекции по теории газов / JI. Больцман ; пер. с нем. под ред. Б.И. Давыдова. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1953. -555 с. - (Классики естествознания).

77. Борискина И.П. Влияние гидродинамического взаимодействия на движение частиц в идеальной жидкости /И.П. Борискина, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. -2003. Т. 5, N 1. - С. 93-97.

78. Борискина И.П. Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле / И.П. Борискина // Вестник МГУ -Саранск: МГУ, 2003. е 4 -С. 20-23.

79. Борискина И.П. Моделирование процессов взаимодействия двух частиц в идеальной несжимаемой жидкости / Н.И. Коновалова, И.П. Борискина // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2006. - Т. 8, N 2. - С. 88-94.

80. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973. - 760 с.

81. Варламов Ю.Д. Исследование процессов структурообразования в магнитных жидкостях / Варламов Ю.Д., Каплун A.B. // Магнитная гидродинамика. 1983. - N 1. - С. 33-39.

82. Вислович А.Н. Взаимдействие твердых тел, взвешенных в магнитной жидкости, в однородном поле / Вислович А.Н., Лобко С.И., Лобко Г.С. // Магнитная гидродинамика. 1986. - N 4. - С. 43-51.

83. Вислович А.Н. Силы, действующие на пластину в магнитной жидкости в магнитном поле с экспоненциальной неоднородностью /Вислович А.Н., Сухоцкий A.B. // Извстия РАН. Механика жидкости и газа. 2001. - N 6. - С. 3-14.

84. Вислович А.Н. Внешнее и внутреннее взаимодействие сферических тел магнитной жидкости / Вислович А.Н., Гаранин В.Н., Бирич В.В. // Труды 10-й международной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 2002. С. 215-220.

85. Воинов О.В. Общие методы представления решений уравнений Стокса и метод расчета течений вязкой жидкости / О.В. Воинов // Доклады РАН. 2005. - Т. 405, N 5. - С. 625-629.

86. Волньг в жидкостях с пузырьками / A.A. Губайдулин, А.И. Ивандаев, Р.И. Нигматулин, Н.С. Хабеев // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ. -1982.- Т. 17. С. 160-249.

87. Выпов Г.П. Нестационарное движение вязкой несжимаемой' жидкости между близко расположенными движущимися поверностями / Г.П. Выпов // Известия высших учебных заведений. Математика. -1958. N 3(4).- С. 41-49.

88. Голубятников А.Н. Модельные возможности структурирования магнитных жидкостей / Голубятников А.Н. / / Труды 10-ймеждунарародной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 2002. С. 227-230.

89. Елфимова Е.А. Эффективная магнитная проницаемость агрегированной феррожидкости: влияние фрактальных агрегатов / Елфимова Е.А. // Труды 10-й междунарародной конференции по магнитным жидкостям.- Плес, 2002. С. 142-147.

90. Иванов А.О. Ориентационное упорядочение в феррожидкостях: приближение плотности функционала энергии и теория среднего поля // Труды 10-й междунарародной конференции по магнитным жидкостям. Плес. 2002. - С. 156-161.

91. Канторович С.С. Структуры цепочечных агрегатов в полидисперсных феррожидкостях / Канторович С.С. // Труды 10-й междунарародной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 2002. С. 51-55.

92. Кашевский Б.Э. Когерентные дисперсные структуры в магнитных суспензиях / Кашевский Б.Э. // Колл. журнал. 2003. - Т. 65, N 3. - С. 352-355.

93. Кашевский С.Б. Структурная самоорганизация монослоя частиц ферросуспензии в высокочастотном эллиптически поляризованном поле / Кашевский С.Б. // Колл. журнал. 2006. - Т. 68, N1.-0. 1-7.

94. Коновалова Н.И. Взаимодействие двух сфер в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2007. - Т. 9, N 2.-0. 120-125.

95. Коновалова Н.И. Движение двух сфер в нестационарном потоке вязкой жидкости / Н.И.' Коновалова, С.И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2008. - Т. 10, N 1. - С. 157-167.

96. Коновалова Н.И. Обтекание двух сфер нестационарным потоком вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Нелинейная динамика.- 2008. Т. 4, N 4. - С. 467-481.

97. Коновалова Н.И. Динамика магнитных частиц в потоке вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Труды 13-й междунарародной плесской конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям. -Плес, 2008. С. 81-86.

98. Коновалова Н.И. Нестационарное вращение двух сфер в вязкой жидкости // Материалы XIII Научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов МГУ им. Н.П. Огарева.: в 2 ч. Ч. 2: Естественные и технические науки. Саранск, 2008. - С. 124-126.

99. Коновалова Н.И. Динамика магнитных частиц в вязкой жидкости / Н.И. Коновалова, С.И. Мартынов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009.- N 3(11). С. 2-10.

100. Коновалова Н.И. Динамика дипольных частиц в нестационарных полях /Коновалова Н.И., Мартынов С.И. // Образование, наука и техника: XXI век. Сб. науч. ст. Выпуск. 7. Югорский гос. ун-т, г. Ханты-Мансийск, 2009 С. 66-67.

101. Дамб Г. Гидродинамика / Г. Ламб ; пер. с 6-го англ. изд. A.B. Гермогенова, В.А. Кудрявцева ; под ред. проф. H.A. Слезкина. М. ; Л. : ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1947. - 929 с.

102. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 736 с.

103. Ландау ЛД. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М. : Наука, 1982. - 620 с.

104. Мартынов С.И. Движение частицы в неоднородно нагретой намагничивающейся или поляризующейся жидкости / Мартынов С.И., Налетова В.А., Тимонин Г.А. // Современные проблемы электродинамики. М., МГУ, 1984. - С. 133-144.

105. Мартынов С.И. О вязкости магнитной жидкости / С.И. Мартынов // Тезисы докладов 5-ой Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. -Плес, 1983. С. 48-49.

106. Мартынов С.И. Влияние образования и разрушения агрегатов на вязкость магнитной жидкости / С.И. Мартынов // Магнитная гидродинамика. 1989. - N 1. - С. 47-52.

107. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. -1998. N 2. - С. 112-119.

108. Мартынов С.И. Агрегирование частиц и вязкость суспензии / С.И. Мартынов // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71, N 4. - С. 691-697.

109. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии / С.И. Мартынов. -Казань : Изд-во Казан, матем. о-ва, 1998. 135 с.

110. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. - N 1. - С. 84-91.

111. Мартынов С.И. Течение вязкой жидкости через периодическую решетку сфер / С.И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - N 6. - С. 48-54.

112. Мартынов С.И. Периодическая решетка твердых сфер в линейном потоке вязкой жидкости / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Прикладная математика и механика : сб. науч. тр. Ульяновск, 2004.- С. 172-176.

113. Мартынов С.И. Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - N 4. - С. 3-14.

114. Мартынов С.И. Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой жидкости в приближении Стокса / С.И. Мартынов, А.О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2007.- N 3. С. 7-20.

115. Матвеев С.К. Нестационарное течение тонкого слоя вязкой жидкости между колеблющимися параллельными плоскостями / С.К. Матвеев, О.Г. Завьялов // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2007.- N 3.- С. 65-69.

116. Морозкин Н.Д. Расчет течения вязкой несжимаемой жидкости в области с подвижной границей / Н.Д. Морозкин, В.В. Чудинов,

117. A.Ю. Гшщв // Вестник Башкирского университета. Математика, математическое моделирование и механика. 2006. - N-2.- С. 12-16.

118. Налетова В.А. Левитация магнита в магнитной жидкости в сферическом сосуде /Налетова В.А., Моисеева JI.A., Турков В.А. // Вестник МГУ. Математика. Механика. 1997. - N 4. - С. 32-34.

119. Налетова В.А. Вынужденные колебания магнита в намагничивающейся жидкости в вибрирующем сосуде / Налетова В.А., Турков В.А. // Труды МИРАН. 1998. - N 223. - С. 233-237.

120. Квитанцев A.C. Моделирование движения магнитов и магнитных тел в ограниченных объемах магнитной жидкости /Квитанцев A.C., Налетова В.А., Турков В.А. // Труды института прикладной математики и механики HAH Украины. 2001. - N 6. - С. 90-91.

121. Квитанцев A.C. Левитация магнитов и тел из магнитомягких материалов в сосудах, заполненных магнитной жидкостью / Квитанцев A.C., Налетова В.А., Турков В.А. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - N 3. - С. 12-20.

122. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. В 2 т. Т. 1,2 / Р.И. Нигматулин. -М. : Наука, 1987.

123. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин. -М. : Наука, 1978, 336 с.

124. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий /

125. B.Н. Покровский. М. : Наука, 1978. - 136 с.

126. Соколов В.В. Моделирование влияния магнитного поля на упругие свойства композитов / Соколов В.В., Турков В.А. //В сборнике 11 Математические модели в образовании, науке и промышленности".

127. Международная академия наук высшей школы, С.-Петербург. 2003. -С. 197-201.

128. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости / Дж. Серрин., М. : Иностранная литература, 1963, -256 с.

129. Урьев Н.Б. Моделирование динамического состояния дисперсных систем / Н.Б. Урьев, И.В. Кучин // Успехи химии. 2006. - Т. 75, N 1.-0. 36-63.

130. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2 т. Т. 2. Методы расчета различных течений / К. Флетчер ; пер. с англ. В.Ф. Каменецкого ; под ред. Л.И. Турчака. М. : Мир, 1991. - 552 с.

131. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 632 с.