Полуаналитические методы в задачах распространения волн через системы дефектов в изотропных упругих средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Ремизов Михаил Юрьевич

• Ремизов Михаил Юрьевич
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Ремизов Михаил Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ

Научные положения, выносимые на защиту,

апробация результатов

ГЛАВА 1. Полуаналитический метод решения плоских задач высокочастотной дифракции упругих волн на трещине

§1.1 Антиплоская задача

§1.2 Плоская задача

§1.3 Антиплоская задача для составной среды

§1.4 Асимптотический анализ дальнего поля

1.4.1. Антиплоская задача

1.4.2. Антиплоская задача для интерфейсной трещины

1.4.3. Плоская задача

1.4.4. Выводы

ГЛАВА 2. Полуаналитический метод решения плоских задач для периодических систем трещин

в одномодовом режиме

§2.1 Двоякопериодическая система трещин. Антиплоская задача

2.1.1. Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений

2.2.2. Свойства интегрального уравнения

2.1.3. Аналитические выражения волновых характеристик

2.1.4. Анализ результатов и свойства акустического фильтра

2.1.5. Выводы

§2.2 Двоякопериодическая система трещин. Плоская задача.

Два массива

2.2.1. Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений

2.2.2. Свойства ядра интегрального уравнения

2.2.3. Аналитические выражения волновых характеристик

2.2.4. Анализ результатов и свойства акустического фильтра

2.2.5. Выводы

§2.3 Двоякопериодическая система трещин. Плоская задача.

Три массива

2.3.1. Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений

2.3.2. Аналитические выражения волновых характеристик

2.3.3. Анализ результатов и свойства акустического фильтра

2.3.4. Выводы

§2.4 Двоякопериодическая система трещин. Плоская задача.

M массивов

2.4.1. Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений.

2.4.2. Аналитические выражения для волновых характеристик.

2.4.3. Анализ результатов и свойства акустического фильтра.

2.4.4. Выводы.

ГЛАВА 3. Полуаналитический метод решения пространственных

задач для периодических систем трещин в одномодовом режиме

§3.1. Трехмерная задача о двоякопериодической системе трещин

3.1.1. Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений.

3.1.2. Свойства ядра интегрального уравнения.

3.1.3. Численное решение вспомогательного уравнения.

3.1.4. Обсуждение и результаты.

3.1.5. Выводы.

§3.2. Двоякопериодическая система трещин. Два массива

3.2.1. Постановка задачи. Вывод интегральных уравнений

3.2.2. Обсуждение и результаты

3.2.3. Выводы

§3.3. Двоякопериодическая система трещин. Три массива

3.3.1. Постановка задачи. Вывод системы интегральных уравнений

3.3.2. Определение коэффициентов отражения и прохождения

3.3.3. Обсуждение и результаты

3.3.4. Выводы

§3.4. К теории акустических метаматериалов с троякопериодической

системой внутренних неоднородностей

3.4.1. Постановка задачи. Вывод системы интегральных уравнений

3.4.2. Определение коэффициентов отражения и прохождения

3.4.3. Обсуждение и результаты

3.4.4. Выводы

ГЛАВА 4. Полуаналитический метод решения скалярных

задач для периодической системы объемных дефектов в одномодовом режиме

§4.1 Однопериодическая система отверстий

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Вывод граничного интегрального уравнения.

4.1.3. Численное решение интегрального уравнения.

4.1.4. Обсуждение и результаты.

4.1.5. Выводы.

§4.2 Однопериодическая система отверстий. Два массива

4.2.1. Постановка задачи. Обсуждение и результаты

4.2.2. Выводы

173

174

§4.3 Двоякопериодическая система отверстий. М массивов

4.3.1. Постановка задачи. Обсуждение и результаты

4.3.2. Выводы

ГЛАВА 5. Сравнительный анализ конечных и бесконечных

периодических систем дефектов различных форм

$5.1 Анализ свойств бесконечных периодических систем

эллиптических отверстий

5.1.1. Постановка задачи

5.1.2. Вывод граничного интегрального уравнения

5.1.3. Обсуждение и результаты

5.1.4. Выводы

§5.2 Сравнительный анализ в задачах для бесконечных и

конечных двоякопериодических массивов трещин

5.2.1. Объекты сравнительного анализа

5.2.2. Постановка задачи для конечных массивов трещин, вывод и

решение граничного интегрального уравнения

5.2.3. Обсуждение и результаты

5.2.4. Выводы

§5.3 Сравнительный анализ в задачах для бесконечных и

конечных двоякопериодических массивов отверстий

5.3.1. Численное решение граничного интегрального уравнения

5.3.2. Обсуждение и результаты

5.3.3. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуаналитические методы в задачах распространения волн через системы дефектов в изотропных упругих средах»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время синтез новых метаматериалов для авиационной и космической техники, создание ресурсосберегающих технологий требуют новых подходов для диагностики структуры и свойств данных материалов, дающих более точную информацию о наличии пор, трещин и других дефектов в них по сравнению с существующими методами.

Метаматериалы - искусственно разработанные среды со сложной внутренней структурой, которые показывают усредненные свойства, не встречающиеся в природе. За последние десять лет электромагнитные метаматериалы получили широкое применение в современных проблемах фотоники, следуя предложению английского физика-теоретика Джона Пендри об идеальной плоской линзе с отрицательным преломлением. Данные идеи, возникшие на рубеже тысячелетий, породили исследования по разработке плаща невидимки. Эти две парадигмы имеют аналогии в еще одной зарождающейся в настоящее время области волнового движения: акустические метаматериалы, которые являются локально резонансными структурами, демонстрирующими эффективное макроскопическое поведение (например, отрицательную плотность) за рамками второго закона Ньютона. Более того, в рамках этой концепции становится эффективным управление удивительными свойствами звуковых волн, включая коллимацию, фокусировку, маскировку, звуковое экранирование и экстраординарную передачу. Применение акустических метаматериалов варьируется от неинвазивного зондирования и томографии высокого разрешения в медицинской визуализации, до акустической маскировки и сейсмической защиты [71,84].

Для совершенствования методов исследования структурных особенностей и физико-механических свойств сложных природных и синтезированных гетерогенных метаматериалов в рамках настоящего исследования было выделено два направления, основанных на методах ультрозвукового неразрушающего контроля и анализе свойств акустических фильтров.

Актуальность темы теоретических исследований моделирования волновых свойств акустических метаматериалов, содержащих периодические неоднородности различных типов, а также развития ультразвукового метода неразрушающего контроля, обусловлена следующими факторами:

1) требованием более адекватного моделирования и анализа процессов распространения волн в акустических метаматериалах, с использованием как скалярных, так и упругих моделей, что является одной из приоритетных задач современной механики, решение которых имеет важное фундаментальное и прикладное инженерное значение для повышения эффективности применения новых технологий в различных отраслях промышленности для объектов ответственного назначения.

2) возрастанием в ближайшем будущем научно-теоретического и практического интереса к исследованию как экспериментальных, так и теоретических аспектов распространения акустических и упругих волн в структурированных композитах с упором на их эффективные свойства, что будет способствовать активизации еще большей исследовательской деятельности и приложений, включающих развитие методов ультразвукового неразрушающего контроля. Следует отметить, что по сравнению с другими методами неразрушающего контроля ультразвуковой метод обладает важными преимуществами: низкая стоимость, безопасность для человека, возможность вести контроль без нарушения технологического процесса и без

повреждения исследуемого объекта, проведение контроля изделий из разнообразных материалов, как металлов, так и неметаллов, высокая чувствительность к наиболее опасным дефектам типа трещин и непроваров.

3) необходимостью математического моделирования во многих аспектах акустических метаматериалов, включая эффекты фильтрации, экстраординарная передача, субволновое изображение с помощью томографии или техники обращения времени, маскировка через трансформационную акустику и эластодинамику и даже маскировка путем аннулирования акустического рассеяния и активного внешнего маскирования.

Изучение взаимодействия звука с периодическими структурами берет свое начало в конце XIX века в работах Лорда Рэлея, изучавшего свойства коэффициента отражения при прохождении волн через одномерную решетку. Распространение упругих волн в твердых телах, содержащих периодические неоднородности различных видов, являются важным предметом исследования в современных фундаментальных и прикладных науках, благодаря различным замечательным явлениям, связанных с фононными кристаллами, метаматериалами, а также ультразвуковыми количественными оценками материалов методом неразрушающего контроля. В общем, такие явления вызваны конструктивной или деструктивной волновой интерференцией, что создает условия в таких структурах для различных физических процессов отражения и пропускания волн на некотором отрезке частотного спектра, при наличии полос запирания и пропускания в подобных частотных диапазонах, Sígalas, M. [153], (2005); Gazalet, J. [78], (2013); Kutsenko, A.A. [96], (2013); Sukhovich, A. [156], (2013) и др. В этом отношении тензорный характер упругого волнового поля и возможность трансформации волновой моды рассеивателем обеспечивают более богатую физику в периодических задачах динамической теории упругости, особенно в

трехмерной (3D)-постановке, по сравнению с проблемами распространения волн в фотонных кристаллах. С точки зрения применения метаматериалов важно отметить анализ распространения волн в диапазоне средних и высоких частот, когда длина волны сравнима с размером рассеивателя, что было подробно описано в Lu, M.H., Feng, L., Chen, Y.F. [102], (2009) и Chen, Y.Y., Huang, G.L. [68], (2015).

Особое внимание при исследовании уделяется изучению периодических систем трещин, расположенных на пути распространения упругих волн, поскольку в этом случае из-за острых краев рассеивателей и плоской конфигурации решетки, могут быть смоделированы специфические условия для волн и волноводов, как показано в работах Danicki, E.J. [73], (2002); Aliva-Pozos, O., Mishuris, G., Movchan, A. [60], (2010) и Every, A.G. [76], (2010). Здесь следует отметить, что модель бесконечного массива периодически распределенных трещин позволяет упростить анализ частотной области в проблеме взаимодействия трещины путем использования специальной структуры решений, вытекающих из условий периодичности, сформулированных Bloch, F. [66], (1928). В этой модели должна рассматриваться только эталонная трещина из единичной ячейки, в отличие от проблем с конечным, но большим количеством взаимодействующих трещин, где могут возникнуть уже вычислительные трудности.

Большинство теоретических результатов в этой области исследований, полученных до сих пор, даны для динамических упругих задач в двумерных твердых средах с периодическими системами прямых трещин. Так называемый одномодовый режим с ограничением частоты падающей волны был изучен в работах Сумбатяна М.А., Scarpetta, E., Tubillo, V. [138,142,144,145,149,151], (1996-2005) с помощью аналитического подхода, основанного на представлении упругих потенциалов поля в виде рядов.

Расширенный интервал частот был рассмотрен Mikata, Y. [110], (1995); Achenbach, J.D., Li, Z.L. [56]; (1986) и Wang, Y.S., Gross, D. [171], (2001) для проблем с антиплоской периодической системой трещин и Angel, Y.C., Achenbach, J.D. [61,62], (1985, 1987), Mikata, Y. [109], (1993); Zhang, Ch, Gross, D. [178], (1998) для таких задач в плоской постановке, с помощью численного решения сингулярных интегральных уравнений. Исследование частот запирания или значения аномалий проведено Вудом (см. Wood, R.W.[173], 1902). Отмечены появление управляемых волн в направлениях периодичности и большие изменения решений. В отношении трехмерных конфигураций решеток наиболее полно проанализированы решения соответствующих периодических задач динамической упругости для низкой частоты.

Например, отражение и прохождение упругих волн через трещины в виде круглого диска как для периодического, так и статистического распределения в плоскости были изучены Sotiropoulos, D.A., Achenbach, J.D. [155],(1988), где квазистатические функции раскрытия трещины были использованы в качестве конструктивной части решения и была выведена точная формула коэффициента отражения как линейная функция волнового числа. Низкочастотный анализ был расширен для коэффициента интенсивности динамического напряжения в бесконечной системе двоякопериодических дискообразных трещин в работе Mykhas'kiv, V.V. [115], (2014) для сравнения этих параметров разрушения со случаем конечного числа трещин, рассмотренных Itou, S. [89], (2000), Mykhas'kiv, V.V. [114], (2010) и Mykhailova, I.I., Menshykov, O.V., Guz, I.A. [113], (2011). Двоякопериодический массив произвольных отслаиваний или межфазных трещин в упругом би-материале был рассмотрен с учетом большого числа рассеивателей вокруг опорной трещины, что обеспечивает анализ на более высоких частотах, см. Golub, M.V., Doroshenko, O.V.[81], (2017). Также

предложены эффективные модели для распространения упругой волны через массив дискообразных трещин, которые основаны на введении дополнительных определяющих уравнений, связывающих динамические скачки перемещений и напряжений в плоскости трещин (см. Nakagawa, S., Nihei, K.T., Myer, L.R. [116],(2004); Golub, M.V., Doroshenko, O.V., Bostrom, A. [80] (2016)). Также применялись процедуры гомогенизации для описания дисперсии упругих волн и их затухания в твердых телах со случайно распределенными трещинами (см. Zhang, Ch, Achenbach, J.D. [176], (1991); Zhang, Ch, Gross, D. [177], (1993). Результаты ясно показали, что свойства распространения волны в упорядоченной структуре, в которых трещины распределены периодическим образом, значительно отличаются от структур, имеющих нерегулярно распределенные трещины.

Для твердых фононных кристаллов с периодически расположенными упругими включениями в качестве структурных элементов было показано, что среди многих аналитических и численных методов, таких как метод разложения плоских волн, метод множественного рассеяния и метод конечных элементов, использованные в Kafesaki, M., Economou, E.N. [90], (1999), Maslov, K., Kinra, V.K., Henderson, B.K. [106], (2000), Zhang, X., Liu, Z., Liu, Y., Wu, F. [179], (2003), Sainidou, R., Djafari-Rouhani, B., Vasseur, J.O. [136], (2008), Zhao, J., Li, Y., Liu, W.K. [180], (2015), Mahmood, M.S., Laghrouche, O., Trevelyan, J., El Kacimi, A. [103], (2017), метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) может быть успешно применен для подобного рода анализа распространения волн. Его эффективность достаточно высока из-за уменьшения размерности задачи и автоматического удовлетворения условий излучения на бесконечности, присущих задачам рассеяния, путем выбора соответствующих излучающих функций Грина.

Как правило, существуют два способа анализа периодических структур методом ГИУ. Один из способов состоит в том, чтобы сформулировать

граничные интегральные уравнения для элементарной ячейки в соответствии с основными волновыми уравнениями и обычными функциями Грина, при подчинении условия периодичности на границах элементарной ячейки. Другим способом является то, что условия периодичности непосредственно подставляются в основные волновые уравнения или интегральные представления их решений, тогда граничные интегральные уравнения формулируются по области представляющей трещины, которая включает периодические или квазипериодические функции Грина. Совокупный эффект множественных рассеивателей учитывается в периодических функциях Грина через суммирование решеток, эффективные вычисления которых могут быть реализованы их двойственными, типа Эвальда или интегральными представлениями, зависящими от периодичности задачи (см. Martin, P.A. [105], 2006; Bruno, O.P., Delourme, B. [67], 2014).

Первый путь для периодических задач был успешно применен для вычисления полос запирания для двумерных твердых фононных кристаллов, содержащих периодические отверстия и упругие слои произвольных сечений Wang, Y.F., Wang, Y.S., Su, X.X. [170], (2011) и Li, F.L., Wang, Y.S., Zhang, Ch, Yu, G.L. [100],(2013). Второй подход был впервые применен к периодическим акустическим и электромагнитным проблемам, определяемым уравнением Гельмгольца, Otani, Y., Nishimura, N. [118], (2008), Barnett, A., Greengard, L. [64], (2010) и уравнениями Максвелла Knipp, P.A., Reinecke, T.L. [91], (1998) и Otani, Y., Nishimura, N. [117], (2008), а затем далее распространяется на исследование трехмерных твердых фононных кристаллов с периодическими сферическими включениями Isakari, H., Niino, K., Yoshikawa, H., Nishimura, N. [88],(2012), особенно, в сочетании с прогрессивными многополюсными алгоритмами Otani, Y., Nishimura, N., [117,118], (2008) и Isakari, H., Niino, K., Yoshikawa, H., Nishimura, N. [88], (2012).

Целью исследований в настоящей диссертации является разработка методов решения задач:

- высокочастотной дифракции конечной трещины в упругой изотропной плоскости на границе между двумя различными изотропными материалами;

- проникновения упругих волн через двояко- и троякопериодические массивы трещин в одномодовом режиме;

- распространения упругих волн через периодические конечные и бесконечные массивы объемных неоднородностей в одномодовом режиме.

Предложенные методы решения приведенных задач ускорят развитие нового научного направления, связанного с исследованием структурных особенностей и физико-механических свойств акустических метаматериалов.

Научная новизна предлагаемого исследования состоит в развитии асимптотических методов высокочастотной дифракции на единичной трещине в однородной и составной упругой изотропной среде, построении строгих математических моделей формирования характеристик волновых полей при распространении упругой волны в твердых метаматериалах, имеющих периодическую систему дефектов.

Методика исследований

В качестве основного подхода к исследованию классов задач, рассматриваемых в данной работе, выступают следующие полуаналитические методы.

1. В высокочастотной дифракции упругих волн на трещине - метод факторизации [ Mittra, R., Lee, S.W. [112], (1971)] и метода Винера-Хопфа [Koiter W.T. [92], (1954); Александров В.М. [3], (1993)]. Это позволяет построить главный член асимптотики при высоких частотах колебаний

равномерно по всей длине трещины - как в «погранслоях», так и во «внешней» зоне.

2. В дифракции на периодических решетках предлагаемый метод решения системы двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений основан на выделении особенности ядра в явном виде, с дальнейшим применением дискретной квадратурной формулы для гиперсингулярных ядер, известной как метод дискретных вихрей [Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. [6],(1985)]. Такой подход для трехмерных трещин неканонической формы применяется впервые. Он гарантирует устойчивость метода при выполнении расчетных экспериментов, позволяет проанализировать свойства волновых полей при прохождении волны через периодическую систему неоднородностей (трещин) для одномодового частотного диапазона.

3. Полуаналитический метод, разработанный для плоских и трехмерных задач дифракции на трещинах, получил свое развитие для скалярных задач дифракции на плоской решетке цилиндров, что впервые позволило численно построить решение граничных интегральных уравнений, получить явные аналитические представления для волнового поля на границе рассеивателя и описать свойства физичских параметров рассеяния в зависимости от внешних параметров задачи.

Таким образом, в работе успешно применяется метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). состоящий в сведении задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований к эквивалентным граничным ГИУ, и на их основе осуществляется процедура построения решения исходной задачи.

Основной вклад в развитие математической теории ГИУ и численных методов их решения, широко применяемых в механике сплошных сред и в инженерном деле, внесли отечественные ученые Векуа Н.П.[12], Купрадзе

В.Д. [21], Мусхелишвили Н.И. [25], Лурье А.И. [22], Гольдштейн Р.В. [15], Михлин С.Г. [24], Ворович И.И., Бабешко В.А., Александров В.М. [13], Попов Г.Я. [30], Партон В.З., Перлин П.И. [28] и др. Среди зарубежных исследователей следует отметить работы Aliabadi M.H. [59], Lachat J.C., Manolis G.D. [104], Watson J.O. [99], Cruse T.A. [72], Shaw R.P. [152] и др.

В данной работе метод ГИУ реализуется на основе построения функции Грина. В процессе построения решений применялись методы интегрального преобразования Фурье, методы теории потенциала, метод факторизации, теории аналитических функций, численного анализа.

Достоверность полученных результатов определяется применением к решению рассматриваемых задач строгих математических подходов, основанных на использовании динамических уравнений теории упругости.

Достоверность результатов, получаемых выдвинутыми в диссертации методами, детально проверяется на основе их сравнения с решениями известных задач, полученных с помощью других методов, а также с результатами численного анализа.

Ниже излагается краткое содержание основных разделов диссертации.

В ГЛАВЕ I исследованы и решены следующие задачи высокочастотной дифракции на конечной трещине в упругой изотропной плоскости: антиплоская деформация трещины в однородной среде, плоская деформация трещины в однородной среде и антиплоская деформация трещины, расположенной на границе двух полуплоскостей из различных упругих материалов. Известно, что решение соответствующих гиперсингулярных интегральных уравнений для низких и средних частот допускает применение прямых численных [49,87,137,10,127] или аналитических [13] методов. Для очень высоких частот (малая длина волны) применение любого численного

метода требует большого количества узлов, т.к. для получения достоверных результатов необходимо использовать минимум десять узлов численной сетки на каждую длину волны, что служит причиной появления сеток дискретизации слишком больших размерностей.

Для построения эффективного решения представленных задач о высокочастотной дифракции на трещине, в диссертации предлагается новый полуаналитический подход, состоящий в выделении сильно осциллирующего решения основного интегрального уравнения задачи, которое справедливо равномерно по всей длине трещины при высоких частотах колебаний [41,162,165].

Данный аналитический подход служит основой нового полуаналитического метода. Решение уравнения ищется в виде произведения сильно осциллирующей функции, полученной в явном виде и отвечающей за качественное поведение решения, и некоторой медленно изменяющейся неизвестной модулирующей функции, которая и становится основной неизвестной в исходном уравнении. Установлено, что для корректного нахождения этой новой неизвестной функции достаточно брать на порядок меньшее число узлов коллокации, чем при прямом подходе.

Для определения сильно осциллирующей функции необходимо решить интегральные уравнений Винера-Хопфа, при этом ключевым моментом метода становится факторизация символьной функции, которая выполнена эффективным способом. В результате, главный член асимптотики решения может быть представлен в явном аналитическом виде. Несмотря на многообразие работ по изучению дифракции конечной трещины в упругой изотропной плоскости, данный асимптотический подход для

высокочастотного режима, основанный на идеях Койтера [92], Александрова В.М. [3] и методе Винера-Хопфа, не обнаружен к настоящему времени ни в отечественных публикациях, ни в работах зарубежных авторов, и имеет

основной своей трудностью процесс факторизации символьной функции [13,9].

На основе полученных асимптотических решений представленных задач дифракции на прямолинейной трещине конечной длины в упругих изотропных средах в завершение данной главы описываются результаты численного анализа рассеянного поля в дальней зоне на высоких частотах для антиплоской задачи, плоской задачи в однородной среде и антиплоской задачи с интерфейсной трещиной.

В ГЛАВЕ II описываются результаты исследования класса двумерных задач о прохождении упругих волн через периодические решетки, представляющие собой массив идентичных конечных трещин, расположенных в изотропной среде. Данный вопрос также является важной проблемой в области ультразвукового неразрушающего контроля материалов, распространении звука и для электромагнитных волноводов с диафрагмами. Различные численные методы были применены в двумерных задачах с периодическими неоднородностями произвольной формы [57,111,53]. Несмотря на высокую точность результатов в процессе численного расчета, существуют и чисто аналитические теории, согласно которым практические результаты могут быть получены в режиме низких частот при слабом взаимодействии волн, где некоторые приближенные данные можно получить в явном виде. Таким образом, аналитические методы, приводящие к явным формулам для соответствующих параметров рассеяния, описывают только низкочастотный предел.

В работах [157,142-145] получены явные аналитические формулы для параметров, характеризующих процесс отражения и прохождения в режиме одной моды для акустической волны, проникающей сквозь однопериодические и двоякопериодические массивы трещин. Работы [144,145,138] посвящены плоским задачам распространения волн через

периодические системы одного и двух массивов трещин в упругих средах, а также произвольного числа массивов в скалярных акустических средах.

Плоские задачи, рассмотренные в данной главе, связаны с теорией описанных выше «акустических метаматериалов», которые, благодаря своей специальной внутренней структуре, обладают свойствами акустических фильтров. Экспериментально это свойство было обнаружено и представлено в [101].

Полуаналитический метод, предложенный в данной главе, позволяет решать задачи о проникновении волн через одну однопериодическую систему трещин, а также через любое конечное количество таких систем. Представленные результаты соответствуют задачам, решенным для антиплоской и плоской постановок.

Некоторые фундаментальные аспекты, связанные с акустическими метаматериалами, обсуждаются в [71,107,108,115,86,174,4,5] и ряде публикаций, указанных выше.

ГЛАВА III посвящена вычислению коэффициентов отражения и прохождения в задаче о падении плоской волны на трехмерную систему параллельных двоякопериодических массивов трещин. При этом были решены задачи для различного числа таких массивов. В случае единственного массива система является двоякопериодической. В остальных случаях исследование включает в себя рассмотрение троякопериодических систем. В условиях одномодового режима задачи сводились к системам гиперсингулярных интегральных уравнений для одной выделенной трещины. Полуаналитический метод, разработанный ранее для двумерных скалярных и плоских упругих задач, получил свое развитие для пространственных задач теории упругости, что впервые позволило построить решение систем

гиперсингулярных интегральных уравнений и получить явные аналитические представления для волнового поля и параметров рассеяния [139-141].

Пространственные задачи, рассмотренные в настоящей главе также связаны с теорией «акустических метаматериалов», обладающих свойствами акустических фильтров, что отражено в работах [62,115,101,71].

В ГЛАВЕ IV рассматриваются периодические системы объемных дефектов, расположенных в упругих средах. Теории дифракции акустических и электромагнитных волн на решетках из цилиндрических полостей посвящено большое количество публикаций. В большинстве из них, начиная с работы Лэмба [23], задача о дифракции на цилиндрических решетках решалась при условии малости радиуса цилиндра по сравнению с длиной волны. Точные решения задач для случаев плоских цилиндрических решеток при произвольном соотношении ее периода с длиной волны для скалярной постановки были получены Вайнштейном Л.А. [11], Агранович З.С. [2], Клюкина И.И., Чабанова В.Е. [19] и других. Решение данной упругой задачи в плоской постановке для одного массива круглых отверстий методом разложения по цилиндрическим функциям и сведением к линейным алгебраическим системам представлено Глазановым В.Е. [14].

Анализ источников за последние 10 лет показал, что еще более пристальное внимание уделяется изучению свойств метаматериалов как сред, содержащих не один массив препятствий, а решетки периодической геометрии. Продолжается работа над определением новейших свойств метаматериалов с применением в механической, электромагнитной и акустической областях, ввиду их специальной периодической внутренней структуры [27,29,58]. Открытие таких явлений, как отрицательная рефракция, выборочная фильтрация, маскировка и других, позволяет по-новому взглянуть на использование метаматериалов в различных отраслях

науки и техники. Основной вклад в развитие внесли исследования электромагнитных волновых процессов. Именно по этой причине в последнее время активно изучаются проблемы распространения акустических и упругих волн в метаматериалах, так как качественные явления, обнаруженные в области электромагнетизма, проявляются и в задачах о механических колебаниях [84,75,121,27,70].

Большинство теоретических исследований этих вопросов проводится с использованием численных методов, таких как метод конечных элементов или метод граничных элементов. В последние годы активно развивается и экспериментальная база, посвященная этой теме. Натурные эксперименты по распространению упругих волн проводятся преимущественно в высокочастотном ультразвуковом диапазоне с использованием современных средств ультразвукового анализа. Существуют также полуаналитические подходы с возможным применением для бесконечных или полубесконечных периодических структур. Как правило, такие методы основаны на некоторых асимптотических подходах (низкочастотный или высокочастотный диапазон) и справедливы только в дальней зоне волнового поля [57,111,145]. В работах [144,175,147,148] приведены явные аналитические формулы для коэффициентов отражения и прохождения в низкочастотном диапазоне скалярных акустических или электромагнитных волн, проникающих через двояко и троякопериодические массивы отверстий произвольной формы и объемных препятствий. Как уже отмечено в данной работе, двумерные задачи о распространении волн через двоякопериодическую систему трещин в упругих телах отражены в работах [144,62,150], а для однопериодической геометрии - в работах [138,63]. В [115,121,83,172,146,77,55] аналогичные свойства получены для двоякопериодческих систем круглых препятствий и других неоднородностей. В [93] рассмотрена задача рассеяния

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ремизов Михаил Юрьевич, 2019 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Агранович З.С., Марченко В.А., Шестопалов В.П. Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических решетках // Ж. теор. физ. 1962. №32. 4. С. 381-394.

3. Александров В.М. Асимптотические методы в задачах механики сплошной среды со смешанными граничными условиями // ПММ. 1993. Т. 57. № 2. С. 102-108.

4. Бабешко В. А., Бабешко O. M., Евдокимова O. В. О трещинах в покрытиях в статических задачах сейсмологии и наноматериалов // ДАН. 2013. № 453(2). С. 162-166.

5. Бабешко В. А., Ратнер С. В., Сыромятников П. В. Анизотропные тела с неоднородностями; случай совокупности трещин // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 49-59.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике, М.: Наука. 1985. 252 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Ништ М.И. Метод дискретных вихрей в задачах аэродинамики и теория многомерных сингулярных уравнений. //VI международная конференция по численным методам в гидродинамике. Сборник докладов. Тбилиси,1978. С.30-34.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, Т.1. 1969. 343 с.

9. Боев С.И., Сумбатян М.А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебаний // ПММ. 1985. Т. 49. № 6. С. 1039-1043.

10.Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. Янус-К. 2001.

11.Вайнштейн Л.А. Дифракция электромагнитных волн на решетке из параллельных проводящих полос // Ж. эксп. и теор. физ. 1955. №25. С. 847-852.

12Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и неко-торые граничные задачи. М.: Наука. 1970. 379с.

13.Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974. 455с.

14.Глазанов В.Е. Дифракция плоской продольной волны на решетке из цилиндрических полостей в упругой среде // Акустический журнал. 1967. Т.13. Вып. 3. С. 352-360.

15.Гольдштейн Р.В. К вопросу о применении метода граничных инте-гральных уравнений для решения задач механики сплошной среды. В кн.: Метод граничных интегральных уравнений. Сер. «Новое в заруб. науке» под ред. Ишлинского А.Ю. М.: Мир. 1978. № 15. С.183-209.

16.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: Физматгиз. 1963. 1100 с.

17.Ермолов И.Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение. 1981. 340 с.

18.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. 1987. 311с.

19Клюкин И.И., Чабанов В.Е. Дифракция звука на плоской решетке цилиндров // Акустический журнал. 1974. Т.20. № 6. С. 848-856.

20.Кузнецов, С.В. Рассеяние упругих волн в пористых средах // Известия РАН. МТТ. 1995. № 3. С. 81-86.

21.Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: ГИТТЛ. 1958. 280с.

22.Лурье А.И. Обобщение решения акад. Галеркина Б.Г. на случай динамических уравнений теории упругости. В сб.: «Тезисы докл. к Всесоюзн. конф. по строит.мех.» М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1938.С.60-61.

23.Лэмб Г. Гидродинамика. М. ОГИЗ, 1947.

24.Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Наука. 1962. 254с.

25.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической тео-рии упругости. М.: Наука. 1966. 432с.

26Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

27. Осипов Е.А., Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б. Упругие свойства слоистого композита, ослабленного периодической системой трещин // Вестник Казанск. гос. технол. ун-та. 2012. №3. С. 82-85.

28Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977. 311с.

29.Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б., Сабиров И.В. Дифракция электромагнитной волны на экранированной двоякопериодической решетке // Вестник Казанск. технол. ун-та. 2014. Т. 17, №20. С. 23-26.

30.Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. 1982. 341с.

31.Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.1,2. М.: Наука. 1980.

32.Ремизов М.Ю. Анализ энергетических полей в составной анизотропной полуплоскости: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. Ростов-на-Дону, 2003. 134с.

33.Ремизов М.Ю. Низкочастотное прохождение упругих волн через двоякопериодическую систему трещин в трехмерной постановке //

Международный научно-исследовательский журнал. 2016. Т.8(50). №3. С.139-144.

34.Ремизов М.Ю. Распространение упругих волн через периодическую систему трещин в низкочастотном режиме // Вестник Донского государственного технического университета. 2017. №1(88). С. 18-27.

35.Ремизов М.Ю. Пространственная задача о прохождении упругой волны через два параллельных двоякопериодических массива трещин // Прикладная математика и механика. 2019. №1.

36Ремизов М.Ю. Свойства акустического фильтра в периодической системе плоских дефектов // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2018. №3.

37.Ремизов М.Ю. Низкочастотное прохождение упругих волн через двоякопериодическую систему трещин в трехмерной постановке. Сборник научных трудов IX Международной научно -практической конференции «Актуальные проблемы науки XXI века», 3 часть, Международная исследовательская организация «Cogmto», Москва, 2016. С.144-150.

38.Ремизов М.Ю. Асимптотический анализ антиплоской высокочастотной дифракции на трещине. Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-^», ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, г. Ростов-на-Дону, тезисы докладов, 2014, С.108.

39.Ремизов М.Ю. Свойства интегрального оператора в трехмерной задаче для двоякопериодической системы трещин. Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа их приложения-У», ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, г. Ростов-на-Дону, тезисы докладов, 2015, С.117.

40.Ремизов М.Ю. Полуаналитический метод решения задач высокочастотной дифракции упругих волн на трещинах - Строительство и Архитектура - 2015. Современные информационно-экономические технологии: тенденции и перспективы развития. Материалы международной научно-практической конференции. РГСУ, Союз строителей ЮФО, Ассоциация строителей Дона. 2015. С.114-115.

41.Ремизов М.Ю., Сумбатян М.А. Полуаналитический метод решения задач высокочастотной дифракции упругих волн на трещине // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. № 4. С. 629-635.

42.Ремизов М.Ю., Сумбатян М.А. Распространение упругих волн через двоякопериодическую систему трещин в одномодовом режиме // Известия РАН. Механика твердого тела. 2018. №3. С. 67-80.

43.Ремизов М.Ю., Сумбатян М.А. Низкочастотное прохождение упругих волн через массив щелей двойной периодичности в трехмерной постановке. Сборник научных трудов IV Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды», Национальная академия наук Армении, Институт механики, Цахкадзор, Армения, 2015. С.347-351.

44.Ремизов М.Ю., Сумбатян М.А. О трехмерном распространении упругих волн через двоякопериодическую систему трещин. XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Сборник докладов, Казань, 2015. С. 3205-3206.

45.Скучик Е. Основы акустики. Том 2. (пер. с англ.). М.: Мир. 1976. 544с.

46. Суворова Т.В. Волновое поле, возбуждаемое в двухфазном пористо -упругом полупространстве осциллирующей нагрузкой. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2002. №4. С.22-26.

47. Суворова Т.В. Динамическая задача об упругом слое и полупространстве, контактирующих через периодическую систему

жестких прямоугольных накладок. Научная мысль Кавказа. 2002. прил. №12. C.109-115.

48. Сумбатян М. А., Ремизов М.Ю. К прохождению трехмерной упругой волны через три параллельных двоякопериодических массива трещин // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2018. Т.15. №4. С. 40-53.

49. Сумбатян М.А., Скалия А. Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике. М.: Физматлит. 2013. 328 с.

50. Сумбатян М.А., Чупахин А.А. Прохождение плоской волны через упругую среду, содержащую периодическую систему объемных дефектов // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки.1999. №4. С. 37-38.

51. Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. изд. «Советское радио».1962

52. Уфимцев П. Я. Основы физической теории дифракции. М.:Бином. Лаборатория знаний. 2009

53.Шендеров Е.Л. Прохождение звука через жесткий экран конечной толщины с отверстиями // Акустический журнал. 1970. Т.16, № 2. С.295-304.

54Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam: North-Holland. 1973.

55.Achenbach J.D., Kitahara M. Reflection and transmission of obliquely incident wave by an array of spherical cavities // J. Acoust. Soc. Am. 1986. № 80. P. 1209-1214.

56.Achenbach J.D., Li Z.L. Propagation of horizontally polarized transverse waves in a solid with a periodic distribution of cracks // Wave Motion. 1986. V.8. Р.371-379.

57 .Achenbach J.D., Li Z.L. Reflection and transmission of scalar waves by a periodic array of screens // Wave Motion. 1986. V.8. P. 225-234.

58.Alexandrova I.L., Pleshchinskii N.B. Scanning periodic grating: diffraction problem and transmission problem// Proceedings of the International Conference «Days On Diffraction». 2012. St. Petersburg, Russia. P.13-16.

59.Aliabadi M.H. The Boundary Element Method. Applications in Solids and Structures. Wiley, New York. 2002. Volume 2.

60.Aliva-Pozos O., Mishuris G.Movchan A. Bloch-Floquet waves and localization within a heterogeneous waveguide with long cracks // Continuum Mech. Therm. 2010. V.22. P. 545-553.

61.Angel Y.C., Achenbach J.D. Reflection and transmission of elastic waves by a periodic array of cracks: oblique incidence // Wave Motion. 1985. V.7. P. 375-397.

62.Angel Y.C., Achenbach J.D. Harmonic waves in an elastic solid containing a doubly periodic array of cracks // Wave Motion. 1987. № 9. P. 377 - 385

63.Angel Y.C., BolshakovA. In-plane waves in an elastic solid containing a cracked slab region // Wave Motion. 2000. № 31. P. 297-315.

64.Barnett A., Greengard L. A new integral representation for quasi-periodic fields and its application to two-dimensional band structure calculations // J. Comput. Phys. 2010. V. 229. P. 6898-6914.

65.Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. Method of Discrete Vortices. CRC Press: Boca Raton. Florida. 1993. 452 p.

66Bloch F. Über die Quantenmechanik der Elektronen. Z. Phys. 1928. V. 52. P. 555-600.

67.Bruno O.P., Delourme B. Rapidly convergent two-dimensional quasi-periodic Green function throughout the spectrum - including Wood anomalies // J. Comput. Phys. 2014. V. 262. P. 262-290.

68.Chen Y.Y., Huang G.L. Active elastic metamaterials for subwavelength wave propagation control // Acta Mech. Sin. 2015. V.31. P. 349-363.

69. Chen Z., Zhou Y.F. A new method for solving hypersingular integral equations of the first kind // Appl Math Lett. 2011. V.24, P. 636-641.

70.Colton D., Kress R. Integral equation methods in scattering theory. SIAM. 1983.

71. Craster R.V., Guenneau S. Acoustic Metamaterials. Springer Series in Materials Science 166. Dordrecht: Springer. 2013.

72. Cruse T.A. An improved boundary-integral equation method for three-dimensional elastic stress analysis // Compt. Struct. 1974. №4. P.741-754.

73.Danicki E.J. Scattering by periodic cracks and the theory of comb transducers // Wave Motion . 2002. V. 35, P. 355-370.

74.Datta S.K. Diffraction of plane elastic waves by ellipsoidal inclusions // Journal of the Acoustical Society of America. 1977. V.61. P. 1432-1437.

75.Deymier P. A. Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals . Springer Series in Solid-state Sciences, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2013.

76.Every A.G. Guided interfacial waves at a periodic array of coplanar disbonds in a solid // Physics Procedia. 2010. V.3, P. 481-488.

77.Fradkin L. Ju., Stacey R. The high-frequency description of scatter of a plane compressional wave by an elliptic crack // Ultrasonics. 2010. V.50, P. 529-538.

78Gazalet J., Duponta S., Kastelik J.C., Rolland Q., Djafari-Rouhani

B. A tutorial survey on waves propagating in periodic media: electronic, photonic and phononic crystals. Perception of the Bloch theorem in both real and Fourier domains // Wave Motion . 2013. V. 50, P. 619-654.

79.Glushkov Ye. V., Glushkova N. V., Golub M. V., Bostrom A. E. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack // J. Acoust. Soc. Am. 2006. Vol. 119. Iss. 6. P. 3589-3598.

80. Golub M.V., Doroshenko O.V., Bost^m A.E. Transmission of elastic waves through an interface between dissimilar media with random and periodic distributions of strip-like microcracks // Materials Physics and Mechanics. 2018. Vol. 37. P. 52-59.

81. Golub M.V., Doroshenko O.V. Wave propagation through an interface between dissimilar media with a doubly periodic array of arbitrary shaped planar delaminations. Math. Mech. Solids. 2017//.

82. Gridin D. High-frequency asymptotic description of head waves and boundary layers surrounding the critical rays in an elastic half-space // J. Acoust. Soc. Amer. 1998. №104. P. 1188-1197 .

83. Gubernatis J. E. Long-wave approximations for the scattering of elastic waves from flaws with applications to ellipsoidal voids and inclusions // J. Appl. Phys. 1979. № 50. P. 4046-4058.

84.Guenneau S., Craster R.V. Acoustic Metamaterials Negative Refraction, Imaging, Lensing and Cloaking . Springer Series in Materials Science, Springer Science. 2013.

85.Homentcovschi D. , Miles R.N. Influence of viscosity on the diffraction of sound by a periodic array of screens. The general 3-D problem // J. Acoust. Soc. Am. 2005. V 117. № 5. P. 2761-2771.

86.Huang H.H., Sun C.T., Huang G.L. On the negative effective mass density in acoustic metamaterials // Int. J. Eng. Sci.. 2009. V.47. P. 610-617.

87.Iovane G., Lifanov I.K., Sumbatyan M.A. On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics // Acta Mech. 2003. V. 162. N. 1-4. P. 99-100.

88.Isakari H., Niino K., Yoshikawa H., Nishimura N. Calderon's preconditioning for periodic fast multipole method for elastodynamics in 3D // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2012. V. 90, P. 484-505.

89.Itou S. Three-dimensional dynamic stress intensity factors around two parallel square cracks in an infinite elastic medium subjected to a time-harmonic stress wave // Acta Mech. 2000. № 143, P. 79-90.

90Kafesaki M., Economou E.N. Multiple-scattering theory for three-dimensional periodic acoustic composites // Phys. Rev. 1999. B 60, P. 11993-12001.

91.Knipp, P.A., Reinecke, T.L. Boundary-element calculations of electromagnetic band-structure of photonic crystals // Physica. 1998. V.2, P. 920924.

92.Koiter W.T. Approximate solution of Wiener-Hopf type integral equations with application // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Wet. 1954. V. 57. N. 5. P. 558-564.

93.Kok Y-L, Gallagher Jr. N.C., Ziolkowski R.V. Dual series solution to the scattering of plane wave from a binary conducting grating // IEEE Trans. Anten. Prop. 1989. AP-37. P. 901 - 917.

94.Krautkramer J., Krautkramer H. Ultrasonic Testing of Materials (3rd ed.). Springer-Verlag: New York. 1983.

95.Kriegsmann G.A. Scattering matrix analysis of a photonic Fabry-Perot resonator // Wave Motion. 2003. V.37. P. 43-61.

96.Kutsenko A.A., Shuvalov A.L., Norris A.N. On the quasistatic effective elastic moduli for elastic waves in three-dimensional phononic crystals // J. Mech. Phys. Solid. 2013. № 61, P. 2260-2272.

97.Kuznetsov S. V. Direct Boundary Integral equation Method in the Theory of Elasticity // Quart. Appl. Math. 1995. №53, P.1-8.

98.Kuznetsov S. V. Scattering of elastic bulk waves by periodic arrays of voids or anisotropic inclusions // Z. Angew. Math. Phys. 2018. P.69.

99.Lachat J.C., Watson J.O. A second generation boundary integral equation program for three-dimensional elastic analysis. In.: Boundary Integral Equation Method: Computational Applications in Applied Mechanics, ed. Cruse T.A., Rizzo F.J. ASME. 1975.

100.Li F.L., Wang Y.S., Zhang Ch, Yu G.L. Boundary element method for band gap calculation of two-dimensional solid phononic crystals // Eng. Anal. Bound. Elem. 2013. №37, P. 225-235.

101.Liu Z., Zhang X., Mao Y., Zhu Y.Y., Yang Z., Chan C.T., Sheng P.

Locally resonant sonic materials // Science. 2000. V289. № 5485. P. 17341736.

102.Lu M.H., Feng L., Chen Y.F. Phononic crystals and acoustic metamaterials // Review. Mater. Today. 2009. № 12, P. 34-42.

103.Mahmood M.S., Laghrouche O., Trevelyan J., El Kacimi A. Implementation and computational aspects of a 3D elastic wave modelling by PUFEM // Appl. Math. Model. 2017. № 49, P. 568-586.

104Manolis G.D., Beskos D.E. Boundary Element Methods in Elastodynamics. Unwin Hyman Limited. London. 1988.

105.Martin P.A. Multiple Scattering: Interaction of Time-harmonic Waves with N Obstacles. Cambridge University Press. Cambridge. 2006

106.Maslov K., Kinra V.K., Henderson B.K. Elastodynamic response of a coplanar periodic layer of elastic spherical inclusions // Mech. Mater. 2000. №32. P. 785-795.

107.McPhedran R.C., Movchan A.B., Movchan N. V. Platonic crystals: Bloch bands, neutrality and defects // Mechanics of Materials. 2009. V.41. P. 356363.

108.McPhedran R.C., Movchan A.B., Movchan N.V. Wave scattering by platonic grating stacks // Proc. Roy. Soc. 2009. № 465. P. 3383-3400.

109.Mikata Y. Reflection and transmission by a periodic array of coplanar cracks: normal and oblique incidence // J. Appl. Mech. 1993. № 60, P. 911-919.

110.Mikata Y. SH-waves in a medium containing a disordered periodic array of cracks // J. Appl. Mech. № 62, P. 312-319.

111.Miles J.W. On Rayleigh scattering by a grating. // Wave Motion. 1982. V.4. P. 285-292.

112.Mittra R., Lee S.W. Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves. New York: Macmillan. 1971.

113.Mykhailova I.I., Menshykov O.V., Guz I.A. Cracks' closure in 3-D fracture dynamics: the effect of relative location of two coplanar cracks // Arch. Appl. Mech. 2011. № 81, P. 1215-1230.

114.Mykhas'kiv V., Zhbadynskyi I.Zhang Ch. Elastodynamic analysis of multiple crack problem in 3-D bi-materials by a BEM // Int. J. Numer. Meth. Biomed. Eng. 2010. №26, P. 1934-1946.

115.Mykhas'kiv V.V., Zhbadynskyi I.Ya. , Zhang Ch. Dynamic stresses due to time-harmonic elastic wave incidence on doubly periodic array of penny-shaped cracks // J. Math. Sci. 2014. № 203. P. 114-122.

116.Nakagawa S., Nihei K.T., Myer L.R. Plane wave solution for elastic wave scattering by a heterogeneous fracture // J. Acoust. Soc. Am. 2004.V. 115, P. 2761-2772.

117.Otani Y., Nishimura N. A periodic FMM for Maxwell's equations in 3D and its applications to problems related to photonic crystals // J. Comput. Phys. 2008. №227, P. 4630-4652.

118.Otani Y., Nishimura N. An FMM for periodic boundary value problems for cracks for Helmholtz' equation in 2D // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2008. №73, P. 381-406.

119.Pal S.C., Ghosh M.L. High frequency scattering of anti-plane shear waves by an interface crack // Indian J. Pure. Appl. Math. 1990.№ 21, P. 1107-1124.

120.Piau M. Attenuation of a plane compressional wave by a random distribution in thin circular cracks // Int. J. Eng. Sc i. 1979. № 17. P. 151-167.

121.Popuzin V.V., Zotov V.M., Sumbatyan M.A. Theoretical and experimental study of an acoustically active material containing a doubly-periodic system of cylindrical holes. Advanced Materials - Techniques, Physics, Mechanics and Applications, Springer Proceedings in Physics, Heidelberg, New York, Dordrecht, London, 2017.

122.Remizov M. Yu. Stressed vibrations of anisotropic stripe-halfplane system

with strict and sliding connecting of the media. Comparative characteristic of energetic fields features // Abstracts of the XVII International Conference « Contemporary Problems of Continuum Mechanics », Vol.2, P.170-174, 2014, Rostov-on-Don, Russia

123.Remizov M.Yu . The BIE method in the problem of wave propagation through an infinite doubly-periodic array of elliptic obstacles // Springer series: Advanced Structured Materials, vol 103. Springer, Cham, 2019. VIII+392 PP. ISBN 978-3-030-11664-4. DOI 10.1007/978-3-030-11665-1.

124.Remizov M.Yu. 2D low-frequency penetration of elastic waves through a double periodic array of cracks. Abstracts of International conference «Boundary Field Problems and Computer Simulation», (BFPCS-2016), 2016. №55, P.50-55, Sigulda, Latvia.

125.Remizov M.Yu. On 3-d elastic wave propagation through a doubly-periodic array of cracks. Abstracts of 20-th International Conference «Mathematics, Modelling and Analysis», (MMA 2015). 2015. Sigulda, Latvia.

126.Remizov M.Yu., Kravchenko E.V. Some properties of energy flow brought to elastic finite anisotropic band oscillated by external load // J. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2010. № 6. P.57.

127.Romanova N. V., Tsupak А.А. Solving of the problem of acoustic Wave diffraction on a system of hard screens by the Galerkin method // University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2016, № 2 (38), P. 54-66. DOI 10.21685/2072-3040-2016-2-5

128.Remizov M.Yu, Sumbatyan M.A . Low frequency penetration of elastic waves through a triple periodic array of cracks // Springer Proceedings in Physics. 2016. V.175. P. 459-474.

129.Remizov M.Yu., Sumbatyan M.A. On the Theory of Acoustic Metamaterials with a Triple-Periodic System of Interior Obstacles. Abstracts

of 57th International Scientific conference of Riga Technical University. 2016. Riga, Latvia.

130.Remizov M.Yu., Sumbatyan M.A. Efficient numerical method in the high-frequency anti-plane diffraction by an interface crack. Proceedings of the 2014 International Conference on Pure Mathematics, Applied Mathematics, Computational Methods. Santorini Island, Greece, 2014, P.43-47.

131.Remizov M.Yu, Sumbatyan M.A. An Acoustically Active Material Containing a Triple-Periodic System of Thin Plane Cracks in an Elastic Matrix. - 2015 International Conference on «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications». Azov, Russia. 2015.

132.Remizov M.Yu, Sumbatyan M.A. 3-D one -mode penetration of elastic waves through a doubly periodic array of cracks // Mathematics and Mechanics of Solids. 2018. V.23, №4. P. 636-650.

133.Remizov M. Yu, Sumbatyan M.A. On 3d theory of acoustic metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles // Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia. Mechanics. 2017. V.70. №4. P.35-49.

134Rogoff Z.M., Kiselev A.P. Dilatation of S waves in smoothly inhomogeneous isotropic elastic media // J. Acoust. Soc. Am. 1998. V. 104, No. 5, P. 2592-2595.

135Rogoff Z.M., Kiselev A.P. Diffraction at jump of curvature on an impedance boundary // Wave Motion. 2001. №33. P. 183-208.

136.Sainidou R., Djafari-Rouhani B., Vasseur J.O. Surface acoustic waves in finite slabs of three-dimensional phononic crystals // Phys. Rev. 2008. B 77 094304-1-094304-9.

137.Samko S. Hypersingular Integrals and Their Applications. New York: Taylor and Francis. 2002. 358 p.

138.Scarpetta E. In-plane problem for wave propagation through elastic solids with a periodic array of cracks // Acta Mechanica. 2002. № 154. P. 179187.

139.Scarpetta E., Tibullo V. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings // International Journal of Engeneering Science. 2008. V.46. P. 105-111.

140.Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Explicit analytical representations in the multiple high-frequency reflection of acoustic waves from curved surfaces: the leading asymptotic term // Acta Acust. Acust. 2011. №97. P. 115-127.

141.Scarpetta E., Sumbatyan M.A. An asymptotic estimate of the edge effects in the high-frequency Kirchhoff diffraction theory for 3d problems // Wave Motion . 2011. № 48. P. 408-422.

142Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Explicit analytical results for one-mode oblique penetration into a periodic array of screens // IMA J. Appl. Math. 1996. V. 56. P. 109-120.

143.Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Explicit analytical results for one-mode normal reflection and transmission by a periodic array of screens // J. Math. Anal. Appl. 1995. № 195. P. 736-749.

144.Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Wave Motion.1997. № 25.P. 61-72.

145.Scarpetta E., Sumbatyan M.A. On the oblique wave penetration in elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Quarterly of Applied Mathematics. 2000. V.58. P. 239-250.

146.Scarpetta E., Sumbatyan M.A. Wave propagation through elastic solids with a periodic array of arbitrarily shaped defects // J. Mathematical and Computer Modelling. 2003. № 37. P. 19-28.

147.Scarpetta E., Tibullo V. Explicit results for scattering parameters in three-dimensional wave propagation through a doubly periodic system of arbitrary openings // Acta Mechanica. 2006. № 185. P. 1-9.

148.Scarpetta E., Tibullo V. On the three-dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings // Int. J. Eng. Sci. 2008. № 46. P. 105-111.

149.Scarpetta E., Tibullo V. P-wave propagation through elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 2005. V.58. P. 535-550.

150.Scarpetta E., Tibullo V. On the three- dimensionl wave propagation through cascading screens having a periodic system of arbitrary openings // International Journal of Engineering Science. 2008. V.46. P.105-118.

151.Scarpetta E., Tubillo V. P-wave propagation through elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Q. J. Mech. Appl. Math. 2005. №58. P.535-549.

152.Shaw R.P. Boundary-integral equation methods applied to transient wave Scattering in an inhomogeneous medium // J. Appl. Mech. 1975. №42. P.147-152.

153.Sigalas M., Kushwaha M.S., Economou E.N., Kafesaki M.,

Psarobas I.E., Steurer W. Classical vibrational modes in phononic lattices: theory and experiment // Z. Kristallogr. 2005. № 220. P. 765809.

154.Sneddon I.N., Lowengrub M. Crack Problems in the Classical Theory of Elasticity. Wiley: London, 1969. 312 p.

155.Sotiropoulos D.A., Achenbach J.D. Ultrasonic reflection by a planar distribution of cracks // J. NDE. 1988. № 7. P. 123-129.

156.Sukhovich A., Page J.H., Vasseur J.O., Robillard J.F., Swinteck N., Deymier P.A. 2D-3D phononic crystals, chapter 4. In: Deymier, P.A. Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals. Springer, BerlinHeidelberg. 2013.

157.Sumbatyan M.A. Low-frequency penetration of acoustic waves through a periodic arbitrary-shaped grating: the three-dimensional problem // Wave Motion. 1995. V.22. P. 133-144.

158.Sumbatyan M.A., Brigante M. An efficient representation for kernels in the 2d dynamic displacement discontinuity method for cracked elastic

materials // ZAMM. 2011. V. 91. № 6. P. 516-522.

159.Sumbatyan M.A., Popuzin V.V., Remizov M.Yu. An efficient numerical treatment of the basic integral equation for acoustic filters of a doubly-periodic geometry// American Institute of Physics Conf. Proceedings. 2018, Volume 1978, Article № 470048.

160.Sumbatyan M.A., Popuzin V.V., Remizov M.Yu An efficient numerical treatment of the basic integral equation for acoustic filters of a doubly-periodic geometry. «15th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics». American Institute of Physics Conference Proceedings, Thessaloniki, Greece. 2017.

161.Sumbatyan M.A., Popuzin V.V., Tanyushin R.A. Fast iteration method in the problem of waves interacting with a set of thin screens // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. V.53. P. 1195-1206.

162.Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu. Asymptotic analysis in the anti-plane high-frequency diffraction by interface cracks // Applied Mathematics Letters. 2014. V.34. P. 72-75.

163.Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu. On the theory of acoustic

metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles // Springer series: Advanced Structured Materials. 2017. V.41. P. 19-33.

164.Sumbatyan M.A., Remizov M.Yu. On 3D theory of acoustic

metamaterials with a triple-periodic system of interior obstacles // Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2019.

165.Remizov M.Yu., Sumbatyan M.A., Zampoli V. A semi-analytical

approach in the high-frequency diffraction by cracks // Mechanics Research Communications. 2011. V.38. P. 607-609.

166.Sumbatyan M.A., Brigante M. An efficient representation for kernels in the 2d dynamic displacement discontinuity method for cracked elastic materials // ZAMM. 2011. V. 91. N6. P. 516-522.

167. Twersky V. On the scattering of waves by an infinite grating // IRE

Transactions on Antennas and Propagation, 1956. vol. AP-4, P. 330-345.

168. Twer sky V. Multiple scattering of radiation by an arbitrary configuration of parallel cylinders // J. Acoust. Soc. America. 1952. vol. 24, P. 42.

169. Twersky V. On the scattering of waves by the infinite grating of circular

cylinders// IIRE Transactions on antennas and propagations // 1962. vol. AP-10, № 6, P. 765-737.

170.Wang Y.F., Wang Y.S., Su X.X. Large bandgaps of two-dimensional phononic crystals with cross-like holes // J. Appl. Phys. 2011. №110. 113520.

171. Wang Y.S., Gross D. Interaction of harmonic waves with a periodic array of interface cracks in a multi-layered medium: anti-plane case// Int. J. Solid Struct. 2001. № 38. P. 4631-4655.

172. Willis J. R. A polarization approach to the scattering of elastic waves - II. Multiple scattering from inclusions // J. Mech. Phys. Solids. 1980. № 28. P. 307-327.

173. Wood R.W. On a remarkable case of uneven distribution of light in a diffraction grating spectrum // Philos. Mag. 1902. A 4, P. 396-402.

174. Yang, Ch., Achenbach, J.D. Time domain scattering of elastic waves by a cavity, represented by radiation from equivalent body forces // Int. J. Eng. Sci. 2017. V.115. P. 43-50.

175.Zarrillo G., Aguiar K. Closed-form low frequency solutions for electromagnetic waves through a frequency selective surface // IEEE Trans. Anten. Prop. 1988. AP. 35. P. 1406-1417.

176Zhang Ch, Achenbach J.D. Effective wave velocity and attenuation in a material with distributed penny-shaped cracks // Int. J. Solid Struct. 1991. №27. P. 751-767. 177..Zhang Ch, Gross D. Wave attenuation and dispersion in randomly cracked solid II: penny-shaped cracks // Int. J. Eng. Sci. 1993. №31, P. 859-872.

178.Zhang Ch, Gross D. On Wave Propagation in Elastic Solids with Cracks // Computational Mechanics Publications, Southampton. 1998.

179.Zhang X., Liu Z., Liu Y., Wu F. Elastic wave band gaps for three-dimensional phononic crystals with two structural units //Phys. Lett. 2003. № 313, Р. 455-460.

180.Zhao J., Li Y., Liu W.K. Predicting band structure of 3D mechanical metamaterials with complex geometry via XFEM // Comput. Mech. 2015. №55, Р. 659-672.

181. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. №2017662627. Российская Федерация. Программа расчёта акустических свойств материала, содержащего двоякопериодическую систему отверстий / Попузин Виталий Владимирович, Сумбатян Межлум Альбертович, Ремизов Михаил Юрьевич; правообладатель ФГАУ ВО ЮФУ (RU). - №2017619329; заявл. 18.09.17; зарег. 13.11.17.

182. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. №2018662823. Российская Федерация. Программа расчёта прохождения акустической волны через конечную и бесконечную периодическую систему круглых препятствий / Попузин Виталий Владимирович, Сумбатян Межлум Альбертович, Ремизов Михаил Юрьевич; правообладатель ФГАУ ВО ЮФУ (RU). - №2018660488 заявл. 01.10.18; зарег. 16.10.18.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ООО «АИСТ-Лаб»

ПЕР. СИНЕГОРСКИЙ, д. 10 344056, РОСТОВ-НА-ДОНУ ИНН: 6168008160 ОГРН: 1066168005243

Interne!

WWW.AIST.AA ANET.RU

Phone

8-909-4152888

>^®ЕРЖДАЮ"

Заместитель Днрекюра ООО «АЯМТ-Лаб» попарной работе

"А 1 5 т УЬ^Ь Боев Н.в.

17 "октября 2018 г.

СПРАВКА

о внедрении результатов научной работы

Комиссия в составе: председатель Боев Н.В.. члены комиссии: Троян Э.А., составили настоящий акт о том, что результаты диссертационной работы Ремизова Михаила Юрьевича «ПолуаналитнчеСкне методы о задачах распространения волн через системы дефектов в изотропных упрут и\ средах» использованы в проекте «Разработка новых звуконог.юшаюшнх материалов перфорированного резонаторного типа» при

разработке методов моделирования и анализа уровня прохождения акустических и упругих волн:

1. Аналитические и численные методы в вычислении уровня звукопоглощения упругих материалов, используемых в акустике и ультразвуковом неразрушающем контроле.

2. Методики и алгоритмы оценки звукопоглощения материалов перфорированного резонаторного типа.

3. Численная реализация алгоритмов оценки звукопоглощения для материалов перфорированного резонаторного тина.

Использование указанных результатов позволяет: о повысить точность оценки звукопоглогителей перфорированного резонаторного типа;

о существенно сократить время при оценке звукопоглощения акустических материалов и их выбор для

конкретных технологических условий на стадии проектирования; о разрабатывать рекомендации по улучшению свойств звукопоглощения в стадии проектирования без проведения предварительных натурных экспериментов.

Председатель комиссии:

Заместитель директора ООО «АИСТ-Лаб» по научной работе, доктор фиг-мат. наук Члены комиссии: Старший научный сотрудник.

■ ы

WL

Боев Н.В

Троян Э.А