Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Самойлов, Максим Викторович

• Самойлов, Максим Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самойлов, Максим Викторович

Введение.

1 Общие положения линейной теории термоэлектроупругости.

1.1 Основные уравнения и соотношения связанных задач.

1.2 Начальные и граничные условия.

1.3 Уравнения для электроупругих сред.

2 Метод построения блочной матрицы-символа Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с электродами-включениями.

2.1 Решение вспомогательной задачи о колебаниях однослойной среды.

2.2 Построение блочной матрицы-символа Грина для многослойной термоэлектроупругой среды в случае разрывных граничных условий.

2.3 Системы интегральных уравнений для термоэлектроупругой среды при наличии поверхностных и внутренних электродов.

3 Сдвиговые колебания слоистых электроупругих сред с электродами-включениями

3.1 Вспомогательная задача о колебаниях электроупругого слоя.

3.2 Колебания слоистых пьезоэлектриков, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов.

3.2.1 Построение матрично-функциональных соотношений.

3.2.2 Переход к динамической смешанной задаче.

3.3 Построение элементов матрицы-символа Грина для слоистой электроупругой среды без нарушения сплошности.

3.3.1 Колебания двухслойного пакета.

3.3.2 Колебания трехслойного пакета.

3.3.3 Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы-символа для многослойного пакета электроупругих слоев.

3.4. Построение элементов блочной матрицы-символа Грина для слоистых пьезоэлектриков с электродами-включениями.

3.4.1 Аналитическое представление элементов матрицы Грина для биморфного пьезоэлемента.

3.4.2 Аналитическое представление элементов матрицы Грина для триморфного пьезоэлемента.

3.5 Построение определителей матриц-символ Грина для различных моделей сред.

4 Применение метода фиктивного поглощения к решению динамических смешанных задач электроупругости.

4.1 Общая схема построения решения.

4.2 Метод фиктивного поглощения для решения одного интегрального уравнения.

4.3 Метод фиктивного поглощения для решения системы интегральных уравнений.

5 Особенности колебаний слоистых электроупругих сред с электродами-включениями

5.1 Построение дисперсионных кривых.

5.2 Численный анализ решения интегрального уравнения задачи о сдвиговых колебаниях биморфного пьезоэлемента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями»

История развития пьезоэлектричества началась более 180 лет назад, но практическое применение - только с 1917 года. В настоящее время создано большое количество элементов пьезоэлектронной техники, на основе которых сконструированы эффективные устройства радиоэлектроники [3, 31, 62, 64, 93, 103], акустики [38, 63, 93], автоматики [58], вычислительной [55] и измерительной [4, 56, 60] техники.

Технология производства пиро- и пьезоэлементов на современном уровне науки и техники достаточно проста, это позволяет значительно снизить стоимость преобразователей на их основе. Высокая радиационная стойкость и исключительная стабильность при взаимодействии с агрессивными средами позволяет использовать пьезоэлектрические устройства во многих сложных радиационных и химических условиях. Пьезокерамика, изготовленная из некоторых марок цирконат-титаната свинца, не теряет своей работоспособности при температуре до 300 — 400 °С, а элементы созданные на основе кобальта способны выдерживать температуру до 700 °С и выше.

Современные требования по энергосбережению и адаптивности к компьютерным системам управления и контроля, все чаще заставляют производителей техники и оборудования обращаться к поиску новых технологических решений. Это стимулирует миниатюризацию устройств пиро- и пьезоэлектроники. К таким технологиям можно отнести применение пьезокерамических элементов в изделиях коммутации электрических сигналов, что привело к качественно новому уровню производства кнопок, клавиатур, выключателей, переключателей и интегрированных изделий на их основе [103, 104]. В отличие от существующих сенсоров, емкостных, индуктивных и других пьезокнопки не требуют дополнительного источника питания, а также позволяют размещать на одном металлическом листе большое количество кнопок, что дает возможность объединить их в клавиатуры с различными схемами соединения.

Технические преимущества оборудования в сочетании с достоинствами пьезокерамики, кратко описанными выше, позволили пиро- и пьезоэлектрическим устройствам хорошо себя зарекомендовать на рынке бытовой и промышленной техники. Именно поэтому исследования пьезоэлектрических материалов и различных элементов, основанных на свойствах пиро- и пьезоэлектриков, отражены в многочисленных публикациях российских и зарубежных ученых [27 - 30, 35, 37, 42, 43, 46, 52 - 54, 65, 91, 92, 95, 100, 102, 105, 109, 110, 111 - 113, 118 - 121]. В монографиях [32 - 34, 50, 61, 106] на современном уровне излагаются математические методы решения широкого класса задач электроупругости для мономорфных тел. Задачи о колебаниях полиморфных электроупругих тел в настоящее время изучены недостаточно подробно [31, 47 - 49, 57, 72, 94, 95, 107]. Математические модели сплошной среды на основе современных представлений термоэлектроупругости исследованы еще меньше [36, 41, 67, 108, 114 - 117, 122]. Однако, полученные успехи на научном фронте, позволили перейти от использования известных материалов к целенаправленному созданию материалов с заданными свойствами.

Заметим, что задачи теории термоэлектроупругости, в том числе динамические контактные задачи со смешанными граничными условиями, являются усложнением задач теории упругости. Благодаря этому здесь в полной мере возможно использование разнообразных методов и приемов исследования распространения упругих волн в сплошных средах.

Огромный вклад в развитие методов исследования упругих сред внесли: Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.А. Амензаде, В.А. Бабешко,

A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы,

B.В. Калинчук, JI.A. Молотков, A.B. Павлова, Г.И. Петрашень, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, М.Г. Селезнев, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Ю.А. Устинов и целый ряд других исследователей [1, 2, 6, 9, 12, 17, 20, 21, 25, 26, 39, 40, 44, 45, 51, 66, 101]. В работах И.И. Воровича и

В.А. Бабешко [12, 51] детально изложены вопросы единственности решений интегральных уравнений динамических контактных задач, обладающих на вещественной оси тем свойством, что преобразования Фурье их ядер имеют особенности типа нулей, полюсов и точек ветвления.

В механике деформируемого твердого тела традиционно наиболее интересными и в то же время трудными для моделирования и решения являются задачи со смешанными граничными условиями. К ним можно отнести задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические слоистые тела, содержащие внутренние электроды или включения.

Созданная академиком РАН В.А. Бабешко теория «вирусов» вибропрочности определила новую стратегию исследования термоэлектроупругих, электроупругих и упругих сред, содержащих совокупности неоднородностей [5, 13, 14, 16]. По сути, теория локализации вибрационного процесса состоит в том, что при некоторых сочетаниях неоднородностей (плоских трещин и тонких включений, внутренних электродов) и для определенных соотношений их размеров и частот волновой процесс может оказаться локализованным в зоне неоднородности или может привести к разрушению. Одной из основных задач указанной теории является установление условий локализации волнового процесса [5, 7 — 10]. Фундаментальные результаты по теории «вирусов» вибропрочности, выявлению условий локализации и развитию принципиально новых подходов к их изучению получены В.А. Бабешко и О.М. Бабешко в работах [13, 14, 16].

Важной составной частью в определении волноводных свойств материалов и конструкций является сведение дифференциальных уравнений с частными производными термоэлектроупругости и электроупругости со смешанными граничными условиями к системам интегральных уравнений, которые строятся на основе матрично-функциональных соотношений, связывающих основные динамические характеристики изучаемых задач. В работах О.Д. Пряхиной и A.B. Смирновой [73 — 79] предлагается универсальный метод построения указанных соотношений для слоистых полуограниченных упругих сред, позволяющий учитывать наличие внутренних неоднородностей (дефектов) различного типа при произвольном их количестве и сочетании. Данный метод основан на специальном представлении решения для одного слоя. Затем производится сшивка решений путем удовлетворения граничным условиям. Вводятся специальные матрицы, описывающие расположение неоднородностей в среде, и строятся искомые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики задачи. На основе этого метода краевые задачи для слоистых сред со смешанными граничными условиями сводятся к многомерным системам интегральных уравнений. Предложенный в работах [74, 75] метод построения блочных матриц-символов большой размерности, основанный на введении специальных матриц, связанных с типом неоднородностей и их положением в слоистой среде, позволяет преобразовать блочные матрицы-символы большой размерности к блочным треугольным матрицам. Это дало возможность построить элементы матриц-символов Грина для различных задач в виде отношения целых функций. В настоящей диссертационной работе предложен эффективный алгоритм построения матрично-функциональных соотношений и блочных матриц-символов Грина для различных моделей термоэлектроупругих и электроупругих сред при наличии внутренних электродных покрытий и учете связанности полей.

В настоящее время существует несколько основных методов, которые удобно использовать при решении получаемых систем интегральных уравнений. К ним в первую очередь принадлежат такие методы как метод факторизации [15 - 20, 21], метод ортогональных полиномов [99], метод собственных функций [59], асимптотические методы [1], вариационно-разностный метод [21] и другие.

В диссертационной работе для решения полученных интегральных уравнений выбран метод фиктивного поглощения, который был предложен

В.А. Бабешко для динамических смешанных задач [11] и в дальнейшем нашел свое развитие в работах [10, 22- 24, 50, 52, 61, 91]. Одним из основных достоинств метода фиктивного поглощения является возможность использовать при решении динамических задач теории электроупругости полученные ранее решения соответствующих статических задач. При этом такое использование в методе оказывается естественным и не возникает необходимости дополнительного решения какой-либо статической задачи. Другим достоинством данного метода является сохранение верного описания поведения решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ, включая угловые точки, которые являются концентраторами напряжений.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, описывающих колебания многослойных полуограниченных термоэлектроупругих и электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов, с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и разработка методов их исследования.

Научная новизна заключается в следующем: предложен эффективный аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с поверхностными и внутренними электродными покрытиями; построены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики пьезоактивных материалов с учетом связанности полей при любом сочетании электродов-включений и произвольном количестве слоев; получены рекуррентные формулы вычисления блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для слоистых пьезоэлектриков класса 6тт гексагональной сингонии; разработаны алгоритмы и программные средства, проведен численный анализ построенных решений для конкретных задач.

Актуальность исследований в области механики связанных полей различной физической природы продиктована широким спектром практических приложений пьезоэлектрических устройств, работающих на прямом и обратном пиро- и пьезоэффектах. Сложился ряд самостоятельных направлений функциональной электроники, среди которых особое место принадлежит акустоэлектронике. Наиболее распространенные материалы, используемые в акустоэлектронике - пьезоэлектрики. Большинство современных пьезоэлементов, являющихся составной частью различных конструкций, создаются на основе слоистых структур. Разработка и использование слоистых пьезоэлементов позволяет значительно расширить выбор материалов и уменьшить стоимость таких устройств, сохраняя при этом эффективность их технических характеристик. В связи с изложенным выше, исследования колебаний пьезоактивной слоистой среды при различных условиях возбуждения, наличия систем поверхностных и внутренних электродов и учета связанности тепловых, электрических, механических полей, представляются весьма актуальными.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в медицине, измерительном приборостроении, акустоэлектронике, дефектоскопии, авиастроении и других областях. Полученные в ходе исследования результаты могут быть использованы при конструировании пьезоэлементов различной конфигурации (биморфов, триморфов), при создании материалов с заданными свойствами.

Работа выполнялась в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение №14.ВЗ7.21.0869 по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»); НИР КубГУ по заданию Минобрнауки по теме «Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий в области создания компонентной базы гигагерцового диапазона и пьезоэлектромеханических систем волнового мониторинга композитных материалов» (№ 1.2737.2011 от 23.11.2011 г.). На практическую значимость исследований указывает также поддержка грантами РФФИ: «Механика связанных полей для слоистых пьезоэлектриков с многоэлектродными структурами» (№ 11-08-00135); «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники» (№ 09-01-96501рюг).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием принципов классической механики и физики, адекватных моделей, строгих математических методов решения и контролем выполнения граничных условий. Также проводилось аналитическое и численное сравнение полученных результатов настоящего исследования с более простыми примерами, которые рассмотрены как в данной диссертационной работе, так и в известных работах других авторов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 170 страниц, в том числе 13 страниц списка использованной литературы и 37 страниц приложений. Список использованной литературы включает 122 наименования.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Самойлов, Максим Викторович

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию динамических смешанных задач о колебаниях термоэлектроупругих и электроупругих пакетов слоев, при наличии электродов на их стыках. Основные результаты, полученные при исследовании, заключаются в следующем:

1. Построена математическая модель динамических процессов в термоэлектроупругом пакете слоев с системой поверхностных и внутренних электродов с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей.

2. Предложен эффективный метод исследования динамических задач термоэлектроупругости и электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Разработана рекуррентная процедура построения матрично-функциональных соотношений и вычисления элементов блочной матрицы Грина для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред с внутренними и поверхностными электродами.

4. Для конкретных задач получены новые аналитические представления элементов блочной матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций.

5. Построен и программно реализован математический алгоритм исследования дисперсионных свойств элементов матрицы Грина, знание которых необходимо для решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Изучено поведение дисперсионных кривых в задачах о колебаниях двухслойной и трехслойной пьезоэлектрической среды с внутренними электродными покрытиями.

6. Разработан и реализован в виде пакета компьютерных программ алгоритм расчета амплитуды скачка электрической индукции, позволяющий проводить быстрый параметрический анализ. Изучено влияние различных параметров пьезоактивных материалов на поведение амплитуды скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции на внутреннем электроде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самойлов, Максим Викторович, 2012 год

1. Александров В. М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

2. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971. 288 с.

3. Андреев H.H. Расчет пьезоэлектрического передатчика // Труды Всесоюзного заочного энергетического института. 1951. № 1. С. 5 12.

4. Аронов B.C. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. Л.: Электроатомиздат, 1990. 272 с.

5. Бабешко В.А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24 26.

6. Бабешко В.А. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей/ В.А. Бабешко, A.B. Павлова, C.B. Ратнер, Р. Вильяме // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625-628.

7. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

8. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

9. Бабешко В.А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // ДАН. 1994. Т. 335. № 1. С. 55 58.

10. Бабешко В.А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475 478.

11. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62 65.

12. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

13. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и неоднородностей) // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5 9.

14. Бабешко В.А. Теория «вирусов» вибропрочности для совокупностей включений // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. №3. С. 21 -23.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 1 4.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 1 5.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5 9.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т.392. №2. С. 1-5.

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // Докл. РАН. 2009. Т. 424. № 1. С. 36 39.

21. Бабешко В.А., Глушков Е.В., ЗинченкоЖ.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

22. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 477 484.

23. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 4. С. 725 733.

24. Бабешко В.А., Пряхина ОД. Об одном методе в теории динамических контактных задач для круглых штампов // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 2. С. 22-28.

25. Бабешко В.А., Пряхина ОД., Смирнова A.B. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3-10.

26. Бабешко В.А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. Юбилейный выпуск. С. 80 82.

27. Бабешко В. А., Сыромятников П.В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

28. БаеваА.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 64 79.

29. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние тела с конечным числом плоских трещин или жестких включений // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 57 72.

30. Баженов В.М., Улитко А.Ф. Исследование динамического поведения пьезокерамического слоя при мгновенном электрическом нагружении // Прикладная механика. 1975. Т. 2. № 1. С. 22 27.

31. Балакирев М.К, Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука, 1982. 240 с.

32. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., СеникН.А., Фильштинский M.JJ. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т. 1. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М.: КомКнига, 2005. 312 с.

33. Бардзокас Д. И., Зобнин А.И., СеникН.А., Фильштинский М.Я. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т. 2. Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел. М.: КомКнига, 2005. 376 с.

34. Бардзокас Д. И., Кудрявцев Б. А., СеникН.А. Распространение волн в электромагнитных средах. М.: Едитормал УРСС, 2003. 336 с.

35. Бежанян В.А., Улитко А.Ф. Контактная задача электроупругости дляполуплоскости при наличии сцепления // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. №6. С. 16-20.

36. Белоконь A.B., Наседкин. A.B. Расчет некоторых типов задач термоэлектроупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион, специальный выпуск. 2004. С. 52-55.

37. Бирюков С.В., ГорышникЛ.Л. Теория взаимодействия поверхностных волн в пьезоэлектриках с электродными структурами // ЖТФ. 1980. Т. 50. № 8. С. 1647- 1654.

38. Богородский В.В. Подводные электроакустические преобразователи. Д.: Судостроение, 1984. 258 с.

39. ВатульянА.О. О некоторых закономерностях поведения решений в термоэлектроупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 1999. № 3. С. 28-31.

40. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 222 с.

41. ВатульянА.О. Тепловой удар по термоэлектроупругому слою // Вестник Донского государственного технического университета. Ростов н/Д: ДГТУ. 2001. Т. 1. № 1 (7). С. 82 88.

42. ВатульянА.О., Гетман И.П., ЛапицкаяН.Б. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27. № 10. С. 101-105.

43. ВатульянА.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. Обратные задачи для неоднородно поляризованных пьезоэлектрических стержней // ПММ. 2007. № 1.С. 93-101.

44. ВатульянА.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 5. С. 135 142.

45. ВатульянА.О., Ковалева В. В. Вариационный принцип термоэлектроупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента // ПМТФ. 2002. № 1. Т. 43. С. 196 201.

46. Ватулъян А. О., Кубликов В.Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1037 1041.

47. Ватулъян А.О., Рынкова A.A. Изгибные колебания пьезоэлектрического биморфа с внутренним разрезным электродом // ПМТФ. 2001. № 1. С. 184-189.

48. Ватулъян А. О., Рынкова A.A. К вопросу о расчете изгибных колебаний пьезоэлектрической биморфной пластины с разрезным электродом // Дефектоскопия. 1998. № 3. С. 61 66.

49. Ватулъян А. О., Рынкова A.A. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложениях // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 4. С. 114 122.

50. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 231 с.

51. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

52. Ворович И.И., Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Об электроупругих колебаниях слоя // Прикладная механика. 1990. Т. 26. С. 82 90.

53. Гилинский И.А., Попов В.В. Возбуждение акустоэлектрических колебаний металлическими электродами // Радиоэлектроника. 1978. Т. 22. № 2. С. 392 402.

54. Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 33. С. 83 90.

55. Джагупов Р.Г., Ерофеев A.A. Пьезоэлектрические устройства вычислительной техники, систем контроля и управления. СПб.: Политехника, 1994. 608 с.

56. Домаркас В.И., Кажис Р.-И.Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис, 1975. 258 с.

57. Дъелесан Э., РуайеД. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982.424 с.

58. Ермолов И.Н. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. М.: Машиностроение, 1986. 280 с.

59. ЖарийО.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Высшая школа, 1989. 184 с.

60. Кажис Р.-И. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Мокслас, 1986. 216 с.

61. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

62. Кикуч Е. Ультразвуковые преобразователи. М.: Мир, 1972. 424 с.

63. Королев М.В., Карпелъсон А.Е. Широкополосные ультразвуковые пьезопреобразователи. М.: Машиностроение, 1982. 158 с.

64. Кременчугский JI.C., РойцинаО.В. Пироэлектрические приемные устройства. Киев: Наук, думка, 1982. 363 с.

65. Мадорский В.В., Устинов Ю. А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты // ПМТФ. 1976. №6. С. 138- 145.

66. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах // Прикладная механика. 2003. № 2. С. 14 55.

67. Подилъчук Ю.Н., Коваленко И.Г. Термоэлектроупругое состояние пьезокерамического тела со сфероидальной полостью, находящегося в равномерном тепловом потоке // Прикладная механика. 2005. № 11. С. 57-66.

68. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. К моделированию волновых процессов в составных пьезоэлектрических средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 3. С. 452-453.

69. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. Эффективный метод исследования динамики слоистых электроупругих сред // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 4. С. 1719- 1720.

70. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 87 97.

71. Пряхина ОД., Смирнова A.B. К исследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Изв. РАН. МТТ. 2009. №3. С. 55-65.

72. Пряхина ОД., Смирнова A.B. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. РАН. 2006.1. Т. 411. № 3. С. 330-333.

73. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию резонансных свойств сред с неоднородностями различной природы // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. №3. С. 34-41.

74. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Изв. Вузов Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29 31.

75. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина многослойных сред // Вестник ЮНЦ РАН. Т. 4. № 1.2008. С. 3-7.

76. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

77. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование динамики слоистых электроупругих сред // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов. Самара: Издательство «Универс групп», 2011. С. 90-91.

78. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование колебанийбиморфного пьезоэлемента // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18. Вып. 2. С. 320 321.

79. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Самойлов М.В. К прогнозированию прочности и работоспособности материалов электроники и радиоэлектроники // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 3. С. 557 558.

80. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В., Маслов Р.Г. Учет связанности физических полей в динамических задачах для многослойных сред // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 1. С. 54 60.

81. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., ТукодоваО.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. Т. 62. Вып. 5. 1998. С. 834-839.

82. Пряхина ОД., Тукодова О.М. Об одной плоской смешанной динамической задаче электроупругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1.С. 80-85.

83. Пугачев С.И. Пьезокерамические преобразователи. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

84. Рогачева H.H. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней // ПММ. 2007. № 4. С. 544 560.

85. Рушицкий Я.Я., Хотенко И.М. Линейные волны в двухфазных пьезоэлектриках // Докл. Нац. АН Украины. 1995. № 3. С. 41 43.

86. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев.: Наук, думка, 1976. 284 с.

87. ХомаИ.Ю. О представлении решений уравнений равновесия пьезоэлектрического трансверсально-изотропной сферической оболочки // Прикладная механика. Киев. 1999. № 7. С. 59 68.

88. Хуторянский Н.М., Coca X.А., Зу В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости // Прикл. проблемы прочности и пластичности. 1997. № 56. С. 183 195.

89. Шарапов В. М., Мусиенко М.П., Шарапова Е.В. Пьезоэлектрические датчики. М.: Техносфера, 2006. 632 с.

90. Шермергор Т.Д., Стрельцова H.H. Пленочные пьезоэлектрики. М.: Радио и связь, 1986. 136 с.

91. ШляхинД.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 1. С. 73 82.

92. Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук, думка, 1990. 228 с.

93. Якубова Л.П. Теоретические и экспериментальные исследования пьезочувствительности биморфного элемента при вибрационномнагружении // Техн. диагностика и неразрушающий контроль. 1998. № 3. С. 61-63.

94. Ashida Fumihiro, Tauchert Theodore R. A general plane-stress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 2001. V. 38. N 28 29. P. 496 - 498.

95. Bergman L. Zur Frage der Eigenschwingungen piezoelektrischer Quarzplatten bei erregung in der Dickenschwingung // Ann. d. Phys. 1935. N 21. P. 553-563.

96. Cheeseman B.A., Santare M.H. Thermal Residual Stress and Interphase Effects on Crack Inclusion Interactions // J. of Composite Materials. 2002. V.36.N5.P. 553-569.

97. Fabien Josse, Donald L. Analysis of the excitation, interaction and detection of bulk and surface acoustic waves on piezoelectric substrates // IEEE Trans, on Sonics and Ultrasonics. 1982. V. 29. N 5. P. 261 273.

98. Hollkamp Joseph J., Starchville Thomas F. A self-tuning piezoelectric vibration absorber // AIAA/ASME Adapt. Struct: Forum Hilton Head S.C. Washington: 1994. P. 521 529.

99. Majhi M.C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod // J. Techn. Phys. 1995. V. 36. N 3. P. 269-278.

100. Norris Andrew N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and piroelastic solids // Proc. Rog. Soc. London. 1994. N 29. P. 175- 188.

101. Paul H.S., Renganathan K. Free vibration of a pyroelectric layer of hexagonal (6mm) class I I J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 395 -397.

102. QinQ.H., MaiY.W., YuS.W. Some problems in plane thermopiezoelectric materials with holes // Int. J. Solids and Stuct. 1999. V. 36. N 3. P. 427 -439.

103. ShenS., Kuang Z.B. An active control model of laminatedpiezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. N 13. P. 1925 1947.

104. ThibautW., Christian L. Asymptotic behavior of piezoelectric plates // ICTAM 2004: 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warszawa: 2004. P. 336 337.

105. Tseng C.C., White R.M. Propagation of piezoelectric and elastic surface waves on the basal plane at hexagonal piezoelectric crystals // IEEE J. of Applied Physics. 1967. V. 38. N 11. P. 4274 4230.

106. Wang Q. Wave propagation in a piezoelectric coupled solid medium // ASME. J. Appl. Mech. 2002. V. 69. N 6. P. 819 824.

107. WangYun, Xu Rong-qiao, Ding Haojiang Free vibration of piezoelectric annular plate // J. Zhejiang Univ. Sci. 2003. V. 4. N 4. P. 379 387.

108. YangX.X., ShenS., KuangZ.B. The degenerate solution for piezothermoelastic materials // Eur. J. Mech. 1997. V. 16. N 5. P. 779 793.