Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Березин, Никита Сергеевич

• Березин, Никита Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Березин, Никита Сергеевич

Введение.

1 Общие положения линейной теории электроупругости.

1.1 Основные соотношения и уравнения.

1.2 Граничные условия.

1.3 Плоская задача для электроупругого слоя.

1.4 Антиплоская задача для электроупругого слоя.

2 Динамические задачи для слоистых пьезоэлектриков с трещинами.

2.1 Общая постановка задачи.

2.2 Построение основных матрично-функциональных соотношений.

2.3 Переход к смешанной задаче. Вывод системы интегральных уравнений.

2.4 Метод фиктивного поглощения для интегрального уравнения.

3 Сдвиговые колебания двухслойной пьезоактивной среды с межфазной трещиной.

3.1 Колебания электроупругого слоя с защемленным основанием.

3.2 Колебания двухслойной электроупругой среды без внутренних дефектов.

3.3 Колебания двухслойной электроупругой среды при наличии дефекта-трещины

3.4 Решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности.

4. Особенности колебаний электроупругих сред с трещинами.

4.1 Построение дисперсионных кривых.

4.2 Численный анализ решения интегрального уравнения антиплоской задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами»

В настоящее время интенсивный интерес к механике связанных полей, в частности, электроупругости, продиктован широкими практическими приложениями пьезоэлектрических устройств в технике. При этом подавляющее большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов, а в качестве, пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства технологичны в изготовлении, обладают высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, повышенной чувствительностью и термостабильностью, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Основным конструктивным элементом ПАВ-устройств служит система электродов, нанесенная на внешние или внутренние границы пьезоэлектрика, при этом обычно требуется порядка десятков и сотен электродов. Строгая постановка, решение и развитие методов решения задач о возбуждении и распространении волн в электроупругой среде, вызванных электрическим воздействием на систему электродов, является одним из важных разделов теории электроупругости.

Впервые пьезоэлектрический эффект был применен в эхолокации и использован в излучателях, в различных устройствах для генерирования ультразвуковых волн с частотами вплоть до 100 Мгц [34, 51, 55, 102]. Позднее явление пьезоэффекта было использовано в датчиках и системах сверхточного позиционирования, например, в туннельной и атомно-силовой микроскопии, в пьезоэлектрических двигателях и генераторах электрического тока, в типографской деятельности для подачи чернил, в различных медицинских устройствах [45, 79, 105]. Повсеместное распространение получили пьезозажигалки, использующиеся в бытовых и профессиональных целях для получения высокого напряжения на разряднике. Пьезоэлектрический эффект широко применяется в устройстве 4 различных электромеханических преобразователей, для чего используются составные пьезоэлементы, предназначенные для электромеханического преобразования деформаций разного типа [79, 104]. В последнее время активно ведутся работы по созданию звуко- и виброизоляционных материалов, использующих явления пьезоэффекта для гашения возникающих в них колебаний [44, 85].

Столь широкое практическое применение пьезоэффекта объясняется тем, что керамические кристаллы, используемые в качестве пьезоэлектриков, обладают высокой механической прочностью и повышенной чувствительностью [55, 104]. Их изготавливают путем отлива, прессовки и выдавливаний, придавая изделиям различную форму. Также они обладают t высокой температурной устойчивостью, Между тем, используемые материалы, в частности, природные кристаллы кварца, часто содержат в себе различные дефекты - трещины, пузыри и другие внутренние неоднородности, наличие которых может оказать существенное влияние на свойства пьезоэлектрика. Помимо этого многие пьезоэлектрические элементы имеют многослойную структуру. Все вышеперечисленные факторы привели к тому, что задачи исследования электромеханических свойств различных материалов, изучение влияния на эти свойства дефектов материалов и описание методов, моделирующих такого рода явления, являются одними из самых актуальных и вместе с тем сложных в последнее время.

Интерес, проявляемый научным сообществом к классу задач, в которых рассматривается явление пьезоэффекта, возник 50-е годы XX века, и непосредственно связан с работами таких зарубежных ученых, как У. Мэзон [55], Д. Берленкур [34], Л. Бергман [118], Г. Тирстен [137], Б. Яффе [113] и других [51, 123]. В нашей стране подобные исследования проводили такие ученые, как H.H. Андреев, В.М. Шарапов, М.К. Балакирев, С.В. Богданов, И.А. Викторов, И.А. Гилинский, Ю.В. Гуляев, В.Е. Лямов, В.З. Партон, В.А. Кудрявцев, В.И. Пустовойт, A.B. Шубников, И.Б. Яковкин, занимавшиеся описанием и моделированием поведения полей различной природы в электроупругих средах [57, 104, 109, 111, 112, 139].

Большое практическое значение при изучения материалов, обладающих электромеханическими свойствами, имеет тот факт, что для построения физико-математических моделей могут быть использованы методы и подходы, разработанные ранее при изучении задач теории упругости, в которых рассматривалось распространение упругих волн в сплошных средах. Большой вклад в развитие теории динамических и статических 'контактных задач теории упругости внесли В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, Н.М. Бородачев, A.B. Белоконь, И.Н. Векуа, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, JI.A. Галин, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.Т. Гринченко, В.В. Калинчук, А.И. Лурье, М.Д. Мартыненко, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, С.М. Мхитарян, A.B. Наседкин, Г.Я. Попов, Б.Л. Пелех, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, B.C. Саркисян, М.Г. Селезнев, A.B. Смирнова, Л.А. Толоконников, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов [2, 4, 6, 8— 10, 12-15, 37-39, 42, 43, 47, 50, 60, 86, 100, 101], иностранные ученые J.D. Achenbach, J. W. Dunkin, D. G. Harkrider, T. Kundu, А. К. Mal, E. N. Trower и ряд других исследователей [114-116, 120-122, 126-128, 136, 138]. Этой теме посвящены многочисленные монографии и публикации [1, 15, 41, 72, 110, 117]. Значительный прогресс достигнут в последнее время в исследовании статических и динамических задач теории упругости для тел, имеющих разрезы и трещины [3, 5, 6, 11, 18, 20, 35, 36, 40, 46, 50, 53, 58, 60-62, 69, 70, 73-77, 83, 84, 88, 91-96, 98, 106-108, 124, 125, 133, 142-143].

Вместе с тем, технический прогресс и внедрение новых технологий предъявляют повышенные требования к более точным моделям для описания поведения тел, обладающих пьезоэлектрическими свойствами. В настоящее время точный расчет и анализ задач электроупругости для сред с дефектами и без них проведен лишь для некоторых преобразователей простой геометрии и структуры [19, 48, 80, 87, 90, 99, 103, 109, 111, 117, 119, 123, 129, 131, 132, 135, 137, 139-141]. Еще меньше исследований посвящено изучению слоистых пьезоэлектриков, содержащих неоднородности различной природы [22-24, 48, 68, 82]. Задачи взаимодействия жестких и деформируемых тел с 1 полуограниченными средами, обладающими электроупругими свойствами и содержащими трещины, все еще остаются мало изученными.

Предметом исследования данной работы являются задачи электроупругости для слоистых пьезоэлектриков класса 6тт гексагональной сингонии, "содержащих трещины, моделируемые математическими разрезами. Можно выделить два основных этапа исследований: построение матриц-символов Грина интегральных уравнений и их систем и непосредственно решение этих уравнений.

Для построения матрицы-символа Грина разработаны как аналитические подходы (наиболее известный из них - матричный метод [1, 64-66, 72, 136]), так и численные методы [42, 43], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач. Основные трудности, возникающие при реализации этих методов, вызваны наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, что приводит к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большего порядка, и чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера.

В настоящее время для решения интегральных уравнений используются различные подходы: метод факторизации [9, 38], асимптотические методы [2, 3], методы ортогональных полиномов [59, 86], вариационно-разностный, коллокации, сведения к интегральным уравнениям 2-го рода, методы конечных и граничных элементов [56, 81] и другие. Каждый из перечисленных выше методов имеет свои преимущества и недостатки. К достоинствам метода факторизации можно отнести то, что он может быть распространен' на высокие частоты, но действие его ограничено лишь классическими областями контакта - круг, полоса, что является малоэффективным для пространственных задач. Вариационно-разностный и метод коллокации могут быть использованы для пространственных задач, но лишь при низких частотах. Дополнительной трудностью при решении интегральных уравнений, возникающих при моделировании среды, содержащей трещины, является то, что асимптотика ядер этих уравнений оказывается растущей на бесконечности. Это не позволяет сразу применить накопленный теоретический материал для решения контактных задач, в которых ядра соответствующих интегральных уравнений имеют убывающую на бесконечности асимптотику.

В настоящей работе применяется метод решения уравнений и их систем, впервые предложенный В.А. Бабешко [8, 9] и реализованный для ряда задач в работах О.Д. Пряхиной [39, 49, 71], В.В. Калинчука [47, 48] и других исследователей. Основная идея метода, названного методом фиктивного поглощения, заключается в том, что при помощи специального преобразования, интегральные уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими ядрами сводятся к интегральным уравнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Такое поведение ядер характерно для сред с сильным затуханием и для задач статики. Полученные таким образом уравнения легко могут быть решены с помощью методов факторизации, ортогональных полиномов и т.д. [9, 59, 86]. Данное свойство качественно отличает этот метод от остальных и объясняет, почему именно он был выбран для данного исследования.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, описывающих колебания слоистых полуограниченных сред, обладающих электроупругими свойствами и содержащих дефекты-трещины, разработка методов их исследования и изучение влияния физико-математических факторов на распространение волн различной природы в анализируемой среде.

Научная новизна определяется тем, что в. работе получены новые матрично-функциональные уравнения, связывающие основные характеристики рассматриваемых материалов. На основе этих соотношений выведены системы интегральных уравнений, построены матрицы-символы Грина и их элементы в виде отношения целых функций. Для конкретных материалов, обладающих характерными электроупругими свойствами, проведен анализ дисперсионных свойств среды в случае наличия дефекта-трещины. Для двухслойного пьезоэлектрика проведен анализ поведения скачка перемещений на берегах трещины в зависимости от электромеханических параметров слоев, частоты колебаний и глубины залегания трещины.

Актуальность темы диссертационной работы определяется тем, что вследствие быстрого развития технических устройств, в основе работы которых используется явление пьезоэффекта, вопросы разработки и совершенствования эффективных моделей и методов определения взаимосвязи электрических и механических полей, возникающих в пьезоактивной среде, приобретают все большую значимость.

Практическая значимость состоит в возможности применения результатов работы в различных областях науки и техники, в которых используются явление пьезоэффекта (эхолокация, дефектоскопия, изготовление датчиков и механических позиционеров, устройств генерации электрической энергии). Полученные в ходе проведения исследований данные могут помочь в разработке и создании материалов, обладающих заданными свойствами, оценке влияния внутренних дефектов на электромеханические свойства таких материалов.

Практическую значимость исследований также подтверждает то, что работа выполнялась при поддержке РФФИ (08-08-00144), РФФИ и Администрации Краснодарского края (06-01-96600), Гранта Президента РФ (НШ-2298.2008.1).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, проверкой этих моделей на частных случаях, согласующихся с результатами других авторов, занимающихся исследованием задач такого рода.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Работа содержит 147 страниц, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 43 страницы приложений. Список использованной литературы включает 143 наименования.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Березин, Никита Сергеевич

Заключение

Настоящая диссертация посвящена исследованию динамических смешанных задач о колебаниях электроупругих слоистых сред, содержащих внутренние дефекты-трещины. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Проведено математическое моделирование динамических процессов в слоистых средах, обладающих пьезоэлектрическими свойствами и содержащих множественные трещины.

2. Предложен аналитический метод исследования динамических смешанных задач электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные механические и электрические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих трещины.

4. Методом фиктивного поглощения построено решение электромеханической задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды при наличии межфазной трещины для случая непроводящей поверхности.

5. Для частных случаев получены аналитические представления элементов матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций, необходимые для эффективного исследования пьезоактивных волновых полей в слоистых пьезоэлектриках.

6. Разработаны программные средства, предназначенные для нахождения нулей и полюсов элементов матрицы-символа Грина, для исследования особенностей построенных решений антиплоской динамической задачи, для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

7. Проведен анализ дисперсионных свойств элементов блочной матрицы-символа Грина антиплоской динамической задачи для однородного пьезоэлектрического слоя класса бтт гексагональной сингонии с внутренней трещиной.

8. Изучены основные закономерности поведения скачка перемещений на берегах трещины для различных пьезоматериалов в зависимости от глубины расположения трещины, ее линейных размеров, толщины пьезоэлектрика и приведенной частоты колебаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Березин, Никита Сергеевич, 2010 год

1. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология. Tl. М.: Мир, 1983. 519 с.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости. // Изв. РАН. МТТ. 2001. №1. С.86- 93.

4. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62 65.

5. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. К решению задачи о вибрации и упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 382. №5. С. 625- 628.

6. Бабешко В. А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

7. Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

8. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // ДАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475 478.

9. Бабешко В. А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

10. Бабешко В. А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2000. №3. С. 5-9.

11. Бабешко В. А., Бабешко О. М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // ДАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

12. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 1 5.

13. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

14. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 1 5.

15. Бабешко В. А., Глушков Е. А., Бабешко В. А., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

16. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 36 — 38.

17. Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 477 484.

18. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3 — 10.

19. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

20. БагдоевА. Г., Саакян С. Г. Антиплоская задача распространения трещины с произвольной скоростью в анизотропной неоднородной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 2. С. 145 153.

21. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние тела с конечным числом плоских трещин или жестких включений // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 57 72.

22. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Филышпинский M.JI. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т.1. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М.: КомКнига, 2005. 312 с. '

23. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Филъштинский M.JI. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т.2. Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел. М.: КомКнига, 2005. 376 с.

24. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитных средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

25. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина в поле сдвига в упругой среде с изменяющимися свойствами при плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2'. С. 147- 152.

26. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Антиплоская динамическая задача электроупругости для двухслойной среды, ослабленной трещиной // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С.11 17.

27. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию НДС материалов и конструкций с дефектами на стыке соединений // Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар 2008. Т. 2 С. 99 101.

28. Березин Н.С. Петухова A.B. К расчету НДС материалов электроники // Прикладная математика XXI века: материалы IX объединенной научнойконференции студентов и аспирантов КубГУ. Краснодар : КубГУ, 2009. С. 63-65.

29. Берленкур Д., Керран Д., Жаффе И.Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях. Физическая акустика. Под ред. У. Мэзона. Т. 1. Методы и приборы ультразвуковых исследований, часть А. М.: Мир, 1966. 592 с.

30. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортогональной полуплоскости с криволинейной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 2002. №5. С.85 90.

31. Ватульян А. О., Суворова O.A. Об обратной задаче для упругого слоя с полостью // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. №1. С. 10-16.

32. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

33. Ворович И. И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

34. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 231 с.

35. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы. // ПММ. 1996. Т. 60. Вып.2. С. 282 289.

36. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование и локализация энергии в упругих слоистых волноводах с дефектами // Акустический журнал. 2006. Т.52. Вып. 3. С. 314 325.

37. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A., Михасъкив В.В. Метод слоистых элементов в динамической теории упругости // ПММ. 2009. № 4. С. 622 634.

38. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // ПММ. 2010. № 3. С. 419 432.

39. Джигунов Р.Г., Борисюк A.M. Современные тенденции и направления развития пьезотехники. Фундаментальные проблемы пьезоэлектроники. Ростов-на- Дону: МП Книга, 1995. Т. 3. С. 5 12.

40. Жуковский В.Д. Медицинские электронные системы. М.: Медицина, 1976.312 с.

41. Зегжда С.А., Морохов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Изв. РАН. МТТ. №3. 1999. С. 114-120.

42. Калинчук В.В. Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит. 2009. 312 с.

43. Калинчук- В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

44. Кардовский И.В., Пряхина О. Д. Метод фиктивного поглощения для плоских задач об интерфейсных трещинах. ДАН. 2006. Т. 410. №6. С. 450 -456.

45. Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Известия вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №3. С. 38 43.

46. Кэди У,- Пьезоэлектричество и его практические применения. М.: Иностранная литература, 1949. 719 с.

47. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. 2 изд., М., 1982. 620 с.

48. Ляпин A.A., Румянцев А.Н., Селезнев М.Г. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью // ПМТФ. 1991. №3. С. 125 129.

49. Миклашевич H.A., Чигарев A.B. Устойчивость траектории трещины в неоднородной среде трещин // Изв. РАН. МТТ. №4.2002. С. 111 117.

50. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: Иностранная литература, 1952. 447 с.

51. Наседкин A.B. Исследование шаговых по времени схем метода конечных элементов для нестационарных задач электроупругости с классическими граничными условиями // Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д: ДГТУ, 1994. С. 78 84.

52. Партон В.З., Кудрявцев В.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

53. Плещинский Н.Б., Гусенкова A.A. Комплексные потенциалы с логарифмическими особенностями в ядрах для упругих тел с дефектом вдоль гладкой дуги // Изв. вузов. Математика. 2000. №10. С. 57 67.

54. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

55. Попов Г.Я. Построение разрывного решения динамических уравнений теории упругости для слоистой среды с межфазными дефектами // ДАН. 1999. Т. 364. № 6. С. 769 773.

56. Попов Г.Я. Построение разрывного решения уравнений динамической упругости для конического дефекта // ДАН. 1999. Т. 368. № 5. С. 624-628.

57. Попов Г. Я. Об одном новом подходе к задачам о концентрации упругих напряжений возле трещин // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 148 156.

58. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328с.

59. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Изв. РАН. МТТ. 2009. №3. С. 55-65.

60. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 3. С. 330-333.

61. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина многослойных сред // Вестник ЮНЦ РАН. Т. 4. № 1.2008. С. 3-7.

62. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

63. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Березин Н.С. Качко Д.Л. К расчету динамических характеристик гексагональных поьезоэлектриков // Известия вузов. Севю-Кавк. регион. 2009. №5. С. 30-33.

64. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Кардовский И.В., Мазин В.А. О свойствах матриц Грина динамических задач для многослойной среды с трещинами// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №4. С. 13-17.

65. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. Т. 62. Вып. 5. 1998. С. 834-839.

66. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 87 97.

67. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29 31.

68. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

69. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Березин Н. С. Задача о колебаниях пакета трех слоев, содержащего трещину и включение // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Тез. докл.

70. Всеросс. науч. конф. молодых ученых и студентов. Анапа, 2005. Т. 2. С. 133 134.

71. Пугачев С.И. Пьезокерамические преобразователи. JI.: Судостроение, 1984. 256 с.

72. Рогачева„ H.H. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней // ПММ. 2007. № 4. С. 544 560.

73. Роговой A.A., Столбова О.С. Процедура восполнения напряжений при решении краевых задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов // ПММ. 2010. № 3. С. 478-488.

74. Рушицкий Я.Я., Хотенко И.М. Линейные волны в двухфазных пьезоэлектриках // Докл. Нац. АН Украины. 1995. № 3. С. 41 43.

75. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук. Думка, 1980. 324 с.

76. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 149-158.

77. Самарин А. И. Миниатюрные линейные пьезоэлектрические двигатели // Компоненты и технологии . 2006. №10. С. 10-16.

78. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев.: Наукова думка, 1976. 284 с.

79. Скалиух A.C. Смешанные плоские задачи электроупругости для полуограниченных тел // Дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1986. 227 с.

80. Слепян Л.И. Механика трещин. JL: Судостроение. 1981. 296 с.

81. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Иностранная литература, 1955. 668 с.

82. Соловьев АН. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения // Прикладная механика. 1984. Т. 20, № 9. С. 1235 1240.

83. Староселъский A.B., Шифргт Е.И. Рассеяние плоской трещиной нормально падающей поперечной волны // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 3. С. 87-103.

84. Телятников C.B. Интегральные уравнения в упругой динамической задаче с внутренней трещиной // Динамические задачи механики сплошной среды: Тез. докл. регион, конф. Краснодар, 1988. С.143.

85. Тихомиров В.В. Напряженное состояние составного пространства с полубесконечной межфазной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6.С. 51-56.

86. Тихомиров В.В. Полубесконечная трещина, параллельная границе упругого полупространства//Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 108-114.

87. Тихомиров В. В. Равновесие упругого слоя, ослабленного полубесконечной трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 57-62.

88. Тихомиров В.В. Трещина в трансверсально-изотропном слоистом композите //Изв. РАН. МТТ. 1997. № 5. С. 163-168.

89. Тихонов А.Н., Самарский А.А Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 736 с.

90. Ткачев Г.В. Динамическая задача о вибрации трещины в упругом слое / Ростовский Государственный университет. — Ростов н/Д, 1979. Деп. в ВИНИТИ 16.07.79, №2595-79.

91. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наукова думка, 1975. № 15. С. 90-99.

92. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. 261 с. ~

93. Уфлянд Я. С. интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука, 1967. 420 с.

94. Физическая акустика / Под. ред. У. Мэзона, Р. Терстона. М.: Мир, 1966. T. 1.-Т. 7.

95. Хорошее КГ. Термоэлектроупругое состояние конечной анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами // Вюн. Донц. ун-ту. Сер. А. Природ, науки. 2005. Вип. 2. С. 67 72".

96. Шарапов В.М., Мусиенко М.П., Шарапова. Е.В. Пьезокерамические преобразователи физических величин / под ред. В.М. Шарапова. Черкассы": ЧГТУ, 2005. 631 с.

97. Шермергор Т.Д., Стрельцова H.H. Пленочные пьезоэлектрики. М.: Радио и связь, 1986. 136 с.

98. Шифрин Е.И. Об асимптотическом разложении упругих полей вблизи контура плоской трещины на границе соединения двух материалов // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 1045 1055.

99. Шмегера C.B. Начально-краевая задача динамической теории упругости для составной плоскости с нестационарным разрезом на границе раздела //Изв. РАН. МТТ. №5.1997. С. 132- 138.

100. Шульга H.A. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. 200 с.111 .Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова думка, 1990. 228 с.

101. Яковкин И.Б. Возбуждение акустических поверхностных волн. Новосибирск: 1980. 91с.

102. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Мир, 1974. 288 с.

103. Achenbach J.D., Keer L.M., Mendelsohn D.A. Elastodinamic Analysis of edge Crack // J. of Appl. Mech. 1980. V.74.N 3.115 .Achenbach J.D., Khentan R.P. Kinking of crack under dynamic loading conditions // J. Elast. 1979.V.9.N 2.

104. Alterman Z., Karal F. Propagation of elastic waves in layered media by finite differences methods // Bull.Seism.Soc.Amer. 1958. V.58. N 1, P.367-398.

105. Ashida Fumihiro, Tauchert Theodore R. A general plane-stress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 2001. V. 38. N 28 29. P. 496 - 498.

106. Bergman L. Zur Frage der Eigenschwingungen piezoelektrischer Quarzplatten bei erregung in der Dickenschwingung // Ann. d. Phys. 1935. N 21. P. 553-563.

107. Fabien Josse, Donald L. Analysis of the excitation, interaction and detection of bulk and surface acoustic waves on piezoelectric substrates // IEEE Trans, on Sonics.and Ultrasonics. 1982, V. 29. N 5. P. 261 273.

108. Harkrider D.G. Surface waves in multilayered elastic media I. Rayleight and Love waves from buried sources in a multilayered elastic half-space // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964. V.54., P. 627-679.

109. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bull.Seism.Soc.Amer. 1953.V.43., N 1, P.17-34.

110. Hetnarski R.B. Coupled thermoelastic problem for the half-space // Bull. Acad. Polon. Sci. Techn. 1964 V. 12. N 1.

111. Ingebrigtsen K.A. Surface waves in piezoelectrics // J. of Applied Physics. 1969. V. 40. N 7. P. 2681-2686.

112. Itou S. Three-dimensional wave propagation in a cracked elastic solid // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1978. V. 45. N 4. P. 807-811.

113. Kassir M.K., Bregman A.M. The stress intensity factor for a penny-shaped crack between two dissimilar materials // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech. 1972. V 39. N1. P. 308-310.

114. Keilis-Borok V.I., Neigaus M.G., Shkadinskaya G.V. Applications of the theory of eigen-functions to the calculations of surface waves velocities // Rev.Georh. 1965. V.3 .N 1.

115. Knopojf L. A matrix method for elastic waves problems // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964, V.54., P.431-438

116. Majhi M.C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod // J. Techn. Phys. 1995. V. 36. N 3. P. 269278.

117. Paul H. S., Renganathan K. Free vibration of a pyroelectric layer of hexagonal (6mm) class // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 395 397.

118. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific & Technical. 1991. V. 256. P. 246-256.

119. Oin Q.H., Mai Y.W., Yu S.W. Some problems in plane thermopiezoelectric materials with holes // Int. J. Solids and Stuct. 1999. V. 36. N 3. P. 427 -439.

120. Shen S., Kuang Z.B. An active control model of laminated piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. N 13. P. 1925 1947.

121. Sneddon I.N. The stress intensity factor for a flat elliptical crack in an elastic solid under uniform tension // Int. J. Eng. Sci. 1979. V.17. N 2.

122. Sommerfeld A. Vorlesungen uber theretishe Physik // Optik.-Wiesbaden. 1950. V.l.

123. Thibaut W., Christian L. Asymptotic behavior of piezoelectric plates // ICTAM 2004: 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warszawa. 2004. P. 336 337.

124. Thompson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified medium // J.Appl.Phys. 1950. V.21, N 1, P.89-93.

125. Tiersten H.P. Thickness vibrations of piezoeiectrics plates // J. Acoust. Soc. Amer. 1963. N35. P. 53 -58.

126. Trower E.N. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media // J.Sound.Vibr. 1965. V.2, N 3, P.210-226.

127. Tseng C.C., White R.M. Propagation of piezoelectric and elastic surface waves on the basal plane at hexagonal piezoelectric crystals // IEEE J. of Applied Physics. 1967. V. 38. N 11. P. 4274-4230.

128. Wang Q. Wave propagation in a piezoelectric coupled solid medium // ASME. J. Appl. Mech. 2002. V. 69. N 6. P. 819 824.

129. Wang Yun, Xu Rong-qiao, Ding Haojiang Free vibration of piezoelectric annular plate // J. Zhejiang Univ. Sci. 2003. V. 4. N 4. P. 379 387.

130. Zang W., Gudmundson P. An integral equation method for piece-wise smooth cracks in an elastic half-plane I I Engng. Fracture Mech. 1989. V. 32. N 6. P. 889-897.

131. Zang W., Gudmundson P. Frictional contact problems of kinked cracks modeled by a boundary integral method // Intern. J. Number. Methods in Eng. 1991. V. 31. N3. P. 427-446.