Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гликлих, Андрей Юрьевич

• Гликлих, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гликлих, Андрей Юрьевич

Ведение

1 Группы диффеоморфизмов

1.1 Предварительные сведения и постановки задач.

1.2 Расстояния на группах диффеоморфизмов и меры некомпактности

1.3 Локальная липшицевость дифференциалов вложений.

2 Уравнения с правоинвариантными операторами

2.1 Правоинвариантные векторные поля на D3.

2.2 Правоинвариантные специальные векторные поляна TD*

2.3 Правоинвариантные стохастические дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора

3 Уравнения с уплотняющими полями

3.1 Уплотняющие векторные поля на

3.2 Уплотняющие дифференциальные уравнения второго порядка

4 Уравнения с многозначными полями

4.1 Общие свойства многозначных векторных полей на DS(M)

4.2 Дифференциальные включения первого порядка на D*

4.3 Дифференциальные включения второго порядка на Di

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторные и дифференциальные уравнения и включения на группах диффеоморфизмов»

Группы соболевских диффеоморфизмов компактных римановых многообразий являются широко известными примерами функциональных бесконечномерных многообразий. Активное исследование различных объектов на указанных группах началось после того как в работах

B.И. Арнольда [1] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [2] было показано, что указанные группы (функциональные многообразия) являются естественными конфигурационными пространствами для описания движения различных жидкостей в рамках лагранжева подхода к гидродинамике. Различные аспекты анализа на этих многообразиях и различные типы уравнений на них исследовались в многочисленных работах В.И. Арнольда (см., например, [3]) , Д. Эбина , Дж. Марсдена, А. Фишера, Д. Холма, Т. Ратиу и Р. Чернова [4, 5, б, 7, 8, 9], М. Кантора [10], A.M. Лукацкого [11, 12, 13], Н.К. Смоленцева [14, 15],

C. Школлера [16], А.И. Шнирельмана [17], К.Д. Элворти (см., например, [18]), Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого (см., например, [19]) и других.

Важным вопросом, возникающим при использовании групп диффеоморфизмов в гидродинамике и других разделах математики, является вопрос о существовании решений различных типов дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями на указанных группах. В частности, дифференциальное уравнение второго порядка (1.6) на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов (см. ниже) описывает движение идеальной несжимаемой жидкости. Напомним, что на бесконечномерных пространствах дифференциальное уравнение с непрерывной правой частью может не иметь даже локального по времени решения задачи Коши.

Отметим одно важное отличие групп диффеоморфизмов от конечномерных групп Ли: на группах диффеоморфизмов правоинвариант-ные векторные поля могут быть не гладкими, а лишь непрерывными. В связи с этим в основополагающих работах Д. Эбина и Дж. Мар-сдена дифференциальные уравнения с правоинвариантными правыми частями рассматривались только при дополнительном условии гладкости или локальной липшицевости правых частей. Аналогично дополнительное условие гладкости накладывалось на коэффициенты стохастических дифференциальных уравнений на группах диффеоморфизмов в работах Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, К.Д. Элворти и др. Между тем важным для приложений является рассмотрение уравнений с непрерывными правоинвариантными правыми частями.

Уравнений с непрерывными правыми частями, которые не являются правоинвариантными, естественно возникают в случаях, когда физические поля, действующие на жидкость, зависят от конфигурации жидкости. Для таких уравнений проблема существования решений аналогична.

Начиная со статей А.Амброзетти [20] и Б.Н.Садовского [21], широко известным дополнительным условием на непрерывную правую часть дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве, при котором локальное по времени решение задачи Коши существует, является требование, чтобы операторы, стоящие в правой части, были ограниченными относительно той или иной меры некомпактности (см. также развитие этого метода, в частности, для дифференциальных включений, в [22, 23, 24, 25]). В работах В.В. Обуховского и Ю.Е. Гли-клиха [26, 27] этот подход был обоснован для бесконечномерных многообразий на основе вложения многообразия в некоторое гильбертово пространство как окрестностного ретракта, однако не были указаны никакие критерии во внутренних терминах групп диффеоморфизмов, при которых этот подход применим.

Отметим также, что в работах А.В. Фурсикова [28, 29] и В.В. Обу-ховского, П. Дзекки и В.Г. Звягина [30] в рамках эйлерова подхода описаны задачи гидродинамики с управлением, приводящие к дифференциальным включениям. Если в рассмотренных в этих работах задачах перейти к лагранжеву формализму, то соответствующие многозначные поля на группе диффеоморфизмов оказываются правоинвариант-ными, то есть в указанных работах учитывалась только зависимость силовых полей от скорости и не учитывалась зависимость от конфигурации жидкости. Таким образом возникает задача об изучении общих свойств многозначных операторов на группах диффеоморфизмов и соответствующих им дифференциальных включений, причем не только с правоинвариантной правой частью. Несмотря на важность этой задачи для приложений, раньше она не рассматривалась.

Целью работы является изучение непрерывных правоинвариант-ных, уплотняющих, многозначных и других операторов на группах диффеоморфизмов и доказательство разрешимости соответствующих им уравнений и включений. Основным техническим приемом здесь является вложение групп диффеоморфизмов или их касательных расслоений в линейное гильбертово пространство и продолжение указанных выше операторов на трубчатую окрестность. Поэтому еще одной целью работы является исследование свойств указанных продолжений.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и глобального анализа. В частности теория уплотняющих операторов, теория многозначных отображений и дифференциальных включений, а также отдельные элементы стохастического анализа на бесконечномерных многообразиях.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Показано, что естественное продолжение на трубчатую окрестность непрерывного правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов и непрерывного правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов, вложенных в соответствующее соболевское пространство, являются локально липшицевыми. Как следствие, отсюда получена теорема существования и единственности глобального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на группе диффеоморфизмов и теорема существования и единственности локального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов с непрерывными правоинвариантными правыми частями.

2. Доказана теорема существования глобального по времени решения задачи Коши для правоинвариантного стохастического дифференциального уравнения Ито в форме Белопольской-Далецкого на группе диффеоморфизмов плоского n-мерного тора с непрерывным сносом и гладкой диффузией.

3. Найдено условие, при котором продолжение непрерывного не правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов, вложенной в соответствующее соболевское пространство, на трубчатую окрестность является локально ^-ограниченным относительно мер некомпактиости Куратовского и Хаусдорфа и аналогичное условие для правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов. Как следствие, отсюда получены теоремы существования локального по времени решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов с непрерывными правыми частями.

4. Изучены свойства полунепрерывности сверху и снизу, непрерывности по Хаусдорфу и т.д., а также /^-ограниченности относительно мер некомпактности для многозначных векторных полей, на группах диффеоморфизмов.

5. Доказан ряд теорем существования локальных по времени решений для дифференциальных включений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов. Исследован модельный пример об управлении движением идеальной несжимаемой жидкости на двумерном компактном многообразии, описываемой дифференциальным включением второго порядка на группе диффеоморфизмов. Доказано существование оптимального управления.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании задач гидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), Воронежской зимней математической школе 2006 года и на научных сессиях Воронежского государственного Университета 2001 - 2006 годов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [31] - [41]. Из совместной работы [41] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на И параграфов, и списка литерату

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гликлих, Андрей Юрьевич, 2006 год

1. Arnol'd V. Sur la geometric differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits / A. Arnol'd // Ann.1.st.Fourier. - 1966. - T.16, N 1. - P. 319-361.

2. Эбин Д.Дж. Группы диффеоморфизмов и движение несжимаемой жидкости / Д.Дж. Эбин, Дж. Марсден // Математика (сб. переводов), 1973. Т. 17, N 5. - С. 142-167; N 6. - С. 111-146.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

4. Ebin D.G. The motion of slightly compressible fluids viewed as a motion with strong constraining force / D.G. Ebin // Ann. Math.-1977. Vol. 105. - P. 141-200

5. Ebin D.G. Viscous fluids in a domain with frictionless boundary /D.G. Ebin // Global analysis Analysis on manifolds / Teubner Text zur Mathematik. - 1983. - Vol. 57. - P. 93-110

6. Holm D.D. Hamiltonian structure of ideal continuum dynamics / D.D. Holm, J.E. Marsden, T.S. Ratiu. Montreal: Montreal University Press, 1986. - 208 p.

7. Marsden J.E. Applications of global analysis in mathematical physics / J.E. Marsden. Berkeley: Publish or Perish, 1974. - 273 p.

8. Marsden J.E. Diffeomorphism groups, hydrodynamics and relativity./ J.E. Marsden, D.G. Ebin, A. Fisher // Proc. 13th Biennal sem. of Canadian Math. Soc., Montreal, 1970. P. 135-27982

9. Chernoff P. Properties of infinte dimensional Hamiltonian systems / Chernoff P., J. Marsden. Berlin et al: Springer-Verlag, 1974. - 160 p.

10. Cantor M. Groups of diffeomorphisms of Rn and the flow of a perfect fluid / M. Cantor // Bull. Amer. Math. Soc., 1975. Vol. 81, No. 1. -P. 205-208.

11. Лукацкий A.M. О кривизне группы диффеоморфизмов, сохрфня-ющих меру n-мерного тора / A.M. Лукацкий // Успехи мат. наук. -1981. Т. 36, № 2. - С. 187-188.

12. Лукацкий A.M. О структуре тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру двумерного компактного многообразия / A.M. Лукацкий // Сибирский мат. журнал, 1988. Т. 29, № 6. - С. 95-99.

13. Lukatsky A.M. On the curvature of diffeomorphisms Group / A.M. Lukatsky // Annals of Global Analysis and Geometry. 1993. - Vol. 11. - P. 135-140.

14. Смоленцев H. К. О принципе Мопертюи / H.K. Смоленцев // Сиб. мат. журн. 1979. - Т.20, вып. 5. - С. 1092-1098

15. Смоленцев Н.К. Интегралы потоков идеальной баротропной жидкости / Н.К. Смоленцев // Сиб. мат. журн. 1982. - Т. 23, N 1. -С. 205-208

16. Shkoller S. Geometry and curvature of diffeomorphism groups with Я1 metric and mean hydrodynamics / S. Shkoller // Journ. Func. Analysis. 1998. - Vol. 160, No. 1. - P. 337-365.

17. Шнирельман А. И. О геометрии группы диффеоморфизмов и динамике идеальной несжимаемой жидкости / А.И. Шнирельман //Мат. сборник. 1985. - Т.128, N 1(9). - С. 82-109.

18. Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds / K.D. Elworthy / Lect. Notes of London Math. Soc., vol. 70. Cambridge: Cambridge University Press, 1982. - 326 p.

19. Далецкий Ю. Jl. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю. Л. Далецкий, Я. И. Белопольская. Киев: Выща школа, 1989. - 295 с.

20. Ambrosetti A. Un teorema di esistenza per le equazioni differenziali negli spazi di Banach/ A. Ambrosetti // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1967. - Vol. 39. - P. 349-361.

21. Садовский Б.Н. Локальные теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / Б.Н. Садовский // Пробл. матем. анализа сложн. сист. 1967. -N 1. - С. 70-74.

22. Ахмеров P.P. Меры некомпактности и уплотняющие операторы /P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, А.С. Потапов и др.- Новосибирск: Наука, 1986. 265 с.

23. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А.А. Толстоногов. Новосибирск: Наука, 1986. - 296 с.

24. Deimling К. Multivalued differential equations / К. Deimling. Berlin, N.Y.: Walter de Gruyter, 1992. - 257 p.

25. Kamenskii M. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.- 231p.

26. Обуховский В.В. Дифференциальные уравнения типа Каратеодори на гильбертовых многообразиях / В.В. Обуховский, Ю.Е. Гли-клих // Труды математического факультета (новая серия). 1996.- N 1. Воронеж: ВГУ. - С. 23-28.

27. Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и о результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера / А.В. Фурсиков // ДАН СССР, 1980. Т. 252, № 5. - С. 1066-1070.

28. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера / А.В. Фурсиков // Ма-тем. сб., 1981. Т. 115, № 2. - С. 281-307.

29. Obukhovskii V.V. Optimal feedback control in the problem of the motion of a viscoelastic fluid / V.V. Obukhovskii, P. Zecca, V.G. Zvyagin // Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2004. Vol. 23, No. 2. - P. 323-337.

30. Гликлих АЛО. Уплотняемость правоинвариантных векторных полей на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика, Математика. 2001. - N 2. - С. 67-73.

31. Гликлих А.Ю. О стохастических дифференциальных уравнениях с правоинвариантными коэффициентами на группах диффеоморфизмов плоского тора / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2002. - N 7. - С. 21-24.

32. Гликлих А.Ю. О многозначных векторных полях на группах ди-феоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2004. - N 8. - С. 19-24.

33. Гликлих А.Ю. Об уплотняющих векторных полях на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2005. - N 9. - С. 40-45

34. Гликлих А.Ю. Одно утверждение о локальной липшицевости векторных полей на группах диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения: материалы международ, конф. Воронеж, 2005. - С. 35-36

35. Gliklikh A.Y. On existence of integral curves of continuous right-invariant vector fields on groups of diffeomorphisms / A.Y. Gliklikh // Fixed Point Theory. 2005. - Vol. 6, No. 2. - P. 279-284

36. Гликлих А.Ю. О существовании решения одного дифференциального уравнения второго порядка на группе диффеоморфизмов / А.Ю. Гликлих // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2006: тез. докл. Воронеж, 2006. - С. 33.

37. Гликлих А.Ю. О дифференциальных уравнениях второго порядка с уплотняющей правой частью на группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем / А.Ю. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2006. - Вып. 10. - С. 57-68.

38. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. М.: Мир, 1967. - 204 с.

39. Nash J. Imbedding Problem for Riemannian Manifolds / J. Nash // The Annals of Mathematics, 1956. Vol. 63, N 1. - P. 20-63.

40. Гликлих IO.E. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики /Ю.Е. Гликлих. М.: Комкнига, 2005. - 416 с.

41. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 511 с.

42. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. -Воронеж: Издательство Воронежского Университета, 1986. 100 с.

43. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. М: КомКнига, 2005. - 215 с.

44. Kato Т. On classical solutions of the two dimensional non-stationary Euler equations / T. Kato // Arch, for Rat. Mech. and Analysis, 1967. Vol. 25, N 3. - P. 188-200