Деформация двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой при осесимметричном нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Мишин, Михаил Васильевич

• Мишин, Михаил Васильевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Мишин, Михаил Васильевич

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

1.1 Классификация задач.

1.1.1 По виду граничных условий.

1.1.2 По форме возможного решения.

1.2 Общие решения пространственных задач.

1.3 Обзор существующих аналитических подходов по типу разрешающих уравнений.

1.3.1 Замкнутые решения.

1.3.2 Аналитические построения, приводящие к одному операторному уравнению.

1.3.3 Решения, сводимые к совокупности операторных уравнений.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

2 ДЕФОРМАЦИЯ СЛОЯ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВЫРЕЗОМ, ПОДКРЕПЛЕННЫМ ПОДАТЛИВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Компоненты тензора напряжений и вектора полного перемещения.20 2.3. Построение и анализ системы разрешающих уравнений.

2.4 Исследование напряженно-деформированного состояния слоя на базе полученного аналитического решения.

2.4.1. Четное нагружение слоя.

2.4.2 Вариант нечетного нагружения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Деформация двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой при осесимметричном нагружении»

В практике строительства нередко встречаются деформируемые системы, представляющие собой слоистый массив с вертикальной цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены включением. В первую очередь к ним относятся шахты и опускные колодцы. При этом, конструкции надшахтных сооружений, как правило, занимают осесимметричное, или близкое к нему расположение относительно оси вертикальной выработки. Это позволяет трактовать их как пространственные осесимметричные сооружения, допускающие для расчетов соответствующие аналитические и численные методы строительной механики. В этом случае возникает необходимость исследования напряженно-деформируемого состояния системы "слой-полупространство". Основной задачей, при этом, является определение давления массива на крепь и осадки дневной поверхности.

В настоящее время основными нормативными документами, регламентирующими расчет таких объектов, являются СНиП 2.09.03-85 «Сооружения промышленных предприятий» и СНиП П-94-80 «Подземные горные выработки Расчет сводится к решению осесимметричной задачи для упругого полупространства, нагруженного по кольцевому участку поверхности дневного слоя. Однако данная методика, во-первых, не учитывает влияние шахтных стволов на напряженно-деформированное состояние породы, а во-вторых, не позволяет определять осадку дневной поверхности многослойного массива.

Следует отметить, что наиболее близкие к рассмотренной задаче аналитические решения принадлежат Конопелько Е.В. - для многослойного полупространства с жестким включением; В.З.Васильеву - для полупространства с выработкой, подкрепленной податливым включением.

Ввиду значительной трудоемкости расчетов, на практике подобные задачи решаются на базе современных расчетных комплексов, ориентированных на численные методы, которые, как известно, являются приближенными. По этой причине они не способны улавливать тонкие локальные эффекты напряженнодеформированного состояния рассматриваемых объектов. Следовательно, эталоном являются результаты, полученные в рамках точных аналитических построений.

В этой связи в диссертации поставлена и решена задача о пространственной осесимметричной деформации двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением. Точного аналитического решения такой задачи до настоящего времени в теории упругости нет.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Мишин, Михаил Васильевич

Основные результаты и выводы по главе

1. Составлена программа исследования напряженно-деформированного состояния двухслойного полупространства с подкрепленной выработкой на базе приведенных аналитических построений.

2. Отдельно исследован случай относительно жесткого крепления. Изучено влияние параметра ю = ц71 \х2 и функции внешней нагрузки на характер деформированного состояния объекта.

3. Многовариантные расчеты для случая податливого включения подтверждают факт существенного влияния податливости крепи на величину и характер распределения по глубине контактных напряжений, а также на осадку дневной поверхности массива.

4. Для двухслойного полупространства с выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, получено свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Заключение

Основным итогом диссертационной работы является решение пространственной контактной задачи для двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением при осесимметричном нагружении. Результаты работы более детально могут быть сформулированы следующим образом:

1. Выполнено точное аналитическое решение пространственной осесиммет-ричной задачи для двухслойного полупространства с вертикальной цилиндрической выработкой, подкрепленной податливым включением. Оно сведено к системе шести операторных уравнений.

2. Методом сопоставления нового аналитического решения с классическим, которое получено другим способом и в иной форме, доказана достоверность системы разрешающих уравнений. Тем самым обоснована возможность применения метода последовательных приближений для получения численных результатов при сходимости процесса.

3. Составлена программа исследования НДС рассматриваемого объекта на базе приведенных аналитических построений.

4. Отдельно исследован случай относительно жесткого крепления. Изучено влияние параметра со = р,7 / \х2 и функции внешней нагрузки на характер деформированного состояния объекта.

5. Многовариантные расчеты для случая податливого включения подтверждают факт существенного влияния податливости крепи на величину и характер распределения по глубине контактных напряжений, а также на осадку дневной поверхности массива.

6. По итогам работы над объектами типа «слой-полупространство» разработано пять программ для ЭВМ, для четырех из которых получены свидетельства об официальной регистрации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Мишин, Михаил Васильевич, 2007 год

1. Агуф, Е.И., Васильев, В.З. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием Текст. / Е.И. Агуф, В.З. Васильев // НТТ. 1980. - №4. - С. 68-77.

2. Айзенберг, .Ю., Шапиро Г.С. О передаче давления через слой, имеющий цилиндрическое отверстие Текст. / Д.Ю. Айзенберг, Г.С. Шапиро // Инж. сб. 1950. - №7. С. 12-16.

3. Александров, А. Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осе-симметричной задач и решение осесимметричных задач при помощи аналитических функций Текст. / А.Я. Александров // ДАН СССР. -1959. т. 129. - №4.

4. Александров, А. Я. Решение осесимметричной задачи теории упругости при помощи зависимостей между осесимметричным и плоским состояниями Текст. /

5. A. Я. Александров //АН СССР. ПММ. - 1961. - т. 25. - вып. 5.

6. Александров, А.Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметричной задачи теории упругости для бесконечной плиты Текст. / А.Я Александров //Докл. АН СССР. 1959. - 129. - №4. - С. 755-757.

7. Александров, В.М., Клиндухов, В.В. Контактные задачи для двухслойного упругого основания с неидеальной механической связью между слоями Текст. /

8. B.М. Александров, В.В. Клиндухов // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 2000. -№3. с. 84-92.

9. Александров, В.М., Калкер Д.Д. Пожарский Д.А. К расчету напряжений в осесимметричной контактной задаче для двухслойного основания Текст. / В.М. Александров, Д.Д, Калкер, Д.А.Пожарский // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 2000. -№5.-с. 118-130.

10. Александров, В.М., Калякин А.А Плоская и осесимметричная контактные задачи для трехслойного упругого полупространства Текст. / В.М. Александров, А.А. Калякин // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005. - №5. - с. 39-47.

11. Александров, В.М., Калякин А.А. Постановка и метод решения плоской контактной задачи для трехслойного упругого основания Текст. / В.М. Александров, А.А. Калякин // Вестн. МГУ. Сер 1. -2004. -№5. С. 49-53.

12. Александров, В.М., Калякин, А.А. Интегральные уравнения контактных задач для слоистого упругого полупространства Текст. / В.М. Александров, А.А. Калякин // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2005. - №3. - С. 67-69.

13. Александров, В.М., Чебаков М.И Аналитические методы в контактных задачах теории упругости Текст. / В.М. Александров, М.И. Чебаков // М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. -2004.-302 е., ил.-ISBN 5-9221-0519-1.

14. Арутюнян, Н. X., Абрамян Б. Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом Текст. / Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян // Изв. АН Арм. ССР. Механика. -1969.-22.-№2.-с. 3-13.

15. Арутюнян, Н.Х., Абрамян БЛ. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом Текст. / Н.Х. Арутюнян, БЛ. Абрамян // Изв. АН Арм. ССР. Механика. - 1969. -22,-№2.-С. 3-13.

16. Булычев, Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов Текст. / Н.С. Булычев // М.: Недра. 1989. 270с.: ил. - ISBN 5-247-00294-6.

17. Булычев, Н.С. Основные вопросы строительной механики вертикальных шахтных стволов, сооружаемых бурением и обычными способами Текст. / Н.С. Булычев // Автореферат дисс. на соискание ученой степени д-ра техн. наук. -Л.1971.

18. Булычев, Н.С. Некоторые результаты исследования перемещений в сыпучем изотропном массиве вблизи вертикальной выработки с податливой крепью Текст. / Н.С. Булычев// Сборник ВНИМИ. 1961.

19. Булычев, Н.С., Фотиева, Н.Н., Стрельцов, Е.В. Проектирование и расчет крепи капитальных выработок Текст. / Н.С. Булычев, Н.Н. Фотиева, Е.В. Стрельцов // М.: Недра. 1986,- С.287.

20. Васильев, В.З., Агуф, Е.И. Первая основная задача для слоя с круговым отверстием Текст. / В.З. Васильев, Е.И. Агуф // М.: Известия Академии Наук СССР. -Механика Твердого Тела. 1980 . - С.68-77.

21. Васильев, В. 3. Осесимметричная деформация полупространства с жестким полубесконечным включением Текст. / В. 3. Васильев // Изв. ВУЗов. Стр-во и арх. - 1969. - №6. - С. 25-27.

22. Васильев, В. 3. Осесимметричная деформация упруго изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой Текст. / В. 3. Васильев // Изд. АН. СССР. МТТ. - 1968. - №5. - С. 124-129.

23. Васильев, В. 3. Осесимметричная деформация упругоизотропных тел Текст. / В. 3. Васильев // Автореферат дис. Д-ра тех. Наук. ЛИСИ. - JI. - 1980. - 26 с.

24. Васильев, В.З. Напряжения в упругом изотропном полупространстве вблизи торца вертикальной цилиндрической выемки Текст. / В.З. Васильев // Прикладная механика. 1967. -т.5.-вып.7. -С. 109-117.

25. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация упругоизотропного слоя с цилиндрическим вырезом Текст. / В.З. Васильев // Тр. ЛИСИ.-1973. -№73. С. 15-22.

26. Васильев, В.З. Концентрация напряжений в полупространстве вблизи цилиндрического выступа при осесимметричном нагружении. Текст. / МТТ 1974, №4, с. 46-58.

27. Васильев, В.З. Концентрация напряжений около торца полубесконечного кругового цилиндра при осесимметричном нагружении Текст. / В.З. Васильев // Изв. ВУЗов. Машиностроение. 1972. -№12. - С. 29-31.

28. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация полупространства с упругоподкре-пленной цилиндрической полостью Текст. / В.З. Васильев // Прикладная механика. 1979.-т. 15. - С. 17-22.

29. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация упругого изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой Текст. / В.З. Васильев // Изв. АН СССР. МТТ. - 1968. - №5. - С. 124-129.

30. Васильев, В.З. Осесимметричная деформация элементов строительных конструкций Текст. / В.З. Васильев // JL: Стоииздат. -Ленингр. Отд-ние. -1988.-87 с.

31. Васильев, В.З. Применение метода неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра Текст. / В.З. Васильев // Тр. ЛИСИ. -1973.-№73.-С. 23

32. Васильев, В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости Текст. / В.З. Васильев // М.: транспорт. 1993. - 366 с.

33. Галеркин, Б. Г. К общему решению задач теории упругости в трех измерениях с помощью функций напряжений и перемещений Текст. / Б. Г. Галеркин // Докл. АН СССР, А, 1931. -№10. - С.281-286.

34. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости Текст. / Л.А. Галин // М.: Наука. 1980.

35. Галин, Л.А. Пространственные контактные задачи териии упругости для штампов круговой формы в плане Текст. / Л.А. Галин // Прикл. матем. и мех. Т. 10. - вып.4. - 1946.

36. Гастев, В. А. К вопросу об общем решении трехмерной задачи теории упругости Текст. / В. А Гастев // Труды ВВМИСУ. 1940. - вып.2. - С. 3-1.

37. Гринченко, В.Т., Улитко, А.Ф. Смешанная осесимметричная задача для теории упругости для цилиндра конечной длины Текст. / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко // Сб. "Сопр. Матер, и теор. Сооружений". 1971. - вып. XV.

38. Гринченко, В.Т., Улитко, А.Ф. Точное решение задачи о распределении напряжений около кругового отверстия в упругом слое Текст. / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко // Прикладная механика. 1968. -Т.4. - В. 10. - С. 38-45.

39. Гродский, Г. А. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного тела при помощи ньютоновских потенциалов и гармонических функций Текст. /

40. Г. А. Гродский // Изв. АН СССР. отд. Матем. И естествен. Наук. - 1935. - №4. -С. 587-614.

41. Дау, Езай Аналитическое решение осесимметричной задачи для слоистого полупространства с упругоподкрепленной выработкой Текст. / Езай Дау // Автореф. дисс. канд. тех. наук. СПб. 2004. - 13 с.

42. Динник, А. Н. О давлении горных пород и расчет крепи круглой шахты Текст. / А. Н. Динник // Инженерный журнал. 1925. - №7. - С. 1-12.

43. Довнороович, В.И. Пространственная контактная задача о жестком круговом в плане штампе с певерхностью, изображаемой некоторым полиномом относительно декартовых координат / В.И. Довнороович, // Там же с. 31 46.

44. Заикин, А.Д. Напряжения в весомой полуплоскости, содержащей полукруглую выемку Текст. / А.Д. Заикин // Прикл. мех. и техн. физ. -2000. -41. -№1. С. 152-161.

45. Каплун, А.С. Осе симметричная задача для упругого полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом, подкрепленным трубой Текст. / А.С. Каплун // Автореф. дисс. канд. техн. наук. JI. 1977. - 23 с.

46. Каплун, А.С., Филин, А.П. Осесимметричное загружение полупространства с вертикальным цилиндрическим каналом Текст. / А.С. Каплун, А.П. Филин // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука. - 1975. - С. 256-264

47. Кизыма, Я. М. Давлении упругого цилиндра на упругий слой Текст. / Я. М. Ки-зыма // Изв. АН СССР. 1972. - №3.

48. Кизыма, Я. М. Осесимметричная задача о давлении упругого цилиндра на упругое полупространство Текст. / Я. М. Кизыма // Изв. АН СССР. МТТ. - 1969. -№4.

49. Кизыма, Я. М. Симметричная задача о контактном взаимодействии упругого цилиндра и упругого полупространства Текст. / Я. М. Кизыма // В сб. "Контактные задачи и их инженерное приложение". Докл. конф. М. - 1969.

50. Клюкин, А.А. Осесимметричная задача теории упругости о полупространстве с бесконечным цилиндрическим включением при наличии трения на поверхности контакта Текст. / А.А. Клюкин // Вопросы мех. Строит. Констр. И матер. -JI -1984.-С. 24-27.

51. Конопелько, Е.В. Определение напряженно-деформированного состояния многослойных осесимметричных объектов Текст. / Е.В. Конопелько // Автореферат дисс. к.т.н.-Л.: 1984,16с.

52. Кулагина, М.Ф., Иванова, В.И Первая основная задача теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости Текст. / М.Ф. Кулагина, В.И. Иванова // Вест. Самар. гос. техн. ун-та. 2003.-№9 - С. 89-96.

53. Леонов, М.Я. Общая задача о давлении кругового штампа на упругое полупространство / М.Я. Леонов // Прикл. матем. и мех. Т.17.-В.1-1953

54. Лехницкий, С. Г. Исследование механических процессов в однородных массивах, ослабленных горными выработками Текст. / С. Г. Лехницкий // Л.:ВНИМИ. 1970. - С. 3-8.

55. Лехницкий, С. Г. Определение напряжений в упруго изотропном массиве в близи вертикальной цилиндрической выработки круглого сечения Текст. / С. Г. Лехницкий // Изв. АН. СССР.-ОТН. 1938. -№3. - С. 69-76.

56. Лившиц, П. 3. Напряженное состояние в упругом цилиндре, нагруженном по боковой поверхности касательными усилиями Текст. / П. 3. Лившиц // Инж. сб.-1960. С.З(М7.

57. Лурье, А. И. Напряженное состояние в упругом цилиндре, нагруженном по боковой поверхности Текст. / А. И. Лурье // Инж. сб. 1953. -17. - С. 43-58.

58. Лурье, А. И. Пространственные задачи теории упругости Текст. / А. И. Лурье // М:ГТТИ.- 1955.-492 с.

59. Лурье, А.И. Теория упругости Текст. / А.И. Лурье // М.: Наука. 1970.

60. Ляв, А. Математическая теория упругости Текст. / А. Ляв // М. -Л.: ОНТИ. -1935-674 с.

61. Марченко, В.Л., Шамарин, Ю.Е. Исследование контактных давлений в многослойных осесимметричных конструкциях Текст. / В Л. Марченко, Ю.Е. Шамарин // Пробл. прочн. 1998. - №4. - С.73-82.

62. Монастирський, Б.Э. Задача про контакт двох nienpocTopiB з кшьцевою вшмкою на одному. 4.2. Числовий метод i результата. Текст. / Б.Э. Монастирський // ФЬ-xiM. мех. матер. 2003. - 39. - №4. - С. 37-41.

63. Монастирський, Б.Э., Ют, Г.С. Контактная задача для полупространства и жесткого основания с осесимметричной выемкой Текст. / Г.С. Ют, Б.Э. Монастирський//Мат. методи та ф1з.-мех. поля.-1988.^1-№4. С.11.

64. Невзоров, Н.И. Осесимметричная деформация плит с упругим включением: Ав-тореф. дисс. канд. техн. наук. Л. 1990.

65. Никишин, B.C. Статические контактные задачи для многослойных упругих тел Текст. / B.C. Никишин // Механика контактных взаимодействий. .:Физматлит. -2001.-С. 30-54.

66. Панасюка, В.В Предельное равновесие хрупких тел с трещиной Текст. / В.В. Панасюка // Киев: Наук. Думка. 1968. - 246 с.

67. Папкович, Н. Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифференциальных уравнений покоя изотропного тела Текст. / Н. Ф. Папкович // Прикл. Матем. И мех. 1937. -T.I. - вып.1. - С 117-132.

68. Подковалихина, Е.А., Приварников, А.К. Первая граничная осесимметричная задача для многослойного основания с цилиндрическим отверстием Текст. / Е.А. Подковалихина, А.К. Приварников // Теор. и прикл. мех. 2005. -№4. С. 38-43.

69. Розин, J1.A. Контактная задача теории упругости с односторонними связями и зацеплением Текст. / JI.A. Розин // Изв. вузов. Стр-во. 2002. №10. - С.52-56.

70. Розин, J1.A. Смирнов, М.С. Решение контактных задач теории упругости с податливостью в односторонних связях Текст. / J1.A. Розин, М.С. Смирнов // Изв. вузов. Стр-во. 2000. - №5. - С.27-32.

71. Снеддон, И. Преобразование Фурье Текст. / И.Снеддон // М: ИЛ. -1955. -667с.

72. Солдатенков, И.А. О вдавливании со сцеплением штампа в упругую полуплоскость при наличии касательной нагрузки Текст. / И.А. Солдатенков // Прикл. мат. и мех. М. -1999. - 63. - №1. - С.111-118.

73. Солдатенков, И.А. К решению контактной задачи теории упругости для толстой полосы со сцеплением Текст. / И.А Солдатенков // Прикл. мат и мех. М. 2003. - 67. - №5. - С.877-884.

74. Соловьев, Ю. И. Об интегральных уравнениях осесимметричной задачи теории упругости Текст. / Ю. И. Соловьев // Сб. "Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности ". Новосибирск. -1969.

75. Соляник-Красса, К. В. К решению осесимметричных задач теории упругости Текст. / К. В. Соляник-Красса // Докл. АН. СССР. -1957. Т. XXXVI. - №3. -С.481-484.

76. СНиП 2.09.03-85. Строительные нормы и правила. Сооружения промышленных предприятий.- М.: Госстрой СССР, 1986. 97 с.

77. СНиП П-94-80. Строительные нормы и правила. Нормы проектирования. Часть II. Подземные горные выработки. Глава 94. М.: Госстрой СССР, 1982. - 38 с.

78. Справочник по специальным функциям с формулами, гарфиками и математическими таблицами. Под. ред. М Абрамовича и И.Стига. М.:Наука. - 1979. - 830с.

79. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том II Текст. /Оформление обложки Шапиро С. Л., Олексенко А. А. СПб.: Издательство «Лань». - 1997. - 800 с.

80. Чебаков, М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетом сил трения в неизвестной области контакта Текст. / М.И. Чебаков // Докл. РАН. 2002. 383.-№1.-С.67-70

81. Чемерис, В. С. Об интегральных уравнениях осесимметричной теории упругости Текст. / В. С. Чемерис // "Прикл. Механика". 1965. -1. - №5.

82. Черепанов, Г. П, Ершов, JI. В. Механика разрушения Текст. / Г. П. Черепанов, JI. В. Ершов // «Машиностроение». 1977. - 224 с.

83. Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости Текст. / И.Я. Штаерман// Гостехиздат. М. - JL - 1949.

84. Blenkam, К. A., Wilhoite, I.C. Stresses Due to a Band of Normal stress of the Entrance of a circular Hole. Техт. / K.A. Blenkarn, I.C. Wilhoite //-Trans. ASME. Journ. Appl. Mech. - Ser. E, 1962. - 29. - p. 647-650.

85. Boussinesque, J. Applications des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouvement des solides elastiques Техт./ J. Boussinesque // 1885.

86. Chen, Jun-guo, Meng, Jin-jun, Dong, Zheng-zhu Техт. / Suzhou keji xuebao. Gong-cheng jishu ban / Jun-guo Chen, Jin-jun Meng, Zheng-zhu Dong // J. Univ. Sci. and Technol. Suzhou. Eng. and Technol. 2005.- 18. -№2-p.32-34, 47.

87. Elata, David On the problem of rigid inclusions between two dissimilar elastic half-spaces with smooth surfaces Техт. / David Elata // Int. J. Solids and Stract. 1999. 36. -№17.-p. 2633-2636.

88. Filon, L. On the Elastic Equilibrium of Circular Cylinders under certain practical System of Loads / L. Filon // Phil. Trans. Of the Royal Soc. London. vol. -198. -1902.

89. Iyengar, К. T. S. R., Yogananda С. V. The end problem of hollow cylinders Техт. / К. Т. Iyengar // "Trans. ASME". 1966. - E33. - №3 (Рус. перевод. Прикладная механика. -№3. - ЕЗЗ. - 1966).

90. Gao, Y.C., Mai, Y.W. The contact proplem of a rubber half-space dented by a rigid con apex Техт. / Y.C. Gao, Y.W. Mai // Arch. Appl. Mech. 2002. -72. -№ 4-5. p. 213-228.

91. Michell, J. H. The uniform torsion and flexure of incomplete Tores with application to helical springs Техт. / J. H. Michell // Proc. London. Math. Soc. - 1900. - v. 31.

92. Narain, Prem. A note on an asymertical mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity Техт. / Prem Narain // Proc. Glasgow Math. Assoc. -vol. 7.-№1.- 1965.

93. Reiss, E.L. Extention of an Infinite Plate with a Circular Hole Техт. / E.L. Reiss // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1963. - vol.11. -No.4.

94. Rusia, К. S. On certain asymertical mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity Техт. / К. S. Rusia // Journ. Sci and Engng. Res. vol. 10. -№1.- 1966.

95. Schwarze, N. Nrans. Arbitrary load distribution on a layered half space Техт. / N. Schwarze // ASME . J.Tribol. 2000. - 122. - №4. - p. 672-681.

96. Shibuya, Toshikazu, Kai, Terutaka, Kishimoto, Kikuo, Inoue Hirotsugu, Takahashi Kentaro Nihon kikai gakkai ronbunshu Техт. / Toshikazu Shibuya // A Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A - 2003. - 69. - № 687. - p.l545-1551.

97. Sneddon, I.N. Boussinesq's problem for a plat-ended cylinder Техт. / I.N. Sneddon //Proc. Cambridge Phil. Soc. 1946. - v.42. - pp. 29 - 39.

98. Srivastav, R. P. An axisymmetric mixed boundary value problem for a half-space with a cylindrical cavity Техт. / R. P. Srivastav // "J. Math, and Mech.", 1964. 13. - №3.

99. Srivastav, R. P., Narain Prem. Stress distribution due to pressured exterior crack in an infinite isotropic elastic medium with coaxial cylinder cavity Техт. / R. P. Srivastav, Prem Narain // Internat. Journ. Engng. Sci. vol. 4. - № 6. - 1966.

100. Sternberg, E. Three dimensional stress concentration in the theory of elasticity Техт. / E. Sternberg // Appl. Mech. Revs, 1958 - 11. - p. 1-4.

101. Terezawa, K. On the elastic equilibrium of a semi infinite solid under given boundary condition with same application Техт. / К. Terezawa // J. of College of Sci. Imp. Univ. - Tokyo - 1916. - 377. - p. 16-31.

102. Wozniak, M., Hummel, A., Paauk, V.J. Axisymmetric contact problems for an elastic layer resting on a rigid base with a Winkler type excavitation Техт. / M Wozniak, A. Hummel //Int.J.Solids and Struct. 2002,- 39. -№15. -p. 4117-4131.

103. Youngdahl, C.K., Sternberg, E. Three-dimensional stress concentration arround a cylindrical hole in a semiinfinite elastic body Техт. / С.К. Youngdahl, E. Sternberg // Trans.ASME.-Joum.Appl.-Mech.-Ser. E. 1966 — p.855-865.