Колебания авиационных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Кьи Твин

• Кьи Твин
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кьи Твин

V ВВЕДЕНИЕ.

1. УРАВНЕНИЯ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ С ОТСЕКАМИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ.

1.1. Математическая модель для изгибно - крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности.

1.2. Матрица жесткости отсека крыла.

1.3. Вычисление обобщенных масс и обобщенных сил для крыла

1.4. Оценка точности упругодинамической модели крыла.

1.4.1. Влияние конусности крыла. i 1.4.2. Сравнение с результаты расчета по МКЭ. 1.4.3. Сходимость собственных частот колебаний по числу ' отсеков.

1.5. Динамические характеристики жидкости в отсеках упругой конструкции.

1.5.1. Формулировка задачи о колебаниях жидкости в подвижной полости.

1.5.2. Уравнения колебаний жидкости в обобщенных координатах.

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РИТЦА И МКЭ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГИХ ПОЛОСТЯХ.

2.1. Вариационные принципы для расчета колебаний жидкости в полостях.

2.1.1. Принцип Лагранжа.

2.1.2. Принцип Кастильяно.

2.1.3. Смешанный вариационный принцип.

2.2. Гармонические степенные функции.

2.3. Точное решение плоской задачи о колебаниях жидкости в прямоугольной полости.

2.3.1. Собственные колебания жидкости в неподвижной полости.

2.3.2. Колебания жидкости при заданных перемещениях полости.

2.4. Применение метода Ритца.

2.4.1. Уравнения метода Ритца.

2.4.2. Пример расчета.

2.4.3. Матрица присоединенных масс жидкости.

2.5. Применение МКЭ.

2.5.1. МКЭ на основе принципа Лагранжа.

2.5.2. МКЭ на основе принципа Кастильяно и смешанного вариационного принципа.

2.5.3. Пример расчета.

3. СВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ К ОДНОМЕРНОЙ ДЛЯ ЖИДКОСТИ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ УПРУГУЮ ПОЛОСТЬ.

3.1. Постановка задачи и метод ее решения.

3.2. Использование разложений по степенным функциям для сведения задачи к обыкноведенным дифференциальным уравнениям.

3.3. Использование разложений по полиномам Лежандра для сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений 7]

3.5. Определения коэффициенты присоединенных масс жидкости.

3.6. Применение МКЭ.

3.6.1. Вычисление кинетической энергии жидкости.

3.6.2. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости.

3.6.3. Расчет собственных колебаний жидкости.

3.7. Примеры расчета.

3.8. Примеры расчета присоединенных масс жидкости.

4. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ УПРУГИЕ ОТСЕКИ ФЮЗЕЛЯЖА.

4.1. Сведение дифференциального уравнения несжимаемости жидкости с кинематическими граничными условиями к интегральному уравнению неразрывности.

4.2. Уравнения колебаний упругого бака с жидкостью в обобщенных координатах.

4.3. Выбор координатных функций для перемещений жидкости.

4.4. Колебания жидкости в упругой полости, часть которой заполнена полостью.

4.5. Примеры расчета собственных колебаний жидкости в цилиндрической полости.

4.5.1. Горизонтально расположенная полость.

4.5.2. Наклонная полость.

5. ВЛИЯНИЕ ПОДВИЖНОСТИ ЖИДКОСТИ НА УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ И ФЛАТТЕР.

5.1. Собственные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполненьши жидкостью.

5.1.1. Поперечные колебания.

5.1.2. Крутильные колебания.

5.2. Флаттер крыла с полостью, частично заполненной жидкостью, при различных углах наклона свободной поверхности. НО

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания авиационных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью»

Задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в неподвижных, подвижных и упругих полостях весьма часто встречаются в природе, в различных сооружениях и в машиностроительных конструкциях. Это — водоемы, каналы, гидротехнические сооружения, водонапорные башни, нефтехранилища, нефтеналивные суда (танкеры), авто- и железнодорожные цистерны, космические аппараты и пр.

Большой вклад в теорию, разработку методов расчета и решение конкретных задач динамики твердых и упругих тел с полостями, содержащими жидкость, внесли Стоке, Жуковский Н.Е., Моисеев Н.Н., Колесников К.С., Рабинович Б.И., Лампер Р.Е., Луковский И.А., Балакирев Ю.Г., Шмаков В.П., Шклярчук Ф.Н., Abramson H.N., Bauer H.F., Miles J.W. и др.

Задача о малых (линейных) колебаниях жидкости, частично заполняющей неподвижную, подвижную или упругую полость, формулируется более или менее одинаково [9, 15, 17, 21, 30, 31, 34 - 36, 47, 52, 71, 85]. В большинстве таких задач жидкость можно считать идеальной (невязкой) и несжимаемой, а её движение внутри и на стенках полости — безотрывным.

В этом случае из уравнений движения колеблющейся жидкости следует, что давление является потенциалом для ускорений частиц жидкости и, следовательно, существуют потенциал скоростей и потенциал перемещений жидкости.

В результате задача о колебаниях идеальной жидкости может быть описана только одной неизвестной функцией, представляющей давление в жидкости, или потенциал скоростей или потенциал перемещений жидкости, которые на основании условия несжимаемости должны удовлетворять уравнению Лапласа.

В случае сжимаемой жидкости также существуют указанные выше потенциалы. При этом на основании уравнения неразрывности жидкости давление равно объемной деформации жидкости, умноженной на её модуль объемного адиабатического сжатия) задача вместо уравнения Лапласа сводится к волновому уравнению для потенциала [15,52]. Необходимость учета сжимаемости тяжелой жидкости (не газа) возникает в случае высокочастотных акустических колебаний или в случае гидроупругих колебаний при больших глубинах заполнения толстостенных оболочек (например - трубопроводов).

Задача о колебаниях вязкой жидкости в полостях по постановке и методом решения существенно отличается от задачи о колебаниях идеальной жидкости [30,36].

При малых колебаниях подвижных и упругих полостей, частично заполненных несжимаемой жидкостью, её сложное движение можно представить в виде суммы переносного движения, обусловленного перемещениями стенок, и относительного движения, обусловленного гравитационными волнами на свободной поверхности жидкости.

Теоретически в жидкости могут также происходить внутренние относительные движения жидкости, не связанные с движениями стенок и свободной поверхности. В действительности такие движения в идеальной жидкости не возникают, поскольку отсутствуют внутренние силы для их возбуждения. Однако при численных методах решения гидродинамической задачи для уравнения Лапласа (особенно при использовании метода конечных разностей, метода конечных эдементов и некоторых вариантов метода Ритца) такие движения возникают и они сильно усложняют анализ колебаний системы. Например, при расчете собственных колебаний жидкости в полости или гидроупругой системы указанными методами появляются «паразитные» (spurious) формы колебаний с близкими к нулю частотами.

Эти формы обусловлены внутренними движениями жидкости, собственные частоты которых теоретически должны быть равны нулю. Паразитные формы, число которых равно числу внутренних степеней свободы, получаются неортогональными и могут приводить к погрешностям расчета низших собственных частот гравитационных и упругих колебаний. Это необходимо учитывать при разработке и при использовании методов расчета, допускающих появление паразитных форм колебаний.

Для расчета колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях используются различные приближенные аналитические и численные методы. Точные решения могут быть получены только для таких форм объема жидкости, которые допускают применение метода разделения переменных в изученных системах координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.), [2-4,16,57,59].

Для получения приближенных и численных методов для баков сложной формы обычно используются вариационные формулировки задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в виде принципа Лагранжа и Кастильяно [32,84], принципа Бейтмана [27,28] и различных вариантов смешанного вариационного принципа [8,15,17,47].

При использовании принципа Лагранжа для гидроупругих колебаний оболочек основная трудность заключается в том, чтобы точно удовлетворить кинематическое граничное условие безотрывного движения оболочки и жидкости. В [1] для этого в качестве основной неизвестной рассматривается гармоническая функция потенциала перемещений жидкости, а нормальное перемещение оболочки выражается через нее.

В [54,55] наоборот перемещения жидкости выражаются через нормальное перемещение оболочки, удовлетворяя условие несжимаемости жидкости и условие безотрывности её на подвижной стенке. Решения в [1,54,55] получены методом Ритца в перемещениях с достаточно быстрой сходимостью.

Более простой алгоритм реализации метода Ритца для решения задач о колебаниях жидкости в неподвижных, подвижных и упругих полостях получается при использовании принципа Кастильяно (классического вариационного принципа для давления жидкости или связанных с ним потенциалов скоростей или перемещений жидкости [10,28,41,42]. Из этого принципа следуют условие несжимаемости жидкости в виде уравнения Лапласа, кинематическое условие её безотрывного движения на стенке и условие на свободной поверхности жидкости в случае, когда гравитация не равна нулю.

Принцип Кастильяно не применим, если частоты колебаний значительно выше низшей собственной частоты гравитационных колебаний жидкости в неподвижной полости или, формально, если при наличии свободной поверхности ускорение поля массовых сил (сил тяжести) стремится к нулю.

Чтобы обойти эту трудность при использовании принципа Кастильяно, в некоторых работах заранее удовлетворяется динамическое граничное условие на свободной поверхности [2]. Во многих работах для этого вводится еще одна функция, представяющая нормальное перемещение свободной поверхности, которая рассматривается также, как нормальное перемещение стенки полости, и далее может считаться заданной или неизвестной [18,28].

При решении гидродинамической задачи таким способом для определения потенциалов переносного движения жидкости (при этом гравитация не учитывается), свободную поверхность жидкости заменяют «крышкой», которая считается связанной со стенками полости [23,32,34-36, 41-43] или свободно плавающей [30,31,44,45]. Далее, чтобы устранить влияние такой несуществующей «крышки», добавляются в качестве неизвестных волновые движения свободной поверхности жидкости.

Алгоритм метода Ритца упрощается, если вместо принципа Кастильяно для жидкости использовать смешанный вариационный принцип, предложенный в [17]. При использовании этого принципа нет необходимости вводить на свободной поверхности дополнительную неизвестную функцию или «крышку», или заранее удовлетворять динамическое условие, так как оно удовлетворяется автоматически, даже если гравитация не учитывается.

Оценки сходимости решений по методу Ритца с использованием смешанного вариационного принципа были выполнены в [63] на примере осесимметричных колебаний конической оболочки с жидкостью и в [24] на примерах колебаний жидкости в прямоугольной полости и в круговом цилиндре.

Среди других методов, используемых при расчете колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях отметим следующие: метод граничных элементов [11,82], метод аналитического продолжения решения при увеличении глубины жидкости [12], метод коллокаций для удовлетворения условия безотрывного движения жидкости и стенки [13], метод итераций для расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью [66].

В последние годы широкое распространение в гидроупругости получил метод конечных элементов (МКЭ) в различных вариантах [18,20,22, 37,48,53,62,72,74-83,86-92].

В работах [48,72,77,79-81,83,90] решение строится в перемещениях для сжимаемой жидкости как для частного случая упругого тела с нулевой жесткостью на сдвиг. Решение в таком виде может привести к большим вычислительным трудностям и ошибкам, поскольку в системе одновременно присутствуют низкочастотный спектр гравитационных колебаний, высокочастотный спектр акустических колебаний и нулевой спектр внутренних движений жидкости. В некоторых из этих работ для случая несжимаемой жидкости накладываются дополнительные связи. Это значительно усложняет алготритм.

В [56,76,78,92] составляются уравнения МКЭ для давления (потенциала) несжимаемой жидкости и затем исключаются внутренние переменные как циклические координаты. Том самым устраняются «нулевые» формы внутренних движений жидкости.

В [20,74] уравнения гидроупругости для КЭ-модели получаются путем удовлетворения всех уравнений и граничных условий приближенно по методу Бубнова-Галеркина. Такой подход приводит к несимметричным системам уравнений высокого порядка.

В [37,86,87] уравнения МКЭ строятся на основе смешанного вариационного принципа для двух функций, характеризующих колебания в общем случае сжимаемой жидкости, - давления и потенциала перемещений. Это сильно увеличивает размерность системы.

В [18] и ряде других работ этого автора также используется смешанный вариационный принцип для расчета колебаний оболочек вращения с жидкостью по МКЭ. При этом колебания жидкости описываются потенциалом перемещений и нормальным перемещением свободной поверхности.

В [25] для расчета колебаний жидкости в полостях использовался МКЭ, так же как ранее метод Ритца [24], на основе различных вариационных принципов (Лагранжа, Кастильяно и смешанном) для одной неизвестной функции - потенциала перемещений жидкости.

В работах [15,53,60,62] для оболочек вращения и произвольных полостей в виде наклонных каналов с жидкостью предложен вариант МКЭ в перемещениях, когда в качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости. Этот метод разработан на основе сведения гидродинамической задачи в таких полостях к одномерной задаче, путем разложения продольных перемещений жидкости по заданным функциям координат поперечного сечения [15,16,40,56,61,64,67-69].

Таким образом гидродинамическая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующих алгебраических уравнений МКЭ с КЭ в виде слоев жидкости. Такой подход является весьма эффективным и позволяет получить приближенное решение с достаточно высокой точностью при небольшом числе неизвестных (с 1-м или 2-мя дифференциальными уравнениями или с 8 10 КЭ).

Отмеченные здесь методы расчета колебаний жидкости в подвижных недеформируемых и деформируемых полостях используются в динамике упругих тонкостенных конструкций с отсеками и баками, содержащими жидкость. К ним односятся жидкостные ракеты [14,23,30,31,45,47,49,58,70, 73], самолеты [5,40,43,44], корабли [29,33], а также другие конструкции и сооружения с жидкостью.

На основании анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать методы расчета колебаний тонкостенной конструкции самолета, отсеки крыла и фюзеляжа которого частично заполнены жидкостью.

Основное содержание диссертации изложено в пяти главах.

В первой главе разработана математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, а также - для фюзеляжа, используя метод отсеков. Деформация отсеков конструкции, как укрупненных конечных элементов, рассматривается на основе теории изгиба, сдвига и кручения подкрепленных слабоконических оболочек с производным контуром поперечных сечений, который может свободно депланировать и искривляться. Получены уравнения колебаний конструкции с учетом подвижности жидкости, частично заполняющей отсеки.

Во второй главе рассмотрено применение метода Ритца и МКЭ для расчета колебаний жидкости в упругих полостях на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты для собственных частот гравитационных колебаний жидкости и коэффициентов присоединенных масс жидкости на примере плоской задачи для подвижной прямоугольной полости с оценками их сходимости и точности.

Третья глава посвящена разработке метода сведения плоской гидродинамической задачи к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость с плоскими торцами. Используются разложения продольного перемещения жидкости по степенным функциям, а также по ортогональным полиномам Лежандра, по поперечной координате. Получены обыкновенные дифференциальные уравнения, а также соответствующие алгебраические уравнения МКЭ с КЭ в виде поперечных слоев жидкости.

Выполнены сравнительные расчеты с оценкой сходимости результатов для подвижной прямоугольной полости с наклоненной свободной поверхностью жидкости. Показано, что приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, имеет практически приемлемую точность.

В четвертой главе гипотеза плоских поперечных сечений жидкости используется для решения трехмерной задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей упругие отсеки фюзеляжа, имеющие продольную плоскость симметрии. Решение построено с помощью МКЭ. В качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости, в пределах толщины которых для перемещений используется линейная аппроксимация. Представлены примеры расчета собственных колебаний жидкости, частично заполняющей круговую цилиндрическую полость, расположенную горизонтально и с наклоном.

Пятая глава посвящена оценке влияния подвижности жидкости на упругие колебания и флаттер. Рассмотрены собственные поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполнеными жидкостью, при разных углах наклона свободных поверхностей.

Также рассмотрен флаттер крыла с полостью, частично заполненой жидкостью. Оценено влияния подвижности жидкости при разных углах наклона её свободной поверхности.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. УРАВНЕНИЕ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА

БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ С ОТСЕКАМИ, ЧАСТИЧНО

ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Кьи Твин

Основные результаты работы

1. Разработана математическая модель и получены уравнения в обобщенных координатах для расчета изгибно-крутильных колебаний конструкции самолета с отсеками крыла и фюзеляжа, частично заполненными жидкостью.

2. Разработаны алгоритмы расчета колебаний жидкости в упругих полостях методом Ритца и методом конечных элементов на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты расчета собственных частот и коэффициентов присоединенных масс жидкости с оценками точности и сходимости.

3. Плоская задача о колебаниях жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость, путем разложения перемещений жидкости в ряд по заданным функциям поперечной координаты сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Так же получены алгебраические уравнения по методу конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости. Показано, что двучленное приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, обладает достаточно высокой точностью.

4. Метод конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости, которые перемещаются и поворачиваются, оставаясь плоскими, применен так же для расчета колебаний жидкости в упругих отсеках фюзеляжа.

5. Оценено влияние подвижности жидкости в отсеках и наклона её свободных поверхностей на упругие поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона и на флаттер профиля крыла с жидкостью.

116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кьи Твин, 2005 год

1. Александрович Л.И., Лампер Р.Е. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура. //Труды V1.Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. - М.: Наука, 1967. -с.27 -29.

2. Балабух Л.И., Молчанов А.Г. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью. //Инженерный журнал: Механика твердого тела. 1967, № 5.

3. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью. // Инженерный журнал: Механика твердого тела. 1967, № 5.

4. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания соосных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью. //Труды VII Всес. Конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. - с.81 - 87.

5. Балгеймер В.В., Ефимкин В.П., Лампер Р.Е. Динамика жидкости в длинном баке кессоне с нервюрами // Колебания упругих конструкций с жидкостью. - М.: ЦНТИ «Волна», 1984. - с. 12 - 17.

6. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1997, 488 с.

7. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М.: ИЛ, 1958,-799 с.

8. Богоряд И.Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом. ПММ, 1962, т.26, № 6, с.1122- 1127.

9. Болотин В.В. О движении жидкости в колеблющемся сосуде. ПММ, 1956, т.20, № 2, с.293 -294.

10. Ю.Борисова Э.П. Свободные колебания жидкости в наклонном цилиндре. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962." с.203 212.

11. П.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JL Методы граничных элементов. М.: «Мир», 1987, 524 с.

12. Галкин М.С. Определение присоединенных масс жидкости, частично заполняющей колеблющийся бак с деформируемыми стенками. В сб. "Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск; Новосиб. электротехн. ин-т, 1973",с.28 -29.

13. З.Галкин М.С., Жмурин И.П. Определение форм колебаний жидкости в сосудах произвольной формы методом коллокаций // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск.: Изд. НЭТИ, 1974. - с. 65 - 64.

14. М.Гладкий В.Ф. Динамика конструкции летательного аппарата. М.: Наука, 1969, 496 с.

15. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. Физматлит, 2000. - 592 с.

16. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Шклярчук Ф.Н. Об одном методе расчета колебаний жидкости, частично заполняющей упругую оболочку вращения // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 3, 1968, с. 74-80.

17. Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью. // ПММ, т.34, вып. 3, 1970.С.401 -411.

18. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных конструкций, содержащих жидкость. В сб. "Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск, Томский ун-т, 1978", с.55 - 60.

19. Гришанина Т.В. Расчет деформаций и колебаний крыльев большого удлинения с учетом конусности, //изв. вузов. Авиационна техника, 2005, №2, с. 10-13.

20. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. JI.: Судостроение, 1984. -237с.

21. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., М.: Гостехиздат, 1948, т.1, с.31 - 153.22.3енкевии О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. -541с.

22. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980, 387 с.

23. Кьи Твин, Шклярчук Ф.Н. Флаттер крыла с полостью, частично заполненной жидкостью, при различных углах наклона свободной поверхности. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Ярополец, 2004",т.2. с.127 - 130.

24. Луковский И.А. Определение частот и форм колебаний жидкости в сосуде на основе вариационного принципа Бейтмана. В сб. "Аналитические методы исследования динамики сложных систем. Киев; Ин-т математики АН УССР, 1982", с.З - 11.

25. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев, «Наукова думка», 1984. -232с.

26. Мальцев Н.Я. К вопросу о динамике корабля с жидкими грузами. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962. "с.237 246.

27. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968, 532 с.

28. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971, 564 с.

29. Моисеев Н.Н. Вариационные задачи в теории колебаний жидкости и тела с жидкостью. В сб. "Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1962", с. 7-118.

30. Моисеев Н.Н. Динамика корабля, имеющего жидкие грузы. Изв. АН СССР. ОТН, № 7, 1954.

31. Моисеев Н.Н. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости. ПММ, 1959, т.23, № 5, с.862 878.

32. Моисеев Н.Н. К теории упругих колебаний тела с жидкостью. ДАН СССР, 1959, т. 127, №2, с.51 -54.

33. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965, 440 с.

34. Мокеев В.В. Иследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов. Изв. РАН, МТТ, 1998,№ 6, с. 166 -174.

35. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973, 660с.

36. Петров А. А. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах с горизонтальной образующей. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962", с. 179 202.

37. Петров А.А. Приближенное решение задачи колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962." с.213 220.

38. Петров А.А. Уравнения движения самолета, несущего баки с жидкостью. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962." с.221 236.

39. Петров Ю.В. Синтез математической модели аэроупругости самолета с учетом подвижности топлива в баках. Изв. РАН, МТТ, 1996, № 3. -с.25-31.

40. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1975. 416 с.

41. Рабинович Б.И., Шмаков В.П., Кобычкин B.C. К теории колебаний конструкций, несущих резервуары с жидкостью. В сб. «Исследования по теории сооружений», Вып. 18, М.: Стройиздат, 1970, с. 68 - 84.

42. Рапопорт И.М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью. М.: Машиностроение, 1966, 394 с.

43. Сидельников Р.В., Ямчук В.В. Расчет колебаний осесимметричных конструкций с жидкостью методом конечных элементов. // Сборник научных трудов Челябинского политехи, ин-та, 1979, № 7. с.24 - 29.

44. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев, «Наукова думка», 1969, 250 с.

45. Шклярчук Ф.Н. Аэроупругость самолета. М.: Изд-е МАИ. 1986. - 77 с.

46. Шклярчук Ф.Н. Колебания и аэроупругость летательных аппаратов. М.: Изд. МАИ. 1981.-89 с.

47. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Изд. МАИ, 1983.-80 с.

48. Шклярчук Ф.Н. О вариационных методах расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. В сб.

49. Труды VI Всес. конф. по теории оболочек и пластин». М.: «Наука», 1966,-с.835-840.

50. Шклярчук Ф.Н. О приближенном методе расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидким заполнением. Изв. АН СССР. Механика, № 6, 1965, с. 123 - 129.

51. Шклярчук Ф.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения в канонической форме для задач о малых колебаниях жидкости внутри упругой оболочки вращения. Известия РАН. Механика твердого тела, 1994, №2,-с. 138- 150.

52. Шклярчук Ф.Н. Осесимметричные колебания жидкости внутри упругой цилиндрической оболочки с упругим днищем. Изв.вузов. Авиационная техника, № 4, 1965. с.75 - 83.

53. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания составных тонкостенных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», М.: ЦНТИ «Волна», 1980,-с.317-328.

54. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания цилиндрической оболочки с отсеками, частично заполненными жидкостью. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 6, 1980, с. 153 - 165.

55. Шклярчук Ф.Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в наклонных упругих полостях и каналах // ПММ, 2003, т.67, № 6. с. 1002 -1010.

56. Шклярчук Ф.Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в полостях вращения. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», М.: ЦНТИ «Волна», 1976, с.397- 404.

57. Шклярчук Ф.Н. Применение метода конечных элементов к расчету неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», М.: ЦНТИ «Волна», 1984,-с.284-289.

58. Шклярчук Ф.Н. Применение метода Ритца к расчету колебаний упругих оболочек с жидкостью. В сб. «Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань», Изд-во КГУ, 1996, с. 67 - 71.

59. Шклярчук Ф.Н. Сведение задачи о колебаниях оболочки вращения с жидкостью к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В сб. «Расчет тонкостенных элементов конструкций на прочность, устойчивость, колебания и долговечность», М: Изд. МАИ, 1983,-с.81 86.

60. Шклярчук Ф.Н., Алшебел Айхам. Математическая модель аэроупругости стреловидного крыла для расчета аэродинамических нагрузок. Изв. вузов. Авиационная техника, № 1, 2003, -с.

61. Шклярчук Ф.Н., Иденбаум В.М. Итерационный метод расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью. В сб. «Нелинейные проблемы аэрогидроупругости», вып. 11, Казань, 1979, с.115 - 125.

62. Шклярчук Ф.Н., Кьи Твин. Колебания жидкости в упругих отсеках крыла и фюзеляжа. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Ярополец, 2003". - 97с.

63. Шклярчук Ф.Н., Кьи Твин. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости для упругих колеблющихся полостей // Вестник МАИ, 2004, т. 11, № 2. с.11 - 14.

64. Шклярчук Ф.Н., Шишканов В.М. Численное решение задачи о колебаниях оболочки вращения с жидкостью. В сб. «Вопросы строительной механики и прочности летательных аппаратов.», М.: Изд. МАИ, 1985, с. 109 - 114.

65. Abramson H.N. Liquid dynamic behavior in rocket propellant tanks // «Astronautics », 1961, v.6, pp.35 37.

66. Abramson H.N. The dynamic behavior of liquid in moving containers. -Washington, NASA SP 106, 1966. - 467p.

67. Akkas N., Akay H.V., Yilmaz C. Applicability of general purpose finite element programs in solid - fluid interaction problems. // Computers and structures, 1979, v. 10, № 5, pp.773 - 783.

68. Bauer H.F. Dynamics of liquid propellant vehicles // Symposium on structural dynamics of high speed flight. Los Angeles, Calif., April 1961 (Office of Naval Research. Washington, D.C., 1961), pp.319 355.

69. Berger H., Boujot J., Ohayon R. On a spectral problem in vibration mechanics: computation of elastic tanks partially filled with liquids. // J. of Math. Analysis and Applications, 1975, v.51, № 2, pp.272 298.

70. Chu W.H. Comparison of some finite element and finite difference methods for a simple sloshing problem // AIAA J., 1971,v.9, № 10,pp.242 244.

71. Chung T.Y., Rush R.H. Dynamically coupled motion of surface fluid - shell systems. // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech., 1976, v.43, № 3, pp.507 -508.

72. Cook R.D. Comment on "Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis" and "Discrete element structural theory of fluids" by D.A. Hunt. //AIAA J., 1973, v.l 1, № 5, pp.766 767.

73. Coppolino R. A numerically efficient finite element hydroelastic analysis. // Proc. AIAA/ ASME/ SAE 17th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference. King of Prussia, Pennsylvania, May 5-7, 1976. s.l, 1976, pp.298 -312.

74. Hamdi M.A., Ousset Y., Verchery G. A displacement method for the analysis of vibrations of coupled fluid structure systems. // Intern. J. for Numer. Methods in Engineering, 1978, v.13, № 1, pp.139 - 150.

75. Hunt D.A. Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis. // AIAA J., 1970, v.8, № 6, pp.1001 1004.81 .Hunt D.A. Discrete element structural theory of fluids. // AIAA J., 1971, v.9, № 3, pp.457-461.

76. Khabbaz G.R. Dynamic behavior of liquids in elastic tanks. // AIAA J., 1971, v.9, № 10, pp.1985 1990.

77. Kiefling L., Feng G.C. Fluid structure finite element vibrational analysis. // AIAA J., 1976, v.14, № 12, pp.199-203.

78. Lawrence H.R., Wang C.J., Reddy R.B. Variational solution of fuel sloshing modes // «Jet Propulsion», v.28, № 11, 1958, pp.729 736.

79. Miles J.W. On the sloshing of liquid in a flexible tank // J. Appl. Mech., v.25, 1958, pp.277 283.

80. Olson L.G., Bathe K.J. Analysis of Fluid-Structure Interactions. A Direct Symmetric Coupled Formulation Based on the Fluid Velocity Potential. // Computers and Structures, 1985, Vol. 21, pp. 21-32.

81. Olson L.G., Bathe К.J. A Study of Displacement Based Fluid Finite Elements for Calculating Frequencies of Fluid and Fluid-Structure Systems // Nuclear Engineering and Design, 1983, V. 76, pp. 137-151.

82. Pinson L.D., Brown C.G. A finite element for nonaxisymmetric vibrations of pressurized shells of revolution partially filled with liquid. // AIAA Paper, 1973, №399.

83. Sundqvist J. An Application of ADINA to the Solution of Fluid-Structure Interaction Problems // Computers and Structures, 1983, V. 17, pp. 793-808.

84. Zienkiewich O.C., Bettes P. Fluid structure dynamic interaction and wave forces. An interaction to numerical treatment // Int. J. for Numer. Meth. in Engineering, 1978, v. 13, № 1, pp.1 - 16.