Численный анализ режимов детерминированного хаоса переменных состояния в переходных процессах электроэнергетических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.02, кандидат технических наук Никишкин, Алексей Сергеевич

• Никишкин, Алексей Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Никишкин, Алексей Сергеевич

Введение

Глава 1 Электроэнергетические системы: возникновение, развитие и характеристики хаотических режимов

1.1 Динамическая система и ее математическая модель

1.2 Исследование свойств динамических систем

1.2.1 Колебательные системы и их свойства

1.2.2 Фазовые портреты типовых колебательных систем

1.2.3. Автоколебательные системы

1.2.4 Регулярные и странные аттракторы динамических систем

1.3 Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств динамических систем

1.4 Детерминированный хаос в динамических системах

1.4.1 Детерминированность и хаос

1.4.2 Детерминированный хаос

1.4.3 Странные аттракторы '

1.5 Исследование свойств детерминированного хаоса. Характеристики ^ хаотических режимов нелинейных электрических систем

1.6 Обоснование возможности возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах. Идентификация хаотических и 59 переходных хаотических колебаний

1.7 Нестабильность и хаос в электроэнергетических системах

1.7.1 Модели электроэнергетических систем

1.7.1.1 Модель многомашинной электроэнергетической системы — уравнения Парка-Горева в координатах (d,q)

1.7.1.2 Классическая модель многомашинной электроэнергетической системы

1.7.2 Возможные пути возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах

1.7.3 Неустойчивость и хаос

1.7.4 Неустойчивые режимы и хаос

1.8 Выводы

Глава 2 Численное моделирование и анализ хаотических колебаний отклонений углов поворота роторов, отклонений угловой частоты и 86 изменения активной мощности генераторов в двухмашинной электроэнергетической системе

2.1 Определение характеристических показателей Ляпунова и обнаружение переходных хаотических колебаний

2.2 Численное моделирование и анализ хаотических отклонений углов поворота роторов, угловой частоты и изменения активной мощности 90 генераторов в двухмашинной ЭЭС

2.2.1. Хаотические отклонения угла поворота ротора и угловой частоты в двухмашинной ЭЭС

2.2.2. Хаотические изменение активной мощности генераторов в двухмашинной ЭЭС

2.2.3 Условия возникновения и критерий устойчивости режимов детерминированного хаоса

2.2.4 Управление режимами детерминированного хаоса

2.3 Выводы

Глава 3 Численное моделирование и анализ хаотических колебаний отклонений углов поворота роторов, отклонений угловой частоты и изменения активной мощности генераторов в трехмашинной электроэнергетической системе

3.1 Хаотические отклонения углов поворота роторов и угловой частоты синхронных генераторов в трехмашинной ЭЭС

3.2 Хаотические изменения активной мощности синхронных генераторов в трехмашинной ЭЭС

3.3 Управление режимами детерминированного хаоса

3.4 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов в трехмашинной ЭЭС при 125 хаотической частотной модуляции

3.5 Выводы

Глава 4 Диссипация электрической энергии (мощности) в хаотических режимах электроэнергетических систем

4.1 Потери мощности в электроэнергетических системах

4.2 Потери мощности в генераторе Анищенко - Астахова

4.3 Потери мощности в системе двух связанных генераторов Чжуа

4.4 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ режимов детерминированного хаоса переменных состояния в переходных процессах электроэнергетических систем»

Актуальность темы. Нормальные переходные процессы в электроэнергетических системах (ЭЭС) возникают как при малых, так и при больших возмущениях в виде резких и существенных изменений режима функционирования. Их причиной может быть изменение схемы соединения ЭЭС, нормальное включение или отключение линий электропередачи, включение генераторов методом самосинхронизации и т.д. При этом появляются значительные отклонения переменных состояния от их исходных значений, и тогда учёт существенных нелинейных зависимостей становится обязательным, в связи с чем, ЭЭС во всём диапазоне исследования должна рассматриваться как нелинейная.

С другой стороны, в последнее время в ЭЭС значительно возросла доля нелинейной нагрузки и это связано с прогрессом в производстве силовых полупроводниковых устройств (преобразователи частоты, выпрямители, инверторы и т.д.). Такие нелинейные устройства все чаще находят применение в промышленности, на железнодорожном транспорте, в сельском хозяйстве и в бытовой сфере.

Таким образом, нелинейный характер протекания нормальных переходных процессов совместно с присутствием нелинейных элементов в ЭЭС приводит к тому, что траектории движения ЭЭС в фазовом пространстве описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений.

При наличии нелинейной структуры системы дифференциальных уравнений существует широкий диапазон её параметров, при котором поведение ЭЭС может оказаться хотя и ограниченным, но непериодическим и нерегулярным. При этом колебания переменных состояния приобретают непредсказуемый, другими словами, хаотический характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр, что напрямую связано с несинусоидальностью напряжений, качеством электрической энергии и, в целом, с проблемой электромагнитной совместимости (ЭМС).

Помимо этого, хаотическое поведение ЭЭС оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным, тогда как в классическом представлении считается, что если бы в некоторый момент времени состояние ЭЭС было известно с достаточной точностью, то в принципе будущее поведение ЭЭС можно было бы предсказать, а прошлое — восстановить.

В сущности, математическая модель хаотического поведения ЭЭС представляет собой детерминированную систему нелинейных дифференциальных уравнений с заданными коэффициентами (параметрами) pi начальными условиями, решение которой ведет себя нерегулярным и непредсказуемым образом - такой тип решения называется режимом детерминированного хаоса. Таким образом, режимы детерминированного хаоса — это новый тип и особая форма поведения ЭЭС. Необходимо отметить, что численному анализу подвергались режимы детерминированного хаоса, связанные с нормальными переходными процессами, а не с аварийными переходными процессами.

Кроме того, в режимах детерминированного хаоса диссипация энергии при перемещении ее от мест производства до мест потребления возрастает, и поэтому изучение процесса диссипации энергии в таких режимах ЭЭС представляет интерес.

Таким образом, встает актуальная задача обнаружения, идентификации и численного моделирования режимов детерминированного хаоса в ЭЭС, а также выявления особенностей таких режимов.

Цель работы. Целью диссертационной работы является анализ с помощью численного моделирования возникновения, идентификации, устойчивости режимов детерминированного хаоса основных переменных состояний ЭЭС — угла поворота роторов, угловой частоты, углового ускорения, активной, мощности, напряжений синхронных генераторов, влияющих на электромагнитную обстановку (ЭМО), и диссипации энергии.

I*

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих конкретных задач:

1 Обзор имеющихся методов и средств анализа режимов работы ЭЭС.

2 Разработка метода анализа возникновения, идентификации и устойчивости хаотических режимов в ЭЭС.

3 Численное моделирование хаотических режимов в ЭЭС.

4 Разработка метода анализа диссипации энергии (мощности) в хаотических режимах в ЭЭС.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дис-сипативные ЭЭС и их режимы работы. Предметом исследования являются режимы детерминированного хаоса основных переменных состояния ЭЭС — угла поворота роторов, угловой частоты, углового ускорения, активной мощности, напряжений синхронных генераторов и диссипации энергии.

Методы исследований. При выполнении исследований использовались методы теоретических основ электротехники, теории электроэнергетических систем, теории вычислительной математики, математического и физического моделирования, дифференциального и интегрального исчисления, теории синергетики и хаоса, гармонического анализа и прикладной пакет программ для инженерных и научных расчетов в среде Windows «MathCAD».

Связь темы диссертации с общенаучными (государственными) программами и планом работ университета. Диссертация выполнялась в соответствии: с научными направлениями технического комитета №77 «Электромагнитная совместимость электрооборудования, присоединённого к общей электрической сети» Международной электротехнической комиссии (МЭК); с постановлением правительства РФ № 588 от 15.06.1998г. «О дополнительных мерах по стимулированию энергосбережения в России»; с научной хоздоговорной комплексной темой ГОУ ВПО «ОмГТУ» (Гос. регистр. № 0651). «Оптимизация режимов работы электрических сетей 35-220 кВ и определение рационального потокораспределения мощностей в узлах нагрузки».

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- Обнаружены режимы детерминированного хаоса, касающиеся отклонений угловой частоты от номинального значения в нормированных (-1,256<со<1,256) и в ненормированных пределах (со>2,512, со<-2,512), углового ускорения, изменения активной мощности на валу синхронных генераторов, отклонений напряжения от номинального значения и диссипации энергии, проистекающих из-за наличия глобальной хаотической динамики ЭЭС. Показано, что хаотические режимы могут существовать как дополнительные состояния в ЭЭС даже тогда, когда имеют место устойчивые режимы функционирования.

- Выявлены основные отличительные особенности и закономерности (хотя бы один из показателей Ляпунова Я] > 0, фазовый портрет - странный аттрактор, отклонение начальных условий друг от друга на 10% приводит к расхождению траекторий в фазовом пространстве уже на третьем цикле колебаний на 50%), с помощью которых можно идентифицировать режимы детерминированного хаоса, касающиеся отклонений угловой частоты от номинального значения, углового ускорения, изменения активной мощности на валу синхронных генераторов, отклонений напряжения от номинального значения и диссипации энергии.

- Получены необходимое и достаточное условия возникновения режимов детерминированного хаоса и критерии устойчивости (неустойчивости) режимов детерминированного хаоса в ЭЭС.

- Обоснована возможность управления и стабилизации режимов детерминированного хаоса отклонений углов поворота роторов и угловой частоты синхронных генераторов. Показано, что с помощью управляющего воздействия на синхронные генераторы, составляющего по величине от 2% до 30% от регулируемой величины, можно стабилизировать фазовую траекторию ЭЭС и свести хаотический режим к периодическим колебаниям.

- Исследован эффект хаотической частотной модуляции напряжений и отклонений напряжений на шинах синхронных генераторов, в линиях электропередачи и на шинах нагрузки, причиной которого является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты синхронных генераторов. Выявлены основные отличительные особенности колебаний напряжений, отклонений напряжений и их спектров в режиме хаотической частотной модуляции, когда величина модуляции по частоте лежит в пределах от -0,5 до 1,0 рад/с.

- Проведен анализ и рассмотрены особенности диссипации энергии в ЭЭС в режимах детерминированного хаоса. Выявлено, что в режиме детерминированного хаоса диссипация энергии в среднем выше в 1,26 раза, чем в периодическом режиме, что приводит к снижению к.п.д. и ухудшению энергетических показателей ЭЭС.

Практическая ценность. Практической ценностью работы является выявление и анализ свойств режимов детерминированного хаоса угловой частоты, углового ускорения, изменения активной мощности на валу синхронных генераторов, напряжений и диссипации энергии в ЭЭС, обоснование возможности управления и стабилизации хаотических колебаний в ЭЭС и анализ явления хаотической частотной модуляции напряжений п отклонений напряжения.

Реализация и внедрение результатов работы.

1 Разработан и внедрён метод определения диссипации энергии в режимах детерминированного хаоса в системах питания и управления электрических высоковольтных фильтров для очистки пылегазовыбросов на Омской ТЭЦ-4.

2 Разработан и внедрен в учебный процесс лабораторный стенд, моделирующий хаотические колебания в нелинейных электрических системах, позволяющий наглядно продемонстрировать свойства и особенности хаотических режимов работы нелинейных электрических систем.

Личный вклад. Основные научные результаты и положения, изложенные в диссертации, постановка задач, методология их решения, исследование хаотических режимов в ЭЭС разработаны и получены автором самостоятельно.

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Численный анализ возникновения и идентификации режимов детерминированного хаоса угла поворота роторов, угловой частоты, углового ускорения, изменения активной мощности на валу синхронных генераторов, напряжений и диссипации энергии, протекающих в ЭЭС.

2 Результаты исследований основных свойств и особенностей функционирования ЭЭС в режимах детерминированного хаоса угловой частоты, углового ускорения, изменения активной мощности на валу синхронных генераторов, напряжения и диссипации энергии.

3 Необходимое и достаточное условия возникновения режимов детерминированного хаоса в ЭЭС, критерии устойчивости режимов детерминированного хаоса в ЭЭС.

4 Способы управления и стабилизации хаотических колебаний угловой частоты в ЭЭС и результаты исследований основных свойств и особенностей хаотической частотной модуляции напряжений в ЭЭС.

5 Результаты исследований диссипации энергии в ЭЭС в режимах детерминированного хаоса.

Достоверность результатов подтверждается выбранными методами и достаточным объёмом выполненных исследований; общепринятыми уровнями допущений при математическом описании явлении; обоснованностью исходных посылок, вытекающих из фундаментальных законов естественных наук; качественным совпадением и достаточной сходимостью результатов вычислительных экспериментов; апробацией как предварительных, так и окончательных результатов диссертационной работы.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на:

- 3-ей Международной научно-технической конференции «Энергетика, экология, энергосбережение, транспорт» (Омск, 2007)

- 7-й Международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2009)

- заседаниях и семинарах кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий» Омского государственного технического университета (Омск, 2006, 2007, 2008, 2009).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе: 2 тезиса доклада на научно-технической конференциях, 6 статей, из них 2 статьи в периодических изданиях из перечня ВАК. В публикациях в соавторстве личный вклад соискателя составляет более 50%.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, основные выводы по результатам научных исследований, список литературы и приложение. Общий объем составляет: 165 страниц, в том числе 115 рисунков, 2 таблицы, 62 литературных источника.

Заключение диссертации по теме «Электростанции и электроэнергетические системы», Никишкин, Алексей Сергеевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1 Обнаружено возникновение режимов детерминированного хаоса отклонений угла поворота роторов, отклонений угловой частоты в нормированных и в ненормированных пределах, угловых ускорений, напряжений, отклонений напряжений и изменения активной мощности синхронного генератора, проистекающих из-за наличия глобальной хаотической динамики ЭЭС. Следует подчеркнуть, что указанные режимы детерминированного хаоса могут возникать и тогда, когда модель ЭЭС, включая совместное описание электромеханических и электромагнитных процессов, является жёсткой. Показано, что хаотические режимы существуют как дополнительные состояния в ЭЭС даже тогда, когда имеют место устойчивые режимы функционирования.

2 Получены необходимое и достаточное условия возникновения режимов детерминированного хаоса и критерий устойчивости (неустойчивости) режимов детерминированного хаоса в ЭЭС.

3 Рассмотрены способы идентификации режимов детерминированного 4 хаоса угловой частоты и напряжений в ЭЭС в режиме реального времени. Идентификация хаотических режимов может осуществляться несколькими способами, основными из которых являются вид и тип фазовых портретов (фазовый портрет - странный аттрактор), их размерность, и характеристические показатели Ляпунова, в ряду которых должен обязательно присутствовать хотя бы один положительный показатель (Я,> 0), чувствительность к начальным условиям (отклонение начальных условий друг от друга на 10% приводит к расхождению траекторий в фазовом пространстве уже на третьем цикле колебаний на 50%).

4 В диссипативных ЭЭС, размерность фазового пространства которых не менее трех, теоретически возможен режим сложных хаотических колебаний отклонений углов поворота роторов и отклонений угловой частоты синхронных генераторов. Основными свойствами ЭЭС, характеризующими указанные режимы детерминированного хаоса, являются высокая чувствительность поведения

ЭЭС к сколь угодно малым изменениям начальных условий и широкополосный спектр.

5 Обоснована возможность управления и стабилизации хаотических колебаний отклонений углов поворота роторов и угловой частоты. Показано, что с помощью управляющего воздействия на синхронные генераторы, составляющего по величине от 2% до 30% от регулируемой величины, можно стабилизировать фазовую траекторию ЭЭС и свести хаотический режим к периодическим колебаниям.

6 Исследован эффект хаотической частотной модуляции напряжений и отклонений напряжения на шинах синхронных генераторов, причиной которой является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты от номинального значения у синхронных генераторов. Выявлены основные отличительные особенности хаотически частотно - модулированных напряжений и отклонений напряжения, когда величина модуляции по частоте лежит в пределах от -0,5 до 1,0 рад/с, и также основные отличительные особенности спектров частотно - модулированных напряжений и отклонений напряжения на шинах синхронных генераторов в трехмашинной ЭЭС.

7 В рамках исследования особенностей диссипации энергии в ЭЭС представлен переход из режима детерминированного хаоса в режим периодических колебаний в зависимости от величины бифуркационного параметра. Выявлено, что в режиме детерминированного хаоса потери (диссипация) энергии в среднем выше в 1,26 раза, чем в периодическом режиме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Никишкин, Алексей Сергеевич, 2009 год

1. Анализ и моделирование переходных хаотических колебаний в электроэнергетических системах / Г.П. Маслов и др.// Сборник научных трудов. Омск, 2008. - Вып. 6 - С. 27 - 34.

2. Андерсон, Б. Д. Построение функций Ляпунова для нестационарных систем, содержащих безынерционные нелинейности / Б.Д. Андерсон, Дж. Мур// Автоматика и телемеханика. 1972. - № 5. - С. 15 - 21.

3. Андерсон, П. Управление и устойчивость энергосистем /П. Андерсон, А. Фуад. М.: Энергия, 1981. - 567 с.

4. Андронов, А. А. Теория колебаний /А.А. Андронов, С.Э. Хайкин. М.: Физ-матгиз, 1958. - 568 с.

5. Анищенко, В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем: фундаментальные основы и избранные проблемы / B.C. Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 368 с. - ISBN 5-292-02285-3.

6. Анищенко, В. С. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / B.C. Анищенко, В.В. Астахов. М.: МЦНМО, 2003. - 529 с. - ISBN 5-93972-289-Х.

7. Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах / B.C. Анищенко. М.: Наука, 1990. -312с. - ISBN 5-02-014168-2.

8. Ахромеева, Т.С. Парадоксы мира нестационарных структур /Т.С. Ахро-меева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий. М.: Наука, 1985. - 49 с. - (Новое в жизни, науке, технике. Серия "Математика, кибернетика". № 5).

9. Биркгоф, Д. Динамические системы / Д. Биркгоф. М: ОГИЗ, 1941. - 295с. Ю.Беляев, Л.С. Применимость вероятностных методов в энергетических расчетах /Л.С. Беляев, Л.Л. Крумм // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1983. -№2.-С. 3- 11.

10. Бланк, М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике / М.Л. Бланк. -М.: МЦНМО, 2001.-351 е.- ISBN 5-900916-67-7.

11. Борисов, Р. И. Усиление неканонических гармоник тока в электрической сети с управляемыми преобразователями /Р.И. Борисов, В.К. Фёдоров // Изв. вузов. Энергетика. 1978. -№ 1. - С. 123 - 125.

12. Веников, В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах: учеб. для вузов / В.А. Веников. М.: Высш. шк., 1985. - 536 с. М.Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. -М.: Физматгиз, 1962. - 358 с.

13. Гленсдорф, И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости, флуктуации / И. Гленсдорф, И. Пригожин. М.: Мир, 1978. - 347 с.

14. Горев, А.А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем / А.А. Горев. JL: Госэнергоиздат, 1960. - 260 с.

15. Дезоер, Л. Основы теории цепей / Л. Дезоер, Э. Ку. М.: Связь, 1976. - 274с.

16. Детерминированный хаос в нелинейных электрических цепях и системах Текст. : учеб. пособие / авт.-сост.: В. К. Фёдоров [и др.]; ОмГТУ. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. - 130 с. - ISBN 5-8149-0207-8.

17. Дьяконов, В. П. Malhcad 2001/ В. П. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. - 621 с. -ISBN 5-318-00367-2.

18. Красовский, А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем / А.А. Красовский. М.: Наука, 1974. - 230 с.

19. Ландау, JI. Д. Статистическая физика. В 10 т. Т.5, ч. 1 /Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1976. 364 с.

20. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3-х кн. Кн.1 / Б.Р. Левин. М.: Сов. радио, 1968. - 743 с.

21. Лэннинг, Д. Случайные процессы в задачах автоматического управления / Д. Лэннинг, Д. Бэттин. М: ИИЛ, 1958. - 349 с.

22. Малышев, Г. В. О спектрах, переменных во времени / Г.В. Малышев // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. - № 3. - С. 26 - 36.

23. Моделирование режимов детерминированного хаоса в электроэнергетических системах / В.К. Фёдоров и др. // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2009. - № 2. - С. 220-224.

24. Мун, Ф. Введение в хаотическую динамику / Ф. Мун. М.: Наука, 1990. -140с.

25. Никишкин, А.С. Режимы детерминированного хаоса в нелинейных электроэнергетических системах / А.С. Никишкин // Динамика систем, механизмов и машин: материалы VII Междунар. науч.- техн. конф. Омск, - 2009. - Кн. 1. -С. 203-207.

26. Никишкин, А.С. Управление режимами детерминированного хаоса отклонений активной мощности на валу синхронных генераторов / А.С. Никишкин и др.. Омск: ОмГТУ, 2009. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.09.09, N608-B2009.

27. Особенности режимов детерминированного хаоса в трехмашинной электроэнергетической системе / В.К. Фёдоров и др. // Сборник научных трудов. -Омск, 2008. Вып. 6. -С. 60 - 67.

28. Розенвассер, Е. Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. М.: Наука, 1969.-576 с.

29. Свешникова, Е.Ю. Влияние резонанса на потери мощности в нелинейных электрических цепях / Е.Ю. Свешникова, Д.М. Политико // Омский научный вестник. 2005. -№ 2(31). - С. 119-124.

30. Свешникова, Е.Ю. Исследование потерь мощности на моделях детерминированного хаоса в нелинейном элементе /Е.Ю. Свешникова, А.С. Никишкин // Омский научный вестник. 2005. - № 2(31). - С. 115-119.

31. Свешникова, Е.Ю. Особенности режимов детерминированного хаоса в нелинейной электроэнергетической системе/ Е.Ю. Свешникова и др.. Омск: ОмГТУ, 2008. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.02.2008, № 156-В2008.

32. Тафт, В. А. Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем /

33. B.А. Тафт. М.: Энергия, 1978. - 272 с.

34. Ульянов, С. А. Переходные электромеханические процессы в электромеханических системах / С.А.Ульянов. М.: Высш. шк., 1978. - 415 с.

35. Управление режимами детерминированного хаоса в нелинейных электроэнергетических системах / П.В. Рысев и др. // Омский научный вестник.-2009.-№ 1(77).-С. 113-117.

36. Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой / В.И. Уткин. М.: Энергия, 1974. - 273 с.

37. Фёдоров, В.К. Введение в теорию хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем / В.К. Фёдоров. Омск: ОмПИ, 1992. - 44 с.

38. Фёдоров, В.К. Исследование динамики простейших моделей детерминированного хаоса / В.К. Фёдоров // Омский научный вестник. 2005. -№4(33).-С. 131-141.

39. Фёдоров, В.К. Случайность и детерминированность в теории функциональной устойчивости электроэнергетических систем /В.К. Фёдоров // Изв. вузов СССР. Энергетика. 1990. -№ 12. - С. 8-14.

40. Фёдоров, В.К. Статистический анализ чувствительности электроэнергетических систем / В.К. Фёдоров и др. // Изв. вузов. Энергетика. 1982. - №7.1. C.77-80,

41. Харди, Г. X. Ряды Фурье / Г.Х. Харди, В.В. Рогозинский. М.: Физматгиз, 1962.- 156 с.

42. Chiang, Н. D. Chaos in a simple power system / H. D. Chiang // IEEE Trans. Power Syst.- 1993.-Vol. 8, №4.-P. 1407-1417.

43. Harb, A. M. Controlling Hopf bifurcation and chaos in a small power system / A. M. Harb, N. Abdel-Jabbar // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. - № 18. - P. 1055-1063.

44. Kopell, N. Chaotic motions in the two-degree-of-freedom swing equations / N. Kopell // IEEE Trans. Circuits Syst. -1982. Vol. 29, № 11. - P. 738-746.

45. Kwatny, H.G. Static Bifurcation in Electric Power Networks: Loss of Steady-State Stability and Voltage Collapse / H.G. Kwatny // IEEE Trans, on Circuits and Systems. -1986. Vol. 33, № 10. - P. 981 - 991.

46. Lai, Y.C. Unstable dimension variability and complexity in chaotic systems / Y.C. Lai // Physical review. 1999. - № 4. - P. 3807 - 3810.

47. Liu, C. Detection of transiently chaotic swings in power systems using real-time phasor measurements / C. Liu // IEEE Trans. Power Syst. -1994. Vol. 9, № 10. - P. 1285- 1292.

48. Lorenz, E. Deterministic Nonperiodic Flow / E. Lorenz // Journal of the atmospheric Sciences. 1963. - № 20. - P. 130-141.

49. Matsumoto, Т. Chaos in Electronic Circuits / T. Matsumoto // Proceedings of the IEEE. 1987. - Vol.75, № 8.-P. 1033- 1057.

50. Matsumoto, T. Reality of chaos in the double scroll circuit: a computer-assisted proof / T. Matsumoto // IEEE Trans. Circuits Syst. -1988. Vol. 35, № 7. - P. 909 -925.

51. Nayfeh, M. A. Chaos and instability in a power system Primary resonant case // Nonlinear Dynamics. - 1990. - vol. 1. - P. 313 - 339.

52. Wang, H.O. Bifurcations, chaos, and crises in voltage collapse of a model power system / H.O. Wang // IEEE Trans. Circuits Syst. 1994. - Vol. 41, № 3. - P. 294 -302.

53. Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf // Physica 1985.-№ 16.-P. 285-317.

54. Yang, T. Impulsive control and synchronization of nonlinear dynamical systems and application to secure communication / T.Yang, L.O. Chua// Bifurcation and Chaos. 1997. -№ 7(3). - P. 645-664.

55. Yang, T. Impulsive stabilization for control and synchronization of chaotic systems: theory and application to secure communication /T.Yang, L.O. Chua // IEEE Trans. Circuits Syst. I: Fundamental Theor. Appl. 1997. -№ 44(10). - P. 976-988.

56. Yixin, Y. Power system instability and chaos / Y. Yixin // Electric power systems research.-2003.-vol. 65, №3,-P. 187- 195.