Анализ возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах с несколькими генераторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.02, кандидат технических наук Рысев, Павел Валерьевич

• Рысев, Павел Валерьевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Рысев, Павел Валерьевич

Введение

Глава 1 Нелинейные электрические системы. Возникновение и характеристики хаотических колебаний

1.1 Динамические системы

1.2 Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств

1.3. Исследование свойств детерминированного хаоса. Характеристики хаотических режимов нелинейных электрических систем

1.4 Обоснование возможности возникновения хаотических режимов в электроэнергетической системе. Идентификация хаотических и переходных хаотических колебаний

1.5 Выводы

Глава 2 Исследование динамики и анализ возникновения режима детерминированного хаоса в нелинейных электрических системах

2.1 Нелинейная электрическая система Чу а

2.1.1 Уравнения цепи

2.1.2 Компьютерное моделирование

2.1.3 Физическое моделирование

2.2 Неавтономный генератор Чуа

2.3 Автономный генератор, реализующий аттрактор типа «двойной завиток»

2.3.1 Физическая реализация и наблюдение

2.3.2 Экспериментальные наблюдения

2.4 Нелинейная электрическая цепь, содержащая индуктивность с гистерезисом

2.5 Выводы

Глава 3 Моделирование процессов в нелинейных электрических диссипативных системах автономных генераторов

3.1 Исследование динамики системы двух идентичных генераторов Чуа

3.1.1 Система двух генераторов Чуа, соединенных посредством резистивной связи

3.1.2 Система двух идентичных генераторов Чуа с емкостной связью

3.2 Управление и синхронизация хаоса в системе связанных ^ генераторов

3.3 Генератор Анищенко - Астахова

3.3.1 Моделирование в программе MathCAD

3.3.2 Моделирование в программе Micro-Cap

3.4 Выводы

Глава 4 Обоснование возможности возникновения и моделирование^ хаотических процессов в электроэнергетических системах

4.1 Нестабильность и хаос в электроэнергетической системе

4.1.1 Модели электроэнергетической системы

4.1.2 Возможные пути возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах

4.1.3 Неустойчивость и хаос

4.1.4 Неустойчивые режимы и хаос

4.2 Сосуществование четырех различных аттракторов в фазовом пространстве изолированной электроэнергетической системы

4.3 Переходные хаотические колебания в электроэнергетической системе

4.3.1 Определение характеристических показателей Ляпунова

4.3.2 Измерение фазы в реальном времени

4.3.3 Обнаружение переходных хаотических колебаний

4.3.4 Анализ и моделирование переходных хаотических колебаний

4.4 Выводы j

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах с несколькими генераторами»

Актуальность темы. Детерминистские законы, некогда бывшие наиболее приемлемыми научными законами, сейчас предстают перед нами как чрезмерные упрощения. В классическом представлении считают, что если бы в некоторый момент времени состояние нелинейной электроэнергетической системы (НЭЭС) было известно с достаточной точностью, то в принципе будущее поведение НЭЭС можно было бы предсказать, а прошлое - восстановить. Такого рода теоретическая схема указывает, что в определенном смысле настоящее содержит в себе прошлое и будущее.

В классическом понимании выражение «вскрыть причинно - следственные связи » означает «понять динамику процессов», происходящих в НЭЭС. При этом предполагается, что причина и следствие соизмеримы. Для устойчивых и нейтральных процессов это имеет место. В неустойчивых процессах ситуация иная: очень «малая» причина приводит к следствию, которое по масштабу несоизмеримо с причиной. Обычно в таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие. Но тогда происходит существенный сдвиг понятий: в качестве причины фигурирует не внешнее воздействие, а внутреннее свойство НЭЭС, приводящее к внезапному качественному изменению поведения НЭЭС при изменении некоторого ее параметра.

Описание НЭЭС требует привлечения понятий порядка и хаоса. Выясняется, что хаос может появляться из упорядоченного состояния (детерминированный хаос), а порядок - из хаотического состояния. Отмечают два свойства и одну особенность хаотических состояний НЭЭС. Термин «хаос» применяется к таким состояниям НЭЭС, траектории которых в фазовом пространстве обнаруживают сильную зависимость от начальных условий. Другое свойство НЭЭС в хаотическом состоянии - потеря информации со начальных условиях. Особенностью НЭЭС в хаотическом состоянии является возбуждение непрерывного спектра частот реакции - отклика НЭЭС, расположенного ниже частоты внешнего воздействия.

Хаос представляет собой реально существующее причудливое и устойчивое нелинейное явление, которое трудно проанализировать. Издавна многие исследователи обращали внимание на хаос, но, приняв его за физический шум, не занимались изучением этого явления. Проявления хаоса разнообразны: от безобидных явлений (турбулентность) - до событий, способных приводить к катастрофам (потеря управления). Сведения о тех или иных проявлениях хаоса имеются практически во всех научных дисциплинах - астрономии, биологии, биофизике, химии, электротехнике, геологии, медицине и др.

Хаос - это новый тип и особая форма поведения НЭЭС в установившемся и переходном режимах. Из фундаментальных курсов по теории электрических цепей известно, что реакция - отклик всех устойчивых линейных цепей содержит две составляющие, одна из которых соответствует переходному процессу, а другая - установившемуся состоянию. При этом отклик в установившемся состоянии, описывающий поведение цепи или системы после завершения в ней всех переходных процессов, может представлять собой либо константу, либо некоторое периодическое решение. Это заключение настолько прочно входит в сознание инженеров, что большинство из них подсознательно экстраполирует его и на случай нелинейных цепей и систем. Для математического описания таких цепей составляют системы нелинейных уравнений.

В системе линейных уравнений знание собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов позволяет записать ее решение в замкнутом виде. В системах нелинейных уравнений замкнутые решения могут быть получены лишь для небольшого числа систем, вследствие чего решающая роль в отыскании и анализе различных нелинейных явлений отводится методам численного моделирования. Но это никоим образом не затрагивало основополагающий научный принцип, заключающийся в том, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях, описывающих некоторую НЭЭС, и начальных условиях для этих уравнений режим

НЭЭС может быть предсказан на любой интервал времени. Открытие хаотических режимов НЭЭС доказало неправомерность такой точки зрения. Хаотическая НЭЭС представляет собой детерминированную систему, которая ведет себя случайным образом.

При наличии нелинейности существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение цепи или системы в установившемся состоянии оказывается хотя и ограниченным, но непериодическим. Колебания приобретают случайный характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Кроме того, поведение системы оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является анализ возникновения разработка метода идентификации и математическое моделирование хаотических режимов в электроэнергетических системах для экономичного и надежного производства электроэнергии, ее транспортировки и снабжения потребителей электроэнергией в необходимом количестве и требуемого качества.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих конкретных задач:

1. Обзор имеющихся методов и средств анализа хаотических режимов работы НЭЭС.

2. Математическое и компьютерное моделирование процессов в нелинейных диссипативных электрических системах.

3. Создание физической модели для проверки результатов компьютерного и математического моделирования.

4. Исследование и моделирование на ЭВМ электроэнергетических систем и их частей.

5. Обоснование возможности возникновения хаотических процессов в электроэнергетических системах (ЭЭС).

6. Разработка метода идентификации переходных хаотических колебаний.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются нелинейные диссипативные ЭЭС и их режимы работы. Предметом исследования являются хаотические процессы, а также их идентификация в ЭЭС с несколькими генераторами.

Методы исследований. В диссертации приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований, полученные с использованием методов теоретических основ электротехники, теории ЭЭС, вычислительной математики, прикладного пакета программ для инженерных и научных расчетов в среде Windows «MathCAD», системы схемотехнического моделирования «Micro-Cap».

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Разработаны методы математического и физического моделирования хаотических режимов в ЭЭС с несколькими генераторами.

- Разработаны методы расчета установившихся и переходных хаотических процессов, связанных с устойчивостью ЭЭС.

- Для НЭЭС выявлены основные отличительные особенности и закономерности, по которым можно идентифицировать хаотические колебания. Введена математическая модель ЭЭС, позволяющая моделировать хаотические режимы работы.

- Показано, что посредством малых управляющих воздействий можно стабилизировать хаотическую фазовую траекторию ЭЭС, осуществляя тем самым управляемые переходы из режима развитого хаоса к режимам периодических колебаний. Синтезирована функция управляющего воздействия.

- Определены основные пути, ведущие к хаосу в ЭЭС. Рассмотрено место хаоса в эволюции нестабильности электроэнергетической системы.

- Предложен метод обнаружения переходных хаотических колебаний в ЭЭС, используя показатели Ляпунова.

Практическая ценность.

Практической ценностью работы является анализ и выявление свойств хаотических колебаний, а также разработка алгоритма обнаружения переходных хаотических колебаний в электроэнергетических системах.

1. Предложены способы управления, синхронизации и стабилизации хаотических колебаний в электрической системе, состоящей из двух идентичных генераторов.

2. Создан метод обнаружения переходных хаотических колебаний в нелинейной электрической системе или ее части, использующий показатели Ляпунова как параметр идентификации.

3. Разработан и внедрен в учебный процесс лабораторный стенд, моделирующий хаотические колебания в нелинейных электрических системах, позволяющий наглядно продемонстрировать свойства и особенности хаотических режимов работы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследований основных свойств и особенностей функционирования нелинейных диссипативных электроэнергетических систем в режиме детерминированного хаоса.

2. Методы идентификации и анализа хаотических процессов, происходящих в нелинейных электроэнергетических системах.

3. Предложенные способы управления, синхронизации и стабилизации хаотических колебаний в системе из двух идентичных генераторов путем малых воздействий на один из генераторов.

4. Алгоритм идентификации переходных хаотических колебаний, использующий показатели Ляпунова.

Реализация и внедрение результатов работы.

1. Алгоритм обнаружения переходных хаотических колебаний, использующий показатели Ляпунова применяется на Омской ТЭЦ-4 в электрической системе очистки пылегазовыбросов.

2. Полученные результаты используются в учебном процессе ОмГТУ.

Личный вклад.

Основные научные результаты и положения, изложенные в диссертации, постановка задач, методология их решения, исследование хаотических режимов в ЭЭС разработаны и получены автором самостоятельно.

Достоверность результатов подтверждается корректным применением для теоретических выводов математического аппарата; качественным совпадением и достаточной сходимостью результатов вычислительных и физических экспериментов; апробацией как предварительных, так и окончательных результатов диссертационной работы.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на:

- научно - практической конференции «Энергетика на рубеже веков», посвященной 60 - летию ОАО АК «ОмскЭнерго» и Омского механико-технологического техникума (Омск 2003),

- V международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2004),

- 65 юбилейной студенческой научно-практической конференции, посвященной 75 - летию СибАДИ (Омск, 2005),

- XI Всероссийской научно - технической конференции «Энергетика, экология, надежность, безопасность» (Томск, 2005).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 печатных работ, в том числе: 1 тезис доклада на научно-технической конференции, 17 статей. В публикациях в соавторстве личный вклад соискателя составляет более 50%. Статьи: «Хаос в нелинейных электрических цепях» (Омский научный вестник № 22, Омск 2003), «Энтропийный анализ режимов нелинейных электроэнергетических систем» (Омский научный вестник № 22, Омск 2003), «Случайные и хаотические процессы в электроэнергетических системах» (Омский научный вестник № 22, Омск 2003), «Нелинейные электрические цепи: возникновение хаотических режимов» (Вестник Павлодарского университета №14, Павлодар 2003), «Хаос как неотъемлемое свойство нелинейных электрических цепей» (Энергетика на рубеже веков: Сб. матер, науч.- практ. конф. Омск 2003),

Динамика системы двух идентичных связанных хаотических генераторов» (Динамика систем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч-техн. конф., Омск 2004), «Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов» (Динамика систем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч.- техн. конф., Омск 2004), «Возникновение хаотических режимов в нелинейных электрических цепях» (Научные труды инженерно - строительного института. Вып. 1, Омск 2005), «Возникновение хаотических режимов в нелинейных электрических цепях» (Межвузовский сборник трудов студентов, аспирантов и молодых ученых. Омск: СибАДИ, 2005), «Динамика системы двух хаотических генераторов Чжуа» (Межвузовский сборник трудов студентов, аспирантов и молодых ученых. Омск: СибАДИ, 2005), «Особенности диссипации энергии в нелинейных электрических цепях» (Омский научный вестник. № 1(30)., Омск 2005), «Детерминированный хаос в электрических цепях» (Энергосбережение и энергетика в Омской области. № 14 Омск 2005), «Хаос в системе связанных нелинейных генераторов. Управление и синхронизация» (Энергосбережение и энергетика в Омской области. № 14, Омск 2005), «Моделирование на ЭВМ хаотических режимов работы нелинейных электрических цепей» (Омский научный вестник. № 2(31). Омск 2005), «Исследование простейших моделей детерминированного хаоса» (Омский гос. техн. ун-т - Омск, 2005. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.2005, № 1338 - В2005), «Разработка программы для расчета хаотических режимов работы нелинейных электрических цепей» (Омский гос. техн. ун-т.-Омск, 2005. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.2005, № 1339 - В2005), «Эффективность электроэнергетических систем при возникновении в них хаотических режимов» (Энергетика, экология, надежность, безопасность: Матер. XI Всероссийской науч. - техн. конф. Томск, изд - во ТПУ 2005), «Моделирование процессов в нелинейной диссипативной системе двух автономных генераторов с различными типами связи» (Омский научный вестник. № 9(46). Омск 2006).

Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, основные выводы по результатам научных исследований, список литературы и приложение. Общий объем составляет: 160 страниц, в том числе 102 рисунка, 3 таблицы, 77 литературных источников.

Заключение диссертации по теме «Электростанции и электроэнергетические системы», Рысев, Павел Валерьевич

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Проведенные в данной работе исследования показали, что хаотические процессы способны возникать как в элементарных системах, содержащих всего один нелинейный элемент, так и в сложных нелинейных диссипативных электроэнергетических системах. Хаотические колебания имеют сплошной спектр гармоник во всем диапазоне частот, что негативно влияет на показатели качества электроэнергии. Кроме того, хаотические процессы могут являться промежуточной стадией в эволюции случайной нестабильности электроэнергетической системы, вызывая лавину напряжения и угла. Для предотвращения негативного воздействия хаотических колебаний на элементы ЭЭС необходимо вовремя идентифицировать, а по возможности и прогнозировать появление таких режимов. Основой для решения названной проблемы являются результаты работы, проведенной автором, основное содержание которой заключается в следующем.

1. В диссипативных нелинейных системах, размерность фазового пространства которых больше трех, теоретически возможен режим сложных непериодических (хаотических) колебаний. Этот тип движения детерминирован и характеризуется неустойчивостью. Основными свойствами динамических систем, демонстрирующих режим детерминированного хаоса, являются чувствительная зависимость режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий и широкополосный спектр.

2. Показано, что хаотические процессы весьма вероятны в НЭС, ВАХ нелинейных элементов которых являются ниспадающими. При этом нелинейный элемент является активным, что способствует возникновению неустойчивости и хаоса.

3. Был произведен физический эксперимент, целью которого являлось подтверждение результатов компьютерного моделирования. Была экспериментально доказана возможность возникновения в НЭС установившихся сложных непериодических колебаний электрических величин. Результаты физического эксперимента подтвердили данные компьютерного моделирования.

4. Процессы в системах с несколькими генераторами являются более сложными, чем в случае систем с одним генератором. Появляются новые режимы, не свойственные системам с одним генератором. Для системы двух идентичных генераторов с резистивной и емкостной связью показано, что динамика системы во многом зависит от типа связи. Рассмотрена возможность управления и синхронизации хаотических колебаний в системе двух идентичных генераторов с емкостной связью. Показано, что путем малого управляющего воздействия на одну из подсистем, можно стабилизировать фазовую траекторию в симметричном подпространстве и свести хаотический режим к периодическим колебаниям.

5. В электроэнергетических системах возможны несколько путей перехода к хаосу: каскад удвоений периода бифуркаций и большое возмущение в системе.

6. При разрушении хаоса может возникать лавина напряжения, угловая и частотная нестабильности. Это говорит о том, что хаос в ЭЭС, очень вероятно, будет промежуточной стадией в переходном процессе, возникшем после большого возмущения.

7. Исследовано явление сосуществования четырех различных аттракторов в энергосистеме. Сосуществование устойчивого равновесия с устойчивым предельным циклом и хаотическими аттракторами говорит о возможности возникновения переходного процесса в ЭЭС, который может привести к: а) нормальному условию равновесия, б) незатухающим колебаниям, или в) хаосу.

8. Для обнаружения переходных хаотических колебаний предложено использовать характеристические показатели Ляпунова. В качестве оперативного показателя обнаружения рекомендуется использовать наибольший показатель

Ляпунова. Предложен алгоритм обнаружения переходных хаотических колебаний и неустойчивости.

9. В соответствии с результатами проведенных в данной работе исследований соискателем разработан алгоритм обнаружения переходных хаотических колебаний, примененный на ТЭЦ - 4 г. Омска. Применение этого алгоритма позволило снизить пылегазовыбросы на 0.8 - 1% на Омской ТЭЦ-4.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Рысев, Павел Валерьевич, 2007 год

1. Рысев, П.В. Исследование простейших моделей детерминированного хаоса / П.В. Рысев, Е.Ю. Свешникова, Д.В. Рысев ; Омский гос. техн. ун-т-Омск: 2005. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.2005, № 1338.

2. Рысев, П.В. Разработка программы для расчета хаотических режимов работы нелинейных электрических цепей ; Омский гос. техн. ун-т Омск: 2005. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.2005, № 1339.

3. Рысев, П.В. Моделирование на ЭВМ хаотических режимов работы нелинейных электрических цепей / П.В. Рысев, A.A. Якубович, Е.В Котельникова // Омский научный вестник. 2005. - № 2(31). С. 110-115.

4. Рысев, П.В. Хаос в нелинейных электрических цепях / П.В. Рысев, В.К. Федоров // Омский научный вестник 2003. -№ 1(22). С. 59-63.

5. Рысев, П.В. Энтропийный анализ режимов нелинейных электроэнергетических систем / П.В. Рысев, В.К. Федоров, В.И. Суриков // Омский научный вестник -2003. -№ 1(22). С. 66-69.

6. Рысев, П.В. Случайные и хаотические процессы в электроэнергетических системах / П.В. Рысев и др. // Омский научный вестник 2003. -№ 1(22). С. 69-75.

7. Рысев, П.В. Нелинейные электрические цепи: возникновение хаотических режимов / П.В. Рысев, В.К. Федоров, В.И. Суриков // Вестник Павлодарского университета. 2003. - №5 (14). С. 53 - 57.

8. Рысев, П.В. Хаос как неотъемлемое свойство нелинейных электрических цепей / П.В. Рысев, В.К. Федоров // Энергетика на рубеже веков: Сб. матер, науч.- практ. конф. / Под ред. В.Н. Горюнова. Омск: Изд во ОмГТУ, 2003. С. 116-122.

9. Рысев, П.В. Моделирование процессов в нелинейной диссипативной системе двух автономных генераторов с различными типами связи / П.В. Рысев, Д.В. Рысев // Омский научный вестник. 2006. - № 9(46). - С. 112-116.

10. Рысев, П.В. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов / П.В. Рысев и др. // Динамика систем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч.- техн. конф. Омск: 2004. - С. 229-234.

11. Рысев, П.В. Возникновение хаотических режимов в нелинейных электрических цепях / П.В. Рысев, В.К. Федоров // Научные труды инженерно -строительного института. Омск: Изд-во СибАДИ, 2005. - Вып. 1. - С. 237 -243.

12. Рысев, П.В. Динамика системы двух хаотических генераторов Чжуа / П.В. Рысев, Е.Ю. Свешникова, Д.В. Рысев // Межвуз. сб. тр. студентов, аспирантов и молодых ученых. Омск: СибАДИ, 2005. Вып. 2. - Ч. 1. - С. 253 -257.

13. Рысев, П.В. Особенности диссипации энергии в нелинейных электрических цепях / П.В. Рысев, В.К. Федоров, Е.Ю. Свешникова // Омский научный вестник.-2005.-№ 1(30).-С. 131-135.

14. Рысев, П.В. Детерминированный хаос в электрических цепях / П.В. Рысев, В.К. Федоров, Е.Ю. Свешникова // Энергосбережение и энергетика в Омской области. 2005. - № 1 (14). С. 80 - 82.

15. Рысев, П.В. Хаос в системе связанных нелинейных генераторов. Управление и синхронизация / П.В. Рысев и др. // Энергосбережение и энергетика в Омской области. 2005. -№ 1 (14). С. 82 - 86.

16. Мун, Ф. Введение в хаотическую динамику. М.: Наука, 1990. - 140с.

17. Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1990. - 312 с.

18. Разевиг, В.Д. Система схемотехнического моделирования Micro -Сар 6. М.: Горячая линия - Телеком, 2001. - 344 с.

19. Дьяконов, В. MathCAD 2001: учеб. курс. СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

20. Федоров, B.K. Введение в теорию хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем: учеб. пособие / В.К. Федоров. Омск: ОмПИ, 1992.-44 с.

21. Анищенко, B.C. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора: учеб. пособие / B.C. Анищенко. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 144 с.

22. Анищенко, B.C. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.Фундамнтальные основы и избранные проблемы / B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов; под ред. В.С.Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.-368 е.: ил.

23. Parker, T. Chaos: A Tutorial for Engineers / T. Parker, L. Chua // Proceedings of the IEEE. 1981. - vol.75. - № 8. - С. 982 - 1008.

24. Matsumoto, T. Chaos in Electronic Circuits // Proceedings of the IEEE. -1987. vol.75.-№ 8.-C. 1033 - 1057.

25. Кравцов, Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость / Ю.А. Кравцов // УФН. 1989.- № 5.- С. 92-192.

26. Красовский, A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 230 с.

27. Федоров, В.К. Функциональная устойчивость и чувствительность электроэнергетических систем / В.К. Федоров // Изв. СО АН СССР Техн. науки. 1984.-№ 4-С. 120-124.

28. Федоров, В.К. Случайность и детерминированность в теории функциональной устойчивости электроэнергетических систем / В.К. Федоров // Изв. вузов СССР. Энергетика. 1990. - № 12. - С. 8-14.

29. Основы теории цепей: учеб. для вузов / Г.В.Зевеке и др.. -5-е изд., перераб. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

30. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов / Л.А. Бессонов. -7-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1978. -528 с.

31. Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов. В 3 т. / Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. / Б .Я. Жуховицкий, И.Б. Негневицкий. -М.: Энергия, 1972. -200 с.

32. Чуа, JI.O. Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. / Л.О. Чуа, Лин Пен-Мин. -М.: Энергия, 1980.-640 с.

33. Ковалев, В.З. Идентификация параметров и характеристик математических моделей электротехнических устройств: Монография / В.З. Ковалев, А.Г. Щербаков, А.Ю. Ковалев. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. 108 с.

34. Вешкурцев, Ю. М. Прикладной анализ характеристической функции случайных процессов. -М.: Радио и связь, 2003. 204с.

35. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. / И.Н. Бронштейн, К.А. Семердяев. М.: Наука, 1980. - 976 с.

36. Теория систем для электроэнергетиков: учеб. пособие / Н.И. Воропай. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000. -273 с.

37. Venkatasubramanian, V Coexistence of Four Different Attractors in a Fundamental Power System Model / V. Venkatasubramanian, W. Ji // IEEE transactions on circuits and systems. March 1999 -№ 3. - C. 405-409

38. Hilborn, R.C. Chaos and Nonlinear Dynamics An Introduction for Scientists and Engineers. - Oxford, U.K.: Oxford Univ. Press, - 1994.

39. Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf and other.//Physica- 1985.-№ 16.-C. 285-317.

40. Glover, J.D. Power System Analysis and Design / J. D. Glover, M. Sarma. -Boston, MA: PWS, 1994.

41. Salam, F.M.A. Arnold diffusion in swing equations of a power system / F. M. A. Salam, J. Marsden, P. P. Varaiya // IEEE Trans. Circuits Syst. Aug. 1984. -vol. 30.-C. 199-206.

42. Nayfeh, M. A. Chaos and instability in a power system Primary resonant case / M. A. Nayfeh, A. M. A. Hamdan, and A. H. Nayfeh // Nonlinear Dynamics. -1990.-vol. l.-C. 313-339.

43. Kopell, N. Chaotic motions in the two-degree-of-freedom swing equations / N. Kopell, R. B. Washburn // IEEE Trans. Circuits Syst. Nov. 1982. - vol. 29. -C.738-746.

44. Ajjarapu, V. Bifurcation theory and its application to nonlinear dynamical phenomena in an electrical power system / V. Ajjarapu, B. Lee // IEEE Trans. Power Syst. -1992. -vol. 7. C. 416-423.

45. Chiang, H.-D. Chaos in a simple power system / H.-D. Chiang and other. //IEEE Trans. Power Syst. 1993.- vol. 8.-№4.-C. 1407-1417.

46. Wang, H.O. Bifurcations, chaos, and crises in voltage collapse of a model power system / H. O. Wang, E. H. Abed, A. M. A. Hamdan // IEEE Trans. Circuits Syst.-Mar. 1994. vol. 41. - № 3. - C. 294-302.

47. Ji, W. Dynamics of a minimal power system invariant tori and quasiperiodic motions / W. Ji, Y. Venkatasubramanian // IEEE Trans. Circuits Syst. I. -Dec. 1995.-vol. 42.-C. 981-1000.

48. Ji, W. Detection of complicated nonlinear phenomena in large scale power system models / W. Ji, F. Howell, V. Venkatasubramanian // in Proc. Power Systems Computations Conf., Dresden, Germany. 1996. - vol. l.-C. 430-439.

49. Thorp, J.S. Control of Electric Power Systems using Real-Time Measurements // IEEE Control Systems Magazine. Jan. 1989. - C. 39-45.

50. Chiang, H.-D. Chaos in a Simple Power System / H.-D. Chiang and other. // IEEE Winter Power Meeting. Feb. 1992.

51. Schlueter, R.A. Static bifurcation in generator flux decay dynamics on a transient midterm stability model // submitted to IEEE Trans, on Power Systems and IEEE 1994 Summer Meeting.

52. Guo, T.Y. Static/algebraic bifurcation test for static bifurcation in power system differential algebraic model / T.Y. Guo, R.A. Schlueter // Proceedings of the International Circuits and Systems Conference. June 1992.

53. Kwatny, H.G. Static Bifurcation in Electric Power Networks: Loss of Steady-State Stability and Voltage Collapse / H.G. Kwatny, A.K. Pasrija, L.Y. Bahar // IEEE Trans, on Circuits and Systems. Oct. 1986. - Vol. 33. - № 10. - C. 981991.

54. Веников, В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах: учеб. для вузов / В. А. Веников. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1985. - 536 с.

55. Эрнст, А.Д. Устойчивость узлов нагрузки : учеб. пособие / А. Д. Эрнст, К. И. Никитин. ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2005. - 47 с.

56. Левинштейн, M.JI. Щербачев О.В. Статическая устойчивость электрических систем: учеб. пособие / M.JI. Левинштейн, О.В. Щербачев. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1994. 263 с.

57. Горев, А. А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем / А.А. Горев. Л.: Госэнергоиздат, 1960. - 260 с.

58. Андерсон, П. Управление энергосистемами и устойчивость / П. Андерсон, А .Фуад. Пер. с англ., под ред. Я.Н. Лугинского. - М.: Энергия, 1980.-568 с.

59. Жданов, П.С. Вопросы устойчивости электрических систем / П.С.Жданов. -М.: Энергия, 1979.-445 с.

60. Литкенс, И.В. Колебательные свойства электрических систем / И.В. Литкенс, В.И. Пуго. -М.: Энергоатомиздат, 1988. -216 с.

61. Lai, Y.C. Unstable dimension variability and complexity in chaotic systems // Physical review. Apl. 1999. - № 4. - C. 3807-3810 - Режим доступа: http://chaos.ssu.runnet.ru/cvr/KOI/nld/public/pdf/pre99/v59 R3807.pdf

62. Yixin , Y. Power system instability and chaos / Y. Yixin, J. Hongjie, L. Peng Li // Electric power systems research June 2003. - vol. 65. - № 3. - C. 187195 - Режим доступа: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/

63. Liu, С. Detection of transiently chaotic swings in power systems using real-time phasor measurements / C. Liu, J. Thorp, R. Thomas // IEEE Trans. Power Syst. Aug. 1994. - vol. 9. - № 10. - C. 1285-1292.

64. Guo, Т. Identification of generic bifurcation and stability problems in power system differential-algebraic model / T. Guo, R. Schlueter// IEEE Trans. Power Syst. May 1994. - vol. 9. - № 2. - C. 1032-1044.

65. Matsumoto, T. Reality of chaos in the double scroll circuit: a computerassisted proof / T. Matsumoto, L. Chua, K. Ayaki// IEEE Trans. Circuits Syst. July 1988. - vol. 35. - № 7. - C. 909-925.

66. Chen, R. Degenerate Hopf bifurcations in power systems / R. Chen, P. Varaiya // IEEE Trans. Circuits Syst. July 1988. - vol. 35. - № 7. - C. 818-824.

67. Bartissol, P. The double hook / P. Bartissol, L. Chua // IEEE Trans. Circuits Syst.-Dec. 1988.-vol. 35.-№ 12.-C. 1512-1522.

68. Идельчик, В.И. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 592 с.

69. Электрические системы. Управление переходными режимами электроэнергетических систем: учеб. для втузов / В. А. Веников, Э. Н. Зуев, М. Г. Портной и др.; Под ред. В. А. Веникова. М.: Высш. шк., 1982. - 247 с.

70. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: учеб. для электроэнергет. специальностей вузов / В. А. Веников, Э. Н. Зуев, И. В. Литкенс и др. 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1981.-288 с.

71. Жигулин В.Г. Улучшение очистки дымовых газов ТЭЦ за счет модернизации агрегатов питания электрофильтров / В.Г. Жигулин и др. // Электрические станции -2006. №9. - С. 42-45.

72. Воронов, С.С. Метод хаотического генератора : подходы к диагностированию параметров нелинейных хаотических систем / С. С. Воронов, Л. В. Колпакова, В. А. Кузнецов // Измерительная техника. М. : ИПК издательство стандартов, 2000. - N 4. - С. 19-21.

73. Бланк, M.JI. Устойчивость и локализация в хаотической динамике / М. Л. Бланк. М. :МЦНМО, 2001.-351 с.

74. Маланин, В.В. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования / В. В. Маланин, И. Е. Полосков. Ижевск : Изд-во РХД, 2001. - 159 с.

75. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Владивасова и др.; Под ред. В. С. Анищенко; Дар. В. Г. Елишева. М. ; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2003. - 529 с.

76. Резонанс и хаос в одной нелинейной системе: / Б. И. Шахтарин, С. В. Артюшин, С. В. Голубев, К. А. Рукавица // Электричество. М. : ЗАО "Знак", 2000. - N 2. - С.64-69