Особенности анализа показателей качества электроэнергии в режимах детерминированного хаоса электротехнических систем с генерирующими источниками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.03, кандидат наук Шелест Сергей Николаевич

• Шелест Сергей Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Шелест Сергей Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 5 Глава 1 Показатели качества электроэнергии и характеристики хаотических режимов электротехнических систем с

генерирующими источниками

1.1 Математическая модель электротехнических систем

1.2 Исследование электротехнических систем

1.2.1 Электротехнические системы и их свойства

1.2.2 Фазовые портреты электротехнических систем

1.2.3 Показатели качества электроэнергии электротехнических систем

1.2.4 Регулярные и странные аттракторы электротехнических систем

1.3 Детерминированный хаос в диссипативных электротехнических системах

1.4 Исследование свойств детерминированного хаоса

1.5 Идентификация хаотических колебаний показателей качества электроэнергии

1.6 Нестабильность и хаос

1.6.1 Математические модели электротехнической системы с несколькими генерирующими источниками

1.6.1.1 Уравнения Парка-Горева в координатах (ё, д)

1.6.1.2 Классическая модель

1.6.2 Возможные пути возникновения хаотических режимов показателей качества электроэнергии

1.6.3 Неустойчивость и хаос

1.7 Выводы 54 Глава 2 Анализ отклонений угловой частоты от номинального значения как показателя качества электроэнергии в хаотических режимах электротехнических систем с генерирующими источниками 56 2.1 Определение характеристических показателей Ляпунова

2.2 Анализ хаотических отклонений угловой частоты в системе с двумя генерирующими источниками

2.2.1 Хаотические отклонения угловой частоты (случай 1)

2.2.2 Хаотические отклонения угловой частоты (случай 2)

2.3 Анализ хаотических отклонений угловой частоты в системе с тремя генерирующими источниками

2.4 Качественные и количественные характеристики устойчивого неравновесия (режимов детерминированного хаоса отклонений угловой частоты) в нелинейных имитационных электротехнических и электронных системах с положительной обратной связью

2.5 Выводы 86 Глава 3 Анализ отклонений напряжения от номинального значения и несинусоидальности напряжения как показателей качества электроэнергии в хаотических режимах электротехнических систем с генерирующими источниками

3.1 Анализ хаотических отклонений напряжения в системе с одним генерирующим источником

3.2 Неустойчивость и хаотические отклонения напряжения и фазового угла линии электропередачи

3.2.1 Лавина напряжения

3.2.2 Фазовая нестабильность

3.2.3 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения в линии электропередачи при хаотической частотной модуляции

3.3 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов в системе с двумя генерирующими источниками при хаотической частотной модуляции

3.4 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов в системе с тремя генерирующими источниками при хаотической частотной модуляции

3.5 Синхронизация хаотических колебаний напряжений и отклонений

напряжения в пространстве состояний электротехнических систем как

фактор самоорганизации

3.6 Выводы 117 Глава 4 Диссипация электрической энергии (мощности) и эффект вырождения вектора Умова-Пойнтинга в хаотических режимах

электротехнических систем с генерирующими источниками

4.1 Потери мощности в хаотических режимах

4.2 Эффект вырождения вектора Умова-Пойнтинга в хаотических режимах

4.3 Исследование режимов детерминированного хаоса вектора Умова-Пойнтинга и питающих напряжений на имитационной модели электротехнической системы с положительной обратной связью

4.4 Хаотические изменения активной мощности генераторов в системе

с двумя генерирующими источниками

4.5 Хаотические изменения активной мощности генераторов в системе

с тремя генерирующими источниками

4.6 Выводы 154 Основные выводы по результатам научных исследований 156 Библиографический список 158 Приложение 167 Приложение 1 168 Приложение 2 169 Приложение 3 170 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности анализа показателей качества электроэнергии в режимах детерминированного хаоса электротехнических систем с генерирующими источниками»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В последние годы в электротехнических системах с генерирующими источниками (ЭТС ГИ) значительно возросла доля нелинейной нагрузки и это связано с прогрессом в производстве силовых полупроводниковых устройств (преобразователи частоты, выпрямители, инверторы и т.д.). При наличии нелинейностей существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение ЭТС ГИ может оказаться хотя и ограниченным, но непериодическим и случайным, при этом показатели качества электроэнергии, другими словами, отклонения от номинальных значений переменных состояния (угловой частоты, напряжений), приобретают непредсказуемый хаотический характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр.

Государственные стандарты устанавливают показатели и нормы качества электрической энергии в электрических сетях общего назначения переменного однофазного и трехфазного тока частотой 50 Гц в точках, к которым присоединяются приёмники электрической энергии в ЭТС ГИ. Соблюдение указанных норм обеспечивает электромагнитную совместимость (ЭМС) электрических сетей общего назначения и потребителей электрической энергии в соответствии с требованиями ГОСТ 13109-97 и ГОСТ Р 54149-2007.

Наиболее полно и подробно научное направление решения проблем ЭМС технических средств в ЭТС ГИ разработано и изложено в работах Л.А. Мелентьева, Ю.Н. Астахова, В.А. Веникова, И.В. Жежеленко, В.А. Строева, А.Г. Фишова, Ю.В. Хрущёва, А. Fouad'a, R. Hilbom'a, N. КореП'а, Р. Kwatny, К Wang'a и других известных отечественных и зарубежных ученых.

Однако проблема ЭМС, обусловленная и связанная с анализом и взаимодействием случайных режимов и режимов детерминированного хаоса в ЭТС ГИ представляет новое, достаточно многогранное, научное направление и ее решение непрерывно претерпевает изменения.

В этом случае представляется важным спектральный анализ отклонений от номинального значения угловой частоты и напряжения ЭТС ГИ, введенный в работах Л.А. Мелентьева, продолженный, в частности, в работах В.К. Федорова и Е.Ю. Свешниковой, подразумевает развитие и обобщение на новой научной и программно-алгоритмической основе представлений, связанных с понятием "хаотическая частотная модуляция" и влияние этого фактора на спектральный состав напряжений и отклонений напряжения, и понятием "хаотическая диссипация (потери, рассеивание) электроэнергии" и влияние этого фактора на поведение вектора Умова-Пойнтинга при передаче электроэнергии от источника к потребителю. Такое обобщение представляется необходимым в связи с исследованием и анализом режимов функционирования в условиях неустранимой непредсказуемости поведения ЭТС ГИ.

Таким образом, режимы детерминированного хаоса переменных состояния - это новый тип и особая форма поведения ЭТС ГИ. Кроме того, в режимах детерминированного хаоса переменных состояния диссипация энергии при перемещении ее от мест производства до мест потребления возрастает, что указывает на вырождение вектора Умова-Пойнтинга, и поэтому изучение процесса диссипации энергии в таких режимах ЭТС ГИ представляет интерес.

Этот факт непредсказуемости не имеет никакого отношения ни к точности задания начальных данных, ни к случайным возмущениям в ходе движения в фазовом пространстве, а заключен в самой структуре системы уравнений, описывающей состояния ЭТС и ГИ. Это - новая для науки

ситуация, она придает феномену случайности новый статус, статус объективной реальности.

Вследствие этого, встает актуальная задача обнаружения, идентификации, численного моделирования и спектрального анализа режимов детерминированного хаоса показателей качества электроэнергии (отклонений от номинального значения угловой частоты и напряжений) в ЭТС ГИ, выявления особенностей таких режимов, включая диссипацию энергии и вырождение вектора Умова-Пойнтинга.

Связь темы диссертации с общенаучными (государственными) программами и планом работы университета. Диссертационная работа выполнялась в соответствии: с научными направлениями технического комитета № 77 Международной электротехнической комиссии (МЭК) "Электромагнитная совместимость электрооборудования, присоединённого к общей электрической сети"; федеральным законом № 261-ФЗ "Об энергосбережении и энергоэффективности"; с научной хоздоговорной комплексной темой "Разработка мероприятий по повышению надежности работы электрооборудования в условиях неопределённости исходной информации (раздел "Повышение уровней электромагнитной совместимости технических средств электроэнергетических систем") ФГБОУ ВПО ОмГТУ Гос. регистр. № 0651 и "Планов развития научных исследований на 20122015 гг. ФГБОУ ВПО ОмГТУ" (раздел 1.15 "Разработка мероприятий и технологий по модернизации систем электроснабжения России"); с планом НИР ОмГТУ, проводимых при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках выполнения государственного контракта № 14.В37.21.0332 от 27.07.2012 "Разработка математических моделей, алгоритмов, программных и технических средств повышения энергетической эффективности функционирования устройств и систем электроэнергетики".

Таким образом, данная диссертационная работа содержит решение задачи, имеющей важное значение для развития теории электротехнических

систем как составной части теории систем электроэнергетики.

Цель работы. Целью диссертационной работы является численное моделирование и спектральный анализ основных показателей качества электроэнергии ЭТС ГИ (отклонения угловой частоты и отклонения напряжения от номинальных значений) и их влияние на диссипацию электрической энергии в режимах детерминированного хаоса.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих конкретных задач:

1 Обзор имеющихся методов и средств анализа показателей качества электроэнергии ЭТС ГИ в режимах детерминированного хаоса.

2 Разработка метода численного моделирования и спектрального анализа показателей качества электроэнергии в хаотических режимах ЭТС ГИ.

3 Разработка метода анализа влияния показателей качества электроэнергии на диссипацию энергии (мощности) в хаотических режимах в ЭТС ГИ.

Объект и предмет исследования Объектом исследования являются диссипативные ЭТС ГИ и их режимы работы. Предметом исследования являются анализ режимов детерминированного хаоса отклонений угловой частоты, отклонений напряжения от номинального значения и диссипации энергии в ЭТС ГИ.

Методы исследований. В диссертации приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований, полученные с использованием методов теоретических основ электротехники, теории больших систем электроэнергетики, теории электротехнических систем, теории хаотических колебаний, теории системного анализа, теории случайных функций, вычислительной математики и ряда программ для инженерных и научных расчетов: "Maple", " Mathcad", "Matlab", "Micro-Cap".

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Разработаны алгоритм и программа численного моделирования режимов детерминированного хаоса в ЭТС ГИ с несколькими генерирующими источниками, касающиеся отклонений угловой частоты от номинального значения, отклонений напряжения от номинального значения и диссипации энергии в установившихся режимах.

- Проведен численный анализ синхронизации (стабилизации) как фактора самоорганизации режимов детерминированного хаоса отклонений угловой частоты и отклонений напряжения ЭТС ГИ. Показано, что с помощью управляющего воздействия на один из генерирующих источников можно стабилизировать фазовую траекторию ЭТС ГИ и свести хаотический режим к периодическим колебаниям.

- Проведен с помощью имитационной модели с положительной обратной связью экспериментальный анализ временных и спектральных характеристик отклонений угловой частоты и отклонений напряжений в режимах детерминированного хаоса ЭТС ГИ.

- Разработаны алгоритм и программа численного моделирования хаотической частотной модуляции напряжений и отклонений напряжений на шинах генерирующих источников, в линиях электропередачи и на шинах нагрузки, причиной которого является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты. Выявлены основные отличительные особенности отклонений напряжений и их спектров при хаотической частотной модуляции.

- Проведен анализ и рассмотрены особенности диссипации электроэнергии в ЭТС ГИ в режимах детерминированного хаоса основных показателей качества электроэнергии. Показано, что в режиме детерминированного хаоса происходит вырождение вектора Умова-Пойнтинга, что приводит к увеличению диссипации электроэнергии по сравнению с периодическим режимом и к ухудшению энергетических показателей ЭТС ГИ.

Практическая ценность Практической ценностью диссертационной работы является выявление и анализ свойств режимов детерминированного хаоса отклонения от номинального значения угловой частоты, напряжений и диссипации энергии, обоснование возможности управления (стабилизации) указанных хаотических колебаний в ЭТС ГИ.

Реализация и внедрение результатов работы

1 Алгоритм идентификации установившихся хаотических колебаний, использующий показатели Ляпунова, и метод определения диссипации энергии в режимах детерминированного хаоса применяется в ОАО «ТГК-11» на Омской ТЭЦ-4 в устройстве автоматического регулирования возбуждения генератора ТВФ-120-2 турбоагрегата №4.

2 Разработан и внедрен в учебный процесс лабораторный стенд, моделирующий хаотические колебания в нелинейных электрических системах, позволяющий наглядно продемонстрировать свойства и особенности хаотических режимов работы нелинейных электротехнических систем.

Личный вклад Основные научные результаты и положения, изложенные в диссертации, постановка задач, методология их решения разработаны и получены автором самостоятельно.

Основные положения выносимые на защиту:

1 Алгоритмы и программы численного анализа возникновения и идентификации режимов детерминированного хаоса отклонений от номинального значения угловой частоты и напряжения в ЭТС ГИ.

2 Результаты численного анализа синхронизации (стабилизации) как фактора самоорганизации хаотических отклонений угловой частоты и напряжений в ЭТС ГИ.

3 Методы исследования основных свойств и особенностей хаотической частотной модуляции отклонений напряжений и их спектров в ЭТС ГИ.

4 Алгоритмы и программы исследования основных свойств и особенностей диссипации электроэнергии в ЭТС ГИ в режимах детерминированного хаоса, связанных с вырождением вектора Умова -Пойнтинга.

Достоверность результатов подтверждается корректным применением для полученных выводов математического аппарата; качественным совпадением и достаточной сходимостью результатов вычислительных экспериментов; апробацией как предварительных, так и окончательных результатов диссертационной работы.

Апробация работы Материалы работы докладывались и обсуждались

на:

- Международной научно-практической конференции «Энергоэффективность» (Омск, 2010),

- Всероссийской научно-практической конференции «Высокочастотная связь, электромагнитная совместимость, обнаружение и плавка гололеда на линиях электропередачи» (Казань, 2010),

- VIII Международной научно - технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2012),

- VI Всероссийская научно - технической конференции «Россия молодая: передовые технологии - в промышленность!» (Омск, 2015),

- на заседаниях и семинарах кафедр «Электроснабжение промышленных предприятий», «Электрическая техника» и «Технология электронной аппаратуры» Омского государственного технического университета (Омск, 2011 - 2015гг.)

Публикации По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 3 печатных работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 2 свидетельства о регистрации электронных ресурсов, 5 тезисов докладов на международных научно-практических конференциях. В публикациях в соавторстве личный вклад соискателя

составляет не менее 50%.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, основные выводы по результатам научных исследований, список литературы и приложение. Общий объем составляет: 171 страница, в том числе 138 рисунков, 4 таблицы, 84 литературных источника.

Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулированы цель и основные задачи работы, научная новизна и практическая значимость результатов, представлена структура диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен аналитический обзор достигнутых результатов теории хаотических колебаний показателей качества электроэнергии. Дано определение явления детерминированного хаоса. Рассмотрены основные характеристики, параметры и отличительные особенности режима детерминированного хаоса для показателей качества электроэнергии ЭТС ГИ. Обоснована возможность появления бифуркационных переходов типа хаос - хаос и хаос - порядок в диссипативной ЭТС ГИ. Приведено аналитическое обоснование возможности идентификации хаотических колебаний, используя характеристические показатели Ляпунова.

В результате анализа выяснено, что основными свойствами ЭТС ГИ, демонстрирующих режим детерминированного хаоса для показателей качества электроэнергии, являются высокая чувствительность режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий и непрерывный широкополосный спектр.

Идентификация хаотических режимов может осуществляться по нескольким параметрам, основными из которых являются фазовые портреты колебаний (странные аттракторы), характеризующиеся дробной размерностью и характеристические показатели Ляпунова, в ряду которых

должен обязательно присутствовать хотя бы один положительный показатель.

Во второй главе представлены результаты исследований режимов детерминированного хаоса относительно отклонений угловой частоты от номинального значения.

Представлены математические модели в дифференциальной форме Коши, описывающие режимы детерминированного хаоса отклонений частоты от номинального значения. Исследовано поведение ЭТС ГИ при различных вариациях её параметров и различных начальных условиях. Хаотические процессы в ЭТС ГИ исследованы путем компьютерного и имитационного моделирования. По результатам компьютерного и имитационного моделирования построены временные зависимости отклонений угловой частоты, фазовые портреты для этих переменных состояния и спектры хаотических колебаний.

Режимам детерминированного хаоса отклонений угловой частоты даны качественные и количественные объяснения. Рассмотрена возможность принудительной синхронизации хаотических колебаний отклонений частоты с дальнейшей стабилизацией траекторий в фазовом пространстве.

В третьей главе изложены результаты исследований хаотической динамики ЭТС ГИ, в которой могут возникать режимы детерминированного хаоса отклонений напряжения от номинального значения. Хаотические процессы в ЭТС ГИ исследованы путем компьютерного и имитационного моделирования.

По результатам компьютерного и имитационного моделирования представлен спектральный анализ напряжений и отклонений напряжения на шинах генерирующих источников, в линиях электропередачи и на шинах нагрузки при хаотической частотной модуляции. Выявлены основные отличительные особенности спектров частотно модулированных отклонений напряжения в ЭТС ГИ с одним, двумя и тремя генерирующими источниками.

Режимам детерминированного хаоса отклонений напряжения в ЭТС ГИ даны качественные и количественные объяснения.

Рассмотрена хаотическая частотная модуляция напряжений и отклонений напряжения, причиной которой является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты от номинального значения в ЭТС ГИ. Выявлены отличительные особенности частотно модулированных отклонений напряжения на шинах генерирующих источников, в линиях электропередачи, на шинах нагрузки с одним, двумя и тремя генерирующими источниками.

В четвертой главе проведено исследование особенностей влияния основных показателей качества электроэнергии на диссипацию энергии (мощности) в различных режимах детерминированного хаоса в ЭТС ГИ с одним, двумя и тремя генерирующими источниками.

Осуществлен анализ режимов детерминированного хаоса в отношении диссипации энергии (мощности) и выявлен ряд особенностей, приводящих к увеличению потерь энергии в режиме хаотических колебаний. Обнаружен эффект вырождения вектора Умова-Пойнтинга.

Представлены результаты спектрального анализа хаотических колебаний потерь мощности в ЭТС ГИ. Спектральный анализ хаотических колебаний потерь мощности в ЭТС ГИ указывает на непрерывный широкополосный характер спектра, что свидетельствует о более высокой диссипации энергии в хаотических режимах, нежели в квазипериодических режимах.

Показано, что при хаотической частотной модуляции изменения (флуктуации) активной мощности генерирующих источников являются режимами детерминированного хаоса.

ГЛАВА 1 ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГЕНЕРИРУЮЩИМИ

ИСТОЧНИКАМИ

Одной из важных научных проблем теории ЭТС ГИ является решение задачи предсказания поведения изучаемых показателей качества электроэнергии во времени и фазовом пространстве на основе определенных знаний о начальном состоянии ЭТС ГИ. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об ЭТС ГИ в начальный момент времени ^ в точке х0 фазового пространства определить его будущее в любой момент времени t >

1.1 Математическая модель электротехнических систем

Проблема предсказания временной эволюции ЭТС ГИ представляет собой, безусловно, математическую задачу. Математическая логика требует от нас четкой формулировки предмета и задачи исследования. С этой целью необходимо сформулировать определение изучаемого объекта и указать его свойства. Предметом нашего анализа будут не системы и объекты вообще, а так называемые электротехнические системы, относящиеся к классу диссипативных систем (ДС) в математическом понимании этого термина [1,2].

Под ДС понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние диссипативной системы и его называют законом эволюции.

Математическая модель ДС считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени [13].

В зависимости от степени приближения одной и той же ДС могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных ДС идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под ДС мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же ДС в зависимости от степени учета различных факторов, мы получим различные математические модели [16].

1.2 Исследование электротехнических систем

1.2.1 Электротехнические системы и их свойства

Важную группу ДС представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы. Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в учебниках по теории колебаний.

Колебательная система называется линейной или нелинейной в зависимости от того, линейна или нелинейна описывающая ее система дифференциальных уравнений. Линейные системы являются частным случаем нелинейных. Однако, в силу принципиальной важности линейных систем при исследовании вопросов устойчивости колебаний, а также в силу

возможности использования, принципа суперпозиции решений такая классификация оправдана [14].

ДС, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться как сосредоточенная либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом.

По энергетическому признаку ДС делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Для консервативных систем с п степенями свободы определяется так называемый гамильтониан системы Н(р, q), где qi - обобщенные координаты, рi -обобщенные импульсы системы, i = 1,2,..., п. Гамильтониан полностью характеризует динамическую природу системы и с физической точки зрения в большинстве случаев представляет собой ее полную энергию. Эволюция во времени консервативных систем описывается уравнениями Гамильтона [17]

Ч, = дН(р, с/) / ф., р1 = -дН(р, с/)/дс/1. (1.1)

ДС с изменяющимся во времени запасом энергии называются соответственно неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за рассеяния, называются диссипативными. В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает, называются системами с отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное. Принципиальной особенностью диссипативных систем

является зависимость элемента фазового объема от времени. В системах с поглощением энергии фазовый объем во времени уменьшается [29].

Большинство реальных колебательных систем неконсервативны. Среди них выделяется особый класс так называемых автоколебательных систем, которые принципиально неконсервативны и нелинейны. Автоколебательной называют ДС, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики установившихся колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в некоторых пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. [6].

1.2.2 Фазовые портреты электротехнических систем

Метод анализа колебательных процессов с помощью исследования фазовых траекторий ЭТС ГИ был введен в теорию колебаний Л.И. Мандельштамом и А.А. Андроновым и с тех пор стал привычным инструментом при исследовании самых различных колебательных явлений.

Рассмотрим линейный осциллятор без потерь, уравнения которого можно сформулировать на примере колебательного LC-контура. Выбрав в качестве переменной заряд q на конденсаторе, с помощью уравнений Кирхгофа получим

q + (LC)"1 • q = 0 (1.2)

Умножив (1.2) на Lq, получаем

d (^+) = 0

Ж 2 2Г , (1.3)

то есть для любого момента времени выполняются равенства

Е = El + Ec = const, (1.4)

отражающие постоянство во времени полной энергии осциллятора (суммы магнитной El и электрической EC энергий).

Фазовый портрет системы (1.3) представляет собой окружность радиуса "а" с центром в начале координат. Точка в фазовом пространстве, в которой вектор фазовой скорости обращается в нуль, называется особой, и в данном случае нуль координат есть особая точка типа центр.

Наличие интеграла движения у консервативной системы 2-го порядка, отражающее в данном примере факт сохранения энергии (1.4), дает возможность описать ее с помощью уравнения 1-го порядка. Действительно, определив новую переменную ф соотношениями [21]

x1= a cos ф , x2 = a sin ф , (1.5)

получим уравнения

ф = 1 а = 0' (1.6) которые и представляют закон движения фазовой точки.

Если консервативная система нелинейна, то ее фазовый портрет усложняется. Проиллюстрируем это на примере уравнения

x + sinx = 0 (1.7)

В фазовых переменных xi = x2>x2 =x уравнение (1.7) записывается следующим образом:

Х1 = Х2 ' Х2 =- Sin X (1.8)

С увеличением энергии маятника его колебания от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис. Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению (движения вне сепаратрис). Ситуация, когда энергия маятника соответствует движению по сепаратрисе, называется негрубой. Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному [3].

Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые

закономерности проявляются в системах с полной диссипацией энергии, а поступление энергии извне отсутствует. Примером такой системы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление R. Уравнение контура

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шелест Сергей Николаевич, 2015 год

источником

Нелинейные дифференциальные уравнения состояния и параметры схемы замещения ЭТС ГИ, необходимые для анализа хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения и С1) имеют вид [60]

5 = ю ,

ю = В• зт(5л - 5 + а)Ил - Э • со+ К ,

8Л = С • Ил - Б • соз(8л - 8 - а) • Ил --И • Ил - N • соз(8л - Р) • и л +1 • <31Ь + Ь

(3.1)

ил =-М-ил + У-соз(8л-8-у)-ил + +2 • Ил + V • соз(8л-т) • Ил - з • <1Ь - А '

где 8^) - колебания фазового угла на шинах генератора,

дл - колебания фазового угла в линии электропередачи, ю^) - отклонение угловой частоты от номинального значения, ил(1)- напряжение в конце линии электропередачи ( на шинах нагрузки),

Qlъ - переменное значение реактивной мощности. Здесь X = (8, с, 8, И) - вектор переменных состояния, В, а, Ц К, С, Б, И, N Р, : Ь, М, У, у, z, V, т, б, А -совокупность параметров ЭТС ГИ, (8(0) = 0.3, га(0) = 0 -И, 55,8 (0) = 0.2, И (0) = 0 97). - совокупность начальных условий.

Начальное значение отклонений угловой частоты ш(0) медленно меняется в диапазоне 0 - 1,55 рад/с.

Численное интегрирование (3.1) проводилось при следующих значениях параметров в относительных единицах:

В = 16,667, а = 0,087, В = 3,337, К = 1,881, С = 496,872, Б = 166,667, И = 93,333, N = 666,667, Р = 0,209,: = 33,333, Ь = 43,333, М = 78,764, У = 26,217, у = 0,012^ = 14,523, V = 104,869, т = 0,135,б = 5,229, А = 7,033.

Бифуркационное значение р1в принимается равным 10,89 ( произошел

наброс нагрузки). Это значение р1в определяется неоднократным численным

интегрирование систем дифференциальных уравнений (3.1) до тех пор, пока не появляется хаотический режим [64].

На основании системы дифференциальных уравнений (3.1), заданных значений параметров и начальных условий получена оценка наибольшего показателя Ляпунова А,1^-Аг = 1с] = 0,084. Ввиду положительного знака величины X1, мы приходим к заключению, что напряжения и отклонения напряжения являются хаотическими колебаниями.

Численное интегрирование (3.1.) обнаруживает, что напряжение и и фазовый угол 5Л линии электропередачи колеблются вполне хаотично, как показано на рисунках 3.2, 3.3. Фазовые портреты решений представлены на рисунках 3.4, 3.5.

Рисунок 3.2 - Хаотические колебания фазового угла 5Л линии

электропередачи

Рисунок 3.3 - Хаотические колебания напряжения ил линии электропередачи

Рисунок 3.4 - Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат

при начальных условиях (0.3,1.3,0.2,0.97)

Рисунок 3.5 - Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат (ёлиЛ) при начальных условиях (0.3,1.3,0.2,0.97)

Следует подчеркнуть, что указанные режимы детерминированного хаоса могут возникать и при решении жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений, когда модель ЭТС ГИ включает в себя совместное описание электромеханических и электромагнитных процессов.

3.2 Неустойчивость и хаотические отклонения напряжения линии

электропередачи

Хаос чувствителен к начальным условиям и изменениям параметров ЭТС ГИ. Любое небольшое изменение их может разрушить хаотические колебания. Разрушение хаоса может привести к лавине напряжения, фазовой нестабильности или одновременно к лавине напряжения и фазовой нестабильности [63].

3.2.1 Лавина напряжения

Рассматривается исходная модель ЭТС ГИ с теми же параметрами и начальными условиями. Выбирается критическое значение Ркр правее значения = 10,89 Результат численного интегрирования показан на

рисунке 3.6.

Йи I 1ЙЗ и I

Рисунок 3.6 - Хаотические колебания напряжения при бифуркационном

параметре 01Ь> 10,89

При решении системы дифференциальных уравнений (3.1) обнаружено интересное явление - при превышении критического времени г > гёд

происходит разрушение хаотического колебания и наступает внезапная

потеря устойчивости по напряжению. Соответствующее решение (3.1) в виде временной зависимости приведено на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 - Внезапная потеря устойчивости по напряжению при начальных

условиях (0.3,1.1,0.2,0.97)

3.2.2 Фазовая нестабильность

Используется исходная математическая модель и выбирается два начальных состояния, которые могут рассматриваться как два возмущенных состояния для исследуемой ЭТС ГИ,

X (0) = (0.3,1.45,0.2,0.97),

X (0) = (0.3,1.55,0.2,0.97).

На рисунках 3.8 и 3.9 соответственно показаны решения для случая 1 и случая 2. Из рисунков 3.8 и 3.9 видно, что существуют очевидные фазовые нестабильности без признаков лавины напряжения.

0.3

0,2 0,4 0,6 I, С

Рисунок 3.8а - Хаотические колебания фазового угла при начальных

условиях (0.3,1.45,0.2,0.97)

1.21--1-1-1--1

и , o.e.

0.81-1-1-1-

о 0,2 0,4 0,6 0,8

t. 0

Рисунок 3.8б - Хаотические колебания напряжения в конце линии при начальных условиях (0.3,1.45,0.2,0.97)

0,5 0,6 0,7 0,8

t, С

Рисунок 3.9 - Хаотические колебания фазового угла при начальных условиях

(0.3,1.55,0.2,0.97)

3.2.3 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения в линии электропередачи при хаотической частотной модуляции

Хаотические колебания отклонений частоты ю (1) от номинального значения юн генератора как непериодические функции времени соответствуют непрерывному широкополосному спектру. Отсюда следует, что напряжение ил0) в конце линии электропередачи на шинах нагрузки

имеет хаотическую частотную модуляцию, соответствующую спектральному составу ю (t).

Необходимо отметить, что спектральный анализ напряжений в конце линии электропередачи ( на шинах нагрузки) в случае хаотической частотной модуляции - это новый аспект в теории гармонического анализа. В основу исследования гармонического состава напряжений на шинах нагрузки при хаотической частотной модуляции положен анализ режимов детерминированного хаоса отклонений угловой частоты ю (t) [34, 58].

Напряжение ил0) принимая во внимание приведенные рассуждения, имеет вид

U(t) = ил sin [(ю + rn(t)) • t + (t)] (3.2)

где (oí - номинальное значение угловой частоты, coí =314рад/с,

*

ил - амплитуда в о.е.

Отклонение напряжения от номинального значения в конце линии электропередачи ДЩХ) имеет вид

= ил [sin [(йн + m(t)) t + ¿л (t)] - sin Юн t] (3.3)

В результате получены колебания напряжения U^t) и отклонения напряжения Дил^) отображенные на рисунке 3.10, 3.11.

2|-1-1-1-1-

и .о.е.

_ ji_i_i_i_i_

о d.2 0,4 пл ü.8 t с

Рисунок 3.10 - Хаотические колебания напряжения на шинах нагрузки

AUo.e.

0,0^

с

-0,05

■ 0,1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рисунок 3.11 - Хаотические колебания отклонений напряжения на шинах

нагрузки

Спектр хаотических колебаний Ц/t) представлен на рисунке 3.12 и его вид свидетельствует о том, что спектр является непрерывным и широкополосным. Спектр колебаний AUji(t) представлен на рисунке 3.13.

1.5i-1-1-1-1-

и , o.e.

50 100 150

Рисунок 3.12 - Спектр хаотических колебаний напряжения на шинах

нагрузки

Рисунок 3.13

3.3 Спектральный анализ напряжения и отклонений напряжения на шинах генераторов в системе с двумя генерирующим источником при

хаотической частотной модуляции

Спектральный состав хаотических колебаний отклонений частоты ю(1:) от номинального значения юн в ЭТС ГИ как непериодических функций времени соответствует широкополосному непрерывному спектру.

Отсюда следует, что напряжение иг(1:) как функция времени имеет, в сущности, хаотическую частотную модуляцию и будет содержать гармоники, соответствующие спектральному составу ю(1:). Гармоники напряжения на шинах генераторов в свою очередь будут порождать гармоники токов в сети такого же спектрального состава.

В основу исследования гармонического состава напряжений в ЭТС ГИ при хаотической частотной модуляции будут положен анализ хаотических режимов отклонения угловой частоты ю(1:) [39].

В качестве математической модели для спектрального анализа напряжений и отклонений напряжения от номинального значения ин(1:) на шинах генераторов в ЭТС ГИ, представленной на рисунке 2.1, при

- Спектр хаотических колебаний отклонений напряжения на шинах нагрузки

хаотической частотной модуляции принята дифференциально-алгебраическая модель, включающая систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты и алгебраические уравнения, описывающие режим детерминированного хаоса напряжений Uri(t), Ur2(t) и отклонений напряжения A Uri(t), A Ur2(t) от номинального значения на шинах генераторов двухмашинной ЭТС ГИ [62]

dSi —1 = —,

dt 1

1 = -B1 sinS1 + B12 sin(^1 -S2) + K1,

dt

dó2

= íy2;

dt

-B2 sin S2 + B21 sin(¿2 - S1) + K2

da2 D e , D ^ , ^ (3.4)

dt

UГl(t) = Uh sin<4 ■t + ®1(t) ■tX UГ2(t) = UM2 ■ sin<4 ■t + ®2(t) ■tX

AUr 1 (t) = UMl [sin (oH ■ t ■ (cos (o1 (t) ■ t -1) + cos (он ■ t ■ sin co1 (t) ■ t], AUr2 (t) = U*M2[sin®H ■ t ■ (cos^2 (t) ■ t -1) + cos^H ■ t ■ sin^2 (t) ■ t],

где Uri, Ur2 - соответственно амплитуды напряжения на шинах 1-го, 2-го генераторов в отн. ед.,

ú)í - номинальная угловая частота, coí =314 рад/c. Остальные обозначения переменных состояния и параметров ЭТС ГИ такие же какие приняты в системе нелинейных дифференциальных уравнений (2.9) для случая 1.

Спектральный анализ напряжений и отклонений напряжений проводился при следующих значениях параметров

B = 0-6,B12 = 0.2,K = 0.6,B2 = 0.4,B21 = 0.6,K2 = 0.6 и начальных условиях ¿1(0) = 0.8,^(0) = 0,¿2(0) = 0.3,ш2(0) = 0.

В результате интегрирования системы уравнений (3.4) получены соответствующие решения, а именно колебания напряжений иГ1(1), иГ2@) и колебания отклонений напряжения ЬиГ(), АиГ2(1) на шинах генераторов при хаотической частотной модуляции, представленные на рисунках 3.17,3.18, 3.19, 3.20.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

I С

Рисунок 3.19 - Хаотические колебания напряжения на шинах 2-го генератора

-0,1 _I_I_|_

О 0,2 0,4 0,6 0,8

Рисунок 3.20 - Хаотические колебания отклонений напряжения на шинах

2-го генератора

Спектры хаотических колебаний иг2),Лиг2) представлены на рисунках 3.19, 3.20 и их вид свидетельствует о том, что спектры являются широкополосными и непрерывными. Этого следовало ожидать, поскольку выше перечисленные колебания есть непериодические функции времени.

Рисунок 3.21 - Спектр хаотического колебания иГ2(1:)

Рисунок 3.22 - Спектр хаотического колебания А иГ2(1:)

3.4 Спектральный анализ хаотических режимов напряжений и отклонений напряжения на шинах генераторов в системе с тремя генерирующими источниками при хаотической частотной модуляции

Спектральный состав хаотических колебаний отклонений угловой частоты ю(1:) от номинального значения юн генераторов как непериодических функций времени соответствует широкополосному непрерывному спектру.

Отсюда следует, что напряжение иг(1:) как функция времени имеет хаотическую частотную модуляцию и будет содержать гармоники, соответствующие гармоническому составу ю(1:). Гармоники напряжения на шинах генераторов в свою очередь будут порождать гармоники токов в сети такого же спектрального состава.

В качестве математической модели для спектрального анализа напряжений на шинах генераторов ЭТС ГИ при хаотической частотной модуляции принята дифференциально - алгебраическая модель, включающая систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты, и алгебраические уравнения, описывающие режим детерминированного хаоса напряжений иг(1:) и отклонений напряжения Аиг(1:) от номинального значения на шинах генераторов [62] С81

сСг

й) С32 й)

йг

с$з

Сг Сг

= г

= К - В ' [1п((1 + - М8з)- Въ [1п(8 - ),

К2 - В • [1п((1 + м)^ + ) - В\ [1п(£2 - 8Х)

= Ю

(3.5)

= К3 - В3 • [т((1 + ¡и)31 - М3) - В31 [т(£3 -

ип(г) = иМ1 ят (сон •г + < 1 (г) • г), ип(( = и*м2 ят (сон • г + 02 2 (г) •г),

игз(г) = и мз я[п (сон • г + <о)з О • г),

*

АиГ1(() = ит [ят сон • г • (соя со1 г -1)

*

АиГ2(г) = иМ2[ят <он ■ г • )соя <о>2 (г) ■ г-1)

*

АиГ3(г) = и М3[ят <о>) •г • )соя <<) (г) • г -1)

соя <<[н • я¡п < (г) • г] соя юн • г ят ю2 (г) • г] соя <[н • ят <) (г) • г]

ф ф ф

где и М1, и М2, и М3 - соответственно амплитуды напряжения на шинах 1-го, 2-го и 3-его генераторов в отн. ед.,

со1 - номинальная угловая частота, со1 =314 рад/с, Остальные обозначения переменных состояния и параметров такие же какие приняты в системе нелинейных дифференциальных уравнений (2.13).

Спектральный анализ напряжений и отклонений напряжений проводился при следующих значениях параметров к = 0.6, к2 = 0.6, к3 = 0.8, В = 10, в13 = 0.001,в = 1.0, в21 = 0.1,в31 = 0.1, в = 10, Ц = 0.707 и начальных условий 81(0), ©1(0), 52(0), ш2(0), 53(0), ш3(0) (0.6, 0.0,0.6, 0.0,0.6, 0.0).

В результате интегрирования системы уравнений (3.4) получены колебания напряжений иГ1(1), иГ2(1:), иГ3(1:) и колебания отклонений напряжения от номинального значения ин ЛипО ЛиГ2(1:), ЛиГ3(1:) на шинах генераторов при хаотической частотной модуляции, представленные на рисунках 3.25,3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30.

О 0,2 0,4 0,6 0.8

Рисунок 3.23 - Хаотические колебания напряжения на шинах 1-го генератора

Рисунок 3.24 - Хаотические колебания отклонений напряжения на шинах

1-го генератора

Рисунок 3.25 - Хаотические колебания напряжения на шинах 2-го генератора

О 0,2 0,4 0,6 0,8

Рисунок 3.26 - Хаотические колебания отклонений напряжения на шинах 2-

го генератора

_I__I_ I, с

О 0,2 0,4 0,6 0,8

Рисунок 3.27 - Хаотические колебания напряжения на шинах 3-го генератора

о 0.2 0,4 0,6 0,8

Рисунок 3.28 - Хаотические колебания отклонений напряжения на шинах 3-

го генератора

Спектры хаотических колебаний иг^),иг2(),игз(), Лиг1 (/), Лиг), Лигз(^) представлены на рисунках 3.31, 3.32, 3.33, 3.34, 3.35, 3.36 и их вид свидетельствует о том, что спектры являются широкополосными непрерывными, этого и следовало ожидать, поскольку вышеперечисленные колебания есть непериодические функции времени.

Рисунок 3.29 - Спектр хаотического колебания Ur x(t )

Рисунок 3.30 - Спектр хаотического колебания Ur2 (t )

Рисунок 3.31 - Спектр хаотического колебания Ur 3(t )

Рисунок 3.32 - Спектр хаотического колебания AUri (t )

Рисунок 3.33 - Спектр хаотического колебания AUr 2(t )

Рисунок 3.34 - Спектр хаотического колебания AUr3 (t )

3.5 Синхронизация хаотических колебаний напряжений и отклонений напряжения в пространстве состояний электротехнических систем как

фактор самоорганизации

Для экспериментальной проверки эффекта взаимной синхронизации режимов детерминированного хаоса напряжений и отклонений напряжений в неравновесных ЭТС ГИ была создана сложная электронная система с положительной обратной связью, представленная на рисунке 3.35. Исследованы режимы работы этой сложной электронной системы, включая режимы детерминированного хаоса и режимы синхронизации хаотических напряжений и отклонений напряжений как фактор самоорганизации.

Рисунок 3.35 - Принципиальная схема нелинейной имитационной электронной системы с положительной обратной связью для моделирования режимов детерминированного хаоса отклонений напряжений

Одним из факторов самоорганизации в коллективах связанных между собой генераторов ЭТС ГИ является способность таких объектов к взаимной синхронизации. Под синхронизацией понимают самопроизвольное установление в системе автоколебаний единой синхронной частоты и устойчивых к возмущениям определенных фазовых отношений между колебаниями в отдельных частях неравновесной ЭТС ГИ. Тенденция к взаимной

синхронизации противоположна тенденции развития хаоса. Иногда в одной и той же сложной ЭТС ГИ при одних условиях (в частности, внутренних связях) побеждает тенденция к самоорганизации, а при других условиях рождаются квазихаотические режимы.

Проблеме синхронизации посвящено много монографий и обзоров [1, 2]. В диссертации рассматривается синхронизация под определенным углом зрения, а именно как важный режим поведения ЭТС ГИ.

Двухкомпонентная модель ЭТС ГИ в общем виде имеет вид:

дх / ч д2 х — = 0{х у, г) + Ох—,

дг дг (3.6)

дУ = б(х,у,г)+ В ^, дг ^ 'у' ' у дг2'

где х, у - исследуемые компоненты,

г, ? - соответственно координаты фазового пространства и текущее время, Ох, Эу - диффузионные коэффициенты, 0(х, у, г), Q(x, у, г) - степенные многочлены.

Пусть в модели (3.6) функции О и Q не зависят от координаты г. Тогда распределенную ЭТС ГИ можно представить как континуум совершенно одинаковых колебательных систем (генераторов), связанных между собой диффузионными связями.

На первый взгляд кажется, что в таких однородных системах всегда устанавливается синхронный режим колебаний напряжения. Однако это далеко не всегда так. Если в двухкомпонентных ЭТС ГИ при малых связях единственно устойчивым режимом будут синфазные колебания напряжений с единой синхронной частотой, то в трехкомпонентных ЭТС ГИ уже возможны более сложные режимы.

Подчеркнем нетривиальность утверждения об устойчивости стационарного режима в системах второго порядка. Дело в том, что в цикле работ [1, 70] показано, что помимо синфазных колебаний напряжений имеются решения вида

y(r, t) = A{r )cos[^t + q{r)] (3.7)

в которых амплитуда и фаза напряжений являются функциями координаты. Однако все такие решения, кроме А = const и ф = const, оказываются неустойчивыми. Покажем это на нетривиальном примере ЭТС ГИ, которая строится на основе точечного почти гармонического генератора с жестким возбуждением [70]. В этом случае в модели (3.6) Р и Q принимают вид

G(x, y) = y, Q(x, y) = -а>1 x - 2(so -S2x2 - S4x4 )y. (3.8)

Посмотрим, как будет вести себя дискретный аналог такой системы. Во-первых, возможны два простейших режима: a) Aj = 0; это значит, что все генераторы не возбуждены и находятся в устойчивом равновесии; б) А 2 = const > 0; при этом все генераторы возбуждены и имеют амплитуды напряжений, близкие к устойчивому предельному циклу точечного генератора. Во-вторых, можно возбудить лишь часть генераторов, например левую половину цепочки. Тогда в невозбужденных генераторах правой половины цепочки будут происходить вынужденные колебания напряжений около устойчивого положения равновесия. При малой связи амплитуда вынужденных колебаний напряжения будет меньше, чем амплитуда неустойчивого предельного цикла. В итоге распределение амплитуд напряжений вдоль цепочки А 3(r) будет ступенчатой функцией, устойчивой к малым возмущениям. Если число N генераторов в цепочке увеличивать, то коэффициенты связи dx и dy, а также амплитуды вынужденных колебаний напряжения при неизменных коэффициентах диффузии будут увеличиваться. Можно ожидать, что в пределе при переходе от дискретной цепочки к ее непрерывному аналогу граница между возбужденными и невозбужденными генераторами будет стираться, т.е. распределение А3(r) в виде ступеньки становится неустойчивым. Любые возмущения могут сдвинуть ступеньку вправо или влево.

Для жесткого возбуждения имеем [73]

d2 A

2Л ° 4 -1 ¿2A2 -A4|. (3.9)

dr2 Dx + Dy

Качественный анализ решений этого уравнения (а они в принципе могут быть выражены через эллиптические интегралы) и численный эксперимент показывают, что все они неустойчивы, за исключением тривиальных: Aj = 0 и А 2 = const. Анализируя уравнения второго приближения, можно получить решения А 3(r), близкие к ступенчатым, но они оказываются неустойчивыми. Математические стороны этой проблемы отражены в [64].

Любые реальные ЭТС ГИ и их дискретные аналоги - сети связанных между собой генераторов - имеют разброс параметров, приводящий к появлению различных частот колебаний напряжения. В каждой такой системе имеются источники внутренних (естественных) и внешних шумов. Если связи между генераторами малы, неоднородность системы и шумы приводят к нарушению синхронных режимов. С другой стороны, чем теснее связи между генераторами в сети, чем больше размерность этой сети, тем устойчивее синхронный режим. Более того, можно сказать, что флуктуации синхронной частоты уменьшаются при увеличении упомянутых факторов связи, а полоса синхронизации увеличивается.

Если ЭТС ГИ квазигармонические, A i = const, а коэффициенты связи dx и dy малы, то синхронная частота юс, полоса синхронизации Дс и стационарные разности фаз вi = ф1+1—ф1 в цепочке из N генераторов определяются следующими равенствами [1]:

С = 1 it С , Аc = (dx + dy )f1 (С )•

п'=\ (3.10)

sin = --- f2 (c,-cc) (i = 1,2,3,..., N -1).

dx + dy

Здесь - частоты колебаний ЭТС ГИ, а функции /¡(ш) и /2(ш) определяются распределением этих частот.

При увеличении инкремента ЭТС ГИ форма колебаний становится релаксационной, а коэффициенты связи dx и dy уже не являются равноправными. Пусть степень релаксационности характеризуется параметром ерел << 1. Тогда выражение для полосы синхронизации приобретает вид

А с ={dx/^ё + £ даё dy )fi (щ ). (3.11)

При этом dx определяет связь по медленной переменной, не имеющей разрывов, а dy - связь по быстрой переменной. Из (3.11) следует, что полоса синхронизации Дс увеличивается в ерел-1 раз при связи по медленной переменной и, наоборот, сужается при осуществлении связи по быстрой переменной. В релаксационной ЭТС ГИ при dx = 0 и dy Ф 0 наступает десинхронизация колебаний напряжений (при этом Дс ^0, если ерел << 1).

Остановимся на одном важном для нашего изложения, ранее не рассмотренном, случае гармонического распределения частот в цепочке генераторов. Будем для простоты считать, что амплитуды всех генераторов равны между собой, а частоты заданы в виде

щ = щ+А(-1) (, = 1,2,3,...,N), (3.12)

где ю0 - частота первого генератора, Д - расстройка между соседними генераторами. Будем также считать, что генераторы суть системы Ван-дер-Поля с мягким режимом возбуждения. Это значит, что в (3.6) функции G и Q равны

P = y, Q(x,y) = 2s(l -8гy2)y -щ2x. (3.13)

Такой вид G и Q существенно не ограничивает общности результатов [4]. Будем искать решения в виде

x = A,(t) cos[vct + P,(t)1 p щ

y, =-VcA, (t)sin[vct + p, (t)] .

где At(t) и фг(() - медленно меняющиеся функции времени. При At = const

для ф1 и для разностей фаз 0k = фk+j - фк получается следующая система

укороченных уравнений:

d^L = 1 (dx + dy)sin0! +(®c -®o),

= 1 (dx + dy )(- 2 sin + sin#2) +A, dt 2

= 1 (dx + dy )(sin ek- - 2 sm ^ + sin вк+1) + A,

^ = 1 (dx + dy Xsin ^-2 - 2 sin ^-i ) + A.

Найдем из этой системы стационарные разности фаз ви синхронную частоту юc и полосу синхронизации Дс, т.е.конкретизируем выражения (3.10) для случая гармонических частот. Полагая dвi = 0, получим

INIM.II - ^ • (3-16)

где элементы матрицы Мк^ =0, кроме Мкк = -2, Мк-1,к = 1, Мк,к+1 = 1, откуда

=--2^(к2 - N.) (к,у = 1,2,3,...,N -1). (3.17)

x y

Максимальный сдвиг фаз наблюдается посередине цепочки при k =N/2. Сдвиг фаз между крайними генераторами на обоих концах цепочки такой же, как и между двумя диффузионно-связанными генераторами.

Полоса синхронизации Дс, или минимальная расстройка, при которой распределение установившихся разностей фаз устойчиво, находится с помощью условия |sin 0k| = 1, при этом

Л Л dx + dy 4(dx + dy) П10Ч

A = max A = ma^-:-— =-т-^—. (3.18)

c k.[i,N-i] к2 - Nk N2

Заметим, что если N=2 (всего два связанных генератора), то Дс ~ dx + dy. Для цепочки Дс тем меньше, чем больше N. При этом наиболее «слабое» звено -это средние генераторы цепочки. При флуктуациях напряжений именно посередине синхронный режим будет разрушаться, и при этом вероятно, что цепочка разобьется на два синхронных подкластера.

Синхронная частота

1

ас =~т ып

ЕК + кл)2

\п |_ к=о

При Дс << ш0

л

(3.20)

а с ~ао

1 + -1)

2а

о

При выводе соотношений, определяющих область синхронизации (3.18) - (3.20), использовались два основных предположения: 1) постоянство амплитуд колебаний напряжений вдоль цепочки; 2) слабая нелинейность ЭТС ГИ, что обусловливает квазигармонический характер колебаний. Это, конечно, ограничивает точность соотношений. Для проверки их применимости в различных ситуациях были проведены численные эксперименты. Система уравнений (3.6) интегрировалась на ЭВМ методом конечных разностей. Прежде чем указать основные полученные результаты, полезно упомянуть, что ЭТС ГИ с плавным градиентом собственных частот является моделью так называемой медленноволновой активности. Подчеркнем, что основной интерес представляет организация несинхронных режимов. Остановимся на этих режимах, а затем обсудим применимость (3.18) - (3.20).

Получены профили распределений напряжений в последовательные моменты времени, которые показаны на рисунке 3.36. Амплитуды колебаний напряжения распределены примерно равномерно. Длины волн возрастают в области меньших частот. Вообще говоря, уже из этой картины видно, что процесс является несинхронным (отметим, что Дю>юс). Однако значительно более наглядно режим десинхронизации выявляется при спектральной обработке полученных решений. Распределение амплитуд гармонических составляющих напряжения энергетических спектров колебаний ЭТС ГИ представлено на рисунке 3.37 и характеризует неустойчивый режим ЭТС ГИ. Основной особенностью представленных распределений является наличие

N-1

ярко выраженных кластеров. Колебания происходят не на всех возможных в системе частотах, но только на некоторых, характерных для выделяемых кластеров. Суммарный спектр колебаний из непрерывного в случае отсутствия связи = dyy = 0) переходит в дискретный. Причем по мере увеличения коэффициентов связи число кластеров уменьшается, в пределе становясь равным единице (область синхронизации), и режим ЭТС ГИ становится устойчивым (рисунок 3.38).

О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1;, С

Рисунок 3.36 - Профиль распределений напряжений во времени

и,

%

О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 ^ С ДБ -

Т 1 -— Г г т " г г т т т ■

О 5 10 15 20

£ кГц

-4-3-2-10123

Рисунок 3.37 - Временные, спектральные характеристики и фазовый портрет отклонений напряжения на нагрузке в режиме десинхронизации

О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 С

ДБ

-40

-60 -80

140

0 5 10 15 20

£, кГц

и

0,3

0,1 о -0,1

-0,3

-0,5

-2 -1 О 1

Рисунок 3.38 - Временные, спектральные характеристики и фазовый портрет отклонений напряжения на нагрузке в режиме синхронизации

Отметим, что область синхронизации при увеличении нелинейности системы существенно растет по сравнению с определяемой по (3.18). Здесь возможны уточнения согласно формуле (3.11). В то же время определение юс по (3.20) дает хорошие совпадения с численным экспериментом.

3.6 Выводы

1. В дифференциально-алгебраической математической модели ЭТС ГИ хаотический режим может возникнуть в результате каскадной неустойчивости. Метастабильный хаос наблюдается конечное время вместе со стабильным хаосом исследуемого хаотического режима напряжений, а с превышением параметрами бифуркационных значений фиксируется бифуркационный переход хаос - хаос или хаос - порядок.

2. Потеря устойчивости - разрушение хаотических колебаний напряжения - приводит к неопределенному динамическому режиму или вынужденной бифуркации на границе устойчивости. Однако, потеря устойчивости невозможна, если заданы пределы изменения реактивной мощности Q1b.

3. Рассмотрена хаотическая частотная модуляция напряжений, причиной которой является режим детерминированного хаоса отклонений угловой частоты от номинального значения генераторов. Выявлены основные отличительные особенности частотно модулированных напряжений на шинах генераторов, в линиях электропередачи, на шинах нагрузки ЭТС ГИ.

4. Представлен спектральный анализ отклонений напряжений в ЭТС ГИ при хаотической частотной модуляции. Показано, что спектр напряжений и отклонений напряжения определяется спектром отклонений частоты от

номинального значения как функции времени и носит непрерывный характер.

5. Рассмотрены условия и приведен численный анализ синхронизации как фактора самоорганизации хаотических колебаний напряжения и отклонений напряжения в ЭТС ГИ.

ГЛАВА 4 ДИССИПАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ (МОЩНОСТИ) И ЭФФЕКТ ВЫРОЖДЕНИЯ ВЕКТОРА УМОВА-ПОЙНТИНГА В ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГЕНЕРИРУЮЩИМИ

ИСТОЧНИКАМИ

Электроэнергия является единственным видом продукции, для перемещения которого от мест производства до мест потребления не используются другие ресурсы. Для этого расходуется часть самой передаваемой электроэнергии, поэтому ее потери неизбежны, задача состоит в определении их экономически обоснованного уровня. Снижение потерь электроэнергии в электрических сетях до этого уровня - одно из важных направлений энергосбережения.

Потери электроэнергии (мощности) определяют как разность электроэнергии, поступившей в сеть, и электроэнергии, отпущенной из сети потребителям по данным системы учета поступления и полезного отпуска электроэнергии.

Указанные соображения требуют изучения диссипации электроэнергии (мощности), обусловленной физическими процессами, происходящими при передаче электроэнергии в нелинейных ЭТС ГИ в режимах детерминированного хаоса.

4.1 Потери мощности в хаотических режимах

Для анализа потерь электроэнергии (мощности) в режиме детерминированного хаоса используется математическая модель ЭТС ГИ, описанная системой нелинейных дифференциальных уравнений (3.1) и показанная на рисунке 3.1. С учетом принятых численных значений параметров уравнения состояния запишутся в виде [72]

8 = ю,

со = 16.6678т(5ё -8 + 0.087)иё -3.333ю +1.881,

5ё = 496.872Цё - 166.667оов(5ё - 5 - 0.087)иё -

-93.333иё - 666.667ооб(5ё - 0.209)иё + 33.33301Ь + 43.333, Iё = -78.764иё + 26.217еов(5ё -5-0.015)иё +

+ 14.523иё + 104.869еов(5ё -0.135)иё -5.22901Ь -7.033, где ) - колебания фазового угла на шинах генератора, дл - колебания фазового угла в линии электропередачи,

) - отклонение угловой частоты от номинального значения, Щг) - напряжение в конце линии электропередачи, Q1b - переменное значение реактивной мощности. Здесь X = (5,8Л, ю,ил) - вектор переменных состояния,

5(0)=0,3, 5л(0)=0,2, Ц/0^0,97, ю(0)=0^1,55 - совокупность начальных условий.

Решение для переменных состояния представлены на рисунках 4.1, 4.2, 4.3 в режиме хаотических колебаний при значении бифуркационного параметра Q1b > 1,191 и на рисунках 4.4, 4.5 в режиме периодических колебаний при значении бифуркационного параметра Q1b < 1,191 [65].

Рисунок 4.1 - Хаотические колебания фазового угла линии электропередачи

Рисунок 4.2 - Хаотические колебания напряжения линии электропередачи

Рисунок 4.3 - Фазовый портрет хаотической траектории в системе координат

(А ил, ш)

Рисунок 4.4 - Нехаотическое затухание колебания фазового угла линии

электропередачи

Рисунок 4.5 - Нехаотические колебания напряжения линии электропередачи

Потери мощности АР(г) при передаче мощности для нагрузки Р1в определяется по формуле [18]

АР(1) = ил2 ■ (4.2)

где ил(1:) - напряжение в конце линии электропередачи, а ^ - активная проводимость линии электропередачи.

Изменения бифуркационного параметра в пределах от 1,085 до 10,86 показали изменение потерь мощности при переходе из режима периодических колебаний в режим хаотических колебаний. Полученные результаты отображены на рисунках 4.6, 4.7. При расчете диссипации энергии по методу трапеций был сделан вывод, что диссипация энергии в режиме хаотических колебаний превышает диссипацию энергии в режиме периодических колебаний.

Рисунок 4.6 - Потери мощности в ЛЭП в режиме хаотических колебаний

Рисунок 4.7 - Потери мощности в ЛЭП в режиме периодических колебаний

Потери мощности в линии электропередачи в хаотическом режиме увеличиваются в сравнении с квазипериодическими режимом и это приводит к снижению к.п.д. линии электропередачи.

Спектральный анализ хаотических колебаний потерь мощности АР(г) позволяет сделать вывод о широкополосном непрерывном спектре. Этого следовало ожидать, поскольку АР(г) является непериодической функцией времени. Спектр хаотических колебаний потерь мощности АР(г) представлен на рисунке 4.8.

ДР 0,06 Рь

0,04

0,02

50

100

150

200

Рисунока 4.8 - Спектр хаотических колебаний потерь мощности АР(г)

4.2 Эффект вырождения вектора Умова-Пойнтинга в хаотических

режимах

Потоком энергии через заданное сечение называется количество энергии, переносимое через это сечение в единицу времени. Поток энергии характеризуется мощностью и плотностью потока энергии или вектором Умова - Пойнтинга.

Источником электрической энергии в произвольном сечении воздушной или кабельной ЛЭП является виртуальный трансформатор с электрическими и магнитными характеристиками, определяемыми параметрами схемы замещения ЛЭП [55].

Пространственно векторы магнитной напряженности Н и электрической напряженности Е сдвинуты на 90°, и для вектора Умова-Пойнтинга, направленного от поверхности а «внутренней обмотки» в сторону «внешней обмотки» виртуального трансформатора, можем написать два выражения

а а '

(4.3)

а

Получаемая при этом полная мощность, исходящая с поверхности «внутренней обмотки» в коридор между «обмотками» виртуального трансформатора, равна [55]

*

I 1а = и^ = £>15 (4.4а)

или

¿1 = I 1а ^ ]юЫ2 + ¿2. (4.4б)

Приравняв правые части (4.4а) и (4.4б), получаем

¿1 = ]юЫ2 + ¿2. (4.5)

Отсюда следует, что за перенос мощности Б2 по коридору между «обмотками» виртуального трансформатора приходится затратить (израсходовать) часть реактивной мощности

д = х!2, (4.6)

где х - реактивное сопротивление «обмоток» виртуального трансформатора, от поступающей в виртуальный трансформатор входной мощности £>г Затраты реактивной мощности Р идут на намагничивание коридора с целью создания в нем напряженности Н, необходимой для проведения мощности

В результате с учетом (4.4б) можно написать соотношение [55]

= Г 1 а -1 2а = 2, (4.7)

где I 1 и I 2 - соответственно векторы Пойнтинга на входе и выходе виртуального трансформатора,

которое определяет х не как элемент рассеяния, а как элемент, явно отображающий в схеме замещения затраты реактивной мощности Р на продвижение вектора Умова-Пойнтинга в коридоре между «обмотками» виртуального трансформатора.

Таким образом, отображены энергетические, электрические и магнитные связи в виртуальном трансформаторе, вытекающие из характера распределения вектора Пойнтинга в коридоре между «обмотками».

Напряжения на входе и1 и выходе и2 виртуального трансформатора

могут быть выражены через потоки Ф1 и Ф2.

Передачу активной мощности можно представить известным соотношением из теории сетей [57]

и,

и

р

V -_J

х

Бт 0,

(4.8)

где 0 - угол между векторами и 1 и и 2.

Из условий и 1 = jюw1Ф1 и и 2 = ^-^Ф 2 выражение (4.8) преобразуется к виду

Р = —Ф1Ф 2Б1П 0. х

(4.9)

Правую часть (4.9) можно рассматривать как условие передачи активной мощности в виртуальном трансформаторе.

Таким образом, если теорему Умова - Пойнтинга записать как

*

*

=Р + jQ = и I, то вектор Умова - Пойнтинга получается равным [66]

*

ё(и I) ^

П = -

аз

= 5 ик,

(4.10)

где 5 - комплексный вектор плотности тока,

и - сопряженный комплекс напряжения,

к - коэффициент пропорциональности между сечением диэлектрика и сечением жилы кабеля.

В режимах детерминированного хаоса ЭТС ГИ происходит вырождение вектора Умова - Пойнтинга как переносчика полезной

*

мощности от генераторов к нагрузке. Результирующий вектор Умова -Пойнтинга, оставаясь постоянным по величине и направлению, вырождается как носитель полезной энергии, и ЭТС ГИ стремится к равновесному состоянию. Вся переносимая энергия при определенных условиях переходит в хаотическую тепловую энергию. Причиной рассеяния переносимой энергии от генератора к нагрузке является не состояние ЭТС ГИ, а вырождение вектора Умова - Пойнтинга как носителя полезной мощности от генератора к нагрузке.

4.3 Исследование режимов детерминированного хаоса вектора Умова-

Пойнтинга и питающих напряжений на имитационной модели электротехнической системы с положительной обратной связью

Основной задачей положительной обратной связи (ПОС) является создание нелинейности, которая способствует хаотическому режиму работы ЭТС ГИ. Однако и в схеме с отрицательной ОС на высокой частоте могут возникать достаточно большие сдвиги по фазе, приводящие к возникновению ПОС и нежелательным автоколебаниям.

С помощью программного обеспечения «Multisim 12.0» и «MathCad 14» была разработаны и создана имитационная модель одномашинной ЭТС ГИ, которая позволяет увидеть графическое изменение плотности тока и напряжения на выходе генератора, а так же на шинах нагрузки.

Для подтверждения чувствительности хаотического режима к начальным условиям было создано три одинаковых имитационных модели с различными параметрами элементов нагрузки. При этом изменение параметров было незначительным, а полученные результаты имели достаточные различия. В ходе работы были получены фазовые портреты

состояния системы, форма которых свидетельствует о хаотическом режиме работы системы.

Основными элементами схемы являются генератор, нагрузка генератора, осциллографы, при помощи которых были получены фазовые портреты состояния системы и графики переменных состояния.

Для создания нелинейности в работу системы были включены два операционных усилителя ЬМ358К охваченные положительными обратными связями. Именно это послужило причиной хаотического режима работы имитационной модели ЭТС ГИ.

Рисунок 4.9 - Схема электротехнической системы

Рисунок 4.10 - Имитационная модель электротехнической системы с

хаотическим режимом работы 1 - генератор электротехнической системы; 2 - нагрузка; 3 - осциллограф XSC1 подключенный к генератору; 4 - осциллограф XSC2 подключенный к нагрузке

Таблица 4.1 - Элементы имитационной модели и их параметры

Название элемента Количе ство Параметры

Генератор 1 Напряжение (Ц-) : 9 В

Транзистор ВС547А 1 Тип материала: Si Максимальная рассеиваемая мощность (Рс): 0.5 Вт Максимально допустимое напряжение коллектор-база (исЬ): 50 В Максимально допустимое напряжение коллектор-эмиттер (исе): 45 В Максимально допустимое напряжение эмиттер-база (иеЬ): 6 В Максимальный постоянный ток коллектора (1с): 0.1 А

Катушка индуктивности 1 Индуктивность 220 мкГн

Операционный усилитель LM358N 2 Количество каналов: 2 Напряжение питания (Ц): 3 - 32 В Ток собственного потребления (!сп): 700 мкА Полоса пропускания: 0,7 МГц Напряжение смещения (Ц;м): 2 мВ

Осциллограф XSC1, XSC2 2 Виртуальный двухлучевой осциллограф

Конденсатор С1, С2 ,С3, С4, С5 5 Емкость (С): 300 пФ, 300 пФ, 24 нФ, 100 нФ, 100 пФ

Резистор R1, Я2, R3, R4, R5, R6, R7, R8 8 Сопротивление 75 кОм, 137 кОм, 47 кОм, 39,8 кОм, 1кОм, 3 кОм, 0,2 Ом, 160 кОм

Рисунок 4.1 1 - Элементы нагрузки, параметры которых изменяются при

моделировании