Метод конечных и граничных элементов в динамике конструкций летательных аппаратов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.07.03, доктор технических наук Левин, Владимир Евгеньевич

• Левин, Владимир Евгеньевич
• доктор технических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор технических наук Левин, Владимир Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОВЕДЕННЫХ В РАБОТЕ ИССЛЕДОВАНИЙ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ.

1.1. Задача о взаимодействии конструкции и жидкости.

1.2. Вопросы конечно- и гранично-элементной аппроксимации.

1.3. Проблема задания геометрии.

1.4. Деформирование криволинейных стержней.

Выводу по разделу 1. Цель диссертационной работы.

2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ КРИВОЙ.

2.1. Задание геометрии участка плоской кривой.

2.2. Вариант описания кривой.

2.3. Описание поворота тройки ортов.

2.4. Метод аппроксимации пространственной кривой.

2.5. Аппроксимация плоской кривой.

Выводы по разделу 2.

3. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕЙ. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ.

3.1. Деформирование пространственной кривой.

3.2. Деформирование стержней.

3.2.1. Уравнения деформирования пространственного стержня при больших перемещениях и поворотах.

3.2.2. Нелинейные уравнения деформирования плоского стержня

3.2.3. Линейные уравнения деформирования пространственного стержня.

3.2.4. Линейные уравнения деформирования плоского стержня

3.3. Конечноэлементные аппроксимации.

3.3.1. Пример нелинейного конечного элемента.

3.3.2. Конечные элементы стержневого типа.

3.3.2.1. Конечный элемент плоского криволинейного стержня.

3.3.2.2. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня.

Выводы по разделу 3.

4. СТАТИКА И ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ.

4.1. Точные решения.

4.2. Решения численным методом.

4.2.1. Интегрирование нелинейных уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня методом пристрелки Л

4.2.2. Консольно закрепленный стержень.

4.2.3 Составной криволинейный стержень с участками разной кривизны.

4.2.4. Стержень переменной кривизны. Спираль Архимеда.

4.2.5. Задача о деформировании лука.

4.2.6. Закритическое деформирование продольно сжатого шарнирно опертого стержня.

4.2.7. Расчет составного стержня с изломом оси.

4.2.7.1. Нагружение в плоскости.

4.2.7.2. Нагружение из плоскости.

4.2.8. Примеры решений обратной задачи нелинейного деформирми-. рования стержней.

4.2.9. Расчет деформирования пространственной спирали.

4.3. Динамическая конечноэлементная модель планера самолета как системы пространственных перекрестных балок.

Выводы по разделу 4.

5. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ ОСЕСИМ-МЕТРИЧНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ. ГРАНИЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ ОПИСАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЖИДКОСТИ.

5.1. Кинематика деформирования оболочки вращения.

5.2.Уравнения равновесия оболочки.

5.3. Конечный элемент оболочки вращения при осесимметричном деформировании.

5.3.1. Расчет колебаний круглой пластины.

5.3.2. Расчет колебаний цилиндрической оболочки.

5.3.3. Расчет колебаний конической оболочки.

5.3.4.Расчет колебаний полусферической оболочки.

5.4. Граничноэлементное представление воздействия жидкости на оболочку.

5.4.1.Основные соотношения для осесимметричного течения жидкости.

5.4.2. Тестирование граничноэлементной процедуры.

Выводы по разделу 5.

6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ДИНАМИКЕ ТОНКОСТЕННЫХ ТОПЛИВНЫХ БАКОВ.

6.1. Исходные соотношения и последовательность расчет.а.

6.2. Тестовые расчеты

6.2.1. Бак сферической формы.

6.2.2. Длинный бак.

6.3. Расчет тороидального бака.

6.4.Аналог бака с жидкостью.

6.5.Установка дополнительных конструктивных элементов.

6.6. Расчеты некоторых баков.

Выводы по разделу 6.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод конечных и граничных элементов в динамике конструкций летательных аппаратов»

Актуальность темы диссертации. При проектировании ракет-носителей (РН) космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями (ЖРД) и при подготовке новых пусков решается задача обеспечения продольной устойчивости (задача ПОГО). На активном участке полета РН с ЖРД и при разделении ступеней могут возникнуть продольные колебания РН с большими динамическими нагрузками на конструкцию. Опасны низкочастотные продольные колебания, связанные с продольными колебаниями тонкостенных топливных баков. Вопросы, рассмотренные в диссертационной работе, определились в процессе разработки метода уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков. Необходимость в таком методе возникла, поскольку существовавшим алгоритмам были свойственны отдельные недостатки. Например, возникали затруднения при анализе почти полных баков. Кроме того, появление новых компоновочных схем РН требует развития методик расчета агрегатов РН, включая и топливные баки.

Метод расчета топливных баков (с присоединенными элементами) построен на сочетании метода конечных элементов (МКЭ) для описания деформирования оболочек бака и метода граничных элементов (МГЭ) для представления жидкости. Поскольку МГЭ приводит к заполненным матрицам, которые могут быть обусловлены хуже матриц МКЭ, в целях сокращения конечномерной модели бака с топливом возникла необходимость в уточненном описании как геометрии бака, так и функций формы в МКЭ и МГЭ.

Разработанный автором метод аппроксимации плоской кривой (меридиана бака), основанный на использовании естественного параметра- длины кривой, получил развитие для случая пространственной кривой. В процессе дальнейшей работы появились обобщения, на основе которых были решены и другие актуальные проблемы, связанные с описанием и расчетом стержневых и тонкостенных конструкций. Решение этих проблем также может найти применение в авиационно - космической отрасли.

Диссертация состоит из шести разделов и излагается в следующем порядке.

В первом разделе на основе литературных источников дан краткий анализ проблем, близких к рассмотренным в диссертационной работе:

• описание динамического взаимодействия тонкостенных конструкций с находящейся в них жидкостью,

• вопросы конечно- и граничноэлементной аппроксимации,

• аппроксимация кривых и поверхностей,

• расчет деформирования криволинейных стержней при больших перемещениях.

Ввиду того, что обозначенным проблемам посвящено большое количество публикаций, пришлось ограничиться ссылками лишь на некоторые работы, важные, по мнению автора, для определения места диссертационной работы. На основе проведенного анализа сделаны выводы об актуальности вопросов, решаемых в работе, и сформулированы цели работы.

Во втором разделе излагаются вопросы, связанные с представлением геометрии кривой в виде, удобном для применения ЭВМ. Рассмотрены различные варианты, в том числе, предложен метод аппроксимации участка пространственной кривой, использующий естественную параметризацию. Он основан на представлении поворота тройки ортов вектором конечного поворота (псевдовектором Аргириса). В частном случае плоской кривой метод применяется к описанию меридиана топливного бака.

В третьем разделе рассмотрено описание деформирования пространственной кривой с использованием описания поворота тройки ортов, изложенного в разделе 2. На основе этого составлена система уравнений деформирования пространственного криволинейного стержня при больших перемещениях и поворотах. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного деформирования стержня. Изложен метод построения эффективных функций формы конечного элемента плоского и пространственного криволинейного стержня. Объяснена причина больших ошибок при вычислении силовых факторов внутри конечного элемента.

В четвертом разделе уравнения, полученные в разделе 3, используются для решения краевых задач нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня с применением алгоритма пристрелки. Показаны возможности численной методики применительно к расчетам больших перемещений и к задачам потери устойчивости стержней. Приведены примеры решения обратной задачи нелинейного деформирования криволинейного стержня. Рассмотрено практическое приложение конечного элемента пространственного криволинейного стержня к динамической модели планера самолета как системы пространственных перекрестных балок.

В пятом разделе рассмотрена кинематика деформирования оболочки. Для конечного элемента оболочки вращения в случае осесимметричного деформирования получены эффективные функции формы. Обоснован выбор прямого метода граничных элементов в качестве основного для представления динамики жидкости в задаче о собственных колебаниях тонкостенного топливного бака и получено граничноэлементное представление жидкости. Предложены пути улучшения аппроксимаций в методе граничных элементов.

В шестом разделе с использованием результатов, полученных во втором, третьем и пятом разделах, излагается разработанный метод расчета динамических характеристик продольных собственных колебаний тонкостенных осесимметричных топливных баков. Метод основан на конечноэлементном описании оболочек и граничноэлементном представлении жидкости. Приводятся результаты тестовых расчетов и результаты применения разработанного метода к реальным задачам.

Основной целыо работы является

• разработка метода расчета динамических характеристик продольных колебаний осесимметричных тонкостенных топливных баков РН с ЖРД на основе сочетания методов конечного и граничного элементов с возможностью расширения расчетной схемы при учете дополнительных конструктивных элементов;

• разработка пакета прикладных программ;

• решение практических задач динамики баков РН.

Для достижения основной цели работы предполагается решение следующих проблем

• разработка метода аппроксимации пространственной кривой с использованием естественного параметра - длины кривой и описания конечного поворота тройки ортов, связанных с точкой кривой;

• разработка метода построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и конечного элемента оболочки вращения с использованием описания поворота тройки ортов;

• использование описания конечного поворота тройки ортов для записи уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня и построение численной процедуры интегрирования этих уравнений.

Научная новизна работы

• Разработан новый метод расчета динамических характеристик продольных колебаний тонкостенных баков с жидкостью при учете дополнительных конструктивных элементов. В его основе лежит конечноэлементное описание оболочек бака и граничноэлементное представление жидкости. Метод реализован в программном комплексе. Проведенное тестирование подтверждает хорошие описательные возможности метода. В частности, проанализированы предельные случаи заливки бака «под крышку», которые представляют определенные трудности для известных расчетных методов.

Предложен новый метод восстановления участка пространственной кривой с использованием естественной параметризации по информации в узловых точках. Метод удобен при описании осевой линии независимого стержня или стержня, как подкрепления тонкостенной конструкции. В случае плоской кривой метод применяется для описания геометрических характеристик бака.

На основе соотношений, описывающих деформирование криволинейных стержней, построен метод, в рамках которого получены новые эффективные конечноэлементные аппроксимации в стержнях и оболочках. Использование таких аппроксимаций позволяет существенно сократить количество неизвестных в конечноэлементной модели стержня и оболочки. Для стержневой модели самолета с естественной круткой стержней построена методика расчета форм и частот колебаний. Приведены результаты тестирования.

Примененное в аппроксимации кривой описание поворота ее бесконечно малого элемента и использование глобальных компонентов векторных функций позволило записать в алгоритмичной форме уравнения нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня. Осевая линия стержня может иметь скачки кривизны и изломы. Для численного решения этих уравнений применен метод пристрелки. Получены решения ряда задач нелинейного деформирования стержней, иллюстрирующие достаточно широкие возможности используемой процедуры. Записаны уравнения обратной задачи нелинейного деформирования стержня.

Методы исследований основаны на применении известных процедур конечно- и граничноэлементного редуцирования, реализации условий экстремума функционалов, использовании интегральных тождеств,

• применении известных схем численного интегрирования и процедур численного решения задачи Коши,

• решении обобщенной проблемы собственных значений известными алгоритмами.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на

• корректном использовании исходных соотношений механики деформируемого твердого тела, применении известных численных итерационных алгоритмов,

• исследовании сходимости разработанных алгоритмов численного анализа,

• сопоставлении результатов расчета по методикам диссертационной работы с известными аналитическими и численными решениями, а также с известными экспериментальными данными.

Практическая значимость и реализация результатов исследований заключается во внедрении результатов исследований и пакетов прикладных программ в ГКНПЦ им.М.В. Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г. Москва), ГУДП КБ «Полет» (г. Омск).

Работа проводилась в соответствии с правительственной научно-технической программой «Икарус-МАП», программой Минвуза РСФСР «Полет», федеральной целевой программой «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки ».

На защиту выносятся

• метод расчета уточненных динамических характеристик тонкостенных топливных баков (с дополнительными элементами) при продольных колебаниях, основанный на конечноэлементном описании оболочек бака и граничноэлементном представлении жидкости;

• метод аппроксимаций пространственной кривой с использованием естественной параметризации и вектора конечного поворота тройки ортов;

• метод построения эффективных функций формы конечного элемента пространственного криволинейного стержня и осесимметричной оболочки произвольного меридиана применительно к задачам динамики конструкций летательных аппаратов;

• методика расчета нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня, основанная на использовании метода пристрелки и уравнений относительно глобальных проекций векторных функций с описанием поворота на основе вектора конечного поворота.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на летней школе по механике жидкости (Киев, 1978, 1989гг.); на Всесоюзной школе-семинаре «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1983г.); на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986г.); на Всесоюзной конференции, посвященной 30-летию факультета ДПА ЧПИ (Челябинск, 1987г); на семинарах по динамике упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью (Томск, 1983,1986гг.); на симпозиумах по колебаниям упругих конструкций с жидкостью (Новосибирск, 1979, 1982, 1985, 1988, 1991, 1994гг.); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS « Научные основы высоких технологий» (Ульсан, Корея, 1997г., Томск, 1998г., Новосибирск, 1999г., Ульсан, Корея, 2000г.); на юбилейной конференции в ЦАГИ (1993г.); на 1-м Международном симпозиуме «Аэрокосмическая индустрия и экология, проблемы конверсии и безопасности» (Днепропетровск, 1995г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы механики машин» (Улан-Удэ-Томск, 2000г.); на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН ( Новосибирск, 1999, 2001г.); на III и IV школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1999, 2000гг.), на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.), на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето- и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им.С.А.Чаплыгина.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 печатная работа. Результаты исследований автора, выполненных по заказам КБ, отражены в научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка использованных источников из 315 наименований. Объем диссертации 341с., включая 158 рисунков и 39 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов», Левин, Владимир Евгеньевич

Выводы по разделу 6

По изложенному методу расчета, основанному на конечноэлементном описании оболочек бака и граничноэлементном представлении жидкости, составлен программный комплекс расчета динамических характеристик собственных колебаний тонкостенных топливных баков.

Проведены сопоставления результатов расчета частот и форм собственных колебаний тонкостенных баков с жидкостью, выполненного по предлагаемой методике, с известными расчетными и экспериментальными данными. Проведены тестовые расчеты длинных баков, которые показали работоспособность МКЭ-ПМГЭ метода и в этом случае.

Предлагаемый метод отличают от существующих более точные аппроксимации в границах и функциях формы методов конечного и граничного элементов. Это расширило возможности численного анализа. Примером тому являются исследования по большим заливкам баков. В расчете удается достоверно смоделировать динамические свойства баков, подобных как сфере, так и тору, при вырождении свободной поверхности жидкости.

Предусмотрена возможность определения вместе с характеристиками собственных колебаний также и параметров механического аналога бака. Такой аналог, построенный по результатам расчетов собственных колебаний бака, заменяет бак как сложную конструкцию в общей динамической схеме.

Метод располагает возможностями прямого учета в расчетной схеме дополнительных конструктивных элементов, которые иногда вводят в конструкцию бака для изменения его частотных свойств. Это позволяет наиболее просто, через аналог бака, учитывать динамику дополнительных элементов в общей динамической схеме конструкции ракеты-носителя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Разработан новый метод уточненного расчета динамических характеристик продольных колебаний тонкостенных осесимметричных упругих топливных баков. Метод основан на использовании конечных элементов для описания упругих обечаек бака и граничных элементов для представления жидкости. Он имеет более широкие возможности по сравнению с существующими методами, что определяется более развитым описанием геометрии бака и уточненными функциями формы в МКЭ и МГЭ.

2. В разработанном методе предусмотрена возможность учета в расчетной схеме бака дополнительных конструктивных элементов, таких как двигатель, прикрепленный к баку, и внутрибаковые стержни, вводимые в конструкцию бака для повышения его жесткости без изменения внешних очертаний ( выведение частот бака из нежелательного диапазона).

3. Создан пакет программ расчета динамики реальных конструкций тонкостенных баков. Достоверно описываются традиционно трудные для других методов заливки бака «под крышку» и малые заливки, а также угловые точки контура бака.

4. Проводились расчеты по заказам КБ. Пакет программ и результаты расчетов используются в проектной практике при разработке новых и доводке существующих изделий в ГКНПЦ им.М.В.Хруничева (г.Москва), НПО «Молния» (г.Москва), ГУДП КБ «Полет» (г.Омск).

5. Как обобщение алгоритма описания геометрии бака разработан новый метод аппроксимации участка пространственной кривой, основанный на описании поворота тройки ортов вектором конечного поворота и использовании естественной параметризации.

6. Метод применяется к описанию осевой линии пространственного, криволинейного стержня в задаче о колебаниях динамической модели ЛА в виде системы пространственных перекрестных балок и к описанию меридиана оболочки вращения в задаче о продольных колебаниях тонкостенных баков с жидкостью.

7. Предложен новый метод построения эффективных стержневых конечных элементов и конечных элементов оболочки вращения, основанный на использовании соотношения, связывающего поворот элемента кривой линии с его перемещениями и деформацией.

8. Метод применяется в задачах о колебаниях пространственных стержней и колебаниях динамической модели ЛА, а также в задаче о собственных колебаниях баков с жидкостью (построение конечных и граничных элементов).

9. Получена удобная для численного интегрирования форма записи системы уравнений нелинейного деформирования пространственного криволинейного стержня. В ее основе лежит описание поворота бесконечно малого элемента оси стержня с использованием псевдовектора Аргириса и разложение искомых векторных функций на компоненты в глобальном базисе. В уравнения не входит начальная кривизна стержня, что ослабляет требования к гладкости его осевой линии.

10. С применением к полученной системе уравнений метода пристрелки построен эффективный алгоритм численного анализа нелинейного деформирования пространственных криволинейных стержней. Его возможности продемонстрированы на ряде задач.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Левин, Владимир Евгеньевич, 2001 год

1. Абрамов Г Д. К исследованию пространственной устойчивости и колебаний некруговых арок // Изв. ОТН. -1958. №4. - С.110 - 113.

2. Абрамович М.(ред) Справочник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979.-638с.

3. Александрович Л.И., Лампер P.E. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура // Труды VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1966.-С.25-27.

4. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем.-М.: Машиностроение, 1978.-310 с.

5. Анисимов A.M. Применение конечно-разностных методов к расчету осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Изв. Высш .учебных заведений. -Авиационная техника 1968-№3- С.23 -31.

6. Анисимов A.M. Осесимметричные колебания сферического сосуда, частично заполненного жидкостью // Изв. высш. учебных заведений. -Авиац. Техника 1969.-№2.-С.5-10.

7. Антонов В.Н. Применение метода суммарных представлений при исследовании колебаний оболочек с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума М.: ЦНТИ Волна, 1976.-С.22-26.

8. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. -1968 М.: Изд-во лит-ры по стр-ву.-242с.

9. Бадрухин Ю.И., Кабанов В.В. Уравнения криволинейных стержней. // Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1982.—С.115-123.

10. М.Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью // Инж. ж МТТ.-1967- №5.-С.16 - 23.

11. Балгеймер Г.Л., Левин В.Е. Об учете особенности течения жидкости на вертикальной стенке // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью/ Сб. научн. трудов семинара. -Томск.-1984 .-С. 10-14.

12. Хб.Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов М: Стройиздат, 1982 - 446с.

13. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках-М.: Мир, 1984.-494с.

14. Богоряд КБ. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом // Прикл. матем. и мех-1962.-Т.26-вып. 6.-С. 1122-1127.

15. Богоряд КБ., Дружинин И.А., Дружинина Г.З., Либин Э.Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью. Томск: изд.ТГУ.- 1977 - 142с.

16. Богоряд КБ., Дружинин К.А. Расчет нелинейных колебаний идеальной жидкости в сферическом сосуде. // Материалы 5-й научн. конф. по матем. и мех. Томск, ун-т. Т.2.- Томск- 1975.-С.166 167.

17. Богоряд КБ. Динамика вязкой жидкости со свободной поверхностью-Томск: Изд. ТГУ.- 1980.- 102с.

18. Болотин В.В. О движении жидкости в колеблющемся сосуде // Прикл. матем. и мех 1956 - Т.20 - вып. 5 - С.293 - 294.

19. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем- М.: Гостехиздат,1965- 600с.

20. Борисенко В.К, Павловский B.C. Экспериментальные исследования колебаний цилиндрической оболочки, содержащей жидкость //

21. Прикладная механика.- 1969- Т.5.- №8.-С.57- 62.

22. Бреббия К, Уокер С. Применение граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982.-248с.

23. Бреббия К, Темес Ж, Вроубел JI. Методы граничных элементов М.: Мир, 1987.-524с.

24. Ъ2.Бреславский В.Е. Колебания цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью// IV Всесоюзн. конф. по теор. оболочек и пластин/ Сб. научн. трудовМ.: АН СССР 1964.- С.255-261.

25. Брусиловский А.Д., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Метод расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР. -МТТ. №3. -1973. -С.99 -110

26. ЪА.Букачук A.M., Трушляков В.И. К задаче о формировании динамических характеристик твердого тела, имеющего присоединенные осцилляторы // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М.: ЦНТИ Волна, 1980.-С.48-51.

27. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Захрин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах М.: Машиностроение, 1988—256с.

28. ЪЪ.Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.:

29. Машиностроение -1976.-278с.

30. Васин C.B., Тамуров Н.Г. Влияние сжимаемости вязкой жидкости на свободные колебания упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жидкостью // Прикладная механика-1983.-Т.19.-№7.-0.48-54.

31. Венедиктов Б.Л., Ракитин В.В. К вопросу об оценке нагрузок на стенки сосудов с жидкостью, движущихся с ускорением // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума. -Новосибирск.-1976.-С.93-98.

32. АХ.ВласовВ.З. Избранные труды.-М.: АН СССР, 1962.-Т.1.-528с.

33. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем-М.: Наука, 1967-984с.

34. A3.Волъмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур.-М.: Машиностроение, 1989.-247с.

35. АА.Вороненок Е.Я., Палий О.М., Сочинский C.B. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций. -Л.'Судостроение, 1990.—220с.

36. Галкин М.С. Теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью // Ученые записки ЦАГИ- 1977.-Т.8.-№2.-С.90-96.

37. Аб.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.- М.: Мир, 1984 428с.

38. АТ.Гилой В. Итерактивная машинная графика: Структуры данных, алгоритмы, языки .- М.: Мир, 1985 384с.

39. А^.Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук 1961.-Т. 16-вып. 3 (99)—С.171—174.

40. А9.Гольденвейзер A.JJ. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1976-512с.

41. Гольденвейзер A.JJ., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек .- М.: Наука, 1979- 384с.51 .Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидкости. Киев.: Наукова думка,1984-104с.

42. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности.- JL: Судостроение.-1985.-156с.

43. Гордиенко Б.А. Теория пространственно-криволинейных упругих •стержней // ПММ-1979.-Т.43.- Вып.2.-С.374 380.

44. Горшков А.Г., Дробышевский Н.И. Применение метода граничных элементов к задаче о проникновении тел в жидкость // Изв. АН. МТТ-1995.-№6- С.99-103.

45. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.-592с.

46. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение).-!!.: Судостроение,1976.-200 с.

47. Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью // ПММ.-1970.-Т.34.-ВЫП.5.-С.401-411.

48. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных конструкций содержащих жидкость// Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью / Труды научн. семинара -ТГУ.-1978.-С.55-60.

49. Дадунашвили С.Ш., Слезкин Д.В. Динамика сложных аэрокосмических структур с жидкостью // Труды 1-й Российской конференции пользователей продуктов МБС Москва.-1998.-С.56-127.

50. Елисеев В.В. Теория упругости стержней, основанная на модели оснащенной кривой // Изв. АН СССР. -МТТ-1976. №1.-С. 163-166.

51. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости.-JI.: Судостроение, 1984-240с.

52. Ефимкин В.П., Лампер P.E. Особенности течения в двух задачах о низшей частоте осесимметричных колебаний баков // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума.-Новосибирск-1973 .-С.71-78.

53. Железное Л.П., Кабанов В.В. Функции перемещений конечных элементов оболочек вращения как твердых тел.// МТТ.-1990.-№1-С.131-136.

54. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Избр. Сочинения -М.: Гостехиздат,1948.-Т1.-С.31-153.

55. Иванов Ю.И. Метод совместного расчета подконструкций // Уч. зап. ЦАГИ.-1976.-Т.7.-№1 .-С.75-79.

56. ЪЪ.Ивантеев В.И, Чубань В.Д. Некоторые вопросы построения упруго-массовых схем самолетов с использованием метода конечных элементов. // В сб. Динамич. нагруж. самолетных конструкций. Вып.2405.-Труды ЦАГИ.-1988.-С.36-48.

57. Ивлиев C.B., Левин В.Е. К вопросу о сходимости метода Ритца в задаче о колебаниях бака с жидкостью // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов- НЭТИ 1992-С.7-9.

58. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ-М.: Наука, 1969.-184с.

59. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней.- Киев: Наук. Думка, 1979.-216с.

60. Кандидов В.П., Христочевский С.А. Анализ колебаний оболочки, частично заполненной сжимаемой жидкостью, методом конечных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума.-М.-ЦНТИ Волна.-1980.-С.136-141.

61. Кармишин A.B., Лясковец A.B., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.-М.: Машиностроение, 1975-376с.

62. Кобычкин B.C., Шмаков В.П., Яблоков В.А. Осесимметричные колебания полусферической оболочки, частично заполненной жидкостью // Инж. журнал МТТ.-1968-№3.-С.133-140.

63. Колесников КС. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем.- М: Машиностроение, 1971- 270с.9(¡.Колесников КС., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. Динамика топливных систем ЖРД. -М.: Машиностроение, 1975.-172с.

64. Колесников КС. Динамика ракет. М.: Машиностроение.-1980.-376с.

65. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.-256с.

66. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Тр. Моск. матем. об-ва.-1967-Т16.-С.209- 292.

67. Коннор Дж., Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкости.-JL: Судостроение, 1979-263с.

68. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений-М.:ИЛ.- 1963-406с.

69. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек.- М.: Наука, 1989 208с.

70. Коробейников С.Н. Геометрически нелинейный анализ оболочек с учетом больших приращений поворотов // Моделирование в механике: Сб. Науч. Тр. / Вычислит, центр, Ин-т теор. и прикл. механики. АН СССР. Сиб. отд. Новосибирск.-1990. -Т4(21).- №4.-С.119 126.

71. Коробейников С.Н. Вторичная потеря устойчивости сжатого шарнирно опертого стержня // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике / Тез. докл. IV междунар. конф. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН.- 1995.- С. 104.

72. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел-Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000 262с. .

73. Коротаева Т.А., Шашкин А.П. О построении сложной поверхности на множестве опорных точек // Моделир. в мех. -1992.-Т.6.-№2-С.100-107.

74. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: Аналитические методы-М.: Наука, 1985. -288с.

75. Kpueouieeea Т.Н., Юдин A.C. Моделирование сложных оболочек в задачах вибрации // Совр. пробл. мех. сплошн. среды / Сб. тр. 5-й междунар. конф Ростов-на-Дону.- 2000 - С. 129- 133.

76. Кубенко В.Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость.- Киев: Наукова думка, 1981.-160с.

77. Кузнецов B.B. К определению вращений в трехмерном пространстве на основе понятия вариации вектора//Изв. АН СССР- МТТ.- 1987 -№ 4.- С.58- 60.

78. Кузнецов В.В., Сойников Ю.В. Метод конечных элементов в задачах нелинейного деформирования подкрепленных оболочек произвольной формы // Изв. АН СССР.- МТТ.- 1988.- N 3.- С. 136 143.

79. Кузнецов В.В., Левяков C.B. Геометрически нелинейные модели гибких стержней // Строительная механика и расчет сооружений-1991-№5.-С.7- 10.

80. ИЗ. Кузнецов В.В., Левяков C.B. О вторичной потере устойчивости эйлерова стрежня//ПМТФ- 1999.-Т.40.-№6.-С.184- 185.

81. Курзин В.Б. Гидроупругие колебания активной части системы индуктивного источника энергии // Изв. РАН .- МТТ.- 1994. № 2.-С 151-158.

82. Кэнтин Г., Клауф Р.В. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки // Ракетн. техн. и косм.-1968.-Т.6.-№6 С. 82- 88.

83. Лаврентьев М.А., Шабат В.Б. Методы теории функций комплексного переменного .- М.: Наука, 1987 688с.

84. Лампер P.E. К расчету собственных колебаний баков методом Ритца с варьируемым параметром // Труды УП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок- М.: Наука, 1970, С.351-354.

85. Лампер P.E., Левин В.Е. Собственные колебания упругого сосуда, близкого к осесимметричному с произвольным контуром // Аннотации докл. VI Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике .- Ташкент-1986.-С.408.

86. Лампер P.E., Левин В.Е. Колебания оболочек с жидкостью, близких к осесимметричным // Известия АН Армянской ССР, сер. Механика.-1987-№ 5.-С.52-57.

87. Лампер P.E., Левин В.Е. Применение метода Ритца с варьируемым параметром к расчету поперечных колебаний консольного бака // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудовНЭТИ,- 1989 С.6 - 9.

88. Лампер P.E., Левин В.Е. Расчет и моделирование продольных колебаний аэрокосмических систем // Научные основы высоких технологий / Сб. тр. международной научно-технической конференции 1997.-Т.4.-С.207-208.

89. Лампер P.E., Левин В.Е. Расчет топливного бака с внутренними конструктивными элементами // Научные основы высоких технологий / Сб. тр. международной научно-технической конференции- 1997-Т.4.-С.209-214.

90. Лампер P.E., Левин В.Е. К определению параметров аналога топливного бака по результатам его расчета методом граничного и конечного элементов.// Научный вестник НГТУ.- 1999- №2 (7) -С.171-176.

91. Лампер P.E., Левин В.Е. Применение различных аппроксимаций в методах конечных и граничных элементов для решения прикладных задач статики и динамики упругих тел // Научный вестник НГТУ. -2000. №2(9). - С.76 - 90.

92. Лампер P.E., Левин В.Е. Динамическая конечноэлементная модель пространственной системы перекрестных балок с сосредоточенными массами // Научный вестник НГТУ. 2001. - №2( 11). - С. - .

93. Лампер P.E., Милеев Д.Д., Тесленко А.Л. О механическом аналоге для продольных колебаний осесимметричного упругого бака // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума Новосибирск.- 1973.- С. 115- 123.

94. Левин В.Е. Построение базовых решений в задаче о баке с неправильностью формы // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб. научн. трудов симпозиума М.: ЦНТИ "Волна", 1984.-С.161-163.

95. Левин В.Е. Расчет колебаний сферического бака с учетом особенности течения жидкости в окрестности угловой точки // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов. НЭТИ.-1986 - С.66- 69.

96. Левин В.Е. Влияние отклонений от основной формы на колебания баков // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью/ Тез. докл. научн. семинара. Томск - 1986.-С.30 -31.

97. Левин В.Е. Собственные колебания бака, близкого к осесимметричному // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов .- НЭТИ.- 1987- С.65- 71.

98. Левин В.Е. Колебания жидкости в прямом и обратном упругом коническом баке // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвузовский сборник научных трудов.- НЭТИ 1990 - С.73 - 76.

99. Левин В.Е. К расчету динамики баков методом конечных и граничных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума.- Новосибирск.- 1992 С.135 - 142.

100. Левин В.Е. Расчет продольных колебаний бака методом конечных и граничных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб. научн. трудов симпозиума. Новосибирск. - 1995 - С.41 - 49.

101. Левин В.Е. Уравнения равновесия гибкого криволинейного стержня при больших перемещениях // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской научн. конф.- Улан-Удэ-Томск .: Изд-во Том. ун-та.-1999 С.203 - 205.

102. Левин В.Е. Нелинейный конечный элемент плоского криволинейного стержня // Математическое моделирование процессов в синергетических системах / Тр. Всероссийской научн. конф.- Улан-Удэ.-2000.-Т.1.-С.70 75.

103. Левин В.Е. Приложение метода конечных и граничных элементов к расчету топливных баков // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред/ Сб. научн. тр. -Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН-1999. Вып.114-С.175 -178.

104. Левин В.Е. Функции формы конечного элемента криволинейного стержня. // Динамика сплошной среды / Математические проблемы механики сплошных сред/ Сб. научн. тр. Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН-2000. Вып.116.-С.191 - 193.

105. Левин В.Е. Применение вектора поворота твердого тела в аппроксимации пространственной кривой // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - №1(7). - С. 120-128.

106. Левин В.Е. К описанию конечного поворота твердого тела // Сборник ин- та гидродинамики СО РАН, посвященный 75-летию О.В. Соснина (в печати) 2001

107. Левин В.Е. Конечный элемент пространственного криволинейного стержня // Математические проблемы механики сплошных сред., сб.научн. трудов.-Новосибирск. Изд-во Ин-та гидродинамики СО РАН -2001.-Вып. 118.-С. 173 - 177.

108. Лимарченко О.С. Моделирование нестационарных движений осесимметричного резервуара с жидкостью // Прикладная механика-1994.- ТЗО.- №5 .-С- 63 68.

109. Лукашенко В.И., Сладкое A.B. Технология фрагментарного представления расчетных моделей при исследовании тонкостенных подкрепленных оболочек. // Изв. Вузов. Авиац. техн.- 1999 №3.-С.20-22.

110. Луковский H.A. Об одном приближенном методе определения гидродинамических коэффициентов уравнения возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполненными // В кн. Гидромеханика.- Харьков.-ХГУ 1965 - С.62-72.

111. Луковский H.A. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической формы. Киев.: Наукова думка, 1975 - 136с.

112. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости-Киев: Наукова думка, 1984. -232с.

113. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость Киев.: Наукова думка, 1990-296с.

114. Луковский И.А., Троценко В.А., Усюкин В.И. Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с жидкостью в подвижных полостях- АН УССР. Ин-т математики.- Киев: Наук, думка, 1989.-240с.

115. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.-824с.

116. Ляв А. Математическая теория упругости М.; Л.: ОНТИ,1935-674с.

117. Мамай В.И., Кудрина Т.Д., Ананченко Т.Н., Корнейчук А.Г., Кулаков A.A. Сплайн-функции в задачах теории оболочек неканонической формы // Препр. МГУ. Ин-т мех. -1994 - №7.- С. 1- 52.

118. Мейбен, Стриклин. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейного конечного элемента // Ракетная техника и космонавтика.-1971.- Т.9.- №2 С.206 - 208.

119. Микишев Т.Н., Дорожкин Н.Я. Экспериментальные исследования свободных колебаний жидкости в сосудах // Известия ОТН -1961-№4-С.48-53.

120. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью.- М.: Машиностроение, 1968. -532с.

121. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость- М.: Машиностроение, 1971 -563с.

122. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978 - 248 с.

123. Моисеев H.H. Некоторые вопросы теории колебаний сосудов с жидкостью // Инженерный журнал.- 1954 Т. 19 - С. 167- 170.

124. Моисеев H.H. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости // ПММ 1959 - Т.23 - вып.5 - С.862- 878.

125. Моисеев H.H., Петров A.A. Численные методы расчета собственных частот ограниченного объема жидкости М.: ВЦ АН СССР, 1966.— 270с.

126. Моисеев H.H., Румянцев B.B. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965 - 440с.

127. Мокеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом методом конечных элементов // Изв. РАН МТТ.- 1998 - №6-С.166- 174.

128. Мокеев В.В., Павлюк Ю.С. О приближенном учете сжимаемости жидкости в задачах гидроупругости // Проблемы машиностр. и надежн. машин 1999.-№ 5.- С.85 - 91.

129. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981.- 216с.

130. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982 - 294с.

131. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью // Прикл. матем. и мех.-1956. Т.20-вып. 1.-С.21-38.

132. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский H.A. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.-Машиностроение-1977.-208с.

133. Натанзон М.С. Продольные автоколебания жидкостной ракеты-М.: Машиностроение, 1977-206с.

134. Николаев А.П., Бандурин И.Г., Клочков Ю.В. Применение метода конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчету осесимметричных оболочек вращения.// Прикл. механика-1990.-Т.26.-№ 11.-С. 110 114.

135. Новичков Ю.Н. Исследование спектров частот собственных колебаний цилиндрических оболочек, содержащих сжимаемую жидкость // Tp.VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок-М.-Наука.-1966 С.600 - 606.

136. Новожилов B.B. Теория тонких оболочек Л.: Судпромгиз,1962. -431с.

137. Образцов И.Ф., Иванов Ю.И., Нерубайло Б.В. О построении эффективных моделей деформирования тонкостенных конструкций // Прикладная механика.- 1985 №6 - С.61- 67.

138. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов-М.: Высшая школаД 985-392с.

139. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: Изд. АН СССР, 1957.- 196с.

140. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979 - 248с.

141. Осипов ИЛ. Восстановление поверхности, обладающей непрерывной кривизной и заданной на плоском точечном многообразии // Ж. выч. матем. и матем. физ. 1992- Т.32.-№9-С.1387- 1399.

142. Остроградский М.В. Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне // М.В. Остроградский. Избранные труды-Изд. АН СССР-1958-С.111 130.

143. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью// ПММ. -1956. -Т.ХХ. -вып.1. С.3-20.

144. Павлов В.А., Михайлов С.А., Гайнутдинов В.Г. Теория больших перемещений стержней// Изв Вузов.- Авиац. техн.-1985.-№3.-С 55 -58.

145. Павлов H.A., Чернягин А.Г. Осевая податливость замкнутых тонкостенных тороидальных оболочек // Уч. зап. ЦАГИ- 1985.-16-№6.-С.121- 126.

146. Перехрест В.И., Улитин Г.М., Шевченко В.И Влияние волновых движений жидкости на упругие колебания цилиндрической оболочки //

147. Теор. и прикл. механика.- Киев- Донецк.: Вища школа,1980 №11-С.83-87.

148. Перехрест В.К, Улитин Г.М. Об оценке приближенных теорий гидроупругости частично заполненных цилиндрических оболочек на основе точных решений // Теор. и прикл. механика.- Киев-Донецк.-1985.-№16-С. 99- 104.

149. Петров A.A. Приближенный метод расчета собственных колебаний жидкости в сосудах произвольной формы и потенциалы Жуковскогодля этих сосудов // ЖВМ и МФ- 1963 -Т.З.-№5.- С.958- 964.

150. Петров А.Г. Вариационные методы в динамике несжимаемой жидкости . -М.: МГУ, 1985 104 с.

151. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научн. докл. высшей школы. Строительство.- 1959-№1- С.27- 35.

152. Пилипенко В.В., Задонцев В.А., Григорьев Ю.Е., Белецкий A.C. Оценка амплитуд продольных колебаний ракет-носителей космических аппаратов // Механика в авиации и космонавтике. М.-1995- С.27-34.

153. Погорелое A.B. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974-176с.

154. Пожалостин A.A. Определение параметров механического аналога для осесимметричных колебаний упругого цилиндрического сосуда с жидкостью. //Инж. журнал-MIT 1966-С. 157- 159.

155. Пожалостин A.A. Точные решения задачи о колебаниях двусвязных оболочек с жидкостью// Сб. тр. МВТУ.-№306 1979 - С.20 - 30.

156. Пожалостин A.A. Экспериментальное определение частот и форм осесимметричных колебаний упругого бака с жидкостью //Изв. вузов-Авиац. техн.-1970.-№3.-С.148-151.

157. Попов Е.П. Теория и расчет гибких стержней М.: Наука, 1986-296с.

158. Постное В.А., Дмитриев С.А., Емышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчете инженерных сооружений.-JI.: Судостроение, 1979.-288с.

159. Постное В.А., Петров Ю.А. Новый метод расчета колебаний осесимметричных оболочек в жидкой среде при гармоническом возбуждении.// Судостроительная промышленность- Сер. Проектирование судов-1991 .-№ 17.- С.38- 45.

160. Постное В.А., Тарануха H.A. Метод модуль- элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение - 1990 - 320с.

161. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Основы расчета на устойчивость деформируемых систем. Новосибирск.: Изд-во НГТУ.-1997 - 370с.

162. Рабинович Б.И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостенных стержней с жидким заполнением при наличии свободной поверхности. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение - 1959. - №4- С.63-68.

163. Рабинович Б.И. Об уравнениях поперечных колебаний оболочек с жидким заполнителем. // Изв. АН СССР. -Механика и машиностроение 1964- 1-Н.-№1.-С.166- 169.

164. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975-416с.

165. Рапопорт ИМ. Колебания упругой оболочки частично заполненной жидкостью. -М.: Машиностроение, 1967.-360 с.

166. Розин JI.A. Вариационные постановки смешанных задач теории упругости в форме наименьших квадратов. // Изв. Вузов, сер. Строит-во-1999- №8 С.22 - 28.

167. Самойлов Е.А., Павлов Б.С. Колебания полусферической оболочки, заполненной жидкостью // Известия Вузов Авиац. техн.-№3- 1964-С.79-86.

168. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел Киев: Вища школа, 1982.-478 с.

169. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей- М.: Наука, 1978.-222 с. .

170. Светлицкий В.А. Нелинейные задачи статической устойчивости стержней // Расчеты на прочность- М.: Машиностроение-1986-Вып.27 С. 155 - 170.

171. Светлицкий В.А., Нарайкин О. С. Упругие элементы машин.-М.: Машиностроение, 1989 264с.

172. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов- М.: Мир, 1979.-392с.

173. Сиделъников Р.В., Ямчук В.В. К вопросу расчета колебаний осесимметричных конструкций с жидкостью методом конечных элементов // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума М - ЦНТИ Волна - 1980 - С.272- 275.

174. Сиделъников Р.В., Ямчук В.В. Особенности применения МКЭ к расчету колебаний оболочек с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума М.- ЦНТИ Волна.- 1984.-С.240-243.

175. Слепян JI.K, Сорокин С.В. Метод граничных интегральных уравнений в гидроупругости // Инж. журн. МТТ.- №4- 1989 С. 166176.

176. Сорока A.C., Трушляков В.И. О расчете коэффициентов диссипации в подвижных полостях // Колебания упругих конструкций с жидкостью/Сб научн. трудов симпозиума Новосибирск.-1974.-С.202-204.

177. Соустий Б.П., Tecmoedoe H.A., Рудометкин A.A., Алькин A.B. Наземные динамические испытания космических аппаратов. Красноярск .- Изд-во НИИ ИПУ.- 1999 202с.

178. Справочник "Прочность, устойчивость, колебания" М.: Машиностроение, 1968.-Т. 1.-832с.

179. Справочник "Вибрации в технике" М.: Машиностроение, 1980-Т.3.-544с.

180. Старостин A.A. Исследование поведения жидкости в сосуде при действии на него отрицательных перегрузок // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб научн. трудов симпозиума М,- ЦНТИ Волна.-1984.-С.257-262.

181. Тесленко A.A. Продольные колебания упругих конструкций с жидкостью. // Изв. АН СССР. -МТТ.- 1976.-№5.- С. 195- 196.

182. Тимошенко СЛ. Колебания в инженерном деле М.: Наука, 1967-444с.

183. Тузов АД. Поверхности на непрямоугольном каркасе// Изв Вузов.-Авиац. Техн-1985.- №3.- С 66 70.

184. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988 - 392с.

185. Феодосъев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973 - 400с.

186. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях.- Киев -Наукова думка 1969 - 250с.

187. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела-Т.Ш.-М.:Наука,1981.-480с.

188. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве -М.: Мир, 1982.- 304с.

189. Фондер Г.А., Клау Р.В. Явное добавление смещений тела как жесткого целого в криволинейных конечных элементах. //. Ракетн. техн. и косм 1973- Т.11-№3 - С. 111-117.

190. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.-М-Наука,1983- 144с.

191. Хеш У. Метод подконструкций в программе общего назначения для динамического расчета конструкций // Конструирование и технология машиностроения / Тр. Амер. общ. инж.-мех. 1985.- №1- С.1 13.

192. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986.- 336с.

193. Шибанов P.A. Уравнения собственных колебаний конструкции с варьируемыми массовыми характеристиками // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума. -Новосибирск- 1976.- С.380- 385.

194. Шаманский В.Е. Методы решения нелинейных краевых задач на ЭЦВМ. -Киев.-Наукова Думка.- 1966 196с.

195. Шклярчук Ф.Н О вариационных методах расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью // Тр. VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок .-М.: Наука-1966.-С.835-840.

196. Шклярчук Ф.Н Динамические характеристики упругих тонкостенных баков с жидкостью при продольных колебаниях // Изв. АН СССР,- МТТ.-1971.- №5.- С. 131- 141.

197. Шклярчук Ф.Н. О влиянии сжимаемости жидкости при продольных колебаниях цилиндрического бака // Колебания упругих конструкций с жидкостью / Сб научн. трудов симпозиума. Новосибирск.- 1973— С.291-313.

198. Шклярчук Ф.Н., Инденбаум В.М. Итерационный метод расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью //Нелинейные проблемы аэрогидроупругости /Тр. семинара -вып.Н -Казанск. физ-техн. ин-та -КФАНСССР -Казань-1979.-С.115-125.

199. Шклярчук Ф.Н. Применение метода конечных элементов к расчету неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью/ Сб. научн. трудов симпозиума.- М.- ЦНТИ Волна 1984 - С.284- 289.

200. Шклярчук Ф.Н. К расчету осесимметричных колебаний тонких оболочек вращения методом итераций. // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных конструкций. МАИ- 1978- вып. 467-С.60-65.

201. Шклярчук Ф.Н Обыкновенные дифференциальные уравнения в канонической форме для задач о малых колебаниях жидкости внутри упругой оболочки вращения //.Изв. РАН- МТТ:- 1994 №2 - С.138 -150.

202. Шкутин ЛИ. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск-Наука- 1988.- 128с.

203. Шмаков В.П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевых задач// Инж. журн. МТТ-1967.-№5-С. 129-136.

204. Шмаков В.П. Некоторые задачи осесимметричных колебаний сферической оболочки // В сб. Исслед. по теор. сооруж.- М 1969.-вып. 12-С. 33-47.

205. Шмаков В.П. Метод синтеза динамических характеристик упругих модульных конструкций // Веста. МГТУ- сер. Машиностроение.-1991.-№1.-С.4- 10.

206. Эделыитейн С.Л. Оценки квазиполиномов и быстросходящиеся методы решения эллиптических задач в областях с углами // ДАН СССР.- Т.250,- № 1.- С.42- 46.

207. Эйдельмен Г., Кэтеринес Д., Уолтон Дж. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов// Ракетная техника и космонавтика 1970.-Т.8-№3-С.102- 109.

208. Эйлер Л. Методы нахождения кривых линий- М., Л.: ГТТИ-1934,-С.447-572.

209. Ясько H.H. Использование прямого и непрямого методов граничных элементов для расчета нестационарных осесимметричных течений со свободными границами //Гидромеханика и теория упругости / Межвуз. сборник -Днепропетровск 1989 - С.40- 46.

210. Abramson H.N. Dynamic Behavior of Liquid in Moving Container // Appl. Mech. Reviews.- 1963.-V.16.-№17.-P.501- 506.

211. Abramson H.N., Chu W.-H., Ransleben G. E. Representation of fuel sloshing in cylindrical tanks by an equivalent mechanical model // ARS J.-1961.- XII.-V.31.-№12.-P. 1697-1705.

212. Advani S. H. and Lee Y.-C. Free vibrations of fluid-filled spherical shells //J-l of Sound and Vibration-1970-V12.-№4.-P. 453-462.

213. Argyris J.H. An excursion into large rotations. // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng.-1982.- V.32. № l.-P. 85 - 155.

214. Bajpai K., Karade T.M. On Eulerian angles// Indian J. Pure and Appl. Math. -1992. -V.23.- №7.- p.509- 530.

215. Bauer H.F., Eidel W. Axisymmetric natural damped frequencies of a viscous liquid in a curcular cylindrical container. An alternative semi-analytical solution.//Forsh. Ingenieur. 1999-V.65.-№7.-P.191-199.

216. Bauer H. F., Wang James T.S., Chen P.Y. Axisymmetric hydroelastic sloshing in a circular cylindrical container // Aeronaut.J- 1972- 76-№744.-P.704-712.

217. Bickford W. B. Vibration of plane curved beams // J-l of Sound and Vibration.- 1975.-V.39.-№2.-P. 135- 138.

218. Calhoun P.R., Da Deppo D.A. Nonlinear finite element analysis of clamped arches//J. Struct. Eng.-1983-V.109.-№3.-P.599-612.

219. Chen H. C., Taylor R. L. Vibration analysis of fluid-solid systems using a finit element displacement formulation//Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1990-V.29.- №4.-C.683-698.

220. Chen P.C., Jadic I. Interfacting of fluid and structural models via innovative structural boundary element method // AIAA Journal-1998-V.36 №2.-P.282- 287.

221. Christopher C.F. Hydroelastic analysis of incompressible fluids using SDRC I-DEAS and MSC/NASTRAN./ MSC/NASTRAN World User's Conference/ SDRC Engineering Serviceis Division Inc. San Diego.-California.- 1992.

222. Clebsch A. Theore der Elasticityt fester Ko rper. -Leipzig.-l862.-P. 176.

223. Coppolino R.N. Exact hydroelastic solution for an ideal fluid in hemispherical container // J. of spacecraft and rockets.—1973.— V.10 — P.612-613.

224. Daniel W.J.T. Modal methods in finite element fluid-structure eigenvalue problems // Int. J. Num. Meth. Eng.-1980.-V.15.-№ 8.-P.l 161- 1175.

225. De Sampaio P.A.B., Moreira M.L. A new finite element formulation for both compressible and nearly incompressible fluid dynamics.// Int. J. Numer. Meth. Fluids.- 2000.- V.32.- № 1.- P.51- 78.

226. Dimaggio F.L. Recent research on the dynamic response of fluid-filled shells // The Shock and Vibration Digest.- 1978.- V.10.- № 7.- P.15- 19.

227. Dimaggio S.J., Bieniek M.P. Nonlinear dynamics of flexible structures: A finite element approach.// Int. J. Solids and Struct- 1995 V32 - № 8-P.l 179-1193.

228. Dubigeon S., Pesenx B. Dynamic condensation // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1994.-V.37.-№20.-P.3521-3543.

229. Dzygadro Z., Braszczyk J. Numerical analysis of natural, coupled, longitudinal- lateral vibrations of an asymmetric aeroplane // J. Techn. Physics.- 1982.- V.23- №2 P.l 19- 139.

230. Gordon W.J., Hall C.A. Constraction of curvilinear coordinate systems and applications to mesh generation // Int. J. for Numer. Meth. eng.-1973.-V.7.-P.461-477.

231. Grooms H.R. Algorithm for matrix bandwidth reduction / J. of Structural division.- 1972.- V.98.- NST1.- P.203- 214.

232. Haktanir V. The complementary functions method for the element stiffness matrix of arbitrary spatial bars of helicoidal axes // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1995.-V.38.-№6.-C.1031- 1056.

233. Happier G. R., Sharf I., Hansen J. S. Basis Functions for Axisymmetric shell elements which satisfy Rigid-Body Requirements // AIAA J-l 1986.-V. 24.-№ 12.-P.270-278.

234. Hearn G.E., Donati E. A new fluid-structure interaction analysis based on higher-order boundary elements // Int. J-l Numer.Meth.Fluids .-1988-V.8.-№ 2.- P.199- 225.

235. Hess J. L. Improved solutions for potential flow about arditrary axisymmetric bodies by the use of a higher order surface source method // Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng.- 1975.- V.5.- P. 297- 308.

236. Hudli A. V., Pidaparti R.M.V. Analysis of truss structures using distributed object- oriented methods // Comput. Mech.-1996.-V.18 .-№4.-P.314-320. . ■

237. Hunt D.A. Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis // AIAA Journal-1970- №6 P. 1001- 1004.

238. Gossard M. L. Axisymmetric dynamic response of liquid-filled, hemispherical, thin-walled elastic tanks // AIAA Symposium on Structural Dynamics and Aeroelasticity-New York-1965-P. 177- 188.

239. Kalnins A. Free vibrations of rotatically symmetric shells. // J. Acoust. Soc. America.- 1964.-V.36.- P.1365 -1380.

240. Kana D. D., Gormley J. E. Longitudinal vibration of a model space vehicle propellant tank // J. of Spacecraft and Rockets.-V.4 №12.- 1967-P. 1585- 1591.

241. Kiefling L., Feng G.C. Fluid-structure finite element vibration analysis //AIAA Journal. -1976. -V.15. -№2. -P.199 203.

242. Kirchhojf G. Über das Gleichgewicht und gie Bewegung Lines unendlich diinnen elastishen. Stahes.J.fiir Math. Bd. 56.-1859

243. Vorlesungen über mathematishe Physic. Bd.l. Mechanik.-Leipzig- 876.-P.12.

244. Kohsetsu Y. Simplified method of analysis of structural vibrations of asymmetric rokets // JSME Int. J.C. -1998.-V.41.- №4-P.695-703.

245. Kuang J.,H., Tsuei Y.,G. A more general method of substructure mode synthesis for dynamic analysis // AIAA J.- 1985 V.23 - №4.-P. 618 -623.

246. Lamper R.E., Levin V.E. Account of vibrations of almost full tanks with fuel by method of boundary and finite elements // The Second Russian-Korean International Symposium on Science and Technology.- Tomsk Polytechnic University. Russia 1998.-P.23.

247. Lamper R.E., Levin V.E. To account of axial symmetric oscillations of rotation shells with curvilinear finite element use // The First Russian Korean International Symposium on Applied Mechanics.- Novosibirsk-2001.-P.45-48. ~

248. Levin V.E. Use of the finite and boundary element methods in the elastic tank oscillation analysis // The Fouth Russian-Chinese Scientifical Conference of the problems of aircraft stregth- Novosibirsk 1995 .-P. 162 - 167.

249. Levin V.E. To construction of curve finite element form's functions// The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology.-Novosibirsk State Technical University. Russia 1999-V.l.-P.336.

250. Levin V.E. To calculation nonlinear deformation of a flexible rod. //Proceeding of the 4-th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service- 2000.-V.3.- P.43- 46.

251. Ligget J.A., Salmon J.R. Cubic spline boundary elements // Int. J. Numerical Methods Eng.-1981-№17-P.543-556.

252. Lindcholm V.S., Chu W.N., Kana D.D., Abramson H.N. Bending vibration of a circular cylindrical shell witrh an internal liquid having a free surface//AIAA Journal.- 1963.- V.l-№9.-P.101- 110.

253. Lo S.H. Automatic mesh generation over intersecting surfaces // Int.J.Numer.Meth.Eng.- 1995.- V.38.-№6.-P. 943-954.

254. Miles J. W. On the sloshing of liquid in a flexible tank // J.Appl.Mech-1959.- V.25- № 6.- P.277- 283.

255. Mirovitch L., Hale A. L. A general dynamic synthesis for structures with discrete substructures // J 1 of Sound and Vibration.- 1982 - V.85 - № 4P. 445-457.

256. Mistry J., Menezes J. C. Vibration of cylinders partially-filled with liquids // Trans. ASME. J. Vibr. And Acoust. -1995.-V.117.- № 1.-P.87-93.

257. Mottershead J.E., Friswell M.I. Model updating in structural dynamics: A survey // J. Sound and vibr.- 1993.- V. 167.- №2.- P.347- 375.

258. Palmer J.H. Calculation of Axisymmetric Longitudinal Modes for Fluid-Elastic Tank-Ullafe Gas Systems and Comparison with Model Test Results // AIAA Symposium on Structural Dynamics and Aeroelasticity.-AII-1965.-P.189-193.

259. Parkus H. Modes and frequencies of vibrating liquid-filled cylindrical tanks//Int. J. Eng. Sci 1982,.-V20.-№ 2.-P. 319-326.

260. Pengelley C.D. Natural frequency of londitudinal modes of liquid propellant space launch vehicles // Journal of Spacecraft and Rockets.-1968.-V.5.-№ 12.-P.1425- 1431.

261. Pinson L. D., Brown C. G. A finite element for nonaxisymmetric vibrations of pressurised shells of revolution partially filled with liquid // AIAA Pap.- 1973.- № 399.- 30 PP.

262. Qu Zu-Qing, Selvam R.P. Dynamic superelement modeling method for compound dynamic systems/ AIAA Journal 2000- V.38.-№ 6.-P.1078-1083.

263. Rand R., Di Maggio F. Vibrations of Fluid-Filled Spherical and Spheroidal Shells // Journal of the Acoustical Society of America 1967-V.42.-№ 6.-P.1278- 1286.

264. Rivera L.M. Liquid rocket booster feasibility study for Space Shuttle // AIAA Pap.- 1995.- № 0007.- P. 1-9.

265. Rubin S. Analysis of POGO stability // Astronautical Research.-1972.-Boston USA - P. 113-127.

266. Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis // AIAA J-l.-1975.-V.13.- № 8.- P. 34- 50.

267. Sederbery T. W., Nishita T. Geometric Hermite approximation of surfaces patch intersection curves // Comput. Aid. Geom. Des. 1991. -V.8.-№2.-P.97- 114.

268. Simon H.D. The Lanzosh algorithm with partial reorthogonalisation // Math.ofComput.-V.42-1984.-P. 115-142.

269. Taigbenu A. E. The Green element method // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1995-V.3 8-№13-P.2241-2263.

270. Schmidt R., Da Deppo D.A. A survey of literature on large deflections of nonshalloq arches of finite deflections of straight and curved beams, rings 1 and shallow arches //J. Industr. Mathem. Soc.-1971.-V.21.-№2.-P,91-l 14.

271. Thomas D.L. Errors in natural frequency calculations using eigenvalue economization // Int. J. Num. Meth. Eng. -1982.- V.18 №10.-P.1521-1527.

272. Watanable M., Furukama N., Sawai S., Kakazu Y.i Optimum representation of free-formed curves and surfaces in accordance with the Kullback-Leibler criterion // J. Asahikama Techn. Coll. -1992 №29-P.81- 100.

273. Yamaki N., Tani J. Free vibration of a clamped-clamped circular cylindrical shell partially filled with liquid // J-l of Sound and Vibration.-1984.-V.94.-№4.-P. 531-550.

274. Zienkiewich O.C., Kelly D.W., Bettess P. The coupling of the finite element method and boundary solution procedures // Int.J.Numer. Meth. Eng.- 1977.- V.l 1. P.355- 375.

275. Yamamoto K, Kawahara M. Structural oscillation control using tuned liquid damper// Comput. And Struct 1999 - V.71№ 4. - P. 435 - 446.