Обобщенная геометрически нелинейная теория и методы численного анализа деформирования и устойчивости пространственных стержневых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Галишникова, Вера Владимировна

• Галишникова, Вера Владимировна
• доктор технических наук
• 2014

Оглавление диссертации доктор технических наук Галишникова, Вера Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Исторический обзор и современное состояние теории и практики геометрически нелинейного расчета конструкций

1.1. Нелинейное поведение конструкций

1.2. Геометрически нелинейный расчет конструкций

1.3. Нелинейные теории расчетов конструкций

1.3.1. История развития нелинейных теорий

1.3.2. Решение нелинейных задач строительной механики на основе метода конечных элементов. 26,

1.3.3 Современное состояние исследований в области теории геометрически нелинейных расчетов

1.4 Развитие методов решения систем нелинейных уравнений строительной механики.

1.4.1 Методы продолжения решения по параметру задачи.

1.4.2 Применение методов продолжения решения подпараметру в нелинейных расчетах по методу конечных элементов

1.4.3 Методы продолжения решения по длине дуги кривой равновесных состояний

1.5 Проблемы устойчивости равновесия конструкций.

1.5.1 Развитие теории устойчивости

1.5.2 Современное состояние численных методов анализа устойчивости равновесия конструкций.

1.6 Программные продукты

1.7. Выводы.

ГЛАВА 2. Аналитическое решение задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости равновесия симметричной : пространственной трехстержневой фермы

2.1- Основные уравнения.

2.2 Решения основных уравнений

2.3 Жесткость фермы

2.4 Устойчивость фермы

2.5 Почти сингулярные конфигурации симметричной пространственноштрехстержневой фермы,.

2:7'. Выводы.

ГЛАВА 3. Унифицированная геометрически нелинейная теория упругости . .80i

3.1 Глобальная система координат и конфигурации тела

3.2 Материальные элементы (метод Лагранжа).

3.3 Пространственные элементы (метод Эйлера)

3.4 Напряженное состояние .:.

3:5 Физические уравнения.:.

3.6? Граничные условия

3Л Интегральная форма разрешающих уравнений.

3.7.1 Интегральные уравнения пространственного элемента.

3.7.2 Интегральные уравнения материального элемента

3.8 Инкрементальные разрешающие уравнения

3:9 Алгебраические разрешающие уравнения

3.9.1 Конечно-элементная интерполяция

3 .9.2 Векторневязкиразрешающих уравнений.

3.9.3 Алгебраические инкрементальные уравнения.

3.10. Выводы.

ГЛАВА 4. Геометрически нелинейная теория пространственных ферм

4.1. Деформации пространственных шарнирно-стержневых систем:.

4.1.1. Применяемые допущения.

4.1.2 Системы координат.

4.1.3 Векторы перемещений узла и элемента

4.1.4' Деформированное состояние конструкции».1504.2 Нелинейные уравнения статики пространственных ферм

4.2.1 Векторы системы

4.2.2 Интегральная формаразрешающих уравнений.

4.2.3 Осевое усилие в стержне.

4.2.4 Инкременты переменных состояния.

4.2.5 Вариации инкрементальных переменных.

4.2.6 Разрешающие уравнения м инкрементах перемещений

4.3 Алгебраические разрешающие уравнения

4.3.1 Интерполяция переменных состояния.

4.3.2 Интерполяция инкрементов переменных состояния

4.3.3 Вектор невязки разрешающих уравнений.

4.3.4 Алгебраические инкрементальные уравнения.

4.4. Нелинейная кинематика плоских рам.

414.1. Применяемые допущения.1394.4.2. Координатные системы.

4.4.3. Векторы перемещений узлов и элементов

4.4.4. Поворот поперечного сечения.

4.4.5. Перемещения точек поперечного сечения.

4.4.6. Деформированное состояние конструкции.

4.5. Нелинейная статика плоских рам.

4.5.1. Интегральная форма разрешающих уравнений.

4.5.2. Равнодействующие напряжения.

4.5.3. Инкременты переменных состояния.:.

4:5.4. Инкрементальные разрешающие уравнения.

4.5.5. Условие малости относительных деформаций.151;

4.6. Алгебраические разрешающие уравнения.153;

4.6.1. Конечно-элементная аппроксимация.153'

4.6.2. Интерполяция переменных состояния для вектора невязки.

4:6.3; Интерполяция инкрементов перемещений.;.155'

4:6.41 Вектор невязки разрешающих уравнений.158?

4.6.5; Инкрементальные алгебраические уравнения . 169?

4:7. Выводы-.:.16Г

ГЛАВА 5. Решение основных уравнений

5.1- Пошаговая процедура-решения.

5.1.1- концепция алгоритма численного решения-.: 164;

5'. 1.2 Нормализованная траектория нагружения.166'

5.1.3 Траектория нагружения пространственной симметричной трехстержневой фермы.169'

5:2 Составление инкрементальных основных уравнений.1?

53 Решение инкрементальных основных уравнений

5.4 Инкремент коэффициента нагружения.:. 181?

5.4.1 Определение инкремента коэффициента нагружения при постоянстве норм векторов перемещений и сил . 182*

5.4.2 Определение инкремента коэффициента нагружения; при перемене знака нормы вектора сил.

5.4.3 Шаг нагружения пространственной трехстержневой фермы.

5.7. Выводы.

ГЛАВА 6. Анализ устойчивости равновесия пространственных стержневых систем.

6.1. Жесткость пространственных ферм.

6:2. Сингулярные конфигурации пространственных ферм,.

6.3. Почти сингулярные конфигурации пространственных ферм'.

6.4. Вычисление сингулярных конфигураций.

6.4.1. Нахождение предельного коэффициента нагружения.

6.4.2. Сингулярные точки пространственных стержневых систем

6.4.3. Состояние конструкции в сингулярной точке

6.5. Теория бифуркаций.

6.5.1. Классификация-сингулярных точек.

6.5.2. Траектория нагружения в предельной точке

6.5.3. Траектория нагружения в точке бифуркации

6.5.4. Теория бифуркаций в конечно-элементной формулировке.

6.6. Выводы.

ГЛАВА* 7. Продолжение траектории нагружения в сингулярных точках

7.1. Концепция продолжения решения

7.2. Продолжение решения в предельных точках симметричной^ пространственной трехстержневой фермы

7.3. Почти сингулярные системы уравнений

7.3.1. Метод дефляции.230"

7.3.2. Применение дефляции к решению систем уравнений МКЭ

7.4. Алгоритм продолжения решения в предельных точках пространственных стержневых систем,.

7.4.1. Первый шаг продолжения решения в предельной точке.

7.4.2. Рядовой шаг продолжения решения в предельной точке.

7.4.4. Прерывание процедуры продолжения решения.

7.5. Продолжение траектории нагружения в точках бифуркации.

7.5.1. Аппроксимация разрешающих уравнений.

7.5.2. Исследование особенностей поведения симметричной пространственной трехстержневой фермы в точках бифуркации.

7.5.3. Первый шаг продолжения решения за точкой бифуркации

7.5.4. Второй и последующие шаги продолжения решения за точкой бифуркации.

7.6. Метод расширения для вычисления продолжения траекторий нагружения за сингулярными точками.

7.6.1. Особенности классификации сингулярных точек больших пространственных стержневых систем.;.

7.6.2. Бесконечно малые и конечные шаги нагружения в сингулярной точке.

7.6.3. Концепция метода расширения.

7.6.4. Алгоритм метода расширения.

7.7. Выводы.

ГЛАВА 8. Программное приложение для нелинейного расчета пространственных ферм

8.1. Цели программной реализации.

8.2. Объектная структура информации

8.2.1. Объекты*и классы объектов.

8.2.2. Идентификация объектов.

8.2.3. Атрибуты объектов.

8.2.4. Классы объектов моделей ферм.

8.3. Структура модели фермы.

8.3.1. Содержание модели

8.3.2. Структура классов модели фермы.

8.3.3. Структура данных модели фермы.

8.4. Структура методов модели фермы.

8.4.1. Структура классов нелинейного расчета.

8.4.2. Методы деформационного анализа.

8.4.3. Методы расчета на устойчивость.

8.5. Графический интерфейс пользователя

8.5.1. Функции графического интерфейса.

8.5.2. Структура графической модели.

8.5.3. Алгоритм рисования графической панели.

8.5.4. Алгоритмы действий графической панели

8.5.5. Конструкция и функции редакторов.

8.5. Выводы.

ГЛАВА 9. Примеры расчета.

9.1. Верификация результатов численного расчета.

9.1.1. Численное исследование модели пологой фермы.

9.1.2. Численное исследование модели подъемистой симметричной трехстержневой фермы с точкой бифуркации.

9.2. Демонстрационные примеры.

9.2.1. Решетчатая башня с асимметричными диагоналями.

9.2.2. Анализ деформирования и устойчивости решетчатой арки.

9.3. Практические примеры.

9.3.1. Анализ устойчивости равновесия сетчатой оболочки торгового павильона в г. Саратове.

9.3.2. Расчет устойчивости купола покрытия резервуара.

9.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенная геометрически нелинейная теория и методы численного анализа деформирования и устойчивости пространственных стержневых систем»

Современное состояние инженерной практики предъявляет к теории расчета конструкций для фундаментальных требования: 1) возможность оценки значимости нелинейных эффектов для данной конструктивной системы и применимости приближенной линейной теории; 2) способность надежно предсказать нелинейное поведение конструкции в пределах, представляющих практическую инженерную значимость.

Строительные нормы требуют обязательного выполнения расчета стержневых конструкций на устойчивость равновесия и обеспечения устойчивости как отдельных элементов конструкции, как и общей ее устойчивости против прощелкивания и бифуркации.

В основе современных архитектурных концепций лежит применение конструктивных систем, создающих ощущение легкости при больших пролетах (стержневые пластины, плиты и оболочки, плоские и пространственные фермы и рамы и т.д.). Создаваемые в результате сложные конструктивные системы обладают большой деформативностью и требуют учета при проектировании особенностей их поведения.

Анализируя различные виды конструктивных систем, в том числе и стержневых, можно увидеть стремление повысить экономичность конструкций за счет снижения их веса. В таких конструкциях из-за снижения жесткости и возрастания величин перемещений возникает опасность потери устойчивости как в целом, так и отдельных элементов. Надежность их может быть обеспечена лишь при наличии методов расчета, позволяющих прогнозировать сложную нелинейную природу поведения в различных стадиях работы.

Расчет стержневых систем в нелинейной постановке вызван необходимостью определения их возможных равновесных форм, установления области и границ их существования и условий перехода из одной равновесной формы в другую, отыскания значений параметра нагрузки, при котором происходит ветвление равновесных форм, нахождения конфигураций этих форм, изучения закритического поведения конструкции, оценки опасности для конструкции смены форм равновесия.

Все эти проблемы являются общими для любых систем, нелинейное поведение которых исследуется на основе дискретных расчетных схем с применением мкэ.

Следует отметить также, что выбор в качестве объекта исследования стержневых систем (ферм) вызван в основном тем, что они дают возможность наиболее наглядно показать суть исследуемой проблемы, ее особенности и методы решения.

В настоящее время в расчетах большепролетных пространственных конструкций широко используются коммерческие программные комплексы на основе метода конечных элементов. Решение задач нелинейной устойчивости с использованием этих комплексов сопряжено со значительными трудностями. Эти трудности связаны с недостаточным уровнем разработки теории и методов геометрически нелинейного анализа устойчивости стержневых конструкций.

В связи с изложенным выше, разработка на основе нелинейной теории упругости обобщенного численного метода геометрически нелинейного расчета пространственных стержневых систем, позволяющего надежно предсказывать их напряженно-деформированное состояние возможные виды потери устойчивости, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является развитие геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, разработка на её основе нового метода численного анализа деформированного состояния и устойчивости таких систем и реализующего этот метод алгоритма, позволяющего надёжно определять их деформации, выявлять конфигурации, для которых матрица касательной жесткости фермы становится сингулярной, а также вычислять продолжение траектории нагружения за сингулярными конфигурациями.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. На основе библиографического обзора и анализа современного состояния нелинейной теории обобщен теоретический материал по исследованиям в области нелинейных расчетов.

2. Выполнена формулировка геометрически нелинейной теории упругости в форме, удобной для вывода разрешающих уравнений для различных типов конструктивных элементов.

3. Сформулирована геометрически нелинейная теория пространственных ферм, как частный случай геометрически нелинейной теории упругости. Выполнен переход к алгебраической форме разрешающих уравнений при помощи метода конечных элементов.

4. Разработан численный метод решения нелинейных разрешающих уравнений для пространственных, ферм,как задачи с начальным параметром, основанный на продолжении решения по длине дуги кривой равновесных состояний.

5. Разработан метод точного вычисления; критических конфигураций пространственных стержневых систем.

6. Разработан метод продолжения решенияш критических точках. 7. Выполнена объектно-ориентированная реализация? разработанных методов на языке Java в виде тестовой платформы, позволяющей исследовать влияние параметров, управляющих численным процессом.

8. Для тестирования численных методов и реализующих их алгоритмов решения геометрически нелинейных задач получено аналитическое решение нелинейного поведения регулярных трехстержневых ферм на всех этапах деформации, включая потерю устойчивости первого и второго рода.

9. На примерах расчета регулярных трехстержневых ферм и некоторых типов пространственных стержневых конструкций проиллюстрировано применение тестовой платформы, для проверки достоверности результатов, по-.

• лучаемых по предлагаемому методу.

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

1. На. основе общей геометрически нелинейной теории упругости построена теория геометрически нелинейного поведения пространственных стержневых систем в конечно-элементной формулировке. Данная теория» не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Единственным ограничением подхода является принятый линейный физический закон. В рамках теории получена формулировка матрицы секущей жесткости инкрементальных разрешающих уравнений, обладающая свойством симметрии.

2. Разработан новый метод нелинейного деформационного анализа,; основанный на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, который позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов, все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений. Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной.

3. Предложен новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяющий избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости.

4. Разработана новая методика учета неуравновешенных сил, отличающаяся тем, что неуравновешенные силы не добавляются к внешней нагрузке, как принято во всех существующих в настоящее время методах, а используются для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения.

5. Разработан новый способ вычисления инкремента коэффициента нагружения в методе постоянных дуг, основанный на вычислении длины хорды через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага, который позволяет добиться сходимости процедуры в окрестностях точек бифуркации, где траектория нагружения испытывает ветвление. Использование предложенного способа позволяет также повысить устойчивость и сходимость итерации на шаге нагружения.

6. Разработан новый прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений, решением которой является значение инкремента коэффициента нагружения, приводящее из почти сингулярной точки траектории нагружения в сингулярную точку.

7. Выполнен анализ причин неустойчивости существующих вычислительных процедур в окрестностях точек бифуркации и предложена методика продолжения решения, основанная на использовании матрицы полной жесткости конструкции и обладающая высокой устойчивостью.

8. Предложен новый подход к продолжению траекторий нагружения, основанный на введении дополнительного условия в формулировку бифуркации, в соответствии с которым нагрузка в конце первого шага продолжения решения пропорциональна заданной модельной нагрузке. В отличие от известных методов, инкремент коэффициента нагружения на первом шаге продолжения решения не равен нулю, а принимается за неизвестную величину. Данный подход реализован в виде метода расширения.

9. Разработан новый способ учета погрешности вектора нагрузки (неуравновешенных сил), используемый в разработанном методе расширения, в котором к вектору погрешности добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки, так, чтобы инкремент перемещений от нагрузки был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к последующему состоянию. При помощи этого инкремента нагрузки корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций.

10. Получены новая формулировка и точное аналитическое решение основных уравнений, описывающих геометрически нелинейное поведение пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, позволившие избежать ошибок аппроксимации в аналитическом решении. В новом методе не используются тригонометрические функции.

11. Выявлены особенности геометрически нелинейного поведения пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, в частности, показано, что существует значение коэффициента соотношения геометрических размеров, для которого все коэффициенты матрицы жесткости, касательной ко вторичной ветви траектории нагружения в точке бифуркации равны нулю. Показано, что вторичные ветви траектории нагружения за точкой бифуркации лежат на поверхности сферы, проходящей через точку бифуркации. Каждая точка на этой поверхности содержится в траектории нагружения фермы. Матрица касательной жесткости фермы сингулярна не только в точке бифуркации, но и в каждой точке сферической поверхности. Это свойство оказывает большое влияние на построение алгоритмов продолжения траекторий нагружения за точками бифуркации.

12. Разработано программное приложение на базе объектно-ориентированной платформы Java имеющее новые черты, которые позволили выполнить исследование и оценку новых методов, представленных в диссертации. Структура данных приложения, основанная на именованных объектах, является новой для конечно-элементных программ. Структура классов приложения разработана таким образом, что отдельные классы могут быть заменены без внесения значительных изменений в другие классы. Таким образом, приложение может быть использовано для исследования альтернативных вариантов решения с незначительными трудозатратами.

На защиту выносятся: положения, составляющие научную новизну диссертации, а также следующие результаты диссертационного исследования:

1. Реализация предлагаемых методик.в объектно-ориентированном программном приложении на основе платформы Java.

2. Аналитическое решение задачи геометрически нелинейного поведения и потери устойчивости регулярной трехстержневой фермы.

3. Анализ нелинейного деформирования и потери устойчивости типических пространственных ферм для модельных и реальных конструкций.

4. Исследование влияния возмущений на поведение симмётричных пространственных трехстержневых ферм.

Практическая и теоретическая ценность

1. Разработанные методы, алгоритмы неполученные результаты могут найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при решении задач нелинейного деформирования, устойчивости и послекритического поведения сложных стержневых систем:

2. Теоретические результаты диссертации использовались и используются в настоящее время при выполнении научных исследований аспирантами и соискателями.

3. Некоторые из предложенных в диссертации методов и алгоритмов включены в уже изданные учебные пособия по курсу, строительной механики.

4. Концепция интегрированного нелинейного расчета пространственных стержневых систем, представленная в данной работе, предоставляет надежную основу для исследования геометрически нелинейного поведения, которое может привести к чрезмерным деформациям конструкций или потере устойчивости.

5. Предложенный метод и программное приложение, разработанное на его основе, могут быть использованы в практических инженерных расчетах стержневых систем, как с шарнирными, так и с жесткими и упругими узлами. На основе предложенного обобщенного подхода могут быть разработаны теории и алгоритмы для других конструктивных элементов и физически нелинейных задач.

6. Геометрически нелинейная теория пространственных стержневых систем и реализующий её алгоритм расчета, представленные в диссертации, не имеют ограничений на величины перемещений, поворотов, или деформаций в стержнях. Разработанная на основе этой теории тестовая платформа может быть использована для изучения и оценки характеристик упрощенных методов расчета. Она может также быть использована для изучения особенностей поведения пространственных стержневых систем.

7. На основе обобщенной формулировки геометрически нелинейной теории упругости, выполненной в данной работе, могут быть выведены разрешающие уравнения для других типов стержневых систем и конструктивных элементов. Таким образом, выполненные теоретические разработки могут служить основой программы дальнейших исследований, целью которых является создание теории численного анализа сложных конструктивных систем, состоящих из нескольких типов конструктивных элементов.

8. Выполненное в рамках диссертационной работы сравнение результатов расчётов на устойчивость полученных с использованием программного комплекса А№У8 и программы ЗрасеТгизБ, реализующей предложенный в диссертационной работе метод, между собой и с точным аналитическим решением выявило ряд ограничений в методах геометрически нелинейного расчета деформаций и устойчивости ПК АМ8У8 и показало, что методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, могут быть использованы при разработке новых программных комплексов, или интегрированы в существующие комплексы.

Достоверность научных положений и результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках механики деформируемого твёрдого тела и классических методов строительной механики с использованием общепринятых гипотез и допущений, а также сопоставлением решений тестовых задач с решениями, полученными на основе других методов и подходов.

Оценка результатов нелинейной теории представляет практическую сложность. Нелинейность поведения конструкций делает неприменимым принцип суперпозиции. Для заданного нагружения конструкция может иметь более одного положения равновесия. Помимо нелинейной зависимости между нагрузкой и деформацией, может происходить потеря устойчивости вследствие проскока стержней или бифуркации. Точные аналитические решения полных нелинейных разрешающих уравнений пространственных стержневых систем отсутствуют даже для простых конструктивных систем.

Принимая во внимание трудность верификации нового подхода, в диссертации получено аналитическое решение задачи деформирования и устойчивости равновесия регулярных пространственных трехстержневых ферм. Выведены точные формулы для определения нелинейных деформаций ферм. Аналитическое решение позволяет точное вычисление сингулярных точек траектории нагружения, определение их типа, а также вычисление основных и вторичных ветвей траектории нагружения за сингулярными точками. На основе аналитического решения могут быть вычислены матрицы касательной и секущей жесткости для заданного значения перемещения.

Нелинейный расчет пространственных стержневых систем представляет собой задачу с начальным параметром. Решение для заданной нагрузки зависит от предшествующей траектории нагружения. Так как рассматриваются только равновесные состояния конструкции, то одним из показателей точности расчета могут служить неуравновешенные силы, возникающие в рассматриваемой мгновенной конфигурации конструкции на шаге нагружения. Показано, что с использованием разработанных методик неуравновешенные силы могут быть сведены к пренебрежимо малым значениям.

Достоверность и точность вычисления сингулярных конфигураций ферм доказывается сравнением численных результатов расчета для тестовых примеров с результатами аналитического решения, полученного автором. В диссертации продемонстрировано, что разработанные алгоритмы, реализованные в виде программного приложения, позволяют выявить сингулярную точку, определить её тип, а также получить значения деформаций и нагрузок в сингуС лярной точке с высокой точностью.

Верификация методов и алгоритмов продолжения решения в предельных точках и точках бифуркации также проводилась на тестовых примерах. Продемонстрировано, что полученные результаты имеют высокую точность.

Апробация работы. Результаты исследования и основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:

1. 60-я международная научно-техническая конференция; молодых ученых: СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2007.

2. XXVII Российская школа по проблемам техники и технологий: Ми-асс, 2007.

3. Симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного/моделирования конструкций^ сооружений»: НижнишНовгород, 2007.

4. XXI международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях»: СГТУ, Саратов; 2008; •

5. Ежегодная научно-техническая? конференция; ВолгГАСУ, секция? «Строительная механика и строительная информатика»: Волгоград, 2009;

6. Научный семинар кафедры «Строительная механика» ВолгГАСУ: Волгоград, 2009.

7. Объединенный научный семинар кафедр «Строительная механика» и «Информатика» МГСУ: Москва 2009. . .

8. Научный Межвузовский семинар «Геометрия и расчет тонких оболочек неканонической формы». РУДН: Москва^ 2010г

9. Объединенный научный семинар кафедр* строительной^ механики и прикладной; математики! Санкт-Петербургского государственного - архитектурно-строительного университета., СПбГАСУ, 2011 г.

10: Расширенное заседание кафедры строительной механики Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Волгоград, 2011 г.

11. 7th International Congress on Civil Engineering: Tarbiat Modarres University, Tehran, Iran, 2006.

12. Scientific Seminar of the Department of Civil Engineering of Stellenbosch University: Stellenbosch, Republic of South Africa, 2007.

13. 12th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering & 2008 International Conference on Information Technology in Construction: Beijing, China 2008.

14. 16th Annual Workshop of the European Group for Intelligent Computing in Engineering (EG-ICE): TU Berlin^ Germany, 2009;

15. 13th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. Nottingham, UK 2010.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 23 печатных работы, в том числе 11 статей в изданиях, входящих в список ВАК, 6 статей и 1 монография в российских издательствах, 4 статьи и 1 монография в иностранных журналах и издательствах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы из 269 наименований. Общий объем диссертации составляет 384 страницы, в том числе 378 страниц основного текста, 72 рисунков и 16 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Галишникова, Вера Владимировна

9.4. Выводы

1. Тестовые примеры расчета по предлагаемым методам и алгоритмам показали их высокую надежность, точность и устойчивость.

2. Точность численного расчета по деформациям пологой фермы зависит от коэффициента погрешности и мало зависит от значения начального коэффициента нагружения. Состояние конструкции в предельной точке вычисляется с очень высокой точностью. Продолжение решения после прохождения предельной точки вычисляется устойчиво. Эффективность численного расчета зависит от коэффициента погрешности. Повышение эффективности связано с некоторой потерей точности расчета. Подбор оптимального значения коэффициента погрешности необходимо выполнять для каждой практической задачи.

3. Пологие фермы обладают малой чувствительностью к горизонтальным возмущающим нагрузкам и отклонениям вершины в горизонтальным направлении. Однако поведение пологой фермы весьма чувствительно к вертикальному смещению вершины.

4. Результаты вычисления перемещений и нагрузок в точках бифуркации подъемистой фермы обладают высокой точностью. Результаты вычисления продолжения решения в после прохождения точки бифуркации также являются точными.

5. Поведение подъемистой фермы существенно меняется, если в её вершине прикладывается горизонтальная возмущающая сила. Кривые перемещений в этом случае неразрывны. Происходит смена типа сингулярной точки: точка бифуркации невозмущенной конструкции заменяется предельной точкой при наличии возмущающей нагрузки.

6. Подъемистые фермы, обладают очень высокой чувствительностью к несовершенствам, вызванным горизонтальным смещениям вершины. При наличии даже малого смещения тип критической точки изменяется с точки бифуркации на предельную точку.

7. Выполненные расчеты реальных пространственных стержневых систем на деформации и устойчивость подтвердили практическую значимость проведенного исследования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выполненный обзор современного состояния исследований в области анализа устойчивости равновесия: конструкций показал, что в данной области всё ещё остаются существенные теоретические и вычислительные проблемы. Необходимо развитие общих методов анализа устойчивости, позволяющих надёжно оценивать обзхцую устойчивость конструкции с учётом взаимодействия отдельных элементов, а таюке устойчивость каждого отдельного элемента этой конструкции.

2. В данном исследовании предложен обобщённый подход к разработке нелинейных методов расчёта, конструкций. Нелинейная теория упругих тел сформулирована таким образом, что на её основе можно получить частные теории для отдельных видов конструктивных элементов, применяя соответствующие гипотезы поведения. В результате такого подхода возможна унификация нелинейных теорий конструктивных элементов, позволяющая сократить затраты на их программную реализацию и добиться совместимости различных типов конструктивных элементов, объединяемых в сложные системы.

3. Полученная на базе общей геометрически нелинейной теории упругости формулировка геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов И деформаций в стержнях. Единственным ограничением подхода является принятый линейный физический закон деформирования материала. Несмотря на то, что основополагающие теории являются общепринятыми, ИХ формулировка и применение в анализе устойчивости Пространственных стержневых систем без введения дальнейших допущений и приближении обладает научной новизной. Благодаря отсутствию допущений стало возможным надежное исследование разрабатываемых новых методов, свободное от влияния погрешностей аппроксимации.

4. Разработанный в данной диссертации на основе обощенной теории деформирования и устойчивости равновесия пространственных стержневых систем интегрированный метод численного анализа позволяет: вычислять напряженно-деформированное состояние конструкций; выявлять критические конфигурации, для которых матрица касательной жесткости фермы становится сингулярной; точно вычислять критические состояния конструкции; вычислять продолжение траектории нагружения за критическими состояниями конструкции. В качестве составных частей метод включает нелинейный деформационный анализ, выявление и вычисление сингулярных точек, продолжение траекторий нагружения.

5. Разработанный в данной диссертации новый метод нелинейного деформационного анализа, основанный на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений. Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной. Сравнение численных результатов, полученных для тестовых задач с точными решениями доказало высокую точность метода секущей жесткости.

6. Предложенный в диссертации новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяет избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости. Остаточный член при этом преобразуется в корректирующий член нагрузки, уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки стремительно убывает в процессе итераций.

7. Новая методика учета неуравновешенных сил, разработанная в данном исследовании для корректировки решения на шаге нагружения, отличается тем, что неуравновешенные силы не добавляются к внешней нагрузке, как принято во всех существующих, в настоящее время методах. Вместо этого, вектор неуравновешенных сил используется для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения. Данный подход существенно улучшает точность и скорость сходимости деформационного анализа.

8. В диссертационном исследовании разработан новый способ вычисления инкремента коэффициента нагружения в методе постоянных дуг, основанный на вычислении длины хорды через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага. В отличие от метода Крисфилда, в котором использована упрощенная процедура использования норм разностей этих векторов, новый способ позволяет добиться сходимости процедуры в окрестностях точек бифуркации, где траектория нагружения испытывает ветвление. Использование предложенного способа позволяет также повысить устойчивость и сходимость итерации на шаге нагружения.

9. В диссертации разработан новый прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений, решением которой является значение инкремента коэффициента нагружения, приводящее из почти сингулярной точки траектории нагружения в сингулярную точку. Сравнение вычисленных значений сингулярных точек тестовых задач с аналитическими решениями доказало высокую точность и надежность нового метода.

10. Разработанный в диссертации новый подход к продолжению траекторий нагружения обладает следующими особенностями: 1) известные разрешающие уравнения бифуркации в равновесных состояниях конструкций формулируются в виде, пригодном для расширения; 2) в отличие от подхода, использованного Крисфилдом, Вагнером, Риггерсом и другими исследователями, инкремент коэффициента нагружения на первом (конечном) шаге продолжения не принимается равным нулю, а принимается за неизвестную величину. Дополнительная неизвестная вычисляется путем расширения формулировки бифуркации дополнительным условием, в соответствии с которым нагрузка в конце первого шага продолжения решения пропорциональна заданной модельной нагрузке.

Способ учета погрешности вектора нагрузки (неуравновешенных сил), используемый в разработанном методе расширения, также является новым. Традиционно погрешность исключается путем вычитания из пробного решения перемещений и реакций, вызываемых этой погрешностью. Исследования, проведенные при помощи тестовой платформы, показали, что эта процедура часто приводит к расхождению итераций, что отмечалось и другими исследователями. В предлагаемом подходе к вектору погрешности добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки, так, чтобы инкремент перемещений от нагрузки был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к последующему состоянию. При помощи этого инкремента нагрузки корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций.

Алгоритм продолжения траектории нагружения, основанный на разработанном подходе, реализован в программном приложении. Исследование показало, что новый метод продолжения решения обладает численной устойчивостью и высокой точностью.

11. Новая формулировка и точное аналитическое решение основных уравнений, описывающих геометрически нелинейное поведение пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, полученные в работе, позволили избежать ошибок аппроксимации в аналитическом решении. В новом методе не используются тригонометрические функции.

12. Показано, что одни и те же нормализованные разрешающие уравнения справедливы для любых симметричных трехстержневых пространственных ферм. Геометрические соотношения, сечения стержней и модуль упругости влияют лишь на величины коэффициентов этих уравнений.

Характер поведения фермы и вид потери устойчивости определяются соотношением её геометрических размеров (отношением радиуса основания к высоте)

13. Выявлены дополнительные особенности поведения исследуемых ферм. В частности, показано, что существует значение коэффициента соотношения геометрических размеров, для которого все коэффициенты матрицы жесткости, касательной ко вторичной ветви траектории нагружения в точке бифуркации равны нулю. Показано, что вторичные ветви траектории нагружения за точкой бифуркации лежат на поверхности сферы, проходящей через точку бифуркации. Каждая точка на этой поверхности содержится в траектории нагружения фермы. Матрица касательной жесткости фермы сингулярна не только в точке бифуркации, но и в каждой точке сферической поверхности. Это свойство оказывает большое влияние на построение алгоритмов продолжения траекторий нагружения за точками бифуркации.

14. Полученное новое решение для симметричных пространственных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки является важным для понимания поведения конструкции и характерных свойств решений. Это исследование дало возможность выявить причины неудовлетворительного поведения алгоритмов при их тестировании и устранить их. Тщательное изучение литературы не выявило публикаций, в которых приводится сравнение результатов численных расчетов пространственных стержневых систем с точными аналитическими решениями.

15. Разработанное в диссертации программное приложение на базе объектно-ориентированной платформы Java имеет новые черты, которые внесли существенный вклад в развитие, исследование и оценку новых методов, представленных в диссертации. Структура данных приложения, основанная на именованных объектах, является новой для конечно-элементных программ. Структура классов приложения разработана таким образом, что отдельные классы могут быть заменены без внесения значительных изменений в другие классы. Таким образом, приложение может быть использовано для исследования альтернативных вариантов решения с незначительными трудозатратами.

16. Развитый графический интерфейс приложения позволяет эффективно отображать модель конструкции, её перемещения под нагрузкой, а также историю отдельных переменных, например узловых перемещений или усилий в стержнях. Интерфейс обладает большой скоростью и широко использовался для исследования свойств алгоритмов и поведения стержневых систем. Так как все классы интерфейса являются открытыми, они легко могут быть модифицированы и связаны с базой данных методами расчета таким образом, чтобы получить оптимальную тестовую платформу для решения конкретной исследуемой задачи. Независимость классов графического пользовательского интерфейса тестовой платформы от классов создания модели и расчета стержневой системы позволяет вносить существенные изменения в алгоритмы расчета без серьёзных изменений в графическом интерфейсе.

17. Использование программного приложения для анализа ряда пространственных стержневых систем позволило выявить новые аспекты нелинейного поведения этих конструкций. Например, было обнаружено, что форма траектории нагружения сетчатого сферического купола под действием вертикальной нагрузки схожа с траекторией нагружения континуальной тонкой оболочки. Было также продемонстрировано, что коммерческие программные продукты не всегда способны надежно определить сингулярные точки на траектории нагружения пространственных стержневых конструкций. Эти сингулярные точки надежно определяются при помощи новых методов, разработанных в настоящем исследовании.

18. Сравнение численных результатов расчёта для тестовых примеров с результатами точного аналитического решения показало, что разработанные на основе предложенных методов алгоритмы обеспечивают достоверность и точность вычисления сингулярных конфигураций, позволяют определить тип сингулярных точек, получить значения деформаций и нагрузок в сингулярных точках. Выполненные расчеты реальных пространственных стержневых систем на деформации и устойчивость подтвердили практическую значимость проведенного исследования.

Общность разработанного в диссертации подхода позволяет распространить теоретические положения, а также их реализацию в виде методов, алгоритмов и программного приложения на другие виды конструкций помимо пространственных стержневых систем. Таким образом, диссертация открывает широкую область исследований и совокупность её результатов можно квалифицировать как обоснование и развитие нового научного направления.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Галишникова, Вера Владимировна, 2014 год

1. Александров A.B., Лагцеников Б.Я. О применении энергетического метода в задачах устойчивости упругих систем. // Строительная механика и расчет сооружений. 1965. N25. С. 28-32.

2. Амелъченко В.В., Крысъко В.А., Маркушин А.Г., Федорова А.Г. Некоторые вопросы сравнения методов расчета гибких пологих оболочек // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Сб. статей. Вып. 3. Саратов, 1973. С. 158-165.

3. Ананяи В.В. Расчет геометрически и физически нелинейных стержневых систем методом конечного элемента. // Исслед. по расчету элементов простр. систем. Сб. тр. ун-та Дружбы народов. М.: 1987.

4. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 311 с.

5. Анфнлофъев A.B. Разработка общей теории больших и малых упругих перемещений в плоских стержневых системах // Автореферат дисс. на соиск. уч. степени докт. техн. наук. Томск, 2001.

6. Бандурин Н.Г. К применению метода шагового нагружения для расчета непологих оболочек / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Изв. вузов. Машиностроение. 1984. № 8. С. 20—23.

7. Бандурин Н.Г. К расчету непологих оболочек с учетом геометрической нелинейности / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев II Прикл. механика. 1985. Т. 21. №8. С. 56—63.

8. Безухов Н.И. основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука. // Труды Моск. Автодорожного ин-та. М. Гострансиздат, 1936, №4.

9. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести.// Успехи механики деформируемых сред. 1951. Т. XV, вып.6. С. 765 770.

10. Биргер H.A. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Оборон-гиз, 1961.368 с.

11. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Том 3. М.: Машиностроение, 1968. 567 с.

12. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика. М.: Наука. 1975. С. 51 — 53.

13. Болотин В.В. Нелинейная теория упругости и устойчивость в большом. //Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958, N23. С. 6-27

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М. : Физматгиз, 1961. 340 с.

15. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике // Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. С. 6-27

16. Бубнов И. Строительная механика корабля. 1912.

17. Вайнберг М.М., Треногий В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

18. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

19. Валишвили Н.В. Об исследованиях гибких элементов конструкции численными методами // Изв. вузов. Машиностроение. 1984. № 2. С. 15-19.

20. Валишвили Н.В. О выборе параметра при численном решении краевых задач статики гибких оболочек // Прикл. Механика, 1984. Т. 20, № 11. С. 115-118.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек. M. JL, ГИТТЛ, 1949.

22. Волъмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М. : Гостехиздат, 1956.

23. Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во физмат. лит-ры, 1963.

24. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука,

25. Ворович ИМ, Зипалоесг ф. к решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перевода к задаче Коши // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 5. С. 894-901.

26. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, изд. Казанского университета, 197"5.

27. Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Расчет шарнирно-стержневых систем на устойчивость на основе принципа возможных перемещений // Вестник Волгогр. гос архит.-строит. ун-та. сер.: Техн. науки. 2006. вып. 6(20). С. 5—17.

28. Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы (теория и методы расчета) : монография. Волгоград : ВолгГАСУ, 2006. 552 с. ISBN 5-98276-125-7.

29. Галишникова В.В. Аналитическое решение нелинейной задачи устойчивости и исследование закритического поведения трехстержневой фермы //Вестник Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. сер.: Естеств. науки. 2006. вып. 6(23). С. 53—64.

30. Галишникова В.В. Алгоритм геометрически нелинейного расчета пространственных шарнирно-стержневых конструкций на устойчивость // МСНТ «Наука и технологии»: труды XXVII Российской школы. М. : РАН, 2007. С. 235—244.

31. Галишникова В.В. Конечно-элементное моделирование геометрически нелинейного поведения пространственных шарнирно-стержневых систем // Вестник гражданских инженеров (СПбГАСУ). 2007. № 2(11). С. 101—106.

32. Галишникова В.В. Продолжение решения по длине дуги в геометрически нелинейном расчете конструкций по МКЭ // Математические методы втехнике и технологиях : сборник тр. XXI междунар. науч. конференции / СГТУ. Саратов, 2008. Т. 4. с. 191—195.

33. Галишникоеа В.В. Вывод разрешающих уравнений задачи геометрически нелинейного деформирования пространственных ферм на основе унифицированного подхода. Вестник Волгогр. гос архит.-строит. ун-та. сер.: Стр-во и архит. 2009. вып. 14(33). С. 39—49.

34. Галишникоеа В.В. Постановка задачи геометрически нелинейного деформирования пространственных ферм на основе метода конечных элементов // Вестник Волгогр. гос архит.-строит. ун-та. сер.: Стр-во и архит. 2009. вып. 14(33). С. 50—58.

35. Галишникоеа В.В. Модификация метода постоянных дуг, основанная на использовании матрицы секущей жесткости // Вестник МГСУ. 2009. № 2. С. 63—69.

36. Галишникоеа В.В. Численный анализ устойчивости равновесия пространственных ферм в геометрически нелинейной постановке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 1. С. 42—50.

37. Гвоздев A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М., Стройиздат, 1974.

38. Геммерлинг A.B. Расчет стержневых систем. М. Стройиздат, 1974.

39. Гениев Г. А. Некоторые задачи расчета стержней при общей нелинейной зависимости напряжений от деформаций. // Сб. статей ЦНИИПС. М.: Госстройиздат, 1956.

40. Голъденблатт И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М. : Гостехиздат, 1955.

41. Голъденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.

42. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехте-ориздат, 1953.

43. Городецкий A.C., Компьютерные модели конструкций / A.C. Городецкий, И.Д. Евзеров. Киев : ФАКТ, 2005. 343 с.

44. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности: Сб. статей. Горький, 1979. С.3-19.

45. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. О некоторых формах метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории упругости // Журн. прикл. механики и теорет. физики. 1980. № 5. С. 158-162.

46. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек // Успехи механики. Варшава. 1981. Т. 4, вып. 2. С. 89-122.

47. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования: метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела// Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин М. : Наука, 1988. 232 с.

48. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.

49. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88, № 4. С. 601—602.

50. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений //Укр. мат. журн. 1953. Т. 5. № 2. С. 196—206.

51. Давиденко Д. Ф. О приложении метода вариации параметра к теории нелинейных функциональных уравнений // Укр. мат. журн. 1955. Т. 7. № 1. С. 18—28.

52. Еругин И. П. Неявные функции. Ленинград: ЛГУ, 1956. 127 с.

53. Ильюшин A.A. Пластичность. М. : Гостехстройиздат. 1948.

54. Ильюшин A.A. Об отношении между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред. // ПММ. T. XVIII, 1954.

55. Ильюшин A.A. Механика сплошных сред. М. : МГУ, 1978. 287 с.

56. Kaôpuii С.А. Осесимметричная закритическая деформация резино-подобных оболочек // Вопросы механики и процессов управления: Сб. статей. Ленинград, 1984. № 6. С. 37 42.

57. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строит, механике: Сб. статей. Саратов, 1972. С. 3 - 8.

58. Карпов В.В. Способ улучшения решения, полученного методом последовательных нагружений // Волжский матем. сборник. Куйбышев, 1973. Вып. 15. С. 106-111.

59. Карпов В.В. О погрешности линеаризации при расчете гибких оболочек//Механика деформируемых сред: Сб. статей. Вып. 4. Саратов, 1976. С. 102-108.

60. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решения при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1975. № 5. С 189 191.

61. Каудерер Г. Нелинейная механика. М., ИЛ. 1961.

62. Качанов JI.M. Упругопластическое состояние твердых тел. // ПММ, т. V, вып.З М., 1941.

63. Ким А.Ю. Итерационный метод приращений параметров в теории расчета нелинейных мембранно-пневматических систем с учетом упругой работы воздуха. Саратов, 2005. 187 с.

64. Колтунов М.А. Изгиб прямоугольных пластинок с учетом больших прогибов. // Науч. доклады ВШ, физ-мат. науки. 1959. №3.

65. Колтунов М.А. О зависимости нагрузка-прогиб для гибких пологих оболочек. // Инж. сборник АН СССР. 1952. Т. 13.

66. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964.

67. Коровайцев A.B. Параметрический анализ оболочек вращения при больших перемещениях // Изв. вузов. Машиностроение. 1979. № 2. С. 5-8.

68. Красносельский М.А., Вайиикко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., CmeifeHKo В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

69. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983. № 2. С. 189 191.

70. Кузнег{ов В.В. Численное решение нелинейных краевых задач осе-симметричного деформирования непологих оболочек вращения // Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек: Сб. статей. Саратов, 1981. С. 73 74.

71. Курдюмов А. А. К теории физически и геометрически нелинейных задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та. 1961. Вып. 34. С. 55 -62.

72. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М., Стройиздат, 1978.

73. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

74. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 512 с.

75. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré pen differenter des ellipsoïdes d'une mass liquide homogene d'un mouvement de rotation // Зап. Акад. наук. СПб. 1906. C.l.

76. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигиздат, 1957. 431 с.

77. Николаи E.JI. Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня. Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 31, 1928.

78. Николаи ЕЛ. Труды по механике. М.: Гостехтеориздат, 1955. 582 с.

79. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостех-издат, 1948. 218 с.

80. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде. // ПММ. 1951. Т. 15, вып.2.

81. Новожилов В.В. Теория упругости. JI. : Судпромгиз, 1956. 372 с.

82. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об «истинных» мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике // Изв. АН СССР. 1987. № 5. С. 73—79.

83. Огибалов П.М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. М.: изд-во МГУ, 1969.

84. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967. 420 с.91 .Папковыч П.Ф. Труды по строительной механике корабля. Т4 Устойчивость стержней, перекрытий и пластин. Л.: Судостроение, 1963. 552 с.

85. Перельмутер A.B., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев : ВПП КОМПАС, 2005. 446 с.

86. Перельмутер A.B., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Том 1,2. М. : Издательство СКАД СОФТ, 2010.674,663 с.

87. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Науч. докл. высшей школы. Строительство. 1959. № 1. С. 27 35.

88. Петров В.В. Исследование конечных прогибов пластин и пологих оболочек методом последовательных нагружений // Теория пластин и оболочек: Тр. II Всес. конф., Львов, 1961. Киев: АН УССР, 1962. С. 328 331.

89. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов. 1975. 118 с.

90. Петров В.В. Инкрементальные уравнения метода последовательного возмущения параметров // Успехи строительной механики и теории сооружений. Сб. науч. статей к 75-летию со дня рождения В.В. Петрова. СГТУ, РААСН. Саратов, 2010. С. 197-207.

91. Покровский A.A. Численный метод расчета дважды нелинейных стержневых систем различного назначения. // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. №1.

92. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. JL: Гостехиздат, 1948.

93. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука,1986.

94. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями. М.: Стройиздат, 1975.

95. Рекач Ф.В. Метод расчета пространственных стержневых систем с учетом геометрической и физической нелинейности. Унив. Дружбы народов, М.: 1988.

96. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Гостехтеориздат. 1955. 475 с.

97. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материала. Изд. 2-е. М., Госстройиздат, 1954.

98. Смирное А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М. : Трансжелдориздат, 1958. 571 с.

99. Смирнов А. Ф., Александров A.B., Шапошников H.H., Лащеников Б.Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М.: Стройиздат, 1964.

100. Тарануха H.A., Жеребко КВ., Петрова А.Н., Петров М.Р. Математическая модель шарнирной стержневой системы с большими перемещениями узлов. Известия вузов. Строительство 2003. №3. С. 12-18

101. Терентьев В. Ф. О расчете осесимметричной деформации оболочек вращения из нелинейно-упругого материала с учетом изменения формы срединной поверхности // Изв. ВНИИГидротехники. 1969. Вып. 91. С. 239253.

102. Терентьев В. Ф., Господариков А.П. Конечноразностный метод построения закритических решений в нелинейных задачах осесимметричной деформации упругих оболочек вращения // Механика деформируемых сред: Сб статей. Куйбышев, 1976. С. 88-94.

103. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Киев. 1910. (Издание: М.: Гостехтеориздат, 1955. 567 с.)

104. Тамошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука. 1965.

105. Тнмошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, Физматгиз, 1971. 807 с.

106. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. К: Наукова Думка, 1972. 501 с.

107. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 3. С. 439—444.

108. Толоконников Л.А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях //ПММ. 1957. Т. 21. Вып. 6. С. 815—822.

109. Феодосъев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем // Прикладная механика и математика. 1963. Т.27, №2, С. 265—274.

110. Феодосъев В.И. Применение шагового метода к анализу устойчивости сжатого стержня // Прикладная механика и математика. 1963. № 2 С. 34—39.

111. Феодосъев В.И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. // Труды VI всесоюзн. конф. По теории оболочек и пластин. М. : Наука, 1966.

112. Феодосъев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.

113. Хечумов Р. А., Покровский А.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом геометрической и физической нелинейности // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. № 2. С. 5—11.

114. Хечумов Р. А., Кеплер X., Прокопъев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М. : Изд. АСВ, 1994.

115. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. M.-JL: Гостехиздат, 1946.207 с.

116. Черных К. Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек//МТТ. 1980. №2. С. 148—159.

117. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JI. : Машиностроение, 1986. 336 с.

118. Шалашгшин В.И. Об одном методе сведения нелинейных краевых задач к задачам Коши // Всес. научн.-техн. конф.: Применение машинных методов для решения краевых задач: Тез. докл. М. 1976. С. 51-52.

119. Шалашилин В.И. Метод сведения нелинейных краевых задач к задаче Коши. Большие прогибы непологих арок // Изв. АН СССР. Механика твердого тела № 5, 1976. С. 195.

120. Шалашгшин В.И. Некоторые алгоритмы метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории упругости // Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. Всес. конф. по нелинейной теории оболочек и пластин. Казань, 1980. С. 50-51.

121. Шалагиилин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для нелинейных уравнений деформируемых систем // М.: МАИ, 1981, 29 с. / Деп. ВИНИТИ: РЖ "Механика". 1981. 7В191.

122. Шалагиилин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру в нелинейных краевых задачах теории деформируемых систем. М.: МАИ, 1981, 25 с. / Деп. ВИНИТИ: РЖ "Механика". - 1981. - 7В193.

123. Шалашгтин В.И. Об оптимальном и близких к нему параметрах продолжения решения нелинейных уравнений // Вопросы строит, механики и прочности ЛА: Сб. статей. М.: МАИ, 1985. С. 103-109.

124. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. Эдиториал УРСС, 1999. 224 с.

125. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М., Гостехтеоретиздат, 1952.

126. Abbott, J. P. An Efficient Algorithm for the Determination of certain Bifurcation Points // J. Сотр. Appl. Math. 1978, № 4. Pp. 19-27.

127. Argyris, J.H. Recent advances in matrix methods of structural analysis. Pergamon Press, 1964.

128. Argyris, J.H. Continua and discontinua // Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech. Air Force Inst, of Tech., Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 1965.

129. Argyris, J.H., Mjelnek, H.P. Die Methode der Finiten Elemente. Band 2: Kraft- und gemischte Methoden, Nichtlinearitaten. Vieweg,1987. ISBN 3-52808920-0.

130. Argyris, J.H., Dunne, P.C., Scharpf, D.W. Large Displacement-Small Strain Analysis of Structures with Rotational Degrees of Freedom // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 14, 1978. Pp. 401-451.

131. Arnold, V. I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Springer, New York, 1983.

132. Bathe, K.-J., Polourchi, S. Large Displacement Analysis of Three-Dimensional Beam Structures // International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.14, pp.961-986, John Wiley and Sons,1979.

133. Belytscko, Т., Liu, W., Мог an, B. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. J Wiley & Sons, 2000. ISBN 0-948-749-261.

134. Bergan D.G., Bathe K.-J., Wunderlich W., eds. Finite Element Methods for Nonlinear Problems. // Proceedings of the Europe-US Symposium, Trondheim 1985. Springer Verlag, 1986. ISBN 0-387-16226-7.

135. Bonet, J., Wood, R. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-57272-X.

136. Brebbia, C. & Connor, J. Geometrically non-linear finite element analysis // Proc. ASCE, J. of Eng. Mech. Div., Proc. paper 6516, 1969.

137. Brendel, B. Zur geometrisch nichtlinearen Elastostatik. Bericht Nr. 791, Inst. f. Baustatik, Universität Stuttgart 1979.

138. Brendel, B., Ramm, E. Nichtlineare Stabilitätsuntersuchungen mit der Methode der finiten Elemente // Ing. Archiv 51 (1982), 337-362.

139. Bryan G.H. On the stability of a plane plate under thrusts in its own plane with application of the on the "Buckling" of the sides of a ship. // Proc. London Math. Soc. 1891. P. 59.

140. Badiansky, B., Hutchinson, J. W. Buckling of Circular Cylindrical Shells under Axial Compression // van der Neut Anniversary Vol., Delft, 1972, 239 -360.

141. Budiansky, B. Theory of Buckling and Post-Buckling Behavior of Elastic Structures // Adv. Appl. Mech. 14. 1974. Pp. 2-63.

142. Clarke, M.J. & Hancock, G.J. A study of incremental-iterative strategies for non-linear analysis // Int. J. for Num. Meth. in Engng. 1990. № 29,1. Pp.1365-1391.

143. Crisfield, M.A. Incremental/iterative solution procedures for nonlinear structural analysis // Num. Meth. for Non-linear Problems. 1980. Vol. 1, pp.261-290.

144. Crisfield, M.A. A fast incremental/iterative solution procedure that handles "snap-through" // Computers & Structures. 1981. № 13. Pp.55-62.

145. Crisfield, M.A., Willis, J. Solution strategies and softening materials // Comp. Meth. in Appl. Mech. & Engng. 1988. № 66. Pp. 267-289.

146. Crisfield, M.A. Accelerating and damping the modified Newton-Raphson method // Computers & Struct. 1984. Vol. 18. Pp. 395-407.

147. Crisfield, M.A. Variable step-lengths for non-linear structural analysis

148. Transport and Road Res. Lab. Report LR1049. 1982.

149. Crisfield, M.A. An arc-length method including line-searches and accelerations I I Int. J. for Num. Meth. in Engng. 1983. Vol. 19. Pp. 1269-1289.

150. Crisfield, M.A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Vol.1. J. Wiley & Sons. 1997. ISBN 0-471-97059.

151. Crisfield, M.A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Vol.2. J. Wiley & Sons. 1997. ISBN 0-471-95649.

152. Decker, D. W., Keller, H. B. Path Following Near Bifurcation // Comm. Pure Appl. Math. 1981. Vol. 34. Pp. 149-175.

153. Dennis, J.E: & More, J. Quasi-Newton methods, motivation and theory // SIAM Rev. 1977. Vol. 19, pp.46-89.

154. Donnell, L. H., Wan, C. C. Effect of Imperfections on Buckling of Thin Cylinders and Columns under Axial Compression // J. Appl. Mech., Trans. ASME 72. 1950. Pp. 73-83.

155. Dvorkin E.N., Bathe K.J. Oh the automatic solution of non-linear finite element equations // Comput. and Struct. 1983. V. 17, № 5-6. Pp. 871-879.

156. Eckstein, U. Nichtlineare Stabilitätsberechnung elastischer Schalen-tragwerke // Tech. Rep. No. 83-3, Inst. KIB, Ruhr Universität Bochum. 1983.

157. Eßlinger, M. Hochgeschwindigkeitsaufnahmen von Beulvorgang dünnwandiger Zylinder // Der Stahlbau. 1970. Vol. 39. Pp. 73-76.

158. Euler, L. Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Pro-pietate Gaudentes, (Appendix, De Curvis Elasticis), Marcum Michaelem Bousquet, Lausanne und Genf, 1744.

159. Flügge, W. Die Stabilität der Kreiszylinderschale, Ing. Archiv 3 (1932), 463-506.

160. Forde, B. W.R. & Stiemer, S.F. Improved arc length orthogonality methods for nonlinear finite element analysis // Computers & Structures. 1987. Vol. 27. Pp.625-630.

161. Föppl L. Über das Ausknicken von Gittermasten, insbesondere von hohen Funk Türmen // ZAMM. 1993. Vol. 13. Pp. 1-10.

162. Fried, I. Orthogonal Trajectory Accession to the nonlinear Equilibrium Curve // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 1984. Vol. 47. Pp. 283-297.

163. Friedrichs, K.O., Stoker, J.J. The Nonlinear Boundary Value Problem of the Buckled Plate // Amer. J. Math. 1941. 1941. 1941. Vol. 63. Pp. 839-888.

164. Fritz, H., Wittek, U. Die Bedeutung dehnungsloser Beulzustánde bei der Stabilitátsberechnung von Schalen // Der Stahlbau. 1977. Vol. 46. Pp. 40-45.

165. Galishnikova V. V., Pahl P.J. A general method for the geometrically nonlinear analysis of structures I I Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing). 2006. Vol. 7, No. 4. Pp. 411—428.

166. Galishnikova V.V., Dunaiski P., Pahl P.J. Geometrically Nonlinear Analysis of Plane Trusses and Frames SUN MeDIA, Stellenbosch (Republic of South Africa), 2009. P. 382. ISBN 978-1-920109-48-6 120.

167. Galishnikova V. V. Stability Analysis of Space Trusses // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2009. Vol. 5, Issue 1&2. Pp. 35—44.

168. Galishnikova V. V. Solving the Unsolvable: Unusual Formulations in Computational Mechanics // Proceedings of EG-ICE Conference "Computing in Engineering". Berlin, 2009. Pp. 113—123.

169. Haselgrove, C.B. The solution of non-linear equations and of differential equations with two-point boundary conditions// Computer J. 1961. Pp.255-259.

170. Hildebrandt, T.H., Graves, L.M. Implicit Functions and their Differentials in General Analysis // A.M.S. Transactions. 1927. Vol. 29. Pp. 127-153.

171. Huddleston, J. V. Finite Deflection and Snap Through of High Circular Arches // J. Appl. Mech. 1968. Vol. 35. Pp. 763-769.

172. Joss, G. Joseph D. Element Stability and Bifurcation Theory. Springer. Berlin, Heidelberg, New-York. 1980.

173. Jacobi, C. Über die Figur des Gleichgewichts, Pogg. Ann. 32 (1834), P. 229.

174. Jürcke, R.K. Zur Stabilität und Imperfektionsempfindlichkeit elastischer Schalentragwerke Finite Element Formulierung der Anfangs-Nachbeul-Theorie. Tech. Rep. No. 85-5, Inst. KIB, Ruhr Universität Bochum. 1985.

175. Keener, J.P., Keller, H.B. Perturbed Bifurcation theory // Arch. Rational Mech. Anal. 1973. Vol. 50. Pp. 159-175.

176. Keller, H.B., Antman, S.A. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems. W. A. Benjamin, New York, 1969.

177. Keller H.B., Wolfe A. W. On the nonunique equilibrium states and buckling mechanism of sphericak shells. // J. Soc. Ind. and Appl. Math. 1965. V.13, №3, Pp. 674-705.

178. Keller, H.B. Numerical So lution of Bifurcation and Nonlinear Eigenvalue Problems // In: Rabinowitz, P. (ed.) Application of Bifurcation Theory. Academic Press, New York. 1977. Pp. 359-384.

179. Kleiber,M. Incremental Finite Element Modeling in Nonlinear Solid Mechanics. J.Wiley & Sons, 1989. ISBN 0470-20832-5.

180. Kmiecik, M., Pfau, H., Wiebeck, E., Wizmur, M. Nichtlineare Berechnung Ebener Flächentragwerke. Verlag für Bauwesen Berlin, 1993. ISBN 3-34500267-1.

181. Koiter W. T. On the Stability of Elastic Equilibrium, Translation of 'Over de Stabiliteit von het Elastisch Evenwicht'. Polytechnic Institute Delft, H. J. Paris Publisher. Amsterdam 1945, NASA TT F-10,833, 1967.

182. Kolar R., Kamel H.A. On Some Efficient Solution Algorithms for Nonlinear Finite Element Analysis // Proceedings, Europe-US Symposium on Finite Element Methods for Nonlinear Problems. Trondheim. Springer Verlag 1986.

183. Krätzig W.B., Qian, Y. On Stability Conditions of Nonlinear Static and Dynamic Buckling Responses of Arbitrary Structures // in Wriggers, P., Wagner, W., eds.: Nonlinear Computational Mechanics. Springer Verlag, 1991, ISBN 3-540-54254-X.

184. Krishnam Raju, N., NagaBhushanam, J. Nonlinear Structural Analysis Using Integrated Force Method. Sadhana. 2000. Vol.25, Part 4. Pp 353-365.

185. Kröplin, B., Dinkier, D., Hillman, J. An Energy Perturbation applied to Nonlinear Structural Analysis // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 1985. Vol.52. Pp. 885-897.

186. Kryloff,N., BogoliuboffiN. Introduction to Non-Linear Mechanics. Princetown Press. 1949. ISBN 13-978-0-691-07985-1.

187. Kyther, P., Wie, D. An Introduction to Linear and Nonlinear Finite Element Analysis. Birkhauer Verlag. 2003. ISBN 0-817-643087.

188. Lagrange J.L. Sur la figure de collonnes. Miscellenea Taurinecia, 1773, v. 5; Qlures de Lagrange. - 1868. - V. 2. - P. 125.

189. Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une catégorie d'équations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L'Academie des sciences. 1934. V. 198, N21. Pp. 1840-1842.

190. Lahaye M.E. Solution of system of transcendental equations//Acad. Roy. Belg. Bull. / Q. Sei. 1948. V. 5. Pp. 805-822.

191. Lee, S.L., Manuel, F.S., and Russow, E.C. Large Deflections and Stability of Elastic Frames // J. Engng. Mech. Div. ASCE. 1968. Vol. 94(EM2), Pp. 521-547.

192. Lorenz R. Achsensymmetrische Verzerrunden in dünnwandigen Hohlzylindern // Zeitschr. Verein Deutscher Ingenieure. 1908. Vol. 52. Pp. 1706-1713.

193. Mallet, R.H. & Marcal, P. V. Finite element analysis of non-linear structures //Proc. ASCE, J. of Struct. Div. 1968. 1968. 1968 Vol. 94, ST9. Pp. 2081-2105.

194. Mattiasson K., Bengtsson A., Samuelsson A. On the Accuracy and Efficiency of Numerical Algorithms for Geometrically Nonlinear Structural Analysis // Proceedings, Europe-US Symposium on Finite Element Methods for Nonlinear

195. Problems, Trondheim. Springer Verlag 1986.

196. Moore, G. & Spence, A. The calculation of turning points of nonlinear equations // SIAM J. Num. Anal. 1980. 1980 Vol. 17. Pp.567-576.

197. Moore M. The Numerical Buckling of a Visco-elastic Rod // Proceedings, Conference on Numerical Methods for Bifurcation Problems, Dortmund. 1983. Birkhäuser Verlag.

198. Oden, J. T., Numerical formulation of non-linear elasticity problems // Proc. ASCE, J. of Struct. Div. 1967. Vol. 93, ST3, paper 5290.

199. Oden, J. T. Finite element applications in non-linear structural analysis // Proc. Conf. on Finite Element Meth. Vanderbilt Univ., Tennessee. 1969.

200. Oden, J. T. Finite Elements of Nonlinear Continua. McGraw Hill. 1972. ISBN 07-047604-7.

201. Pähl, P.J., Damrath, R. Mathematical Foundations of Computational Engineering. Springer-Verlag. 2001. ISBN 3-540-67995-2.

202. Pflüger, A. Stabilität dünner Kegelschalen // Ing. Archiv 8. 1937.1. P.151.

203. Pflüger, A. Zur praktischen Berechnung der axialgedrückten Kreiszylinderschale // Der Stahlbau 32. 1963. Pp. 161-165.

204. Pflüger, A. Zur praktischen Berechnung der Kreiszy 1 inderschal e unter Manteldruck // Der Stahlbau 35. 1966. Pp. 243-252.

205. Poincare H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animal d'un mouvement de rotation// Acta mathem. 1885. V. 7. Pp. 259-380.

206. Ramm, E. Geometrisch nichtlineare Elastostatik und Finite Elemente // Bericht Nr. 76-2, Inst. f. Baustatik Universität Stuttgart 1976.

207. Ramm, E. A Plate/Shell Element for Large Deflections and Rotations // US Germany Symp. on Formulations and Computational Algorithms in Finite Element Analysis. M.I.T.-Press, Boston. 1977. Pp. 264-293.

208. Ramm, E. Zum gegenwärtigen Stand der Stabilität von Kugelsehalen unter Einbeziehung von Versuchsergebnissen, in: Forschungs- und Seminarberichte an dem Bereich der Mechanik der Universität Hannover. 1977. S77/1. Pp. 11.111.28.

209. Ramm, E. Strategies for tracing the nonlinear response near limitpoints // Non-linear Finite Element Analysis in Structural Mechanics, ed. W. Wunderlich, Springer-Verlag, Berlin. 1981. Pp.63-89.

210. Ramm, E. The Riks/Wempner approach an extension of the displacement control method in non-linear analysis // Non-linear Computational Mechanics, ed. E. Hinton et al. Pineridge, Swansea, 1982. Pp. 63-86.

211. Rank, A., Niggl, A., Düster,A. A High-Order Finite Element Approach to Non-linear Thin-Walled Solids // Lehrstuhl fur Bauinformatik, Technische Universität München, 2001.

212. Reddy, J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Oxford University Press, 2004. ISBN 0-19-852529-X.

213. Rheinboldt, W. C. Numerical Analysis of Continuation Methods for Nonlinear Structural Problems // Comp. & Struct. 1981. Vol. 13. Pp. 103-113.

214. Ricks, E. The application of Newton's method to the problem of elastic stability // Trans. ASME. 1972. E39, N4. Pp. 1060-1065. (Рус. пер: Рикс. Применение метода Ньютона к задаче упругой устойчивости // Прикл. механика. 1972. №4. С 204-210).

215. Ricks, Е. A unified method for the computation of critical equilibrium states of nonlinear elastic systems // ActaTechnica Scientiarum Hungaricae. 1978. Vol.87, Pp.121-141.

216. Ricks, E. An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems // Int. J. Solids & Structs. 1979. Vol. 15, Pp. 529-551.

217. Ricks, E. & Rankin, C.C. Bordered equations in continuation methods: an improved solution technique // Nat. Aero Lab. Report NLR MP 82057 U. 1987.

218. Rothert, H., Dickel, Т., Rennet, D. Snap-Through Buckling of Reticulated Space Trusses //J. Struct. Div., ASCE 107. 1981. ST1 129-143.

219. Sattinger, D.H. Topics in Stabi 1 ity and Bifurcation Theory // Springer, Lecture Notes in Mathematics. 1973. P. 309.

220. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Über die Auflösungen der nicht-linear Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Lösungen//Math. Ann. 1908. S.65.

221. Schweizerhof, K. & Wriggers, P. Consistent linearisation for path following methods in nonlinear f.e. analysis // Comp. Meth. in Appl. Mech. & Engng. 1986. Vol. 59, Pp.261-279.

222. Sewell, M.J. The Static Perturbation Technique in Buckling Problems //J. Mech. Phys. Solids. 1965. Vol. 13. Pp. 247-265.

223. Seydel, R. Numerical Computation of Branch Points in Nonlinear Equations //Numer. Math. 1979. Vol.33. Pp. 339-352.

224. Simo,J.C., Hughes, T.J.R. Computational Inelasticity. Springer Verlag, 1998. ISBN 0-13-978-354-09752-05.

225. Spence, A., Werner, B. Non-Simple Turning Points and Cusps // IMA J. Num. Anal. 1982. Vol.2. Pp. 413-427.

226. Spence, A., Jepson A.D. The Numerical Calculation of Cusps, Bifurcation Points and Isola Formation Points in Two Parameter Problems // Numerical. Methods for Bifurcation Problems. ISNM 70. 1984. Pp. 502-514.

227. Stein, E. ed. Nichtlineare Berechnungen im Konstruktiven Ingenieurbau. Schlußkolloquium des gleichnamigen DFG-Schwerpunktprogramms. 1989. ISBN 3-540-50850-3.

228. Steinrück H., Troger H., Weiss R. Mode Jumping of Imperfect Buckled rectangular plates // Proceedings, Conference on Numerical Methods for Bifurcation Problems. Dortmund, 1983. Birkhäuser Verlag.

229. Thompson, J.M.T. A General Theory for the Equilibrium and Stability of Discreet Conservative Systems // Zeitschrift für angewandte Matematik und Physik 1969. Vol. 20. Pp. 797—846.

230. Thompson, J.M.T, Huhnt, G. W. A General Theory of Elastic Stability. John Wiley & Sons Ltd. London, 1973.

231. Thurston, G. A. Continuation of Newthon's Method Through Bifurcation Points // J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36. Trans. ASME 91. Pp. 425—430.

232. Topping, B., Papadrakakis, M. eds. Advances in Nonlinear Finite Element Methods // Saxe-Coburg Publ., Edinburgh, 1994. ISBN 0-948-749-26-1.

233. Trefftz E. Über die Ableitung des Stabilitätskriterien des Elastischen Gleichgewichts. Verhand. III Intern. Kongr. Techn. 1930. Bd.3.

234. Troger H. Application of Bifurcation Theory to the Solution of Nonlinear Stability Problems in Mechanical Engineering // Proceedings, Conference on Numerical Methods for Bifurcation Problems. Dortmund, 1983.

235. Turner M.R., Clough R., Martin H., Topp L. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // J.Aero.Sci. 1956. Vol.23(9). Pp. 805-823.

236. Turner, M.J., Dill, E.H., Martin, H.C. & Melosh, R.J. Large deflection of structures subject to heating and external load // J. of Aero. Sei. 1960. Vol.27, n2. Pp. 97.

237. Wagner W., Wriggers P. A simple method for the calculation of post-critical branches // Engineering Computations. 1988. Vol. 5. Pp. 103-110.

238. Wagner W., Wriggers P. Calculation of Bifurcation Points via Fold Curves // Wriggers, P., Wagner, W., eds. Nonlinear Computational Mechanics. Springer Verlag, 1991. ISBN 3-540-54254-X.

239. Wagner W. A path-following algorithm with quadratic predictor // Comp. & Struc. 1991. V39, N3/4. Pp. 339-348.

240. Wagner, W Zur Behandlung von Stabilitatsproblemen der Elastostatik mit der Methode der Finiten Elemente. // Foschungs- und Seminarberichte aus dem Bereich der Mechanik der Universität Hannover. 1991. F91/1.

241. Weinitschke, H. J. On the Calculation of Limit and Bifurcation Points in stability Problems of Elastic Shells //Int. J. Solids Struct. 1985. V.21. Pp.79-95.

242. Wempner, G.A. Discrete approximations related to nonlinear theories of solids // Int. J. Solids & Structs. 1971.V. 7, Pp.1581-1599.

243. Werner, B., Spenee, A. The Computation of Symmetry-Breaking Bifurcation Points // SIAM J. Num. Anal. 21. 1984, 388-399.

244. Wessels, M. Das statische und dynamische Durchschlagproblem der imperfekten flachen Kugel schale bei elastischer rotationssymmetriseher Verformung // Bericht Nr. 23, Inst. f. Statik, Universität Hannover 1977.

245. Williams, F. W. An Approach to the Nonlinear Behaviour of a Rigid -Jointed Plane Framework with Finite Deflection // Quart. J. Mech. Appl. Maths. 1964. V.17(4),Pp 451-469.

246. Wood, R.D., Zienkiewicz, O. C. Geometrically Nonlinear Finite Element Analysis of Beams, Frames, Arches and Axisymmetric Shells // Computers & Structures. 1977. Vol.7. Pp 725-735.

247. Wriggers, P., Wagner, W., Miehe, C. A quadratically convergent procedure for the calculation of stability points in finite element analysis // Comp. Meth. in Appl. Mech. & Engng. 1988. V.70, Pp. 329-347.

248. Wriggers, P., Simo, J.C. A general procedure for the direct computation of turning and bifurcation points // Int. J. for Num. Meth. in Engng. 1990. V.30. Pp. 155-176.

249. Wriggers, P., Wagner, W., eds Nonlinear Computational Mechanics. Springer Verlag, 1991. ISBN 3-540-54254-X

250. Wriggers, P. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer Verlag, 2001. ISBN 3-540-67747-X.

251. Wunderlich, IV., Beverungen, G. Geometrisch Nichtlineare Theorie und Berechnung eben gekrümmter Stäbe // Bauingenieur 52. 1977. Pp.225-237.

252. Wunderlich, W., Stein, E., Bathe, K.J. eds. Nonlinear Finite Element Analysis in Structural Mechanics // Proc. Europe U.S. Workshop, RuhrUniversität Bochum, 1980. ISBN 3-540-10582-4.

253. Zhong,Z.H. Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. Oxford University Press, 1993. ISBN 0-19-856383-3.

254. Zienkievicz, O.C., Valliapan, S. &King, LP. Elasto-plastic solutions of engineering problems. Initial stress, finite element approach // Int. J. for Num. Meth. in Engng. 1969. V. l,Pp.75-100.

255. Zienkievicz, O.C. The finite element in engineering science. McGraw-Hill, London, 1971.

256. Zoelly R. Über ein Knickungsproblem an der Kugelschale, Dissertation, Techn. Hohschule Zürich. 1915.