Решение задач нелинейной механики гибких систем методом наилучшей параметризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Данилин, Александр Николаевич

• Данилин, Александр Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Данилин, Александр Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

1.1. Основные соотношения.

1.2. Уравнения нелинейной теории деформирования.

1.3. Уравнения продолжения.

2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИф ЗАЦИИ.

2.1. Параметризованные уравнения метода конечных элементов

2.2. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях.

2.3. Вычисление вектора обобщенных сил и касательной матрицы жесткости.

3. НЕЯВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ГИБКИХ СИСТЕМ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Параметризация уравнений.

3.3. Численная схема решения задачи Коши.

3.4. Итерационный процесс.

3.5. Сравнительные вычисления.

3.6. Оценка локальной погрешности метода и выбор шага интегри

4 рования.

4. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ О

НЕЛИНЕЙНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ УПРУГИХ ТЕЛ С ИС

ПОЛЬЗОВАНИЕМ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.

4.1. Пространственное деформирование гибкого стержня. 4.2. Численные примеры решения задач о нелинейном деформировании гибких стержневых конструкций.

4.3. Изгиб стержня из нелинейно-упругого материала.

4.4. Моделирование нестационарной динамики.

4.5. Конечно-элементная формулировка плоской задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке.

4.6. Геометрически нелинейное деформирование твердых тел из нелинейно-упругого материала.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ АБСОЛЮТНО

• ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ.

5.1. Динамика космического аппарата с выпускаемым растяжимым тросом.

5.2. Расчет статических состояний воздушных линий электропередачи

6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ ПРЯМОМ ПРЕВРАЩЕНИИ

6.1. Определяющие соотношения.

6.2. Уравнения состояния и их параметризация.

6.3. Примеры моделирования нелинейного изгиба стержней из сплавов с памятью формы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач нелинейной механики гибких систем методом наилучшей параметризации»

Из всего многообразия нелинейных задач линейность (пропорциональность) выделяет лишь некоторую «пограничную область», в которой задачи могут быть решены с использованием теории линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Желание распространить хорошо освоенные процедуры линейного анализа на решение нелинейных задач привели к идее их линеаризации, которая помогла заметно расширить область решаемых проблем. Появление быстродействующих вычислительных машин стимулировало развитие численных методов моделирования нелинейных процессов, сводя задачу к большим и, как правило, разреженным системам линейных уравнений, для которых разработаны разнообразные методы решения [117, 130]. Однако остается фактом, что математическая формализация и решение нелинейной задачи, в общем случае, уникальны и требуют специальных исследований.

Механика, по-видимому, является одним из основных «поставщиков» нелинейных задач, предлагаемых для решения научной общественности.

Существенный вклад в развитие механики сложных деформируемых систем и методов решения соответствующих нелинейных задач внесли: Н.А. Абросимов [1-3], В.Г. Баженов [2, 3, 6-10], Н.В. Баничук [И], В.В. Белецкий [13, 14], В.В. Васильев [18, 19, 116], А.С. Вольмир [20], А.Г. Горшков [27, 28], Э.И. Григолюк [29-31], В.И. Гуляев [33], Л.В. Докучаев [73], Е.М. Левин [14], А.И. Лурье [93-95], В.Н. Паймушин [118, 119], В.А. Светлицкий [126128], В.И. Ускжин [133], Ф.Л. Черноусько [139], К.Ф. Черных [140], В.И. Шалашилин [22, 29, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 62, 69-71, 77, 85-89, 118, 119, 141146, 161, 163, 165], Ф.Н. Шклярчук [28, 32, 39, 42, 116, 147-150, 162], Л.И. Шкутин [151, 152], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], K.-J. Bathe [155, 156], von Flotov A.H. [195], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190, 191-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], E.L. Wilson [155] и др.

Авиация, космонавтика, робототехника и сопутствующее высокотехнологичное производство, определяют свой круг проблем, связанных с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых конструкций [см., например, 7-11, 13, 14, 20-22, 28, 32, 37-51, 115, 138, 139, 148, 188, 189].

При составлении нелинейных уравнений движения имеет место неоднозначность различных подходов и неправомочность некоторых гипотез при переходе от линейных моделей к нелинейным. Поэтому предъявляются очень высокие требования к достоверности и эффективности решения поставленных задач, поскольку адекватность и точность моделирования определяют жизнеспособность и безопасность научно-технических проектов.

Аналитические методы динамики создавались применительно к системам с малым числом степеней свободы. Были разработаны методы составления уравнений Лагранжа и канонических уравнений Гамильтона [93]. Создание новых образцов техники, в дальнейшем, стимулировало развитие методов расчета траекторий и угловых положений движущихся аппаратов, которые при моделировании заменялись некоторыми эквивалентными твердыми телами. При этом описание их движения с помощью уравнений Лагранжа или Гамильтона оказалось трудоемким и громоздким делом. Поэтому, в целях упрощения вывода уравнений вместо обобщенных координат было предложено использовать квазискорости, представляющие собой линейные формы обобщенных скоростей [93]. Содержание рассматриваемой частной задачи подсказывает, какие линейные формы скоростей можно считать квазискоростями. Примером могут служить проекции вектора угловой скорости тела на связанные с телом подвижные координатные оси или проекции на эти же оси вектора скорости полюса твердого тела. В этом случае оказывается возможным «спрятать» в обозначениях громоздкие величины, которые при обычных преобразованиях разрастаются, делая вычисления крайне трудоемкими с большой вероятностью простых ошибок. Однако в общем случае квазискорости неинтегрируемы, т.е. не существует функций (обобщенных координат), дифференциалы которых являются квазидифференциалами, введенными в частной задаче. Квазикоординаты является условным понятием, удобным при выводе уравнений движения. С использованием квазискоростей были получены уравнения Эйлера-Лагранжа, Аппеля-Гиббса и другие варианты уравнений в квазискоростях. В известной книге А.И. Лурье [93] дается систематическое и полное изложение теории динамических систем с конечным числом степеней свободы. В работах Л.В. Докучаева (см., например, [73]) дается краткий обзор по этой теме, и подробно освещаются вопросы моделирования нелинейной динамики летательных аппаратов с упругими элементами и баками, частично заполненными жидкостью. Эти работы отличаются также изложением и анализом теории конечных поворотов, которая применяется при моделировании нелинейной динамики летательных аппаратов.

С развитием техники конструкции летательных аппаратов становятся более легкими, менее жесткими, а их габаритные размеры увеличиваются. Упругие колебания таких конструкций обладают низкочастотным спектром и поэтому существенно влияют на динамику. В последнее время являются актуальными вопросы динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами на участках быстрого вращения, при пассивной закрутке, одноосной ориентации, на участках разворотов при переориентации, т.е. в таких режимах, когда угловые скорости и углы поворотов конструкции являются конечными величинами.

Современный этап развития космической техники связан также с созданием крупногабаритных конструкций [см., например, 11, 13, 14, 32, 138, 169, 185, 188, 194, 195, 214]. Большие космические системы (несущие конструкции космических станций, платформы, радиотелескопы, крупногабаритные антенны и пр.) собираются или развертываются в космосе. Они функционируют в условиях, близких к невесомости и вакуума, подвергаются малым нагрузкам и поэтому могут быть очень гибкими. Колебания больших упругих космических конструкций могут возникать под действием возмущающих и управляющих сил в процессе их развертывания, выполнения технологических операций сборки, стыковки, маневрирования и ориентации. При этом действующие нагрузки, а также гравитация и ускорение, особенно во вращательном движении, могут оказывать существенное влияние на упругодина-мические характеристики таких конструкций и, в результате, на их динамику. Это влияние в общем случае неустановившегося движения может быть учтено корректно только на основе геометрически нелинейной теории деформирования тела, даже если упругие деформации малы. В большинстве опубликованных работ, однако, перемещения определяются только для достаточно жестких конструкций [11, 33, 114, 138, 139, 209-211, 214]. Однако необходимо отметить фундаментальные работы J1.B. Докучаева [73], В.А. Светлицкого [126-128], В.И. Усюкина [133], Ф.Н. Шклярчука [32, 39, 42, 116, 147-150, 162], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], М. Iura [176, 177], К. Kondoh [180, 181], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], где предлагаются различные варианты описания нелинейного движения конструкций с сильно деформируемыми элементами, даются уравнения движения и алгоритмы построения численных решений. Работы Р.Г. Леви [125], М.Б. Метыо [125], А. Розена [125], Дж. Ч. Чена [138], J.D. Downer [172], Ulsoy A. Galip [215], А.Н. von Flotov [195], R.L. Huston [216], Y.K. Lin [214], C.Q. Liu [216], G.S. Nurre [194], C.E. Padilla [195], K.C. Park [172], R.S. Ryan [194], H.N. Scofield [194], R.A. Scott [215], J.I. Sims [194], B.K. Wada [209-211], A. Yigit [215], Y. Yong [214], D.J. Zhang [216] и др. освещают решение частных задач о деформировании движущихся гибких конструкций и являются хорошим дополнением к отмеченным выше работам.

Большую группу конструкций образуют трансформируемые упругие системы произвольной начальной конфигурации [см., например, 13, 14, 32,

33, 43, 46, 67-69, 162, 169, 172, 188-193, 196, 197, 203-207]. К этому классу конструкций относятся, прежде всего, разнообразные ферменные конструкции изменяемой геометрии, составные фрагменты которых представляют собой стержневые системы регулярной структуры. Примерами таких систем являются также многие виды развертываемых или собираемых на орбите крупногабаритных космических конструкций, таких как: орбитальные краны, антенны, манипуляторы антропоморфного типа, ферменные конструкции больших развертываемых телескопов или интерферометров, а также космические тросовые системы [14].

Чувствительность гибких систем по отношению к внешним и внутренним возмущениям ставит целый ряд трудных проблем перед конструкторами и разработчиками систем управления. Трудности усугубляются возможностью изменения конфигурации, а также высокими требованиями к точности управления движением системы в целом и отдельными ее элементами или к точности сохранения формы (например, для телескопов или интерферометров). Деформирование может носить существенно нелинейный характер, сопровождаться конечными перемещениями и углами поворотов, и конечными деформациями. Это ведет к проблеме создания сложных математических моделей, опирающихся на геометрически нелинейные соотношения [37-46, 48, 49, 73, 125, 138, 148-152, 167, 168, 172, 174-177, 186-195, 202, 208, 215, 216]. При этом требования к точности и достоверности таких моделей в большой степени обусловлены тем, что они, как правило, не могут быть проверены экспериментально из-за практической невозможности моделирования космических условий эксплуатации даже для конструктивных фрагментов. Задачи управления гибкими системами также ведут к разработке уточненных методов расчета. Поиски технического решения этой задачи привели в настоящее время к идеям адаптивности конструкций на основе использования «умных» материалов [209-211].

Практически важный класс нелинейных задач механики связан с моделированием статических состояний и колебаний воздушных линий электропередачи, а также оптоволоконной связи [16, 25, 83]. Проектирование или реконструкция линий связаны с анализом нелинейных прогибов проводов при большом числе ограничений, регламентируемых отраслевыми стандартами [123]. Исследование аварийных и особых режимов работы таких конструкций требует, например, решения задач об обрывах проводов на линии, анализа состояний при сильных оледенениях, расчета субколебапий проводов при их обтекании ветровым потоком и, наконец, моделирования явления галопирования - сильного хаотичного движения, которое, как правило, приводит к разрушению участков линий большой протяженности.

В добавление к вышеуказанным проблемам можно отнести физически нелинейные задачи, в которых исследуется процесс деформирования конструкций при работе материала за пределами закона Гука [77, 145], или при фазовых превращениях сплавов с памятью формы [15, 61, 63, 64, 92, 97-107]. Часто появляется необходимость одновременного учета физической и геометрической нелинейности, например, при решении задач определения предельной несущей способности конструкций и технологических задач.

Указанные выше проблемы, также как и многие другие в области механики деформируемого твердого тела, можно характеризовать некоторым рядом общих признаков. Во-первых, они формулируются в виде связанной системы нелинейных уравнений статического состояния, либо в виде нелинейных уравнений движения при заданных граничных и начальных условиях, а также дополнительных уравнений связи, например, кинематических. Во-вторых, такие задачи являются, как правило, однопараметрическими, т.е. их решение зависит от одного параметра или аргумента. Таким параметром может быть, например, естественный параметр времени. Параметром задачи может быть также параметр нагрузки, определяющий текущие величины нагрузок от нуля до их амплитудных значений, температурный параметр или некоторый геометрический или конструктивный параметр. Физическая природа нелинейных задач позволяет рассматривать их решения как непрерывно зависящими от этого параметра. В-третьих, для таких задач, как правило, существенен вопрос об изменении решения по мере изменения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них является естественным и в определенной степени универсальным методом исследования, который позволяет линеаризовать исходную нелинейную задачу, т.е. свести ее решение к упорядоченной серии решений линейных задач.

Реализация продолжения решения нелинейных уравнений по параметру устанавливается теоремой о неявных функциях [134]. Ограничения, накладываемые этой теоремой, в большинстве нелинейных задач механики деформируемого твердого тела выполнимы.

Численная реализация продолжения решения, как правило, осуществляется в виде некоторого шагового процесса по параметру задачи. Действительно, рассмотрим систему из п нелинейных уравнений относительно вектора JC = (x,,A:2,.,xn), содержащую параметр р:

F(x,p) = 0. (1)

Нас будет интересовать поведение решений системы (1) при изменении параметра р. Принимая известным некоторое начальное решение jc(0), р0 уравнения (1), рассмотрим окрестность А точки |*(0),р0)бКл+1 :{•*,/?} в ви~ де прямоугольного параллелепипеда в Mn+1 с центром в точке (*(0),р0).

Из теоремы о неявных функциях следует [29, 146], что если:

1) вектор-функция F определена и непрерывна в А;

2) в А существуют и непрерывны частные производные от F по всем аргументам х(, i-\,.,n и параметру р;

3) в точке (дс(0),р0) отличен от нуля якобиан det(J) = det (dF/dx), то в некоторой окрестности точки (*(0),/?0) решения системы (1) являются однозначными непрерывными функциями xt=x({p) такими, что хХРо) = хцо)> и производные dxjdp также непрерывны в этой окрестности.

При выполнении этих условий решение системы нелинейных уравнений в некоторой окрестности точки (дс(0),/?0), являющейся решением этой системы, образует единственную кривую К, проходящую через точку (дс(0),/?0). Чтобы получить теперь решение д:(1) системы (1) при близком к р0 значении рх мы можем продвинуться вдоль К. Иными словами, мы можем из точки (*(0)'А)) однозначно продолжить решение в пределах некоторой окрестности. Если условия теоремы выполняются в точке то решение снова можно продолжить, и т.д. Этот процесс, схематично показанный на рис. 1 для случая трехмерного пространства 1R3 :{х{,х2,хг,р), как раз и реализует метод продолжения решения по параметру.

Рис. 1. Схема продолжения решения вдоль интегральной кривой К

Идея продолжения решения известна давно. Важно отметить, что именно она лежит в основе известного метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.).

Эта идея использовалась также для доказательства существования решений нелинейных уравнений [173]. Схема такого доказательства следующая: в исходное нелинейное уравнение вводится параметр так, чтобы при его начальном значении решение уравнения было известным, а при некотором другом его значении уравнение обращалось в исходное. В этом случае, вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерывной кривой К. В теории пластин конечного прогиба такой способ доказательства успешно применил Н.Ф. Морозов [108-111]. Он ввел параметр р в виде множителя при нелинейных частях операторов уравнений Феппля-Кармапа и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при р = 0 и р = 1.

Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях принадлежит, по-видимому, М. Лаэю [183] (1934). Он ввел в трансцендентное уравнение Н(х) = 0 параметр р так, чтобы при р = р0= 0 можно было легко получить решение х(0) =х(р0), а при р = рп= 1 уравнение обратилось бы в исходное. Продвигаясь по последовательности р0< рх< . < рп, Лаэй предложил строить решения для каждого pt методом Ньютона-Рафсона, используя решение для предыдущего значения р1Л в качестве начального приближения, которое должно быть достаточно близким к искомому решению. Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить центральную для метода Ньютона-Рафсона проблему выбора начального приближения. Основное в работах М. Лаэя то, что он дал пример построения шагового процесса, где используется информация о решении из предыдущего шага. С этой точки зрения несущественно становится использование для итерационного уточнения решения метода Ныотона-Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов. Позднее в работе [184] М. Лаэй распространил свой подход на системы уравнений.

Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения называются дискретным продолжением решения [146].

Другую формулировку метода продолжения по параметру дал Д.В. Да-виденко [34, 35] (1953). Он, по-видимому, был первым, кто рассматривал процесс продолжения решения как процесс движения и применил к нему математический аппарат дифференциальных уравнений.

Д.В. Давиденко рассмотрел систему из п нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений относительно вектора jc = (x,,x2,.,xn)r, содержащую параметр р. В и-мерном евклидовом пространстве К" эту систему можно представить в форме F(x,p) = 0, где F = (F{,F2,.,Fn)T вектор-функция в пространстве К". Дифференцируя уравнения по р, он сформулировал задачу отыскания множества решений системы, как задачу Коши:

Tdx dF ■ dF dp op ox

Система уравнений этой начальной задачи называется уравнениями продолжения в неявной форме [146].

Такой подход открывает возможности использования для построения решений х{р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования. Простейшая из этих схем - схема Эйлера. К этому алгоритму сводится известный метод последовательных нагружений, предложенный В.З. Власовым и В.В. Петровым [120] (1959). Можно построить алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности (Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др.). Такие работы выполнены многими авторами и отражены в публикациях [см., например, 35, 36, 158, 178, 179].

Продолжение решения па основе интегрирования задачи Коши с помощью явных схем называется непрерывным продолжением решения [146].

В указанных работах Д.Ф. Давиденко и, далее, И.И. Воровича и В.Ф. Зи-паловой [23] (1965) показано, что с точки зрения продолжения решения нет принципиальной разницы между неизвестными xi (/ = l,.,w) и параметром задачи р. Действительно, рассмотрим одно уравнение с двумя неизвестными F(xvx2) = 0. Множество решений этого уравнения образует кривую К, показанную на рис. 2.

Рис. 2. Наилучший параметр продолжения - параметр длины интегральной кривой решения

Процесс продолжения решения рассматривается как процесс интегрирования задачи Коши по параметру задачи. Этот процесс оперирует приращениями на каждом шаге. Поэтому, если в качестве параметра продолжения выбран х,, то вычислительная ситуация будет наилучшей в окрестности точки А. При приближении к точке В вычислительная ситуация ухудшается, т.к. вблизи нее Дх2 » Ах,, т.е. малому приращению аргумента Ах, соответствуют немалые приращения функции Дх2, что является признаком неустойчивости. Если же в качестве параметра выбрать х2, то наоборот, наилучшая вычислительная ситуация окажется вблизи точки В, а вблизи точки А появится неустойчивость.

Наилучшая ситуация в окрестности точек А и В реализуется, когда ось отсчета параметра параллельна касательной к кривой К в этих точках. Этого можно достичь, выбрав в качестве параметра продолжения длину дуги Я, отсчитываемую вдоль кривой К.

Как известно, точки на кривой К, где касательная становится нормальной к оси параметра р, называются предельными. Переход от уравнений продолжения по параметру р к уравнениям продолжения по параметру хк в окрестности предельной точки лежит в основе известного приема смены параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать смены параметра [31].

В работах 1972-1979 и 1984 г.г. Е. Рикс [198-201] поставил вопрос о выборе такого параметра продолжения, который бы обеспечил наибольшую обусловленность решения соответствующей ему системы линейных уравнений. Эта система была дополнена уравнением (а,х) = 1, где компоненты вектора а определялись из условия максимума меры обусловленности расширенной линейной системы. В качестве этой меры была принята величина определителя, отнесенная к произведению квадратичных норм его строк. В результате было показано, что наибольшую обусловленность обеспечивает движение в направлении по касательной к кривой К и тем самым Рикс обосновал предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой. Но практическая реализация выбора оптимального параметра продолжения у Е. Рикса оказалась связанной с громоздкими вычислениями, что отмечает и сам автор.

Дальнейший вклад в развитие идей параметризации внесли работы В.И. Шалашилина [29, 85-89, 141-146]. В его работах рассмотрено и всесторонне обосновано применение метода продолжения по наилучшему параметру для решения различных классов задач, решениями которых являются однопара-метрические множества, т.е. кривые. Главным результатом исследований является доказательство факта, что наилучшим параметром продолжения решения является параметр длины интегральной кривой множества решений. Определение «наилучший» понимается в том смысле, что использование длины интегральной кривой множества решений в качестве нового аргумента задачи доставляет наилучшую обусловленность процессу построения решения.

В 1988 г. в России вышла книга Э.И. Григолюка и В.И. Шалашилина «Проблемы нелинейного деформирования» [29], посвященная методу продолжения по наилучшему параметру и применению алгоритмов наилучшей параметризации для решения задач механики деформируемого твердого тела. В 1991 г. она была переведена на английский язык и выпущена издательством Kluwer1. Окончательное оформление этот метод нашел в работах 1993-1997, в которых было доказано, что переход к наилучшему аргументу осуществляется с помощью универсального аналитического преобразования, названного Я-преобразованием, имеющего простую геометрическую интерпретацию. В работах этого периода было также показано, что метод продолжения по наилучшему параметру имеет гораздо более широкую область применения, чем обычный метод продолжения. Его использование значительно расширяет класс задач, для которых становится возможным получить численные решения. Этот метод одинаково пригоден для решения любых однопараметрических задач, когда решение достаточно гладко зависит от переменных и параметра, так как позволяет добиться наилучшей обусловленности системы линеаризованных уравнений. Алгоритмы метода наилучшей параметризации нечувствительны к наличию предельных точек на кривой деформирования и дают возможность без затруднений проходить особые точки решения.

В 1999 г. в России вышла вторая книга В.И. Шалашилина в соавторстве с Е.Б. Кузнецовым «Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике» [146]. В книге рассмотрено и обосновано применение наилучшей параметризации для решения различных классов задач, решениями которых являются однопараметриче-ские множества.

1 Grigolyuk ЕЛ., Shalashilin V.I. Problems of nonlinear deformation. Dordrecht et al.: Kluwer, 1991.262 p.

Проблема нелинейного статического и динамического деформирования может быть эффективно решена, если она будет поставлена в форме, адекватной методу её решения. Это предложение положено в основу настоящей работы с целью получения разрешающих уравнений продолжения, соответствующих известным уравнениям механики деформируемого тела и моделирующих процессы сильного нелинейного деформирования [56]. В итоге, поставленная задача сводится к задаче Коши по параметру продолжения в неявной форме.

Полученные уравнения продолжения содержат частные производные по пространственным координатам. Поэтому для дальнейшего построения численного решения необходимо использовать какой-либо из методов координатной дискретизации. Наиболее универсальным и мощным методом дискретизации является метод конечных элементов [26, 76, 115, 116, 155, 156]. Благодаря своей физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в областях сложной формы этот метод получил широкое распространение, особенно в задачах механики деформируемого твердого тела. В связи с этим в диссертации дается методология построение общей системы параметризованных уравнений нелинейного деформирования в рамках метода конечных элементов.

В настоящее время остается актуальной проблема эффективности численных схем интегрирования начальных задач нелинейной динамики деформируемых систем, оптимальных по быстродействию и расходованию машинных ресурсов. Причина этого заключается в постоянном усложнении задач, решаемых численными методами [6-10], и стремлении оптимизировать динамические процессы.

При решении динамических задач исследователь должен сделать выбор между явными и неявными схемами. Известно, что у явных схем временной шаг определяется устойчивостью алгоритма, а у абсолютно устойчивых неявных - точностью вычислений. Традиционно основным аргументом в пользу выбора явных схем является трудоемкость при реализации неявных алгоритмов. Однако при использовании классических явных алгоритмов шаг интегрирования может оказаться катастрофически малым, поскольку он определяется высокочастотными колебаниями, существенно не влияющими на процесс деформирования конструкций. Для преодоления этой ситуации в литературе предлагаются разнообразные регуляризирующие или стабилизирующие операторы, позволяющие искусственно подавить высокочастотные колебания без искажения «основной» картины деформирования. Здесь необходимо отметить основополагающие работы В.Г. Баженова [6-10] и В.И. Лебедева [91], в которых развиваются и обосновываются методы повышения эффективности явных схем численного решения начальных задач математической физики, включая нелинейные задачи динамики деформируемых конструкций.

В связи с этим, важной частью диссертационной работы является разработка нового общего подхода к построению неявных алгоритмов пошагового интегрирования начальных задач механики деформируемого твердого тела. Подход основан на аналитическом преобразовании исходной задачи к наилучшему аргументу - параметру длины интегральной кривой в евклидовом пространстве решения. Это преобразование позволяет сформулировать разнообразные неявные алгоритмы с использованием простых итераций Пика-ра, реализация которых, как известно, является простейшей и не требует привлечения каких-либо дополнительных трудоемких численных процедур.

Известно, что при решении нелинейных задач механики деформируемого твердого тела неявные алгоритмы строятся, как правило, на основе итерационной схемы Ньютона или ее модификации в виде алгоритма Ныотона-Рафсона. Простые итерации не используются, поскольку они либо не сходятся, либо сходятся крайне медленно при допустимых значениях шага интегрирования.

Итерации Ньютона обладают свойством квадратичной сходимости, которое придает методу особенную ценность. Однако имеются три обстоятельства, которые препятствуют его успешному применению.

Проблема заключается в нахождении приближенного решения системы уравнений xp.,xn) = 0, / = 1, где /,.,/„ - заданные нелинейные функции п переменных дс,,

При реализации метода Ныотона (Ньютона-Рафсона) необходимо, во-первых, на каждом шаге (или через несколько шагов) вычислять матрицу Якоби, что требует вычисления п2 частных производных dfJdXj, (J = 1,.,«). Если это число велико или если функции ft достаточно сложны, то получение аналитических выражений для производных и последующее программирование формул может оказаться исключительно трудоемкой работой, чреватой ошибками. Как правило, получение аналитических формул для частных производных не представляется возможным, поэтому частные производные аппроксимируются конечными разностями. Однако на практике это оказывается дорогостоящей процедурой с точки зрения машинных ресурсов (времени, оперативной и дисковой памяти компьютера).

Второй недостаток связан с необходимостью решения на каждой итерации (или через некоторое небольшое число итераций) системы линейных уравнений, что также может потребовать значительных машинных ресурсов.

Третьей и наиболее серьезной трудностью, возникающей при использовании метода Ныотона, является то, что при заданном начальном приближении итерации могут расходиться, поскольку локальная теорема сходимости гарантирует сходимость только в том случае, если начальная точка окажется достаточно близкой к искомой точке. В этом случае необходимо определить наиболее близкую к искомой начальную точку исходя, например, из физических или каких-либо еще соображений. Однако это не всегда приводит к успеху.

Наилучшая параметризация исходной задачи позволяет либо полностью устранить, либо значительно смягчить указанные выше проблемы. Этому посвящена большая часть диссертационной работы, где предлагается методология построения неявных алгоритмов с использованием простых итераций, и дается обоснование разработанных итерационных алгоритмов. Является принципиально важным, что при использовании простых итераций не нужно вычислять матрицу Якоби и решать систему линейных уравнений, как в методе Ныотона.

В работе формулируются и доказываются теоремы о сходимости простых итераций (сжимаемости отображения, формируемого итерационной функцией), даются явные оценки шага интегрирования вдоль интегральной кривой решения, при которых обеспечивается сходимость простых итераций. Как показывают расчеты, связанные с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых систем, основное ограничение на шаг интегрирования параметризованных уравнений накладывает не сходимость простых итераций, а вычислительная точность, которая определяется локальной ошибкой интегрирования. Построенные алгоритмы обладают высокой эффективностью: они просты в реализации, обладают большим быстродействием и не требуют в работе значительных машинных ресурсов. Использование таких алгоритмов дает возможность, рационально сочетать неявные схемы с явными, ограничиваясь одним итерационным циклом.

Таким образом, предлагаемый в диссертации подход носит комплексный характер, нацеленный на разработку не только общей методологии параметризации уравнений теории нелинейного деформирования, но и на получение конечного результата в виде алгоритмов и программ, адекватных процессу деформирования и эффективных с вычислительной точки зрения.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 97-01-00091, 99-01-01187, 00-01-00072, 03-01-00071); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования

России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных паук. Университеты России» (учетный номер проекта 015.04.01.19), международного гранта INTAS (код проекта 3736).

По теме диссертации автором опубликовано более 70 работ. В диссертации даются ссылки только на основные работы, имеющие прямое отношение к предмету диссертации.

В работах [37-49, 67, 68] рассмотрены математические нелинейные модели и задачи динамики гибких систем с учетом конечных перемещений и поворотов упругих тел. Здесь же рассмотрены задачи нестационарной динамики трансформируемых конструкций, начальная конфигурация которых может испытывать сильные изменения. Большой акцент в указанных работах делается на методы получения численных решений, адекватности их реальному динамическому процессу и анализе используемых счетных алгоритмов. Работы [32, 162] посвящены изучению динамики развертывания тросовых систем.

Применению параметризации к решению частных нелинейных статических и динамических задач с выбором параметра длины интегральной кривой множества решений в качестве наилучшего аргумента посвящены работы [51, 53, 54, 59, 60, 79]. В них даются также количественные оценки эффективности преобразования исходной задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений к наилучшему аргументу.

Работа [56] носит основополагающий характер. В ней формулируется проблема нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по наилучшему параметру и предлагается общая методология построения параметрических аналогов основных уравнений теории нелинейного деформирования.

Метод конечных элементов является в настоящее время основным методом дискретизации по пространственным координатам при моделировании процессов статического и динамического деформирования. Поэтому работы [50, 57, 58, 62] посвящены конечно-элементной формулировке задачи о нелинейном деформирования твердых тел с позиции метода продолжения решения по наилучшему аргументу. В обзорных статьях [52, 55, 78] дается анализ существующих программных средств для решения задач нелинейной механики деформируемых систем.

В работах [21, 22, 65, 69, 71, 161, 163-166] предлагаются и обосновываются новые неявные методы интегрирования нелинейных уравнений движения деформируемых систем, параметризованных с использованием длины интегральной кривой решения. Предложенные алгоритмы отличаются большой эффективностью по сравнению с алгоритмами интегрирования непара-метризованных уравнений.

Анализ корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений при решении существенно нелинейных задач механики деформирования твердого тела сделан в работах [66, 70]. В этих работах даны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений и показано, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность.

В работах [61, 63, 64, 105-107] предложен метод анализа механического поведения стержней из СПФ при прямом превращении под действием изгибающих нагрузок в несвязной постановке. Здесь дается алгоритм решения соответствующих задач механики, основанный на методе продолжения решения по параметру, в качестве которого выбирается объемная доля мартен-ситной фазы.

Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.

Содержание диссертации изложено в шести главах.

Первая глава носит общий характер и посвящена формулировке проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по параметру [56].

При исследовании процессов нелинейного деформирования основные соотношения и уравнения традиционно формулируются в неизвестных, соответствующих конечному результату процесса деформирования. Однако наиболее интересен не столько конечный результат, сколько процесс его достижения, то есть процесс деформирования, поскольку управление этим процессом открывает широкие возможности проектирования эффективных и экономичных технологических процессов. С другой стороны, одним из наиболее мощных методов численного решения задач сильного нелинейного деформирования является метод продолжения решения по параметру. Этот метод по своей идеологии предполагает получение конечного решения как результата вычислительного процесса, который фактически адекватен процессу деформирования или может быть сформулирован в такой форме. С этой точки зрения представляет интерес такая форма исходных соотношений, которая была бы наиболее адекватна методу их численной реализации -методу продолжения решения по параметру. Поэтому одним из основных новых результатов диссертационной работы является построение полной системы уравнений продолжения, соответствующих уравнениям механики деформирования твердых тел.

Ввиду того, что в рассматриваемой постановке проблемы перемещения не являются малыми, их использование для описания геометрии деформаций теряет первоначальный смысл. Поэтому, геометрические соотношения предлагается записывать через лагранжевы координаты деформированного тела с использованием различных мер деформаций.

Рассматриваются статические и динамические задачи, решение которых непрерывно зависит от некоторого параметра или аргумента. Разработан метод вывода уравнений продолжения, соответствующих основным группам уравнений нелинейной теории деформирования (деформационным и физическим соотношениям, уравнениям равновесия) с использованием в качестве неизвестных лаграпжевых координат точек тела. Уравнения продолжения получены в недеформированной конфигурации тела с использованием различных тензорных мер деформаций. Физические соотношения представлены в общей дифференциальной форме, соответствующей методу продолжения. Специальным дифференциальным соотношением вводится новый аргумент задачи - параметр длины интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство параметра задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лаграпжевых координат задачи. Основываясь на фундаментальных результатах, полученных в [85-89, 132, 142-146], утверждается, что такой переход к такому аргументу доставляет системе разрешающих уравнений наилучшую обусловленность процесса решения. Обсуждаются методы дискретизации по пространственным координатам и даются аналоги уравнений продолжения в конечномерных случаях для задач сильного статического и динамического деформирования.

Вторая глава диссертации посвящена конечно-элементной формулировке задачи о деформирования твердых тел на основе принципа минимума полной энергии системы и процедуры продолжения решения по параметру. Предлагается в качестве нового параметра продолжения решения (аргумента задачи) использовать параметр длины интегральной кривой в евклидовом пространстве, образованном начальным (естественным) параметром задачи и ее основными неизвестными. Утверждается, что такой метод адаптации исходных уравнений к форме, адекватной последующему методу их решения, доставляет наилучшую обусловленность процедуре построения их численного решения.

Конечно-элементное моделирование нелинейных задач связано с построением сетки конечных элементов, которые могут подвергаться большим перемещениям и произвольно большим поворотам. Эта задача еще далека от полного решения, поскольку имеет место неадекватность представления деформационными соотношениями больших перемещений элементов как жесткого целого. В связи с этим, во второй главе дается сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений, используемых при построении конечно-элементных моделей. Показывается, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность. Сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений.

Во второй главе дается также простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела. Этот способ носит «конструктивный» характер и основан на использовании локальных координатных систем, которые связываются с элементами конечно-элементной сетки. В этом случае описание локальных перемещений точек элемента, характеризующих деформацию элемента, можно делать с использованием простых деформационных соотношений. Однако пространственное движение локальной системы, определяющее перемещения и повороты элемента как жесткого тела, описывается строго. Поэтому, вопрос о корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений в рамках локальных систем теряет свою принципиальность.

В качестве обобщенных координат, описывающих произвольные повороты локальных координатных систем, предлагается использовать компоненты векторов конечных поворотов или однозначно связанных с ними параметры Родрига-Гамильтона [73, 93]. Это позволяет избежать вырождения кинематических соотношений, описывающих геометрию больших поворотов, а также дать компактное и симметричное описание поворотов без использования громоздких выражений, содержащих направляющие косинусы локальных координатных систем.

В третьей главе показано, что при численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка возможно построение простых и экономичных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования без организации трудоемких итерационных процедур, основанных на процессах по типу итераций Ньютона-Рафсона [21, 22, 65, 67-69, 71, 163-166]. Предварительно исходная задача должна быть преобразована к новому аргументу - длине ее интегральной кривой. Такое преобразование осуществляется с использованием уравнения, связывающего исходный параметр задачи с длиной интегральной кривой. На примере метода линейного ускорения, который является основой известных методов Ньюмарка и Вилсона [20, 47, 115, 155], показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций [131, 135] для численного решения преобразованной задачи Коши. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительных свойствах итерационного процесса. Даны явные оценки шага интегрирования, обеспечивающие сходимость простых итераций. Эффективность предложенной методологии продемонстрирована на численном решении трех тестовых задач. Для них дан сравнительный анализ численных решений, полученных с использованием и без использования параметризации исходных задач.

В третьей главе дается также способ управления величиной шага интегрирования для обеспечения заданной точности интегрирования, основываясь на оценке локальной погрешности вычислений. Этот прием может быть использован не только для одношаговых методов, но и для многошаговых, обладающих более высокими аппроксимативными свойствами.

В четвертой главе дается конечно-элементная формулировка частных задач с использованием процедуры наилучшей параметризации.

Первая часть главы посвящена описанию нелинейного деформирования стержневых систем в трехмерной и двумерной постановках. Основные деформационные соотношения для стержней получены из общих соотношений нелинейной теории упругости с использованием асимптотического подхода [112]. Полученные деформационные соотношения связывают между собой продольные и сдвиговые факторы, включая поперечные сдвиги и деформацию кручения. Функции формы выводятся из решения однородной краевой задачи в переменных локальных координатных систем. Это позволяет корректно включить в конструкцию функций форм аналитические особенности решения с учетом сдвига по двум направления в сечении стержня.

Для анализа достоверности модели, а также эффективности счетных алгоритмов дается ряд примеров о сильном статическом деформировании гибких стержневых систем.

Рассматриваются задачи нестационарной динамики гибких, в том числе трансформируемых, стержневых конструкций. Для них сопоставляются численные решения, полученные с использованием и без использования процедуры параметризации. В работе демонстрируется эффективность неявной схемы интегрирования для параметризованных уравнений по сравнению с интегрированием исходных (непараметризованных) уравнений.

Вторая часть четвертой главы носит методический характер и демонстрирует применение параметризации к решению плоской задачи теории упругости. Здесь же демонстрируется применение методологии параметризации к решению статических задач о деформирования твердых тел из идеального нелинейно-упругого материала. Перемещения точек тела считаются по величине в определенной степени произвольными, деформации - малыми, но с учетом нелинейности физических зависимостей (диаграмм) между напряжениями и соответствующими деформациями. В конце главы дается пример о геометрически нелинейном деформировании нелинейно-упругой полосы.

В пятой главе рассматривается применение наилучшей параметризации для решения задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней, к которым в прикладной механике относят, например, провода воздушных линий электропередачи, кабели оптоволоконной связи, шланги для перекачки жидкости, транспортировочные ленты. К таким системам относятся также космические тросовые системы, представляющие собой два и более аппаратов, связанных между собой тонкими тросами или лентами. Этот класс задач является важным в практическом отношении. Задачи, связанные с моделированием движения таких гибких систем, являются, в подавляющем большинстве, нелинейными.

Первая часть главы посвящена моделированию нелинейной динамики развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите [32, 162]. На основе метода конечных элементов разработана простая и эффективная в вычислительном плане модель космического аппарата с выпускаемым тросом. Представлены возможные варианты выпуска троса, обеспечивающие устойчивость движения. В результате численных экспериментов показано, что переход от параметра времени к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром времени и основными неизвестными задачи и их скоростями, позволяет значительно повысить эффективность построения численного решения (существенно уменьшить расчетное время и объем оперативной информации) по сравнению с решением задачи без параметризации уравнений. Счетное быстродействие дает возможность многократно повторять расчеты для поиска приемлемых решений в допустимых пределах по времени, что является важным при проведении оптимизационных расчетов.

Вторая часть пятой главы связана с построением алгоритма расчета статических состояний проводов и оптоволоконных кабелей связи воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах с учетом большого числа строгих ограничений на прочностные и геометрические параметры, регламентируемых правилами устройств электроустановок [123]. Новые быстродействующие алгоритмы разработаны в рамках теории тяжелой нити на осЕюве метода продолжения решения по обобщенному параметру нагрузки с последующим переходом к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром нагрузки и горизонтальными компонентами тяжения в каждом из пролетов анкерного участка воздушной линии электропередачи. Эта задача является важной и актуальной при проведении проектных расчетов моеетэжееых, особых и аварийных состояний проводов и кабелей воздушных линий электропередачи [16, 25, 83].

В заключительной шестой главе рассматриваются геометрически и физически нелинейные задачи о прямом мартеЕЕситном превращении в изгибаемых балках из сплавов с памятью формы в условиях, когда параметр доли мартеЕЕСИтной фазы не зависит от координаты по высоте сечения. Считается, что деформации малы, но разница между отсчетной и актуальной конфигурациями существенна. Показано, что из выполнения гипотезы плоских сечений для полных деформаций следует линейность распределения по поперечной координате продольных упругих и фазовых деформаций, а также про-дольееых напряжений. Предложен алгоритм решения соответствующих задач механики деформируемого твердого тела, основанный на методе продолжения решеЕЕия по параметру. С помощыо предлагаемого метода продемоЕЕСт-рирована возможность придания балкам из СПФ весьма сложной формы за счет явления прямого превращения при действии на балку специальЕЕО вы-браЕЕных ЕЕагрузок. Параметризация разрешаЕОщей системы уравнений (после дискретизации по методу конечных разностей) дает возможность сформулировать быстродействуЕОщие и устойчивые в вычислителыЕом плаЕЕе алгоритмы, позволяЕощие подобрать внешние нагрузки, необходимые для получения заданной конфигурации балки после процесса прямого превращения.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Следует отметить, что предложенные в диссертации модели и счетные алгоритмы реализованы в конечно-элементном комплексе ERGO [50, 57, 58, 62] - программной разработке автора диссертации совместно с д.ф.-м.н., проф. В.И. Шалашилиным, к.ф.-м.н., доц. А.Б. Костриченко, к.т.н. Н.Н. Зуевым. С помощью этой программы были проведены расчеты нелинейной статики и нестационарной динамики деформируемых конструкций, результаты которых представлены в диссертации. Для сравнения некоторые расчеты были проведены также с использованием конечно-элементных комплексов UAI-NASTRAN, MSC-NASTRAN и ABAQUS - общепризнанных программных «лидеров» среди существующих программных средств инженерного анализа [52, 55, 57, 78]. В этих программах реализована одна из простых дискретных схем продолжения решения по параметру - метод «длины дуги» (Arc Length Method) с использованием итераций Ныотона-Рафсона.

Не претендуя на общую эффективность и полноту инженерного анализа, которые предоставляются указанными программными «монстрами», были сделаны сравнения эффективности решения некоторого ряда задач с использованием ERGO и указанных коммерческих комплексов. В расчетах использовались модели, созданные с помощью конечно-элементного генератора FEMAP, известной разработке компании Structural Dynamics Research Corp.

В итоге: (1) процессорное время расчетов с использованием ERGO оказалось заметно меньше (в некоторых случаях существенно меньше: в 5-10 раз) процессорного времени расчетов с использованием коммерческих программ; (2) настройки решателей в ERGO не требовалось, однако это необходимо делать в указанных комплексах, пробами подбирая необходимые величины параметров. Например, в программном комплексе UAI/NASTRAN пользователь должен задать около 20 параметров, управляющих стратегией продолжения решения и итерациями на каждом шаге. По опыту известно, что в ряде случаев подбор параметров, обеспечивающих нахождение решения, является весьма непростой задачей, которую может выполнять только квалифицированный и опытный специалист.

На базе ERGO автором диссертации была разработана специализированная версия программы (ErgoLine), адаптированная для моделирования нелинейных статических состояния воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах, а также нелинейной нестационарной динамики проводов при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электросетьстройпроект».

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Данилин, Александр Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие новые результаты:

1. Дана формулировка проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения по наилучшему параметру - длине интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство естественного аргумента задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лагранжевых координат задачи. Получены уравнения продолжения, соответствующие основным группам уравнений нелинейной теории деформирования (деформационным и физическим соотношениям, уравнениям равновесия) с использованием в качестве неизвестных лагранжевых координат точек тела.

2. Дана конечно-элементная формулировка задачи о нелинейном деформировании твердого тела на основе наилучшей параметризации. Проведен сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений, используемых при построении конечно-элементных моделей и сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений. Предложен простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела.

3. Одним из основных результатов работы является доказательство, что при численном решении нелинейных задач динамики деформируемых систем возможно построение эффективных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования на основе простых итераций, что позволяет избежать организации трудоемких итерационных процедур типа итераций Ньютона. На примере метода линейного ускорения показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций. Сформулированы и доказаны предложения о вычислительных свойствах итерационного процесс.

4. Рассмотрены частные реализации конечно-элементного моделирования с использованием наилучшей параметризации. Даны алгоритмы построения векторов обобщенных сил и касательных матриц жесткости для пространственных стержневых элементов, а также плоских элементов в рамках плоской задачи теории упругости.

5. Рассмотрено применение наилучшей параметризации для решения задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней. Дано решение задачи о динамике развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите. На основе наилучшей параметризации представлено также решение практически важной и актуальной задачи о расчете статических состояний проводов и кабелей многопролетных анкерных участков воздушных линий электропередачи. Показано, что наилучшая параметризация позволяет существенно увеличить счетное быстродействие, что делает возможным многократно повторять расчеты для поиска оптимальных решений в допустимых пределах по времени.

6. Рассмотрено применение методологии параметризации для построения численного решения задачи о геометрически нелинейном деформировании стержня из сплава с памятью формы при прямом превращении. На конкретных примерах продемонстрирована возможность придания стержням из СПФ весьма сложной геометрической формы за счет явления прямого превращения.

7. На основе предложенных в диссертации моделей и счетных алгоритмов разработан конечно-элементный комплекс ERGO. Разработана также специализированная версия программы (ErgoLine), адаптированная для моделирования нелинейных статических состояния воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах, а также нелинейной нестационарной динамики проводов при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электро-сетьстройпроект».

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Данилин, Александр Николаевич, 2005 год

1. Абросимов Н.А. Численное моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных пластинчато-оболочечных конструкций при импульсных воздействиях // Механика композитных материалов. 1999. Т. 35. № 6. С. 757-776.

2. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Елесин А.В. Моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек при импульсном нагружении // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2. С. 181-189.

3. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2002. 399 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.271 с.

5. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. 335 с.

6. Баженов В.Г. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек // Проблемы прочности. 1984. № 11. С. 51-54.

7. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 52-59.

8. Баженов В.Г., Чекмарёв Д.Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Изв. РАН. МТТ.2001. №5. С. 156-173.

9. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Самыгин А.Н. Численное решение трехмерных зада нестационарного деформирования тонкостенных конструкций, включающих стержневые элементы // Изв. РАН. МТТ.2002. №4. С. 145-151.

10. Баженов В.Г., Пирогов С.А., Чекмарёв Д.Т. Явная схема со стабилизирующим оператором для решения нестационарных задач динамики конструкций // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 120-130.

11. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М. и др. Механика больших космических конструкций. М.: Факториал, 1997. 302 с.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1. М.: Наука, 1973. 631 с.

13. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. О пространственном движении связки двух тел на орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 5. С. 23-28.

14. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990.330 с.

15. Беляев С.П., Волков А.Е., Ермолаев В.А., Каменцева З.П., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А., Мозгунов В.Ф., Разов А.И., Хайров Р.Ю. Материалы с эффектом памяти формы. Справ, изд. // СПБ.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1998. Т. 4. 268 с.

16. Бошнякович А.Д. Механический расчет проводов и тросов линий электропередачи. JL: Энергия, 1971.295 с.

17. Бранец В.Н., Шмыглевский И.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

18. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 269 с.

19. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассической теории пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 158-167.

20. Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989. 248 с.

21. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 5. С. 894-901.

22. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. С. 18-31.

23. Глазунов А.А. Основы механической части воздушных линий электропередачи. Т.1. Работа и расчет проводов и тросов. M.-JL: Госэнергоиз-дат, 1956. 192 с.

24. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонкостенных оболочек. Казань: КФТИ АН СССР, 1989. 269 с.

25. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды. М.: Наука, 2000. 214 с.

26. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогид-роупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 592 с.

27. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988. 232 с.

28. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Серия «Механика твердых деформируемых тел». Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.

29. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Meтоды решения упругости и пластичности: Сб. статей. Горький: 1979. С. 3-19.

30. Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упруго-податливыми звеньями и приводными механизмами // Изв. РАН. МТТ. 2003. №6. С. 18-30.

31. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений //Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601-602.

32. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. мат. журн. 1953. Т. 5. № 2. С. 196-206.

33. Давиденко Д.Ф. О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162. № 3. С. 499-502.

34. Данилин А.Н., Марков А.В., Чайковская А.А. Нелинейные нестационарные колебания гибкой стержневой системы. Тезисы докладов научно-технической конференции "Крупногабаритные космические конструкции". Севастополь: 1990. С. 44.

35. Данилин А.Н., Марков А.В., Чайковская А.А. Нелинейная нестационарная динамика гибких стержней. В сборнике МАИ "Проблемы строительной механики и прочности ДА. М.: Изд-во МАИ, 1990. С. 18-21.

36. Данилин А.Н. Нелинейная динамика космических конструкций с гибкими одномерными элементами. Тезисы докладов международной молодежной научно-технической конференции "Космонавтика-ХХ1. 1-7 сентября 1991 г". Москва-Калининград: 1991. С. 53.

37. Данилин А.Н., Шклярчук Ф.Н. Нелинейные уравнения динамики движущейся стержневой системы. В книге "Материалы XX и XXI Гагарин-ских чтений. 1990-1991 гг." М.: Наука, 1991. С. 243.

38. Данилин А.Н., Марков А.В. Динамический расчет развертываемых космических конструкций с гибкими одномерными элементами. Материалы международной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям ICOLASS-93. 18-20 мая 1993 г. Новгород: 1993. С. 55.

39. Данилин А.Н. Нелинейные уравнения движения гибких стержневых систем // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С. 177-188.

40. Данилин А.Н. Плоская задача динамики космических систем с гибкими одномерными элементами // Вестник МАИ. 1995. Т. 2. № 1. С. 61-68.

41. Данилин А.Н. Нелинейная динамика раскрывающихся стержневых систем. Тезисы докладов Всероссийского симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1995. С. 21.

42. Данилин А.Н., Солдаткин А.Н. Вычислительные методы динамики упругих конструкций. М.: Изд-во МАИ, 1996. 44 с.

43. Данилин А.Н. Моделирование движения быстровращающихся гибких стержней. Материалы II Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1996. С. 48-49.

44. Данилин А.Н. Модели нелинейного движения стержневых систем. Материалы III Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М.: 1997. С. 48-49.

45. Данилин А.Н., Зуев Н.Н. Программный комплекс SYSNOISE эффективное решение проблем вибро-акустического анализа и оптимизации в инженерном деле // САПР и графика. 1998. № 2. С. 47-49.

46. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Шалашилин В.И. Усовершенствование методов численного интегрирования, используемых при решении динамических задач // Космонавтика и ракетостроение. 1998. Вып. 13. С. 99-104.

47. Данилин А.Н. MATLAB и семейство профессиональных приложений для моделирования и анализа // САПР и графика. 1998. № 7. С. 37-41. Продолжение 1998. № 8. С. 54-59.

48. Данилин А.Н., Шалашилин В.И. О параметризации нелинейных уравнений деформирования твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 1. С. 8292.

49. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. 2000. № 4. С. 26-31.

50. Данилин А.Н., Зуев Н.Н. Проект ERGO: начало пути // САПР и графика. 2000. № 9. С. 48-50.

51. Данилин А.Н. Геометрически нелинейное деформирование стержней из сплавов с памятью формы. Сб. трудов Школы-семинара, поев. 80-летию со дня рождения акад. И.Ф. Образцова. М.: Изд-во ИПРИМ РАН, 2000. С. 26-35.

52. Данилин А.Н., Волков-Богородский Д.Б. О неявных методах интегрирования параметризованных уравнений нелинейных динамических систем // Вестник МАИ. 2001. Т. 8. № 2. С. 40-52.

53. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. О неявных алгоритмах интегрирования задачи Коши для параметризованных уравнений, описывающих динамическое поведение механических систем // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 6. С. 1053-1069.

54. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 53-63.

55. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Об использовании неявных алгоритмов метода продолжения решения при численном интегрировании динамических систем // Изв. вузов. Математика. 2005. № 8 (в печати).

56. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 332 с.

57. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987. 231 с.

58. Доннелл Л.Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1970. 367 с.

59. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. М.: Мир, 1986.318 с.

60. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

61. Зуев Н.Н., Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 136-147.

62. Зуев Н.Н., Данилин А.Н. Комплексный инженерный анализ прочность, динамика, акустика // Автоматизация проектирования. 1998. № 2 (8). С. 31-35.

63. Зуев Н.Н., Шалашилин В.И, Кузнецов Е.Б., Данилин А.Н. Повышение эффективности численных методов анализа механических систем. В сборнике научных трудов ОмГТУ "Анализ и синтез механических систем". Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. С. 105-111.

64. Ильюшин А А. Пластичность. Ч. 1. Упруго-пластические деформации. M.-JL: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 376 с.

65. Качанов JI.M. Механика пластических сред. JI.-M.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948.215 с.

66. Копылов А.В., Кузнецов Е.Б. Об одном подходе к численному интегрированию задачи Коши для дифференциального уравнения с запаздыванием // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 2001. Т. 41. № 10. С. 1547-1556.

67. Крюков К.П., Новгородцев Б.П. Конструкции и механический расчет линий электропередачи. Л.: Энергия, 1979. 310 с.

68. Куликов Г.М. Деформационные соотношения, точно представляющие большие перемещения оболочек как жесткого тела // Изв. РАН. МТТ. 2004. №5. С. 130-140.

69. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.К Задача Коши как задача продолжения решения по параметру // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33. № 12. С. 1792-1805.

70. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру // Изв. РАН. МТТ. 1993. №6. С. 145-152.

71. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши как задача продолжения по наилучшему параметру // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №6. С. 964-971.

72. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру//ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 14-21.

73. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решение дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента // Журнал вычислит, матем. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 711-722.

74. Ланкастер 77. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 272 с.

75. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие систем дифференциальных уравнений // Вычисл. процессы и системы. 1991. Вып. 8. С. 237-291.

76. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. 216 с.

77. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

78. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 928 с.

79. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

80. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Под ред. А.С. Сахарова и Н. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. 479 с.

81. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 136-144.

82. Мовчан А.А. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1996. Т.37, №6. С. 181-189.

83. Мовчан А.А. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений на фазовый состав в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 79-90.

84. Мовчан А.А. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // ПМТФ. 1998. Т. 39, №1. С. 164-173.

85. Мовчан А. А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин.1994. №6. С. 47-53.

86. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мар-тенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ.1995. № 1.С. 197-205.

87. Мовчан А.А. Выбор аппроксимации диаграммы перехода и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1995. Т. 36. №2. С. 173-181.

88. Мовчан А.А., Данилин А.Н. Метод решения геометрически нелинейных задач изгиба стержней из сплавов с памятью формы при прямом превращении // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. № 4. С. 83-90.

89. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин. // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114. №5. С. 968-971.

90. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин //Вестник ЛГУ. 1958. № 19. С. 100-124.

91. Морозов Н.Ф. Единственность симметричного решения. // Докл. АН СССР. 1958. Т. 123. № 3. С. 417-419.

92. Морозов Н. Ф. К нелинейным задачам теории тонких пластин с осями симметрии // Тр. Ленингр. технолог, ин-та целлюлозно-бум. пром. 1962. Вып. 11. С. 206-208.

93. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.-М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 210 с.

94. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

95. Hyp Г.С., Райан Р.С., Скофилд Х.Н., Симе Дж. JI. Динамика больших космических конструкций и управление ими // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 6. 129-147.

96. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Ч.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

97. Образцов И.Ф., Булычев JI.A., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1986. 536 с.

98. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

99. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Уточненные уравнения среднего изгиба трехслойных оболочек и сдвиговые формы потери устойчивости // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 195-200.

100. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Непротиворечивый вариант теории деформаций сплошных сред в квадратичном приближении // Докл. РАН. 2004. Т. 396. № 4. С. 492-495.

101. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // На-учн. докл. высшей школы. Строительство. 1959. № 1. С. 27-35.

102. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 232 с.

103. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. 331 с.

104. Правила устройства электроустановок. 7-е издание. Раздел 2. Передача электроэнергии. М.: Изд-во "НЦ ЭНАС", 2003. 156 с.

105. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

106. Розен А., Леей Р.Г., Метъю М.Б. Нелинейная динамика тонких стержней // Аэрокосмическая техника. 1987. № 11. С. 92-101.

107. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1. Статика. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.

108. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 2. Динамика. М.: Высшая школа. 1987. 304 с.

109. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001.429 с.

110. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

111. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.

112. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1985. 263 с.

113. Треногин В.А. Теорема Люстерника и наилучшая параметризация решений нелинейных уравнений // Функциональный анализ и его приложения. 1998. Т. 32. № 1.С. 87-90.

114. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988. 402 с.

115. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: Наука, 1969. 607 с.

116. Хаусхолдер А.С. Основы численного анализа. М.: Изд-во ин. лит., 1956. 320 с.

117. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 446 с.

118. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные преобразования в динамике симметричного твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 1-16.

119. Чен Дж. Ч. Динамика больших космических конструкций с управляемой жесткостью // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 6. С. 37-43.

120. Черноусъко Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 1989. 368 с.

121. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. JL: Изд-во ленингр. ун-та, 1988. 254 с.

122. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №4. С. 178-184.

123. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Задача Коши для нелинейно деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру //Докл. РАН. 1993. Т. 329. № 4. С. 426-428.

124. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Об одной формулировке задачи Коши для систем с сосредоточенными параметрами // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. № 3. С. 120-121.

125. Шалашилин В.К, Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения //Докл. РАН. 1994. Т. 334. № 5. С. 566-568.

126. Шалашилин В.И., Костриченко А.Б., Князев Э.Н., Зуев Н.Н. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных задачах, решаемых методом конечных элементов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. № 4. С. 18-24.

127. Шалашилин В.К, Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 222 с.

128. Шклярчук Ф.Н. К расчету деформированного состояния и устойчивости геометрически нелинейных упругих систем // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1.С. 140-145.

129. Шклярчук Ф.Н. Нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругих космических конструкций // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 1. С. 161-175.

130. Шклярчук Ф.Н. Колебания и аэроупругость летательных аппаратов. М.: Изд-воМАИ, 1981. 87 с.

131. Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. М.: Изд-во МАИ. 1993. 68 с.

132. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1988. 127 с.

133. Шкутин Л.И. Инкрементальная модель деформации стержня // ПМТФ. 1999. Т. 40. №4. С. 229-235.153 .Austin F. Nonlinear dynamics of a free-rotating flexibly connected double-mass space station // J. Spacecraft and Rockets. 1965. V. 2. № 6. PP. 901906.

134. Barkow В., Steindl A., Troger H., Wiedermann G. Various methods of controlling the deployment of a tethered satellite // J. Vib. Control. 2003. V. 9. № 1-2. PP. 187-208.

135. Bathe K.-J., Wilson E. L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. Englewood Cliffs, New Jersy: Prentice-Hall, 1976. 528 p.

136. Bathe K.-J. Finite element procedures. Englewood Cliffs, N.Y: Prentice-Hall, 1996. 1037 p.

137. Bergamaschi S., Loria A., Wood G.M. SEDS-1 features and dynamics during deployment // Int. Round Table on Tethers in Space. ESTEC, Noordwijk, the Netherlands.-28-30 September 1994.

138. Bergan P.G., Horrigmoe G., Krakeland В., Soreide Т.Н. Solution techniques for nonlinear finite element problems // Int. J. Num. Meth. Eng. 1978. V. 12. № 12. P. 1677-1696.

139. Chan J.K., Modi V.J. A Closed-Form Dynamical Analysis of an Orbiting Flexible Manipulator// Acta Astronautica. 1991. Vol. 25. №. 2. P. 67-76.

140. Chobotov V.A. Gravity-gradient excitation of a rotating cable-counterweight space station in orbit // J. Spacecraft and Rockets. 1963. V. 30. № 4. PP. 547554.

141. Danilin A.N., Grishanina Т. V, Shklyarchuk F.N., Buzlaev D. V. Dynamics of a space vehicle with elastic deploying tether // Comput. & Structures. 1999. V. 72. № 1-3. P. 141-147.

142. Danilin A.N., Snegovski D.V., Volkov-Bogorodski D.B. On implicit algorithms of continuation method with applications to dynamic systems // J. of Сотр. and Appl. Math. 2004. V. 164-165. P. 207-224.

143. Danielson D.A., Hodges D.H. Nonlinear Beam kinematics by decomposition of the rotating tensor // Trans, of ASME. 1987. V.54. pp. 258-262.

144. Danielson D.A., Hodges D.H. A beam theory for large global rotation, moderate local rotation, and small strain // J. of Applied Mech. 1988. V. 55. P. 179-184.

145. Das S.K., Utku S., Wada B.K. Inverse Dynamics of Adaptive Space Cranes with Tip Point Adjstment. AIAA-90-1166-CP, 1990, pp. 2367-2374.

146. Hairer E., Nor sett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations. Nonstiff Problems. Berlin etc.: Springer, 1987 = Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

147. Downer J.D., Park К.С. Dynamics of spacecraft with deploying flexible appendages // AIAA Dyn. Spec. Conf., Dalas. Collect. Techn. Pap. 1992. P. 6580.

148. Ficken F. The continuation method for nonlinear functional equations // Comm. Pure Appl. Math. 1951. V 4. № 4. P. 435-456

149. Hodges D.H. Finite rotating and nonlinear beam kinematics // Vertica. 1987. V. 11. № 1/2. P. 297-307.

150. Kisner W. A numerical method for finding solutions of nonlinear equations // SIAM J. Appl. Math. 1964. V. 12. P. 424-428.

151. Kleinmichel H. Stetige analoge und iterations verfaher fur nichtlinear gleichungen in banachraumen // Math. Nach. 1968. V. 37. P. 313-314.

152. Kondoh K., Atluri S.N. Large-deformation, elasto-plastic analysis of frames under nonconservative loading, using explicitly derived tangent stiffnesses based on assumed stresses // Сотр. Mech. 1987. V. 2. P. 1-25.

153. Lahaye M.E. Une metode de resolution categorie d'equation transcendantes // C.r. Sci. 1934. V. 198. № 21. P. 1840-1842.

154. Lahaye M.E. Solution of system of transcendental equations // Acad. Roy. Belg. Bull. / CI. Sci. 1948. V. 5. P. 805-822.

155. Lang D.D., Nolting R.R. Operations with tethered space vehicles // Gemini Summary Conference, February 1-2. 1967. Houston, Texas, NASA SP-138. P. 55-56.

156. Marcelo R.M., Crespo da Silva, Hodges D.H. Nonlinear flexure and torsion of rotating beam, with application to helicopter rotor blades I. Formulation //Vertica. 1986. V. 10. №2. pp. 151-169.

157. Marcelo R.M., Crespo da Silva, Hodges D.H. Nonlinear flexure and torsion of rotating beam, with application to helicopter rotor blades II. Response and stability results //Vertica. 1986. V. 10. № 2. P. 171-186.

158. Meirovitch L., Quinn R. D. Equations of Motion for Maneuvering Flexible Spacecraft // J. of Guidance, Control, and Dynamics, 1987, Vol. 10, No. 5, P. 453-465.

159. Meirovitch L., Kwak M.K. Control of Flexible Spacecraft with Time-Varying Configuration // J. of Control, Guidance, and Dynamics, 1992, Vol.15, No.2, pp. 314-324.

160. Misra A.K., Modi V.J. A survey on the dynamics and control of tethered satellite systems // Advances in Astronautical Sciences. 1987. V. 62. PP. 667719.

161. Modi V.J., Chan J.K. Dynamics of the Space Station Based Mobile Flexible Manipulator// Acta Astronautica, 1991, Vol. 25, No. 3, pp.149-156.

162. Morita Y., Modi V.J. Dynamics of a Flexible Orbiting Platform with MRMS. The Institute of Space and Astronautical Science, Tokyo, Rep. No. 625, 1988, 69 p.

163. No T.S., Cochran J.E. Dynamics and control of a tethered flight vehicle // J. Guidance, Control and Dynamics. 1995. V. 18. № 1. PP 66-72.

164. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.I. Dynamics and Control of Large Space Structures // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. Vol. 7. №5. P. 514-526.

165. Padilla C.E., von Flotov A.H. Nonlinear Strain-Displacement Relations and Flexible Multibody Dynamics // J. of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, Vol. 15. No. LP. 128-136.

166. Paul В. Planar librations of an extensible dumbell satellite // AIAA Journal. 1963. V. l.№ 1. PP. 411-418.

167. Puig-Suari J., Longuski J.M., Traggesser S.G. Aerocapture with a flexible tether // J. Guidance, Control and Dynamics. 1995. V. 18. № 6. PP 13051312.

168. Riks E. The application of Newton's method to the problem of elastic stability // Trans. ASME. Ser. EJ. Appl. Mech. 1972. V. 39. № 4. P. 1060-1065.

169. Riks E. A unified method for computation of critical equilibrium state of nonlinear elastic systems // Acta Techn. Acad. Sci. Hung. 1978 (1979) V. 87. № 1-2. P. 121-141.

170. Simo J.C., Vu-Quoc L. On the dynamics in space of rods undergoing large motions A geometrically exact approach // Сотр. Methods in a Applied Mech. and Eng. 1988. V. 66. P. 125-161.

171. Space shuttle mission STS-46 press kit. NASA. July 1992.

172. Steindl A., Troger H. Optimal control of deployment of tethered subsatellite // Nonlinear Dyn. 2003. V. 31. № 3. pp. 257-274.

173. The tethered satellite system reflight. NASA. February 1996.

174. Tyc G., Vigneron F.R., Jablonski A.M. Tether dynamics investigations for the Canadian OEDIPUS and BICEPS missions // International Round Table on

175. Tethers in Space. ESTEC, Noordwijk, the Netherlands. - 28-30 September 1994.

176. Vu-Quoc L., Simo J.C. Dynamics of Earth-orbiting flexible satellites with multibody components // J. of Guidance, Control, and Dynamics. 1987. V. 10. № 6. P. 549-558.

177. Wada В. K., Fanson J.L, Chen G.-S. Using Adaptive Structures to Enable Future Missions by Relaxing Ground Test Requirements // J. of Spacecraft and Rockets. 1991. Vol. 28. № 6. P. 663-669.

178. WadaB.K. Adaptive Structures. AIAA-89-1160-CP, 1989, P. 1-11.

179. Wada B.K. Adaptive Structures: An Overview // J. of Spacecraft and Rockets. 1990. Vol. 27. No. 3. P. 330-337.

180. Wiedermann G., Steindl A., Troger H. Deployment of a tethered satellite under the action of a braking force // J. ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. 2000. V. 80. Suppl. 3. S853-S854.

181. Wood G.M. et al. The small expendable deployer system (SEDS) and mass experiments // Int. Round Table on Tethers in Space. ESTEC, Noordwijk, the Netherlands. - 28-30 September 1994.

182. Yong Y., Lin Y.K. Dynamics of Complex Truss-Type Space Structures // AIAA Journal. 1990. V. 28. № 7. P. 1250-1258.

183. Yigit A., Scott R.A., Galip Ulsoy A. Flexural motion of a radially rotating beam attached to a rigid body // J. of sound and Vibrations. 1988. V.121. № 2. P. 201-210.

184. Zhang D.J., Liu C.Q., Huston R.L. On the dynamics of an arbitrary flexible body with large overall motion: An integrated approach // Mech. Struct. & Mach. 1995. V. 23 (3). P. 419-437.