Численные методы решения задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гаврилов, Сергей Вадимович

• Гаврилов, Сергей Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаврилов, Сергей Вадимович

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Численные методы решения двумерной задачи электроимпедансной томографии для кусочно-постоянной проводимости в случае одного измерения на границе

1.1 Метод решения обратной задачи Дирихле-Неймана

1.1.1 Операторное уравнение для неизвестной границы

в случае обратной задачи Дирихле-Неймана

1.1.2 Итерационный метод решения обратной задачи Дирихле-Неймана

1.2 Метод решения обратной задачи Неймана-Дирихле

1.2.1 Операторное уравнение для неизвестной границы

в случае обратной задачи Неймана-Дирихле

1.2.2 Итерационный метод решения обратной задачи Неймана-Дирихле

1.3 Метод, основанный на введении вспомогательного контура

1.3.1 Продолжение значений потенциала на вспомогательный контур

1.3.2 Численный метод решения задачи с данными на вспомогательном контуре

1.4 Программная реализация численных методов и результаты вычислительных экспериментов

Глава 2. Численный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии для кусочно-постоянной проводимости в случае одного измерения на границе

2.1 Операторное уравнение для неизвестной поверхности

2.2 Итерационный метод решения обратной задачи

2.3 Программная реализация численного метода и результаты вычислительных экспериментов

Глава 3. Численные методы решения задачи электроимпедансной томографии для кусочно-постоянной проводимости в случае нескольких измерений на границе

3.1 Двумерная задача

3.1.1 Численный метод решения

3.1.2 Программная реализация численного метода и результаты вычислительных экспериментов

3.2 Трехмерная задача

3.2.1 Численный метод решения

3.2.2 Программная реализация численного метода и результаты вычислительных экспериментов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости»

Введение

Актуальность работы. В настоящее время томографические методы широко применяются в различных областях науки и техники. Возникшие в первую очередь в связи с потребностями медицины, эти методы активно используются в геофизических исследованиях, различных технологиях неразрушающего контроля качества изделий, в обеспечении общественной безопасности и ряде других областей. В то же время медицина остается одной из основных сфер применения томографических методов. Различные виды томографии активно используются для диагностики онкологических заболеваний, в ортопедии, в кардиологии и других областях медицины. Томография также применяется для визуализации и контроля манипуляций при проведении многих видов современных оперативных вмешательств.

Математические методы имеют важное значение для развития и совершенствования томографических технологий. Численные алгоритмы и их программная реализация позволяют проводить автоматизированную обработку и интерпретацию больших объемов информации, характерных для томографии. Использование математического моделирования и программного обеспечения дает возможность строить объемные модели исследуемых объектов и проводить их анализ.

В настоящее время существует много разновидностей томографических методов, одним из критериев классификации которых является вид излучения, применяемого для зондирования исследуемых объектов. По этому критерию выделяют рентгеновскую, ультразвуковую, магнитно-резонансную и другие виды томографии. Одним из перспективных видов является электроимпедансная томография, в которой

для зондирования используется электрическое поле. Электроимпедансная томография имеет ряд преимуществ в сравнении с другими томографическими методами, что наилучшим образом прослеживается по медицинскому применению. Электроимпедансная томография не подвергает пациента рентгеновскому или иным видам радиационного излучения. Метод электроимпедансной томографии может безопасно применяться для продолжительного мониторинга активности внутренних органов человека, имеет высокую рентабельность и пригоден для реализации в портативных устройствах [86]. Совместное использование электроимпедансной томографии и других диагностических методов позволяет повысить точность и достоверность медицинских исследований. Примером может служить диагностическая визуализация новообразований молочной железы. Применение рентгеновского излучения в этих целях дает достоверный результат только в случае, когда степень поглощения рентгеновских лучей сильно отличается для новообразования и нормальных тканей молочной железы. Метод электроимпедансной томографии основан на контрасте в электрических свойствах тканей и может выявлять новообразования, незаметные или трудноразличимые на маммограмме [94].

Математические задачи, возникающие в области электроимпедансной томографии, относятся к классу нелинейных некорректно поставленных обратных задач. Численное решение таких задач представляют большую сложность и требует разработки специальных методов. Одним из эффективных принципов решения обратных задач является предложенный А.Н.Тихоновым принцип сужения класса возможных решений, учитывающий априорную информацию об искомом объекте [29]. Применительно к электроимпедансной томографии таким сужением

класса является рассмотрение среды с кусочно-постоянной электрической проводимостью. Модель среды с кусочно-постоянной проводимостью, позволяющая с хорошей точностью воспроизводить свойства достаточно широкого класса объектов, является одной из распространенных моделей в электроимпедансной томографии и имеет большое практическое значение. Разработка численных методов решения задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и их программная реализация, безусловно, является актуальной.

Цель и задачи работы

1. Разработка численных методов решения двумерной и трехмерной задач электроимпедансной томографии для кусочно-постоянной проводимости в случае одного измерения на внешней границе.

2. Разработка численных методов решения двумерной и трехмерной задач электроимпедансной томографии для кусочно-постоянной проводимости в случае нескольких измерений на внешней границе.

3. Программная реализация и проведение вычислительных экспериментов для предложенных методов.

Научная новизна. Предложены численные методы решения двумерной и пространственной задач электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и одного измерения на границе. Для двумерной и трехмерной задач электроимпедансной томографии с несколькими измерениями на внешней границе предложены итерационные методы их решения. Создано программное обеспечение, реализующее предложенные методы. Проведены вычислительные эксперименты, показавшие достаточно высокую эффективность предложенных методов.

Практическая значимость. Предложенные численные методы и созданный комплекс программ могут быть использованы при применении электроимпедансной томографии в диагностике онкологических и кардиологических заболеваний.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях.

1. V международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14-18 мая 2011 года).

2. Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М.Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики"(Новосибирск, 5-12 августа 2012 года).

3. Научная конференция "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 29.10.2012-02.11.2012).

4. 4-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования.», посвящённая 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 года).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [7, 8, 10, 13] статья [12] и 3 тезиса докладов на конференциях [9, 11, 14].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 110 страниц, включая 20 рисунков. Библиография включает 94 наименований на 11 страницах.

Обзор литературы

Томографические методы в настоящее время широко применяются в различных областях науки, техники и медицины. Началом их возникновения можно считать открытие в 1895 году В.К.Рентгеном ионизирующего излучения, которое впоследствии было названо рентгеновским. Это открытие привлекло значительный интерес научного сообщества и уже с 1896 года стали проводиться исследования этого излучения и разрабатываться технологии его практического применения. В течение двух последующих десятилетий развитие рентгенологических методов привело к формированию нового направления в медицине -радиологии [25]. Помимо развития рентгенографии первая половина 20 века характеризуется появлением устройств, использующих ультразвуковые волны. В 1940 году был создан первый коммерческий аппарат для ультразвуковой дефектоскопии [4]. Первая половина 20 века примечательна еще одним важным открытием, давшим основу для возникновения магнитно-резонансной томографии: в 1938 г. И.Раби открыл явление ядерного магнитного резонанса в молекулярных пучках [1], а в 1946 г. Ф.Блох и Э.М.Парселл параллельно открыли ядерный магнитный резонанс в жидкостях и твердых телах [28].

Дальнейший прогресс в методах томографии в значительной степени обусловлен появлением компьютерных технологий. В 60х гг. 20 века были созданы первые ультразвуковые сканеры для медицинского применения [4]. В это же время были разработаны концепции компьютерной томографии, позволяющей обрабатывать результаты просвечивания разнонаправленными ренгеновскими лучами и получать детальные сведения о внутренней структуре исследуемого объекта. В 1972 г. были

проведены первые испытания компьютерного томографа [38]. Спустя год в 1973 г. П.Лотербур опубликовал первые снимки, полученные с помощью метода магнитно-резонансной томографии [74]. С тех пор появилось множество новых разновидностей томографических методов, существенный прогресс достигнут в совершенствовании технологий и повышении их эффективности, значительно расширилась область применения томографических методов. С современным состоянием томографии можно ознакомиться, например, по книгам [26, 59, 34, 88].

Одним из видов томографии, активно развивающихся в настоящее время, является электроимпедансная томография. Этот метод позволяет получать представление об электрических характеристиках вещества внутри исследуемого объекта по одновременным измерениям значений потенциала и электрического тока на его поверхности [43]. В качестве этих электрических характеристик выступают электрическая проводимость и диэлектрическая проницаемость [24]. Определение этих характеристик представляет большой практический интерес, поскольку знание распределения проводимости или диэлектрической проницаемости внутри объекта позволяет делать выводы о его строении.

Различные виды горных пород, минералов и полезных ископаемых характеризуются разной электропроводностью [70], что делает возможным использование электроимпедансной томографии в геофизических исследованиях. Примером служат обнаружение месторасположения полезных ископаемых [53, 81], исследования уровня загрязненности и поиск источников загрязнения в почве [82, 83, 51].

Различные виды биологических тканей или одинаковые ткани в разном физиологическом состоянии также имеют разные значения проводимости и диэлектрической проницаемости [35, 87].

Знание распределения этих электрических характеристик позволяет идентифицировать расположение тканей и получать медицинские снимки. Медицинскими приложениями электроимпедансной томографии являются мониторинг физиологической активности сердца и легких [77], обнаружение жидкости в брюшной полости [85], онкологическая диагностика [41], визуализация при проведении абляции злокачественных опухолей [65, 80, 93] и ряд других приложений [57, 75, 44, 58, 60].

Важное значение в методе электроимпедансной томографии имеет математическая обработка и интерпретация экспериментальных данных. Существуют различные математические задачи, возникающие в электроимпедансной томографией. Большинство математических задач, в которых для определенной модели среды требуется восстановить значение проводимости по данным на внешней границе, характеризуются выраженной нелинейностью и плохой обусловленностью [86, 66]. Поэтому разработка эффективных методов их решения представляет высокую сложность и служит предметом фундаментальных научных исследований.

Для интерпретации данных, полученных с помощью электроимпедансно! томографии, используются различные математические постановки прямых и обратных задач. Рассмотрим более подробно постановку одной из наиболее исследованных математических задач, возникающих в электроимпедансной томографией.

Пусть П С К1, с1 > 2 ограниченная область с границей Г и во всех точках области О определена функция ^{х, и), представляющая собой значение комплексной проводимости: 7(2,0;) = <т(х) + ше(х), где и — частота электромагнитного поля. Комплексная проводимость или адмиттанс — физическая величина, объединяющая свойства электрической проводимости а и диэлектрической проницаемости е [5].

Для случая изотропной среды и электромагнитного поля фиксированной частоты при определенных ограничениях [48] из уравнений Максвелла можно получить уравнение

Ч(-у{х,и)Чф(х,ш)) = 0, я е Q, (1)

где ф(х,ш) — скалярный потенциал. Условие Дирихле для этого уравнения выглядит следующим образом

<j>{x,J) = V(x,u), хет. (2)

Условие Неймана выглядит так

7(ж,ц) 1 =/(з?,ц), хеТ. (3)

Здесь п — нормаль к границе Г, а 1(х,и) — функция, представляющая распределение электрического тока на внешней границе. Для уравнений (1)-(3) ставится следующая задача. Требуется определить неизвестную функцию 7(х,и>), исходя из знания оператора Дирихле-Неймана

АуУ^х.сй) = 7 (х,ш)———,

для всех функций V(x, и). Здесь ф(х, со) — решение краевой задачи (1),(2).

Впервые приведенная математическая задача была рассмотрена в работе А.Кальдерона [46]. Последние десятилетия велось активное теоретическое исследование обратных задач такого типа, для широкого класса функций доказана единственность решения в двумерном случае [76] и в трехмерном пространстве [90, 78, 79].

Некоторые результаты достигнуты в разработке численных методов

решения математической задачи, сформулированной А.Кальдероном. Первые алгоритмы были основаны на линеаризации уравнения для решения обратной задачи. При этом рассматривался статический случай {и = 0) и делалось предположение о близости проводимости к постоянной величине, в окрестности которой исходное уравнение линеаризовывалось. Методы основанные на этом принципе излагаются в работах [36, 39].

Другой подход к численному решению задачи Кальдерона заключался в последовательном восстановлении проводимости вглубь исследуемой области. Значение проводимости на внешней границе считалось известным, что является оправданным допущением, поскольку её измерение в большинстве приложений не представляет сложности. Методы с применением послойного восстановления проводимости рассматриваются в работах [50, 62, 89, 91].

Эффективный метод численного решения был разработан для задачи, в которой предполагалось, что проводимость исследуемой области отличается от постоянной величины лишь в конечном числе подобластей, в которых проводимость являлась непрерывной функцией, отличной от постоянной величины. Для этого случая был разработан алгоритм, который позволял определять для фиксированной точки области, принадлежит ли она одному из вкраплений, или находится в области, где проводимость постоянна. Критерий принадлежности был основан на свойствах оператора Неймана-Дирихле (Ла)-1, который использовался в качестве исходной информации. Методы, основанные на этом подходе рассматривались в работах [45, 67].

Широкий класс методов численного решения составляют различные итерационные алгоритмы. В большинстве случаев исходная задача

сводилась к задаче о наименьших квадратах или вариационной задаче и решалась с применением метода Ньютона [42, 53, 54, 63, 64, 71, 92].

В математической задаче, сформулированной А.Кальдероном, исходной информацией служит знание полного оператора Дирихле-Неймана. При практическом использовании электроимпедансной томографии возможно проведение лишь конечного числа экспериментов, поэтому большой интерес представляет задача, в которой для восстановления проводимости используется конечное число измерений на внешней границе исследуемого объекта. В этом случае в качестве исходной информации для определения проводимости исследуемого объекта выступают N пар функций Уе(х,и) и 1е(х,си), представляющих собой значения потенциала и соответствующего ему распределения тока.

Для эффективного решения задачи в такой постановке используется априорная информация о решении, и на класс, к которому принадлежит искомая функция 7(х,ш), накладываются дополнительные ограничения. Примером служит рассмотрение среды с кусочно-постоянной проводимостью, для которой 7(х, си) является кусочно-постоянной функцией, принимающей конечное число различных значений. Модель среды с кусочно-постоянной проводимостью в хорошей степени соответсвует многим приложениям электроимпедансной томографии, где требуется идентифицировать внутреннее строение объекта, который с хорошей точностью можно считать кусочно-однородными. Для широкого класса прикладных задач множество значений, которые принимает кусочно-постоянная проводимость внутри исследуемого объекта, априори известно. Примером служит применение электроимпедансной томографии для определения формы различных внутренних органов человека [49, 84].

В наиболее распространенной модели кусочно-постоянной среды

рассматривается статический случай (си = 0) и делается предположение, что кусочно-постоянная проводимость принимает 2 различных значения. Фактически математическая задача сводится к определению неизвестной границы вкрапления в однородной среде.

Наиболее значимыми результатами теоретических исследований математической задачи для кусочно-постоянной проводимости и конечного числа измерений на внешней границе являются доказательство единственности решения для вкраплений, имеющих форму многоугольников в плоском случае [37], для шаров в трехмерном пространстве [69] и доказательство локальной теоремы единственности решения в определенном классе функций в двумерной задаче [33].

Численные методы решения данной задачи, как правило, строились в предположении о принадлежности неизвестной границы классу функций, зависящих от конечного числа параметров. Итерационные методы решения двумерной задачи предлагались в работах [55, 68]. Были разработаны алгоритмы, позволяющие для двумерной и трехмерной задачи с кусочно-постоянной проводимостью в случае задания одного измерения на внешней границе оценить размер вкрапления [72] и определить его локализацию [73].

Задача электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости может быть сведена к нелинейному операторному уравнению первого рода относительно неизвестной функции, определяющей границу неоднородности. Эта задача является некорректно поставленной. Фундаментальные принципы решения таких задач были заложены в работах А.Н. Тихонова [29, 31], М.М. Лаврентьева [22, 23] и В.К. Иванова [18]. Эти принципы затем получили

широкое развитие в работах целого ряда авторов (смотрите, например, [2, 32, 3, 6, 19, 15, 56, 61] и цитированную там литературу).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гаврилов, Сергей Вадимович

Основные результаты диссертационной работы:

1. Разработаны и программно реализованы численные методы определения неизвестной границы неоднородности в двумерной задаче электроимпедансной томографии при кусочно-постоянной проводимости в случае одного измерения на внешней границе;

2. Предложен и программно реализован итерационный метод определения неизвестной поверхности, являющейся границей неоднородности, в трехмерной задаче электроимпедансной томографии при кусочно-постоянной проводимости в случае одного измерения на внешней границе;

3. Для двумерной и трехмерной задач электроимпедансной томографии с несколькими измерениями на внешней границе предложены и программно реализованы итерационные методы определения границы неоднородности.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаврилов, Сергей Вадимович, 2013 год

Литература

[1] Абрагам А. Ядерный магнетизм.//М.: Издательство иностр. лит., 1963.

[2] Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач.//М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

[3] Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения//М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

[4] Балдев Радж, В.Раджендран, П.Паланичами Мир физики и техники. Применения ультразвука.//М., Техносфера, 2006.

[5] Бессонов Я.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи//М.: Высш. школа, 1978.

[6] Васин В.В., Агеев A.JJ. Некорректные задачи с априорной информацией/УЕкатеринбург: УИФ Наука, 1993.

[7] Гаврилов C.B., Денисов A.M. Численный метод определения границы неоднородности в задаче Дирихле для уравнения Лапласа в кусочно-однородной среде//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. т.50. № 8. с. 1462 - 1470.

[8] Гаврилов C.B., Денисов A.M. Численные методы определения границы неоднородности в краевой задаче для уравнения Лапласа в кусочно-однородной среде//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. т.51. № 8. с. 1476 - 89.

[9] Гаврилов C.B., Денисов A.M. Итерационные методы определения границы неоднородности в краевой задаче для уравнения Лапласа в кусочно-однородной среде/Л/ международная конференция

100

"Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания Обнинск, 14-18 мая 2011 г. Тезисы докладов, с.71.

[10] Гаврилов C.B., Денисов A.M. Итерационный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и одного измерения на границе//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. т.52. № 8. с. 1426-36.

[11] Гаврилов C.B., Денисов A.M. Итерационный метод решения задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости//Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М.Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики Новосибирск, 5-12 августа 2012 г. Тезисы докладов, с. 186.

[12] Гаврилов C.B. Численный метод решения задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и одного измерения на границе//Прикладн. матем. и информ. 2012. т.41. с.38-47.

[13] Гаврилов C.B. Итерационный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и нескольких измерений на границе//Вычисл. методы и программ. 2013. т. 14. с.26-30.

[14] Гаврилов C.B. Численный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости и нескольких измерений на границе//4-я Международная конференция «Функциональные пространства.

Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования.», посвященная 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева, Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. Тезисы докладов, с.403-04.

[15] Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач//М.: Изд-во МГУ, 1994. 207 с.

[16] Денисов A.M.,Захаров Е.В.,Калинин A.B.,Калинин В.В. Численные методы решения некоторых обратных задач электрофизиологии сердца//Дифференц. ур-ния. 2009. т.45. № 7. с. 1014-1022.

[17] Захаров Е.В.,Калинин A.B. Численное решение трехмерной задачи Дирихле в кусочно-однородной среде методом граничных интегральных уравнений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. т.49. № 7. с.1197-1206.

[18] Иванов В.К., Васин В.В., Танава В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения//М. Наука, 1978

[19] Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи//Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.

[20] Козлов В.А., Мазъя В.Г., Фомин A.B. Об одном итерационном методе решения задачи Коши для эллиптических уравнений//Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. № 1. С.64 -74.

[21] Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа.// Известия АН СССР. 1956. Т. 20, № 6. С. 819-842.

[22] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики//Новосибирск. Из-во СО АН СССР, 1962.

[23] Лаврентьев М.М., Романов В.Р., Шишатский С.Т. Некорректные задачи математической физики и анализа//М. Наука, 1980.

[24] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. 4е издю, стереот.//М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[25] Линденбратен Л.Д., Королюк И.П. Медицинская радиология (основы лучевой диагностики и лучевой терапии). - 2-е переработанное и дополненное.//Москва: Медицина, 2000.

[26] Марусина М.Я., Казначеева А.О. Современные виды томографии. Учебное пособие.//СПб: СПбГУ ИТМО, 2006.

[27] Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики//М: ЛКИ, 2009, 480 с.

[28] Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса.//М.: Мир, 1981.

[29] Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач//Докл. АН СССР. 1943. Т.39 № 5. С 195-98.

[30] Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода.// Доклады АН СССР. 1965. Т. 161, № 5. С. 1023-1026.

[31] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.//Москва: Наука. 1974.

[32] Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи//М.: Наука. Изд. фирма «Физ.-мат. лит.», 1995, 311 с.

103

[33] Alessandrini G., Isakov V, Powell J. Local uniqueness of the inverse conductivity problem with one measurement//Trans Amer Math Soc. 1995. 347. pp 3031-41.

[34] Bailey D.L, Townsend D. W., Valk P.E., Maisey M.N. Positron Emission Tomography: Basic Sciences//Secaucus, NJ: Springer-Verlag. 2005.

[35] Barber D., Brown B. Applied potential tomography//J. Phys. E: Sci. Instrum. 1984. № 17. pp 723-33.

[36] Barber D., Brown B. Recent developments in applied potential tomogra-phy//Information Processing in Medical Imaging ed S L Bacharach (Amsterdam: Nijhoff). 1986. pp 106-21.

[37] Barceo B., Fabes E., Seo J.K. The inverse conductivity problem with one measurement: uniqueness for convex polyhedra//Proc. Amer. Math. Soc. 1994. V. 122-1. p.183-189.

[38] Beckmann E.C. CT scanning the early days//The British Journal of Radiology. 2006. № 79.

[39] Berenstein C.A., Casadio Tarabusi E. Integral geometry in hyperbolic spaces and electrical impedance tomography//SIAM J. Appl. Math. 1996. № 56. pp 755-64.

[40] Berntsson E, Elden L. Numerical solution of a Cauchy problem for the Laplace equation//Inverse Problems. 2001. 17(4). 839-853.

[41] Blad B., Baldetorp B. Impedance spectra of tumour tissue in comparison with normal tissue; a possible clinical application for electrical impedance tomography//Physiological Measurements. 1996. vol. 17 (Suppl A), pp. A105-A115.

[42] Borcea L. A nonlinear multigrid for imaging electrical conductivity and permittivity at low frequency//Inverse Problems. 2001. № 17. pp 329-59.

[43] Borcea L. Electrical impedance tomography//Inverse Problems. 2002. V.18. p.99-136.

[44] Brini R., Brusco A., Massari M., Pallotti C. The electrical resistance and impedance of mammalian muscles during the first days after slaughtering. II: femoral biceps of swine//Boll Soc Ital Biol Sper. 1980. vol. 56, № 15. pp. 1580-4.

[45] Bruhl M., Hanke M. Numerical implementation of two noniterative methods for locating inclusions by impedance tomography//Inverse Problems. 2000. № 16. pp 1029-42.

[46] Calderon A.P. On an inverse boundary value problem//Seminar on Numerical Analysis and its applications to Continuum Physics (Soc. Brasileira de Matematica, Rio de Janeiro). 1980. pp 65-73.

[47] Carleman T. Les fonctions quasi analytiques//Paris, 1926.

[48] Cheney M., Isaacson D., Newell J.C. Electrical impedance tomogra-phy//SIAM Rev. 1999. № 41. pp 85-101.

[49] ChoiM.H., Kao T.-J., Isaacson D., Saulnier G .J., Newell J.C. A simplified model of mammography geometry for breast cancer imaging with electrical impedance tomography//Proceedings of the 26th Annual International Conference of the IEEE EMBS, San Francisco, CA, USA, September 2004, pp.960-963.

[50] Curtis E.B., Morrow J.A. Determining the resistors in a network//SIAM J. Appl. Math. 1990. № 50. pp 931^11.

105

[51] Daily W., Ramirez A. Electrical resistance tomography during in-situ tri-choloethylene remediation at the savannah river site//Applied Geophysics. 1995. vol. 33. pp. 239-249.

[52] Dihn Nho Hao, Lesnic D. The Cauchy problem for Laplace's equation via the conjugate gradient method//IMA Journal of Applied Mathematics (2000) 65, 199-217.

[53] Dines K.A., Lytle R.J. Analysis of electrical conductivity imag-ing//Geophysics. 1981. vol. 46. pp. 1205-1036.

[54] Dobson D.C. Convergence of a reconstruction method for the inverse conductivity problem//SIAMJ. Appl. Math. 1992. № 52. pp 442-58.

[55] Eckel H., Kress R. Nonlinear integral equations for the inverse electrical impedance problem//Inverse Problems. 2007. V.23. pp 475-91.

[56] Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Prob-lems//Kluwer Academic Publishers, 1996, 321 p.

[57] Erol R.A., Cherian P., Smallwood R.H., Brown B.H., Bardhan K.D. Can electrical impedance tomography be used to detect gastro-oesophageal re-flux?//Physiological Measurements. 1996. vol. 17, pp. A141-47.

[58] Ferree T.C., Eriksen K.J., Tucker D.M. Regional head tissue conductivity estimation for improved EEG analysis//IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2000. vol. 47, № 12. pp. 1584-92.

[59] Filler, Aaron G. The History, Development and Impact of Computed Imaging in Neurological Diagnosis and Neurosurgery: CT, MRI, and DTI.//The Internet Journal of Neurosurgery. 2010. № 7.

[60] Gonecalves S., J.C. de Munch, Verbunt J.P.A., Bijma F., Heethaar R.M., Da Silva F.L. In vivo measurement of the brain and skull resistivities using an EIT-based method and realistic models for the head//IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2003. vol. 50. pp. 754-67.

[61] Groetsch C. W. The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the First Kind//London. Pitman. 1984.

[62] Grunbaum A., Zubelli J.P. Diffuse tomography: computational aspects of the isotropic case//Inverse Problems. 1992. № 8. pp 421-33.

[63] Haber E., Ascher U., OldenburgD. On optimization techniques for solving nonlinear inverse problems//Inverse Problems. 2000. № 16. pp 1263-80.

[64] Hanke M. Regularizing properties of a truncated Newton-CG algorithm for nonlinear inverse problems//Numer. Funct. Anal. Optim. 1997. № 18. pp 971-93.

[65] Hartov A., LePivert P., Soni N., Paulsen K. Using multiple-electrode impedance measurements to monitor cryosurgery// Medical Physics. 2002. vol. 19, № 12. pp. 2806-14.

[66] Holder D.S. Electrical Impedance Tomography: Methods, History and Ap-plications//Institute of Physics. 2004.

[67] Ikehata M., Siltanen S. Numerical method for finding the convex hull of an inclusion in conductivity from boundary measurements//Inverse Problems. 2000. № 16. pp 1043-52.

[68] Kang, H., Seo J.K., Sheen, D.Numerical identification of discontinuous conductivity coefficients//Inverse Problems. 1997. V.13. pp 113-23.

[69] Kang H., Seo J. K Inverse conductivity problem with one measurement: uniqueness of balls in R3//SIAM J. Appl. Math. 1999. V.59. p. 1533-39.

[70] Keller G. V. Electrical Properties of Rocks and Minerals//Handbook of Physical Constants ed S P Clarck Jr (New York: Geological Society of America). 1988. pp 553-77.

[71] Kohn R. V, Vogelius M. Relaxation of a variational method for impedance computed tomography//Commun. Pure Appl. Math. 1987. XL. pp 745-77.

[72] Kwon O., Seo J.K Total size estimation and identification of multiple anomalies in the inverse conductivity problem.//Inverse Problems. 2001. № 17. pp 59-75.

[73] Kwon O., Seo J.K, Yoon J.R.A real-time algorithm for the location search of discontinuous conductivities with one measurement//Comm. Pure Appl. Math. 2002. V.55. №.1. pp. 1-29.

[74] Lauterbur RC. Image Formation by Induced Local Interactions: Examples of Employing Nuclear Magnetic Resonance//Nature. 1973. № 242.

[75] Meeson S., Killingback A.L.T., Blott B.H. The dependence of EIT images on the assumed initial conductivity distribution: a study of pelvic imag-ing//Physics in Medicine and Biology. 1995. vol. 40. pp. 643-57.

[76] Nachman A.I. Global uniqueness for a two-dimensional inverse boundary problem//Ann. Math. 1996 . № 143. pp 71-96.

[77] Newell J.C., Isaacson D., Saulnier G.J., Cheney M., Gisser D.G. Acute pulmonary edema assessed by electrical impedance tomography//in Proc. Annui. Int. Conf. IEEE Engineering in Medicine and Biology Soc. 1993. pp. 92- 93.

[78] Novikov R.G. New global stability estimates for the Gelfand-Calderon inverse problem//Inverse Problems. 2011. № 27.

[79] Novikov R.G., Santacesaria M. Global uniqueness and reconstruction for the multi-channel Gelfand-Calderon inverse problem in two dimen-sions//Bull. Sci. math. 2011. № 135. pp 421-34.

[80] Otten D.M., Onik G., Rubinsky B. Distributed network imaging and electrical impedance tomography of minimally invasive surgery//Technolog in Cancer Research and Treatment. 2004. vol. 3, № 2. pp. 125-134.

[81] Parker R.L. The inverse problem of resistivity sounding//Geophysics. 1984. vol. 42, pp. 2143-58.

[82] Ramirez A., Daily W., LaBrecque D., Owen E., Chesnut D. Monitoring an underground steam injection process using electrical resistance tomography/Water Resources Research. 1993. vol. 29. pp. 73-87.

[83] Ramirez A., Daily W., Binley A., LaBrecque D., Roelant D. Detection of leaks in underground storage tanks using electrical resistance meth-ods//Environmental and Engineering Geophysics. 1996. vol. l.pp. 189-203.

[84] Saeed S. Babaeizadeh, Dana H., Brooks D.H. Electrical impedance tomography for piecewise constant domains using boundary element shape-based inverse solutions//IEEE Trans Med Imaging 26(5) pp.637-47 (2007)

[85] Sadleir R.J., Fox RA. Detection and quantification of intraperitoneal fluid using electrical impedance tomography//IEEE Trans Biomed Eng. 2001. vol. 48, № 4. pp. 484-491, 2001.

[86] Saulnier G.J., Blue R.S., Newell J.C., Isaacson D., Edic P.M. Electrical

impedance tomography//IEEE Signal Processing Magazine. 2001. vol. 18, № 6, pp. 31-43.

[87] Schwan H.P., Kay C.F. The conductivity of living tissues//Ann. NY Acad. Sci. 1957. № 65. pp 1007-13.

[88] Shull P.J. Nondestructive Evaluation: Theory, Techniques, and Applications/Marcel Dekker Inc. 2002.

[89] Somersalo E., Cheney M., Isaacson D., Isaacson E. Layer stripping: a direct numerical method for impedance imaging//Inverse Problems. 1991. № 7. pp 899-926.

[90] Sylvester J., Uhlmann G. A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem//Ann. Math. 1987. № 125. pp 153-69.

[91] Sylvester J. Aconvergent layer stripping algorithm for radially symmetric impedance tomography problem//Commun. Partial Diff. Eqns. 1992. № 17. pp 1955-94.

[92] Yorkey T.J., Webster J.G., Tompkins W.J. Comparing reconstruction algorithms for electrical impedance tomography//IEEE Trans. Biomed. Eng. 1987. № 34. pp 843-52.

[93] Zolchiver S., Radai M.M., Rosenfled M., Abboud S. Induced current impedance technique for monitoring brain cryosurgery in a two-dimensional model of the head//Annals of Biomedical Engineering. 2002. vol. 30. № 9, pp. 1172-80.

[94] Zou Y., Guo Z. A review of electrical impedance techniques for breast cancer detection//Medical Engineering and Physics. 2003. vol. 25, № 2, pp.

19-90.