Каскадные итерационные алгоритмы в методе конечных элементов для эллиптических краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Гилева, Лидия Викторовна

• Гилева, Лидия Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гилева, Лидия Викторовна

Введение

Глава 1. Решение двумерных задач

1.1. Решение слабонелинейной задачи

1.1.1. Формулировка дифференциальной задачи

1.1.2. Формулировка дискретной задачи

1.1.3. Формулировка каскадного алгоритма

1.1.4. Вспомогательные оценки

1.1.5. Доказательство сходимости каскадного алгоритма

1.2. Решение задачи со знакопеременным спектром

1.2.1. Формулировка дифференциальной задачи

1.2.2. Формулировка дискретной задачи

1.2.3. Формулировка каскадного алгоритма

1.2.4. Вспомогательный оператор

1.2.5. Доказательство сходимости каскадного алгоритма

1.2.6. Оптимизация числа итераций

1.3. Решение задачи плоской теории упругости

1.3.1. Формулировка дифференциальной задачи

1.3.2. Формулировка дискретной задачи

1.3.3. Формулировка каскадного алгоритма

1.3.4. Доказательство сходимости каскадного алгоритма

1.3.5. Оптимизация числа итераций

Глава 2. Решение трехмерной задачи

2.1. Каскадный алгоритм для задачи в многограннике

2.1.1. Формулировка дифференциальной задачи

2.1.2. Формулировка дискретной задачи

2.1.3. Формулировка каскадного алгоритма

2.1.4. Доказательство сходимости каскадного алгоритма

2.1.5. Оптимизация числа итераций

2.2. Обоснование асимптотической устойчивости алгоритма триангуляции трехмерной области

2.2.1. Алгоритм дробления триангуляции

2.2.2. Критерии качества триангуляции

2.2.3. Оценка изменения качества триангуляции в процессе дробления

2.3. Каскадный алгоритм для задачи в области с гладкой криволинейной границей

2.3.1. Формулировка дифференциальной задачи

2.3.2. Формулировка дискретной задачи

2.3.3. Вспомогательный результат

2.3.4. Сходимость решения системы Галеркина к точному решению

2.3.5. Оценка собственных чисел матрицы дискретной системы

2.3.6. Сходимость каскадного алгоритма

Глава 3. Вопросы реализации и численные эксперименты

3.1. Вопросы реализации каскадного алгоритма

3.1.1. Итерационные методы в каскадном алгоритме

3.1.2. Трехслойный полуитерационный метод

3.2. Численные эксперименты

3.2.1. Предварительные замечания

3.2.2. Уравнение Пуассона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Каскадные итерационные алгоритмы в методе конечных элементов для эллиптических краевых задач»

Метод конечных элементов в настоящее время является одним из самых распространенных и эффективных методов решения различных задач математической физики и техники. Его популярность связана с универсальностью и простотой математической формы для широкого круга задач в сочетании с гибкостью численных алгоритмов, позволяющих учитывать конкретные свойства индивидуальной задачи. В не меньшей степени его успех обусловлен развитием мощной вычислительной техники и достижениями математики в областях проекционных методов и аппроксимации с помощью функций с конечными носителями.

Теория метода конечных элементов для краевых задач изложена в монографиях Ф.Сьярле [1], Л.А.Оганесяна и Л.А.Руховца [2], Г.И.Марчука и В.И.Агошкова [3], Г.Стренга и Дж.Фикса [4], Ж.П.Обэна [5], В.Г.Корнеева [6], В.В.Шайдурова [7] и других.

История метода конечных элементов восходит к работам В.Ритца и отечественных математиков И.Г.Бубнова и Б.Г.Галеркина. Основы метода конечных элементов были заложены в статье Р.Куранта [8], где впервые были использованы кусочно-линейные функции в вариационных методах. Современная теория метода конечных элементов базируется на теории обобщенных решений краевых задач, на теории аппроксимации функций и численных методах алгебры.

Конструктивную основу метода конечных элементов составляют вариационная форма задачи и использование сплайнов с малыми носителями, называемых конечными элементами. В результате применения метода к дифференциальной задаче получается конечномерная система линейных или нелинейных алгебраических уравнений, решение которой дает параметры сплайнов, аппроксимирующих искомую функцию.

Процесс решения конкретной задачи математической физики с использованием этого метода обычно предполагает реализацию следующих основных этапов:

1) вариационная (обобщенная) формулировка задачи;

2) триангуляция геометрической области (т.е. разбиение на небольшие носители конечных элементов заданной формы) и выбор пространства конечных элементов, базис в котором образуют функции с малым носителем;

3) решение системы алгебраических уравнений.

Несмотря на большое и постоянно увеличивающееся число работ по методу конечных элементов, на каждом из этих этапов возникают проблемы, которые недостаточно полно исследованы с теоретической точки зрения.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы, касающиеся двух последних этапов в реализации метода конечных элементов при решении некоторых эллиптических задач.

Эффективность метода конечных элементов существенно зависит от метода решения системы алгебраических уравнений, которая обычно является разреженной и имеет большую размерность. Однако вопрос о выборе методов решения получаемых систем в литературе по конечным элементам в течение ряда лет практически не освещался. Это объясняется тем, что системы метода конечных элементов аналогичны по свойствам и структуре конечно-разностным системам, для которых имеется большой набор прямых и итерационных методов решения, достаточно полно представленных в книге А.А.Самарского и Е.С.Николаева [9].

В последнее время одним из эффективных итерационных методов решения систем алгебраических уравнений метода конечных элементов стал многосеточный метод. Впервые его идею предложил Р.П.Федоренко в работе [10], затем в [11] он обосновал сходимость многосеточного метода для конечно-разностного аналога уравнения Пуассона в квадрате. Н.С.Бахвалов в [12] доказал оптимальность метода по числу арифметических операций для достижения точности, согласованной с порядком сходимости. В итоге по асимптотическим оценкам эффективности метод опередил известные алгоритмы, но логическая сложность и громоздкое математическое обоснование на некоторое время завуалировали его достоинства.

На определенном этапе развития метода конечных элементов привлечение нового математического аппарата и программных реализаций существенно снизило трудоемкость алгоритма и упростило его обоснование. Поэтому в конце 70-х годов начинается рост числа публикаций по многосеточным методам. Отметим монографии В.Хакбуша [13] и В.В.Шайдурова [7], [31].

Простейшей версией многосеточных методов является каскадный итерационный алгоритм, не требующий предобуславливания и проекции на более редкую сетку. При этом он сохраняет основное достоинство традиционных многосеточных методов, а именно: за конечное число арифметических операций, приходящихся на одно неизвестное, позволяет достичь точности, обусловленной порядком сходимости.

Каскадный алгоритм начинается на самой редкой сетке, где размерность системы уравнений невелика, что позволяет либо решить ее прямым методом, либо получить решение с высокой точностью без больших вычислительных затрат. На более мелких сетках приближенное решение получается итерационным методом, при этом в качестве начального приближения берется интерполяция приближенного решения с предыдущей более грубой сетки. Поскольку такое начальное приближение уже имеет точность, близкую к удовлетворительной, то в итоге в итерационном процессе требуется существенно меньше итераций для получения требуемой точности. Такой прием был довольно распространенным во времена ручного и механизированного счета, когда при вынужденном переходе на более мелкую сетку пытались использовать всю дорого доставшуюся информацию с грубой сетки.

Впервые каскадный алгоритм с использованием метода сопряженных градиентов в качестве итерационного сглаживателя для решения эллиптических уравнений был представлен П.Дойфльхардом в статьях [14] и [15], где продемонстрирована высокая скорость сходимости этого алгоритма с вычислительной точки зрения. В работах В.В.Шайдурова [16], [17] была доказана оптимальная вычислительная сложность этого алгоритма для двумерной задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с гладким решением. Затем в работах В.В.Шайдурова [18], Ф.А.Борнемана [19], Ф.А.Борнемана и П.Дойфльхарда [32], В.В.Шайдурова и Л.Тобиска [33] оптимальная сложность была установлена для эллиптического уравнения, решение которого является недостаточно гладким ввиду наличия у области углов больше п. В [33] в результате специального сгущения триангуляции получен такой же порядок аппроксимации, как и для задач с гладким решением.

Кроме того, в работах [19] и [32] установлены оценки скорости сходимости других итерационных сглаживателей в двух- и трехмерных краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка. В двумерном случае из проанализированных в этих работах сглаживателей только метод сопряженных градиентов дал оптимальную арифметическую сложность. Из работ В.В.Шайдурова [16] и [17] эта оптимальность следует также для метода простой итерации со специальными чебышевскими итерационными параметрами. В трехмерном случае помимо них еще несколько сглаживателей обеспечивают оптимальную сложность.

Сходимость каскадного алгоритма для некоторых нелинейных эллиптических уравнений доказана в работах Г.Тиммерман [34] и В.В.Шайду-рова и Г.Тиммерман [35].

В настоящей диссертации исследуется применение каскадного алгоритма для решения ряда двумерных задач (слабонелинейного эллиптического уравнения, уравнения со знакопеременным спектром и системы уравнений плоской теории упругости) и трехмерного эллиптического уравнения.

При использовании алгоритмов на последовательности сеток важным вопросом является "вложенность" конечных элементов, т.е. возможность выражения базисных функций на редкой сетке в виде линейной комбинации небольшого числа базисных функций на более мелкой сетке. Такое свойство выполняется для многоугольных областей и дает простые правила интерполяции и проектирования функций с одной сетки на другую. В случае областей с криволинейной границей потребность аппроксимации границы при мельчении триангуляции приводит к тому, что обычные кусочно-линейные элементы вблизи границы не будут обладать свойством вложенности. В.В.Шайдуровым в [7, §5.3] предложен способ построения базисных функций в двумерной области с гладкой криволинейной границей, позволяющий сохранить это свойство, а в [20] доказано, что при использовании таких базисных функций каскадный алгоритм сохраняет свойство оптимальности. В диссертации этот подход обобщается для трехмерной области с гладкой криволинейной границей.

Приведем более подробный обзор содержания диссертации, состоящей из трех глав.

В первой главе обоснована оптимальная вычислительная сложность каскадного алгоритма для некоторых двумерных краевых задач на ограниченном выпуклом многоугольнике. Для построения дискретной системы используются стандартные кусочно-линейные элементы на треугольниках.

В разделе 1.1 рассматривается задача Дирихле для слабонелинейного эллиптического уравнения второго порядка

Аи = /(х,и) в П, (1) = 0 на Г, (2) где и С Я2 - ограниченный выпуклый многоугольник с границей Г, правая часть (1) зависит только от решения, но не от его производных. Функция принадлежит С(С1 х Я), и для нее выполняются следующие ограничения: дГ о < ~^-(х,у) < С1 Ухеп, Уг>еЯ, оь ж, и) с2 УяеП, Уьеп. дь2

На области О строится последовательность согласованных вложенных триангуляций 77, г — 0,.,/. На каждой сетке формируется дискретная система, которая является нелинейной. Для ее линеаризации используется метод Ньютона с "замороженной производной". На нулевом уровне число уравнений нелинейной дискретной системы невелико, поэтому она может быть решена достаточно экономично с высокой точностью. Ее решение используется для линеаризации на всех остальных уровнях. На каждой из последующих более мелких сеток выполняется одна итерация метода Ньютона с использованием в качестве начального приближения решения, полученного на предыдущей сетке.

В итоге на каждой из сеток с номерами г = 0,. ,/ получим систему линейных алгебраических уравнений

Ьм = ¡1 (3) с симметричной положительно определенной матрицей Ь{ размером щхщ, где щ - число внутренних узлов г-той сетки. Для их последовательного решения используется каскадный итерационный алгоритм.

Цель каскадного алгоритма состоит-в решении задачи (3) при i = I, для чего решаются вспомогательные задачи при i = 0,. ,1 — 1. После того, как получено решение на самой грубой сетке, задача (3) при г = 1,. решается итерационным методом (методом сопряженных градиентов или методом простых итераций) с использованием в качестве начального приближения интерполяции приближенного решения с предыдущей сетки.

Доказано, что энергетическая норма погрешности, с которой кусочно-линейное восполнение приближенного решения, полученного на последнем уровне каскадного алгоритма, аппроксимирует решение задачи (1)-(2), имеет тот же порядок, что и ошибка дискретизации, а число арифметических операций в каскадном алгоритме оценивается сверху величиной 0(щ).

В разделе 1.2 рассматривается задача Дирихле 2 Y1 di(aijdju) + аи = f в Q, (4) i¿= 1 и = 0 на Г, (5) где коэффициенты и правая часть (4) удовлетворяют условиям д{ац £ Lq(О), q > 2, i,j = 1,2; ап = «2i в Í);

2 2 2 мЕЙ < £ < »Ий в П Vfc G R, I/ > ц > 0; i=l i,j=1 г=1 е L2(Q).

Коэффициент а удовлетворяет условию а Е С (О) и может принимать отрицательные значения, т.е. оператор задачи (4)-(5) не является положительно определенным, при этом предполагается, что он невырожден.

В результате дискретизации на последовательности согласованных вложенных триангуляций получаем последовательность систем линейных алгебраических уравнений

LjVi = /¿, (б) г = 0,. ,/, матрицы которых не являются положительно определенными.

Доказано, что при достаточно мелком начальном разбиении кусочно-линейное восполнение решения задачи (6) аппроксимирует решение задачи (4)-(5) в энергетической норме с порядком где - максимальная из длин сторон треугольников г-той триангуляции, г = 0,. , /.

В каскадном алгоритме используется метод простых итераций со специальным выбором итерационных параметров. На каждом уровне итерационные параметры выбираются в зависимости от соотношения между нижней (отрицательной) и верхней (положительной) границами собственных чисел спектральной задачи.

Ьг<р = ХБцр, где Д— диагональная матрица масс. Для собственных чисел имеет место оценка

- 1 < Л < с3АГ2- (?)

На нижних уровнях каскадного алгоритма с номерами от 1 до некоторого к < I реализуется неоптимальный с вычислительной точки зрения итерационный метод, требующий большего числа итераций для получения желаемой точности. На верхних уровнях, когда достаточно мало, на основании оценки (7) становится возможным использовать итерационный метод со специальными чебышевскими параметрами. В результате удается существенно понизить число итераций на самых мелких сетках.

Доказано, что погрешность каскадного алгоритма имеет порядок а число арифметических операций оценивается сверху величиной 0(щ( 1 +

В разделе 1.3 рассматривается задача Дирихле для системы уравнений

Ламе плоской теории упругости

Дм — (Л + ц) grad сНу и = / в П, и = О на Г, где Л, /х > 0 — коэффициенты Ламе, и = (и\,и2)т, / = (/ь/2)т.

В этом случае система линейных алгебраических уравнений на г-той сетке имеет порядок 2щ, ее матрица симметрична и положительно определена. Доказано, что каскадный алгоритм с использованием метода сопряженных градиентов или метода простых итераций обладает теми же оптимальными свойствами, что и для одного эллиптического уравнения.

Во второй главе рассматривается трехмерная задача Дирихле для эллиптического уравнения

В разделе 2.1 задача (8)-(9) рассматривается на ограниченном выпуклом многограннике. Для построения последовательности вложенных пространственных триангуляций используется алгоритм дробления тетраэдров, изложенный в [7]. Дискретная задача формируется с использованием кусочно-линейных базисных функций на тетраэдрах. Доказана оптимальная вычислительная сложность каскадного алгоритма с использованием метода сопряженных градиентов или метода простых итераций.

В разделе 2.2 рассматривается алгоритм разбиения на тетраэдры

8) (9) где коэффициенты и правая часть (8) удовлетворяют условиям е «»¿ = 1,2,3; о>{\ — о>]'г в Г2, — 1,2,3; а,/е12М, а > 0 в О. трехмерной ограниченной области с гладкой криволинейной границей. Он является трехмерным обобщением известного алгоритма дробления двумерных ограниченных областей с криволинейной границей [7]. Алгоритм начинается с некоторой исходной триангуляции с небольшим числом тетраэдров. Последующие триангуляции с уменьшающимся диаметром тетраэдров строятся рекуррентно путем дробления тетраэдров предыдущего уровня на 8 частей и корректировки расположения приграничных вершин для аппроксимации границы.

В отличие от многогранных областей, в этом случае тетраэдры последующего разбиения не будут подобны тетраэдрам предыдущего разбиения. Поэтому возникает вопрос о потенциальной возможности последовательного ухудшения качества триангуляции, например, асимптотического вырождения тетраэдров в стрелку, пластинку и т.п.

За показатель качества триангуляции 71 принимается критерий х(71) = к] / тттеаз(Т), где - максимальная из длин ребер тетраэдров триангуляции 7^, теав(Т) - объем тетраэдра Т.

Доказано, что если исходная триангуляция является достаточно мелкой и удовлетворяет условию х{Т\) < с4 < ОС, то для последующих триангуляций г = 2,3,. ,I справедливо неравенство 2с4.

В разделе 2.3 рассматривается задача (8)-(9) на ограниченной выпуклой области О с границей Г класса С2. Для построения последовательности измельчающихся пространственных триангуляций используется алгоритм, изложенный в разделе 2.2. В этом случае обычные кусочнолинейные элементы не будут обладать свойством вложенности. Поэтому для построения базисных функций используется способ, предложенный В.В.Шайдуровым в [7] для двумерного случая и позволяющий представлять базисные функции на редкой сетке в виде линейной комбинации небольшого числа базисных функций на более мелкой сетке. Такие базисные функции на тетраэдрах, не примыкающих к границе, совпадают с обычными кусочно-линейными, а вблизи границы склеены из кусочков функций, линейных только на каждом тетраэдре самого мелкого разбиения.

В результате дискретизации на последовательности измельчающихся пространственных триангуляций получаем последовательность систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами. Доказано, что ошибка дискретизации имеет такой же порядок, как и для обычных кусочно-линейных элементов на многограннике.

В каскадном алгоритме используется метод сопряженных градиентов или метод простых итераций. Доказано, что каскадный алгоритм имеет оптимальную вычислительную сложность, как и для задачи на многограннике.

Отметим, что результаты, полученные в этом разделе, позволяют обосновать сходимость других многосеточных методов для трехмерных краевых задач в области с гладкой криволинейной границей.

В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с реализацией каскадного алгоритма, и приводятся результаты численных экспериментов.

В разделе 3.1 обсуждается проблема выбора итерационного метода в каскадном алгоритме. Рассматривается трехслойный полуитерационный метод, который наряду с методом сопряженных градиентов и методом простой итерации со специальными чебышевскими итерационными параметрами обеспечивает оптимальную вычислительную сложность и в отли

16 чие от последнего является устойчивым с вычислительной точки зрения.

В разделе 3.2 приводятся и обсуждаются результаты численных экспериментов, проведенных для ряда двумерных задач (уравнения Пуассона, плоской задачи теории упругости, слабонелинейного уравнения и уравнения со знакопеременным спектром). Результаты расчетов подтверждают полученные в работе теоретические оценки.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинарах отдела вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН; на 15 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Новосибирск, 1997; на международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 1997; на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева, Новосибирск, 1998.

По результатам исследования опубликовано 10 работ.

Работа поддержана грантом 98-01-00704 Российского Фонда Фундаментальных исследований и грантом 1/72342 Фонда Фольксвагена (УоНи-■яга^епвйЛиг^).

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Гилева, Лидия Викторовна

Основные результаты диссертации

1. Доказана оптимальная вычислительная сложность каскадного алгоритма для двумерного слабонелинейного эллиптического уравнения и системы уравнений плоской теории упругости. Для двумерного уравнения со знакопеременным спектром доказана сходимость каскадного алгоритма с почти оптимальной оценкой числа арифметических операций.

2. Доказана асимптотическая устойчивость алгоритма дробления трехмерной ограниченной области с гладкой криволинейной границей.

3. На последовательности измельчающихся пространственных триангуляции, полученных в результате дробления трехмерной ограниченной области с гладкой криволинейной границей, предложен способ построения базисных подпространств со свойством вложенности конечных элементов. Доказано, что погрешность дискретизации с использованием таких элементов имеет такой же порядок, как и для стандартных кусочно-линейных элементов на многограннике.

4. Доказана оптимальная вычислительная сложность каскадного алгоритма для трехмерного эллиптического уравнения на многограннике и в области с гладкой криволинейной границей.

5. Проведена серия вычислительных экспериментов, подтверждающих полученные теоретические результаты.

Полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в области применения каскадных и многосеточных алгоритмов для решения краевых задач для уравнений математической физики.

Доказательства сходимости каскадного алгоритма, полученные для двумерных задач, можно обобщить для трехмерного случая. При этом в каскадном алгоритме помимо метода сопряженных градиентов и метода простой итерации со специальными параметрами можно использовать еще несколько итерационных методов, которые позволят получить оптимальную вычислительную сложность, в том числе и для задачи со знакопеременным спектром.

Другое направление для обобщения полученных результатов - исследование применения каскадных алгоритмов для решения задач с недостаточно гладким решением, когда и Е И^14^ а £ (0,1)

Предложенный способ построения базисных функций для трехмерной области с гладкой криволинейной границей можно применять не только для каскадного алгоритма, но и для других многосеточных методов, используя для обоснования их сходимости полученные в диссертации результаты (оценку сходимости решения системы Бубнова-Галеркина и оценку собственных чисел матрицы этой системы).

В работе рассматривается только краевая задача Дирихле. Однако каскадные алгоритмы могут успешно применяться и при решении смешанной краевой задачи и задачи Неймана.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю член-корр. РАН, профессору Владимиру Викторовичу Шайдурову.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гилева, Лидия Викторовна, 1999 год

1. Ф.Сьярле. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

2. Л.А.Оганесян, JI.А.Руховец. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд. АН АрмССР, 1979.

3. Г.И.Марчук, В.И.Агошков. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука, 1981.

4. Г.Стренг, Дж.Фикс. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977.

5. Ж.П.Обэн. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977.

6. В.Г.Корнеев. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности. JL: Изд. ЛГУ, 1977.

7. В.В.Шайдуров. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

8. R.Courant. Variational methods for the solutions of problems of equilibrium and vibrations. // Bull. Amer. Math. Soc., 49, 1943. P. 1 23.

9. А.А.Самарский, Е.С.Николаев. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.

10. Р.П.Федоренко. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ, 1961. - T.I, No.5. - С.922-927. И] Р.П.Федоренко. О скорости сходимости одного итерационного процесса. // ЖВМ и МФ, - 1964. - Т.4, No.5. - С.559-564.

11. Н.С.Бахвалов. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор. // ЖВМ и МФ,- 1966. Т.6, No.5. - С.861-883.

12. W.Hackbush. Multi-Grid Methods and Applications. Berlin, N.Y.: Springer Verlag, 1985.

13. P.Deuflhard. Cascadic conjugate gradient methods for elliptic partial differential equations. I. Algorithm and numerical results. // Technical Report SC 93-23, Berlin: Konrad-Zuse-Zentrum, 1993.

14. P.Deuflhard. Cascadic conjugate gradient methods for elliptic partial differential equations. Algorithm and numerical results. In: Proceedings of 7th International Conference on Domain Decomposition Methods 1993, Providence: AMS, 1994.

15. V.V.Shaidurov. Some estimates of the rate of convergence for the cascadic conjugate-gradient method. // Preprint No.4, Magdeburg: Otto-von-Guericke-Universitat, 1994.

16. V.V.Shaidurov. Some estimates of the rate of convergence for the cascadic conjugate-gradient method. // Computers Math. Applic. 1996. - Vol.31,- No.4/5, P.161-17L

17. V.V.Shaidurov. The convergence of the cascadic conjugate-gradient method under a deficient regularity. // In: Problems and Methods in Mathematical Physics. Stuttgart: Teubner, 1994. P.185-194.

18. F.A.Bornemann. On the convergence of cascadic iterations for elliptic problems. // Preprint SC 94-8, Berlin: Konrad-Zuse-Zentrum, 1994.

19. V.V.Shaidurov. Cascadic algorithm with nested subspaces in domains with curvilinear boundary. // In: Advanced Mathematics: Computations and Applications. Eds.: A.S.Alekseev and N.S.Bakhvalov, Novosibirsk: NCC Publisher - 1995. - P.588-595.

20. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

21. Л.А.Оганесян, В.Я.Ривкинд, Л.А.Руховец. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Часть 2. // Труды семинара "Дифференциальные уравнения и их применение." Вильнюс: ИФН АН ЛитССР, 1974.

22. О.А.Ладыженская, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

23. Г.Фикера. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

24. В.И.Лебедев, С.А.Финогенов. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах. // ЖВМ и МФ. 1973.- Т.13, No.l. С. 18-33.

25. В.И.Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Изд-во ОВМ АН СССР, 1987.

26. Х.Гаевский, Л.Грёгер, К.Захариас. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

27. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд. 5-е. - М.: Наука, 1984.

28. А.Фокс, М.Пратт. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982.

29. V.V.Shaidurov. Multigrid methods for finite elements. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.

30. F.A.Bornemann, P.Deuflhard. The cascadic multigrid method for elliptic problems. // Numer. Math. 75, No.2., 1996. - P.135-152.

31. V.V.Shaidurov, L.Tobiska. The convergence of the cascadic conjugate-gradient method applied to elliptic problems in domains with re-entrant corners. // Preprint No.37, Magdeburg: Otto-von-Guericke-Universität,1977.

32. G.Timmermann. A cascadic algorithm for the solution of a weakly nonlinear problem. // Technical Report IOKOMO-lO-97, Dresden: Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und Naturwissensch- 1997.

33. V.V.Shaidurov, G.Timmermann. A cascadic algorithm for the solution of nonlinear signindefinite problems. // Technical Report ЮКОМО-09-98, Dresden: Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften. 1998.

34. Л.В.Гилева, В.В.Шайдуров. Каскадный многосеточный алг оритм в методе конечных элементов для плоской задачи теории упругости // Препринт No. 15 ВЦ СО РАН. Красноярск, - 1996. - 15 с.

35. Л.В.Гилева, В.В.Шайдуров. Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для плоской задачи теории упругости. // Деп. в ВИНИТИ, No. 3776-В96. 1996. - 16 с.

36. L.V.Gilyova, V.V.Shaidurov. A cascadic multigrid algorithm in the finite element method for the plane elasticity problem // Preprint No.296 Weierstrass-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik. Berlin,- 1996. 13 p.

37. L.V.Gilyova, V.V.Shaidurov. A cascadic multigrid algorithm in the finite element method for the plane elasticity problem. // East-West J. Numer. Math. 1997. - Vol.5, No.l. - P.143-156.

38. Л.В.Гилева, В.В.Шайдуров. Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для задачи теории упругости // Меж-дунар. конф. "Математические модели и методы их исследования", тез. докл. Красноярск: Крас. гос. ун-т. - 1997. - С.61-62.

39. Каскадный многосеточный алгоритм в методе конечных элементов для трехмерной задачи Дирихле // Сиб. журнал вычислительной математики. 1998. - T.I, No.3. - С.217-226.

40. L.V.Gilyova, V.V.Shaidurov. A cascade algorithm for solving a discrete analogue of weakly nonlinear elliptic equation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999. - Vol.14, No.l. - P.59-69.