Численное решение связанных трехмерных краевых задач упругой пористой среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Какушев, Эльдар Рамазанович

• Какушев, Эльдар Рамазанович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Какушев, Эльдар Рамазанович

Введение.

Глава 1. Связанная модель фильтрации в упругой пористой среде в геометрически и физически линейной постановке.

1.1. Геометрически и физически линейная модель фильтрации в упругой пористой среде.

1.2. Вариационная постановка связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

1.3. Дискретизация вариационных уравнений.

1.4. ЬВВ-условие, анализ устойчивости связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

Глава 2. Итерационные методы решения связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2.1. Метод Удзавы и внутренние итерационные методы.

2.2. Задача управления осадкой поверхности земли при откачке из месторождения.

2.3. Задача о притоке воды к подземным сооружениям.

Глава 3. Модель упругого режима или несвязанная модель фильтрации в упругой пористой среде.

3.1. Вывод уравнений несвязанной модели из уравнений связанной-модели.тт.

3.2. Численные расчеты по несвязанной модели. Численный анализ задачи откачки из месторождения.

3.3. Сравнение связанной и несвязанной моделей.

Глава 4. Связанная модель фильтрации в упругой пористой среде в геометрически нелинейной постановке.

4.1. Геометрически нелинейная модель в текущей области.

4.2. Метод решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение связанных трехмерных краевых задач упругой пористой среды»

Явление движения жидкостей и газов в пористых средах называется фильтрацией. Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, а также многие искусственные материалы. Ряд важнейших аспектов нашей жизни касаются движения жидкостей через пористые среды. Это движение жидкостей через пористые биоматериалы в живых организмах, движение влаги в почве, движение воды в грунте и, наконец, извлечение нефти и газа из недр.

Теория фильтрации получила большое развитие особенно в нашей стране, в связи с большими масштабами гидроэнергетического и гидромелиоративного строительства, а также развитием нефтяной и газовой промышленности.

В строительстве, при проектировании различного рода сооружений необходимо учитывать влияние фильтрационных потоков. Теория фильтрации позволяет прогнозировать те изменения, которые могут произойти в естественных грунтовых потоках при строительстве зданий и сооружений. Расчеты по теории фильтрации необходимы в нефтяной и газовой сфере.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации являются Н. Е. Жуковский, Н. Н. Павловский, Л. С. Лейбензон. Исследования этих ученых и их многочисленных учеников и последователей-стали фундаментальной основой развития теории фильтрации в нашей стране.

Н. Е. Жуковский в 1889 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении почвенных вод». Он впервые вывел общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показал, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, указал на математическую аналогию теплопроводности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде, решен ряд задач о притоке воды к скважинам.

Н. Н. Павловскому принадлежит определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разработанная им строгая математическая теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые задачи фильтрации воды были сформулированы как краевые задачи математической физики. Также он впервые предложил использовать параметр Рей-нольдса в качестве критерия существования закона Дарси.

Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбензона начались в 1921 г. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа. Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли С. X. Христианович, Б. Б. Лапук, И. А. Чарный.

В СССР особый интерес к проблеме фильтрации появился в 1930-е годы в связи со строительством гидротехнических сооружений. Следует отметить таких ученых как Я. И. Френкель, В. Н. Николаевский, П. П. Золотарев, Н. М. Герсеванов, В. А. Флорин, В. Н. Щелкачев, Г. В. Исаков, X. А. Рахматулин, Р. И. Нигматулин и др.

Наиболее близкими к теме диссертации разделами теории фильтрации являются теория течения жидкости в деформируемых пористых средах, теория консолидации и теория упругого режима фильтрации.

Теории течения жидкости в деформируемых пористых средах начала развиваться с работ Я. И. Френкеля. Им впервые была предложена полная система динамических уравнений движения произвольной насыщенной пористой среды. Система уравнений Я. И. Френкеля состояла из уравнений движения твердой и жидкой фазы, уравнения неразрывности для жидкости, уравнения упругого деформирования твердой фазы и некоторого замыкающего соотношения для пористости. В качестве параметров определяющих 3 деформации скелета среды у него фигурировали два модуля упругой объемной сжимаемости твердой фазы, сжимаемость жидкости, модуль поперечного сдвига скелета среды и некоторый дополнительной параметр, входящий в указанное замыкающее соотношение для пористости - всего пять параметров. Л. Я. Косачевский, воспользовавшись условием существования упругого потенциала рассматриваемой среды, выразил один из параметров Я. И. Френкеля через остальные четыре.

В работах В. Н. Николаевского уравнения движения насыщенной пористой среды формулировались как уравнения импульса для всей среды в целом и уравнения импульса для жидкости, уравнения баланса массы для твердой и жидкой фазы. Линеаризованные уравнения движения замыкались обобщенным законом Гука, связывающим фиктивные напряжения, поровое давление и деформации твердой фазы. Деформации представляли собой сумму деформаций, связанных с переупаковкой твердых несжимаемых частиц скелета среды и деформаций гидростатического расширения этих частиц под действием порового давления.

П. П. Золотарев дополнил систему динамических уравнений упругого деформирования, введя в рассмотрение линейные уравнения баланса тепла в фазах и термоупругие деформации жидкости и твердых частиц. Подробный термодинамический анализ упругого деформирования в насыщенных пористых средах выполнялся в работах В. Н. Николаевского и П. П. Золотарева. В их работах сформулированы уравнения притока тепла в фазах, как для линейного, так и для нелинейного случая. При этом была введена гипотеза о характере осредненной работы сил, действующей на границе между твердой и жидкой фазой.

Развитие теории консолидации грунтов как раздела теории фильтрации во многом определялось задачами речного и морского гидротехнического строительства, а также необходимостью проектирования и возведения ряда крупных промышленных транспортных сооружений. Теория консолидации дает расчетные методы решения следующих основных задач: развитие осе4 дания сооружений во времени, устойчивость оснований сооружений, развитие проседания грунтов при откачке жидкости. Впервые система уравнений одномерной консолидации была сформулирована К. Терцаги (1925).

В СССР первой в области консолидации земляных масс была работа Н. М. Герсеванова «Основы динамики грунтовой массы», 1933. В ней детально рассматривалась одномерная задача консолидации двухфазной среды. В составленной неполной модели уплотняющейся среды рассматривался полностью водонасыщенный грунт. Существенным уточнением работ Терцаги было обобщение зависимости закона Дарси на случай одновременного движения жидкой и твердой составляющей грунта. В дальнейшем С. А. Роза было дано решение одномерной задачи разбухания глинистого слоя конечной и неограниченной толщины. М. В. Малышевым рассмотрена задача о консолидации слоя водонасыщенного грунта, растущего по толщине во времени.

Обобщение теории консолидации Терцаги-Герсенова на многомерный случай, проводилась в работах В. А. Флорина. Им были предприняты попытки учета дополнительных физических эффектов - изменения проницаемости грунта и наличия начального градиента давления, структурной прочности и ползучести скелета грунта. Все основные работы В. А. Флорина в области консолидации грунтов обобщены им в двух монографиях: «Теория уплотнения земляных масс» и «Основы механики грунтов». Необходимо также отметить, что в его модели впервые рассматривалось наличие газа при консолидации.

В случаях, когда отток избыточной жидкости из порового пространства через свободную поверхность невозможен или на всех границах нагрузка передается только через жидкость, имеет место незначительная объемная деформация переупаковки. В таких случаях задачи рассматривались В. Н. Николаевским, В. А. Флориным.

Ряд исследований было посвящено учету отдельных факторов и особых условий консолидации грунтов. В. А. Флориным, Н. Н. Масловым, П. Л.

Ивановым рассматривались одномерная задача консолидации, происходящая 5 в результате разрушения структуры несвязанных грунтов под влиянием динамических воздействий, в частности при разжижении водонасыщенных песков.

Большое число исследований в теории консолидации посвящено учету ползучести скелета грунта. Допущения о мгновенно деформируемом скелете грунта в некоторых случаях не соответствует действительности, что отмечалось рядом исследователей. Так, Н. Н. Маслов отмечал, что уплотнению водонасыщенных глинистых грунтов препятствует их вязкость. В работах Н. Я. Денисова, М. Н. Гольдштейна, В. А. Флорина и др. также указывалось на необходимость времени для перемещения структурных элементов грунта. В ряде случаев предлагался приближенный учет влияния ползучести скелета грунта путем разделения процесса консолидации на два этапа - «первичной» и «вторичной» консолидации. При этом «вторичная» консолидация характеризуется только вязким деформированием грунта, происходящим уже после окончания процесса фильтрации воды из пор грунта.

Ползучесть скелета грунта, происходящая одновременно с процессом консолидации, была учтена В. А. Флориным при рассмотрении задачи об одномерном компрессионном сжатии.

Наряду с теоретическими результатами в теории консолидации большое значение имеют экспериментальные исследования. Экспериментальному определению свойств ползучести скелета грунта посвящены многочисленные исследования. К ним относятся работы С. А. Роза, А. И, Котова, А, Г. Соколова и т.д.

Цытовичем и Зарецким получены некоторые результаты по исследованию консолидации оттаивающих грунтов, в частности рассмотрена задача консолидации слоя оттаивающего грунта переменной толщины.

Теория упругого режима фильтрации появилась и начала развиваться в связи с развитием нефтяной промышленности.

Джейкоб фактически предложил первую математическую модель, отражающую ряд черт упругого режима фильтрации. Развивая применительно к 6 насыщенным пластам горных пород представления теории К. Терцаги уплотнения мягких грунтов Джейкоб принял, что роль уплотняющей внешней нагрузки играет неизменное вертикальное горное давление, уравновешенное напряжением в скелете среды и поровым давлением. Поэтому он считал, что изменение порового давления приводит к пропорциональному изменению напряжения, что связано с изменением пористости и мощности пласта. При выводе своих уравнений Джейкоб пренебрегал деформациями в плоскости пласта и сжимаемостью материала зерен твердой фазы.

В СССР первые наиболее важные результаты в области теории упругого режима фильтрации были получены В. Н. Щелкачевым. Он в своих работах в предположении о линейных связях пористости пласта и плотности твердых частиц с поровым давлением из уравнения неразрывности для жидкости и закона Дарси получил уравнение, которое назвал уравнением пьезопроводно-сти.

Развитие математической теории упругого режима фильтрации стимулировалось исследованиями прикладного характера, которые были связаны с основными принципиальными вопросами и методами проектирования разработки крупнейших месторождений нефти.

Следующий шаг в анализе физических предпосылок теории упругого режима фильтрации был сделан Г. В. Исаковым, который предпринял первую попытку изучения деформаций скелета пласта.

В ряде работ предпринимались попытки формального учета инерционных свойств жидкости, фильтрующейся при упругом режиме, однако вносимые при этом поправки к основным решениям оказались незначительными.

В последние десятилетия в теорию фильтрации жидкостей и газов в деформируемых пористых средах активно внедряются методы механики сплошных гетерогенных сред. Начало этому направлению было положено в работах X. А. Рахматулина, предложившего замкнутую систему уравнений взаимопроникающего движения многофазной смеси сжимаемых фаз, которая включала уравнения сохранения массы и импульса для каждой фазы. Следу7 ет отметить также работы Р. И. Нигматулина, где насыщенная пористая среда рассматривается как гетерогенная смесь с эффектом прочности одной из фаз.

Одним из основных методов интенсификации разработки месторождений является гидравлический разрыв пласта. В настоящее время около трети запасов углеводородов можно извлечь только с использованием этой технологии. Фундаментальные результаты по данному направлению получили известные отечественные ученые Баренблатт Г. И., Гарипов Т. Т., Желтов Ю. П., Христианович С. А. и т.д.

Широкие исследования по теории фильтрации проводятся и за рубежом. Наиболее выдающиеся достижения были сделаны следующими учеными: Анри. Дарси, Поль Филунгер, Карл фон Терцаги, М.Био, Джейкоб, М. Мас-кет, С. Баркли, М. Леверетт, А. Ван Эвердинген и т.д.

Начало систематическому изучению особенностей фильтрации жидкости в пористой среде было положено трудами французского инженера Анри Дарси в середине XIX века. Он экспериментально установил линейную зависимость скорости фильтрации воды через песчаный фильтр от разности напоров воды на входе и выходе фильтра и сформулировал закон, получивший его имя. Теоретическое обоснование опытного закона Дарси было выполнено другим французским ученым Ж. Дюпюи, который получил формулу для определения объемного расхода (дебита) скважин. Австрийский ученый Ф. Форхгеймер впервые применил методы теории потенциала для решения ряда фильтрационных задач. Существенный вклад в развитие представлений о структуре порового пространства и влиянии свойств пористой среды на движение в ней флюидов внес Ч. С лихтер.

В начале XX веке научную дискуссию по описанию насыщенных пористых сред развернули два профессора из Вены. В 1913 г. Поль Филунгер исследовал явление повышения давления поровой жидкости. В последующих работал он исследовал явления капиллярности и трения поровой жидкости при движении относительно пористого скелета, а также открыл эффект эффективных напряжений. Основатель современной механики грунтов, Карл 8 фон Терцаги в 1923 г. начал свои исследования в области насыщенных деформируемых пористых тел в рамках вычисления коэффициента проницаемости глины. Также в своих работах Терцаги применил закон Дарси для описания фильтрации жидкости через упругую пористую среду. Им введено понятие эффективного напряжения, как среднего по малому объему напряжения в твердой фазе грунта при нулевом давлении в насыщающей его жидкости. Уравнения Терцаги были одномерными и учитывали только вертикальную компоненту вектора перемещения. Несмотря на такое упрощение, модель получила широкое применение в механике грунтов и используется до сих пор при вычислении проседания поверхности грунта.

В 1936 г. Филунгер сформулировал концепцию современной теории насыщенных жидкостью пористых тел, использовав концепцию объемных долей и теорию смесей, однако эта его работа была впоследствии проигнорирована и забыта. Несмотря на взаимную непримиримую критику работ по механике грунтов, оба ученых, Филунгер и Терцаги, считаются основоположниками первых теорий пористых сред.

Дальнейшее развитие теория фильтрационной консолидации получила в работах В.А-.Флорина и М.Био. В предложенных ими независимо друг от друга теоретических моделях были учтены силовые воздействия фильтрационного потока на грунтовый скелет, зависимость фильтрационных характеристик процесса от изменения пористости. Теория Био является расширением классической теории упругости на случай двухфазной среды с учетом ввода дополнительных параметров, учитывающих взаимодействие фаз. Био вывел соотношения линейной теории пороупругости между напряжениями и деформациями в двухфазной среде, развил теорию, пористых сред, насыщенных жидкостью, в случае трехмерных задач. Позже он рассмотрел более общий случай вязкоупругих анизотропных пористых тел. Био применил принцип соответствия, согласно которому, уравнения, описывающие механику пористых сред, будут формально такими же, как и для упругих или вязкоупругих систем, при условии, что упругие коэффициенты заменены соответст9 вующими операторами. Дальнейшие исследования Био были связаны с распространением упругих волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде.

Трехмерная модель М. Био с некоторыми обобщениями, является, пожалуй, наиболее употребляемой в теории фильтрации с самого момента своего появления и по настоящее время. Такую популярность модели Био в своем классе задач можно объяснить удачным компромиссом между числом описываемых физических явлений и минимальным количеством используемых при этом предположений и упрощений. Платой за достаточную общность и универсальность в построении модели явилась связанность входящих в нее уравнений.

Большое значение для развития технологии нефтеотдачи имеют работы М. Маскета.

Основы теории двухфазной фильтрации, предложенные С. Баркли и М. Левереттом, получили широкое распространение и представляют собой основное содержание модели двухфазной фильтрации.

Работы зарубежных авторов последних лет, так же как и отечественных посвящены гидродинамическому моделированию процессов разработки нефтяных и газовых месторождений применительно к усложняющимся условиям их эксплуатации.

Большое распространение в последнее время получили конечно-разностные и конечно-элементные методы как в России так и за рубежом. В двух- и трехмерных задачах фильтрации для слоистых грунтов альтернативы последним методам решения нет. До 1990-х годов получить численное решение в рамках модели Био не удавалось. В последующие годы развитие в моделировании процесса фильтрации жидкости в грунте шло, по сути, в двух направлениях. Во-первых, в создании моделей с нелинейными определяющими соотношениями для твердой фазы грунта, в обобщении закона Дарси на случай нелинейной зависимости от скорости жидкости, учете температурных деформаций, увеличении числа фаз в модели, учете фазовых переходов и

10 массообмена между фазами и т.д. Здесь существенный вклад внесли работы В.Н. Николаевского, Р.И. Нигматулина, Г.И. Баренблатта, С.А. Христиано-вича. Методы определения констант и построения решения для настолько общих моделей пока встречают определенные трудности. Во-вторых, развивались математические, как правило, численные методы решения практических задач фильтрации по модели Био. В этом направлении известны работы Р. Бори, Д. Хелма, X. Чена, П. Хсая, Дж. Зу и другие.

Также необходимо отметить, что в последние годы для решения сложных фильтрационных задач создано несколько новых направлений, в частности, развитие исследований показало, что традиционные задачи гидродинамической теории фильтрации можно сформулировать как стохастические в средах со случайными неоднородностями. В связи с этим активно развивается специфическое направление в теории фильтрации, которое можно назвать стохастической теорией фильтрационных процессов. В некоторых случаях традиционных методов подземной гидромеханики становится недостаточно для адекватного описания всего периода жизни месторождения. В таких случаях применяют вероятностно-статистические методы.

Под влиянием новых актуальных задач, выдвигаемых практикой разработки месторождений в настоящее время интенсивно исследуются задачи взаимного вытеснения жидкостей и газов в пористых средах, задачи с подвижной границей и эффективные приближенные методы их решения.

Наиболее близкие работы к теме диссертации это работы C.B. Шешени-на и Ф. Б. Киселева, Paul A. Hsieh, К. Lipnikov, A. Naumovich в которых рассматривается связанная модель фильтрации Био.

В диссертационных работах К. Lipnikov 2002 г. и A. Naumovich 2007 г. рассмотрены численные методы, применительно к модели Био. Характерной чертой работы A. Naumovich является использование многосеточных методов применительно к трехмерной области. В данной диссертации многосеточные методы не используются, поскольку их эффективность теряется в случае большого разброса коэффициентов уравнения. Отличительной чертой

11 данной диссертации является рассмотрение слоистых грунтов с сильно различающимися упругими и фильтрационными свойствами.

Цели работы:

1. Исследование и создание надежной численной реализации связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2. Исследование различия между решениями по связанной и несвязанной моделям.

3. Решение практических задач с помощью разработанных компьютерных программ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан эффективный и надежный численный метод решения связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2. Теоретически и с помощью расчетов показано, что в случае откачки из скважин в однородной бесконечной упругой среде и в слоистой бесконечной среде с неперетекающими несущими слоями, связанная задача сводится к несвязанной.

3. Показано, что в задачах откачки жидкости из месторождения связанная и несвязанная модели дают близкие решения. ~

4. Показано, что в задачах с силовым внешним воздействием связанная и несвязанная модели дают различные решения.

5. Предложено обобщение связанной задачи фильтрации в виде геометрически нелинейной постановки.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты имеют теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения ряда практических задач, связанных с фильтрационными явлениями, например, возникающих в строительной практике.

Основное содержание работы.

Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В настоящей диссертационной работе рассматривается связанная модель фильтрации в упругой пористой среде, основанная на теории фильтрации Био с некоторыми обобщениями, главным из которых является обобщение на случай больших деформаций. Эффект связанности появляется из-за взаимного влияния деформации каркаса грунта и изменения давления жидкости в порах. В работе рассмотрены два класса задач: задачи фильтрации жидкости вследствие откачки из месторождения и задачи с внешним силовым воздействием. Задачи фильтрации жидкости из месторождения - это типичные задачи откачки/закачки жидкости из одного из слоев многослойного грунта. Задачи с силовым внешним воздействием - это типичные задачи расчета проседания фундаментов в водонасыщенном грунте.

Связанная модель позволяет определять одновременно фильтрационный поток жидкости иосадку деформируемой пористойсреды, в которой происходит фильтрация. В работе предложена, исследована и реализована надежная численная модель фильтрации в упругой пористой среде. Разработанная численная модель позволяет рассчитывать величины изменения порового давления, горизонтальные и вертикальные перемещения, в том числе проседания земной поверхности в рассматриваемых задачах, а также напряжения и деформации.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Какушев, Эльдар Рамазанович

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1) Разработана, исследована и реализована надежная численная связанная модель фильтрации в упругой пористой среде. Численные алгоритмы реализованы в виде пакетов программ на языке FORTRAN;

2) Математически и на основе численных тестов исследована связь между решениями по связанной и несвязанной моделям фильтрации в упругой пористой среде;

3) Решены две практические задачи: задача об откачке из скважины в 13-слойном грунте для кафедры инженерной и экологической геологии геологического факультета МГУ, и задача о притоке воды к подземным сооружениям в сотрудничестве с ОАО «Мосинжпро-ект».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Какушев, Эльдар Рамазанович, 2013 год

1. Абдулвалабов А. И. О пределе применимости линейного закона фильтрации. «Азербайджанское Нефтяное Хозяйство» № 9, 1960 г. с. 24-32.

2. Абдулвалабов А. И. О законе движения жидкостей и газов в пористой среде. «Нефть и Газ» № 4, 1961 г. с. 83-89.

3. Аникеев А. В., Артамонова Н. Б., Калинин Э. В. Некоторые особенности деформирования и разрушения горных пород при техногенном изменении режима подземных вод. // Геоэкология, № 3, 2000. с. 249 - 256.

4. Антонов Д. А. Экспериментальное определение коэффициентов сжимаемости песчаников. «Труды Уфимского Н.- И. института», вып. 2, 1957 г., с. 117-127.

5. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 208 с.

6. Басниев К С., Конина И. К, Максимов В. М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. М.: Недра, 1993 г., 416 с.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наукау 1987. 600 с.

8. Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седло-вых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. - 349 с.

9. Васидзу К Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир. 1987. 542 с.

10. Гиматудинов Ш.К, Ширковский А.И. Физика нефтяного и газового пласта / Учебник для вузов. Изд. 3-е перераб. М.: Недра. 1982. — 311 с.

11. Говорова Г. Л. Перераспределение пластового давления в процессе заводнения. «Нефтяное хозяйство» № 1, 1949 г., с. 26-31.

12. Дьяконов Е. Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989. -272 с.

13. Егоров А. Г., Костерин А. В., Скворцов Э. В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Казанского Ун-та, 1990 г., 102 с.

14. Ентов В.М., Зазовский А.Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра. 1989. 232 с.

15. Желтое Ю. П. Разработка нефтяных месторождений. Учебник для вузов/ Ю.П. Желтов 2-е изд. перераб. и доп. М.: ОАО «Издательство недра», 1998. - 365 с.

16. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. - 1975. -541 с.

17. Зенкевич О. К., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с англ. М.: Мир. - 1986. - 318 с.

18. Какушев Э. Р., Шешенин С. В. Связанная и несвязанная модели нестационарной фильтрации. // Вестник ЦКР Роснедра. 2012. № 2. с. 27-35.

19. Какушев Э. Р., Шешенин С. В., Закалюкина И. М. Итерационные методы решения связанной задачи фильтрации. // Вестник МГСУ. 2012. № 9. с. 129-136.

20. Киселев Ф. Б. Численное моделирование в задачах механики грунтов: диссертация . кандидата физико-математических наук: 01.02.2004 Москва, 2006 101 е.: 61" 06-1/405--------------" -----

21. Киселев Ф. Б. ,Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах. // Изв. РАН. МТТ, 1996, №4, с. 129135.

22. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. М., «Мир», 1964 г., 353 с.

23. Крейг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении / Пер. с англ. М.: Недра. 1974. - 192 с.

24. Кулинич Ю. В., Нарожная 3. В., Рыков Г. В. Механические характеристики песчаных и глинистых грунтов с учетом их вязкопластических свойств при кратковременных динамических нагрузках. М.: ИПМ АН СССР, 1976, препринт №69, 96 с.

25. Максимов М. М, Рыбицкая Я. П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: «Недра». 1976 г. -264 с.

26. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 628 с.

27. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977 г. - 431 с.

28. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. 4 1- Москва. Наука. Гл. ред. Физ. мат. лит., 1987 г., 464 с.

29. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М. Наука, 1978.-336 с.

30. Николаевский В. Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. — 447 с.

31. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.-232 с.

32. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 339 с.

33. Новацкий В. Теория упругости. Перевод с польского Б. Е. Победри. М.: Мир, 1975.-871 с.

34. Олейник О. А., Иосифъян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи л „л ТТЛ Л ТТТТ /N«« Л ТТТГТ ТЧ f « Л К . Т I Л Л I 'Л Т 1 ЛЛЛтеории СИЛЬНО исидииридныл унрушл. срсд. — ivi. ivil > . — 1УУЧ i .-311 с.

35. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. . . ----

36. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

37. Победря Б. Е. О вычислительной механике деформируемого твердого тела. В сб. «Математические методы механики деформируемого твердого тела». М.: Наука, 1986. с. 124-129

38. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1981 г.

39. Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Основы механики сплошной среды (курс лекций). Учебное пособие. М.: Физматлит, 2006. 272с.

40. Полубаринова Кочина П. Я. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (за 50 лет). М.: Наука. - 1969. - 548 с.

41. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 269 с.

42. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука. - 1989 г. - 616 с.

43. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

44. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.: Госстройиздат, 1961.

45. Тухватуллина А. В., Кантур О. В. Математические модели деформирования мягких грунтов. В. кн.: Совершенствование методов расчета и конструкций подземных сооружений. М.: 26 ЦНИИ МО РФ, 2000 г.

46. Холимое Э.М., Деви Б.И., ДзюбаВ.И., Пономарев С.А. Технология повышения нефтеотдачи пластов. М.:Недра. -1984. 271 с.

47. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир. -1986. - 448 с.

48. Цытович Н. А. Механика грунтов. М.: Высшая школа. - 1983. - 288 с.

49. Шешенин С. В., Какушев Э. Р., Артамонова Н. Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2011. № 5. с. 66-68.

50. Шешенин С. В., Киселев Ф. Б. Численное моделирование нестационарной фильтрации в-грунте. // Изв. РАН, МТТ, 3, 1996.

51. Шешенин С. В., Кузь И. С. О прикладных итерационных методах. Вычислительная механика деформируемого твердого тела. - М., вып. 1. — 1990.-с 63-74.

52. Щелкачев В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Монография. В 2 ч. -М.: Нефть и газ, 1995. -4.1. 586 е.; Ч. 2. -495 с.

53. Щелкачев В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Гостопиздат. 1959. - 467 с.

54. Щелкачев В. Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. Москва, Гостохтепиздат, 1948 г., 144 с.

55. Bathe K. J. Finite Element Procedures. // Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ. 1996,- 1037 p.

56. Bathe K. J, Pantuso D. On the stability of mixed finite elements in large strain analysis of incompressible solids. // Finite Elements in Analysis and Design. -1997. -№28.-P. 83- 104.

57. Belytschko T., Liu W.K., Moran B. Nonlinear Finite Element Analysis for Continua and Structures. John Wiley & Sons, 2000.

58. Biot M. A. Bending settlement of a slab resting on a consolidating foundation. //Journal of Applied Physics. 1942. Vol. 13. No. l.-P. 35-40.

59. Biot M. A. Consolidation Settlement of a soil with an impervious top surface. //Journal of Applied Physics. 1941. Vol. 12. No. 7.-P. 578-581.

60. Biot M. A. Consolidation Settlement under a rectangular load distribution. // Journal of Applied Physics. 1941. Vol. 12. No. 5. - P. 426 - 430.

61. Biot M. A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material // Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME. 1956. Vol. 23. No. l.-P. 91-96.

62. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation. // Journal of Applied Physics. 1941. - Vol. 12. No. 2. - P. 155-164.

63. Biot M. A. The Elastic Coefficients of the Theory of Consolidation. // Journal of Applied Mechanics. 1957. Vol. 24. - P. 594 - 601.

64. Biot M. A. Theory of deformation of a porous viscoelastic anisotropic solid. /'/' Journal of Applied Physics. 1956. Vol. 27. No. 5. - P. 459 - 467.

65. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic . solid. //JournaLof Applied Physics. 1955. Vol.-26. No. 2. - P, 182 —185.

66. Biot M. A. Theory of finite deformations of porous solids. // Indiana University Mathematics Journal. 1972. Vol. 21. No. 7. - P. 597 - 620.

67. Biot M. A. Theory of stability and consolidation of a porous medium under initial stress. // Journal of Mathematics and Mechanics. 1963. Vol. 12. No. 4. -P. 521 -542.

68. Boland J., Nicolaides R. Stability finite elements under divergence constraints, SIAM J. Numer. Anal., 20 (1983), pp 722-731.

69. Braess D. Finite Elements: theory, fast solvers and applications in solid mechanics. Cambridge. - 2001. - 352 p.

70. Braess H., Wriggers P. Arbitrary Lagrangian Eulerian finite element analysis for free surface flow // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190. - 2000. -P. 95-109.

71. Brenner S. C., Scott L. R. The mathematical theory of finite element methods. // Springer, 2002. - 363 p.

72. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. // SpringerVerlag, New York, 1991.-223 p.

73. Burbey T. J. Validity of Jacob's assumptions for calculation subsidence due to pumping of confident aquifers. / Morel-Seytoux HJ (ed) Proc/ 17th Annual Am/ Geophys Union Hyd. Days Conf., 14-17 Apr. 1997, Colorado State Univ., Fort Collins, Colorado.

74. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris, 1856, 647 p.

75. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems. John Wiley & Sons, Chichester, New York, 2003.

76. Elman H. C., Silvester D. J., Wathen A. J. Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamics. Oxford: Oxford Uniersity Press, 2005. 400 p.

77. Fatt I. Compressibility of sandstones at low to moderate pressures. // Bulletin of the Association of Petroleum Geologist. 1958. Vol. 42. - No.8. - P. 1924-1957.

78. Gambolati G. Numerical models in land subsidence control // Computer Methods in Applied Mechanics end Engineering. 1975. - No. 5. - pp. 227 -237.

79. Gaspar F.J., Gracia J.L., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. A stabilized method" for a secondary consolidation Biot's model. Numerical Methods Partial Differential Equations 24: 60-78 (2008).

80. Hsieh P. A. Deformation-induced changes in hydraulic head during groundwater withdrawal: Ground Water, v, 34, no. 6, pp 1082-1089.

81. Huerta A., Casadei F. New ALE application in non-linear fast-transient solid dynamics // Engrg. Comput. 11. - 1994. - P. 317-345.

82. Jacob C. E. Flow in groundwater // Engineering hydraulics / Ed. By H. Rouse. N. Y.: Wiley, 1950. 321 386.

83. Kühl E., Hulshoff S., de Borst R. An arbitrary Lagrangian Eulerian finite-element approach for fluid-structure interaction phenomena // Int. J. Numer. Methods Engrg. 57. - 2003. - P. 117-142.

84. Lipnikov K. Numerical methods for the Biot model in poroelasticity. // A Dissertation presented to the Faculty of the Department of Mathematics. University of Houston. May 2002. p. 232.

85. Naumovich A. On finite volume discretization of the three-dimensional Biot poroelasticity system in multilayer domains. Computational methods in applied mathematics, Vol. 6 (2006), No. 3, pp. 306-325

86. Naumovich A., Gaspar F.J. On a multigrid solver for the three-dimensional Biot poroelasticity system in multilayered domains. Comput. Vis. Sei. 11, 7787 (2008).

87. Rodriguez-Ferran A., Perez-Foguet A., Huerta A. Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation for hyperelastoplacitcity // Int. J. Numer. Methods Engrg. 53. - 2002. - P. 1831-1851.

88. Schanz M. On the equivalence of the linear Biot's theory and the linear theory of porous media. 16th ASCE engineering Mechanics Conference. July 16-18, 2003, University of Washington, Seattle.

89. Settari A., Walters D. A. Advances in Coupled Geomechanical and Reservoir Modeling with applications to reservoir compaction // SPE Journal, Sept. 2001, P. 324-334.

90. Srenberg R. Analysis of mixed finite elements methods for the Stokes problem: A unified approach, Math, Comp., 42 (1984), pp 9-23.

91. Uzawa H. Iterative methods for concave programming. In studies in Linear and Nonlinear Programming (K. J. Arrow, L. Hurwicz and H. Uzawa, eds). Stanford University Press. Stanford, CA~ 1958. pp. 154- 165.

92. Wall W.A. Fluid-Struktur-Interaktion mit stabilisierten Finiten Elementen, Ph.D. thesis, Bericht des Instituts fur Baustatik Nr. 31, Universität Stuttgart, 1999. E. Kühl et al. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 193. - 2004. -P. 4207^1222.

93. Wolff R. G. Relationship between horizontal strain near a well and reverse water level fluctuation. // Water Resources Research. 1970. - Vol. 6. - No. 6 -P. 1721 - 1728.

94. Zhu J.-G., Yin J.-H. Deformation and Pore-Water Pressure Responses of Elastic Viscoplastic Soil. // Journal of Engineering Mechanics. September 2001. -P. 899-908.