Моделирование нестационарных фильтрационных процессов в пороупругих средах с физическими нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Наседкина, Анна Андреевна

• Наседкина, Анна Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Наседкина, Анна Андреевна

Введение

ГЛАВА I. Фильтрационная осесимметричная модель гидродинамического воздействия на трехслойный угольный пласт

1.1. Основные положения теории пористых сред

1.2. Вывод уравнения фильтрации жидкости в гетерогенной изотропной пористой среде.

1.3. Постановка двумерной начально-краевой задачи фильтрации в цилиндрических координатах для изотропной среды

1.4. Конечно-элементная аппроксимация осесимметричной задачи фильтрации.

1.5. Разработка конечно-элементной модели для осесимметричной задачи фильтрации.

1.6. Результаты конечно-элементного моделирования гидродинамического воздействия на трехслойный угольный пласт для задачи фильтрации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование нестационарных фильтрационных процессов в пороупругих средах с физическими нелинейностями»

Актуальность темы. Диссертационное исследование посвящено моделированию фильтрационных процессов с одним флюидом в пороупругом массиве при нелинейно зависящем коэффициенте фильтрации от порового давления. Такие задачи особо актуальны при изучении проблемы дегазации угольных и сланцевых месторождений с помощью гидродинамических методов воздействия на угольные пласты с целью извлечения метана.

Проблема дегазации угольных пластов приобрела в последнее время большое значение в связи с разработкой угольных месторождений на больших глубинах, где угольные пласты обладают высокой степенью газоносности и выбросоопасности. Предварительное извлечение метана из газонасыщенных угольных пластов является неотъемлемым этапом подготовки месторождений к безопасной и эффективной разработке. Кроме того, в настоящее время угольный метан рассматривается как важнейший нетрадиционный вид энергетического сырья, прогнозные ресурсы которого в основных угольных регионах России оцениваются в 50-60 трлн. м3. Добыча угольного метана в США достигла 40 млрд. м3 в год и продолжает интенсивно наращиваться в последние годы [8]. Аналогичные работы с 1995 г. ведутся в Кузбассе и Восточном Донбассе [22, 79].

Вместе с тем технология извлечения метана из угольных пластов принципиально отличается от технологии добычи традиционного природного газа, так как метан в угольном веществе находится в связанном сорбированном состоянии, и для деструкции системы «уголь-газ» необходимо применение специальных методов воздействия на угольный массив [81]. Степень воздействия на угольный пласт варьируется от простого вытеснения метана из порового пространства (методы гидродинамического воздействия) до полного разрушения твердого вещества и получения углегазовой суспензии (бароградиентные методы, метод кавитации), что позволяет извлечь не только газ, но и уголь с больших глубин.

Методы гидродинамического воздействия направлены на повышение трещиноватости угольных пластов и освобождение метана из открывшихся трещин. В данной работе разработаны модели для метода гидродинамического расчленения.

Технология гидродинамического расчленения состоит в следующем. Через специально пробуренную скважину в пласт под большим давлением нагнетается рабочая жидкость. Фронт жидкости перемещается вглубь пласта в режиме фильтрации, оттесняя и сжимая содержащийся в порах газ. Когда давление достигает давления гидроразрыва, в пласте появляются трещины, из которых высвобождается метан. Нарушение структуры угольного пласта приводит к газоотдаче в зоне дегазации. Определение размеров зоны дегазации скважины является основной целью моделирования.

В силу того, что метан в порах находится в связанном сорбированном состоянии, в разрабатываемых математических моделях обычно учитываются коэффициенты фильтрации слабо сжимаемой жидкости, а не газа, как это было бы логично в случае нахождения метана в «свободном» состоянии.

Объект исследования. Объектом исследования является многослойный угольный пласт, состоящий из слоев угля и сопутствующих пород, в котором движется жидкость в режиме фильтрации. С позиции математического моделирования угольный пласт является двухфазной насыщенной пористой средой с одним флюидом. Твердая фаза скелета в данном случае состоит из нескольких материалов, имеющих различные механические и фильтрационные свойства. Один из материалов характеризуется нелинейной зависимостью коэффициентов фильтрации от порового давления, что делает математическую модель существенно нелинейной. Жидкая фаза характеризуется наличием фильтрующегося в порах флюида. Давление жидкости и вектор перемещений пористого твердого тела являются независимыми переменными и основными неизвестными в двухфазной пористой среде. В теории пороупругости ключевым является положение о том, что поровое давление жидкости вносит вклад в общее напряжение пористого твердого тела. В упрощенных моделях пористых сред уравнения фильтрации и деформации могут рассматриваться независимо друг от друга. В общем случае предполагается связанный анализ для твердой и жидкой фаз, то есть совместное решение уравнений деформации пористого тела и фильтрации жидкости в пористой среде. В данной работе отражены несколько этапов моделирования по принципу от простого к сложному. Рассмотрены как чисто фильтрационные,,так и связанные пороупругие задачи.

Методы исследования. Основу методологии теоретического исследования в данной работе составляют фундаментальные положения теории пористых сред, поро- и термоупругости, а также принципы механики разрушения. Решение сформулированных нелинейных нестационарных начально-краевых задач со сложной геометрией требует применения численных методов. В диссертационной работе численное моделирование проводится с помощью метода конечных элементов и специально разработанных программ на языке APDL комплекса ANSYS.

Обзор существующих моделей и методов исследования. Моделирование процесса гидродинамического воздействия на угольный пласт связано с моделированием течения жидкости в пористой среде, которое базируется на двух направлениях теории насыщенных пористых сред: теории фильтрации и пороупругости.

Первые исследования в теории пористых сред были сделаны немецким инженером Р. Вольтманом (Reinhard Woltman), который в 1794 г. ввел понятие объемных долей. Дальнейший вклад в развитие теории пористых сред внесли А. Дарси (Henry Darcy), А. Фик (Adolf Fick) и Ж. Стефан

Josef Stefan). Французский инженер А. Дарси на основании опытов по просачиванию воды в песке в 1856 г. открыл закон фильтрации жидкости в пористой среде, устанавливающий пропорциональность скорости фильтрации градиенту давления. Закон Дарси является одним из основных в современной теории фильтрации. Год спустя А. Фик разработал теорию смесей и сформулировал законы диффузии. В 1871 г. Ж. Стефан исследовал диффузию смесей газа, применив концепцию объемных долей.

В начале XX веке научную дискуссию по описанию насыщенных пористых сред развернули два профессора из Вены. В 1913 г. Поль Филунгер (Paul Fillunger) исследовал явление повышения-давления поровой жидкости. В последующих работал он исследовал явления капиллярности и трения поровой жидкости при движении относительно пористого скелета, а также открыл эффект эффективных напряжений. Основатель современной механики грунтов, Карл фон Терцаги (Karl von Terzaghi) в 1923 г. начал свои исследования в области насыщенных деформируемых пористых тел в рамках вычисления коэффициента проницаемости глины. Описывая консолидацию грунтов, т. е. процесс осадки пористой деформируемой среды, содержащей вязкую жидкость, под действием нагрузки, Терцаги интуитивно и независимо от Филунгера сформулировал определяющее соотношение между приращениями пористости и эффективными напряжениями, которое впоследствии назвал принципом эффективных напряжений. Также в этой работе Терцаги применил закон Дарси для описания фильтрации жидкости через упругую пористую среду. В 1936 г. Филунгер сформулировал концепцию современной теории насыщенных жидкостью пористых тел, использовав концепцию объемных долей и теорию смесей, однако эта его работа была впоследствии проигнорирована и забыта.

Несмотря на взаимную непримиримую критику работ по механике грунтов, оба ученых, Филунгер и Терцаги, считаются основоположниками первых теорий пористых сред. Их работы определили два направления в макроскопической теории пористых сред, которые интенсивно развиваются и сегодня.

Концепцию Терцаги, которая заключается в рассмотрении насыщенного жидкостью пористого тела как единого целого, развил М. Био (Maurice Biot). Теория Био является расширением классической теории упругости на случай двухфазной среды с учетом ввода дополнительных параметров, учитывающих взаимодействие фаз. В [95] Био вывел соотношения линейной теории пороупругости между напряжениями и деформациями в двухфазной среде. Позже в [96] Био рассмотрел более общий случай вязко-упругих анизотропных пористых тел. Дальнейшие исследования Био были связаны с распространением упругих волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде. Подход Филунгера, а именно применение аксиом механики к каждой составляющей наполненного жидкостью пористого тела и использование концепции объемных долей в рамках теории смесей, развил G. Heinrich в 1938 г. Heinrich написал несколько значительных работ по теории пористых сред, вместе с Desoyer разработал трехмерную теорию консолидации.

Историческому обзору исследований по разработке теорий пористых сред посвящено несколько работ De Boer [100, 101] и [102], где дан также обзор современного состояния теории пористых сред. В русскоязычной литературе небольшой исторический обзор можно найти в [14].

Феноменологическая теория насыщенной пористой среды, предложенная в работах Био, в настоящее время считается общепризнанной и находит широкое применение в приложениях. Теория пороупругости Био была развита A. Verruijt в работе по механике грунтов [126], а также J. Rice и М. Cleary, которые рассмотрели дренажное и недренажное состояние насыщенной пористой среды [121]. Альтернативные модели [92, 97] на основе теории смесей жидкости и твердого тела на практике не дали какого-либо преимущества перед теорией Био [103].

Фундаментальным основам теории пороупругости посвящено большое количество публикаций, отметим здесь работы Е. Detournay и A. Cheng [103], H. Wang [127] и О. Coussy [99]. J. Geertsma в [104] отметил аналогию между уравнениями термоупругости и уравнениями линейной теории упругости для насыщенных пористых сред. Впоследствии аналогия между уравнениями поро- и термоупругости исследовалась во многих работах. Например, A. Norris вывел аналогию между уравнениями статической пороупругости и уравнениями термоупругости, включающими энтропию [119]. R. Zimmerman рассмотрел параметры связывания в уравнения поро- и термоупругости [132].

Связанным задачам пороупругости посвящены также работы S. R. Tod [125], P. Sun [124], Y. Zhao [118], В. A. Schrefler и L. Sanavia [122], а также А. В. Каракина [26], А. В. Колдобы [29] и др. В [125] выводится теория эффективной анизотропной среды для насыщенного пористого тела с эллипсоидными включениями, размер которых выходит за пределы микроуровня и в то же время меньше длины волны на макроуровне. В [124] представлена связанная модель просачивания метана в параллельных деформируемых угольных пластах, в которой рассматривается взаимодействие фаз твердого тела и газа. Численное решение полученной связанной задачи выполняется с помощью неявных аппроксимаций конечными разностями. В [118] рассмотрена более сложная нелинейная связанная модель просачивания газа и деформации твердого тела, где твердая фаза содержит как области с пористой матрицей, для которой используется модель сплошной среды с переменными упругими модулями, так и области с трещинами, для которых принимается модель Гудмана (Goodman). Для численного решения задачи был применен метод конечных элементов. Работа [122] посвящена связанным уравнениям для насыщенных и частично насыщенных пористых сред, претерпевающих большие упругие и упруго-пластические деформации. В данных моделях пористая среда рассматривается как неизотермическая многофазная сплошная среда, в порах твердого скелета которой содержатся вода и воздух. В [26] исследованы краевые задачи пороупругости с целью реализации принципа неполной связанности. В [29] рассмотрен процесс однофазной фильтрации и предложен алгоритм для численного интегрирования связанной задачи упругости - фильтрации.

Вопросы теории фильтрации жидкостей и газов в пористых и трещиноватых средах рассматривались с работах М. Muscat [112], П. И. Полубариновой-Кочиной [64], Г. И. Баренблатта [2, 3], J. Bear [94], С. А. Христиановича [65], В. Н. Николаевского [55, 56, 57]. Фильтрационным течениям многокомпонентных смесей в пористой среде посвящены труды М. Д. Розенберга [67], Д. А. Эфроса [84] и др.

Моделирование методов гидродинамического воздействия на угольные пласты представляет в последнее время большой интерес в России и на Украине. Интенсификация дегазации углепородного массива путем гидродинамического воздействия на газонасыщенные угольные пласты рассматривалась в работах К. К. Софийского и др. [7, 18, 74, 75, 76]. Гидродинамические методы воздействия используются не только для добычи угольного метана, но и при разработке месторождений нефти и газа. Математические модели процессов извлечение нефти и газа можно найти в работах Р. Д. Каневской [23, 24]. При моделировании гидродинамического воздействия на угольный пласт рассматриваются процессы фильтрации жидкости в пористой среде, деформации пористого скелета [13], а также процессы разрушения, например, отрывное разрушение при гидрогазоимпульсном воздействии в работах В. И. Карева [28], В. Н. Одинцева [60], А. В. Караки-на [27], Т. Т. Гарипова [11]-[13]. Простейшая аналитическая модель метода гидравлического расчленения угольного пласта, в которой рассматривался только процесс фильтрации, была предложена в работах JI. А. Пучкова, С. В. Сластунова, Г. Г. Каркашадзе и К. С. Коликова [66, 73]. Уравнение фильтрации жидкости выводилось из уравнения неразрывности и линейного закона Дарси. Полученная одномерная осесимметричная задача решалась численно методом конечных разностей. А. Г. Оловянный в [61] рассматривал гидравлический разрыв пласта как процесс развития разрывных нарушений в элементах массива горных пород при фильтрации жидкости под давлением. В качестве критерия разрушения было принято условие прочности на растяжение от действия эффективных напряжений, а для решения поставленной задачи был использован метод конечных элементов.

Метод конечных элементов в настоящее время стал одним из наиболее эффективных численных методов решения разнообразных физических задач для тел произвольной геометрической формы. Метод конечных элементов является по существу методом Бубнова-Галеркина для решения задач математической физики со специальным базисом из финитных функций (функций с локальными носителями). Как и в других методах семейства метода Бубнова-Галеркина, здесь на первоначальном этапе осуществляется переход от классической постановки задачи математической физики к ее обобщенной, или слабой, постановке. Такие постановки обычно имеют вариационный, или энергетический, смысл. Далее ищется приближенное решение в конечномерном пространстве функций с локальными носителями, заданными на комбинациях областей простых геометрических форм. Классические конечно-элементные базисы обеспечивают лагранжеву аппроксимацию решений кусочно-полиномиальными функциями невысокой степени.

Указанные особенности метода конечных элементов обеспечили эффективность его технологий и программных реализаций. Так, произвольная область или ее аппроксимация может быть разбита на совокупность конечных элементов простой формы. На этих конечных элементах может быть задана лагранжева аппроксимация решений полиномами невысокой степени, и для конечных элементов могут быть эффективно вычислены локальные конечно-элементные матрицы и векторы поверхностных и объемных нагрузок. При этом, поскольку в аппроксимациях используются полиномиальные функции невысокой степени и параметрические отображения, то при вычислениях интегралов для элементных матриц и векторов могут использоваться квадратурные формулы с небольшим числом узлов. Глобальные конечно-элементные матрицы и векторы получаются в результате простых процедур ансамблирования элементных матриц и векторов и учета главных граничных условий.

В итоге получаются разрешающие конечно-элементные системы, матрицы которых обычно имеют хорошие вычислительные свойства (симметричность, положительная определенность, разреженность и др.), что позволяет использовать мощные и эффективные численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, систем нелинейных уравнений, задач на собственные значения, интегрирования по времени задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений по времени и так далее.

По-видимому, первое формальное изложение метода конечных элементов для задач механики привели в 1956 г. американские исследователи M. J. Turner, R. W. Clough, H. С. Martin, L. P. Topp. Разрабатывая один из проектов известной авиакомпании Боинг, с целью анализа плоского напряженного состояния они ввели элемент треугольного вида, для которого сформулировали матрицу жесткости и вектор нагружения в узлах. R. W. Clough первым ввел термин «конечные элементы» в своей более поздней работе [98], посвященной плоским задачам теории упругости. Метод конечных элементов стал широко использоваться для решения задач механики деформируемого твердого тела [30, 32, 68, 69, 129] и др. Позднее метод конечных элементов стал применяться для решения задач в различных областях, не связанных с расчетом конструкций, таких как гидродинамика [31, 130], теплопередача и теория поля, в том числе и для решения задач механики пористых сред [107, 108, 120, 128] и механики разрушения [36]. Обзоры, касающиеся истории развития метода конечных элементов, приведены в работах таких специалистов по методу конечных элементов, как О. Зенкевич [19, 20, 21, 131], М. Секулович [71], Р. Галлагер [10], Дж. Оден [59], Л. Сегерлинд [70]. Изложение основ метода конечных элементов можно найти в [6, 15, 20, 33, 34, 58, 77, 83, 93] и во многих других работах.

В настоящее время широкое распространение получили комплексы программ, разработанные для решения различных типов задач механики сплошных сред по методу конечных элементов (конечно-элементные пакеты). Первые такие программные комплексы были созданы в 60-х годах XX века. В дальнейшем были разработаны сотни программных комплексов, универсальных и специализированных, предназначенных для приближенного решения самых разнообразных задач. Наибольшее распространение получили такие конечно-элементные комплексы, как ANSYS, MARC, ABAQUS, ADINA, MSC/NASTRAN, COSMOS, LS-DYNA. и др.

Одним из наиболее популярных и широко используемых конечно-элементных пакетов является ANSYS. Данный программный комплекс позволяет решать задачи в области прочности конструкций, теплофизики, электромагнетизма, гидроаэромеханики, а также связанные многодисциплинарные задачи. Описание применения данного пакета для решения инженерных задач можно найти в [4, 5, 25, 35, 82, 109, 110] и других работах.

Для проведения расчетов по методу конечных элементов в диссертационной работе применяется конечно-элементный пакет ANSYS версии 11.0 [89]-[91]. В данной версии конечно-элементного пакета, доступной для использования в научно-исследовательской работе в Южном федеральном университете, присутствуют модули температурного и термоупругого анализа, но не реализованы модели пористых сред. Однако, применяя поротермоупругую аналогию, в ANSYS 11.0 удается решать задачи фильтрации и пороупругости фактически как задачи теплопроводности и термоупругости. Особенностью моделирования изучаемого процесса гидродинамического воздействия на угольный пласт является еще и то, что коэффициенты фильтрации угольного пласта не только зависят от давления, но и изменяются скачкообразно при деструкции угольного пласта. Этим объясняется выбор в пользу пакета ANSYS, так как в других доступных конечно-элементных пакетах, таких как MSC Marc [111], ABAQUS [85], ADINA [86, 87], содержащих специальные модули анализа пористых сред, такая зависимость не может быть учтена стандартными средствами. Сравнение этих пакетов показало, что реализации моделей пористых сред в основном схожи [39]. В пакете ABAQUS возможен только связанный анализ, тогда как в пакете Marc процессы фильтрации и деформации могут рассматриваться и независимо друг от друга. Однако, ABAQUS позволяет рассматривать ненасыщенные пористые среды, то есть наличие двух флюидов (относительно несжимаемой жидкости и относительно сжимаемого газа), и быстрые течения, предполагающие более сложную по сравнению с законом Дарси зависимость для скорости фильтрации жидкости.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данного диссертационного исследования является разработка математических и численных моделей процессов фильтрации жидкости в пористой среде, деформации пористого тела и явлений разрушения, происходящих при начальной стадии гидродинамического воздействия на угольный пласт с целью последующего извлечения метана. Достижение поставленной цели можно подразделить на несколько этапов, состоящих в решении следующих задач: • разработка фильтрационной математической модели гидродинамического воздействия на угольный пласт; формулировка и решение начально-краевых задач для уравнения фильтрации жидкости в пористой неоднородной среде методом конечных элементов в конечно-элементном пакете ANSYS (рассмотрение осесимметричного и трехмерного случая);

• разработка связанной пороупругой математической модели гидродинамического воздействия на угольный пласт; формулировка и решение осе-симметричной начально-краевой задачи для связанных уравнений фильтрации жидкости в пористой среде и деформации пористого тела методом конечных элементов с использованием нестандартных возможностей вычислительного комплекса ANSYS и специального программного инструментария на языке APDL ANSYS; сравнение и анализ результатов решения связанной и несвязанной задачи;

• анализ распределения порового давления в пласте в зависимости от входных данных пороупругой задачи для оптимизации процесса дегазации;

• изучение влияния кольцевой внутренней трещины в угольном слое на величину зоны дегазации, вычисление коэффициентов интенсивности напряжений.

Положения, выносимые на защиту. При решении поставленных в диссертационном исследовании задач получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Предложены методы численного решения нестационарных нелинейных задач пороупругости с использованием поротермоупругой аналогии, обезразмеривания и конечно-элементных технологий.

2. Разработана фильтрационная осесимметричная модель трехслойного угольного пласта, для решения соответствующей начально-краевой задачи по методу конечных элементов применена аналогия между уравнением фильтрации и уравнением теплопроводности, определен радиус зоны дегазации.

3. Разработана фильтрационная трехмерная модель трехслойного угольного пласта с зоной флюидизации, определены размеры зоны дегазации в угольном слое и в зоне флюидизации.

4. Разработана связанная пороупругая осесимметричная модель трехслойного угольного пласта, для решения соответствующей начально-краевой задачи по методу конечных элементов применена аналогия между уравнениями поро- и термоупругости, проведено сравнение результатов расчетов для связанной и несвязанной задач, оценено влияние механических напряжений.

5. Исследовано влияние входных данных для связанной пороупругой задачи на величину зоны дегазации.

6. Разработана связанная пороупругая осесимметричная модель трехслойного угольного пласта с кольцевой внутренней трещиной в угольном слое, проведено сравнение результатов расчетов для связанных задач с трещиной и без трещины, по коэффициентам интенсивности напряжений определен тип трещины.

7. Разработан комплекс программ на языке АРБЬ АЫЭУЭ для решения задач фильтрации и пороупругости применительно к рассматриваемому типу задач геомеханики многослойных угольных пластов.

Научная новизна работы. Впервые представлено несколько этапов моделирования гидродинамического воздействия на трехслойный угольный пласт, состоящих в построении фильтрационной модели, связанной модели фильтрации и деформации и связанной модели пороупругости с трещиной. На каждом этапе моделирования сформулированы соответствующие начально-краевые задачи, проведены аппроксимации по методу конечных элементов, построены конечно-элементные модели.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается применением строгих подходов современной теории пористых сред, апробированных конечно-элементных технологий, эффективных вычислительных алгоритмов решения нестационарных нелинейных задач, сравнением различных моделей, а также сопоставлением некоторых интегральных результатов решения с экспериментальными данными.

Практическая значимость работы. Метод гидродинамического расчленения применялся сотрудниками Геотехцентра-Юг ЮФУ для извлечения метана из угольного пласта Краснодонецкого месторождения Восточного Донбасса. Некоторые результаты работы были использованы при выполнении хоздоговора №3743/64-04-1 с ОАО «Промгаз» «Оценка газоот-дающей способности углей Талдинской площади», 2007 год.

Математическое моделирование помогло подобрать такие параметры для проводимых экспериментов, при которых размер зоны влияния дегазационной скважины становится наибольшим. Разработанная техника может быть применена и в других важных задачах геомеханики, связанных с нефтедобычей, добычей сланцевого газа и др.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на III Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды (Ростов-на-Дону, 2005 г.); Втором Международном симпозиуме «ГЕОТЕХНОЛОГИЯ: скважинные способы освоения месторождений полезных ископаемых» (Москва, 2005 г.); XXXIII и XXXV Школах-семинарах «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования» (Ростов-на-Дону, 2005 и 2007 гг.); V Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2006 г.); Международной конференции «Проблемы геологии и освоения недр Юга России» (Ростов-на-Дону, 2006 г.); X и XIV Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006 г., Азов, 2010 г.); международном конгрессе First International Congress of Serbian Society of Mechanics (Kopaonik, Сербия, 2007 г.); VII конференции пользователей программного обеспечения CAD-FEM GmbH (Москва, 2007 г.); IV ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2008 г.); международном конгрессе 8th. World Congress on Computational Mechanics WCCM8 and 5th. European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECCOMAS 2008 (Венеция, Италия, 2008 г.); XVIII Международной научной школе «Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках» (2008 г.); V Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (пос. Дивноморское, 2009 г.), международной научно-практической конференции «Инженерные системы — 2009» (Москва, 2009 г.); европейском конгрессе IV European Conference on Computational Mechanics ECCM 2010 (Париж, Франция, 2010 г.)

Часть исследований по диссертационной работе была выполнена в рамках гранта для молодых ученых INTAS Fellowship Grant for Young Scientists (05-109-4980, 2006-2008 гг.) в период стажировки в Италии в университетах Болоньи, Салерно и Катании, а также по проектам РНП 2.2.1.1.3719 и 2.2.1/7176 Ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Рособразования.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликованы 24 печатные работы [16], [37]—[54], [113]—[117], в том числе 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результаt тов. Из них три работы [50, 53, 54] опубликованы в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», и одна работа [117] — в зарубежном научном журнале, включенном в систему цитирования Science Citation Index Expanded.

В работах, опубликованных в соавторстве, диссертанту принадлежат следующие результаты: в [53] — вывод уравнения фильтрации для осе-симметричного случая, построение осесимметричной конечно-элементной модели, проведение численных расчетов и описание полученных результатов, в [51, 52, 54] — вывод уравнения фильтрации для трехмерного случая, построение трехмерной конечно-элементной модели, проведение численных расчетов и описание полученных результатов, в [37, 113, 117] — проведение численных расчетов, сравнение результатов решения связанной и несвязанной задач пороу пру гости, анализ полученных результатов, в [38, 50, 116] — проведение численных экспериментов по варьированию входных данных и анализ результатов расчета, в [16] — вывод основных соотношений для модели деформируемой насыщенной пористой среды с изменением пористости, в [49] — исследование возможностей решения задачи о моделировании гидродинамического воздействия на угольный пласт в конечно-элементных пакетах ABAQUS и MSC.Marc, в [115] — построение осесимметричной конечно-элементной модели для пласта с трещиной, проведение численных расчетов, вычисление коэффициентов интенсивности, обзор результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 166 страниц, включая 8 таблиц, 45 рисунков и список литературы из 132 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Наседкина, Анна Андреевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены математические и численные модели фильтрационных процессов в пороупругих средах в приложении для методов гидродинамического воздействия на угольные пласты.

Основными результатами диссертационной работы являются следующие:

1. Разработана фильтрационная модель гидродинамического воздействия на угольный пласт. Сформулирована осесимметричная нелинейная начально-краевая задача для уравнения фильтрации жидкости в пористой изотропной среде. Для численного решения поставленной задачи по методу конечных элементов была проведена конечно-элементная аппроксимация с использованием фильтрационно-температурной аналогии. Аналогия с задачей теплопроводности позволила решить данную задачу с помощью модуля температурного анализа конечно-элементного пакета ANS YS, в котором оказалось возможным учесть нелинейную зависимость коэффициентов фильтрации от давления. Для интегрирования по времени конечно-элементных уравнений нестационарных задач фильтрации применялась неявная двухслойная схема с разностью назад и процедура метода Ныотона-Рафсона решения нелинейных систем на каждом временном слое. Численное решение задачи с помощью конечно-элементного пакета ANSYS было проведено для изучаемого трехслойного угольного пласта, в котором коэффициенты фильтрации угольного слоя являются нелинейными функциями порового давления. Полученные численные результаты позволили определить момент гидроразрыва пласта, а также определить радиус зоны влияния дегазационной скважины.

2. Рассмотрена трехмерная нелинейная начально-краевая задача фильтрации для угольного пласта с зоной флюидизации. Численное решение задачи с помощью конечно-элементного пакета ANSYS было проведено для изучаемого трехслойного угольного пласта с зоной флюидизации, в котором коэффициенты фильтрации угольного слоя и зоны флюидизации являются нелинейными функциями порового давления. Полученные результаты показали, что размер зоны дегазации для зоны флюидизации значительно превышает размер зоны дегазации угольного пласта. Также по графикам распределения давления были определены три основных участка зоны дегазации.

3. Разработана связанная пороупругая модель гидродинамического воздействия на угольный пласт. Сформулирована осесимметричная нелинейная начально-краевая задача для связанных уравнений фильтрации жидкости в пористой среде и деформации пористого тела. Для численного решения поставленной задачи по методу конечных элементов была проведена ее конечно-элементная аппроксимация. Аналогия с задачей термоупругости позволила решить данную задачу с помощью модуля термоупругого анализа конечно-элементного пакета АЫЗУБ с учетом нелинейной зависимости коэффициентов фильтрации от давления. Для интегрирования по времени конечно-элементных уравнений нестационарных задач пороупругости применялась неявная трехслойная схема Ньюмарка и процедуры метода Ньютона-Рафсона для решения нелинейных систем на каждом временном слое. Была проведена процедура обезразмеривания задачи для улучшения сходимости численных алгоритмов. Для сравнения были рассмотрены связанная и несвязанная задачи. Численные решения этих задач с помощью конечно-элементного пакета АКЭУЭ проводились для изучаемого трехслойного угольного пласта, в котором коэффициенты фильтрации угольного слоя являются нелинейными функциями порового давления. Сравнение результатов расчетов для связанной и несвязанной задач показало, что решения для порового давления мало отличаются друг от друга и влияние механических напряжений незначительно. Для связанной и несвязанной задач существенно отличаются только асимптотические значения давлений. Отмечено, что при принятых входных данных решения чисто фильтрационной задачи и несвязанной задачи пороупругос-ти для порового давления могут различаться достаточно сильно, особенно для призабойной зоны и зоны активного гидрорасчленения. Таким образом, для уточненного моделирования в рассматриваемых задачах можно рекомендовать использовать более общую модель пороупругого пласта.

4. С целью оптимизации процесса дегазации и исследования влияния входных данных для пороупругой задачи была проведена серия расчетов при изменении следующих параметров: времени нагнетания жидкости в скважину, величины начального и максимального подаваемого давления, глубины залегания пласта, модулей упругости и коэффициентов фильтрации сопутствующих слоев угольного пласта, различных граничных условий на кровле и подошве пласта. Данный анализ позволил сравнить решения связанной задачи пороупругости и несвязанной фильтрационной задачи при различных входных параметрах. Дана оценка влияния изменений данных параметров на величину зоны дегазации скважины.

5. Разработана связанная пороупругая модель для трехслойного угольного пласта с кольцевой внутренней трещиной в угольном слое. В качестве критерия разрушения были взяты коэффициенты интенсивности напряжений и приведены формулы для их вычисления. Сформулированная в главе III начально-краевая задача была дополнена граничными условиями на давление и напряжения на берегах трещины. Численное решение поставленной связанной пороупругой задачи для угольного пласта с трещиной аналогично решению задачи без трещины. Отдельно были рассмотрены особенности построения конечно-элементной сетки вокруг вершины трещины. Для моделирования сингулярности напряжений в окрестности вершины трещины применялся сдвиг узлов на четверть длины стороны для элементов, окружающих вершину трещины. Для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в конечно-элементном пакете АИЗУЭ использовался метод аппроксимации перемещений берегов трещины. Результаты расчетов позволили получить картины распределения безразмерного по-рового давления в пласте, безразмерных суммарных перемещений и ин-тенсивностей безразмерных напряжений. Сравнительный анализ картин распределения безразмерного порового давления для связанной задачи с трещиной и без трещины показал, что наличие трещины в угольном слое значительно увеличивает зону дегазации. По вычисленным значениям коэффициентов интенсивности напряжений был сделан вывод о том, что для имеющейся трещины преобладает явление нормального отрыва, явление поперечного сдвига присутствует в незначительной степени, а явление продольного сдвига отсутствует.

6. В результате проведенных исследований предложены адекватные модели фильтрации, пороупругости, конечно-элементные технологии и программный инструментарий применительно к рассмотренному типу задач геомеханики и моделированию начальной стадии процесса гидрорас-чления многослойных пороупругих пластов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Наседкина, Анна Андреевна, 2011 год

1. Варенблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. — М.: Недра, 1972.

2. Варенблатт Г. И., Ентов В. М., Рыогсик В. М. Движение жидкостей и газов в пористых пластах.— М.: Недра, 1984,— 208 с.

3. Варенблатт Г. И., Желтое Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. матем. и мех. — 1960. — Т. 24.— С. 852-864.

4. Васов К. А. АМБУ8 в примерах и задачах. — М.: КомпьютерПресс, 2002. — 224 с.

5. Басов К. А. А^УБ: Справочник пользователя, — М.: ДМК Пресс, 2005. 640 с.

6. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. — М.: Стройиздат, 1982. — 446 с.

7. Брюннер Д. Дж., Томпсон С. Обзор появляющихся технологий извлечения метана // Доклады 2-й Международной конференции «Сокращение эмиссии метана». — Новосибирск: НУГ СО РАН, 2000. — С. 364-372.

8. Вычислительные методы в механике разрушения / Под ред. С. Ат-лури. — М.: Мир, 1990. — 392 с.

9. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 428 с.

10. Гарипов Т. Т. Математическое моделирование задач иороупругости и проблема гидроразрыва: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. — Москва, 2005. — 77 с.

11. Гарипов Т. Т. Моделирование процесса гидроразрыва пласта в по-роупругой среде // Матем. моделирование. — 2006.— Т. 18, № 6.— С. 53-69.

12. Гарипов Т. Т., Заславский М. Ю., Пергамент А. X. Математическое моделирование процессов фильтрации и пороупругости // Матем. моделирование. — 2005. — Т. 17, № 9. — С. 113-128.

13. Городецкая Н. С. Волны в пористо-упругих насыщенных средах // Акустичний вгсник. — 2007: — Т. 10, № 2. — С. 42-63.

14. Деклу Ж. Метод конечных элементов: Пер. с франц.— М.: Мир, 1976.- 96 с.

15. Ершов Л. В., Либерман Л. К., Нейман И. Б. Механика горных пород.— М.: Недра, 1987.

16. Житленок Д. М., Ивашкин Е. Д., Чудовская Э. Е. Движение жидкости и условие разрушения угля при гидродинамическом воздействии на пласт // Геотехническая механика.— Днепропетровск: ИГТМ НАН Украины, 2001.- Вып. 27.- С. 135-140.

17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. — 541 с.

18. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.-318 с.

19. Зенкевич ОЧанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. — М.: Недра, 1974. — 239 с.

20. Золотых С. С., Караавич А. М. Проблемы промысловой добычи метана в Кузнецком угольном бассейне. — М.: изд-во «ИСПИН», 2002. — 570 с.

21. Каневская Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. — М.: Недра, 1999. — 213 с.

22. Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.— 128 с.

23. Каплун А. В., Морозов Е. М., Олферъева М. А. АМвУЭ в руках инженера. М.: УРСС, 2004. - 272 с.

24. Каракин А. В. Принцип неполной связанности в моделях пороупру-гих сред // Матем. моделирование. — 2006. — Т. 18, № 2. — С. 24-42.

25. Каракин А. В. Проблема гидроразрыва в верхних слоях коры // Физика Земли. — 2006. — № 8. — С. 27-42.

26. Карев В. И., Коваленко Ю. Ф., Одинцев В. Н. Механика гидрогазо-импульсного воздействия на трещиновато-пористую породу при сква-жинной гидродобыче // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1995. — № 6. — С. 70-83.

27. Колдоба А. В., Пергамент А. X., Повещенко Ю. А. и др. Напряженно-деформированное состояние насыщенной пористой среды, вызванное фильтрацией жидкости // Матем. моделирование.— 1999.-Т. 11, № 10.-С. 3-16.

28. Колтунов М. А., Кравчук А. С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. — М.: Высш. шк., 1983. — 349 с.

29. Коннор Дж.} Вреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. — Л.: Судостроение, 1979.

30. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А. С. Сахарова, Н. Альтенбаха. — Киев: Вища Школа, 1982. — 480 с.

31. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений в частных производных. — М.: Мир, 1981. — 216 с.

32. Молчанов И. Н., Николенко JI. Д. Основы метода конечных элементов. — Киев: Наукова думка, 1989. — 272 с.

33. Морозов Е. М., Муйземнек А. Ю., Шадский А. С. ANSYS в руках инженера: Механика разрушения. — М.: ЛЕН АНД, 2008. — 456 с.

34. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Изд-во ЛКИ, 2008. — 256 с.

35. Наседкина А, А. Моделирование гидродинамического воздействия на многослойный угольный пласт с зоной флюидизации // Тр. аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. — Т. XII. — Ростов-на-Дону: Терра Принт, 2006. С. 28-31.

36. Наседкина А. А. Конечно-элементное моделирование гидродинамического воздействия на многослойный деформируемый угольный пласт // Тр. аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. — Т. XIII. — Ростов-на-Дону: Терра Принт, 2007.

37. Наседкина А. А., Труфанов В. Н. Конечно-элементное моделирование процесса гидродинамического расчленения многослойного угольного пласта // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2006. — № 1. - С. 61-70.

38. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. — М.: Недра, 1984.- 232 с.

39. Николаевский В. Н. Геомеханика и флюидодинамика. — М.: Недра, 1996.-447 с.

40. Николаевский В. Н. Механика нефтегазоносных горных массивов: Учебное пособие. — М.: Азбука-2000, 2007.— 175 с.

41. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981.-304 с.

42. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976. — 464 с.

43. Одинцев В. Н. Отрывное разрушение массива скальных горных пород.- М.: ИПКОН РАН, 1996.- 166 с.

44. Оловянный А. Г. Математическое моделирование гидроразрыва угольных пластов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2005. — № 1. — С. 72-79.

45. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения: Основы механики упругопластического разрушения. — М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 352 с.

46. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения.— М.: Мир, 1993. — 450 с.

47. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.

48. Проблемы теории пластичности и геомеханики: к 100-летию со дня рождения акад. С. А. Христиановича / Ин-т проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН. М.: Наука, 2008,- С. 355-379.

49. Пучков Л. А., Сластунов С. В., Коликов К. С. Извлечение метана из угольных пластов. — М.: Изд-во МГГУ, 2002. — 383 с.

50. Розенберг М. Д., Кундин С. А. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа. — М.: Недра, 1976. — 335 с.

51. Розин Л. А. Основы метода конечных элементов в теории упругости.- Л.: Изд-во ЛПИ, 1972.

52. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.— М.: Стройиздат, 1977.— 128 с.

53. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.— М.: Мир, 1979. 392 с.

54. Секулович М. Метод конечных элементов. — М.: Стройиздат, 1993. — 664 с.

55. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушетш: Пер. с японск. — М.: Мир, 1986.— 334 с.

56. Сластунов С. В., Каркашадзе Г. Г., Коликов К. С. Аналитическая модель гидравлического расчленения угольного пласта // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.— 2001.— №6.-С. 31-37.

57. Софийский К. К., Нечитайло В. А., Силин Д. П. Интенсификация дегазации углепородного массива // Уголь Украины. — 2001.— № 7.— С. 10-11.

58. Софийский К. К., Черпай А. В., Вокий Б. В. Математическая модель гидродинамического воздействия на напряженные газонасыщенные среды // Геотехническая механика. — Днепропетровск: ИГТМ НАН Украины, 2002. Вып. 35. - С. 31-37.

59. Стренг К., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.— М.: Мир, 1977. 349 с.

60. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. — 504 с.

61. Труфанов В. Н. Актуальные проблемы и перспективы развития экспериментальной геотехнологии // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки. — 2004. — № 2. — С. 21-26.

62. Углеводородная флюидизация ископаемых углей Восточного Донбасса / В. Н. Труфанов, И. М. Гамов, В. Г. Рылов и др. — Ростов-на-Дону: РГУ, 2004. 269 с.

63. Формы нахождения метана в углях и геотехнологические методы дегазации угольных пластов / В. Н. Гурьянов, В. Н. Труфанов, Н. Г. Матвиенко, В. А. Бобин. — Ростов-на-Дону: СКНЦ ВШ, 2000.

64. Чигарев А. В., Кравчук А. С.; Смалюк А. С. ANSYS для инженеров. Справочное пособие. — М.: Машиностроение, 2004. — 496 с.

65. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. — М.: Наука, 1989. — 288 с.

66. Эфрос Д. А. Исследования фильтрации неоднородных систем. — JL: Гостоптехиздат, 1963. — 352 с.

67. ABAQUS Version 6.6.Theory Manual / ABAQUS Inc. — 2006.

68. ADINA. Theory and Modeling Guide. Vol. 1: ADINA / ADINA R&D Inc. 2003.

69. ADINA. Theory and Modeling Guide. Vol. 2: ADINA-T / ADINA R&D Inc. — 2003.

70. ANSYS 10.0. Theory Reference / ANSYS Inc. © SAS IP, Inc., 2005.

71. ANSYS Rel. 11.0. Basic Analysis Procedures Guide / ANSYS Inc.-Canonsburg: © SAS IP, Inc., 2007.

72. ANSYS Rel. 11.0. Elements Reference / ANSYS Inc. — Canonsburg: © SAS IP, Inc., 2007.

73. ANSYS Rel. 11.0. Theory Reference for ANSYS and ANSYS Workbench / ANSYS Inc. Canonsburg: © SAS IP, Inc., 2007.

74. Atkm R. J., Crain R. E. Continuum theories of mixtures: applications // J. Institute Math. Appl. — 1976. — Vol. 17, no. 2, — Pp. 153-207.

75. Bathe K.-J. Finite element procedure. — Prentice-Hall, 1996.

76. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. — New York: Elsevier, 1972.

77. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation //J. Appl. Phys. 1941. — no. 12. — Pp. 155—164.

78. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl. Phys. — 1955. — no. 26. — Pp. 182—185.

79. Bowen R. J. Towards a thermodynamics and mechanics of mixtures // Arch. Rat. Mech. Anal. — 1967. — no. 155. — Pp. 370-403.

80. Clough R. W. The finite element method in plane stress analysis // J. Struct. Div., ASCE.— Proc. of 2nd Conf. Electronic Computation.— I960, Pp. 345-378.

81. Goussy 0. Poromechanics. — J.Wiley & Sons, 2004.

82. De Boer R. Development of porous media theories — a brief hysterical review // Transport in Porous Media. — 1992.— no. 9,— Pp. 155-164.

83. De Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory: Toward a consistent macroscopic theory // Appl. Mech. Rev. ASME. 1996. - Vol. 49, no. 4. - Pp. 201-262.

84. De Boer R. Theory of porous media. Highlights in historical development and current state. — Berlin: Springer, 2000.

85. Detournay E., Cheng A. H-D. Fundamentals of poroelasticit}' // Comprehensive rock engineering / Ed. by J. A. Hudson. — Oxford: Pergamon, 1993. — Pp. 113-171.

86. Geertsma J. A remark on the analogy between thermoelasticity and the elasticity of saturated porous media // J. Mech. Phys. Solids. — 1957.— Pp. 13-16.

87. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Tran. Roy. Soc. 1920. — Vol. 20 of Ser. A. — Pp. 163-188.

88. Irwin G. R. Analyses of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. — 1957. — Vol. 24, no. 3. — Pp. 148152.

89. Khalili N., Khabbaz M. H., Valliappan S. An effective stress based numerical model for hydro-mechanical analysis in unsaturated porous media // Comput. Mech. — 2000. — no. 26. — Pp. 174-184.

90. Lewis R. W., Schrefler B. A. The finite element method in the static and dynamic deformation and consolidation of porous media. — Chichester: J.Wiley k Sons, 1998.

91. Madenci E., Guven I. The finite element method and applications in engineering using ANSYS. — Springer, 2006.

92. Moaveni S. Finite element analysis. Theory and application with ANSYS. — N. Y.: Prentic-Hall, 1999.

93. MSC.Marc. Theory and User Information. Version 2000. — 2000.

94. Muscat M. The Flow of Homogeneous Fluids in Porous Media.— McGrow-Hill, 1937.

95. May 16-21, 2010.— CD ROM Proceedings. Abstract 1924,— 2010.— 2 pp.

96. Nasedkina A. A., Nasedkin A. VIovane G. A model for hydrodynamic influence on a multi-layer deformable coal seam // Computational Mechanics.— 2008.— Vol. 41, no. 3,— Pp. 379-389. www.springerlink.com/content/tl3684p873564651.

97. Nonlinear coupled mathematical model for solid deformation and gas seepage in fractured media / Y. Zhao, Y. Hu, B. Zhao, D. Yang // Transport in Porous Media. — 2004. — no. 55. — Pp. 119-136.

98. N orris A. On the correspondence between poroelasticity and thermoelasticity // J. Appl. Phys.— 1992.— Vol. 71, no. 3.— Pp. 1138-1141.

99. Reddy J. N., Gartling D. K. The finite element method in heat transfer and fluid dynamics. — Boca Raton et al.: CRC Press, 2001.

100. Rice J. R., Cleary M. P. Some basic stress-diffusion solutions for fluid saturated elastic porous media with compressible constituents // Rev. Geophys. Space Phys. — 1992. no. 14. — Pp. 227-241.

101. Schrefler B. A., Sanavia L. Coupling equations for water saturated and partially saturated geomaterials // Numerical modelling in geomechanics / Ed. by M. Pastor, C. Tamagnini. — London: Kogan Page Science, 2004.

102. Sneddon J. N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solid // Proc. Roy. Soc.— 1946.— Vol. 187 of Ser. A.— Pp. 229-260.

103. Sun P. Numerical simulation for coupled rock deformation and gas leak flow in parallel coal seams // Geotechn. & Geol. Eng. — 2004. — no. 22. — Pp. 1-17.

104. Tod S. R. An anisotropic fractured poroelastic effective medium theory // Geophys. J. Int. — 2003. — no. 155. Pp. 1006-1020.

105. Verruijt A. Elastic storage of aquifers // Flow Through Porous Media / Ed. by R. J. M. DeWiest. — New York: Academic Press, 1969.

106. Wang H. F. Theory of linear poroelasticity with applications to geomechanics and hydrogeology. — Princ. Univ. Press, 2000.

107. Zhao C., Valliappan S. Finite element modelling of methane gas migration in coal seams // Computers and Structures. — 1995. — Vol. 55, no. 4. — Pp. 625-629.

108. Zienkiewicz 0. C., Taylor R. L. The finite element method. — 2000.— Vol. 2. Solid Mechanics.

109. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The finite element method. — 2000.— Vol. 3. Fluid Dynamics.

110. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. The finite element method. — 2000.— Vol. 1. The Basics.

111. Zimmerman R. W. Coupling in poroelasticitj' and thermoelasticity // Int. J. Rock Mech. — 2000. Vol. 37, no. 1-2. - Pp. 79-87.