Математические модели фильтрации в упруго-пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Микишанина Евгения Арифжановна

• Микишанина Евгения Арифжановна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Микишанина Евгения Арифжановна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГО -ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

1.1. Основные сведения из теории фильтрации в пористых

средах

1.2. Одномерная фильтрация жидкости через пористую среду

1.3. Физическое описание упруго-пористой среды

1.4. Краевая задача фильтрации

1.5. Плоские задачи фильтрации

1.6. Выводы по главе

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГО-ПОРИСТОЙ НАСЫЩЕННОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Построение численного решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных

2.2. Численный алгоритм моделирования фильтрации в упруго-пористой среде

2.3. Численное определение скоростей фильтрации и контуров обводнения области от источника

2.4. Применение численного алгоритма к моделированию фильтрации в упруго-пористой среде

2.4.1. Задача о сечении полого круглого цилиндра

2.4.2. Задача о сечении полой трубы эллиптической формы

2.4.3. Фильтрация в деформированной среде

2.5. Применение численного алгоритма к определению скоростей фильтрации и контуров обводнения в упруго-пористой области

2.5.1. Задача определения скорости движения жидкости при установившейся

фильтрации

2.5.2. Задача определения контуров обводнения в области с круглым источником

2.5.3. Задача определения контуров обводнения в области с эллиптическим источником

2.6. Выводы по главе

ГЛАВА 3. ФИЛЬТРАЦИЯ ЧЕРЕЗ УПРУГО-ПОРИСТЫЕ ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

3.1. Изгиб тонких упруго-пористых фильтрующих плит

3.2. Изгиб упруго-пористой плиты в виде полосы, жестко защемленной по краям

3.3. Фильтрация через упруго-пористую тонкую плиту с постоянным коэффициентом фильтрации

3.4. Исследование коэффициента фильтрации при цилиндрическом изгибе тонкой плиты

3.5. Фильтрация через упруго-пористую плиту с учетом переменного коэффициента фильтрации

3.6. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели фильтрации в упруго-пористой среде»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. При разработке угольных пластов для добычи попутного газа - метана, применяют закачку под давлением воды с последующей быстрой откачкой. Это позволяет извлекать из щелей (кливажей) и микротрещин метан, [12]. Однако при закачке водой скважины прочностные свойства угля могут измениться, в результате уголь может разрушиться и закупорить кливажи, затрудняя извлечение газа из угольных пластов.

Подобная проблема возникает также при сооружении глубинных построек [110] или использовании глубинных аппаратов. Освоение морских глубин сопряжено с масштабным строительством глубинных производственных и жилых помещений. Экспериментальные исследования П. Бриджмена [14] показали, что при больших давлениях вода может проникать даже в твердые тела. По его наблюдениям, если стекло некоторое время подвергается высокому давлению воды, то при снятии нагрузки происходит помутнение и отслаивание стекла.

Не менее актуальным в настоящее время является использование различного рода фильтров, фильтрующих плит и фильтрующих настилов в различных технологических процессах, например для очистки сточных вод от загрязнений. Вследствие нагрузки плита может деформироваться, что повлечет за собой деформацию пор и как следствие изменение ее фильтрующей способности (коэффициента фильтрации).

Эффективность принятия решений в описанных выше ситуациях определяется достоверностью гидродинамических расчетов при фильтрации жидкости сквозь упруго-пористую среду. Важную роль при этом играет построение математических моделей фильтрации жидкости.

Следует отметить, что исследование фильтрации жидкости ранее, как правило, проводилось в дисперсионных средах типа грунт. Однако даже в слабо пористые упругие тела под действием гидравлического напора может проникать жидкость.

Так как скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемой среде гораздо выше скорости фильтрации, то следствием изменения напряженного состояния среды будет изменение порового пространства и коэффициента фильтрации.

Актуальность темы данного исследования обусловлена значимостью построения новых математических моделей фильтрации в слабо пористой, упругой среде (типа стекло, бетон, различные виды пластмасс) в рамках одновременного выполнения обобщенного закона упругости Гука и закона фильтрации Дарси, учитывающих изменение коэффициента фильтрации вследствие малых упругих деформаций.

Степень разработанности проблемы. К настоящему времени фильтрация жидкости в пористой среде достаточно хорошо и всесторонне исследована в статьях и монографиях Б.К. Ризенкампфа [68], П. Бриджмена [14], П.Я. Полуба-риновой-Кочиной [67], Б.И. Баренблатта, В.М. Ентова и В.М. Рыжик [6], К. Тер-цаги [84], М. Био [99, 100], М.Т. Нужина и Н.Б. Ильинского [63], Г.В. Голубева и Г.Г. Тумашева [19], В.И. Аравина [4], Л.М. Котляря и Э.В. Скворцова [38], а также в современных работах ученых Казанского Федерального университета: И.Б. Бадриева [98], Д.В. Бережного и других[9], А.Г. Егорова [25], А.Г. Егорова и Ш.Х. Зарипова [26], А.В. Костерина [36], А.Б. Мазо и других [52].

Именно К. Терцаги впервые в 1925 году рассмотрел частные одномерные задачи консолидации, которые сводились к решению краевых задач для уравнения теплопроводности. Дальнейшие его исследования, как и работы М. Био, были посвящены исследованию механики грунтов.

В отдельности проблемы фильтрации и методы их исследования достаточно полно освещены Г.В. Голубевым и Г.Г. Тумашевым [19]. Авторами была предпринята попытка систематизировать некоторые аналитические и численные методы, разработанные, в основном, казанскими авторами под руководством Г.Г. Тумашева, В.Я. Булыгина, Г.С. Салехова. В качестве численных методов авторы отдают предпочтение разностным схемам и вариационным методам, в качестве

приближенных аналитических используют метод С.А Христиановича, метод разложения по собственным функциям и некоторые другие.

В современных трудах, например в работе А.В. Костерина [37], исследование моделей фильтрации сводится к решению уравнения Лапласа и уравнения теплопроводности. Труд Д.В. Бережного, А.И. Голованова, С.А. Малкина и Л.У. Султанова [9] посвящен исследованиям в области теории оболочек и пластин с учетом флюидонасыщения. Некоторые проблемы, связанные с подпочвенным поливом и фильтрацией под фундаментом глубоководных построек, рассмотрены А.Г. Терентьевым [109, 110].

Следует отметить, что консолидация пор при фильтрации предусматривает описание нестационарных процессов с учетом фильтрационных, упругих и сжимаемых свойств среды, однако, не дает математическое описание среды в целом, как модели фильтрации в упруго-пористой среде. Модели упругой среды и фильтрации по отдельности хорошо изучены во многих работах по теории упругости и теории фильтрации, но модель фильтрации с учетом упругой деформации еще изучена недостаточно полно.

В настоящей работе сделана попытка восполнить этот пробел в механике сплошных сред и на основе совместного рассмотрения уравнений теории упругости и простейшей модели фильтрации сформулировать модель фильтрации в упруго деформированной среде и применить аналитические и численные методы.

В настоящее время среди численных методов наиболее распространены метод конечных элементов [8] и конечно-разностные схемы, которые предусматривают учет внутренних точек области, что влияет на точность вычислений, например, при вычислении производных высших порядков. Поэтому с точки зрения точности вычислений и удобства в случае плоских областей более предпочтительным является метод граничных элементов, на основе которого в данной работе строится численный алгоритм решения краевых задач для систем полигармонических уравнений.

Основательному исследованию уравнений эллиптического типа посвящена монография И.Н. Векуа [16]. Позже были изучены свойства полигармонических

функций (А.П. Бицадзе [11]), рассмотрены краевые задачи для полигармонических уравнений (В.С. Рогожин [68], Б.Е. Кангужин [33]), решены некоторые краевые задачи в круге, полосе (В.И. Жегалов [27]).

В работах П. Бенерджи и Р. Баттерфилда [6], К.Е. Афанасьева и А.Г. Терентьева [80], А.О. Казаковой и А.Г. Терентьева [30, 31] разработаны и реализованы эффективные численные методы решения полигармонических уравнений, основанные на методе граничных элементов. В работе А.Г. Терентьева [83] с помощью метода граничных элементов исследуются функции изгиба балок и пластин. Однако до настоящего времени отсутствует строгий алгоритм численного решения систем полигармонических уравнений.

При исследовании отдельных моделей фильтрации в работе используются аналитические методы: метод Чарного [92] с последующим решением дифференциальных уравнений методом разделения переменных и метод, основанный на обобщенном дискретном преобразовании Фурье, введенном и изученном М.Ф. Кулагиной [41, 42], и аппарате почти-периодических по Бору функций1. Последние были изучены в работах Б.М. Левитана [49], В.Ф. Осипова [64], а основные задачи теории фильтрации в классе почти-периодических функций ранее решались автором в работах [40, 54]. Частным случаем почти-периодических функций являются периодические функции, использованию которых в механике сплошной среды посвящены работы Ю.А. Антипова [97], М.П. Саврука [70].

Целью настоящей работы является построение новых математических моделей фильтрации в упруго-пористой среде и алгоритмов их исследования в рамках гипотезы о зависимости коэффициента фильтрации среды от первого инварианта тензора напряжений при малых упругих деформациях.

Поставленная цель достигается решением следующих задач: - исследование зависимости между средним радиусом капилляра и коэффициентом фильтрации в рамках существующего представления порового пространства в виде совокупности прямолинейных капиллярных трубок малого ра-

1 Далее просто «почти-периодические функции».

диуса и связи коэффициента фильтрации среды с возникающими в среде напряжениями;

- построение строгих математических моделей фильтрации в упруго-пористой среде, в том числе построение плоских математических моделей фильтрации в насыщенной упруго-пористой среде, исследование которых предполагает решение краевых задач для систем полигармонических уравнений;

- разработка численного алгоритма решения системы полигармонических уравнений для произвольных областей и его адаптация к решению системы дифференциальных уравнений, возникающей при исследовании математической модели фильтрации при плоской деформации;

- проведение вычислительных экспериментов по моделированию исследуемого явления и сравнение полученных численных результатов с известными точными решениями для некоторых простых областей, например, круга;

- применение разработанного численного алгоритма к определению скоростей фильтрации и определению объема жидкости, поступающей внутрь полого цилиндрического тела при установившейся фильтрации;

- применение разработанного численного алгоритма для моделирования контуров обводнения области от источника с выпуклой гладкой замкнутой границей при неустановившейся фильтрации;

- исследование фильтрации жидкости через упруго-пористую нагруженную плиту на упругом основании численными (метод граничных элементов) и аналитическими методами (метод, основанный на обобщенном дискретном преобразовании Фурье и аппарате почти-периодических по Бору функций, и метод Чарного).

Научная новизна результатов диссертационного исследования заключается в следующем:

- на основе упрощенной модели одномерной фильтрации в рамках закона Дарси и представления порового пространства как совокупности прямолинейных капиллярных трубок малого радиуса определена зависимость между средним ра-

диусом поры и коэффициентом фильтрации, а также изменение коэффициента фильтрации среды в зависимости от возникающих в среде напряжений;

- построена новая математическая модель фильтрации в упруго-пористой среде в рамках гипотезы о зависимости коэффициента фильтрации от первого инварианта тензора напряжений;

- построены плоские математические модели фильтрации в насыщенной упруго-пористой среде;

- построен на основе метода граничных элементов эффективный численный алгоритм решения системы полигармонических уравнений для произвольных областей, с помощью которого будет осуществляться численное моделирование фильтрации в упруго-пористой насыщенной среде при плоской деформации;

- построен численный алгоритм моделирования фильтрации в упруго-пористой насыщенной среде при плоской деформации;

- на основании разработанного численного алгоритма определены скорости фильтрации и определен объем жидкости, поступающей внутрь полого цилиндрического тела при установившейся фильтрации;

- разработан численный алгоритм расчета контуров обводнения области от источника при неустановившейся фильтрации;

- построены решения задач фильтрации жидкости через нагруженную упруго-пористую плиту на упругом основании, имеющую форму полосы, численными (метод граничных элементов) и аналитическими методами (метод, основанный на обобщенном дискретном преобразовании Фурье и аппарате почти-периодических функций, и метод Чарного);

- применяемые в работе методы могут быть общими для целого класса задач механики сплошной среды.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Определение зависимости коэффициента фильтрации от упругих параметров линейно упругих пористых сред.

2. Основная краевая задача фильтрации в упруго-пористой среде в рамках гипотезы, предполагающей зависимость коэффициента фильтрации от первого инварианта тензора напряжений.

3. Плоские математические модели фильтрации в упруго-пористой насыщенной среде, исследование которых приводит к решению краевых задач для систем полигармонических уравнений.

4. Численный алгоритм решения краевых задач для систем полигармонических уравнений, в основе которого лежат интегральные соотношения Грина.

5. Применение построенного алгоритма к исследованию установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в упруго-пористой среде.

6. Построение численного алгоритма определения скоростей фильтрации.

7. Построение численного алгоритма определения контуров обводнения области от источника с гладкой выпуклой границей.

8. Исследование вопроса фильтрации жидкости через нагруженную упруго-пористую плиту на упругом основании, имеющую форму полосы, численными (МГЭ) и аналитическими методами (метод, основанный на обобщенном дискретном преобразовании Фурье и аппарате почти-периодических функций, и метод Чарного).

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, обеспечивается: во-первых, сходимостью решений, полученных внутри областей, к граничным значениям; во-вторых, хорошей согласованностью численных результатов с точными решениями, полученными аналитически в тестовых примерах. Разработанные алгоритмы основаны на уже апробированных к другим классам задач методах.

Теоретическая и практическая ценность результатов работы.

Теоретическая ценность результатов диссертационного исследования заключается в построении математической модели фильтрации, учитывающей

влияние малых упругих деформаций на фильтрующую способность среды и по-

10

строении аналитических и численных алгоритмов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и их систем, в том числе систем полигармонических уравнений, которые могут представлять интерес для научных коллективов и могут быть реализованы для решения задач теории гетерогенных сред, теории упругости, теории диффузии, теплопроводности, гидродинамики, электро- и магнитодинамики.

Практическая ценность заключается в том, что рассмотренные математические модели имеют важное приложение в таких отраслях, как нефтедобывающая и угледобывающая промышленности, мелиорация, строительство гидротехнических сооружений, освоение морских глубин и глубоководное строительство. Исследование одновременно упругих и пористых сред с точки зрения их фильтрующей способности, которая непосредственным образом влияет на их прочностные свойства, позволяет контролировать процесс разрушений. Фильтрация жидкости через изогнутые под действием внешней нагрузки упруго-пористые плиты малой толщины представляет практическую ценность в вопросах, связанных с фильтрацией загрязненной жидкости, очищении среды от твердых фракций, подпочвенного полива и, наоборот, извлечения жидкости из грунта. Фильтрация через мелкопористый материал может использоваться, например, для извлечения кислорода из воды. Определение контуров обводнения области от источника позволяет обеспечить управление процессами обводнения областей, а также высокую эффективность мелиорации, нефте- и угледобычи.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности 01.02.05. В

соответствии с паспортом специальности 01.02.05 «Механика жидкости, газа и плазмы» в рамках диссертационного исследования построены новые математические модели фильтрации несжимаемой жидкости в упруго-пористой среде, а также предложены численные и аналитические методы их исследования. В рамках этих моделей определена зависимость коэффициента фильтрации от возникающих в среде напряжений и исследована фильтрация жидкости в упруго-пористой насыщенной среде (определены давление жидкости и скорости фильтрации внут-

ри области и на границах, объем фильтрующейся жидкости); построены контуры обводнения области от источника при неустановившейся фильтрации для контроля и прогноза технологических и природных явлений; изучен вопрос фильтрации жидкости через нагруженную упруго-пористую плиту малой толщины на упругом основании; построены аналитические и численные алгоритмы решения краевых задач для областей различной конфигурации; получены и интерпретированы экспериментальные результаты.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (110 наименований). Нумерация формул, таблиц и рисунков сквозная в каждой главе.

Настоящая работа посвящена построению математических моделей фильтрации несжимаемой жидкости в упруго-пористой среде и методам их исследования: даются строгие обоснования рассматриваемых моделей, математические постановки задач, искомые механические параметры определяются как решения дифференциальных уравнений и из систем, в том числе систем полигармонических уравнений, численно и аналитически.

В главе 1 вводятся некоторые понятия линейной теории фильтрации. В предположении о том, что поровое пространство представляет собой совокупность прямолинейных капиллярных трубок малого радиуса, определяется зависимость между коэффициентом фильтрации и средним размером поры, исследуется вопрос о коррекции коэффициента фильтрации среды вследствие возникновения в среде напряжений. В главе формулируется основная краевая задача фильтрации, которая сводится к краевой задаче для системы полигармонических уравнений, строятся математические модели фильтрации при плоской деформации и плосконапряженном состоянии. Исследованы относительные изменения коэффициентов фильтрации некоторых строительных материалов при нагрузках 1 - 10 МПа в случае одномерной фильтрации.

Глава 2 посвящена построению численного алгоритма решения системы полигармонических уравнений и применению описанного метода к решению крае-

вых задач фильтрации при плоской деформации, заключающихся в исследовании напряженного состояния среды, коэффициента фильтрации в деформированной среде, определению давления жидкости в упруго-пористой среде. Применение построенного алгоритма возможно в областях с произвольным замкнутым контуром, в том числе и многосвязных. В данной главе также строится численный алгоритм определения скоростей фильтрации с последующим определением количества жидкости, протекающей через заданный контур, и контуров постепенного обводнения области от источника при неустановившейся фильтрации. По результатам, полученным на тестовых примерах (трубы круглого и эллиптического сечений), проводится сравнительный анализ численных результатов с известными точными аналитическими решениями.

В главе 3 моделируется процесс фильтрации жидкости через изогнутые под действием внешней нагрузки упруго-пористые плиты малой толщины на упругом основании. Сформулированная задача разбивается на две последовательные: изгиб плиты на упругом основании и фильтрация жидкости сквозь упруго-пористую среду. Для определения функции прогиба плиты используется обобщенное дискретное преобразование Фурье и аппарат почти-периодических функций. Фильтрация жидкости при цилиндрическом изгибе исследуется численно методом граничных элементов и аналитически методом Чарного с последующим разделением переменных. В главе решаются тестовые примеры, строятся графики функций прогиба плит, графики относительных изменений коэффициентов фильтрации плит при возникающих изгибах, графики давления внутри области и на границе.

Числовые расчеты при выполнении диссертационной работы проводились с использованием математических пакетов программ Maplesoft Maple 7, Maple 15.

В заключении сформулированы основные важные результаты, выносимые на защиту.

По теме диссертации опубликованы работы [40, 43, 44, 45, 53, 55-58]. Основные результаты исследования докладывались на следующих конференциях:

- Международная научная конференция «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций -2014» (Казань, 2014);

- Всероссийская научно-практическая конференция «Механика: современное состояние, проблемы, перспективы» (Чебоксары, 2014);

- Двенадцатая международная Казанская летняя научная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2015);

- XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);

- Четвертая международная конференция "Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений" (Уфа, 2016).

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГО -ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Глава посвящена некоторым сведениям теории фильтрации и построению математических моделей фильтрации в упруго-пористой среде, основанных на законе Дарси и известном подходе о представлении порового пространства как совокупности прямолинейных капиллярных трубок малого радиуса.

Построение математических моделей фильтрации предполагает коррекцию коэффициента фильтрации вследствие возникновения в теле упругих возмущений.

Пункт 1.1 содержит некоторые сведения теории фильтрации. В пункте 1.2 строится простейшая одномерная модель фильтрации, в рамках известного подхода о представлении порового пространства как совокупности прямолинейных капиллярных трубок малого радиуса. В рамках этой модели находится зависимость между такими параметрами двухфазной среды, как средний радиус капиллярных трубок (средний радиус пор), коэффициент фильтрации и количество пор на некотором участке сечения. В пункте 1.3 приводятся некоторые соображения по физическому описанию сплошной упруго-пористой среды, которое предполагает связь коэффициента фильтрации с тензором возникших в теле напряжений, вследствие чего возникает необходимость коррекции коэффициента фильтрации. Раздел 1.4 содержит строгую математическую постановку краевой задачи фильтрации. Также здесь представлены относительные изменения вследствие давления от 1 до 10 МПа коэффициентов фильтрации различных материалов. Так как решение поставленной задачи фильтрации в общем случае затруднено, а для бесконечно длинных цилиндрических тел значительно упрощается, то в пункте 1.5 в случае плоской деформации основная краевая задача фильтрации сводится к краевой задаче для системы полигармонических уравнений. Пункт 1.6 содержит выводы по главе 1.

1.1. Основные сведения из теории фильтрации в пористых средах

В теории фильтрации основным уравнением является закон Дарси

Ур + Pg = , (1.1.1)

где кв = к/р^, кв, к - коэффициенты Дарси и фильтрации, которые обычно

считаются постоянными, но могут быть переменными. Для несжимаемой жидкости в силу равенства нулю дивергенции скорости уравнение Дарси сводится к дифференциальному уравнению второго порядка

V-кУр = 0. (1.1.2)

При постоянном коэффициенте фильтрации (1.1.2) упрощается в уравнение Лапласа, которое достаточно хорошо изучено.

Для решения уравнения (1.1.2) необходимо удовлетворять определенным граничным условиям, вид которых зависит от моделируемого сценария.

При фильтрации в упруго-пористой среде поры в зависимости от напряжений деформируются; одновременно изменяется коэффициент фильтрации. Для выяснения некоторых особенностей течения в пористой среде рассмотрим одномерную фильтрацию, которую можно рассматривать как движение вязкой жидкости в капиллярных трубках [50].

1.2. Одномерная фильтрация жидкости через пористую среду

Ускорение жидкости, как и скорость, при фильтрации считаются малыми, поэтому инерционными силами в уравнениях Навье - Стокса можно пренебречь. Если массовая сила есть сила тяжести и направлена по оси 2, то уравнение Навье - Стокса имеет вид:

^ + рg = ^Дм>. (1.2.1)

а2

где ц - коэффициент динамической вязкости, w = w(х, у) - продольная скорость, ^ = g - массовая сила.

В ряде работ пористость среды рассматривают как пучок капиллярных трубочек равного сечения, но неизвестного радиуса и количества капилляров в единице сечения. Радиусы капилляров и их количество можно связать с коэффициентом Дарси, в частности, с коэффициентом пористости [67].

Решение задачи (1.2.1) для трубы круглого сечения дано Пуазейлем [50]. Из (1.2.1) видно, что левая часть зависит только от 2, правая - только от координат х

и у, поэтому обе части должны быть постоянными — + pg = С, или ц Лw = С. Ре-

dz

шением последнего уравнения, удовлетворяющего условию прилипания на стенке трубы, является

1 Л

- V dz У

w = 4ц

(х2 + у2 - а2). (1.2.2)

Из уравнения (1.2.2) можно найти максимальную скорость в произвольном сечении

Л С ^ Л

а

w =--

тах

4ц

dp

-Jr+pg

V dz у

(1.2.3)

Расход жидкости, протекающей через сечение трубы,

2% а

2

0 = Цwdxdy =^х | d<д\(г2 - а2)Мг = -тахпа2 . (1.2.4)

2

0 0 2

Если ввести среднюю скорость течения wср = wmax /2, то расход жидкости составит 0 = wср £, где 5 = па2 - площадь сечения.

5

а

Именно V = ^ =--

ср 8ц

dp

\

— + Pg

V dz

следует считать скоростью фильтрации. С

У

другой стороны скорость фильтрации определяется из уравнения Дарси (1.1.1) как

V = -к

dp dz

Сравнивая эти уравнения, находим радиус капилляра

а2 = М

Pg

(1.2.5)

Таким образом, вместо коэффициента фильтрации можно задать радиус а, а вместо пористости число капилляров в единичном сечении п.

Рассмотрим в качестве примера капиллярно-пористый материал бетон марки W4, для которого среднее значение коэффициента фильтрации к « 4 • 10-11 м/с, а пористость составляет 0.05. Радиус капилляра составит

а

= 2Л/2|йк7р£ « 2^

2• 1,002-10-3 • 4-10

Л-11

9815

а « 5.716 • 10-9[м],

[м],

число пор на 1 кв. м. составит

п

0.05-1м2

па

п « 4.87-10

14

Стоит заметить, что в силу обусловленности значения коэффициента фильтрации различными физическими и химическими процессами, как в твердой фракции, так и в жидкости, его величину определяют эмпирически. Экспериментальные данные могут существенно отличаться от теоретических значений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Микишанина Евгения Арифжановна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности: учебник для строит. спец. вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

2. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями / В.М. Александров, Е.В. Коваленко. - М.: Наука, 1986. -334 с.

3. Аменадзе, Ю.А. Теория упругости: учебник для университетов / Ю.А. Аменадзе. - М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

4. Аравин, В.И. Фильтрация в анизотропно-водопроницаемых грунтах / В.И.Аравин // Тр. Ленингр. Индустр. ин-та. 1940. № 1. Вып. 1. С. 1-14.

5. Бадриев, И.Б. Математическое моделирование задач с точечными источниками / И.Б. Бадриев, О.А. Задворнов // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 9 Всероссийской конференции. - Казань: Отечество. -2012. - С. 44-46.

6. Баренблатт, Б.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Б.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1972. - 288 с.

7. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

8. Бережной, Д.В. Статический расчет многослойных пластин и оболочек методом конечных элементов / Д.В. Бережной, А.К. Габибова // Актуальные проблемы физико-математических и гуманитарных наук: материалы Междунар. технич. конф. - Казань: Изд-во Казан. ун-та. - 2014. - С. 14-16.

9. Бережной, Д.В. Исследование деформирования флюидонасыщенных сред на основе произвольного Лагранжево-Эйлерова подхода к описанию движения.

I. Кинематика движения. Основная система разрешающих уравнений / Д.В. Бережной, А.И. Голованов, С.А. Малкин, Л.У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2010. - Т. 152.

- Кн. 4. - С. 106-114.

10. Беркович, В.Н. О точном решении одного класса интегральных уравнений смешанных задач упругости и математической физики / В.Н. Беркович // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 267. - № 2. - С. 327-330.

11. Бицадзе, А.В. О некоторых свойствах полигармонических функций / А.В. Бицадзе // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24. - № 5. - С. 825831.

12. Боскович, Д. Метан угольных пластов: чистая энергия для всего мира / Д. Боскович, П. Кларк, Р. Льюис [и др.] // Нефтегазовое обозрение. - 2009. -Т. 21. - №2. - С. 4-17.

13. Бреббия, К. Методы граничных элементов: пер. с англ. / К. Бреббия, Ж. Телес, Л. Вроубелл. - М.: Мир, 1987. - 524 с.

14. Бриджмен, П. Новейшие работы в области высоких давлений / П. Бриджмен // УФН. - 1947. - Т. XXXI. - Вып. 2. - С. 210-263.

15. Вабищевич, П.Н. Численное моделирование фильтрации флюида в анизотропной трещиновато-пористой среде / П.Н. Вабищевич, А.В. Григорьев // Сиб. журн. вычисл. матем. - 2016. - Т. 19. - № 1. - С. 61-74.

16. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И.Н. Векуа.

- М.: ФМЛ, 1948. - 296 с.

17. Галанин, А.В. Граничные задачи линейной гидродинамики: учеб. пособие / А.В. Галанин, А.Г. Терентьев. - Чебоксары: Чуваш. ун-т, 1984. - 83 с.

18. Голованов, А.И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел III. Постановки задачи и алгоритмы решения / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, Л.У. Султанов // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия физико-математические науки. - 2009. -Т. 151, Кн.3. -С. 108-120.

19. Голубев, Г.В. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде / Г.В. Голубев, Г.Г. Тумашев. - Казань: Казан. ун-т, 1972. - 195 с.

20. Дворкин, Л.И. Основы бетоноведения / Л.И. Дворкин, О.Л. Дворкин. -СПб.: ООО «Стройбетон», 2006. - 692 с.

21. Демидов, С.П. Теория упругости: учебник для вузов / С.П. Демидов. - М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.

22. Демков, А.И. Устройство для очистки сточных вод от нефтепродуктов/А.И. Демков. Патент 1086585 (СССР).

23. Дидевич, А. О водонепроницаемости и некоторых других характеристиках бетона / А. Дидевич // Технологии бетонов. - № 3-4. - 2016. - С.56-59.

24. Дьяконов, В. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах / В. Дьяконов.

- М.: ДМК, 2011. - 391 с.

25. Егоров, А.Г. Комплексные проблемы механики пористых сред / А.Г. Егоров // Образование и наука: сб. материалов. Ч.1. Естественные науки. - Казань: Изд-во КГУ, 2006. - С. 63-66.

26. Егоров, А.Г. Исследование гидродинамических течений в пористых средах на основе решений уравнений Навье-Стокса / А.Г. Егоров, Ш.Х. Зарипов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во КГУ, 2007.

- С. 70-71.

27. Жегалов, В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций /

B.И. Жеглов // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1976. - Вып. 13. - С. 80-85.

28. Иванов, Н.Н. Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд / Н.Н. Иванов. - М.: Транспорт, 1973. - 328 с.

29. Казакова, А.О. Интегральные соотношения для полигармонических функций, обладающих осевой симметрией / А.О. Казакова // Математика. Образование: материалы 19-й Междунар. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. -

C. 449.

30. Казакова, А.О. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения / А.О. Казакова, А.Г. Терентьев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52. - № 11. - С. 2050-2059.

31. Казакова, А.О. Полигармонические уравнения в механике сплошных сред / А.О. Казакова // Математика. Образование: материалы 21-й Междунар. конф. -Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2013. - С. 361.

32. Казакова, А.О. Численные моделирование плоской задачи о напряженно состоянии трубы, погруженной в жидкость / А.О. Казакова, А.Г. Терентьев // Прикладная математика и механика. - 2014. - Т. 78. - №5. - С. 721-727.

33. Кангужин, Б.Е. Представления и свойства функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений / Б.Е. Кангужин, Б.Д. Кошанов // Математический журнал. - 2010. - Т. 8. - № 1 (27). - С. 50-58.

34. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 572 с.

35. Коноплев, Ю.Г. Исследование контактного взаимодействия прямоугольных пластин с жесткой накладкой при гармонических колебаниях / Ю.Г. Коноплев,

С.А. Кудрявцев, А.А. Саченков, М.А. Точкасова // Ученые записки Казанского ун-та. Серия физико-математические науки. - 2011. - Т. 153. - Кн. 4. - С. 98-111.

36. Костерин, А.В. Новые модели и обобщенные решения нелинейных задач механики насыщенных пористых сред / А.В. Костерин // Математическое моделирование. - 2001. - Т. 13. - № 2. - С.71-77.

37. Костерин, А.В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А.В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова // Матем. моделирование. -2001. - Т. 13. - № 9. - С. 63-70.

38. Котляр, Л.М. О нелинейной фильтрации в области с криволинейной границей / Л.М. Котляр, Э.В. Скворцов // Труды семинара по краевым задачам: Изд-во Казан. ун-та. - 1974. - №11. - С. 90-99.

39. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Дрофа, 2004. - Т. 2 - 720 с.

40. Кулагина, М.Ф. Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений / М.Ф. Кулагина, Е.А. Микишанина // Математические заметки СВФУ. - 2015. - Т. 22. - № 3. - С. 11-19.

41. Кулагина, М.Ф. Обобщенное дискретное преобразование Фурье и его приложения / М.Ф. Кулагина // Сборник научных статей Российской ассоциации "Женщины-математики". - Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1993. -Вып. 1. - С. 79-83.

42. Кулагина, М.Ф. Об интегральных уравнениях в средних значениях в пространствах почти-периодических функций / М.Ф. Кулагина // Изв. ВУЗов. Математика. - 1993. - № 8. - С. 19-29.

43. Кулагина, М.Ф. Об одной задаче теории фильтрации для полуплоскости / М.Ф. Кулагина, Е.А. Микишанина // XI Всероссийский съезд по фундаменталь-

ным проблемам теоретической и прикладной механики: сб. докладов. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. - С. 2157-2159.

44. Кулагина, М.Ф. О некоторых задачах механики сплошной среды для составных областей / М.Ф. Кулагина, Е.А. Микишанина // Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014: материалы Международ. науч. конф. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - Т. 49. - С. 212-216.

45. Кулагина, М.Ф. О некоторых задачах теории фильтрации / М.Ф. Кулагина, Е.А. Микишанина // Механика: современное состояние, проблемы, перспективы: сб. ст. Всерос. науч.-практич. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2014. -С. 87-91.

46. Кулагина, М.Ф. Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений / М.Ф. Кулагина, Е.А. Микишанина // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование: тезисы докладов. Междунар. конф. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГУТУ, 2015. - С. 167-168.

47. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука,

1986. - 736 с.

48. Ландау, Л.Д. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука,

1987. - 248 с.

49. Левитан, Б.М. Почти-периодические функции / Б.М. Левитан. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953. - 396 с.

50. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 676 с.

51. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 1824 с.

52. Мазо, А.Б. Решение задач фильтрации с нелокальными граничными условиями при моделировании разработки нефтяных месторождений / А.Б. Мазо,

К.А. Поташев, Е.И. Калинин // Сеточные методы для краевых задач и приложения: сб. тр. 9-й Всероссийской конф. - Казань: Отечество. - 2012. - С. 266-270.

53. Микишанина, Е.А. Компьютерное моделирование решений плоской краевой задачи теории фильтрации / Е.А. Микишанина // Вестник Чувашского университета. - 2016. - №1. - С. 145-153.

54. Микишанина, Е.А. Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений в задачах теории фильтрации / Е.А. Микишанина // Информационные технологии интеллектуальной поддержки принятия решений: сб. тр. 4-й Междунар. конф. - Уфа: Изд-во УГАТУ, 2016. -Т. 2. - С. 138-141.

55. Микишанина, Е.А. Фильтрация через упруго-пористую плиту / Е.А. Микишанина, А.Г. Терентьев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: «Механика предельного состояния». - 2016. - №4(30). - С. 33-40.

56. Микишанина, Е.А. Численное определение контуров обводнения в задачах нестационарной фильтрации // Научно-технический вестник Поволжья. - 2017. -№1. - С. 21-24.

57. Микишанина, Е.А. Исследование коэффициента фильтрации упруго-пористой плиты при нагружении / Е.А. Микишанина // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: «Механика предельного состояния». - 2017. - №2(32). -С. 63-68.

58. Микишанина, Е.А. Об определении напряженного состояния упруго-пористой среды / Е.А. Микишанина, А.Г. Терентьев // Учен. Зап. Казан. ун-та. Серия физ.-матем. Науки. - 2017. - Т. 159, кн. 2. - С. 204-215.

59. Мухселишвилли, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мухселишвилли. - М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 817 с.

60. Мусхелишвилли, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мухсе-лишвилли. - М.: Наука, 1968. .- 511 с.

61. Никифоров, Г.А. Моделирование двухфазной фильтрации в переменных «скорость-насыщенность» / Г.А. Никифоров // Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т. 3. - № 2. - С. 83-92.

62. Никулин, А.В. Механика грунтов / А.В. Никулин - Киров: изд-во ВятГУ, 2006. - 151 с.

63. Нужин, М.Т. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений / М.Т. Нужин, Н.Б. Ильинский. - Казань: Казан. ун-т, 1963. - 140 с.

64. Осипов, В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля / В.Ф. Осипов. -СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1992. - 312 с.

65. Петров, А.Г. Аналитическая гидродинамика / А.Г. Петров. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2009. - 520 с.

66. Пирумов, У.Г. Численные методы: теория и практика. / У.Г. Пирумов, В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников, В.Ю. Стрельцов, В.Ф. Формалев. - М.: Изд-во Юрайт, 2012. - 421 с.

67. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полуба-ринова-Кочина. - М.: Наука, 1977. - 664 с.

68. Ризенкампф, Б.К. Гидравлика грунтовых вод. Ч.1 / Б.К. Ризенкампф // Уч. Зап. Саратов. ун-та, серия физ.-мат. ин-та. - № 1. - С. 89-113.

69. Рогожин, В.С. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения /В.С. Рогожин// Учен. Зап. Казанск. Ун-та. - 1950. - Т. 110. - Т. 4. - С. 71-93.

70. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М.П. Саврук. - Киев: Наук, думка, 1981. - 324 с.

71. Самарский, А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

72. Саченков, А.А. Цикл лекций по теории изгиба пластин: учебное пособие / А.А. Саченков. - Казань: Казан. (Приволж.) федер. ун-т, 2012. - 53 с.

73. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1970. -Т. 1. - 492 с.

74. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1970. -Т. 2. - 568 с.

75. Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1987. - 440 с.

76. Сильвестров, В.В. Краевые задачи теории упругости для плоскости со счетным множеством разрезов / В.В. Сильвестров // Известия вузов. Математика. -1992. - № 4. - С. 61-69.

77. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. - М.: ГИТТЛ, 1956. - Т. II. - 628 с.

78. Смирнов, В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. - М.: ГИФМЛ, 1969. - Т. V. - 657 с.

79. Соболев, С.Л. О прямом методе решения полигармонических уравнений / С.Л. Соболев // Докл. АН СССР. -1936. - Т. 4. - № 8. - С. 339-341.

80. Терентьев, А.Г. Численные методы в гидродинамике: учеб. пособие / А.Г. Терентьев, К.Е. Афанасьев. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1987. - 80 с.

81. Терентьев, А.Г. Краевые задачи теории полигармонических уравнений и их численное решение / А.Г. Терентьев // Инновации в образовательном процессе. -М.: Изд-во МГОУ, 2007. - № 5. - С. 194-199.

82. Терентьев, А.Г. Применение метода граничных элементов к численному конформному отображению / А.Г. Терентьев, Т.Н. Петрова // Известия НАНИ ЧР. - 1996. - № 1. - С. 56-73.

83. Терентьев, А.Г. Теория упругости с элементами сопротивления материалов и пластичности: учеб. пособие / А.Г. Терентьев. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. унта, 2016. - 264 с.

84. Терцаги, К.Теория механики грунтов / К. Терцаги. - М.: Госстройиздат, 1961. - 544 с.

85. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М: Наука, 1975. - 560 с.

86. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

87. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Изд -во Моск. ун-та, 1999. - 799 с.

88. Треногин, В.А. Функциональный анализ: учебник, 3-е изд / В.А. Треногин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 488 с.

89. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. - Л.: Наука, 1968. - 406 с.

90. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. - М.-Л.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. - T. III. - 656 с.

91. Цытович, Н.А. Механика грунтов / Н.А. Цытович. - М.: Высшая школа, 1979. - 272 с.

92. Чарный, И.А. Приток к скважинам в пласте с переменной проницаемостью и мощностью / И.А. Чарный // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1967. - №2. - С. 180-188.

93. Чекалин, А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах / А.Н. Чекалин. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1982. - 208 с.

94. Шапиро, Г.С. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на упругом основании / Г.С. Шапиро // Прикл. матем. и механика. - 1943. - Т. 7. - Вып. 4. - С. 316323.

95. Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости / И.Я. Штаерман. -М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 272 с.

96. Andersson, L.E. Solution of biharmonic equations with application to radar imaging / L.E. Andersson, T. Elfving, G.H. Golun // J. Comput. Appl. Math. - 94 (1998). - P. 153-180.

97. Antipov, Y.A. Galin's problem for a periodic system of stamps with friction and adhesion / Y.A. Antipov // Int. J. of Solids and Structures. - 37 (2000). - № 15. -P. 2093-2125.

98. Badriev, I.B. Numerical investigation of nonlinear filtration problems of high-viscosity fluids in porous media / I.B. Badriev, V.V. Banderov, M.Y. Singatullin // Applied Mechanics and Materials. - 2015. - V. 740. - P. 672-675.

99. Biot, M.A. Mechanics of determination and acoustic propagation in porous media / M.A. Biot // J. Appl. Phis. - 1962. - V. 33. - № 4 - P. 1482-1498.

100. Biot, M.A. General solutions of the equation of elasticity and consolidation for a porous materials / M.A. Biot // J. Appl. Mech. - 1956. - V. 23. - № 1. - P. 91-96.

101. Cohen, J.M. Poliharmonic functions on tree / J.M. Cohen, F. Colonna, K. Gowrisankaran, D. Singman // American J. of Math. - 124 (2002). - P. 999-1043.

102. Elliott, L. The boundary element method for the solution of slow flow problems for which a paradoxical situation arises / L. Elliot, D.B. Ingham, T. El Bashir // Proc. Boundary Element Methods in Fluid Dynamics II, Southampton. - 1994. - P. 16-24.

103. Ivanova, V.I. Almost periodic solutions of the first main problem of theory of elasticity for plane domains consisting of parallel strips / V.I. Ivanova // 8th International Conference "Stability, control and rigid bodies dynamics". - Donetsk (Ukraine) - 2002. - P. 113-114.

104. Kozeny, J. Grundwasserbewegung bei freiem Spiegel, Fluss- und Kanal-versickerung. Wasserkraft und Wasserwirtschaft. 1931. - H.3. - P. 28-31.

105. Lurie, S.A. The Biharmonic Problem in the Theory of Elasticity / S.A. Lurie, V.V. Vasiliev. - Amsterdam: Gordon and Breach Pub., 1995. - 265 p.

106. Mishuris, G.S. Boundary value problems for Poisson's equation in a multi-wedge

- multi-layered region / G.S. Mishuris // Arch. Mech. - 1996. - V. 48. - № 4. -

P. 711- 745.

107. Shulze, G.W. Periodic cracking of elastic coatings / G.W. Schulze, F. Erdogan // Int. Journal Solids and Struct. - 1998. - V. 35. - № 28-29. - P. 3615-3634.

108. Terentiev, A.G. Numerical modeling of gravitating flows / A.G. Terentiev // Proc. of Int. Conf. on Fast Sea Transportation. - S.-Petersburg, 2005. - P. 42-43.

109. Terentiev, A.G. The Hydrodynamics of Gavitating Flows / A.G. Terentiev, I.N. Kirschner, J.S. Uhlman. - USA: Backbone Publishing Company, 2011. - 598 p.

110. Terentiev, A.G. Deep water technology: problems and solutions / A.G. Terentiev // World Maritime Technology Conf. - Saint-Petersburg, 2012. - P. 1-7.