Математическое моделирование кинематики и динамики сейсмических полей в двумерно-неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Белоносов, Андрей Сергеевич

• Белоносов, Андрей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белоносов, Андрей Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Обратная кинематическая задача сейсмики

в 2Э постановке

1.1. Постановка задачи

1.2. Начальные данные

1.3. Алгоритм решения обратной кинематической задачи

1.3.1. Построение локально-линейной скоростной модели

1.3.2. Нахождение оптимальной линейной скорости

1.3.2.1. Вывод явного выражения для времени между двумя точками среды с линейной скоростью

1.3.2.2. Постановка и решение задачи минимизации

1.3.3. Реконструкция скорости в вертикальных сечениях

1.3.4. Построение двумерной скорости

1.3.5. Усиленная гипотеза компенсируемости

1.3.6. Локально одномерный метод

1.3.7. Сравнительные эксперименты на модельных данных

Глава 2. Об одном приложении метода обратной фильтрации

к линейным задачам вычислительной математики

Глава 3. Комплекс алгоритмов и программ

гладкого восполнения сеточных функций,

заданных на нерегулярных сетках в Яп

3.1. Постановка задачи.

Предварительное описание метода

3.1.1. Основы применения (разбиения единицы)

3.1.2. Применение к аппроксимации

3.1.3. Применение к восполнению

3.2. Алгоритм г-гладкого приближения

функций многих переменных

3.3. Алгоритм г-гладкого восполнения функций, заданных приближенно в узлах хаотической

сетки на плоскости

3.4. Применение к построению карты изолиний эффективных скоростей

Заключение

Литература

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование кинематики и динамики сейсмических полей в двумерно-неоднородных средах»

Введение

Методы математического моделирования и вычислительного эксперимента эффективно применяются в разных научных и прикладных дисциплинах.

Важную роль эти методы играют в геофизике, где объектом исследований часто оказываются недоступные визуальному наблюдению физические свойства глубинных слоев Земли и внутренние источники геофизических полей.

Надежность результатов исследований в этих случаях существенно зависит от трех факторов: реалистичности и общности физико-математической модели изучаемого объекта, от количества наблюдаемой информации и от корректности математических методов обработки этой информации.

Каждый из этих факторов проявляется в любых задачах дистанционных исследований, когда об изучаемом объекте имеется лишь косвенная информация. В геофизических задачах эти факторы имеют свою специфику.

1. Фактор реалистичности и общности модели в геофизике, в частности, в сейсмических исследованиях, приводит к необходимости рассматривать многомерные (двумерные и трехмерные) модели пространственного строения объектов. Введение слоистых моделей с усредненными характеристиками слоев эффективны лишь в сейсморазведке, где имеется большая априорная информация о среде за

у "П ^

счет использования измерении в скважинах. В сейсмологии и при глубинных сейсмических зондированиях (ГСЗ) необоснованное упро-

щение модели путем ее усреднения может приводить к ошибкам интерпретации наблюдений. В частности, это иногда приводило на начальном этапе развития метода ГСЗ (1950 - 1970 гг.) к ошибкам распознавания природы рефрагированных волн в Земной коре за счет пренебрежения малым вертикальным градиентом скоростей сейсмических волн в слоях на больших глубинах. Поэтому для повышения качества математических моделей приходится повышать их сложность сообразуясь, однако, с объемом и точностью исходных данных и с точностью применяемых алгоритмов обработки.

Переход к многомерным моделям и к соответствующим численным методам в геофизике начался в 1960-1970 годах в работах сибирских математиков и геофизиков М.М.Лаврентьева, А.С.Алексеева, В.Г.Романова [1]-[4]. Этот переход был связан с существенным развитием математики в СОАН применительно к многомерным задачам и относился к широкому кругу прикладных задач сейсмологии и сейсморазведки: к прямым кинематическим и динамическим задачам, а также к обратным кинематическим и динамическим задачам сейсмики.

В предлагаемой работе в главе 1 рассмотрена обратная кинематическая задача сейсмики в двумерной непрерывно неоднородной среде.

Если в прямой задаче сложность среды ограничена лишь возможностью ее численного представления и аппроксимации, то в обратной задаче имеются принципиальные трудности. Они связаны с вопросами единственности решения обратной задачи в пробном классе сред и, даже если единственность имеется, - с проблемой устойчивости численного решения при выполнении большого числа шагов по глубине. Целью исследования в этой главе является получение достаточно устойчивого численного метода решения обратной задачи до определенной глубины.

2. Фактор полноты исходной (практической) информации в геофизике наталкивается на существенные ограничения. Для протяженных исследуемых областей Земной коры с размерами иногда в сотни километров с неоднородностями среды размерами в десятки-сотни метров требуется иметь густую сеть регистрирующих геофизические поля приборов.

Чрезвычайно высокая цена каждой точки наблюдения заставляет искать экономичные методы аппроксимации моделей и обработки данных с целью выбора рациональных систем наблюдений. В сейсморазведке, в ГСЗ и в сейсмологии обнаружение полезных волн обычно производят путем корреляции в пространстве распространяющихся вдоль профилей "сгустков энергий" волн - волновых фаз. При этом каждая новая точка пространственной системы наблюдений требует установки (хотя бы временной) специального прибора и удорожает работы при малом шаге между приборами. Между тем, каждый уже установленный сейсмограф записывает с весьма высокой детальностью (с малым шагом дискретизации) функцию времени, описывающую волны в фиксированной точке наблюдений. Детальность записи по времени достигается без больших экономических потерь. Возникает тенденция использовать более эффективно динамические характеристики волнового поля. Было показано ранее (А.С.Алексеев [16], [2]), что использование динамической информации путем решения обратных динамических задач существенно повышает разрешающую способность и надежность сейсмических исследований.

В данной работе, в главе 2, предлагается метод выделения высокочастотных компонент волн из волнового поля, зарегистрированного на более низких доминирующих частотах, но с весьма большой точностью. Здесь наблюдается повышение разрешающей способности обработки за счет использования высокой точности регистрации

сигналов во времени.

3. Фактор корректности обработки наблюдений определяется не только реалистичностью модели, точностью алгоритмов, но и точностью представления больших массивов наблюдаемых данных. Особую сложность процедура представления данных имеет в случае больших хаотических (нерегулярных) сетей точек наблюдения. Аппроксимация многомерных полей (функций) по таким сеткам должна производиться без потери аналитических свойств этих функций.

В главе 3 диссертации излагается алгоритм аппроксимации и восполнения функций многих переменных, заданных на хаотических сетках с большого порядка.

Отмеченные выше три фактора, присутствующие в методах математического моделирования в геофизике, подробно поясняются в соответствующих разделах диссертации. На актуальных прикладных задачах иллюстрируется их содержание и численные подходы.

Перейдем к описанию содержания диссертации по главам.

В главе 1 рассматривается обратная кинематическая задача сей-смики (ОКЗ) в двумерной постановке. Физическая постановка ОКЗ, следуя [3], заключается в следующем: в области пространства х = (а^, а'з), ограниченой некоторой поверхностью 5, рассматривается волновой процесс, порожденный сосредоточенными источниками возмущений, приложенными в точках х3 поверхности 5. Волны от источников возмущений распространяются в области Б с конечной скоростью зависящей от координат точки пространства. В точках границы приборы фиксируют время пробега т{х,х3) волн от источника х3 € £ до приемника х £ Б. Требуется по времени г(ж,ж-?), где х1 хз—произвольные точки поверхности найти скорость у(х) распространения волн внутри области В.

Известно, что функция т(х,худовлетворяет внутри области И

уравнению эйконала

(1)

и условию

Г (я, xi) = 0(\х — хЦ): х —> xi .

Поэтому математическая постановка ОКЗ может быть сформулирована как задача об отыскании функции п(х), входящей в уравнение эйконала, по известному для различных точек поверхности 5 (области И) решению задачи (1), (2)

Функция t(x,xi) при фиксированной точке xi называется поверхностным годографом волны (продольной или поперечной). Таким образом, данными ОКЗ является семейство поверхностных годографов.

ОКчЗ принадлежит к числу классически некорректных задач математической физики и является обьектом исследования многих ученых, как математиков, так и геофизиков.

Первая ОКЗ была поставлена и решена в 1905-1907 г.г. немецкими учеными: математиком Г. Герглотцем [5] и геофизиком Е. Вихер-том [6]. Полученный ими результат позволял по годографу рефраги-рованной волны определять одномерный закон изменения скорости в Земле в предположении сферически-симметричного ее строения и монотонного возрастания скорости с глубиной. Для сред неоднородных только по вертикали годограф рефрагированых волн т{х, £) допускает прямое обращение в скоростной разрез v(z), если в среде отсутствуют волноводы.

C.B. Чибисовым [7], [8] для целей сейсморазведки был обобщен метод Герглотца-Вихерта. Им был впервые разработан метод интерпретации годографов с разрывами.

ос^ — i>(,^oc^ X^^^ ос^ ^ ос s

Интенсивное развитие теории и методов решения обратных задач связано с начавшимся применением методов сейсмической разведки месторождений нефти и газа. В работах Г.А. Гамбурцева, Ю.В. Ри-зниченко, И.С. Берзон, H.H. Пузырева были решены обратные кинематические задачи [9]—[13] для отраженных и головных волн в слоисто-неоднородных средах. Наиболее общим результатом можно считать метод полей времен, созданный Ю.В. Ризниченко [9].

Начиная с работ А.Н. Тихонова [14], [15], в которых был сформулирован общий подход к решению некорректных задач, различные постановки обратных задач (а так же обратных кинематических задач) были сформулированы и исследованы в работах A.C. Алексеева, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, С.П. Шишат-ского, А.Л. Бухгейма, C.B. Гольдина, Т.И. Облогиной, Т.Б. Яновской и их учеников [16]—[30].

Методы решения обратных кинематических задач можно разделить на три группы.

1. Оптимизационные методы: машинный перебор, градиентные методы минимизации функционала невязок и т.д. В основе этих методов лежит возможность эффективного решения прямой задачи. Первый из названных методов позволяет получить первоначальное представление о строении среды, хотя достижение наилучшего совпадения между рассчитанными и наблюденными данными не гарантирует истинности полученного результата. Эффективность второго существенно зависит от выбора нулевого приближения. Эти методы впервые использовались в работе [31].

2. Метод линеаризации (проектирование на конечномерное подпространство). В сейсмических исследованиях приближенная математическая модель может быть зарание подобрана на основании априорных сведений или получена приближенными методами по ин-

формации о наблюденном волновом процессе. Если предположить, что функция п(х) = ^у представлена в виде

п(х) = щ(х) + щ(х) , (3)

где п0(х) - описанная выше (подобранная) функция, а щ(х) мала по сравнению с щ{х). Тогда, обозначив через г0(ж,Жо) время побега волны вдоль луча Г(х,ж0), отвечающего скорости v0(x) = получим, что

т(х, х0) и tq(x, х0) + тг(х, х0) ,

где

Ti(x,Xq) = J rii(x)ds. (4)

г

Определение добавки rii(x) к известной функции щ(х) сводится к решению уравнения (4). Это уравнение является линейным интегральным уравнением и (4) является задачей линейной сейсмической томографии. Такая постановка, предложенная А.С.Алексеевым и М.М.Лаврентьевым, рассмотрена, например, в [4]. Таким образом, задача сводится к отысканию подинтегральной функции п1(х) через известные интегралы от неё вдоль заданного семейства кривых Г(^,ж0). Преимущество описанного метода состоит в том, что для решения линейных задач разработаны вычислительные методы и эффективные алгоритмы. Один из них - проектирование бесконечного пространства моделей на специально выбранное конечномерное подпространство. Далее алгоритм расчета зависит от конкретного сочетания щ(х) и щ(х), [20]—[21], [32]—[35].

Замечание. Если в (3) щ = const, mo лучи P(rr, Xq) - прямые линии. Такие постановки используются в медицинской томографии. В 80-х годах обратные кинематические задачи стали называть задачами "сейсмической томографии" [32]-[35]. Сходство

терминологии с медицинской связано с тем, что постановки задач и системы сбора сейсмических данных близки к используемым в медицине. Однако имеется существенное различие между этими задачами. Задачи сейсмической томографии являются нелинейными; луч зависит от реконструируемой скорости; лучи криволинейны и образуют нерегулярное семейство; практически невозможно создать системы наблюдений, обеспечивающие полное покрытие лучами области реконструкции скорости. Кроме того, обратные кинематические задачи принадлежат к классу некорректных задач и в этом их особенность.

3. Численный алгоритм решения двумерной ОКЗ в точной постановке впервые был предложен в работе [30]. Он основан на разностной аппроксимации задачи Коши для нелинейного эволюционного уравнения в частных производных первого порядка относительно функции г(х1,х2, г) ~ минимального времени пробега возмущения между точками (х1,г) и (х2,г), расположенными на одной глубине

г, = ±фг\хъ г) - (г^)2 ± г) - (т^ (5)

где

п(хъ г) = -Тх1(х1, хъ п(х2} г) = т'Х2(х2, хъ г) .

Позднее для решения этого уравнения М.Е. Романов [36] использовал метод характеристик. В работах [37]-[38] алгоритм модифицирован для случая линеаризованной постановки.

Алгоритмы третьей группы основаны на использовании эволюционного уравнения (5) для послойного пересчета времени т{х^х2, г) с глубины г = ¿к на глубину 2 = гк+1 = + к на основе конечно-разностной аппроксимации, либо методом характеристик. После каждого пересчета скорость V на новой глубине вычисляется по г для близких точек, когда лучи практически прямые. В алгоритмах этого

типа приходится бороться с существенной вычислительной неустойчивостью, суть которой состоит в том, что скорость на глубине в точке (ж, х) вычисляется как отношение ПРИ х\ и х2 близ-

ких к х (обычно х — (х1 + /2), при этом величина получается из некоторого т(х1,х2,г) - времени вдоль большого луча, проходящего через точки (х1,г) и (х2,2), путем многократного вычитания малых величин (в процессе послойного пересчета). В результате этой процедуры величина т(х[, х2, г) при больших 2 может оказаться состоящей только из ошибок округления.

Наш метод относится к классу методов, занимающих промежуточное положение между указанными (первым и третьим). В нем присутствуют и пересчет функции т(жь х2: и оптимизация. Пересчет, однако, осуществляется на глубину (Нг - шаг дискретизации уравнения (5) по переменной обеспечивающий аппроксимацию этого уравнения). Скорость же в слое находится с привлечением процедуры оптимизации по подобластям с горизонтальным размером Д <С Ь, где Ь - горизонтальный размер области, в которой расположены источники и приемники. Полученные локальные приближения по какому-либо методу склеиваются в функцию, принимаемую за искомую скорость в слое.

Если в качестве локальных приближений в г-ж подобласти (г = 1,2,..., А^) ограничиться нулевыми приближениями в виде линейных скоростей

г)г-(ж, х) = а{х + Ь¡2 + сг- ,

где аг-, 6?:, сг- определяются оптимизационным методом, то мы получим предварительное грубое представление о предлагаемом алгоритме ([39], [40]).

С учетом устойчивости алгоритмов, установленной на модельных примерах, решена практическая задача интерпретации серии годографов рефрагированных волн, описанная в приложении А.

В главе 2 для некоторого класса линейных задач математической физики предложен метод численного формирования "высокочастотных" решений на основе известных "низкочастотных" решений этих задач [41]. При этом используется специальный аппарат обратной фильтрации (метод численного решения интегрального уравнения 1-го рода типа свертки).

В главе 3 приводится описание нового метода гладкого восполнения таблично заданных функций.

Одной из основных задач в прикладной математике является задача г-гладкого приближения функций, значения которых известны на конечном множестве точек. Особенно трудной она является в случае, когда требуется приблизить функцию т переменных, имеющую разрывы на (т—1)-мерных многообразиях в области со сложной границей.

В 1974г. был предложен метод [42], основанный на широко применяющемся в теоретической математике понятии разбиения единицы. Этот метод представляется наиболее естественным для задач указанного типа.

Возникновение метода было стимулировано двумя задачами.

1. Восполнение геофизической информации, полученной экспериментально в узлах хаотической или нерегулярной сетки (сеть скважин) пунктов измерений. Эта операция необходима при решениии обратных задач.

2. Подавление шумов, связанное с решением слабо корректных уравнений первого рода, в которых шумы содержались как в ядре, так и в правой части. Оба эти элемента были представлены в виде экспериментально измеренных сигналов.

Методика решения задач аппроксимации, восполнения и фильтрации помех основывалась на аппроксимации функций с помощью ал-

горитма разбиения единицы по системе вспомогательных куполообразных функций <Pi(x), г = 1, • • •, п.

Этот алгоритм, по сути, является аналогом популярного в настоящее время алгоритма разложения сигналов (функций) по "вей-влетам". Но в отличие от "вейвлетов", функции <Pi(x) не являются взаимно ортогональными, что делает их применимыми в условиях нерегулярных сеток (в англоязычной литературе первый пример гладких ортогональных "вейвлетов" относят к работе Стремберга (Jan Olov Stremberg) из университета Тромсе в Норвегии от 1983 г.).

Автором разработан алгоритм и комплекс программ восполнения таблично заданных функций на основе предложенного метода [43]-[45]. Эти программы использовались при решении многих практических задач в разные годы, начиная с 1974г. В пункте 3.4 приводится описание решения одной такой практической задачи, проведенного в 1975 г. на основе первоначального варианта комплекса программ для имевшейся в те годы ЭВМ БЭСМ-б. Впоследствии комплекс был усовершенствован, адаптирован к современной вычислительной технике и использовался, в частности, при решении задач, описанных в первых двух главах диссертации.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своим научным руководителям А.С.Алексееву и В.А. Цецохо за руководство работой.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Белоносов, Андрей Сергеевич

Заключение

• Сформулирован и исследован новый метод решения двумерной обратной кинематической задачи.

• Метод решения двумерной обратной кинематической задачи опробован (с положительным результатом) на производственном материале сейсмических наблюдений на участке, где преобладает гладкое изменение скоростей по глубине и вдоль профиля и где оказывались неприменимыми обычные методы, использующие отраженные и головные волны.

• Показана возможность использования интегрального преобразования низкочастотного поля, зарегистрированного с высокой точностью, в высокочастотное поле с высоким временным разрешением.

• Развит численный метод г-гладкого восполнения сеточных функций, заданных на нерегулярных сетках большого порядка. Метод адаптирован к решению двумерных задач сейсмики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белоносов, Андрей Сергеевич, 1999 год

Литература

[1] М.М.Лаврентьев. Математические задачи интерпретации геофизических наблюдений // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. -М., 1967, с. 9-83.

[2] А.С.Алексеев. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. -М., 1967, с. 3-8.

[3] Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа // Новосибирск, Наука, 1969 г.

[4] Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука, 1969.

[5] Heglotz.G Uber die Elastrizität der Erade beiz Berücksichtinung ihter variablen Dichte // Z. Math und Phyz., 1905, vol. 52, №3, pp. 275-299.

[6] Wiechert E. Uber Erdbeb endwellen I. Theoretiches über die Ausbreitung der erdbebenwellen // Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. Math.-Phyz. Kl., 1907, №4, pp. 1-115.

[7] Чибисов C.B.K теории сейсмического годографа / / Бюлл. Гео-физ. ин-та РСФСР, 1931, №36.

[8] Чибисов C.B. К вопросу о сейсмическом методе и его применении к геологической разведке // Вестник ВИА РККА, фортификационный сборник, 1934, №5.

[9] Ризниченко Ю.В. Геометрическая сейсмика слоистых сред // Труды Ин-та теор. геофиз., 1, №1, 1947.

[10] Гамбурцев Г.А. Глубинное сейсмическое зондирование земной коры // Труды Геофиз. ин-та АН СССР, 1954, №25, с. 124-133.

[11] Гамбурцев Г.А., Ризниченко Ю.В., Берзон И.С. и др. // М., изд-во АН СССР, 1952, 239 с.

[12] Гамбурцев Г.А. Основы сейсморазведки. Гостоптехиздат, 1959.

[13] Пузырев H.H. Интерпретация данных сейсморазведки методом отраженных волн // М., Гостоптехиздат, 1959, 434с.

[14] Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943, -Т. 39, №5, с. 195-198.

[15] Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регулярезации // ДАН СССР. 1963. -Т. 151, №3, с. 501-504.

[16] Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Изв. АН СССР, Сер. геофиз., 1962. -Т. 2, №11, с. 1514-1531.

[17] Лаврентьев М.М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР, 1964, -Т. 157, №3, с. 520-521.

[18] Алексеев A.C., Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г., Романов В.Г. Численный метод решения трёхмерной обратной кинематической задачи сейсмики // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1969, -вып. 1, с. 179-201.

[19] Романов В.Г. Об общем классе единственности решения обратной кинематической задачи // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск, 1973, -вып. 4, с. 147-164.

[20] Алексеев A.C., Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г. и др. Численный метод определения структуры верхней мантии Земли //

Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1971, -Вып. 2, с. 143-165.

[21] Аниконов Ю.Е., Шашева Н.П. Формулы для обратной кинематической задачи // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1971, -Вып. 2, с. 57-67.

[22] Аниконов Ю.Е. Несколько частных решений обратной кинематической задачи // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1974, -Вып. 4, с. 30-60.

[23] Яновская Т.Б. Метод решения обратной кинематической задачи сейсмики для горизонтально-неоднородной среды // Методы и алгоритмы интерпретации сейсмических данных. -М., 1981, -Вып. 13, с. 96-101.

[24] Yanovskaya T.B. Solution of the Inverse Problem of Seismology for Laterally Inhomogenos Media // Geophys. J. Roy, Astr. Soc. -1984, -vol. 79, -pp. 293-304.

[25] Облогина Т.И., Пайп В.Б. Восстановление двумерной скоростной функции методом подбора // Прикладная геофизика, -М.: Недра, 1973, -№2.

[26] Бухгейм A.JI. Об одном алгоритме решения обратной кинематической задачи сейсмики // Численные методы в сейсмических исследованиях. -Новосибирск: Наука, Сиб. Отд-ние, 1983, с. 152155.

[27] Гольдин C.B. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн // М.: Недра, 1979, 344с.

[28] Гольдин C.B., Черняк C.B., Судварг Д.И. Пакет программ кинематической интерпретации отраженных сейсмиче-

ских волн // Численные методы в сейсмических исследованиях. -Новосибирск: Наука, Сиб. Отд-ние, 1973, с. 156-160.

[29] Белоносов A.C. Две теоремы о единственности продолжения решений параболического уравнения // Математические проблемы геофизики. -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1974, -Вып. 5, ч. 2, с. 30-45.

[30] Белоносова A.B., Алексеев A.C. Об одной постановке обратной кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. -М., 1967, с. 137-154.

[31] Н.Н.Матвеева, А.С.Алексеев. Машинный поиск вариантов скоростного разреза верхней мантии по совокупности годографов глубокофокусных землетрясений // Сб. «Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн», №7, ЛГУ, 1964 г.

[32] Андерсон Д.Л., Дзевонский A.M. Сейсмическая томография // В мире науки. -1984, -№ 12, с. 16-25.

[33] Anderson D.L. Surface Wave Tomography // EOS, -1984, -vol. 65, -pp. 174.

[34] Dziewonski A.M., Anderson D.L. Siesmic Tomography of the eart's interior // Am. Sei. -1984, -vol. 72, №5, -pp. 483- 494.

[35] Алексеев A.C., Лаврентьев M.M., Романов В.Г., Романов М.Е. Вопросы сейсмической томографии // Математическое моделирование в геофизике. -Новосибирск: Наука, 1988, с. 35-50.

[36] Романов М.Е. Метод характеристик численного решения обратной кинематической задачи сейсмики // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1972, -Вып. 3, с. 328-346.

[37] Романов М.Е. О численном решении задач интегральной геометрии // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1975, -Вып. 6, ч. 1, с. 289-297.

[38] Романов М.Е. Численные методы решения обратной кинематической задачи для горизонтально-неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982, с. 90-106.

[39] A.C. Алексеев, A.B. Белоносова, A.C. Белоносов, В.А.Цецохо. Локально-оптимизационный метод решения обратной кинематической задачи сейсмики // Актуальные вопросы современной математики. Т.1, НИИ МИОО НГУ, Новосибирск, 1995, с. 3-9.

[40] A.S.Alekseev, A.V.Belonosova, A.S.Belonosov, V.A.Tsetsokho. A Local Optimization Technique for the Solution of the Problem of Nonlinear Seismic Tomography // Appl. Math. Lett. Vol. 9, №2, pp. 39-45, 1966.

[41] А.С.Алексеев, A.C. Белоносов, В.А.Цецохо. Об одном приложении метода обратной фильтрации к линейным задачам вычислительной математики // Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975, с. 114-123.

[42] Цецохо В.А., Белоносов A.C., Белоносова A.B. Об одном методе r-гладкого приближения функций многих переменных // препринт, вып. 8, ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1974, 14 с.

[43] Цецохо В.А., Белоносов A.C., Белоносова A.B. Об одном методе r-гладкого приближения функций многих переменных // Математические проблемы геофизики, -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1975, -Вып. 6, ч. 1, с. 298-309.

[44] Белоносов A.C., Цецохо В.А. Вычислительный алгоритм и процедуры сглаживания функций, заданных приближенно в узлах нерегулярной сетки на плоскости // Некорректные задачи математической физики и проблемы интерпретации данных геофизических наблюдений. -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1976, с. 6-29.

[45] Цецохо В.А., Белоносов A.C. Об одном методе гладкого восполнения сеточных функций, заданных на нерегулярных сетках в Rп // Неклассические методы в геофизике. -Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1977, с. 96-104.

[46] Б.И.Смирнов. Курс высшей математики // Т. IV, -М.,ГИТЛ, 1957.

[47] Белоносов A.C. Расчетные формулы для лучей и лучевого расхождения в прямоугольных координатах // препринт, вып. 396, ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1982, 25 с.

[48] Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа, 1962.

[49] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М., Физматгиз, 1963.

[50] Алексеев A.C., Михайленко Б.Г. О задаче Лэмба для неоднородного полупространства. - «Докл. АН СССР», 1974, т. 214, №1, с 84-86.

[51] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики // М.: Наука, 1977, 456 с.