Численное обращение времён первых вступлений для скважинных систем наблюдения в трансверсально-изотропных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сердюков, Александр Сергеевич

• Сердюков, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сердюков, Александр Сергеевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИЗУЧЕННОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

ОБРАТНОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

1.1 Краткий анализ основных работ в области сейсмической томографии

1.2 Анализ современных численных методов решения прямой и обратной кинематических задач

Глава 2. АЛГОРИТМ ДВУХТОЧЕЧНОГО ТРАССИРОВАНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ НА ОСНОВЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙКОНАЛА

2.1 Алгоритм решения двухточечной задачи

2.2 Трассировка в трансверсально-изотропной неоднородной среде на основе конечно-разностной схемы WENO-RK3

2.3 Трассировка в высококонтрастной среде на основе схемы

Fast Marching

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ТОМОГРАФИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЕГО СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

3.1 Вывод интегральных соотношений линеаризованной

задачи сейсмической томографии

3.2 Исследование сходимости матричной аппроксимации томографического оператора

3.3 Оптимальный набор восстанавливаемых параметров при решении обратной кинематической задачи для трансверсально-изотропной среды

Глава 4. АЛГОРИТМ УСТОЙЧИВОГО ОБРАЩЕНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

4.1 Устойчивое обращение кинематических данных в норме

/15 методом IRLS

4.2 Пример обращения синтетических данных в случае межскважинного просвечивания

4.3 Локация зон аккумулирования метана в угольном пласте сейсмотомографическим методом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное обращение времён первых вступлений для скважинных систем наблюдения в трансверсально-изотропных средах»

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования - метод численного обращения времён первых вступлений для скважинных систем наблюдения в трансверсально-изотропных неоднородных упругих средах на предмет развития теоретических и алгоритмических составляющих метода и использования при определении скоростного строения неоднородных сред.

Актуальность. Одним из основных этапов решения обратной кинематической задачи для уравнений теории упругости является построение лучей и вычисление времен пробега между приемниками и источниками. Известные методы двухточечного трассирования подбором начального направления луча (метод «пристрелки») или подбором траектории по минимизации времени пробега волны в сложных трехмерных высококонтрастных средах работают неустойчиво, требуют значительного времени вычисления.

Наиболее универсальным методом решения задач сейсмической томографии является метод матричного обращения, основанный на линеаризации задачи и последующей дискретизации, которая приводит к плохо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений большой размерности (томографической системе). Кинематические данные, используемые в правой части томографической системы, содержат ошибки. Исходя из вышесказанного, актуальным является разработка помехоустойчивого метода численного решения томографической системы уравнений.

Численное моделирование процессов распространения волн в трещиноватых горных породах часто проводится для эффективной трансверсально-изотропной среды, параметры которой могут быть заданы различными способами. Актуальным являются исследование свойств томографического оператора для различных способов параметризации

трансверсально-изотропной среды и определение оптимальной параметризации при выявлении зон трещиноватости сейсмотомографическим методом. Поиск таких зон является важной задачей с точки зрения определения путей фильтрации и зон аккумулирования углеводородов в горных породах.

Цель исследования - развитие метода и повышение достоверности результатов численного решения обратной кинематической задачи для изотропной и трансверсально-изотропной сред путём использования устойчивого двухточечного трассирования на основе конечно-разностного решения уравнения эйконала и усечённого сингулярного разложения для томографической системы уравнений.

Научная задача - обращение времён первых вступлений для скважинных систем наблюдения в случае изотропной и трансверсально-изотропной неоднородных сред.

Этапы исследования

1. Разработка алгоритма численного решения задачи двухточечного трассирования сейсмических лучей в сложных изотропных и трансверсально-изотропных неоднородных средах с использованием конечно-разностного решения уравнения эйконала.

2. Выбор и обоснование оптимальной параметризации трансверсально-изотропной среды с вертикальной осью симметрии при решении обратной кинематической задачи путём исследования г-решений соответствующей системы линейных уравнений.

3. Разработка помехоустойчивого алгоритма обращения кинематических данных. Создание научно-исследовательской версии программного обеспечения.

4. Верификация на синтетических данных и тестирование разработанного научно-исследовательского программного обеспечения.

Фактический материал. Научные методы исследования

Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются современные достижения в области геометрической сейсмики, численных методов решения прямых и обратных задач геофизики, а именно:

конечно-разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных;

конечномерные методы аппроксимации линейных интегральных уравнений.

- современные достижения численных методов линейной алгебры.

Для численного решения плохообусловленной системы алгебраических уравнений использовался метод усечённого сингулярного разложения, вычисляемого с помощью процедуры Арнольди, а также метод ШЬ8-минимизации соответствующего целевого функционала в пространстве /, 5.

Для верификации решения обратной кинематической задачи использовались синтетические данные, рассчитанные для реалистичной сейсмогеологической модели, описывающей строение одного из регионов Северного моря. Надежность и достоверность разработанных алгоритмов подтверждаются результатами численных экспериментов.

Защищаемые научные результаты.

1. Алгоритм двухточечного трассирования сейсмических лучей в неоднородных изотропных и трансверсально-изотропных средах с вертикальной осью симметрии, основанный на использовании конечно-разностных методов решения уравнения эйконала и верифицированный на серии численных экспериментов для двумерных сред.

2. Оптимальная параметризация трансверсально-изотропной среды, полученная в ходе анализа сингулярного спектра томографического оператора, позволяющая избежать артефактов, связанных с взаимным

влиянием параметров при численном обращении времён первых вступлений.

3. Алгоритм численного обращения времен первых вступлений продольных волн, основанный на усечении сингулярного разложения и протестированный на серии численных экспериментов по обращению синтетических данных.

Научная новизна. Личный вклад.

Для численного решения обратной кинематической задачи были предложены и реализованы оригинальные подходы:

- решение двухточечной задачи трассирования сейсмических лучей с использованием конечно-разностных схем решения уравнения эйконала;

- в результате анализа г-решений томографической системы установлено, что оптимальной параметризацией трансверсально-изотропной среды при обращении времен первых вступлений продольных волн является параметризация Шонберга;

- на основе комбинации усеченного сингулярного разложения и обращения с использованием /]5 нормы разработан помехоустойчивый алгоритм решения обратной кинематической задачи.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость разработанного алгоритма двухточечного сейсмического трассирования состоит в новом надежном способе решения. Практическая значимость заключается в гарантированном построении луча соединяющего две заданные точки и вычисления времён пробега, необходимых для реконструкции скоростного строения неоднородных сред сложного строения.

На основе численного исследования пространств старших правых сингулярных векторов определён оптимальный набор восстанавливаемых параметров. Данный результат представляет как теоретическую, так и практическую ценность.

Разработанный алгоритм обращения данных устойчив по отношению как к нормально-распределенным помехам, так и к отдельным ураганным помехам в результате минимизации соответствующего целевого функционала в пространстве /15. Этот результат важен при обращении времен пробега на практике. Разработанный алгоритм решения обратной кинематической задачи позволяет определять строение неоднородных трансверсально-изотропных двумерных сред с вертикальной осью симметрии и может быть использован на практике при решении ряда инженерных задач.

Результаты диссертации известны научной общественности: они докладывались и получили одобрение специалистов на международных научных конференциях «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2007), «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2008), «Days on diffraction» (Санкт-Петербург, 2009), «Inverse problems» (Китай, Ухань, 2010), международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2010), на Второй молодежной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2010), международном научном конгрессе «ГЕО-Сибирь-2010» (Новосибирск, 2010), 73-й конференции EAGE (Австрия, Вена, 2011).

Полученные научные результаты полностью изложены в 12

публикациях, из которых 2 статьи - в ведущих рецензируемых научных

журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (Технологии

сейсморазведки, Физико-технические проблемы разработки полезных

8

ископаемых), 1 статья в иностранном научном журнале (Journal of Mining Science), 9 - материалы российских и международных конференций и конгрессов.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Чеверде за всестороннюю поддержку, д.г. -м.н. В.Д. Суворову, к.т.н. С.Б. Горшкалеву, к.ф.-м.н. A.A. Дучкову, д.г.-м.н. И.Р. Оболенцевой, к.ф.-м.н. М.И. Протасову, к.ф.-м.н. Д.А. Неклюдову, к.ф.-м.н. A.M. Айзенбергу и другим коллегам по работе за обсуждения результатов, В.И.Самойловой за помощь в подготовке диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сердюков, Александр Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанный, теоретически обоснованный и программно реализованный новый алгоритм решения обратной кинематической задачи в трансверсально-изотропной неоднородной упругой среде с вертикальной осью симметрии имеет ряд преимуществ по сравнению с известными.

1. Разработанный и программно реализованный алгоритм решения двухточечной задачи трассирования сейсмических лучей отличается высокой надежностью и эффективностью за счет применения конечно-разностных методов численного решения уравнения эйконала.

В работе рассматриваются два варианта алгоритма, основанные на разных конечно-разностных схемах решения. Первый вариант, на основе схемы WENO-RK3, позволяет решать двухточечную задачу в трансверсально-изотропной среде. Второй вариант, использующий схему FAST MARCHING, позволяет решать двухточечную задачу в высококонтрастных скоростных моделях.

2. На основе анализа структуры устойчивых г-решений томографического оператора для трансверсально-изотропной среды с вертикальным направлением оси симметрии определена оптимальная параметризация, которая дает возможность повысить достоверность восстановления параметров трансверсально-изотропной среды для исследуемой системы наблюдения.

3. Разработанный алгоритм обращения кинематических данных, выгодно отличается от известных устойчивостью к различного рода помехам в данных.

Одними из направлений дальнейшего развития предложенных алгоритмов и созданного программного обеспечения является применение пространственного преобразования Фурье для анализа структуры сингулярных векторов, использование непрямоугольных сеток для решения обратной задачи, в первую очередь сеток на основе объёмов Френеля, учёт динамических характеристик первых вступлений, использование отражённых волн при обращении кинематических данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сердюков, Александр Сергеевич, 2011 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азаров Н.Я., Яковлев Д.В. Сейсмоакустический метод прогноза горно-геологических условий эксплуатации угольных месторождений /М.: Недра, 1988.-210 с.

2. Алексеев A.C., Гельчинский Б .Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. - 1959. - №3. - С. 16-47.

3. Алексеев A.C., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Об определении интенсивности волн в теории упругости лучевым методом // Докл. АН СССР. - 1958. -Т.1. - №4. - С.661-664.

4. Вавакин A.C., Салганик Р.Л. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями // Известия АН СССР, Механика твердого тела. -1978. - С.95-107.

5. Годунов С. К., Антонов А. Г., Кирилюк О. П., Костин В. И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах - Новосибирск: Наука, 1992. - 456 с.

6. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Серия "Обобщённые функции", выпуск 5. - Физматгиз. - 1962. - 302с.

7. Гервер М.Д., Марушкевич В.М. Исследование неоднозначности при определении по годографу скорости распространения сейсмической волны //Докл. АН СССР. - 1965. - 163. - №6. - С.1337-1380.

8. Гервер М.Д., Марушкевич В.М. О характеристических свойствах сейсмических годографов // Докл. АН СССР. - 1967. - 175. - №2. -С.334-337.

9. Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений гидродинамики // Математический сборник. - 1959. - Т.47. -№3. - С.271 - 306.

10. Гольдин C.B. Введение в геометрическую сейсмику -Новосиб.гос.ун-т. Новосибирск, 2005. - 264 с.

11. Гурвич И.И. Интерпретация данных сейсморазведки в случае анизотропной среды // Изв. АН СССР. Серия географ и геофиз. 1940. -№5.-С. 108-116.

12. Жузе Т.П. Миграция углеводородов в осадочных породах. - М.: Недра, 1986.-258 с.

13. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ - М.: Наука, 1977.-520 с.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов - М.: Мир, 1972. -630 с.

15. Костин В.И., Хайдуков В.Г., Чеверда В.А. R-решения уравнения первого рода с компактным оператором в гильбертовых

пространствах: существование и устойчивость // Докл. РАН. - 1997. -Т. 355(3).-С. 308-312.

16. Курленя М.В., Сердюков C.B. Десорбция и миграция метана в термодинамически неравновесном угольном массиве // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2010. -№1. - С.61-68.

17. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трёх линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. - 1966. -171. - №6. - С.1279-1281.

18. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.-288 с.

19. Ногих С.Р., Ашуров В.А., Дурнин М.К. Дегазация земли и проблема безопасности угледобычи в Кузбассе // Сибирский уголь в XXI веке. -2009. - №6-7. - С.22-24.

20. Оболенцева И.Р., Гречка В.Ю. Двухточечные алгоритмы расчёта лучей в слоисто-анизотропных средах // Геология и геофизика.- 1988. №10. -С.104-112.

21. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. - Новосибирск: Наука. - 1972. - 162 с.

22. М.И. Протасов, Сердюков A.C., Чеверда В.А. Оптимальная параметризация трансверсально-изотропной среды для обращения времён первых вступлений для системы наблюдений вертикального сейсмического профилирования с выносными источниками // Технологии сейсморазведки. - 2010 -№3. -С. 25-31.

23. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-288 с.

24. Хаттон JL, Уэрдингтон М., Мейкин Дж. Обработка сейсмических данных. - М.: Мир, 1989. - 216 с.

25. Чеверда В.А., Костин В.И. R-псевдообратный для компактного оператора // Сиб. электрон, матем. изв. - 2010. - №7. - С. 258 - 282.

26. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М. Наука, 1976.

27. Алексеев А.С, Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г. Численный метод определения структуры верхней мантии Земли // Математические проблемы геофизики. - 1979. - С.143-165.

28. Алексеев A.C., Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г., Романов В.Г. Численный метод решения трёхмерной обратной задачи сейсмики // Математические проблемы геофизики. - 1969. - С. 179-202

29. Woodward М. J., Nichols D., Zdraveva О., Whitfield P., Johns Т. A decade of tomography // Geophysics. - 2008. - V.73. - n.5. - P.VE5-VE11.

30. Alkhalifah T., Fomel S. Implementing the fast marching eikonal solver: Spherical versus cartesian coordinates // SEP. - 1995, - P. 149-171.

31. Anderson J.E. Imaging in transversely isotropic media with a vertical symmetry axes // Ph. D. thesis, Colorado School of Mines. - 1996.

32. Backus G. E. Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering // J. Geophys. Res. - 1962. - V. 67. - P.4427-4440.

33. Bardi M., Stanley Osher. The nonconvex multi-dimensional Riemann problem for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Math. Anal. - 1991. -V.22. - n.2. - P.344-351.

34. Berryman J. G. Long-wave elastic anisotropy in transversely isotropic media // Geophysics. - 1979. - V.44. - P.896-917.

35. Bodin T., Sambridge M. Seismic tomography with the reversible jump algorithm // Geophys. J. Int. - 2009. - V.178. - P.1411-1436.

36. Cameron M.K., Fomel S., Sethian J.A. Seismic velocity estimation and time-to-depth conversion of time migrated images // (SVIP 1.7), SEG conference, New Orleans,LA. - 2006.

37. Claerbout J. F., Muir F. Robust modeling of erratic data // Geophysics. -1973. - V.38. - P.826-844.

38. Crandall M.G. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Am. Math. Soc. - 1983. - V.277. - P. 1-42.

39. Cristiani, E. A fast marching method for Hamilton-Jacobi equations modeling monotone front propagations / E. Cristiani // Journal of Scientific Computing. - 2009. - V.39. - n.2. - P. 189-205.

40. Dijkstra E.W. A note on two problems in connexion with graphs // Numerische Mathematik. - 1959. - n.l. - P.269-271.

41. Dines K.A., Lytle R.J. Computerized geophysical tomography // Proc. IEEE. - 1979. - V.67. - n.7. - P.1065-1073.

42. Falcone M., Giorgi T., Loreti P. Level sets of viscosity solutions: some applications to fronts and rendez-vous problems // SIAM J.Appl. Math. -1994. - V.54. - P.1335-1354.

43. Fomel S. Shaping regularization in geophysical-estimation problems // Geophysics. - 2007. - V.72. - n.2. - P.R29-R36.

44. Gambarelli J., Guerinel G., Chevrot L., Mattei M. Ganzkörper-Computer—Tomographie. - Springer - 1977.

45. Gordon R. A tutorial on PRT // I.E.E.E. Trans. Nucl. Sei. - n.S21. - P.78-93.

46. Grechka V., Kachanov M. Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks // Geophysics. - 2006. - V.71. - P. D85-D91.

47. Herglotz G. Über das benudorfsche problem der fortplanzungsgeschwindigkeit der erdbebenstralen // Z.Geophys. - 1907. -V.8. - P.145-147.

48. Herman G.T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms // Comp. Biol. Med. - 1976. - n.6. - P.273-294.

49. Hudson J. A. Wave speeds and attenuation of elastic waves in material containing cracks // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. - 1981. -V.64.-P.133-150.

50. Khaidukov V.G., Kostin V.I., Tcheverda V.A. The r-solution and its application in linearized waveform inversion for a layered back-ground // IMA Volume "Inverse Problems of Wave Propagation". Springer: New York. - 1997,-P.277-294.

51. Kim S. 3-D Eikonal solvers: First-arrival traveltimes // Geophysics. - 2002. - V.67. -n.4. - P. 1225-1231.

52. Kim S., Cook R. 3-D traveltime computation using second-order ENO scheme // Geophysics. - 1999. - V.64. - n.6. - P. 1867-1876.

53. Kriiger O.S., Saenger E.S., Oates S., Shapiro S.A. A numerical study on reflection coefficients of fractured media // Geophysics. - 2007. -V.72. -P. D61-D67.

54. Levin F.K. Reflection from a dipping plane-Transversely isotropic solid // Geophysics. - 1990. - V.55. - P.851-855.

55. Lions P.L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi eqyations // Research notes in mathematics. - 1982.- V.69. Pitaman, Boston, Mass. - London. -204-245.

56. Mersereau R.M., Oppenheim A.V. Digital reconstruction of multidimensional signals from their projections I I Proc. I.E.E.E. - 1974. - V.62. - P.1319-1338.

57. Michelena R., Harris J.M. Tomographic traveltime inversion using natural pixels // Geophysics. - 1991. - V.56. - n.5. - P.635-644.

58. Michelena R.J., Singular value decomposition for cross-well tomography // Geophysics. - 1993. - V. 58. - n.l 1. - P. 1655-1661.

59. Mora P. Inversion=migration+tomography // Geophysics. - 1989. -V.54. -P.1575 - 1586.

60. Moser T.J., Nolet G., Snieder R. Ray bending revisited // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1992. - V.82. - P.259-288.

61. Nashed M.Z., Fortuba G.F. A Unified Theory of Generalized Inverses // Generalized Inverses and Applications.Academic Press: New York-San Francisko - London, - 1976. - P. 1-110.

62. Osher S., Shu C.W. High-order essentially nonoscillatory schemes for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Numer. Anal. - 1991. - V.28. - n.4. -P.907-922.

63. Pederson J.E., Paulson B.N., McEvilly T.V. Application of algebraic reconstruction techniques to crosshole seismic data // Geophysics. -1985. -V.50. - n.l0. - P. 1566-1580.

64. Peryra V., Lee W.H.K., Keller H.B. Solving two-point seismic-ray tracing problems in heterogeneous medium // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1980. -V.70. - P.79-99.

65. Qian J., Symes W. An adaptive finite-difference method for traveltimes and amplitudes // Geophysics. - 2002b. - V.67. - n.l. - P. 167-176.

66. Qian J., Symes W. Finite-difference quasi-P traveltimes for anisotropic media // Geophysics. - 2002a. - V.67. - n.l. - P. 147-155.

67. Sayers C.M. Seismic anisotropy of shales // Geophysical Psop. - 1994. - V. 53. - P.667-576.

68. Scales J.A., Gersztenkorn. Robust methods in inverse theory // Inverse problems. - 1988. - V.4. - P. 1-71-1091.

69. Schlichter L.B. The theory of the interpretation of seismic travel-time curves in horizontal structure // Physics. - 1932. - V.3. - P.273-295.

70. Schoenberg M.A., de Hoop M.V. Approximate dispertion relations for qP-qSV in transversely isotropic media // Geophysics. - 2000. - V. 65. - n.3.-P.919-944.

71. Sethian J.A. Fast marching level set method for monotonically advancing fronts // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1996. - V.93. - P. 1591-1595.

72. Sethian J.A. Fast marching methods // SIAM Rev. - 1999. - V.41. - P. 199235.

73. Sethian J.A. Level set methods and fast marching methods. Envolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision and materials science // Cambridge University Press. - 1999.

74. Sethian J.A., Popovich M. Three dimensional traveltimes computation using the fast marching method // Geophysics. - 1999. - V.64, - n.2. -P.830-903.

75. Sun Y. Ray tracing in 3-D media by parameyerized shooting // Geophys. J.Int. - 1993. V.l 14, - P.145-155.

76. Tarantola A. Inverse problem theory. Methods for data fitting and model parameter estimation. - Elsiever. Amsterdam -Oxford - New York -Tokyo. - 1987. -613p.

77. Thomsen, L. Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock // Geophysical Prosp. - 1995. - V.43. - P. 805-829.

78. Thurber C.H., Advances in travel-time calculations for 3-D structures / C.H. Thurber, E. Kisling // Advances in seismic event location. Kluwer Academic Publishers. - 2000. - P.71-99.

79. Tomsen, L. 1986. Weak elastic anisotropy / L. Tomsen // Geophysics. -1986. - V.51. - P.1954-1966.

80. Trier, J. Upwind finite-difference calculation of traveltimes / J. Trier, W.W. Symes // Geophysics. - 1991. - V.56. - P.812-821.

81. Um, J. Fast algorithm for two-point seismic ray tracing / J. Um, C.A. Thurber// Bull. Seismol.Soc. Am. - 1987. - V.77. - P.972-986.

82. Vasco, D. W., Majer, E. L., and Peterson, J. E., 1995. Beyond ray tomography: Wavepaths and Fresnel volumes / D.W. Vasco, E.L. Majer, J.E. Peterson // Geophysics. - 1995. - V.60. - P. 1790-1804.

83. Vidale J. Finite-difference calculation of travel times / J. Vidale // Bull. Seismol. Soc. Am. - 1988. - V.78. - P.2062-2076 .

84. Virieux, J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite difference method / J. Virieux // Geophysics. - 1986. - V.51. -P.889-901.

85. Wiechert, E. Über Erdbebenwellen / E. Wiechert, K. Zoepritz // Nachr. Königl, Geselschaft Wiss, Göttingen. - 1907. - N.4. - P.415-549.

86. Xu, S. A new velocity model for clay-sand mixtures / S. Xu, R.E. White // Geophysical Prosp. - 1995. - V.43. - P.91-118.