Математическая постановка и решение некоторых задач сейсморазведки в поглощающих и неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Куценко, Николай Валентинович

• Куценко, Николай Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куценко, Николай Валентинович

Введение.

Глава 1. Математические модели распространения волн в трещиноватых средах.

1.1 Моделирование рассеяния акустических волн на неоднородностях типа трещин.

1.2 Моделирование рассеянного поля в длинноволновой асимптотике.

1.3 Затухание падающего поля в трещиноватой среде.

1.4 Комплексная модель рассеяния.

Глава 2. Численное моделирование процессов рассеяния волн на неоднородностях типа трещин.

2.1 Численные методы решения скалярных волновых уравнений.

2.2 Поглощающие граничные условия для разностных схем.

2.3 Моделирование рассеяния волн от областей со случайно распределенными трещинами.

2.4 Определение областей повышенной трещиноватости методом сейсмической локации бокового обзора (СЛБО).

2.5 Влияние параметров трещин на результаты исследований методом СЛБО.

Глава 3. Поиск локальных неоднородностей на основе решения задачи определения коэффициента поглощения среды.

3.1 Задача распространения акустических волн в неоднородной поглощающей среде в обобщенной постановке.

3.2 Обратная задача об определении коэффициента поглощения.

3.3 Решение обратной задачи вариационным методом.

3.4 Результаты численного моделирования.

Глава 4. Томографический подход к решению задачи определения локальных неоднородностей.

4.1 Постановка прямой и обратной задачи лучевой томографии.

4.2 Решение прямых задач для уравнения эйконала и переноса.

4.3 Решение задачи определения коэффициента преломления среды.

4.4 Результаты численного моделирования задач сейсмики в лучевом приближении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая постановка и решение некоторых задач сейсморазведки в поглощающих и неоднородных средах»

Одной из основных задач разведочной геофизики является поиск мест скопления углеводородного сырья в геосреде [20]. Такие области обычно называют углеводородными коллекторами. Они представляют интерес главным образом для определения мест бурения промысловых скважин с целью извлечения повышенных для данного района объемов углеводородного сырья. Поэтому при разведке нового месторождения основной задачей реализуемых на нем методов является поиск геологической структуры, которая с большой вероятностью может быть коллектором [20]. На рис.1, приведен результат работы одного из геофизических методов (метод общей глубинной точки [74]), применяемого для изучения структуры геосреды. Здесь хорошо видно, что часть одной из сейсмических границ образует небольшой купол, который может служить местом скопления углеводородов. Как правило, при разработке нового месторождения первые скважины закладывают именно над такими куполами. м чае wm изж гш /уо. пае cm два ши ¡у яю <т *а» ада» уж зн» ж гу iy \т и» m предполагаемое место скопления ïï ,,„.,| ., ■■ V -■■

1т •!» tm ш тщ m cm мю seat. ь, m та <*» та ш> тао im "тж \ù*> if» т>

Рис. 1. Изображение среды, полученное по методу общей глубинной точки.

Размер и форма углеводородного коллектора сильно зависит от геологических условий района. Обычно коллектор с повышенным содержанием углеводородов является локальным образованием [16], т. е. основной объем коллектора сосредоточен в сравнительно ограниченном пространстве. В случае, если же коллектор имеет протяженную структуру, основные запасы углеводородов концентрируются в локальных областях его объема.

Многие современные методы прямо или косвенно направлены на поиск мест залегания углеводородного сырья. Подходы реализуемые для решения этой задачи преимущественно основываются на использовании свойств (физических, химических, и. т. д.) коллекторов, отличающих их от других объектов геосреды. Как видно из рис. 1, одним из наиболее простых способов является выделение коллектора по его форме. Другим отличительным свойством коллектора (например, карбонатного) является повышенная концентрация трещин [11] по сравнению с близлежащими участками геосреды. На основе этого факта разработан ряд методов направленных на поиск областей повышенной трещиноватости [47], рис. 2.

Рис. 2. Вертикальный разрез поля трещиноватости по методу СЛБО.

Следует так же отметить, что в пространстве коллектора происходит повышенное затухание амплитуды проходящей через него волны. Прежде всего это связано с рассеянием энергии волны на неоднород-ностях [48], но также существует ряд иных механизмов ее поглощения [81]. Наиболее характерным свойством коллектора является значительное изменение скорости распространения волн (как правило понижение) в его объеме по сравнению соседними участками геосреды, рис. 3. По этой причине результаты томографических методов [19, 59] представляют повышенный интерес с точки зрения определения местоположения и формы коллектора.

Свойства коллектора зависят в основном от геологических характеристик и условий района, но описанные выше особенности коллектора выделяются в большинстве случаев. Таким образом, можно ввести формализованное понятие углеводородного коллектора как локальной неоднородности, характеризующейся следующими свойствами: резкое изменение скорости распространения волн (как правило уменьшение), высокая концентрация неоднородностей типа трещин, повышенное затухание волн по сравнению с окружающими областями геосреды. Такая формализация не является строгой (так как учитывает только некоторые из свойств коллектора) и носит качественный характер. Однако она позволяет сформулировать ряд математических задач по определению локальной неоднородности геосреды. Более того, рассмотрение и решение таких задач позволяет как смоделировать некоторые из существующих методов по поиску коллекторов, так и оценить потенциальные возможности новых подходов. скорость,км/с

О 20 40 60 80 расстояние, м

Рис. 3. Пример скоростного разреза, полученного по методу межскважинного прозвучивания.

Цель данной работы заключается в анализе возможностей определения локальных неоднородностей среды путем использования каждого из введенного в формализации свойств в отдельности.

В первой главе работы рассмотрены наиболее актуальные на сегодняшний день подходы к моделированию трещин, размеры которых много меньше длины падающей волны. В общем случае именно такие трещины заполняют объем карбонатного коллектора. Рассмотренные методы позволяют провести моделирование рассеянного поля, образующегося на ансамблях трещин, при прохождении волны через коллектор. Предложенные подходы рассматриваются применительно к двумерной среде, что обусловлено невозможностью провести численные эксперименты в трехмерном случае по причине больших вычислительных затрат. Трещины представляются линейными отрезками и характеризуются своей длиной и ориентацией на плоскости.

Во второй части первой главы предложен подход к моделированию распространения волн в трещиноватых средах, позволяющий перейти от конечного числа рассеивателей к их континуальному распределению. Для этого в рассмотрение вводится функция являющаяся удельным объемом рассеивателей и входящая в волновое уравнение как коэффициент. При этом сами трещины представляются в виде бесконечно тонких дисков, характеризующихся своей ориентацией в пространстве и радиусом. В основу модели положен механизм рассеяния на одиночных трещинах, описанный в [50]. Следует отметить, что в рассматриваемой модели можно учесть диссипативные потери в падающем поле, вызванные рассеянием на трещинах, которыми пренебрегали в предыдущих работах [57, 75]. Новизной предложенного метода является механизм взаимодействия падающего и рассеянного полей, который приводит к закономерностям, наблюдаемым при физическом моделировании.

Вторая глава исследования посвящена математическому моделированию метода сейсмической локации бокового обзора (СЛБО) [47]. Этот метод используется в геофизических исследованиях для определения областей повышенной трещиноватости в геосреде путем накопления рассеянной от скоплений мелких (10-100 раз меньше длины падающей волны) трещин энергии, зарегистрированной на земной поверхности.

Разработчики метода СЛБО напрямую связывают энергию рассеянных волн со степенью трещиноватости, что, как будет показано в работе, справедливо на качественном уровне. Помимо этого существует ряд нерешенных вопросов относительно использования метода, которые препятствуют его применению в промышленных масштабах. Среди основных можно выделить: возможность выделения трещиноватых областей по методу СЛБО, соответствие полученного результата реальному распределению трещиноватости, влияние ориентации, размера и концентрации трещин на энергию рассеянных волн. Ответы на эти вопросы помогут понять как научную, так и промышленную ценность метода СЛБО, а с точки зрения данного исследования оценить возможность выделения локальных неоднородностей по повышенной в них концентрации трещин. Для этого в первой главе проводится как моделирование процессов рассеяния на ансамблях мелких трещин (что соответствует решению прямой задачи в методе СЛБО), так и моделирование алгоритма восстановления трещиноватости среды по методу СЛБО (что соответствует решению обратной задачи в методе СЛБО).

В третьей главе работы проводится исследование задачи распространения волн в однородной среде с поглощением. Механизм поглощения энергии в пространстве коллектора объясняется различными гипотезами. Однако экспериментально установлено [48], что одной из причин такого поглощения является рассеяние волн на скоплениях трещин. Во введении ко второй главе показано, как можно свести задачу о рассеянии волн на трещинах к задаче распространения волн в среде с поглощением. Установлено, что если пренебречь рассеянием на жестких трещинах, то коэффициент в волновом уравнении характеризующий интенсивность рассеяния совпадает с коэффициентом поглощения. Таким образом, повышенные значения последнего свидетельствуют о возможном наличии локальных неоднородностей в области зондирования. Так как поглощение энергии волны в пространстве коллектора происходит неравномерно (дискретно), то естественно предположить, что коэффициент поглощения принадлежит пространству интегрируемых (с квадратом) функций. По этой причине прямая и обратная задачи формулируются в обобщенной постановке. Обратная задача заключается в определении коэффициента поглощения по рассеянному полю, зарегистрированному на земной поверхности. Для ее решения применяется вариационный метод минимизации функционала невязки между зарегистрированным и полученным в результате решения прямой задачи волновыми полями.

В четвертой главе работы сформулирована задача сейсмической томографии и предложен один из подходов к ее решению. Как было отмечено ранее, наиболее характерным свойством коллектора является резкое изменение скорости распространения волн в его объеме по сравнению с соседними участками геосреды. На сегодняшний день широко распространены томографические подходы основанные на межскважинном прозвучивании [19], то есть когда излучение и прием сигнала производятся в скважинах. Однако такие методы очень затратны и дают информацию о скоростном разрезе лишь между двумя скважинами. В данной главе рассмотрен подход, в котором излучение можно проводить с земной поверхности, при этом регистрация сигнала производится в скважине. Используемый подход, с одной стороны, основан на регулярности поля лучей, с другой, позволяет отказаться от системы прямых, рассматриваемых в методе радоновской [30] томографии. Для нахождения скоростной характеристики среды применяется метод линеаризации нелинейных операторных уравнений. По схеме решения задачи Радона на основе проекционной теоремы построен численный алгоритм, который, в случае вырождения среды в однородную, обладает всеми свойствами проекционной схемы. Поскольку уже в случае радоновской томографии обратная задача становится некорректной, то не приходится ожидать получения результатов решения обратной задачи для неоднородных сред, характеризуемых удовлетворительной точностью. Однако для решения задач поиска локальных неоднородностей геосреды достаточно лишь качественного описания скоростной модели.

Все поставленные в работе задачи решаются способами математического моделирования: для их решения на компьютере моделируется физический процесс, который наблюдается в реальных условиях, и регистрируются параметры, использующиеся для решения обратной задачи. В качестве регистрируемого параметра в нашем случае выступает волновое поле, а в качестве восстанавливаемого — характеристики среды. Решение обратной задачи реализуется на компьютере в виде отдельной программы, на вход которой подаются данные из прямой задачи. Таким образом, математическое моделирование представляет собой процесс повторения физического моделирования на компьютере, являясь при этом более гибким и дешевым способом.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Куценко, Николай Валентинович

Основные результаты работы:

1. Рассмотрены существующие подходы к численному моделированию рассеянных полей для конечного числа трещин. Предложена и исследована новая математическая модель распространения и рассеяния волн в трещиноватой среде, позволяющая перейти к континуальному распределению трещин, а также указывающая на принципиальную возможность объяснения частотной зависимости коэффициента рассеяния в горных породах за счет рассеяния на мелких (по сравнению с длиной волны) неоднородностях типа трещин.

2. Для ряда моделей трещиноватых сред проведено моделирование метода сейсмической локации бокового обзора (СЛБО). Исследованы принципиальные вопросы о влиянии таких параметров трещиноватости как ориентация, размер и концентрация трещин на результаты его использования. Создан пакет программ, позволяющий моделировать различные схемы наблюдений в методе СЛБО для исследования трещиноватых геологических сред.

3. Изучены прямая и обратная задачи распространения волн в диссипа-тивной среде. Показано, что механизм поглощения может быть связан с рассеянием волны на трещинах. Исследована структура обобщенного решения прямой задачи. Предложен вариационный алгоритм решения обратной задачи об определении коэффициента поглощения по полю рассеянных волн. Проведены вычислительные эксперименты по восстановлению коэффициентов поглощения, моделирующих реальные среды.

4. Исследована задача определения скоростной характеристики среды по кинематическим данным, получаемым в результате проведения геофизических наблюдений. На основе использования амплитудной информации построен метод параметризации годографа первых вступлений. Предложена схема алгоритма решения задачи сейсмической томографии для неоднородных сред. Создана программа определения скоростного разреза по данным вертикального сейсмопрофилирования (ВСП) и межскважинного прозвучивания.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куценко, Николай Валентинович, 2007 год

1. Алексеев А. С., Лаврентьев М. М., Мухаметов Р. Г. и др. Численный метод определения скоростей сейсмических волн в верхней мантии Земли. Матем. проблемы геофизики. Новосибирск. 1971. Вып.2.

2. Алексеев А. С., Цибульчик Г. М. Обратные динамические задачи дифракции волн в проблеме сейсмического мониторинга. Проблемы геотомографии. М.: Наука. 1997. С. 39 53.

3. Баев А. В. Об одном методе решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т.28. № 1. С. 25 33.

4. Беляков А. С., Гамбурцев А. Г., Лавров В. С., Николаев А. В., При-валовский Н. К. Инициирующие вибровоздействия и сейсмическая эмиссия горных пород. Изв. РАН. Физика Земли. 1996. №2. С. 8 74.

5. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1982.

6. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. Проблемы матем. физики. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1966. С. 68 81.

7. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981.

8. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978.

9. Гальперин Е. И., Ситников А. В., Квентнский С. И., Иванов А. М. Опыт и результаты изучения высокочастотного шума. Изв. РАН. Физика Земли. 1989. №10. С. 99 109.

10. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.

11. Голф-Рахт Т. Д. Основы нефтепромысловой геологии, и разработки трещиноватых коллекторов М.: Недра. 1986.

12. Гончарский А. В., Кочиков И. В., Матвиенко А. Н. Реконструктивная обработка и анализ изображений в задачах вычислительной диа-гности. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993.

13. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1989.

14. Гурвич И. И. Сейсморазведка. Справочник геофизика. М.: Недра. 1981.

15. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1994.

16. Желтов Ю. П. Разработка нефтяных месторождений М.: Недра. 1986.

17. Иванов В. П. Задачи дифракции волн в низкочастотной акустике. М.:Наука. 2004.

18. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука. 1973.

19. Карус Е. В., Кузнецов О. Л., Файзуллин И. С Межскважинное про-звучивание. М.: Недра. 1986.

20. Клаербоут Д. Ф. Сейсмическое изображение земных недр. М.: Недра. 1989.

21. Кондратьев О. К., Кондратьева Т. К. Рассеяние проходящих волн в тонкослоистых средах. Геофиз. сб. АН УССР. 1974. Вып. 58. С.26 -40.

22. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.:Наука. 1980.

23. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964.

24. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука. 1965.

25. Луис А. К., Наттерер Ф. Математические проблеммы реконструктивной вычислительной томографии. ТИИЭР. 1983. Т. 71. №3. С.111 -125.

26. Матвиенко А. Н., Новикова Т. Н. О решении обратных задач вычислительной томографии с неполной информацией. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 1987. №3. С. 14 17.

27. Матвиенко А. Н., Новикова Т. Н. Решение обратных задач вычислительной томографии с неполной информацией. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1988. С. 29 33.

28. Молотков Л. А. Исследование распространения воли в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука. 2001.

29. Моралли А., Дзиевонский А. М. Способ гармонических разложений в изучении глубинного строения Земли. Сейсмическая томография / Под.ред. Г. Нолета. М.: Мир. 1990. С. 264 289.

30. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир. 1990.

31. Николаев А. В., Сато X., Чеботарева И. Я., Шиоми К. Источник сейсмической эмиссии, связанный с магматическим телом. Вулканология и сейсмология. 1997. №2. С.72 74.

32. Нолет Г. Сейсмическая томография. М.:Мир. 1990.

33. Рок В. Е. Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры. Диссер. на соиск. учен, степени доктора физ.-мат. наук, Москва. 2004.

34. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984.

35. Рыжиков Г. А., Троян В. Н. Обратное проецирование в задачах дифракционной томографии. Вопросы динамической теории распространения волн. JI. 1989. Вып. 29. С. 151 154.

36. Рыжиков Г. А., Троян В. Н. Сейсмическая миграция и методы дифракционной томографии. Вопросы динамической теории распространения волн. JI.: 1990. Вып. 30. С. 212 221.

37. Рыкунов JI. Н., Хаврошин О. В., Цыплаков В. В. Модуляция высокочастотных микросейсм. Докл. АН СССР. 1978. Т.238. С. 303 306.

38. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989.

39. Соболев С. J1. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966.

40. Тихонов А. Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. Докл. АН СССР. 1964. Т.156. № 6. С. 1296 1299.

41. Тихонов А.Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

42. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука. 1987.

43. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Матвиенко А. Н., Пикус И. Ю., Якубов В. А. Сейсмическая томография в задачах инженерной геофизики. ДАН СССР. 1989. Т.304. №4. С.840 844.

44. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Степанов В. В., Кочиков И. В. Некорректные задачи обработки изображений. ДАН СССР. 1987. Т.294. Ш. С.832 837.

45. Тихонов А. Н., Гончарский А. В, Степанов В. В., Ягола А. Г. Ре-гуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука. 1983.

46. Файзуллин И. С. Затухание упругих волн в горных породах. Реферативный научно-технический сборник. Сер. Нефтегазовая геология и геофизика. ВНИИОЭНГ. 1981. Т.5. С. 29 31.

47. Файзуллин И. С., Чиркин И.А., Сейсмоакустические методы изучения трещиноватости горных пород. Геоинформатика. 1998. Т. 3. С. 24 27.

48. Файзуллин И. С., Шапиро С.А., О затухании упругих волн в горных породах, связанном с рассеянием на дискретных неоднородностях. ДАН СССР. 1987. Т. 295. №2. С. 341 344.

49. Файзуллин И. С., Шапиро С. А. Особенности затухания сейсмических волн в случайно-неоднородных средах. ДАН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1073 1077.

50. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К.Теория дифракции. М.: Мир. 1964.

51. Якобсон А. Н. Основные черты строения Южного Каспия по данным о сейсмической рэлеевской волне. Докл. РАН. 1997. Т.353. №1. С. 111-113.

52. Яновская Т. Б. Томографические исследования земной коры при использовании поверхностных волн. Изв. вузов. 1988. №12. С. 69 -87.

53. Яновская Т. В.Проблемы сейсмической томографии. Проблемы геотомографии. М.:Наука. 1997. С. 86 97.

54. Aki K., Christofferson A., Husebye E. S. Determination of the three-dimensional seismic structure of the lithoshere. Geophys. Res. 1977. 82. P. 277 296.

55. Aki K., Richards P. G. Quantitative seismology. W. H. Freeman and Co. 1980.

56. Ang D. D., Knopoff L. Diffraction of scallar elastic waves by a finite crack Proc.Natl.Acad.Sci. 1964. 51. P. 593 598.

57. Baren G.B., Mulder W. A., Herman G. C Finite-difference modeling of scalar-wave propagation in cracked media. Geophysics. 2001. 66. P. 267 — 276.

58. Bates R.H.T., Garden K.L., Peters T.M. Overview of computerized tomography with emphasis of future developments. Proc.Inst.Electr.Electron.Eng. 1983. 71. P. 356 372.

59. Bregman N. D., Bailey R.C., Chapman C. H. Crosshole seismic tomography. Geophysics. 1989. 54. P. 200 215.

60. Brookes R. A., Di Chiro G. Principles of computer assisted tomography (CAT) in radiographic and radioscopic imaging. Phys.Med.Biol. 1976. 21. P. 689 732.

61. Burmakov Y. A., Treusov A. V., Vinnik L. P.Determination of three-dimensional velocity structure from observations of refracted body waves. Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1984. V.79. P. 285 292.

62. Burridge R., Papanicolaou G.S., White B.S. One dimensional wave propagation in highly discontinuous medium. Wave Motion. 1988. 10. P. 19 44.

63. Dablain M. A. The application of higher-order differencing to the scalar wave equation. Geophysics. 1986. 51. P. 54 66.

64. Deans R. The Radon transform and some of its applications. John Wiley and Sons. 1983.

65. Devaney A. J. Diffraction tomography. Inverse methods in electromagnetic imaging. N.-Y. 1985. P. 1107 1135.

66. Dziewonski A. M. Mapping the lower mantle: Determination of lateral heterogeneity in P velocity up to degree and order 6. J.Geophys.Res. 1984. V.89. P. 5929 5952.

67. Engquist B., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. Math. Comp. 1977. 31. P. 629 651.

68. Fehler M., Aki K. Numerical study of diffraction of plane elastic waves by a finite crack with application to location of a magma lens Bull, of the Seism. Soc. of America. 1978. 68. P. 573 598.

69. Hudson J. A., Knopoff L. Predicting the overall properties of composite materials with small-scale inclusions or cracks. PAGEOPH. 1989. 131. P. 551 576.

70. Iskakov K. T., Kabanikhin S. I. The solution of one dimensional inverse problem of geoelectrics by the method of conjugate gradients. Russian Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 1991. 3. P. 78 88.

71. Israeli M., Orszag S. A. Approximation of radiation boundary conditions. J.Comp. Phys. 1981. 41. P. 115 135.

72. Le-Wei Mo, Harris J. M. Finite-difference calculation of direct-arrival traveltimes using the eikonal equation. Geophysics. 2002. 67. P. 1270 -1274.

73. Marfurt K. J. Accuracy of finite-difference and finite-element modeling of the scalar and elastic wave equation. Geophysics. 1984. 49. P. 533 -549.

74. Mayne W. H. Common reflection point horizontal stacking techniques. Geophysics. 1962. 27. P. 927 928.

75. Muijres J. H., Herman G. C., Bussink G. J. Acoustic wave propagation in two-dimensional media containing small-scale heterogeneities. Wave Motion. 1998. 27. P. 137 154.

76. O'Doherty R. F., Anstey N. A. Reflections on amplitudes. Geophys.Prosp. 1971. 19. P. 430 458.

77. Palamodov V., Denisjuk A. Inversion de transformation de Radon d'apre's des donne'es non-comple'tes CRAS. 1988. Serie 1. T. 307. P. 181 183.

78. Qian J., Symes W. W. An adaptive finite-difference method for traveltimes and amplitudes. Geophysics. 2002. 67. P. 167 176.

79. Schwartz L. Théorie des Distributions, I-II. Paris: Hermann Cie. P. 1950 1951.

80. Tien-when Lo, P.L. Inderweisen. Fundamentals of Seismic Tomography. SEG. 2000.

81. Toksoz M. N., Johnson D. H., Timur A. Attenuation of seismic waves in dry and saturated rocks. Geophysics. 1978. 44. P. 681 690.

82. Van Trier J., Symes W. W. Upwind finite-difference calcilation of traveltimes. Geophysics. 1991. 56. P. 812 821.

83. Vidale J. Finite-difference calculation of travel times. Bull.Seis.Soc.Am. 1988. 78. P. 2062 2076.

84. Wong J., Harley P., West G. F. Crosshole seismology and seismic imaging in crystalline rocks. Geophys. Res. Lett. 1983. 10. P. 686 689.