Разработка и применение гибридных разностных схем для моделирования ламинарно-турбулентного перехода при взаимодействии N-волны со сверхзвуковым пограничным слоем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Нгуен Ньи Кан

• Нгуен Ньи Кан
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ньи Кан

Введение

Глава 1 Моделирование ламинарно-турбулентного перехода с применением диссипативных численных схем

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Численный метод

1.1.2 Параметры потока и постановка расчётной задачи

1.1.3 Генератор возмущений

1.1.4 Расчётная сетка

1.1.5 Анализируемые величины

1.2 Анализ результатов

1.2.1 Структуры течения и спектральный состав возмущений

1.2.2 Линейный режим

1.2.3 Нелинейный режим

1.3 Выводы по главе

Глава 2 Моделирование ламинарно-турбулентного перехода с применением гибридных разностных схем

2.1 Постановка задачи

2.1.1 Численный метод

2.1.2 Функция-индикатор Джеймсона

2.1.3 Определение значения Ф0

2.1.4 Расчетная сетка исходные параметры

2.2 Анализ результатов

2.2.1 Структуры течения

2.2.2 Линейный режим

2.2.3 Нелинейный режим

2.3 Выводы по главе

Глава 3 Влияние ^волны на ламинарно-турбулентный переход сверхзвукового пограничного слоя над острой пластиной

3.1 Взаимодействие К-волны с пограничным слоем

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Математическая модель неровности

3.1.3 О корректности моделирования К-волны

3.1.4 Установление течения с К-волной

3.1.5 Метод вычисления среднеквадратичных пульсаций массового расхода для стационарного возмущённого течения

3.1.6 Анализ пульсаций массового расхода

3.2 Влияние ^волны на ЛТП

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Влияние амплитуды К-волны на стационарный след в пограничном слое

3.2.3 Генератор нестационарного возмущения

3.2.4 Результаты

3.3 Выводы по главе

Глава 4 Влияние ^волны на ламинарно-турбулентный переход сверхзвукового пограничного слоя над затупленной пластиной

4.1 Взаимодействие К-волны с пограничным слоем

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Моделирование взаимодействия К-волны и ударной волны

4.1.3 Результаты

4.2 Влияние ^волны на ЛТП

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 Результаты

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Введение

Разработка перспективных летательных аппаратов опирается на результаты аэродинамических исследований. Экспериментальная часть обычно сопряжена с большими финансовыми затратами на постановку и проведение эксперимента в аэродинамических трубах, а получаемые в эксперименте данные ограничены. В отличие от эксперимента, численное моделирование нестационарного течения сжимаемого газа позволяет изучать обтекание тел произвольной конфигурации, выявлять тонкую структуру наблюдаемых явлений и получать результаты, которые затруднительно получить экспериментальным путём. На базе результатов моделирования рассчитываются аэротермодинамические коэффициенты — коэффициенты давления, трения и теплообмена. Последний становится критически важным в случае больших сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей потока, в особенности, когда течение в пограничном слое становится турбулентным и коэффициенты трения и теплопередачи к поверхности возрастают в разы [1-3].

Данные, полученные в аэродинамических трубах по положению ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) непостоянны, так как зависят от фона возмущений в потоке конкретной установки [4]. Поэтому особую ценность представляют результаты прямого численного моделирования течений на режиме ЛТП, когда такой фон можно строго контролировать. К сожалению, для практически важных режимов пространственно-временные затраты на проведение такого моделирования велики [5]. Использование высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных кластеров (суперЭВМ) позволяет проводить лишь отдельные расчёты, целью которых является исследование линейных и нелинейных механизмов, лежащих в основе ЛТП [6-7]. Понизить затраты можно, используя численные схемы невысокого порядка аппроксимации.

Исследование появления ЛТП в сжимаемых пограничных слоях важно для изучения и исследования в авиационной технике. В работе [8] обнаружено, что уровень возмущений в свободном потоке влияет на сценарий ЛТП в пограничных слоях. В работах [9-11] показано, что существуют акустические пульсации в

рабочей части. Такие пульсации могут быть рождены неровностью стенки или сопла. Влияние их взаимодействия на возникновение ЛТП исследовано в работах [10-15]. В работе [16] исследовано влияние внешней слабой ударной волны на пограничный слой над плоским треугольным крылом. Измерены аномально высокие уровни пульсаций массового расхода (до 20% от среднего) внутри пограничного слоя. В поле пульсаций преобладают низкочастотные возмущения (до 3 кГц). В работе [17] экспериментально исследовано влияние слабой К-волны на пограничный слой над плоским дельта-крылом. Показано, что значение максимума пульсаций слабо зависит от условий обтекания и находится в диапазоне 12-15%. В [18-21] исследованы и другие актуальные случаи возбуждения высокоинтенсивных пульсаций, обусловленных падающими К-волнами.

Одним из наиболее сложных явлений, наблюдаемых при ламинарно -турбулентном переходе, является возникновение турбулентных клиньев [22]. Причины их появления могут быть разными. В данной работе рассмотрен один из механизмов возникновения турбулентных клиньев в сверхзвуковом пограничном слое на плоской пластине, обусловленный слабой волной Маха ^-волной), генерируемой неровностью на боковой стенке аэродинамической трубы. Главным методом исследования явления перехода, который используется в настоящей работе, является прямое численное моделирование на базе полных уравнений Навье-Стокса [23]. В диссертации затрагиваются вопросы разработки и применения гибридных разностных схем для моделирования ламинарно-турбулентного перехода при взаимодействии ^волны со сверхзвуковым пограничным слоем.

Монотонные схемы сквозного счёта диссипативны. Это позволяет устойчиво рассчитывать течения с ударными волнами, отрывными областями, пограничными слоями и другими особенностями с учётом их взаимодействия. Избыточная диссипация приводит к численному затуханию малых возмущений. Однако темпы роста возмущений в неустойчивых пограничных слоях могут заметно превосходить эффекты, связанные с численной диссипацией. В настоящей

диссертации успешно демонстрируется применение монотонной схемы второго порядка точности по пространству и времени для моделирования ламинарно-турбулентного перехода сверхзвукового пограничного слоя на плоской пластине при числе Маха 3. Результаты проведённого моделирования сопоставляются с аналогичными результатами, полученными с применением значительно менее диссипативного метода [24], который основан на схеме четвёртого порядка точности по продольному и нормальному к поверхности направлениям, и спектрального метода в боковом направлении, а интегрирование по времени проводится по методу Рунге-Кутты [25] четвёртого порядка аппроксимации.

Повышение точности используемых вычислительных схем помогает снизить требования к пространственному разрешению течения, когда напрямую моделируется именно стадия ЛТП и начального участка турбулентного течения («молодая» турбулентность). Однако повышение точности дестабилизирует численные алгоритмы, например, в присутствии сильных ударных волн. Поэтому применение монотонных схем типа Годунова [26-29] может оказаться оправданным. Монотонизация решения достигается путем рассмотрения разрывных решений на базе задачи Римана о распаде произвольного разрыва [30, 31]. При этом, в аппроксимацию конвективных потоковых членов добавляется монотонизирующая поправка, которая косвенно вводит дополнительную диссипацию и, тем самым, стабилизирует численное решение в областях сильных разрывов и подавляет малые возмущения. Последние могут играть существенную роль в процессе ЛТП. Эти проблемы можно решить, применяя гибридные разностные схемы.

Актуальность темы исследования

В современных исследованиях показано, что в рабочей части сверхзвуковых аэродинамических труб (АДТ) существуют акустические пульсации, обусловленные шумом турбулентного пограничного слоя на стенках сопла и рабочей части. Взаимодействие этих пульсаций с пограничным слоем может приводить к раннему ламинарно-турбулентному переходу на моделях, что в итоге

приводит к изменению сопротивления трения и тепловых потоков к поверхности. Поэтому исследование влияния слабых ударных волн на процесс ЛТП является актуальным с точки зрения развития высокоскоростной авиационной техники, и в частности, при проведении испытаний на сверхзвуковых аэродинамических трубах.

Усилия диссертационной работы направлены на разработку более универсальной гибридной схемы, в которой численная диссипация контролируется в зависимости от локальных характеристик течения. Основанная на универсальной методологии применения вычислительных схем сквозного счёта, применение гибридных схем позволяет повысить точность решения и снизить требования к пространственно-временному разрешению течения при моделировании процессов ЛТП.

Таким образом, тема работы актуальна как для исследований в области ламинарно-турбулентного перехода, так и для развития методов проектирования современных высокоскоростных летательных аппаратов.

Степень разработанности темы

Взаимодействие ^волны с моделью исследовалось экспериментально в ИТПМ СО РАН [32]. Однако вопросы, связанные с моделированием взаимодействия К-волн со сверхзвуковым пограничным слоем, а также изучение влияния таких волн на ЛТП до сих пор недостаточно разработаны. Следует отметить первые расчётные работы [33, 34], сделанные в этом направлении для случая острой пластины. Настоящая диссертационная работа делает значительный шаг в этом направлении. Она посвящена исследованию роли К-волн в процессе ЛТП в сверхзвуковом пограничном слое над острой и затупленной пластинами. Полученные результаты прямого численного моделирования сопоставляются с экспериментальными данными, демонстрируется удовлетворительное согласие.

При падении ^волны на пограничный слой в месте взаимодействия формируется вихревой след, распространяющийся вниз по потоку внутри пограничного слоя. Характеристики следа и его влияние на процесс ламинарно-

турбулентного перехода для затупленных конфигураций впервые исследовано

численно в настоящей работе.

Результаты других работ, связанные с изложением полученных результатов,

будут обсуждаться в тексте диссертации по мере необходимости.

Цель и задачи работы

1) Верифицировать используемый численный метод, основанный на монотонной вычислительной схеме, путём прямого численного моделирования ламинарно-турбулентного перехода по механизму нелинейного распада наклонных волн в сверхзвуковом пограничном слое на плоской пластине.

2) Разработать гибридную вычислительную схему и оценить её применимость к моделированию процессов ЛТП с применением ограниченных вычислительных ресурсов.

3) Исследовать взаимодействие К-волны со сверхзвуковым пограничным слоем на плоской заострённой пластине при нулевом угле атаки; изучить влияние N волны на ЛТП.

4) Исследовать взаимодействие К-волны со сверхзвуковым пограничным слоем на плоской цилиндрически затупленной пластине при нулевом угле атаки; изучить влияние К-волны на ЛТП.

Научная новизна

1) Впервые численно исследовано влияние падающей К-волны на процесс ЛТП сверхзвукового пограничного слоя на затупленной пластине. Продемонстрированы качественные отличия от случая острой пластины, в частности, раздвоение и значительное увеличение интенсивности стационарного следа, который оставляет К-волна в пограничном слое. Показано, что каждом из двух пар следов ЛТП смещается вверх по потоку, в отличие от случая острой пластины.

2) Детально исследовано влияние падающей К-волны на процесс ЛТП сверхзвукового пограничного слоя на острой пластине. Исследовано влияние интенсивности К-волн. Продемонстрировано, что в присутствии К-волны ЛТП

смещается вверх по потоку в области дефицита скорости от переднего фронта К-волны и вниз по потоку в области избытка скорости от заднего фронта К-волны.

3) Показано, что К-волны в трактах сверхзвуковых аэродинамических труб могут быть источником турбулентных клиньев на поверхностях исследуемых моделей при проведении испытаний. Это справедливо как для заострённых, так и для затупленных конфигураций.

4) Разработана новая гибридная разностная схема для прямого численного моделирования ЛТП в сверхзвуковых пограничных слоях, у которой численная диссипация контролируется в зависимости от локальных параметров потока. Продемонстрирована её применимость к задачам взаимодействия К-волны с пограничным слоем на острой и затупленной пластинах.

Теоретическая и практическая значимости работы

Расчётное исследование взаимодействия ^волн со сверхзвуковым пограничным слоем на пластинках с острой и затупленной кромками, в том числе влияние такого взаимодействия на процесс турбулизации течения, является новым и представляет интерес с точки зрения развития фундаментальных знаний в области ламинарно-турбулентного перехода в сверхзвуковых пограничных слоях. Эта область науки до сих пор изучена недостаточно. Полученные результаты численного моделирования могут оказаться полезными при проектировании аэродинамических труб, а также для постановки и проведения аэродинамических испытаний, что обуславливает практическую значимость и важность результатов работы для развития прикладной авиационной науки.

В работе показано, что №волны в трактах сверхзвуковых аэродинамических труб могут быть источником турбулентных клиньев на поверхностях исследуемых моделей при проведении испытаний. Это справедливо как для заострённых, так и для затупленных конфигураций.

Предложенная гибридная разностная схема пригодна для моделирования развития нестационарных возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях.

Предложенный подход обеспечивает механизм контроля схемной диссипации и помогает повысить точность решения при моделировании ЛТП с использованием ограниченных вычислительных ресурсов. Это также подчёркивает практическую значимость настоящей диссертационной работы с точки зрения развития методов численного моделирования течений с ламинарно-турбулентным переходом.

Метод исследования

Основным методом исследования является метод прямого численного моделирования с помощью авторского пакета программ, написанного на языке С++. Обработка результатов расчётов проводилась с помощью оригинальных программ, написанных на языке Python. Экспериментальные данные использованы для валидации полученных результатов. Постановка задач выполнена с помощью линейной теории устойчивости.

Степень достоверности

Достоверность результатов работы представляется в достаточной степени высокой. Численные результаты хорошо согласуются с результатами других численных методов и экспериментов.

1) Верификация механизма возникновение ЛТП подтверждена сравнением с результатами, полученными другими авторами с применением численного метода более высокого порядка аппроксимации.

2) Предложенная гибридная разностная схема для моделирования ЛТП верифицирована на результатах, которые получены надёжным численным методом и поэтому представляются достоверными.

3) Результаты моделирования взаимодействия N-волн со сверхзвуковым пограничным слоем на пластине удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

Положения, выносимые на защиту 1) След, который формируется в результате взаимодействия падающей N-волны со сверхзвуковым пограничным слоем над затупленной пластиной, состоит из двух изолированных друг от друга пар следов. Их интенсивность в несколько раз

выше, а размеры — меньше, чем в случае острой пластины. ЛТП в окрестности таких следов смещается вверх по потоку.

2) Увеличение интенсивности падающей N-волны приводит к усилению её влияния на процесс ЛТП сверхзвукового пограничного слоя на острой и на затупленной пластине.

3) N-волны, порождаемые неровностями сопла и стенок рабочей части аэродинамических труб и достигающие экспериментальных моделей, могут быть источником турбулентных клиньев на поверхности таких моделей при проведении испытаний.

4) Предложенная гибридная численная схема пригодна для моделирования процессов ламинарно-турбулентного перехода в сверхзвуковых пограничных слоях на заострённых и притупленных телах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и применение гибридных разностных схем для моделирования ламинарно-турбулентного перехода при взаимодействии N-волны со сверхзвуковым пограничным слоем»

Апробация работы

Результаты данной диссертации докладывались на:

1) 60-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 2017 г.

2) 63-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 2020 г.

3) 64-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 2021 г.

4) 8th European Conference for Aeronautics and Space Sciences (EUCASS), July 1- 4, 2019, Madrid, Spain.

5) 32th Congress of the International Council of Aeronautical Sciences (ICAS-2020/2021), 6 - 10 September 2021, Shanghai, China.

Результаты работы регулярно представлялись и обсуждались на семинарах лаборатории аэрофизических исследований МФТИ под научным руководством д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, проф. Егорова И.В.

Публикации

По теме диссертационного исследования опубликовано 6 печатных работ, 5 из которых входят в список, рекомендованный ВАК [1-5]; 4 работы цитируются в базах данных научных публикаций Scopus и Web of Science [2-5]: 1) Егоров И.В., Динъ К.Х, Нгуен Н.К., Палъчековская Н.В. Численное

моделирование взаимодействия волны Маха и сверхзвукового пограничного слоя на плоской пластине с острой передней кромкой // Ученые записки ЦАГИ.

2021. Т. 52. № 3.

2) Егоров И.В., Нгуен Н.К., Нгуен Т.Ш., Чувахов П.В. Моделирование ламинарно-турбулентного перехода с применением диссипативных численных схем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 61. № 2. С. 268 — 280.

3) Egorov I.V., Novikov A.V., Nguen N.K. Hybrid numerical schemes in prediction of high-speed laminar-turbulent transition // 32th Congress of the International Council of Aeronautical Sciences (ICAS-2020/2021), 6 - 10 September 2021, Shanghai, China. Paper 2020_0529 - pp. 1-17.

4) Егоров И.В., Нгуен Н.К. Моделирование ламинарно-турбулентного перехода с применением гибридных разностных схем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

2022. Т. 62. № 4. С. 158 — 174.

5) Егоров И.В., Дыонг Н.Х., Нгуен Н.К., Палъчековская Н.В. Численное моделирование влияния волны Маха на ламинарно-турбулентный переход в сверхзвуковом пограничном слое // Доклады российской академии наук. Физика, технические науки, 2022, том 504, с. 54-58.

6) Egorov I.V., Nguyen С. Application of hybrid numerical schemes in prediction of high-speed laminar-turbulent transition // Proceedings of 8th European Conference for Aeronautics and Space Sciences (EUCASS), July 1- 4, 2019, Madrid, Spain.

Личный вклад автора

Работа выполнена автором диссертации самостоятельно. Результаты расчётов в рамках линейной теории устойчивости, использованные для постановки расчётных задач, выполнены доцентом кафедры Общей физики МФТИ А.В. Фёдоровым. Автор благодарен научному коллективу лаборатории аэрофизических исследований МФТИ за обсуждение полученных результатов и рекомендации, сделанные при выполнении диссертационной работы. Структура и объем работы

Диссертация состоит из 117 страниц, содержит 92 рисунка.

Введение посвящено актуальности темы исследования, степени её разработанности и научной новизне. Отмечены цель и задачи работы, методы исследования и степень достоверности. Указаны теоретическая и практическая значимости работы и положения, выносимые на защиту. Также представлены данные об апробации работы, публикации и личный вклад автора.

Первая глава посвящена применению монотонных разностных схем для моделирования ЛТП в сверхзвуковом пограничном слое. Верифицированы численные методы исследования и исследован механизм порождения ЛТП путём нелинейного распада наклонных волн Толлмина-Шлихтинга (далее ТШ или ТБ). Оценено влияние диссипативных свойств численной схемы на ЛТП.

Вторая глава посвящена разработке и применению гибридной разностной схемы для моделирования ЛТП в сверхзвуковом пограничном слое. Представлен подход к управлению численной диссипацией схемы при аппроксимации конвективных потоковых величин. Показаны преимущества гибридной схемы по сравнению с монотонной разностной схемой.

Третья глава посвящена моделированию ЛТП при взаимодействии №волны со сверхзвуковым пограничным слоем при обтекании острой пластины. Применяется гибридная разностная схема из главы 2. Исследовано влияние стационарного следа от взаимодействия К-волны с пограничным слоем (далее — следа К-волны, следа) с амплитудой 1% и 5% на ЛТП. Продемонстрирована возможность формирования турбулентных клиньев в пограничном слое, которые развиваются в окрестности следа.

Четвёртая глава посвящена моделированию ЛТП при взаимодействии N волны со сверхзвуковым пограничным слоем на затупленной пластине. Применяется гибридная разностная схема из главы 2. Исследовано взаимодействие К-волны с сверхзвуковым пограничным слоем. Продемонстрированы качественные отличия следа К-волны в пограничном слое от случая острой пластины (раздвоение, повышенная интенсивность). Исследовано влияние этого следа на ЛТП.

Глава 1 Моделирование ламинарно-турбулентного перехода с применением диссипативных численных схем 1.1 Постановка задачи 1.1.1 Численный метод

В настоящей работе использован авторский пакет программ [23] для численного интегрирования полных трёхмерных уравнений Навье-Стокса. Дифференциальные уравнения решаются в криволинейной системе координат в безразмерном дивергентном виде

дО дЕ дО д¥ Л —- +— +-+ — = 0

дг д% дц

Обезразмеривание имеет вид:

х* = хЬ, у* = уЬ, г * = гЬ, и = иГт, V* = , м>* = wVlX¡

г * = Ь / voo, р = р(аА2)

где Ь - характерный масштаб длины, V, - вектор скорости набегающего потока, Ь / V, - характерный масштаб времени. Размерные величины обозначены звёздочками в верхнем индексе; в случае звёздочка отсутствует величины являются безразмерными. Символ « ^ » обозначает величину в набегающей потоке.

Для аппроксимации уравнений использован неявный метод конечного объёма и схема третьего порядка аппроксимации по времени:

^ п+1 тт!П+1 п+1 п+1 ттт+1 ттт+1

1Г\п+1 Л^п . ъп-1 Е. 1 — Е. 1 о 1 — о 1 Г 1 _ Г 1

3о , — 4О , + О . , '+-,] ,к 1—,] ,к 1,]+-,к 1,] —,к 1,] ,к+- 1,] ,к—

^1,],к „к ,] „к + 2 _2 + 2_ 2 + 2_ 2 = д

Аг кц к^

При определении конвективных потоковых величин на гранях ячейки сетки, например, Е^ к, потоки расщепляются по направлениям. Для каждого

направления определяется Матрица Якоби ( а = дЕ / до для направления которая диагонализируется в виде А = ВАВ 1, где В — матрица, составленная из правых собственных векторов, а А — диагональная матрица собственных значений матрицы А.

Конвективная составляющая векторов потоков аппроксимируется на

грани ячейки с помощью монотонной схемы типа Годунова (индексы ¡, ], к, п опущены для читаемости):

Е 1 =1 [Е(«.) + Е(<<д )- Вш )) В^« я- QL ) ]

'+- 21 2 2

где индексами Ь и Я отмечены левые и правые величины относительно рассматриваемой грани. Индексами ЬЯ отмечены величины, которые вычисляются с помощью метода Роу для приближённого решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. ф(Х) - энтропийная коррекция, которая обеспечивает физически корректное изменение энтропии на разрывах. В работе использована процедура реконструкции по методу WENO-3.

Для аппроксимации диффузионных составляющих векторов Е, С, Е на грани ячейки использована центральная разностная схема 2 порядка точности:

дд

г+] ,к ' 2

1 (J,к ),

дд дц

дд

.1 ( д1+1, J+1,k + д1, j+1,к д1+1, J-1,к д1, j—1,k ),

1 , 4'

дС

I 41 ( д+1, j ,к+1 + д', j ,к+1 д'+1, j ,к-1 д', j ,к-1 ),

где д — любая из неконсервативных зависимых переменных функций и , V, ^, р или Т.

Получена система нелинейных алгебраических уравнений Я(и) = 0, где Я — оператор дискретизации, и — вектор искомых неконсервативных переменных (и, V, р,Т) (компоненты скорости, давление, температура), после аппроксимации уравнений Навье-Стокса. Размер вектора и состоит из п N членов, где N — число узлов сетки, п — число искомых неконсервативных переменных в каждом узле (п = 5 в трехмерной и п = 4 в двумерной задаче). Система уравнений

Я(и) = 0 решается помощью модифицированного метода Ньютона — Рафсона

ик+1] = и[ к ] - т[к+1] (з[ *°] )-1 я (и[А ])

где к, к0 — номера итерации, к0 < к, 3Ло] =(дл / ди)[— матрица Якоби системы нелинейных уравнений

3=(дЛ / ди)[*0]

Я(и[А ]) — вектор невязки, т — параметр регуляризации. На каждой итерации

по нелинейности решается линейная система уравнений

( 3 А0] ) ум = я( и[ *])

Параметр регуляризации т[ ] определяется по формуле

т

( у[к ] — у [к-1] ) у[.

. — . , . [ к]

[к+1] _ ' ' ' ' '

( у[к] — у[к-1] )2

Причём Т] ^ 1 по мере сходимости решения.

Получение аналитического вида матрицы Якоби 3 задачи Римана представляется весьма трудоемким. Матрица 3 =(дя / ди)[ получена

численно, при этом т-й столбец матрицы 3вычислен по формуле

я( и[ к°] + ает)-я( и[ к°])

Г[ к0 ] т

,а = 10 ,m = 1,...,nnN,

а

где ет — единичный вектор длины п N, полностью состоящий из 0, кроме

единственной 1 на позиции т. Данный метод вычисления матрицы Якоби применим к произвольной системе сеточных уравнений. 1.1.2 Параметры потока и постановка расчётной задачи

Рассматривается номинально двухмерное течение над заостренной плоской пластиной при числе Маха набегающего потока Мю = 3 и температуре набегающего потока Тю = 103.6К. Расчет эволюции возмущений проводится в подобласти; процедура расчета аналогична процедуре, описанной в [35]. Число

Рейнольдса составляет Я1оо = 2.181 х 106 м-1. Число Прандтля принимается постоянным: Рг = ¡лср / Я = 0.71. Уравнения Навье-Стокса замыкаются уравнением

состояния уМ^р = рТ, где у = 1.4 — показатель адиабаты. Динамический коэффициент молекулярной вязкости рассчитывается по формуле Сазерленда: /и = (1 + ТИ)/(Т + Т) х Т33/2, где Тр = Т*/ Т* = 110.4^ /103.6К « 1.07 .

Численное интегрирование проводится в прямоугольной области, показанной ниже. На входной и верхней границах фиксируются безразмерные параметры набегающего потока: (и,V,п>,р,Т) = (1,0,0,1 / уМ2,1). Для стационарных расчетов стенка принимается теплоизолированной, на стенке ставятся условия прилипания. Выходной границе предшествует буферная зона с укрупненными ячейками по продольной координате x и нормальной к стенке координате у для демпфирования выходящих через границу возмущений. На выходной границе накладываются мягкие условия как линейная экстраполяция примитивных переменных из расчетной области. На боковых границах и 1ШХ ставятся условия симметрии.

Расчет проводится следующим образом. Во-первых, двухмерное стационарное невозмущенное течение над плоской пластиной рассчитывается до достижения невязкой величины 10-8. Во-вторых, из полученного решения вырезается подобласть, в которой далее будет моделироваться развитие возмущений; на новых входных границах подобласти фиксируются газодинамические величины из расчета на первом шаге; стационарное поле устанавливается дополнительно до полной сходимости (величина невязки не превосходит 10-8). В-третьих, полученное в подобласти стационарное поле дублируется в третьем поперечном направлении z; распределение температуры по поверхности фиксируется; в пограничный слой вводятся возмущения типа «вдув-отсос» по процедуре, описанной ниже. Нестационарный расчет проводится до установления квазистационарного режима течения. При таком подходе поверхность пластины является адиабатической, но пульсации температуры на

поверхности отсутствуют. 1.1.3 Генератор возмущений

Генератор возмущений моделируется при х* е [х*2,х**] = [0.394,0.452] м в соответствии с работой [24]. В этом диапазоне нормальная составляющая вектора скорости имеет вид

у( х, у = 0, г, г) = А(г )ур (хр ) соб( Д г) еов(-с0 г) гттр _ |1.54(1 + хр)3(3(1 + хр)2 - 7(1 + хр) + 4), -1 < хр < 0 _ 2х - (х2 + х^

ГДе V» = 1 Л 1 О 5 х = - ,

р | -1.54(1 - хр)3(3(1 - хр)2 - 7(1 - хр) + 4), 0 < хр < 1 р х2 - хх

А(г) = с

0 , г < 0,

0.1((т-г)/(а9Г0))2 , 0 < г < т0

1 , г > т„

где Т0 = 2ж / со0, А(г) — амплитуда, с = 0.00573 . Остальные параметры потока в области генератора вычисляются как для случая стенки без генератора. Возмущение с частотой с* / 2ж = / = 6.36 кГц и волновым числом Д* = 211.52 м-1 будем называть фундаментальным.

Как будет показано далее, результаты настоящих расчётов хорошо согласуются с результатами работы [24] как качественно, так и количественно. Однако амплитуда возмущений с в настоящей работе отличается от амплитуды из работы [24] практически вдвое (в работе [24] с = 0.003) и подобрана для совпадения положения начала ЛТП. Как показано ниже, численная диссипация не влияет на положение ЛТП в настоящей работе. Поэтому, вероятно, в работе [24] амплитуда возмущений указана ошибочно. 1.1.4 Расчётная сетка

Характерный масштаб длины выбран как Ь = 0.7239 м. Продольный размер буферной зоны, которая ограничена пунктирным прямоугольниками рис. 1.1, составляет полторы длины волны фундаментального возмущения, или 1.5ЯХ, где

О — 2 2 ^х = Х2 - Х1 •

<

На рис. 1.1 показаны расчётная область и расчётная сетка (вид сбоку). Подобласть для проведения основных нестационарных расчётов ограничена сплошным прямоугольником и начинается на расстоянии л*0 = 0.258 м от передней кромки пластины. Длина подобласти в 14.3 раз больше продольной длины волны фундаментального возмущения. Высота подобласти выбрана у* = 0.03 м, что составляет не менее пяти местных толщин пограничного слоя на выходной границе. Размер подобласти в боковом направлении составляет одну длину волны Я2 в поперечном направлении, где Я2= 2ж / 0* « 0.0297 м.

Рис. 1.1 Постановка задачи: (а) расчётная область и сетка (показана каждая 10-я сеточная линия); (б) сгущение сетки по нормали к стенке; (в) сгущение сетки в продольном направлении: 1 - сетка 80 миллионов узлов, 2 - сетка 20 миллионов

узлов.

Расчётная сетка представлена на рис. 1.1а, соответствующие сеточные сгущения — на рис. 1.1б и 1.1в. Основные расчёты настоящей работы проведены на сетке 80 миллионов узлов (подробная сетка). Эта сетка соответствует сетке из работы [24] в плоскости х0у. Сеточные линии распределены равномерно в поперечном направлении. На подробной сетке количество точек вдоль оси z составляет 201. Грубая сетка имеет вдвое меньше узлов по х и по z, чем подробная сетка. В вертикальном направлении количество точек для обеих сеток одинаково;

поперёк пограничного слоя приходится не менее 100 точек. На подробной сетке возмущение разрешено в боковом направлении (по z) 201 точками на длину волны по z, а в продольном направлении (по x) — 320 точками. Стоит отметить, что для распространения монохроматической акустической волны в равномерном потоке требуется около 40 точек на длину волны, чтобы добиться близкого к естественному уровня вязкого затухания волны для используемого численного метода. Поэтому на построенных сетках численная диссипация фундаментального возмущения незначительна. 1.1.5 Анализируемые величины

Данные для обработки и сравнения собираются начиная с момента безразмерного времени t = 2.261 после ввода возмущений в пограничный слой, когда установился квазипериодический режим течения. В следующем разделе анализируются свойства переходного течения.

Анализ проводится для спектрального состава возмущений, где сопоставляются амплитуды отдельных гармоник Фурье или максимумы этих амплитуд по нормали к поверхности в рассматриваемом сечении х = const. Фурье-анализ [36] и обработка нестационарных результатов выполнена с помощью возможностей языка программирования Python (библиотека numpy). Результат работы процедур быстрого преобразования Фурье по времени и координате z нормирован на Nt х Nz /4, где N и N — количество точек анализируемого

сигнала по времени и по координате z, соответственно. В настоящей работе исследованы амплитуды гармоник пульсаций продольной компоненты скорости, давления, температуры, а также максимумы этих величины по нормали к поверхности.

Вихревая структура полей течения визуализируется с помощью ^-критерия [37, 38]: Q = 0.5(Qy.Ц -SД), S, = 0.5(Эu + duj), Qj = 0.5(dJui -dtUj), U —

компоненты вектора скорости (для записи использованы тензорные обозначения; предполагается соглашение о суммировании по повторяющемуся в произведении

индексу).

Также сопоставляются поля мгновенных значений продольной и поперечной компонент вектора завихренности и средние параметры течения (коэффициент трения, профили продольной компоненты скорости, осреднённые по Фавру и по Рейнольдсу [39]). 1.2 Анализ результатов

1.2.1 Структуры течения и спектральный состав возмущений

Мгновенная структура возмущённого течения представлена на рис. 1.2 с помощью ^-критерия. Сразу за источником возмущений расположена область линейного развития возмущений, где они формируют X-образные структуры, усиливающиеся вниз по потоку. Вблизи х* « 0.6м появляются первые признаки нелинейного взаимодействия — возмущения начинают искажаться. При х* е (0.75,0.85) м наблюдается интенсивный нелинейный распад возмущений. За

этой областью формируется зона молодой турбулентности с ростом мелкомасштабных вихрей. Эта зона развивается вниз по потоку.

Рис. 1.2 Визуализация вихревых структур пограничного слоя с помощью изоповерхностей ^-критерия, Q=5: (а) вид сбоку со стороны +z; (б) вид сверху со стороны +у. Окраска соответствует величине продольной компоненты вектора скорости. Буферная зона начинается при х* «1.09 м .

Так как возбуждающее возмущение носит периодический характер с выделенной частотой, а нелинейные взаимодействия приводят к порождению

кратных гармоник, то отклик пограничного слоя на такие возмущения также должен быть периодическим (квазистационарный режим течения). Для изучения спектральных свойств процесса ЛТП нестационарное течение сначала устанавливается до квазистационарного режима, а затем набирается статистика в течение пяти периодов квазигармонического режима. Пример квазистационарного сигнала в некоторой точке внутри пограничного слоя показан на рис. 1.3а.

, 17 18 19 20 21 22

(а) ш

Рис. 1.3 (а) Квазистационарные пульсации продольной компоненты скорости,

u (t,x*,y*,z*), в точке (x*,y*0,z*) = (0.9201,0.0035,-0.0076); (б) двухмерное преобразование Фурье поля u(t, x*, y*, z) на линии (x*, y*) = (0.9201,0.0035) м.

В каждом поперечном сечении x* = const возмущение можно представить через сумму гармонических колебаний путём преобразования Фурье. Для рассматриваемого течения вдоль плоской пластины разумно делать двухмерное преобразование Фурье по времени и поперечной координате для каждой линии x*

= const, y* = const. Результат такого двухмерного преобразования можно представить в виде амплитуды гармоники (f*,/*) = (hf*,k//). Таким образом,

результат двухмерного преобразования Фурье можно представить в виде амплитуд двухмерных гармоник uhk. Пример представлен на рис. 1.3б для начала области

молодой турбулентности.

В описанной постановке Фурье-спектр является симметричным, поэтому интерес представляет только часть спектра при h > 0, к > 0. Следует отметить, что пики спектра расположены в шахматном порядке, что объясняется квадратичным (нелинейным) взаимодействием возмущений друг с другом. Например, для стационарного возмущения и других чётных частот h = 0,2,4,... наблюдаются только максимумы на чётных волновых числах к = 2,4,6,., а для нечётных частот h = 1,3,5,. — на нечётных волновых числах к = 1,3,5,.. Такая картина свойственна механизму наклонного распада, когда нелинейно (квадратично) взаимодействуют две гармоники с одинаковыми частотами, но противоположными по знаку волновыми числами. При этом частота удваивается, а волновое число обнуляется: [1,1] + [1,-1] ^ [2,0]. Чем ближе гармоника к фундаментальной гармонике, тем выше её амплитуда. Это связано как с тем, что нелинейный распад продвигается в область высоких частот постепенно, так и с тем, что имеется численная пространственно-временная диссипация используемого численного метода. Расчёты настоящей работы выполнены на двух разных сетках, одна из которых вдвое мельче в продольном и боковом направлении. Как показано ниже, для обеих сеток результаты оказываются близкими.

Ниже полученные результаты сопоставляются с результатами работы [24]. 1.2.2 Линейный режим

Рассмотрим линейный режим развития возмущений, который наблюдается примерно от x* = 0.4 м до x* = 0.6 м. На рис. 1.4 амплитуды фундаментальной моды [1,1] пульсаций продольной компоненты вектора скорости U в сечении x* = 0.5 м, полученные в настоящей работе, сопоставляются с результатами работы [24]. Для

данного случая и для других линий x* = const, у* = const наблюдается хорошее согласование (рис. 1.4а-в).

Среди всех возможных линий y* = const для данного сечения x* = const можно выделить линию y* , на которой амплитуда рассматриваемой гармоники максимальна. Для пульсаций U или T эта линия будет находиться в критическом слое пограничного слоя, y0 / 8« 0.65. Эволюция такого максимума вниз по потоку хорошо согласуется с результатами [26] (рис. 1.4г) даже на грубой сетке.

(в)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 |Р'1[1,1]/|Р'1[1Д]_тах

Рис. 1.4 Амплитуды гармоники [1,1]: (а) - (в) в сечении x* = 0.5 м: (а) 111] |, (б)

Tvxxл |, (в) 111] |; (г) максимальная по у* амплитуда 111] | в зависимости от x*. 1

— работа [26], 2 — подробная сетка (HSFlow++), 3 — грубая сетка (HSFlow++).

Рис. 1.5 (а) Продольный инкремент усиления величины | м[И] |, 1 — работа [24], 2

— настоящая работа (80 миллионов узел), 3 — результаты, полученные по линейной теории устойчивости (Mack's solver) [40]; (б), (в) мгновенный контур пульсации U для сечения x* = 0.546.0.67 м,y* = 2.3 мм: (б) работа [24], (в)

подробная расчётная сетка.

Инкремент роста возмущений является чувствительной к структуре стационарного решения характеристикой неустойчивого пограничного слоя. Рассмотрим эволюцию продольного инкремента роста возмущения продольной

компоненты вектора скорости, ц=—— [ln(«^ax (х))]. Здесь нижний индекс max

dx

обозначает, что рассматриваются максимальная по y Фурье-амплитуда гармоники. Рисунок 1.5а демонстрирует хорошее согласование уровня инкрементов в сечениях x* = const. Начиная с x* ~ 0.65 м, величина инкремента сильно растёт. Этот момент соответствует началу нелинейной стадии развития возмущений.

Также следует отметить хорошее согласование в структуре возмущений внутри пограничного слоя для различных сечений y* = const, продемонстрированное на рис. 1.5б,в. 1.2.3 Нелинейный режим

Рассмотрим нелинейную стадию развития возмущений. Момент проявления нелинейного взаимодействия можно отметить по картинам Q-критерия, на которых заметно усиление «канатообразных» структур (рис. 1.6). Для малых значений Q (15 и 100) настоящие результаты и результаты [24] хорошо согласуются. Однако в области молодой турбулентности, где появляются мелкомасштабные структуры и максимальная величина Q растёт (10000 и 40000), диссипативная схема не позволяет идеально воспроизвести результаты низкодиссипативной схемы [24]. Наиболее вероятной причиной этого расхождения является применение в [24] спектрального метода в боковом направлении и использование высокочастотных гармоник, которые располагаются вблизи частоты (волнового числа) Найквиста для используемой подробной расчётной сетки и поэтому плохо разрешаются.

Рис. 1.6 Мгновенные изоповерхности ^-критерия, вид сверху; слева — работа [24], справа — настоящая работа, подробная сетка: (а) Q = 15, х* = 0.546 - 0.670 м; (б) Q = 100, х* = 0.670 - 0.798 м; (в) Q = 10000, х* = 0.798 - 0.924 м; (г) Q = 40000,

х* = 0.924 - 1.051 м.

(а) (б)

Рис. 1.7 Эволюция максимальной по у амплитуды Фурье-гармоники для нечётных частот: (а) И = 1, (б) И = 3: 1,4,7 — работа [24]; 2,5,8 — настоящая работа, грубая сетка; 3,6,9 — настоящая работа, подробная сетка; 1,2,3 — к = 1; 4,5,6 — к = 3;

7,8,9 — к = 5.

(а)

Рис. 1.8 То же, что на рис. 1.7, но для чётных частот: (а) И = 0, (б) И = 2: 1,2,3

= 2; 4,5,6 — к = 4; 7,8,9 — к = 6.

— к

' ? ' ?

Рассмотрим далее процесс нелинейного распада с помощью эволюции максимальных по у амплитуд гармоник возмущений. Механизм наклонного резонанса последовательный. Изначально растёт наиболее неустойчивая фундаментальная наклонная волна [1,±1], что обусловлено чисто неустойчивостью пограничного слоя. При достижении некоторой критической амплитуды она

начинает нелинейно взаимодействовать с собой, порождая кратные гармоники: к = 0 и И = 2, к = 0, к = 2, которые начинают расти благодаря нелинейному взаимодействию фундаментальных гармоник. Когда кратные гармоники достигают достаточных амплитуд, они начинают нелинейно взаимодействовать друг с другом и с фундаментальными гармониками, порождая всё больше кратных гармоник. Такой процесс и его временная последовательность прослеживаются на рис. 1.7, и рис. 1.8, на которых изображена эволюция амплитуд гармоник вниз по потоку. Описанный механизм объясняет шахматную структуру спектра, приведённого на рис. 1.3б.

Следует отметить хорошее совпадение в эволюции гармоник с работой [24] в областях линейного и слабонелинейного развития возмущений. Однако в области молодой турбулентности результаты, полученные на грубой сетке, начинают отличаться от результатов на подробной сетке. Последние продолжают хорошо согласовываться с результатами работы [24] для основных энергосодержащих частот к = 0,1; к = 1,2, и с ростом кик начинает появляться небольшое рассогласование. При этом во всех случаях Фурье-амплитуды остаются на одном уровне и лишь разбегаются по фазе. Это может быть следствием накапливающейся ошибки более диссипативного метода. Однако в целом описанное сравнение результатов подтверждает надёжность и применимость диссипативных схем для моделирования процесса ламинарно-турбулентного перехода.

080 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.67 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97

(в) х*, m

Рис. 1.9 Мгновенное поле поперечного вектора завихренности в момент времени t = 2.82891: (а) z* = -0.0092 м, (б) z* = -0.0047 м, (в) z* = -0.0017 м. Сверху — настоящая работа, подробная сетка; внизу — [24].

На рис. 1.9 приведены мгновенные структуры поперечного вектора завихренности в различных сечениях z* = const и сравнение полученных результатов (верхняя часть картины) с результатами работы [24] (нижняя часть картины после зеркального отражения). Видно, что вблизи х* = 0.865 м появляются мелкомасштабные структуры, свойственные развитой турбулентности. Детальное сравнение показывает, что вихри, полученные в настоящей работе, менее интенсивны по сравнению с вихрями из работы [24], и содержат меньше мелкомасштабных вихревых структур, что обсуждалось выше. Основные крупномасштабные структуры хорошо совпадают с [24].

•2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000

(б)

И—гг

(В)

" 1 ( J

Т 1 1 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 1 I 0.94 0.96

(г) X*, М

Рис. 1.10 Мгновенное поле поперечного вектора завихренности в сечении z* = -

0.0087 м в различные моменты времени: (а) t = t0, (б) t = t0 + 6T0/20, (в) t = t0 + 12To/20, (г) t = t0 + 18 To/20. Сверху — настоящая работа, подробная сетка; внизу

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ньи Кан, 2022 год

- }

96 0.2

-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30

а) г*, мм б) ¿*, мм

Рис. 3.9. Массовый расход и его пульсации в точке х* = -10 мм, у* = 1 мм (1 — данная работа, 2 — [32]): а — среднее значение массового расхода; б — среднеквадратичное значение пульсаций массового расхода

т,% <т'>,%

Рис. 3.10 То же, что на рис. 3.9, в точке х* = 60 мм, у* = 5 мм

Изложенная выше методика определения среднеквадратичного значения пульсаций массового расхода использовалась на рис. 3.9б. Экспериментальные и численные результаты достаточно хорошо согласуются между собой.

Среднеквадратичное значение пульсаций массового расхода достигает значения порядка 1%. Среднее значение массового расхода и среднеквадратичное значение пульсаций массового расхода в области ниже скачка уплотнения, вне пограничного слоя, в точке х* = 60 мм, у* = 5 мм, показаны на рис. 3.10.

Расчётные и экспериментальные [32] положения переднего и заднего фронта совпадают, и их амплитуды удовлетворительно согласуются между собой на рис. 3.10а,б. На рис. 3.9, 3.10 видно, что в области ниже скачка уплотнения, вне пограничного слоя и в области передней кромки пластины влияние №волн слабое, а пульсации массового расхода достигают значения 1%.

К точке х* = 60 мм, у* = 0.55 мм внутри пограничного слоя относится рис. 3.11. Видно, что распределение среднего значения массового расхода (рис. 3.11а) имеет вид К-волны. При этом среднее значение массового расхода в области переднего фронта меньше, чем в области заднего фронта. Этот результат отличается от данных для области вне пограничного слоя (рис. 3.9а и 3.10а). Расчетное значение среднего массового расхода (рис. 3.11а), полученное в настоящей работе, удовлетворительно согласуется с экспериментом [32]. Это же относится к положению и амплитуде среднеквадратичных значений пульсаций массового расхода для переднего и заднего фронта. Фоновые пульсации набегающего потока слабо влияют на взаимодействие ^волны с пограничным слоем.

0.5

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 -30 -20 -10 0 10 20 30

а) г*, мм б) г*, мм

Рис. 3.11 То же, что на рис. 3.9, в точке х* = 60 мм, у* = 0.55 мм

Из данных рис. 3.11б видно, что среднеквадратичное значение пульсаций массового расхода достигает величины 2.5%, которая значительно больше, чем вне пограничного слоя.

г*, мм у*, мм

X*, мм 0) г*, мм

Рис. 3.12 Поля пульсаций продольной скорости: а — сечение у*= 0.55 мм; б —

сечение х* = 60 мм.

Пульсации продольной компоненты скорости внутри пограничного слоя показаны на рис. 3.12. Согласно рис. 3.12а, К-волна взаимодействует с пограничным слоем, порождая пару следов, которые на рисунке отмечены номерами 1 и 2. Далее исследуется след 2, который распространяется вниз по потоку и представляет наибольший интерес. Продольное сечение следа 2 показано на рис. 3.12б. Данный след представляет собой стационарное возмущение, которое может существенно влиять на процесс ЛТП, что, в свою очередь, является актуальным для современной авиационной техники и детально исследуется в следующем разделе главы. 3.2 Влияние ^волны на ЛТП 3.2.1 Постановка задачи

Задача решалась в два этапа. Сначала рассмотрено стационарное взаимодействие волн Маха с амплитудами 1% и 5% со сверхзвуковым

пограничным слоем. Первый этап выполнен, как и в разделе 3.1. На втором этапе на стационарное возмущённое поле течения, содержащее след от волны Маха, накладывалась волна Толмина — Шлихтинга. Экспериментальная постановка первого этапа показана на рис. 3.1 и соответствует работе [32]. Экспериментальные исследования [32] выполнялись в сверхзвуковой малотурбулентной аэродинамической трубе Т-325 ИТПМ (Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН). Параметры потока даны в разделе 3.1.

Расчёты первого этапа проведены на полной расчётной сетке (рис. 3.2). Расчёт второго этапа выполнен в пристенной подобласти, показанной на рис. 3.13.

(а)

(б)

-0.025 0 0.025

Соогс)та1ег

(в)

1 '-б.й/'э1 ГШ 1 гш

СоогсЛпгЛеЕ

Рис. 3.13 Расчётная сетка этапа 2: (а) — вид сверху, (б) — сечение YZ в концевой части для случая с амплитудой е = 1%, (в) - сечение YZ в концевой части для

случая с амплитудой е = 5%

Вырезанная подобласть сетки на втором этапе состоит из 33 миллионов узлов для случая волн Маха с амплитудой е = 1%. Для случая волн Маха с амплитудой е = 5% по Z направлению сетка шире, поэтому состоит из 45 миллионов узлов. Буферная зона, которая ограничена синими линиями, исключает появление отражённых пульсаций в моделируемом поле возмущений.

На первом этапе численного решения задачи использована монотонная разностная схема [23], на втором этапе — гибридная разностная схема с параметром Ф0 = 0.4, которой посвящена глава 2.

3.2.2 Влияние амплитуды ]]-волны на стационарный след в пограничном слое

В первом этапе рассмотрено взаимодействие ^волн со сверхзвуковым

пограничным слоем. Случаю с амплитудой 1% соответствует а* = 20 мм, к* = 0.2

мм, а случаю с амплитудой 5% а = 20 мм, кк = 1 мм (см. рис. 3.3). Визуализация распространения №волн перед кромкой проведена на рис. 3.14.

(а)

Рис. 3.14 Визуализация распространения ^волн выше по потоку от передней

кромки: (а) - е = 1%, (б) - е = 5%.

Как и в разделе 3.1 обнаружено, что при взаимодействии ^волн с пограничным слоем образуется пара следов, которые являются стационарными и распространяются вниз по потоку внутри пограничного слоя. Визуализация этих следов приведена на рисунке 3.15.

(а)

Рис. 3.15 Возмущение продольной компоненты скорости в сечении У*=0.0006 м:

(а) — е = 1%, (б) — е = 5%.

Видно, что в случае с амплитудой е = 5% следы крупнее, чем в случае с амплитудой е = 1%, а уровень пульсаций продольной компоненты скорости выше, как и уровень пульсаций массового расхода (см. рис. 3.16)

Усреднение массового расхода (%) в сечении Х=~10мм, у=1мм 112

110 108 л Ю6

Л

Г-! 104

£

а 102

? 100

л

5 98 а.

У 96 94 92

90 -30

/ > Эксперимент 0 01

• 1 >

1 Рзгиат е- :П П1

Ш

-Ш Рягирт е- =п пч

>

к

I

— щ л л т % а. л А

г

#

1 >

' ж

_

-20

-10

10

20

30

(а)

2*, ММ

Рис. 3.16 Массовой расход: (а) - перед передней кромкой, (б) - внутри

пограничного слоя.

3.2.3 Генератор нестационарного возмущения

На втором этапе путём периодического вдува и отсоса газа с ограниченного участка поверхности в пограничном слое индуцированы волны Толмина — Шлихтинга (далее ТШ, или ТБ). Генератор возмущений работает при х е [х,х2] м, его вид соответствует работам [24] и [41]. В этом интервале нормальная составляющая вектора скорости имеет вид

у( х, у = 0, г) = Л(г (хр )сов(Д, г):

1.54(1 + хр)3(3(1 + хр)2 - 7(1 + хр) + 4), -1 <хр <0 ^ _ 2х- (х2 + х,) -1.54(1 - хр)3(3(1 - хр)2 - 7(1 - хр) + 4), 0 < хр < 1

X =

Х2 х1

Л(г) = б

0

0 1((Т0-г)/(0.9Т0 ))2 1

, г < 0,

, 0 < г < Т0

, г > Т0,

где Т0 = 2ж / ю0, Л(г) — амплитуда, б = 0.001. Параметры волны ТШ выбраны с помощью линейной теории устойчивости для автомодельного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине в условиях настоящих расчётов (рис. 3.17).

300

Р!а1е, ТЕ \\'ауез. М=2.5, Те=129 К, Ттл'-Тай Р1е=5.Е6

Р1а{е, ТЭ №ауе5, м=2.5, Те=129 К, Ти^Тай. Р!е=5.Е6

а)

900

б)

(В)

Рис. 3.17 Характеристики наклонных волны ТШ: а — частота; б — волновое число в направлении ъ; в — волновое число в направлении х.

С помощью линейной теории устойчивости, выбраны подходящие

<

параметры волны ТШ: со0 = 164.66, Д = 561.93, аТ8 = 305.46.

^^^ / 2, х^ — х0 + ^^^ / 2,^ — 2^ / ^^^^ у Точка потери устойчивости х0 = 0.03693. При х1 = 0.026646, х2 = 0,047215. 3.2.4 Результаты

На рисунке 3.18 показаны временные пульсации продольной скорости в двух сечениях. Показано, как пара следов, смоделированная на этапе 1 (3.18а и 3.18г), развивается вниз по потоку. Положение центра переднего фронта примерно 2* = 0.0122 м а заднего фронта — 2* = -0.0022 м. Для случая волн Маха с амплитудой е = 5% след оказывается больше, чем в случае е = 1%. Взаимодействие волн ТШ и пары следов визуализировано на рис. 3.18в и 3.18д. Показано что для случая волн Маха с амплитудой е = 5% их взаимодействие оказывается сильнее, чем при е = 1%. Это наиболее выражено в сечении Х*=0.15 м, где наблюдается нелинейный режим взаимодействия возмущений, свойственный переходу к турбулентности.

На рисунке 3.19 рассмотрены вихревые структуры, визуализированные изоповерхностями Q-критерия, вид сверху. Продемонстрировано влияние волн Маха на процесс ЛТП. Сильное влияние наблюдается в случае волн Маха с амплитудой е = 5%, а при е = 1% влияние волн Маха оказывается незначительным. Из данных рис. 3.19 видно, что в окрестности переднего фронта волны Маха (2* = 0.0122 м) имеет место вершина турбулентного клина, тогда как в окрестности заднего фронта волны Маха (2* = -0.0022 м) пульсации, наоборот, незначительно ослабевают.

(а)

Рис. 3.18 Временные пульсации продольной компоненты скорости в двух сечениях: слева — Х* = 0.06 м; справа — Х* = 0.15 м. (а) волна Маха е = 1%; (б) волна ТШ; (в) волна Маха е = 1% + ТШ; (г) волна Маха е = 5%;

(д) волна Маха е = 5% + ТШ.

■0 02

•001 X -Ж]

0 - - - ■у * |Т-лЛ -- —_~ •. л/)

У

003

1 1 1 1 1 1 ----т

в)

Рис. 3.19 Изоповерхности Q-критерия, вид сверху: слева Q = 100; справа Q = 10000. (а) ТШ, (б) волна Маха е = 1% + ТШ, (в) волна Маха е = 5% + ТШ.

На рисунке 3.20 представлено преобразование Фурье пульсаций продольной скорости в положении х* = 0.152 м, у* = 0.001 м (локальные фронты следа). Для №

волн с амплитудой е = 5% и волн ТШ (рис. 3.20в) спектры становятся существенно шире в области следа от переднего фронта К-волны. В области следа от заднего фронта спектры демонстрируют значительное затухание возмущений, которое проявляется в их заужении и значительном снижении спектральной амплитуды возмущений.

Рис. 3.20 Амплитудно-частотные спектры пульсаций продольной компоненты

скорости в положении х* = 0.152 м, у* = 0.001 м: а — ТШ, (б) волна Маха е = 1% + ТШ, (в) волна Маха е = 5% + ТШ. Серыми горизонтальными линиями показаны следы от К-волны.

На рис. 3.21 рассмотрены амплитуды фундаментальной гармоники пульсаций = 1) в сечении Х* = 0.06 м, которое соответствует линейному

режиму развития возмущений. При взаимодействии с К-волной положение локального максимума сдвигается и образует К-образную фигуру. В случае волны Маха с амплитудой е = 5% эта фигура становится крупнее, чем при е = 1%.

а)

в)

Рис. 3.21 Амплитудные профили фундаментальной гармоники пульсаций по нормали к стенке в сечении Х* = 0.06м: слева — волна Маха с e = 1% + ТШ; посредине —ТШ; справа — волна Маха с e = 5% + ТШ.

Показаны пульсации: а —продольной скорости, б —температуры, в —давления.

На рисунке 3.22 показана максимальная по Y амплитуда продольной компоненты скорости фундаментальной гармоники. Показано, что в области переднего фронта (примерно 2* = 0.0122 м) пульсации сильнее, чем в области заднего фронта (примерно 2* = -0.0022 м). Интенсивность взаимодействия значительно выше в случае амплитуды ^волн 5%.

(в)

Рис. 3.22 Максимальная по У амплитуда продольной компоненты скорости

фундаментальной гармоники: а — ТШ; б — волна Маха с е = 1% + ТШ; в —волна Маха с е = 5% + ТШ.

Ниже показаны аналогичные картины для возмущения среднего течения, ^^^^О^ и гармоник более высокого порядка по частоте (рис. 3.23 - 3.24). Видно, что характер картин аналогичен тому, что показан на рис. 3.22.

(в)

Рис. 3.23 Максимальная по У амплитуда продольной компоненты скорости

нулевой гармоники (возмущения среднего течения): а — ТШ; б — волна Маха с е = 1% + ТШ; в —волна Маха с е = 5% + ТШ.

(в)

Рис. 3.24 Максимальная по У амплитуда продольной компоненты скорости

третьей гармоники ^М_0=3): а — ТШ; б — волна Маха с е = 1% + ТШ; в —волна Маха с е = 5% + ТШ.

На рисунке 3.25 показан мгновенный продольный вектор завихренности в сечении Х* = 0.2 м. В этом сечении наблюдается нелинейный режим ЛТП, при котором выражается влияние волн Маха на ЛТП. Видно, что интенсивность

продольного вектора завихренности сильнее в области переднего фронта и слабее в области заднего фронта.

0.005

0.004

0.003

0.002

а.001

■

X -8М -266.657 266.667 $00

0.005 г

0.004 -

0.003 -

0.002 -

0.001

11 I м

а)

-0.02

-М-

т

0.1)2

X </ог!кйу: 300 -266.667 26В &57 »9

б)

-0.02

«I

0.{)2

В)

Рис. 3.25 Продольная составляющая вектора завихренности: а — ТШ; б — волна Маха с е = 1% + ТШ; в —волна Маха с е = 5% + ТШ.

На линейном режиме влияние К-волн на процесс ЛТП незначительно, что демонстрируется на рисунке 3.26.

В качестве примера поведения зависимых переменных задачи в неравновесном переходно-турбулентном пограничном слое на плоской пластине на рисунке 3.27 показаны осредненные по времени значения безразмерной температуры в сечении Х* = 0.224 м. Осреднение проведено во временном окне, покрывающем примерно пять периодов работы генератора возмущений,

порождающего волны Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое. Согласно этим данным (рис. 3.27), имеет место полосчатая вихревая структура течения в переходно-турбулентном пограничном слое. Присутствие волны Маха с амплитудой е=5% в окрестности переднего фронта приводит к тому, что полосчатая структура размывается (рис 3.27в). Анализ спектров в окрестности переднего фронта свидетельствует о существенном расширении спектрального состава возмущений в этой области.

(в)

Рис. 3.26 Осредненное по Фавру поле продольной компоненты скорости в течение временного окна Л1~5Т0, Т0=2п/ю0, в сечении Х* = 0.06 м: а — ТШ; б — волна Маха с е = 1% + ТШ; в —волна Маха с е = 5% + ТШ.

0.003'

0.0041

5

+= -

0.002'

(а).

(в)

г ,и

Рис. 3.27 Осреднённое по Рейнольдсу поле температуры в течение временного окна Д^5Т0, Т0=2л/ю0, в сечении Х* = 0.224 м: а — ТШ; б — волна Маха с е = 1% + ТШ; в —волна Маха с е = 5% + ТШ.

Полосчатая структура также хорошо заметна на распределении коэффициента трения (рис. 3.28), осредненного по тому же интервалу времени Д^5Т0. Согласно этим данным, волна Маха с амплитудой е = 1% слабо влияет на линию фронта ламинарно-турбулентного перехода.

Рис. 3.28 Осредненное по времени распределение коэффициента трения на

плоской пластине: (а) е =0, (б) е = 1%, (в) е = 5%.

В случае волны Маха с амплитудой е=5% (рис. 3.28в) фронт ламинарно-турбулентного перехода сильно искривляется, образуется хорошо заметный турбулентный клин. В поперечном направлении вершина турбулентного клина находится вблизи переднего фронта волны Маха. Задний фронт волны Маха не оказывает существенного влияния на положение ламинарно-турбулентного перехода.

3.3 Выводы по главе

Выполнено прямое численное моделирование взаимодействия волны Маха со сверхзвуковым пограничным слоем над плоской пластиной с острой передней кромкой. Численные и экспериментальные результаты удовлетворительно согласуются. Показано, что среднеквадратичное значение пульсаций массового расхода в пограничном слое может достигать величины 2.5% от соответствующей средней величины в набегающем потоке.

Неровности на стенке приводят к появлению пары слабых ударных волн, быстро вырождающихся в К-волну. Взаимодействуя с пограничным слоем, N волна приводит к появлению дополнительной области нелинейности пульсаций, а в спектрах — к возбуждению низкочастотных возмущений. Главная часть энергии пульсаций сосредоточена в области низких (до 3 кГц) частот, что также согласуется с результатами экспериментов [16]. Внутри пограничного слоя нестационарные пульсации массового расхода выше, чем вне пограничного слоя, но во всех областях амплитуды пульсаций достаточно малы и находятся приблизительно на уровне точности численного решения.

Исследовано влияние взаимодействии ^волны со сверхзвуковым пограничным слоем на процесс ламинарно-турбулентного перехода пограничного слоя над плоской пластиной с острой передней кромкой. На основе прямого численного моделирования установлено, что в случае относительно небольшой амплитуды К-волны (менее 1%) её след слабо влияет на положение ЛТП. В случае повышенной амплитуды К-волны (5%) влияние её следа на линию начала ЛТП становится значительным — формируется отчётливый турбулентный клин. При этом в области нелинейного развития возмущений в пограничном слое отчётливо просматривается полосчатая вихревая структура течения.

Глава 4 Влияние ^волны на ламинарно-турбулентный переход сверхзвукового пограничного слоя над затупленной пластиной 4.1 Взаимодействие ^волны с пограничным слоем

В численном моделировании моделирование обтекания затупленной пластины имеет свои характерные особенности по сравнению со случаем острой передней кромки. Для обеспечения устойчивости расчёта требуется предпринять определённые меры. Во-первых, приходится понижать шаг по времени. Во-вторых, размеры расчётных ячеек в области особенностей течения, таких как скачки уплотнения, необходимо уменьшать. Данные вопросы обсуждаются ниже.

В настоящей главе рассмотрено взаимодействие волны Маха и сверхзвукового пограничного слоя на плоской пластине с затупленной передней кромкой. Выполнено сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными из работы [32].

4.1.1 Постановка задачи

Постановка задачи аналогична той, что дана в главе 3, но вместо обтекания пластины с острой передней кромкой рассматривается обтекание пластины с затупленной передней кромкой. Основные условия задачи и параметры потока соответствуют экспериментам [32], которые выполнялись в малотурбулентной сверхзвуковой АДТ Т-325 ИТПМ СО РАН. Постановка задачи показана на рис. 3.1. На боковой стенке в работе [32] наклеивалась изолента на расстоянии х* = -233.5 мм вверх по потоку от передней кромки пластины (координата х* = 0 соответствует передней кромке пластины).

В данной главе рассматривается К-волна с амплитудой 1%, которая достигается при параметрах ленты а* = 20 мм, к* = 0.2 мм. Численный метод, математическая модель ленты и подход к моделированию её влияния на порождение К-волны аналогичны тем, что приведены в главе 3. Вновь использован оригинальный пакет расчётных программ [23] и применена монотонная численная схема, представленная в главе 1.

Как и в главе 3, в области вверх по потоку от пластины течение стационарно. Для экономии ресурсов и сокращения времени расчёта расчета расчётная область разделена надвое. Первая область целиком находится перед затупленной пластиной и используется для моделирования стационарного распространения N волны. Вторая область содержит затупленную пластину и небольшой участок перед ней. Визуализация расчетной сетки области 1 показана на рис. 4.1а для случая обтекания пластины с острой передней кромкой и на 4.1б для случая обтекания пластины с затупленной передней кромкой.

Рис. 4.1 Визуализация расчетной сетки в области 1 распространения К-волны; на левой плоскости генерируется К-волна: а) для пластины с острой передней кромкой, б) для пластины с затупленной передней кромкой.

На рисунке 4.1 также построены сечения с полями продольной компоненты вектора скорости и одна из сеточных плоскостей с показанными сеточными линиями. В расчете по направлению Х сетка расширена буферной зоной (на рис. 4.1 эти части сетки не показаны). На выходной (правой) границе области 1 записаны

полученные данные о течении и К-волне. В дальнейшем, они использованы как стационарное граничное условие во входном сечении области 2. При этом выходное сечение подобласти 1 и входное сечение подобласти совпадают узел в узел. Расчетная сетка в подобласти 2 показана на рис. 4.2.

>" 0.1

а)

0-05 : ' 'ОН ' '0,16' ""¡Й : ' 055 ОТ7

X б)

0.Й5 ' ' ' 0!1

0.15 " ' ' ' 0.2 ' ' 0.25 ' ' ' 0 3

= 0,0002^

0.15 -

>- 0.1

В)

Г)

0.05

Рис. 4.2 Конфигурация расчётной области 2 и подобласти для моделирования

возмущений (ограничена синей линией): а — сечение ХУ, затупленная кромка; б) сечение ХУ острая кромка; в) сетка в сечении ХУ, затупленная кромка; г) сетка в сечении УЪ, острая кромка.

Чтобы сопоставить поля пульсаций на пластинах с затупленной и с острой передней кромкой, в обоих случаях формируются идентичные сеточные подобласти, ограниченные синей линией на рис. 4.2а и 4.2б. Размер ячейки по направлению X показан на рис. 4.2а, по направлению Ъ — на рис. 4.2г. По

направлению Y сетка сгущена к стенке. При обтекании затупленной пластины

сетка дополнительно сгущена в области ударной волны.

4.1.2 Моделирование взаимодействия ^волны и ударной волны

При взаимодействии К-волны с головной ударной волной перед притуплением появляются вычислительные трудности, и процесс расчёта может оказаться неустойчивым. Причины этого обсуждаются в работе [45]. Они связаны с особенностями схем сквозного счёта, которые в настоящей работе не рассматриваются. Чтобы избежать численной неустойчивости такого рода, приходится выравнивать сеточные плоскости вдоль скачка и измельчать сетку вблизи него. Выбор оптимального значения сеточного разрешения на ударной волне учитывает выводы работы [45] и опирается на тестовые расчёты, проведённые в рамках настоящей диссертационной работы.

0,002258 -0,002256 -0,002254

X*, м

Рис. 4.3 Распределение давления поперёк ударной волны в сечении Y=0

На рис. 4.3 показана вязкая структура ударной волны на линии симметрии б1 (см. рис. 4.4). Вязкая толщина ударной волны приблизительно равна 4е-6 м. Чтобы изучить особенности полученных решений, на тестовых сетках рассматриваются распределения вдоль линий (х=сош1:, у=сопБ1:), где точка (х*, у*) = (-0.0002, 0) м

находится на линии торможения ^1), а (х* у*) = (0.00245, 0.0026) м — в пограничном слое вблизи сопряжения притупления с плоской поверхностью. Ниже качество разрешения ударной волны оценивается по мере измельчения шага расчётной сетки dx поперёк неё.

0.035-

Уе!осИуХ

— 0.95

— 0.9 0.85

— 0.8 0.75 0.7

— 0.65 0.6 0.55

— 0.5 0.45 0.4

— 0.35

= 0.3 0.25

— 0.2

— 0.15

■ 0.1 0.05

1 1 оЩ 1 1 СоогсНпа1еХ

Рис. 4.4 Поле продольной компоненты скорости в сечении ХY, тестовая задача

• !! !!

., .

■........... .............

и !!!!! о

0 0.01 СоогсНпа1е7

Ш......

Рис. 4.5 Визуализация сечения У = 0 при dx = 8е-7 м

На рис. 4.5 показано поле давление в сечении У = 0 и сеточные линии. Как видно, возмущённая ударная волна укладывается в ограниченную область

повышенного сеточного разрешения и не выходит за её пределы.

Рассмотрим распределение некоторых зависимых переменных задачи вдоль линий и б2 в зависимости от продольного сеточного разрешения в окрестности головной ударной волны (см. рис. 4.6 - 4.8). Видно, что в области ударной волны (б1) осцилляции существенно сильнее, чем в пограничном слое (б2). Во всех случаях распределения оказываются близкими.

Рис. 4.6 Давление: а — линия б1, б — линия б2

Рис. 4.7 Температура: а — линия б1, б — линия б2

0.055 -

а)

0.035 -

0.835 -

0.83

0.825 -

.0.82 -

0.815

0.81 -

-002 -0.01

б)

Рис. 4.8 Продольная компонента скорости: а — линия б1, б — линия б2 По мере уменьшения ёх процесс расчёта становится более устойчивым, а распределения характеристик вдоль линий и б2 остаются вблизи некоторого фиксированного значения с погрешностью, не превосходящей 10-3.

По результатам данного анализа выбран оптимальный размер ячейки, который зафиксирован для последующих расчётов: ёх = 6е-7. 4.1.3 Результаты

Ниже показана визуализация взаимодействия К-волны с пограничным слоем. Рассмотрены поля продольной компоненты скорости в различных сечениях.

Рис. 4.9 Продольная компонента скорости в сечении Х = 0.06 м: а — острая пластина, б — затупленная пластина

Рис. 4.10 Продольная компонента скорости в сечении Х = 0.2 м: а — острая пластина, б — затупленная пластина

Из рис. 4.9 и 4.10 очевидно, что в случае затупленной передней кромки влияние К-волны на пограничный слой значительно сильнее, чем в случае острой передней кромке.

Рис. 4.11 Продольная компонента скорости в сечении Y = 0.0029 м: а — острая пластина, б — затупленная пластина

На рис. 4.11 показано поле продольной компоненты скорости в сечении Y = 0.0029 м. Видно, что за острой кромкой образуется пара следов, а за затупленной кромкой образуются две изолированные пары следов. Рассмотрим более детально возмущения продольной компоненты скорости.

0.06 -

сЛТУекхЛуХ

~ Об

04

0.04 - 0.2 0

-0.2

-0 4

{ ■-0 6

0.02

2 * к

0 1

-0.02 I I . . . ,1- . . -

«002 -0,0018 -0.0016 -0.0014 X*, М

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 ^^

Рис. 4.12 Возмущение продольной компоненты скорости в сечении Y = 0.0033 м

за затупленной передней кромкой: а — полное сечение, б — вблизи выделенной области подрисунке а

Видно, что в области ударной волны взаимодействие К-волны со скачком уплотнения оказывается значительным. Ниже показано сравнение со случаем обтекания острой пластины.

Рис. 4.13 Возмущение продольной компоненты скорости в сечении Y = 0.0033 м: а — острая пластина; б — затупленная пластина

Рис. 4.14 Возмущение продольной компоненты скорости в сечении Х = 0.06 м: а — острая пластина; б — затупленная пластина

Рис. 4.15 Возмущение продольной компоненты скорости в сечении Х = 0.15 м: а — острая пластина; б — затупленная пластина

Рис. 4.16 Возмущение продольной компоненты скорости в сечении Х = 0.24 м: а — острая пластина; б — затупленная пластина

На рис. 4.13-4.16 показано, что за острой передней кромкой образуется след, соответствующий переднему и заднему фонтам К-волны. В этом случае след имеет большой размер, но его амплитуда относительно мала. При обтекании затупленной пластины образуются два таких следа: один соответствует переднему фронту N волны, второй — заднему. Эти следы имеют меньший размер, но их амплитуда выше по сравнению со случаем острой передней кромки практически в пять раз.

Рис. 4.17 Эволюция пульсаций массового расхода в точке (0.09, 0.0033, 0.0168) м

На рис. 4.17 показано изменение пульсаций массового расхода в точке (0.09, 0.0033, 0.0168) м, которая находится вблизи переднего фонта. Видно, что абсолютные значения малы. Поэтому при обтекании затупленной пластины взаимодействие К-волны с пограничным слоем можно считать стационарным. В этом случае процедура численного анализа среднеквадратичного значения пульсаций массового расхода, приведённая в подразделе 3.1.5, остаётся корректной.

Рис. 4.18 Средние значения массового расхода на линии х* = 60 мм, у* ~ 2.983 мм

Рис. 4.19 Средние значения массового расхода на линии х* = 90 мм, у* ~ 3.079 мм На рис. 4.18 и 4.19 средние значения массового расхода вдоль линии х* = 60

мм и х* = 90 мм сопоставлены с данными эксперимента. Наблюдается хорошее согласование с экспериментальными данными.

Рис. 4.20 Среднеквадратичные пульсации массового расхода на линии х* = 60 мм,

у* ~ 2.983 мм

ю -

л £

V 4

#—• эксперимент

♦—♦ расчет л 1 1

/

1

• I 1 1

1 и А

1 \

-20

-10

10

20

г*, мм

Рис. 4.21 Среднеквадратичные пульсации массового расхода на линии х* = 90 мм,

у* ~ 3.079 мм

С помощью оценки, проведённой в соответствии с разделом 3.1.5, получены среднеквадратичные значения пульсаций массового расхода и выполнено сравнение с известными экспериментальными данными (рис. 4.20 и 4.21). Видно, что результаты прямого численного моделирования удовлетворительно согласуются с данными эксперимента.

4.2 Влияние ^волны на ЛТП

Выше исследовано взаимодействие К-волны со сверхзвуковым пограничным слоем на пластине с затупленной передней кромкой. Рассмотрим влияние этого взаимодействия на процесс ЛТП и сопоставим результаты со случаем острой кромки пластины. 4.2.1 Постановка задачи

Процедура расчёта аналогична той, что описана в разделе 3.2. Расчеты вновь выполнены в подобласти полной сетки. Для простоты сопоставления случаев острой и затупленной кромок нестационарные расчёты проведены в подобластях с идентичными расчётными сетками.

Расчётная сетка в подобласти показана на рис. 4.22. Буферная зона ограничена областями х > 0.26, ъ < -0.018 до z > 0.027. Размерность сетки в рассматриваемой подобласти составляет 375х191х174 с общим количеством узлов 12.5 млн. Сетка в подобласти вырезана из полной сетки, использованной в разделе 4.1. Размеры ячеек по каждому направлению показаны на рис. 4.2.

а)

Рис. 4.22 Расчетная сетка подобласти: а) сечение ХУ, б) сечение У7

В расчётах в подобласти используется гибридная с параметром Ф0 = 0.35,

разработке и тестированию которой посвящена глава 2. Генератор нестационарных возмущений описан в разделе 3.2 (амплитуда генератора равна е = 0.001, частота возмущения а0 = 164.66 и поперечное волновое число Д= 561.93; возмущение

генерируется в диапазоне [ х = 0.026646, х2 = 0,047215 ] м).

4.2.2 Результаты

На рис. 4.23 показаны поля продольной компоненты скорости в сечении Х =

60 мм, где возмущения развиваются на линейном режиме. Отмеченная ранее особенность разделения следа К-волны надвое в случае затупленной пластины наблюдается на рис. 4.23г. Оба следа хорошо локализованы и похожи друг на друга. След на острой пластине существенно шире и менее интенсивен. Выделяется область дефицита скорости, которая практически вдвое шире области ускоренного потока. Общая ширина возмущённой зоны близка в обоих случаях. Характер развития пульсаций, обусловленных волнами ТШ (рис. 4.23б, д) оказывается периодическим по ъ: наблюдается чередующаяся вихревая структура, которая соответствует исходному возмущению от генератора возмущений. Качественно поля возмущений близки в случаях острой и затупленной пластин. При одновременном воздействии К-волны и волны ТШ возмущённое поле течения становится, по-видимому, суперпозицией возмущённых полей, для которых действовал только один источник возмущений (либо К-волна, либо волна ТШ).

а)

г)

б)

0,005

■0,004

0,003

0,005

■0,004

0,003

сИтЛНосИуХ: -0.0366607 -0.00686173 0.0229372

В)

0.005-

■0.004-

0.003

[МПЛНосИуХ: -0.0304647 -0.00903136 0.012402

д)

0.005

о.оозО

ОТГ Т (Ш^Г ^ ^

Рис. 4.23 Пульсации продольной компоненты скорости при Х = 60 мм (линейный режим ЛТП): слева (а-в) — острая пластина; справа (г-е) — затупленная пластина; а, г — К-волна; б, д — волны ТШ; в, е — К-волна + волны ТШ.

Рисунок 4.24 аналогичен рис. 4.23: на нём показаны поля продольной

компоненты скорости в сечении Х = 150 мм, которое соответствует нелинейному режиму ЛТП. Два следа от К-волны на затупленной пластине (рис. 4.24в) сохраняют своё положение по размаху пластины ъ. Однако область дефицита скорости становится уже и вытягивается вверх, при этом область избытка скорости увеличивается вдвое меньше. На острой пластине размеры следа, по-видимому, масштабируются с толщиной пограничного слоя, которая увеличивается примерно в 1.6 раз между рис. 4.23 и 4.24. В возмущении, вызванном эволюцией волны ТШ, появляются заметные нелинейные искажения на острой пластине, для которой подбирались параметры генератора возмущений (рис. 4.24б). На затупленной пластине также имеются признаки нелинейности, но они выражены существенно слабее (рис. 4.24д). Одновременное воздействие К-волны и волны ТШ на пограничный слой можно вновь охарактеризовать как суперпозицию отдельно взятых возмущений. Однако следует отметить, что амплитуда нестационарных пульсаций усиливается вблизи в окрестности зон дефицита скорости.

а)

б)

в) -°01 0 2*,м а01 002 е)

Рис. 4.24 То же, что на рис. 4.23 при Х = 150 мм (нелинейный режим ЛТП)

На рис. 4.25 и 4.26 данные наблюдения проиллюстрированы с помощью вихревых структур над поверхностью пластин. Структуры окрашены в

соответствии с величиной продольной компоненты скорости, что позволяет судить об их расположении внутри пограничного слоя (красный цвет — на границе пограничного слоя и выше; зелёный — внутри; синий — у поверхности). Как видно, в случае затупленной пластины переход к турбулентности начинается ниже по потоку, что связано с неоптимальностью работы генератора возмущений, настроенного на случай острой пластины. Тем не менее, даже в такой постановке можно качественно оценить степень влияния К-волны на положение ЛТП: в случае затупленной пластины ЛТП смещается вверх по потоку значительно сильнее, чем на острой пластине, хотя интенсивность К-волны в обоих случаях одинакова. На затупленной пластине это выражается в виде зарождения турбулентных клиньев в окрестности обоих следов К-волны (от переднего и заднего фронтов К-волны при 2* = 0.0158 м и 2* = -0.0002 м). Между следами пульсации, наоборот, затухают, и ЛТП, по-видимому, смещается ниже по потоку. Таким образом, К-волна, взаимодействующая с пограничным слоем на затупленной пластине, может приводить к формированию турбулентных клиньев, как и в случае плоской пластины. Появление затупления приводит к тому, что влияние К-волны на ЛТП сверхзвукового пограничного слоя усиливается.

в)

г)

Рис. 4.25 Вихревая структура возмущений (изоповерхности Р-критерия, Q = 100), вид сверху: а, б — острая пластина; в, г — затупленная пластина; а, в — волна ТШ; б, г — К-волна + волна ТШ.

в)

Рис. 4.26 Поле Q-критерия, Q = 1000, вид сверху: а) волны ТБ, острая кромка, б) К-волна + волны ТБ, острая кромка, в) волны ТБ, затупленная кромка, г) К-волна

+ волны ТБ, затупленная кромка.

На рисунке 4.27 представлена амплитудно-частотная характеристика пульсаций продольной компоненты скорости по размаху пластины вдоль линии х* = 0.15 м, у* = 0.0033 м, которая расположена внутри пограничного слоя в области нелинейного развития возмущений. Как ожидалось, в обоих случаях спектры отражают сильное изменение среднего течения = 0), хотя на

затупленной пластине спектры менее широкие из-за неоптимальности введённых в пограничный слой возмущений. На острой пластине появление следа от К-волны слабо меняет спектральный состав (рис. 4.27а, б). На затупленной пластине, наоборот, появление К-волны приводит к сильному изменению среднего течения в окрестности обоих следов от неё (рис. 4.27в, г), а также к усилению кратных гармоник = 2. Спектры для острой пластины имеют более широкий состав.

Видно, что влияние К-волны на среднее течение ^М_0=0) сильнее на переднем фронте, что отчётливо проявляется в случае затупленной кромки (рис. 4.27г).

0.02' Е 0.0Т 0' -0.01'

В)

Рис. 4.27 Амплитудно-частотные спектры пульсаций продольной компоненты скорости вдоль линии х* = 0.15 м, у* = 0.0033 м: а, б — острая пластина; в, г —

затупленная пластина; а, в — волна ТШ; б, г — К-волна + волна ТШ. Серыми горизонтальными линиями показаны следы от К-волны.

На рисунке 4.28 рассмотрены амплитудные функции фундаментальной гармоники = 1) в сечении Х = 0.06 м, соответствующее линейному режиму.

В присутствии К-волны на острой пластине формируется К-образная фигура амплитуд возмущений, которая соответствует форме следа от К-волны. В случае затупленной пластины таких следов два, и в вблизи каждого из них формируется аналогичная К-образная фигура; её размеры значительно меньше, чем в случае острой пластины.

а)

в)

Рис. 4.28 Амплитудные профили фундаментальной гармоники пульсаций по нормали к стенке в сечении Х* = 0.06м. Слева направо: острая пластина + волна ТШ; острая пластина + К-волна + волна ТШ; затупленная пластина + волна ТШ, затупленная пластина + К-волна + волна ТШ; а — продольная компонента скорости; б — температура; в — давление.

На рис. 4.29-4.31 сделанные наблюдения проиллюстрированы на примере различных гармоник фундаментального возмущения, на котором работает генератор возмущений. Показана максимальная по У амплитуда продольной компоненты скорости. Среднее течение (рис. 4.29б, г) изменяется от передней кромки, где падающая К-волна начинает взаимодействовать с пограничным слоем, а начало активного изменения среднего течения по всему размаху пластины (х-0.15 на острой пластине, рис. 4.29б; х-0.17 на затуленной пластине, рис. 4.29г) наблюдается ниже по потоку и согласуется с началом нелинейной стадии ЛТП. Фундаментальная гармоника (рис. 4.30) начинает усиливаться практически сразу за генератором возмущений. Следует отметить, что кратная гармоника w/w_0=3 оказывается значительно слабее на затупленной пластине, что соответствует общей картине развития возмущений и выше связывалось с неоптимальностью возмущений. Однако при появлении следов от К-волны активность этой гармоники вверх по потоку повышается в окрестности следов и понижается между ними.

0.015

а)

б)