Некоторые задачи теории сильного вязко-невязкого взаимодействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Фам Ван Кхьем

• Фам Ван Кхьем
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Фам Ван Кхьем

1.2. Постановка задачи

1.3. Исследование устойчивости системы в линейном режиме для бесконечных панелей

1.4. Решение нелинейной задачи для конечных панелей

1.4.1. Метод решения нелинейной задачи

1.4.2. Решение нелинейной задачи в случае защемления краев панели

1.4.3. Решение нелинейной задачи в случае шарнирно-опертых краев панели

1.5. Выводы к главе

Глава 2. Распространение возмущений в условиях глобального сильного гиперзвукового вязко-невязкого взаимодействия

2.1. Постановка задачи

2.2. Анализ субхарактеристик

2.3. Метод решения задачи

2.3.1. Дискретизация задачи по пространству

2.3.2. Дискретизация задачи по времени

2.3.3. Метод определения толщины вытеснения пограничного слоя

2.3.4. Глобальная итерационная процедура

2.4. Численные результаты

2.4.1. Верификация численных результатов

2.4.2. Явление сдвига фаз распространения возмущений вверх по потоку77

2.4.3. Случай многочастотного колебания донного давления

2.4.4. Случай внезапного изменения частоты главных гармоник возмущений донного давления

2.4.5. Влияние температурного фактора на амплитуду возмущений давления

2.5. Выводы к главе

Глава 3. Методы управления течением в условиях глобального сильного гиперзвукового вязко-невязкого взаимодействия

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод решение задачи

3.3. Численные результаты

3.3.1. Температурный фактор gw =

3.3.2. Температурный фактор gw =

3.3.3. Случай теплоизолированной пластины

3.4. Выводы к главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение, обзор литературы и краткое содержание диссертации

Для многочисленных проблем прикладной аэрогидродинамики характерны большие числа Рейнольдса. Относительно малое влияние вязкости реальных процессах обтекания летательных аппаратов указывало на возможное упрощение чрезвычайно сложной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса. Такое упрощение было выдвинуто Прандтлем в 1904 году [1]. Согласно теории Прандтля при больших числах Рейнольдса вязкость ничтожно мала почти во всем поле течения, где для их описания можно применить систему уравнений Эйлера, за исключением областей, примыкающих к границам, а также слоев смешения, следов и т.д.

Теория Прандтля не только описывала структуру течения, но также предлагала метод расчета параметров обтекания - определение поля невязкого течения около обтекаемого тела, затем определение поля течения в пограничном слое при уже известном поле течении невязкой области. Теория пограничного слоя прекрасно описывает течения при таких ситуациях, когда продольные градиенты в течении малы по сравнению с поперечным, и когда в пограничном слое сохраняется безотрывное течение.

Теория Прандтля по существу представляет собой асимптотическая теория, справедливая при Re ^ да. И именно асимптотический анализ системы уравнений Навье-Стокса позволил построить теории явлений, не описывающихся в рамках классической теории пограничного слоя.

Формальный аппарат асимптотических методов был разработан уже после создания теории пограничный слой, обзоры применения асимптотических методов были приведены в монографиях Ван-Дайка [2], Коула [3] и Найфэ [4]. Потом в динамике вязкого газа и жидкости был применен метод сращиваемых асимптотических разложений, развитый в работах Фридрихса [5], Каплуна [6] и др. Кроме того, развивались метод многих масштабов [2-4], метод деформированных координат [2-4] и метод пограслойных поправок [7]. С

помощью асимптотических методов были построены математические модели, которые четко выявили роль параметров в различных режимах течений [2, 3]. Эти методы были успешно применены при исследовании вязких течений в монографии [8].

Ключевой момент в развитии теория пограничного слоя был сделан Нейландом [9, 10], а также Стюартсоном и Вильямсом [11], которые исследовали один из видов отрывных течений - самоиндуцированный отрыв ламинарного пограничного слоя на гладкой поверхности в сверхзвуковом режиме. Для гиперзвуковых течений в условиях сильного вязко-невязкого взаимодействия в работе Нейланда [12] установлено, что возмущения могут распространяться вверх по течению вплоть до передней кромки обтекаемого тела. При сильном вязко-невязком взаимодействии распределение давления заранее неизвестно и поле давления должно определяться в процессе решения задачи. В этом случае существует дополнительный механизм передачи возмущений, связанный с распространением волн давления. При этом в [12] также показано, что в режиме сильного взаимодействия течение имеет двухслойную структуру. В этом случае разделение пограничного слоя на подобласти исчезает, и весь пограничный слой участвует в процессе вязко-невязкого взаимодействия. Следует отметить, что система уравнений Прандтля, описывающая течение в пограничном слое, имеет параболический характер. Следовательно, изменения граничных условий вниз по течению, в рамках классической теории Прандтля, не могут влиять на течения вверх по потоку. Однако, как сказали выше в [12] возмущения могут распространяться вверх по течению вплоть до передней кромки в условиях сильного гиперзвукового вязко-невязкого взаимодействия.

В работах [13, 14] рассмотрено сильное взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем для двумерных и пространственных отрывных течений в стационарной установке. В [13] показано, что система уравнений пограничного слоя обладает двумя семействами характеристик, которые определяют положение координаты от закритического течения (в среднем

сверхзвукового) к докритическому (в среднем дозвуковому течению). Докритическими называются области, где возмущения могут распространяться на расстояния, значительно превышающие толщины пограничного слоя, а закритическими - на расстояния, сравнимые с толщиной пограничного слоя.

В работе Липатова [15] с помощью анализа характеристик были изучены нестационарные процессы распространения возмущений в условиях сильного гиперзвукового взаимодействия на пластине. В дальнейших исследованиях был исследован процесс передачи возмущений в условиях глобального и локального сильного взаимодействия [16], были рассмотрены течения в случаях, когда эти течения описываются автомодельными решениями. В работе Липатова и Дубинского [17] был исследован процесс распространения возмущений в ламинарных и турбулентных пограничных слоях, была определена скорость распространения возмущений в зависимости от температурного фактора gw. Для

турбулентных пограничных слоев, в [17] была определена скорость распространения возмущений вверх по потоку при различных профилях продольной скорости. Показано, что в турбулентных пограничных слоях распространение возмущений вверх по потоку реализуется при достаточной большой величине температурного фактора. В статье Липатова и Чжо [18] было рассмотрено распространение возмущений вверх по потоку в условиях сильного взаимодействия, была определена зависимость скорости распространения возмущений от отношения удельных теплоемкостей при различных значениях числа Прандтля. В работе Богатырева и Липатова [19] исследовано влияние движения подвижной поверхности на процесс передачи возмущений, показано, что амплитуда возмущений давления увеличивается при движении поверхности обтекаемого тела против направления потока газа. В работе Дудина и др. [20] исследовано распространение возмущений в стационарном пространственном пограничном слое на треугольном крыле с размахом порядка единицы в условиях сильного взаимодействия, были определены диаграммы направленности скорости перемещения характеристической поверхности в пограничном слое. В работе

Дудина и др. [21] рассмотрен процесс передачи возмущений вблизи точки излома передней кромки крыла, были определены скорости распространения возмущений при различных значениях температурного фактора и углах стреловидности передних кромок треугольного крыла. В предыдущих работах [12-21] либо процесс распространения возмущений рассмотрен в стационарной установке [1214, 20-21], либо рассмотрены автомодельные решения задачи в условиях сильного вязко-невязкого взаимодействия [15-19]. В отличие от всех предыдущих работ, посвященных теме сильного вязко-невязкого взаимодействия, в данной диссертации впервые решаются задачи распространения возмущений вверх по потоку в нестационарной установке при различных режимах изменения донного давления (гл. 2). На основе алгоритма, разработанного во второй главе, также впервые изучено влияние внезапного уменьшения температурного фактора на аэротермодинамические характеристики течения вблизи обтекаемого тела (гл. 3).

Основным направлением исследований в данной диссертации является анализ влияния возмущений донного давления и температурного фактора на течение в пограничном слое (гл. 2, 3). Это влияние приводит к нелинейным процессам вязко-невязкого взаимодействия, математические модели которых получены в результате асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса при Re ^ да

Другим направлением изучений в данной диссертации является исследование взаимодействия упругой пластины с потоком вязкого газа в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия (гл. 1). При этом использованы формула Аккерета для определения индуцированного возмущения давления и теория больших деформаций Кармана для описания взаимодействия упругой панели со сверхзвуковым потоком вязкого газа.

Актуальность темы исследования

При больших числах Рейнольдса, характерных для множества аэрогидродинамических проблем, влияние сил вязкости оказывается ничтожно малым всюду в поле течения, кроме пограничных слоев и слоев смешения. В

теории Прандтля, предполагается, что влияние течения в пограничном слое на внешнее течение несущественно в первом приближении. При этом такое влияние может учитываться в последующих приближениях. Впоследствии, исследования гиперзвуковых течений выявили режимы, для которых уже в главном приближении малое воздействие течения в пограничном слое на внешнее течение приводило к нелинейным изменениям в самом пограничном слое. Такой род режимов вязко-невязкого взаимодействия назывался умеренным или сильным.

Многочисленные проблемы в практике могут описываться в рамках теории сильного вязко-невязкого взаимодействия, в том числе процесс распространения возмущений вверх по потоку при наличии возмущений донного давления. Эффекты распространения возмущений играют важную роль в задачах восприимчивости и устойчивости, однако, обычно они не принимаются во внимание. Возмущения давления могут приводить к изменению характеристик исходного пограничного слоя. Важную роль в развитии возмущений играет дозвуковой подслой вблизи поверхности, в котором распространяются возмущения. Полученные результаты показали, что при численном моделировании гиперзвуковых течений вязкого газа важно правильно воспроизводить течение не только собственно в пограничном слое, но и в дозвуковом подслое. Игнорирование эффектов распространения возмущений вверх по течению может приводить к качественно неправильным результатам.

Кроме того, данная работа посвящена исследованию флаттера упругих панелей при локальном сильном вязко-невязком взаимодействии. В режиме больших скоростей, может возникать явление панельного флаттер из-за взаимодействия панели с окружающим потоком вязкого газа. Обычно панельный флаттер приводит не к мгновенному разрушению панелей, а к накоплению усталостных их повреждений. В настоящее время важной и малоизученной проблемой является исследование панельного флаттера в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия.

Цель и задачи работы

1) Исследование взаимодействия упругой части обтекаемого тела со сверхзвуковым потоком вязкого газа в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия в двумерной установке.

2) Изучение процесса распространения возмущений вверх потоку путем решения системы уравнений, описывающей нестационарные процессы распространения возмущений давления вверх по течению в условиях глобального сильного вязко-невязкого взаимодействия при различных видах возмущения донного давления.

3) Исследование влияния уменьшения температурного фактора на аэротермодинамические характеристики течения вблизи обтекаемого тела в двумерной стационарной установке.

Научная новизна

1) Сформулирована постановка проблемы взаимодействия упругой панели со сверхзвуковым потоком вязкого газа в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия. Найдены неустойчвые линейные моды для линеаризованной задачи с бесконечной упругой панелью.

В нелинейной установке разработан алгоритм решения задачи для случаев защемления и шарнирно-опертых краев конечной панели. Получены главные моды колебания и их нормализованная энергия с помощью сингулярного разложения (разложение по нормальным модам). Обнаружено соотношение частот гармоник двух первых мод колебания панели.

2) Разработан алгоритм решения задачи распространения возмущений в условиях глобального сильного вязко-невязкого взаимодействия в двумерном нестационарном случае.

Впервые обнаружен эффект сдвига фаз передачи возмущений из-за конечности скорости их распространения. Впервые обнаружено нелинейное взаимодействие главных гармоник возмущений в случае многочастотного колебания возмущений донного давления. Показан эффект потери энергии главных гармоник колебания при их распространении вверх по течению.

Исследование влияния внезапного изменения главных гармоник колебания донного давления на передачу возмущений.

Исследование влияния температурного фактора на амплитуду возмущений при их распространении вверх по потоку.

3) Разработан алгоритм решения задач при разрывном изменении температурного фактора на обтекаемом теле в условиях глобального сильного вязко-невязкого взаимодействи в двумерном стационарном случае.

Показан эффект препятствия распространению возмущений при охлаждении участка тела.

Показано влияние внезапного уменьшения температурного фактора участка тела на аэротермодинамические характеристики течения вблизи обтекаемого тела. Обнаружены пиковые тепловые нагрузки и резкое изменения трения в точках разрывного изменения температурного фактора.

Теоретическая и практическая ценность

Важной характеристикой нелинейных процессов в условиях глобального сильного вязко-невязкого взаимодействия является распространение возмущений вверх по течению в дозвуковом подслое пограничного слоя. Неадекватные вычислительные модели могут подавить эффект передачи возмущений, что качественно и количественно влияют на численные результаты. Такое явление распространения возмущений играет важную роль при исследовании внутренних течений в каналах гиперзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя и внешних сверхзвуковых течений. Численные результаты, полученные в данной диссертации, показывают значительную зависимость эффекта передачи возмущений от температурного фактора, обычно невоспроизводимого в экспериментах. Исследование закономерностей распространения возмущений позволяет не только описать их, но и предлагать способы воздействия или управления.

Практическая ценность данной работы также связана с обнаружением новых аэроупругих эффектов и заключается в понимании, как упругая панель

будет взаимодействовать со сверхзвуковым потоком вязкого газа в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия, что важно при проектировании летательных аппаратов. Степень достоверности

Достоверность изложенных численных результатов в данной диссертации представляется достаточно высокой. В работе проведено сравнение численных результатов на различных расчетных сетках. Проведено сопоставление численных результатов, полученных различными методами.

Численные результаты в данной работе хорошо согласуются с представлениями о физической сути рассматриваемых явлений. Основные положения, выносимые на защиту

1) Математическая формулировка проблемы о взаимодействии упругой панели с потоком вязкого газа в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия. Численные результаты при исследовании данной проблемы в линейном режиме. Алгоритм решения задачи в нелинейной установке. Результаты исследования задачи в нелинейном режиме при уменьшении цилиндрической жесткости упругой панели. Получение главных мод и их нормализованной энергии. Выявление соотношений частот для главных мод.

2) Математическая формулировка проблемы распространения возмущений давления в двумерном нестационарном случае в условиях глобального сильного вязко-невязкого взаимодействия. Алгоритм решения данной проблемы. Результаты вычисления в случае одночастотного и многочастотного возмущений донного давления. Результаты вычисления при внезапном изменении главных гармоник возмущений донного давления. Исследование влияния температурного фактора на амплитуду возмущений при их распространении вверх по потоку.

3) Математическая формулировка проблемы распространения возмущений давления в двумерном стационарном случае. Алгоритм решения данной проблемы. Результаты вычисления в случае уменьшения температурного фактора. Численные результаты в случае разрывного изменения температурного фактора.

Соответствие паспорту специальности

Содержание данной работы соответствует паспорту специальности 01.02.05. - механика жидкости, газа и плазмы, в частности пунктам: п. 3 (ламинарные и турбулентные течения), п. 4 (течение сжимаемых сред и ударные волны), п. 11 (пограничные слои, слои смешения, течения в следе), п. 14 (линейные и нелинейные волны в жидкостях и газах), п. 15 (тепломассоперенос в газах и жидкостях), п. 18 (аналитические, асимптотические и численные методы исследования уравнений кинетических и континуальных моделей однородных и многофазных сред).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи теории сильного вязко-невязкого взаимодействия»

Апробация работы

Результаты данной диссертации докладывались на:

1) 61-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 2018 г.

2) XLVII International Summer School Conference Advanced Problems in Mechanics (г. Санкт-Петербург, 2019 г.)

3) 62-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 2019 г. Публикации

По теме диссертационного исследования опубликовано 7 печатных работ, 5 из которых входят в список, рекомендованный ВАК [86-90].

Подготовлены к публикации 2 статьи в изданиях, которые входят в список, рекомендованный ВАК [91], или в базу данных Scopus, Web of Science [92]. Личный вклад автора

Автор является ответственным исполнителем во всех исследованиях по теме диссертации. Все численные расчеты, полученные в данной работе, проведены диссертантом лично. Первоначальные идеи принадлежат научному руководителю д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, проф. Липатову И.И. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 92 наименования. Диссертация изложена на 117 страницах, содержит 51 рисунок и 14 таблиц.

Во введении дан обзор литературы по теме сильного вязко-невязкого взаимодействия, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи исследования, обозначены научная новизна и практическая ценность. Указана степень достоверности работы, приведены положения, выносимые на защиту. Также указаны степень апробации данной работы и личный вклад автора.

В первой главе дан обзор литературы по теме панельного флаттера в условиях локального сильного вязко-невязкого взаимодействия, описана постановка задачи. Проведено вычисление в линейном режиме. Указан численный метод: аппроксимация дифференциальных уравнений и алгоритм их решения. Выполнена верификация численных результатов. Проведено численное моделирование нелинейной задачи в случаях защемления и шарнирно-опертых краев упругой панели.

Во второй главе описана постановка задачи в нестационарном случае в условиях глобального сильного вязко-невязкого взаимодействия, проведен анализ субхарактеристик. Указан алгоритм решения задачи. Выполнена верификация численных результатов. Проведено вычисление в случаях одночастотного и многочастотного колебания возмущений донного давления. Показано явление сдвига фаз при распространении возмущений вверх по потоку. Выявлено нелинейное взаимодействие между гармониками колебания. Исследован случай внезапного изменения частот главных гармоник колебания донного давления. Рассмотрено влияние температурного фактора на распространение возмущений.

В третьей главе описана постановка задачи в двумерном стационарном случае. Указан алгоритм решения задачи при разрывном изменении температурного фактора. Исследовано влияние уменьшения температурного фактора участка тела на

аэротермодинамические характеристики течения вблизи обтекаемого тела. Показан эффект препятствия распространению возмущений при охлаждении участка тела. В заключении приведены основные выводы.

Автор работы выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, проф. Липатову И.И. за предоставленную возможность заниматься научной деятельностью и всестороннюю помощь, оказанную в рамках данной диссертации.

Глава 1. Панельный флаттер в условиях локального сильного вязко-

невязкого взаимодействия

1.1. Обзор литературы и основные положения теории панельной флаттера

Панельный флаттер - это самовозбужденное колебание пластины или оболочки при воздействии потока газа вдоль ее поверхности [22]. Это явление динамической неустойчивости, возникающее при сверхзвуковой и гиперзвуковой скоростях, индуцируется аэродинамическими силами, действующими только на одну сторону панели.

Структурные разрушения летательных аппаратов были обнаружены в исследовательских самолетах, ракетах - носителях для космических кораблей и реактивных двигателях. Самыми ранними зарегистрированными структурными разрушениями летательных аппаратов, которые могут быть связаны с панельным флаттером, были аварии ранних немецких ракет V - 2 во время великой отечественной войны [23, 24]. При панельном флаттере панели летательных аппаратов могут испытывать колебания с предельными циклами, которые могут привести к структурному разрушению из-за усталости, вызываемой аэродинамическим давлением на поверхность обтекаемого тела.

Эксперименты показали, что существуют критические динамические давления (скорости воздушного потока), выше которого возникает панельный флаттер. Если динамические давления ниже этих критических динамических давления, то на панели возникают только случайные колебания с малыми амплитудами. Амплитуды этих колебаний малы по сравнению с толщиной панели и такие случайные колебания затухают со временем.

Когда динамическое давление выше критического значения, амплитуда вибрации становится большой, что сравнима с толщиной панели. При этом влияние растягивающих сил в плоскости становится значительным и действует как восстанавливающая сила, в то время как аэродинамические силы стремятся увеличивать амплитуду вибраций. Следовательно, взаимодействие сил

растяжения средней плоскости, вызывающих устойчивость колебаний, и аэродинамических сил, вызывающих неустойчивость колебаний, приводит к предельным циклам с определенными амплитудами.

В течение нескольких десятилетий выпущен ряд работ, посвященных изучению панельного флаттера. Причем большинство работ, отнесенных к одной из пяти категорий [25], основывается на аэродинамических теориях и на предположениях теорий аэроупругости. Первая теория - это линейная теория аэроупругости и квазистатическая аэродинамическая теория [26, 27], вторая -линейная теория аэроупругости и полная линеаризованная (невязкая, потенциальная) аэродинамическая теория [28, 29]. Третья - нелинейная теория аэроупругости и квазистатическая аэродинамическая теория [30-34]. Четвертая -нелинейная теория аэроупругости и полная линеаризованная (невязкая, потенциальная) аэродинамическая теория [35, 36]. Пятая - нелинейная теория аэроупругости и нелинейная поршневая теория [37]. Кроме того, можно добавить еще одну категорию - нелинейная теория аэроупругости и система уравнений Эйлера или система уравнений Навье-Стокса. Список этих теорий показан в таб.

1.1.

Таблица 1.1. Список теорий аэроупругости, аэродинамических теорий и их диапазон применимости

№ Теории аэроупругости Аэродинамические теории Диапазон применимости

1 Линейная Квазистатическая поршневая теория 72 < М < 5 * СО

2 Линейная Полная линейная теория потенциального течения 1 < М < 5 СО

3 Нелинейная Квазистатическая поршневая теория 72 < М < 5 * СО

4 Нелинейная Полная линейная теория потенциального течения 1 < М < 5 СО

5 Нелинейная Нелинейная поршневая теория M > 5 СО

6 Нелинейная Система уравнений Эйлера, Навье-Стокса M * 1, M > 1, СО 5 СО ? M >> 1 СО

В 1956 году советский ученый А.А. Мовчан написал работу, в которой была использована формула поршневой теории для определения воздействия аэродинамических сил на пластину при сверхзвуковом режиме течения газа [38]. Эта формула представляет собой асимптотическая формула для возмущения газа

„ / \ pu fdw dw ^ при больших числах Маха pyx,t) = ,-=--h u— где p, u, w, M -

4M2 -1 \dt dx ) плотность газа, скорость потока, прогиб панели и число Маха, соответственно.

Крупные исследования по теме панельного флаттера пришлись на 50-70-е годы прошлого века. В этих работах была применима поршневая теория. Однако поршневая теория справедлива только при больших числах Маха. В работах [39, 40] показано, что поршневая теория полностью несправедлива при малых числах

Маха когда 1 < M < 42. Для исследования панельного флаттера при малых сверхзвуковых скоростях, были использованы теория потенциального течения или более сложные подходы [41-43]. В [41] с помощью метода Бубнова-Галеркина рассмотрена устойчивость колебания пластины в однородном сверхзвуковом потоке газа, в этой работе применилась линейная теория нестационарного течения в диапазоне чисел Маха 1.3 < M < 2. В [42] найдено общее решение интегродифференциального уравнения колебания пластины с помощью линейной теории двумерного нестационарного течения газа, было получено частотное уравнение. В [43] задача о панельном флаттере решалась с помощью метода конечных объемов при предположении о линейной теории нестационарного течения газа, был показан благоприятный эффект начального напряжения по предотвращению панельного флаттера.

В 60-х годах прошлого века Э. Доуэлл (E.H. Dowell) написал известные работы, посвященные явлению нелинейного панельного флаттера [44, 45]. В работе [44] Доуэлл рассмотрел предельные циклы автоколебания пластины в двумерном и трехмерном случаях. Были использованы теория больших деформаций Кармана и квазистатическая аэродинамическая теория для исследования колебания пластины. Доуэлл применил метод Бубнова - Галеркина для приведения системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается численным методом. Обнаружены 4 первые моды колебания и показано, что колебание трехмерной пластины подобно колебанию двумерной пластины при определенных условиях. Во второй работе [45] были использованы теория больших деформаций Кармана и полная нелинейная (невязкая, потенциальная) аэродинамическая теория для исследования колебаний пластины. Применился метод Бубнова - Галеркина для приведения проблемы к системе нелинейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, которая решалась численным методом. Были обнаружены связанный и одномодовый панельный флаттер при M >> 1 и M «1, соответственно.

Во второй половине 70-х годов ХХ века в теории панельного флаттера в режиме больших сверхзвуковых скоростей было достигнуто глубокое понимание явления флаттера. Разработаны и верифицированы численные алгоритмы, было получено хорошее согласие между теорией и экспериментальными данными. Число работ по панельному флаттеру существенно уменьшилось, но в 1990-х годах эта тема вновь получила большой интерес, это объяснилось следующими причинами. Во-первых, появились новые методы определения предельных циклов колебания [46, 47], во-вторых, появилось интерес к панельному флаттеру при применении новых материалов в авиационной промышленности. В работе [48] при исследовании колебания пластины, сделанной из композитных материалов, использованы теория Кармана и квазистатическая поршневая теория первого

порядка и метод конечных элементов для изучения панельного флаттера в режиме сверхзвуковых скоростей.

С целью снижения веса летательных аппаратов и предотвращения панельного флаттера были разработаны системы его подавления при использовании пьезоэлектрических элементов. В работе [49] применились пьезоэлектрические элементы для активного подавления предельных циклов колебаний прямоугольной изотропной пластины. Исследованы оптимальные форма этих элементов и их место расположения с помощью метода конечных элементов и линейной оптимальной теории управления.

Существуют 2 типа панельного флаттера - связанный и одномодовый флаттер. В ХХ веке в большинстве работ по теме панельного флаттера только изучено явление связанного флаттера, а одномодовый флаттер практически не исследован. Последний тип флаттера был обнаружен численно еще в 1960-х года в работах Доуэлл [30, 50], но тогда его результаты считались ошибочными и были игнорированы. Однако, Веденеев в 2005 году аналитически доказал, что этот тип флаттера существует [51] и в 2010 году он с соавторами доказали существования одномодового флаттера с помощью экспериментального исследования [52].

В работе [51] выявлено, что одномодовый флаттер не может быть обнаружен с помощью поршневой теории. Такой тип флаттер обнаружен только при малых сверхзвуковых скоростях, где поршневая теория несправедлива. С помощью аналитических методов, были обнаружены два различных типа флаттера - одномодовый флаттер, обусловленный отрицательным аэродинамическим демпфированием, и флаттер связанного типа, обусловленный взаимодействием мод колебания. В [51] также показано, что механизм образования растущих собственных функций заключается в цилиндрических отражениях и взаимных превращениях двух бегущих в противоположные стороны волн, при которых происходит увеличение их амплитуд. В результате работы [51] были исследованы численные расчеты, подтвердившие полученные

результаты, и построены границы неустойчивости различных мод в двумерном случае [53, 54].

До недавних лет, в большинстве теоретических работ, посвященных колебанию упругих пластин в невязком потоке газа, не учитывалось наличие пограничного слоя. В работе [55] аэродинамические силы определены для различных профилей скорости в пограничном слое, потом эти силы применились для вычисления характеристики панельного флаттера. В работе [56], были обнаружены следующие явления, во-первых, для достаточно толстого пограничного слоя наблюдалась дивергенция, а не панельный флаттер; во-вторых, в области устойчивости аэродинамические силы вызывают значительное демпфирование, что позволяет уменьшить толщину и снизить вес панели. Как и в [36], в работе [56] только получено хорошее согласие между теорией и экспериментами при достаточно больших числах Маха. Несмотря на то, что толщина пограничного слоя представляет собой постоянную величину, было показано хорошее согласие между теоретическими результатами и экспериментальными данными [57, 58] в режиме больших сверхзвуковых скоростей.

В работах Бондарева и Веденеева [59-63] изучены следующие задачи: во-первых, исследование влияния пограничного слоя на поведение бегущих волн произвольной длины в невязком приближении при больших, но конечных числах Рейнольдса;

во-вторых, исследование влияния невязких и вязких возмущений пограничного слоя на флаттер упругих пластин конечных размеров;

в-третьих, исследование течений в режиме сверхзвуковых скоростей при наличии пограничного слоя над поверхностью различных форм для поиска устойчивых профилей пограничного слоя.

В данной главе, рассмотрено взаимодействие упругой пластины со сверхзвуковым потоком вязкого газа в условиях локального сильного вязко-

невязкого взаимодействия. При этом длина возмущенной области течения значительно меньше характеристической длины обтекаемого тела.

1.2. Постановка задачи

Рассмотрено обтекание плоской пластины сверхзвуковым потоком вязкого газа в двумерной установке. Декартова система координат связана с пластиной, ось ОХ направлена вдоль поверхности пластины, ось OY по нормали к поверхности. Предполагается, что на расстоянии /0 от передней кромки

расположен гибкий участок, имеющий длину /. Вводятся следующие обозначения для координат, отсчитываемых вдоль поверхности пластины и по нормали к ней, времени, компонентов вектора скорости, плотности, давления, полной энтальпии, коэффициента вязкости:

/0х, /0У, //К,,иши, и ау, рр, рши2р, и2Н/2, соответственно. Индекс да

относится к размерным параметрам невозмущенного набегающего потока. Предполагается, что число Рейнольдса велико, но не превосходит критического значения, так что сохраняется ламинарный режим течения.

В зависимости от соотношения геометрических параметров и числа Re возможны различные режимы течения. При воздействии возмущения давления с амплитудой Ар << 1 меняется толщина вытеснения пограничного слоя, при этом

основной вклад в это изменение вносит пристеночная область с малыми скоростями [8]. При нелинейном воздействии на пристеночное течение изменения скорости можно оценить, как А и ~ и ~ А^1/2. Эта оценка верна, если влияние сил вязкости здесь в первом приближении несущественно.

При нелинейных изменениях скорости толщина пристеночной области сдвигового течения также меняется в главном члене, что следует из условия сохранения расхода. Тогда из оценки для продольной скорости у ~ ял, е = Яе 12 следует и оценка для изменения толщины вытеснения Ау ~ яАр12. При этом существенно, что основная часть пограничного слоя с конечными скоростями дает существенно меньший вклад в суммарное изменение толщины вытеснения

АЗ ~ еАр, поскольку изменения скорости здесь при малых амплитудах давления линейны.

Если возмущения, вносимые во внешний сверхзвуковой поток, имеют тот же порядок исходного возмущения давления Ар ~ еАр12 /Ах, то оценка для величины давления непосредственно определяет длину области возмущенного течения Ах ~ б/Ар112. Отсюда следует, что для всех малых возмущений давления длина области возмущенного течения превосходит толщину пограничного слоя. Это предопределяет возможность использования формулы Аккерета для определения индуцированного возмущения давления. Для условия локального сильного взаимодействия предполагается, что длина возмущенной области течения значительно меньше характеристической длины обтекаемого тела /0.

Предположение о влиянии вязкости в области нелинейных изменений скорости приводит к известным оценкам теории свободного взаимодействия [8]. Ниже рассмотрен режим, для которого влияние вязкости в первом приближении несущественно. При малых возмущениях такой режим реализуется, если амплитуда давления удовлетворяет неравенству б12 «Ар << 1.

В этих условиях в поле возмущенного течения можно выделить 4 характерные области. Первая область содержит струйки тока невязкого сверхзвукового течения, характерный поперечный размер этой области определяется длиной этой области и наклоном характеристик, тогда для конечных чисел Маха у1 ~ б/Ар112

Область 2 - это основная часть пограничного слоя. На дне этой области расположена область нелинейных возмущений продольной скорости (область 3), в которой влияние вязкости в первом приближении несущественно. Для учета влияния вязкости, необходимо ввести в рассмотрение область 4, поперечный размер которой оценивается из условия баланса сил вязкости и инерции у4 ~ б3/7А^12. Следует отметить, что возможность существования

предполагаемой структуры течения зависит от существования безотрывного течения в локальном пограничном слое (область 4).

Решение в области 3 можно записать в следующем виде, основываясь на

полученных выше оценках

*=¿^а^ (1.1)

у = р;12 а"V'2 уз (1.2)

t = а -р1Ар "73 (1.3)

и(х, у, t, б)= р^2Ар112и3(*3, У3, tз)+ ... (1.4)

у(х,у, t, б, А^)=р1'2а 112 рАр312У3(*3, у3, tз)+ ... (1.5)

р(х,у, t, б, Ар)= 1/ (]М2)+ Арр3(*3, tз)+ ... (1.6)

р = р, +... (1.7)

где параметр а определяется из решения для течения в невозмущенном пограничном слое а = ди/дук. Следует отметить, что этот параметр по порядку

величины равен О^е 112). Подстановка выражений (1.1-1.7) в систему уравнений

Навье-Стокса и предельный переход Re ^ оо , Ар ^ 0, Ар Re114 ^-оо приводят к

системе уравнений

ди3 ди3 ди3 др3

—1 + и3—1 + у3—1 + = 0 (1.8)

дt3 дх3 ду3 дх3

ди3 +^ = 0 (1.9)

д*3 ду3

др

ду3

с краевыми условиями

= 0 (1.10)

у3 = 0, и3 = у3, х ^ -оо

Решение можно искать в виде и3 = у3 + А3 (х3, 1Ъ) Тогда можно привести уравнения (1.8-1.10) к виду

М + А — + = 0 (1.11)

дt дх дх

где нижний индекс "3" опущен

Функции А представляет собой изменение толщины пограничного слоя, взятое с обратным знаком. Во внешнем потоке изменение толщины пограничного

дА

слоя индуцирует возмущение давления А^ =--.

дх

Предположим, что либо рассмотрены малые времена процесса, либо отрыв подавлен тем или иным способом. Если часть пограничного слоя находится над упругим участком поверхности, то суммарное изменение толщины вытеснения будет определяться по изменению толщины пограничного слоя и деформации поверхности w. Тогда система уравнений для двух областей имеет вид

Л дА дw

= + (112)

дх дх

М + + vw + дР = 0 (1.13)

дt дх дх

где vw представляет собой вертикальная скорость элементов пластины.

К этой системе необходимо добавить уравнение, описывающее деформацию упругого участка [53, 64], чтобы окончательно получить замкнутую систему уравнений

д4 w д2 w д2 w / \ В— - М — + — + ^(х, Л = 0 (1.14)

дх4 дх2 дt2 ^ } К )

где w - прогиб пластины, В = Eh3/(12(1 - V2)) - цилиндрическая жесткость;

Eh (•//2 (дw^

2

11,11 П /2 (УГУ

М = М0 + М , М0 - натяжение пластины, М = — I I —

0 х 0 х 2/ 1//21 дх

dx - натяжение за

счет прогиба пластины, Е - модуль Юнга, h - толщина пластины, V -

коэффициент Пуассона. Уравнение (1.14) представляет собой формулу теории больших деформаций Кармана [64].

На рис. 1.1. приведена схема упругой панели, с одной стороны она обтекается сверхзвуковым потоком вязкого газа, а с другой стороны газ покоится; и о, Мо - скорость и число Маха набегающего потока, р о - давление набегающего потока, р - давление за счет аэродинамических сил, М0 -натяжение пластины, / - длина пластины, к - толщина пластины, ^(х, t) - прогиб пластины

Рисунок 1.1. Схема упругой пластины

Кроме того, уравнение для кинематической связи параметров в области 3 и пластины

д™ .д^М

— = К - А— (1.15)

дt дх

Из (1.12-1.15) получена система уравнений для прогиба пластины и изменения толщины пограничного слоя

^д4 - л,д2 - д2 - дА д- л

В—- - М—- + —2---+ — = 0

дх дх дг дх дх

дА . дА д2 А д2 - д- , д- л

— + А---- + —- + — + А— = 0

дг дх дх дх дг дх

(1.16)

граничные и начальные условия

-(х, г = 0)= g1 (х); -(х > I/2,х <-1 /2, г) = 0;

дх = ±1 /2'') = 0; ^г = 0) = &(х); (1.17)

дхт дг 24 7

А( х, г = 0)=* з (х), М^Щ = 0

Iх,г = 0 = * я

х

область -1/2 < х < I/2 соответствует гибкому участку пластины, а область

- Ь/2 < х < - Ь/2 соответствует возмущенной области течения.

Случай т = 1 соответствует условию защемления краев панели, а случай т = 2 соответствует условию шарнирно-опертых краев панели.

В данной главе будем решать систему уравнений (1.16) с граничными условиями (1.17) для безразмерных параметров В, М .

дА

Нелинейный член в уравнении Бюргерса А— характеризует процесс

дх

передачи энергии между длинными волнами и короткими волнами, нелинейный

, д-

член А— соответствует взаимодействию пластины с потоком вязкого газа.

х

1.3. Исследование устойчивости системы в линейном режиме для

бесконечных панелей

После линеаризации системы уравнений (1.16), получим более простую систему уравнений

^д4 w л,д2 w д2 дА ^ п

D—- - М—- + —2---+ — = 0

дх дх д? дх дх (1 18)

дА д А д2 w дw п

---- + —- + — = 0

д? дх дх д?

Для того чтобы исследовать устойчивость решений системы уравнений (1.18) в случае бесконечной упругой панели, ищем возмущение толщины пограничного слоя и прогиб пластины в виде малых бегущих волн

А ~ А0 е1 {ш-кх 1; ^^ ~ е1 с-кх 1 где А0 - комплексное число, к - волновое число бегущих волн, о - угловая скорость

Подстановка разложений для малых волн приводит (1.18) к виду

Dk4 + Мк2 - о2 + Алк - ¡к = 0

2 20 (1.19 а, б)

А0с - к + А0к + ¡с = 0

Напишем А0 в виде А0 = а + b¡, где а, Ь - вещественные числа и ¡ - мнимая

единица

Из (1.19 б)

= к2 (2Ь + (1 - а2 - Ь2)) С= Ь2 + (а +1)2

Для того чтобы значения А, w не возрастали со временем, мнимая часть со

должна меньше либо равняться нулю Re(¡о)< 0, значит а2 + Ь2 < 1

Из системы уравнений (1.19)

(2Ь + (1 - а2 - Ь2) )2 = Вк^+Мк^+АА^¡к_ (Ь2 + (а +1)2 )2 = к

(1.20 а, б)

к" (2Ь + (1 - а - ь J¡ I

о

к2 (2Ь + (1 - а2 - Ь2))

Ь2 + (а +1)2

Система уравнений для вещественной и мнимой частей (1.20 а)

' 4Ь2 -(а2 + Ь2 -1)2 _ Dk3 + Mk - Ь

< (ь2 + («,+1)2)2 _ ^

4Ь(1 - а2 - Ь2) _ а-1

. (Ь2 +(а +1)2 г

Показано, что для некоторых волновых чисел k существуют растущие моды. При D _ 1, М _ 1 и D _ 2, М _ 1 найдены значения ¿у при различных волновых числах

k. Показано, что неустойчивые линейные моды длинных волн нарастают быстрее, чем неустойчивые линейные моды коротких волн.

Таблица 1.2. Линейные моды возмущений при различных их волновых числах при D _ 1

к 0.5 1 5 10

1® 0.50 - 0^ 0.42 - 0.1 - 25^ 0.05 - 100^

-0.02 + 0.071 -0.42 + 0.691 -0.1 + 25.41 -0.05+100.51

-0.73 + 0.781 -1 + 11 -25 + 0.1961 -100 + 0.11

Таблица 1.3. Линейные моды возмущений при различных волновых числах при D _ 2

к 0.5 1 5 10

1® 0.49 - 0^ 0.38 - 0.094 - 35^ 0.047 - 141^

-0.03 + 0.081 -0.56 + 1.431 -0.09 + 35.641 -0.046+141.71

-0.71 + 0.801 -0.82 + 0.531 -25.00 + 0.131 -100.00 + 0.071

С другой стороны, с помощью спектрального метода [65-67], можно привести систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных (1.18) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом периодических граничных условий в интервале [0, 2я-]. После дискретизации системы уравнений (1.18) по пространству получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений в матричном виде

d2 w

DD. w - MD2 w +-

4x 2x dt2

D A + D1 w = 0

1x 1x

dA ^ . ^ dw _

--D2 A + D2 w + — = 0

dt 2x 2x dt

dw ~dt

= u

du ~dt

= -(DD4x - MD2x + Dix )w + DixA

dA ^ .

— = - D2 w - u + D2 A

л . 2 x 2 x

dt

д dt

u

к A ,

V /3nx1

Z D

w

D

I Z

ZD

1x

2 x

ID

2x

u

к A,

3nx3n \ / 3nx1

(1.21)

где п - число узлов при дискретизации задачи по пространству, В1х, В2х, В4х -дифференциальные матрицы первого, второго и четвертого порядков размера п х п, 2 - нулевая матрица размера п х п, I - единичная матрица размера п х п, Dw = -(ВВ4х - МВ2х + В1х); w, и, А - вектора решения размера п х 1

В [65] показаны формулы для определения дифференциальных матриц первого и второго порядков Если п - четное число

D1 н =

1x

0

k = J

1 (- 1)k-J cot k Ф J

2

2

D

2 x ,kJ

ж

1 6

k=J

3h2 _

-(- 1)k-J ism - 2(k - J )h k Ф j 22

, 2ж

h = — n

дифференциальная матрица четвертого порядка вычисляется по методу, показанному в [66]. В этом случае число узлов при дискретизации по

пространству п _ 64 и при увеличении числа узлов в два раза результаты вычисления практически не меняются.

Найдя все собственные числа матрицы в (1.21), получим спектр собственных чисел. Показано, что собственные числа с положительной вещественной частью совпадают со значениями ¡а неустойчивых линейных мод в таб. 1.2 и таб. 1.3 при k _ 1, 5, 10.

Таблица 1.4. Собственные числа матрицы в (1.21) при D _ 1; 2

D _ 1, М _ 1 ¡а D _ 2, М _ 1 ¡а

1 0.42 ± 1.691 1 0.39 ± 1.961

2 0.25 ± 4.681 2 0.23 ± 6.151

к 3 0.17 ± 9.641 к 3 0.15 ± 13.181

4 0.12 ± 16.611 4 0.117 ± 23.061

5 0.10 ± 25.61 5 0.094 ± 35.771

10 0.05 ± 100.551 10 0.047 ± 141.71

п = 64 О = 0.1 А = 0.45748549373

гпая

• * * •

• • :—к * • =20

* * * • • • • • * • : к=10 к=5 /У к=4 =2/к= 1

у- '

• • • * • • ■

* * • * ■

■1 4). а -0.6 -0.4 -0-2 О 02 0.4 0.6 О.В 1

Рисунок 1.2. Собственные числа матрицы в (1.21) в комплексной плоскости при О = 0.1 Совпадение численных результатов при к = 1, 5, 10, показанных в таб. 1.2.,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фам Ван Кхьем, 2020 год

Список литературы

1. Prandtl L. Uber flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner reibung // Vehr. d. Intern. Math. Kongr. Heidelberg. 1904. Leipzig.: teubner. 1905. P. 484-491.

2. Ван-Дайк М Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 296 с.

3. Коул Д.Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с.

4. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

5. Friedrichs K.O. Asymptotic Phenomena in Mathematical Physics // Bull. Amer. Math. Soc. 61. 1955.

6. Kaplun S. The Role of Coordinate Systems in Boundary-Layer Theory // Z. Angew. Math. Phys. 1954. V. 5, N.2 P. 111-135.

7. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121.

8. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа М.: Физматлит, 2003. 456 с.

9. Нейланд В.Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва // Доклад на Всесоюзном съезде по теорет. и прикл. механике. 1968. Сборник аннотаций докладов съезда. М.: Наука, 1968.

10. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. №. 4. С. 53-57.

11. Stewartson K., Williams P.G. Self-induced Separation // Proc. Roy. Soc. 1969. V. 312, N. 1509. P. 181-206.

12. Нейланд В.Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №. 4. С. 40-49.

13. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 1. Пространственные течения // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 2. С. 70-79.

14. Нейланд В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 3. С. 28-39.

15. Липатов И.И. Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, №. 3. С. 457-464.

16. Кречетников Р.В., Липатов И.И. Распространение возмущений в пространственных сверхзвуковых пограничных слоях // Прикладная математика и техническая физика. 1999. Т. 40, № 3. С. 116-127.

17. Дубинский C.B., Липатов И.И. Распространение возмущений в сверхзвуковых ламинарных и турбулентных пограничных слоях // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 2. С. 32-38.

18. Липатов И.И., Чжо Т.А. Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях // Труды МФТИ. 2010. Т. 2, № 2. С. 107-112.

19. Богатырев Д.Ю., Липатов И.И. Распространение возмущений в двумерных пограничных слоях над подвижной поверхностью при сильном взаимодействии // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 2. С. 56-66.

20. Дудин Г.Н., Мъинт К.Т. О распространении возмущений в трехмерном пограничном слое на треугольном крыле на режиме вязко-невязкого взаимодействия // Известия РАН. МЖГ. 2010. № 3. С. 91-102.

21. Дудин Г.Н., Ледовский A.B., Со Я.Н. Распространение возмущений в гиперзвуковом пограничном слое в окрестности точки излома передней кромки крыла // Труды МФТИ. 2013. Т. 5, № 2(18). С. 32-45.

22. Kuo C.C., Morino L., and Dungundji J. Perturbation and Harmonic Balance for Treating Nonlinear Panel Flutter // AIAA Journal. 1972. V. 10, N. 11. P. 1479-1484.

23. Jordan P.F. The Physical Nature of Panel flutter // Aero Digest. February 1956. P. 34-38.

24. Bisplinghoff R.L., Ashley H. Principles of Aeroelasticity // Dover Publications. 1996. 880 p. ISBN: 0486691896.

25. Gray C.E., Mei, C. Large Amplitude Finite Element Flutter Analysis of Composite Panels in Hypersonic Flow // AIAA Journal. 1993. V. 31, N. 6. P. 1090-1099.

26. Hedgepeth J.M Flutter of Rectangular Simply Supported Panels at High Supersonic Speeds // Journal of the Aeronautical Science. August 1957. V. 24, N. 8. P. 563-573.

27. Dugunji J. Theoretical Considerations of Panel Flutter at High Supersonic Mach Numbers // AIAA Journal. 1966. V. 4, N. 7. P. 1257-1266.

28. Dowell E.H., Voss H.M Theoretical and Experimental Panel Flutter Studies in the Mach Number Range 1.0 to 5.0 // AIAA Journal. 1965. V. 3, N. 12. P. 2292-2304.

29. Cunningham H.J. Flutter Analysis of Rectangular Panels Based on Three-Dimensional Supersonic Unsteady Potential Flow // NASA TRR-256. Feb. 1967. 52 p.

30. Dowell E.H. Nonlinear Oscillations of a Fluttering Plate // AIAA Journal. 1966. V. 4, N. 7. P. 1267-1275.

31. Fung Y.C The Flutter of a Buckled Plate in a Supersonic Flow // AFSOR TN 55237. 1955, Guggenheim Aeronautical Lab., California Institute of Technology, Pasadena, Calif.

32. Bolotin V.V Nonconservative Problems of the Theory of Elastic Stability New York: The Macmillan Company, 1963. 324 p.

33. Fralich R.W. Postbuckling Effects on the Flutter of Simply Supported Rectangular Panels at Supersonic Speeds, TN D-1615, March 1963, NASA.

34. Librescu L. Aeroelastic Stability of Orthotropic Heterogeneous Thin Panels in the Vicinity of the Flutter Critical Boundary, Part I // Journal de Mecanique. March 1965. V. 4, N. 1. P. 51-76.

35. Dowell E.H. Nonlinear Oscillations of a Fluttering Plate II // AIAA Journal. 1967. V.5, N. 10. P. 1856-1862.

36. Dowell E.H. Generalized Aerodynamic Forces on a Flexible Plate Undergoing Transient Motion // Quarterly of Applied Mathematics. January 1967. V. 24, N. 4. P. 331-338.

37. Eastep F.E., McIntosh S.C. The Analysis of Nonlinear Panel Flutter and Response Under Random Excitation or Nonlinear Aerodynamic Loading // American Institute of Aeronautics and Astronautics/American Society of Mechanical Engineers 11th Structural Dynamics, and Materials Conference, Denver, CO. April 22-24, 1970. P. 36-47.

38. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // Изв. АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20, Вып. 2. С. 211-222.

39. Shitov S., Vedeneev V. Flutter of rectangular simply supported plates at low supersonic speeds // Journal of Fluids and Structures. 2017. V. 69. P. 154-173.

40. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961. 339 с.

41. Nelson H.C., Cunnigham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow // NACA. 1956. Report № 1280. 24 p.

42. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // Доклады АН СССР. 1958. Т. 120, № 4. С. 726-729.

43. Yang T.Y. Flutter of flat finite element panels in supersonic potential flow // AIAA Journal. 1975. V. 13(11). P. 1502-1507.

44. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of a fluttering plate // AIAA Journal. 1966. V. 4(7). P. 1267-1275.

45. Dowell E.H. Nonlinear oscillations of a fluttering plate II // AIAA Journal. 1967. V. 5(10). P. 1856-1862.

46. Mei C., Abdel-Motagaly K., Chen R.R. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds // Applied Mechanics Reviews. 1999. V. 10. P. 321-332.

47. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.

48. Abdel-Motagaly K., Chen R., Mei C. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements // AIAA Journal. 1999. V. 37, N. 9. P. 1025-1032.

49. Zhou R.C., Lai Z., Xue D.Y., Huang J.-K., Mei C. Suppression of nonlinear panel flutter with piezoelectric actuators using finite element method // AIAA Journal. 1995. V. 33, N. 6. P. 1098-1105.

50. Dowell E.H. Aeroelasticity of plates and shells Kluwer Academic Publishers, 1974. 160 p.

51. Веденеев В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 155-169.

52. Веденеев В.В., Гувернюк С.В., Зубков А.Ф., Колотников М.Е. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 2. С. 161-175.

53. Vedeneev V.V. Panel flutter at low supersonic speeds // Journal of Fluids and Structures 2012. V. 29. P. 79-96.

54. Веденеев В.В. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 2. С. 169-178.

55. Dowell E.H. Generalized aerodynamic forces on a flexible plate undergoing transient motion in a shear flow with an application to panel flutter // AIAA J. 1971. V. 9(5). P. 834-841.

56. Dowell E.H. Aerodynamic boundary layer effect on flutter and damping of plates // Journal of Aircraft. 1973. V. 10(12). P. 734-738.

57. Muhlstein L. Jr., Gaspers P.A., Riddle D.W. An experimental study of the influence of the turbulent boundary layer on panel flutter // NASA TN D-4486. 1968.

58. Gaspers P.A. Jr., Muhlstein L. Jr., Petroff D.N. Further results on the influence of the turbulent boundary layer on panel flutter // NASA TN D-5798. 1970.

59. Bondarev V.O, Vedeneev V.V. Influence of the viscous boundary layer perturbations on single-mode panel flutter at finite Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 2018. V. 852. P. 578-601.

60. Бондарев В.О, Веденеев В.В. Флаттер бесконечных упругих пластин с учетом пограничного слоя при конечных числах Рейнольдса // Изв. РАН. МЖГ. 2017. № 6. С. 89-107.

61. Bondarev V.O, Vedeneev V.V. Short-wave instability of elastic plates in supersonic flow in the presence of the boundary layer // J. Fluid Mech. 2016. V. 802. P. 528-552.

62. Bondarev V.O, Vedeneev V.V. Influence of the boundary layer on flutter of elastic plate in supersonic gas flow // Proceedings of International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics (IFASD 2015). 2015. V. 2. P. 1436-1453.

63. Vedeneev V., Bondarev O. Influence of the boundary layer on flutter of elastic plate in supersonic gas flow // Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN. 2014. P. 3195-3202.

64. Веденеев В.В. Панельный флаттер при низких сверхзвуковых скоростях: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Москва. 2012. С. 24.

65. Trefethen L.N. Spectral Methods in MATLAB Philadelphia: SIAM, 2000. 181 p.

66. Weideman J.A.C., Reddy S.C. A MATLAB Differentiation Matrix Suite // ACM Transactions on Mathematical Software. 2000. V. 26, N. 4. P. 465-519.

67. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods in Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 567 p.

68. Golub G.H., Van Loan, Charles F. Matrix Computations (4th ed.j John Hopkins, 2013. 780 p. P. 486.

69. Веденеев В.В. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 197-208.

70. He J.H. Some Asymptotic Methods for Strongly Nonlinear Equations // International Journal of Modern Physics B. 2006. V. 20. P. 1141-1199.

71. Wang K.C. On the Determination of the Zones of Influence and Dependence for Three-Dimensional Boundary Layer Equations // J. Fluid Mech. 1971. V. 48, N. 2. P. 397-404.

72. Lighthill M.J. On Boundary Layers and Upstream Influence // Proc. Roy. Soc. 1953. Ser. A., V. 217. P. 476-507.

73. Chapman D.R., Kuehn D., Larson H. Investigation of separated flows with emphasis on the effect of transition // NACA Rept. 1958. N. 1356.

74. Pearson H., Holliday J.B., Smith S.F. A theory of the cylindrical ejector propelling nozzle // J. Roy. Aeron. Soc. 1958. V. 62, N. 574. P. 746-751.

75. Башкин В.А., Дудин Г.Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Физмалит, 2000. 289 c.

76. Chu P.C., Fan C. A Three-Point Combined Compact Difference Scheme // Journal of Computational Physics 1998. V. 140. P. 370-399.

77. Li Jichun, Chen Yi-Tung Computational Partial Differential Equations Using MATLAB, CRC Press, 2008. 384 p. ISBN-10: 1420089048

78. Broyden C.G. A Class of Methods for Solving Nonlinear Simultaneous Equations // Mathematics of Computation. 1965. V. 19, N. 92. P. 577-593.

79. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. United States Department of Commerce, National Bureau of Standards, 1964. P. 886.

80. Дудин Г.Н., Ледовский А.В. Течение в окрестности точки излома передней кромки тонкого крыла на режиме сильного взаимодействия // Учен. зап. ЦАГИ. 2011. Т. 42, № 2. С. 11-25.

81. Дудин Г.Н., Лыжин Д.О. Об одном методе расчета режима сильного вязкого взаимодействия на треугольном крыле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 4. С. 119124.

82. https: //www. mathworks. com/help/wavelet/ref/cwt.html

83. Постников Е. Б. Вейвлет-преобразование с вейвлетом Морле: методы расчета, основанные на решении диффузионных дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование. 2009. том 1, выпуск 1. С. 5-12.

84. Фам В.К., Липатов И.И. Математические модели флаттера // Труды 61-й Всероссийской научной конференции МФТИ. 19-25 ноябрь 2018 года. Аэрокосмические технологии. М: МФТИ, 2018. 389 с. С. 301-302.

85. Lipatov I., Fam W.K. Modeling Panel Flutter in the Framework of the Asymptotic Theory of Viscous Gas Flows // XLVII International Summer School Conference Advanced Problems in Mechanics (г. Санкт-Петербург, 2019 г.) URL: http: //www. apm-conf.spb.ru/images/apm2019 abstracts-small.pdf P. 68.

86. Липатов И.И., Фам В.К. Моделирование панельного флаттера в рамках асимптотической теории течений вязкого газа // Труды МФТИ. 2019. Т. 11, № 1(41). С. 86-95.

87. Фам В.К. Нестационарные процессы в гиперзвуковом пограничном слое // Труды МФТИ. 2019. Т. 11, № 4(44). С. 109-116.

88. Липатов И.И., Фам В.К. Методы управления течением в условиях сильного гиперзвукового взаимодействия // Изв. РАН. МЖГ. 2020. № 2. С. 77-87.

89. Липатов И.И., Фам В.К. Распространение возмущений в пограничном слое в условиях сильного гиперзвукового взаимодействия // Доклады РАН. Физика, Технические науки. 2020. Т. 490, № 1. С. 70-72.

90. Липатов И.И., Фам В.К. Управление течением в гиперзвуковом пограничном слое // Письма в ЖТФ. 2020. Т. 46, выпуск 11. С. 47-50.

91. Липатов И.И., Фам В.К. Нелинейные эффекты при распространении возмущений в условиях сильного гиперзвукового взаимодействия // ПМТФ. 2020. Т.61. № 3.

92. Lipatov I., Pham K. Panel Flutter under Conditions of Local Strong Viscous-Inviscid Interaction // Advances in the field of dynamics with complex micro structure, ser. Advanced Structured Materials. Berlin: Springer Verlag, 2020

Отпечатано с оригинал-макетов Заказчика в типографии "Переплетофф" Адрес: г. Долгопрудный, ул. Циолковского, 4. Тел: [phone]. www.perepletoff.ru Формат 210 х 297 мм. Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 11 экз. Твердый переплет. Заказ № . 27.03.20 г.